Untitled - Gazi Üniversitesi Açık Arşiv

GÖRELİ KUANTUM MEKANİĞİNDE
GRAFEN MODELLERİ
Kubilay DURMUŞ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
NİSAN 2014
Kubilay DURMUŞ tarafından hazırlanan “ GÖRELİ KUANTUM MEKANİĞİNDE
GRAFEN MODELLERİ ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi
Üniversitesi Fizik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman: Doç. Dr. Özlem YEŞİLTAŞ
Fizik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
...……………....
Başkan : Prof. Dr. Ramazan SEVER
Fizik Anabilim Dalı, Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
…………………..
Üye : Prof. Dr. Hakan ÇİFTÇİ
Fizik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum
…………………..
Tez Savunma Tarihi: 21/04/2015
Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine
getirdiğini onaylıyorum.
…………………….…….
Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ETİK BEYAN
Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak
hazırladığım bu tez çalışmasında;

Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar
çerçevesinde elde ettiğimi,

Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun
olarak sunduğumu,

Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak
gösterdiğimi,

Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,

Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,
bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan
ederim.
Kubilay DURMUŞ
11/05/2015
iv
GÖRELİ KUANTUM MEKANİĞİNDE
GRAFEN MODELLERİ
(Yüksek Lisans Tezi)
Kubilay DURMUŞ
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Nisan 2015
ÖZET
Hegzagonal ya da bal peteği örgüsü olarak da bilinen bir atom kalınlığındaki fotonik
örgülerden ibaret olan grafen, modern fizikte oldukça popüler ve önemli bir materyal
haline gelmiştir. Bu önemli materyalin temel kuantum mekaniksel özelliklerinin çalışıldığı
bu tezde, parite-zaman simetrisi altındaki Hamiltoniyende pertürbasyon katkıları ve
dispersiyon bağıntılarına olan etkileri ve parite-zaman simetrisi kırılması altında spektrum
incelenmiştir. Öte yandan, sabit ve hiperbolik olmak üzere, çeşitli magnetik alanlar
etkisindeki grafen fermiyonları için Dirac-Weyl denklemi süpersimetrik kuantum
mekaniğindeki yöntemlerden biri olan faktorizasyon metodu ile çözülerek spektrum,
olasılık ve akım yoğunlukları elde edilmiştir. Ayrıca, spinör bileşenleri olan dalga
fonksiyonlarının bulunması ile ilgili işlemlerde, polinom çözümleri ile faktorizasyon
metodu ile elde edilen çözümler karşılaştırılmıştır.
Bilim Kodu
: 202.1.149
Anahtar Kelimeler : Grafen, Dirac-Weyl denklemi, Matris Hamiltoniyenler
Sayfa Adedi
Danışman
: 66
: Doç. Dr. Özlem YEŞİLTAŞ
v
GRAPHENE MODELS
IN RELATIVISTIC QUANTUM MECHANİCS
(M. Sc. Thesis)
Kubilay DURMUŞ
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
April 2015
ABSTRACT
Graphene which is a single atom layer thick sheets of carbon alined in a hexagonal or
honeycomb lattice has become a very popular and important material in modern physics.
By studying the fundamental quantum mechanical properties of this important material,
perturbative additions in the Hamiltonian and their impacts on the dispersion relations and
the spectrum under parity-time symmetry are discussed in this thesis. On the other hand,
under various types of magnetic fields, such as constant and hyperbolic, the Dirac-Weyl
equation is solved using the factorization method used in supersymmetric quantum
mechanics for graphene fermions and the spectrum, probability and current densities are
obtained. Further, factorization method and the polynomial methods are compared through
the spinor compenents calculations.
Science Code
Key Words
: 202.1.149
: Graphene, Dirac-Weyl equation, Matrices Hamiltons
Page Number
Supervisor
: 66
: Assoc.Prof. Dr. Özlem YEŞİLTAŞ
vi
TEŞEKKÜR
Tez çalışmalarım boyunca bilgi ve deneyimi ile beni yönlendiren, yüksek lisans süresince
göstermiş olduğu ilgi ve alaka için danışman hocam Doç. Dr. Özlem YEŞİLTAŞ’ a
teşekkür ederim.
Ayrıca yüksek lisans süresince maddi ve manevi hiçbir desteğini esirgemeyen babam Ali
DURMUŞ’ a ve annem Nejla DURMUŞ’ a teşekkür ederim.
Ankara’ da bulunduğum süre zarfında her zaman yanımda olan arkadaşım Muhammet
Musab UÇAK’ a ve benimle evini paylaşan arkadaşım Numan KURBAN’ a teşekkürü bir
borç bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ............................................................................................................
iv
ABSTRACT ...................................................................................................
v
TEŞEKKÜR ...................................................................................................
vi
İÇİNDEKİLER ..............................................................................................
vii
ŞEKİLLERİN LİSTESİ ....................................................................................
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR .....................................................................
x
1. GİRİŞ.......................................................................................................
1
2. GRAFENDE DAĞINIM FONKSİYONU..............................................
3
3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ (SUSY-QM) ....................
13
3.1. Süpersimetri ............................................................................................................
13
3.1.1. Süpersimetri cebri ........................................................................................
13
3.2. Dirac-Weyl Denklemi ............................................................................................
19
3.3. Dirac-Weyl Denkleminde Spinörler......................................................................
22
3.4. Enerji Öz-değerleri ve Şekil Değişmezlik (Shape Invariance) ............................
29
4. FARKLI MANYETİK ALANLAR İÇİN DİRAC DENKLEMİNİN
ÇÖZÜMLERİ ..........................................................................................
33
4.1. Sabit Manyetik Alan Etkisi ....................................................................................
33
4.1.1. Polinom çözümleri .......................................................................................
38
4.1.2. Süpersimetrik şekil değişmez metodu ile dalga fonksiyonu çözümleri..............
41
4.2. Hiperbolik Engel veya Kuyu Manyetik Alanın Etkisi.................................................
46
4.2.1. Polinom çözümleri .......................................................................................
48
4.2.2. Süpersimetrik şekil değişmez metodu ile dalga fonksiyonu çözümleri..............
54
5. SONUÇ ...................................................................................................
59
viii
Sayfa
KAYNAKLAR ...............................................................................................................
61
ÖZGEÇMİŞ ....................................................................................................................
66
ix
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Şekil
Sayfa
Şekil 2.1. a) Fiziksel örgü ...............................................................................................
5
Şekil 2.1. b) Ters örgü.....................................................................................................
5
Şekil 2.2. A ve B alt örgülerinin yapısı ...........................................................................
6
Şekil 2.3. Kompleks grafenin taslak çizimi ....................................................................
9
Şekil 2.4. Δ=γ=0 için klasik fotonik grafenin dağınım ilişkisi .......................................
9
Şekil 2.5. Konik Dirac bölgesi ........................................................................................
10
Şekil 2.6. Δ=0,2 ve γ=0 için fotonik grafenin dağınım ilişkisi .......................................
10
Şekil 2.7. Genişletilmiş Dirac bölgesi.............................................................................
10
-
Şekil 3.1. E0 =0 taban durumuna sahip spinör için süper-eş Hamiltoniyenlerin enerji
spektrum ilişkisi..............................................................................................
25
Şekil 4.1. ω=k=1, B(x)=1/2, sabit bir manyetik alan için ve n=0, 1, 2, 3 değerleri için
olasılık yoğunluğu ρn (x)’ in x değişkenine bağlı çizimi........................................
45
Şekil 4.2. Akım yoğunluğu jn (x)/2 eVf ’ nin, n=1, 2, 3 için x değişkenine bağlı çizimi ..........
45
Şekil 4.3. Süper-eş potansiyellerin ve sabit manyetik alanın x değişkenine bağlı çizimi ..........
45
Şekil 4.4. ω=k=1, D=6, hiperbolik kuyu için ve n=0, 1, 2, 3 değerleri için olasılık
yoğunluğu ρn (x)’ in x değişkenine bağlı çizimi ...................................................
57
Şekil 4.5. Hiperbolik kuyu için akım yoğunluğu jn (x)/2 evf ’ nin, n=1, 2, 3 için x
değişkenine bağlı çizimi .....................................................................................
58
Şekil 4.6. Süper-eş potansiyellerin ve hiperbolik kuyu manyetik alanın x değişkenine
bağlı çizimi .......................................................................................................
58
x
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda
sunulmuştur.
Simgeler
Açıklamalar
∇
Laplace işlemcisi
Ψ
Dalga fonksiyonu
σi
Pauli spin matrisleri
γ
Kazanç ve kayıp faktörü
β
Yayılma sabiti
α
Alan parametresi
Δ
Ayar parametresi
ω
Açısal frekans
Ɛ
Özdeğer
ν
Yayılım ekseni
ᴦ
Gama fonksiyonu
ci
Komşu atomlar arası sabitler kümesi
ψ
Spinörler
D
Alan parametresi
ћ
İndirgenmiş Plank sabiti
m
Kütle
c
Işık hızı
e
Elektron yükü
Vf
Fermi hızı
P(a,b)
n (x)
Jacobi polinomları
Hn (x)
Hermit polinomları
H
Hamiltoniyen işlemcisi
p
Momentum işlemcisi
µ
Yayılım ekseni
wm, n
Wannier fonksiyonu
k
Dalga sayısı
xi
Simgeler
Açıklamalar
Ω'
Brillion bölgesi
E
Enerji
Kısaltmalar
Açıklamalar
NLDE
Doğrusal olmayan Dirac denklemi
NLSE
Doğrusal olmayan Schrödinger denklemi
SUSY-QM
Süpersimetrik kuantum mekaniği
TB
Tight-binding (Sıkı-bağ yaklaşımı)
1
1. GİRİŞ
Grafen, karbon atomlarından oluşan, bal peteği örgü yapısına sahip ve yalnızca bir atom
kalınlığındaki yapının adıdır. Örneğin, kurşun kalemlerde bulunan grafitin tek katman hali
olarak da bilinir. İki-boyutlu olarak tanımlanan malzeme, ilk defa 2004 yılında
sentezlenebilmiştir. Yaptıkları çığır açan deneyler sonucu iki bilim insanı Andre GEİM ve
Konstantin NOVOSELOV’a 2010 “Nobel Fizik Ödülü” nü kazandırmıştır [1]. Grafen,
çelikten daha sağlam, bakırdan daha iletken, yüksek termal iletkenlik ve gerilme direncine
sahip, kâğıttan milyon kez ince ve şeffaf olması gibi sıra dışı özelliklere sahiptir [2-7]. İkiboyutlu malzemenin bu özellikleri ve nadir bulunan bir madde olmaması, bilim
insanlarının araştırmalarının bu noktada yoğunlaşmasını sağlamıştır. Grafen üzerine birçok
araştırma konusu olmakla birlikte, bu araştırmalar başlıca; düz grafenin yük taşıyıcıları
olan kütlesiz fermiyonlar için Dirac-Weyl işlemcisinin modellenmesi [8-9], kesirli
kuantum Hall etkisi [9-10], iki-boyutlu Dirac elektronları için Klein tünellemenin
gözlemlenmesi [11-15], safsızlıklara cebirsel yaklaşım [16], grafen solucan delikleri [17]
ve bükülme modları [18-19] olarak sıralanabilir. Grafenin keşfi [20] ile bazı problemler de
çözüme kavuşmuştur. Bunlardan bazıları dik bir manyetik alanda grafen elektronlarının
etkileşimleri [21-24], konuma bağlı Fermi hızı ve analitik çözümler [25-27], grafende kiral
simetrinin kırılması [28], (2+1) boyutlu uzay-zaman Dirac denkleminin tam çözümleri
[29], süpersimetrik kuantum mekaniği yöntemleri kullanılarak küresel moleküllerde
kütlesiz Dirac elektronları için analitik çözümlerdir [30]. Ayrıca grafenin niteliklerini
ortaya çıkran unsurlardan, karbon atomlarının bal peteği örgüsüne sahip olması ve bu yapı
içerisinde elektronların davranışları etken bir role sahiptir.
Grafen, yarı-metal veya sıfır yasak enerji bant aralığı olan bir yarı-iletkendir. Düşük
enerjili elektronlar, Fermi-Dirac istatistiğine uyan parçacıklar olarak tanımlanır ve bir katı
madde içerisindeki hareketi göreli olmayan, Schrödinger hareket denklemi ile açıklanır.
Ancak bu durum grafen elektronları için farklıdır. Grafen yüzeyinde hareket eden
elektronların düşük enerjili elektronik uyarılmaları Dirac fermiyonları aracılığıyla
tanımlanır (Novikov, 2007). Grafen elektronları ışık hızına yakın hızlarda hareket eden
fermiyonların hareket denklemini tanımlayan Dirac denklemine uyarlar. Grafen
elektronlarının ilginç bir özelliği de kütlesiz parçacıklar gibi davranmasıdır. Bu yüzden
grafen elektronlarına kütlesiz Dirac fermiyonları da denmektedir ve hareket Dirac
2
denkleminin kütleden bağımsız parçacıklar için kısıtlanmış bir biçimi olan Weyl spinörleri
ile ifade edilir. Bu spinörler süper-eş Hamiltoniyenlere eşlik eder. Dirac-Weyl denklemi
için Hamiltoniyen işlemcisi H olmak üzere; H= Vf (σ
⃗ .p⃗ ) şeklinde ifade edilir. Vf Fermi hızı
ve sabit bir niceliktir (Vf ≈106 m⁄s), p⃗ iki-boyutta momentum işlemcisi p⃗ =(px ,py ) ve
⃗ =(σx ,σy ) Pauli spin matrisleridir. Ayrıca yapının bal peteği (düzgün altıgen yapı)
σ
örgüsüne sahip olması, enerji-momentum ilişkisini birçok malzemeden farklı olarak
karşımıza çıkartmıştır. E, enerji olmak üzere, E=±Vf p şeklinde ifade edilmiştir. + ve –
işaretler sırasıyla iletkenlik ve valans bantlarını temsil etmektedir. Bu denklem kütlesiz
rölativistik parçacıklar için verilen denklem ile aynıdır. Ancak burada, ışık hızı “c” yerine
Fermi hızı (Vf =c/300) kullanılmıştır [ 31].
3
2. GRAFENDE DAĞINIM FONKSİYONU
Grafende karbon atomlarının düzgün altıgen örgüye sahip olduğu önceki bölümde de ifade
edilmiştir. Bahat-Treidel, Peleg, Grobman, Shapira, Segev ve Pereg-Barnea (2010)’ nın
çalışmalarına göre, altıgen örgü, iki üçgen alt örgü ile oluşturulur ve uygun bir sıkı bağ
(TB; tight-binding) modeli ile ifade edilebilmekdetir ve Ablowitz, Nixon, ve Zhu (2009)’
nun çalışmasında ise, sıkı bağ yaklaşımında A ve B örgüleri alt örgüler olmak üzere; bal
peteği örgü iki üçgen alt örgüye kırılmış olabilir şeklinde bir yaklaşım mevcuttur.
ψ, tek renkli bir alanının paraksiyel yayılımı olmak üzere, altıgen örgünün kırılma indisi
hesaba katılarak oluşturulan yapı doğrusal olmayan Schrödinger denklemi ile ifade edilir
(Bahat ve diğerleri, 2010) ve
∂ψ
1
i ∂z =- 2k ∇2⊥ ψ-
kδn (x,y)
n0
̂ψ
ψ≡H
(2.1)
şeklinde yazılır. Denklem optoelektronikte paraksiyel dalga denklemi olarak tanımlanır ve
Helmholtz denkleminden türetilebilir. Paraksiyel yayılım; gerçekte bir ışık kaynağından
çıkan ışık demetinin ne düzlem dalga ne de tam olarak küresel dalga olduğunu ifade eder
ve ışık demetinin enlemsel değil eksensel olarak yayıldığı kabul edilir [32]. Burada δn ;
kırılma indisinde değişim fonksiyonu, k; dalga sayısı, n0 ; arka plan kırılma indisi, ∇2⊥ ; iki
∂2
∂2
boyutta Laplace işlemcisi (∂x2 + ∂y2 ) ve
kδn (x,y)
n0
; optik potansiyel olarak tanımlanmıştır. Eş.
̂ U=βU öz-değer
2.1’ in çözümü için ψ(x,y,z)=U(x,y)exp(iβz) dönüşümü uygulanır ve H
denklemi çözülür. β; yayılım sabiti ve kuantum mekaniğinde enerjiye eşdeğerdir. Sadece
en yakın komşu atomlar için TB’ de Hamiltoniyen;
H0 =- ∑ ∑
n
j=1,2,3
cj (a*n bn+dj +b* n+dj an )
(2.2)
ile verilir ve cj ; komşu atomlar arası bir sabitler kümesi ve c1 =ct,c2 =c3 =c’ dir. dj ; en yakın
komşu atomların bağlantı vektörleri, an ve bn ; genlikler kümesi olarak düşünülebilir [33].
4
2-boyutlu bir örgüde ışık demetinin yayılımı doğrusal olmayan Schrödinger örgü denklemi
(NLSE) ile ifade edilir (Ablowitz ve diğerleri, 2009). Yani;
∂ψ
i ∂z +∇2 ψ-V(r)ψ+σ|ψ|2 ψ=0.
(2.3)
σ=±1 ve lineer olmayan terimin katsayısı olarak tanımlanır. V(r); 2-boyutlu periyodik
potansiyel ve r=(x,y)’ dir.
Bloch Teoremi: Bloch dalgası ya da durumu, periyodik potansiyel içerisinde bulunan bir
parçacığa ait dalga fonksiyonudur. Böyle bir sisteme ait olan öz-vektörlerin bir düzlem
dalga fonksiyonuyla, bir periyodik fonksiyonun (periyodik Bloch fonksiyonu) u(r)’ nin
çarpımından elde edilebileceğini söyler. Bloch fonksiyonu ifade edilen potansiyelle özdeş
periyodikliğe sahiptir [34] ve
⃗
ψ(r)=eir.k u(r)
ile ifade edilir. Petek örgünün bant yapısı doğrusal örgü denkleminden elde edilebilir ve
Eş. 2.3’ de doğrusal olmayan terim ihmal edilirse;
∂ϕ
i ∂z +∇2 ϕ-V(r)ϕ=0
(2.4)
denklemi yazılabilir. Burada ϕ=exp(-iµz)u(r) olmak üzere, Bloch yöntemi ile birlikte bir
öz-değer problemi elde edilir. Öz-değer denklemi;
µu+∇2 u-V(r)u=0
(2.5)
olur. µ(k⃗ ); yayılım yüzeyi ve ⃗k=(kx , ky ) dalga sayısıdır. Bloch yöntemi zarfında yayılım
için tanımlanan denklemler türetilebilir. Bloch yönteminin k düzlemine bağlı biçimi
u(r;k⃗ )=exp(ik⃗ .r)U(r;k⃗ )’ dir. u(r;k⃗ ) için Fouier serisi açılımı kullanılır ve buradan;
⃗ .v⃗ 2 )
u(r;k⃗ )= ∑m, n wm, n (r)exp(-imk⃗ .v⃗ 1 -ink
(2.6)
5
ifadesi yazılırken; burada wm, n =
1
∫ ' u(r;k⃗ )exp(-imk⃗ .v⃗ 1 -ink⃗ .v⃗ 2 )dk;
|Ω' | Ω
Wannier fonksiyonu,
⃗⃗ m, n )
Ω' ; Brillion bölgesi (k düzleminde birim hücre)’ dir. Bu tanımdan, wm, n =w0,0 (r⃗ -R
⃗ m, n ise hücre konumunu ifade eder ve ⃗R
⃗ m, n =mv⃗ 1 +nv⃗ 2 ’ dir. m ve n birer tam
yazılabilir. ⃗R
sayıdır. v⃗ 1 ve v⃗ 2 ilkel örgü vektörleridir.
a)
b)
))
Şekil 2.1. a) Fiziksel örgü b) Ters örgü (Bahat-Trediel ve diğerleri, 2010)
Şekil 2.1.a)’da fiziksel örgü gösterilmiştir ve koyu olarak verilen bölge birim hücredir,
v⃗ 1 ve v⃗ 2 birim hücre vektörlerini ifade eder. Şekil 2.1. b)’ de ise ters örgü gösterilmiştir ve
burada da koyu olarak verilen bölge Brillion bölgesidir. (Bahat-Trediel ve diğerleri,
2010)Benzer bir açılım k-düzleminde µ için yapılabilir.
µ(k⃗ )= ∑m, n µm, n (r)exp(-imk⃗ .v⃗ 1 -ink⃗ . v⃗ 2 )
(2.7)
olur. Wannier fonksiyonunun bu özellikleri nedeniyle Eş. 2.3’ ün bir çözümü;
⃗⃗ m, n )exp(-ik⃗ .R
⃗⃗ m, n )
ψ(r,z)= ∑m, n, α Cm, n, α (z)wα (r-R
(2.8)
olarak verilir ve 𝛼, farklı bant indisidir. TB yaklaşımında A ve B iki üçgen alt örgüye
kırılmış olabilecek bal peteği örgü için Eş. 2.8;
⃗⃗ m, n ) exp(-ik⃗ .A
⃗⃗ m, n )+bm, n (z)w
⃗⃗ m, n ) exp(-ik⃗ .B
⃗⃗ m, n )]
ψ(r,z)= ∑m, n [am, n (z)w
̃ (r-A
̃ (r-B
(2.9)
6
şeklinde yazılabilir. w
̃ (r); üçgen alt örgülerin herhangi biri ile ilişkili Wannier
⃗⃗ m, n ve B
⃗⃗ m, n ise alt örgülerin konumlarını tanımlar.
fonksiyonudur. A
Şekil 2.2. A ve B alt örgülerinin yapısı (Ablowitz ve diğerleri, 2009)
Bal peteği örgüyü, a ve b yerleri değiştirilmiş altıgen alt-örgüler oluşturur. Bundan dolayı
sıkı bağ modelinde bütün sistem, dinamikleri verilen denklemler ile açıklanabilmektedir
(Szameit, Rechtsman, Bahat-Treidel, Segev; 2011). Bu denklemler altıgen örgünün iki alt
örgü ile oluşturulan TB yaklaşımında elde edilen Hamiltoniyen, NLSE’ nin bir çözümü
olarak ifade edilen dalga kılavuzu ve doğrusal olmayan Dirac denkleminin (NLDE) iki
bileşenli spinörlerinin, altıgen örgüde bozonik komütasyon ilişkileri kullanılarak elde
edilmiştir [35-36]. Denklemler;
i∂z am, n =-Δam, n -iγam, n +c(tbm-1, n +bm, n-1 +bm, n+1 ),
(2.10)
i∂z bm, n =+Δbm, n +iγbm, n +c(tam+1, n +am, n-1 +am, n+1 )
(2.11)
şeklindedir. Burada c; komşu dalga kılavuzları arasında sabit bir niceliktir. γ; a ve b altörgülerinde dalga kılavuzlarının artan ve azalan parametreleri olarak açıklanır. Δ ayar
terimi ve ideal yapı için t=1 olarak tanımlanmıştır.
β(μ, ν) tayfın öz-durumları olmak üzere, düzlem dalga çözümleri Eş. 2.10 ve Eş. 2.11’de
yerine yazılarak elde edilebilir. Düzlem dalga çözümleri;
am, n =Aexp{i(βz+√3μm+νn)}
(2.12)
7
bm, n =Bexp{i(βz+√3μm+νn)}
(2.13)
ile verilir. Çözümlerde yer alan A ve B genlik, µ ve ν boyutsuz birer nicelik olarak
tanımlanmıştır. (µ,ν) enine dalga vektörünü temsil etmektedir ve √3 faktörü örgü yapısının
bir sonucudur [37]. Çözümler Eş. 2.10 ve Eş.2.11’ deki biçimlerine düzenlenir ise a
fonksiyonu için;
am+1, n =Aexp{i(βz+√3μ(m+1)+νn)}=am, n exp(+i√3μ)
(2.14)
am, n-1 =Aexp{i(βz+√3μ+ν(n-1))}=am, n exp(-iν)
(2.15)
am, n+1 =Aexp{i(βz+√3μ+ν(n+1))}=am, n exp(+iν)
(2.16)
i∂z am, n =i∂z [Aexp{i(βz+√3μm+νn)}]=-βam, n
(2.17)
ifadeleri elde edilir. Benzer düzenlemeler b fonksiyonu için yapılır.
bm-1, n =Bexp{i(βz+√3μ(m-1)+νn)}=bm, n exp(-i√3μ)
(2.18)
bm, n-1 =Bexp{i(βz+√3μ+ν(n-1))}=bm, n exp(-iν)
(2.19)
bm, n+1 =Bexp{i(βz+√3μ+ν(n+1))}=bm, n exp(+iν)
(2.20)
i∂z bm, n =i∂z [Bexp{i(βz+√3μm+νn)}]=-βbm ,n
(2.21)
eşitlikleri elde edilir. Eş. 2.18, Eş. 2.19, Eş. 2.20 ve Eş. 2.17 Eş. 2.10’ da yerine yazılır ve
-βam, n =-(Δ+iγ)am, n +c{tbm, n ex p(-i√3μ) +bm, n exp(-iν) +bm, n exp(+iν) }
-βam, n =-(Δ+iγ)am, n +cbm, n {tex p(-i√3μ) + exp(-iν) + exp(+iν) }
ifadeleri bulunur. Burada;
(2.22)
8
B
bm, n = A am, n
(2.23)
exp(-iν) + exp(+iν) =2cosν
(2.24)
olduğundan 2.23 ve Eş. 2.24 Eş. 2.22’de yerine yazılır ve
B
-βam, n =-(Δ+iγ)am, n +c A am, n {tex p (-i√3μ) +2cosν}
-βA=-(Δ+iγ)A+c{tex p (-i√3μ) +2cosν}B
(2.25)
bulunur. Benzer şekilde Eş. 2.14, Eş. 2.15, Eş. 2.16 ve Eş. 2.21 Eş. 2.11’de yerine yazılır
-βbm, n =+(Δ+iγ)bm, n +c{tam, n ex p(+i√3μ) +am, n exp(-iν) +am, n exp(+iν) }
-βbm, n =+(Δ+iγ)bm, n +cam, n {tex p(+i√3μ) + exp(-iν) + exp(+iν) }
(2.26)
ifadesi de elde edilir. 2.23 ve Eş. 2.24, Eş. 2.26’ da yerine yazılır
A
-βbm, n =+(Δ+iγ)bm, n +c B bm, n {tex p (+i√3μ) +2cosν}
-βB=+(Δ+iγ)B+c{tex p (+i√3μ) +2cosν}A
(2.27)
elde edilir. Eş. 2.25 ve Eş. 2.27 eşitlikleri birer homojen olmayan lineer denklem sistemi
olduğundan matris biçiminde yazılabilir. Bu matris
Δ+iγ
̂=(
H
-c{texp(+i√3μ) +2cosν}
-c{texp(-i√3μ) +2cosν}
-Δ-iγ
)
(2.28)
ve
A
A
̂ ( ) =λ ( )
H
B
B
(2.29)
9
şeklindedir. Yazılan bu matris ise bizi öz-değer problemine götürecektir. H x = λx olarak
verilen bir öz-değer probleminin sıfırdan farklı çözümlerinin var olabilmesi için karakteristik
determinant sıfıra eşit olmalıdır, det(H-λI) = 0. O halde; H yerine Eş. 2.28’deki ifade ve λ yerine β
yazılır. Buradan;
Δ+iγ-β
det (
-c{tex p(+i√3μ) +2cosν}
-c{tex p(-i√3μ) +2cosν}
-Δ-iγ-β
) =0
β=±√Δ2 -γ2 +2iγΔ+c2 t2 +4c2 cos2 ν+4tc2 cosν cos√3μ
(2.30)
(2.31)
̂ Hamiltoniyeni Hermitik değildir. Eş. 2.31’ de elde edilen
bulunur. Dikkat edilirse, H
yayılma sabiti β için dağınım ilişkisi, yayılma yönünde faz değişim değerini de tanımlar.
Bal peteği örgüsünde ideal dağınım elde etmek için, Δ=γ=0 ve t=1 olmalıdır.
Şekil 2.3. Kompleks fotonik grafenin taslak çizimi
Şekil 2.4. Δ=γ=0 için klasik fotonik grafenin dağınım ilişkisi
10
Şekil 2.5.Konik Dirac bölgesi
µ, ν, β;(-3 , 3) aralığında ve β=±√1+4cos2 ν+4cosν cos√3μ tanımlandığı durumda Dirac
noktalarının oluştuğu gösterilmiştir (Şekil 2.4). µ; (-2,4 , -1,6), ν; (-1,6 , -0,8), β; (-0,5 , 0,5)
aralıkarında ve
β=±√1+4cos2 ν+4cosν cos√3μ tanımlanarak konik Dirac bölgesi
gösterilmiştir ve bu dağınım kütlesiz rölativistik bir parçacığın dağınım ilişkisine benzerdir
(Şekil 2.5).
Şekil 2.6. Δ=0,2 ve γ=0 için fotonik grafenin dağınım ilişkisi
Şekil 2.7. Genişletilmiş Dirac bölgesi
11
µ, ν, β; ( -3, 3) aralığında ve β=±√1,04+4cos2 ν+4cosν cos√3μ tanımlanarak aralıklı bir
dağınım gösterilmiştir (Şekil 2.6). Şekil 2.7’ de ise β=±√1,04+4cos2 ν+4cosν cos√3μ ve µ;
(-2,4 , -1,6), ν; (-1,6 , -0,8), β; (-0,5 , 0,5) aralılarında tanımlanarak bir hiperboloid iki
bölge oluşturulmuştur. Bu ise kütlesi olan rölativistik parçaçıklar için verilen dağınım
ilişkisine benzerdir.
Δ=γ=0 ve t=1 için ideal bir altıgen örgü elde edilmişitir ve bunun dağınım ilişkisi Şekil
2.4’ de gösterilmiştir. Bu sistemin çarpıcı özelliklerinden biri, birinci ve ikinci bantlar
arasında kesişme noktaları civarında sözde Dirac bölgelerinin varlığıdır. Eş. 2.28’ de
tanımlanan Hamiltoniyen sistemi Taylor serisi olarak genişletilebilir ve rölativistik Dirac
denklemine benzer bir matematiksel yapı elde edilebilir. Rölativistik kuantum parçacıklar
için Hamiltoniyen;
̂ =f(t)ν̃σx +ct√3μ̃ σy +(Δ+iγ)σ𝑧
H
(2.32)
ile tanımlanır. Burada σx,y,z Pauli matrisleri;
0
σx = (
1
1
0
) , σy = (
0
i
1
-i
) ,σz = (
0
0
0
)
-1
ve f(t)=2c√1-t2 /4 olarak verilirken; ters dalga vektörü (μ̃ ,ν̃)’ nün bileşenleri, μ̃ =μ-μ0 ve
ν̃=ν-ν0 ’ dır. Burada [μ0 ,ν0 ] Dirac noktasının verilen konumudur ve bu genişletmenin
geçerli olabilmesi için t<2 olmalıdır. Dirac noktası: Doğrusal enerji dağınım eğrilerinin
(yani E- (k)=-vf k ve E+ (k)=vf k) çakışma noktasıdır. Grafenin iki alt örgüsünden dolayı, iki
simetrik Dirac noktası bulunur, ve simetrik Dirac noktaları –K ve +K olarak adlandırılırlar.
Bu noktada enerji sıfırdır ve böylece grafen yarı-metaldir. Eş. 2.32’ de Δ ayarı Dirac
teorisinde rölativistik bir fermiyonun kütlesinde etken bir rol oynar. Kayıp ve kazanç
faktörü γ ise sanal kütle ile temsil edilir. Δ=γ=0 için Dirac bölgesi, kütlesiz bir parçacığın
dağınım ilişkisine benzerdir ve Şekil 2.5’ de gösterilmiştir. Bunun aksine, her iki alt örgü a
ve b Δ>0 ayarı durumunda, bantlar arasında bir enerji aralığı açılır ve Şekil. 2.6’ da
gösterilmiştir. Δ=0,2 için Şekil. 2.7’ de genişletilmiş Dirac bölgesi çift tabakalı bir
12
hiperbolid formunda bir dağınım ilişkisi ortaya koyar. Bu ise kütleli bir rölativistik
parçacığın dağınım ilişkisine benzerdir. Kayıp ve kazanç faktörü tanımlandığı zaman
durum kesin bir şekilde değişir. γ=0 için Hamiltoniyen Hermitiktir. Sonuçta öz-değer
spektrumu saf reeldir. γ>0 sonucunda Hamiltoniyen Hermitik değildir ve elde edilen özdeğerler spekturumu reel değildir. Eş. 2.31’ e göre eğer Δ=0 ve t=1 ise her γ için Dirac
bölgesinde bir sanal β vardır. Bu durum kesin olarak altıgen örgüde olur [37].
13
3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİ (SUSY-QM)
3.1. Süpersimetri
Süpersimetri, bozonların fermiyon haline dönüşümünü ve bunun tam tersi olan
fermiyonların bozon haline dönüşümünü sağlayan bir simetri olarak tanımlanır. Bu teoride
iki temel parçacık birbirinin süper-eşi olarak isimlendirilir ve her bir süper-eş çiftinin aynı
kütle ve iç kuantum sayısına sahip olması gerektiğini öngörülür. Fakat günümüzde
süpersimetrik eş parçacıklar deneysel olarak hiç gözlemlenememiştir. Şimdiye kadar
süpersimetrik bir süper-eş parçacığın gözlemlenememiş olması ise gözlemlediğimiz
uzayda süpersimetrinin kırılmış olmasına bağlanmaktadır. Açıkça söylenebilir ki,
öngörülen kanıtların oluşmaması süpersimetrinin günümüzde birçok problemin çözümüne
olanak sağlamış olduğu gerçeğini değiştirmemiştir [38-39].
Süpersimetri, sadece ve sadece parçacık ve yüksek enerji fiziğine özgü bir konu değildir. 1-boyutta
süpersimetrik modelin inşa edilmesinin ardından kuantum mekaniği [40-42], istatistik mekanik [4345] ve yoğun madde fiziğinde [46-48] de çok geniş yer bulmuştur. Süpersimetri ilk olarak 1971’de
Ramond tarafından çalışılmıştır. Bozonlar için ileri sürdüğü dual modelin yapısındaki serbest
fermiyonlar için bir dalga denklemi yazarak, ki özellikleri Virasoro cebrine uymaktadır,
süpersimetrinin temelini atmıştır [49].
3.1.1. Süpersimetri cebri
Simetri ve özellikleri matematiksel olarak grup teorisi yardımı ile açıklanır. Bunların içerisinde
dönme ve öteleme grupları, izospin ve yük gibi iç simetriler bulunabilir. Dönme ve öteleme grup
üreteçleri bir Lie cebri oluşturur. İç simetriler ise skaler üreteçler tarafından üretilebilir [39].
Süpersimetriyi kuantum mekaniği ile ilişkilendirmek için kuantum mekaniğindeki harmonik
titreştirici örneği altında tanımlamalar yapılır. Bozonlar için Hamiltoniyen işlemcisi (HB );
-ℏ
2
1
HB = 2m p2 + 2 mωB 2 x2
şeklinde ifade edilir ve bozonlar için yaratma (bϯ ) ve yok etme (b) işlemcileri;
(3.1)
14
bϯ =-
b=
i
√2ωB
i
√2ωB
(p+iωB x)
(3.2)
(p-iωB x)
(3.3)
d
ifadeleri ile tanımlanmaktadır. Burada p=-idx’ dir. ħ=m=1 atomik birim sistemi kullanılmıştır ve Eş.
3.1 bir anti-komütatör eşitliği şeklinde yazılabilir,
HB =
ωB
2
{bϯ ,b}.
(3.4)
Witten Kuantizasyonu
Witten
modelinde
1-boyutlu
süpersimetrik
kuantum
sistemi
harmonik
titreştiricinin
genelleştirilmesidir (Bagchi, 2001). Yaratma ve yok etme işlemcileri için ket ilişkileri b|n⟩=√ n|n-1⟩,
bϯ |n⟩=√n+1 |n+1⟩ ve NB sayı işlemcisi; NB =bϯ b olmak üzere NB |n⟩=n|n⟩ nB =n’ dir (n=0,1,2…).
Komütatör ilişkisi [b,bϯ ]=1 ve bϯ →b yer değişimi altında HB simetriktir. O halde
HB =ωB (bϯ b+ 1⁄2 )=ωB (NB + 1⁄2 )
(3.5)
eşitliği tanımlanır. Bozonik enerji (EB );
EB =ωB (nB + 1⁄2 )
(3.6)
olur. Öte yandan, fermiyonlar için yaratma (aϯ ) ve yok etme (a) işlemcileri ise;
1
a= 2 σ1
aϯ = 2 σ+
(3.7)
(3.8)
şeklinde tanımlanır. Fermiyonlar için kullanılabilecek bu işlemciler σ± =σx ±iσy ve [σ+ ,iσ-]=4σz ile
birbirlerine bağlıdır. Burada σx ,σy ,σz Pauli spin matrisleridir. İşlemcilerin anti-komütatör ilişkileri
15
ise {a, a}={aϯ ,aϯ }=0,{a,aϯ }=1 ve NF =aϯ a’ dır. aϯ , a yer değişimi altında HF (fermiyonlar için
Hamiltoniyen işlemcisi) anti-simetriktir. Buradan da
HF =ωF (NF - 1⁄2 )
(3.9)
elde edilir. Fermiyonik Hamiltoniyen’ e karşılık gelen enerji (EF );
EF =ωF (nF - 1⁄2 ) ,
(nF =0, 1)
(3.10)
olur. Sistemin toplam enerjisi E;
E=EF +EB
=ωF (nF - 1⁄2)+ωB (nB + 1⁄2 )
1
(3.11)
1
bulunur. E, nF →nF + 2 ve nB →nB - 2 ötelemeleri altında değişmez kalır ve genel olarak ω=ωF =ωB
alınırsa Eş. 3.11
E=ω(nF +nB )
(3.12)
olarak ifade edilir. Taban enerji durumunda (nF =nB =0) iken, dejenere olmayan fermiyon ve bozon
tayfları taban durumunun dışındaki durumlarda çift katlı dejeneredir. Taban durumunda 0 enerji özdeğeri, kırılmamış süpersimetri anlamına gelir. Bu sıfır değeri süpersimetrik taban durum enerjisine
bozon ve fermiyon katkılarının olmaması demektir. Q; yük işlemcisi olmak üzere;
Q=√ω b⊗aϯ ,
(3.13)
Qϯ =√ω bϯ ⊗a
(3.14)
şeklinde bir dış çarpım ile tanımlanırken, süpersimetrik Hamiltoniyen(HS );
HS =ω(bϯ b+aϯ a)
16
={Q, Qϯ }
(3.15)
olur. Buradan da {Qϯ , Qϯ }=0, {Q, Q}=0, [Qϯ , HS ]=0, [Q, HS ]=0 komütatör ve anti-komütatör
ilişkileri elde edilir. Ayrıca yük işlemcilerinin durumlara etkisi
Qϯ |nB ,nF ⟩=√ω(nB + 1) |nB +1,nF -1⟩
(3.16)
Q|nB ,nF ⟩=√ωnB |nB -1,nF +1⟩
(3.17)
dir. Diğer taraftan süpersimetrik Hamiltoniyen matris biçiminde
2
1
ω
HS = 2 (p2 +ω2 x2 )1̂ + 2 σ̂ z
(3.18)
ile ifade edilirken, diferansiyel işlemciler
1 d2
1
1 d2
1
H-=- 2 dx2 + 2 (ω2 x2 +ω)=ωbbϯ
H+ =- 2 dx2 + 2 (ω2 x2 -ω)=ωbϯ b
(3.19)
(3.20)
olmak üzere, aynı zamanda
HS =diag(H-, H+ )
1
σ̂
=ω(bϯ b+ 2 )1̂ +ω 2z
(3.21)
ile verilir. Eş. 3.19 ve Eş. 3.20’ de süper-eş Hamiltoniyenler (H± ) tanımlanmıştır. Süper-eş
potansiyeller (V± ) ise;
1
V± (x)= 2 [W2 (x)∓
dW(x)
dx
]
(3.22)
17
olarak tanımlanır. W(x) süper-potansiyel fonksiyonudur. Süpersimetrik Hamiltoniyen W(x)
cinsinden şöyle verilir;
1
σ̂ dW(x)
HS = 2 [p2 +W2 (x)]1̂ + 23 dx
(3.23)
ve yük işlemcileri;
Q=
1
√2
Qϯ =
0
0
W(x)+ip
)
0
(3.24)
0
0
)
W(x)-ip 0
(3.25)
(
1
√2
(
biçimlerine dönüşür. Yaratma ve yok etme işlemcileri yeniden tanımlanırsa,
d
√2ωb⟶L-=W(x)+ dx
d
ϯ
√2ωb ⟶L+ =W(x)- dx
(3.26)
(3.27)
olur ve Eş. 3.25 ve Eş. 3.26’ den süpersimetrik Hamiltoniyen
1
σ̂
2HS = 2 {L-, L+ }1̂ + 23 [L-, L+ ]
1
HS = 2 diag (L-L+ , L+ L-)
(3.28)
haline gelir.
Süper-eş Hamiltoniyenler
H+ ψ+n =E+n ψ+n ve H-ψ-n =E-n ψ-n ifadeleri ile verilen süper-eş Hamiltoniyenlere karşılık gelen özdeğerler birbirleri ile ilişkilidir ve bu ψ+n ve ψ-n dalga fonksiyonları arasında da bir ilişki meydana
getirir. Yani;
18
1
2
1
2
L+ L-(L+ ψ-n )=L+ H-ψ-n =E-n (L+ ψ-n )
(3.29)
L-L+ (L-ψ+n )=L-H+ ψ+n =E+n (L-ψ+n )
(3.30)
olur ve buradan
ψ-n =
1
√2E+n+1
ψ+n+1 =
1
√2En
L-ψ+n+1
(3.31)
L+ ψ-n
(3.32)
elde edilir. Eş. 3.30 ve Eş. 3.31 E+n+1 =E-n (n=0, 1, 2…) sonucuna ulaşılır ve taban durumu dışında
her iki Hamiltoniyen spekturumu eşittir. Farklı potansiyeller için farklı enerji öz-durumları oluşur.
E+0 =0 olduğu gibi E0 =0 veya E+0 =E0 ≠0 olabileceği durumlarda mümkündür. Her iki öz-değer
-
-
denkleminin farklı Hamiltoniyenlerine karşılık taban durumu dışında birbirine eşit öz-durumlar
meydana gelir. Süpersimetrik kuantum mekaniğinde, H± ile temsil edilen kuantum sistemin enerji
seviyeleri, temel durum haricinde çift katlı dejeneredir. En =ω(nb +nf )=ωn, n= 0, 1, 2… enerji özdeğerleri düşünüldüğünde, taban durumu E0 =0, nb =nf =0 dejenere olmayan duruma karşı
gelmektedir. Oysa, En (n≥1) uyarılmış durumlar (nb , nf )=(n, 0) ya da (n-1, 1) olup çift katlı
dejeneredir ve aynı En =nω’ a karşı gelir [50-51].
En
H-
L-
H+
L+
-
Şekil 3.1. E0 =0 taban durumuna sahip spinör için süper-eş Hamiltoniyenlerin enerji spektrum
ilişkisi
19
3.2. Dirac-Weyl Denklemi
Grafen Dirac elektronu Fermi hızı ile hareket eder ve kütlesiz bir yarı-parçacık gibi davranır. Bir
Dirac elektronu için Dirac noktası etrafında etkin Hamiltoniyen;
̂ =Vf (σ̂ .p̂ )
H
(3.32)
şeklindedir. Burada
σ̂ =(σx , σy ) Pauli matrisleri ve p̂ =-iℏ(∂x , ∂y ) iki boyutlu momentum
işlemcisidir. (2+1) boyutta kütlesiz Dirac-Weyl denklemi;
Vf (σ̂ .p̂ )Φ(x, y, t)=iℏ
∂Φ(x, y, t)
(3.33)
∂t
şeklindedir. Eş. 3.33’ de Φ(x, y, t)=Ψ(x, y)exp(-iEt/ħ) dönüşümü ile Dirac-Weyl denklemi
değişkenlerine ayrılabilir. Zamandan bağımsız Dirac-Weyl denklemi;
Vf (σ̂ .p̂ ) Ψ(x, y)=EΨ(x, y)
(3.34)
olur. Bir Dirac elektronu ile grafen yüzeyine dik bir manyetik alanın etkileşimi sonucu momentum
⃗⃗ /c olarak ötelenir. A
⃗⃗ =(0, Ay , 0) olmak üzere manyetik vektör potansiyelidir.
işlemcisi p⃗ →p⃗ +eA
Diğer taraftan spinör dalga fonksiyonu Ψ(x, y)=(ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y))T yani sütun matrisi şeklinde
yazılır. Manyetik alan ayarı ile ötelenen momentum işlemcisi ve sütun matrisi olarak yazılan özvektör Ψ; ϕ1 (x, y) ve ϕ2 (x, y) olmak üzere iki bileşenli olup, birbirine bağlı iki denklem haline
getirilen Dirac-Weyl denklemi;
T
e
-iħVf [(σx , σy ). {(∂x , ∂y )+ ħc (Ax , Ay )}] (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)) =E (ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y))
e
e
T
T
T
-i[ {σx ∂x +σy ∂y + ħc σx Ax + ħc σy Ay } ] (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)) =Ɛ (ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y))
(3.35)
haline dönüşür. Bu Dirac denkleminin skaler biçimini elde etmek için aşağıdaki adımları
izleyeceğiz. Burada Pauli spin matrisleri σx , σy olmak üzere,
20
0
σx = (
1
1
0
) , σy = (
0
i
-i
) , Ɛ=E/ħVf
0
olarak ifade edilir ve Eş. 3.35’ de yerlerine yazılırsa
-i [(
0
∂x
)+(
0
i∂y
0
∂x
-i∂y
0
e
) + ħc (
Ax
0
0
Ax
e
) + ħc (
0
iAy
T
-iAy
)] (ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y)) =
0
Ɛ (ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y))
T
(3.36)
elde edilir ve Eş. 3.36’ dan;
∂
e
∂
e
∂
e
-i {∂x +i ħc Ax -i ∂y + ħc Ay } ϕ2 (x, y)=Ɛϕ1 (x, y) ,
∂
(3.37)
e
-i {∂x +i ħc Ax +i ∂y - ħc Ay } ϕ1 (x, y)=Ɛϕ2 (x, y)
(3.38)
elde edilir. Dirac-Weyl denkleminden elde edilen Eş. 3.36 ve Eş. 3.37, birinci mertebeden birer
diferansiyel denklem olmakla birlikte Eş. 3.37’ de ϕ2 (x, y) yalnız bırakılıp Eş. 3.36’ da yazılır
böylece ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem elde edilmiş olur. Burada ikinci mertebe bir
diferansiyel denklem elde etmekteki amaç bir öz-değer problemi oluşturmaktır ve bu öz-değer
problemine çözüm aramaktır. Bunun yanı sıra denklemi tek boyuta indirgemek problemi daha da
basitleştirecektir. Simetri yönü y-ekseni olarak düzenlenir ve Landau ayarı ile birlikte vektör
⃗ (x)=(0, Ay (x), 0) olarak seçilir. ⃗B
⃗⃗ olduğundan ⃗B
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗ =(0, 0, B(x)) ve
potansiyeli ⃗A
B(x)=
dAy (x)
dx
olacaktır. Bu ayar ile birlikte Eş. 3.36 ve Eş. 3.37 y-ekseninden bağımsız olacaktır ve
T
dalga fonksiyonunu ise Ψ(x, y)=exp(iky)(ψ-(x), iψ+ (x)) biçiminde yazılarak dalga fonksiyonları
y-ekseninden bağımsız hale getirilir (Kuru, Negro and Nieto; 2009). k; y-ekseni yönünde dalga
sayısıdır. O halde ϕ1 (x,y)= exp(iky) ψ-(x),ϕ2 (x,y)= iexp(iky) ψ+ (x)’ dır. Bu düzenlemeler Eş.
3.37 ve Eş. 3.38’ de yerlerine yazılır.
∂
∂
e
-i {∂x -i ∂y + ħc Ay (x)} iexp(iky) ψ+ (x)=Ɛ exp(iky) ψ-(x)
d
e
{dx +k+ ħc Ay (x)} ψ+ (x)=Ɛψ-(x)
(3.39)
21
ve
∂
∂
e
-i {∂x +i ∂y - ħc Ay (x)} exp(iky) ψ-(x)=Ɛ iexp(iky) ψ+ (x)
d
e
{- dx +k+ ħc Ay (x)} ψ-(x)=Ɛψ+ (x)
(3.40)
bulunur. Eş. 3. 40’ da ψ+ (x) yalnız bırakılıp Eş.3.39’ da yerine yazılır.
1
d
e
{- +k+ ħc Ay (x)} ψ-(x)=ψ+ (x)
Ɛ dx
d2
[- dx2 +(k+
eAy 2
ℏc
e
) + ℏc (
dAy
dx
)]ψ-(x)=Ɛ2 ψ-(x)
(3.41)
elde edilir. Benzer işlemler Eş. 3. 39’ da ψ-(x) yalnız bırakılıp Eş.3.40’da yerine yazılarak yapılır
1
d
e
{ +k+ ħc Ay (x)} ψ+ (x)=ψ-(x)
Ɛ dx
d2
[- dx2 + (k+
eAy 2
ℏc
e
) - ℏc (
dAy
dx
)]ψ+ (x)=Ɛ2 ψ+ (x)
(3.42)
olur ve Eş. 3.41 ve Eş. 3.42 ayrı ayrı birer öz-değer problemi olmakla birlikte burada
d2
H-:=[- dx2 +(k+
eAy 2
ℏc
e
) + ℏc (
dAy
)]
dx
(3.43)
ve
d2
H+ :=[- dx2 + (k+
eAy 2
ℏc
e
) - ℏc (
dAy
dx
)]
şeklinde süper-eş Hamiltoniyenler tanımlanmış olur [21].
(3.44)
22
3.3. Dirac-Weyl Denkleminde Spinörler
Dirac-Weyl denkleminden elde ettiğimiz süper-eş Hamiltoniyenlerin birbirleri ile ilişkileri
faktorizasyon yöntemi ile ifade edilebilir. Yaratma ve yok etme işlemcileri (Bkz. Eş. 3.25, Eş. 3.26)
süper-potansiyel fonksiyonu ile ilişkilidir. Dirac-Weyl denklemi için süper-potansiyel fonksiyonu
eAy
W(x)=k+
cℏ
(3.45)
’ dır. Buradan yaratma ve yok etme işlemcileri
L-=k+
eAy
L+ =k+
d
cℏ
+ dx ,
eAy
cℏ
d
- dx
(3.46)
olur. Eş. 3.39 ve Eş. 3.40 yeniden düzenlenirse
d
e
{dx +k+ ħc Ay (x)} ψ+ (x)=L-ψ+ (x)=Ɛψ-(x) ,
d
e
{- dx +k+ ħc Ay (x)} ψ-(x)=L+ ψ-(x)=Ɛψ+ (x)
(3.47)
(3.48)
ifadeleri elde edilir. Eş. 3.47’ de ψ-(x) yalnız bırakılıp E. 3.48’de yazılır. Ayrıca,
1
-
L ψ+ (x)=ψ-(x)
Ɛ
L+ L-ψ+ (x)=Ɛ2 ψ+ (x)
(3.49)
olur iken, benzer bir işlem de Eş. 3.48’ de ψ+ (x) yalnız bırakılıp Eş. 3.47’de yazılarak yapılır. Ve
1
+
L ψ-(x)=ψ+ (x)
Ɛ
23
L-L+ ψ-(x)=Ɛ2 ψ-(x)
(3.50)
bulunur. Eş. 3.49 ve Eş. 3.50, Eş. 3.41 ve Eş. 3.42 ile karşılaştırılırsa
d2
[- dx2 +(k+
d2
eAy 2
[- dx2 + (k+
ℏc
e
) + ℏc (
eAy 2
e
dAy
) - ℏc (
ℏc
dx
)]=H-=L-L+ ,
dAy
dx
)]=H+ =L+ L-
(3.51)
(3.52)
ifadeleri elde edilir. Eş. 3.51 ve Eş. 3.52 faktorizasyon yönteminde süper-eş Hamiltoniyenlerin
yaratma ve yok etme işlemcileri ile ilişkisini tanımlar. Diğer taraftan süper-eş Hamiltoniyenler
arasındaki ilişki bağdaşımlı dönüşümler olarak da verilebilir. Bu bağdaşımlı dönüşümler (Sukhatme,
Cooper and Khare; 2001, 32-33);
H-L-=L-H+ ,
(3.53)
H+ L+ =L+ H-
(3.54)
şeklinde tanımlanır. Süper-eş Hamiltoniyenlerin bir birleri arasındaki bu ilişkiler doğrultusunda özdurum ve spinörler arasında da benzer durumlar oluşur. H- tayfının bilindiği varsayılırsa, H+
tayfının da muhtemelen taban durum dışında aynı tayfa sahip olacağı söylenir. Bu özellik ayrı ayrı 3
karakteristik durum incelenerek gösterilebilir.
1. Durum
ε=Ɛ2 olmak üzere, H+ tayfının izin verilen öz-değerler kümesi {𝜀𝑛+ }, n = 0, 1, 2… olduğunda bu
duruma karşılık gelen reel spinörler kümesi {ψ+n } olur. Eğer H+ ’ nın taban durumu L- tarafından
yok ediliyorsa;
L-ψ+0 = 0
(3.55)
24
olur ve Eş. 3.52’ den H+ ’ nın taban durum öz-değeri 𝜀0+ = 0 elde edilir. H- tayfının öz-değerler
-
kümesi buradan oluşturulur. H- tayfının öz-değerler kümesi {εn } ise buna karşılık gelen spinörler
kümesi {ψ-n } olur. Burada H+ ve H- tayfının öz-değerleri arasındaki ilişki
-
εn-1 =ε+n
(3.56)
olur iken, spinörler arasındaki ilişki
-
ψn-1 (x)≔
1
√ε+
n
L-ψ+n (x), n=1, 2, 3…
(3.57)
olarak tanımlanır. Zamandan bağımsız Dirac-Weyl denkleminin (Bkz. Eş. 3.34) öz-fonksiyonları bu
ilişkiler altında elde edilir. Enerjiler indisler ile tanımlanır ve
Ɛ0 ≔ε+0 = 0 , Ɛ±n ≔±√ε+n =±√εn-1
-
(3.58)
olarak yazılabilir. Öz-fonksiyonlar ise;
Ψ0 (x, y)=eiky (iψ+0(x)) ,
0
Ψn (x, y)=eiky (
(x)
n-1
+
iψn (x)
ψ
),
n=1, 2, 3…
(3.59)
elde edilir. Öz-fonksiyonlar kullanılarak spektrum özelliklerini incelemek için yararlı iki fonksiyon
elde edilebilir. Bunlardan ilki olasılık yoğunluğudur. Olasılık yoğunluk fonksiyonu
ρn (x)=(Ψn )ϯ Ψn
-
-
2
ρn (x)=(ψn-1 (x))2 +(ψ+
n (x))
(x)
n-1
+
iψn (x)
ψ
=e-iky (ψn-1 (x) -iψ+n (x)) eiky (
)
(3.60)
25
olur iken; ikinci fonksiyon akım yoğunluğudur. Akım yoğunluğu fonksiyonu ise;
jn (x)=eVf (Ψn )ϯ σy Ψ
n
=eVf e-iky (ψn-1 (x) -iψ+n (x)) (0
i
-
-i) eiky (ψn-1 (x))
iψ+n (x)
0
-
jn (x)=2 eVf ψn-1 (x)ψ+n (x)
(3.61)
olarak elde edilir. Bu fonksiyonlar durağan durumlara karşılık gelirler ve y-ekseninden
bağımsızdırlar.
2. Durum
-
İlk duruma benzer bir durum olarak H- tayfının öz-değerler kümesi {εn } , n=0, 1, 3… bilindiği
varsayılırsa bu öz-değerlere karşılık gelen spinörler kümesi {ψ-n } olur ve
L+ ψ0 = 0
-
(3.62)
-
yazılabilir. Buradan H- tayfının taban durum öz-değeri εn = 0 elde edilir. H+ ve H- tayfının özdeğerleri arasındaki ilişki
εn =ε+n-1
-
(3.63)
olur. Buradan da spinörler arasındaki ilişki
ψ+n-1 (x)≔
1
√εn
L+ ψ-n (x), n=1, 2, 3…
(3.64)
ifadesi ile tanımlanır. Bu durum için enerji indisleri yeniden tanımlanırsa
Ɛ0 ≔ε0 = 0 , Ɛ±n ≔±√εn =±√ε+n-1
-
-
(3.65)
26
olarak ifade edilir. Zamandan bağımsız Dirac-Weyl denkleminin öz-fonksiyonları iki spinör
bileşenli olarak yeni durum için yazılır.
Ψ0 (x, y)=eiky (
-
ψ0 (x)
),
0
Ψn (x, y)=eiky (
ψ-n (x)
),
iψ+ (x)
n=1, 2, 3…
(3.66)
n-1
olur iken; olasılık yoğunluğu için Eş. 3.66 kullanılarak
ρn (x)=(Ψn )ϯ Ψn
=e-iky (ψ-n (x) -iψ+n-1 (x)) eiky (
ψ-n (x)
)
iψ+ (x)
n-1
2
2
(x)) +(ψ+n-1 (x))
ρn (x)=(ψ−
n
(3.67)
elde edilirken; akım yoğunluğu için de Eş. 3.66 kullanılarak
jn (x)=eVf (Ψn )ϯ σy Ψ
n
=eVf e-iky (ψ-n (x) -iψ+n-1 (x)) (0
i
jn (x)=2 eVf ψ-n (x)ψ+n-1 (x)
-i) eiky ( ψ-n (x) )
iψ+ (x)
0
n-1
(3.68)
bulunur.
3. Durum
Her iki durumdan farklı olarak bu durumda H+ ve H- tayfının öz-değerleri aynı taban durumuna
sahip iken; her iki süper-eş Hamiltoniyenin taban durumunu öz-değeri sıfırdan farklı olmalıdır. O
halde;
L+ ψ0 ∝ψ+0 ≠0,
-
27
-
L-ψ+0 ∝ψ0 ≠0
(3.69)
ifadeleri yazılabilir. H+ ve H- tayfının öz-değerleri arasındaki ilişki ise;
-
εn =ε+n =εn
(3.70)
elde edilirken; spinörler arasındaki ilişki için
ψ-n (x)≔
ψ+n (x)=
1
√ εn
1
√ εn
L-ψ+n (x),
L+ ψ-n (x)
(3.71)
tanımlamaları yapılır. Dirac-Weyl denkleminin tayf durumlarını için enerji indisleri
Ɛ±0 ≔±√𝜀0 ≠ 0, Ɛ±n ≔±√𝜀𝑛 ,
n=1, 2, 3…
(3.72)
tanımlanır iken; iki bileşenli durağan öz-fonksiyonlar da;
ψ- (x)
Ψn (x, y)=eiky (iψn+ (x)) ,
n=0, 1, 2…
n
(3.73)
olur. Eş. 3.73’ den yola çıkarak iki durum fonksiyonu da elde edilebilir. Olasılık yoğunluk
fonksiyonu
ρn (x)=(Ψn )ϯ Ψn
ψ- (x)
=e-iky (ψ-n (x) -iψ+n (x)) eiky (iψn+ (x))
n
2
2
(x)) +(ψ+n (x))
ρn (x)=(ψ−
n
elde edilirken; akım yoğunluk fonksiyonu da;
jn (x)=eVf (Ψn )ϯ σy Ψ
n
(3.74)
28
=eVf e-iky (ψ-n (x) -iψ+n (x)) (0
i
-i) eiky ( ψ-n(x) )
iψ+n (x)
0
jn (x)=2 eVf ψ-n (x)ψ+n (x)
(3.75)
bulunur.
3.4. Enerji Öz-değerleri ve Şekil Değişmezlik (Shape Invariance)
İki süper-eş potansiyel arasında
V-(x; a1 )=V+ (x; a2 )+R(a1 )
(3.76)
şeklindeki bir ilişki şekil değişmezlik olarak tanımlanır (Bagchi, 2001, 96). a1 ve a2 iki farklı ayar
değişkenleri ve bu değişkenler arasındaki ilişki ise;
a2 =f(a1 ) ile verilir. Burada R(a1 ) x
konumundan bağımsızdır. Enerji öz-değerleri için başlangıç olarak taban durumun öz-değeri
ε+0 = 0 ,
(3.77)
olduğu kabul edilirse; süpersimetri hesaplamalarından bu öz-değere karşılık gelen spinör
x
ψ+0 (x;a1 )=Nexp(- ∫ W(y;a1 )dy)
(3.78)
olur. Diğer taraftan süper-eş Hamiltoniyenler
d2
H(0) ≡ H+ =- dx2 +V+ (x; a1 ) ,
d2
H(1) ≡ H-=- dx2 +V-(x; a1 )
(3.79)
ile tanımlanır. Eş. 3.76’ dan;
d2
H(1) ≡ H-=- dx2 +V+ (x; a2 )+R(a1 )
(3.80)
29
bulunur. Burada benzer bir işlem H(1) birinci süper-eş Hamiltoniyen olarak ele alınıp ortak bir
(1)
̃
üçüncü süper-eş Hamiltoniyen türetilebilir. Bunun için ise H(1) Hamiltoniyeni H
olarak ötelenir.
2
̃ (1) ≡ H
̃ + =- d 2 +V+ (x; a2 ) ,
H
dx
2
̃ (2) ≡ H
̃ -=- d 2 +V-(x; a2 )
H
dx
̃ (2) ≡ H
̃ -=H
d2
dx2
+V+ (x; a3 ) + R(a2 )
(3.81)
olur iken; süper-eş Hamiltoniyenler
d2
H(0) =- dx2 +V+ (x; a1 )
d2
H(1) =- dx2 +V+ (x; a2 )+R(a1 )
d2
H(2) =- dx2 +V+ (x; a3 )+R(a1 ) + R(a2 )
(3.82)
yazılabilir. a1 , a2 , a3 değişkenleri arasında da bir ilişki vardır ve bu ilişki ise;
a2 =f(a1 ),
a3 =f(a2 )= f(f(a1 ))
(3.83)
-
’ dir. Enerji öz-değerleri için süper-eş Hamiltoniyenlerin ψ0 taban durum spinörüne etkileri birer
öz-değer problemi ile ele alınarak bulunabilir.
d2
H(0) ψ+0 (x;a1 )=[- dx2 +V+ (x; a1 )]ψ+0 (x;a1 ) = 0,
(3.84)
30
d2
H(1) ψ+0 (x;a2 )=[- dx2 +V+ (x; a2 )]ψ+0 (x;a2 )+R(a1 )ψ+0 (x;a2 )
H(0) (x;a2 )ψ+0 (x;a2 )= 0
= R(a1 )ψ+0 (x;a2 ),
(3.85)
d2
H(2) ψ+0 (x;a3 )=[- dx2 +V+ (x; a3 )]ψ+0 (x;a3 )+[R(a1 ) +R(a2 )]ψ+0 (x;a3 )
H(0) (x;a3 )ψ+0 (x;a3 )= 0
= [R(a1 )+R(a2 )]ψ+0 (x;a3 ),
(3.86)
eşitlikleri bulunur. Eş. 3.82’ den ise k. süper-eş Hamiltoniyen
d2
H(k) =- dx2 +V+ (x; ak )+ ∑ki=1 R(ai )
(3.87)
elde edilir. Buradan da k. süper-eş Hamiltoniyenin taban durumuna karşılık gelen enerjisi
d2
H(k) ψ+0 (x;ak )=[- dx2 +V+ (x; ak )]ψ+0 (x;ak )+ ∑ki=1 R(ai ) ψ+0 (x;ak )
H(0) (x;ak )ψ+0 (x;ak )= 0
=∑ki=1 R(ai ) ψ+0 (x;ak )
(3.88)
bulunur. ψ+0 (x;ak ) taban durumun öz-fonksiyonu iken; taban durumun enerjisi;
(k)
ε0 =∑ki=1 R(ai )
(3.89)
olur. (k). Hamiltoniyen, H(k) ≡H(0) ≡H+ olduğundan Eş. 3.89 kullanılarak H+ Hamiltoniyeninin
enerji öz-değerleri
31
(+)
εn = ∑ni=1 R(ai ).
olur [50-52].
(3.90)
32
33
4. FARKLI MANYETİK ALANLAR İÇİN DİRAC DENKLEMİNİN
ÇÖZÜMLERİ
4.1. Sabit Manyetik Alan Etkisi
Grafen yüzeyine dik, pozitif z-ekseni yönelimli bir manyetik alan ayarının etkisi ile Dirac-Weyl
⃗ =(0, 0, B0 ) olarak
denkleminin çözümleri elde edilecektir. z-ekseninde pozitif sabit bir alan B0 ise ⃗B
temsil edilir.
⃗⃗
⃗⃗ =∇
⃗ xA
B
⃗B
⃗ =[∂ Az -∂z Ay ]x̂ -[∂ Az -∂z Ax ]ŷ +[∂ Ay -∂y Ax ]ẑ
y
x
x
(4.1)
olarak ifade edildiği bilinmektedir ve Landau ayarı olarak manyetik vektör potansiyeli de
⃗⃗A=(0, Ay (x), 0) olduğundan Eş. 4.1’ den
⃗⃗ = ∂x Ay ẑ ⇒ B0 =∂x Ay
B
Ay (x)=B0 x
(4.2)
bulunur. Süper-potansiyel fonksiyonu W(x) (Bkz. Eş. 3.45);
W(x) = k +
eB0
cℏ
1
cℏ
x≔k+ 2 ωx,
B0 = 2e ω
(4.3)
elde edilir. Elde edilen süper-potansiyel fonksiyonu kullanılarak süper-eş potansiyeller V± (x) (Bkz.
Eş. 3.21) oluşturulur.
1
d
1
V-(x)=( k+ 2 ωx)2 + dx (k+ 2 ωx)
V-(x)=
ω2
4
2k
1
(x+ ω )2 + 2 ω,
(4.4)
34
1
d
1
V+ (x)=( k+ 2 ωx)2 - dx (k+ 2 ωx)
V+ (x)=
ω2
4
2k
1
(x+ ω )2 - 2 ω
(4.5)
olur. Oluşturulan bu süper-eş potansiyeller kullanılarak süper-eş Hamiltoniyenler H- ve H+ (Bkz.
Eş. 3.43 ve Eş 3.44) bulunur. Yani,
d2
H-=[- dx2 +(k+
d2
H-=- dx2 +
ω2
eAy 2
ℏc
e
) + ℏc (
2k
dAy
dx
d2
)]=[- dx2 +V-(x)]
1
(x+ ω )2 + 2 ω,
4
d2
H+ =[- dx2 +(k+
d2
H+ = - dx2 +
eAy 2
ω2
4
ℏc
e
) - ℏc (
2k
(4.6)
dAy
dx
d2
)]=[- dx2 + V+ (x)]
1
(x+ ω )2 - 2 ω.
(4.7)
Burada süper-eş Hamiltoniyenlere karşılık gelen öz-değerler temelde aynıdır ama ω bir birim
ötelenmiştir. Yaratma ve yok etme işlemcileri (Bkz. Eş. 3.46)
d
1
L-= dx + k+ 2 ωx ,
d
1
L+ =- dx + k+ 2 ωx
(4.8)
olur. Enerji öz-değerleri şekil değişmezlik yöntemi ile elde edebilir. a1 ve a2 ayar değişkenlerinin
her ikisi de ω seçilerek artık ifade bulunur. (Bkz. Eş. 3.76)
V-(x; ω) = V+ (x; ω)+R(ω)
ω2
4
2k
1
(x+ ω )2 + 2 ω =
ω2
4
2k
(4.9)
1
(x+ ω )2 - 2 ω+R(a1 )
35
⇒ R(a1 ) = ω
elde edilir. a1 =a2 =…=an =ω ve R(a1 ) = R(a2 ) =… R(an ) = ω olur iken; Eş. 3.90’dan
ε+n =nω ; ε+0 =0
(4.10)
sonucu bulunur. Taban duruma karşılık gelen spinör ψ0 (x) yok etme durumunda;
L-ψ0 (x)=0⇒H+ ψ0 (x)=L+ L-ψ0 (x)=0
(4.11)
bulunur ve burada ψ0 (x)≡ψ+0 (x) iken; taban durumun enerji öz-değeri ε+0 = 0 olur ve taban durum
spinörü de buradan bulunabilir.
d
L-ψ0 (x)=0⇒ dx ψ0 (x)+W(x)ψ0 (x)=0
x
ψ0 (x)=Nexp[- ∫ W(y)dy]
x
1
=Nexp[- ∫ (k+ 2 ωy) dy]
1
ψ+0 (x)=Nexp[-kx-4 ωx2]
(4.12)
olur iken; burada N normalizasyon sabitidir.
∞
1=∫−∞ [ψ+0 (x)]* ψ+0 (x)dx
∞
1
1=N2 ∫−∞ exp[-(2kx+ 2 ωx2 )dx
1=N2 [√2π/ωexp(
ve
2k2
ω
ω 1/4
k2
)]⇒N=( 2π ) exp(- ω )
36
k2
ω 1/4
1
ψ+0 (x)= ( 2π ) exp[-( ω +kx+4 ωx2)]
(4.13)
ise normalize edilmiş taban durum spinörüdür. (Ɛ+0 )2 =ε+0 = 0’ dır. Eş. 4.3’den
1
W(x)=k+ 2 ωx
süper-potansiyel ve Eş. 4.4, Eş. 4.5’ den süper-eş potansiyeller
V-(x)=
ω2
V+ (x)=
4
ω2
4
2k
1
2k
1
(x+ ω )2 + 2 ω,
(x+ ω )2 - 2 ω
ise, Eş. 4.9’ dan;
V-(x; ω) = V+ (x; ω)+ω
(4.14)
olur ve
f(a2 )-f(a1 )=ω
(4.15)
olduğu görülebilir. Bunun sonucu olarak da;
f(an )-f(a1 )=nω
(4.16)
olacaktır. H+ ’ nın öz-değerlerinin biliniyor olması Eş. 3.56’ dan H- Hamiltoniyeninin özdeğerlerinin de biliniyor olduğunu gösterir. Burada Eş. 4.15 ve Eş. 4.16 kullanılarak
-
εn-1 =ε+n =nω , n=1, 2, 3…
bulunur. Zamandan bağımsız Dirac-Weyl denkleminin (Bkz. Eş. 3.34) öz-değerleri ise;
(4.17)
37
Ɛ±n ≔±√nω , n = 0, 1, 2…
(4.18)
olur iken bu öz-değerleri sağlayacak öz-fonksiyonları elde etmek için spinörler bulunur.
d2
H∓ =- dx2 +V∓
(4.19)
ve
V∓ =W2 ±
dW
(4.20)
dx
denklemlerinden;
d2
dW
H∓ =- dx2 +W2 ±
(4.21)
dx
elde edilir iken; bu Hamiltoniyen kullanılarak öz-değer problemi yazılırsa;
2
∓
H∓ ψ∓
=(Ɛ∓
n ) ψn
n
d2
[- dx2 +W2 ±
dW
dx
2
∓
]ψ∓
=(Ɛ∓
n ) ψn ]
n
(4.22)
olur. Eş. 4.3’ den süper-potansiyel fonksiyonu ve Eş. 4.18’ den de öz-değerler Eş. 4.22’ de yerine
yazılır.
d2
1
d2
1
1
[- dx2 +(k+ 2 ωx)2 ± 2 ω]ψ∓
=nωψ∓
n
n
1
[- dx2 +(k+ 2 ωx)2 - 2 ω(2n∓1)]ψ∓
=0
n
ifadesi oluşturulur.
(4.23)
38
4.1.1. Polinom çözümleri
ω 2k
Burada z = √ 2 ( ω +x) dönüşümü yapılırsa;
d
dz d
ω d
d2
ω d
ω d
ω d2
=√ 2 dz √ 2 dz = 2 dz2
dx2
=
=√ 2 dz ,
dx dx dz
(4.24)
olur ve Eş. 4.23 ise;
d2
[ dz2 -z2 +(2n∓1)]ψ∓
=0
n
(4.25)
elde edilir. Dönüşüm ile taban durum spinörü
ω 1/4
1
ψ+0 (z(x))= ( 2π ) exp[-2 z2]
(4.26)
1
haline gelir iken; ψ∓
∝exp[- 2 z2 ] olduğu söylenebilir.
n
1
ψ∓
(z)=NH(z)exp[- 2 z2 ]
n
(4.27)
burada N normalizasyon sabiti ve H(z), z değişkenine bağlı bir fonksiyon olmak üzere Eş. 4.25’in
çözümü olarak önerilirse;
dψ∓
(z)
1
dH(z)
n
=exp[- z2 ]{
-zH(z)},
dz
2
dz
d2 ψ∓
n (z)
dz2
1
=exp[- 2 z2 ]{
d2 H(z)
dz2
-2z
dH(z)
dz
+z2 H(z)-H(z)}
(4.28)
olacağından Eş. 4.25
d2 H(z)
dz2
-2z
dH(z)
dz
+{(2n∓1)-1}H(z)=0
(4.29)
39
elde edilir. Bu denklem literatürde Hermite diferansiyel denklemi olarak bilinir ve çözümü kuvvet
serileri yardımıyla bulunabilir[53-55]. Hermite diferansiyel denkleminin çözümleri Hermite
polinomlarıdır. ψ+
(z) için denklem Eş. 4.29’ den;
n
d2 H(z)
dz2
-2z
dH(z)
dz
+2nH(z)=0
(4.30)
k
olur ve H(z)= ∑∞
k=0 ak z serisi yardımıyla;
dH(z)
dz
k-1
= ∑∞
k=1 kak z ,
d2 H(z)
dz2
k-2
= ∑∞
k=2 k(k-1)ak z
(4.31)
ifadeleri oluşturulur ve denklem tekrardan yazılırsa
∞
∞
∞
∑ k(k-1)ak zk-2 -2 ∑ kak zk +2n ∑ ak zk =0
k=2
k=1
∞
k=0
∞
k
∞
∑ (k+2)(k+1)ak+2 z -2 ∑ kak z +2n ∑ ak zk =0
k=0
k
k=1
k=0
∞
∑ [(k+2)(k+1)ak+2 +2(n-k)ak ]zk =0
k=0
[(k+2)(k+1)ak+2 +2(n-k)ak ]=0
(4.32)
bulunur. Buradan da bir tekrarlama bağıntısı elde edilir.
-2(n-k)
ak+2 = (k+2)(k+1) ak .
(4.33)
Bağıntı kullanılarak birbirleri cinsinden katsayılar yazılır ve Hn (0)=a0 iken; H'n (0)=a1 =0 olduğu
göz önüne alınmıştır.
40
a2 =
-2n
a
2.1 0
-2(n-2)
22 n(n-2)
a4 =
a=
a0
4.3 2
4!
…
2n 2 22 n(n-2) 4
H(z)=a0 (1- z +
z -…)
2!
4!
H(0)=a0 (1-
2n 2 22 n(n-2) 4
0 +
0 -…)=a0
2!
4!
n
Hn (0)=a0 =(-2)2 (n-1)!!, n=2, 4, …
(4.34)
elde edilirken; Hn (0)=a0 = 0 ve H'n (0)=a1 olduğu durumda
a3 =
-2(n-1)
a
3.2 1
a5 =
-2(n-3)
22 (n-3)(n-1)
a3 =
a1
5.4
5!
…
2(n-1) 3 22 (n-1)(n-3) 5
H'(z)=a1 (1z +
z -…)
3!
5!
2(n-1) 3 22 (n-1)(n-3) 5
H'(0)=a1 (10 +
0 -…)=a1
3!
5!
n-1
H'n (0)=a1 =(-2) 2 (n)!!, n=1, 3, …
(4.35)
41
olur ve elde edilen eşitliklerden Hermite polinomları yazılabilir. n= 0, 2, … çift çözümler ve n= 1, 3,
… tek çözümler için n değerleridir. O halde;
1
ψ+n (z)=Nn Hn (z)exp[- 2 z2 ]:=φn (x)
(4.36)
olarak bulunur. Nn ; normalizasyon sabiti ; Hn (z) Hermite polinomlarıdır. Burada normalizasyon
sabiti;
∞
∫ [ψ+n (z)]ψ+n (z)dz=1
-∞
∞
1
1/2
2
∫-∞ Nn 2 [Hn (z)] exp[-z2 ] dz=1⇒Nn =( 2nn!√π )
(4.37)
’dir. Öte yandan ψ-n (z) için denklem Eş. 4.29’ dan;
d2 H(z)
dz2
-2z
dH(z)
dz
+2(n-1)H(z)=0
(4.38)
haline dönüşür. Bu denklemin çözümü ise temelde Eş. 4.30 çözümleriyle aynıdır ve aradaki fark ise
n, bir terim kaymıştır. n=1, 3, … için çift çözümler ve n= 2, 4, … için tek çözümler olur.
1
ψ-n (z)=Nn Hn (z)exp[- 2 z2 ]:=φn (x)
(4.39)
elde edilmiş olur.
4.1.2. Süpersimetrik şekil değişmez metodu ile dalga fonksiyonu çözümleri
Şekil değişmezlik Eş 3.76’ da;
V- (x;a1 )=V+ (x;a2 )+R(a1 )
ile tanımlandı ve Hs bir Hamiltoniyen serisi olmak üzere; s= 1, 2, 3… n’ ninci Hamiltoniyen Hn ,
(n-1) seviyesi dışında H1 ile aynı spektruma sahip olacaktır.
42
d2
s-1
Hs =- dx2 +V+ (x;as )+ ∑k=1 R(ak )
(4.40)
olmak üzere; burada as =f s-1 (a1 ), yani f fonksiyonu (s-1) kez uygulanmıştır.
d2
Hs+1 =- dx2 +V+ (x;as+1 )+ ∑sk=1 R(ak )
d2
s-1
=- dx2 +V-(x;as )+ ∑k=1 R(ak )
(4.41)
olur. Hs+1 ve Hs taban durumu hariç aynı bağlı durum spektrumuna sahiptir. Buradan
s-1
εs0 = ∑k=1 R(ak )
(4.42)
ile verilir ve bunun sonucunda ise ε+0 =0 bulunur. Hs ’ den geriye doğru gidildiğinde,
Hs , Hs-1 , … H2 , H1 ulaşılır. Burada H2 ≡H- ve H1 ≡H+ süper-eş Hamiltoniyenlerdir. H+ için tüm
öz-değerler;
ε+n (a1 )= ∑nk=1 R(ak ) =nω, ε+0 (a1 )=0
(4.43)
şeklinde verilir. Yaratma ve yok etme operatörlerinin spinörlere etki etmesine karşılık gelen süper-eş
Hamiltoniyenlerin enerjileri aynı ise, bağlı durum spinörlerinin, taban durum spinöründen
türetilebileceğini söyler. (Sukhatme ve diğerleri, 2001). Bunun sonucunda taban durum spinörü ile
bağlı durum spinörü arasındaki ilişki;
ψ+n (x;a1 )∝L+ (x;a1 )L+ (x;a2 )…L+ (x;an )ψ+0 (x;an+1 ),
ψ+n (x;a1 )=L+ (x;a1 )ψ+n-1 (x;a2 )
(4.44)
ile verilir. Eş. 4.13’ den taban durum dalga fonksiyonu ve Eş. 4.8’den yaratma operatörü z =
ω 2k
√ 2 ( ω +x) dönüşümü ile;
43
ω 1/4
1
ψ+0 (z(x);a1 )=( 2π ) exp[- 2 z2 ]
ω
d
L+ (z(x);a1 )=√ 2 (- dz + z)
(4.45)
elde edilir. Buradan spinörler, taban durumun spinörünün fonksiyonu olarak yazılabilir ve
ψ+n (z(x);a1 )=ψ+0 (z(x);a1 )Rn (z(x);a1 )
(4.46)
ile ifade edilir. Eş. 4.44 ve Eş. 4.46’ dan
ψ+0 (z(x);a1 )Rn (z(x);a1 )=L+ (z(x);a1 )ψ+0 (z(x);a2 )Rn-1 (z(x);a2 )
ω 1/4
1
ω
ω 1/4
d
1
2
( 2π ) exp[- 2 z2 ]Rn (z(x);a1 )=√ 2 (- dz + z)( 2π ) exp[- 2 z2 ]Rn-1 (z(x);a2 )√ω
d
Rn (z(x);a1 )=2zRn-1 (z(x);a2 )- dz Rn-1 (z(x);a2 )
eşitliği
elde
edilirken;
bu
eşitlik
Hermite
(4.47)
polinomlarının
tekrarlama
bağıntısıdır
[53]. Rn (z(x);a1 )=Hn (z(x)), o halde normalize olmamış spinörler;
ψ+n (z(x);a1 )=Hn (z(x))ψ+0 (z(x);a1 )
1
ψ+n (z)=Nn Hn (z)exp[- 2 z2 ]
n=0, 1, …
(4.48)
bulunur iken, burada Hn (z) Hermite polinomlarıdır ve Nn normalizasyon sabitidir. Eş. 3.37’ den
ψ-n (z(x)) spinörleri bulunabilir.
-
ψn-1 (z(x);a1 )=
1
√ε+
n
ω
L-ψ+n (z(x);a1 ),
d
L-(z(x);a1 ) = √ 2 ( dz + z)
(4.49)
44
olmak üzere;
1
-
ψn-1 (z(x);a1 )=
√nω
ω
d
1
√ 2 ( dz + z) Hn (z) exp[- 2 z2 ]
1
-
ψn-1 (z(x);a1 )=√2nHn-1 (z) exp[- 2 z2 ]
1
ψ-n (z(x);a1 ) = Nn Hn (z)exp[- 2 z2 ]
n=1, 2, …
(4.50)
sonuçlarına ulaşılır. Bu çözümler daha basit bir yöntem olarak karşımıza çıkmaktadır. Zamandan
bağımsız Dirac-Weyl denkleminin (Bkz. Eş. 3.34) öz-fonksiyonları;
Ψ0 (x, y)=eiky (iφ 0(x) ) ,
0
Ψn (x, y)=eiky (
φn-1 (x)
iφn (x)
),
n=1, 2, 3…
(4.51)
bulunur. Eş. 3.60’ dan olasılık yoğunluğu
ρn (x)=(φn-1 (x))2 +(φn (x))2
(4.52)
iken; akım yoğunluğu Eş. 3.61’ den;
jn (x)=2 eVf φn-1 (x)φn (x)
elde edilir [21].
(4.53)
45
nx
0.4
0.3
0.2
0.1
10
5
x
5
Şekil 4.1. ω=k=1, B(x)=1/2, sabit bir manyetik alan için ve n=0, 1, 2, 3 değerleri için olasılık
yoğunluğu ρn (x)’ in x değişkenine bağlı çizimi (yoğunluğun en fazla olduğu durum n=0
durumu ve en düşük olduğu durum ise n=3 durumudur)
jn x
evf
0.2
0.1
6
4
2
2
4
x
0.1
0.2
Şekil 4.2. Akım yoğunluğu jn (x)/2 eVf ’nin, n=1, 2, 3 için x değişkenine bağlı çizimi
V ,V ,
eB x
c
4
3
2
1
8
6
4
2
2
4
x
Şekil 4.3. Süper-eş potansiyellerin ve sabit manyetik alanın x değişkenine bağlı çizimi (düz çizgi
manyetik alan, kesik çizgi V- ve nokta çizgi V+ ’ yı temsil eder)
46
4.2. Hiperbolik Engel veya Kuyu Manyetik Alanın Etkisi
Pozitif z-ekseni yönünde, sabit bir alan yerine hiperbolik bir alan ayarı etkisi için Dirac-Weyl
denkleminin çözümleri oluşturulacaktır. Hiperbolik manyetik alan
B0
⃗B
⃗ =(0, 0,
cosh2 αx
),
B0
cosh2 αx
ise;
(4.54)
olarak ifade edilir. B0 ve 𝛼 birer sabittir. Eş. 4.1’ den
B0
cosh2 αx
=∂x Ay
Ay (x)=
B0
α
tanhαx
(4.55)
elde edilirken; süper-potansiyel fonksiyonu W(x) (Bkz. Eş. 3.45);
eB
W(x)=k+cℏα0 tanhαx :=k+Dtanhαx,
eB0
cℏα
=D
(4.56)
olur ve buradan süper-eş potansiyeller;
d
V-=(k+Dtanhαx)2 + dx (k+Dtanhαx)
=k2 +D2 tanh2 αx+2kDtanhαx+Dαsech2 αx
=k2 +D2 (1-sech2 αx)+2kDtanhαx+Dαsech2 αx+D2 -D2
V-=k2 +D2 -D(D-α)sech2 αx+2kDtanhαx
ve
V+ =(k+Dtanhαx)2 -
d
(k+Dtanhαx)
dx
(4.57)
47
=k2 +D2 tanh2 αx+2kDtanhαx-Dαsech2 αx
=k2 +D2 (1-sech2 αx)+2kDtanhαx-Dαsech2 αx+D2 -D2
V+ =k2 +D2 -D(D+α)sech2 αx+2kDtanhαx
(4.58)
elde edilir.. Bu süper-eş potansiyeller Rosen-Morse 2 potansiyelleri [56,57] olarak da bilinir. Burada
k<D’ dir. Bulunan süper-eş potansiyeller Eş. 4.19’ de yerine yazılarak süper-eş Hamiltoniyenler;
H∓ =-
d2
dx2
+k2 +D2 -D(D∓α)sech2 αx+2kDtanhαx
(4.59)
olarak yazılır. Böyle bir ayar düzenlemesi ile bulunan süper-eş potansiyeller ve şekil değişmezlik
yöntemi kullanılarak zamandan bağımsız Dirac-Weyl denkleminin öz-durumları elde edilir. Şekil
değişmezlik yönteminde de (Bkz. Eş. 3.76); a1 =(D; k) ve a2 =(D-α;
kD
D-α
) olduğu V+ ve V-
potansiyellerinden anlaşılabilir ve artık değer hesaplanırsa;
kD
2
k2 +D2 -D(D-α)sech2 αx+2kDtanhαx=(D-α )2 +(D-α) -(D-α)(D-α+α)sech2 αx
kD
+2 D-α (D-α)tanhαx+R(D-α;
kD
⇒ R(a1 )=k2 +D2 − (D-α )2 -(D-α)2
kD
D-α
)
(4.60)
bulunur ve Eş. 3.90’ dan öz-değerler;
ε+n =k2 +D2 -(
kD
D-nα
2
2
) -(D-nα) ; ε+0 =0
(4.61)
olur. (Ɛ+0 )2 =ε+0 = 0’ dır. H+ Hamiltoniyenlerine karşılık gelen öz- değerler ile H- Hamiltoniyenlerine
karşılık gelen öz-değerleri arasındaki ilişki;
kD
2
2
εn-1 =ε+n = k2 +D2 -( D-nα ) -(D-nα) >0, n=0, 1, 2,…
-
(4.62)
48
olacağından Dirac-Weyl denkleminin öz-değerleri;
kD
2
2
2
2
Ɛ∓
n =∓√k +D -( D-nα ) -(D-nα)
(4.63)
elde edilir. Dirac-Weyl denkleminde öz-değerler yerine yazılır ve
H+ ψ+ =(Ɛ+n )2 ψ+
[
[
d2
2
dx
d2
2
dx
2
kD
2
+k2 +D2 -D(D+α)sech2 αx+2kDtanhαx-{k2 +D2 -( D-nα ) -(D-nα) }]ψ,+ =0
2
kD
2
+( D-nα ) +(D-nα) -D(D+α)sech2 αx+2kDtanhαx]ψ+=0
(4.64)
bulunur.
4.2.1. Polinom çözümleri
Burada z=tanh𝛼x (-1<z<1’ dir) dönüşümü yapılırsa;
d
dz d
dx
d
= dx dz =α(1-tanh2 αx) dz
d2
dx2
d
d
d
d
=α(1-tanh2 αx) dz α(1-tanh2 αx) dz =α2 (1-z2 ) dz (1-z2 ) dz
=α2 (1-z2 )
2 d2
d
dz2
-2α2 z(1-z2 ) dz
(4.65)
olur ve Eş. 4.64’ de yerine yazılır.
2
[-α (1-z2 )
d2
2z
2 d2
d
dz2
d
[ dz2 - (1-z2) dz +
kD
2
2
+2α2 z(1-z2 ) dz +( D-nα ) +(D-nα) -D(D+α)(1-z2 )+2kDz]ψ+ (z)=0
1
2{
(1-z2 )
D(D+α)
α2
(1-z2 )-
2kD
α2
kD
2
z-( α(D-nα) ) -(
D-nα
α
2
) }]ψ+ (z)=0
(4.66)
49
denklemi elde edilebilir. Böyle bir diferansiyel denklemin çözümünde Nikiforov-Uvarov çözüm
yöntemi kullanılabilir [58-60].
Nikiforov-Uvarov Yöntemi
̃τ(s)
σ̃ (s)
φ'' (s)+ σ(s) φ' (s)+ σ2 (s) φ(s)=0
(4.67)
olarak verilen denklemde; σ̃ (s) ve σ(s) ikinci derecen polinomlar, τ̃(s) ise birinci derece bir
polinom ve φ(s) hipergeometrik fonksiyondur. Burada φ(s)=X(s)Y(s) şeklinde yazılabiliyorsa;
σ(s)Y'' (s)+τ(s)Y' (s)+λY(s)=0,
X'(s)
X(s)
π(s)
= σ(s)
(4.68)
(4.69)
denklemleri elde edilir. Burada λ bir sabit ve
τ(s)=τ̃(s)+2π(s),
π(s)=
σ' (s)-τ̃(s)
2
±√(
(4.70)
σ' (s)-τ̃(s)
2
2
) -σ̃ (s)+gσ(s)
(4.71)
olarak tanımlanır ve g; kök içerisini tam kare olarak dönüştüren bir fonksiyondur. Eş. 4.68’ ün
çözümü;
B
dn
Yn (s)= ρ(s)n dsn [σn (s)ρ(s)],
(4.72)
bir tekrarlama bağıntısı olarak verilirken; Bn tekrarlama sabitidir ve
d
ds
[σ(s)ρ(s)]=τ(s)ρ(s)
(4.73)
denkleminden ρ(s) elde edilebilir. Böylece Eş. 4.68’ ün çözümü biliniyorsa Eş. 4.67’ nin çözümü
elde edilir. Eş. 4.66 ve Eş. 4.67’ den
50
σ(z)=1-z2 ,
τ̃(z)=-2z,
σ̃ (z)=β2 (1-z2 )-γ2 z-δ2
(4.74)
ifadeleri bulunur ve burada;
D(D+α)
α2
=β2 ,
2kD
α2
kD
2
=γ2 , ( α(D-nα) ) +(
D-nα
α
2
) =δ2
(4.75)
’ dir. Eş. 4.71’ den
π(s)=±√-β2 (1-z2 )+γ2 z+δ2 +g(1-z2 )
π(s)=±√(β2 -g)z2 +γ2 z+δ2 +g-β2
(4.76)
olur. Δ=b2 -4ac ve tam kare ifade için Δ=0 olduğu göz önüne alınırsa g fonksiyonu bulunur.
Δ=0=γ4 -4(β2 -g) (δ2 +g-β2 )
γ4
0= 4 -β2 δ2 +β4 +g(δ2 -2β2 )+g2
(4.77)
elde edilirken; g değişkenine bağlı ikinci dereceden polinomun kökleri, katsayılar ve Δg
hesaplanarak bulunur. O halde;
2
Δg =(δ2 -2β2 ) -4(
=δ4 -γ4
γ4 2 2 4
-β δ +β )
4
(4.78)
51
bulunur. O zaman kökler Eş. 4.77 ve Eş. 4.78’ den
g± =
-b±√Δg
2a
2
=
-(δ -2β2 )±√δ4 -γ4
(4.79)
2
olur. Eş. 4.76’ da g- kullanılarak kök içerisi tam kare bir ifadeye dönüştürülürse;
2
(δ
π(s)=±√(β2 +
2
=±
√δ
+√δ4 -γ4
δ2 +√δ4 -γ4
2
2
z2 +γ2 z+
2
=±[(
-2β2 )+√δ4 -γ4
1/2
) z+(
2
2
)z2 +γ2 z+δ +
-(δ -2β2 )-√δ4 -γ4
2
-β2
δ2 -√δ4 -γ4
2
δ2 -√δ4 -γ4
2
)1/2 ]
(4.80)
sonucu elde edilir. Eş. 4. 74 ve Eş. 4.80, Eş. 4.70’ de yerlerine yazılır. Buradan
τ(s)=-2z-2[(
δ2 +√δ4 -γ4
2
)1/2 z+(
δ2 -√δ4 -γ4
2
)1/2 ]
(4.81)
bulunur. Eş. 4.74 ve Eş. 4.80, Eş.4.73’ de yerlerine yazılır. Buradan ise;
d
[(1-z2 )ρ(z)]={-2z-2[(
dz
d
(1-z2 ) dz [ρ(z)]=-2[(
ln[ρ(z)]=-2(
ln[ρ(z)]= (
2
2
2
2
δ2 +√δ4 -γ4
δ2 +√δ4 -γ4
δ2 +√δ4 -γ4
δ2 +√δ4 -γ4
)1/2 ∫
1/2
)
)1/2 z+(
)1/2 z+(
z y
ln(1-z ) -(
2
δ2 -√δ4 -γ4
dy-2 (
1-y2
2
δ2 -√δ4 -γ4
2
)1/2 ]ρ(z)
δ2 -√δ4 -γ4
2
δ2 -√δ4 -γ4
2
)1/2 ]}ρ(z)
)1/2 ∫
1/2
)
z 1
1-y2
dy
ln(1+z) +(
δ2 -√δ4 -γ4
2
)1/2 ln(1-z)
52
ρ(z)=(1+z)r (1-z)t
(4.82)
ifadesi oluşturulur ve tekrarlama bağıntısı yazılır. Buradan da;
dn
n
Yn (z)=Bn (1+z)-r (1-z)-t dzn [(1-z2 ) (1+z)r (1-z)t ]
(4.83)
(t, r)
elde edilir. Bu bağıntı literatürde Jacobi polinomları olarak bilinmektedir ve Pn
(-1)
(z(x)) şeklinde
n
gösterilirken, Bn = n!2n ’ dir.
r=(
t=(
δ2 +√δ4 -γ4
2
δ2 +√δ4 -γ4
2
)
1/2
1/2
−(
) +(
δ2 -√δ4 -γ4
2
δ2 -√δ4 -γ4
2
)1/2 ,
)1/2
(4.84)
olarak verilir. Diğer taraftan Eş. 4.69’ den
δ2 +√δ4 -γ4
X'(z)
=
X(z)
-[(
2
)1/2 z+(
δ2 -√δ4 -γ4
2
)1/2 ]
1-z2
2 √ 4 4
δ2 -√δ4 -γ4
z 2
1 δ + δ -γ 1/2
2 1
)
ln
(1-z
)(
)1/2 ∫ (1-y2 ) dz
2
2
2
ln[X(z)]= 2 (
2 √ 4 4
2√ 4 4
2 √ 4 4
1 δ + δ -γ 1/2
1 δ - δ -γ 1/2
1 δ - δ -γ 1/2
2
ln[X(z)]= 2 (
) ln(1-z )+ 2 ( 2 ) ln(1-z) - 2 ( 2 ) ln(1+z)
2
X(z)= (1+z)r/2 (1-z)t/2
(4.85)
bulunur. Bu hesaplamalar sonucunda Eş. 4.66 öz-değer probleminin spinörü yazılır.
r)
ψ+n (z(x))=Nn (1+z)r/2 (1-z)t/2 P(t,
n (z(x))
(4.86)
53
sonucu bulunur. ψ-n spinörleri ise;
H-ψ-=(Ɛ-n )2 ψd2
2
kD
[ 2 +k +D -D(D-α)sech αx+2kDtanhαx-{k +D -(
) -(D-(n+1)α)2 }]ψ,- =0
D-(n+1)α
dx
[
d2
2
dx
2
2
2
2
2
kD
2
2
+( D-(n+1)α ) +(D-(n+1)α) -D(D-α)sech2 αx+2kDtanhαx]ψ-=0
(4.87)
olur ve dönüşüm altında
d2
2z
d
[ dz2 - (1-z2) dz +
1
2{
D(D-α)
α2
(1-z2 )
(1-z2 )-
2kD
α2
kD
2
z-( α(D-(n+1)α) ) -(
D-(n+1)α
α
2
) }]ψ-(z)=0
(4.88)
elde edilir. Bu denklemin çözümü ise benzer işlemler ile
q
ψ-n (z(x))=Nn (1-z)2
p
p)
(1+z)2 P(q,
(z(x))
n
(4.89)
bulunur. Burada;
q=(
p=(
μ2 +√μ4 -γ4
2
μ2 +√μ4 -γ4
2
1/2
) +(
)1/2 -(
μ2 -√μ4 -γ4
2
μ2 -√μ4 -γ4
2
)1/2
)1/2
(4.90)
olarak verilir ve burada ise;
kD
2
( α(D-(n+1)α) ) +(
şeklinde verilir.
D-(n+1)α
α
2
) =μ
(4.91)
54
4.2.2. Süpersimetrik şekil değişmez metodu ile dalga fonksiyonu çözümleri
Şekil değişmezlik Eş 3.76’ dan;
V-(x;a1 )=V+ (x;a2 )+R(a1 )
ve burada a1 =(D; k) ve a2 =(D-α;
kD
D-α
)’ dir. Süper-potansiyel fonksiyonu Eş. 4. 56’ dan
W(x)=k+Dtanhαx,
yaratma ve yok etme işlemcileri ise;
d
L± (x)=∓ dx +k+Dtanhαx
(4.92)
olur. Taban durum spinörü için;
L- ψ+0 (x)=0
d
(dx +k+Dtanhαx)ψ+0 (x)=0
(4.93)
yazılır ve z=tanh𝛼x dönüşümü yapılırsa; işlemciler
d
L± (z(x))=∓α(1-𝑧 2 ) dz +k+Dz
(4.94)
elde edilir. Buradan Eş. 4.93
d
[α(1-𝑧 2 ) dz +k+Dz]ψ+0 (z)=0
olur iken; taban durum spinörü
α(1-𝑧 2 )
dψ+0 (z)
dz
+(k+Dz)ψ+0 (z) = 0
(4.95)
55
dψ+0 (z)
ψ+0 (z)
(k+Dz)
=- α(1-z2 ) dz
k
k
D
ln[ψ+0 (z)]= 2α ln[1-z] - 2α ln[1+z]+ 2α ln[1-z2 ]
k+D
ψ+0 (z)=(1-z) 2α
D-k
(1+z) 2α
(4.96)
elde edilir. Eş. 4.44’ den
ψ+n (x;a1 )=L+ (x;a1 )ψ+n-1 (x;a2 )
d
ψ+n (z(x);a1 )=[-α(1-𝑧 2 ) dz +k+Dz]ψ+n-1 (z(x);a2 )
(4.97)
ve Eş. 4.46’ dan ise
ψ+n (z(x);a1 )=ψ+0 (z(x);a1 )Rn (z(x);a1 )
olduğundan,
d
ψ+0 (z(x);a1 )Rn (z(x);a1 )=[-α(1-𝑧 2 ) dz +k+Dz]ψ+0 (z(x);a2 )Rn-1 (z(x);a2 )
(1-z)
k+D
2α
(1+z)
D-k
2α
2
kD+(D-α)
d
Rn (z(x);a1 )=[-α(1-z2 ) dz +k+Dz](1-z) 2α(D-α)
ψ+0 (z(x);a1 )Rn (z(x);a1 )=ψ+0 (z(x);a2 )[-α(1-z2 )
2
(D-α) -kD
2α(D-α)
(1+z)
Rn-1 (z(x);a2 )
d
R (z(x);a2 )+
dz n-1
{k(2D-α)+(D-α)(2D-α)z}
Rn-1 (z(x);a2 )
D-α
]
(4.98)
b)
olur iken; burada Rn (z(x);a1 ) = P(a,
(z(x)) Jacobi polinomları olarak karşımıza çıkmıştır [51]. O
n
halde spinörler;
56
b)
ψ+n (z(x);an )=ψ+0 (z(x);an )P(a,
(z(x))
n
ψ+n (z(x);an )=(1-z)
2
kD+(D-nα)
2α(D-nα)
2
(D-nα) -kD
2α(D-nα)
(1+z)
(
2
2
kD+(D-nα) (D-nα) -kD
,
)
α(D-nα)
α(D-nα)
Pn
(z(x))
(4.99)
olur ve Eş. 4.84’ den
t
r
r)
ψ+n (z(x))=Nn (1-z)2 (1+z)2 P(t,
n (z(x))
bulunur ve spinörler arasındaki ilişkiden; yok etme işlemcisi yardımıyla ψ-n (z(x)) oluşturulabilir.
ψ-n (z(x))=
1
√ε+n
[α(1-z2 )
q
ψ-n (z(x))=Nn (1-z)2
d
+k+Dz]ψ+n (z(x))
dz
p
p)
(1+z)2 P(q,
(z(x))
n
(4.100)
elde edilir. Nn , normalizasyon sabitidir. Zamandan bağımsız Dirac-Weyl denkleminin (Bkz. Eş.
3.34) öz-fonksiyonları;
0
Ψ0 (x, y)=eiky (iψ+ (z(x))
),
0
Ψn (x, y)=eiky (
(z(x))
n-1
iψ+n (z(x))
ψ
),
n=1, 2, 3…
(4.101)
bulunur. Eş. 3.60’ dan olasılık yoğunluğu
2
-
2
ρn (x)=(ψn-1 (z(x)) ) +(ψ+n (z(x)))
(4.102)
iken; akım yoğunluğu Eş. 3.61’ den;
-
jn (x)=2 eVf ψn-1 (z(x))ψ+n (z(x))
(4.103)
57
elde edilir. Nn , normalizasyon sabiti Jacobi Polinomlarının ortogonallik özelliğinden;
1
α,β
α,β
α,β
∫-1 Pα,β
n (x)Pm (x)ω (x)dx=γn δmn
(4.104)
yazılırken; δmn (kroniker-delta), m=n ise 1, diğer tüm durumlar için 0’ dır. Ayrıca;
ωα,β (x):=(1-x)α (1+x)β ,
2α+β+1 Γ(n+α+1)Γ(n+β+1)
γα,β
:= (2n+β+α+1)n!Γ(n+β+α+1)
n
(4.105)
olarak tanımlanır. O halde ψ+n (z(x)) için;
(2n+t+r+1)n!Γ(n+t+r+1)
Nn =√
2r+t+1 Γ(n+r+1)Γ(n+t+1)
(4.106)
olur ve ψ-n (z(x)) için ise;
(2n+p+q+1)n!Γ(n+p+q+1)
Nn =√
2p+q+1 Γ(n+p+1)Γ(n+q+1)
(4.107)
ifadesi elde edilir.
Şekil 4.4. ω=k=1, D=6, hiperbolik kuyu için ve n=0, 1, 2, 3 değerleri için olasılıkyoğunluğu
ρn (x)’ in x değişkenine bağlı çizimi
58
Şekil 4.5. Akım yoğunluğu jn (x)/2 evf ’ nin, n=1, 2, 3 için x değişkenine bağlı çizimi
V1 , V2 ,
50
eB x
c
40
30
20
10
6
4
2
2
4
x
Şekil 4.6. Süper-eş potansiyellerin ve hiperbolik kuyu alanının x değişkenine bağlı çizimi
59
5. SONUÇ
Bu çalışmada öncelikle grafenin en genel fiziksel özellikleri verilmiştir. Bununla birlikte grafen
atomları bir altıgen örgü olmakla birlikte, bu örgünün üçgen iki alt örgüye kırılmış olabileceği ele
alınmıştır. Altıgen örgü için, NLSE başlangıç alınarak, doğrusal olmayan terim ihmal edilmiştir.
Ardından Bloch fonksiyonu dönüşümü ve Wannier fonksiyonu kullanılarak bir dalga kılavuzu elde
edilmiştir. Ayrı ayrı ele alınan TB yaklaşımından elde edilen Hamiltoniyen, NLSE’nin çözümü olan
dalga kılavuzu ve NLDE’ de bozonik komütasyon ilişkileri ortak incelenerek iki yeni denklem
tanımlamamızı sağlamıştır. Bu denklemler düzlem dalga çözümleri olarak incelenmiş ve bir
dağınım bağıntısı sonucu elde edilmiştir. Dağınım bağıntısında ayar terimi Δ=0 olarak seçildiğinde
dağınımın simetrik Dirac noktaları oluşturduğu görülmüştür (Bkz. Şekil 2.5). Sonuç olarak grafen
bir yarı-metal olarak karşımıza çıkmıştır. Diğer bir duruma örnek olarak Δ=0,2 seçilmiş ve Dirac
konilerinin birbirinden uzaklaştığı görülmüştür (Bkz. Şekil 2.7). Dağınım bağıntısının reel,
kompleks ya da sanal olup olmadığı parametrelerin seçimine bağlıdır. Örneğin, dağınım bağıntısının
reel kısmının grafiğine bakılırsa, geleneksel grafenin aksine bir hiperboloid olduğu görülmüştür.
Üçüncü bölümde süpersimetrik kuantum mekaniği kavramı çalışılmıştır ve süpersimetri cebri ile
Dirac- Weyl denkleminin spinör çözümleri ile öz-değerlerin elde edilmesi için şekil değişmez
metodu kullanılmıştır. Bir uygulama olarak, Dirac- Weyl denkleminde yüzeye dik sabit manyetik
alan etkisinde grafen fermiyonlarının harmonik titreşici potansiyelindeki çözümleri ve hiperbolik
magnetik alan etkisindeki grafen fermiyonlarının çözümleri hem polinom metodu hem de
süpersimetrik kuantum mekaniğinin yöntemlerinden biri olan değişmez metodu kullanılarak
çözümler elde edilmiştir. Her iki metod ile elde edilen sonuçlar birbirleri ile uyumlu olup,
diferansiyel denklem çözmeksizin, şekil değişmezlik metodu ve özel fonksiyonların rekürans
bağıntıları yardımı ile tüm çözümler elde edilmiştir. Her durum için olasılık ve akım yoğunluklarının
grafikleri verilmiştir. Magnetik alanın hiperbolik fonksiyon olduğu ikinci durumda, potansiyel,
magnetik alan ve enerji grafiklerinin gösterildiği Şekil 4.6’de 𝑘 dalga sayısı sabiti arttıkça bağlı
durumların yok olduğu görülmüştür. Harmonik titreşici probleminde ise spektrumun 𝑘 sabitine
bağlı olmadığı, parametrenin sadece potansiyel ifadelerinde bulunduğu görülmüştür (Bkz. Şekil
4.3).
60
61
KAYNAKLAR
1. İnternet: Andre Geim; Konstantin Novoselov. Nobel Prizes. Page. URL:
http://www.webcitation.org/query?url=http%3A%2F%2Fwww.nobelprize.org%2Fnobel_prize
s%2Fphysics%2Flaureates%2F2010%2F&date=2015-02-12, Son Erişim Tarihi: 12.2.2015.
2. İnternet: Jesus de La Fuente. Graphene of properties. Pages. URL:
http://www.webcitation.org/query?url=http%3A%2F%2Fwww.graphenea.com%2Fpages%2F
graphene-properties%23.VNyxFk1EiM8&date=2015-02-12, Son Erişim Tarihi: 12.2.2015.
3. Pop, E., Varshney, V., and Roy, A. K., (2012, December). Thermal properties of graphene:
Fundamentals and applications. Materials Research Society, Volume 37, 1273-1281.
4. Castro Neto, A. H., Guinea, F., Peres, N. M. R., Novoselov, K. S., and Geim, A. K., (2009,
January). The electronic properties of graphene. Reviews of Modern Physics, 81-109.
5. İnternet: S. P. Apell, G. W. Hanson, C. Hägglund. High optical absorption in graphene. PDF.
URL: http://arxiv.org/abs/1201.3071, Son Erişim Tarihi: 12.2.2015.
6. Bunch, J. S. (2008). Mechanical and electrical properties of graphene sheets (Doctoral
dissertation, Cornell University, 2008). Dissertation Abstracts International, 45-50,
3317476.
7. Kozal, B. (2012). Karbon tabanlı petek örgülerin elektronik özellikleri, Doktora Tezi, Ankara
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 6,16.
8. Novoselov, K. S., Geim, A. K., Morozov, S. V., Jiang D., Katsnelson, M. I.,
Grigorieva, I. V., Dubonos, S. V., and Firsov, A. A., (2005). Two-dimensional gas of
massless Dirac fermions in graphene. Nature, vol.438, 197-200.
9. Pereira, V. M., and Castro Neto, A. H., (2009). Strain engineering of Graphene’s
electronic structure. Physical Review Letters, vol. 103, Article ID: 046801.
10. Zhang, Y., Small, J. P., Amori, M. E. S., and Kim, P.,(2005). Electric field modulation
of galvanomagnetic properties of mesoscopic graphite. Physical Review Letters,
vol.94, Article ID: 176803.
11. Huard, B., Sulpizio, J. A., Stander, N., Todd, K., Yang, B., and Goldhaber-Gordon, D.,
(2007). Transport measurements across a tunable potential barrier in graphene.
Physical Review Letters, vol. 98, Article ID: 236803.
12. Gorbachev, R. V., Mayarov, A. S., Savchenko, A. K., Horsell, D. W., and Guinea, F.,
(2008). Conductance of p-n-p graphene structures with “air-bridge” top gates. Nano
Letters, vol. 8, 1995-1999.
13. Stander, N., Huard, B., and Goldhaber-Gordon, D., (2009). Evidence for Klein
tunneling in graphene p-n junctions. Physical Review Letters vol. 102, Article ID:
026807
62
14. Young, A.F., and Kim, P., (2009). Quantum interference and Klein tunneling in
graphene heterojunctions. Nature Physics, vol. 5, 222-226.
15. Allain, P.E.,and Funch, J. N., (2011). Klein tunneling in graphene: optics with
massless eletrons. European Physical Journal B, vol. 83, 301-317.
16. Maier, T., and Siedentop, H.,(2012). Stability of impurities with Coulomb potential in
graphene with homogeneous magnetic field. Journal of Mathematical Physics, vol.
53, Article ID: 095207.
17. Gonzalez, J., and Herrero, J., (2010). Graphene wormholes: a condensed matter
illustration of Dirac fermions in curved space. Nuclear Physics B, vol. 825, 426–443.
18. Zhukov, A. V., Bouffanais, R., Konobeeva, N. N., and Belonenko, M. B., (2013). On
the electronic spectrum in curved graphene nanoribbons. JETP Letters, vol. 97, 400–
403.
19. Cvetic, M., and Gibbons, G. W., (2012). Graphene and the Zermelo optical metric of
the BTZ black hole. Annals of Physics, vol. 327, 2617–2626.
20. Novoselov, K. S., Geim, A. K., Morozov, S.M., Zhang. Y., Dubonos, S.V., Grigorieva,
I. V., and Firsov, A. A.,( 2004). Electric field effect in atomically thin carbon films.
Science 306, 666.
21. Kuru, S., Negro, J., and Nieto, L. M., (2009). Exact analytic solutions for a Dirac
electron moving in graphene under magnetic fields. J. Phys.-Cond. Matt., 21(45),
455305
22. Zhu, J., Badalyan, S. M. and Peeters, F., (2012). Electron-phonon bound states in
graphene in a perpendicular magnetic field. Phys. Rev. Lett. 109, 256602
23. Liu, S., Nurbawono, A., Guo, N., and Zhang, C., (2013). Massless Dirac fermions in
graphene under an external periodic magnetic field. J. Phys.: Condens. Matter, 25,
395302.
24. Alhaidari, A. D., Bahlouli, H., El Mouhafid, A., and Jellal, A., (2013). Graphene
nanoribbon in sharply localized magnetic fields. Eur. Phys. J. B 86, 73.
25. Peres, N.M.R. (2009). Scattering in one-dimensional heterostructures described by the
Dirac equation. J. Phys.: Condens. Matter, 21, 095501.
26. Panella, O., and Roy, P., (2012). Bound state in continuum like solutions in onedimensional hetero-structures. Physics Letters A, 376, 2580-2583.
27. Mustafa, O. (2013). (1+1)-Dirac bound states in one dimension, with positiondependent Fermi velocity and mass. Cent. Eur. J. Phys., 11(4), 480.
63
28. Araki, Y. (2011). Chiral symmetry breaking in monolayer graphene by strong coupling
expansion of compact and non-compact U(1) lattice gauge theories. Ann. Phys., 326,
1408-1424.
29. Menculini, L., Panella, O., and Roy, P., (2013). Exact solutions of the (2+1)
dimensional Dirac equation in a constant magnetic field in the presence of a minimal
length. Phys. Rev. D 87, 065017.
30. Jakubsky, V., Kuru, S., Negro, J., and Tristao, S., ( 2013). Supersymmetry in spherical
molecules and fullerenes under perpendicular magnetic fields. J. Phys.-Cond. Matt.
25(16), 165301.
31. Novikov, D. S. (2007). Elastic scattering theory and transport in graphene. Phys. Rev B, 76,
245435.
32. İnternet:
Açık
ders.
Paraksiyel
yayılım.
PDF.
URL:
http://www.webcitation.org/query?url=http%3A%2F%2Fwww.acikders.org.tr%2Fmod%2Fre
source%2Fview.php%3Fid%3D640%26redirect%3D1&date=2015-02-14, Son Erişim Tarihi:
14.2.2015.
33. Bahat-Treidel, O., Peleg, O., Grobman, M., Shapira, N., Segev, M., and Pereg-Barnea, T.,
(2010). Klein Tunneling in Deformed Honeycomb Lattices. Physical Review Letters, 104,
063901.
34. İnternet:
Wikipedia.
Bloch
teorisi.
page.
URL:
http://www.webcitation.org/query?url=http%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FBloch
_wave&date=2015-02-14, Son Erişim Tarihi: 14.2.2015.
35. Ablowitz, M. J., Nixon, S. D., and Zhu, Y., (2009). Conical diffraction in honeycomb lattices.
Phys. Rev. A 79, 053830.
36. Haddad, L. H., and Carr, L. D., (2009). The Nonlinear Dirac Equation in Bose-Einstein
Condensates: Foundation and Symmetries. Physica D Nonlinear Phenomena, Volume 238,
Issue 15, 1413–1421.
37. Szameit, A., Rechtsman, M. C., Bahat-Treidel, O., and Segev, M., (2011). PT-symmetry in
honeycomb photonic lattices. Phys. Rev. A 84, 021806.
38. İnternet:
Kerem
Cankoçak.
Süpersimetri.
PDF.
URL:
http://www.webcitation.org/query?url=http%3A%2F%2Fweb.itu.edu.tr%2F%7Ekcankocak%
2Fdocs%2FSupersimetri_cankocak_yeni.pdf&date=2015-02-14, Son Erişim Tarihi: 14.2.2015.
39. İnternet:
Kayhan
Ülker.
Süpersimetri.
PDF.
URL:
http://www.webcitation.org/query?url=https%3A%2F%2Fkayhanulker.files.wordpress.com%2
F2011%2F09%2Fkulker-gebip2011.pdf&date=2015-02-14, Son Erişim Tarihi: 14.2.2015.
40. Ranabir Dutt, R., Khare, A.,and Sukhatme, U. P., (1988). Supersymmetry, shape invariance,
and exactly solvable potentials. Am. J. Phys. 56 (2), 163-168.
64
41. Haymaker, R.W., Rau, A.R.P., (1986). Supersymmetry in quantum mechanics. Am. J. Phys,
54(10), 928-936.
42. Sukumar, C.V. (1985). Supersymmetric quantum mechanics of one-dimensional systems.
Journal of Physics A: Mathematical and General, 18, 2917.
43. Seiberg, N. (1997). The Power of Duality - Exact Results in 4D SUSY Field Theory.
Int. J. Mod. Phys. A, 12, 5171.
44. Nekrasova, N. A., and Shatashvili S. L., (2009). Supersymmetric Vacua and Bethe Ansatz.
Nuclear Physics B - Proceedings Supplements Volumes 192–193, 91–112.
45. Ahn C. (1994). Thermodynamics and form factors of supersymmetric integrable field theories.
Nuclear Physics B Volume 422, Issue 3, 449–475.
46. Georgi, H. (2007). Unparticle Physics. Phys. Rev. Lett. 98, 221601.
47. Visser, M. (2009). Lorentz symmetry breaking as a quantum field theory regülatör. Phys. Rev.
D 80, 025011.
48. Kogan, I. I., and Wheater, J. F., (2000). Boundary logarithmic conformal field theory. Physics
Letters B Volume 486, Issues 3–4, 353–361.
49. Ramond, P. (1971). Dual Theory for Free Fermions. Physical Review D, vol. 3, Issue 10, 24152418.
50. Bagchi, B. K., (2001). Supersymmetry in quantum and clasical mechanics. New York:
Chapman & Hall/CRC monographs and surveys in pure and applied mathematics, 9-14, 96-98.
51. Cooper, F., Khare, A., and Sukhatme, U., (2001). Supersymmetry in Quantum Mechanics.
Singapore :World Scientific, 10-12, 15-18, 28-30, 35- 46.
52. İnternet: Jens Maluck. An Introduction to Supersymmetric Quantum Mechanics and Shape
Invariant
Potentials.
URL:
http://www.webcitation.org/query?url=https%3A%2F%2Fwww.uva.nl%2Fbinaries%2Fconte
nt%2Fdocuments%2Fpersonalpages%2Fh%2Fa%2Fs.deharo%2Fen%2Ftab-three%2Ftabthree%2Fcpitem%255B3%255D%2Fasset%3F1372415&date=2015-02-15, Son Erişim
Tarihi: 14.2.2015.
53. İnternet:
Ufuk
Özerman.
diferansiyel
denklemler.
2011-2012.
URL:
http://www.webcitation.org/query?url=http%3A%2F%2Fakademi.itu.edu.tr%2Fozerman%2F.
..%2Fdif2011_2012G%C3%9CZ_BAHAR_02.pdf&date=2015-02-15, Son Erişim Tarihi:
14.2.2015.
54. Arfken G.B., and Weber H.J., (2005). Mathematical Methods for Physicists (6ed.).USA:
Elsevier AP, 565-569, 817-825.
55. Mielnika, B. (1984). Factorization method and new potentials with the oscillator spectrum. J.
Math. Phys. 25 (12), 3387-3389.
65
56. Infeld, L., and Hull, T. E., (1951). The Factorization Method. Rev. Mod. Phys. 23, 21.
57. Cooper, F., Khare, A., and Sukhatme, U., (1995). Supersymmetry and Quantum Mechanics.
Phys. Rep. 251, 267.
58. Akbarieh, A. R., and Motovalı, H., (2008). Exact Solutions of the Klein-Gordon Equation for
the Rosen-Morse type Potentials via Nikiforov-Uvarov Method. Mod. Phys. Lett. A 23, 3005.
59. Ikot, A. N., and Akpabio, L. E., (2010). Approximate Solution of the Schrödinger Equation
with Rosen-Morse Potential Including the Centrifugal Term. Applied Physics Research Vol. 2,
No. 2, 202-208.
60. Suparmi, A., Cari, C., Handhika, J., Yanuarief, C., and Marini H., (2012).Approximate Solution
of Schrodinger Equation for Modified Poschl-Teller plus Trigonometric Rosen-Morse NonCentral Potentials in Terms of Finite Romanovski Polynomials. IOSR Journal of Applied
Physics. Volume 2, Issue 2, 2278-4861, 43-41.
66
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: DURMUŞ, Kubilay
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 2.9.1989, İstanbul
Medeni hali
: Bekâr
Telefon
: 0 (535) 831 40 43
e-mail
: kblydrms@hotmail.com
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi /Fizik
Devam Ediyor
Lisans
Balıkesir Üniversitesi/ Fizik
2012
Lise
Üsküdar Lisesi
2007
İş Deneyimi
Yıl
Yer
Görev
2003-2007
İstanbul
Kasiyer
Yabancı Dil
İngilizce
Bilimsel Etkinlikler
19. Yoğun Madde Fiziği Ankara Toplantısı, Aralık 2013 (Bilkent Ünv, Ankara,Türkiye)
Hobiler
Yüzme, Futbol, Sinema
GAZİ GELECEKTİR...