DERS 1 Sayı Kümeleri ve Koordinatlar

DERS
1
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar
1.1 Kümeler . Matematiğin temel kavramlarından biri küme kavramıdır. Okuyucunun
küme kavramına yabancı olmayıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kabul ediyoruz.
Bununla beraber, kümelerle ilgili önemli tanım ve gösterimleri özet olarak sunacağız.
Küme denince iyi tanımlı bir nesneler topluluğu anlaşılır. Burada “iyi tanımlı” deyiminin
anlamı şudur: Herhangi bir küme söz konusu olduğunda herhangi bir nesnenin o kümeye,
yani nesneler topluluğuna ait olup olmadığı kuşkuya yer bırakmayacak biçimde bilinmelidir.
Kümeye, yani nesneler topluluğuna ait olan nesnelerden her birine kümenin bir elemanı
denir.
Genellikle kümeler alfabedeki büyük harflerle, elemanlar da küçük harflerle gösterilir.
Buradaki alfabe sözcüğü Türkçe alfabe ile sınırlı değildir, kümeleri veya elemanları
göstermek için Türkçe alfabeden olduğu kadar İngilizce, Yunanca ve başka alfabelerden
harfler de kullanılır.
K bir küme, a ve b nesneler olsun.
nın elemanı değilse, b∉K yazılır.
Eğer a, K nın elemanı ise, a∈K yazılır. Eğer b, K
Hiç elemanı bulunmayan kümeye boş küme denir ve boş küme, ∅ ile gösterilir.
A ve B kümeler, A nın her elemanı B nin de elemanı ise, A kümesi B nin altkümesidir
denir. A, B nin altkümesi ise, A ⊆ B yazılır.
Elemanları aynı olan iki kümeye eşit kümeler denir ve bu durumda alışkın olduğumuz üzere,
A = B yazılır. A = B ⇔ A ⊆ B ve B ⊆ A olduğu açıktır.
Kümeler, elemanları { ve } işaretleri arasına listelenerek veya elemanları tanımlanarak gösterilir. Örneğin,
•
•
•
Türkçe alfabedeki ilk dört küçük harften oluşan küme : {a,b,c,ç} ;
1 den 5 e kadar olan doğal sayıların kümesi : {1,2,3,4,5} ;
5 ten büyük 1 den küçük olan doğal sayıların kümesi : ∅.
Her biri Ö(x) özelliğini sağlayan x nesnelerinden oluşan küme, {x : Ö(x)} ile gösterilir.
Örneğin, 1 den 5 e kadar olan doğal sayıların kümesi,
{x : x doğal sayı ve 1 ≤ x ≤ 5}
ile gösterilir.
Ders 1………………………………………………………………………………………
2
Şimdi, A ve B kümeleri için yukarıdaki küme gösterimini de kullanarak, birleşim, kesişim
ve fark işlemlerini tanımlayalım.
•
•
•
A ve B nin birleşimi, A∪B ={x : x∈A veya x∈B};
A ve B nin kesişimi, A ∩B ={x : x∈A ve x∈B} ;
A ve B nin farkı , A \ B ={x : x∈A ve x ∉ B}
olarak tanımlanır.
Kümeler üzerindeki tartışmaları kolaylaştırmak için Venn Çizelgeleri denilen çizelgeler
kullanılır. Şöyle ki, bir küme kapalı bir eğrinin, örneğin bir dikdörtgenin veya bir çemberin
sınırladığı alanla gösterilir ve o alan içindeki noktaların da kümenin elemanlarını gösterdiği
düşünülür.
a
A
b
K
Yukarıdaki çizelgeye göre, A ⊆ K, a∈A ve b∉A dır. Kümeler için yukarıda tanımladığımız üç işlemin Venn çizelgeleri ile görünümü aşağıdaki gibi olacaktır.
A
B
A
B
A ∩B
A∪B
B
A
A\B
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar ……………………………………………………………
3
1.2. Sayılar. Matematiğin temel kavramlarından biri de sayı kavramıdır. Okuyucuların sayı
kavramına yabancı olmadıklarını, sayılarla ilgili temel özellikleri bildiğini kabul ediyoruz.
Şimdi, ders içinde kullanacağımız gösterimleri tanıtacağız ve bu vesileyle sayılarla ilgili temel
özelliklerden bazılarını hatırlayacağız.
•
N : doğal sayılar kümesi.
1,2,3,...
•
Z : tam sayılar kümesi .
•
Q : rasyonel sayılar kümesi. -3,
•
R : reel sayılar kümesi .
•
R\Q : irrasyonel sayılar kümesi.
. . . , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . .
1 −5
133
,
, ve
= 1,33 gibi.
2 7
100
2 , π , 3 5 , e gibi.
1.3. Reel Sayılarda Sıralama. Herhangi bir reel sayının ya pozitif, ya negatif ya da sıfır
olduğunu biliyoruz. İki reel sayı, x ve y verildiğinde, eğer (y – x) pozitif ise, x sayısı y den
küçüktür denir ve x < y yazılır. Bazen x < y yerine y > x de yazılır ve y sayısı x den
büyüktür denir. x < y veya x = y ise, x ≤ y ( veya y ≥ x ) yazılır.
x , y , z ∈ R için
•
x < y ve y < z ise, x < z dir.
•
x < y , x = y ve y < x ten bir ve yalnız biri geçerlidir.
•
x < y ise, x + z < y + z dir.
•
x < y ve 0 < z ise, x z < y z dir.
•
x < y ve 0 > z ise, x z > y z dir.
x reel sayısı a dan büyük ve b den küçük ise, a < x < b yazılır. Bu durumda, x sayısı a
ile b arasındadır da denir. Böylece, {x : x doğal sayı ve 1 < x < 5} kümesinin elemanları
{2,3,4} biçiminde listelenebilir. {x : x doğal sayı ve 1≤ x ≤ 5} kümesinin elemanlarının
nasıl listeleneceği yukarıda gösterilmişti.
Ders 1………………………………………………………………………………………
1.4. Mutlak Değer. x ∈ R nin mutlak değeri , x ≥ 0 ise x ,
tanımlanır ve |x| ile gösterilir. Bu tanım,
4
x < 0 ise -x olarak
⎧ x , x≥0
x =⎨
⎩− x , x < 0
biçiminde de ifade edilebilir. Örnek olarak
2 =2
,
−2 = 2
3
3 3
= − = .
4
4 4
,
Mutlak değer ile ilgili bazı özellikleri aşağıda listeliyoruz:
•
Her x ∈ R için x ≥ 0 , x = 0 ⇔ x = 0.
•
Her x, y ∈ R için xy = x y .
• Her x, y ∈ R için x + y ≤ x + y .
•
Her x, y ∈ R için x − y ≥ x − y .
Son iki eşitsizlik üçgen eşitsizlikleri olarak bilinir.
1.5. Denklemler ve Eşitsizlikler. Yukarıdaki ifadelerde de görüldüğü gibi, herhangi bir
sayıyı veya daha genel olarak bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için x, y, z, ...
gibi harfler veya semboller kullanırız. Bir kümenin herhangi bir elemanını göstermek için
kullanılan harf veya sembole bir değişken denir. Bundan böyle, aksi belirtilmedikçe,
değişkenler reel sayılar için kullanılacaktır. Derslerimizde,
x2 − 3 = 2x + 1 2
;
x 2 − 3 < 2 x + 12
örneklerinde olduğu gibi, değişkenler içeren denklem veya eşitsizlikler üzerinde çalışmamız
gerekecektir.
Bir denklem veya eşitsizliği sağlayan her sayıya o denklem veya eşitsizliğin bir çözümü
denir.
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar ……………………………………………………………
5
Örneğin, 5 sayısı yukarıda verilen denklemin; 2 sayısı da oradaki eşitsizliğin bir çözümüdür:
2
− 3 = 2 .5 tüm
+ 1 2 çözümlerinin
; 22 − 3 < oluşturduğu
2 .2 + 12.
Bir denklem veya 5eşitsizliğin
kümeye o denklem veya eşit2
sizliğin çözüm kümesi denir. Örneğin, x -3=2x+12 denkleminin çözüm kümesi {-3, 5} tir.
Eğer iki denklem aynı çözüm kümesine sahipse, o iki denkleme denk denklemler denir.
Çözüm kümeleri aynı olan eşitsizliklere de denk eşitsizlikler denir.
Bir denklemi çözmek için uygulanan standart yöntem şudur: Verilen denklem, kendisine denk
olan öyle bir dizi denklemle değiştirilir ki, bu dizideki son denklemin çözüm kümesinin ne
olduğu kolayca görülebilmektedir. Benzer şekilde, bir eşitsizliği çözmek için uygulanan
standart yöntem şudur: Verilen eşitsizlik, kendisine denk olan öyle bir dizi eşitsizlikle değiştirilir ki, bu dizideki son eşitsizliğin çözüm kümesinin ne olduğu kolayca görülebilmektedir.
Bir denkleme veya eşitsiziliğe denk denklem veya eşitsizlikler yazarken reel sayıların
sıralama özelliği gibi özelliklerinden ve mantık kurallarından yararlanılır.
Örnek. x2-3=2x+12 denkleminin çözümü :
x2-3=2x+12 ⇒ x2-2x-15=0 ⇒
(x+3)(x-5) =0.
Yukarıdaki denklemler dizisindeki her denklem kendisini izleyen denkleme denktir ve son
denklemin çözüm kümesinin {-3, 5} olduğu açıktır.
Lise bilgilerinizden, bu örnekte ele alınan türden denklemlere ikinci dereceden denklemler
dendiğini anımsayınız. İkinci dereceden denklemlerin genel ifadesi, a, b, c ∈ R olmak
üzere ax2 + bx + c = 0 biçimindedir ve çözümleri aşağıdaki formülle elde edilir:
x=
− b m b 2 − 4ac
.
2a
Bundan önceki örnekte verilen denklem bu formülle de çözülebilir:
x=
− (−2) m (−2) 2 − 4 .1 .(−15)
2 ⋅1
=
2 m 64
2
Eşitsizliklerin çözümünü daha sonra ele alacağız.
⇒ x = −3
veya
x =5.
Ders 1………………………………………………………………………………………
6
1.6. Sayı Ekseni. Reel sayılar sistemi R , esas itibariyle ölçüm yapmak için kullanılır. Başka
bir deyişle, reel sayılar sistemini, bir doğru üzerinde her noktaya bir reel sayı karşılık
getirerek koordinatlar tanımlamak için kullanırız. Şöyle ki, verilen bir doğru üzerinde bir
nokta(orijin , merkez) ve bir birim uzunluk işaretlendiği takdirde, doğru üzerindeki noktalar
ile reel sayılar sistemi arasında bire-bir bir eşleme elde edilir.
-3
-1
−1
2
1
2
0
5
2
1
3
sayı ekseni
Orijin olarak işaretlenen nokta 0 (sıfır) sayısı ile, orijinin sağına doğru bir birim uzaklıktaki
nokta 1 (bir) sayısı ile eşlenir.
Üzerinde orijin ve birim uzunluk işaretlenmiş doğruya sayı ekseni denir. Sayı ekseni,
orijinden 1 sayısının eşlendiği noktaya doğru yönlendirilmiş kabul edilir ve bu yön bir ok
işareti ile gösterilir.
Sayı ekseni üzerinde bir a pozitif reel sayısı ile eşlenen nokta, orijinin sağına doğru
orijinden a birim uzaklıktaki nokta; bir b negatif reel sayısı ile eşlenen nokta da orijinin
soluna doğru orijinden -b birim uzaklıktaki noktadır.
Sayı ekseni üzerinde bir noktanın eşlendiği sayıya o noktanın koordinatı denir.
Böylece, orijinin koordinatı 0; orijinin sağ tarafında ve orijinden bir birim uzaklıktaki
noktanın koordinatı 1 dir. Yukarıda, sayı ekseni üzerinde, koordinatları -3, -1, -1/2, 1/2, 5/2
ve 3 olan noktalar işaretklenmiştir.
Sasyı ekseni üzerinde koordinatı x olan noktaya bazen “x noktası” da denir. Örnek olarak,
8
noktası denince aşağıdaki şekilde görülen nokta anlaşılır.
sayı ekseni üzerinde
3
8
3
-3
0
1
2
3
Sayı ekseni kullanılarak her reel sayı kümesi sayı ekseni üzerinde noktalar kümesi olarak
gösterilebilir. Bunlardan en çok karşılaşacağımız küme türleri aralıklardır.
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar ……………………………………………………………
7
1.7. Aralıklar. Aşağıda, aralıkların tanımlarını ve sayı ekseni üzerinde gösterilişlerini
veriyoruz: a ve b reel sayılar, a < b olmak üzere
a
b
a
b
a
b
a
b
(a, b) = {x : a < x < b}
[a, b) = {x : a ≤ x < b}
(a, b] = {x : a < x ≤ b}
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}
Böylece tanımlanan aralıklardan ilkine açık aralık, sonuncusuna kapalı aralık, diğer ikisine
de yarıaçık aralıklar denir.
Örnek 1. Sayı ekseni üzerinde
(− 1,1)
⎡3 ⎞
, ⎢ ,3 ⎟ ,
⎣2 ⎠
(− 3,−2]
⎡7 ⎤
, ⎢ ,4 ⎥
⎣2 ⎦
aralıklarını
işaretleyelim:
7
3
2
2
-3
-2
-1
1
2
4
3
Reel sayılar sistemi R ye her reel sayıdan büyük olduğu kabul edilen ∞ (sonsuz) sembolü
ve her reel sayıdan küçük olduğu kabul edilen -∞ (eksi sonsuz) sembolü katılarak sonsuz
aralıklar tanımlanır:
(− ∞, ∞ ) = {x : −∞ < x < ∞}
(a, ∞) = {x : x > a}
[a, ∞) = {x : x ≥ a}
(−∞, a) = {x : x < a}
(−∞, a] = {x : x ≤ a}
a
a
a
a
Ders 1………………………………………………………………………………………
8
Reel sayılar ile ilgili olarak verilen eşitsizliklerin çözüm kümesini belirlemenin standart
yöntemini daha önce belirtmiştik. Şimdi eşitsizlik çözümü için bazı örnekler vereceğiz ve bir
eşitsizliğin çözüm kümesinin aralıklar cinsinden nasıl ifade edilebildiğini göreceğiz
Örnek 2. 2x + 1 < 0 eşitsizliğini düşünelim.
2x + 1 < 0 ⇔ 2x < -1 ⇔ x < -1/2.
Yukarıdaki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm
kümesinin (-∞ , -1/2) aralığı olduğu açıktır ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi
gösterilebilir.
−
1
2
0
1
Örnek 3. x2-3 < 2x+12 eşitsizliğinin çözümü :
x2-3 < 2x+12 ⇔ x2-2x-15 < 0 ⇔ (x+3)(x-5) < 0
Yukarıdaki eşitsizlikler dizisindeki her eşitsizlik diğerine denktir. Son eşitsizliğin çözüm
kümesinin (-3 , 5) aralığıdır ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki gibi gösterilebilir.
-3
5
0
Son eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenirken aşağıdaki tablodan yararlanılabilir:
x
-3
0
5
x+3
----- 0+++++++++++++ 8 +++
x-5
---- -8 ------------------ 0 +++
( x + 3)( x -5) + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + +
Bazı eşitsizliklerin çözüm kümesi doğrudan doğruya tablodan yararlanılarak bulunabilir.
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar ……………………………………………………………
Örnek 4.
x −1
≤0
x +1
9
eşitsizliğini düşünelim.
-1
x
0
1
x-1
- - - - -2 - - - - - - -1 - - - - - - - 0 + + + +
x+1
----- 0 +++++ 1 +++++ 2 ++++
x −1
x +1
+++
? - - - - - - -1 - - - - - - - 0 + + + +
Tablodan, çözüm kümesinin (-1 , 1] aralığı olduğu görülür ve sayı ekseni üzerinde aşağıdaki
gibi gösterilebilir(Tablodaki ? işaretini yorumlayınız):
-1
0
1
Mutlak değer eşitsizlikleriyle verilen kümeler çoğu zaman aralıklara karşılık gelir. Örneğin
-c
x < c ⇔ −c < x < c
a- c
x−a < c ⇔ a−c < x < a+c
c
0
a
a+c
1.8. Kartezyen Koordinatlar. Sayı ekseni tanımını genişleterek düzlemde ve uzayda
noktalar için de koordinatlar tanımlayabiliriz. Düzlemde noktaların koordinatlarını
tanımlamak için, düzlemde birbirini orijinlerinde dik olarak kesen iki sayı ekseni almak
yeterlidir. Genellikle bu eksenlerden biri yatay diğeri de düşey olarak seçilir; yatay olan
eksene x-ekseni , düşey olan eksene de y-ekseni denir.
y
Orijin
O
x
Kartezyen Koordinat Sistemi
Ders 1………………………………………………………………………………………
10
Düzlemde bu şekilde seçilmiş eksenlerin oluşturduğu şekle Kartezyen Koordinat Sistemi ,
eksenlerin kesim noktasına da bu sistemin orijini denir ve genellikle O harfi ile gösterilir.
x- ve y- eksenleri düzlemi dört bölgeye ayırır. Bu bölgelerden her birine bir çeyrek düzlem
ya da kadran denir. Çeyrek düzlemler şekilde görüldüğü gibi numaralanırlar.
y
II
I
1
O
x
1
IV
III
Kartezyen Koordinat Sistemi kullanılarak düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı ikilileri
arasında bire-bir bir eşleme olduğu; yani, düzlemde her noktaya bir ve yalnız bir sıralı reel
sayı ikilisi, her sıralı reel sayı ikilisine de düzlemde bir ve yalnız bir nokta karşılık geldiği
gösterilebilir. Sıralı reel sayı ikilileri
R2 = R × R = {(a , b ) : a , b ∈ R}
kümesinin elemanlarıdır.
Düzlemde bir noktaya karşılık gelen sıralı reel sayı ikilisi şöyle belirlenir: (Şekilden izleyiniz)
Verilen noktadan her iki eksene birer dikme indirilir. x-eksenine indirilen dikmenin ayağı
bir a sayısına, y-eksenine indirilen dikmenin ayağı bir b sayısına karşılık gelir. Verilen
noktaya karşılık gelen reel sayı ikilisi (a,b) dir. a sayısına o noktanın x-koordinatı
veya apsisi; b sayısına da o noktanın y-koordinatı veya ordinatı denir.
y
b
(a,b)
(0,1)
(1,1)
(0,0)
(1,0)
a
x
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar ……………………………………………………………
11
Verilen bir (a,b) sıralı reel sayı ikilisine karşılık gelen noktayı bulmak için yukarıdaki işlem
tersine işletilir. Daha açık bir ifadeyle, önce x-ekseni üzerinde a noktası ve y-ekseni
üzerinde b noktası bulunur ve sonra her iki noktadan ait oldukları eksene birer dikme
çıkılır; bu dikmelerin kesim noktası, apsisi a ve ordinatı b olan noktadır.
y
Bundan böyle, Kartezyen Koordinat Sistemi seçilmiş bir düzlemde
bir noktayı o noktaya karşılık gelen sıralı reel sayı ikilisi ile özdeşleyeceğiz; yani (a,b) noktası denince, apsisi a ve ordinatı b
olan noktayı anlayacağız. Üzerinde bir Kartezyen Koordinat
Sistemi seçilmiş olan düzleme
Kartezyen Düzlem denir. Bazı
noktaların Kartezyen Düzlem’de
yerleştirilişleri yandaki şekilde
görülmektedir.
(-2,3)
(2,3)
(0,1)
(1,1)
(3,0)
(0,0)
(1,0)
x
(0,-1)
(-2,-3)
(2,-3)
Düzlemde Kartezyen Koordinat Sistemi seçmek ne işe yarar? Bu seçim, düzlemde noktaları
veya nokta kümelerini sayısal ifadelerle belirlememize, pek çok geometri problemini cebirsel
yöntemlerle çözmemize ve karşıt olarak, pek çok cebirsel problemi geometrik olarak
yorumlamamıza yardımcı olur. Bunu, çoğunlukla, iki değişkenli denklem veya eşitsizliklerle
gerçekleştiririz.
Örneğin, düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlar yardımıyla kolayca hesaplanabilir:
y
(x ,y)
y
d
b
y-b
(a,b)
x-a
(0,0)
a
x
x
Yukarıdaki şekilden ve ünlü Pisagor Teoremi’nden yararlanarak (a , b) ve (x , y) noktaları
arasındaki uzaklık için d 2 = ( x − a) 2 + ( y − b) 2 veya buna denk olan
d = ( x − a ) 2 + ( y − b) 2
formülü elde edilir.
Ders 1………………………………………………………………………………………
12
Örnek 1. (1,-2) ve (5,1) noktaları arasındaki uzaklık:
d = (5 − 1) 2 + (1 − (−2)) 2 = 16 + 9 = 5.
İki değişkenli bir denklem; örneğin x2 + y2 = 1 , verildiğinde, bu denklemi sağlayan reel sayı
ikililerinden her birine o denklemin bir çözümü, denklemi sağlayan tüm (x , y) sayı
ikililerinin kümesine de o denklemin çözüm kümesi denir. Örneğin, (1,0) , (0,1) ,
⎛3 4⎞ ⎛ 1 1 ⎞
⎜ , ⎟, ⎜⎜ ,
⎝5 5⎠ ⎝ 2 2⎠
den her biri x2 + y2 = 1 denkleminin bir çözümüdür . Bir denklemin çözüm
kümesi Kartezyen Düzlemde bir nokta kümesi olarak düşünülünce elde edilen şekle o
denklemin grafiği(grafik) denir.
y
Örnek 2. x2 + y2 = 1 denkleminin grafiği,
orijinden 1 birim uzaklıktaki noktaların
oluşturduğu şekildir ki buna Kartezyen Düzlem’de birim çember denir.
(1,0)
x
Her hangi bir denklem veya bağıntı verildiğinde, o denklem veya bağıntının grafiğini çizmek
için izlenebilecek yollardan biri, denklemi veya bağıntıyı sağlayan –mümkün olduğunca çoknoktalar bulup o noktaları Kartezyen Düzlem’de işaretlemektir. İşaretlenen noktalar
yardımıyla, grafik tahmin edilmeğe çalışılır.
Örnek 3.
y = 10 - x2
denkleminin grafiğini çizmek için bazı çözümler bulalım ve
Kartezyen düzlemde işaretleyelim.
y
(-1,9)
(-2,6)
(0,10)
(1,9)
(2,6)
y =10 - x2
(3,1)
(-3,1)
(0,0)
x
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar ……………………………………………………………
13
Örnek 4. x2 + y2 < 1 in grafiği
y
x2 + y2 < 1
(0,0)
(1,0)
x
x2 + y2 = 1
1.10. Yakınlık ve Yaklaşık Değerler. Bir a ve bir x reel sayısı verilmiş olsun. Eğer a
ile x arasındaki farkın mutlak değeri önceden belirlenmiş pozitif bir sayıdan küçük ise, x
sayısı a ya yakındır veya a nın bir yaklaşık değeridir denir.
Tanımdan da anlaşılacağı üzere, yakın veya yaklaşık değer kavramları tamamen göreceli
kavramlardır.
Örnek 1. Tanımda sözü edilen önceden belirlenmiş pozitif sayı 0.02 ise, 0.99 sayısı 1 e
yakındır; ancak 0.95 sayısı 1 e yakın değildir.
Eğer |a-x1| < |a-x2| ise, x1 sayısı a ya x2 den daha yakındır denir.
Örnek 2. 0.0001 sayısı 0 sayısına 0.001 den daha yakındır.
Eğer x sayısı a ya yakın ve x < a ise, x sayısı a ya soldan yakındır denir. Benzer
şekilde, x sayısı a ya yakın ve x > a ise, x sayısı a ya sağdan yakındır denir.
Örnek 3. 0.99 sayısı 1 e soldan; 0.0001 sayısı da 0 a sağdan yakındır.
Ders 1………………………………………………………………………………………
14
Yukarıda tanımlanan kavramlar sayı ekseni üzerinde izlenince daha iyi anlaşılacaktır.
0x
0.5
u 1
Bu şekle göre, x sayısı 0 a sağdan, u sayısı 1 e soldan yakındır.
Bir a sayısı civarında değerler alan bir x değişkeni, a ya istenildiği kadar yakın değerler
alabiliyorsa, x, a ya yaklaşıyor denir ve x → a yazılır. Eğer x in aldığı değerlerin
hepsi a dan küçük ise, o takdirde x, a ya soldan yaklaşıyor denir ve x → a- yazılır; x
in aldığı değerlerin hepsi a dan büyük ise, o takdirde x, a ya sağdan yaklaşıyor denir
ve x → a+ yazılır.
⎧⎪⎛ − 1 ⎞ k
⎫⎪
Örnek 4. Eğer x değişkeni ⎨⎜ ⎟ : k ∈ N ⎬ kümesi içinde değerler alırsa, x → 0
⎪⎩⎝ 10 ⎠
⎪⎭
yazabiliriz. Çünkü, bu kümede 0 sayısına istenildiği kadar yakın sayılar vardır. Daha açık
bir ifadeyle, 0 a yakın olduğunu düşündüğünüz her sayı için bu küme içinde 0 sayısına
düşündüğünüz sayıdan daha yakın bir sayı bulunur. Örneğin, 0.0001 sayısını sıfıra yakın
5
⎛ −1⎞
olarak düşünürsek, ⎜ ⎟ sayısı 0 a 0.0001 den daha yakındır. k
⎝ 10 ⎠
⎛ −1⎞
⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
sayısı büyüdükçe
k
sayısı 0 a daha yakın olur. Bu örneğimizde, x değişkeninin aldığı değerler
−1
10
−1
un tek kuvvetlerinin 0 a soldan yaklaştığına, çift kuvvetlerinin ise
10
0 a sağdan yaklaştığına dikkat ettiniz mi? Başka bir ifade ile, eğer x değişkeni
⎧⎪⎛ − 1 ⎞ 2 k +1
⎫⎪
: k ∈ N ⎬ kümesi içinde değerler alırsa, x → 0-; eğer
x
değişkeni
⎨⎜ ⎟
⎪⎩⎝ 10 ⎠
⎪⎭
2k
⎪⎧⎛ − 1 ⎞
⎪⎫
+
⎨⎜ ⎟ : k ∈ N ⎬ kümesi içinde değerler alırsa, x → 0 olur.
⎪⎩⎝ 10 ⎠
⎪⎭
un kuvvetleridir.
Eğer x değişkeni her pozitif sayıdan daha büyük değerler alabiliyorsa, yani x in aldığı
değerler sınırsız olarak artıyorsa, o takdirde x sonsuza ıraksıyor denir ve x → ∞ yazılır.
Benzer şekilde, eğer x değişkeni her nagatif sayıdan daha küçük değerler alabiliyorsa, yani
x in aldığı değerler sınırsız olarak azalıyorsa, o takdirde x eksi sonsuza ıraksıyor denir ve
x → - ∞ yazılır.
Yukarıda tanımlananlar bağlamında, bir değişkenin belli bir sayıya yaklaşması, ya da sonsuza
veya eksi sonsuza ıraksaması durumunda o değişken cinsinden yazılmış bir ifadenin de belli
bir sayıya yaklaşıp yaklaşmadığı sorusu ayrıca önem kazanmaktadır. Eğer x sayısı a ya
yaklaşırken x cinsinden yazılmış f (x) ifadesi b ye yaklaşıyorsa,
x→ a
için
f ( x) → b
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar ……………………………………………………………
yazılır. Okuyucunun bu tanımda gerekli değişiklikleri yaparak, “x → a- için
“x → a+ için f (x) → b” , “x → ∞ için f (x) → b” , “x → - ∞ için
“x → a için f (x) → ∞” ve benzerlerini tanımlayabileceğine inanıyoruz.
x2 − 1
ifadesi x = 1 için tanımsızdır. Ancak, x in
x −1
den farklı değerleri için
Örnek 5. f ( x) =
15
f (x) → b”,
f (x) → b” ,
1 e yakın, fakat 1
x 2 − 1 ( x − 1)( x + 1)
= x +1
f ( x) =
=
x −1
x −1
olduğundan
x→ 1
için
x2 − 1
→ 2.
f ( x) =
x −1
Çünkü, x in 1 e yakın değerleri için onun bir fazlası olan x + 1 in 2 ye yakın olacağı
açıktır.
1
1
ifadesi x = 0 için tanımsızdır. x in 0 a yakın değerleri için
x
x
nasıl değerler alır? Bu sorunun cevabı, aşağıdaki tabloların incelenmesiyle de görülebileceği
üzere, x in sıfıra soldan veya sağdan yakın oluşuna göre değişir.
Örnek 6. f ( x) =
x
-0.1
-0.01
-0.001
-0.0001
1
x
-10
-100
-1 000
-10 000
x
0.1
0.01
0.001
0.0001
Tablolardan görüldüğü gibi, x sıfıra soldan yaklaştıkça
değerler almakta, x sıfıra sağdan yaklaştıkça
1
x
1
x
10
100
1 000
10 000
1
sınırsız olarak küçülen negatif
x
sınırsız olarak büyüyen pozitif değerler
almaktadır. Dolayısıyla,
x → 0- için
1
→ -∞
x
ve
x → 0+ için
1
→ ∞.
x
Ders 1………………………………………………………………………………………
1
→ 0
x
Örnek 7. Aşağıdaki tabloları inceleyerek, x → - ∞ için
ve
x→ ∞
16
için
1
→ 0 olduğunu görebilirsiniz.
x
1
x
-0.1
-0.01
-0.001
-0.0001
x
-10
-100
-1 000
-10 000
x
10
100
1 000
10 000
Örnek 8. x sıfıra soldan veya sağdan yaklaştığında
değerler alır. Dolayısıyla, x → 0 için
Örnek 9. x → ∞ için
1
x2
1
x
0.1
0.01
0.001
0.0001
sınırsız olarak büyüyen pozitif
1
→ ∞.
x2
1
x2 + 2x + 4
→
. Bu sonuca
2
2 x + 3x + 5
2
2 4
2 4
x 2 (1 + + 2 ) (1 + + 2 )
2
x + 2x + 4
x x =
x x
=
2 x 2 + 3x + 5 x 2 (2 + 3 + 5 ) (2 + 3 + 5 )
x x2
x x2
ifadesinde, x in çok büyük pozitif değerleri için
2 3 4 5
den her birinin sıfıra yakın
, , ,
x x x2 x2
değerler aldığını gözlemleyerek ulaşılabilir.
3
3x 2 + 4 x + 5
Örnek 10. x → - ∞ için
→
olduğu şöyle görülür:
2
2 x + 3x + 4
2
4
+
3x + 4 x + 5
x
=
2 x 2 + 3x + 4 x 2 (2 + 3 +
x
2
x 2 (3 +
5
4
) (3 + +
2
x =
x
4
3
) (2 + +
2
x
x
5
)
x2 → 3 .
4
2
)
2
x
Sayı Kümeleri ve Koordinatlar ……………………………………………………………
17
Problemler 1
1. A = {-1, 0, 1, 2} ve B = {-2, -1, 0, 1} kümeleri veriliyor. Aşağıda
yerlere ∈ , ∉, ⊆ veya ⊄ işaretlerinden uygun olanını yerleştiriniz:
-1 ....... A , -1 ....... B
{0, 1} ....... A
2.
,
,
-2 ....... A
{0, 1, 2} ....... A
Önceki problemde verilen A ve B
a) A ∪ B
,
,
.......
ile gösterilen
-2 ....... B , 2 ....... A , 2 .......
{0, 1, 2} ....... B
,
B
{-2, 2} ....... A
kümeleri için aşağıdakileri belirleyiniz:
b) A ∩ B
c) A \ B
d) B \ A
3. Aşağıda ....... ile gösterilen yerlere < , > veya = işaretlerinden uygun olanını yerleştiriniz:
-2 ....... –5 , -2 ....... 5 , 2 ....... –5 , 2 ....... 5 , 6-1 ....... 3+2 , 2/3 ....... 0,66
-3 ....... 0 , 3 ....... 0 ,
462
....... 4,2 ,
110
4 ....... 2 ,
3 2
1
− .......
4 3
15
,
4 ....... -2 , 7-2 ....... 3+2 , 3/2 ....... 1,5
2 ....... 1,4 ,
25 − 16 .......
, π .......
9
4. Aşağıdaki ifadelerin eşitini mutlak değer gösterimi kullanmadan yazınız:
|3-7|=?
,
| 2 − 4 |= ?
|-3|+|-7|=?
,
-|-3|=?
,
,
||3|-|7||=?
,
−1
=?
| −1 |
|-3.5|=?
,
|
3
− 2 |= ?
2
|(-3)2|=?
,
,
|-2π|=?
1
− 0.5 |= ?
2
,
|
,
|4-1|=?
5. Aşağıdaki denklemleri çözünüz:
a) 3x – 5 = 2x + 1
b) x2 – 3 = 2x – 4
c) 2x2 – 9 x +7 = 0
d) 5 +
6. Aşağıdaki sayılardan her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz:
a) 7
e) 2
1
3
b) -7
f) –3
1
5
c)
1
3
g) 1,35
ç)
−2
3
ğ) –1,45
d)
4
3
h) 2
7. Aşağıdaki reel sayı kümelerinden her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz:
a) {x : |x - 1| = |x - 2| }
b) {x : |x - 1| = |2x - 1| }
c) {x : |x2 – 3 | = 1 }
ç) {x : |x2 + 3 | = 1 }
d) {x : |x2 – 1 | = 3 }
e) {x : |x2 +1| = 3 }
x =9
22
7
Ders 1………………………………………………………………………………………
8. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz:
a) 3x – 4 > 5
d) x – 3
2
b) 3x – 4 < 1
≤ 2x - 4
e) 2x – 9 x +7 < 0
ğ) |x – 2 | < 1
9.
3
>0
x +1
h)
ç) 5x - 4 ≥2x + 5
c) 3x + 2 < 5x – 8
2
2
x−3
>0
x+5
3
i)
>0
1 − 2x
x−3
f)
≤0
x+5
3x
ı) 2
≥1
x +2
g)
Aşağıdaki reel sayı kümelerinden her birini sayı ekseni üzerinde gösteriniz:
a) {x : |x| < 7}
b) {x : |x - 2| < 7}
c) {x : |3x - 2| < 5 }
ç) {x : |3 – 2x| < 1 }
d) {x : 1 < x - 2 < 3 }
e) {x : x(x – 1)
≤ 0}
10. Aşağıdaki noktalardan her birini Kartezyen düzlemde yerleştiriniz:
a) (1 ,
3
)
2
b) (0 , 2)
d) (-1 ,-1)
e) (1 ,
c) (-1 ,
2 )
3
)
2
ç) (0 , -1
f) (1,25 , 2,5)
g) (-3 ,
1
)
2
1
)
2
11. Aşağıdaki nokta çiftleri arasındaki uzaklıkları bulunuz:
3
) ,
2
3
ç) (1 , - ) ,
2
a) (1 ,
3
)
2
3
(-3 , - )
2
(-3 , -
3
)
2
1
3
d) (0 , ) , (1 , )
2
2
b) (0 , 2) , (1 ,
c) (0 , 2) , (-1 ,
e) (0 , 2) , (- 2 ,
2)
2)
12. Aşağıdaki denklemlerin grafiklerini çiziniz:
a) x = 1
e) x2 + y2 = 9
b) y = -4
f) y = x2 – 9
c) y = x
ç) y = -x
d) x + y = 1
g) (x-1)2 + (y-3)2 = 9
h) x - y=1
13. Aşağıdaki eşitsizliklerin grafiklerini çiziniz:
a) x > 1
b) y < 0
c) xy < 0
ç) x > y
d) x2 + y2 > 1
14. Soru işaretlerinin yerine uygun sayı veya sembolleri yazınız.
a) x → 1 için x + 2 → ?
2
1
→?
x−2
1
d) x → -∞ için
→?
x+2
1
f) x → 2 için
→?
( x − 2) 2
c) x → 2- için
x2 − 4
b) x → 2 için
→?
x−2
1
ç) x → 2+ için
→?
x−2
1
e) x → ∞ için
→?
x+2
1
g) x → 2 için
→?
( x − 2)3
18