EŞKARE DÖNÜŞLÜ HALKALAR Kübra GÖKTÜRK DANIġMAN Doç

EŞKARE DÖNÜŞLÜ HALKALAR
Kübra GÖKTÜRK
DANIġMAN
Doç. Dr. Muhittin BAġER
MATEMATĠK ANABĠLĠMDALI
Temmuz, 2013
AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
EŞKARE DÖNÜŞLÜ HALKALAR
Kübra GÖKTÜRK
DANIŞMAN
Doç. Dr. Muhittin BAŞER
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Temmuz, 2013
TEZ ONAY SAYFASI
Kübra GÖKTÜRK tarafından hazırlanan “EĢkare DönüĢlü Halkalar” adlı tez çalıĢması
lisansüstü eğitim ve öğretim yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca 12/07/2013
tarihinde aĢağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak
kabul edilmiĢtir.
Danışman
: Doç. Dr. Muhittin BAġER
Başkan
: Doç. Dr. Erdoğan HALAT
AKÜ Eğitim Fakültesi
Üye
: Doç. Dr. Muhittin BAġER
AKÜ Fen Edebiyat Fakültesi
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Fatma KAYNARCA
AKÜ Fen Edebiyat Fakültesi
Afyon Kocatepe Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu‟nun
........./......../........ tarih ve
………………. sayılı kararıyla onaylanmıĢtır.
……………………………….
Prof. Dr. Mevlüt DOĞAN
Enstitü Müdürü
BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI
Afyon Kocatepe Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;
-
Tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,
-
Görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak
sunduğumu,
-
Başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun
olarak atıfta bulunduğumu,
-
Atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi,
-
Kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı,
-
Ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversite veya başka bir üniversitede başka bir tez
çalışması olarak sunmadığımı
beyan ederim.
12/07/2013
Kübra GÖKTÜRK
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
EġKARE DÖNÜġLÜ HALKALAR
Kübra GÖKTÜRK
Afyon Kocatepe Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Muhittin BAġER
Bu çalıĢma üç bölümden oluĢmaktadır. Ġlk bölüm giriĢ kısmına ayrılmıĢtır. Ġkinci
bölümde, çalıĢmamız için gerekli olan temel kavramlar, bazı halka sınıfları ve bir halka
üzerindeki polinom halkaları hatırlatılmıĢtır. Üçüncü bölümde, dönüĢlü ve eĢkare
dönüĢlü halkalar karakterize edilmiĢtir ve bu halka sınıflarının bazı temel özellikleri
incelenmiĢtir.
2013, v+40 sayfa
Anahtar Kelimeler: Matris Halkası, Polinom Halkası, DönüĢlü Halka, EĢkare DönüĢlü
Halka.
i
ABSTRACT
Msc Thesis
IDEMPOTENT REFLEXIVE RINGS
Kübra GÖKTÜRK
Afyon Kocatepe University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematic
Supervisor: Assoc. Prof. Muhittin BAġER
This thesis consists of three chapters. In the first chapter is devoted to the introduction
section. In the second chapter, some required preparatory notions, some ring classes and
polynomial rings on a ring are recalled. In the third chapter, reflexive and idempotent
reflexive rings are characterized and the basic properties of this ring classes are studied.
2013, v+ 40 pages
Key Words: Matrix Ring, Polynomial Ring, Reflexive Ring, Idempotent Reflexive
Ring.
ii
TEŞEKKÜR
Bu araĢtırmanın konusu, sonuçların değerlendirilmesi ve yazımı aĢamasında yapmıĢ
olduğu büyük katkılarından dolayı tez danıĢmanım olan değerli hocam Doç. Dr.
Muhittin BAġER‟e, her konuda öneri ve eleĢtirileriyle yardımlarını gördüğüm hocam
Yrd. Doç. Dr. Fatma KAYNARCA‟ ya teĢekkür ederim.
Kübra GÖKTÜRK
AFYONKARAHĠSAR, TEMMUZ 2013
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET
i
ABSTRACT
ii
TEŞEKKÜR
iii
SİMGELER DİZİNİ
v
1 GİRİŞ
1
2 TEMEL KAVRAMLAR
3
2.1
2.2
2.3
2.4
Halkalar
Alt halkalar, Ġdealler ve Bölüm Halkaları
Matris Halkaları ve Polinom Halkaları
Bazı Halka Sınıfları
3 EŞKARE DÖNÜŞLÜ HALKALAR
3.1
DönüĢlü Halkalar
3.2
EĢkare DönüĢlü Halkalar
3
5
7
10
13
13
26
iv
SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ
halkasının Dorroh geniĢlemesi
tipindeki birim matris
( )
üzerindeki
, -
üzerindeki polinomlar halkası
,
⟨
tipindeki tüm matrislerin halkası
-
üzerindeki Laurent polinomlar halkası
,
-
(
)
halkasının
( )
üzerindeki
tipindeki üst üçgensel matrislerin halkası
, - halkasının
tarafından üretilen ideali
⟩
nin skew polinom halkası
ile aĢikar geniĢlemesi
v
1. GİRİŞ
DönüĢlü halkalar hakkında çok sayıda yayın bulmak mümkündür. Günümüzde de, bir
çok matematikçi tarafından çalıĢılan halka sınıflarından birisi olan dönüĢlü halka
sınıflarına ilk orijinal yaklaĢım 1981 yılında Mason tarafından yapılmıĢtır. Mason, bu
çalıĢmasında bir halkanın idealleri için dönüĢlülük özelliğini tanımlamıĢtır. Daha sonra,
bir halkanın eĢkare dönüĢlülük özelliği ve injektifliği arasındaki iliĢki Kim tarafından
2005 yılında çalıĢılmıĢtır. Bundan bir yıl sonra, eĢkare dönüĢlü sağ idealler kavramı
Kim ve Baik tarafından yapılmıĢtır. Kim ve Baik “On idempotent reflexive rings”
baĢlıklı çalıĢmalarında idealler için dönüĢlülük kavramını genelleĢtirerek eĢkare dönüĢlü
sağ idealler ve eĢkare dönüĢlü halkalar kavramlarını vermiĢlerdir. ÇalıĢmamızın
detaylarına geçmeden bu halka sınıflarını hatırlatalım. ÇalıĢmamız boyunca aksi
belirtilmedikçe halkalar birimli olarak alınacaktır. Bir
üzerindeki polinom halkası , - ,
( ) ve
gösterilecektir.
üzerindeki
bir halka da
oluyorsa, bu durumda
üzerindeki
halkası verildiğinde,
tipindeki tüm matrislerin halkası
tipindeki üst üçgensel matrislerin halkası
nin bir sağ ideali olmak üzere, eğer
( ) ile
için;
sağ idealine dönüşlüdür denir. Eğer bir halkanın sıfır ideali
dönüĢlü bir ideal oluyorsa, bu durumda bu halka bir dönüĢlü halka olarak adlandırılır.
Yani
için;
oluyorsa, bu durumda
halkasına bir dönüşlü halka denir. Diğer taraftan ;
ideali olmak üzere, eğer
oluyorsa, bu durumda
ideali yarıasal, yani
nin bir
için;
ya
nin bir yarıasal ideali denir. Eğer bir
için;
1
halkasının sıfır
halkasına bir yarıasal halka denir. Yarıasal halkaların
oluyorsa, bu durumda
dönüĢlülük özelliğini sağladığını görmek oldukça kolaydır. Ayrıca,
nin bir tek yanlı ideali ve
oluyorsa, bu durumda
olmak üzere
bir halka, ;
‟
için,
idealine bir sağ eşkare dönüşlü ideal denir. Eğer bir halkanın
sıfır ideali sağ eĢkare dönüĢlü ise, yani
oluyorsa, bu durumda
için;
halkasına bir sağ eşkare dönüşlü halka denir. Eğer halkalar
birimsiz ise yine aynı tanımlar kullanılır. Sol eĢkare dönüĢlü idealler ve sol eĢkare
dönüĢlü halkalar benzer biçimde tanımlanır. Eğer bir halka hem sol ve hem de sağ
eĢkare dönüĢlü ise, bu durumda bu halkaya bir eĢkare dönüĢlü halka denir. Açık olarak
eĢkare dönüĢlü halkaların sınıfı hem dönüĢlü halkaların sınıfı hem de abelian halkaların
sınıfı tarafından kapsanır.
Bir halkanın yarıasal olma özelliğinin bu halka üzerine kurulan
halkasına ve
, - polinomlar
( ) matrisler halkasına taĢındığı bilinmektedir. Biz de, bu çalıĢmada
(Kwak ve Lee, 2012) çalıĢmasını temel referans alarak dönüĢlü halkalar ve sağ eĢkare
dönüĢlü halkalar kavramlarını karakterize edeceğiz . DönüĢlü bir
halkası verildiğinde,
( ) halkasının eĢkare dönüĢlü alt halkalarını inĢa edeceğiz ki bu alt halkalar
dönüĢlü olmayacaklar. Bir dönüĢlü halka üzerindeki hem polinomlar halkasının hemde
kuvvet serileri halkasının eĢkare dönüĢlü olduğunu göstereceğiz. Ayrıca dönüĢlülük ve
eĢkare dönüĢlülük özelliğinin bu halkaların hangi geniĢlemelerine hangi Ģartlar altında
taĢınıp taĢınamayacağını araĢtıracağız.
2
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde çalıĢmamız için gerekli olan bazı temel kavramları ve sonraki bölümlerde
ihtiyaç duyacağımız bazı halka sınıflarını hatırlatacağız. Bu bölüm için temel
referanslarımız (Hungerford 1982), (Anderson and Fuller 1992), (Lam 2001) ve (Rowen
1988) olacaktır.
2.1. Halkalar
Bu kısımda halka teorideki bazı temel kavramlar hatırlatılacak ve halkaların sıkça
kullanacağımız özellikleri verilecektir.
Tanım 2.1.1.
üzerinde, genellikle ( ) toplama ve ( )
boĢtan farklı bir küme ve
çarpma ile gösterilen iki ikili iĢlem tanımlanmıĢ olsun. Eğer;
(i) (
) bir değiĢmeli gruptur,
(ii) Her
için (
)
(
(iii) Her
için
(
)
) (çarpmanın birleĢme özelliği vardır.),
ve (
)
(çarpma
iĢleminin toplama iĢlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.)
ye ( ) ve ( ) ikili iĢlemleri ile birlikte bir
aksiyomları sağlanıyorsa, bu durumda
halka denir.
bir halka olmak üzere eğer, her
denir. Eğer her
durumda
için
için
oluyorsa
ye değişmelidir
olacak Ģekilde bir
varsa, bu
elemanına da halkanın birimi denir. Bir
ye birimli bir halka denir.
halkanın toplama iĢlemine göre etkisiz elemanına halkanın sıfırı denir ve
herhangi bir karıĢıklığa sebep olmazsa
Teorem 2.1.2.
(i) Her
bir halka olsun. Bu durumda aĢağıdakiler sağlanır.
için
dır.
(ii) Her
için (
)
(iii) Her
için (
)(
(iv) Her
(v) Her
ile gösterilir.
ve her
için (∑
(
)
(
)
dir.
için (
)
)(∑
) dir.
(
)
3
∑
)
∑
(
) dir.
dir.
veya
Tanım 2.1.3.
(
olsun. Eğer
bir halka ve
) olacak Ģekilde bir
ya bir sol (sağ) sıfır bölen denir. Hem sağ hem de sol
varsa, bu durumda
sıfır bölen olan bir elemana halkanın bir sıfır böleni denir. Hiçbir sıfır böleni olmayan
bir halkaya bir tamlık bölgesi (domain) denir.
Tanım 2.1.4.
birimli bir halka olmak üzere
(
olacak Ģekilde bir
( ) elemanına
(
olsun. Eğer
) varsa bu durumda
)
ya sol (sağ) tersinir eleman denir.
nın bir sol (sağ) tersi denir. Hem sağ hem de sol tersinir bir elemana
tersinir eleman denir.
Tanım 2.1.5.
birim elemanına sahip değiĢmeli bir
her elemanı tersinir ise, bu durumda
Örnek 2.1.6.
halkasının sıfırdan farklı
halkasına bir cisim denir.
tamsayılar kümesi bilinen toplama ve çarpma iĢlemlerine göre birimli
ve değiĢmeli bir halkadır. Bununla beraber
tamsayılar kümesi farklı ikili iĢlemlere
göre de halka yapılabilir. Fakat bundan sonraki çalıĢmalarımızda
tamsayılar halkası
denildiğinde, tamsayıların bilinen toplama ve çarpma iĢlemleri ile birlikteki halka yapısı
göz önüne alınacaktır.
(reel sayılar) ve
tamsayılar halkası bir tamlık bölgesidir.
(rasyonel sayılar),
(kompleks sayılar) kümesi bilinen toplama ve çarpma iĢlemleri ile
birlikte birer cisimdir.
*̅ ̅ ̅
Örnek 2.1.7.
̅̅̅̅̅̅̅ + kümesi ̅
̅
̅̅̅̅̅̅̅ ve
iĢlemleri ile birlikte değiĢmeli ve birimli bir halkadır. Eğer
̅̅
̅̅̅ ikili
bir asal tamsayı ise
bir
cisimdir.
Tanım 2.1.8.
olmak üzere eğer
bir halka
sayısı varsa, bu durumda
Tanım 2.1.9. Bir
doğal
ya üstel sıfır (nilpotent) eleman denir.
halkasının
özelliğini sağlayan bir
(idempotent) eleman denir. Birimli bir halkada
Tanım 2.1.10.
olacak Ģekilde bir
bir halka olmak üzere
4
ve
elemanına eşkare
eĢkare elemanlardır.
*
( )
kümesine
halkasının merkezi denir.
Tanım 2.1.11. Bir
durumda
+
halkasının bir
eĢkare elemanı
halkasının merkezine ait ise, bu
eĢkare elemanına merkezil eşkare (central idempotent) eleman denir. Bir
halkasının tüm eĢkare elemanları merkezil eĢkare ise, bu durumda
halkası abelyan
(abelian) olarak adlandırılır.
Tanım 2.1.12.
olmak üzere
bir halka ve
regüler eleman,
iken
hem sağ hem sol regüler ise
ise
iken
ise
sağ
sol regüler eleman olarak isimlendirilir.
ya bir regüler eleman denir.
2.2. Alt halkalar, İdealler ve Bölüm Halkaları
Tanım 2.2.1.
olmak üzere
bir halka ve
çarpma iĢlemlerine göre kapalı olsun. Eğer
halka oluyorsa, bu durumda
olmak üzere, eğer her
bir sol ideali,
ye
ve her
kümesi
deki iĢlemlere göre kendi baĢına bir
nin bir alt halkası denir.
için
oluyorsa, bu durumda da
de tanımlı toplama ve
nin bir alt halkası
oluyorsa, bu durumda
ya
hem bir sol hem de bir sağ ideal ise, bu durumda ya
ya
nin
nin bir sağ ideali denir. Eğer
nin bir ideali denir.
Her ideal bir alt halkadır. Fakat her alt halka bir ideal olmak zorunda değildir.
Gerçekten; bir halkanın merkezi bir alt halka olmasına rağmen bir ideal olmak zorunda
değildir.
Örnek 2.2.2. Her bir
tamsayısı için ⟨ ⟩
*
+ devirli alt gurubu,
tamsayılar halkasının bir idealidir.
Örnek 2.2.3.
bir halka olmak üzere * + ve
nin idealleridir. Bu ideallere
aĢikar idealleri denir.
bir halka olmak üzere
nin boĢtan farklı alt kümeleri olsun.
5
nin
*
Ģeklinde gösterilir. Eğer
+
nin boĢtan farklı alt kümeleri ise bu durumda,
ve
*
+
* + ise, bu durumda
Ģeklinde gösterilir. Eğer
*
toplama iĢlemine göre kapalı ise, bu durumda
Örnek 2.2.4.
yazılır. Eğer
yerine
+ olur.
‟nin bir merkezil eĢkare elemanı olmak üzere
bir halka ve ,
ve (
de bir merkezil eĢkaredir. Ayrıca
) kümeleri
nin idealleridir.
Grup teoride normal alt grupların oynadığı rolü halka teoride idealler oynar.
da
kümesi
bir halka
değiĢmeli toplamsal bir grup olduğundan
nin bir ideali olsun.
nin bir
toplamsal normal alt grubudur. Böylece;
*
⁄
+
kümesi,
(
)
(
)
(
)
Ģeklinde tanımlanan toplama iĢlemine göre değiĢmeli gruptur. ⁄ değiĢmeli grubu,
(
)(
)
Ģeklinde tanımlanan çarpma iĢlemi ile birlikte bir halka olur. Bu halkaya
nin
ideali
değiĢmeli iken ⁄ ‟ nın da değiĢmeli ve
yardımıyla elde edilen bölüm halkası denir.
birimli iken ⁄ ‟ nın da birimli olduğu açıktır.
Tanım 2.2.5.
kümelerine sırayla
durumda
( )
olmak üzere;
bir halka ve
( )
*
+
( )
*
+
içinde
(* +)
in sol ve sağ sıfırlayanı denir. Eğer
( ) Ģeklinde gösterilir.
6
* + ise bu
Önerme 2.2.6.
( ) de
olmak üzere;
bir halka ve
nin bir sağ idealidir. Ayrıca
ve ;
( )
nin bir sol ideali,
nin boĢtan farklı iki alt kümesi olmak
üzere;
( )
( ) ve
(i)
ise
(ii)
( ( )) ve
(iii)
( )
( )
( ) dir.
( ( )) dir.
( ( ( ))) dir.
2.3. Matris Halkaları ve Polinom Halkaları
Bu bölümde verilen bir
Tanım 2.3.1.
halkasından elde edilen bazı yeni halkaları hatırlatacağız.
birimli bir halka ve
bir bilinmeyen olmak üzere;
(
Ģeklindeki bir formal toplama
)
den katsayılı bir polinom denir.
den katsayılı tüm
polinomların kümesi , - ile gösterilir. Yani;
, -
*
+
Ģeklindedir.
( )
olmak üzere,
ve
( )
∑
∑
tamsayılarından büyük olanını
, -
ile gösterirsek bu iki polinomun
toplamı aĢağıdaki Ģekilde tanımlanır.
( )
( )
∑(
Bu polinomların çarpımı ise
7
)
∑
olmak üzere,
( ) ( )
∑
Ģeklinde tanımlanır. Yukarıda tanımlanan ikili iĢlemlere göre
Bu halkaya
üzerindeki polinomların halkası veya
, - kümesi bir halkadır.
den katsayılı polinomların
halkası denir.
Tanım 2.3.2.
bir halka olmak üzere;
[, -]
{∑
}
kümesi polinomlarda bilinen toplama ve çarpma iĢlemine göre bir halkadır. Bu halkaya
den katsayılı kuvvet serilerinin halkası adı verilir.
Tanım 2.3.3.
bir halka olmak üzere;
,
-
{∑
(
)}
kümesi polinomlardaki bilinen toplama ve çarpma iĢlemlerine göre bir halkadır. Bu
halkaya
den katsayılı Laurent polinomlarının halkası adı verilir.
Tanım 2.3.4.
bir halka olmak üzere bileĢenleri
den gelen
satırlı ve
sütunlu
matrislerin kümesi matrislerde bilinen toplama ve çarpma iĢlemlerine göre bir halkadır.
Bu halkaya
üzerinde
tipindeki matrislerin halkası denir ve
gösterilir.
Tanım 2.3.5.
bir halka ve
bir (
) bimodül olmak üzere
*(
8
)
+
( ) Ģeklinde
kümesi,
(
)
(
(
)
)(
)
(
(
)
ikili iĢlemleri ile birlikte bir halkadır. Bu halkaya
(
extension) denir ve
)
) ile gösterilir. Bir
ile aĢikar geniĢlemesi (trival
nin
(
halkasının
) bimodülü ile
aĢikar geniĢlemesi
{.
/
}
halkasına izomorftur.
Tanım 2.3.6. Bir
üzere,
halkası ( ) özelliğini sağladığında eğer ;
‟de bir eĢkare olmak
( ) halkası da ( ) özelliğini sağlıyor ise bu ( ) özelliğine
halkası ve
Morita Invaryant özelliktir denir.
bir değiĢmeli bir halka olmak üzere eğer (
Tanım 2.3.7.
bir halka ve
grubu bir sol
modül ve bu modül yapısındaki · :
ve
) değiĢmeli
skaler çarpımı, her
için
(
)
(
özelliğini sağlıyorsa, bu durumda ‟ye
)
(
)
değiĢmeli halkası üzerinde cebir denir.
Tanım 2.3.8. , ‟nin çarpımsal alt monoidi (birimli ve birleĢmeli) olmak üzere
(i) ʋ : R
homomorfizması her
(ii) ‟nun her elemanı
özellikleri sağlanırsa
ve
için ʋ( ) tersinir olacak Ģekilde vardır.
için , ( )-
( ) formundadır.
halkasına ’nin ’ye göre kesirlerinin halkası denir.
9
2.4. Bazı Halka Sınıfları
Bu kısımda bazı halka sınıfları hatırlatılacak ve bu halka sınıfları arasındaki iliĢkiler
verilecektir.
Tanım 2.4.1. Bir
halkasının sıfırdan farklı üstel sıfır elemanı yoksa veya denk olarak;
için,
oluyorsa, bu durumda
ye inmiş (reduced) halka denir.
Sıfır bölensiz her halka inmiĢ halkadır. Daha özel olarak
halkadır. Diğer taraftan ̅
̅
için ( ̅ )
̅̅
tamsayılar halkası inmiĢ bir
̅ olduğundan
halkası inmiĢ
bir halka değildir. Ayrıca inmiĢ bir halkanın her alt halkasının da inmiĢ olduğunu
görmek çok kolaydır.
Tanım 2.4.2.
için,
oluyorsa, bu durumda
halkasına terslenebilir (reversible) denir.
Lemma 2.4.3. Her inmiĢ halka terslenebilir bir halkadır.
İspat.
olsun. (
için
)
ve
inmiĢ olduğundan
olur.
Tanım 2.4.4.
bir halka olmak üzere
oluyorsa, bu durumda
için,
halkası yarıdeğişmeli (semicommitative) olarak adlandırılır. Bir
halkasının yarıdeğiĢmeli olması için gerek ve yeter koĢul her bir
( ) ( ( )) kümesinin
nin bir ideali olmasıdır.
10
için
Tanım 2.4.5.
( )
∑
( )
∑
, -
olmak üzere,
( ) ( )
oluyorsa, bu durumda
(
)
halkası Armendariz olarak adlandırılır.
Yukarıdaki koĢulu sağlayan halkalara Armendariz ismi verilmiĢtir. Çünkü 1974‟ te E.P.
Armendariz, inmiĢ bir halkanın yukarıdaki koĢulu sağladığını göstermiĢtir. Yani her
inmiĢ halka bir Armendariz halkadır.
Tanım 2.4.6.
( )
∑
( )
∑
, -
olmak üzere,
( ) , - ( )
oluyorsa, bu durumda
(
)
halkasına bir
denir.
Armendariz halkaların, quasi-Armendariz halka olduklarını görmek kolaydır.
Tanım 2.4.7.
nin
bir halka,
olacak Ģekilde
nin bir ideali
idealleri için;
veya
oluyorsa, bu durumda ya bir asal (prime) ideal denir.
Tanım 2.4.8.
bir halka olmak üzere
için,
11
olmak üzere, eğer
oluyorsa, bu durumda
halkası yarıasal (semiprime) olarak adlandırılır.
Lemma 2.4.9. Her inmiĢ halka yarıasaldır.
İspat.
inmiĢ bir halka ve
için
olacağından ve
için de
olsun. Bu durumda
inmiĢ olduğundan
elde edilir ki, bu da
nin
yarı asal olduğunu gösterir.
Tanım 2.4.10.
olmak üzere;
bir halka ve
oluyorsa, bu durumda
ye bir simetrik (symmetric) halka denir.
Hatırlanacağı üzere her elemanı üstel sıfır olan bir ideale bir nil ideal denir.
Tanım 2.4.11.
bir halka ve
,
farklı nil ideali yoksa, bu durumda
Tanım 2.4.12. Eğer ,
ye
nin bir asal ideali olsun. Eğer
⁄
nin sıfırdan
ye güçlü asal (strongly prime) ideal denir.
nin güçlü asal idealleri arasında minimal ise, bu durumda
nin bir küçük güçlü asal (minimal strongly prime) ideali denir.
Tanım 2.4.13.
bir halka, ,
nin bir ideali ve
olmak üzere;
veya
oluyorsa, bu durumda R halkasına tamamen asal (completely prime) ideal denir.
3. EŞKARE DÖNÜŞLÜ HALKALAR
12
Bu bölümde (Kwak ve Lee, 2012) çalıĢmasını referans alarak dönüĢlü halka kavramını
karakterize edeceğiz ve dönüĢlü halkaların bir çok geniĢlemesinin de dönüĢlü olduğunu
göstereceğiz. Ayrıca, dönüĢlülük koĢulunun Morita invariant olduğunu ve bir dönüĢlü
halkanın sağ quotient halkasının da dönüĢlü olduğunu ispat edeceğiz.
3.1. Dönüşlü Halkalar
Bu kısımda ele alınan halkaların birimli olması gerekmeyecektir. Ġlk olarak dönüĢlü
halkaların tanımı verilip, bu halka sınıflarının diğer halka sınıfları ile iliĢkileri
incelenecektir. AĢağıdaki tanımı vererek baĢlayalım.
Tanım 3.1.1.
oluyorsa, bu durumda
halkasının
nin bir sağ ideali olmak üzere,
bir halka ve
için,
nin bir sağ dönüşlü (reflexive) ideali denir. Eğer, bir
idealine
sıfır ideali dönüĢlü ise, bu durumda bu halkaya bir dönüşlü (reflexive)
halka denir.
Önerme 3.1.2.
nin bir ideali olmak üzere, eğer bir asal ideal ise, bu
bir halka ve ,
durumda dönüĢlü bir idealdir.
İspat. ,
için
nin asal ideali ve
iken
dır. Böylece
veya
için
dir veya
olsun.
için
ideal olduğundan,
asal ideal olduğundan
ideal olduğundan,
için
için
dir. Sonuç olarak
olur ki, bu da bize ‟nın bir dönüĢlü ideal olduğunu gösterir.
Önerme 3.1.3.
⋂
bir halka ve
nin ideallerinin bir ailesi *
+ olsun. Bu durumda
ideali de bir dönüĢlü idealdir.
İspat.
⋂
her
Böylece
bir halka ve *
+ kümesi
olmak üzere
için
için
dır.
⋂
‟nin dönüĢlü ideallerinin bir ailesi olsun.
olup
olsun.
dönüĢlü olduğundan her
dönüĢlü bir idealdir.
13
⋂
için
olduğundan
dır.
Önerme 3.1.4.
bir halka ve , ‟nin bir ideali olmak üzere, eğer ;
nin bir yarıasal
ideal ise, bu durumda ; ‟nin bir dönüĢlü idealidir.
İspat.
için
için (
olsun. Bu durumda her
olup, yarıasal olduğundan
olur. Böylece
) (
)
olur ki, bu da bize nın bir
dönüĢlü ideal olduğunu gösterir.
Önerme 3.1.5.
için
nin bir asal ideali ve
ideali olduğundan
olsun. Bu durumda, ,
nin bir asal
olur ki, bu da bize nın yarıasal ideal olduğunu gösterir.
Önerme 3.1.6.
birimli bir halka olmak üzere, eğer
terslenebilir bir halka ise, bu
dönüĢlü bir halkadır.
durumda
İspat.
nin bir asal ideali
nin bir yarıasal idealidir.
ise, bu durumda ,
İspat. ,
nin bir ideali olmak üzere, eğer ,
bir halka ve ,
için
terslenebilir bir halka ve
için
olur. O halde her
olduğundan
birimli olduğundan
olsun.
elde edilir. Fakat
ve buradan da
olur ki, bu da bize
terslenebilir
nin dönüĢlü bir
halka olduğunu gösterir.
Önerme 3.1.7.
bir halka olmak üzere, eğer
terslenebilir bir halka ise, bu durumda
yarıdeğiĢmeli bir halkadır.
İspat.
bir halka olmak üzere,
için
dır. Bu durumda her
için
ve böylece de
olsun.
terslenebilir olduğundan
olup,
terslenebilir olduğundan
elde edilir ki, bu da bize
halkasının yarı değiĢmeli
olduğunu gösterir.
Önerme 3.1.8.
birimli bir halka olmak üzere,
olması için gerek ve yeter koĢul her
İspat.
olup,
halkasının dönüĢlü ve yarı-değiĢmeli
için ( )
dönüĢlü ve yarı değiĢmeli bir halka olsun.
yarı değiĢmeli olduğundan
birimli olduğundan
gösterir. Benzer Ģekilde ( )
yani
ve
( ) olmasıdır.
( ) alalım. Buradan
dönüĢlü olduğundan
( ) olur. Bu da bize
( )
olur.
( ) olduğunu
( ) olduğu da gösterilebilir. Sonuç olarak ( )
14
( )
için ( )
olur. Tersine, her
( ) olsun. Önce
halkasının yarı değiĢmeli
olmak üzere
olsun. Bu durumda
olduğunu gösterelim. Bunun için
( )
(
( ) olup
için
olur. Her
) dır. Buradan
olup
elde edilir ki bu da bize
değiĢmeli bir halka olduğunu gösterir. ġimdi
gösterelim.
için
Kabulden
olur.
(
olduğundan
olsun.
)
nin yarı
halkasının dönüĢlü halka olduğunu
halkası birimli olduğundan
yarı değiĢmeli olduğundan
dır.
olur. Böylece
dönüĢlü
bir halka olur.
Önerme 3.1.9.
bir halka olmak üzere, eğer
yarı değiĢmeli bir halka ise, bu durumda
abelyan bir halkadır.
İspat.
yarıdeğiĢmeli bir halka ve
gösterelim. (
için
her
(
)
için (
)
ve
(
)
ve
)
için
olsun. Her
(
yarı değiĢmeli olduğundan
)
dır. Böylece
elde edilir. Diğer taraftan
olup, buradan
yarı değiĢmeli olduğundan (
olduğunu
)
dır. Böylece her
elde edilir. Sonuç olarak
olup buradan
olduğu
görülür.
Önerme 3.1.10.
halkası birimli bir halka olmak üzere, eğer
değiĢmeli halka ise, bu durumda
İspat.
olduğundan
(ii)
dır.
olur. Böylece
Lemma 3.1.11. Bir
(i)
terslenebilir bir halkadır.
dönüĢlü ve yarıdeğiĢmeli bir halka ve
değiĢmeli olduğundan
terslenebilir bir halkadır.
halkası için aĢağıdakiler denktir:
için
(
için
dönüĢlü olduğundan
dönüĢlü bir halkadır.
Her
dönüĢlü ve yarı-
)
(
) dır.
15
olsun.
ve
yarı
birimli
(iii)
ve
halkasının boĢtan farklı alt kümeleri olmak üzere
,
iken
dır.
(iv)
nin sağ (sol)
(v)
nin
İspat. (i)
(ii)
idealleri için,
idealleri için
Böylece
dır.
(
)
)
(ii)
(
(
) olur. Diğer taraftan
için
(iii) Her
için
her
(
(
(
(
)
)
(
(
(
) olur. Böylece
) elde edilir.
) ve
olsun. Bu durumda her
(
olur. Buradan
) olur.
) olsun. Buradan
yazılır. Yani
için
ve
) alalım. Buradan
elde edilir. O halde
) olur. Sonuç olarak
ve
(
dönüĢlü bir halka olsun.
dönüĢlü olduğundan
(
dır.
iken
dönüĢlü olduğundan
olur.
dır.
iken
)
(
) olup, bu durumda
olduğunu
elde edilir ki, bu da bize ve
gösterir.
( ) (iii) sağlansın ve
(iii)
(sol) idealleri olduğundan
yani
idealleri için
nin
olsun.
ve ,
olur. Böylece
olur. Hipotezden
nin sağ
için
elde edilir.
(iv)
(v) Bu gerektirmenin ispatı açıktır.
( )
( ) (v) sağlansın ve
için
olsun.
alalım. Bu durumda
Böylece
ve
olup hipotezden
olduğundan
dır. Bu yüzden
olarak
olur.
dönüĢlü bir
halkadır.
Önerme 3.1.12.
durumda
(2)
nin (
bir halka olmak üzere, eğer
(1)
) aĢikar geniĢlemesi dönüĢlü ise, bu
dönüĢlü bir halkadır
yarıasal bir halka olsun. Bu durumda;
(i)
için
(
) olması için gerek ve yeter koĢul
olmasıdır.
16
(
(ii)
(
İspat. (1)
.
) dönüĢlü bir halkadır.
/ .
/
olur. (
.
) dönüĢlü bir halka ve
(
)
olsun. Bu durumda
/.
/.
/
) dönüĢlü bir halka olduğundan .
/.
/.
için
/ olup, buradan
ve
gösterir. Sonuç olarak
(2)
.
için
.
/
/
.
/
.
/
olduğunu
elde edilir. Bu da bize
dönüĢlü bir halka olur.
yarıasal bir halka olsun.
için
(i)
olduğunu kabul edelim. Buradan
Böylece
olduğundan
olduğundan
olur.
olur. Benzer Ģekilde,
olsun. Buradan
olduğundan
olur.
olduğundan
yarıasal
elde edilir.
elde edilir. Tersine,
olur.
yarıasal
olsun. Bu durumda
ve
olduğu açıktır.
(ii)
(
.
/
(
)‟nin herhangi bir
.
/.
olduğundan
olur. Her
/(
)
(
.
)
elde edilir. Buradan da
)
olur.
.
olur.
/
dönüĢlü olduğundan
eĢitliğini sağdan
olur. Dolayısıyla
dönüĢlü olduğundan
olsun. Bu durumda
(
için
dır.
)
/ elemanı için
ve böylece de
olduğundan
(
) için
ile çarparsak
olur.
olduğundan
ve
dır.
olduğundan
olur.
olduğundan
ve
eĢitliğinden
elde edilir. Böylece
elde edilir. ġimdi
17
dönüĢlü
ve
olur.
(
).
/.
(
olur ki, bu da bize
/
(
)
/
) nin dönüĢlü bir halka olduğunu gösterir.
değiĢmeli bir halka ise, bu durumda
Not. (i)
.
(
) değiĢmeli ve böylece de
terslenebilir bir halkadır.
(ii) (
) dönüĢlü olacak Ģekilde değiĢmeli ve yarıasal olmayan bir
Gerçekten;
değiĢmeli olmayan yarıasal bir halka ,
halka olmak üzere
yarıasal olmayan değiĢmeli bir
olsun. Bu durumda
3.1.12(2) den dolayı dönüĢlü ve (
halkası vardır.
(
) halkası Önerme
) halkası da değiĢmelidir. Böylece
(
)
dönüĢlü bir halkadır.
Teorem 3.1.13.
(i) Eğer
bir halka olmak üzere;
dönüĢlü bir halka ise, bu durumda her bir
için
dönüĢlü bir
halkadır.
(ii)
halkasının dönüĢlü olması için gerek ve yeter koĢul her
( )
için
halkasının dönüĢlü olmasıdır.
İspat. (i)
dönüĢlü bir halka ve
alalım.
olmak üzere
,
olduğunu kabul edelim. Bu durumda
olur. Diğer taraftan
olduğundan
(
dönüĢlü olduğundan
)
(
ve
)
halkasının dönüĢlü
elde edilir. Bu da bize
bir halka olduğunu gösterir.
(ii) Kabul edelim ki;
için
ve
olsun. Bu durumda
idealleri vardır. Buradan
böylece
gereğince
( ) olsun.
dönüĢlü bir halka ve
elde edilir. Fakat
( ) ve
( )
idealleri
( ) olacak Ģekilde
( )
( )
nin
olur ki,
dönüĢlü bir halka olduğundan Lemma 3.1.11(v)
( )
olur. O halde
Lemma 3.1.11(v) gereğince
nin
( )
( )
olur. Tekrar
( ) bir dönüĢlü halka olur. Tersine,
18
( ) dönüĢlü bir halka ise, bu durumda
eğer
Böylece (i) den dolayı
( )
olur.
dönüĢlü bir halka olur.
Not. Teorem 3.1.13‟ün bir sonucu olarak bir halkanın „dönüĢlü olma‟ özelliğinin
Morita invaryant olduğunu söyleyebiliriz.
Örnek 3.1.14.
bir cisim ve
olmak üzere
üzerinde değiĢmeli olmayan iki bilinmeyen
,
inmiĢ bir halka
serbest cebiri olsun. Bu durumda
olacağından dönüĢlü bir halka olur.
durumda
;
tarafından üretilen ideali olsun. Bu
nin
⁄
olduğundan
fakat
bölüm halkası dönüĢlü bir
halka değildir.
Önerme 3.1.15.
(i)
halkasının bir
ise, bu durumda
(ii)
bir halka olmak üzere;
dönüĢlü bir halkadır.
simetrik halkasının bir
halkasının
ideali olmak üzere, eğer
( ) ise, bu durumda
altkümesi için
(iii)
⁄ dönüĢlü bir halka olsun. Eğer inmiĢ bir halka
ideali için
⁄ dönüĢlü bir halkadır.
olduğundan (
)(
)(
)
buradan
)
elde edilir. (
olur.
inmiş bir
elde edilir. Böylece
(ii)
simetrik bir halka ve
̅
⁄
olduğundan (
)(
)
olup
halka olduğundan
olup,
dönüşlü bir halka olur.
)(
olur ve buradan
19
( ) olsun.
altkümesi için
̅ diyelim. ̅ ̅ ̅
̅
(
olur. Böylece
olur. Yani
)
nin boĢtan farklı bir
olmak üzere
ve
halkalarının dönüĢlü
olsun. ⁄ dönüĢlü
için
olup, buradan
dır. dönüĢlü olduğundan
olduğundan (
)
halkasının dönüĢlü olmasıdır.
⁄ dönüĢlü bir halka ve
İspat. (i)
ve (
merkezil eĢkare elemanı için ,
olması için gerek ve yeter koĢul
nin boĢtan farklı bir
iken
) olur. Diğer taraftan
elde edilir. Böylece
simetrik
olur. Böylece ̅ ̅ ̅
olup,
elde edilir. Sonuç olarak ̅
⁄ dönüĢlü
bir halka olur.
ve (
(iii) Kabul edelim ki
olduğundan
)
dır. (
dönüĢlü olduğundan
)
)
olur. (
)
ve (
ve
merkezil
(
)
) merkezil olduğundan
(
elde edilir. Sonuç olarak
dönüĢlü bir halka olur. Tersine,
merkezil
) ile çarparsak
) merkezil olduğundan
dönüĢlü olduğundan da (
)
olur.
eĢitliğini soldan (
elde edilir.
(
için
ile çarparsak
olur.
olduğundan da
(
dönüĢlü bir halka olsun.
eĢitliğini soldan
olsun.
(
)
)
dönüĢlü bir halka olsun.
olduğundan
ve (
)
nin
dönüĢlü olduğu Teorem 3.1.13(1) den açıktır.
Not. Önerme 3.1.15.(i) deki “
inmiĢ halka” Ģartı
“
dönüĢlü halka” olarak
değiĢtirilemez.
Önerme 3.1.16.
kümesi olsun.
kümesi regüler elemanlardan oluĢsun. Eğer
ise, bu durumda
İspat.
halkasının sağ Ore koĢulunu sağlayan çarpımsal kapalı bir alt
bir
nin
ye göre
sağ quotient halkası da dönüĢlüdür.
dönüĢlü bir halka olsun.
için
ve
(
için
olacak Ģekilde
(
için
)(
ve
(
) olur. Bu
)
olmasını gerektirir. Hipotezden
ve regüler
vardır. Böylece her hangi bir
olup, buradan
ve
ve
iken
elde ederiz.
olduğundan herhangi bir
dönüĢlü halka
)(
)
halka olduğundan da
olmak üzere
olduğundan
olsun.
ise herhangi
halkası dönüĢlü bir halka
için
olduğundan
olup, buradan
)
vardır.
böylece
dır.
ve
ve
için
için
olacak Ģekilde s
ve
olduğudan her hangi bir
elde ederiz.
ve
olduğundan
elde ederiz.
olur. Buradan herhangi bir
(
dönüĢlü
dönüĢlü olduğundan
20
için
ve
ve
olur.
olduğundan herhangi bir
olur. Bu yüzden
Önerme 3.1.17.
için
(
)
olduğundan
dönüĢlü halkadır.
merkezil regüler elemanlardan oluĢan
bir altkümesi olsun. Bu durumda
halkasının çarpımsal kapalı
nin dönüĢlü olması için gerek ve yeter koĢul
halkasının dönüĢlü olmasıdır.
İspat. Önerme 3.1.16 nın ispatına benzer olarak yapılır.
bir halka olmak üzere, , - halkasının dönüĢlü olması için gerek ve
Sonuç 3.1.18.
yeter koĢul ,
- halkasının dönüĢlü olmasıdır.
*
İspat. Önerme 3.1.17 de
+ alınırsa, bu durumda
çarpımsal kapalı bir altkümesidir ve
Önerme 3.1.19.
durumda
İspat.
,
-
bir halka olmak üzere, eğer
, - olur.
tamamen asal bir halka ise, bu
için
olur. Hipotezden
veya
dir. Sonuç olarak
değiĢmeli bir
,
, - in
dönüĢlü bir halkadır.
tamamen asal bir halka ve
olup
açık olarak
olduğundan
için
olsun.
dir.
ise
ve
ise
dönüĢlü bir halkadır.
halkası üzerinde bir cebir olmak üzere
değiĢmeli grubu
için,
(
)(
)
(
)
Ģeklinde tanımlanan çarpma iĢlemi ile birlikte bir halkadır. Bu halkaya
nin
ile
Dorroh genişlemesi denir.
Önerme 3.1.20.
,
değiĢmeli halkası üzerinde bir cebir olsun.
bir tamlık bölgesi ise, bu durumda
nin
dönüĢlü bir halkadır.
21
dönüĢlü bir halka ve
ile Dorroh GeniĢlemesi
İspat. (
(
)(
)
(
)
için (
)(
)(
)(
)
için (
) (
)
olur.
)(
(
)
olsun. Bu durumda keyfi
)(
)
(
)
(
)
dan
ve
için
elde ederiz.
olur. Eğer
(
buradan
olur.
bir tamlık bölgesi olduğundan
keyfi ve
veya
ise, bu durumda
)(
)
olup
dönüĢlü olduğundan (
)
(
olduğundan
elde edilir.
ve buradan (
)
)(
)
olur. Böylece,
(
)(
)(
)
(
)
)(
(
)
ise, bu durumda (
elde edilir. Diğer taraftan eğer
Buradan (
)
Dolayısıyla (
elde ederiz.
)(
)(
)
)(
dönüĢlü olduğundan
olup buradan (
(
) (
olur.
)
)
olur.
elde edilir
Dorroh geniĢlemesinin dönüĢlü bir halka olduğunu gösterir.
ki bu da bize
Dorroh geniĢlemesinin dönüĢlü bir halka olduğunu kabul edelim.
Tersine,
olsun. Bu durumda herhangi bir (
için
olur. Bu ise herhangi bir (
)
için (
)(
)(
)
için (
)
Böy c
(
)
olur ki, buradan
dönüĢlü bir halka olur.
22
)
m ı ı
Dorroh geniĢlemesi dönüĢlü bir halka olduğundan (
u
)
uu u
)(
S
k
)(
u
)
k
Önerme 3.1.21.
quasi-Armendariz bir halka olmak üzere aĢağıdakiler denktir:
dönüĢlü bir halkadır.
(i)
(ii)
, - dönüĢlü bir halkadır.
(iii) ,
- dönüĢlü bir halkadır.
İspat. (i)
(ii)
, -
∑
quasi-Armendariz olduğundan her
olsun.
Böylece
∑
dönüĢlü bir halka ve
dönüĢlü olduğundan
, - için
için
olur.
, -
olur. Buradan
elde edilir ki, bu
da bize , - halkasının dönüĢlü olduğunu gösterir.
()
(ii)
, -
, -
dönüĢlü bir halka ve
olur ve
için
, - dönüĢlü olduğundan
olsun. Bu durumda
, -
olur. Buradan
halkasının dönüĢlü olduğunu gösterir.
elde ederiz ki, bu da bize
( ) Sonuç 3.1.18 den açıktır.
(ii)
AĢağıdaki örnek bize bir halkanın quasi-Armendarizlik özelliği ve dönüĢlülük
özelliğinin birbirine bağlı olmadığını gösterir.
Örnek 3.1.22. (i) Bir
inmiĢ halkası için
( )
{(
)|
}
halkası dönüĢlü değildir. Fakat Armendarizdir ve böylece de quasi-Armendariz bir
halkadır.
( (
değiĢmeli ve yarıasal bir halka olsun. Bu durumda
(ii)
Önerme 3.1.12(2) den dolayı dönüĢlüdür. ġimdi
)) halkası
halkasının quasi-Armendariz
olmadığını gösterelim. , - halkasının
(
(
(
) (
) (
elemanları için
)
)
)
(
(
(
) (
) (
, -
)
)
)
ve
(
(
(
) (
) (
dır. Fakat
(
(
(
) (
) (
)
(
) (
)
(
23
) (
) (
)
)
)
)
)
)
(
(
(
)
)
(
(
)
)
)
olduğundan
halkası quasi-Armendariz değildir.
Önerme 3.1.23. Bir
halkasının yarıasal olması için gerek ve yeter koĢul
, -
halkasının yarıasal olmasıdır.
yarıasal bir halka ve ( )
İspat.
( )
olduğunu gösterelim.
, - için
( ) , - ( )
olsun. Bu durumda
( )
olmak üzere
, - için
keyfi bir
(
)(
)(
)
olur. Buradan;
(1)
(2)
(3)
(n)
denklem sistemini elde ederiz. Birinci eĢitlikte
olur. Üçüncü eĢitlikte
olduğundan
( )
olduğundan
dır. Bu Ģekilde
bulunur ki bu da bize
olup
,
yarıasal olduğundan
olur.
, ...,
yarıasal
bulunur. Buradan
, - halkasının yarıasal bir halka olduğunu gösterir.
Tersi açıktır.
Bir
halkasının yarıasal olması için gerek yeter koĢulun
, - halkasının yarıasal
olması gerektiğini gördük. Böylece bir yarı-asal halka üzerindeki polinom halkası
dönüĢlü olur. Fakat dönüĢlü halkaların sınıfı Örnek 3.1.14 den dolayı homomorfik
görüntüler altında kapalı değildir. Bununla beraber aĢağıdaki sonuca sahibiz.
24
yarıasal bir halka ve
Teorem 3.1.24.
(
)
herhangi bir pozitif tamsayı olmak üzere,
tarafından üretilen ideal olmak üzere
, ⁄(
) bölüm halkası dönüĢlü bir
halkadır.
, ⁄(
İspat.
(
olup, ispat açıktır.
) olduğundan Önerme 3.1.12(2) den dolayı
olsun.
̅
̅
̅
̅
dır.
için
̅
̅
için
̅
)(
ve
olsun. Bu durumda keyfi
̅
̅
için
olur.
olduğu durumlara bakmak yeterlidir.
̅
için
dönüĢlü bir halkadır. ġimdi
olmak üzere,
̅
(
için
olsun.
)
̅
)(
olduğundan
̅
̅
)
olur. Buradan,
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
denklem sistemini elde ederiz. Önerme 3.1.12(2) den
‟ olduğunu biliyoruz. (1) den
olur.
olduğundan (2) de
için „
dönüĢlü ve
keyfi olduğundan
olup buradan
(6)
25
dır. (6) eĢitliğini sağdan
ile çarpalım. Böylece
elde
olduğundan
edilir. Buradan
Dolayısıyla
olur.
kullanırsak
elde edilir. Buradan
için
dır.
eĢitliklerini (2) denkleminde
ve
olur.
eĢitliklerini (3) te yerine yazarsak
(7)
elde edilir. (7) eĢitliğini sağdan
ile çarparsak,
eĢitliği elde edilir. Buradan
dır.
için
olur. Dolayısıyla
eĢitliğini (7) de kullanırsak
(8)
elde edilir. (8) eĢitliğini
ile sağdan çarparsak,
yazılır. Burada
olduğundan
için
olur.
dır. Dolayısıyla
(
elde edilir. ġimdi
) için
olduğunu kabul edelim. (5) eĢitliğine bu yöntemi uygulayalım. Elde
edilenler yerine yazıldığında (7) denklemi
(9)
olur. (9) denklemi sağdan sırasıyla
,...,
,
,...,
elde edilir. Bu bize
olduğunu gösterir. Sonuç olarak
dır.
ile çarparsak
dönüĢlü olduğundan
olan her
olan her
ve buradan
,
ve
için
için
dönüĢlü bir halka olur.
3.2. Eşkare Dönüşlü Halkalar
Bu kısımda dönüĢlü halkaların bir genelleĢtirmesi olan eĢkare dönüĢlü halkaları
tanımlayıp bu halka sınıflarının bazı karakterizasyonlarını vereceğiz.
26
Tanım 3.2.1.
bir halka ve
nin bir tek yanlı ideali olmak üzere, eğer
için,
oluyorsa, bu durumda
ideali denir. Eğer
nin
ya
nin bir sağ eşkare dönüşlü (right idempotent reflexive)
ideali sağ eĢkare dönüĢlü oluyorsa, bu durumda
ye bir sağ
eşkare dönüşlü (right idempotent reflexive ring ) halka denir. Eğer halkamız birimsiz bir
halka ise yine aynı tanımı kullanırız. Sol eĢkare dönüĢlü idealler ve sol eĢkare dönüĢlü
halkalar benzer Ģekilde tanımlanır. Eğer bir halka hem sağ ve hem de sol eĢkare dönüĢlü
oluyorsa bu halkaya bir eşkare dönüşlü halka denir.
Önerme 3.2.2.
birimli ve abelyan bir halka ise, bu durumda
eĢkare dönüĢlü bir
halkadır.
İspat.
olmak üzere
birimli abelyan bir halka ve
birimli bir halka olduğundan
ve
dır ve buradan her
olur.
için
olsun.
abelyan olduğundan
olur. Böylece
olur. O halde
eĢkare dönüĢlü halka olur.
Önerme 3.2.3.
dönüĢlü bir halka ise, bu durumda
eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
İspat. Ġspat açıktır.
DönüĢlü olmayan bir halka, eĢkare dönüĢlü bir halka olabilir. Bunu aĢağıdaki örnekte
görelim.
Örnek 3.2.4.
(
*
+,
ve
tarafından
elemanı tarafından üretilen *
),
*
* ( )
+ ⟨
⟩
( )
⟨
ve
cismi üzerinde üretilen serbest cebir ve
+ nin iki yanlı ideali olsun. Bu durumda
⟩
⟨
( )
⟩
( )
27
olmak üzere ,
,
, -+
bir
polinom
halkasıdır. ġimdi
için
( )
üzere,
( )
Ģeklinde olsunlar.
( ( )
( )
( )
( )
( )
ve
( )
olmak
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)(
( )
( )
)
, - cisim olduğundan
olur ki, buradan
( )
olur.
( )
I.Durum:
olsun. Bu durumda
( ( )
( )
( )
ve
( )
( )
( )
, -
olsun.
( ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
) (
( ( )
( )
( )
)(
( ( )
( )
( )
)(
( ( )
( )
( )
)(
( )
( )
olur. Böylece
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
)
0
( )
elde edilir. Diğer taraftan
olduğundan
( )
II.Durum:
(
( )
( )
( ( )
ve
( )
( )
( )
( ) )
=0 olur. Böylece
( )
( )
)
( )
Buradan
( )
olduğundan
) (
0 bulunur. ġimdi
olduğundan
( )
ve
olduğundan,
yazılır. Buradan
veya
( )
olsun.
için
0,
( )
( )
elde edilir.
olsun. Bu durumda
( )
)(
( )
yazılır. Buradan,
28
( )
olduğundan
( )
)
)
)
)
( )
( )
,
( )
( )
dır.
( )
olduğundan
( )
( )
( )
( )
( )
( )
olduğundan
( )
( )
( )
( )
( )
,
( )
ve
( )
( )
,
( )
olduğundan
( )
( )
dır. Bu Ģekilde devam edilerek
( )
bulunur.
( )
olması
I.Durum geçerlidir. ġu halde
( )
( )
,
ve
( )
,
olmasıyla çeliĢir. Bu durumda
dır. Sonuç olarak
iken
abelyan
olduğundan eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
Önerme 3.2.5.
eĢkare dönüĢlü bir halka ve
olmak üzere aĢağıdaki
ifadeler denktir:
(i)
sağ eĢkare dönüĢlü bir idealdir.
(ii)
iki yanlı bir idealdir.
merkezil elemandır.
(iii)
İspat. (i)
sağ eĢkare dönüĢlü bir ideal olsun.
(ii)
biliyoruz. ġimdi
nin sol ideal olduğunu gösterelim.
olacak Ģekilde bir
olduğundan
sağ eĢkare dönüĢlü ideal
olur. Böylece
iken
sol idealdir. Sonuç olarak
(
dır.
vardır ve
için
olsun.
olur. Böylece
Buradan
(ii)
nin sağ ideal olduğunu
(iii)
)
olduğundan
iki yanlı ideal olur.
iki yanlı ideal olsun.
olduğundan
olacak Ģekilde bir
yazılır. Böylece (
)
(
)
(
)
(iii)
()
Ģekilde bir
olmak üzere,
ve
için
olur. Herhangi bir
olduğundan
dir.
olup,
olup,
olur. Buradan
(
(
dir. Buradan
)
olur.
)
yazılır.
dir. Böylece
olup,
olmak üzere
olsun.
vardır. Böylece
ve
29
vardır. Buradan
için
eĢkare dönüĢlü
olduğundan
olur.
olacak
olur. Buradan
(
)
)
olup, (
)
yazılır.
(
dır. Buradan
)
olur. merkezil olduğundan
için
(
için
)
(
olduğundan
)
olur. ġimdi
vardır.
(
)
olup,
)
olup,
dır. Buradan
olur.
olur. Dolayısıyla
dir ve buradan
(
olup,
olur. Buradan
eĢkare dönüĢlü olduğundan (
yazılır.
(
)
olacak Ģekilde
ve
)
(
olur. Dolayısıyla
olsun.
Böylece
eĢkare dönüĢlü olduğundan
merkezil
eĢkare
dönüĢlü bir halkadır.
Sonuç 3.2.6. Bir
halkasının her temel sağ ideali eĢkare dönüĢlü ise, bu durumda
abelyan bir halkadır.
İspat. Her temel sağ ideal eĢkare dönüĢlü olsun. Bu durumda
ideali bir temel sağ idealdir. Hipotezden
ideali sağ eĢkare dönüĢlü yani
eĢkare dönüĢlü halka olur. Önerme 3.2.5 den
abelyandır.
sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
(i)
için
(ii)
(
)
(
) dir.
halkasının boĢtan farklı herhangi bir
(iii)
farklı herhangi bir
(iv) ,
üzere,
üzere,
halkası
halkası için aĢağıdaki ifadeler denktir.
Lemma 3.2.7. Bir
(v)
olduğundan
dır.
ise
nin eĢkare elemenlarının bir altkümesi tarafından üretilen bir sağ ideali olmak
nin her
,
altkümesi için
altkümesi ve eĢkare elemenlarının boĢtan
sağ ideali için
dır.
ise
nin eĢkare elemenlarının bir altkümesi tarafından üretilen bir ideali olmak
nin her
ideali için
dır.
ise
30
İspat. (i) (ii)
sağ eĢkare dönüĢlü bir halka ve
durumda
olur.
Dolayısıyla
(
(
olduğundan
) ise, bu
sağ eĢkare dönüĢlü bir halka olduğundan
) olup, buradan
(ii) (i)
(
olsun.
(
)
(
(
için
(
)
)
(
) olup, buradan
elde edilir.
) bulunur.
) ve
için
(
olsun.
) olur. Sonuç olarak
olur ki bu da bize ‟nin sağ eĢkare dönüĢlü halka olduğunu gösterir.
(i)
halkasının boĢtan farklı bir altkümesi ve ,
(iii) ,
boĢtan farklı bir kümesi olmak üzere
için için
ve
buradan
(iii)
olur.
olsun. Bu durumda herhangi bir
sağ eĢkare dönüĢlü olduğundan
nin eĢkare elemanlarının bir
nin sağ idealleri olsun.
olur ve böylece (iii) den dolayı
*
(i) (v) ,
altkümesi tarafından üretilmek üzere,
olduğunu kabul edelim. Bu durumda
olduğundan
+
olması
nin eĢkare elemanlarının bir
olmasını gerektirir.
altkümesi tarafından üretilmek üzere, ve
Her ideal aynı zamanda bir sağ ideal olduğundan
olduğundan
Fakat
ve böylece
olsun. Buradan
olur. Sonuç olarak
Örnek 3.1.14‟te
olur.
olur.
olur.
için
(i)
ve
elde edilir.
olduğunu kabul edelim. Bu durumda
nin idealleri olsun.
(v)
olur ki,
elde edilir.
(iv) ,
ve ,
nin eĢkare elemenlerının
yani
ve böylece (v)‟ten
sağ eĢkare dönüĢlü halka olur.
alındığında sağ eĢkare dönüĢlü halkaların sınıfının
homomorfik görüntüler altında kapalı olmadığı görülür.
Önerme 3.2.8. Bir
(i) Eğer
halkası için aĢağıdaki ifadeler sağlanır.
sağ eĢkare dönüĢlü bir halka ise, bu durumda her bir
için
de sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
(ii)
halkasının bir
ideali için ⁄ sağ eĢkare dönüĢlü bir halka olsun. Eğer
birimsiz inmiĢ bir halka ise, bu durumda
31
sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
ve (
) halkalarının sağ
eĢkare dönüĢlü halka olmaları için gerek ve yeter koĢul
halkasınn sağ eĢkare
halkasının merkezil eĢkare bir
(iii)
elemanı için
dönüĢlü halka olmasıdır.
İspat. (i)
sağ eĢkare dönüĢlü bir halka olsun.
olsun.
dır.
olmak üzere
ve
sağ eĢkare dönüĢlü olduğundan
ve
için
ve
iken
olsun.
ise
olmak üzere
dır. Dolayısıyla
dır. Buradan
halkasının bir ideali ve ⁄ sağ eĢkare dönüĢlü bir halka , birimsiz inmiĢ bir
(ii) ,
)(
olsun. ⁄ sağ eĢkare dönüĢlü olduğundan
için
halka olsun.
(
sağ eĢkare dönüĢlü bir halka olur.
)(
)
dır. Buradan (
)
elde edilir. Dolayısıyla
inmiĢ olduğundan terslenebilirdir, terslenebilir olduğundan dönüĢlüdür ve
olur.
dönüĢlü olduğundan eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
eĢkare dönüĢlü olduğundan
dır. Buradan
dır. (
olduğundan
)
ise
sağ eĢkare dönüĢlü bir halka olur.
olur.
dir.
halkasının sol eĢkare
dönüĢlü olması benzer Ģekilde gösterilir.
( )
için
olsun.
olduğundan
dır. (
)
Örnek 3.2.9.
değildir.
.
)
olduğundan
olur.
ve (
) eĢkare olduğundan
(
)
{.
.
nin sıfırdan farklı tüm öz idealleri
|
)
sağ eĢkare dönüĢlü halkadır.
bir cisim olmak üzere
/
(
olur.
/ halkası sağ ve sol eĢkare dönüĢlü
.
/ ,
/ dır ve bunların hepside inmiĢ halkalar değildir. Fakat ⁄
⁄
merkezil
sağ eĢkare dönüĢlü bir halka olduğundan
sağ eĢkare dönüĢlü olduğundan
)
) sağ eĢkare dönüĢlü
olsun. Buradan
olur.
olur. Diğer taraftan (
(
ve (
merkezil eĢkare bir eleman olmak üzere
} inmiĢ halkadır. Böylece
eĢkare dönüĢlü halkardır.
32
.
/ ve
ve ⁄
için her bir
ve
⁄
için,
dönüĢlü halkası üzerindeki
tipinde
( ) üst üçgensel matrislerin
halkasının eĢkare dönüĢlü olması gerekmez. Fakat bununla beraber aĢağıdaki sonuca
sahibiz.
Önerme 3.2.10.
olmak üzere aĢağıdakilerden en az biri
bir halka ve
sağlanıyorsa, bu durumda
sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
( ) sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
(i)
(ii)
( ) sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
(iii)
( ) sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
(iv)
( ) sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
( ) sağ eĢkare dönüĢlü bir halka olsun. Bu durumda Önerme 3.2.8.(1)
( )
sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
İspat.(i)
den
(ii) (i)‟nin ispatı gibidir.
(iii)
( ) sağ eĢkare dönüĢlü bir halka ve
( ∑
)
( )( ∑
olup, buradan ( ∑
)
elde edilir. Dolayısıyla
için
olur ki, bu da bize
olsun. Böylece
)
( )( ∑
)
nin sağ eĢkare dönüĢlü bir halka
olduğunu gösterir.
(iv)
( ) sağ eĢkare dönüĢlü bir halka olsun.
halkasının sağ eĢkare dönüĢlü olması
(iii) deki gibi gösterilir.
Sonuç 3.2.11.
(i) Eğer (
) aĢikar geniĢlemesi sağ eĢkare dönüĢlü bir halka ise, bu durumda
halkası da sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
, (ii) herhangi bir pozitif tamsayı olmak üzere
⁄ ( ) sağ eĢkare dönüĢlü bir
sağ eĢkare dönüĢlü bir halkadır.
İspat. (i) Önerme 3.2.10 (iii)‟den ( )
(
) olduğundan sağ eĢkare dönüĢlü bir
halkadır.
halka ise, bu durumda
(ii) Önerme 3.2.10 (iv)‟den
( )
, -⁄
halkadır.
33
olduğundan
sağ eĢkare dönüĢlü bir
( ) ve
Teorem 3.2.12.
ve
dönüĢlü bir halka olsun. Bu durumda
halkaları sağ eĢkare dönüĢlü halkalardır.
( ) halkasının sağ eĢkare dönüĢlü halka olduğunu
için
İspat. Öncelikle
( )
gösterelim.
.
için
/,
( ) de bir eĢkare eleman olsun.
.
olduğundan
.
/
ve
.
alalım.
/.
/
.
/
olur.
/
( ) için
.
olur. Bu yüzden
olursa
( )
/
olduğunu kabul edelim. Herhangi bir
( ) için ,
.
/.
/.
/
.
/
olduğundan
ve
dır.
olduğundan
olur.
olduğundan
olur ve
elde edilir. Bu eĢitliği
sağdan
ile çarparsak
yazılır.
olduğundan
olur.
olduğundan
dir. Buradan
dır.
eĢitliğinde
eĢitliğini yerine yazarsak
olur. Yani
dır.
dönüĢlü olduğundan
,
ve
dır. Böylece
.
/.
/.
( )
olduğundan
olur.
için (
(
),
)(
olduğundan
,
olursa
olur. O yüzden
/
.
dır. Buradan
/
( ) dönüĢlü bir halka olur.
( ) de eĢkare eleman olsun.
)
(
)
,
alalım.
,
34
(
)
olur.
(
)
( ) için
(
)
( ) için ,
( )
(
olduğunu farzedelim. Herhangi bir
)(
(
)(
)(
)
)
(
elde edilir. Buradan
ve
ve
olduğundan
)
,
,
dır.
için hesaplandığında
dır. Buradan
ve
eĢitliği
(11)
ve
olduğundan
eĢitliği
(12)
Ģeklinde
yazılır.
(12)
eĢitliğini
sağdan
ile
çarparsak,
elde edilir. Buradan
olur. Dolayısıyla
dır. (12)
eĢitliğinde bunu yerine koyarsak
olur. Buradan
yazılır. (11) de
yerine yazılırsa
olur. Bu eĢitliği sağdan
ile
çarparsak
elde edilir.
olduğundan
elde edilir.
olduğundan
yazılır. Bunu da
da yerine yazarsak
yazılır.
olduğundan
(
)
dır. Buradan
yazılır. Böylece
ve
olur. dönüĢlü olduğundan
(13)
olur.
gösterir.
ve (13) ten
olduğundan
(
olur ve
yazılır. Bu sonuçlar bize
( ) eĢkare dönüĢlü halkadır.
için de benzer Ģekilde doğru olduğu görülür.
35
)
( )
olduğunu
ĠDDĠA: Her
için
olmak üzere
( )
( ) olsun. O
halde
matrisinin her bir bileĢinin çarpımsal açılımındaki her teriminde
çarpanı
görünür.
Gerçekten; iddianın doğruluğunu kanıtlamak için
için
.
ve
olduğundan
üzerinde tümevarım uygulayalım.
/.
/
(
)
.
/
bulunur.
için
(
)(
)
(
)
(
olduğundan
(
,
elde edilir.
)
Kabul edelim ki
açılımındaki her teriminde
Bu durumda
(
)
,
için E matrisinin her bir bileĢeninin çarpımsal
çarpanı görünsün. ġimdi
olduğunu kabul edelim.
)
(
(
)
)
(
) (
)
(14)
(
) (
)
(15)
(
)(
) (
(
)
(
)
(
(16)
)
(17)
)
elde edilir. (17) eĢitliğini (16) da yerine yazarsak
)
(
)
elde edilir.
için E matrisinin her bir bileĢeninin çarpımsal açılımındaki
her teriminde
çarpanı göründüğünü farzederiz. Bu Ģekilde
de
‟ yi içerir.
Böylece iddia ispatlanmıĢ olur.
(
)
(
)
(
)(
)(
(
)
(
)
ġimdi
için ( ) halkasının eĢkare dönüĢlü olduğunu gösterelim. Her
için
,
,
olmak üzere
( ) ,
( ) ,
( ) olsun. Yukarıdaki iddia gereğince
36
(
)
için
,
,
için
ve
,
(18)
ve
(19)
olur.
(
)
olsun. Ġddiadan, (18) ve (19) eĢitliklerinden ,
(
)
(
)
(20)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)(
) (
)
)
)
(22)
(
)
)
(
(
)
)
(23)
)
yazılır. (23) ü sağdan ile çarparsak
(
(
)
(
)
buradan ( )
ve
dır. (22) yi sağdan
(
)
(
)
ve buradan ( )
(
)
(
)
(
)
dır. Bu Ģekilde devam edilerek
elde edilir.
(
)
(
(
(21)
)
(
)
ile çarparsak
ve
(
)
ve
için
ve
(24)
için
ve
(25)
dönüĢlü olduğundan
olur. Buna ek olarak
olduğundan iddiadan, (18) ve (19) eĢitliklerinden,
için
ve
(26)
elde edilir. (18), (19), (24), (25), (26) eĢitliklerinden
olur. Böylece
( )
bulunur. Yani
için
( ) sağ eĢkare dönüĢlü halkadır.
37
Sonuç 3.2.13.
halkasının (
dönüĢlü bir halka olsun.
eĢkare dönüĢlü halkadır ve herhangi bir pozitif
) trivial geniĢlemesi sağ
tamsayısı için
, -⁄
sağ eĢkare
dönüĢlü halkadır.
4. KAYNAKLAR
Anderson, D.D. and Camillo, V. (1999). Semigroups and rings whose zero products
38
commute. Comm. Algebra 27(6): 2847-2852.
Armendariz, E.P. (1974). A note on extension of Baer and p.p.-rings. J. Austral. Math.
Soc. 18: 470-473.
Birkenmeier, G. F., Kim, J. Y., Park, J. K. (2001). Principally quasi-Baer rings. Comm.
Algebra 29(2): 639-660.
Cohn, P.M. (1999). Reversible rings. Bull. London Math. Soc., 31: 641-648.
Courter, R. C. (1969). Rings all of whose factor rings are semiprime. Canad. Math.
Bull. 12(4): 417-426.
Habeb, J.M. (1990). A note on zero commutative and duo rings. Math. J. Okayama
Univ. 32: 73-76.
Hirano, Y. (2002). On annihilator ideals of a polynomial ring over a noncommutative
ring. J. Pure Appl. Algebra 168: 45-52.
Hwang, S. U., Jeon, Y. C., Lee, Y. (2006). Structure and topological conditions of NI
rings. J. Algebra 302: 186-199.
Jeon, Y. C., Kim, H. K., Lee, Y., Yoon, J. S. (2009). On weak Armendariz rings. Bull.
Korean Math. Soc. 46(1): 135-146.
Kim, J. Y. (2005). Certain ring whose simple singular modules are GP-injective. Proc.
Japan Academy Ser. A 81: 125-128.
Kim, J. Y., Baik, J. U. (2006). On idempotent reflexive rings. Kyungpook Math. J. 46:
597-601.
Kim, N. K., Lee, Y. (2000). Armendariz rings and reduced rings. J. Algebra 223: 477488.
Kim, N.K. and Lee, Y. (2003). Extensions of reversible rings, J. Pure Appl. Algebra,
185: 207-223.
39
Kwak, T. K., Lee, Y. (2012). Reflexive Property of Rings. Comm. Algebra 40: 15761594.
Lambek, J. (1971). On the representation of modules by sheaves of factor modules,
Canad. Math. Bull. 14: 359-368.
Lee, T. K., Wong, T. L. (2003). On Armendariz rings. Houston J. Math. 29: 583-593.
Lee, T. K., Zhou, Y. Q. (2004). Armendariz and reduced rings. Comm. Algebra 32(6):
2287-2299.
Marks, G. (2001). On 2-primal Ore extensions. Comm. Algebra 29: 2113-2123.
Marks, G. (2002). Reversible and symmetric rings. J. Pure and Appl. Algebra 174: 311318.
Mason. G. (1981). Reflexive ideals. Comm. Algebra 9: 1709-1724.
McConnell, J. C., Robson, J. C. (1987). Noncommutative Noetherian Rings. New York:
John Wiley & Sons Ltd.
Rege, M.B., Chhawchharia, S. (1997). Armendariz rings, Proc. Japan Acad. Ser. A,
Math. Sci. 73: 14-17.
Shepherdson, J. C. (1951). Inverses and zero-divisors in matrix ring. Proc. London
Math. Soc. 3: 71-85.
Shin, G. Y. (1973). Prime ideals and sheaf representation of a pseudo symmetric ring.
Trans. Amer. Math. Soc. 184: 43-60.
40
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
:
Kübra GÖKTÜRK
Doğum Yeri :
Bursa
Doğum Tarihi:
07.11.1988
Medeni Hali :
Bekar
Yabancı Dili :
Ġngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
:
Ġnegöl YDA Lisesi, 2006
Lisans
:
Afyon Kocatepe Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik
Bölümü, 2010