kenl fonks yonların ntegral hesabı

TEK DE‡“KENL
FONKSYONLARIN NTEGRAL
HESABI
...
...
...
...
1
NTEGRALN TANIMI
Bu bölümde reel saylarn sonlu bir
olmak üzere
[a, b]
n+1
aral§nda tanml fonksiyonlar ele alaca§z.
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
(1)
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xn−1 , xn ]
(2)
aral§nn
alt aralklarndan olu³an kümeye
herhangi
[a, b]
[a, b] aral§nn bir parçalanmas denir. (1) e³itsizli§ini sa§layan
[a, b] aral§nn bir P parçalanmasn tanmlar
tane noktadan olu³an her küme,
ve bu parçalanma
P = {x0 , x1 , . . . , xn }
³eklinde gösterilir.
P
x0 , x1 , . . . , xn
noktalarna
P
parçalanmasnn parçalanma noktalar denir.
parçalanmasnn (2) biçimindeki alt aralklarndan uzunlu§u en büyük olannn uzunlu§una
parçalanmasnn normu denir ve
||P ||
ile gösterilir. Yani
P
P
parçalanmasnn normu
||P || := max (xi − xi−1 )
1≤i≤n
P 0 , [a, b] aral§nn iki parçalanmas olsun. P parçalanmasnn her noktas
0
ayn zamanda P parçalanmasnn da bir noktas ise, yani P parçalanmasna ek noktalar ilave
0
0
edilerek P parçalanmas elde edilebiliyorsa, P parçalanmas P parçalanmasndan daha incedir
0
denir ve P ⊂ P ile gösterilir.
f fonksiyonu [a, b] aral§nda tanml olsun. Bu durumda
olarak tanmlanr.
P
ve
xj−1 ≤ cj ≤ xj ,
olmak üzere
S(f, P ) :=
n
X
1≤j≤n
f (cj )(xj − xj−1 )
j=1
toplamna
denir.
cj
f
P = {x0 , x1 , . . . , xn } parçalanmasn üzerinden bir Riemann toplam
[xj−1 , xj ] aralklarndan key olarak seçilebilece§inden, verilen bir f fonksiyobir P parçalanmas üzerinden sonsuz çoklukta Riemann toplam vardr.
fonksiyonunun
saylar
nunun verilen
1
Tanm 1 (Riemann ntegrali)
sa§lanacak ³ekilde bir
I
f
fonksiyonu
says varsa,
f
[a, b] aral§nda tanml olsun. A³a§daki ko³ul
[a, b] aral§nda Riemann anlamnda integral-
fonksiyonu
lenebilirdir, ya da ksaca integrallenebilirdir denir:
Verilen her
>0
[a, b]
says için,
S(f, P )
üzerinden alnan her
aral§nn
||P || < δ
ko³ulunu sa§layan her
P
parçalanmas
Riemann toplam için
|S(f, P ) − I| < ko³ulu sa§lanacak ³ekilde bir
Bu durumda
rali )
I
f
δ > 0 says vardr.
[a, b] aral§ üzerinden
fonksiyonunun
Riemann integrali (ya da ksaca integ-
dr denir ve
b
Z
f (x)dx = I
(3)
a
ile gösterilir.
Bu tanma göre
f
fonksiyonunun
[a, b]
aral§ üzerinden tüm
P
parçalanmalar ve bu parça-
lanmalar üzerinden tüm Riemann toplamlar için
lim S(f, P ) = I < ∞
||P ||→0
olacak ³ekilde bir
I
says varsa
f
fonksiyonu bu aralkta integrallenebilirdir ve
Rb
a
f (x)dx = I
dr.
(3) ifadesinde
de§i³keni,
f (x)
terimine integrand,
a, b saylarna integral
dx
R
snrlar ve
terimine integral eleman,
x
terimine integrasyon
simgesine de integral simgesi denir. Bu
R
simgesi,
frenk dillerinde toplam anlamna gelen sum ve somme gibi kelimelerin ba³ har olan S harnden
türetilmi³tir.
f fonksiyonu bir [a, b] aral§nda integrallenebiliyorsa, R2 düzleminde y = f (x) e§risi,
Rb
x-ekseni, x = a ve x = b do§rular ile snrlanan bölgenin alan A := a f (x)dx olarak tanmlanr.
Yani f fonksiyonu bu aralkta integrallenemez ise bu alan tanml de§ildir.
E§er
Bu metinde Riemann integrali d³nda integral tanmlar da verilecektir, fakat aksi belirtilmedikçe "integrallenebilir " kelimesi "Riemann
anlamnda integrallenebilir "
anlamnda
kullanlacaktr.
Teorem 1
bir
f
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda integrallanebilir ise tek bir integral de§eri vardr. Yani
fonksiyonu için Tanm 1 de verilen ko³ullar sa§layan birden fazla
I
says var olamaz.
I1 ve I2 saylar Tanm 1 de verilen ko³ullar sa§lasn. Bu durumda > 0 verildi§inde, [a, b]
||P || < δ özelli§indeki her P parçalanmas üzerinden herhangi bir S(f, P ) Riemann
toplam için |S(f, P ) − I1 | <
2 ve |S(f, P ) − I2 | < 2 olacak ³ekilde bir δ > 0 says vardr. Bu
spat
aral§nn
durumda
|I1 − I2 | = |I1 − S(f, P ) + S(f, P ) − I2 | ≤ |S(f, P ) − I1 | + |S(f, P ) − I2 | < olur ki bu da,
Örnek 1
saysnn key küçüklükte seçilebilmesinden dolay,
I1 = I2
anlamna gelir.
a ≤ x ≤ b için f (x) = 1 olarak tanmlanan f fonksiyonunu ele alalm. [a, b] aral§nn
P = {x0 , x1 , . . . , xn } parçalanmas üzerinden herhangi bir Riemann toplam için
herhangi bir
S(f, P ) =
n
X
f (cj )(xj − xj−1 ) =
j=1
n
X
(xj − xj−1 )
j=1
= x1 − x0 + x2 − x1 + . . . + xn − xn−1
= xn − x0
= b−a
2
> 0 says verildi§inde, f
S(f, P ) Riemann toplam için
olur. Dolaysyla, bir
üzerinden her
fonksiyonunun
[a, b] aral§nn her P
parçalanmas
|S(f, P ) − (b − a)| = 0 < f (x) = 1 fonksiyonu [a, b] aral§ üzerinde
Z b
Z b
Z b
f (x)dx =
1dx =
dx = b − a
ko³ulu sa§lanr. Sonuç olarak
a
olarak bulunur. Benzer yolla
a≤x≤b
c
a
integrallenebilirdir ve
a
bir sabit olmak üzere
Rb
a
cdx = c(b − a)
oldu§u da gösterilebilir.
f (x) = x fonksiyonunun [a, b] aral§nda integrallenebilir oldu§unu gösterip integral de§erini bulalm. [a, b] aral§nn herhangi bir P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}
parçalanmasn alalm. f fonksiyonunun bu parçalanma üzerinden herhangi bir Riemann toplam
Örnek 2
olmak üzere
S(f, P ) =
n
X
f (cj )(xj − xj−1 ) =
j=1
formuna sahiptir.
cj ∈ [xj−1 , xj ]
dj
cj (xj − xj−1 )
(4)
j=1
oldu§undan
xj − xj−1
||P ||
≤
2
2
|dj | ≤
özelli§indeki bir
n
X
says için
cj =
xj + xj−1
+ dj
2
yazlabilir. Bu da (4) ifadesinde kullanlrsa
n X
xj + xj−1
+ dj (xj − xj−1 )
S(f, P ) =
2
=
j=1
n
X
1
2
b2
=
(x2j − x2j−1 ) +
j=1
−
2
n
X
dj (xj − xj−1 )
j=1
a2
+
n
X
dj (xj − xj−1 )
j=1
e³itli§i elde edilir. Buradan da
n
2
2
X
S(f, P ) − b − a = dj (xj − xj−1 )
2
j=1
≤
n
X
|dj |(xj − xj−1 )
j=1
n
≤
||P || X
(xj − xj−1 )
2
=
||P ||
(b − a)
2
j=1
elde edilir. Sonuç olarak, bir
sa§layan her
P
> 0
verildi§inde,
parçalan³ üzerinden her
S(f, P )
f
fonksiyonunun
Riemann toplam için
2
2
S(f, P ) − b − a < 2 3
||P || < δ :=
2
b−a
ko³ulunu
e³itsizli§i sa§lanr. O halde Tanm 1 gere§i
lirdir ve
Z
f (x) = x
b
xdx =
a
[a, b]
fonksiyonu
aral§nda integrallenebi-
b2 − a2
2
olarak bulunur.
Örnek 3
a ≤ x ≤ b
f (x) = x2
olmak üzere
fonksiyonunun
[a, b]
aral§nda integrallenebilir
oldu§unu gösterip integral de§erini bulalm.
Önce
g(x) := x3
fonksiyonunu ele alalm. Diferensiyel hesabn ortalama de§er teoremine göre
g(xj ) − g(xj−1 )
= g 0 (dj )
xj − xj−1
e³itli§i sa§lanacak ³ekilde bir
dj ∈ (xj−1 , xj )
says vardr. Yani baz
dj ∈ (xj−1 , xj )
saylar için
x3j − x3j−1
= d2j (xj − xj−1 )
3
||P || < δ ko³ulunu sa§layan herhangi bir P = {a =
x0 , x1 , . . . , xn = b} parçalanmasn ele alalm. f fonksiyonunun bu parçalanma üzerinden herhangi
e³itli§i sa§lanr. “imdi
[a, b]
aral§nn
bir Riemann toplam
S(f, P ) =
n
X
f (cj )(xj − xj−1 ) =
j=1
Pn
3
3
d2j (xj − xj−1 ) = b −a
oldu§u
3
Pn j=1
2
− j=1 dj (xj − xj−1 ) terimi eklenirse
S(f, P ) −
b3 − a3
3
c2j (xj − xj−1 )
(5)
j=1
formundadr.
tarafna
n
X
n
X
=
göz önüne alnarak, (5) e³itli§inin her iki
c2j (xj − xj−1 ) −
j=1
n
X
d2j (xj − xj−1 )
j=1
n
X
=
(c2j − d2j )(xj − xj−1 )
j=1
e³itli§i elde edilir. Mutlak de§er alnarak
X
n
3
3
2
S(f, P ) − b − a ≤
cj − d2j (xj − xj−1 )
3 (6)
j=1
e³itsizli§i elde edilir. Di§er yandan,
2
cj − d2j = |cj − dj ||cj + dj | ≤ 2||P ||b
oldu§undan, (6) e³itsizli§inden
3 − a3 b
S(f, P ) −
≤ 2||P ||b(b − a)
3 e³itsizli§i elde edilir. Sonuç olarak, bir
2b(b−a)
ko³ulunu sa§layan her
P
>0
says verildi§inde,
f
toplam için
3
3
S(f, P ) − b − a < 3 4
||P || < δ :=
S(f, P ) Riemann
fonksiyonunun
parçalanmas üzerinden hesaplanacak olan her
e³itsizli§i sa§lanr. O halde Tanm 1 gere§i
lirdir ve
Z
f (x) = x2
b
x2 dx =
a
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda integrallenebi-
b3 − a3
3
olarak bulunur. Benzer yöntem ile
Z
b
xn dx =
a
bn+1 − an+1
n+1
oldu§u da gösterilebilir.
Örnek 4
1≤x≤6
olmak üzere
f (x) :=
[1, 6] aral§nda integrallenebilir oldu§unu gösterip integral de§erini bulalm. [1, 6] aral§nn ||P || < δ ko³ulunu sa§layan herhangi bir P = {1 =
x0 , x1 , . . . , xn = 6} parçalanmasn ele alalm. P parçalanmasn, biri [1, 4) di§eri de [4, 6] aral§nn parçalanmas olacak ³ekilde iki ayr P1 ve P2 parçalanmasna ayrmak istiyoruz. lk aralk
yar açk oldu§undan x = 4 noktas bir parçalanma noktas de§ildir ve iki durum söz konusudur.
Birinci durumda P parçalanmas x = 4 noktasndan hemen önceki nokta olan xk ≥ 4−δ noktasndan ikiye ayrlm³tr. kinci durumda ise P parçalanmas x = 4 noktasndan hemen sonraki nokta
olan xk ≤ 4 + δ noktasndan ikiye ayrlm³tr. Her iki durumda da S(f, P ) = S(f, P1 ) + S(f, P2 )
olarak tanmlanan
f
x ∈ [1, 4)
x ∈ [4, 6]
4,
2,
fonksiyonunun
olaca§ açktr. “imdi iki durumu da ayr ayr inceleyelim.
Durum 1:
durumda
f
P1 = {x0 = 1, x1 , . . . , xk ≥ 4 − δ}
ve
P2 = {4 − δ ≤ xk , xk , . . . , xn }
olsun. Bu
fonksiyonunun bu parçalanmalar üzerinden herhangi Riemann toplamlar için
S(f, P1 ) =
k
X
k
X
f (cj )(xj − xj−1 ) = 4
(xj − xj−1 )
j=1
j=1
= 4(xk − x0 ) = 4(xk − 1)
≥ 4(3 − δ)
ve
S(f, P2 ) =
n
X
n
X
f (cj )(xj − xj−1 ) = 2
(xj − xj−1 )
j=k
j=k
= 2(xn − xk )
≤ 2 (6 − (4 − δ))
= 2(2 + δ)
olur.
Durum 2:
durumda da
P1 = {x0 = 1, x2 , . . . , xk ≤ 4 + δ}
benzer ³ekilde, f fonksiyonunun bu
ve
P2 = {4 + δ ≥ xk , xk , . . . , xn }
parçalanmalar üzerinden herhangi Riemann
toplamlar için
S(f, P1 ) =
k
X
k
X
f (cj )(xj − xj−1 ) = 4
(xj − xj−1 )
j=1
j=1
= 4(xk − x0 )
≤ 4 ((4 + δ) − 1)
= 4(3 + δ)
5
olsun. Bu
ve
S(f, P2 ) =
n
X
f (cj )(xj − xj−1 ) = 2
j=k
n
X
(xj − xj−1 )
j=k
= 2(xn − xk )
≥ 2 (6 − (4 + δ))
= 2(2 − δ)
elde edilir.
Böylece, her iki durumda da
4(3 − δ) ≤ S(f, P1 ) ≤ 4(3 + δ)
ve
2(2 − δ) ≤ S(f, P2 ) ≤ 2(2 + δ)
e³itsizlikleri sa§lanr. Bu e³itsizlikler taraf tarafa toplanrsa
16 − 6δ ≤ S(f, P ) ≤ 16 + 6δ
elde edilr ki bu da
|S(f, P ) − 16| < 6δ
e³itsizli§ine denktir. Sonuç olarak, bir
>0
says verildi§inde,
özelli§indeki her parçalanmas için herhangi bir
S(f, P )
[a, b]
haral§nn
||P || < δ := /6
Riemann toplam
|S(f, P ) − 16| < f
e³itsizli§ini sa§lar. O halde Tanm 1 gere§i
Z
fonksiyonu
[1, 6]
aral§nda integrallenebilirdir ve
6
f (x)dx = 16
1
olarak bulunur.
Örnek 5
A := {0, 1, 2, 3, 4, 5}
olmak üzere
f (x) :=
x ∈ [0, 5] − A
x∈A
3,
0,
fonksiyonunu ele alalm. Örnek 4 de kullanlan yöntem ile
[0, 5]
aral§nn
||P || < δ
ko³ulunu
P = {0 = x0 , x1 , . . . , xn = 5} parçalanmas be³ ayrk parçalanmaya
> 0 says için δ = /30 seçimiyle tüm S(f, P ) Riemann toplamlarnn
sa§layan herhangi bir
bölünürse, verilen
|S(f, P ) − 15| < e³itsizli§ini sa§layaca§ gösterilebilir. O halde Tanm 1 e göre
f
fonksiyonu
[0, 5]
aral§nda in-
tegrallenebilirdir ve
Z
5
f (x)dx = 15
0
dr.
Örnek 4 ve Örnek 5 te görülen durumlarn genelle³tirilmesi de do§rudur. Bu örneklerde
kullanlan argümanlar ile a³a§daki sonuç ispatlanabilir.
6
Teorem 2
f
fonksiyonu
[a, b] aral§nda integrallenebilir olsun. E§er bir g fonksiyonu bu aral§n
f fonksiyonu ile ayn de§erleri alyorsa, bu
sonlu sayda noktalar hariç di§er tüm noktalarda
durumda
g
fonksiyonu da bu aralkta integrallenebilirdir ve
Z
b
Z
b
g(x)dx
f (x)dx =
a
a
dir.
Buraya kadar ele ald§mz örneklerde Riemann integralinin tanmn kullanlarak baz fonksiyonlarn integrallenebildi§ini gösterilip integral de§erini bulundu. Ele alnan örneklerde verilen
f
fonksiyonlar için bu i³lem zor de§ildi, fakat genellikle bir
f
fonksiyonunun bu yolla integral
de§erinin tespiti oldukça zahmetlidir. A³a§daki teorem, integrallenebildi§i bilinen fonksiyonlarn
integral de§erlerinin bulunmas için kullan³l bir yöntem göstermektedir.
Teorem 3
ve
δ > 0
f
[a, b] aral§nda integrallenebilir olsun. Bu durumda verilen her > 0
[a, b] aral§nn ||P || < δ ko³ulunu sa§layan bir P parçalanmas ve bu
bir S(f, P ) Rieman toplam için,
fonksiyonu
saylar için,
parçalanma üzerinden
|S(f, P ) − A| < e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
A
says vardr ve
Z
b
f (x)dx = A
a
e³itli§i sa§lanr.
> 0 verilsin. f fonksiyonu [a, b] aral§nda integrallenebilir oldu§undan, [a, b] aral§||P || < δ ko³ulunu sa§layan herhangi P parçalan³ üzerinden alnan herhangi bir S(f, P )
spat
nn
Riemann toplam
Z b
<
S(f, P ) −
f
(x)dx
a
e³itsizli§ini sa§lar. Böylece bu
A| < özelli§ine sahip bir
A
P
parçalanmas ve herhangi bir Riemann toplam için
|S(f, P ) −
says vardr ve bu durumda
Z b
Z b
A −
f (x)dx = A − S(f, P ) + S(f, P ) −
f (x)dx
a
a
Z b
≤ |A − S(f, P )| + S(f, P ) −
f (x)dx
a
< 2
e³itsizli§i sa§lanr.
says key küçüklükte seçilebilece§i için
Z
b
f (x)dx = A
a
elde edilmi³ olur.
f fonksiyonunun [a, b] aral§nda integrallenebildi§i
S(f, P ) Riemann toplam için
Z b
f (x)dx = lim S(f, P )
Teorem 3 e göre,
de§eri herhangi bir
a
e³itli§i ile bulunur. Yani
cj
||P || → 0
biliniyorsa, bu integral
(7)
||P ||→0
ko³ulu sa§land§ sürece
S(f, P )
Riemann toplamnda
saylarnn seçiminin önemi yoktur, bu saylarn her seçimi için (7) e³itli§i geçerlidir.
7
xj
ve
Örnek 6
f (x) = sin x fonksiyonu [0, b] aral§nda integrallenebilirdir, o halde
Rb
0
sin xdx de§erini
bulalm. Bunun için
cos ((α − 1)β) − cos ((α + 1)β) = 2 sin β sin(αβ)
e³itli§inden faydalanaca§z.
[0, b]
aral§nn
alnr ve bu parçalanma üzerinden
cj = xj−1
n
X
S(f, P ) =
P = {xj : xj =
jb
n,
(8)
0 ≤ j ≤ n}
parçalanmas ele
seçilirse Riemann toplam
f (cj )(xj − xj−1 ) =
j=1
n
X
n
X
sin cj (xj − xj−1 )
j=1
jb (j − 1)b
b
−
=
sin (j − 1)
n
n
n
j=1
n
bX
b
=
sin (j − 1)
n
n
j=2
³eklinde olur. Bu son toplam ifadesinde (8) e³itli§i kullanlrsa
n
S(f, P ) =
=
=
=
e³itli§ine varlr.
b
b
cos (j − 2)
− cos j
b
n
n
n
j=2
n X
1 nb
b
b
cos (j − 2)
− cos j
b
2 sin n
n
n
j=2
1 nb
2b
b
3b
(n − 2)b
cos 0 − cos
+ cos − cos
+ . . . + cos
− cos b
2 sin nb
n
n
n
n
1 nb
b
(n − 1)b
1 + cos − cos
− cos b
2 sin nb
n
n
1
bX
n
2 sin
lim S(f, P ) = 1 − cos b
n→∞
oldu§undan, Teorem 3 gere§i
b
Z
sin xdx = 1 − cos b
a
olarak elde edilmi³ olur. Benzer ³ekilde
faydalanlarak
Rb
0
cos xdx = sin b
sin((α+1)β)−sin((α−1)β) = 2 sin β cos(αβ) e³itli§inden
oldu§u da gösterilebilir.
f (x) = ex fonksiyonunun [a, b]
[a, b] aral§nn
Örnek 7
bulalm.
aral§nda integrallenebilirdir, o halde
b−a
, 0 ≤ j ≤ n}
n
üzerinden cj = xj−1 seçilirse
Rb
a
ex dx
de§erini
P = {xj : xj = a + j
parçalanmas ele alnr ve bu parçalanma
S(f, P ) =
=
n
X
j=1
n
X
f (cj )(xj − xj−1 ) =
ecj (xj − xj−1 )
j=1
ea+(j−1)
b−a
n
a+j
j=1
n
=
n
X
Riemann toplam
b−a
b−a
− a − (j − 1)
n
n
b − a a X a+(j−1) b−a
n
e
e
n
j=1
b − a a 1 − e(b−a)
e
b−a
n
1−e n
b−a
=
eb − ea b−an
e n −1
=
8
³eklinde olur (
Pn−1
k=0
rk =
1−rn
1−r
e³itli§i kullanld).
lim S(f, P ) = eb − ea
n→∞
oldu§undan, Teorem 3
gere§i
Z
b
ex dx = eb − ea
a
olarak elde edilmi³ olur.
Teorem 4 E§er
spat
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda integrallenebilirse bu aralkta snrldr.
f fonksiyonu snrl olmasn. Bu durumda, ci saylar [xi−1 , xi ]
M > 0 olmak üzere, baz c ∈ [xi−1 , xi ] saylar için
Kabul edelim ki
dan seçilmi³ saylar ve
|f (c) − f (ci )| ≥
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
i ∈ {1, 2, . . . , n}
says yoksa, her
M
xi − xi−1
(9)
i ∈ {1, 2, . . . , n} says var olmaldr. Çünkü,
x ∈ [xi−1 , xi ] ve j ∈ {1, 2, . . . , n} saylar için
|f (x) − f (cj )| <
aral§n-
e§er böyle bir
M
xj − xj−1
olurdu. Bu durumda ise
|f (x)| = |f (x) + f (cj ) − f (cj )|
≤ |f (cj )| + |f (x) − f (cj )|
M
≤ |f (cj )| +
xj − xj−1
elde edilir ki bu da
[a, b]
aral§nn
f fonksiyonunun snrl olmad§ kabulüyle çeli³ir.
P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} parçalanmas üzerinden
n
X
bir Riemann toplam
f (cj )(xj − xj−1 )
j=1
³eklindedir.
c
says (9) ko³ulunu sa§layan bir say ve
c0j :=
olarak tanmlanmak üzere
0
S (f, P ) =
j=
6 i
j=i
cj ,
c,
n
X
f (c0j )(xj − xj−1 )
j=1
Riemann toplam için
|S(f, P ) − S 0 (f, P )| = |f (c) − f (ci )|(xj − xj−1 ) ≥ M
e³itsizli§i sa§lanr.
aral§nn her
P
Rb
a
f (x)dx
integralinin var olabilmesi için, verilen her
S(f, P ) Riemann
Z b
S(f, P ) −
f (x)dx <
2
a
parçalan³ üzerinden alnan her
olacak ³ekilde bir
δ>0
>0
says için,
says var olmaldr. Buradan hareketle, herhangi bir
S(f, P )
toplam için
Z b
Z b
0
S(f, P ) − S 0 (f, P ) = S(f, P ) −
f (x)dx +
f (x)dx − S (f, P )
a
a
Z b
Z b
0
≤ S(f, P ) −
f (x)dx + S (f, P ) −
f (x)dx
a
< 9
[a, b]
toplam için
a
Riemann
|S(f, P ) − S 0 (f, P )| > M olacak ³ekilde iki Riemann toplamnn
Tanm 1 gere§i f fonksiyonu [a, b] aral§nda integrallenemez.
olmaldr. Fakat
bilindi§i için
var oldu§u
Teorem 4 ten dolay bundan sonra sadece snrl fonksiyonlar ele alaca§z.
Tanm 2 (Üst ve Alt ntegraller)
x0 , x1 , . . . , xn = b}
de
[a, b]
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda snrl olsun.
P = {a =
aral§nn herhangi bir parçalanmas olsun.
Mj :=
sup
f (x)
ve
mj :=
xj−1 ≤x≤xj
inf
xj−1 ≤x≤xj
f (x)
olarak tanmlansn. Bu durumda
n
X
U (f, P ) :=
Mj (xj − xj−1 )
j=1
olarak tanmlanan toplama,
fonksiyonunun
[a, b]
f
P
fonksiyonunun
parçalanmas üzerinden üst toplam denir.
aral§ndaki tüm üst toplamlarnn inmumuna da
f
f
fonksiyonunun bu ara-
lktaki üst integrali denir ve
b
Z
f (x)dx
a
ile gösterilir. Benzer ³ekilde
f
P
fonksiyonunun
n
X
L(f, P ) :=
parçalanmas üzerinden alt toplam
mj (xj − xj−1 )
j=1
olarak,
f
[a, b]
fonksiyonunun
aral§ndaki alt integrali de bu aralktaki tüm alt toplamlarnn
supremumu olarak tanmlanr ve
b
Z
f (x)dx
a
ile gösterilir.
E§er her
x ∈ [a, b]
için
m ≤ f (x) ≤ M
ise,
[a, b]
aral§nn her
P
parçalanmas için
m(b − a) ≤ L(f, P ) ≤ U (f, P ) ≤ M (b − a)
e³itsizli§i sa§lanr. Yani
f
fonksiyonunun bu aralktaki tüm üst toplamlarnn kümesi alttan ve
üstten snrldr, alt toplamlarnn kümesi de bu özelli§e sahiptir. Reel saylar kümesinin bo³tan
farkl, üstten ve alttan snrl her alt kümesinin supremumu ve inmumu var ve tek oldu§undan
ve
Rb
a f (x)dx
Rb
a f (x)dx
üst ve alt integralleri vardr, tektir ve
b
Z
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
b
Z
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
e³itsizliklerini sa§lar.
Teorem 5
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda snrl olsun ve
P
de
[a, b]
aral§nn bir parçalanmas
olsun. Bu durumda
(a)
U (f, P )
üst toplam,
f
fonksiyonunun
P
parçalanmas üzerinden alnan tüm Riemann top-
lamlarnn supremumudur,
10
(b)
L(f, P )
alt toplam,
f
fonksiyonunun
P
parçalanmas üzerinden alnan tüm Riemann top-
lamlarnn inmumudur.
spat
(a) önermesini ispat edelim, benzer ³ekilde ispat edilebilecek olan (b) önermesinin ispat
okuyucuya braklm³tr.
[a, b]
aral§nn herhangi bir parçalanmas
supxj−1 ≤x≤xj f (x)
olmak üzere
f
P = {x0 , x1 , . . . , xn }
fonksiyonunun üst toplam
n
P
U (f, P ) =
Mj :=
Mj (xj − xj−1 )
ve bu
j=1
parçalanma üzerinden herhangi bir Riemann toplam da
n
P
olsun. Bu durumda
f (cj )(xj − xj−1 )
³eklindedir. Her
j ∈ {1, 2, . . . , n}
xj−1 ≤ cj ≤ xj
için
f (cj ) ≤ Mj
olmak üzere
S(f, P ) =
oldu§undan
S(f, P ) ≤
j=1
U (f, P )
oldu§u açktr. “imdi
>0
olsun ve
f (cj ) > Mj −
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
,
n(xj − xj−1 )
1≤j≤n
cj ∈ [xj−1 , xj ] says seçilsin. Bu cj
saylar ile elde edilen
S(f, P )
Riemann toplam için
S(f, P ) =
>
n
X
f (cj )(xj − xj−1 )
j=1
n X
j=1
Mj −
(xj − xj−1 )
n(xj − xj−1 )
= U (f, P ) − elde edilir. Böylece,
says istenildi§i kadar küçük seçilebilece§inden dolay,
üzerinden alnan tüm Riemann toplamlarnn supremumu
U (f, P )
P
olur.
parçalanmas
1 ≤ x ≤ 2 olmak üzere f (x) = x fonksiyonunu tekrar ele alalm. [1, 2] aral§nn
herhangi bir P = {1 = x0 , x1 , . . . , xn = 2} parçalanmas için, f artan bir fonksiyon oldu§undan,
Mj = f (xj ) = xj ve mj = f (xj−1 ) = xj−1 olur. Böylece üst ve alt toplamlar srasyla
Örnek 8
U (f, P ) =
n
X
xj (xj − xj−1 )
(10)
xj−1 (xj − xj−1 )
(11)
j=1
ve
L(f, P ) =
n
X
j=1
olarak elde edilir.
xj =
xj + xj−1 xj − xj−1
+
2
2
e³itli§i (10) e³itli§inde kullanlrsa
n
U (f, P ) =
n
1X
1X 2
xj − x2j−1 +
(xj − xj−1 )2
2
2
j=1
=
j=1
1 2
1
(2 − 12 ) +
2
2
n
X
(xj − xj−1 )2
j=1
e³itli§i elde edilir. Di§er yandan
0<
n
X
j=1
(xj − xj−1 )2 ≤ ||P ||
n
X
(xj − xj−1 ) = ||P ||(2 − 1) = ||P ||
j=1
11
(12)
oldu§u göz önüne alnrsa, (12) e³itli§inden
3
3 ||P ||
< U (f, P ) ≤ +
2
2
2
e³itsizli§ine varlr.
||P ||
says istenildi§i kadar küçük seçilebildi§i için Tanm 2 gere§i
2
Z
xdx =
1
3
2
olarak bulunur. (11) e³itli§inden hareketle, benzer i³lemlerle
3 ||P ||
3
−
≤ L(f, P ) <
2
2
2
oldu§u, dolaysyla
2
Z
xdx =
1
3
2
oldu§u da gösterilebilir.
Örnek 9
olarak tanmlanan fonksiyonu ele alalm.
x 6∈ Q
x∈Q
0,
1,
f (x) :=
[a, b] aral§nn herhangi bir parçalanmas P = {x0 , x1 , . . . , xn }
olsun. Rasyonel saylar ve irrasyonel saylar kümeleri reel saylar kümesinde yo§un kümelerdir,
yani herhangi iki reel say arasnda hem rasyonel hem de irrasyonel saylar vardr. Dolaysyla her
j ∈ {1, 2, . . . , n} says
ve L(f, P ) = 0 olur. O
için
Mj = 1
ve
mj = 0
olup tüm
P
parçalanmalar için
U (f, P ) = b − a
halde Tanm 2 gere§i
b
Z
b
Z
f (x)dx = b − a
f (x)dx = 0
ve
a
a
olarak bulunur.
Örnek 10
1≤x≤2
için
f (x) =
x 6∈ Q
x = pq ve (p, q) = 1.
0,
1
q,
f fonksiyonunu ele alalm. [1, 2] aral§nn herhangi bir parçalanmas P =
{1 = x0 , x1 , . . . , xn = 2} ise 1 ≤ j ≤ n için mj = 0 oldu§undan L(f, P ) = 0 oldu§u açktr.
olarak tanmlanan
Böylece
2
Z
f (x)dx = 0
1
elde edilir. Ayrca
[1, 2]
aral§nn her
P
parçalanmas için
U (f, P ) > 0
oldu§undan
b
Z
f (x)dx ≥ 0
(13)
a
oldu§u açktr. Di§er yandan bir
x ∈ [1, 2]
∈ (0, 2)
says için
de§eri için sa§lanr. Bu noktalarn saysna
||P0 || ≤
k
f (x) ≥
Mj ≥
2
e³itsizli§i sadece sonlu sayda
diyelim. Ayrca
P0
ile de
[1, 2]
aral§nn
2k
özelli§ine sahip bir parçalanmasn gösterelim. Bu durumda
tane terimi için
2
(14)
U (f, P0 )
12
k
Mj ≤ 1
üst toplamnn en fazla
e³itsizli§i sa§lanr ve bu terimler de dahil tüm terimler için
e³itsizli§i geçerlidir. (14) e³itsizli§inden dolay bu
Di§er terimler için
Mj <
2
k
tane terimin toplam en fazla
k 2k
=
2
olur.
oldu§undan bu terimlerin toplam için de
n
X
(xj − xj−1 ) = (2 − 1) =
2
2
2
j=1
e³itsizli§i sa§lanr. Böylece
U (f, P0 ) < olur ki bu da
Z
2
f (x)dx ≤ 0
(15)
1
anlamna gelir. Sonuç olarak (13) ve (15) e³itsizliklerinden
Z
2
f (x)dx = 0
1
elde edilmi³ olur.
[a, b]
Tanm 3 (Darboux ntegrali)
aral§nda tanml olan snrl bir
b
Z
f (x)dx = I
a
bilirdir denir. Bu
I
de§erine de
f
f
fonksiyonu için
b
Z
f (x)dx =
e³itli§i sa§lanyorsa bu durumda
f
a
fonksiyonu
[a, b] aral§nda Darboux anlamnda integrallene[a, b] aral§ndaki Darboux integrali denir.
fonksiyonunun
f fonksiyonunun (e§er varsa) Darboux integrali de, Riemann integralinde
f (x)dx olarak gösterilir. Fakat bu gösterim bir karga³aya yol açmaz, çünkü bir
Bir
Rb
a
oldu§u gibi
sonraki bö-
lümde gösterilece§i gibi, Tanm 1 ve Tanm 3 ile verilen Riemann ve Darboux anlamnda integral
tanmlar birbirine denk tanmlardr (Teorem 10). Dolaysyla snrl bir fonksiyonun integrali
ara³trlrken Tanm 1 ile verilen Riemann toplamlar veya Tanm 2 ile verilen üst ve alt toplamlar kullanlabilir, her iki durumda da ayn sonuca varlr.
Riemann integralinin en önemli genelle³tirmelerinden birisi Riemann-Stieltjes integralidir.
Tanm 4 (Riemann-Stieltjes ntegrali)
daki ko³ul sa§lanacak ³ekilde bir
I
f
says varsa,
fonksiyonu
f
[a, b] aral§nda tanml olsun. A³a§[a, b] aral§nda g fonksiyonuna göre
fonksiyonu
Riemann-Stieltjes anlamnda integrallenebilirdir denir:
Verilen her
>0
says için,
üzerinden
Bu durumda
I
aral§nn
||P || < δ
ko³ulunu sa§layan her
P
parçalanmas
X
n
f (cj ) [g(xj ) − g(xj−1 )] − I < j=1
ko³ulu sa§lanacak ³ekilde bir
integrali
[a, b]
f
δ > 0 says vardr.
[a, b] aral§ üzerinden g
fonksiyonunun
fonksiyonuna göre Riemann-Stieltjes
dr denir ve
Z
(RS)
b
f (x)dg(x) = I
a
ile gösterilir.
Teorem 6
c
Rb
g(x) := x + c olsun. Bu durumda (RS) a f (x)dg(x) integraRb
yeter ko³ul
a f (x)dx integralinin var olmasdr ve bu durumda
Z b
Z b
(RS)
f (x)dg(x) =
f (x)d(x)
bir sabit olmak üzere
linin var olmas için gerek ve
a
a
e³itli§i sa§lanr.
13
spat
[a, b]
aral§nn herhangi bir
n
X
P = {a = x0 , x1 , . . . , xn }
n
X
f (cj ) [g(xj ) − g(xj−1 )] =
j=1
j=1
n
X
=
parçalanmas için
f (cj )(xj + c − xj−1 + c)
f (cj )(xj − xj−1 )
j=1
oldu§undan
f
P
fonksiyonunun herhangi bir
parçalanmas üzerinden Riemann-Stieltjes ve Ri-
emann toplamlar çak³r, dolaysyla Tanm 1 ve Tanm 4 çak³r.
[a, b]
Tanm 5 (Darboux-Stieltjes ntegrali)
aral§nda tanml artan bir
g
fonksiyonu için,
Tanm 2 ile benzer ³ekilde
Ug (f, P ) :=
n
X
Mj (g(xj ) − g(xj−1 ))
j=1
olarak tanmlanan toplama,
f
fonksiyonunun
Darboux-Stieltjes üst toplam denir.
f
P
parçalanmas üzerinden
fonksiyonunun
Darboux-Stieltjes üst toplamlarnn inmumuna da
f
[a, b]
aral§ndaki
g
g
fonksiyonuna göre
fonksiyonuna göre tüm
fonksiyonunun bu aralktaki
g fonksiyonuna
göre Darboux-Stieltjes üst integrali denir ve
Z b
(DS) f (x)dg(x)
a
ile gösterilir. Ayrca
f
fonksiyonunun
P
parçalanmas üzerinden
Stieltjes alt toplam
n
X
Lg (f, P ) :=
g
fonksiyonuna göre Darboux-
mj (xj − xj−1 )
j=1
olarak,
f
fonksiyonunun
bu aralktaki
g
[a, b]
aral§ndaki
g
fonksiyonuna göre Darboux-Stieltjes alt integrali de
fonksiyonuna göre tüm Darboux-Stieltjes alt toplamlarnn supremumu olarak
tanmlanr ve
Z b
(DS) f (x)dg(x)
a
ile gösterilir.
[a, b]
aral§nda tanml olan snrl bir
f
fonksiyonu için
b
Z
(DS)
Z
a
e³itli§i sa§lanyorsa bu durumda
f (x)dg(x) = I
a
f
fonksiyonu
Stieltjes anlamnda integrallenebilirdir denir. Bu
g
b
f (x)dg(x) = (DS)
[a, b] aral§nda g fonksiyonuna göre DarbouxI de§erine de f fonksiyonunun [a, b] aral§ndaki
fonksiyonuna göre Darboux-Stieltjes integrali denir ve
Z
(DS)
b
f (x)dg(x) = I
a
olarak gösterilir.
Tanm 1 ve Tanm 3 ile verilen Riemann ve Darboux integralleri tanmlanrnn aksine, Tanm
4 ve Tanm 5 ile verilen Riemann-Stieltjes ve Darboux-Stieltjes integrali tanmlari birbirine denk
de§ildir. E§er
f
fonksiyonu, bir
g
fonksiyonuna göre hem Darboux-Stieltjes hem de Riemann-
Stieltjes anlamnda integrallenebilir ise bu iki integral de§eri çak³r, ayrca e§er
14
f
fonksiyonu
Riemann-Stieltjes anlamnda integrallenebilir ise Darboux-Stieltjes anlamnda da integrallenebilir oldu§u gösterilebilir. Fakat bir
g
fonksiyonuna göre bir
f
fonksiyonu Darboux-Stieltjes an-
lamnda integrallenebilir olup, Riemann-Stieltjes anlamnda integrallenebilir olmayabilir. Bu iki
integral tanm ancak
g
fonksiyonu üzerinde baz kstlamalar ile denk olabilir. Örne§in
g
fonk-
siyonu sürekli ise bu iki tanm denktir. Bu metinde sadece Riemann (dolaysyla ayn zamanda
Darboux) anlamnda integraller detayl olarak incelenecek olup di§er integral tanmlar kapsam
d³ tutulmu³tur.
2
NTAGRALN VARLI‡I
Lemma 1
a≤x≤b
için
|f (x)| ≤ M
(16)
[a, b] aral§nn bir P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} parçalanmasna r tane
[a, b] aral§nn ba³ka bir P 0 parçalanmas elde edilmi³ olsun. Bu durumda
olsun. Ayrca
eklenerek
ilave nokta
U (f, P ) ≥ U (f, P 0 ) ≥ U (f, P ) − 2M r||P ||
(17)
L(f, P ) ≤ L(f, P 0 ) ≤ L(f, P ) + 2M r||P ||
(18)
ve
e³itsizlikleri sa§lanr.
r = 1 kabul edelim, yani P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} parçalanmasna bir c noktas
P 0 parçalanmas elde edilmi³ olsun. Bu durumda bir i ∈ {1, 2, , . . . , n} says için
< c < xi olur ve U (f, P ) − U (f, P 0 ) farknda xi−1 den önceki ve xi den sonraki terimler
spat
Önce
ilave edilerek
xi−1
kaybolur.
Mi1 :=
sup
f (x)
ve
Mi2 := sup f (x)
xi−1 ≤x≤c
c≤x≤xi
olarak tanmlanrsa
U (f, P ) − U (f, P 0 ) = Mi (xi − xi−1 ) − Mi1 (c − xi−1 ) − Mi2 (xi − c)
= (Mi − Mi1 )(c − xi−1 ) + (Mi − Mi2 )(xi − c)
e³itli§i elde edilir. Ayrca (16) e³itsizli§inden dolay
r ∈ {1, 2}
(19)
için
0 ≤ Mi − Mir ≤ 2M
oldu§undan, (19) e³itli§inden
0 ≤ U (f, P ) − U (f, P 0 ) ≤ 2M ||P ||
e³itsizli§i elde edilir ki bu da
parçalanmasna
ve
j≥1
için de
r = 1
(20)
P
parçalanmas elde edilmi³ olsun. P0 := P
edilerek elde edilen parçalanma Pj olarak
için (17) e³itsizli§ine denktir. “imdi
r > 1
olsun, yani
P0
c1 , c2 , . . . , cr noktalar ilave edilerek
Pj−1 parçalanmasna cj noktas ilave
tanmlansn. Bu durumda
||P || = ||P0 || ≥ ||P1 || ≥ . . . ≥ ||Pj−1 ||
e³itsizli§i geçerlidir.
r=1
için elde edilen (20) e³itsizli§i kullanlarak
1≤j≤r
için
0 ≤ U (f, Pj−1 ) − U (f, Pj ) ≤ 2M ||Pj−1 ||
e³itsizli§i elde edilir. Böylece her bir
j ∈ {1, 2, . . . , r}
says için bu e³itsizlikler taraf tarafa
toplanrsa
U (f, P0 ) − U (f, Pr ) ≤ 2M (||P0 || + ||P1 || + · · · + ||Pr−1 ||) ≤ 2M r||P ||
e³itsizli§i elde edilir ki böylece (17) e³itsizli§i elde edilmi³ olur. Benzer yolla (18) e³itsizli§inin de
sa§land§ gösterilebilir.
15
0≤a<b
Örnek 11
olmak üzere
[a, b]
aral§nda tanmlanm³ olan
x∈Q
x 6∈ Q
x,
−x,
f (x) :=
fonksiyonunu ele alalm. Rasyonel ve irrasyonel saylar kümeleri
R
de yo§un olduklarndan her
reel aralkta hem rasyonel hem de irrasyonel saylar vardr. Buna göre
toplam
n
P
(−x)(xj − xj−1 )
f
fonksiyonunun her alt
³eklindedir. Bu da integrallenebilir oldu§unu bildi§imiz
g(x) := −x
j=1
fonksiyonu için bir Riemann toplamdr. Lemma 1 gere§i parçalanma inceldikçe alt toplamlar
artaca§ndan Tanm 1 ve Tanm 2 gere§i
b
Z
b
Z
(−x)dx = −
f (x)dx =
a
olur. Benzer ³ekilde
f
a
n
P
fonksiyonunun her üst toplam
b2 − a2
2
x(xj −xj−1 ) ³eklindedir. Bu da h(x) := x
j=1
fonksiyonu için bir Riemann toplam oldu§undan
Z
b
Z
b
xdx =
f (x)dx =
a
a
b2 − a2
2
olur.
Teorem 7
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda snrl ise bu durumda
Z
b
b
Z
f (x)dx ≤
f (x)dx
a
a
e³itsizli§i sa§lanr.
spat
P1
ve
P2 , [a, b]
aral§nn herhangi iki parçalanmas ve
P0
de
[a, b]
aral§nn bunlardan
daha ince bir parçalanmas olsun. Lemma 1 gere§i
L(f, P1 ) ≤ L(f, P 0 )
e³itsizlikleri sa§lanr. Ayrca
U (f, P 0 ) ≤ U (f, P2 )
ve
L(f, P 0 ) ≤ U (f, P 0 )
oldu§undan
L(f, P1 ) ≤ U (f, P2 )
e³itsizli§i elde
edilmi³ olur. Böylece her alt toplam, üst toplamlar kümesi için bir alt snr olur, bu kümenin
inmumu
Rb
a f (x)dx
oldu§undan,
[a, b]
aral§nn her
P1
parçalanmas için
b
Z
L(f, P1 ) ≤
f (x)dx
a
e³itsizli§i sa§lanr. Buradan da
Rb
a f (x)dx
üst integralinin, alt toplamlar kümesi için bir üst snr
oldu§u sonucu çkar, bu kümenin de supremumu
Z
b
Rb
a f (x)dx
Z
f (x)dx ≤
a
oldu§undan
b
f (x)dx
a
e³itsizli§i elde edilir ki istenendir.
Teorem 8
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda integrallenebilir ise bu durumda
Z
b
Z
f (x)dx =
a
b
Z
f (x)dx =
a
f (x)dx
a
e³itli§i sa§lanr.
16
b
spat
f
[a, b]
fonksiyonunun
Riemann toplam
Z
S(f, P )
b
Z
f (x)dx −
b
Z
parçalanmas üzerinden herhangi bir
!
b
f (x)dx − U (f, P )
f (x)dx =
a
a
P
aral§nn herhangi bir
olsun.
+ (U (f, P ) − S(f, P ))
a
Z b
f (x)dx
+
S(f, P ) −
a
oldu§undan
Z
Z
Z b
b
b
f (x)dx ≤ f (x)dx − U (f, P ) + | (U (f, P ) − S(f, P )|
f (x)dx −
a
a
a
Z b
f (x)dx
+ S(f, P ) −
(21)
a
e³itsizli§i sa§lanr.
>0
[a, b]
verilmi³ olsun, Tanm 2 gere§i
b
Z
aral§nn
b
Z
f (x)dx ≤ U (f, P0 ) <
f (x)dx +
a
a
3
(22)
P0 parçalanmas vardr. Ayrca Tanm 1 den dolay [a, b] aral§nn
her P parçalanmas için
Z b
S(f, P ) −
f (x)dx <
(23)
3
a
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
||P || < δ
ko³ulunu sa§layan
δ > 0 says vardr. “imdi P parçalanmas, [a, b] aral§nn ||P || <
δ özelli§ine sahip ve P0 dan daha ince olan bir parçalanmas olsun. Lemma 1 gere§i U (f, P ) ≤
U (f, P0 ) olup (22) e³itsizli§inden dolay
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
Z
b
Z
f (x)dx ≤ U (f, P ) <
a
b
f (x)dx +
a
3
e³itsizli§i sa§lanr. Buradan da
Z b
f (x)dx <
U (f, P ) −
3
a
(24)
e³itsizli§inin sa§land§ sonucu elde edilir. Böylece (21), (23) ve (24) e³itsizlikleri gere§i
Z
Z b
b
2
f (x)dx <
+ |U (f, P ) − S(f, P )|
f (x)dx −
a
3
a
(25)
e³itsizli§i sa§lanr. Ayrca Teorem 5 gere§i üst toplamn, tüm alt toplamlar kümesinin supremumu
oldu§undan
|U (f, P ) − S(f, P )| <
3
olacak ³ekilde bir Riemann toplam seçilebilir. Bu son e³itsizli§in (25) e³itsizli§inde kullanlmas
ile
elde edilir. Böylece,
Z
Z b
b
f (x)dx < f (x)dx −
a
a
says key küçüklükte seçilebilece§i için
Z
b
Z
f (x)dx =
a
f (x)dx
a
17
b
elde edilmi³ olur. Benzer ³ekilde
b
Z
Z
b
f (x)dx =
f (x)dx
a
a
e³itli§inin sa§land§ da gösterilebilir.
Lemma 2 E§er
δ
özelli§indeki
P
f
[a, b] aral§nda snrl ise, > 0 verildi§inde [a, b] aral§nn ||P || <
fonksiyonu
parçalanmalar için
b
Z
b
Z
f (x)dx ≤ U (f, P ) <
a
ve
b
Z
e³itsizlikleri sa§lanacak ³ekilde bir
[a, b]
Rb
f (x)dx − (27)
a
a
Tanm 2 gere§i
(26)
b
Z
f (x)dx ≥ L(f, P ) >
spat
f (x)dx + a
a f (x)dx
δ>0
says vardr.
≤ U (f, P )
oldu§u açktr.
|f (x)| ≤ K
olsun. Tanm 2 gere§i
aral§nn
b
Z
U (f, P0 ) <
f (x)dx +
a
2
(28)
P0 = {x0 , x1 , . . . , xr+1 } parçalanmas vardr. P ile [a, b] aral§nn
P 0 ile de P0 ve P parçalanmalarnn parçalanma noktalarndan
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
herhangi bir parçalanmasn,
olu³an
[a, b]
aral§nn ba³ka bir parçalanmasn gösterelim. Bu durumda Lemma 1 gere§i
U (f, P 0 ) ≥ U (f, P0 )
e³itli§i sa§lanr. Ayrca,
P0
parçalanmas
P
parçalanmasna en fazla
(29)
r
tane nokta eklenerek elde
edildi§inden, Lemma 1 gere§i
U (f, P 0 ) ≥ U (f, P ) − 2Kr||P ||
(30)
e³itsizli§i sa§lanr. Böylece (28), (29) ve (30) e³itsizlikleri kullanlarak
U (f, P ) ≤ U (f, P 0 ) + 2Kr||P || ≤ U (f, P0 ) + 2Kr||P ||
Z b
<
f (x)dx + + 2Kr||P ||
2
a
e³itsizli§i sa§lanr. Sonuç olarak, e§er
||P || < δ :=
4Kr
ise (26) e³itsizli§i sa§lanr. Benzer ³ekilde
(27) e³itsizli§inin sa§land§ da gösterilebilir.
Teorem 9 E§er
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda snrl ve
b
Z
Z
f (x)dx =
a
ise, bu durumda
f
fonksiyonu
[a, b]
b
f (x)dx = I
a
aral§nda integrallenebilirdir ve
Z
b
f (x)dx = I
a
dr.
18
(31)
spat
>0
Lemma 2 gere§i, e§er
[a, b]
ise,
aral§nn
||P || < δ
ko³ulunu sa§layan
P
parçalan-
malar için
Z
b
b
Z
f (x)dx − < L(f, P ) ≤ U (f, P ) <
a
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
bir
S(f, P )
f (x)dx
(32)
a
δ > 0 says vardr. f
fonksiyonunun
P
parçalanmas için herhangi
Riemann toplam için
L(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ U (f, P )
(33)
e³itsizli§i sa§land§ndan dolay (31), (32) ve (33) e³itsizliklerinden,
||P || < δ
iken
I − ≤ S(f, P ) ≤ I + e³itsizli§inin sa§lanaca§ çkar ki bu da
|S(f, P ) − I| ≤ e³itsizli§ine denktir. Sonuç olarak Tanm 1 gere§i
b
Z
f (x)dx = I
a
elde edilmi³ olur.
Teorem 8 ve 9 birle³tirilirse a³a§daki sonuç elde edilmi³ olur.
Teorem 10 Snrl bir
f
fonksiyonunun
[a, b]
aral§nda integrallenebilir olmas için gerek ve
yeter ko³ul
Z
b
b
Z
f (x)dx =
a
olmasdr ve bu durumda bu ortak de§er
f (x)dx
a
f
fonksiyonunun
[a, b]
aral§ndaki integral de§eridir.
Sradaki teorem, Teorem 10 un oldukça kullan³l bir sonucudur.
Teorem 11
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda snrl olsun. Bu durumda
integrallenebilir olmas için gerek ve yeter ko³ul, verilen her
>0
f
fonksiyonun bu aralkta
says için,
U (f, P ) − L(f, P ) < ko³ulu sa§lanacak ³ekilde bir
Rb
aral§nn
(34)
parçalanmasnn var olmasdr.
> 0 ise, [a, b] aral§nn ||P || < δ özelli§ine sahip her P
S(f, P ) Riemann toplam için |S(f, P ) − I| < 2 olacak ³ekilde,
yani I −
2 < S(f, P ) < I + 2 olacak ³ekilde bir δ > 0 says vardr. Teorem 5 gere§i tüm S(f, P )
de§erlerinin supremumu U (f, P ) ve inmumu L(f, P ) oldu§undan
spat
(⇒:)
P
[a, b]
a
f (x)dx = I
olsun.
parçalanmas ve herhangi bir
I−
< L(f, P ) ≤ U (f, P ) < I +
2
2
e³itsizli§i elde edilir. Dolaysyla
|L(f, P ) − I| <
2
ve
|U (f, P ) − I| <
2
e³itsizlikleri sa§lanr. Böylece
|U (f, P ) − L(f, P )| ≤ |U (f, P ) − I| + |L(f, P ) − I| < 19
e³itsizli§i elde edilir.
(⇐:)
[a, b]
aral§nn her
P
parçalanmas için, Tanm 2 ve Teorem 7 gere§i
b
Z
L(f, P ) ≤
b
Z
f (x)dx ≤ U (f, P )
f (x)dx ≤
a
a
e³itsizli§i sa§land§ndan (34) e³itsizli§i gere§i
b
Z
0 ≤ U (f, P ) − L(f, P ) = U (f, P ) −
f (x)dx − L(f, P )
f (x)dx +
a
Z
b
a
b
Z
f (x)dx −
+
b
Z
f (x)dx
a
a
< e³itsizli§i sa§lanr. Böylece
b
Z
f (x)dx −
0≤
f (x)dx < a
a
e³itsizli§i elde edilir ki,
b
Z
says istenildi§i kadar küçük seçilebilece§i için
Z
b
Z
f (x)dx =
a
b
f (x)dx
a
elde edilmi³ olur.
Sradaki iki teorem, Teorem 11 in iki önemli uygulamasdr.
Teorem 12
spat
siyonu
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda sürekli ise bu aralkta integrallenebilirdir.
P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}, [a, b] aral§nn herhangi bir parçalanmas olsun. f fonk[a, b] aral§nda sürekli oldu§undan bu aralkta maksimum ve minimum de§erlerini alr,
yani
f (cj ) = Mj :=
sup
f (x)
ve
xj−1 ≤x≤xj
olacak ³ekilde
cj , c0j ∈ [a, b]
f (c0j ) = mj :=
inf
xj−1 ≤x≤xj
f (x)
saylar vardr. Buradan
U (f, P ) − L(f, P ) =
n
X
f (cj ) − f (c0j ) (xj − xj−1 )
(35)
j=1
e³itli§i elde edilir. Kapal aralkta sürekli olan
dan, verilen her
>0
says için
|x − x0 | < δ
f
fonksiyonu bu aralkda düzgün sürekli olaca§n-
özelli§indeki
ve
x0
saylar için
b−a
f (x) − f (x0 ) <
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
x
(36)
δ > 0 says vardr. “imdi ||P || < δ olsun, bu durumda |cj −c0j | < δ
olur. Böylece (35) ve (36) e³itsizliklerinden
n
U (f, P ) − L(f, P ) =
X
(xj − xj−1 ) < b−a
j=1
e³itsizli§i elde edilir. Sonuç olarak Teorem 11 gere§i
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda integrallenebi-
lirdir.
Teorem 13
f
fonskiyonu
[a, b]
aral§nda monoton ise bu aralkta integrallenebilirdir.
20
spat
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda azalmayan olsun. ve
aral§nn herhangi bir parçalanmas olsun.
f (xj ) = Mj =
sup
f
f (x)
P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}
f (xj−1 ) = mj =
ve
xj−1 ≤x≤xj
olur. Di§er yandan,
0 < xj − xj−1 ≤ ||P ||
ve
U (f, P ) − L(f, P ) =
de
[a, b]
azalmayan oldu§undan
f (xj ) − f (xj−1 ) ≥ 0
n
X
inf
xj−1 ≤x≤xj
f (x)
olduklarndan
[f (xj ) − f (xj−1 )] (xj − xj−1 )
j=1
≤ ||P ||
n
X
[f (xj ) − f (xj−1 )]
j=1
= ||P ||(f (b) − f (a))
> 0 verildi§inde [a, b] aral§nn ||P || < δ := f (b)−f
(a) ko³ulunu
sa§layan P parçalanmalar için U (f, P )−L(f, P ) < e³itsizli§inin sa§lanaca§ sonucu elde edilir.
Sonuç olarak Teorem 11 gere§i f fonksiyonu [a, b] aral§nda integrallenebilirdir. f fonskiyonu bu
aralkta artmayan bir fonksiyonsa da benzer yolla integrallenebilir oldu§u gösterilebilir.
e³itsizli§i sa§lanr. Böylece,
f
Tanm 6
fonksiyonu
[a, b] aral§nda tanml olsun. Ayrca a = a0 < a1 < · · · < an = b saylar
için
n
X
|f (aj ) − f (aj−1 )| ≤ K
(37)
j=1
olacak ³ekilde bir
K
says var olsun. Bu durumda
f
[a, b] aral§nda snrl saK saysna da f fonskiyonunun [a, b]
fonksiyonuna
lnml fonksiyon denir. (37) ko³ulunu sa§layan en küçük
aral§ndaki total varyasyonu denir.
[a, b] aral§nda snrl salnml bir fonksiyon bu aralkta snrldr. Gerçekten f
K ise, her x ∈ [a, b] için
fonksiyonunun
bu aralktaki total varyasyonu
f (x) =
f (a) + f (b) f (x) − f (a) f (x) − f (b)
+
+
2
2
2
oldu§undan
|f (x)| ≤
f (a) + f (b)
+K
2
elde edilir.
Teorem 14
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda snrl salnml ise bu aralkta integrallenebilirdir.
[a, b] aral§nda K total varyasyonu ile snrl salnml olsun. [a, b] aral§nn
P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} olsun ve > 0 says verilsin. Teorem 5
gere§i, P parçalanmas üzerinden hesaplanan tüm S(f, P ) Riemann toplamlarnn supremumu
U (f, P ) üst toplam oldu§undan
n
X
U (f, P ) −
f (cj )(xj − xj−1 ) <
2
spat
f
f
fonksiyonu
herhangi bir parçalanmas
j=1
cj ≥ xj−1 özelli§ine sahip c1 , c2 , . . . , cn saylar seçilebilir.
0
0
0
öyle c1 , c2 , . . . , cn saylar seçilebilir ki
n
X
0
L(f, P ) −
f (cj )(xj − xj−1 ) <
2
j=1
olacak ³ekilde
özelli§inde
21
Benzer ³ekilde
c0j ≤ xj
e³itsizli§i sa§lanr. Böylece
n
X
|U (f, P ) − L(f, P )| ≤ U (f, P ) −
f (cj )(xj − xj−1 )
j=1
n
X
0
+ L(f, P ) −
f (cj )(xj − xj−1 )
j=1
n
X
f (cj ) − f (c0j ) (xj − xj−1 )
+
j=1
≤ + K||P ||
e³itsizli§inin sa§land§ görülür. Sonuç olarak
||P || < δ :=
K
ko³ulunu sa§layan
P
parçalanmalar
için
|U (f, P ) − L(f, P )| < 2
e³itsizli§inin sa§lanaca§ görülür. Teorem 11 gere§i
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda integrallenebi-
lirdir.
3
NTEGRALN ÖZELLKLER
Bu bölümde, Bölüm 1 ve Bölüm 2 de verilen sonuçlar kullanlarak integralin temel özellikleri
elde edilecektir.
Teorem 15
f +g
f
ve
g
fonksiyonlar
[a, b]
aral§nda integrallenebilir fonksiyonlar ise bu durumda
fonksiyonu da bu aralkta integrallenebilirdir ve
Z
b
Z
b
(f + g)(x)dx =
Z
f (x)dx +
a
a
b
g(x)dx
a
dir.
[a, b] aral§nn herhangi bir P parçalanmas üzerinden herhangi bir
Riemann toplam için S(f + g, P ) = S(f, P ) + S(g, P ) oldu§u açktr. Tanm 1 gere§i, [a, b] aral§nn ||P || < δ1 ko³ulunu sahlayan her P parçalanmas ve bu parçalanma üzerinden hesaplanan
herhangi bir S(f, P ) Riemann toplam için
Z b
S(f, P ) −
<
f
(x)dx
2
a
spat
f +g
fonksiyonunun
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
ko³ulunu sahlayan her
S(g, P )
P
δ1 > 0
says vardr. Benzer ³ekilde
[a, b]
aral§nn
||P || < δ2
parçalanmas ve bu parçalanma üzerinden hesaplanan herhangi bir
Riemann toplam için
Z b
S(g, P ) −
<
g(x)dx
2
a
||P || < δ := min(δ1 , δ2 ) için
Z b
Z b
S(f, P ) −
f (x)dx + S(g, P ) −
g(x)dx a
a
Z b
Z b
g(x)dx
≤ S(f, P ) −
f (x)dx + S(g, P ) −
δ2 > 0 says
Z b
Z b
S(f + g, P ) −
f (x)dx −
g(x)dx =
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
a
a
vardr. Bu durumda
a
a
< e³itsizli§i sa§lanr. Böylece Tanm 1 gere§i istenen ispatlanm³ olur.
Tanm 1 kullanlarak a³a§daki sonuç da ispatlanabilir.
22
f
Teorem 16
cf
üzere
[a, b] aral§nda integrallenebilir ise
[a, b] aral§nda integrallenebilirdir ve
fonksiyonu
fonksiyonu da
Z
b
Z
bu durumda,
c
bir sabit olmak
b
(cf )(x)dx = c
f (x)dx
a
a
dir.
Teorem 15 ve Teorem 16 ile verilen sonuçlar kullanlarak a³a§daki sonuç ispatlanabilir.
f1 , f2 , . . . , fn fonksiyonlar [a, b] aral§nda integrallenebilir fonksiyonlar ve c1 , c2 , . . . , cn
bu durumda c1 f1 + c2 f2 + · · · + cn fn fonksiyonu da [a, b] aral§nda integrallenebilirdir
Teorem 17
sabitler ise
ve
Z
b
Z
b
(c1 f1 + c2 f2 + · · · + cn fn ) (x)dx = c1
Z
f2 (x)dx + · · · + cn
b
fn (x)dx
a
a
a
a
b
Z
f1 (x)dx + c2
e³itli§i sa§lanr.
f
Teorem 18
fg
g
ve
fonksiyonlar
[a, b]
aral§nda integrallenebilir fonksiyonlar ise bu durumda
fonksiyonu da bu aralkta integrallenebilirdir.
spat
f
ve
g fonksiyonlar [a, b] aral§nda özde³ olarak sfr olmasn (çünkü öyle ise ispat
f ve g fonksiyonlarnn bu aralkta negatif olmad§n kabul edelim. [a, b] aral§nn
P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b} parçalanmas için
açktr). Önce
herhangi bir
U (f g, P ) − L(f g, P ) =
n
X
(Mf g,j − mf g,j ) (xj − xj−1 )
(38)
j=1
mf g,j saylar f g fonksiyonunun [xj−1 , xj ] aral§nda srasyla supremum
de§erleridir. f ve g fonksiyonlar negatif olmad§ndan, mf,j mg,j ≤ f (x)g(x) ≤
olur. Buradaki
ve inmum
Mf,j Mg,j
Mf g,j
ve
olup
Mf g,j ≤ Mf,j Mg,j
e³itsizlikleri sa§lanr. Buradaki
mf g,j ≥ mf,j mg,j
ve
Mf,j , Mg,j , mf,j
ve
mg,j
saylar da benzer ³ekilde tanmlanm³
saylardr. Böylece
Mf g,j − mf g,j
≤ Mf,j Mg,j − mf,j mg,j
= Mg,j (Mf,j − mf,j ) + mf,j (Mg,j − mg,j )
≤ Mg (Mf,j − mf,j ) + Mf (Mg,j − mg,j )
e³itsizli§inin sa§land§ görülür (burada
Mf
ve
Mg
saylar
f
ve
g
fonksiyonlarnn
[a, b]
aral§n-
daki üst ve alt snrlardr.) Bu son e³itsizlik (38) e³itli§inde kullanlrsa
U (f g, P ) − L(f g, P ) ≤ Mg [U (f, P ) − L(f, P )] + Mf [U (g, P ) − L(g, P )]
e³itsizli§inin sa§land§ sonucu elde edilir. “imdi
[a, b]
says verilmi³ olsun.
aral§nda integrallenebilir olduklarndan, Teorem 11 gere§i
U (f, P1 ) − L(f, P1 ) <
e³itsizlikleri sa§lanacak ³ekilde
hem
>0
P1
hem de
P2
P1
ve
2Mg
P2
ve
[a, b]
P
ve
g
fonksiyonlar
aral§nn
U (g, P2 ) − L(g, P2 ) <
parçalanmalar vardr.
f
(39)
2Mf
parçalanmas
(40)
[a, b]
aral§nn
parçalanmasndan daha ince olan bir parçalanmas ise Lemma 1 gere§i
U (f, P ) − L(f, P ) <
2Mg
ve
23
U (g, P ) − L(g, P ) <
2Mf
e³itsizlikleri sa§lanr. Bu e³itsizlikler (39) ifadesinde kullanlrsa
U (f g, P ) − L(f g, P ) < f g fonksiyonu integrallenebilirdir.
f ve g herhangi
integrallenebilir iki fonksiyon olsun. Teorem 4 gere§i fonksiyonlar [a, b] aral§nda snrldr. a ≤
x ≤ b için f (x) ≥ m1 ve g(x) ≥ m2 ise f (x) − m1 ≥ 0 ve g(x) − m2 ≥ 0 olaca§ndan (f − m1 )(g −
m2 ) fonksiyonu integrallenebilirdir. Di§er yandan
e³itsizli§inin sa§land§ görülür. Sonuç olarak Teorem 11 gere§i
Böylece negatif olmayan
f
ve
g
fonksiyonlar için istenen ispatlanm³ oldu. “imdi
f (x)g(x) = (f (x) − m1 )(g(x) − m2 ) + m2 f (x) + m1 g(x) − m1 m2
oldu§undan Teorem 17 gere§i
fg
fonksiyonu integrallenebilirdir.
f ve g fonksiyonlar [a, b] aral§nda integrallenebilir fonksiyonlar olsun ve a ≤ x ≤ b
f (x) ≤ g(x) e³itsizli§i sa§lansn. Bu durumda
Teorem 19
için
b
Z
b
Z
f (x)dx ≤
g(x)dx
a
(41)
a
e³itsizli§i sa§lanr.
spat
[a, b] aral§nda g(x)−f (x) ≥ 0 oldu§undan bu aral§n her parçalanmas üzerinden g −f
fonksiyonunun alt toplamlar negatif de§ildir. Bu yüzden
Z
b
(g(x) − f (x))dx ≥ 0
a
e³itsizli§i sa§lanr. Böylece, Teorem 17 ve Teorem 10 gere§i
b
Z
b
Z
g(x)dx −
a
b
Z
(g(x) − f (x))dx =
f (x)dx =
a
b
Z
(g(x) − f (x))dx ≥ 0
a
a
e³itsizli§i elde edilir ki istenendir.
Teorem 20
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda integrallenebilir ise
|f |
fonksiyonu da bu aralkta in-
tegrallenebilirdir ve
Z b
Z b
≤
|f (x)|dx
f
(x)dx
(42)
a
a
e³itsizli§i sa§lanr.
spat
[a, b]
aral§nn herhangi bir parçalanmas
Mj
:=
sup
P = {x0 , x1 , . . . , xn }
f (x),
mj :=
|f (x)|,
mj :=
xj−1 ≤x≤xj
Mj
:=
sup
xj−1 ≤x≤xj
olsun ve
inf
f (x),
sup
|f (x)|,
xj−1 ≤x≤xj
xj−1 ≤x≤xj
olarak tanmlansnlar. Bu durumda
Mj − mj =
|f (x)| − |f (x0 )| ≤
sup
xj−1 ≤x,
x0 ≤xj
|f (x) − f (x0 )| = Mj − mj
sup
xj−1 ≤x,
x0 ≤x
j
elde edilir. Böylece
U (|f |, P ) − L(|f |, P ) ≤ U (f, P ) − L(f, P )
24
e³itsizli§inin sa§land§ sonucuna varlr. Dolaysyla Teorem 11 gere§i
nebilirdir.
a≤x≤b
|f |
fonksiyonu integralle-
için
−f (x) ≤ |f (x)|
f (x) ≤ |f (x)|
ve
oldu§undan Teorem 16 ve Teorem 19 gere§i
Z
−
b
b
Z
f (x)dx ≤
|f (x)| dx
a
b
Z
b
Z
f (x)dx ≤
ve
a
a
|f (x)| dx
a
elde edilir ki bu da (42) e³itsizli§ine denktir.
Teorem 21 (ntegraller için Birinci Ortalama De§er Teoremi)
yonu sürekli,
g
b
Z
Z
fonksi-
b
g(x)dx
f (x)g(x)dx = f (c)
e³itli§i sa§lanacak ³ekilde bir
(43)
a
a
spat
[a, b] aral§nda f
fonksiyonu integrallenebilir ve negatif olmayan olsun. Bu durumda
c ∈ [a, b]
says vardr.
Teorem 12 ve Teorem 18 gere§i (43) e³itli§inin sol tarafndaki integral mevcuttur.
fonksiyonu
[a, b]
f
aral§nda sürekli oldu§undan
m := min f (x)
tanmlar yaplabilir. Bu durumda
M := max f (x)
ve
a≤x≤b
a≤x≤b
a≤x≤b
m ≤ f (x) ≤ M
için
ve
g(x) ≥ 0
oldu§undan
mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ M g(x)
e³itli§i sa§lanr. Böylece Teorem 16 ve Teorem 19 gere§i
Z
b
Z
sa§lanr. “imdi
Rb
a
Z
f (x)g(x)dx ≤ M
a
a
Rb
g(x)dx = 0
g(x)dx 6= 0 olsun ve
e³itsizli§i sa§lanr. E§er
b
g(x)dx ≤
m
a
b
g(x)dx
(44)
a
ise (44) e³itsizli§i gereki her
c ∈ [a, b]
için (43) e³itli§i
Rb
a
f :=
(45)
Rb
g(x)dx > 0 olup (44) e³itsizli§inden dolay m ≤ f ≤
M e³itsizli§i sa§lanr. Ayrca ara de§er teoremine göre f = f (c) olacak ³ekilde bir c ∈ [a, b] says
vardr. Böylece (43) e³itli§i elde edilmi³ olur.
olarak tanmlansn.
g(x) ≥ 0 oldu§undan
f (x)g(x)dx
Rb
a g(x)dx
Tanm 7 Son teoremde e§er
g(x) ≡ 1
a
ise (45) e³itli§i
1
f=
b−a
Z
b
f (x)dx
a
f saysna f fonksiyonunun [a, b] aral§ndaki ortalama de§eri denir. Daha genel
g(x)dx
6= 0 ko³ulunu sa§layan ve [a, b] aral§nda negatif olmayan bir g fonkiyonu
a
(45) e³itli§i ile tanmlanan f saysna, f fonksiyonunun [a, b] aral§nda g fonksiyonuna göre
halini alr. Bu
olarak
için
Rb
a§rlkl ortalama de§eri denir.
f fonksiyonu [a, b] aral§nda integrallenebilir
[a1 , b1 ] aral§nda da integrallenebilirdir.
Teorem 22
fonksiyonu
25
ve
a ≤ a1 ≤ b1 ≤ b
ise bu durumda
f
spat
>0
[a, b]
verilsin. Teorem 11 gere§i
U (f, P ) − L(f, P ) =
aral§nn
n
X
(Mj − mj )(xj − xj−1 ) < (46)
j=1
P = {x0 , x1 , . . . , xn }
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
talarnn
P
parçalanmas vardr. “imdi
nin birer parçalanma noktas oldu§unu, yani
a1 = xr
ve
b1 = xs
a1
ve
b1
nok-
oldu§unu kabul
edelim. (46) e³itsizli§indeki toplamn hiç bir terimi negatif olmad§ndan
s
X
(Mj − mj )(xj − xj−1 ) < j=r+1
e³itsizli§i sa§lanr. Yani
[a1 , b1 ]
P1 = {xr , xr+1 , . . . , xs }
aral§nn
parçalanmas için
U (f, P1 ) − L(f, P1 ) < e³itsizli§i sa§lanr ki bu da, Teorem 11 gere§i
olmas demektir. Di§er yandan, e§er
de§ilse,
P
a1
ve
b1
f
fonksiyonunun
noktalar
P
[a1 , b1 ] aral§nda integrallenebilir
parçalanmasnn parçalanma noktalar
parçalanmasna bu noktalar ilave ederek daha ince bir
P0
parçalanmas elde edilebilir.
Bu durumda ise Lemma 1 gere§i
U (f, P 0 ) − L(f, P 0 ) ≤ U (f, P ) − L(f, P ) < f
e³itsizli§i sa§lanr ki yine Teorem 11 gere§i
fonksiyonunun
[a1 , b1 ]
aral§nda integrallenebilir
olaca§ sonucuna varlm³ olur.
Teorem 23
yonu
[a, c]
f
fonksiyonu
[a, b]
ve
[b, c]
aralklarnda integrallenebilir ise bu durumda
f
fonksi-
aral§nda da integrallenebilirdir ve
Z
c
Z
f (x)dx =
b
Z
f (x)dx +
a
a
c
f (x)dx
b
e³itli§i sa§lanr.
Tanm 8 Buraya kadar
Rb
a
f (x)dx integralini sadece a < b için
Z b
Z a
f (x)dx := −
f (x)dx
a
olarak, e§er
a=b
tanmladk. E§er
b<a
ise
b
ise
Z
a
f (x)dx := 0
a
olarak tanmlanr.
Bu tanmlarla birlikte Teorem 23 ifadesinin
a, b ve c saylar hangi srada olursa olsun sa§lan[a, b] aral§ndaki herhangi bir c sabit says
d§ gösterilebilir. Ayrca bu tanmlar ve Teorem 22,
için
Z
x
F (x) :=
f (t)dt
c
fonksiyonunun tanmlanabilmesine olanak verir. “imdi bu fonksiyonun baz özelliklerini inceleyelim.
Teorem 24
f
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda integrallenebilir ve
Z
F (x) :=
a≤c≤b
ise bu durumda
x
f (t)dt
c
olarak tanmlanan
F
fonksiyonu
[a, b]
aral§nda Lipschitz ko³ulunu sa§lar, dolaysyla süreklidir.
26
spat
E§er
x
ve
x0
saylar
[a, b]
aral§nda ise Teorem 23 gere§i
Z
0
x
F (x) − F (x ) =
f (t)dt −
c
e³itli§i sa§lanr.
f
olacak ³ekilde bir
x0
Z
Z
x
f (t)dt =
f (t)dt
x0
c
a ≤ t ≤ b için |f (t)| ≤ K
a ≤ x ve x0 ≤ b için
fonksiyonu bu aralkta integrallenebilir oldu§undan
K
sabit says vardr. Böylece Teorem 20 gere§i
Z
x
x0
f (t)dt ≤ K|x − x0 |
e³itsizli§i sa§lanr, dolaysyla
F (x) − F (x0 ) ≤ K|x − x0 |
e³itsizli§i elde edilmi³ olur ki istenendir.
R x f fonksiyonu [a, b] aral§nda integrallenebilir ve a ≤ c ≤ b olsun. Bu durumda
F (x) := c f (t)dt olarak tanmlanan F fonksiyonu, f fonksiyonunun sürekli§i oldu§u her x0 ∈
(a, b) noktasnda türevlenebilirdir ve F 0 (x0 ) = f (x0 ) e³itli§ini sa§lar. Ayrca e§er f fonksiyonu
a noktasnda sa§dan sürekli ise F+0 (a) = f (a) ve f fonksiyonu b noktasnda soldan sürekli ise
F−0 (b) = f (b) e³itlikleri sa§lanr.
Teorem 25
spat
a < x0 < b
durumunu inceleyelim, uç noktalardaki sonuç da benzer yolla ispatlanabilir.
“imdi
1
x − x0
Z
x
f (x0 )dt = f (x0 )
x0
ve
Z
x
F (x) − F (x0 ) =
f (t)dt
x0
e³itliklerinden hareketle
F (x) − F (x0 )
1
− f (x0 ) =
x − x0
x − x0
Z
x
[f (t) − f (x0 )] dt
x0
e³itli§i elde edilir. Böylece Teorem 20 gere§i
Z x
F (x) − F (x0 )
1
|f (t) − f (x0 )| dt
− f (x0 ) ≤
x − x0
|x − x0 | x0
(47)
e³itsizli§i sa§lanr (Tanm 8 gere§i, e³itsizli§in sol tarafndaki integralin mutlak de§er içerisinde
x0 noktasnda sürekli oldu§undan, her
x, x0 ∈ (a, b) saylar için |f (x) − f (x0 )| < e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir δ > 0 says vardr. Ayrca e§er t ∈ (x0 , x) ise |t − x| = |x − x0 | −
|t − x0 | olaca§ndan |x − x0 | < δ ko³ulu sa§lanrsa |t − x| < δ ko³ulu da sa§lanr. Dolaysyla f
fonksiyonunun süreklili§i gere§i |f (t) − f (x0 )| < e³itsizli§i sa§lanr. Bunlar (47) e³itsizli§inde
kullanlrsa
F (x) − F (x0 )
1
− f (x0 ) ≤
|x − x0 | = x − x0
|x − x0 |
kullanld§na dikkat ediniz). Di§er yandan,
> 0
says ve
|x − x0 | < δ
f
fonksiyonu
ko³ulunu sa§layan
e³itsizli§inin sa§land§ sonucuna varlr. Bu da
F 0 (x0 ) = f (x0 )
anlamna gelir.
27
Örnek 12
f (x) :=
olarak tanmlanan
f
x=1
fonksiyonu
noktasnda sürekli de§ildir. Bu durumda
(
x
Z
f (t)dt =
F (x) =
0≤x≤1
1<x≤2
x,
x + 1,
0
x2
2 ,
x2
2 +
[0, 2] aral§nda süreklidir. Teorem
x = f (x),
0<x<1
0
F (x) :=
x + 1 = f (x),
1<x<2
f
fonksiyonunun sürekli olmad§
F+0 (1) = 2
olup
F
x=1
fonksiyonu da
0≤x≤1
1<x≤2
x − 1,
olarak elde edilir ve bu fonksiyon
e³itli§i sa§lanr ve
F
25 ile de belirtildi§i gibi
noktasnda
F−0 (1) = 1
ve
fonksiyonu türevlenebilir de§ildir. Ayrca uç noktalarda da
F+0 (0) = lim
x→0+
ve
F−0 (2) = lim
x→2−
x2 /2 − 0
F (x) − F (0)
= lim
= 0 = f (0)
x
x
x→0+
x2 /2 + x − 1 − 3
F (x) − F (2)
= lim
= 3 = f (2)
x−2
x−2
x→2−
oldu§u görülür.
F
[a, b]
[a, b]
(a, b)
Teorem 26
fonksiyonu
siyonu da
aral§nda integrallenebilir olsun. Bu durumda e§er
aral§nda sürekli,
f fonkF 0 (x) = f (x)
aral§nda türevlenebilir olsun.
a<x<b
için
oluyorsa
b
Z
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
e³itli§i sa§lanr.
spat
[a, b]
aral§nn herhangi bir
P = {a = x0 , x1 , . . . , xn = b}
F (b) − F (a) =
n
X
parçalanmas için
(F (xj ) − F (xj−1 ))
(48)
j=1
e³itli§i geçerlidir. Diferensiyel hesabn ortalama de§er teoremi gere§i her bir
(xj−1 , xj ) aral§ için
F (xj ) − F (xj−1 ) = F 0 (cj )(xj − xj−1 ) = f (cj )(xj − xj−1 )
e³itli§i sa§lanacak ³ekilde
nunun
P
cj ∈ (xj−1 , xj )
saylar vardr. Böylece, (48) e³itli§i gere§i,
f
fonksiyo-
parçalanmas üzerinden
F (b) − F (a) = S(f, P )
S(f, P ) Riemann toplam vardr. f fonksiyonu [a, b] aral§nda
> 0 says verildi§inde, [a, b] aral§nn ||P || < δ ko³ulunu sa§layan
herhangi bir S(f, P ) Riemann toplam için
Z b
<
S(f, P ) −
f
(x)dx
e³itli§i sa§lanacak ³ekilde bir
integrallenebilir oldu§undan,
her
P
parçalanmas ve
a
e³itsizli§i sa§lanacak ³ekilde bir
δ > 0 says vardr. Böylece
Z b
F (b) − F (a) −
f (x)dx < a
elde edilir ki istenendir.
28
Sonuç 27
f0
[a, b]
fonksiyonu
aral§nda integrallenebilir ise bu durumda
b
Z
f 0 (x)dx = f (b) − f (a)
a
e³itli§i sa§lanr.
Tanm 9
[a, b]
aral§nda sürekli,
(a, b)
aral§nda türevlenebilir olan ve
a<x<b
için
F 0 (x) = f (x)
e³itli§ini sa§layan
F
fonksiyonuna,
f
fonksiyonunun
(49)
[a, b]
aral§nda bir antitürevi (veya ilkeli )
denir.
F
[a, b] aral§nda f fonksiyonunun bir antitürevi ise, C bir sabit olmak üzere, F +
C fonksiyonu da bu aralkta f fonksiyonunun bir antitürevidir. Ayrca F1 ve F2 fonksiyonlar [a, b]
aral§nda f fonksiyonunun antitürevleri ise bu aralkta F1 −F2 fonksiyonu sabit bir fonksiyondur.
Bir f fonksiyonunun bütün antitürevlerinin kümesine f fonksiyonunun belirsiz integrali denir
ve
Z
f (x)dx
fonksiyonu
ile gösterilir. E§er
F
fonksiyonu (49) ko³ulunu sa§lyorsa,
C
key bir sabit olmak üzere
Z
f (x)dx = F (x) + C
oldu§u açktr.
Teorem 28 (Kalkülüsün Temel Teoremi)
F
lkta bir antitürevi vardr. Ayrca
f
fonksiyonu
ise
fonksiyonu
[a, b]
[a, b]
f
aral§nda
aral§nda sürekli ise bu arafonksiyonunun bir antitürevi
b
Z
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
e³itli§i sa§lanr.
Rx
F0 fonksiyonu F0 (x) := a f (t)dt olarak tanmlansn. Bu durumda Teorem 24 ve Teorem
25 gere§i F0 fonksiyonu [a, b] aral§nda süreklidir ve f fonksiyonun bir antitürevidir. Tanm
9 gere§i, f fonksiyonun [a, b] aral§ndaki tüm antitürevleri C bir sabit olmak üzere F0 + C
formunda olaca§ndan key bir C sabiti için F = F0 + C e³itli§i sa§lanr. Böylece, F (b) − F (a) =
F0 (b) + C − F0 (a) − C = F0 (b) − F0 (a) = F0 (b) elde edilir ki istenendir.
spat
f0
Teorem 29 (Ksmi ntegrasyon)
bu durumda
g0
fonksiyonlar
[a, b]
aral§nda integrallenebilir ise
b Z b
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
g(x)f 0 (x)dx
b
Z
ve
0
a
a
(50)
a
e³itli§i sa§lanr.
spat
f
ve
g fonksiyonlar [a, b] aral§nda türevlenebilir olduklarndan bu aralkta süreklidirler.
f 0 g + f g 0 = (f g)0 fonksiyonu da bu aralkta integrallenebilirdir.
Teorem 15 ve Teorem 18 gere§i
Dolaysyla Teorem 26 gere§i
Z
a
b
f (x)g (x) + f (x)g(x) dx = f (x)g(x)
b
0
0
a
elde edilir ki bu da Teorem 15 gere§i (50) e³itli§ine denktir.
29
Teorem 30 (ntegraller için kinci Ortalama De§er Teoremi)
negatif olmayan ve integrallenebilir,
g
b
Z
c
Z
Z
f
[a, b]
fonksiyonu
[a, b] aral§nda
c ∈ [a, b]
g(x)dx
(51)
c
a
a
spat
fonksiyonu
b
g(x)dx + f (b)
f (x)g(x)dx = f (a)
e³itli§i sa§lanacak ³ekilde bir
f
fonksiyonu da bu aralkta sürekli olsun. Bu durumda
says vardr.
aral§nda türevlenebilir oldu§undan bu aralkta süreklidir. Ayrca
fonksiyonu da bu aralkta sürekli oldu§u için
g
f g fonksiyonu [a, b] aral§nda süreklidir. Dolaysyla
Teorem 12 gere§i (51) e³itli§inin sol tarafndaki integral mevcuttur.
x
Z
G(x) :=
g(t)dt
(52)
a
a < x < b
olarak tanmlanrsa Teorem 25 gere§i
G0 (x) = g(x)
için
e³itli§i sa§lanr. Böylece
Teorem 29 gere§i
b
Z
a
b Z b
f (x)g(x)dx = f (x)G(x) −
f 0 (x)G(x)dx
(53)
a
a
e³itsizli§i sa§lanr. Ayrca Teorem 21 ve Sonuç 27 gere§i
Z
b
Z
0
b
f (x)G(x)dx = G(c)
a
f 0 (x)dx = G(c) [f (b) − f (a)]
(54)
a
c ∈ [a, b]
e³itli§i sa§lanacak ³ekilde bir
b
Z
says vardr. Böylece (52) ve (54) e³itliklerinden
Z
0
f (x)G(x)dx = [f (b) − f (a)]
c
g(x)dx
a
a
e³itli§i elde edilir. Bu son e³itlik (53) e³itli§inde kullanlrsa
Z
b
a
b
Z c
f (x)g(x)dx = f (x)G(x) − [f (b) − f (a)]
g(x)dx
a
a
b
Z
Z
c
g(x)dx − [f (b) − f (a)]
g(x)dx
a
a
Z b
Z c
Z c
= f (a)
g(x)dx + f (b)
g(x)dx −
g(x)dx
= f (b)
a
Z
= f (a)
c
Z
g(x)dx + f (b)
a
a
b
g(x)dx
c
e³itli§i elde edilir ki istenendir.
Teorem 31 (De§i³ken De§i³imi)
§na dönü³türsün. Ayrca
f
a
x = φ(t) dönü³ümü, c ≤ t ≤ d aral§n a ≤ x ≤ b aral[a, b] aral§nda sürekli, φ0 fonksiyonu da [c, d] aral§nda
fonksiyonu
integrallenebilir olsun. Bu durumda
Z
φ(d)
d
Z
f (x)dx =
φ(c)
f (φ(t))φ0 (t)dt
(55)
c
e³itli§i sa§lanr.
spat
Teorem 12 ve Teorem 18 gere§i (55) e³itli§indeki integraller mevcuttur. Teorem 25 gere§i
Z
F (x) :=
x
f (y)dy
a
30
olarak tanmlanan
F
[a, b]
fonksiyonu
f
aral§nda
fonksiyonunun bir antitürevidir. Dolaysyla
Teorem 28 gere§i
Z
φ(d)
f (x)dx = F (φ(d)) − F (φ(c))
(56)
φ(c)
e³itli§i sa§lanr. Di§er yandan,
G(t) := F (φ(t))
olarak tanmlanan
G
fonksiyonu
[c, d]
aral§nda
f (φ(t))φ0 (t)
fonksiyonunun bir antitürevidir.
Dolaysyla Teorem 26 gere§i
d
Z
f (φ(t))φ0 (t)dt = G(d) − G(c) = F (φ(d)) − F (φ(c))
(57)
c
e³itli§i elde edilir. Böylece (56) ve (57) e³itliklerinden dolay (55) e³itli§inin sa§land§ sonucu
elde edilmi³ olur.
Örnek 13
1
√
2
Z
I :=
integralini ele alalm.
f (x) :=
−π
4
1−2x2
√
1−x2
1 − 2x2
√
dx
1 − x2
−1
√
2
φ(t) := sin t
olarak tanmlansn.
−1
√
2
π
4
√1
2
φ(t) = sin t dönü³ümü ile
≤x≤
aral§na
≤ t ≤ aral§
cos t oldu§undan Teorem 31 gere§i
Z √1
Z π
4
2
I=
f (x)dx =
f (sin t) cos tdt
−1
√
2
Z
=
e³itli§i elde edilir. Di§er yandan
p
1 − sin2 t = cos t
−π
4
π
4
olarak tanmalnrsa
dönü³ür. Böylece
x=
φ0 (t)
=
(1 − 2 sin2 t)
p
cos tdt
1 − sin2 t
−π
4
1 − 2 sin2 t = cos 2t, ( 12 sin 2t)0 = cos 2t
ve
−π
4
≤ t ≤
π
4
için
olduklarndan, Teorem 26 gere§i
Z
I=
π
4
−π
4
π
sin 2t 4
cos 2tdt =
=1
2 −π
4
elde edilir.
Örnek 14
Z
5π
I :=
0
integralini ele alalm. E§er
−1
φ(t) = cos t
sin t
dt
2 + cos t
olarak tanmlanrsa
olaca§ndan,
f (x) :=
φ0 (t) = − sin t, φ(0) = 1
−1
2+x
olarak tanmlanrsa Teorem 31 gere§i
φ0 (t)
I =
dt =
2 + φ(t)
0
Z 1
dx
=
−1 2 + x
1
= − ln(2 + x)
Z
5π
−1
= ln 3
elde edilir.
31
Z
0
5π
f (φ(t))φ0 (t)dt
ve
φ(5π) =
Bu iki örnekte Teorem 31 in iki farkl uygulamas gösterildi. Örnek 13 de (55) e³itli§inin sa§
tarafndaki integral hesaplanarak, rnek 14 de ise (55) e³itli§inin sol tarafndaki integral hesaplanarak sonuca gidildi.
[c, d] aral§nda φ0 fonksiyonu integrallenebilir ve φ fonksiyonu monoton olsun. f
fonksiyonu da [a, b] aral§nda snrl olsun. Ayrca x = φ(t) dönü³ümü, c ≤ t ≤ d aral§n
a ≤ x ≤ b aral§na dönü³türsün. Bu durumda f (φ(t))φ0 (t) fonksiyonunun [c, d] aral§nda integrallenebilir olmas için gerek ve yeter ko³ul f fonksiyonunun [a, b] aral§nda integrallenebilir
Teorem 32
olmasdr ve bu durumda
Z
b
d
Z
f (x)dx =
a
f (φ(t))|φ0 (t)|dt
c
e³itli§i sa§lanr.
32