moment – denge - WordPress.com
advertisement
FİZİK – ÖSS Ortak MOMENT – DENGE 1. MOMENT Şekil 2 (a) da F1 = F nin O noktasına göre momentinin büyüklüğü, M1 = F.d dir. Daha önceki bölümlerde cisimleri hareket ettiren, dengede tutan kuvvetleri ve bu kuvvetlerin bileşkesini incelemiştik. Bu bölümde kuvvetin cisimler üzerindeki bir başka etkisi olan döndürme etkisini inceleyeceğiz. Günlük yaşantımızda musluğu açarken, direksiyon çevirirken, tornavida ile vidayı döndürürken, kapıyı, pencereyi menteşeleri etrafında döndürürken de kuvvet uygularız. Bu örneklerden de anlaşılacağı gibi kuvvet cisimlere dönme hareketi de yaptırır. Kuvvetin dönme hareketi yaptıran etkisine moment denir. Şekil 2 (b) de F2 = F nin O noktasına göre momentinin büyüklüğü ise, M2 = F.2d dir. Buradan da görüleceği gibi d uzaklığı büyüdükçe momentin büyüklüğü de artmaktadır. 2. KUVVETİN BİR NOKTAYA GÖRE MOMENTİ y Æ M O → d H P F kuvvetinin doğrultusuna O noktasından ⎪OH⎪ dikmesi indirilir. G A F nin O ya göre momenti, kuvvetin F büyüklüğü ile kuvvetin → (b) Şekil 4 (a) da aynı noktaya uygulanan eşit büyüklükteki → → → → → 1 2 3 2 F , F ve F kuvvetlerinden F kuvveti düzleme dik oldu- → diktir. M moment vektörünün yönü ise kuvvetin döndürme yönünde ilerleyen vida adımının ilerleme yönüdür. Kuvvetler cisimleri ya saat ibreleri yönünde ya da saat ibrelerine zıt yönde döndürürler. İşlemler sırasında bu yönlerden biri (+), diğeri (–) alınır. ğundan AB menteşelerine göre momenti en büyüktür. Şekil 4 (b) de O noktası etrafında dönebilen çubuğa uygu→ → → → 1 2 3 2 lanan eşit büyüklükteki F , F ve F kuvvetlerinden F kuvveti çubuğa dik olduğundan O noktasına göre momenti en büyüktür. I. Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti kuvvetin noktaya olan dik uzaklığı ile doğru orantılıdır. Birim Tablosu F2 = F Þekil 2 -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- F3 = F Þekil 4 (a) deki gibi F ile G nin oluşturduğu düzleme O noktasından 2d (b) O F2 = F B Moment vektörel bir büyüklüktür. M moment vektörü Şekil 1 d (a) F1 = F F3 = F → O F2 = F F1 = F A O ya olan d dik uzaklığının çarpımına eşittir. Moment M sembolüyle gösterilir. Momentin büyüklüğü, M = F.d bağıntısıyla bulunur. Şekil 1 de OHA dik üçgeninde, d = G . Sinα olduğundan, momentin büyüklüğü, M = F. G.Sinα bağıntısıyla da bulunabilir. Þekil 3 III. Bir eksen etrafında dönen bir düzleme aynı noktada uygulanan eşit kuvvetlerden düzleme dik olan kuvvetin momenti en büyüktür. → O Æ F Şekil 3 teki F kuvvetinin etki çizgisi üzerinde O noktasına göre momenti sıfırdır. Çünkü O noktasının kuvvetin etki çizgisine olan dik uzaklığı d sıfırdır. Þekil 1 F1 = F d → Æ F a O Şekil 1 deki P düzleminde A noktasına uygulanan kuvvetin bu düzlemdeki O noktasına göre momenti şu şekilde bulunur. II. Bir kuvvetin etki çizgisi üzerindeki bir noktaya göre momenti sıfırdır. 27 Nicelik Kuvvet Dik uzaklýk Moment Sembol F d M Birimi newton metre newton.metre FİZİK – ÖSS Ortak ÖRNEK 1 lam moment sıfırdan farklı olursa cisim veya sistem dönme hareketi yapar. G uzunluğundaki AB çubuğu A noktası çevresinde dönebilmektedir. Bu çubuğun B ucuna uygulanan R kuvvetinin, dik → → 1 2 bileşenleri F ve F dir. b. Denge Şartları Æ R d Æ F1 Æ F2 A B G → Katı bir cismin dengede kalabilmesi için hem öteleme hemde dönme hareketini yapmaması gerekir. Bu da bir cismin dengede kalabilmesinin iki şarta bağlı olduğuna gösterir. I. Denge Şartı A noktasına göre R kuvvetinin momentinin büyüklüğü; I. M = R . d II. M = F1 . G Katı bir cismin öteleme hareketi yapmaması için, cisme uygu→ lanan kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır ( R = 0). III. M = F2 . G → bağıntılarından hangileri ile bulunabilir? A) Yalnız I B) Yalnız II D) I ve II ∑F = 0 x → C) Yalnız III E) I ve III ∑F = 0 y ÇÖZÜM dır. II. Denge Şartı Bir kuvvetin herhangi bir noktaya göre momentinin büyüklüğü M=F.d bağıntısı ile bulunur. d, kuvvetin dönme noktasına dik uzaklığıdır. Buna göre, R kuvvetinin A noktasına göre momentinin büyüklüğü M=R.d. dir. R nin dik bileşenlerinin momentleri toplamı R nin momentine eşittir. F1 dik bileşeninin A nok- Katı cismin dönme hareketi yapmaması için, cisme uygulanan kuvvetlerin seçilen bir noktaya göre toplam momenti sıfır → olmalıdır ( ∑ M = 0). tasına göre momentinin büyüklüğü M=F1 . G dir. F2 dik bi- 4. PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ leşeninin doğrultusu A noktasından geçtiğinden A noktasına göre momenti sıfırdır. Yanıt: D a) Aynı Yönlü Paralel Kuvvetler Bir AB çubuğunun A ve B noktalarına şekildeki gibi doğrultuları para- Şekil 5 teki ABCD düzlemine dik olan y eksenine göre F kuvvetinin momenti şu D d F kuvveti çizilir. y ekseninin 1 A Þekil 5 F1 a Þekil 6 B Uyarı: Bileşke kuvvetin uygulandığı noktaya göre sisteme etki eden kuvvetlerin toplam momenti sıfırdır. Bu noktaya, bileşke kuvvete eşit büyüklükte, aynı doğrultuda, zıt yönlü bir kuvvet (dengeleyici kuvvet) uygulanırsa sistem dengede kalır. → noktasından F in etki çizgisine OH dikmesi indirilir. F nin y 1 eksenine göre, momentinin büyüklüğü F1 ile F1 in O ya olan d dik uzaklığının çarpımına eşittir. Momentin büyüklüğü, M = F.d bağıntısı ile bulunur. Şekil 5 teki dik üçgende, d = G.Sina olduğundan, momentin büyüklüğü, M = F.G.Sina bağıntısıyla bulunur. b) Zıt Yönlü Paralel Kuvvetler Bir AB çubuğunun A ve B noktalarına şekildeki gibi doğrultuları paralel, a. Bileşke Moment → → 1 2 zıt yönlü F ve F kuv- Bir cisme veya sisteme birden çok kuvvet uygulandığında bu kuvvetlerin bir noktaya göre momentleri toplamına bi- vetleri uygulayalım. Bu kuvvetlerin bileşkesi- → leşke veya toplam moment denir. ∑ M ile gösterilir. Top-MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- R = F1 + F2 O noktası, büyük olan kuvvete daha yakındır (Şekil 6). ABCD düzlemini kestiği O → Æ F2 Æ F1 R nin uygulama noktası (O), AB doğrusu üzerindedir. Bu noktanın yeri , F1 . |AO| = F2. |BO| bağıntısı ile bulunur. H G O → şekilde bulunur. Önce F kuvvetinin ABCD düzlemi üzerindeki izdüşümü olan 2 B O → C → → 1 uygulayalım. Bu kuvvetlerin bileşkesinin büyüklüğü R = F1 + F2 dir. Æ F y → → lel, aynı yönlü F ve F kuvvetleri 3. BİR KUVVETİN BİR EKSENE GÖRE MOMENTİ A 28 O R = F 1 F2 B A Æ F1 Þekil 7 Æ F2 FİZİK – ÖSS Ortak ÖRNEK 2 → nin büyüklüğü F1 > F2 olmak koşuluyla R= F1 – F2 olur. R K nin uygulama noktası O, A ve B noktalarından geçen doğrunun üzerinde, A ve B noktalarının dışında, büyük kuvvet tarafındadır. Bu noktanın yeri, F1 . |AO| = F2 . |BO| bağıntısı ile bulunur (Şekil 7). L M yatay ip ip m 2m Kütlesi m olan, eşit bölmeli, düzgün, türdeş bir çubuğa 2m ve m kütleli cisimler şekildeki gibi asılıyor. c) Kuvvet Çifti d A A) K noktasından B) KL uzunluğunun orta noktasından C) L noktasından D) LM uzunluğunun orta noktasından E) M noktasından B O F Bu çubuk, hangi noktasından asılıp serbest bırakılırsa yatay dengede kalır? F Bir AB çubuğuna, şekildeki gibi, zıt yönlü, doğrultuları paralel, büyüklükleri eşit F kuvvetleri uygulayalım. Bu kuvvetlerin bileşkesinin büyüklüğü sıfırdır. Bu kuvvetlerin çubuk üzerinde herhangi bir noktaya göre momentleri toplamı MT = F.d olur. Þekil 8 (ÖSS–2004) Çubuk bu kuvvetlerin etkisinde Şekil 8 deki gibi O noktası etrafında döner. Bu kuvvetlere kuvvet çifti denir (Şekil 8). d) Paralel Kuvvetlerin Dengesi → ÇÖZÜM Ağırlığı önemsenmeyen AB çubuğu bir destek üzerinde F 1 → ve F kuvvetleriyle Şekil 9 daki gibi dengede ise; 2 → → 1 2 → F + F + N =0 F1 . |AO| = F2 . |OB| dir. A ® F1 O K ® N B yatay ® F2 (+) 2mg Þekil 9 → 1 → F kuvvetleriyle Şekil 10 daki gibi dengede ise; 2 → → 1 2 () mg N () mg ® T T + F + F =0 F1 . |AO| = F2 . |BO| dır. M Sistemin dengede kalabilmesi için sisteme etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır. Çubuk düzgün ve türdeş olduğundan kütle merkezi ortasındadır. 2mg, mg ve mg kuvvetlerinin bileşkesi L noktasındadır. L ye göre moment alınırsa; 2mg.2 = mg.1 + mg.3 bağıntısında 4mg = 4mg olduğundan çubuk L den bir iple asılırsa dengede kalır. Yanıt: C Ağırlığı önemsenmeyen AB çubuğu bir iple asılı olarak F ve → L A B yatay O ® F2 ® F1 Þekil 10 ÖRNEK 3 G ağırlığındaki AB çubuğu bir destek ve bir iple Şekil 11 deki gibi dengede ise; → → → K noktasından birbirine yapıştırılmış olan O1 ve O2 merkezli, 2r ve r yarıçaplı türdeş küreler şekildeki gibi dengedeyken desteğin tepki kuvveti ile ipteki T gerilme kuvveti eşit büyüklükte olmaktadır. yatay N + G + T =0 G . |AO| = T . |AB| dir. ® T yatay ® N A B O T II O1 2r K rO 2 I küresinin ağırlığı 24N olduğuna göre II küresinin ağırlığı kaç N dur? ® G A) 12 Þekil 11 -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- I 29 B) 24 C) 36 D) 40 E) 48 FİZİK – ÖSS Ortak ÇÖZÜM ÇÖZÜM F ve T kuvvetleri eşit olduğundan bu kuvvetlerin bileşkesi K noktasıdır. Şekildeki kuvvetlerin K noktasına göre momenti alınarak, GI.2r = GII.r Çubuğa uygulanan kuvvetler şekildeki gibidir. AK = 40 cm olduğundan her bölmesi 10 cm dir. Çubuğa uygulanan kuvvetlerin K noktasına F I T II (+) 2r K r GII = GI.2 GII GII = 24.2 = 48N bulunur. → GI = 24N Yanıt : E göre ∑ M = 0 olduğundan, F.70 = Gç.20 +Gx.30 ÖRNEK 4 F.70 = 40.20 + 20.30 F = 20N bulunur. F = FS 70 cm X Æ FS K Æ FT Gx = 20N yatay A Gç = 40N 40 cm Çubuğa uygulanan kuvvetlerin bileşkesi R = 0 dır. T → Σ F = 0 olduğundan x F = F = 20N dur. Buna göre, T gerilme kuvvetinin büyüklüğü kaç N dur? B) 60 L L → 80N ağırlığındaki O noktasından dönebilen, bükülmüş eşit bölmeli düzgün türdeş tel şekildeki gibi dengededir. A) 40 düþey S → C) 80 Σ F = 0 olduğundan O D) 110 y F =G +G E) 120 T ç x F = 40 + 20 T ÇÖZÜM F = 60N bulunur. T 80N ağırlığındaki eşit bölmeli düzgün ve türdeş telin KL, LM ve MO parçalarının ağırlıkları sırasıyla 20N, 20N ve 40N dur. Tele uygulanan kuvvetlerin O noktasına göre momenti alınarak, T.2 = 20.3 + 20.4 + 40.2 T = 110N bulunur. Yanıt : D Yanıt : C L T K 5. KÜTLE MERKEZİ 20N Maddelerin atom ve moleküllerine yerküremiz tarafından kütle çekim kuvveti uygulandığı için, çok küçük de olsa ağırlıkları vardır. Şekil 12 deki gibi bir cismin atom ve moleküllerine uygulanan bileşke kütle çekim kuvvetine o cismin ağırlığı denir. 20N O M 40N O Æ Æ R= G ÖRNEK 5 Þekil 12 40N ağırlığındaki eşit bölmeli düzgün ve türdeş olan bir çubuğa 20N ağırlığındaki X cismi asılı iken çubuk şekildeki gibi dengededir. düþey yatay G sembolü ile gösterilen ağırlık vektörünün O uygulama noktasına ağırlık merkezi denir (Şekil 12). m kütleli bir cismin bulunduğu yerdeki g kütle çekim ivmesi (yerçekim ivmesi) biliniyorsa o cismin ağırlığı, L 70 cm → X Sadece yatay düzlem sürtünmeli olduğuna göre, K noktasından çubuğa uygu→ lanan F S sürtünme kuvveti Æ FS K Æ FT yatay Bir cismin kütle merkezi ile ağırlık merkezi aynı noktadır. Fakat g kütle çekim ivmesinin sıfır olduğu yerde cismin ağırlık merkezinden söz edilemez. Bu durumda sadece cismin kütle merkezi ifadesi kullanılır. Kütle ve ağırlık kavramları karıştırılmamalıdır. Bunlar arasındaki ilişki, aynı yerde bulunan cisimlerden kütlesi büyük olan cismin ağırlığının da büyük olmasıdır. A 40 cm → ile yatay düzlemin çubuğa uyguladığı F T tepki kuvve- tinin büyüklüğü kaç N dur? A) B) C) D) E) FS FT 60 40 20 60 40 20 20 60 40 40 -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- → G = m . g bağıntısıyla bulunur. Kütle 1. Madde miktarıdır. Ağırlık 1. Cisme uygulanan yerçekimi kuvvetidir. 2. Eşit kollu terazi ile ölçülür 2. Dinamometre ile ölçülür. 3. Birimi kilogramdır. 3. Birimi Newton dur. 4. Bulunduğu yere 4. Bulunduğu yere göre değişmez. göre değişir. 30 FİZİK – ÖSS Ortak 6. AĞIRLIK MERKEZİNİ BULMA Şekil 13 teki gibi bir cismi m1, leştiren doğrunun (simetri ekseninin) orta noktasıdır (Şekil 17). m2 ve m3 kütleli üç parçaya ayırdığımızı düşünelim. Bu parçaların ağırlıkları G1, G2 m3 G1 G = G1 + G2 + G3 tür. Bu ağırlık vektörlerinin x ve y eksenlerine göre momenti alınarak G.x = G1.x1 +G2.x2 + G3.x3 O m2 m1 G2 ve G3 ise, cismin ağırlığı, küp x 0 G3 G y= 1 1 2 2 3 m m.y +m .y +m .y 1 1 2 2 3 silindir dikdörtgenler prizmasý e. Türdeş yarım çemberin kütle merkezi Şekil 18 deki koordinat sisteminin 2r orijin noktasından y = π kadar uzaktadır. y 3 m bağıntılarıyla bulunur. Düzgün türdeş cisimlerin kütle merkezi orta noktaları veya simetri merkezleridir. O y= 4r 3p x r 0 Þekil 19 y y= 0 r 3r 8p x Þekil 20 G Þekil 14 Uyarı : Aynı maddelerden yapılmış birleştirilmiş cisimlerin ağırlıkları yerine uzunlukları, alanları, hacimleri, kütleleri ya da eşit parça sayısı alınabilir. O G ÖRNEK 6 Þekil 15 O x y g. Türdeş yarım kürenin kütle merkezi Şekil 20 deki koordinat sisteminin orijin 3r kanoktasından y = 8π dar uzaktadır. 7. DÜZGÜN TÜRDEŞ CİSİMLERİN KÜTLE MERKEZİ b. Türdeş üçgen levhanın kütle merkezi kenarortaylarının kesiştiği noktadır (Şekil 15). 2r p r 0 f. Türdeş yarım dairenin kütle merkezi Şekil 19 daki koordinat sisteminin orijin nokta4r kadar uzaksından y = 3π tadır. a. Düzgün ve türdeş çubuğun ağırlık merkezi çubuğun orta noktasıdır (Şekil 14). y= Þekil 18 3 c. Türdeş çember, daire ve kürenin kütle merkezi bu cisimlerin geometrik merkezidir (Şekil 16). Þekil 17 yazılabilir. Buradan, O kütle merkezinin koordinatları G.x +G .x +G .x 2 2 3 3 x= 1 1 G G.y +G .y +G .y 2 2 3 3 y= 1 1 G bağıntılarıyla veya ağırlıklarının yerine G = mg değerleri yazılarak, m.x +m .x +m .x O O Þekil 13 G.y = G1.y1 +G2.y2 + G3.y3 x= y G çember O G daire Şekildeki gibi birbirine yapıştırılmış olan aynı telden kesilerek yapılan O1 ve O2 merO kezli türdeş çemberlerin kütle merkezi O1 noktasından kaç G O1 r1 = 30 cm O2 r2 = 10 cm cm uzaktadır? küre Þekil 16 A) 10 d. Türdeş olan küp, dikdörtgenler prizması ve silindirin kütle merkezi alt ve üst tabanlarının orta noktalarını bir-MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- 31 B) 12 C) 16 D) 18 E) 20 FİZİK – ÖSS Ortak ÇÖZÜM 1 8r – 4x = 4r 4r = 4x x = r bulunur. O1 merkezli çemberin yarıçapı O2 merkezli çemberin yarıçapının 3 katı olduğundan uzunluğu ve ağırlığı onun 3 katıdır. O ağırlık merkezine göre moment alınarak, G1.x = G2.(40–x) O1 40 cm O x O 2 40 x G1 = 3 ÇÖZÜM 2 Şekildeki II nolu levha ile levhanın r yarıçaplı III nolu bölümünün ağırlık merkezi K noktası ve bu levhaların ağırlını G2 = 2 birim alalım. Levhanın G2 = 1 G 3.x = 1.(40–x) 3.x = 40– x 4x = 40 x = 10 cm bulunur. daha koyu taranmış olan kalan kısmının ağırlığı G1 = 2 birim olur. Şekildeki koordinat sistemi oluşturulur. O1 merkezli çemberin kütlesi m1 = 3 birim ise O2 merkezli çembe- y m1 = 3 O1 30 cm x 10 cm O2 G2 = 2 Aynı levhadan kesilen K ve L merkezli düzgün ve türdeş dairesel levhalar A noktasından şekildeki gibi birbirine yapıştırılmıştır. y eksenine göre moment alınarak, m .x + m .x 2 2 x= 1 1 m +m 3.0 + 1.40 3+1 40 x= 4 x = 10 cm bulunur. Yanıt : A x= A) 2r 2r A K 10 7 B) 11 7 12 7 C) D) 13 7 E) ÇÖZÜM ÖRNEK 7 Levhaların ağırlıkları alanları ile doğru orantılıdır. 2r yarıçaplı O merkezli düzgün ve türdeş dairesel levhadan kesilerek çıkarılan r merkezli I nolu dairesel levha II konumunda levhaya yapıştırılıyor. 2 2 K 2 2 S = πr = π . 4r L L 2 2 S = πr = π . r M M S = πr = π . 4r II K O 3 4 C) 2 3 D) 1 2 I r E) G = 4 birim K r K G = 4 birim L G M = 1 birim Ağırlık vektörleri şekildeki gibi çizilir. Sistemin kütle merkezinin K noktasından uzaklığı kaç r dir? y 1 3 K 2r GM = 1 2r r M r ÇÖZÜM 1 Levhaların ağırlıkları alanları ile doğru orantılı olduğundan, A1 = π.4r2, G1 = 4 2 G A2 = πr , G2 = 1 A3 = πr2 , G3 = 1 alınabilir. A2 alanlı parça çıkarıldı- GK = 4 G2 = 1 II K MO r x r 2rx GL = 4 Sistemin kütle merkezinin K den uzaklığı G .x + G .x + G .x L L M M x= K K G +G +G r G3 = 1 K L 4.0 + 4.4r − 1.5r x= 4+4 − 1 11 x= r bulunur. 7 Yanıt : B G G =4 1 ğından ağırlık vektörü ters yönlüdür. Sistemin M ağırlık merkezinin K den uzaklığına x diyerek M noktasına göre moment alınırsa, 4.(2r–x) = 1 (r + 2r – x) + 1(r+x) 8r – 4x = 3r – x + r + x -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- I G1 = 2 r M r L L merkezli levhadan M merkezli r yarıçaplı levha kesilerek çıkarıldığına göre sistemin kütle merkezi K noktasından kaç r uzaklıktadır? 2 B) O ÖRNEK 8 m2 = 1 rin kütlesi m2 = 1 birimdir. A) 1 K III M r r r Sistemin ağırlık merkezi ⎪KO⎪ nun orta noktası olan M noktası olur. ⎪KM⎪ = r dir. Yanıt : A ÇÖZÜM 2 1 II 32 M x 14 7 FİZİK – ÖSS Ortak ÖRNEK 9 ÇÖZÜM M N R a L K a 2a A yatay S X a K O a B L P 2a 3P ağırlığındaki eşit bölmeli düzgün KL çubuğu P ağırlığındaki X cismi ile şekildeki gibi dengededir. a C M N a a a Düzgün ve türdeş K ve L levhalarının kütle merkezi AO nun orta noktasındadır. Bu nedenle kütleleri mK = mL dir. Buna göre, çubuğun kütle merkezi nerededir? (Sürtünmeler önemsenmiyor.) Düzgün türdeş M ve N levhalarının kütle merkezi, OC doğrusu üzerinde herhangi bir noktada olabilir. mM > mN ise, OB arasında A) R noktasında B) RN arasında C) N noktasında D) NM arasında E) M noktasında mM = mN ise, B noktasında mM < mN ise, BC arasındadır. ÇÖZÜM mK = mL = mM = mN ise, R = 2T T T K mK + mL = mM + mN olabilir fakat kesin değildir. Yanıt : A M x N R ÖRNEK 11 Türdeş ve özdeş 10 kareden oluşan şekildeki düzgün ince levhanın L, M, N, R, S, T parçaları tek; K, P parçaları da çift katlıdır. L yatay S Gç = 3P X P Buna göre, bu levhanın kütle merkezinin koordinatları (x, y) aşağıdakilerden hangisidir? İplerdeki T gerilme kuvvetlerinin N noktasındaki bileşkesi R = 2T dir. Bu noktaya göre moment alınırsa, 3P . x = P . 3 x = 1 birim bulunur. Bu da çubuğun kütle merkezinin M noktasında olduğunu gösterir. Yanıt : E A) (2,2) a a K A a O M = 4m koordinatları (2,2), L, P, T parçalarının toplam kütlesi m3 = 4m koordinatları (5,3) tür. 2a Levhanın kütle merkezinin x koordinatı m x +m x +m x 2 2 3 3 x= 1 1 m +m +m L a 2a a 1 Şekildeki levha, farklı metallerden yapılmış dikdörtgen biçimli, ince, düzgün ve türdeş K, L, M, N parçalarından oluşmuştur. Bu levhanın kütle merkezi O noktasıdır. K, L, M, N parçalarının kütleleri sırasıyla mK, mL, mM, I. mK = mL II. mM = mN 1 III. mK + mL = mM + mN B) Yalnız II E) II ve III C) I ve II (ÖSS–2005) -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- 2 N P R S T y 0 1 2 3 4 5 6 D) (3,3) E) (3,4) (ÖSS–2006) x 6 5 4 3 2 1 2 3 33 K L M N P R S T 0 1 2 3 4 5 6 3 2m.5 + 4m.2 + 4m.3 y= 2m + 4m + 4m 30m y= = 3 tür. 10m Yanıt: D eşitliklerinden hangileri kesinlikle doğrudur? D) I ve III L M 2m.1 + 4m.2 + 4m.5 x= 2m + 4m + 4m 30m x= = 3 tür. 10m Levhanın kütle merkezinin y koordinatı m y +m y +m y 2 2 3 3 y= 1 1 m +m +m mN olduğuna göre, A) Yalnız I K C) (2,4) = 2m koordinatları (1,5), M, N, R, S parçalarının toplam kütlesi m2 a N 6 5 4 3 2 1 ÇÖZÜM Şekildeki K parçasının kütlesi m1 ÖRNEK 10 2a B) (2,3) x y FİZİK – ÖSS Ortak ÇÖZÜMLÜ TEST 3. K 1. K noktası çevresinde dönebilen sürtünmesiz yatay düzlemdeki katı → → → cisme F1, F2, F3 kuvvetleri şekil- ® F1 ® F3 D) F3 > F2 > F1 E) F3 > F1 > F2 ÇÖZÜM Bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin büyüklüğü M = F.d bağıntısı ile bulunur. F1 kuvvetinin K noktasına olan dik uzaklığı 3 birim, F2 kuvvetinin 2 birim, F3 kuvvetinin 1 birimdir. ® F1 ÇÖZÜM I. M ye asılan cisimlerden birini alıp L ye bağladığımızda O ya göre bileşke moment ΣM = 2P.3+P.2+P.1–P.1–3P.2 ΣM = 2P olur. Çubuk dengede kalmaz. II. K ye asılan cisimlerden birini alıp L ye bağladığımızda O ya göre bileşke moment ΣM = P.3 + P.2 + 2P.1–P.1–3P.2 = 0 olduğundan çubuk dengede kalır. III. P ye asılan cisimlerden birini alıp R ye bağladığımızda O ya göre bileşke moment ΣM = 2P.3 + 2P.1 –P.1–2P.2–P.3 = 0 olduğundan çubuk dengede kalır. Yanıt: E ® F3 1 br F3 > F2 > F1 dir. Yanıt: D yatay yatay L K a a O Şekildeki gibi biçimlendirilmiş ağırlığı önemsiz eşit bölmeli çubuk O noktası etrafında serbestçe dönebiliyor. K ve L cisimleri çubuğa şekildeki gibi asıldığında dengesi bozulmuyor. Buna göre, I. K ve L cisimlerin ağırlıkları eşittir. II. K ve L cisimlerin yerleri değiştirilirse denge bozulmaz. III. K nin ağırlığı L ninkinden küçüktür. 4. B) Yalnız II D) I ve II K P1 Þekil 1 yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I yatay A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ya da II E) II ya da III F1.3 = F2.2 = F3.1 olduğundan 2. R işlemlerinden hangileri yapılıp çubuk yatay konumdan serbest bırakılırsa dengede kalır? ® F2 K M = F1.d1 = F2.d2 = F3.d3 P Ağırlığı önemsenmeyen çubuğa özdeş cisimler şekildeki gibi bağlanmıştır. Buna göre, I. M ye asılı cisimlerden birini alıp L ye bağlama II. K ye asılı cisimlerden birini alıp L ye bağlama III. P ye asılı cisimlerden birini alıp R ye bağlama Bu kuvvetlerin K noktasına göre momentlerinin büyüklükleri eşit ise kuvvetlerin büyüklükleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? B) F1 > F2 > F3 N ® F2 K D) F2 > F3 > F1 M O deki gibi etki etmektedir. A) F1 = F2 = F3 L L P2 K yatay K Þekil 2 L yatay L yatay C) Yalnız III E) II ve III P3 Þekil 3 ÇÖZÜM Eşit bölmelenmiş KL çubuğu üç ayrı şekilde P1, P2 yatay yatay ve P3 ağırlıklı cisimlerle şekillerdeki gibi yatay olarak L K x O dengelenmiştir. y Buna göre, cisimlerin P1, P2, P3 ağırlıkları arasın- O noktası çevresinde dönebilen ağırlıksız çubuk dengede olduğuna göre, PK.x = PL.y ve x > y olduğundan PL > PK daki ilişki nedir? (Makara ağırlıkları ve sürtünmeler önemsenmiyor.) dir. Cisimlerin yerleri değiştirilirse O noktasına göre, ağırlıklarının momentleri PL . x > PK . y olduğundan denge bozulur. A) P1 < P2 = P3 Yanıt: C -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- B) P3 < P1 = P2 D) P1 < P3 < P2 34 C) P1 < P2 < P3 E) P1 = P2 = P3 FİZİK – ÖSS Ortak ÇÖZÜM KL çubuğu Şekil 1 de dengede olduğuna göre, ağırlığı P1 ağırlık merkezi O noktası- 6. dır. K P1 Şekil 2 de ise, yere bağlı ipin çubuğa bağlı olduğu noktaya göre moment alınırsa P1.3 = P2.2 olduğundan P2 = 3P 1 2 P1 P1 L O yatay Þekil 1 P2 P1 K L r r yatay M Y X cisminin ağırlığı 20N, M çıkrığının ağırlığı 10N olduğuna göre, F kuvveti kaç N dur? L dir. F X K K noktasından dönebilen ve ağırlığı önemsenmeyen, eşit bölmeli düzgün ve türdeş KL çubuğu, F kuvvetiyle şekildeki gibi yatay olarak dengede tutulmaktadır. yatay A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30 Þekil 2 ÇÖZÜM Şekil 3 te tavana bağlı ipin çubuğa bağlı olduğu noktaya göre moment alınırsa P1.3 = 2P3.1 P3 = 3P 1 2 Yanıt: A 5. K P1 Çıkrık dengede olduğundan, bileşke moment sıfır olur. Px . 2r = Py . r den L yatay 2P3 P3 dir. ® F2 K K yatay I Py = 40 N olur. ® F3 K II yatay III yatay Her birinin ağırlığı P olan düzgün, türdeş ve eşit bölmeli I, II ve III dikdörtgen biçimli levhalar, yatay düzlem üzerinde dengededir. Bu levhaları K noktası etrafında döndürebilmek için her birine uygulanacak en → → → küçük F1 , F2 ve F3 kuvvetleri şekildeki gibidir. 7. Buna göre, uygulanan kuvvetlerin büyüklükleri arasındaki ilişki nedir? A) F1 < F2 < F3 B) F2 < F1 < F3 C) F3 < F1 < F2 r PX =20N D) F1 = F2 < F3 B) L M 10 N Py=40N Y (+) () Eşit bölmeli yatay düzleme m, m, 2m ve 4m kütleli cisimler şekildeki gibi konulmuştur. A) K r X K m Bu cisimlerin kütle merkezi nerededir? E) F1 = F2 = F3 T=70 N () Çıkrığa etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır olduğuna göre, çıkrığın çubuğa bağlı olduğu ipteki T gerilme kuvvetinin büyüklüğü 70 N dir. Çubuk dengede olduğundan, K noktasına göre bileşke moment sıfır olur. 70 . 2 = F . 5 ten F = 28 N bulunur. Yanıt: D F K 20.2 = PY Þekil 3 ® F1 (+) L P S R m 2m 4m C) P D) R E) S ÇÖZÜM ® F1 ® F2 ÇÖZÜM () () K P ® F3 K (+) P Şekildeki m kütleli I cismi ile 2m kütleli II cisminin kütlelerinin toplamı 3m kütle merkezi T dir. I, II, III cisimlerinin kütlelerin toplamı 4m kütle merkezi P, I, II, III, IV cisimlerinin ise kütle merkezi S noktasıdır. () K (+) P (+) P ağırlıklı cisimler düzgün türdeş olduğuna göre ağırlık merkezleri orta noktasındadır. Cisimleri devirebilmek için uygulanacak en küçük kuvvetlerin K noktasına göre momenti, ağırlıkların bu noktaya göre momentlerine eşitlenirse P . 1 = F1 . 4 = F2 . 3 = F3 . 1 olacağından F3 > F2 > F1 Yanıt: E olur. Yanıt: A -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- 35 I K III m IV 4m m L P T S R II2m FİZİK – ÖSS Ortak 8. kildeki gibi dengededir. Buna göre, I. GX > GY Z X II. GZ > GY Y III. GZ > GX X Z düþey yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur? B) Yalnız II D) I ve II meli düzgün, türdeş kare levha şekildeki gibi tavana asıldığında dengede kalıyor. Buna göre, kare levhanın taralı parçalarından, I. K ve P parçalarını birlikte çıkarmak II. R, L, M, N parçalarını birlikte çıkarmak III. L ve R parçalarını birlikte çıkarmak ip GY, GZ ağırlıklı X, Y, Z cisimleri şe- A) Yalnız I 10. Kütle merkezi O noktası olan eşit böl- Eşit hacimli düzgün ve türdeş, GX, ip A R K L P M O N B işlemlerinden hangileri yapılırsa ipin doğrultusu yine AB doğrultusunda olur? C) Yalnız III E) I ve III A) Yalnız I B) I ya da II C) I ya da III D) II ya da III E) I ya da II ya da III ÇÖZÜM ÇÖZÜM Sistemin şekildeki konumda dengede kalabilmesi için, ip doğrultusuna göre sistemi oluşturan parçaların bileşke momenti sıfır olmalı ya da sistemin ağırlık merkezi askı ipi doğrultusunda olmalıdır. K ve P parçalarının ip doğrultusuna göre, bileşke momentleri sıfırdır. R, L, M ve N parçalarının ip doğrultusuna göre bileşke momentleri sıfırdır. Bu nedenle I ve II işlemlerinde askı ipinin doğrultusu AB doğrultusunda olur. L ve R parçaları birlikte çıkarılırsa AB doğrultusunun solundaki parçaların momenti sağındaki parçaların momentinden büyük olduğundan kalan levha saatin dönme yönüne ters yönde döner. Yanıt: B X cisimlerinin ağırlık merkezi ipin asılma doğrultusu üzerindedir. Bu nedenle X cisimlerinin ağırlıkları Y ve Z cisimlerinin ağırlıkları ile karşılaştırılamaz. 3 1 GY 2 G . = 2G . = Y 2 Z 2 G 3 Z GZ > GY dir. Yanıt: B 9. yatay Her biri düzgün türdeş olan, X birbirine yapıştırılmış X ve Y Y küreleri K noktası etrafında 2r O r O dönebilmektedir. İpteki gerilme kuvvetinin K 3P olduğuna büyüklüğü 2 yatay göre, I. X küresinin ağırlığı 8P dir. II. Y küresinin ağırlığı 2P dir. III. X küresinin özkütlesi Y küresininkinden büyüktür. 11. Şekildeki düzgün türdeş kare levhanın kütle merkezi O noktasıdır. Bu kare levhanın K ve L parçaları kesilip çıkarılıyor. Bu parçalarla birlikte, I. 1 ve 4 parçalarını kesip çıkarma II. 2 ve 3 parçalarını kesip çıkarma III. 2 ve 4 parçalarını kesip çıkarma D) I ve III B) Yalnız II C) I ve II E) II ve III 3P . 4r = GY . 3r 2 GY = 2P dir. X küresi ile Y küresinin ağırlıkları ve özkütleleri karşılaştırılamaz. Yanıt: B -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- X ÇÖZÜM Bir sistemden çıkarılan parçaların kütle merkezleri sistemin ilk kütle merkezinde ise kütle merkezinin yeri değişmez. Şekildeki K ve L parçalarının kütle merkezi O1 dir. Kütle merkezleri O2 olan O G X yatay 3P 2 T= Y 2r L 4 A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ya da II D) II ya da III E) I ya da II ya da III ÇÖZÜM Sistem dengede olduğuna göre, O noktasına göre bileşke moment sıfır olur. T . 4r = GY . 3r 3 2 O işlemlerinden hangileri yapılırsa levhanın kütle merkezi yine O noktası olur? yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I K 1 K 1 2 O2 3 4 O O1L 2P r herhangi iki parça sistemden çıkarılırsa kütle merkezinin yeri değişmez. Kütle merkezi O2 nokta- GY sında olan bu iki parça 1 ve 4 parçaları veya 2 ve 3 parçaları olabilir. Yanıt: C K yatay 36 FİZİK – ÖSS Ortak KONU TESTİ 4. F2 F1 L L 1. → Aynı düzlemde bulunan F1, ® F2 → → → F2, F3 ve F4 kuvvetlerinden → A) Yalnız F3 → → D) F3 ve F4 II F3 yatay L F ® F1 → B) Yalnız F4 b K yatay I ® F3 O hangilerinin O noktasına göre → momenti, F kuvvetinin momentine eşittir? a K ® F4 b K → → C) F1 ve F2 III yatay K noktasından dönebilen türdeş KL çubuğu F1, F2, F3 kuvvetleri ile I, II, III teki gibi ayrı ayrı dengeleni- → → E) F2 ve F3 yor. β > α olduğuna göre, bu kuvvetlerin büyüklükleri arasındaki ilişki nedir? A) F1 = F2 = F3 B) F1 > F2 > F3 D) F3 > F1 = F2 2. Düşey düzlemde O noktası etrafında dönebilen P ağırlığındaki düzgün, türdeş ve eşit kare bölmeli cisim şekildeki → → → F1, F2 ve F3 kuvvetleri ile ayrı ® F1 ® F2 O F G Ağırlığı önemsenmeyen eşit bölmeli çubuk üzerine konulan G ağırlıklı cisim, F kuvvetiyle şekildeki gibi yatay olarak dengeleniyor. D) F1 = F3 > F2 Makara ağırlığı ve sürtünmeler önemsenmediğine göre, F kuvvetinin büyüklüğü, G ağırlığının kaç katıdır? 1 4 A) P ağırlığında düzgün, türdeş çubuk ağırlıkları PX, yatay E) F3 > F1 = F2 3. B) F1 = F2 = F3 C) F1 > F2 > F3 ® F3 leri arasındaki ilişki nedir? A) F1 = F2 > F3 E) F2 > F1 > F3 5. ayrı dengede tutulabiliyor. → → → Buna göre, F1 , F2 ve F3 kuvvetlerinin büyüklük- C) F1 = F2 > F3 B) 1 3 C) 1 2 D) 1 E) 2 yatay 6. T PY, PZ olan X, Y ve Z cisimleri ile şekildeki gibi dengededir. Z Y Çubuğu tavana bağlayan X ipteki gerilme kuvvetin büyüklüğü T olduğuna göre; I. PX = P A C D E F G B yatay P II. T = 3PY III. PX > PY Sürtünmelerin önemsenmediği sistemde ağırlığı 3P olan eşit bölmeli AB çubuğu P ağırlıklı cisim ile yatay olarak dengededir. Buna göre, çubuğun ağırlık merkezi nerededir? IV. PX > PZ yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur? A) I ve II A) CD arasında C) DE arasında B) III ve IV C) II ve III D) I ve IV E) Yalnız IV -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- B) D noktasında D) F noktasında E) FG arasında 37 FİZİK – ÖSS Ortak 7. 3P A 1. B 2. D 3. E 4. C eşkenar üçgen çerçevenin türdeş AB ve BC kenarlarının ağırlıkları P, türdeş AC kenarının ağırlığı ise 2P dir. yatay B P A yatay B P I II P B yatay Ağırlığı 4P olan eşit bölmeli düzgün, türdeş AB çubuğu P ve 3P ağırlıklı cisimlerle I, II, III teki gibi tutulmaktadır. Çubuklar serbest bırakıldığında hangileri yatay olarak dengede kalabilir? (Makaralarda sürtünme önemsenmiyor.) 8. 12. K ip ip L I II D) I ve II 9. 3 1 0 A) (4, 3) 6 5 7 x 8 C) (3, 4) D) (3, 2) O A) L K B) (4, 2) 8A olan düzgün, türdeş bir tel şekildeki gibi bükülüyor. Buna göre, tel O noktasından asıldığında aşağıdakilerden hangisindeki gibi dengede kalır? (KP eşit bölmelidir.) B) 6l 2l 2l 6l B) L noktasında D) K noktasında C) E) KO arasında K 3l E) l C) I ve III E) I, II ve III 38 l P N M 3l L K 3l l L K 3l M P N P N M L 3l l Y l L D) l 3l X kare bölmeli X ve Y levhaları, şeK O kildeki gibi birleştirilip O noktasın- yatay dan bir destek üzerine konuldu2 1 ğunda yatay olarak dengede kalıyor. Buna göre, I. X levhasının ağırlığı Y ninkinden küçüktür. II. K ve L parçaları kesilip alınırsa levhalar 2 yönünde döner. III. K ve L parçaları yerdeğiştirirse düzeneğin denge durumu değişmez. yargılarından hangileri doğrudur? -MEF İLE HAZIRLIK 2. SAYI- 4 3 2 13. Boyu Buna göre, yeni cismin kütle merkezi nerede olur? (OM arası eşit aralıklıdır.) D) II ve III 1 Şekildeki düzgün ve türdeş kare levhalardan oluşan sistemin kütle merkezinin koordinatları nedir? M B) I ve II C B y M Türdeş kare levhadan kesilen parça şekildeki gibi ekleniyor. A) Yalnız I N 2 B) Yalnız II C) Yalnız III E) I ve III 10. Her biri düzgün ve türdeş olan eşit M 4 III A) ML arasında C) LK arasında L S R P 5 Düzgün ve türdeş bir tel I, II, III teki gibi bükülüp K, L, M noktalarından iple asılmıştır. Buna göre, tellerden hangileri serbest bırakıldığında asıldıkları konumda dengede kalır? A) Yalnız I K O 6 B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ya da II E) I ya da III ip 7. D A) MN arasında B) NO arasında C) O noktasında D) OP arasında E) P noktasında III A) Yalnız I 6. D A Buna göre, üçgen çerçevenin kütle merkezi nerededir? (BS arası eşit bölmelidir.) A 5. A 11. Şekildeki E) (5, 3) O 3l 3l l P N M L K l 8. C 9
