Cebir Notları - Soruhane.com

www.matematikclub.com, 2006
MC
Cebir Notları
Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr
Bağıntı Fonksiyon
KARTEZYEN ÇARPIMIN GÖSTERĐLME
ŞEKĐLLERĐ
KARTEZYEN ÇARPIM
1.
SIRALI KÜMELER
Eğer bir kümede elemanların sırası önemli ve yer değiştirmesi mümkün değilse böyle kümelere sıralı kümeler
denir ve normal parantezle gösterilirler.
A = {a, b, c} kümesi sıralı küme ise B = (a, b, c) biçiminde
gösterilir.
1.
Liste yöntemi ile gösterme :
Kartezyen çarpımı elemanları ile liste ile göstermedir.
Örneğin; A = {1, 2} B = {3, 4, 5} ise A x B yi liste yöntemi
ile gösterelim.
A x B = {(1,3), (1,4) (1,5) , (2,3), (2,4), (2,5) } dir.
Burada A = {a, b, c} ya da A = { b, a, c} biçimlerinde yazılabilir. Ancak B = (a, b, c) ise B ≠ (b, a, c) dir.
Eğer sıralı küme iki elemanlı ise buna sıralı ikililer, sıralı
küme üç elemanlı ise bunada sıralı üçlüler denir. Sıralı
ikililerde de
x ≠ y; (x,y) ≠ (y, x) dir.
2.
Şema ile gösterme :
A kümesi önce, sonra B kümesi şema ile gösterilir ve
karşılıklı elemanlar oklarla birleştirilir.
A = {1, 2} B = {1, 2, 3} ise A x B şema ile
Sıralı Đkililerde Eşitlik
A
(a, b) = (x, y) ⁄ x = a ve y = b dir.
•1
B
•1
•2
•2
•3
biçiminde gösterilir.
ÖRNEK :
(3x – y, y + 4x) = (5, 9) ise (x, y) ikilisi nedir?
A) (1,2)
B) –1,2)
C) (2,1)
D) (2,3)
E)
Çözüm :
(3x – y, y + 4x) = (5, 9) →
3x − y = 5
y+ 4x = 9
sistemin çözümü ile x = 2, y = 1 bulunur.
(x, y) = (2, 1)
Yanıt : C
3.
Grafikle gösterme :
Birbirine dik iki eksen alırız. Yatay olana birinci küme
elemanları düşey olana ikinci küme elemanları alınır. Bunlardan çizilen dikmelerin kesişme noktaları kartezyen çarpımın
elemanlarıdır.
ÖRNEK :
A = {a, b} B = {1, 2, 3} ise A x B nin grafiği nedir?
KARTEZYEN ÇARPIM
A kümesi ile B kümesinin kartezyen çarpımı A x B biçiminde gösterilir ve A x B = {x, y) | x A ve y B} dir.
Çözüm :
Örneğin; A = {a, b, c} ve B = { 2, 3} ise
3
A x B = {(a, 2) (a, 3) (b, 2) (c, 2) (c, 3) } kümesidir.
2
1
1.
AxB≠BxA
Ax=Bx=
3.
A x (B ≈ C) = (A x B) ≈ (A x C)
4.
A x (B ↔ C) = (A x B) ↔ (A x C)
5.
s(A x B) = s(B x A) = s(A) x s(B)
(b, 3)
(a,2)
(b, 2)
(a, 1)
(b, 1)
a
KARTEZYEN ÇARPIMININ ÖZELLĐKLERĐ
2.
(a,3)
b
ÖRNEK :
A = {x|1 < x < 2 , x ∈R }
B = {x|0 < x < 3, x ∈R} 
ise A x B grafiği nedir?
www.matematikclub.com
TERS BAĞINTI
Çözüm :
A dan B ye bir bağıntı β ise B den A ya β bağıntısındaki
elemanlar kendi görüntülerine bağlayan bağıntıya β nın
tersi denir ve β–1 ile gösterilir.
y
3
2
1
1
x
2
taralı bölge istenilen grafiktir.
ÖRNEK :
A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4} için
β ∈ AxB→
β = { (a, 1) (a, 3) (b, 4) (c, 2), (b, 3)} ise
β–1 ∈ B x A ise
β–1= { 1,a), (3,a), (4,b), (2,c), (3,b } dir.
β
A
BAĞINTI
•a
A x B nın her alt kümesine A da bir bağıntı denir.
•c
A dan B ye tanımlanabilen bağıntı sayısı:
B
•1
•1
•a
•2
•b
•2
•b
β -1
B
⇒
•3
•3
•4
•4
A
•c
Bağıntı bir alt küme olduğu için
bağıntı sayısı = 2s(A) x s(B) dır.
β -1
Örneğin A = {a, b} ve B = {m, n, p} ise A dan B ye 22.3 =
64 bağıntı tanımlanabilir. (Buna ∅ nin dahil olduğuna
dikkat ediniz.)
B
B ∈ A x B bağıntısında (x, y)
β(x) biçimlerinde yazabiliriz.
B ∈ A x A ise β da aşağıda tanımlanan dört özellik
bulunabilir.
β ise bunu yβx ya da y =
∈
1.
A x B ise β da hiç bir özellik yoktur.
Yansıma özelliği :
Tanım
ÖRNEK :
A = {1, 2, 3}; B = {1, 2} ise β ℘ A x B ve
β = { (1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1) } ise bunu şema ve
grafikle gösteriniz?
β ∈ A x A iken ∀x ∈ A için (x , x) = β ise β bağıntısı
yansıyandır.
Örneğin; A = {1, 2, 3} iken
β1 = {(1, 1) (2, 2), (3, 3) } ve
β2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 3) } bağıntıları yansıyandır.
Çözüm :
β3 = { (1,1), (2, 2), (3,1), (3, 2) } bağıntısı yasıyan değil-
Şema ile gösterimi :
dir.
A
B
•1
•2
•3
Yansıyan bağıntı sayısı β ℘ A x A ise s(A) = n ise
2–n
•1
β bağıntısı 2n
•2
Örneğin; A = {a, b, c} kümesinde 29–3 = 26 = 64 tane
yansıyan bağıntı kurulabilir.
2.
Grafik ile gösterimi :
değişik biçimde kurulabilir.
Simetri özelliği :
B ∈ A x A iken her (x, y) ∈ β iken (y, x)
yorsa β bağıntısına simetrik bağıntı denir.
B
β
Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} iken β
2
1
1
2
3
A
∈
β olu-
A x A ve
β = { (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (1, 4), (4, 1) } bağıntısı
simetrikdir.
β1 = { (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (1, 2) } bağıntısı simetrik
değildir.
Çünkü (2, 1) ∈β dir.
www.matematikclub.com
∅
β1
küme simetrik bir bağıntıdır.
Simetrik bağıntı sayısı : β ℘ A x A ve s(A) = n ise si-
2
n +n
2
A x A ve β1 = { (a, b) (b, a), (a, a) } ise β1 geçişken
∈ β olduğu halde (b, b) ∉ β dır.
β geçişkendir.
2
metrik bağıntı sayısı
∈
değildir.
Çünkü (b, a) ve (a, b)
dir.
Örneğin; A = {a, b, c} kümesinde tanımlı 2
bağıntı kurulabilir.
9+3
2
SIRALAMA BAĞINTISI
simetrik
β ∈ A x A iken β yansıyan, ters simetrik ve geçişken ise
β bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır.
Örneğin; A = {a, b, c} ise β ϖ A x A ve
β = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c) } bir sıralama
bağıntısıdır. (Yansıyan, ters – simetrik, geçişkendir.)
TERS – SĐMETRĐ ÖZELLĐĞĐ
β ∈ A x A iken (x, y) ve (y, x) ikilileri birlikte β de yoksa β
ters simetriktir. (x, x) ∈ β ters simetriyi bozmaz.
∅ ters simetrik bir bağıntıdır. Tek elemanlı tüm bağıntılar da ters simetriktir.
ÖRNEK :
A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı
β = {(a,a) (b,b) (c,c) (d,d),(a,b),(b,c),(a,c),(a,d) (d,c)}
bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır. Bunu sıralı şema ile
gösteriniz.
Çözüm :
Örneğin; A = {1, 2, 3, 4), β ℘ A x A ve
c
β = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 4) } iken β ters sietriktir.
β1 ∈ A x A ve
b
β1 = { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 2), (3, 4) } ters simetrik de-
d
ğildir.
a
Ters simetrik bağıntı sayısı :
β
∈ A x A ve s(A) = n ise ters simetrik bağıntı sayısı:
n2 +n
2 .2 2
− 2 n bulunur.
Đkililerde önce gelen eleman aşağıda sonra gelen yukarıda olacak ve oklarla bağlanacak biçimde alındı.
DENKLĐK BAĞINTISI
β ∈ A x A iken β yansıyan – simetrik – geçişken ise β
bağıntısı denklim bağıntısıdır.
Not:
Ters – simetrik olupta simetrik olmayanların sayısı :
n 2 +n
2 2
hem simetrik hem de ters simetrik bağıntı sayısı
n 2 −n
2 2
ÖRNEK :
DENKLĐK SINIFI
Bir denklik bağıntısında birbirine bağlı olan elemanların
oluşturduğu kümeye denklik sınıfı denir. Denklik sınıfı,
sınıfa ait herhangi bir elemanın üzerine bir çizgi konularak belirlenir. Eğer denklik sınıfları tam sayılardan
oluşuyorsa, sınıf temsilcisi olarak negatif olmayan en küçük tam sayı sınıf temsilcisi olarak belirlenir.
A = {a, b, c} ise ters simetrik bağıntı sayısı kaçtır?
Çözüm :
s(A) = 3 ters simetrik bağıntı sayısı
32+3
2 .2
2
− 2 3 = 2 .26 − 8 = 120 tanedir.
GEÇĐŞME ÖZELLĐĞĐ
β ∈ A x A iken β da (x, y) ve (y, z) gibi hiç bir eleman
yoksa β geçişkendir. Ancak (x, y) ∈ β ve (y, z) ∈ β iken
(x, z) ∈β ise β geçişkendir.
Örneğin; A = {a, b, c} iken B
∈ A x A ve
B = { (a, b) (b, c), (a, c) } ise β geçişkendir.
ÖRNEK :
A = {a, b, c, d} verilmişken β ℘ A x A da
β 1 = {(a, a), (b,b) (c, c) (d,d) (a,b) (b,a), (c, d),(d,c)}
kümesi bir denklik bağıntısıdır. (Yansıyan, Simetrik,
Geçişken)
 A1 = {a,b } = a = b

A = {c,d } = c = d
Denklik sınıfları  2
www.matematikclub.com
ÖRNEK :
β = {(x, y) | x – y üçlü bölünebilir, x , y ∈ Z}
β ∈ Z x Z olduğu için bu bağıntının bir denklik bağıntısıdır.
Çözüm :
1)
∀x ∈ Z için (x, x) ∈ β →
x–x
3 = a, (a, ∈Z) midir?
0
x – x = 0; 3 = 0 dir.
O halde yansıyandır.
2)
Çözüm :
1998 + 3 mod5 → 19981998 = 31998 mod5
1998 4
3' + 3 mod5
O halde,
499
32 + 4 mod5
– 16
33 + 2 mod5
39
⇒
34 + 1 mod5
– 36
38
– 36
2
19981998 = 31998 mod5
4
x, y ∈Z için
(x, y) ∈ β →
499
(3 )
=
x–y
y–x
= a1 → 3 = –a1 → (y, x)
3
. 32 = 1499 . 32 (mod 5 )
= 32 + 4 (mod5)
β dır.
Yanıt : E
(Simetrik)
FONKSĐYON
3)
x−y
= a1 ∈ Z 
(x, y) ∈β ⇒
3
 taraf tarafa toplayal›m.
y−2
= a 2 ∈ Z
( y,z) ∈β ⇒

+ 3
x–z
= a 1 + a 2 = a ∈ Z ⇒ (x, z) ∈ β geçi½ken
3
A ≠ ∅ ve B ≠ ∅ ve f ∈ A x B de f bağıntısı A nın her
elemanını bir ve yalnız bir bağ ile B nin elemanlarına eşliyorsa f bağıntısına fonksiyon denir.
Örneğin;
A
O halde bu bağıntı Z de bir denklik bağıntısıdır.
Denklik sınıfları :
0
A1 = {0, 3, 6, 9, 12, ............. –3, –6, –9, .............} = –
A2 = {1, 4, 7, 10, 13, 16, ...... –2, –5, –8, –11, ....} = –
1
2
A3 = {2, 5, 8, 11, 14, .........–1, –4, –7, –10, ........} = –
f
B
•1
•a
•2
•b
•3
•c
•4
•d
f, A dan B ye bir fonksiyondur. Bu fonksiyon
f = {(1, a) (2, a) (3, d) (4, c) } dir.
Denklik sınıfları kümesi Z/3 = { –
0,–
1,–
2 }
A dan B ye bu fonksiyonda A ya tanım kümesi B ye değer kümesi denir.
Tanım :
FONKSĐYON ÇEŞĐTLERĐ
β = { (x, y) | m böler (x – y) ; x, y ∈Z} kümesi denklik bağıntısıdır. Denklik sınıfları Z/m = {–
0, –
1 , 3, 4, .... ——
m–1 }
dir. Z/m elemanları (mod m) biçiminde gösterilir. Kalanına denk olma anlamına gelir.
Bire – bir fonksiyon :
A → B fonksiyonunda
∀ x1, x2 ∈ A ve x1 ≠ x2 → f (x1) ≠ f(x2) ve
Örneğin;
f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ise bu fonksiyona bire bir denir.
47 + 2 (mod5) ; 73 + 1 (mod9)
f
A
87 + 7 (mod10) ; 36 + 0 (mod6)
modüler aritmetikle yapılan işlemler
B
•
A
•
•
•
•
•
•
toplama
p ⊕q = p + q ,
•
çarpma
p
•
•
•
•
•
•
q = p.q ,
B
•
•
•
Örneğin; 17 + 43 = x mod5 e göre x nedir?
| __| fonksiyon
17 + 2 mod5, 43 + 3 mod5 →
17 + 43 = 2 + 3 (mod5)
= 0 (mod5)
ÖRNEK :
19981998 = x (mod5) ise x kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
| __ | fonksiyon
www.matematikclub.com
Örten fonksiyon :
ÖRNEKLER :
A dan B ye fonkisyonda ∀y B için ∃x ∈ A varsa f fonksiyonu örtendir. Yani değer kümesi B de hiç açıkta eleman kalmıyorsa örten fonksiyondur.
1.
R → R tanımlı f(x) = 3x + 1, g(x) = x2 – 1 fonksiyonları
verilmişken
(gof) (x) ve (fog) (x) fonksiyonlarını bulunuz?
f'(A) = B dir.
A
B
f
•
A
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
| __ | örten fonksiyon
h
B
•
•
|__ | de¤il örten fonksiyon
Đçine fonksiyon :
f : A ∅ B fonksiyon iken f (A) ∈ B ise (yani B de açıkta
eleman kalıyorsa böyle fonksiyonlara) içine fonksiyon
denir.
A
B
f
•
A
h
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
| __ | de¤il içine
•
| __| içine fonksiyonu
Sonlu bir kümeden sonlu bir kümeye 1 – 1 örten fonksiyonlara permütasyon fonksiyon fonksiyonu denir.
A = {1, 2, 3} B = {a, b, c} → f = {(1, b) (2, c) (3, a) } bir
permütasyon fonksiyonudur ve tanım kümesi liste değerleri altta gösterilerek de belirlenebilir.
123
bca )
R → R tanımlı f(x) = 2x+1 ve (fog)(x) = 5x+1 ise g(x)
in eşiti nedir?
Çözüm:
R →R (fog)(x) = 5x+1 ise
f(g(x) ) = 5x + 1 → 2g(x) + 1 = 5x + 1 den
5x
g(x) = 2 bulunur.
•
Permütasyon Fonksiyonu :
f(
2.
B
•
•
Çözüm:
R → R f(x) = 3x + 1, g(x) = x2 – 1 ise
(gof)(x) = g( f(x) ) = g(3x+1) = (3x+1)2–1 = 9x2+ 6x
(fog)(x) = f( g(x) ) = f(x2–1) = 3(x2–1)+1 = 3x2–2
•
biçiminde gösterilir.
Permütasyon fonksiyonlarının sayısı (s(A) = s(B) = n ise)
n! dir.
f
A ve B sonlu kümeler A → B fonksiyonlarının sayısı
[s(B)]s(A) dır.
3.
R →R tanımlı (fog)x = 8x + 1 ve
g(x) = 2x – 1 ise f(x) = ?
Çözüm:
R → R ye (fog)(x) = 8x + 1
f (g(x) ) = 8x + 1 → f(2x–1) = 8x + 1 ise
a+1
2x–1 = a → x = 2 dir.
a+1
a+1
f(a) = 8. 2 + 1 → x = 2 dir.
a+1
f(a) = 8. 2 + 1 → f(a) = 4a + 5 dir O halde
f(x) = 4x + 5 bulunur.
Örneğin, A = {1, 2, 3} den B = {a, b} ye kurulabilir fonksiyon sayısı 23 = 8 tanedir.
Birim (Etkisiz) Fonksiyon :
Bileşke Fonksiyonları :
A kümesinde tanımlı fonksiyonda ∀x A → f(x) = x ise
Bu fonksiyona birim (etkisiz) fonksiyon diyoruz ve I(x)
biçiminde gösteriyoruz.
A kümesinden B kümesine bir f(x) fonksiyonu tanımlanmışken B kümesinden C ye de g(x) fonksiyonu verilmiş olsun. Eğer bu fonksiyonlarla A dan C ye yeni bir
fonksiyon tanımlanabiliyorsa bu fonksiyona (gof)(x) fonksiyonu diyoruz.
f
A
(g
of
)
B
g
C
(gof) (x) = g(f(x))
foI = Iof = f bulunur.
Ters Fonksiyon:
A ∅ B ye f(x) fonksiyonu tanımlı iken (fog)(x) = I(x) ise
g(x) fonksiyonuna f(x) in tersi dediğimizi v e g(x) =
f–1(x) biçiminde gösterdiğimizi hatırlayım. f(x) fonksiyonu
B ∅ A bir fonksiyondur.
fof–1 = I birim fonksiyondur.
www.matematikclub.com
ÖRNEK :
ÖRNEK :
R → R; f(x) = 3x + 2 → f–1(x) nedir?
y = g(x)
6
y = f(x)
Çözüm:
x yerine y, f(x) yerine de x koyarak y yi çözeriz.
x–2
x–2
x = 3y + 2 → y = 3 yani f–1 = 3 dür.
4
-2
1
6
4
R de tanımlı ve garfikleri verilen y = f(x) ve
y = g(x) fonksiyonları için
(fogof–1) (6) = A ise A nın eşiti nedir?
ÖRNEK :
3x – 5
R → R de tanımlı olduğu aralıklarda f(x) = x – 2 ise
f–1(x) = ?
Çözüm:
x yerine y, f(x) yerine de x konularak y çözülür.
3y – 5
2x – 5
x = y – 2 → y = x – 3 bulunur.
Not: Pratikte
ax + b
–b'x + b
f(x) = a'x + b' → f'(x) = a'x – a şeklinde kolayca bulunur.
Çözüm:
f(g(f–1(6) ) = f(g.(0) ) = f(4) = 0
(f–1(6) = x → f(x) = 6 → f(0) = 6 dır. f–1(6) = 0
g(0) = 4 ve f(4) = 0 dır.)
A = 0 bulunur.
.
KONU TESTĐ – 1
1.
A x B = {(a, a), (a, b), (a, c), (d, a) (d, b) (d, c) } ise
A
∪
B hangi kümedir?
A) {a, b, c}
B) {a, b, c, d}
C) {a, b, d}
D) {a, c, d}
E) {b, c, d}
ÖRNEK :
R de tanımlı olduğu aralıklarda
3x + 5
f(x) = 7x – 1 iken (fof–1) (x) in eşiti nedir?
2.
Çözüm:
B de (fof–1)(x) = I(x) dır. (tanım) R de I(x) = x olduğu
için:
Sonuç : (fof–1) (x) = x dir.
β = { (a, b) | a ≤ b, a, b
R}
bağıntısında, yansıma, simetri, ters simetri ve geçişme özelliklerinden kaç tanesi vardır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
ÖRNEK :
R de tanımlı
f(x) = x2 – 3x + 4 ; (gof)(x) = 2x2 – 6x + 11 ise
g(x) in eşiti nedir?
3.
Çözüm:
g(f(x)) = 2x2 – 6x + 11
g(x2 – 3x + 4) = 2x2 – 6x + 11
2x2 – 6x + 11 i x2 – 3x + 4 türünden yazacağımız için
g(x2 – 3x + 4) = 2(x2 – 3x + 4) + 3 bulunur.
O halde g(x) = 2x+3 dir.
β = { (x, y | x3 + y = y3 + x, x, y
R}
Bağıntısında hangi özellikler vardır?
A) Yansıma – Ters simetri – Geçişme
B) Simetri – Ters simetri – Geçişme
C) Yansıma – Ters simetri – Simetri
D) Yansıma – Simetri – Geçişme
E) Yansıma – Ters simetri
E) 4
www.matematikclub.com
4.
239 = x (mod5) ise x kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
10.
D) 3
E) 4
A = {a, b, c} kümesinde kaç tane yansıyan bağıntı
yazılabilir?
A) 8
5.
B) 16
C) 32
D) 64
E) 128
386 = x (mod7) ise x in eşiti nedir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
11.
f : A → B örten bir fonksiyon,
f(x) = 3x – 1 ve A = {1, 2, 3, 4} ise B kümesi hangisidir?
6.
2789 hesaplansa birler basamağı kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
A) {2, 5, 8, 11}
E) 9
B) {2, 5, 7, 10}
C) {3, 5, 8, 11}
D) {1, 2, 3, 4}
E) {2, 3, 8, 11}
7.
s(A) = 6, s(A x B) = 30 ise B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256
12.
8.
A) f–1(x) = 5x + 3
1
B) f–1(x) = 3x+5
x–5
C) f–1(x) = 3
3
D) f–1(x) = x–5
2x+1
E) f–1(x) = 3
A dan B ye bir bağıntı
β = { (a, b) (c, d) (d, e), (a, c) } olarak verilmiştir.
d nin β daki görüntüsü (β(d) = ?) nedir?
A) a
9.
B) B
C) c
D) d
A = {a, b, c} B = {b, c, d} ve B ℘ A x B;
β = { (a, b) (b, c) (c, d), (a, c) } dir.
β –1 in eşiti hangisidir?
A) { (b, c) (b, c), (d, c), (c, a) }
B) { (b, c) (c, b) (d, c) (c, a) }
C) { (b, a) (c, b), (c, d), (c, a) }
D) {(a, b) (b, c) (c, d), (c, a) }
E) { (a, b) (c, b) (d, c) (c, a) }
R → R f(x) = 3x + 5 ise f–1(x) in eşiti nedir?
E) e
13.
3x–1
R de tanımlı f(x) = 2x–5 ise f–1(x) in eşiti nedir?
2x–1
A) 5x–2
5x–1
B) 2x–3
–5x–1
D) 2x+3
5x+1
E) 2x–3
5x+1
C) 2x+3
www.matematikclub.com
14.
R → R f(x) = 5x = 1 ise (fof–1)(x) eşiti nedir?
x–1
x+2
x+1
A) 5
B) 5
C) 2x
D) x
E) 5
19.
Reel sayılarda tanımlı f(x) = 3x + 2 ise
(fof)x in eşiti nedir?
A) 9x + 2
B) 9x + 8
x–2
E) 3
D) 9x – 3
20.
15.
f, g . R → R tanımlı fonksiyonlar (fog)(x) = 8x + 2 ve
g(x) = 4x – 1 ise f(x) in eşiti hangisidir?
A) 2x +4
B) 2x – 3
x–2
E) 8
D) 2x + 8
16.
C) 2x + 1
3x + 4
R de tanımlı f(x) fonksiyonu f(x) = x – 2 dır.
f–1(1) in eşiti nedir?
A) 3
17.
B) +2
R de tanımlı f(x) =
A) x3 – 1
D) x3 = 2
18.
C) 1
D) –2
E) –3
3
x–1 ise f–1(x) in eşiti nedir?
x+1
B) x3 + 1
C) 3
x3 – 1
E) 2
R de tanımlı y = f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
4
y = f(x)
-3
4
3
5
-2
Buna göre (fofof)(–3) ün eşiti nedir?
A) –3
B) –2
C) 3
D) 4
E) 5
C) 9x + 6
f, g, R de tanımlı f(x) = 5x+3 g(x) = x2 – 3x + 1 ise
(fog) (1) in eşiti nedir?
A) 1 B) 2
C) –1
D) –2
1
E) – 2