2011-2012 G¨UZ D¨ONEM˙I MAT101 MATEMAT˙IK I C

2011-2012 GÜZ DÖNEMİ MAT101 MATEMATİK I
Çalışma Soruları-1
Content: Önbilgiler, Limit ve Süreklilik
1. Aşağıdaki noktalardan geçen doğrunun denklemini yazınız.
(a) (−3, 1) ve (−8, 1)
(b) (1, 5) ve (−1, −1)
(c) (1, −1) ve (1, 0)
2. Aşağıda bir noktası ve eğimi verilen doğrunun denklemini yazınız.
(a) (−3, 3), m = −1
(b) (3, −1), m = 0
(c) (−5, 6) ve eğim yok.
3. x-kesişimi 5 ve y-kesişimi −1 olan doğrunun denklemini yazınız.
4. 2x + cy = 4 ve 5x + y = 1 doğruları biribirine (i) paralel, (ii) dik olması için c hangi
değerleri alır.
5. Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve değer kümelerini bulunuz.
√
1
2
(a) f (x) = 2 1−x
(b) f (x) = √ 2
(c) f (x) = ln(1− | 1 − x |)
x −4
1
(f) f (x) = 1 + sin(x + π)
(d) f (x) = cos−1 (ln x)
(e) f (x) = 2
ln (x + 1)
6. Aşağıdaki fonksiyonların tanımlı oldukları aralıkta tek, çift ya da ne tek ne çift fonksiyon
olduklarını belirleyiniz?
(a) f (x) =
sin−1 x
x2 − 1
(b) f (x) = x sin x − sec x
(c) f (x) = ex ln(2 | x |)
7. f çift g ise tek fonksiyon olsun, ve her ikisi f ve g tüm reel eksende tanımlı olsun. Aşağıdaki
fonksiyonlardan hangisi (tanımlı oldukları bölgede) tek ya da çifttir?
(a) f 2 = f f
(b) g/f
(c) gog
(d) gof
8. Kaydırma ve öteleme uygulayarak aşağıdaki fonksiyonların grafiğini çiziniz.
π
−1
(a) y =| x3 |
(b) y = cos(x + ) − 1
(c) y =
(d) y = 1 − ex+1
2
x+3
π
−1
(e) y = 2 + ln(x + 2)
(f) y = sin (x + 1) +
2
9. f −1 ’i bulunuz ve (f of −1 )(x) = (f −1 of )(x) = x eşitliğinin sağlandığını kontrol ediniz.
√
2x + 1
(c) y = x − 1 + 2
(a) f (x) = −(x − 2)2 , x ≥ 2
(b) y =
x+3
10. Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
(a) ex + e−x = 4
(b) 2 ln(x − 1) − ln 2 = ln(x + 3)
11. Aşağıdaki nicelikleri sin x ve cos x cisinden yazınız.
3π
(a) cos(
∓ x)
(b) sin(π ∓ x)
4
1
(c) tan(
11π
∓ x)
6
12. Aşağıdaki ifadelere karşı gelen açıları bulunuz.
1
1
1
1
(a) sin−1 , sin−1 (− )
(b) cos−1 √ , cos−1 (− √ )
2
2
2
2
√
1
(c) tan−1 (− 3), tan−1 ( √ )
3
13. Aşağıdaki özdeşlikleri ispat ediniz.
(a) cos−1 x + sin−1 x = π/2
(b) cot−1
1
− tan−1 x = π, x < 0
x
14. Parçacığın hareketini, uygun bir kartezyen denklem bularak belirleyiniz.
denklemin grafiğini çiziniz.
(a) x = − sec t, y = tan t,
Kartezyen
− π/2 < t < π/2
(b) x = 4 sin t, y = 4 cos t, 0 ≤ t ≤ 2π/3
(c) x = cos(et ), y = 2 sin(et ), − ∞ < t < ∞
√
(d) x = − t, y = t, 0 ≤ t < ∞
(e) x = 2t + 3, y = t2 − 1,
−2≤t≤2
15. Aşağıdaki doğru ve eğriler için bir parametrizasyon bulunuz.
(a) (−1, 3) ve (2, 3) noktaları arasında kalan doğru parçası,
(b) x − 1 = y 2 parabolunun üst yarısı,
(c) Başlangıç noktası (−1, 2) olan ve (0, 0) noktasından geçen ışın.
16. ² − δ tanımını kullanarak aşağıdaki limitlerin doğruluğunu ispatlayınız.
√
1
1
(a) lim 1 − 2x = 3
(b) lim
=
(c) lim (x2 − 1) = 0
√
2
x→−4
x→−1
x
2
x→ 2
17. Aşağıdaki limitlerde, verilen ² değerine karşı gelen uygun δ değerini bulunuz.
1−x
1
(a) lim
= 1, ² = 1 (b) lim
= −1, ² = 0.5
x→0 2x + 1
x→0 x − 1
18. Aşağıdaki limitler mevcut ise bulunuz, mevcut değil ise sebebini açıklayınız.
√
√
√
√
x−8
1 + x2 − 1 + x
1− x
(a) lim √
(b) lim
(c) lim
x→64 3 x − 4
x→1 1 − x
x→0
x
√
√
√
3
3−x
x−3 3
x+1−1
q
(d) lim √
(e) lim √
(f) lim √
4
3
x→3
x→0
x→27
x−3
x+1−1
4 − x − x/3
1
1
−
(g) lim 2 + x 2
x→0
x
x
(j) lim
x→0 tan 3x
1 + sin x − cos x
1 − sin x − cos x
cos h − 1
(p) lim
h→0
h
(m) lim
x→0
1
sin2 3x
(i) lim
x→0
x→0 5x2
x
sin2 x
sin x
(k) x→π
lim
(l) lim
x→0 x(1 − cos x)
x−π
√
√
1 + tan x − 1 + sin x
tan−1 x
(n) lim
(o)
lim
x→0
x→0
x3
x
√
2x
x + sin x + 2 x
(q) x→∞
lim
(r) x→∞
lim
sin x
x + sin x
(h) lim x sin
2
x + sin x
(s) lim
x→∞ x + cos x
(t)
lim
x→(−π/2)+
√
x+x
(u) lim √
x→∞
x + cos x
sec x
x2 + 2
(v) lim ex sin(e−x )
(w) lim
x→∞
x→∞ x − 5
√
√
(y) lim ( x2 + 1 − x2 − 1)
x2 − 4x + 8
x→−∞
3x3
√
(z) lim x( 9x2 + 1 − 3x)
(x) lim
x→∞
x→∞
19. Aşağıdaki fonksiyonların asimptotlarını bulunuz.
x3
x2 − 9
2x2 + 1
(a) f (x) =
(c)
f
(x)
=
(b)
f
(x)
=
4 − x2
x(x + 3)
x2 − 2x
sin(1 + f (x))
değerini bulunuz.
x→1
f 3 (x) + 1
20. lim f (x) = −1 ise,lim
x→1
21. Aşağıdaki fonksiyonların verilen noktadaki sağdan ve soldan limitlerini bulunuz.
|x−1|
x
(a) y =
+ x2 (x = 1)
(b) y = 2
+ x2 (x = ∓1)
x−1
x −1
1
1
2+x
(c) y = 4/3 −
(x
=
0,
2)
(d)
y
=
(x = 0)
x
(x − 2)1/3
1 + 21/x
√
x
1 − cos 2x
−1
√
(e) y = tan
(x = 2)
(f) y =
(x = 0)
x−2
2x


 1 − cos(x − 1)
x 6= 1
(g) f (x) = 
(x = 1)
(x − 1)2

1
x=1
22. Aşağıdaki fonksiyonlar hangi noktalarda süreksizdir? Varsa, süreksizlik cinslerini sıralayınız.
1
x2 + 1
1
(a) f (x) =
(b) f (x) = 2
(c) f (x) = 2
3−x
x − 4x + 3
x +1
1−3 x
(d) y =

2

 1−x
| x |≤ 1


| x |> 1
√
1
|x|
(x = −1)
(f) f (x) =



















x+3
−1
−x + 1
1
x−1
x
−3 ≤ x < −1
x = −1
−1 < x ≤ 1
1<x≤2
x>2
1
fonksiyonunun x = 0 noktasında sürekli olabilmesi için f (0) ne olmalıdır.
x

−1 x

0≤x≤2
 a sin
2
fonksiyonunun her x değerinde sürekli olabilmesi
24. f (x) = 
1
 3 tan−1
x>2
x−2
için a’nın değeri ne olmalıdır?
23. f (x) =
x sin
25. f (x) = cos x + sin x − x fonksiyonunun en az bir kökü olduğunu gösteriniz.
26. f fonksiyonunun [0, π/2] kapalı aralığında sürekli ve her x ∈ [0, π/2] için 0 < f (x) <
1 olduğunu varsayalım. f (c) = sin(c) olacak şekilde bir c ∈ [0, π/2] bulunabileceğini
gösteriniz.
3