İntegral 1

İNTEGRAL -1
RİEMANN TOPLAMI
ÜST TOPLAM
H ı z – za m a n g r a f i ğ i n i n a l t ı n d a k a l a n a l a n
a l ı n a n yo l u v e r m e k t e d i r, Ş ek i l l e r i i n c e l e yi n i z .
D o ğ r u s a l b i r yo l d a h a r e k e t e d e n k iş i l e r i n i l k 2
s a a t t e a l d ık l a r ı yo l u , g r a f ik l e r i i l e x - ek s e n i
a r a s ı n d a k al a n a l a n ya r d ı m ı yl a b u l a l ı m .
Hız km/s
P a r ç a l a n ı ş ı n ı n s ın ı r
n ok t a l a r ı n d a , yü k s e k l i ğ i
eğrinin üstünde
b u l u n a c ak ş e k i l d e
belirlenen
d ik d ö r t g e n l e r i n a l a n l a r ı
t o p l am ı R i e m a n n ü s t t o p l a m ı o l a r ak
t a n ım l a nm ış t ı r. ( Ü T ) ( B a ş k a b i r d e yi ş l e
y= f ( x ) f o nk s i yo n u n u n ü s t k ıs m ın d a
oluşan n tane dikdörtgenin alanları
t o p l am ın a ü s t t o p l a m d e n i r. )
Hız km/s
4
4
2 Zaman (s)
2 Zaman (s)
B i r i n c i k i ş i 4 . 2 = 8 k m yo l a lm ı ş t ı r. İ k i n c i
k i ş i n i n a l d ı ğ ı yo l u b u l m ak i ç i n e ğ r i n i n a l t ın d a
k a l a n a l a n ı k üç ü k d i k d ö r t g e n l e r ya r d ı m ı yl a
ya k l a ş ı k o l a r ak h e s a p l a ya l ı m . İ n c e l e yi n i z .
RİEMANN TOPLAMININ ADIMLARI
f : [ a , b ] →R sürekli bir fonksiyon olsun.
Ş im d i b u a l a n h e s a b ı n ı g e n e l l e ye l im .
y = f ( x ) s ü r ek l i b i r f on k s i yo n o l m ak
ü ze r e , f ( x ) f o nk s i yo n u n u n g r a f i ğ i i l e x
ekseni arasında kalan ve x = a ile
x = b doğrularının sınırladığı bölgenin
alanı
a ) y= f ( x ) g r af i ğ i d o ğ r u s a l b i r g r af ik
o l d u ğ u za m a n ü ç g e n , ya m u k g i b i
ç o k g e n s e l a l a n l a r ı n ya r d ı m ı yl a
b ) y= f ( x ) g r af i ğ i d o ğ r u s a l b i r g r af ik
o l m a d ı ğ ı za m a n i s e R i em a n n t o p l a m ı i l e
b u l u n u r. ( R i em a n n t o p l a m ı a l a n ı b u lm ak
i ç i n g e n e l b i r yö n t em o l u p h e r t ü r l ü
g r a f i ğ e s a h i p f o n k s i yo n l a r d a
k ul l a n ı l a b i l i r )
R i e m a n n t o p l am ı a l t t o p l am v e ü s t t o p l a m
o l m a k ü ze r e 2 ç e ş i t t i r.
ALT TOPLAM
A l a n b u l u n a c a k a l t a r a l ık
olan [a,b] için
parçalanışının sınır
n o k t a l a r ı n d a , yü k s ek l i ğ i
e ğ r i n i n a l t ı n d a b u l u n a c ak
şekilde belirlenen
d i k d ö r t g e n l e r i n a l a n l a r ı t o p l a m ı R i em a n n
a l t t o p l a m ı o l a r ak t a n ı m l a n m ı ş t ı r. ( A T )
( B a ş k a b i r d e yi ş l e y= f ( x ) f o nk s i yo n u n u n
alt kısmında oluşan n tane dikdörtgenin
a l a n l a r ı t o p l am ı n a R i e m a n n a l t t o p l a m
d e n i r. )
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
www.matbaz.com
RİEMANN TOPLAMI OLARAK BELİRLİ
İNTEGRALİ
1 . a d ı m : Ta b a n l a r ı n o l u ş t u r u l m a s ı
O l u ş t u r u l a c ak d i k d ö r t g e n l e r i n t a b a n
u zu n l uk l a r ın ı b u l m ak i ç i n [ a , b ]
a r a l ı ğ ı n d a n a= x0 <x1 <x2 ...<x n=b o lm ak
ü ze r e n + 1 n ok t a a l ın ı r. B u n + 1 n o k t a n ın
o l u ş t u r d u ğ u k üm e ye ,
P= {a =x 0<x 1<x 2 ...<xn=b } k üm e s i n e [ a , b ]
k a p a l ı a r a l ığ ı n ı n b ö l ü n t ü s ü ( p a r ç a l a n ı ş ı )
d e n i r.
2 . a d ım : Ta b a n u zu n l uk l a r ın ı n b u l u n u ş u
B i r [ a , b ] k a p a l ı a r a l ığ ı n ın h e r h a n g i b i r P
p a r ç a l a n ı ş ı n d a [ x 0 , x 1 ] ya b i r i n c i a l t a r a l ık
[ x 1 , x 2 ] ye i k i n c i a l t a r a l ık [ x k - 1 , x k ] ya k . a l t
a r a l ık d e n i r . B u a r a l ık l a r ın u zu n l u k l a r ı
x k = x k - x k - 1 o l u r v e b u a r a l ık l a r d a n e n
b ü yü ğ ü n e P p a r ç a l a n ı ş ı n ı n n o r m u d e n i r
v e ‖P‖ i l e g ö s t e r i l i r.
E ğ e r a r a l ık b o yl a r ı n ı n h e p s i e ş i t i s e
p a r ç a l a n ı ş a d ü zg ü n p a r ç a l a n ı ş d e n i r.
D ü zg ü n p a r ç a l a n ış t a h e r b i r t a b a n e ş i t
u zu n l uk t a o l u p b u s a yı Δ x i l e g ö s t e r i l i r e
b−a
o l a c a ğ ı a ç ık t ır.
Δ x=
n
Örnek...1 :
[ 0 , 6 ] a r a l ığ ı i ç i n P= { 0 , 2 , 5 , 6 } b ö l ü n t ü s ü i l e b u
a r a l ık [ 0 , 2 ] , [ 2 , 5 ] , [ 5 , 6 ] ş ek l i n d e a l t
a r a l ık l a r a a yr ıl ır. B u r a d a Δ x 1=2, Δ x 2=3, Δ x 3=1
v e P b ö l ü n t ü s ü n ü n n o r m u 3 t ü r. ( ‖P‖=3)
[ 0 , 6 ] i ç i n , a r a l ığ ı 3 e ş i t a l t a r a l ığ a b ö l ü n e r e k
d ü zg ü n b ö l ü n t ü s ü n ü o l u ş t u r m ak i s t e r s ek
P ’ = { 0 , 2 , 4 , 6 } o l a c a k t ır.
B e n ze r ş ek i l d e u zu n l u ğ u e ş i t n a r a l ığ a
b ö l m ek i s t e r s ek , b ö l ü n t ü n ü n n o r m u
6−0 6
Δ x=
= o l a c a k t ır.
n
n
1/6
İNTEGRAL -1
RİEMANN TOPLAMI
Örnek...2 :
3 . a d ı m : Al a n ı n h e s a p l a n m a s ı
Ş i m d i h e r a r a l ı k t a n b i r r e e l s a yı a l a l ım v e
k . a r a l ık t a n a l d ı ğ ı m ı z b u s a yı yı x k i l e
gösterelim. İşte her alt aralıktan alınan
b u x k s a yı l a r ı i ç i n f ( x k ) Δ xk s a yı l a r ı n ı n
f : ℝ→ℝ , f ( x )=x+2 f on k s i yo n u i l e x= 0 d o ğ r u s u
x = 4 d o ğ r u s u v e x e k s e n i yl e s ın ır l ı b ö l g e n i n
a l a n ın ı R i em a n n t o p l am ı yl a t a h m i n e d i n i z
( b u l u n u z)
Ç ö züm
[ 0 , 4 ] a r a l ığ ın ın e ş i t b ö l ü nm e s i yl e h e r b i r
4−0 4
a r a l ık
= o l a r a k e l d e e d i l i r. Y ük s e k l i k
n
n
o l a r a k , a l t a r a l ık l a r ın
n
t o p l a m ı n a , ya n i
∑f (xk)Δ xk
t o p l am ı n a ,
k=1
R i e m a n n t o p l am ı ( R T ) d e n i r.
y
Al t t o p l a m
y=f(x)
f(xk)
Alan=f(xk).∆xk
y=x+2
x
a
b
xk
y
∆x
k
R i e m a n n t o p l am ı n ı n Δ x k s a yı l a r ı v e P
p a r ç a l a n ı ş ı n a b a ğ l ı o l d u ğ u a ç ı k t ı r.
Ş e k i l l e r i i n c e l e yi n i z.
x
y
y=f(x)
y=f(x)
a
b
x
a
b
x
[[a,b] aralığının P parçalanışındaki
a r a l ık l a r k ü ç ü l d ük ç e , e ğ r i a l t ı n d a k a l a n
dikdörtgenlerin alanlarının toplamının f
f on k s i yo n u n g r af i ğ i i l e x e k s e n i
a r a s ı n d a k i a l a n a ya k l a ş t ı ğ ı n ı g ö r ü r ü z. B u
n e d e n l e p a r ç a l a n ı ş ı n n o r m u o l a n ∥P∥
k üç ü l d ü k ç e ( b a şk a b i r d e yi ş l e s ıf ı r a
ya k l a ş t ık ç a ) b u p a r ç a l a n ı ş a a i t R i e m a n n
t o p l a m ı n ı n ya k l a ş t ı ğ ı b i r r e e l s a yı
d e ğ e r i n i n , l im i t i n i n , o lm a s ı n ı b e k l e r i z.
( F o n k s i yo n s ı n ı r l ı o lm a l ı )
( A T ⩽RT⩽ÜT ) A l t a r a l ı k l a r i ç i n , a l t t o p l a m d a
f (x k ) e n k ü ç ük , ü s t t o p l am d a f (x k ) e n
b ü yü k d e ğ e r )
www.matbaz.com
y
4
0
4
8
4 n−4
. f
+f
+f
+...+f
n
n
n
n
n
(( ) ( ) ( )
4
.
n
(
))
+2))
(( 0n +2)+( 4n +2)+( 8n +2)+...+( 4n−4
n
4
2n−2
4
4
16n−8
. 2n+
. n = . ( 2n+2n−2 )= . ( 4n−2) =
n
n
n
n
n
16n−8
lim
=16
n
n→∞
(
(
)
)
Üst toplam
y=x+2
y
x
N o t : P a r ç a l a n ı ş ı n o r t a n ok t a l a r ı n a g ö r e
yü k s e k l i k l e r a l ı n ı p d ik d ö r t g e n l e r i n
a l a n l a r ı t o p l am ı b u l u n u r s a R i e m a n n O r t a
t o p l a m ı h e s a p l a nm ı ş o l u r.
H a t ı r l a t m a l a r : To p l am S e m b o l ü
n
n (n+1)
* ∑ k=
2
k=1
n
* * ∑ k 2=
k=1
n
n (n+1) ( 2 n+1 )
6
k=1
2
[ n (n2+1 ) ]
* * * ∑ k=
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
4
. f
n
4
.
n
4n
+f
( ( 4n )+f ( 8n )+...+f ( 4n−4
n ) ( n ))
(( 4n +2)+(8n +2)+...+( 4nn +2))
4
2n+4
4
4
16n+32
. 2n+
.n = . ( 2n+2n+8 )= . (4n+8 )=
n
n
n
n
n
(
lim
n→∞
)
( 16n+32
)=16
n
Ve bu sonuçla birlikte
A T ⩽RT⩽ÜT olduğu için Riemann yöntemiyle alan 16
tahmin edilir.
2/6
İNTEGRAL -1
RİEMANN TOPLAMI
Örnek...3 :
GÖSTERİMLER
f : ℝ→ℝ , f ( x )=x f on k s i yo n u i l e x= 2 d o ğ r u s u
x = 4 d o ğ r u s u v e x e k s e n i yl e s ın ır l ı b ö l g e n i n
a l a n ın ı R i em a n n t o p l am ı yl a b u l u n u z
f : [ a , b ] →R b i r f o n k s i yo n o l s u n . P [ a , b ]
a r a l ı ğ ı n ı n h e r h a n g i b i r p a r ç a l a n ı ş ı v e x 'k
bu parçalanışa ait [xk-1,xk] aralığından
s e ç i l e n h e r h a n g i b i r r e e l s a yı o l s u n .
6
n
E ğ e r ∥P∥→0 i ç i n
∑ f ( x'k ) Δ x k = L
o l a c ak
k=1
ş e k i l d e b i r L ∈ R s a yı s ı v a r s a P
p a r ç a l a n ı ş ı v e x 'k s a yı l a r ı n ı n s e ç im i n d e n
b a ğ ı m s ı z o l a r ak f f o nk s i yo n u [ a , b ]
a r a s ı n d a i n t e g r a l l e n e b i l i r v e L ∈ R ye [ a , b ]
d e f n i n b e l i r l i i n t e g r a l i d e n i r.
( b u a r a l ı k t a y= f ( x ) f on k s i yo n u e ğ e r
n e g a t i f o lm u yo r s a b u l i m i t d e ğ e r i e ğ r i i l e
x ekseni arasında kalan alanı verir)
∥P∥→0 ye r i n e n→∞ a yn ı ş e y o l a r ak
d ü ş ü n ü l e b i l i r. Δ x=dx , ( Δ x→ 0)
lim
Δ xk → 0
(∑ (
)
f x'k ) Δ xk =L ∈ℝ o l u yo r s a b u
k=1
l i m i t d e ğ e r i n e y= f ( x ) f o nk s i yo n u n u n a ’ d a n
b
b ye b e l i r l i i n t e g r a l i d e r v e b u n u
∫ f (x )dx
a
o l a r a k ya za r ı z.
B u r a d a a v e b s a yı l a r ı n a i n t e g r a l i n a l t v e
üst limitleri denir
n
Kısaca
lim
Δ xk →0
(∑ (
k=1
)
b
f x 'k ) Δ x k =L=∫ f ( x ) dx
a
b u i f a d e d ü zg ü n p a r ç a l a n ı ş t a ( n→∞ için )
n
n
b
k =1
k= 1
a
( Δ x ) . ∑ f ( a +k . Δ x ) =( Δ x ) . ∑ f ( a + ( k−1 ) .Δ x ) =L=∫ f ( x ) dx
www.matbaz.com
n
Ö ze t l e
Örnek...4 :
f : ℝ→ℝ , f ( x )=x 2 f o nk s i yo n u i l e x = 0 d o ğ r u s u
x = 2 d o ğ r u s u v e x e k s e n i yl e s ın ır l ı b ö l g e n i n
a l a n ın ı R i em a n n t o p l am ı yl a b u l u n u z
8/3
b i ç i m l e r i n d e d e if a d e e d i l e b i l i r. ( S a ğ v e
s o l u ç n o k t a ya k l a ş ı m yö n t em l e r i )
4
Önceki örnek için 16⩽RT =∫ ( x+2) dx⩽16
0
4
∫ ( x+2) dx=16 elde edilir
0
(Not İntegral hesabın temel teoremi ile belirli integralleri
Riemann toplamlarının limiti yerine başka ve daha kısa
bir yöntemle hesaplayacağız)
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
3/6
İNTEGRAL -1
RİEMANN TOPLAMI
Örnek...5 :
Örnek...8 :
4
∫ xdx
0
Ç ö zü m
f ( x )= x f o nk s i yo n u [ 0 , 4 ] a r a l ı ğ ı n d a s ü r e k l i v e
s ı n ı r l ı o l d u ğ u n d a n b e l i r l i i n t e g r a l i v a r d ı r.
[ 0 , 4 ] a r a l ı ğ ı n ı n ı n d ü zg ü n b ö l ü n t ü s ü n ü n b o yu
4
ve alt aralıklar
n
4
4
4
4 4
[ 0 , ] , [ , 2 . ] , . . . , [ ( n - 1 ) , .n] o l u r.
n
n
n
n n
4
R i em a n n ü s t t o p l a m i ç i n f ( x k ) d e ğ e r l e r i f ( ) ,f (
n
8
) , . . . , f ( 4 ) o l a c a ğ ı n d a n R i em a n n ü s t t o p l am ı
n
4
4 4
8
4
4
. f ( )+ . f ( )+ . . . + . f ( . n ) o l a c ak t ı r. B u i s e
n
n n
n
n
n
4 4 8
4 n 4 4+8+...+4n 4 4 (1+2+...+n )
( + +...+
)= .
= .
n
n
n n n
n
n
n
4 2 (n 2 +2 n ) 8 n2 +16 n
.
=
ve n sınırsız olarak artarken (n
n
n
n2
sonsuza giderken limit alırsak) belirli integral 8 olarak elde
edilir.
Aynı ifade bu aralıkta verilen (x) fonksiyon negatif
olmadığından alana dönüştürülerek de yapabiliriz
(
) (
1
0
)
)
Örnek...6 :
n
)
∫ x5 dx
()
1.
k 2
n değeri sonsuza giderken topladığımızda
∑
n k =1 n
hangi belirli integrali elde ederiz?
Çözüm
b=1 ve a=0 alınırsa ifade
n
b
b−a
. ∑ ( f ( a +k . Δ x ) )=∫ f ( x ) dx olarak düşünüldüğünde
n
k=1
a
Örnek...9 :
www.matbaz.com
(
(
15+25+35 +...+n5
if a d e s i h a n g i b e l i r l i
n→∞
n6
i n t e g r a l i t em s i l e d e r ?
lim
b e l i r l i i n t e g r a l i n i b u l u n u z.
lim
(
sin
( 1n )+sin( 2n )+sin( 3n )+...+sin( nn )
)
n
hangi belirli integrali temsil eder?
n→∞
ifadesi
1
∫ sinx dx
0
( )
1
∫ x2 dx elde edilir.
0
Örnek...7 :
n
(
)
3.
∑ 2+ 3nk i f a d e s i n d e ğ e r i s o n s u z a
n k=1
g i d e rk e n t o p l a d ı ğ ı m ı zd a h a n g i b e l i r l i i n t e g r a l i
e l d e e d e r i z?
5
∫ xdx
2
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
Örnek...10 :
İ n t e g r a l l e r i a l a n a d ö n ü ş t ü r e r e k h e s a p l a yın ı z
4
6
2
0
−3
−2
a ) ∫ xdx b ) ∫ 7 dx c ) ∫|x|dx
a)8 b)63 c)4
4/6
İNTEGRAL -1
RİEMANN TOPLAMI
Örnek...11 :
Örnek...13 :
f : ℝ→ℝ , f ( x )=x
f o nk s i yo n u n u n g r a f i ğ i
y
v e r i l i yo r. B u n a g ö r e x > 0
y=f(x)=x
i ç i n ş ek i l d ek i t a r a l ı
bölgenin alanını veren
f o nk s i yo n u b u l a l ım v e b u
x b
x
f o nk s i yo n u n t ü r e v i n i
ş ek i l d ek i d o ğ r u yu t e m s i l
e d e n y = f ( x )= x f on k s i yo n u i l e k a r ş ı l a ş t ır a l ım .
y
Ya n d a k i g r af i k t e Ya n d ak i
grafikte taralı bölgenin
a l a n ın ı v e r e n F ( x )
f on k s i yo n u
F(x) = x3+2x +1 olarak
t a n ım l a n m ış t ır.
y=f(x)
2
4
6
x
6
Buna göre
∫ f (x )dx =F ( 6)−F ( 4 )=156 br2, o l a r ak
4
e l d e e d i l i r.
BELİRLİ İNTEGRAL KURALLARI
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ:
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ I
b
1.
a
∫ f (x )dx =−∫ f ( x ) dx
a
b
f : [ a , b ] →R s ü r ek l i b i r f on k s i yo n v e
x
a
F ( x )=∫ f (t ) dt i s e
2.
a
Örnek...12 :
a
)
y
Ya n d ak i g r a f ik t e Ya n d a k i
y=F(x)
g r af ik t e t a r a l ı b ö l g e n i n
y=f(x)
alanını veren F(x)
f o nk s i yo n u
a xb
x
F(x) = 2x4+5x3 +1 olarak
t a n ı m l a nm ı ş t ı r.
İntegralin I.
t em e l t e o r em i n d e n ya r a r l a n a r ak f (x )
f o nk s i yo n u n u b u l m ak i s t e r s ek F ’ ( x )= f ( x )
o l a c a ğ ı n d a n f (x ) = 8 x 3 + 1 5 x 2 o l u r.
b
3.
www.matbaz.com
(
x
d ( F( x )) d
F ( x )=
=
f ( t ) dt =f ( x ) ya n i s ü r ek l i
dx
dx ∫
a
h e r f o nk s i yo n b a şk a b i r f on k s i yo n u n
t ü r e v i d i r. B a şk a b i r d e yi ş l e t ü r e v v e
i n t e g r a l i ş l em l e r i b i r b i r l e r i n i n t e r s i
i ş l e m l e r d i r. ( F (x )+c )ı=f ( x ) o l d u ğ u n u n d a
f ar k ı n a v a r ı n ı z
'
∫ f (x )dx =0
b
∫ k. f ( x ) dx=k. ∫ f (x ) dx
a
a
b
4.
b
a
a
b
5.
b
∫ ( f ( x )±g ( x )) dx=∫ f ( x ) dx±∫ g( x ) dx
c
a
b
∫ f (x )dx =∫ f (x ) dx +∫ f (x ) dx ,
a
a
c<b
c
b
6. (b-a).min(f(x))<
∫ f (x )dx =0 < ( b - a ) . m a x ( f ( x ) )
a
Örnek...14 :
İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMİ II
f : [ a , b ] →R s ü r ek l i b i r f on k s i yo n v e
b
d ( ( )) ( )
F x =f x i s e ∫ f ( x ) dx =F ( b )−F ( a ) o l u r.
dx
a
15
15
∫ f ( x ) dx=10,
−1
15
(∫
−1
ve
∫ g (x )dx =8
−1
15
) (∫
f (x ) +g ( x ) dx .
f ( x )−g( x ) dx
−1
ise
)
b
Ya n i
∫ f (x )dx if a d e s i n i
h e s a p l a m ak i ç i n
36
a
R i e m a n n t o p l am ı i l e s o n u c a g i t m e k
ye r i n e f ( x ) f o nk s i yo n u n u n i l k e l i o l a n
F ( x ) g i b i b i r f o nk s i yo n d a i n t e g r a l i n
s ı n ı r l a r ı n ı ya za r o l u ş a n f ar k ı ( F ' d e ü s t
sınır değerinden alt sınır değerini
ç ık a r a r a k ) c e v a p o l a r ak h e s a p l a r ı z v e r i r.
Örnek...15 :
3
7
∫ f (x )dx =−3 v e ∫ f (x )dx =5
2
3
2
ise
∫ f (x )dx =?
7
-2
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
5/6
İNTEGRAL -1
RİEMANN TOPLAMI
DEĞERLENDİRME
1)
f : ℝ→ℝ , f ( x )=x 3 fonksiyonu ile x=0 doğrusu
x=2 doğrusu ve x ekseniyle sınırlı bölgenin
alanını Riemann toplamıyla bulunuz
n
(
)
1 .
∑ 1+ √12 + √13 +...+ √1n n değeri sonsuza
√ n k=1
giderken topladığımızda hangi belirli integrali elde
ederiz?
4)
4
1
1
∫ √ x dx
0
2) İntegralleri alana dönüştürerek hesaplayınız
3
6
3
4
1
−3
−4
−2
a) ∫ xdx b) ∫ dx c) ∫ |x+3|dx d) ∫ ( 8−x ) dx
a)4 b)54 c)18,5 d)42
E ğ r i a l t ın d a k a l a n a l a n a ya k l a ş ım
y= f ( x )= x 2 f on k s i yo n u i l e x= 0 d o ğ r u s u x = 1
d o ğ r u s u v e x ek s e n i yl e s ın ı r l ı b ö l g e n i n
a l a n ın ın ya k l a ş ık d e ğ e r i n i , n = 1 0 p a r ç a ya
a yı r a r a k a l t t o p l am l a b u l a l ım .
3)
n
(
)
6.
,n değeri sonsuza
∑ 6 + 12 + 18 ...+ 6n
n k=1 n n n
n
giderken topladığımızda hangi belirli integrali elde
ederiz?
6
∫ xdx
0
Ya k l a ş ıl a n d e ğ e r
10
1 .
k−1 2= 1 . ( 0+1+4 +...81 ) =0,285
∑
10 k=1 10
1000
g e r ç e k d e ğ e r i s e R i em a n n t o p l a m ı i l e
1
1
1
2
1
∫ x2 dx = n f ( 0)+f n +f n +... f 1− n
0
( )
( ( ) ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
1
1 2 2 2
n−1 2
0+
+
+...+
n
n
n
n
1( 2 2 2
2
= 3 1 +2 +3 +... ( n−1) )
n
1 ( n−1) n. (2n−1) 1
= =0,333=0, ̄3
n3
6
3
h a t a ya k l a ş ık % 1 5 c i v a r ı n d a d ı r.
=
(
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
)
6/6