elđptđk-parabolđk dđferensđyel denklemlerđn lokal olmayan sınır

YILDIZ TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL
DENKLEMLERĐN LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER
PROBLEMLERĐ ĐÇĐN FARK ŞEMALARI
Okan GERÇEK
FBE Matematik Anabilimdalı Matematik Programında
Hazırlanan
DOKTORA TEZĐ
Tez Savunma Tarihi: 17.06.2010
Tez Danışmanları : Prof. Dr. Ziya SOYUÇOK (Yıldız T.Ü.)
: Prof. Dr. Allaberen ASHYRALYEV (Fatih Ü.)
Jüri Üyeleri
: Prof. Dr. Ömer GÖK (Yıldız T.Ü.)
: Prof. Dr. Ayşe KARA (Yıldız T.Ü.)
: Prof. Dr. Feyzi BAŞAR (Fatih Ü.)
: Doç. Dr. Yaşar SÖZEN (Fatih Ü.)
ĐSTANBUL, 2010
ĐÇĐNDEKĐLER
Sayfa
SĐMGE LĐSTESĐ .......................................................................................................................iii
KISALTMA LĐSTESĐ ................................................................................................................ v
ŞEKĐL LĐSTESĐ ........................................................................................................................ vi
ÇĐZELGE LĐSTESĐ ..................................................................................................................vii
ÖNSÖZ....................................................................................................................................viii
ÖZET ......................................................................................................................................... ix
ABSTRACT ............................................................................................................................... x
1.
GĐRĐŞ....................................................................................................................... 1
2.
ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERENSĐYEL DENKLEM ĐÇĐN ÇOK NOKTALI
LOKAL OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMĐ ............................................ 36
2.1.
2.2.
Temel Teorem........................................................................................................ 36
Uygulamalar .......................................................................................................... 51
3.
BĐRĐNCĐ BASAMAKTAN DOĞRULUKLU FARK ŞEMASI ........................... 55
3.1.
3.2.
Fark Şeması .......................................................................................................... 55
Uygulamalar .......................................................................................................... 84
4.
ĐKĐNCĐ BASAMAKTAN DOĞRULUKLU FARK ŞEMASI ............................. 89
4.1.
4.2
Fark Şeması ........................................................................................................... 89
Uygulamalar ........................................................................................................ 102
5.
SAYISAL SONUÇLAR...................................................................................... 106
5.1.
5.2.
5.3.
Birinci Basamaktan Doğruluklu Fark Şeması ..................................................... 107
Đkinci Basamaktan Doğruluklu Fark Şeması ....................................................... 113
Hata analizi .......................................................................................................... 118
6.
SONUÇLAR........................................................................................................ 122
KAYNAKLAR....................................................................................................................... 126
EKLER ................................................................................................................................... 131
Ek 1
Ek 2
Euler-Rothe fark şeması (5.3)’ün uygulaması için yazılan Matlab Programı.......132
Crank-Nicholson fark şeması (5.5)’in uygulaması için yazılan Matlab Programı135
ÖZGEÇMĐŞ............................................................................................................................ 139
ii
SĐMGE LĐSTESĐ
C (H )
C ( H ) = C ([ a, b], H ) , değerleri H Banach uzayında olan ve [ a, b]
tanımlı || ϕ ||C ([ a , b ], H ) = max ϕ (t )
a ≤t ≤b
α
C0,1 ( H )
0 ,1 ([ −1,0], H )
= ϕ
C ([ −1,0], H )
+ sup
( −t )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
τα
−1<t <t +τ < 0
0,1 ([0,1], H )
= ϕ
C ([0,1], H )
+ sup
(1 − t )α (t + τ )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
τα
0 <t <t +τ <1
H
normuyla verilen [0,1] aralığı üzerinde tanımlanmış H uzayında değer alan
düzgün ϕ (t ) fonksiyonları kümesinin tanımlanması ile elde edilen ağırlıklı Hölder
uzayı.
α
α
C0,1
( H ) = C0,1
([−1,1], H ), 0 < α < 1 ,
∥ ϕ ∥ Cα0,1 −1,1,H = ‖ϕ‖ C−1,1,H +
+ sup
(1 − t )α (t + τ )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
τ
0<t <t +τ <1
Cτ ( H )
H
normuyla verilen [ −1, 0] aralığı üzerinde tanımlanmış H uzayında değer alan
düzgün ϕ (t ) fonksiyonları kümesinin tanımlanması ile elde edilen ağırlıklı Hölder
uzayı.
α
α
C0,1
( H ) = C0,1
([0,1], H ),0 < α < 1 ,
ϕ Cα
α
C0,1
(H )
normunda tanımlanan düzgün fonksiyonların
H
oluşturduğu Banach uzayı.
α
α
C0,1
( H ) = C0,1
([−1, 0], H ),0 < α < 1 ,
ϕ Cα
α
C0,1
(H )
aralığında
α
sup
−1<t<t+τ<0
−t α ‖ϕt + τ − ϕt‖ H
τα
H
normuyla verilen [0,1] aralığı üzerinde tanımlanmış H uzayında değer alan
düzgün ϕ (t ) fonksiyonları kümesinin tanımlanması ile elde edilen ağırlıklı Hölder
uzayı.
C (τ , H ) = C ([ a, b]τ , H ) ,
a, b τ = t k = kh, N a ≤ k ≤ N b , N a τ = a, N b τ = b ’de
ϕ τ = ϕ k  NNba
tanımlı
ağ fonksiyonları uzayında
τ
ϕ C ([ a , b ]τ , H ) = max ϕk H normu ile verilen Banach uzayı.
ϕ τ ∈ H (τ )
için
N a ≤ k ≤ Nb
Cτα ( H )
α
Cτα ( H ) = C0,1
([−1, 0]τ , H ),,0 < α < 1 ,
τ
τ
∥ ϕ ∥ C α0 −1,0 τ ,H = ∥ ϕ ∥ C−1,0 τ ,H +
sup
−N≤k<k+r≤0
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
−k α
,
rα
normuyla verilen [ −1,0]τ aralığı üzerinde tanımlanmış Cτα ( H ) üzerinde değer
τ
Cτα ( H )
Nb
alan H-değerli ϕ = ϕ k  Na ağ fonksiyonları kümesinin tanımlanması ile elde
edilen ağırlıklı Hölder uzayı.
α
Cτα ( H ) = C0,1
([0,1]τ , H ),0 < α < 1 ,
(( k + r )τ ) ( N − k )α
α
ϕ Cα
τ
= ϕ C ([0,1]τ , H ) +
τ
sup
ϕk + r − ϕk E
rα
normuyla verilen [0,1]τ aralığı üzerinde tanımlanmış Cτα ( H ) üzerinde değer alan
0,1 ([0,1]τ
,H )
1≤ k < k + r ≤ N −1
iii
Cτα ( H )
H-değerli ϕ τ = {ϕ k }NNba ağ fonksiyonları kümesinin tanımlanması ile elde edilen
ağırlıklı Hölder uzayı.
α
Cτα ( H ) = C0,1
([−1,1]τ , H ), 0 < α < 1 ,
∥ ϕ τ ∥ C α0,1 −1,1 τ ,H = ∥ ϕ τ ∥ C−1,1 τ ,H +
sup
−N≤k<k+r≤0
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
−k α
rα
(( k + r )τ )α ( N − k )α
+ sup ϕ k + r − ϕ k E
rα
1≤ k < k + r ≤ N −1
normuyla verilen [ −1,1]τ aralığı üzerinde tanımlanmış Cτα ( H ) üzerinde değer alan
F {u }
L {u }
u fonksiyonunun Laplace dönüşümü.
{( x1 , x2 ,..., xn ) : ∀xk ∈ ℝ, 0 < xk < 1, 1 ≤ k ≤ n} ile verilen açık birim küp. S, bu
Ω
Ω
H-değerli ϕ τ = {ϕ k }NNba ağ fonksiyonları kümesinin tanımlanması ile elde edilen
ağırlıklı Hölder uzayı.
u fonksiyonunun Fourier dönüşümü.
+
küpün sınırları ve Ω = Ω ∪ S .
{( x1 , x2 ,..., xn ) : ∀xk ∈ ℝ, 0 < xk < ∞,1 ≤ k ≤ n} ile verilen açık küme. S + , bu
kümenin sınırları ve Ω + = Ω + ∪ S + .
iv
KISALTMA LĐSTESĐ
BBDFŞ
ĐBDFŞ
Birinci basamaktan doğruluklu fark şeması
Đkinci basamaktan doğruluklu fark şeması
v
ŞEKĐL LĐSTESĐ
Şekil 5.1 Gerçek çözüm.......................................................................................................... 118
Şekil 5.2 Birinci basamaktan doğruluklu fark şeması ............................................................ 119
Şekil 5.3 Đkinci basamaktan doğruluklu fark şeması.............................................................. 120
vi
ÇĐZELGE LĐSTESĐ
Çizelge 5.1 u(t,x) için hata analizi .......................................................................................... 121
vii
ÖNSÖZ
Bu tez çalışması sırasında yaptığı değerli katkılar için, benden hiç bir yardımı esirgemeyen,
değerli tavsiyeleriyle akademik hayatımda sürekli yol gösteren danışman hocam Prof. Dr.
Allaberen Ashyralyev’e sonsuz teşekkür ederim.
Bu çalışma sırasında desteklerini esirgemeyen danışman hocam Prof. Dr. Ziya Soyuçok’a,
maddi ve manevi yardımlarını esirgemeyen aileme ve arkadaşlarıma teşekkürü bir borç
bilirim.
viii
ÖZET
Bu araştırmada, H Hilbert uzayında self-adjoint pozitif tanımlı A operatörlü diferensiyel
denklemi için çok noktalı lokal olmayan
− d u 2(t ) + Au (t ) = g (t ), (0 ≤ t ≤ 1),
 dt

 du (t )
 dt − Au (t ) = f (t ), (−1 ≤ t ≤ 0),


J

u
(1)
=
∑
α i u (λi ) + ϕ

i =1


 −1 ≤ λ < λ < ⋯ < λ ≤ 0
1
2
J

2
(2.1)
J
sınır değer problemin iyi konumlanmışlığı
∑α
i
≤ 1 varsayımı koşulu altında çalışılmıştır.
i =1
Bu sınır değer probleminin iyi konumlanmışlığı ağırlıklı Hölder uzaylarında doğruluğu
gösterilmiştir. Eliptik-parabolik denklemlerin lokal olmayan sınır değer problemlerinin
çözümü için koersiv eşitsizlikleri elde edilmiştir. Lokal olmayan sınır değer probleminin
yaklaşık çözümü için birinci ve ikinci derecedeki yakınlaşması olan fark şemaları
sunulmuştur. Fark şemalarının da iyi konumlanmışlığı Hölder uzaylarında ortaya
konulmuştur. Uygulamalarda lokal olmayan karma problemlerin yaklaşık çözümü için
oluşturulan fark şemalarının çözümlerinde kararlılık kestirimleri, hemen hemen kararlılık
kestirimleri ve koersiv kararlılık kestirimleri elde edilmiştir.
Bu fark şemalarının çözümleri için teorik ifadeleri sayısal deney sonuçları ile desteklenmiştir.
Anahtar kelimeler: Lokal olmayan sınır değer problemi, çok noktalı eliptik-parabolik
diferensiyel denklemleri, fark şemaları, kararlılık, koersiv kararlılık, birinci basamaktan
doğruluk, ikinci basamaktan doğruluk, iyi konumlanmışlık.
ix
ABSTRACT
In the present work, we consider the multipoint nonlocal boundary value problem
− d u 2( t ) + Au (t ) = g (t ), (0 ≤ t ≤ 1),
 dt

 du (t )
 dt − Au (t ) = f (t ), (−1 ≤ t ≤ 0),


J

α i u (λi ) + ϕ ,
u (1) = i∑
=1


−1 ≤ λ < λ < ... < λ ≤ 0
1
2
J

2
for the elliptic-parabolic equation in a Hilbert space H with the self-adjoint positive definite
J
operator A under the assumption
∑α
i
≤ 1 . The well-posedness of this problem in Hölder
i =1
spaces with a weight is established. The coercivity inequalities for the solutions of the
boundary value problems for elliptic-parabolic equations are obtained. The first and second
order of accuracy difference schemes for approximate solutions of this nonlocal boundary
value problem are presented. The well-posedness of these difference schemes in Hölder
spaces is established. In applications, the stability, almost coercivity inequalities, coercivity
inequalities for the solutions of difference scheme for the approximate solution of this
nonlocal boundary value problem for mixed equation are obtained.
The theoretical statements for the solution of these difference schemes are supported by the
results of numerical experiments.
Keywords: Nonlocal boundary value problem, multipoint elliptic-parabolic differential
equations, difference schemes, stability, coercive stability, first order accuracy, second order
accuracy, well-posedness.
x
1
1. GĐRĐŞ
Lokal olmayan problemler fizik, biyoloji, kimya, ekoloji, mühendislik ve endüstrinin çeşitli
süreçlerinin matematik modellemeleri için bilinmeyen fonksiyonun sınır değerlerinin
belirlenmesinin olanaksız olduğu durumlarda yaygın olarak kullanılır. Kısmi türevli diferensiyel
denklemler için lokal olmayan sınır değer problemlerin teori ve sayısal çözüm metotları birçok
araştırmacı tarafından araştırılmaktadır. (bakınız, [Agarwal, Bohner ve Shakhmurov, 2005],
[Ashyralyev, 2003], [Ashyralyev, 2006b], [Ashyralyev, 2007a], [Ashyralyev, 2007b],
[Ashyralyev, 2009], [Ashyralyev, Dural ve Sozen, 2009], [Ashyralyev, Hanalyev ve Sobolevskii,
2001], [Ashyralyev, Karatay ve Sobolevskii, 2004], [Ashyralyev ve Sobolevskii, 2006],
[Ashyralyev ve Soltanov, 1998], [Chipot ve Lovat, 1997], [Dautray ve Lions, 1988], [Dehghan,
2005a], [Dehghan, 2005b],
[Ewing, Lazarov ve Lin, 2000], [Gordeziani, Natalini ve Ricci,
2005], [Gulin, Ionkin ve Morozova, 2001], [Ionkin ve Morozova, 2000], [Lagnese, 1972],
[Martín-Vaquero ve Vigo-Aguiar, 2009], [Pao, 1995], [Pao, 2001], [Sapagovas, 2008],
[Samarskii ve Bitsadze, 1969], [Shakhmurov, 2006]).
Bizim ilgi alanımız lokal olmayan sınır değer koşulu ile çok noktalı eliptik-parabolik
diferensiyel ve fark problemlerin iyi konumlanmışlığını (well-posedness) çalışmaktır. Akışkanlar
mekaniğindeki birçok problemlerde (reaksiyon-difüzyon denklemleri dinamikleri, modelleme
süreçleri ve teorik gaz hidrodinamik uygulama problemleri), ısı akışı, füzyon süreci ve diğer
fiziksel alanlarda karşımıza eliptik-parabolik tipindeki diferensiyel denklemler çıkmaktadır. Bu
türdeki denklemler için lokal olmayan sınır değer problemlerin çözüm metotları üzerine birçok
araştırma yapılmıştır. (bakınız, [Salahatdinov, 1974], [Drujaev, 1979], [Vragov, 1983], [Kroner
ve Rodrigues, 1985], [Karatopraklieva, 1991], [Hilhorst ve Hulshof, 1991], [Ashyralyev ve
Soltanov, 1994], [Bazarov ve Soltanov, 1995], [Ashyralyev ve Soltanov, 1995b], [Nakhushev,
1995], [Glazatov, 1998], [Diaz, Lerena,, Padial, and Rakotoson, 2004], [Ashyralyev, 2006a]).
Lokal olmayan sınır koşuluyla çok noktalı eliptik-parabolik problemi Fourier serileri metodu,
Laplace dönüşümü metodu, and Fourier dönüşümü metoduyla çözülebilinir. Bu üç farklı analitik
metodu örneklerle açıklayabiliriz.
Birincil olarak Fourier serileri metodu uygulamasını ele alalım.
2
Örnek 1.1. Aşağıdaki çok noktalı eliptik-parabolik problemi
 ∂ 2u + ∂ u2 = −t sin x, 0 < t < 1, 0 < x < π ,
 ∂t ∂x

 ∂u + ∂ 2u = (−2e− t + 1 − t ) sin x, − 1 < t < 0, 0 < x < π ,
 ∂t ∂x2


1
u (1, x ) = 12 u ( −1, x ) + 12 u ( − 12 , x ) + (e −1 − e2 − 12 e 2 + 74 ) sin x,


u ( 0 , x ) = u ( 0 , x ) , u ′ ( 0 , x ) = u′ ( 0 , x ) , 0 ≤ x ≤ π ,
+
−
+
−


u t , 0 = u t , π = 0, − 1 ≤ t ≤ 1.
( )
 ( )
2
2
(1.1)
lokal olmayan sınır koşulu içersinde etüt edelim.
(1.1) probleminin çözümü için Fourier serileri metodunu kullanırız. Problemi çözmek için
u (t , x ) fonksiyonunu u ( t , x ) = v ( t , x ) + w ( t, x ) şeklinde iki kısma ayıralım. Şöyle ki
 ∂ 2v + ∂ v2 = 0, 0 < t < 1, 0 < x < π ,
 ∂t ∂x

 ∂v + ∂ 2v = 0, − 1 < t < 0, 0 < x < π ,
 ∂t ∂x 2


1
v (1, x ) = 12 v ( −1, x ) + 12 v ( − 12 , x ) + (e−1 − 2e − 12 e 2 + 74 ) sin x,


v ( 0 , x ) = v ( 0 , x ) , v′ ( 0 , x ) = v′ ( 0 , x ) , 0 ≤ x ≤ π ,
−
+
−
 +

v t , 0 = v t , π = 0, − 1 ≤ t ≤ 1
( )
 ( )
2
ve
2
(1.2)
3
 ∂ w2 + ∂ w2 = −t sin x, 0 < t < 1, 0 < x < π ,
∂x
 ∂t

 ∂w + ∂ 2 w = (−2e− t + 1 − t )sin x, −1 < t < 0, 0 < x < π ,
 ∂t ∂x2


 w (1, x ) = 12 w ( −1, x ) + 12 w ( − 12 , x ) ,


 w ( 0+ , x ) = w ( 0− , x ) , w′ ( 0+ , x ) = w′ ( 0− , x ) , 0 ≤ x ≤ π ,


 w ( t , 0 ) = w ( t , π ) = 0, −1 ≤ t ≤ 1

2
2
(1.3)
olarak yazılabileceği görülür.
Öncelikle değişkenleri ayırma yöntemi ile problem (1.2)’nin çözümünü elde edeceğiz.
Değişkenlerine ayırma yöntemi gereğince
v (t , x ) = T (t ) X ( x ) ≠ 0
olarak kabul edelim.
−1 < t < 0 koşulunda iken, kısmi türevleri alıp (1.2) denkleminde yerine yazarsak
T ′ t X ′′ x 
+
=0
Tt
Xx 
denklemi elde ederiz ve bu denklemi düzenlediğimizde
−
T ′ ( t ) X ′′ ( x )
=
=λ
T (t )
X ( x)
eşitlikleri şeklinde yazarız.
Böylece, biz (1.4) denkleminden ve (1.2)’deki sınır koşullarından
(1.4)
4
X ′′ ( x ) = λ X ( x ) , X ( 0 ) = X (π ) = 0
(1.5)
denklemlerini elde ederiz.
Eğer λ ≥ 0, ise o zaman (1.5) sınır değer probleminin sadece basit çözümü X ( x ) = 0 vardır.
λ > 0 için, bu probleminin çözümleri λk = −k 2 , X k ( x ) = sin kx, k = 1, 2,⋯ olarak yazılabilir.
Bu nedenle, sınır değer probleminin basit olmayan çözümleri
λk = − k 2 and X k ( x ) = sin kx, k = 1, 2,⋯
şeklindedir.
(1.4)’ te verilen birinci dereceden türevli denklem
T ′ ( t ) = −λkT ( t ) , λk = −k 2 , k = 1, 2,⋯ şeklindedir.
Sonrasında, bu eşitliğinin çözümü
Tk ( t ) = Ak e k t , k = 1, 2,⋯ şeklindedir.
2
∞
∞
k =1
k =1
Böylece, v ( t , x ) = ∑vk (t , x ) = ∑Ak e k t sin kx denklemini elde ederiz.
2
0 < t < 1 koşulunda problem (1.2)’yi benzer yöntemle ele alabiliriz. Bunu yapmak için,
v (t , x ) = T (t ) X ( x ) ≠ 0 formunun bir çözümü önerilir.
Sonra, kısmi türevlerini alıp sonucu (1.2) denkleminde yerine yerleştirerek
T ′′ ( t )
T (t )
veya
+
X ′′( x)
=0
X ( x)
(1.6)
5
−
T ′′ ( t ) X ′′( x)
=
=λ
T (t )
X ( x)
(1.7)
eşitliklerini elde ederiz.
Sınır koşullarını uygulayarak ve (1.7) eşitliğini kullanarak
X ′′ ( x ) = λ X ( x ) , X ( 0 ) = X (π ) = 0 olur.
Bu eşitliği önceki kısımda çözmüştük. Çözümü (1.6)’da verilmiştir.
(1.7)’de sunulan diğer denklemin çözümü
T ′′ ( t ) = −λT ( t ) , λ = −k 2 , k = 1, 2,⋯ şeklindedir.
Bu eşitliğin çözümü
Tk ( t ) = ( Bk ekt + Ck e− kt ), k = 1, 2,⋯ şeklinde yazabiliriz.
Bu nedenle,
∞
∞
k =1
k =1
v (t , x) = ∑vk (t , x) = ∑ ( Bk e kt + Ck e − kt ) sin kx
eşitliği olduğu görülür.
Lokal olmayan sınır koşulunu ve t=0 iken v (t , x) , v′ ( t , x ) için süreklilik özelliklerini
uygulayarak,
v (1, s ) = 12 v ( −1, s ) + 12 v ( − 12 , s ) + (e−1 − 2e − 12 e 2 + 74 ) sin x,



v ( 0+ , x ) = v ( 0− , x ) ,


v′ ( 0+ , x ) = v′ ( 0− , x )
1
6
denklem sistemini elde ederiz.
k ≠ 1 olsun. Buradan
 B e k + C e − k = 1 A e − k 2 + 1 A e − 12 k ,
k
2 k
2 k
 k

B + C = A ,
 k
k
k


k ( Bk − Ck ) = k 2 Ak


2
elde edip çözümlediğimizde, bütün k için, k ≠ 1 şartında
Bk = Ck = Ak = 0 koşullarını elde ederiz.
Aşağıdaki denklem sistemini de k = 1 durumunda iken
 B1e + C1e −1 = 12 A1e −1 + 12 A1e − 2 + (e−1 − 2e − 12 e 2 + 74 ),


B + C = A ,
 1
1
1


 B1 − C1 = A1


1
1
1
yazılır ve C1 = 0 , A1 = B1 =
( e −1 − e2 − 12 e 2 + 47 )
e − 12 ( e−1 + e
−1
2
bilinmeyenleri bulunarak çözeriz.
)
Böylece, (1.2)’nin çözümü
(e −1 − e2 − 12 e 2 + 74 )
1
v (t, x ) ≡
−1
− 12
e − (e + e )
1
2
et sin x elde edilir.
Đkincisi, (1.3)’ün çözümü için
7
∞
w ( t , x ) = ∑Dk ( t ) sin kx eşitliğini varsayalım.
k =1
0 < t < 1 koşulunda iken, denklemimize yerleştirdiğimizde,
∞
w tt + w xx =
∑D′′k t − k 2 Dk t sinkx = −t sinx
k=1
elde ederiz. Bunun sonrasında
Dk′′ ( t ) − k 2 Dk ( t ) = 0, k ≠ 1,
D1′′ ( t ) − D1 ( t ) = −t
yazabilir ve çözümün çıkarmasını
Dk ( t ) = Ck cosh kt + Bk sinh kt , k ≠ 1,
D1 ( t ) = C1 cosh t + B1 sinh t + t
elde ederiz.
Böylece,
∞
∞
k =1
k =2
w(t , x) = ∑vk (t , x ) = ∑(Ck cosh kt + Bk sinh kt ) sin kx
+ (C1 cosh t + B1 sinh t + t ) sin x
eşitliğini yazabiliriz.
−1 < t < 0 koşulunda olduğu zaman,
8
∞
wt + wxx = ∑ ( Dk′ ( t ) − k 2 Dk ( t ) ) sin kx = ( −2e − t + 1 − t ) sin x
k =1
eşitliğini elde ederiz. Bunu takip ederek,
D′k t − k 2 Dk t = 0, k ≠ 1
ve D1′ ( t ) − D1 ( t ) = (−2e −t + 1 − t ) olur ve çözdüğümüzde,
D1 ( t ) = A1et + t , Dk ( t ) = Ak e k t , k ≠ 1 yazabiliriz.
2
Böylece,
∞
∞
k =1
k =2
w(t , x ) = ∑vk (t , x) = ∑ Ak e k t sin kx + ( A1et + t + e − t − et ) sin x
2
sonucuna ulaşırız.
k ≠ 1 durumunda lokal olmayan sınır koşulunu, t=0 iken w(t , x) , w′ ( t , x ) için süreklilik
özelliklerini ve


1
1
1
 w (1, s ) = 2 w ( −1, s ) + 2 w ( − 2 , s ) ,


 w ( 0+ , x ) = w ( 0− , x ) ,


 w′ ( 0+ , x ) = w′ ( 0− , x )
denklem sistemini kullanarak
(1.8)
9


− 12 k 2
−k2
1
1
 Bk sinh k + Ck cosh k = 2 Ak e + 2 Ak e


Ck = Ak ,


2
kBk = k Ak
denklem sistemini elde ederiz.
k = 1 durumunda (1.8) denklem sistemini kullanarak,

 B sinh1 + C cosh1 + 1 = 1 ( A e −1 − 1 + e1 − e−1 ) + 1 ( A e− 12 − 1 + e 21 − e − 21 )
1
1
1
2
2
2
 1


C1 = A1 ,


 B1 + 1 = A1 + 1
elde ederiz ve kolaylıkla k ≠ 1 durumunda Bk = Ck = Ak = 0 olur.
k = 1 durumunda
1
B1 = A1 − 2, C1 = A1 =
− ( e −1 − 2e − 12 e 2 + 74 )
e − 12 e−1 − 12 e
−1
2
+1
çözümlerini elde ederiz.
Böylece, (1.3)’ün çözümü
w ( t , x ) = ((−
ϕ
−1
− 12
e − (e + e )
1
2
)et + t + e− t )sin x
olarak bulunur. En sonunda, v (t, x) ve w (t, x) çözümlerini
u (t, x ) = v (t, x ) + w (t, x )
10
formülünde yerleştirilerek
u ( t , x ) = (e−t + t )sin x elde ederiz.
Benzer mantığı kullanarak, çok boyutlu eliptik-parabolik eşitlik için aşağıdaki lokal olmayan
sınır değer probleminin çözümünü elde ederiz.
 ∂ 2u ( t , x ) n ∂ 2u ( t , x )
 ∂t 2 + r∑=1 ar ∂xr2 = g (t , x), x = ( x1 ,⋯ , xn ) ∈ Ω, 0 < t < T ,


 ∂u ( t , x ) n ∂ 2u (t , x )
 ∂t + r∑=1 ar ∂xr2 = f (t , x), x = ( x1 ,⋯ , xn ) ∈ Ω, − T < t < 0,


u ( 0 , x ) = u ( 0 , x ) , u ( 0 , x ) = u ( 0 , x ) ,
t
t
+
−
+
−



J
u (T , x) = ∑ α u (λ , x) + ϕ ( x),
k
k

k =1


 J
 k∑=1 α k ≤ 1, x ∈ Ω,


 − T ≤ λ1 < λ2 < ⋯ < λJ ≤ 0,


u (t , x) = 0, x ∈ S .

Burada
Ω , S, Ω = Ω ∪ S
ile
sınırları
verilen
n − boyutlu
Öklid
uzayı
Rn (0 < x k < 1,1 ≤ k ≤ n ) ’de birim açık küp ve ar ( x) (ar ( x) ≥ a > 0, x ∈ Ω), ϕ(x ) (x ∈ Ω),
g (t , x) (t ∈ [ 0, T ] , x ∈ Ω), f (t , x) (t ∈ [ −T , 0] , x ∈ Ω) verilen düzgün (smooth) fonksiyonlardır.
Bununla beraber, değişkenlerine ayırma yöntemi, yalnızca, denklemin tüm katsayılarının sabit
olması durumunda kullanılabilir. Oysaki fark şemaları yöntemi kısmi türevli diferansiyel
denklemleri çözmek için, katsayıların t ’de veya uzay değişkenlerinde bağımlı olduğu
durumlarda da kullanılabilen etkinliği iyi bilinen bir yöntemdir.
11
Đkincisi, Laplace dönüşüm metodunu ele alalım.
Örnek 1.2. Eliptik parabolik problemi denklemleri için karma problemini
 ∂ 2u + ∂ u2 = (2e− t + t )e− x , 0 < t < 1, 0 < x < ∞,
 ∂t ∂x

 ∂u + ∂ 2u = (1 + t )e− x , − 1 < t < 0, 0 < x < ∞,
 ∂t ∂x2


1
u (1, x ) = 12 u ( −1, x ) + 12 u ( − 12 , x ) + (e−1 − 2e − 12 e 2 + 74 )e− x ,


u ( 0 , x ) = u ( 0 , x ) , u ( 0 , x ) = u ( 0 , x ) , 0 ≤ x < ∞,
+
−
t
+
t
−


u t , 0 = t + e− t , u t , 0 = −(t + e − t ), − 1 ≤ t ≤ 1
)
x(
 ( )
2
2
ele alalım.
Đlk olarak 0 < t < 1 için bu problemi inceleyelim. Diferensiyel denklemin
u tt + u xx = 2e −t + te −x
her iki tarafının da Laplace dönüşümünü alırsak
Lu tt  + Lu xx  = L2e −t + te −x 
veya
L {u ( t , x )}tt + s 2L {u ( t , x )} − su ( t , 0 ) − u x ( t , 0 ) =
2e − t + t
s +1
elde ederiz.
Laplace dönüşümü yardımı ile çözebilmemiz için L{u (t , x )} = v (t , s ) olarak gösterelim.
Böylece,
(1.9)
12
−t
v tt t, s + s 2 vt, s − st + e −t  + t + e −t = 2e + t
s+1
veya
−e − t + s 2 (t + e− t )
şeklinde yazılabilir.
vtt ( t , s ) + s v ( t , s ) =
s +1
2
Tamamlayıcı (complementary) çözüm
vc ( t , s ) = c1 sin st + c2 cos st şeklindedir.
Özel (particular) çözüm için
t + e−t
olarak yazabiliriz. Böylece, problemimiz
v p (t, s ) =
s +1
v ( t , s ) = c1 sin st + c2 cos st +
t + e−t
s +1
(1.10)
olur. −1 ≤ t ≤ 0 için,
ut + u xx = (1 + t ) e − x haline gelir.
Diferensiyel eşitliğin Laplace dönüşümü
Lu t  + Lu xx  = L1 + te −x 
veya
( L {u ( t , x )}) + s L {u ( t , x )} − su ( t , 0 ) − u
2
t
şeklinde yazılır. O zaman bu problem
x
(t, 0) =
1+ t
s +1
13
v t t, s + s 2 vt, s − st + e −t  + t + e −t = 1 + t
s+1
veya
vt ( t , s ) + s 2v ( t , s ) =
1 − e− t + s 2 (t + e− t )
olur.
s +1
Bunu çözerek,
v ( t , s ) = c3e − s t +
2
t + e−t
s +1
(1.11)
elde ederiz.
Lokal olmayan sınır koşulunu, t=0 iken u (t , x ) , u′ ( t , x ) için süreklilik özelliklerini ve

1

−1
−x
e
7
1
1
1
1 2
u (1, x ) = 2 u ( −1, x ) + 2 u ( − 2 , x ) + (e − 2 − 2 e + 4 )e ,


u ( 0+ , x ) = u ( 0− , x ) ,


u′ ( 0+ , x ) = u ′ ( 0− , x )
denklem sistemini kullanarak

( e−1 − 2e − 12 e 2 + 74 )
1
1
1
v
1,
s
=
v
−
1,
s
+
v
−
,
s
+
,
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1+ s



v ( 0 + , s ) = v ( 0 − , s ) ,


v′ ( 0 , s ) = v′ ( 0 , s )
+
−



1
denklem sistemini buluruz.
14
Bu koşulları uygulayarak ve (1.10), (1.11) kullanarak,
c1 sin s + c2 cos s + 1+s +e1−1 = 12 (c3e s − 1s−+e11 )


1
1

1 −e 2
2
( e −1 − 2e − 12 e 2 + 74 )
+ 12 (c3e s − 2s +1 ) +
,
1+ s



c2 = c3,


 sc1 + s1+1 = − s 2 c3 + s1+1
2
denklem sistemini elde ederiz. Bu denklem sistemini çözerek,
c1 = c2 = c3 = 0 yazabiliriz. O halde,
v (t, s ) =
t + e−t
olur.
s +1
Buradan, ters Laplace dönüşümü uygulanınca
 t + e− t 
−t
−1  1 
−t
−x
u ( t , x ) = L−1 {v ( t , s )} = L−1 
 = (t + e )L 
 = (t + e )e
s
+
1
s
+
1




elde edilir.
Böylece, verilen lokal olmayan değer problem (1.9)’un çözümü
u ( t , x ) = (e−t + t )e− x olur.
Çok boyutlu eliptik-parabolik eşitlik için aşağıdaki lokal olmayan sınır değer probleminin
çözümünü benzer yöntemi kullanarak bulabiliriz.
15
 ∂ 2u ( t , x ) n ∂ 2u ( t , x )
 ∂t 2 + r∑=1 ar ∂xr2 = g (t , x),


+

 x = ( x1 ,⋯ , xn ) ∈ Ω , 0 < t < T ,


n
 ∂u ( t , x ) + ∑ a ∂ 2u (t2, x ) = f (t , x),
r
∂xr
r =1
 ∂t


 x = ( x1 ,⋯ , xn ) ∈ Ω + , − T < t < 0,


J
J

u (T , x) = k∑=1α k u (λk , x) + ϕ ( x), k∑=1 α k ≤ 1,


−T ≤ λ < λ < ⋯ < λ ≤ 0,
1
2
J



+
u ( 0+ , x ) = u ( 0− , x ) , ut ( 0+ , x ) = ut ( 0− , x ) , x ∈ Ω ,


u (t , x) = 0, ∂u∂(xt , x ) = 0, r = 1, 2,⋯ n, x ∈ S + .
r


Burada
+
Ω + , S + , Ω = Ω+ ∪ S +
Rn (0 < xk < ∞,1 ≤ k ≤ n ) ’de
ile
birim
sınırları
açık
+
verilen
küp
ve
n − boyutlu
Öklid
uzayı
ar ( x) ( ar ( x ) ≥ a > 0, x ∈ Ω + ),
+
ϕ(x ) ( x ∈ Ω ), g (t , x) (t ∈ [ 0, T ] , x ∈Ω ), f (t , x) (t ∈ [ −T , 0] , x ∈ Ω ) verilen düzgün (smooth)
+
fonksiyonlardır.
Bununla beraber, Laplace dönüşümü metodu, yalnızca, denklemin tüm katsayılarının sabit olması
durumunda kullanılabilir. Oysaki fark şemaları yöntemi kısmi türevli diferensiyel denklemleri
çözmek için, katsayıların t ’de veya uzay değişkenlerinde bağımlı olduğu durumlarda da
kullanılabilen etkinliği iyi bilinen bir yöntemdir.
Son olarak, Fourier dönüşümü metodunun uygulamasını ele alacağız.
16
Örnek 1.3. Eliptik-parabolik eşitliği için lokal olmayan sınır değer problemini
 ∂ 22u + ∂ 2u2 = (e − t + (e − t + t )(4 x 2 − 2))e − x ,
 ∂t ∂x

0 < t < 1, − ∞ < x < ∞,



2
−t
−t
2
− x2
 ∂∂ut + ∂∂xu2 = ( −e + 1 + (e + t )(4 x − 2))e ,


−1 < t < 0, − ∞ < x < ∞,


u ( 0+ , x ) = u ( 0− , x ) , u ′ ( 0+ , x ) = u ′ ( 0− , x ) ,


u (1, x ) = 1 u ( −1, x ) + 1 u ( − 1 , x ) + ϕ ( x ) ,
2
2
2



1
−1
− x2
e
7
1
ϕ ( x ) = (e − 2 − 2 e 2 + 4 )e , − ∞ < x < ∞
2
(1.12)
inceleyelim.
F {u ( t , x )} = v ( t , s ) olarak gösterelim. (1.12)’deki diferensiyel eşitliğin her iki tarafının Fourier
dönüşümünü −1 < t < 0 için alırsak,
{
vt ( t , s ) − s 2v ( t , s ) = F (−e −t + 1 + (e−t + t )(4 x 2 − 2)e− x
2
} elde ederiz.
(e− x )′′ = (4 x 2 − 2)e− x olduğu için,
2
{
F (4 x 2 − 2)e − x
2
2
} = F {(e )′′} = −s F {e }
− x2
2
− x2
(1.13)
denklem sistemini yazabiliriz.
Böylece,
{ }
vt ( t , s ) − s 2v ( t , s ) = (−e−t + 1 + (e−t + t ) s 2 )F e− x
2
17
elde eder ve çözümlediğimizde,
{ }
v ( t , s ) = c1e s t + (e −t + t )F e− x
2
2
(1.14)
eşitliğini yazabiliriz.
Problemimiz (1.12)’deki diferensiyel eşitliğin her iki tarafının Fourier dönüşümü 0 < t < 1 için
{
}
alırsak, vtt ( t , s ) − s 2 v ( t , s ) = F (e − t + (e − t + t )(4 x 2 − 2))e − x elde ederiz.
2
(1.13)’deki eşitliği kullanarak,
{ }
vtt ( t , s ) − s 2 v ( t , s ) = (e − t + (e − t + t ) s 2 )F e − x
2
buluruz ve çözümlediğimizde
{ }
v ( t , s ) = c2 cosh st + c3 sinh st + (e − t + t )F e − x
eşitliğini yazabiliriz.
Lokal olmayan sınır koşullarını ve
u (1, x ) = 12 u ( −1, x ) + 12 u ( − 12 , x ) + ϕ ( x ) ,


1

−1
− x2
e
7
1 2
φ ( x ) = (e − 2 − 2 e + 4 )e ,


u 0 , x = u 0 , x ,
( − )
 ( + )


u ′ ( 0 + , x ) = u ′ ( 0 − , x )
denklem sistemini kullanarak,
2
(1.15)
18

v (1, s ) = 1 v ( −1, s ) + 1 v ( − 1 , s ) + (e−1 − e − 1 e 12 + 7 )F e− x2 ,
2
2
2
2
2
4



v ( 0 + , s ) = v ( 0 − , s ) ,


v′ ( 0+ , s ) = v′ ( 0− , s )
{ }
denklem sistemini elde ederiz.
Bu koşulları uygulayıp ve (1.14) ve (1.15) kullandığımızda,
{ }
{ }
c cosh s + c sinh s + (e−1 + 1)F e− x2 = c e− s 2 (e−1 + 1)F e− x2
3
1
 2


1
2
+(e−1 − 2e − 12 e 2 + 74 )F e− x ,



c2 = c1 ,


 sc + F e− x2 = s 2 + F e− x2
 3
{ }
{ }
{ }
bulduğumuz denklem sistemi çözünüldüğünde c1 = c2 = c3 = 0 olduğu kolaylıkla anlaşılır.
Böylece,
{ } denklemine ulaşırız.
v(t , s) = (e −t + t )F e− x
2
Sonuç olarak, ters Fourier dönüşümü uygulanınca, (1.12) probleminin
u ( t , x ) = (e− t + t )e − x sonucunu elde ederiz.
2
Aynı yöntemi kullanarak, ikinci dereceden çok boyutlu eliptik parabolik eşitlik için lokal
olmayan sınır değer probleminin
19
 ∂ 2u + ∑ ar r1∂ u rn − δ u = g (t , x),
 ∂t |r |= 2 m ∂x1 ...∂xn


n
0 < t < T , x, r ∈ ℝ , | r |= r1 + ⋯ + rn ,


|τ |
 ∂∂ut + ∑ ar ∂xr1∂...u∂xrn − δ u = f (t , x),
n
1
|r | = 2 m



n
−T < t < 0, x, r ∈ ℝ , | r |= r1 + ⋯ + rn ,


−T ≤ λ < λ2 < ⋯ < λJ ≤ 0


J
J
u (T , x) = ∑
α
λ
ϕ
α k ≤ 1, x ∈ Ω
u
(
,
x
)
(
x
),
+
∑
k
k

k =1
k =1
2
|τ |
çözümünü elde ederiz. Burada ar ( x) ( ar ( x) ≥ a > 0, x ∈ R n ), δ yeterince büyük pozitif sabit bir
sayı olup g (t , x) (t ∈ [ 0, T ] , x ∈ ℝ n ),
f (t , x) (t ∈ [ −T , 0] , x ∈ ℝ n ) ve ϕ(x ) ( x ∈ ℝ n ) verilen
düzgün (smooth) fonksiyonlardır.
Öte yandan, Fourier dönüşümü metodu, yalnızca, denklemin tüm katsayılarının sabit olması
durumunda kullanılabilir. Temelde bilgisayarlarla gerçekleştirilen ve sayısal metot olarak bilinen
fark metodunun bağımlı katsayılara sahip kısmi diferensiyel problemlerinin çözümünde en
faydalı metot olduğu çok iyi bilinmektedir.
Fakat sayısal metotlarda kullanılan farklı fark
şemalarının kararlığını kanıtlanmaya veya teorik olarak doğrulanmaya ihtiyacı vardır.
[Ashyralyev ve Gercek, 2008], [Ashyralyev ve Gercek, 2009] ve [Gercek, 2006]’da H Hilbert
uzayında
self-adjoint
pozitif
tanımlı
denklemleri
için
lokal
olmayan

 − d 2u2( t ) + Au (t ) = g (t ), (0 ≤ t ≤ 1),
 dt

 du (t )
 dt − Au (t ) = f (t ), (−1 ≤ t ≤ 0),


u (1) = u (−1) + µ
sınır değer problemi ele alınmıştır. Bu sınır değer probleminin iyi konumlanmışlığı ağırlıklı
Hölder uzaylarında doğruluğu ortaya konulmuştur. Eliptik–parabolik denklemlerin lokal olmayan
20
sınır değer problemlerinin çözümü için koersiv eşitsizlikleri elde edilmiştir. Lokal olmayan sınır
değer problemlerinin yaklaşık çözümü için birinci ve ikinci derecedeki yakınlaşması olan fark
şemaları sunulmuştur. Bu fark şemalarının iyi konumlanmışlığı Hölder uzaylarında
kanıtlanmıştır. Uygulamalarda eliptik-parabolik denklemlerin fark şemalarının çözümü için
koersiv eşitsizlikleri sağlanmıştır. Eliptik-parabolik denklemler için fark şemalarının Matlab ile
çözümleri elde edilmiştir.
Bu çalışmada çok noktalı eliptik-parabolik diferensiyel ve fark denklemlerin lokal olmayan sınır
değer problemleri çalışılmıştır. Kısaca tezin bölümlerindeki içeriği verelim. Tez 6 bölümden ve
bir ekten oluşmaktadır.
Birinci bölüm giriş bölümüdür.
Đkinci Bölüm’de H Hilbert uzayında self-adjoint pozitif tanımlı A operatörlü diferensiyel
denklemi için çok noktalı lokal olmayan
− d u2( t ) + Au (t ) = g (t ), (0 ≤ t ≤ 1),
 dt

 du ( t )
 dt − Au (t ) = f (t ), (−1 ≤ t ≤ 0),


J

u
(1)
=
∑
α i u (λi ) + ϕ

i =1


 −1 ≤ λ < λ < ⋯ < λ ≤ 0

1
2
J
2
(2.1)
J
sınır değer problemin iyi konumlanmışlığı
∑α
i
≤ 1 varsayımı koşulu altında çalışılmıştır.
i =1
Aşağıdaki şartları sağlayan u (t ) fonksiyonu (2.1) probleminin çözümüdür:
i. u (t ) fonksiyonu (0,1] aralığında ikinci türevi sürekli olan ve [ −1,1] aralığında türevi sürekli
olan bir fonksiyondur. Aralığın sınır noktalarındaki türevler, uygun tek taraflı türevler olarak
anlaşılır;
21
ii. u (t ) fonksiyonu, A operatörünün tanım kümesinin elemanıdır ve Au (t ) fonksiyonu [ −1,1]
aralığında süreklidir;
iii. u (t ) fonksiyonu, (2.1) denklemini ve bu denkleminin lokal olmayan sınır koşulunu sağlar.
Bu şekilde tanımlanan problem (2.1)'in bir çözümü, bundan sonra C ( H ) = C ([−1,1], H ) uzayında
problem (2.1)'in bir çözümü olarak atıfta bulunacaktır.
Burada, C ( H ) = C ([ −1,1], H ) [ −1,1] aralığında tanımlı H -değerli || ϕ ||C ([ −1,1], H ) = max ϕ (t )
−1≤ t ≤1
H
normuna sahip bütün sürekli ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu Banach uzayıdır.
α
Şimdi C0,1
([ −1,1], H ), 0 < α < 1 ile [ −1,1] aralığında bütün düzgün (smooth) H -değerli,
∥ ϕ ∥ C α0,1 −1,1,H = ‖ϕ‖ C−1,1,H +
+ sup
(1 − t )α (t + τ )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
τ
0 <t <t +τ <1
α
sup
−1<t<t+τ<0
−t α ‖ϕt + τ − ϕt‖ H
τα
H
normuna sahip ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu kümenin kapanışı ile elde edilen Banach
α
uzayını C0,1
([0,1], H ), 0 < α < 1 ile [0,1] aralığında bütün düzgün (smooth) H -değerli
ϕ Cα
0,1
= ϕ
([0,1], H )
+ sup
C ([0,1], H )
(1 − t )α (t + τ )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
0 <t < t +τ <1
τ
α
H
normuna sahip ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu kümenin kapanışı ile elde edilen Banach
α
uzayını ve C0,1
([−1, 0], H ), 0 < α < 1 ile −1, 0 aralığında bütün düzgün (smooth) H -değerli
ϕ Cα ([ −1,0], H ) = ϕ
0
+ sup
C ([ −1,0], H )
−1<t <t +τ < 0
(−t )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
τα
H
normuna sahip ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu kümenin kapanışı ile elde edilen Banach
uzayını ifade edelim.
22
Burada, C ([ a, b ], H ) [ a, b] aralığında tanımlı H -değerli || ϕ ||C ([ a , b ], H ) = max ϕ (t )
a ≤t ≤ b
H
normuna sahip bütün sürekli ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu Banach uzayıdır.
Eğer problem (2.1)’in herhangi
f (t ) ∈ C ([ −1, 0], H ) ve ϕ ∈ D ( A) için
g (t ) ∈ C ([0,1], H ),
C ( H ) ’de tek çözümü varsa ve M (δ ) ϕ , f (t ) ve g (t ) ’den bağımsız olmak üzere
u′′ C ([0,1], H ) + u ′ C ([ −1,0], H ) + Au
C(H )
≤ M (δ )[ g
C ([0,1], H )
+ f
C ([ −1,0], H )
+ Aϕ
H
],
koersiv eşitsizliğini sağlıyorsa, problem (2.1) C ( H ) ’de iyi konumlanmıştır denir.
Problem (2.1) C ( H ) ’da iyi konumlanmış değildir [Ashyralyev, Soltanov, 1995]. (2.1) sınır
değer probleminin iyi konumlanmışlığı, [−1,1] ’de
H
değerli bütün düzgün (smooth)
fonksiyonların F ( H ) kati (certain) uzayında ele alınarak ispat edilebilir.
F ( H ) ’da bir u (t ) fonksiyonu eğer C ( H ) ’da (1.1) probleminin bir çözümü ise ve u′′(t )
(t ∈ [0,1]), u ′(t )(t ∈ [ −1,1]) ve Au (t )(t ∈ [ −1,1]) , F ( H ) ’a aitse, (2.1) probleminin çözümüdür
denir.
C ( H ) uzayı durumunda olduğu gibi, eğer M (δ ) ϕ , f (t ) ve g (t ) ’den bağımsız olmak üzere
u ′′
F ([0,1], H )
+ u′
F ([ −1,0], H )
+ Au
F (H )
≤ M (δ )[ g
F ([0,1], H )
+ f
F ([ −1,0], H )
+ Aϕ
H
],
(2.14)
koersiv eşitsizliği sağlanıyorsa, biz (2.1) problemi F ( H ) ’ta iyi konumlanmıştır deriz.
Eğer biz F ( H ) ’ı C 0α,1 ( H ) = C 0α,1 ([−1,1], H ) (0 < α < 1) ’a eşit kurarsak, ana teoremimizi ispat
edebiliriz.
Lokal olmayan sınır değer (2.1) probleminin çözümü için aşağıdaki
utt Cα
0,1 ([0,1], L2 ( Ω ))
+ ut Cα ([ −1,0], L
0
2 ( Ω )])
+ u Cα
2
0,1 ([ −1,1],W2 ( Ω ))
(2.15)
23
≤
M (δ ) 
g Cα ([0,1], L ( Ω )) + f Cα ([ −1,0], L ( Ω ))  + M (δ ) ϕ

0,1
2
0
2


α (1 − α )
W22 ( Ω )
koersiv eşitsizliği sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı ϕ , f (t ) ve g (t ) ’den bağımsızdır.
α
Teorem 2.1. ϕ ∈ D ( A ) olduğunu varsayalım. C0,1
( H ) Hölder uzayında sınır değer problemi
(2.1) iyi konumlanmıştır ve aşağıdaki
‖u ′′ ‖ C α
0,1 0,1,H
+ ‖u ′ ‖ C α−1,0,H + ||Au|| C α0,1 H #
 1
 f
≤ M (δ ) 

−
(1
)
α
α

0
C0α ([ −1,0], H )
+ g
α
C0,1
([0,1], H )
 + Aϕ

H



koersiv eşitsizliği sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı ϕ , f (t ) ve g (t ) ’den bağımsızdır.
Teorem 2.1’in iki uygulamasını ele alınacaktır. Đlk olarak, çok boyutlu eliptik-parabolik denklem
için lokal olmayan sınır değer problemi
−utt − (a( x)ux ) x + δ u = g (t , x), 0 < t < 1, 0 < x < 1,


ut + (a( x)ux ) x − δ u = f (t , x), − 1 < t < 0, 0 < x < 1,


u (t ,0) = u (t ,1), ux (t , 0) = u x (t ,1), − 1 ≤ t ≤ 1,



J
J
u (1, x) = ∑
u (λi , x) + ϕ ( x), ∑ α i ≤ 1,
α
i

i =1
i =1


−1 ≤ λ1 < λ2 < ⋯ < λJ ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 1,


u (0+, x) = u (0−, x), ut (0+, x) = ut (0−, x), 0 ≤ x ≤ 1
ele alınmıştır.
(2.23)
24
Burada, eğer a ( x) ≥ a > 0( x ∈ (0,1)), g (t , x) (t ∈ [0,1], x ∈ [0,1]),
f (t , x ) (t ∈ [ −1, 0], x ∈ [0,1])
fonksiyonları tanım kümelerinde düzgün (smooth) ve δ = sabit > 0
ise, bu durumda (2.23)
probleminin çözümü vardır ve tektir.
[0,1] ’de tanımlı karesi integrallenebilir fonksiyonları L2 [0,1] Hilbert uzayı ile ve sırasıyla
1/2
ϕ
W21 [0,1]
1

2
= ϕ L [0,1] +  ∫ ϕ x dx 
2
0

ve
1/2
ϕ
h
W22 [0,1]
1
1 
2
= ϕ L [0,1] +  ∫ ϕ x dx}2 
2
0

1/2
1

2
+  ∫ ϕ xx dx 
0

normlarına sahip W21[0,1] ve W22 [0,1] Hilbert uzaylarını tanımlayalım. Bu bizim (2.23) karma
problemini self-adjoint pozitif tanımla A operatörü ile H = L2 [0,1] Hilbert uzayında lokal
olmayan sınır değer problemi (2.1)’e dönüştürmemizi sağlar.
Teorem 2.2. Lokal olmayan sınır değer (2.23) probleminin çözümü için aşağıdaki
∥ u tt ∥ C α0,1 0,1,L 2 0,1 +∥ u t ∥ C α0 −1,0,L 2 0,1 +∥ u ∥ C α0,1 −1,1,W22 0,1
≤
Mδ
∥ g ∥ C α0,1 0,1,L 2 0,1 +∥ f ∥ C α0 −1,0,L 2 0,1
α1 − α
+ Mδ‖ϕ‖ W22 0,1
koersiv eşitsizliği sağlanır. Burada M (δ ) katsayısı f (t , x ), g (t , x) ve ϕ ( x ) 'den bağımsızdır.
Teorem 2.2'nin ispatı, soyut Teorem 2.1 ve (2.23) problemini tarafından oluşturulan uzay
operatörünün simetri özelliklerine dayanmaktadır.
Đkinci olarak, n -boyutlu ℝ n Öklid uzayında, Ω = ( 0 < xk < 1,1 ≤ k ≤ n ) bir açık küme ve S bu
kümenin sınırı olsun öyle ki Ω = Ω ∪ S 'dir. [ −1,1] × Ω kümesinde, çok boyutlu eliptik-parabolik
25
denklem için karma sınır değer problemi
n

−
u
−
∑
 tt r =1(ar ( x)u xr ) xr = g (t , x), 0 < t < 1, x ∈ Ω,


n

ut + r∑=1( ar ( x)uxr ) xr = f (t , x), − 1 < t < 0, x ∈ Ω,


u (t , x ) = 0, x ∈ S , − 1 ≤ t ≤ 1,



J
J
u (1, x ) = ∑ α u (λ , x) + ϕ ( x), ∑ α ≤ 1,
i
i
i

i =1
i =1


−1 ≤ λ1 < λ2 < ⋯ < λJ ≤ 0,


u (0+, x) = u (0−, x), u (0+, x ) = u (0−, x), x ∈ Ω

t
t
ele alınmıştır. Burada
(2.24)
ar ( x) ( x ∈ Ω), g (t , x) (t ∈ (0,1), x ∈ Ω), ve
fonksiyonlar tanım kümelerinde düzgün (smooth) ve ar ( x) ≥ a > 0.
Ω ’de tanımlı karesi integrallenebilir fonksiyonlarına ve
∥ ϕ ∥ L 2 Ω =
1
2
∫ ⋯ ∫ |ϕx| 2 dx 1 ⋯dx n
x∈Ω
normuna sahip L2 (Ω) Hilbert uzayı ve sırasıyla
1
ϕ
ve
W21 ( Ω )
= ϕ L ( Ω )
2
n

 2
2
+  ∫ ⋯ ∫ ∑ ϕ xr dx1 ⋯ dxn 
r =1


x∈Ω
f (t , x) (t ∈ ( −1, 0), x ∈ Ω)
26
1
ϕh
W22 ( Ω )
= ϕh
L2 h
1
2
2
2
n
n
2




+  ∫ ⋯ ∫ ∑ ϕ xr dx1 ⋯ dxn  +  ∫ ⋯ ∫ ∑ ϕ x x dx1 ⋯ dxn 
r r
r =1
r =1

x∈Ω
x∈Ω



normlarına sahip W21 (Ω), W22 (Ω) Hilbert uzaylarını tanımlayalım.
Eğer ar ( x ) , g (t , x) ve f (t , x)
fonksiyonları tanım kümelerinde düzgün (smooth) ise, bu
durumda (2.24) probleminin çözümü vardır ve tektir. Bunun için, (2.24) problemi, H Hilbert
uzayında (H = L2 (Ω) ) self-adjoint pozitif tanımlı A operatörlü (2.1) lokal olmayan sınır değer
problemine dönüştürmemizi sağlar.
Teorem 2.3. Lokal olmayan sınır değer (2.24) probleminin çözümü için aşağıdaki
∥ u tt ∥ C α0,1 0,1,L 2 Ω +∥ u t ∥ C α0 −1,0,L 2 Ω +∥ u ∥ C α0,1 −1,1,W22 Ω
≤
M (δ ) 
g Cα ([0,1], L ( Ω )) + f Cα ([ −1,0], L ( Ω ))  + M (δ ) ϕ
0,1
2
0
2

α (1 − α ) 
W22 ( Ω )
koersiv eşitsizliği sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı f (t , x ), g (t , x) ve ϕ ( x ) 'den bağımsızdır.
Teorem 2.3.’ün ispatı, soyut Teorem 2.1, (2.24) problemi tarafından oluşturulan uzay
operatörünün simetri özelliklerine ve aşağıdaki
L 2 Ω
uzayında eliptik diferansiyel
probleminin çözümü için koersiv eşitsizliği alınan teoreme dayanmaktadır.
Teorem 2.4. Eliptik diferensiyel probleminin
n
∑a r xu x  x
r
r
r=1
ux = 0, x ∈ S
çözümü için
= ωx, x ∈ Ω,
27
n
∑u
r =1
xr xr L Ω
2( )
≤ M (δ ) || ω ||L2 ( Ω )
koersiv kestirimi sağlanır [Sobolevskii, P. E., 1975].
Üçüncü Bölüm Bu bölümde, (2.1) sınır değer probleminin yakın çözümü için bu probleme
karşılık gelen
−τ −2 ( uk +1 − 2uk + uk −1 ) + Auk = g k ,


 g k = g ( tk ) , tk = kτ , 1 ≤ k ≤ N − 1,


τ −1 ( u − u ) − Au = f , f = f (t ),
k
k −1
k −1
k
k
k −1


t = (k − 1)τ , − N − 1 ≤ k ≤ 0,
(
)
 k −1


J
u N = ∑ α i u λi + ϕ , u1 − u0 = u0 − u−1
[τ ]
i =1

(3.1)
birinci basamaktan doğruluklu fark şeması varsayım koşulu altında incelenmiştir.
Bilindiği gibi, H Hilbert uzayında self-adjoint pozitif tanımlı A diferensiyel operatörlü lokal
olmayan sınır değer probleminin bir değişkenli diskritizasyon (discretization) fark şemalarını
araştırmak demek, H h Hilbert uzaylarında h 'ye
( 0 < h ≤ h0 )
göre düzgün self-adjoint pozitif
tanımlı Ah fark operatörlü çok değişkenli diskritizasyon fark şemalarını araştırmak demektir.
Dolayısıyla bu çalışmada sadece bir değişkenli diskritizasyon fark şemaları incelenmektedir.
Fτ ( H ) = F ([ a, b ]τ , H ) ,
ϕ τ = {ϕ k }N
Nb
a
[ a, b]τ = {tk = kh, N a ≤ k ≤ N b , N aτ = a, N bτ = b} ’de tanımlı H-değerli
ağ fonksiyonlarının lineer uzayı olsun.
Fτ ( H )
üzerinde, kullanacağımız
α
α
([ −1,1]τ , H ), C0,1
([ −1, 0]τ , H ), ve C0α ([0,1]τ , H ) (0 < α < 1) Banach uzaylarının
C ([ a, b]τ , H ) , C0,1
normları aşağıdaki şekildedir:
28
∥ ϕ τ ∥ Ca,b τ ,H = max ∥ ϕ k ∥ H ,
N a ≤k≤N b
∥ ϕ τ ∥ C α0,1 −1,1 τ ,H = ∥ ϕ τ ∥ C−1,1 τ ,H +
+
sup
1≤k<k+r≤N−1
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
sup
−N≤k<k+r≤0
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
−k α
rα
k + rτ α N − k α
,
rα
∥ ϕ τ ∥ C α0 −1,0 τ ,H = ∥ ϕ τ ∥ C−1,0 τ ,H +
sup
−N≤k<k+r≤0
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
−k α
,
rα
∥ϕ τ ∥ C α0,1 0,1 τ ,H = ∥ ϕ τ ∥ C0,1 τ ,H
+
sup
1≤k<k+r≤N−1
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
k + rτ α N − k α
.
rα
(1.21) lokal olmayan sınır değer problemi M (δ ) f τ , g τ , ϕ ve τ ’dan bağımsız olmak üzere
uτ F ([ −1,1]τ , H ) ≤ M (δ )  f τ F ([ −1,0]τ , H ) + g τ F ([0,1]τ , H ) + ϕ H 
eşitsizliğini sağlıyorsa, F ([−1,1]τ , H ) ’de kararlıdır denir.
Teorem 3.1. Lokal olmayan (3.1) sınır değer problemi C ([−1,1]τ , H ) normunda kararlıdır. Lokal
olmayan (3.1) sınır değer problemi
F ([−1,1]τ , H ) ’de M (δ ) f τ , g τ , ϕ , ve τ ’dan bağımsız
olmak üzere
∥τ −2 u k+1 − 2u k + u k−1  N−1
∥ F0,1 τ ,H
1
+ ∥τ −1 u k − u k−1  0−N+1 ∥ F−1,0 τ ,H +
Au k  N−1
−N
F−1,1 τ ,H
29
≤ M (δ )  f τ F ([ −1,0]τ , H ) + g τ F ([0,1]τ , H ) + Aϕ H 
koersiv eşitsizliklerini sağlıyorsa, koersiv kararlıdır.
−1, 1 ’de tanımlı H -değerli sürekli fonksiyonların C0, 1, H uzayında lokal olmayan sınır
değer problemi (3.1) sınırlı olmayan genel A pozitif operatörü için iyi konumlanmış değildir ve o
zaman (3.1) lokal olmayan sınır değer fark probleminin iyi konumlanmışlığı C−1, 1 τ , H
normunda τ > 0 ’ a bağlı olarak düzgün olarak ele alınmaz. Bu da
∥ u τ ∥ K τ E = ∥ τ −2 u k+1 − 2u k + u k−1  N−1
∥ C0,1 τ ,H
1
+ ∥ τ −1 u k − u k−1  0−N+1 ∥ C−1,0 τ ,H +
Au k  N−1
−N
C−1,1 τ ,H
koersativ normun τ → 0+ a gittikçe ∞ ’a meyletmesi anlamına gelir. (3.1) fark probleminin
incelenmesi bu normun büyüme mertebesinin ∞ olarak elde edilmesine imkân verir.
Teorem 3.2. ϕ ∈ D ( A) ve f 0 ∈ D ( I + τ B ) olsun. O zaman (3.1) fark problemi M (δ ) f τ , g τ , ϕ ,
ve τ ’dan bağımsız olmak üzere
∥ u τ ∥ K τ E ≤ Mδ∥ Aϕ ∥ H + ∥I + τBf 0 ∥ H

 1

+ min ln ,1 + ln A H → H   f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H )  
 τ


hemen hemen koersiv eşitsizliğine sahiptir.
α
([−1,1]τ , H ) ’de elde edilebilir.
Đyi konumlanmışlık C0,1
Teorem 3.3 Teorem 3.2’nin kabulleri sağlansın. O zaman (3.1) sınır değer problemi
30
C α0,1 −1, 1 τ , H Hölder uzayında iyi konumlanmıştır ve M (δ ) f τ , g τ , ϕ ve τ ’dan bağımsız
olmak üzere
∥ τ−2 u k+1 − 2u k + u k−1  N−1
∥ Cα
1
0,1 0,1 τ ,H
+
Au k  N−1
−N
C α0,1 −1,1 τ ,H
0
+ ∥ τ −1 u k − u k−1  −N+1
∥ C α−1,0 τ ,H ≤ Mδ∥ Aϕ ∥ H + ∥I + τBf 0 ∥ H 
0
+
M (δ  τ
f Cα ([ −1,0] , H ) + g τ Cα ([0,1] , H ) 

0
0,1
τ
τ


α (1 − α )
koersiv eşitsizliği sağlanır.
Uygulamada ilk olarak, çok boyutlu eliptik-parabolik denklem için, (2.24) lokal olmayan sınır
değer problemi ele alınacaktır. Burada (2.24) probleminin diskritizasyonu iki adımda incelenir.
Birinci adımda önce,
h = { x = x = (h m , ⋅⋅⋅, h m ), m = (m , ⋅⋅⋅, m ),
Ω
m
n n
n
1 1
1
0 ≤ m r ≤ N r , h r N r = 1, r = 1, ⋅ ⋅ ⋅, n ,
h ∩ Ω, S = Ω
h ∩ S
Ωh = Ω
h
ağ uzayı tanımlanır. Daha sonrada, (2.24) problemi tarafından oluşturulan A diferensiyel
operatörü yerine
n
Ahx u xh = −∑  ar ( x)u h− 
xr  x , m
r =1 
r
r
formülüyle tanımlanan
A xh
(3.49)
x
fark operatörü alınır. Burada A h fark operatörünün yardımıyla
(1.21) lokal olmayan sınır değer problemi
31
 − d u (2t , x ) + Ahx u h (t , x) = g h (t , x), 0 < t < 1, x ∈ Ω h ,
dt


 du h ( t , x )
x h
h
 dt − Ah u (t , x) = f (t , x), −1 < t < 0, x ∈ Ω h ,


J
J
 h
h,
α i u h (λi , x) + ϕ h ( x), ∑ α i ≤ 1, x ∈ Ω
u (1, x) = i∑
=1
i =1


 h
du h (0 + , x )
du h (0 − , x )
h
 u (0+, x) = u (0−, x), dt = dt , x ∈ Ω h
2 h
(3.50)
adi diferensiyel denklem sistemine dönüştürülür.
Đkinci adımda ise, (3.50) problemi için (3.1) fark şeması kullanılarak,
− uk +1 ( x ) − 2uk 2( x ) +uk −1 ( x ) + Ahx ukh ( x ) = g kh ( x),
τ


 h
h
 g k ( x) = g (tk , x), tk = kτ , 1 ≤ k ≤ N − 1, Nτ = 1, x ∈ Ω h ,

 u h ( x ) −u h ( x )
 k τ k −1 − Ahx ukh−1 ( x ) = f kh ( x),


 f kh ( x) = f h (tk , x), tk −1 = ( k − 1)τ , − N + 1 ≤ k ≤ −1, x ∈ Ω h ,


J
 h
h
h
h,
u N ( x) = ∑ α i u[ λi ] ( x) + ϕ ( x), x ∈ Ω
τ
i =1


 h
h
h
h
u1 ( x) − u0 ( x) = u0 ( x) − u−1 ( x), x ∈ Ω h .
h
h
h
(3.51)
fark şeması elde edilir.
h ), W 1 = W 1 (Ω
h ), W 2 = W 2 (Ω
h ) uzaylarını
Sonuçlarımızı formüle edebilmek için, L2 h = L2 (Ω
2h
2
2h
2
h ’da tanımlı
tanıtalım. Bu uzaylar sırasıyla, Ω
1/2
φ
h
h )
L2 ( Ω


2
=  ∑ φ h ( x) h1 ⋅⋅⋅ hn  ,
 x∈Ω h

32
1/2
ϕ
h
W21h
= ϕ
h
= ϕ
h
L2 h
n
2


+  ∑ ∑ (ϕ h ) xr h1 ⋅⋅⋅ hn 
 x∈Ω h r =1

ve
1/2
ϕ
h
W22h
L2 h
n

2

+  ∑ ∑ (ϕ h ) xr h1 ⋅⋅⋅ hn 
 x∈Ω h r =1

1/2
n
2


+  ∑ ∑ (ϕ h ) x x , m h1 ⋅⋅⋅ hn 
r r
r
 x∈Ω h r =1

normlarına sahip ϕ h ( x ) = {ϕ ( h1m1 , ⋅⋅⋅, hn mn )} ağ fonksiyonlarının uzaylarıdır.
Teorem 3.4. Eğer τ ve | h |= h12 + ⋅⋅⋅ + hn2 yeterince küçük pozitif sayılar ise, bu durumda (3.51)
fark şemasının çözümü için aşağıdaki
u hk
N−1
−N
≤ Mδ ∥
C−1,1 τ ,L 2h 
−1
f hk
−N+1
∥
C−1,0 τ ,L 2h 
+∥
∥ τ −2 u hk+1 − 2u hk + u hk−1  N−1
∥ C0,1
1
2h
+ ln
1
∥
τ + |h|
kararlılık
ve
f hk
−1
−N+1
hemen
∥
1
∥
C0,1 τ ,L 2h 
+ ‖ϕ h ‖ L
2h
,
τ ,L 2h 
+ ∥ τ −1 u hk − u hk−1  0−N+1 ∥ C−1,0 τ ,L 2h  +
≤ Mδ ‖ϕ h ‖ W2 + τ f h0
N−1
g hk
N−1
u hk
−N
C−1,1 τ ,W22h 
W12h
C−1,0 τ ,L 2h 
hemen
+∥
koersiv
g hk
N−1
1
kestirimleri
∥
C0,1 τ ,L 2h 
sağlanır.
,
Burada,
M (δ )
katsayısı
33
τ , h, f kh ( x ), − N + 1 ≤ k ≤ 0 , g kh ( x ),1 ≤ k ≤ N − 1 ve ϕ h ( x ) 'den bağımsızdır.
Teorem 3.4'ün ispatı, soyut Teorem 3.1-Teorem 3.2 ve Ahx
fark operatörünün simetri
özelliklerine, aşağıdaki L2h uzayındaki eliptik fark probleminin çözümü için koersiv eşitsizliği
elde edilen teoreme ve
1
 1

min ln ,1 + ln Ahx L2 h → L2 h  ≤ M ln
τ+ | h|
 τ

(3.52)
kestirime dayanmaktadır.
Teorem 3.5. Eliptik fark probleminin
Ahx u h ( x ) = ω h ( x), x ∈ Ω h ,
(3.53)
u h x = 0, x ∈ S h
çözümü için
∑ (u )
n
h
r =1
−
xr xr , mr L
2h
≤ M || ω h ||L2 h
koersiv eşitsizliği sağlanır [Sobolevskii, 1975].
Teorem 3.6. Eğer τ
ve | h | yeterince küçük pozitif sayılar ise, bu durumda fark şemasının
çözümü için aşağıdaki
h
∥τ −2 u hk+1 − 2u hk + u k−1
 N−1
∥ Cα
1
0,1 0,1 τ ,L 2h 
+ ∥τ −1 u hk − u hk−1  0−N+1 ∥ C α−1,0 τ ,L 2h  +
0
u hk
N−1
−N
C α0,1 −1,1 τ ,W22h 
34
≤ Mδ ‖ϕ h ‖ W2 + τ f h0
W12h
2h
+
1
∥
α1 − α
f hk
−1
−N+1
∥
C α0 −1,0 τ ,L 2h 
+∥
g hk
koersiv kararlılık kestirimi sağlanır. Burada,
N−1
1
∥
C α0,1 0,1 τ ,L 2h 
,
M (δ ) katsayısı τ , h, f kh ( x), − N + 1 ≤ k ≤ 0,
g kh ( x ),1 ≤ k ≤ N − 1 ve ϕ h ( x ) 'den bağımsızdır.
x
Teorem 3.6'nın ispatı, soyut Teorem 3.3, (3.49) formülü ile tanımlanan A h fark operatörünün
simetri özelliklerine ve L 2h
uzayındaki (3.53) eliptik fark probleminin çözümü için koersiv
eşitsizliğine ve Teorem 3.5'e dayanmaktadır.
Dördüncü Bölüm iki kısımdan oluşur. Birinci kısımda koşul altında (2.1) sınır değer
probleminin yaklaşık çözümü için Crank-Nicholson fark Şeması kullanılarak
−τ −2 ( uk +1 − 2uk + uk −1 ) + Auk = g k ,


 g k = g ( tk ) , tk = kτ ,1 ≤ k ≤ N − 1, Nτ = 1,


τ −1 ( u − u ) − 1 ( Au + Au ) = f , f = f (t 1 ),
k
k −1
k −1
k
k
k
2
k−2



tk − 12 = (k − 12 )τ , − ( N − 1) ≤ k ≤ 0,


J

λ
u N = ∑ α i u[ λi ] + λi − [ τi ]τ f[ λi ] + Au[ λi ] + ϕ ,
τ
τ
τ
k =1



u2 − 4u1 + 3u0 = −3u0 + 4u−1 − u−2
(
(
)(
(4.1)
))
ikinci basamaktan doğruluklu fark şemasını elde ettik. Bu fark şemasının Hölder uzaylarında iyi
konuşlanmışlığı sağlanmıştır. Uygulamalarda, lokal olmayan karma problemlerin yaklaşık
çözümü için fark şemaları oluşturulmuş ve çözümlerinde kararlılık kestirimleri, hemen hemen
kararlılık kestirimleri ve koersiv kararlılık kestirimleri elde edilmiştir.
35
Beşinci bölüm sayısal analizlerdir. Birinci ve ikinci basamaktan kararlılıklı fark şemaları
kurulmuş ve hata analizi verilmiştir. Đkinci basamaktan kararlılıklı fark şemalarının birinci
basamaktan kararlılıklı fark şemalarına oranla daha doğru olmasını sonuçlandırmak için uygun
bir Matlab programı verilmiştir. Şekiller ve tablo eklenmiştir.
Altıncı bölüm sonuçlardır.
Bu bölümlerin yanı sıra tezin sonunda Kaynaklar ve Ekler kısmı verilmiştir.
Ekler kısmında Matlab programları sunulmaktadır.
36
2. ELĐPTĐK-PARABOLĐK DĐFERANSĐYEL DENKLEM ĐÇĐN ÇOK NOKTALI LOKAL
OLMAYAN SINIR DEĞER PROBLEMĐ
2.1. Temel Teorem
Bu çalışmada, H Hilbert uzayında self-adjoint pozitif tanımlı A operatörlü diferensiyel
denklemler için çok noktalı lokal olmayan
− d u2( t ) + Au (t ) = g (t ), (0 ≤ t ≤ 1),
 dt

 du ( t )
 dt − Au (t ) = f (t ), (−1 ≤ t ≤ 0),


J

α i u (λi ) + ϕ
u (1) = i∑
=1


 −1 ≤ λ < λ < ⋯ < λ ≤ 0
1
2
J

2
(2.1)
sınır değer problemin iyi konumlanmışlığı çalışılmıştır. Burada BA ≥ δI ve δ > δ 0 > 0 ' dır.
1
Bu kısımda, H Hilbert uzayında B = A 2 olarak ifade edelim. O zaman B 'nin self-adjoint
pozitif tanımlı operatör olduğu açıkça görülür ve δ > δ 0 > 0 durumunda B ≥ δ 2 I 'dır.
1
Bu çalışmamızda, varsayım
J
∑α
i
≤1
i =1
koşulu altında problem (2.1)'in iyi konumlanmışlığını ele aldık.
Öncelikle ileride ihtiyaç duyacağımız yardımcı teoremleri verelim.
Yardımcı Teorem 2.1. Aşağıdaki [Sobolevskii, 1977]:
( 2.2)
37
 Bα e− tB ||H → H ≤ t −α ( αe )α , 0 ≤ α ≤ e, t > 0,


−α α α
 Aα e− tA ||
( e ) , 0 ≤ α ≤ e, t > 0,
H →H ≤ t



−1
 ( I − e−2 B ) H → H ≤ M (δ )

(2.3)
kestirimler bazı M (δ ) ≥ 0 için sağlanır.
Yardımcı Teorem 2.2. Varsayım (2.2) sağlansın.
O zaman,
J
BI − e
−2B
+I+e
−2B
− 2 ∑ α i e −B−λ iA
i=1
operatörünün tersi vardır ve
J


T =  B ( I − e −2 B ) + I + e−2 B − 2∑α i e− ( B −λi A) 
i =1


−1
(2.4)
olduğu görülür ve aşağıdaki
T H → H ≤ M (δ ),
(2.5)
BT H → H ≤ M (δ )
(2.6)
kestirimler sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı αi ve λi 'den bağımsızdır.
Đspat. (2.5) kestiriminin ispatı üçgen eşitsizliğine, (2.2) varsayımına ve ispatı yapılan
38
−1
n
∥
BI − e
−2B
+I+e
−2B
− 2 ∑ αk e
−B−λ i A
∥ H→H
k=1
1
≤ sup
δ≤μ<∞
J
1 + e −2μ + μ1 − e −2μ  − 2 ∑ α i e −μ−λ iμ
2

i=1
1
≤ sup
δ≤μ<∞
J
1 + e −2μ + μ1 − e −2μ  − 2 ∑|α i |e −μ−λ iμ
2

i=1
≤ sup
δ≤μ<∞
1
1+e
−2μ
− 2e
−μ
≤
1
= Mδ
1 − e −δ  2
eşitsizliğe dayanmaktadır.
Benzer bir şekilde, (2.6) kestirimini ispatlamak için, üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını ve
aşağıda ispatı yapılan
−1
J
∥ B BI − e −2B  + I + e −2B − 2 ∑ α i e −B−λ iA
∥ H→H
i=1
μ
≤ sup
δ≤μ<∞
1+e
−2μ
+ μ1 − e
−2μ
J
 − 2 ∑ α i e −μ−λ iμ
2

i=1
μ
≤ sup
δ≤μ<∞
J
1 + e −2μ + μ1 − e −2μ  − 2 ∑|α i |e −μ−λ iμ
i=1
≤ sup
δ≤μ<∞
μ
1 − 2e  + μ1 − e −2μ 
−μ 2
2

39
1
1
≤
= M (δ )
−2 µ
) (1 − e −2δ )
δ ≤ µ <∞ (1 − e
≤ sup
eşitsizliği kullanırız. Böylece, Yardımcı Teorem 2.2 ispatlanmıştır.
Aşağıdaki şartları sağlayan u (t ) fonksiyonu (2.1) probleminin çözümüdür:
i. u (t ) fonksiyonu (0,1] aralığında ikinci türevi sürekli olan ve [ −1,1] aralığında türevi sürekli
olan bir fonksiyondur. Aralığın sınır noktalarındaki türevler, uygun tek taraflı türevler olarak
anlaşılır;
ii. u (t ) fonksiyonu, A operatörünün tanım kümesinin elemanıdır ve Au (t ) fonksiyonu [−1,1]
aralığında süreklidir;
iii. u (t ) fonksiyonu, (2.1) denklemini ve bu denkleminin lokal olmayan sınır koşulunu sağlar.
Bu şekilde tanımlanan problem (2.1)'in bir çözümü, bundan sonra
CH = C−1, 1, H
uzayında problem (2.1)'in bir çözümü olarak atıfta bulunacaktır.
Şimdi, (2.1) probleminin çözümü için gerekli formüller elde edilecektir. Bilindiği gibi, [Krein,
1966]
−u′′ ( t ) + Au ( t ) = g ( t ) , ( 0 ≤ t ≤ 1) ,

u ( 0 ) = u0 , u (1) = u1 ,
(2.7)
u ′ ( t ) − Au ( t ) = f ( t ) , ( −1 ≤ t ≤ 0 ) ,

u ( 0 ) = u0
(2.8)
problemlerinin düzgün dataları için başlangıç değer problemlerini sağlayan tek çözümleri vardır
ve aşağıdaki formüller sağlanır:
u (t ) = ( I − e −2 B ) ( e − tB − e − ( − t + 2) B ) u0 + ( e − (1−t ) B − e − (t +1) B ) u1 
−1
(2.9)
40
1
+ I − e
−2B −1
 e
−1−tB
−e
−t+1B
2B
−1
∫e −1−sB − e −s+1B gsds
0
1
− 2B
−1
∫e −t+sB − e −|t−s|B gsds, 0 ≤ t ≤ 1,
0
t
u (t ) = etAu0 + ∫e( t − s ) A f ( s ) ds, − 1 ≤ t ≤ 0.
(2.10)
0
J
u (1) = ∑ α i u (λi ) + ϕ koşulunu ve (2.9), (2.10) formülleri kullanılarak,
i =1
u (t ) = ( I − e −2 B ) ( e− tB − e− ( − t + 2) B ) u0
−1
λi
J
+e
−1−tB
−e
−t+1B

∑
(2.11)
αie
λk A
u 0 + ∫ e λi−sA fsds
i=1
+ϕ
0
1
+ I − e
−2B −1
 e
−1−tB
−e
−t+1B
2B
−1
∫e −1−sB − e −s+1B gsds
0
1
− 2B −1 ∫e −t+sB − e −|t−s|B gsds, 0 ≤ t ≤ 1
0
operatör denklemi sağlanır. u 0 için, u ′(0+) = Au(0) + f (0) koşulunu ve (2.11) formülü
kullanılarak,
Au ( 0 ) + f (0) = ( I − e −2 B )  − B ( I + e −2 B ) u0
−1
(2.12)
41
n
+2Be
−B
∑ αke
λiA
J
λi
i=1
0
u 0 + ∑ α i ∫ e λ i−sA fsds + ϕ
k=1
1
+ I − e
−2B −1 −B
 e
∫e
1
−1−sB
−e
−s+1B
gsds + ∫ e −sB gsds.
0
0
operatör denklemi elde edilir. Bilindiği gibi,
J
BI − e
−2B
+I+e
−2B
− 2 ∑ α i e −B−λ iA
i=1
operatörünün
J


T =  B ( I − e −2 B ) + I + e−2 B − 2∑α i e− ( B − λi A) 
i =1


−1
tersi var olduğundan, (2.12) operatör denkleminin çözümü için
 − B  J λi ( λ − s ) A
u0 = T e  2∑α i ∫e i
f ( s )ds
  i =1 0
1
+ ∫ B−1 e −1−sA 2 − e −s+1A 2 gsds
1
1
(2.13)
+ 2e −B ϕ
0
1


+ ( I − e −2 B ) TB −1  − f (0) + ∫e− sB g ( s )ds 
0


formülü elde edilir. Böylece, (2.1) lokal olmayan sınır değer probleminin çözümü için (2.10),
(2.11) ve (2.13) formülleri belirlenmiş olur.
42
Bu
C ( H ) = C ([−1,1], H )
çalışmada,
|| ϕ ||C ([ −1,1], H ) = max ϕ (t )
−1≤t ≤1
[ −1,1]
aralığında
tanımlı
H -değerli
normuna sahip bütün sürekli ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu
H
Banach uzayıdır.
α
Şimdi C0,1
([−1,1], H ), 0 < α < 1 ile [ −1,1] aralığında bütün düzgün (smooth) H -değerli,
∥ ϕ ∥ Cα0,1 −1,1,H = ‖ϕ‖ C−1,1,H +
+ sup
(1 − t )α (t + τ )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
τα
0 <t <t +τ <1
sup
−1<t<t+τ<0
−t α ‖ϕt + τ − ϕt‖ H
τα
H
normuna sahip ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu kümenin kapanışı ile elde edilen Banach
α
uzayını C0,1
([0,1], H ), 0 < α < 1 ile [0,1] aralığında bütün düzgün (smooth) H -değerli
ϕ Cα
0,1 ([0,1], H )
= ϕ
C ([0,1], H )
+ sup
(1 − t )α (t + τ )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
0 <t < t +τ <1
τ
α
H
normuna sahip ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu kümenin kapanışı ile elde edilen Banach
α
uzayını ve C0,1
([−1, 0], H ), 0 < α < 1 ile [−1, 0] aralığında bütün düzgün (smooth) H -değerli
ϕ Cα ([ −1,0], H ) = ϕ
0
C ([ −1,0], H )
+ sup
−1<t <t +τ < 0
( −t )α ϕ (t + τ ) − ϕ (t )
τα
H
normuna sahip ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu kümenin kapanışı ile elde edilen Banach
uzayını ifade edelim.
Burada, C ([ a, b ], H ) [ a, b] aralığında tanımlı H -değerli || ϕ ||C ([ a , b ], H ) = max ϕ (t )
a ≤t ≤ b
H
normuna sahip bütün sürekli ϕ (t ) fonksiyonlarının oluşturduğu Banach uzayıdır.
Eğer problem (2.1)’in herhangi g (t ) ∈ C ([0,1], H ), f (t ) ∈ C ([ −1, 0], H ) ve ϕ ∈ D ( A) için
C ( H ) ’de tek çözümü varsa ve M (δ ), ϕ , f (t ) ve g (t ) ’den bağımsız olmak üzere
43
u ′′ C ([0,1], H ) + u ′ C ([ −1,0], H ) + Au
C(H )
≤ M (δ )[ g
C ([0,1], H )
+ f
C ([ −1,0], H )
+ Aϕ
H
]
koersiv eşitsizliğini sağlıyorsa, problem (2.1) C ( H ) ’de iyi konumlanmıştır denir.
Problem (2.1) C (H ) ’da iyi konumlanmış değildir [Ashyralyev, Soltanov, 1995]. (2.1) sınır
değer probleminin iyi konumlanmışlığı, −1, 1 ’de H
değerli bütün düzgün (smooth)
fonksiyonların F ( H ) kati (certain) uzayında ele alınarak ispat edilebilir.
F ( H ) ’da bir u (t ) fonksiyonu eğer C ( H ) ’da (1.1) probleminin bir çözümü ise ve u′′(t )
(t ∈ [0,1]), u′(t )(t ∈ [−1,1]) ve Au (t )(t ∈ [−1,1]) , F ( H ) ’a aitse, (2.1) probleminin çözümüdür
denir.
C ( H ) uzayı durumunda olduğu gibi, eğer M (δ ) ϕ , f (t ) ve g (t ) ’den bağımsız olmak üzere
u ′′
F ([0,1], H )
+ u′
F ([ −1,0], H )
+ Au
F (H )
≤ M (δ )[ g
F ([0,1], H )
+ f
F ([ −1,0], H )
+ Aϕ
H
]
(2.14)
koersiv eşitsizliği sağlanıyorsa, biz (2.1) problemi F ( H ) ’ta iyi konumlanmıştır deriz.
α
α
( H ) = C0,1
([−1,1], H ) (0 < α < 1) ’a eşit kurarsak, ana teoremimizi ispat
Eğer biz F (H ) ’ı C0,1
edebiliriz.
Lokal olmayan sınır değer (2.1) probleminin çözümü için aşağıdaki
utt Cα
0,1 ([0,1], L2 ( Ω ))
≤
+ ut Cα ([ −1,0], L
0
2 ( Ω )])
+ u Cα
(2.15)
2
0,1 ([ −1,1],W2 ( Ω ))
M (δ ) 
g Cα ([0,1], L ( Ω )) + f Cα ([ −1,0], L ( Ω ))  + M (δ ) ϕ

0,1
2
0
2


α (1 − α )
W22 ( Ω )
koersiv eşitsizliği sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı f (t , x ), g (t , x) ve ϕ ( x ) 'den bağımsızdır.
α
Teorem 2.1. ϕ ∈ D ( A ) olduğunu varsayalım. C0,1
( H ) Hölder uzayında sınır değer problemi
(2.1) iyi konumlanmıştır ve aşağıdaki
44
u′′
α
C0,1
([0,1], H )
+ u ′ Cα ([ −1,0], H ) + || Au ||Cα
(2.16)
0,1 ( H )
0
 1
 f
≤ M (δ ) 

 α (1 − α ) 
+ g
C0α ([ −1,0], H )
α
C0,1
([0,1], H )
 + Aϕ

H



koersiv eşitsizliği sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı ϕ , f (t ) ve g (t ) ’den bağımsızdır.
Đspat. (2.16) koersiv eşitsizliği (2.8) ters Cauchy probleminin çözümü için verilen
M (δ )
f
α (1 − α )
u′ Cα ([ −1,0], H ) + || Au ||Cα ([ −1,0], H ) ≤
0
0
C0α ([ −1,0], H )
+ M Au0
H
(2.17)
kestiriminden ve (2.7) sınır değer probleminin çözümü için verilen
u′′ Cα
0,1 ([0,1], H )
+ || Au ||Cα
0,1 ([0,1], H )
≤
M (δ )
g
α (1 − α )
(2.18)
α
C0,1
([0,1], H )
+ Mδ‖Au 0 ‖ H + ‖Au 1 ‖ H 
kestiriminden ve (2.1) sınır değer probleminin çözümü için elde edilen
Au0
H
≤ M (δ )  f

Au1
H
≤
C0α ([ −1,0], H )
M (δ ) 
f
α (1 − α ) 
+ g
C0α ([ −1,0], H )
α
C0,1
([0,1], H )
+ g
+ Aϕ
α
C0,1
([0,1], H )
H
,

 ] + M (δ ) Aϕ

(2.19)
H
(2.20)
kestirimlerinden elde edilmektedir. (2.17) ve (2.18) kestirimleri [Sobolevskii, 1964],
[Sobolevskii, 1969] ve [Sobolevskii, 1977]’de ispatlanmıştır. Şimdi, (2.19) ve (2.20)
kestirimlerini elde edelim.
(2.9), (2.10) ve (2.13)’ü kullanarak,
Au0 = 2Te
−B
0
J
∑α ∫ Ae λ
i
i =1
λi
( i −s) A
( f (s) − f (λi ) ) ds
(2.21)
45
1
+ Te
−B
∫ Be −1−sB gs − g1ds
0
1
− Te
−B
∫ Be −s+1B gs − g0ds + 2Te −B Aϕ
0
1
+ I − e
−2B
1
T ∫ Be −sA 2 gs − g0ds
0
n
+ 2Te
−B
∑ α k e λ A − Ifλ i 
i
k=1
+ Te −B − e −2B g1 + TI + 2e −3B − 2e −2B − e −B g0
+TB (e −2 B − I ) f (0) = J1 + J 2 + J 3 + J 4 + J 5 + J 6 + J 7 + J 8 + J 9
olur. Burada,
J
λi
i=1
0
J 1 = 2Te −B ∑ α i ∫ Ae λ i−sA fs − fλ i ds,
1
J 2 = Te
−B
∫ Be −1−sB gs − g1ds,
0
1
J 3 = Te
−B
∫ Be −s+1B gs − g0ds,
0
46
J 4 = 2Te −B Aϕ,
1
J 5 = I − e
−2B
T ∫ Be −sB gs − g0ds,
0
J
J 6 = 2Te −B ∑ α i e λ iA − Ifλ i ,
i=1
J 7 = Te −B − e −2B g1,
J 8 = TI + 2e −3B − 2e −2B − e −B g0,
J 9 = TB (e −2 B − I ) f (0)
’dır.
J
J
0
i =1
i =1
λi
Au1 = ∑α i eλi A Au0 + ∑α i ∫ Ae( λi − s ) A ( f ( s ) − f (λi ) ) ds
J
+ ∑α i ( I − e λi A ) f (λi ) + Aϕ = K1 + K 2 + K 3
i =1
olup, burada
J
K1 =
∑ α i e λ A Au 0 ,
i
i=1
J
K2 =
0
∑ α i ∫ Ae λ −sA fs − fλ i ds,
i
i=1
λk
(2.22)
47
J
K 3 = ∑α i ( I − eλi A ) f (λi ) + Aϕ
i =1
olarak tanımlanmıştır. Đlk önce (2.19) elde edelim. (2.21)’in normunun kestirimini oluşturmak
için J k ‘ların norm kestirimlerini k = 1, 2,⋯ , 9 için ayrı ayrı bulalım.
Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, C0α ([ −1, 0], H ) uzayının norm tanımını, (2.3) ve (2.5)
kestirimlerini kullanarak,
J
2 −B
‖J 1 ‖ H ≤∥ T ∥ H→H ∥ B e
∥ H→H 2 ∑|α i |
i=1
0
× ∫ e − ( s − λk ) A H → H f ( s ) − f (λk )
λk
H
ds ≤ M 1 (δ ) f
C0α ([ −1,0], H )
elde ederiz.
α
J 2 ’nin normunun kestirimini bulalım. Üçgen eşitsizliğini, C0,1
([0,1], H ), uzayının norm tanımını
ve (2.3) , (2.6) kestirimlerini kullanarak,
1
‖J 2 ‖ H ≤∥ BT ∥ H→H
∫
∥ e −2−sB ∥ H→H ‖gs − g1‖ H ds
0
1
≤ M 2 (δ ) ∫ (1 − s )α ds g
α
C0,1
([0,1], H )
≤ M 2 (δ ) g
α
C0,1
([0,1], H )
0
Aynı şekilde
1
‖J 3 ‖ H ≤∥ BT ∥ H→H
∫
0
∥ e −s+2B ∥ H→H ‖gs − g0‖ H ds
48
1
≤ M 3 (δ ) ∫sα ds g
α
C0,1
([0,1], H )
≤ M 3 (δ ) g
α
C0,1
([0,1], H )
0
gösterebiliriz.
Şimdi J 4 ’ün normunun kestirimini bulacağız. Üçgen eşitsizliğini, (2.3) ve (2.5) kestirimlerini
kullanarak,
J4
H
≤ 2 T H → H e− B H →H Aφ H ≤ M 4 (δ ) Aφ H
elde ederiz.
α
J 5 ’in normunun kestirimini bulalım. Üçgen eşitsizliğini, C0,1
([0,1], H ) uzayının norm tanımını,
(2.3) ve (2.6) kestirimlerini kullanarak,
1
‖J 5 ‖ H ≤ 1 +∥ e −2B ∥ H→H  ∥ BT ∥ H→H
∫
∥ e −sB ∥ H→H ‖gs − g0‖ H ds
0
1
≤ M 5 (δ ) ∫sα ds g
α
C0,1
([0,1], H )
≤ M 5 (δ ) g
α
C0,1
([0,1], H )
0
buluruz.
Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, C0α ([ −1, 0], H ) uzayının norm tanımını, (2.3) ve (2.5)
kestirimlerini kullanarak,
J
‖J 6 ‖ H ≤∥ T ∥ H→H ∥ e
−B
∥ H→H 2 ∑|α i | 1 +∥ e λ iA ∥ H→H  ‖fλ i ‖ H
i=1
≤ M 6 (δ ) max f (t )
−1≤t ≤ 0
elde ederiz.
H
≤ M 6 (δ ) f
C0α ([ −1,0], H )
49
α
Üçgen eşitsizliğini, C0,1
([0,1], H ) uzayının norm tanımını, (2.3) ve (2.5) kestirimlerini
kullanarak,
‖J 7 ‖ H ≤∥ T ∥ H→H ∥ e −2B ∥ H→H +∥ e −B ∥ H→H ‖g1‖ H
≤ M7 δ max‖gt‖ H ≤ M 7 δ‖g‖ C α0,1 0,1,H .
0≤t≤1
Benzer şekilde,
J 8 = TI + 2e −3B − 2e −2B − e −B g0,
‖J 8 ‖ H ≤∥ T ∥ H→H 1 + 2 ∥ e −3B ∥ H→H + 2 ∥ e −2B ∥ H→H +∥ e −B ∥ H→H ‖g0‖ H
≤ M 8 (δ ) max g (t )
0≤ t ≤1
H
≤ M 8 (δ ) g
α
C0,1
([0,1], H )
olduğunu gösterebiliriz.
Son olarak, C0α ([ −1, 0], H ) uzayının norm tanımını, (2.3) ve (2.6) kestirimlerini kullanarak,
J9
H
≤ BT H → H (1+ e−2 B H → H ) f (0)
≤ M 9 (δ ) max f (t )
−1≤t ≤ 0
H
H
≤ M 9 (δ ) f (t ) Cα ([ −1,0], H )
0
elde ederiz.
Böylece J k , k = 1, 2,...,9 için normlarının kestirimleri bir araya getirerek (2.21)’i elde ederiz.
Đkinci olarak, (2.20)’ i elde ederiz. (2.22)’in normunun kestirimini oluşturmak için K1 , K 2 ve
K 3 ’ün norm kestirimlerini ayrı ayrı bulalım.
Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, (2.3) ve (2.19) kestirimlerini kullanarak,
50
J
‖K 1 ‖ H ≤
∑|α i | ∥ e λ A
i
∥ H→H ‖Au 0 ‖ H
i=1
≤ Au0
H
≤ M 1 (δ )  g

α
C0,1
([0,1], H )
+ f
C0α ([ −1,0], H )
+ Aϕ
H


elde ederiz.
Şimdi K 2 ’nin normunu hesaplayacağız. Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, (2.3) ve (2.5)
kestirimlerini ve C0α ([ −1, 0], H ) uzayının norm tanımını kullanarak,
J
‖K 2 ‖ H ≤
∑|α i | ∫
i=1
0
≤ M 2 (δ ) ∫
λk
0
∥ Ae λ iA ∥ H→H ‖fs − fλ i ‖ H ds
λi
( s − λi )α ds
f
( s − λi )(− s )α
C0α ([ −1,0], H )
≤
M 2 (δ )
f
α (1 − α )
C0α ([ −1,0], H )
buluruz.
Son olarak, Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, (2.3) kestirimini ve C0α ([ −1, 0], H ) uzayının
norm tanımını kullanarak,
J
K3
H
≤ ∑ α i I − eλi A H → H f (λi )
i =1
≤ M 3 (δ ) max f (λi )
−1≤ i ≤ 0
H
H
+ Aϕ
+ Aϕ H ≤ M 3 (δ ) f
H
C0α ([ −1,0], H )
+ Aϕ H
elde ederiz.
Böylece K1 , K 2 ve K3 ’ün norm kestirimlerini birleştirerek (2.22)’yi elde ederiz. Bu sonuç
Teorem 2.1’in ispatını sonuçlandırır.
51
2.2. Uygulamalar
Teorem 2.1’in uygulamalarını ele alalım.
Đlk olarak, çok boyutlu eliptik-parabolik denklem için lokal olmayan sınır değer problemi
−utt − (a ( x)u x ) x + δ u = g (t , x), 0 < t < 1, 0 < x < 1,


ut + (a ( x)u x ) x − δ u = f (t , x), − 1 < t < 0, 0 < x < 1,


u (t , 0) = u (t ,1), u x (t ,0) = u x (t ,1), − 1 ≤ t ≤ 1,



J
J
u (1, x) = ∑
u
(
,
x
)
+
(
x
),
∑
α
λ
ϕ
α i ≤ 1,
i
i

i =1
i =1


−1 ≤ λ1 < λ2 < ⋯ < λi < ⋯ < λJ ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 1,


u (0+, x) = u (0−, x), u (0+, x) = u (0−, x), 0 ≤ x ≤ 1
t
t

ele alınmıştır. Eğer
a ( x) ≥ a > 0( x ∈ (0,1)),
g (t , x )(t ∈ [0,1],
(2.23)
x ∈ [0,1]),
f (t , x )(t ∈ [ −1, 0],
x ∈ [0,1]) fonksiyonları tanım kümelerinde düzgün (smooth) ve δ = sabit > 0 ise, bu durumda
(2.23) probleminin çözümü vardır ve tektir.
[0,1] ’de tanımlı karesi integrallenebilir fonksiyonları L2 [0,1] Hilbert uzayı ile ve sırasıyla
1/2
ϕ
W21 [0,1]
1

2
= ϕ L [0,1] +  ∫ ϕ x dx 
2
0

ve
1/2
ϕ
h
W22 [0,1]
1

2
= ϕ L [0,1] +  ∫ ϕ x dx 
2
0

1/2
1

2
+  ∫ ϕ xx dx 
0

normlarına sahip W21[0,1] ve W22 [0,1] Hilbert uzaylarını tanımlayalım. Bu bizim (2.23) karma
problemini self-adjoint pozitif tanımla A operatörü ile H = L2 [0,1] Hilbert uzayında lokal
52
olmayan sınır değer problemi (2.1)’e dönüştürmemizi sağlar.
Teorem 2.2. Lokal olmayan sınır değer (2.23) probleminin çözümü için aşağıdaki
∥ u tt ∥ C α0,1 0,1,L 2 0,1 +∥ u t ∥ C α0 −1,0,L 2 0,1 +∥ u ∥ C α0,1 −1,1,W22 0,1
≤
Mδ
∥ g ∥ C α0,1 0,1,L 2 0,1 +∥ f ∥ C α0 −1,0,L 2 0,1
α1 − α
+ Mδ‖ϕ‖ W22 0,1
koersiv eşitsizliği sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı f (t , x ), g (t , x) ve ϕ ( x ) 'den bağımsızdır.
Teorem 2.2'nin ispatı, soyut Teorem 2.1 ve (2.23) problemini tarafından oluşturulan uzay
operatörünün simetri özelliklerine dayanmaktadır.
n
Đkinci olarak, n -boyutlu R Öklid uzayında, Ω = ( 0 < xk < 1,1 ≤ k ≤ n ) bir açık küme ve S bu
kümenin sınırı olsun öyle ki Ω = Ω ∪ S 'dir. [ −1,1] × Ω kümesinde, çok boyutlu eliptik-parabolik
denklem için karma sınır değer problemi
n

−
u
−
∑
 tt r =1(ar ( x)u xr ) xr = g (t , x), 0 < t < 1, x ∈ Ω,


n

ut + r∑=1(ar ( x)u xr ) xr = f (t , x), − 1 < t < 0, x ∈ Ω,


u (t , x) = 0, x ∈ S , − 1 ≤ t ≤ 1,



J
J
u (1, x) = ∑ α u (λ , x) + ϕ ( x), ∑ α ≤ 1,
i
i
i

i =1
i =1


−1 ≤ λ1 < λ2 < ⋯ < λJ ≤ 0,


u (0+, x) = u (0−, x), u (0+, x) = u (0−, x), x ∈ Ω
t
t

(2.24)
ele alınmıştır. Burada ar ( x ) ( x ∈ Ω), g (t , x ) (t ∈ (0,1), x ∈ Ω), ve f (t , x) (t ∈ ( −1, 0), x ∈ Ω)
53
fonksiyonları tanım kümelerinde düzgün (smooth) ve ar ( x) ≥ a > 0 ’dır.
Ω ’de tanımlı bütün karesi integrallenebilir ve
∥ ϕ ∥ L 2 Ω =
1
2
∫ ⋯ ∫ |ϕx| 2 dx 1 ⋯dx n
x∈Ω
normuna sahip fonksiyonları L2 (Ω) Hilbert uzaylarını ve sırasıyla
1
ϕ
W21 ( Ω )
= ϕ L ( Ω )
2
2
n
2


+  ∫ ⋯ ∫ ∑ ϕ xr dx1 ⋯ dxn 
r =1
x∈Ω


ve
1
ϕh
W22 ( Ω )
= ϕh
L2 h
1
2
2
2
n
n
2




+  ∫ ⋯ ∫ ∑ ϕ xr dx1 ⋯ dxn  +  ∫ ⋯ ∫ ∑ ϕ x x dx1 ⋯ dxn 
r r
r =1
r =1

x∈Ω
x∈Ω



normlarına sahip W21 (Ω), W22 (Ω) Hilbert uzaylarını tanımlayalım. Eğer ar ( x ) , g (t , x) ve f (t , x)
fonksiyonları tanım kümelerinde yeterince düzgün ise, bu durumda (2.24) probleminin çözümü
vardır ve tektir. Bunun için, (2.24) problemi, H Hilbert uzayında ( H = L2 (Ω) ) self-adjoint
pozitif tanımlı A operatörlü (2.1) lokal olmayan sınır değer problemine dönüştürülebilir.
Teorem 2.3. Lokal olmayan sınır değer (2.24) probleminin çözümü için aşağıdaki
∥ u tt ∥ C α0,1 0,1,L 2 Ω +∥ u t ∥ C α0 −1,0,L 2 Ω +∥ u ∥ C α0,1 −1,1,W22 Ω
≤
M (δ ) 
g Cα ([0,1], L ( Ω )) + f Cα ([ −1,0], L ( Ω ))  + M (δ ) ϕ

0,1
2
0
2


α (1 − α )
W22 ( Ω )
koersiv eşitsizliği sağlanır. Burada M (δ ) katsayısı f (t , x ), g (t , x) ve ϕ ( x ) 'den bağımsızdır.
54
Teorem 2.3’ün ispatı, soyut Teorem 2.1, (2.24) problemi tarafından oluşturulan uzay
operatörünün simetri özelliklerine ve aşağıdaki L2 (Ω) uzayında eliptik diferensiyel probleminin
çözümü için koersiv eşitsizliği alınan teoreme dayanmaktadır.
Teorem 2.4. Eliptik diferensiyel probleminin
n
∑a r xu x  x
r
r
= ωx, x ∈ Ω,
r=1
ux = 0, x ∈ S
çözümü için aşağıdaki
n
∑u
r =1
xr xr L Ω
2( )
≤ M || ω ||L2 ( Ω )
koersiv kestirimi sağlanır [Sobolevskii, 1975].
55
3. BĐRĐNCĐ BASAMAKTAN DOĞRULUKLU FARK ŞEMASI
3.1. Fark Şeması
Bu bölümde, (2.1) sınır değer probleminin yakın çözümü için bu probleme karşılık gelen
−τ −2 ( uk +1 − 2uk + uk −1 ) + Auk = g k ,


 g k = g ( tk ) , tk = kτ , 1 ≤ k ≤ N − 1,


τ −1 ( u − u ) − Au = f , f = f (t ),
k
k −1
k −1
k
k
k −1


t = (k − 1)τ , − N − 1 ≤ k ≤ 0,
(
)
 k −1


J
u N = ∑ α i u λi + ϕ , u1 − u0 = u0 − u−1
[τ ]
i =1

(3.1)
birinci basamaktan doğruluklu fark şeması (2.2) varsayım koşulu altında incelenmiştir.
Bilindiği gibi, H Hilbert uzayında self-adjoint pozitif tanımlı A diferensiyel operatörlü lokal
olmayan sınır değer probleminin bir değişkenli diskritizasyon (discretization) fark şemalarını
araştırmak demek, H h Hilbert uzaylarında h 'ye
( 0 < h ≤ h0 )
göre düzgün self-adjoint pozitif
tanımlı Ah fark operatörlü çok değişkenli diskritizasyon fark şemalarını araştırmak demektir.
Dolayısıyla bu çalışmada sadece bir değişkenli diskritizasyon fark şemaları incelenmektedir.
B = 12 (τ A + A(4 + τ 2 A)) operatörünün self-adjoint pozitif tanımlı olduğu gayet iyi bilindiği
üzere H uzayında tanımlanan R = ( I + τ B) −1 operatörü sınırlı bir operatördür. Burada I birim
operatörüdür.
Öncelikle gerek duyulacak yardımcı teoremleri verelim.
Yardımcı Teorem 3.1. Aşağıdaki kestirimler [Sobolevskii, 1977]
56
 P k H → H ≤ (1 + δτ ) − k , kτ AP k H → H ≤ 1, P k − e− kτ A
≤ M k(δτ )τ ,
H →H


 k
R H → H ≤ (1 + δτ ) − k , kτ BR k H → H ≤ 1,



1
|| ( I − R 2 N )−1 ||H → H ≤ M (δ ), R k − e − kτ A2
≤ M k(τδ )τ , k ≥ 1, δ > 0,

H →H
(3.2)
self-adjoint pozitif tanımlı A operatörü olduğu zaman sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı τ 'dan
bağımsızdır ve M (δ ) > 0, P = P (τ A) = ( I + τ A) −1 , τ yeterince küçük pozitif bir sayıdır.
Yardımcı Teorem 3.2. (2.2) varsayımı sağlansın. Yeterince küçük pozitif bir τ sayısı için
I + I + τAI + 2τA −1 R2N−1 + B−1 AI + 2τA −1 I − R2N−1 
J
−1
− 2I + τBI + 2τA R
N
∑ αiP
λ
− τi −1
i=1
operatörünün tersi vardır ve
Tτ = ( I + ( I + τ A) ( I + 2τ A) R 2 N −1 + B −1 A ( I + 2τ A)
−1
J
−1
− 2I + τBI + 2τA R
N
∑ αiP
λ
− τi −1
−1
(I − R )
2 N −1
(3.3)
 −1
i=1
aşağıdaki
Tτ H → H ≤ M (δ ),
(3.4)
BRPTτ H → H ≤ M (δ )
(3.5)
kestirimler sağlanır. Burada, M (δ ) τ 'dan bağımsızdır.
Đspat. Self-adjoint pozitif tanımlı A operatörü için,
57
B−1 AI + 2τA −1 I − R2N−1  ≥ 0
ve
J
I + ( I + τ A) ( I + 2τ A ) R 2 N −1 − (2 I + τ B ) ( I + 2τ A ) R N ∑α i P
−1
−1
λ
− [ i ]−1
τ
≥0
i =1
eşitsizlikleri sağlanır. Böylece,
J
Vτ =
−1
I + I + τAI + 2τA R
2N−1
−1
− 2I + τBI + 2τA R
N
∑ αiP
−1
λ
− τi −1
i=1
ve
(
Sτ = B −1 A ( I + 2τ A )
−1
(I − R
2 N −1
))
−1
olduğu zaman
Tτ H → H ≤ Vτ H → H
(3.6)
ve
BRPTτ H → H ≤ BRPSτ H → H
(3.7)
kestirimleri elde edilir.
B’nin tanımıyla,
BRPSτ = ( I + τ A )
−1
( I + 2τ A) ( I − R 2 N −1 )
−1
elde edilir.
(3.7) eşitsizliği kullanarak,
BRPSτ H → H ≤ ( I + τ A )
−1
( I + 2τ A) H → H ( I − R 2 N −1 )
−1
H → H ≤ M (δ ) bulunur.
Buradan ve (3.7) kestiriminden (3.5) kestirimi elde edilir.
58
Y − Vτ = YVτ ( Zτ − Z )
(3.8)
denklemini (3.4) kestiriminin ispatı için ifade edelim.
Burada
J
−1
Z τ = I + I + τAI + 2τA R
2N−1
−1
− 2I + τBI + 2τA R
N
∑ αiP
i=1
J
1
2
Z = I + e −2 A − 2∑α i e − ( A
1
2 −λ A)
i
olarak tanımlanmıştır.
i =1
Üçgen eşitsizliğini uygulayarak
I + I + τAI + 2τA −1 R2N−1
∥ Z τ − Z ∥ H→H ≤
J
−1
−2I + τBI + 2τA R
N
∑ αiP
λ
− τi −1
i=1
J
1
1
−I − e −2A 2 + 2 ∑ α i e −A 2 −λ iA
i=1
H→H
1
I + τAI + 2τA −1 R2N−1 − e −2A 2
≤
H→H
J
+ 2∑α i e − ( A
i =1
elde ederiz.
Burada
1
2 −λ A)
i
J
− (2 I + τ B ) ( I + 2τ A ) R N ∑α i P
−1
i =1
λ
− [ i ]−1
= I1 + I 2
τ
H →H
λ
− τi −1
,
59
1
I + τAI + 2τA −1 R2N−1 − e −2A 2
I1 =
H→H
ve
J
I 2 = 2∑α i e − ( A
1
2
− λi A )
i =1
J
− (2 I + τ B ) ( I + 2τ A ) R N ∑α i P
−1
λ
− [ i ]−1
τ
i =1
H →H
olur.
Öncelikle I1 ve I 2 ’nin normlarının kestirimlerini bulalım. (3.2) kestirimini ve (2.2) varsayımını
uyguladığımızda,
I1 =
1
I + τAI + 2τA −1 R2N−1 − e −2A 2
H→H
1
I + τAI + 2τA −1 − IR2N−1 + I + τBR2N − e −2A 2
=
H→H
1
I + 2τA −1 I + τA − I − 2τAR2N−1 + R2N + τBR2N − e −2A 2
=
H→H
I + 2τA −1 −τB2 R2N
≤
≤
H→H
+ ‖τBR2N ‖ H→H +
1
R2N − e −2A 2
H→H
τMδ
τMδ
τ
+
+
≤ Mδτ,
2
2
2Nτ
2Nτ
2Nτ
J
I2 =
−1
2I + τBI + 2τA R
N
∑ αiP
i=1
λ
− τi −1
J
1
− 2 ∑ α i e −A 2 −λ iA
i=1
H→H
60
J
1
λi
=∥ 2 ∑ α i 1 2I + τBI + 2τA −1 RN P − τ −1 − e −A 2 −λ iA
2
∥ H→H
i=1
J
λi
=∥ 2 ∑ α i RN P − τ −1 1 2I + τBI + 2τA −1 − I
2
i=1
J
1
+2 ∑ α i RN P − τ −1 − e −A 2 −λ iA
λi
∥ H→H
i=1
J
λi
≤∥ 2 ∑ α i RN P − τ −1 1 2I + τBI + 2τA −1 − I
2
∥ H→H
i=1
J
+∥ 2 ∑ α i
1
λi
1
λi
RN − e −A 2 P − τ −1 + P − τ −1 − e −λ iA e −A 2
∥ H→H
i=1
J
≤ 2 ∑|α i |τ ‖BRN ‖ H→H P − τ −1
λi
i=1
λi
+ 2‖B2 RN ‖ H→H P − τ −1
J
+ 2 ∑|α i |
λ
− [ i ]−1
τ
1
e− A
H →H
1
2
H→H
λi
P − τ −1
H→H
− e− λi A
1 I + 2τA −1
2
2 RI + 2τA −1
RN − e −A 2
i=1
+ P
H→H
H→H
H→H

 ≤ M (δ )τ olur.
H →H 
I1 ve I 2 ’nin normlarının kestirimlerini birleştirdiğimizde
H→H
61
Zτ − Z H → H ≤ M (δ )τ
(3.9)
elde ederiz.
(3.8) ve (3.9) uygulandığında,
∥ V τ ∥ H→H ≤∥ Y ∥ H→H +∥ Y ∥ H→H ∥ V τ ∥ H→H ∥ Z τ − Z ∥ H→H
≤ M (δ ) + τ M (δ ) Vτ H → H
bulunur.
Sonrasında, buradan ve (3.6)’dan
Tτ H → H ≤ M (δ )
sonucuna ulaşırız ve bu sonuç Yardımcı Teorem 3.2’nin ispatını tamamlar.
Yardımcı Teorem 3.3. Herhangi bir g k ,1 ≤ k ≤ N − 1 ve
fk , − N + 1 ≤ k ≤ 0
tanımlanmış
fonksiyonlar için problem (3.1)'in çözümü vardır ve aşağıdaki formüller sağlanır:
{
uk = ( I − R 2 N ) −1  R k − R 2 N − k  u0
n
+ R
N−k
−R
N+k

∑ αi
P
λ
− τi 
(3.10)
0
u0 − τ
i=1
∑
s=
λi
τ
P s−
λi
τ

fs
+ϕ
+1
N−1
−R
N−k
−R
N+k
−1
−1
I + τB2I + τB B
∑RN−s − RN+s g s τ
s=1
N−1
−1
+ I + τB2I + τB B
−1
∑R|k−s| − Rk+s g s τ , 1 ≤ k ≤ N,
s=1
62
0
u k = P − k u0 − τ
∑P
s −k
f s , − N ≤ k ≤ −1,
(3.11)
s = k +1
u0 = Tτ ( I + 2τ A ) ( I + τ A) {( 2 + τ B ) R N
−1
0
J
× − ∑ αiτ
i=1
∑
s=
λi
τ
P
s−
(3.12)
N−1
λi
τ

fs + ϕ
−R
N−1
B
−1
∑RN−s − RN+s g s τ
s=1
+1
N −1

+( I − R 2 N ) B −1 ∑R s −1 g sτ − ( I − R 2 N ) ( I + τ B ) B −1Pf 0  .
s =1

Burada
T τ = I + I + τAI + 2τA −1 R2N−1 + B−1 AI + 2τA −1 I − R2N−1 
J
−(2 I + τ B) ( I + 2τ A) R N ∑α i P
−1
λ
− [ i ]−1
τ
) −1
i =1
olarak tanımlanmıştır.
Đspat. [Sobolevskii, 1977] ile
{
uk = ( I − R 2 N )−1  R k − R 2 N − k  ξ +  R N − k − R N + k ψ
N−1
−R
N−k
−R
N+k
−1
−1
I + τB2I + τB B
∑RN−s − RN+s g s τ
s=1
N−1
−1
+ I + τB2I + τB B
−1
∑R|k−s| − Rk+s g s τ , 1 ≤ k ≤ N
s=1
aşağıdaki sınır değer
(3.13)
63
−τ −2 ( uk +1 − 2uk + uk −1 ) + Auk = g k ,


 g k = g ( tk ) , tk = kτ , 1 ≤ k ≤ N − 1,


u0 = ξ , u N = ψ
(3.14)
probleminin çözümü olup
ve
uk = P − k ξ − τ
0
∑P
s−k
f s , − N ≤ k ≤ −1
(3.15)
s = k +1
eşitliği ise aşağıdaki ters
τ −1 ( uk − uk −1 ) − Auk −1 = f k , f k = f (tk −1 ),


 t = (k − 1)τ , − ( N − 1) ≤ k ≤ 0, u = ξ
0
 k −1
(3.16)
Cauchy probleminin çözümüdür.
(3.13), (3.15) ve
J
ψ = ∑α i u[ λ ] + ϕ , ξ = u0 ,
i
i =1
τ
formülleri kullanılarak
(3.10) ve (3.11) elde edilir. u0 için, (3.10), (3.11) ve
u1 − u0 = u0 − u−1 formülünü kullanarak, aşağıdaki operatör denklemi
I − R2N  −1 R − R2N−1 u 0 + RN−1 − RN+1 
(3.17)
64
J
×
∑ αi
0
P
λ
− τi 
∑
u0 − τ
i=1
s=
λi
τ
P s−
λi
τ

+ϕ
fs
+1
N−1
−R
N−1
−R
N+1
−1
−1
I + τB2I + τB B
∑RN−s − RN+s g sτ
s=1
N −1
+ ( I + τ B )(2 I + τ B ) −1 B −1 ∑  R s −1 − R1+ s  g sτ = 2u0 − Pu0 + τ Pf 0
s =1
elde edilir.
Yardımcı Teorem 3.2 ile
I + I + τAI + 2τA −1 R2N−1 + B−1 AI + 2τA −1 I − R2N−1 
J
−1
− 2I + τBI + 2τA R
N
∑ αiP
λ
− τi −1
i=1
operatörünün tersi
T τ = I + I + τAI + 2τA −1 R2N−1 + B−1 AI + 2τA −1 I − R2N−1 
−(2 I + τ B) ( I + 2τ A) R
−1
J
N
∑α P
i
λ
− [ i ]−1
τ
) −1
i =1
vardır. Böylece aşağıdaki formülümüz
J
u 0 = T τ I + τAI + 2τA
−1
2I + τBR ×
N
−τ ∑ α i
i=1
0
∑
s=
λi
τ
+1
P s−
λi
τ

fs + ϕ
65
N−1
−R
N−1
∑RN−s − RN+s g s τ
−1
B
s=1
N −1

+( I − R 2 N ) B −1 ∑R s −1 g sτ − ( I − R 2 N ) ( I + τ B ) B −1 Pf 0 
s =1

sağlanır ve bu sonuç ile Yardımcı Teorem 3.3.’ün ispatı tamamlanır.
F τ H = Fa, b τ , H , a, b τ = t k = kh, N a ≤ k ≤ N b , N a τ = a, N b τ = b ’de tanımlı Hdeğerli ϕ τ = {ϕ k }NNba ağ fonksiyonlarının lineer uzayı olsun. Fτ ( H ) üzerinde kullanacağımız
α
α
([ −1,1]τ , H ), C0,1
([ −1, 0]τ , H ), ve C0α ([0,1]τ , H ) (0 < α < 1) Banach uzaylarının
C ([a, b]τ , H ) , C0,1
normları aşağıdaki şekildedir:
∥ ϕ τ ∥ Ca,b τ ,H = max ∥ ϕ k ∥ H ,
N a ≤k≤N b
∥ ϕ τ ∥ C α0,1 −1,1 τ ,H = ∥ ϕ τ ∥ C−1,1 τ ,H +
+
sup
1≤k<k+r≤N−1
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
sup
−N≤k<k+r≤0
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
−k α
rα
k + rτ α N − k α
,
rα
∥ ϕ τ ∥ C α0 −1,0 τ ,H = ∥ ϕ τ ∥ C−1,0 τ ,H +
sup
−N≤k<k+r≤0
∥ ϕ k+r − ϕ k ∥ E
−k α
,
rα
(( k + r )τ ) ( N − k )α
.
rα
α
ϕ τ Cα
0,1
= ϕ τ C ([0,1]τ , H ) +
([0,1] , H )
τ
sup
1≤ k < k + r ≤ N −1
ϕk + r − ϕ k E
Lokal olmayan sınır değer problemi (3.1) , M (δ ) f τ , g τ , ϕ , ve τ ’dan bağımsız olmak üzere
uτ F ([ −1,1]τ , H ) ≤ M (δ )  f τ F ([ −1,0]τ , H ) + g τ F ([0,1]τ , H ) + ϕ H  ,
66
eşitsizliği sağlanıyorsa F ([−1,1]τ , H ) ’de kararlıdır denir.
Teorem 3.1. Lokal olmayan (3.1) sınır değer problemi C ([−1,1]τ , H ) normunda kararlıdır.
Đspat. [Sobolevskii, 1977] ile (3.16) ters Cauchy probleminin çözümü için verilen
{uk }− N
0
C ([ −1,0]τ , H )
≤ M (δ )  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + u0
H

(3.18)
kestiriminden, (3.14) sınır değer probleminin çözümü için verilen
{uk }1
N −1
C ([0,1]τ , H )
≤ M (δ )  g τ C ([0,1]τ , H ) + u0
H
+ uN
H

(3.19)
kestiriminden ve (3.1) sınır değer probleminin çözümü için elde edilen
u0 H ≤ M (δ )  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) + ϕ H  ,
(3.20)
u N H ≤ M (δ )  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) + ϕ H 
(3.21)
kestirimlerinden Teorem 3.1’in ispatı elde edilmektedir. Şimdi, (3.20) ve (3.21) kestirimlerini
elde edelim.
Đlkin, (3.20)’yi elde edelim. (3.12) formülünü uygulayarak,
u0 = K 1 + K 2 ,
ve burada
K1 = Tτ ( I + τ A) ( I + 2τ A )
J
×
−τ ∑ α i
i=1
−1
( 2I + τ B ) R N
0
∑
s=
λi
τ
+1
P s−
λi
τ

fs + ϕ , #
(3.22)
67
N −1
−1 
K 2 = Tτ ( I + τ A) ( I + 2τ A ) − R N −1 B −1 ∑  R N − s − R N + s  g sτ
s =1

(3.23)
N −1

+( I − R 2 N ) B −1 ∑R s −1 g sτ − ( I − R 2 N ) ( I + τ B ) B −1 Pf 0 
s =1

tanımlanmış olsun.
u0 ’ın normunun kestirimini oluşturmak için
K1
ve
K 2 ’nin norm kestirimlerini ayrı ayrı
bulduğumuzda aşağıdaki
K1 H ≤ M (δ )  φ H + f τ C ([ −1,0]τ , H )  ,
(3.24)
ve
K 2 H ≤ M (δ )  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) 
(3.25)
kestirimleri elde ederiz.
Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, (3.2) ve (3.4) kestirimlerini (3.22)’de uygulayarak,
∥ K 1 ∥ H ≤∥ T τ ∥ H→H ∥ I + τAI + 2τA −1 ∥ H→H ‖2I + τBRN ‖ H→H
 J
0
λ
s −[ i ]
× ∑ αi τ ∑ P τ
 i =1
λ
s =[ i ]+1

τ
H →H
fs
H

+ ϕ H  ≤ M (δ )  φ H + f τ C ([ −1,0]τ , H ) 


(3.24) kestirimini buluruz.
Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, (3.2) ve (3.4) kestirimlerini (3.23)’de uyguladığımızda,
J
∥ K 2 ∥ H ≤∥ T τ ∥ H→H ∥ I + τAI + 2τA
−1
∥ H→H
∑|α i |
i=1
68
N−1
×
∥R
N−1
∥ H→H ∥ B
−1
∥ H→H
∑ τ∥ RN−s ∥ H→H
+∥ RN+s ∥ H→H ∥ g s ∥ H
s=1
N−1
+ 1 + ‖R ‖ H→H
∥B
2N
−1
∥ H→H
∑
∥ Rs−1 ∥ H→H ‖g s ‖ H τ
s=1
‖B−1 ‖ H→H + τ ‖P‖ H→H ‖f 0 ‖ H
+ 1 + ‖R2N ‖ H→H
≤ M (δ )  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) 
(3.25) kestirimini buluruz.
Buradan K1 ve K 2 ’nin norm kestirimlerini birleştirerek (3.20)’yi elde ederiz.
Đkinci olarak, (3.21)’ i elde edelim.


0
λ
λ
−[ i ]
s −[ τi ]

τ
u N = ∑α i P u0 − τ ∑ P
fs  + ϕ = M1 + M 2 ,


λ
i =1
s =[ i ]+1


τ
J
J
M1 =
∑ αiP
λ
− τi 
(3.26)
u0 ,
i=1
J
M 2 = −∑α iτ
i =1
0
∑
λ
s =[
i
τ
λ
P
s −[ τi ]
fs + ϕ
]+1
olarak tanımlansın. Şimdi (3.26)’nın normunun kestirimini oluşturmak için
norm kestirimlerini ayrı ayrı bulalım.
Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, (2.3) ve (2.19) kestirimlerini kullanarak,
M 1 ve
M 2 ’nin
69
J
∥ M1 ∥ H ≤
∑|α i | ∥ P
λ
− τi 
∥ H→H ∥ u 0 ∥ H
i=1
≤ Mδ ∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ∥ g τ ∥ C0,1 τ ,H + ∥ ϕ ∥ H
kestirimini elde ederiz.
Şimdi M 2 ’nin normunu hesaplayacağız. Üçgen eşitsizliğini, (2.2) varsayımını, (3.2) ve (3.20)
α
kestirimlerini ve C 0 −1, 0, H uzayının norm tanımını kullanarak,
0
J
∥ M2 ∥ H ≤
∑|α i |τ ∑
i=1
s=
λi
τ
P s−
λi
τ
+1

H→H
∥ f s ∥H + ∥ ϕ ∥H
≤ Mδ ∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ∥ ϕ ∥ H
elde ederiz.
Böylece M 1 ve M 2 ’nin norm kestirimlerini birleştirerek (3.26)’yı elde ederiz. Bu sonuç Teorem
3.1’in ispatını sonuçlandırır.
−1, 1 ’de tanımlı H-değerli sürekli fonksiyonların C ([0,1], H ) uzayında lokal olmayan sınır
değer problemi (3.1) sınırlı olmayan genel A pozitif operatörü için iyi konumlanmış değildir ve
o zaman (3.1) lokal olmayan sınır değer fark probleminin iyi konumlanmışlığı C ([−1,1]τ , H )
normunda τ > 0 ’ a bağlı olarak düzgün olarak ele alınmaz. Bu da
∥ u τ ∥ K τ E = ∥ τ −2 u k+1 − 2u k + u k−1  N−1
∥ C0,1 τ ,H
1
+ ∥ τ −1 u k − u k−1  0−N+1 ∥ C−1,0 τ ,H +
Au k  N−1
−N
C−1,1 τ ,H
70
koersativ normun τ → 0+ a gittikçe ∞ ’a meyletmesi anlamına gelir. (3.1) fark probleminin
incelenmesi bu normun büyüme mertebesinin ∞ olarak elde edilmesine imkân verir.
Teorem 3.2. ϕ ∈ D ( A) ve f 0 ∈ D ( I + τ B ) olsun. O zaman (3.1) fark problemi M (δ ) f τ , g τ , ϕ ,
ve τ ’dan bağımsız olmak üzere
∥ u τ ∥ K τ E ≤ Mδ∥ Aϕ ∥ H + ∥I + τBf 0 ∥ H

 1

+ min ln ,1 + ln A H → H   f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H )  
 τ


hemen hemen koersiv eşitsizliğine sahiptir
Đspat. [Sobolevskii, 1977]’yi kullanarak, ters Cauchy fark problemi (3.16)’nın çözümü için,
{τ −1 (uk − uk −1 )}0− N +1 C ([ −1,0]τ , H ) + { Auk }− N
0
(3.27)
C ([ −1,0]τ , H )
≤ Mδ min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H | ∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ‖Au 0 ‖ H
ve sınır değer problemi (3.14)’ün çözümü için
{τ −2 (uk +1 − 2uk + uk −1 )}1N −1 C ([0,1]τ , H ) + { Auk }1
N −1
(3.28)
C ([0,1]τ , H )
≤ Mδ min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H | ∥ g τ ∥ C0,1 τ ,H + ‖Au 0 ‖ H + ‖Au N ‖ H
yazılabilir. O zaman, Teorem 3.2’nin ispatı hemen hemen koersiv eşitsizlikleri (3.27), (3.28), ve
sınır değer problemi (3.1)’in çözümü için var olan
Au0 H ≤ M (δ )  Aϕ H + ( I + τ B ) f 0 H
+ min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H |
∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ∥ g τ ∥ C0,1 τ ,H
Au N H ≤ M (δ )  Aϕ H + ( I + τ B ) f 0 H
(3.29)
,
(3.30)
71
+ min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H |
∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ∥ g τ ∥ C0,1 τ ,H
eşitsizliklerine dayanır. Şimdi (3.29) ve (3.30) kestirimlerini elde edelim.
Öncelikle, (3.29)’u elde edelim. (3.12) formülünü kullanırsak,
Au0 = AK1 + AK 2
(3.31)
olup, burada
AK1 = Tτ ( I + τ A) ( I + 2τ A )
−1
 J

0
λ
s −[ τi ]

( 2 I + τ B ) R −∑α iτ ∑ AP f s + ϕ 
λ
 i =1 s =[ τi ]+1

N
(3.32)
ve
AK 2 = Tτ ( I + τ A) ( I + 2τ A )
−1
(3.33)
N −1
N −1


× − R N −1 R ∑B  R N − s − R N + s  g sτ + ( I − R 2 N )∑R s −1 g sτ − ( I − R 2 N ) BPf 0 
s =1
s =1


olarak tanımlanır. (3.31)’in normu için AK1 ve AK 2 ’nin normlarının kestirimini ayrı ayrı
verelim. Bu amaçla,

 1

AK1 H ≤ M (δ ) [ Aϕ H + min ln ,1 + ln A H → H  f τ C ([ −1,0]τ , H ) 
 τ


(3.34)
ve
 1

AK 2 H ≤ M (δ ) min ln ,1 + ln A H → H 
 τ

×  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) 
(3.35)
72
olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Đlk önce [Ashyralyev ve Sobolevskii, 1994]’ de verilen:

N
∑
AP s
s =1
H →H

1
τ ≤ M (δ ) min ln ,1 + ln A H → H 
 τ

(3.36)
kestirimi ele alalım. Bilindiği gibi Nτ = 1 ve
N
∑
N
AP s
s =1
H →H
1
s =1 s
τ ≤ M (δ )∑ ≤ M (δ ) ∫
N
1
ds
≤ M (δ ) ln N
s
olup,
N
∑
AP s
s =1
H →H
τ ≤ M (δ ) ln
1
(3.37)
τ
kestirimi elde edilir. (3.2) kestirimini kullanarak, buradan da
AP s
1

, A H → H 
 sτ

τ ≤ M (δ ) min 
H →H
olur. Eğer A H → H ≥ N ise,
N
∑
N
AP s
s =1
H →H
τ ≤ M (δ )∑
s =1
A
τ
≤ M (δ ) ∫
1
sτ
H →H
ds
≤ M (δ ) ln A H → H
s
’dir. Eğer A H → H ≤ 1 ise, o zaman
N
∑
N
AP s
s =1
H →H
τ ≤ M (δ )∑ A H → H ≤ M (δ ) A H → H ≤ M (δ )
s =1
olur. Son olarak, eğer 1 ≤ A H → H ≤ N ise,
N
∑‖AP ‖ H→H τ ≤ Mδ
s
s=1
N∥A∥ −1
H→H
∑
s=1
N
∥ A ∥ H→H τ +
∑
s= N∥A∥ −1
H→H +1
τ
sτ
73
1
ds 

≤ M (δ )  1 + ∫ −1
≤ M (δ )(1 + ln A H → H )
AH → H s 


’dir. Dolayısıyla, üç durumda da
N
∑
AP s
s =1
H →H
τ ≤ M (δ )(1 + ln A H → H )
(3.38)
kestirimi vardır.
(3.37)
ve
(3.38)
kestirimlerinden
(ve
homojen
fark
probleminin
üniform
iyi
konumlanmışlığından) (3.36) kestirimini elde ederiz.
Benzer şekilde, B pozitif tanımlı self- adjoint operatörü için

N
∑
BP s
s =1
H →H

1
τ ≤ M (δ ) min ln ,1 + ln B H → H 
 τ

(3.39)
olduğunu gösterebiliriz. (3.32) formülünü, üçgen eşitsizliğini, (2.2) kabulünü ve (3.2), (3.4), ve
(3.36) kestirimlerini kullanarak, (3.34) kestirimini elde ederiz.
∥ AK 1 ∥ H ≤∥ T τ ∥ H→H ∥ I + τAI + 2τA −1 ∥ H→H ‖2I + τBRN ‖ H→H
0
J
×
∑|α i |τ ∑
i=1
s=
λi
τ
AP s−
λi
τ

H→H
+1
‖f s ‖ H + ‖Aϕ‖ H
≤ Mδ ∥ Aϕ∥ H + min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H | ∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H .
(3.35) kestirimini elde etmek için,

N
∑
s =1
BP s
H →H
1

τ ≤ M (δ ) min ln ,1 + ln A H → H 
 τ

(3.40)
74
eşitsizliğini göstermemiz gerekmektedir. A = B 2 R olduğunu biliyoruz. Buradan,
−1
B = ( I + τ B) 2 A 2 = ( I + τ B) 2 A 2 A elde ederiz. O zaman, üçgen eşitsizliğini kullanarak,
1
1
1
1
∥ B ∥ H→H ≤∥ I + τB 2 A
−1
2
∥ H→H ∥ A ∥ H→H
ve
1
∥ I + τB 2 A
−1
2
2
1
−1
∥ H→H ≤∥ 1 + τ A + τ A4 + τ 2 A  2 A 2 ∥ H→H
2
2
1 + τ2 λ + τ2 λ (4 + τ 2λ )
2
≤ sup
λ
δ ≤ λ <∞
≤
≤ sup
δ ≤ λ <∞
1
λ
+
τ2
2
+
τ
2
4
( +τ 2 )
λ
1 + τ 2 + τ  4 + τ 2  = Mδ
δ
2
2 δ
elde edilir. Dolayısıyla, bu iki kestirimi birleştirerek
B H → H ≤ M (δ ) A H → H
(3.41)
elde edilir. (3.39) ve (3.41) kestirimlerinden, (3.40) kestirimi elde edilir.
(3.35)’in kestirimi, (3.33) formülünden, üçgen eşitsizliğinden, (2.2) varsayımdan ve (3.2),
(3.4), ve (3.40) kestirimlerinden
J
∥ AK 2 ∥ H ≤∥ T τ ∥ H→H ∥ I + τAI + 2τA
−1
∥ H→H
∑|α i |
i=1
N−1
×
∥ R ∥ H→H
N
∑ τ∥ BRN−s+1
s=1
∥ H→H +∥ BRN+s+1 ∥ H→H ∥ g s ∥ H
75
N−1
+1 +∥ R
2N
∥ H→H  ∑ ∥ BRs ∥ H→H ‖g s ‖ H τ
s=1
+1 + ‖R2N ‖ H→H ‖BR‖ H→H ‖P‖ H→H ‖f 0 ‖ H
 1

≤ M (δ ) min ln ,1 + ln A H → H   f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) 
 τ

olarak çıkartılır. Dolayısıyla AK1 ve AK 2 normları için elde edilen kestirimlerden, (3.29) olur.
Đkinci olarak, (3.30)’u elde edelim.
J
AM 1 = ∑α i AP
λ
−[ i ]
τ
u0 ,
i =1
J
AM 2 = −∑α iτ
i =1
0
λ
∑
λ
s =[
i
τ
AP
s −[ τi ]
fs + ϕ
]+1
olmak üzere,


0
λ
λi
−[ i ]
s
−
[
]

Au N = ∑α i AP τ u0 − τ ∑ AP τ f s  + Aϕ = AM 1 + AM 2


λ
i =1
s =[ i ]+1


τ
J
(3.42)
olduğunu biliyoruz. Şimdi, (3.42) için kestirim AM 1 ve AM 2 ’nin normunun kestirimini ayrı
ayrı inceleyerek elde edilir. Üçgen eşitsizliğini, (2.2) kabulünü, (3.2) kestirimini ve (3.29)’u
kullanarak,
J
∥ AM 1 ∥ H ≤
∑|α i | ∥ P
λ
− τi 
∥ H→H ∥ Au 0 ∥ H ≤∥ Au 0 ∥ H
i=1
≤ M (δ )  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) + Aϕ H 
76
elde edilir. Şimdi AM 2 normunun kestirimini yapalım. Üçgen eşitsizliği, (2.2) kabulü, (3.2)
α
([−1, 0]τ , H ) uzaylarında normun tanımını kullanırsak,
kestirimi ve C0,1
J
∥ AM 2 ∥ H ≤
0
∑|α i |τ ∑
i=1
s=
λi
τ
AP s−
λi
τ

H→H
+1
∥ f s ∥ H + ∥ Aϕ ∥ H


 1

≤ M (δ )  min ln ,1 + ln A H → H  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + Aϕ H 
 τ



olur. Dolayısıyla AM 1 ve AM 2 normları için verilen kestirimleri birleştirilerek (3.42) elde edilir.
Bu da Teorem 3.2’nin ispatını tamamlar.
Teorem 3.3. Teorem 3.2’nin kabulleri sağlansın. O zaman (3.1) sınır değer problemi
α
C0,1
([−1,1]τ , H ) Hölder uzayında iyi konumlanmıştır ve M (δ ) f τ , g τ , ϕ , ve τ ’dan bağımsız
olmak üzere
∥ τ−2 u k+1 − 2u k + u k−1  N−1
∥ Cα
1
0,1 0,1 τ ,H
+
Au k  N−1
−N
C α0,1 −1,1 τ ,H
0
+ ∥ τ −1 u k − u k−1  −N+1
∥ C α−1,0 τ ,H ≤ Mδ∥ Aϕ ∥ H + ∥I + τBf 0 ∥ H 
0
+
M (δ  τ
f Cα ([ −1,0] , H ) + g τ Cα ([0,1] , H ) 

0
0,1
τ
τ


α (1 − α )
koersiv eşitsizliği sağlanır.
Đspat. [Sobolevskii,1977] ile ters Cauchy fark problemi (3.16)’nın çözümü için
{τ −1 (uk − uk −1 )}0− N +1 Cα ([ −1,0] , H ) + { Auk }− N
0
0
τ
C0α ([ −1,0]τ , H )
(3.43)
77
1
∥ f τ ∥ C α0 −1,0 τ ,H + ‖Au 0 ‖ H
α1 − α
≤ Mδ
ve sınır değer problemi (3.14)’ün çözümü için,
0,1 ([0,1]τ
≤
+ { Auk }1
N −1
{τ −2 (uk +1 − 2uk + uk −1 )}1N −1 Cα
,H)
α
C0,1
([0,1]τ , H )
(3.44)
Mδ
∥ g τ ∥ C α0,1 0,1 τ ,H + ‖Au 0 ‖ H + ‖Au N ‖ H
α1 − α
olur. O zaman Teorem 3.3’ün ispatı (3.43), (3.44) koersiv eşitsizliklerine ve sınır değer problemi
(3.1)’in çözümünün
Au0
H
≤ M (δ )  Aϕ
H
+ ( I + τ B ) f 0 H
+∥ f τ ∥ C α−1,0 τ ,H + ∥ g τ ∥ C α
0,1 0,1 τ ,H
0
Au N
+
H
(3.45)
≤ M (δ )  Aφ
H
,
+ ( I + τ B ) f 0 H
(3.46)
M (δ )  τ
τ

f
+
g
α
α
C
([
−
1,0]
,
H
)
C
([0,1]
,
H
)
0
0,1
τ
τ
 
α (1 − α ) 
kestirimlerine dayanır. Şimdi, (3.19) ve (3.20) kestirimlerini elde edelim.
(3.10), (3.11) ve (3.12)’yi uygularsak,
Au0 = Tτ ( I + 2τ A ) ( I + τ A)
−1
J
×
2I + τBRN ×
− ∑ αiτ
i=1
(3.47)
0
∑
s=
λi
τ
+1
AP s−
λi
τ

f s − f −N+1  + Aϕ
78
N−1
−R
N−1
AB
−2
∑ BRN−sg s − g N−1 τ
s=1
N−1
−R
N−1
AB
−2
∑ BRN+s g 1 − g s τ
s=1
N−1
+I − R AB
2N
−2
∑ BRs−1 g s − g 1 τ
s=1
J
−1
+ T τ I + 2τA I + τA
2 + τBR
N
∑ αiτ
P
λi
τ

− I f −N+1
i=1
−RN−1 AB−2 I − RN−1 τg N−1 − RN−2 − R2N−1 τg 1 
+I − R2N AB−2 I − RN−1 τg 1 −I − R2N I + τBB−1 APf 0 
= J1 + J 2 + J 3 + J 4 + J 5 + J 6 + J 7 + J 8 + J 9
olur. Burada,
J
−1
J 1 = T τ I + 2τA I + τA 2I + τBR
N
∑ αi
i=1
0
× −τ
∑
s=
λi
τ
+1
AP s−
λi
τ

f s − f  λτi 
,
79
J
−1
J 2 = T τ I + 2τA I + τA 2I + τBR
∑ α i Aϕ
N
,
i=1
N−1
−1
J 3 = T τ I + 2τA I + τA −R
N−1
AB
−2
∑ BRN−sg s − g N−1 τ
,
s=1
N−1
−1
J 4 = T τ I + 2τA I + τA −R
N−1
AB
−2
∑ BRN+sg 1 − g s τ
,
s=1
N−1
−1
J 5 = T τ I + 2τA I + τA I − R AB
2N
−2
∑ BRs−1 g s − g 1 τ
,
s=1
J
−1
J 6 = T τ I + 2τA I + τA 2 + τBR
N
∑ αiτ
P
λi
τ

− I f  λτi 
,
i=1
J 7 = T τ I + 2τA −1 I + τA−RN−1 AB−2 I − RN−1 τg N−1 ,
J 8 = T τ I + 2τA −1 I + τAAB−2
× RN−1 RN−2 − R2N−1  + I − R2N I − RN−1 τg 1 ,
{
J 9 = Tτ ( I + 2τ A) ( I + τ A) −( I − R 2 N ) ( I + τ B ) B −1 APf 0
−1
}
olarak tanımlanır.
J
Au N = ∑α i P
i =1
λ
[ τi ]
J
Au0 − ∑α iτ
i =1
0
∑
λ
s =[
i
τ
λ
AP
]+1
s −[ τi ]
(f − f )
s
λ
[ τi ]
(3.48)
80
J
− ∑ α i I − P −
λi
τ

f  λi  + Aϕ = X 1 + X 2 + X 3 ,
τ
i=1
olup, burada ise
J
X1 =
∑ αiP
λi
τ

Au 0 ,
i=1
J
X2 =
0
∑ αi ∑
i=1
J
s=
(
X 3 = ∑α i P
i =1
λ
−[ τi ]
λi
τ
τAP s−
λi
τ

f s − f  λi  ,
τ
+1
)
− I f[ λi ] + Aϕ
τ
olarak tanımlanır. Đlk önce, (3.45)’i elde edelim. k = 1, 2,⋯ ,9 için J k ’nin normlarının
kestirimlerini ayrı ayrı elde ederek, (3.47) için kestirimi gösterelim.
α
([−1, 0]τ , H ) uzayında normun tanımından ve (3.2)
Üçgen eşitsizliğinden, (2.2) kabulünden, C0,1
ve (3.4) kestirimlerinden,
‖J 1 ‖ H ≤∥ T τ ∥ H→H ∥ I + τAI + 2τA −1 ∥ H→H ∥ A2I + τBRN ∥ H→H
J
×∑ α i τ
i =1
0
∑λ
s =[
i
τ
λ
P
s −[ τi ]
]+1
≤ M 1 (δ ) f τ
H → H f s − f [ λi ]
τ
H
α
C0,1
([ −1,0]τ , H )
olur. Şimdi J 2 normunun kestirimini verelim. Üçgen eşitsizliği, (2.2) varsayım koşulu ve (3.2) ve
(3.4) kestirimlerinden,
‖J 2 ‖ H ≤∥ T τ ∥ H→H ∥ I + 2τA −1 I + τA ∥ H→H
81
× ( 2 I + τ B ) R N H → H
J
∑α
i
Aφ H ≤ M 2 (δ ) Aϕ H
i =1
elde edilir. Şimdi J 3 ’ün normunun kestirimine bakalım. Üçgen eşitsizliği, (3.2) ve (3.5)
α
kestirimleri ve C 0 0, 1 τ , H uzayında normun tanımından,
‖J 3 ‖ H ≤∥ BPRT τ ∥ H→H ∥ I + τARN−1 ∥ H→H
N −1
×∑τ R N − s H → H g s − g N −1
s =1
H
≤ M 3 (δ ) g τ
α
C0,1
([0,1]τ , H )
olur. Benzer şekilde,
‖J 4 ‖ H ≤∥ BPRT τ ∥ H→H ‖I + τARN−1 ‖ H→H
N −1
×∑τ R N + s
s =1
H →H
g1 − g s
H
≤ M 4 (δ ) g τ
α
C0,1
([0,1]τ , H )
olduğunu gösterebiliriz. Şimdi J 5 ’in normunun kestirimini incelersek, üçgen eşitsizliği, (3.2) ve
α
(3.4) ve C0,1
([0,1]τ , H ) uzayında normun tanımından,
‖J 5 ‖ H ≤∥ BPRT τ ∥ H→H ‖I + τAI − R2N RN−2 ‖ H→H
N −1
×∑τ R s −1 H → H g s − g1
s =1
H
≤ M 5 (δ ) g τ
α
C0,1
([0,1]τ , H )
α
eşitsizliği çıkartılır. Üçgen eşitsizliği, (2.2) kabulü, C0,1
([−1, 0]τ , H ) uzayında normun tanımı,
(3.2) ve (3.5)’i kullanarak,
‖J 6 ‖ H ≤∥ T τ ∥ H→H ∥ I + τA2 + τBI + 2τA −1 RN ∥ H→H
82
J
(
×∑ α i P
i =1
λ
[ τi ]
)
≤ M 6 (δ ) f τ
− I H → H f [ λi ]
τ
H
α
C0,1
([ −1,0]τ , H )
α
elde edilir. Üçgen eşitsizliği, C0,1
([0,1]τ , H ) uzayında normun tanımı, (3.2) ve (3.4)’ten
‖J 7 ‖ H ≤∥ T τ ∥ H→H ∥ I + τAI + 2τA −1 ∥ H→H
×∥ RN ∥ H→H 1 +∥ RN−1 ∥ H→H ‖g N−1 ‖ H
≤ M 7 (δ ) max g k
0≤ k ≤ N
H
≤ M 7 (δ ) gτ
α
C0,1
([0,1]τ , H )
olur. Benzer tarzda,
‖J 8 ‖ H ≤∥ T τ ∥ H→H
I + 2τA −1 I + τAR
H→H
×∥ R2N−3 ∥ H→H 1 +∥ RN+1 ∥ H→H 
+ 1 +∥ R2N ∥ H→H 1 +∥ RN−1 ∥ H→H ‖g 1 ‖ H
≤ M 8 (δ ) max g k
0≤ k ≤ N
H
≤ M 8 (δ ) g τ
α
C0,1
([0,1]τ , H )
α
([−1, 0]τ , H )
olduğunu gösterebiliriz. Son olarak, üçgen eşitsizliği, (3.2) ve (3.5) kestirimi, C0,1
uzayında normun tanımından
‖J 9 ‖ H ≤∥ BPRT τ ∥ H→H ∥ I + τAI + 2τA −1 ∥ H→H
× 1 +∥ R2N ∥ H→H 1 + τ ∥ B ∥ H→H ‖f0‖ H
83
≤ M 9 (δ ) max f (t )
−1≤t ≤ 0
H
≤ M 9 (δ ) f τ
α
C0,1
([ −1,0]τ , H )
eşitsizlikleri çıkartılır. Dolayısıyla, J k , k = 1, 2,⋯ , 9, için elde edilen kestirimleri birleştirerek,
(3.45) elde edilir.
Đkinci olarak, (3.46) elde edelim. Şimdi X 1 , X 2 ve X 3 ’ün normlarını ayrı ayrı elde ederek,
(3.48)’in normunun kestirimini verelim.
Üçgen eşitsizliği, (2.2) kabulü ve (3.4), (3.45) kestirimlerinden,
J
∑|α i | ∥ P 
‖X 1 ‖ H ≤
λi
τ

∥ H→H ‖Au 0 ‖ H ≤ ‖Au 0 ‖ H
i=1
≤ M 1 (δ )  gτ

+ fτ
α
C0,1
([0,1], H )
α
C0,1
([ −1,0]τ , H )
+ Aϕ
H


olur. Şimdi, X 2 ’nin normunun kestirimini verelim. Üçgen eşitsizliği, (2.2) kabulü ve (3.4)
kestiriminden,
0
J
‖X 2 ‖ H ≤
∑|α i | ∑
i=1
0
τ
i
λi
τ

∥ H→H
f s − f  λi 
+1
τ
fτ
α
1−α
(( s − [ ])τ ) (− s )
]+1
∑
λ
s =[
s=
λi
τ
∥ AP s−
λi
τ
α
C0,1 ([ −1,0]τ , H )
≤
M 2 (δ ) τ
f
α (1 − α )
τ
H
α
C0,1
([ −1,0]τ , H )
α
elde edilir. Son olarak, üçgen eşitsizliği, (2.2) kabulü, (2.3) kestirimi ve C0,1
([−1, 0]τ , H )
uzayında normun tanımından,
n
X3
H
≤ ∑ αi P
k =1
λ
−[ τi ]
− I H → H f[ λi ]
τ
+ Aϕ
H
H
84
≤ M 3 (δ ) max
− N +1≤ k ≤0
fk
H
+ Aϕ H ≤ M 3 (δ ) f τ
α
C0,1
([ −1,0]τ , H )
+ Aϕ H
olur. Dolayısıyla X 1 , X 2 ve X 3 normları için kestirimleri birleştirilerek (3.46) elde edilir. Bu da
Teorem 3.3’ün ispatını tamamlar.
3.2. Uygulamalar
Đlk olarak, çok boyutlu eliptik-parabolik denklem için, (2.24) lokal olmayan sınır değer problemi
ele alınacaktır. Burada (2.24) probleminin diskritizasyonu iki adımda incelenir. Birinci adımda
önce,
h = { x = x = (h m , ⋅⋅⋅, h m ), m = (m , ⋅⋅⋅, m ),
Ω
m
n n
n
1 1
1
0 ≤ m r ≤ N r , h r N r = 1, r = 1, ⋅ ⋅ ⋅, n ,
h ∩ Ω, S = Ω
h ∩ S
Ωh = Ω
h
ağ uzayı tanımlanır. Daha sonra da, (2.24) problemi tarafından oluşturulan A diferensiyel
operatörü yerine
n
Ahxu xh = −∑  ar ( x)u h− 
xr  x , m
r =1 
r
r
(3.49)
formülüyle tanımlanan Ahx fark operatörü alınır. Burada Ahx fark operatörünün yardımıyla (2.24)
lokal olmayan sınır değer problemi
85
 − d u (2t , x ) + Ahx u h (t , x) = g h (t , x), 0 < t < 1, x ∈ Ω h ,
dt


 du h ( t , x )
x h
h
 dt − Ah u (t , x) = f (t , x), −1 < t < 0, x ∈ Ω h ,


J
J
 h
h,
α i u h (λi , x) + ϕ h ( x), ∑ α i ≤ 1, x ∈ Ω
u (1, x) = i∑
=1
i =1


 h
du h (0 + , x )
du h (0 − , x )
h
 u (0+, x) = u (0−, x), dt = dt , x ∈ Ω h
2 h
(3.50)
adi diferensiyel denklem sistemine dönüştürülür.
Đkinci adımda ise, (3.50) problemi için (3.1) fark şeması kullanılarak,
− uk +1 ( x ) − 2uk 2( x ) +uk −1 ( x ) + Ahx ukh ( x ) = g kh ( x),
τ


 h
h
 g k ( x) = g (tk , x), tk = kτ , 1 ≤ k ≤ N − 1, Nτ = 1, x ∈ Ω h ,

 u h ( x ) −u h ( x )
 k τ k −1 − Ahx ukh−1 ( x ) = f kh ( x),


 f kh ( x) = f h (tk , x), tk −1 = ( k − 1)τ , − N + 1 ≤ k ≤ −1, x ∈ Ω h ,


J
 h
h
h
h,
u N ( x) = ∑ α i u[ λi ] ( x) + ϕ ( x), x ∈ Ω
τ
i =1


 h
h
h
h
u1 ( x) − u0 ( x) = u0 ( x) − u−1 ( x), x ∈ Ω h .
h
h
h
(3.51)
birinci basamaktan doğruluklu fark şemasını [Sobolevskii, 1977] elde ederiz.
h ), W 1 = W 1 (Ω
h ), W 2 = W 2 (Ω
h ) uzaylarını
Sonuçlarımızı formüle edebilmek için, L2 h = L2 (Ω
2h
2
2h
2
h ’da tanımlı
tanıtalım. Bu uzaylar sırasıyla, Ω
1/2
ϕ
h
h )
L2 ( Ω


2
=  ∑ ϕ h ( x) h1 ⋅⋅⋅ hn  ,
 x∈Ω h

86
1/2
φ
h
W21h
= φ
h
L2 h
n
2


+  ∑ ∑ (φ h ) xr h1 ⋅⋅⋅ hn 
 x∈Ω h r =1

ve
1/2
ϕ
h
W22h
= ϕ
h
L2 h
n

2

+  ∑ ∑ (ϕ h ) xr h1 ⋅⋅⋅ hn 
 x∈Ω h r =1

1/2
n
2


+  ∑ ∑ (ϕ h ) x x , m h1 ⋅⋅⋅ hn 
r r
r
 x∈Ω h r =1

normlarına sahip ϕ h ( x ) = {ϕ ( h1m1 , ⋅⋅⋅, hn mn )} ağ fonksiyonlarının uzaylarıdır.
Teorem 3.4. Eğer τ ve | h |= h12 + ⋅⋅⋅ + hn2 yeterince küçük pozitif sayılar ise, bu durumda (3.51)
fark şemasının çözümü için aşağıdaki
u hk
N−1
−N
C−1,1 τ ,L 2h 
≤ Mδ ∥
f hk
−1
−N+1
∥
C−1,0 τ ,L 2h 
+∥
∥ τ −2 u hk+1 − 2u hk + u hk−1  N−1
∥ C0,1
1
g hk
kararlılık
W22h
ve
+ τ f 0h
hemen
W21h
+ ln
1
∥
C0,1 τ ,L 2h 
+ ‖ϕ h ‖ L
2h
,
τ ,L 2h 
+ ∥ τ −1 u hk − u hk−1  0−N+1 ∥ C−1,0 τ ,L 2h  +

≤ M (δ )  ϕ h

N−1
u hk
N−1
−N
C−1,1 τ ,W22h 
−1
N −1

1 
{ f kh }
C ([ −1,0]τ , L2 h ) + { g kh } C ([0,1]τ , L2 h )  

− N +1
1

τ+|h|
hemen
koersiv
kestirimleri
sağlanır.
Burada,
M (δ )
katsayısı
τ , h, f kh ( x ), − N + 1 ≤ k ≤ 0 , g kh ( x),1 ≤ k ≤ N − 1 ve ϕ h ( x) 'den bağımsızdır.
Teorem 3.4'ün ispatı, soyut Teorem 3.1,Teorem 3.2, (3.49) formülü ile tanımlanan
Ahx
fark
87
operatörünün simetri özelliklerine, aşağıdaki L2h uzayındaki eliptik fark probleminin çözümü
için koersiv eşitsizliği elde edilen teoreme ve
1
 1

min ln ,1 + ln Ahx L2 h → L2 h  ≤ M ln
τ+ |h|
 τ

(3.52)
kestirime dayanmaktadır.
Teorem 3.5. Eliptik fark probleminin
Ahx u h ( x) = ω h ( x ), x ∈ Ω h ,
(3.53)
u h x = 0, x ∈ S h
çözümü için
∑ (u )
n
h
r =1
−
xr xr , mr L
2h
≤ M || ω h ||L2 h
koersiv eşitsizliği sağlanır [Sobolevskii, 1975].
Teorem 3.6. Eğer τ ve | h | yeterince küçük pozitif sayılar ise, bu durumda (3.51) fark şemasının
çözümü için aşağıdaki
∥τ −2 u hk+1 − 2u hk + u hk−1  N−1
∥ Cα
1
0,1 0,1 τ ,L 2h 
0
+ ∥τ −1 u hk − u hk−1  −N+1
∥ C α−1,0 τ ,L 2h  +
0

≤ M (δ )  ϕ h

W22h
+ τ f 0h
W21h
+
u hk
N−1
−N
C α0,1 −1,1 τ ,W22h 

1
h N −1
 { f h }−1 α
+
g
Cα ([0,1] , L )  
{
}
k
k
C0 ([ −1,0]τ , L2 h )

−
N
+
1
1
τ 2h 
0,1

α (1 − α )

koersiv kararlılık kestirimi sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı τ , h, f kh ( x), − N + 1 ≤ k ≤ 0
88
g kh ( x ),1 ≤ k ≤ N − 1 ve ϕ h ( x ) 'den bağımsızdır.
Teorem 3.6'nın ispatı, soyut Teorem 3.3, (3.49) formülü ile tanımlanan Ahx fark operatörünün
simetri özelliklerine ve L2h uzayındaki (3.53) eliptik fark probleminin çözümü için koersiv
eşitsizliğine ve Teorem 3.5'e dayanmaktadır.
Sınır değer problemi
(2.23)’ün yaklaşık çözümleri için bir değişkene bağlı olarak birinci
basamaktan doğruluklu fark şemaları aynı şekilde oluşturulabilinir. Yukarıda verilen soyut
teoremleri fark şemaları çözümleri için kararlılık kestirimleri, hemen hemen kararlılık
kestirimleri ve koersiv kararlılık kestirimlerini elde etmemize izin verir.
89
4. ĐKĐNCĐ BASAMAKTAN DOĞRULUKLU FARK ŞEMASI
4.1. Fark Şeması
Bu bölümde, (2.2) varsayım koşulu altında (2.1) sınır değer probleminin yaklaşık çözümü için
Crank-Nicholson fark şeması kullanılarak
−τ −2 ( uk +1 − 2uk + uk −1 ) + Auk = g k ,


 g k = g ( tk ) , tk = kτ ,1 ≤ k ≤ N − 1, Nτ = 1,


τ −1 ( u − u ) − 1 ( Au + Au ) = f , f = f (t 1 ),
k
k −1
k −1
k
k
k
2
k−2



tk − 12 = (k − 12 )τ , − ( N − 1) ≤ k ≤ 0,


J

λ
u N = ∑ α i u[ λi ] + λi − [ τi ]τ f[ λi ] + Au[ λi ] + ϕ ,
τ
τ
τ
k =1



u2 − 4u1 + 3u0 = −3u0 + 4u−1 − u−2
(
(
)(
(4.1)
))
ikinci basamaktan doğruluklu fark şemasını elde edilmiştir.
Fark şeması (4.1)’ in Hölder uzaylarında iyi konumlanmışlığı sağlanmıştır. Bir uygulama olarak,
eliptik- parabolik denklemlerin fark şemalarının çözümü için koersiv eşitsizlikleri elde edilir.
Aşağıdaki operatörler
P = I − τA G, G = I + τA  −1 , R = I + τB −1 ,
2
2
ve
T τ = I + B−1 AI + τA + τ G −2 KI − R2N−1 
2
90
2
2
+KI − τ A G −2 R2N−1 − KI − τ A G −2 2I + τB
2
2
 n  
λ   −[ λi ]  
(2 I + τ B ) R  ∑α i  I +  λi − [ i ]τ  A  P τ  

τ  
 i =1  

−1
N
vardır ve self-adjoint pozitif operatör A için sınırlıdır. Burada
B=
1
5
2

(τ A + A(4 + τ 2 A)) ve K =  I + 2τ A + (τ A ) 
2
4


−1
olarak tanımlanmışlardır.
Öncelikle bu bölümde gerek duyulacak yardımcı teoremleri verelim.
Yardımcı Teorem 4.1.
g k ,1 ≤ k ≤ N − 1 ve f k , − N + 1 ≤ k ≤ 0
Herhangi bir
tanımlanmış
fonksiyonlar için problem (4.1)'in çözümü vardır ve aşağıdaki formüller sağlanır:
{
uk = ( I − R 2 N ) −1  R k − R 2 N − k  u0 +  R N − k − R N + k 
n
×
∑ αi
(4.2)
λ
I + λ i −  τi τ A
i=1
×
λi
P − τ  u 0 − τ
0
∑
s=
λi
τ
P s−
λi
τ

Gf s
λ
+ λ i −  τi τ f  λi 
τ
+1
N−1
−RN−k − RN+k I + τB2I + τB −1 B−1 ∑RN−s − RN+s g s τ
s=1
+ϕ
91
N−1
−1
+ I + τB2I + τB B
−1
∑R|k−s| − Rk+s g s τ , 1 ≤ k ≤ N,
s=1
u k = P − k u0 − τ
0
∑P
s − k −1
Gf s , − N ≤ k ≤ −1,
(4.3)
1
u0 = Tτ KG −2 × ( 2 I − τ 2 A ) {( 2 + τ B ) R N
2
(4.4)
s = k +1
{
n
×
λ
I + λ i −  τi τ A
∑ αi
i=1
0
×
∑
−τ
λi
τ
s=
P s−
λi
τ

Gf s
λ
+ λ i −  τi τ f  λi 
τ
+1
N−1
−R
N−1
B
−1
+ϕ
∑R
N−1
N−s
−R
N+s
g s τ + I − R B
2N
−1
s=1
∑ Rs−1 g sτ
s=1
+I − R2N I + τBτB−1 g 1 − 4GB−1 f 0 + PGB−1 f 0 + GB−1 f −1 ,
T τ = I + B−1 AI + τA + τ G −2 KI − R2N−1 
2
2
2
+KI − τ A G −2 R2N−1 − KI − τ A G −2 2I + τB
2
2
n
2I + τBR
N
∑ α i I + λ i −  λτi τ A P − λτi  u 0
i=1
−1
.
92
Đspat. Herhangi bir
{ f k }k =− N
−1
ve ξ için temel ters Cauchy fark problemi çözümü
τ −1 ( uk − uk −1 ) − 12 ( Auk −1 + Auk ) = f k ,


− N − 1 ≤ k ≤ 0, u = ξ
)
0
 (
(4.5)
vardır ve aşağıdaki formül kullanılır [Sobolevskii, 1974] :
uk = P − k ξ − τ
0
∑P
s − k −1
Gf s , − N ≤ k ≤ −1
(4.6)
s = k +1
ξ = u0 yerleştirerek elde ederiz.
Şimdi, aşağıdaki temel fark problemini ele alabiliriz

−τ −2 u − 2u + u
( k +1 k k −1 ) + Auk = gk ,



 g k = g ( tk ) , tk = kτ , 1 ≤ k ≤ N − 1,


u0 = ξ , u N = ψ .
(4.7)
(4.7)’nin çözümü için [Sobolevskii, 1977] aşağıdaki formülün kullanıldığı iyi bilinir.
{
uk = ( I − R 2 N ) −1  R k − R 2 N − k  ξ +  R N − k − R N + k ψ
N−1
−R
N−k
−R
N+k
−1
−1
I + τB2I + τB B
∑RN−s − RN+s g s τ
s=1
N −1
+( I + τ B)(2 I + τ B )−1 B −1 ∑  R|k − s| − R k + s  g sτ ,1 ≤ k ≤ N
s =1
olur. (4.6)’yı uygulayarak ve ξ = u0 ,
(4.8)
93
J
ψ=
∑ αi
λ
u  λi  + λ i −  τi τ
τ
f  λi  + Au  λi 
τ
+ϕ
τ
k=1
formüllerini (4.8)’ye yerleştirerek , (4.2)’yi elde ederiz.
u0 için (4.2), (4.3) ve
u 2 − 4u 1 + 3u 0 = −3u 0 + 4u −1 − u −2 ,
koşulunu kullanarak operatör denklemini elde ederiz.
2I − τ 2 AI − R2N  −1 R − R2N−1 u 0 + RN−1 − RN+1 
n
∑ α i I + λ i −  λτi τ A
×
P
λ
− τi 
0
u0 − τ
i=1
∑
s=
λi
τ
P s−
λi
τ

fs
+1
n
λ
+ ∑ α i λ i −  τi τ f  λi  + ϕ
τ
i=1
N−1
−R
N−1
−R
N+1
−1
−1
I + τB2I + τB B
∑RN−s − RN+s g sτ
s=1
N−1
−1
+I + τB2I + τB B
−1
∑Rs−1 − R1+s g s τ
s=1
= −τ2 g 1 + G 2 2I + 4τA + 5 τA 2 u 0 + 4Gτf 0 − PGτf 0 − Gτf −1 .
2
Operatör
94
I + B−1 AI + τA + τ G −2 KI − R2N−1 
2
2
2
+KI − τ A G −2 R2N−1 − KI − τ A G −2 2I + τB
2
2
n
∑ αi
2I + τBR
N
λi
λ
I + λ i −  τi τ A P − τ 
i=1
bir ters
T τ = I + B−1 AI + τA + τ G −2 KI − R2N−1 
2
2
2
+KI − τ A G −2 R2N−1 − KI − τ A G −2 2I + τB
2
2
 n  
λ   −[ λi ]  
(2 I + τ B ) R  ∑α i  I +  λi − [ i ]τ  A  P τ  

τ  
 i =1  

−1
N
operatöre sahiptir.
Böylece
u 0 = 1 T τ KG −2 × 2I − τ2 A2 + τBRN
2
n
×
λ
I + λ i −  τi τ A
∑ αi
i=1
0
×
−τ
∑
s=
λi
τ
+1
P s−
λi
τ

Gf s
λ
+ λ i −  τi τ f  λi 
τ
+ϕ
95
N−1
−R
N−1
B
−1
∑R
N−1
N−s
−R
N+s
g s τ + I − R B
s=1
2N
−1
∑ Rs−1 g sτ
s=1
}
+( I − R 2 N )( I + τ B) (τ B −1 g1 − 4GB −1 f 0 + PGB −1 f 0 + GB −1 f −1 )
elde ederiz.
Bu sonuç yardımcı Teorem 4.1’in ispatını sonuçlandırır.
Bu bölümde , (4.1)’in iyi konumlanmışlığını çalışıyoruz. Öncelikle P k , R k ve Tτ için gerekli bazı
kestirimleri verelim.
Yardımcı Teorem 4.2. Aşağıdaki [Sobolevskii, 1974], [Sobolevskii, 1977] ve [Ashyralyev ve
Sobolevskii, 1982]:
 P k H → H ≤ 1, kτ AP k G 2 H → H ≤ M (δ ) ,


 G P k − e− kτ A
≤ M k(τδ )τ , k ≥ 1, δ > 0,
H → H ≤ 1,
H →H



 R k H → H ≤ M (δ )(1 + δτ ) − k , kτ BR k H → H ≤ M (δ ),


1

2 N −1
k
− kτ A 2
||
(
)
||
(
),
I
−
R
≤
M
R
−
e
≤ M k(δτ )τ , k ≥ 1, δ > 0
δ

H →H

H →H
(4.9)
kestirimleri bazı M (δ ) ≥ 0 için sağlanır.
Buradan aşağıdaki kestirim
τ −2

−1
2 N −1
)
 I + B A( I + τ A + G ) K ( I − R
2

2
2
+ KI − τ A G −2 R2N−1 − KI − τ A G −2 2I + τBRN P N  −1
2
2
(4.10)
96
 n  
λ   −[ λi ]  
(2 I + τ B) R  ∑α i  I +  λi − [ i ]τ  A  P τ  

τ  
 i =1  

−1
≤ M (δ )
N
H →H
elde edilir.
Teorem 4.1. Lokal olmayan (4.1) sınır değer problemi C ([−1,1]τ , H ) normunda kararlıdır.
Đspat. [Sobolevskii, 1977] ile sınır değer problemi (4.1)’in çözümü için
{uk }1
N −1
C ([0,1]τ , H )
≤ M  g τ C ([0,1]τ , H ) + u0
H
+ uN
H

(4.11)
olup, [Sobolevskii, 1974] ile
{uk }− N
0
C ([ −1,0]τ , H )
≤ M  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + u0
H

(4.12)
elde ederiz O zaman Teorem 4.1’in ispatı, (4.11), (4.12) kararlıklı eşitsizliklerine sınır değer
problemi (4.1) çözümü için
u0 H ≤ M (δ )  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) + ϕ H  ,
(4.13)
u N H ≤ M (δ )  f τ C ([ −1,0]τ , H ) + g τ C ([0,1]τ , H ) + ϕ H 
(4.14)
kestirimlerine dayanmaktadır.
Teorem 4.2. ϕ ∈ D ( A ) ve f 0 , f −1 , g1 ∈ D ( I + τ B ) olsun. O zaman (4.1) fark problemi M (δ )
f τ , g τ , ϕ ve τ ’dan bağımsız olmak üzere
∥ τ−2 u k+1 − 2u k + u k−1  N−1
∥ C0,1 τ ,H
1
+ ∥ τ −1 u k − u k−1  0−N+1 ∥ C−1,0 τ ,H
97
Au k  N−1
1
+
C0,1 τ
+
,H
0
1 Au + Au 
k
k−1
2
≤ Mδ min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H |
−N+1
C−1,0 τ ,H
∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ∥ g τ ∥ C0,1 τ ,H
+ Aϕ H + ( I + τ B ) f 0 H + ( I + τ B ) g1 H + ( I + τ B ) f −1 H 
hemen hemen koersiv eşitsizliğine sahiptir.
α
Đyi konumlanmışlık C0,1
([−1,1]τ , H ) ’de elde edilebilir.
Đspat. [Ashyralyev ve Sobolevskii, 1981] ile ters Cauchy fark problemi (4.5) çözümü için
0
{τ (uk − uk −1 )}
−1
0
− N +1 C ([ −1,0]τ , H )
1

+ +  ( Auk + Auk −1 ) 
2
− N +1
(4.15)
C ([ −1,0]τ , H )
≤ Mδ min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H | ∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ‖Au 0 ‖ H
eşitsizliğine sahibiz.
[Sobolevskii, 1977] ile sınır değer problemi (4.7) çözümü için
{τ −2 (uk +1 − 2uk + uk −1 )}1N −1 C ([0,1]τ , H ) + { Auk }1
N −1
(4.16)
C ([0,1]τ , H )
elde ederiz.
O zaman, Teorem 4.2’nin hemen hemen koersiv eşitsizlikleri (4.15), (4.16) ve sınır değer
problemi (4.1) çözümü için
Au0 H ≤ M (δ )  Aϕ H + ( I + τ B ) f 0 H
98
+ min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H |
Au N
H
∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ∥ g τ ∥ C0,1 τ ,H
,
≤ M (δ )   Aϕ H + ( I + τ B ) f 0 H 
+ min ln 1τ , 1 + |ln∥ A ∥ H→H |
∥ f τ ∥ C−1,0 τ ,H + ∥ g τ ∥ C0,1 τ ,H
kestirimlerine dayanmaktadır. Bu kestirimlerin ispatı [Sobolevskii, 1977] ve [Ashyralyev ve
Sobolevskii, 1981] makalelerinin şemasını takip eder ve (4.4), (4.9) ve (4.10) kestirimlerine
dayanır.
Böylece, Teorem 4.2’nin ispatı sonuçlandırılır.
Teorem 4.3. Teorem 4.2’nin kabulleri sağlansın. O zaman (4.1) sınır değer problemi
α
C α0,1 −1, 1 τ , H , C 0,1 −1, 1 τ , H Hölder uzaylarında iyi konumlanmıştır ve M (δ ) f τ , g τ , ϕ
ve τ ’dan bağımsız olmak üzere
∥τ −2 u k+1 − 2u k + u k−1  N−1
∥ Cα
1
0,1 0,1 τ ,H
0
+ ∥τ −1 u k − u k−1  −N+1
∥ C α−1,0
0
+
Au k  N−1
1
C α0,1 0,1 τ ,H
+
τ ,H
1 Au + Au 
k
k−1
2
0
−N+1
 1
 f τ α
≤ M (δ ) 
+ g τ Cα ([0,1] , H )  + Aϕ H
C0 ([ −1,0]τ , H )

τ
0,1


 α (1 − α )
+∥I + τBf 0 ∥ H + ∥I + τBg 1 ∥ H + ∥I + τBf −1 ∥ H ,
∥τ −2 u k+1 − 2u k + u k−1  N−1
∥ Cα
1
0,1  0,1  τ ,H 
α
C 0 −1,0 τ ,H
99
0
+ ∥τ −1 u k − u k−1  −N+1
∥ C α−1,0
0
+
Au k  N−1
1
C α0,1 0,1 τ ,H
+
τ ,H
1 Au + Au 
k
k−1
2
0
−N+1
α
C 0 −1,0 τ ,H
 1
 f τ ⌢ α
≤ M (δ ) 
+ g τ Cα ([0,1] , H )  + Aϕ H


C
([
−
1,0]
,
H
)
τ
0,1
0
τ
 α (1 − α ) 
+ ( I + τ B ) f 0 H + ( I + τ B ) g1 H + ( I + τ B ) f −1 H 
koersiv eşitsizlikleri sağlanır.
Đspat. [Ashyralyev ve Sobolevskii, 1981] ve [Ashyralyev ve Sobolevskii, 1982] ile Cauchy fark
problem (4.5) çözümü için
0
{τ −1 (uk − uk −1 )}0− N +1 ⌢α
C 0 ([ −1,0]τ , H )
≤ Mδ
1

+  ( Auk + Auk −1 ) 
2
− N +1
(4.17)
⌢α
C 0 ([ −1,0]τ , H )
1
∥ f τ ∥ C α0 −1,0 τ ,H + ‖Au 0 ‖ H ,
α1 − α
0
{τ −1 (uk − uk −1 )}0− N +1 ⌢α
C 0 ([ −1,0]τ , H )
≤ Mδ
1

+  ( Auk + Auk −1 ) 
2

− N +1
(4.18)
⌢α
C 0 ([ −1,0]τ , H )
1
∥ f τ ∥ C α−1,0 ,H + ‖Au 0 ‖ H
τ
0
α1 − α
yazılabilir.
[Sobolevskii, 1977] ile sınır değer problemi (4.7) çözümü için
100
{τ −2 (uk +1 − 2uk + uk −1 )}1N −1 Cα
0,1 ([0,1]τ
≤ Mδ
+ { Auk }1
N −1
,H)
α
C0,1
([0,1]τ , H )
(4.19)
1
∥ g τ ∥ C α0,1 0,1 τ ,H + ‖Au 0 ‖ H + ‖Au N ‖ H
α1 − α
elde ederiz
O zaman, Teorem 4.3’ün ispatı (4.17) - (4.19) koersiv eşitsizliklerine ve sınır değer problemi
(4.1) çözümü için
Au0
 1
 f τ ⌢ α
≤ M (δ ) 
+ g τ Cα ([0,1] , H ) 

C
H
([
−
1,0]
,
)
τ
0,1
0
τ


 α (1 − α )
H
(4.20)
+ Aϕ H + ( I + τ B ) f 0 H + ( I + τ B ) g1 H + ( I + τ B ) f −1 H  ,
Au N
H
 1
 f τ ⌢ α
≤ M (δ ) 
+ g τ Cα ([0,1] , H ) 


−
C
([
1,0]
,
H
)
τ
0,1
0
τ
 α (1 − α ) 
+ Aϕ H + ( I + τ B ) f0 H + ( I + τ B ) g1 H + ( I + τ B ) f −1 H 
kestirimlerine dayanmaktadır.
Problem (4.1)’in çözümü ile (4.9) ve (4.10)’un kestirimi için olan

1

Au0 = Tτ KG −2 ( 2 I − τ 2 A ) ( 2 + τ B ) R N
2


0
×
∑
s=
λi
τ
+1
AP
s−
λi
τ
n

n

 
λ  
τ
α i  I +  λi − [ i ]τ  A 
(
−
)

∑
τ  
i =1
 

λ
Gf s − f −N+1  + ∑ α i λ i −  τi τ Af  λi  + Aϕ
τ
i=1
(4.21)
101
N−1
−R
N−1
AB
−1
∑R
N−1
N−s
g s − g N−1 τ + R
N−1
AB
−1
∑ RN+sg s − g 1 τ
s=1
s=1
N−1
+I − R AB
2N
−1
∑ Rs−1 g s − g 1 τ
s=1
+ I − R2N I + τBτB−1 Ag 1 − 4GB−1 Af 0 + PGB−1 Af 0 + GB−1 Af −1 
+ 2I − τ 2 A2 + τBRN P N − If −N+1
+AB−2 RN−1 − IRN−1 g N−1 + R2N − R2N−1 − Ig 1 ,
J
Au N =
∑ αi
λi
λ
I + λ i −  τi τ A P  τ  Au 0
i=1
J
λ
− ∑ α i I + λ i −  τi τ A τ
i=1
∑
s=
J
− ∑ αi
0
I − P −
λN
τ

λi
τ
AP s−
λi
τ

f s − f  λi 
τ
+1
λ
+ λ i −  τi τ A f  λi  + Aϕ
τ
i=1
formülleriyle (4.20) ve (4.21) kestirimlerini elde ederiz. Bu sonuç Teorem 4.3’ün ispatını
sonlandırır.
102
4.2. Uygulamalar
Bu bölümde lokal olmayan karma problemlerin yaklaşık çözümü için fark şemalarının
çözümlerinde kararlılık kestirimleri, hemen hemen kararlılık kestirimleri ve koersiv kararlılık
kestirimleri elde etmek için Teorem 4.1, Teorem 4.2 ve Teorem 4.3 uygulamalarını göstereceğiz.
Öncelikle, çok boyutlu eliptik parabolik denklemi (2.24) için çok noktalı karma sınır değer
probleminin yaklaşık çözümüne bu soyut sonucun uygulamaları ele alınacaktır.
Problem (3.50) için fark şeması (4.1) fark şeması kullanılarak
[Sobolevskii, 1974], [Sobolevskii, 1977]:
− uk +1 ( x ) − 2uk 2( x ) +uk −1 ( x ) + Ax u h ( x ) = g h ( x),
h k
k
τ


 h
h
 g k ( x) = g (tk , x), tk = kτ , 1 ≤ k ≤ N − 1, Nτ = 1, x ∈ Ω h ,

 u h ( x ) −u h ( x ) A x
 k τ k −1 − 2h ( ukh ( x ) + ϕkh−1 ( x ) ) = f kh ( x),


 f h ( x) = f h (t , x), t = (k − 1 )τ , − N + 1 ≤ k ≤ 0, x ∈ Ω ,
h
 k
2
k − 12
k − 12



J
 h
 h

λi
x h
u h ( x) = ∑
α
λ
u
(
x
)
+
−
+
[
]
τ
f
A
u
(
x
)


 
N
i
k
h
τ
λ
λ
λ
 [ i]

k =1
[ i]
[ i]
τ
τ
τ






 h
+ϕ ( x), x ∈ Ω h ,


h
−u2h ( x) + 4u1h ( x) − 3u0h ( x) = 3u0h ( x) − 4u−h1 ( x) + u−h2 ( x), x ∈ Ω
h
h
h
(
)
ikinci basamaktan doğruluklu fark şeması yazılır.
(4.22)
103
Eğer τ ve | h |= h12 + ⋅⋅⋅ + hn2
Teorem 4.4.
yeterince küçük pozitif sayılar ise, bu durumda
(4.22) fark şemasının çözümü için aşağıdaki
N−1
u hk
+∥
−N
g hk
≤M ∥
C−1,1 τ ,L 2h 
N−1
1
∥
C0,1 τ ,L 2h 
+ ‖ϕ h ‖ L
−1
f hk
2h
−N+1
+ ∥τ
u hk
≤ M (δ )  f 0h

+τ g1h
W21h
kararlılık
−
L2 h
+ ln
ve
u hk−1  0−N+1
+ f −h1
L2 h
τ ,L 2h 
L2 h
+ ϕh
W22h
+
N−1
u hk
1
+ τ f 0h
W21h
C0,1 τ ,W22h 
0
u hk + u hk−1
2
∥ C−1,0 τ ,L 2h  +
+ g1h
C−1,0 τ ,L 2h 
,
∥τ−2 u hk+1 − 2u hk + u hk−1  N−1
∥ C0,1
1
−1
∥
−N+1
+ τ f −h1
C−1,0 τ ,W22h 
W21h
−1
N −1

1 
{ f kh }
C ([ −1,0]τ , L2 h ) + { g kh } C ([0,1]τ , L2 h )  
− N +1
1
 
τ + | h | 
hemen
τ , h, f kh ( x), − N + 1 ≤ k ≤ 0
hemen
koersiv
kestirimleri
sağlanır.
Burada
M (δ )
katsayısı
g kh ( x ),1 ≤ k ≤ N − 1 ve ϕ h ( x ) 'den bağımsızdır.
Teorem 4.4'ün ispatı, soyut Teorem 4.1, Teorem 4.2, (3.49) formülü ile tanımlanan Ahx fark
operatörünün simetri özelliklerine ve L2h uzayındaki (3.53) eliptik fark probleminin çözümü için
koersiv eşitsizliğine ve Teorem 3.5'e dayanmaktadır.
Teorem 4.3 ün bir sonuç çıkarmasını verelim.
Teorem 4.5. τ ve | h | yeterince küçük pozitif sayılar olsun. O zaman, fark şeması (4.22) çözümü
∥ τ −2 u hk+1 − 2u hk + u hk−1  N−1
∥ Cα
1
0,1 0,1 τ ,L 2h 
104
+ ∥ τ−1 u hk − u hk−1  0−N+1 ∥ C α−1,0
0
+
u hk + u hk−1
2
≤ M (δ )  ϕ h

+
W22h
τ ,L 2h 
+
u hk
N−1
C α0,1 0,1 τ ,W22h 
1
0
−N+1
+ τ f0h
W21h
α
C 0 −1,0 τ ,W22h 
+ τ f −h1
W21h
+ τ g1h
W21h
N −1

1
 { f h }−1 α
+ { g kh } Cα ([0,1] , L )   ,
k
C
([
−
1,0]
,
L
)

− N +1
1
τ
τ
0
2h
0,1
2h 
α (1 − α ) 

{τ −2 ( ukh+1 − 2ukh + ukh−1 )}1N −1 Cα
0,1 ([0,1]τ
, L2 h )
0
 ukh + ukh−1 
+ 

2

− N +1
⌢α
C 0 ([ −1,0]τ ,W22h )
0
+ ∥ τ−1 u hk − u hk−1  −N+1
∥ C α−1,0
0
≤ M ‖ϕ h ‖ W2 + τ f h0
2h
+
W12h
τ ,L 2h 
+ τ f h−1
+
W12h
u hk
+ τ g h1
N−1
C α0,1 0,1 τ ,W22h 
1
W12h
N −1

1
 { f h }−1 ⌢ α
+ { g kh } Cα ([0,1] , L )  
k
− N +1 C 0 ([ −1,0]τ , L2 h )
1

τ
0,1
2h 
α (1 − α ) 
koersiv kararlılık kestirimleri sağlanır. Burada, M (δ ) katsayısı
τ , h, f kh ( x), − N + 1 ≤ k ≤ 0
g kh ( x ),1 ≤ k ≤ N − 1 ve ϕ h ( x ) 'den bağımsızdır.
Teorem 4.5'in ispatı, soyut Teorem 4.3, (3.49) formülü ile tanımlanan Ahx fark operatörünün
simetri özelliklerine ve L2h uzayındaki (3.53) eliptik fark probleminin çözümü için koersiv
eşitsizliğine ve Teorem 3.5'e dayanmaktadır.
105
Sınır değer problemi
(2.23)’ün yaklaşık çözümleri için bir değişkene bağlı olarak ikinci
basamaktan doğruluklu fark şemaları aynı şekilde oluşturulabilinir. Yukarıda verilen soyut
teoremler fark şemaları çözümleri için kararlılık kestirimleri, hemen hemen kararlılık kestirimleri
ve koersiv kararlılık kestirimlerini elde etmemize izin verir.
106
5. SAYISAL SONUÇLAR
Kararlılık eşitsizliklerindeki sabit sayılar için kesin bir kestirim alınamamaktadır. Bu yüzden,
eliptik-parabolik denklem için lokal olmayan sınır değer probleminin
 ∂ 2u + ∂∂ux ((1 + x) ∂∂ux ) = g ( t , x ) ,
 ∂t

 g ( t , x ) = −t sin x + (e − t + t )(cos x − x sin x),



−1 < t ≤ 0, 0 < x < π ,

 ∂u ∂u
∂u
 ∂t + ∂x ((1 + x) ∂x ) = f ( t , x ) ,


−t
−t
 f ( t , x ) = (−2e + 1 − t ) sin x + (e + t )(cos x − x sin x),


 0 < t < 1, 0 < x < π ,


u (1, x ) = 12 u ( −1, x ) + 12 u ( − 12 , x ) + ϕ ( x ) ,


φ x = (e −1 − e − 1 e 12 + 7 )sin x, 0 ≤ x ≤ π ,
2
2
4
 ( )


u ( t , 0 ) = u ( t , π ) = 0, − 1 ≤ t ≤ 1
2
sayısal çözümleri verilecektir. Bu problemin tam çözümü
ut, x  = e −t + t sinx.
şeklindedir.
(5.1)
107
Burada, lokal olmayan (5.1) sınır değer probleminin yaklaşık çözümleri için, birinci ve ikinci
basamaktan doğruluklu fark şemaları kullanılacaktır. Đkinci mertebeden katsayıları matris olan
n ’ye göre fark denklemleri elde edilecektir. Bu fark denklemlerini çözmek için iyileştirilmiş
Gauss eliminasyon yöntemi kullanılacaktır. Sayısal denemelerin sonucu olarak ikinci basamaktan
doğruluklu fark şemasının birinci basamaktan doğruluklu fark şemasına oranla daha doğru
olduğu gösterilecektir.
5.1. Birinci Basamaktan Doğruluklu Fark Şeması
Eliptik parabolik denklem için lokal olmayan (5.1) sınır değer problemini ele alacağız. (5.1)
probleminin yaklaşık çözümü için
[−1,1]τ × [0, π ] h = {(t k , x n ) : t k = kτ , − N ≤ k ≤ N , Nτ = 1,
x n = nh, 0 ≤ n ≤ M , Mh = π }
τ ve h küçük parametrelerine bağlı grid noktalar ailesinin [−1,1]τ × [0, π ]h setini ele alalım.
Öncelikle
 u ( xn +1 )2−hu ( xn −1 ) − u ′( x n ) = O ( h 2 ),


 u ( xn +1 ) − 2u ( xn ) + u ( xn −1 ) − u ′′( x ) = O ( h 2 )
n
h2

(5.2)
formülleri uygulayarak ve lokal olmayan (5.1) sınır değer probleminin yaklaşık çözümü için
birinci basamaktan doğruluklu (3.51) fark şeması kullanarak
108
k +1
k −1
 un − 2u2n +un + (1+ xn )( un+1 −2 2un +un−1 ) + un+1 −un−1 = g (tk , xn ),
2h
h
τ



1 ≤ k ≤ N − 1, 1 ≤ n ≤ M − 1,

 u k −uk −1 (1+ x )( uk −1 − 2u k −1 +u k−1 ) u k−1 −uk −1
 n τ n + n n+1h2 n n−1 + n+12 h n−1 = f (tk −1 , xn ),


− N + 1 ≤ k ≤ 0, 1 ≤ n ≤ M − 1,


 u1n −un0 (1+ xn )un−+11 − 2un−1 +un−−11 un−+11 −un−−11
+ 2 h = −(1 + xn ) sin xn + cos xn ,
 τ +
h2


 xn = nh, 1 ≤ n ≤ M − 1,


 N 1 − N 1 − N2
un = 2 un + 2 un + ϕ ( xn ) , xn = nh, 0 ≤ n ≤ M ,

 k
k
u0 = uM = 0, − N ≤ k ≤ N .
k
k
k
k
k
k
(5.3)
denklemler sistemini elde ederiz.
Böylece,
( 2 N + 1) × ( M + 1)
boyutlu doğrusal denklem sistemi (5.3)'de matris formunda
yazılabilecek şekilde elde edilmiş olur.
109
Bu doğrusal denklem sistemi düzenlenerek aşağıdaki formda
(
)
(
( )
)
( )
 1+ 2xn + 21h unk+1 + 12 unk +1 + − 22 − 2(1+2xn ) unk + 12 unk −1
τ
τ
h
τ
 h

 1+ x
k
+ h2 n − 21h un −1 = g (tk , xn ), 1 ≤ k ≤ N − 1, 1 ≤ n ≤ M − 1,


 1+ xn 1 k −1 1 k
2(1+ xn )
1+ xn
k −1
k −1
1
1
 h2 + 2 h un +1 + τ un + − τ − h2 un + h2 − 2 h un−1


= f (tk −1 , xn ), − N + 1 ≤ k ≤ 0, 1 ≤ n ≤ M − 1,


 1+ 2xn + 1 un−+11 + − 2(1+2xn ) un−1 + ( − 1 ) un0 + ( 1 ) un1
2h
τ
τ
h
 h

 1+ x
−1
+ h2 n − 21h un −1 = −(1 + xn ) sin xn + cos xn ,


 x = nh, 1 ≤ n ≤ M − 1,
 n

 N 1 − N 1 − N2
un − 2 un − 2 un = ϕ ( xn ) , xn = nh, 0 ≤ n ≤ M ,

 k
k
u0 = uM = 0, − N ≤ k ≤ N .
(
)
(
)
(
)
(
(
(
)
(
)
)
)
yazılabilinir.
Birinci aşamada, birinci basamaktan doğruluklu (3.51) fark şeması uygulayarak matris formunda
 AnU n +1 + BnU n + CnU n−1 = Dϕ n , 1 ≤ n ≤ M − 1,


⌢
⌢

U
=
0,
U
=
0,
M
 0
denklem sistemini elde ederiz.
(5.4)
110
Tanımlanmış olan An , Bn ve Cn
An =
0
0 . 0 0 0 0
0 .
0 0
an
0 . 0 0 0 0
0 .
0 0
0 an . 0 0 0 0
0 .
0 0
.
.
.
.
0
0 . 0 an 0 0
0 .
0 0
0
0 . 0 0 0 an
0 .
0 0
0
0 . 0 0 0 0 an .
0 0
.
.
.
0
0 . 0 0 0 0
0 . an 0
0
0 . 0 an 0 0
0 .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0
−1/2 0 0 . −1/2 . 0 0 0 0
Bn =
ve
,
0 0 . 0 0 1
bn
c 0 .
0
. 0 0 0 0
0 0 . 0 0 0
0
bn c .
0
. 0 0 0 0
0 0 . 0 0 0
.
.
.
. .
.
. .
.
0
0 0 .
0
. 0 bn c 0
0
0 0 .
0
. 0 0 d en d 0 . 0 0 0
0
0 0 .
0
. 0 0 0 d en d . 0 0 0
.
.
. .
.
. .
0
0 0 .
0
. 0 0 0 0
0 0 . d en d
0
0 0 .
0
. 0
0 0 . 0 0 0
.
f
.
.
.
.
g c
. . .
.
.
0 0 . 0 0 0
.
. . .
.
.
,
111
0
0 . 0 0 0 0
0 . 0 0
rn 0 . 0 0 0 0
0 . 0 0
0 rn . 0 0 0 0
0 . 0 0
.
.
.
0
0 . 0 rn 0 0
0
0 . 0 0 0 rn 0 . 0 0
0
0 . 0 0 0 0 rn . 0 0
.
.
0
0 . 0 0 0 0
0 . rn 0
0
0 . 0 rn 0 0
0 . 0 0
Cn =
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . 0 0
.
(2 N + 1) × (2 N + 1) matrisleri olup ve D
.
.
,
.
(2 N + 1)× (2 N + 1) birim matrisidir,
ϕ n , U s ise
ϕ −N
n
U −N
s
⋮
ϕn =
ϕ 0n
⋮
ϕ Nn
⋮
, Us =
U 0s
for s = n ± 1, n
⋮
U Ns
( 2 N + 1) × 1 sütun vektörleri olup, ϕ nk ’da
ϕ ( x n ), k = − N ,


 f (t k −1 , x n ), − N + 1 ≤ k ≤ 0,

ϕ nk = 
 g (t , x ), 0 ≤ k ≤ N − 1,
 k n

− (1 + x ) sin x + cos x , k = N
n
n
n

112
olarak tanımlanmıştır.
Burada,
1 + xn
1 + xn
1
1
+
, rn =
−
,
2
2
2h
2h
h
h
1 2(1 + x n )
1
1
bn = − −
, c= , d = 2,
2
τ
τ
h
τ
2(1 + x n )
2 2(1 + x n )
1
en = − 2 −
, f =−
, g=−
2
2
τ
τ
h
h
an =
olarak ifade edilmiştir.
Dolayısıyla, ikinci mertebeden n 'ye göre katsayıları matris olan (5.4) fark denklemi elde edilmiş
olur. Bu fark denklemini çözmek için, matris denkleminin katsayılarıyla iyileştirilmiş Gauss
eliminasyon yöntemini uygularız. Bu tarz sistemi Samarskii ve Nikolaev [Samarskii ve Nikolaev,
1989] tarafından fark denklemleri için kullanılmıştır. Böylece, matris denklemin çözümünü
U j = α j +1U j +1 + β j +1 , j = M − 1,⋅ ⋅ ⋅, 2,1,


U = 0
 M
formunda elde ederiz.
Burada α j j = 1, ⋅ ⋅ ⋅, M 2N + 1 × 2N + 1 kare matrisleri ve
βj j = 1, ⋅ ⋅ ⋅, M ve 2N + 1 × 1 sütun matrisleri olup
α j+1 = −B + Cα j  −1 A,
β j+1 = B + Cα j  −1 Dϕ j − Cβ j ,
olarak tanımlanmıştır.
113
α1
2N + 1 × 2N + 1 sıfır matrisi ve
β 1 2N + 1 × 1 sıfır matrisidir.
Farklı N ve M değerleri verildiğinde, (5.1) probleminin sayısal çözümlerini yukarıdaki yöntem ile
bulan bir Matlab program Ek 1 kısmında verilmiştir.
5.2. Đkinci Basamaktan Doğruluklu Fark Şeması
Đkinci olarak, (5.2) formüllerini uygulayarak ve (5.1) probleminin yaklaşık çözümleri için ikinci
basamaktan (4.22) doğruluk fark şemasını kullanarak aşağıdaki denklemler sistemini elde ederiz.
k
k−1
u k+1
n −2u n +u n
τ
+
2
1+x n u kn+1 −2u kn +u kn−1 
h
2
+
u kn+1 −u kn−1
2h
= gt k , x n ,
t k = kτ, x n = nh, 1 ≤ k ≤ N − 1, 1 ≤ n ≤ M − 1,
u kn −u k−1
n
τ
+
+
1+x n u kn+1 −2u kn +u kn−1 
2h
2
k−1
k−1
1+x n u k−1
n+1 −2u n +u n−1 
2h
2
+
+
u kn+1 −u kn−1
k−1
u k−1
n+1 −u n−1
4h
4h
= ft k − 2τ , x n ,
#
t k = kτ, x n = nh, − N + 1 ≤ k ≤ 0, 1 ≤ n ≤ M − 1,
−2
−u 2n + 4u 1n − 3u 0n = 3u 0n − 4u −1
n + u n , x n = nh, 1 ≤ n ≤ M − 1,
u Nn =
1
2
−N
1
2
u −N
+ ϕx n , x n = nh, 0 ≤ n ≤ M,
n + 2 un
u k0 = u kM = 0, − N ≤ k ≤ N.
Đlk kısımdakine benzer bir şekilde
( 2 N + 1) × ( M + 1)
lineer denklemler sistemine sahibiz ve
onları matris formunda yazacağız. (5.1) probleminin yaklaşık çözümü için bu sistemi
114
1+x n
+
h2
+
1+x n
2h 2
+
−
h2
1+x n
1
τ
+
−
1
2h
1
2h
k
u n+1
+
2
τ2
21+x n 
−
h2
u kn +
1
τ2
u k−1
n
k
u n−1
= gt k , x n , 1 ≤ k ≤ N − 1, 1 ≤ n ≤ M − 1,
1
4h
k−1
u n+1
+
1+x n
u kn +
h2
u k+1
+ −
n
1
τ2
1+x n
2h 2
1+x n
2h 2
+
−
1
4h
1
4h
k
u n+1
+ − 1τ −
k−1
u n−1
+
1+x n
2h 2
−
1+x n
u k−1
n
h2
1
4h
k
u n−1
#
= f t k − 2τ , x n , − N + 1 ≤ k ≤ 0, 1 ≤ n ≤ M − 1,
−1
0
1
2
u −2
n − 4u n + 6u n − 4u n + u n = 0, 1 ≤ n ≤ M − 1,
−N
1
2
u Nn − 12 u −N
= ϕx n , x n = nh, 0 ≤ n ≤ M,
n − 2 un
u k0 = u kM = 0, − N ≤ k ≤ N
formunda tekrar yazabiliriz. Đkinci aşamada, matris formunda
 AnU n +1 + BnU n + CnU n −1 = Dϕ n , 1 ≤ n ≤ M − 1,


⌢
⌢

U 0 = 0, U M = 0,
(5.5)
( 5.5) lineer denklemleri elde etmek için ikinci basamaktan (4.22) doğruluk fark şemasını
uygularız.
Tanımlanmış olan An , Bn ve Cn
115
0
An =
0
0 .
0
0
0
0 .
0 0
vn vn
0 .
0
0
0
0 .
0 0
0 vn vn .
0
0
0
0 .
0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0 . vn vn
0
0 .
0 0
0
0
0 .
0
0 an
0 .
0 0
0
0
0 .
0
0
0 an .
0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
0 .
0
0
0
0 . an 0
0
0
0 .
0
0
0
0 .
−1/2 0
Bn =
ve
.
.
.
0 . −1/2 . 0 0 0
.
,
.
0 0
0
0
0 0 . 0 0 1
yn
zn 0 .
0
. 0 0 0
0
0
0 0 . 0 0 0
0
y n zn .
0
. 0 0 0
0
0
0 0 . 0 0 0
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
0
0
0 .
0
. 0 0 yn zn
0
0 0 . 0 0 0
0
0
0 .
0
. 0 0 0
d en
d 0 . 0 0 0
0
0
0 .
0
. 0 0 0
0
d en d . 0 0 0
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
0
0
0 .
0
. 0 0 0
0
0
0 0 . d en d
0
0
0 .
0
. 0 1 −4 6 −4 1 0 . 0 0 0
.
. . .
. . .
.
.
.
.
,
116
0
0
0
. 0
0
0
0
0 . 0 0
wn wn
0
. 0
0
0
0
0 . 0 0
wn wn . 0
0
0
0
0 . 0 0
.
.
.
.
0
Cn =
.
.
.
. .
.
.
.
0
0
0
. 0 wn wn 0
0
0
0
. 0
0
0 rn 0 . 0 0
0
0
0
. 0
0
0
0 rn . 0 0
.
.
.
. .
.
.
.
.
0
0
0
. 0
0
0
0
0 . rn 0
0
0
0
. 0
0
0
0
0 . 0 0
0 . 0 0
.
.
,
.
(2 N + 1)× (2 N + 1) matrisleri olup,
D
(2 N + 1)× (2 N + 1) birim matrisi
ϕ n , U s ise aşağıda gösterilmiş olan (2 N + 1) × 1 sütun vektörleridir.
ϕ −N
n
U −N
s
⋮
ϕn =
ϕ 0n
⋮
ϕ Nn
⋮
, Us =
U 0s
⋮
U Ns
for s = n ± 1, n.
117
Burada,
v n = 1 + x2 n + 1 , w n = 1 + x2 n − 1 ,
4h
4h
2h
2h
a n = 1 + 2x n + 1 , r n = 1 + 2x n − 1 ,
2h
2h
h
h
1 + xn
1 + xn
y n = − 1τ −
, z n = 1τ −
,
2
h
h2
21 + x n 
d = 12 , e n = − 22 −
τ
τ
h2
ile
ϕx n , k = −N,
ft k −
τ
2
, x n , − N + 1 ≤ k ≤ 0,
ϕ kn =
gt k , x n , 1 ≤ k ≤ N − 1,
0, k = N.
olarak ifade edilmiştir.
Böylece ikinci mertebeden n 'ye göre katsayıları matris olan (5.5) fark denklemine sahibiz. Bu
fark denklemini çözmek için modifiye edilmiş Gauss eliminasyon metodunun sürecini aynı
şekilde uyguladık.
Farklı N ve M değerleri verildiğinde, (5.1) probleminin sayısal çözümlerini yukarıdaki yöntem ile
bulan bir Matlab program Ek 1 kısmında verilmiştir.
118
5.3. Hata Analizleri
Eliptik parabolik denklem için lokal olmayan (5.1) sınır değer problemini dikkate alalım. Lokal
olmayan (5.1) sınır değer probleminin yaklaşık çözümü için doğruluk fark şemalarının birinci ve
ikinci basamaktan doğruluklu fark şemaları kullanılmıştır ve N=M=30 için aşağıdaki şekillerde
(5.1) probleminin gerçek ve yaklaşık çözümleri verilmiştir.
Şekil 5.1 Gerçek çözüm
119
Şekil 5.2 Birinci basamaktan doğruluklu fark şeması
120
Şekil 5.3 Đkinci basamaktan doğruluklu fark şeması
Sonuçların karşılaştırılması için hatalar
E NM =
max
−N≤k≤N
ut k , x n  − u kn ,
1≤n≤M−1
formülüyle hesaplanır.
121
Burada u ( tk , xn ) problemin gerçek çözümünü ve unk ’ de,
( tk , xn ) noktasında sayısal çözümü
temsil etmektedir. Sonuçlar aşağıdaki çizelgede gösterilmiştir.
Çizelge 5.1 u(t,x) için hata analizi
Metot
N = M = 30
N = M = 60
N = M = 90
BBDFŞ
0,042169
0,021639
0,014546
ĐBDFŞ
0,000908
0,000227
0,000101
Çizelgeden de açık bir şekilde görüldüğü gibi, ikinci basamaktan doğruluklu fark şeması birinci
basamaktan doğruluklu fark şemasına oranla gerçek çözümlere daha yakın sonuçlar vermektedir.
122
6. SONUÇLAR
Bu çalışmanın esas amacı lokal olmayan sınır değer koşulları ile çok noktalı eliptik-parabolik
diferensiyel ve fark problemlerin iyi konumlanmışlığının doğruluğunun ortaya konulmasıdır.
Yapılan bu çalışmanın sonucunda aşağıdaki orijinal sonuçlar elde edilmiştir:
•
Self-adjoint pozitif tanımlı A operatörlü soyut eliptik-parabolik denklem için çok noktalı
lokal olmayan sınır değer probleminin
− d u2( t ) + Au (t ) = g (t ), (0 ≤ t ≤ 1),
 dt

 du (t )
 dt − Au (t ) = f (t ), (−1 ≤ t ≤ 0),


J
u (1) = ∑ α u (λ ) + ϕ ,
i
i

i =1


 J
α i ≤ 1,
 i∑
 =1

−1 ≤ λ < ... < λ ≤ 0
1
J

2
iyi konumlanmışlığı ağırlıklı Hölder uzaylarında doğruluğu ortaya konularak elde edilmiştir.
Uygulamada bu soyut sonuç çok noktalı lokal olmayan karma sınır değer problemi için kurulan
123
−utt − (a( x)u x ) x + δ u = g (t , x), 0 < t < 1, 0 < x < 1,


ut + (a ( x)u x ) x − δ u = f (t , x), − 1 < t < 0, 0 < x < 1,


u (t , 0) = u (t ,1), u x (t , 0) = u x (t ,1), − 1 ≤ t ≤ 1,



J
J
u (1, x) = ∑
u
(
,
x
)
+
(
x
),
∑
α
λ
ϕ
α i ≤ 1,
i
i

i =1
i =1


−1 ≤ λ1 < λ2 < ... < λJ ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 1,


u (0+, x) = u (0−, x), ut (0+, x) = ut (0−, x), 0 ≤ x ≤ 1
karma denklemde ve çok noktalı lokal olmayan karma sınır değer denklemleri için kurulan
n

−
u
−
∑
(ar ( x)u xr ) xr = g (t , x), 0 < t < 1, x ∈ Ω,
tt

r =1


n

ut + r∑=1(ar ( x)u xr ) xr = f (t , x), − 1 < t < 0, x ∈ Ω,


u (t , x) = 0, x ∈ S , − 1 ≤ t ≤ 1,



J
J
u (1, x) = ∑ α u (λ , x) + ϕ ( x), ∑ α ≤ 1,
i
i
i

i =1
i =1


−1 ≤ λ1 < λ2 < ⋯ < λJ ≤ 0,


u (0+, x) = u (0−, x), u (0+, x) = u (0−, x), x ∈ Ω.
t
t

eliptik-parabolik denklemde koersiv kararlılık eşitsizlikleri elde etmemizi sağlar.
Burada, Ω sınırlı n-boyutlu Öklid uzayı ℝ n (0 < xk < 1, 1 ≤ k ≤ n) ’deki açık birim küptür.
•
Lokal olmayan sınır değer problemi için verilen eliptik–parabolik denklemin yaklaşık
çözümü için
124
−τ −2 u k+1 − 2u k + u k−1  + Au k = g k ,
g k = gt k , t k = kτ, 1 ≤ k ≤ N − 1,
τ−1 u k − u k−1  − Au k−1 = f k , f k = ft k−1 ,
t k−1 = k − 1τ, − N − 1 ≤ k ≤ 0,
J
u N = ∑ α i u  λi  + ϕ, u 1 − u 0 = u 0 − u −1 .
τ
i=1
ve
−τ −2 u k+1 − 2u k + u k−1  + Au k = g k ,
g k = gt k , t k = kτ, 1 ≤ k ≤ N − 1, Nτ = 1,
τ −1 u k − u k−1  −
t k− 1 = k −
2
1
2
1
2
Au k−1 + Au k  = f k , f k = ft k− 1 ,
τ, − N − 1 ≤ k ≤ 0,
J
u N = ∑ α i u  λi  + λ i −  λτi τ
k=1
2
τ
f  λi  + Au  λi 
τ
τ
+ ϕ,
J
∑|α i | ≤ 1, u 2 − 4u 1 + 3u 0 = −3u 0 + 4u −1 − u −2
i=1
birinci ve ikinci dereceden kararlılıklı fark şemaları kurulmuştur.
125
Hölder uzayında bu fark şemalarının iyi konumlanmışlığı elde edilmiştir. Pratikte, fark
şemalarının yaklaşık çözümü için kararlılık, hemen hemen koersiv eşitsizliği, koersiv kararlılık
kestirimleri elde edilmiştir.
•
Eliptik-parabolik denklem için lokal olmayan sınır değer
 ∂ 2u + ∂∂ux ((1 + x) ∂∂ux ) = g ( t , x ) ,
 ∂t

 g ( t , x ) = −t sin x + (e− t + t )(cos x − x sin x),



0 < t < 1, 0 < x < π ,

 ∂u ∂u
∂u
 ∂t + ∂x ((1 + x) ∂x ) = f ( t , x ) ,


−t
−t
 f ( t , x ) = (−2e + 1 − t )sin x + (e + t )(cos x − x sin x),


−1 < t ≤ 0, 0 < x < π ,


u (1, x ) = 12 u ( −1, x ) + 12 u ( − 12 , x ) + ϕ ( x ) ,


φ x = (e −1 − e − 1 e 12 + 7 )sin x, 0 ≤ x ≤ π ,
2
2
4
 ( )


u ( t , 0 ) = u ( t , π ) = 0, − 1 ≤ t ≤ 1
2
probleminin fark şemalarının çözümlerinin teorik ifadeleri sayısal deney sonuçları ile
desteklenmiştir.
126
KAYNAKLAR
Agarwal R.P., Bohner M., ve Shakhmurov V.B., (2005) “Maximal regular boundary value
problems in Banach-valued weighted spaces”, Boundary Value Problems, 1, 9-42.
Ashyralyev A., (2003) “On well-posedness of the nonlocal boundary value problems for elliptic
equations”, Numerical Functional Analysis and Optimization, 24, 1-2, 1-15.
Ashyralyev A., (2006a) “A note on the nonlocal boundary value problem for elliptic-parabolic
equations”, Nonlinear Studies, 13, 4, 327-333.
Ashyralyev A., (2006b) “Nonlocal boundary-value problems for abstract parabolic equations:
well-posedness in Bochner spaces”, Journal of Evolution Equations, 6, 1, 1-28.
Ashyralyev A., (2007a) “Well-posedness of the modified Crank-Nicholson difference schemes in
Bochner spaces”, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B (DCDS-B), 7, 1, 2951.
Ashyralyev A., (2007b) “Well-Posedness of the difference schemes of elliptic equations in C0α
spaces” Applied Mathematics Letters, 22, 3, 390-395.
Ashyralyev A., (2009) “High-accuracy stable difference schemes for well-posed nonlocal
boundary value problems”, Operator Theory: Advances and Applications, 191, 229-252.
Ashyralyev A., Dural A. ve Sozen Y., (2009) “Multipoint nonlocal boundary value problems for
reverse parabolic equations: well-posedness”, Vestnik of Odessa National University.
Mathematics and Mechanics, 13, 1-12.
Ashyralyev A. ve Gercek O., (2008) "Nonlocal boundary value problems for elliptic-parabolic
differential and difference equations" Discrete Dynamics in Nature and Nature, 01-16.
Ashyralyev A. ve Gercek O., (2009) "Numerical solution of nonlocal boundary value problems
for elliptic-parabolic equations", Further progress in analysis: Proceedings of the 6th International
ISAAC Congress Ankara, Turkey 13 - 18 August 2007, World Scientific, 663-670.
127
Ashyralyev A., Hanalyev A. ve Sobolevskii P.E., (2001) “Coercive solvability of nonlocal
boundary value problem for parabolic equations”, Abstract and Applied Analysis, 6, 1, 53-61.
Ashyralyev A., Karatay I. ve Sobolevskii P.E., (2004) “Well-posedness of the nonlocal boundary
value problem for parabolic difference equations”, Discrete Dynamics in Nature and Society, 2,
2, 273-286.
Ashyralyev A. ve Sobolevskii P.E., (1981) “Correct solvability of the Crank-Nicholson
difference scheme for parabolic equations", Izv. Akad. Nauk Turkmen. SSR Ser. Fiz.-Tekhn.
Khim. Geol. Nauk, 6, 10-16.
Ashyralyev A. ve Sobolevskii P.E., (1982) “Coercive stability of a Crank-Nicholson difference
scheme in C0α spaces”, in: Approximate Methods for Investigations of Differential Equations
and their Applications, Kuybishev, 16-24.
Ashyralyev A. ve Sobolevskii P.E., (1984) “The linear operator interpolation theory and the
stability of difference schemes”, Doklady Akademii Nauk SSSR, 275, 6, 1289-1291.
Ashyralyev A. ve Sobolevskii P.E., (1994) Well-Posedness of Parabolic Difference Equations,
Birkhäuser Verlag, Basel, Boston, Berlin.
Ashyralyev A. ve Sobolevskii P.E., (2006) “Well-Posedness of the difference schemes of the
high order of accuracy for elliptic equations” Discrete Dynamics in Nature and Nature, 01-12.
Ashyralyev A. ve Soltanov H., (1994) “On the stability of the difference scheme for the
parabolic-elliptic equations in a Hilbert Space”, Labour of the IMM of AS of theTurkmenistan,
Ashgabat, 53-57.
Ashyralyev A. ve Soltanov H., (1995a) “On coercive stability of difference scheme for parabolicelliptic equations”, Labour of the IMM of AS of theTurkmenistan, Ashgabat, 3, 63-66.
Ashyralyev A. ve Soltanov H., (1995b) “On elliptic-parabolic equations in a Hilbert space”, in:
Proceeding of the IMM of CS of Turkmenistan, 101-104, Ashgabat, Turkmenistan.
128
Ashyralyev A. ve Soltanov H., (1998) “On one difference schemes for an abstract nonlocal
problem generated by the investigation of the motion of gas on the homogeneous space” in:
Modeling Processes of Exploitation of Gas Places and Applied Problems of Theoretical
Gasohydrodynamics, Ilim, Ashgabat, 147-154.
Bazarov D. ve Soltanov, H., (1995) Some Local and Nonlocal Boundary Value Problems for
Equations of Mixed and Mixed-Composite Types, Ylim: Ashgabat.
Chipot M. ve Lovat B., (1997) “Some remarks on nonlocal elliptic and parabolic problems”,
Nonlinear Analysis, 30, 7, 4619-4627.
Dautray R. ve J.L. Lions, (1988) Analyse Mathematique et Calcul Numerique Pour les Sciences
et les Technique, 1-11, Masson, Paris, France.
Dehghan M., (2005a) “On the solution of the diffusion equation with a nonlocal boundary
condition”, Numerical Methods for Partial Differential Equations, 21, 1, 24-40.
Dehghan M., (2005b) “Efficient techniques for the second-order parabolic equation subject to
nonlocal specifications”, Applied Numerical Mathmatics, 52, 39-62.
Diaz J., Lerena M., Padial J. ve Rakotoson J., (2004) “An elliptic-parabolic equation with a
nonlocal term for the transient regime of a plasma in a Stellarator”, Journal of differential
equations, 198, 2, 321-355.
Dzhuraev, T.D., (1979) Boundary Value Problems for Equations of Mixed and Mixed-Composite
Types", Fan:Tashkent.
Ewing R.E., Lazarov R.D. ve Lin Y., (2000) “Finite volume element approximations nonlocal
reactive flows in porous media”, Numerical Methods for Partial Differential Equations, 16, 285311.
Glazatov S.N., (1998) “Nonlocal boundary value problems for linear and nonlinear equations of
variable type", Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Preprint, 46, 26.
129
Okan Gerçek, (2006) “Nonlocal boundary value problems for parabolic-elliptic equations”,
Master Thesis, 64p.
Gordeziani N., Natalini P. ve Ricci P.E., (2005) “Finite-difference methods for solution of
nonlocal boundary value problems”, Computers & Mathematics with Applications, 50, 8-9,
1333—1344.
Gulin A.V., Ionkin N.I., ve Morozova V.A., (2001) Stability of a nonlocal two-dimensional
finite-difference problem, Differential Equations, 37, 7, 970-978.
Hilhorst D. ve Hulshof J., (1991) “An elliptic-parabolic problem in combustion theory:
Convergence to travelling waves”, Nonlinear Analysis, 17, 6, 519-546.
Ionkin N.I. ve Morozova V.A., (2000) “The two-dimensional heat equation with nonlocal
boundary conditions” Differential Equations, 36, 7, 982—987.
Karatopraklieva M.G., (1991) “On a nonlocal boundary value problem for an equation of mixed
type”, Differensial'nye Uravneniya, 27, 1, 68-79.
Krein S.G., (1966) Linear Differential Equations in a Banach Space, Nauka: Moscow.
Lagnese J., (1972) “Elliptic and parabolic boundary value problems of nonlocal type”, Journal of
Mathematical Analysis and Applications, 40, 1, 183-201.
Martín-Vaquero J. ve Vigo-Aguiar J., (2009) “On the numerical solution of the heat conduction
equations subject to nonlocal conditions”, Applied Numerical Mathmatics, 59 2507-2514.
Nakhushev A.M., (1995) Equations of Mathematical Biology, Textbook for Universities,
Vysshaya Shkola: Moskow.
Pao C.V., (1995) “Dynamics of reaction-diffusion equations with nonlocal boundary conditions”,
Quart. Appl. Math., 53, 173-186.
Pao C.V., (2001) “Numerical solutions of reaction--diffusion equations with nonlocal boundary
conditions”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 136, 1-2, 227-243.
130
Salakhitdinov M.S., (1974) Equations of Mixed-Composite Type, Fan:Tashkent.
Sapagovas M.P., (2008) “On the stability of finite difference scheme for nonlocal parabolic
boundary value problems”, Lithuanian Math. J., 48, 3, 339-356.
Samarskii A.A. ve Bitsadze A.V., (1969) “Some Elementary Generalizations of Linear Elliptic
Boundary Value Problems, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 185, 4, 739-740.
Samarskii A.A. ve Nikolaev E.S., (1989) Numerical Methods for Grid Equations, vol. 2: Iterative
Methods, Birkhauser, Basel, Switzerland.
Shakhmurov V.B., (2006) “Maximal B-regular boundary value problems with parameters”,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 320, 1, 1-19.
Sobolevskii P.E., (1964) “Coerciveness inequalities for abstract parabolic equations”, Doklady
Akademii Nauk SSSR, 157, 1, 52-55.
Sobolevskii P.E., (1969) "On elliptic equations in a Banach space", Differensialnyye Uravneniya,
4, 7, 1346-1348.
Sobolevskii P.E., (1974) “On the stability and convergence of the Crank-Nicolson scheme
in:Variational-Difference Methods in Mathematical Physics, Vychisl.Tsentr Sibirsk. Otdel. Akad.
Nauk SSSR, Novosibirsk, 146-151.
Sobolevskii P.E., (1975) Difference Methods for the Approximate Solution of Differential
Equations, Voronezh State University Press, Voronezh.
Sobolevskii P.E., (1977) “The theory of semigroups and the stability of difference schemes”
in:Operator Theory in Function Spaces (Proc. School, Novosibirsk, 1975), Nauka, Sibirsk. Otdel.
Akad. Nauk SSSR, Novosibirsk, 304-337.
Vragov V.N., (1983) Boundary Value Problems for Nonclassical Equations of Mathematical
Physics, Textbook for Universities, NGU: Novosibirsk.
131
EKLER
EK 1
EK 2
Euler Rothe fark şeması (5.2)’nin uygulanması için yazılan Matlab Programı
Crank-Nicholson fark şeması (5.3)’ün uygulanması için yazılan Matlab Programı
132
EK 1 Euler Rothe fark şeması (5.2)’nin uygulanması için yazılan Matlab Programı
function [table,es,p]=rothermethod(N,M)
% first order accuracy rother method
% mixed type
close; close;
w=1
if nargin<1;
N=30 ; M=30 ;
end;
tau=1/N;
h=pi/M;
A=zeros(2*N+1,2*N+1,M-1);
for s=1:M-1;
for i=2:N+1;
A(i,i-1,s)=(1+s*h*w)/(h^2)+(1/(2*h));
end;
for i=N+2:2*N;
A(i,i,s)=(1+s*h*w)/(h^2)+(1/(2*h));
end;
A(2*N+1,N,s)=(1+s*h*w)/(h^2)+(1/(2*h));
end;A;
B=zeros(2*N+1,2*N+1,M-1);
for s=1:M-1;
B(1,1,s)=-1/2;
B(1,(N/2)+1,s)=-1/2;
B(1,2*N+1,s)=1;
for i=2:N+1;
B(i,i-1,s)=(-1/tau)-((2*(1+s*h*w))/(h^2));
B(i,i,s)=1/tau;
end;
for i=N+2:2*N;
B(i,i,s)=(-2/(tau^2))-((2*(1+s*h*w))/(h^2));
B(i,i+1,s)=1/(tau^2);
B(i,i-1,s)=1/(tau^2);
133
end;
B(2*N+1,N,s)=-((2*(1+s*h*w))/(h^2));
B(2*N+1,N+1,s)=-1/tau;
B(2*N+1,N+2,s)=1/tau;
end; B;
D=zeros(2*N+1,2*N+1,M-1);
for s=1:M-1;
for i=1:2*N+1;
D(i,i,s)=1;
end ;
end ; D;
C=zeros(2*N+1,2*N+1,M-1);
for s=1:M-1;
for i=2:N+1; C(i,i-1,s)=(1+s*h*w)/(h^2)-(1/(2*h));
end;
for i=N+2:2*N; C(i,i,s)=(1+s*h*w)/(h^2)-(1/(2*h));
end;
C(2*N+1,N,s)=(1+s*h*w)/(h^2)-(1/(2*h));
end; C;
%'fii(j) finding ' ;
for s=1:M-1;
x=s*h;
fii(1,s:s) =(exp(-1)-(1/2)*exp(1)-(1/2)*exp(1/2)+(7/4))*sin(x);
fii(2*N+1,s:s)=-sin(x)-sin(x)*x*w+cos(x)*w;
for k=2:N+1;
x=s*h;
t=(-N+k-1)*tau ;
fii( k,s:s ) =(-2*exp(-t)+1-t)*sin(x)+w*(exp(-t)+t)*(cos(x)-x*sin(x));
end;
for k=N+2:2*N;
x=s*h;
t=(-N+k-1)*tau+tau;
fii(k,s:s) = -t*sin(x)+w*(exp(-t)+t)*(cos(x)-x*sin(x));
end;
end;fii;
134
alpha(2*N+1,2*N+1,1:1)= 0 ;
betha(2*N+1,1:1) = 0 ;
for j=1:M-1;
alpha(:,:,j+1:j+1) =-inv(B(:,:,j:j)+C(:,:,j:j)*alpha(:,:,j:j))*A(:,:,j:j) ;
betha(:,j+1:j+1)
betha(:,j:j));
=inv(B(:,:,j:j)+C(:,:,j:j)*alpha(:,:,j:j))*(D(:,:,j:j)*(fii(:,j:j))-C(:,:,j:j)*
end;
U( 2*N+1,1,M:M ) = 0;
for z = M-1:-1:1 ;
U(:,:,z:z ) = alpha(:,:,z+1:z+1)* U(:,:,z+1:z+1) + betha(:,z+1:z+1);
end;
for z = 1:M;
p(:,z+1:z+1)=U(:,:,z:z);
end;
'EXACT SOLUTION OF THIS PDE' ;
for j=1:M+1;
for k=1:2*N+1;
t=(-N+k-1)*tau;
x=(j-1)*h; %exact solution on grid points,
es(k,j) = (exp(-t)+t)*sin(x);
end;
end;
'ERROR ANALYSIS' ;
maxes=max(max(es)) ;
maxapp=max(max(p)) ;
maxerror=max(max(abs(es-p)));
relativeerror=max(max((abs(es-p))))/max(max(abs(es)) );
cevap = [maxes,maxapp,maxerror,relativeerror]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
table=[es;p];table(1:2:end,:)=es; table(2:2:end,:)=p;
%%%%%%%%%%%%%%%GRAPH OF THE SOLUTION %%%%%%%%%%%%%%%
q=min(min(table));
w=max(max(table));
figure;
[xler,tler]=meshgrid(0:h:pi,-1:tau:1);
135
surf(xler,tler,es); xlabel('x axis');ylabel('t axis');
title('EXACT SOLUTION'); set(gca,'ZLim',[q w]);rotate3d;
figure;
surf(xler,tler,p); XLabel('x axis');YLabel('t axis');
title('EULER-ROTHE'); rotate3d ;set(gca,'ZLim',[q w]);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
EK 2 Crank-Nicholson fark şeması (5.3)’ün uygulanması için yazılan Matlab Programı
function [table,es,p]=rothermethod(N,M)
% second order accuracy rother method
% mixed type
close; close;
if nargin<1;
N=30 ;
M=30 ;
end;
tau=1/N;
h=pi/M;
w=1
A=zeros(2*N+1,2*N+1,M-1);
for s=1:M-1;
for i=2:N+1;
A(i,i-1,s)=((1+s*h*w)/(2*h^2))+(1/(4*h));
A(i,i,s)=((1+s*h*w)/(2*h^2))+(1/(4*h));
end;
for i=N+2:2*N;
A(i,i,s)=((1+s*h*w)/(h^2))+(1/(2*h));
end;
end;
B=zeros(2*N+1,2*N+1,M-1);
for s=1:M-1;
B(1,1,s)=-1/2;
B(1,N/2+1,s)=-1/2;
B(1,2*N+1,s)=1;
136
for i=2:N+1;
B(i,i-1,s)=(-1/tau)-((1+s*h*w)/(h^2));
B(i,i,s)=(1/tau)-((1+s*h*w)/(h^2));
end;
for i=N+2:2*N;
B(i,i,s)=(-2/(tau^2))-((2*(1+s*h*w))/(h^2));
B(i,i+1,s)=1/(tau^2);
B(i,i-1,s)=1/(tau^2);
end;
B(2*N+1,N-1,s)=1;
B(2*N+1,N,s)=-4;
B(2*N+1,N+1,s)=6;
B(2*N+1,N+2,s)=-4;
B(2*N+1,N+3,s)=1;
end;
D=zeros(2*N+1,2*N+1,M-1);
for s=1:M-1;
for i=1:2*N+1;
D(i,i,s)=1;
end ;
end ;
C=zeros(2*N+1,2*N+1,M-1);
for s=1:M-1;
for i=2:N+1;
C(i,i-1,s)=((1+s*h*w)/(2*h^2))-(1/(4*h));
C(i,i,s)=((1+s*h*w)/(2*h^2))-(1/(4*h));
end;
for i=N+2:2*N;
C(i,i,s)=((1+s*h*w)/(h^2))-(1/(2*h));
end;
end;
%'fii(j) finding ' ;
for s=1:M-1;
fii(1,s:s) =(exp(-1)-(1/2)*exp(1)-(1/2)*exp(1/2)+(7/4))*sin(s*h);
fii(2*N+1,s:s)=0;
137
for k=2:N+1;
t=(-N+k-1)*tau-(tau/2);
fii(k,s:s )=(-2*exp(-t)+1-t)*sin(s*h)+w*(exp(-t)+t)*(cos(s*h)-(s*h)*sin(s*h));
end;
for k=N+2:2*N;
t=(-N+k-1)*tau;
fii(k,s:s)=(-t)*sin(s*h)+w*(exp(-t)+t)*(cos(s*h)-(s*h)*sin(s*h));
end;
end;
alpha(2*N+1,2*N+1,1:1)= 0 ;
betha(2*N+1,1:1) = 0 ;
for j=1:M-1;
alpha(:,:,j+1:j+1)=-inv(B(:,:,j:j)+C(:,:,j:j)*alpha(:,:,j:j))*A(:,:,j:j) ;
betha(:,j+1:j+1)=inv(B(:,:,j:j)+C(:,:,j:j)*alpha(:,:,j:j))*(D(:,:,j:j)*(fii(:,j:j))(C(:,:,j:j)*betha(:,j:j) ));
end;
U( 2*N+1,1, M:M ) = 0;
for z = M-1:-1:1 ;
U(:,:,z:z ) = alpha(:,:,z+1:z+1)* U(:,:,z+1:z+1) + betha(:,z+1:z+1);
end;
for z = 1:M;
p(:,z+1:z+1)=U(:,:,z:z);
end;
'EXACT SOLUTION OF THIS PDE' ;
for j=1:M+1;
for k=1:2*N+1;
t=(-N+k-1)*tau;
x=(j-1)*h; %exact solution on grid points,
es(k,j) = (exp(-t)+t)*sin(x);
end;
end;
'ERROR ANALYSIS' ;
maxes=max(max(es)) ;
maxapp=max(max(p)) ;
maxerror=max(max(abs(es-p)));
138
relativeerror=max(max((abs(es-p))))/max(max(abs(es)) );
cevap = [maxes,maxapp,maxerror,relativeerror]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
table=[es;p];table(1:2:end,:)=es; table(2:2:end,:)=p;
%%%%%%%%%%%%%%GRAPH OF THE SOLUTION %%%%%%%%%%%%%%%
q=min(min(table));
w=max(max(table));
figure;
[xler,tler]=meshgrid(0:h:pi,-1:tau:1);
surf(xler,tler,es); xlabel('x axis');ylabel('t axis');
title('EXACT SOLUTION'); set(gca,'ZLim',[q w]);rotate3d;
figure;
surf(xler,tler,p); XLabel('x axis');YLabel('t axis');
title('CRANK-NICHOLSON'); rotate3d ;set(gca,'ZLim',[q w]);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
139
ÖZGEÇMĐŞ
Doğum tarihi
11.06.1972
Doğum yeri
Çorum
Lise
1987-1990
Ankara Fen Lisesi
Lisans
1990-1997
Boğaziçi Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümü
Yüksek Lisans
2004-2006
Fatih Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Doktora
2007-2010
Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı, Matematik Programı
Çalıştığı kurum(lar)
1999-2000
Florya Yeni Dünya Koleji Matematik Öğretmeni
2000-2003
Florya Anafen Dershanesi Matematik Öğretmeni
2003-2005
Fatih Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
2005-Devam ediyor Fatih Üniversitesi Meslek Yüksek Okulu Đşletme
Yönetimi Bölümü Öğretim Görevlisi