MSGSÜ Mat121 Analiz 1 Aras nav 20 Kas m 2015

MSGSÜ
Mat121Analiz 1
Arasnav
20 Kasm 2015.
Süre: 120 dk.
Snavda toplam
sim:
No:
100 puanlk 9 soru var.
Soru
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Toplam
Puan
10
30
25
5
10
5
5
5
5
100
Kazanlan
1. (10 Puan) Verilen
A = {x ∈ R : |x − 3| < 2}
kümesinin supremum ve inmum de§erlerini bulunuz.
2. Verilen
A
ve
B
kümeleri için,
A·B
kümesi
A · B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}
ile tanmlanr.
(a) (10 Puan)
sup(A · B)
(b) (10 Puan)
A = {−8, 1, 2, 3}, B = {−1, −2, −1/2, 1/2}
kümeleri için
sup A, sup B ,
de§erlerini hesaplaynz.
A = {−1, 2, 3}, B = {0, 1/2, 1}
kümeleri için
sup A, sup B , sup(A · B)
de§erlerini hesaplaynz.
a ve b ³klarndan edindi§iniz gözleme dayanarak, sonlu sayda elsahip herhangi A ve B kümeleri verildi§inde sup(A · B) = sup A · sup B
için A ve B kümelerinin hangi ko³ulu sa§lamasnn yeterli olabilece§ini
(c) (5 Puan) Önceki
emana
olmas
dü³ünürsünüz?
(d) (5 Puan) c ³kkndaki dü³üncenizi kantlaynz.
3. A³a§da verilen her bir ³ktaki
f ⊆ A×B
kümeleri neden
A
kümesinden
B
bir fonksiyon tanmlamaz? Açklaynz.
(a) (5 Puan)
A = R, B = R, f = {(x, y) ∈ A × B : x = y 2 }
(b) (5 Puan)
A = R, B = [0, ∞], f = {(x, y) ∈ A × B : 2x = 3y − 1}
(c) (5 Puan)
A = R, B = R, f = {(s, t) ∈ A × B : |s + t| = 1}
(d) (5 Puan)
A = [−1, 1], B = [−1, 1], f = {(p, q) ∈ A × B : p2 + q 2 = 1}
√
1
A = [ , 5], B = [−10, 10], f = {(u, v) ∈ A × B : v = u2 − 1}
2
(e) (5 Puan)
kümesine
4. (5 Puan) Gösteriniz ki, e§er
f
fonksiyonu tek fonksiyonsa,
HATIRLATMA:Reel saylarda tanml bir
−f (x)
ise,
f
f (0) = 0 dr.
x∈R
fonksiyonu, e§er her
için
f (−x) =
ye tek fonksiyon denir.
f :A→B
5. (10 Puan)
f
ve
g:B→A
fonksiyonlar verilsin;
I:B→B
fonksiyonu birim
fonksiyon olsun. E§er
f ◦g =I
ise, bu durumda
6. (5 Puan)
fonksiyonu örtendir, gösteriniz.
lim f (x) = L
x→a
tanm yaznz:
Öyle
f
için a³a§da verilen tanmda yaplan yanl³ açklaynz; do§ru
ε > 0 ve δ > 0 saylar vardr ki, 0 < |x−a| < δ y sa§layan her x için |f (x)−L| < ε
dur.
f (x) = x2 fonksiyonunu alalm. Verilen ε = 1/2 saysna kar³lk, öyle bir δ > 0
ki, |x − 1| < δ y sa§layan her x için, |f (x) − 1| < ε olsun.
7. (5 Puan)
bulunuz
8. (5 Puan) Limitlerle ilgili hangi özellikler sayesinde
sadece
9.
lim x = 1
x→1
x3 − 1
= 3
lim
x→1 x − 1
elde etmek için,
oldu§unu bilmemiz yeterlidir?
(a) (3 Puan) Her yerde tanml olup, hiç bir noktada limiti olmayan bir fonksiyon örne§i
yaznz.
(b) (2 Puan) Her yerde tanml olup, sadece bir tek noktada limite sahip olan bir
fonksiyon örne§i yaznz.