ant türev ve ntegral hesaplama yöntemler

ANTTÜREV VE NTEGRAL
HESAPLAMA YÖNTEMLER
1
TEMEL YÖNTEM VE DE‡“KEN DE‡“TRME
f
Bir kapal aralkta tanmlanm³ olan
ko³ulu sa§lanyorsa
F
fonksiyonu,
titürevlerinin kümesi de
f
f
ve
F
fonksiyonlar için e§er bu aralkta
fonksiyonunun bir antitürevi ve
f
F 0 (x) = f (x)
fonksiyonunun tüm an-
fonksiyonunun belirsiz integrali olarak tanmlanm³t. Ayrca
bir sabit olmak üzere
C
key
Z
f (x)dx := {F (x) + C :
C ∈ R}
oldu§u daha önce gösterildi. Kalkülüsün temel teoremine göre sürekli her fonksiyonun antitürevi
vardr. E§er
f
fonksiyonunun
fonksiyonunun bir
[a, b]
F
antitürevi biliniyorsa, kalkülüsün temel teoremi gere§i,
f
aral§ndaki integrali
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
e³itli§i ile kolayca hesaplanabilir. Yani e§er antitürev hesaplanabiliyorsa integral hesaplamak çok
kolaydr. Bu bölümde antitürev hesaplama yöntemleri verilerek, antitürevler yardmyla integral
de§eri hesaplamalar yaplacaktr.
A³a§daki listede verilen antitürevlerin do§rulu§unu göstermek kolaydr; e³itliklerin sol tarafndaki fonksiyonlarn türevi alnrsa integrand elde edilir.
(
1.
2.
3.
4.
5.
6.
xr+1
r+1
+ C,
ln |x| + C,
r ∈ R − {−1}
r = −1
R
xr dx
R
a ∈ R+ − {1}
R
cos xdx = sin x + C ve
sin xdx = − cos x + C
R
sec2 xdx = tan x + C ve
csc2 xdx = − cot x + C
R
sec x tan xdx = sec x + C ve
csc x cot x = − csc x + C
R dx
√ dx
= arcsin x + C1 ve
= arctan x + C
1+x2
1−x2
R
R
R
R
=
ax dx =
ax
ln a
+ C,
Ayrca
(F + G)0 (x) = F 0 (x) + G0 (x)
e³itli§inden hareketle
f +g
fonksiyonunun herhangi bir antitürevinin
Z
Z
Z
(f + g)(x)dx =
yapsnda oldu§u elde edilir. Benzer ³ekilde
bir antitürevi
c
f (x)dx +
g(x)dx
bir sabit olmak üzere
Z
cf
fonksiyonunun herhangi
Z
cf (x)dx = c
f (x)dx
yapsndadr. A³a§daki örneklerde verilen liste ve bu özellikler yardmyla baz basit antitürevler
ve integraller hesaplanm³tr.
1
Örnek 1
Z
7
5
3
Z
2x − 3x + x + 1 dx = 2
=
Z
7
x dx − 3
5
Z
x dx +
Z
3
x dx +
dx
x8 x6 x4
−
+
+x+C
4
2
4
oldu§u açktr (her bir antitürevde bulunan key sabitler birle³tirilerek tek bir
edilmi³tir). Bu antitürev yardmyla örne§in
Z
1
I=
0
I :=
R1
0
2x7 − 3x5 + x1 + 1 dx
C
sabiti elde
integralinin de§eri
1
x8 x6 x4
2x − 3x + x + 1 dx =
−
+
+ x = 1
4
2
4
0
7
5
1
olarak bulunur.
Örnek 2
Z
oldu§undan, örne§in
(2ex − cos x) dx = 2ex − sin x + C
Rπ
I := 0 (2ex − cos x) dx integralinin de§eri
π
Z π
x
x
I=
(2e − cos x) dx = (2e − sin x) = 2(eπ − 1)
0
0
olarak bulunur.
[f (φ(x))]0 = f 0 (φ(x))φ0 (x) oldu§undan
Z
Z
0
0
f (φ(x))φ (x)dx = [f (φ(x))]0 dx = f (φ(x)) + C
Zincir kural gere§i
e³itli§i sa§lanr. Yani integraller için verilen de§i³ken de§i³tirme yöntemi antitürevler için de
kullanlabilir. Dolaysyla de§i³ken de§i³imi yoluyla integral hesaplanrken iki seçenek vardr;
birincisi integraller için verilen de§i³ken de§i³imi teoremini kullanarak sonuç elde etmek, ikincisi
de yukardaki e³itlik yardmyla önce antitürevi bulup sonra integral de§erini hesaplamak. Her
iki seçenekte de temel zorluk, yukardaki e³itlikte bulunan
φ
fonksiyonunun genellikle açk bir
³ekilde görünmemesidir.
Örnek 3
Rπ
ecos x sin xdx integralinin de§erini bulalm. Birinci yol olarak, φ(t) = cos t
c = 0, d = π ve f (x) := ex olup integraller için de§i³ken de§i³imi yöntemi gere§i,
−1
Z π
Z cos π
1
cos t
x
x
−
e
sin tdt =
e dx = e = − e
e
0
cos 0
1
0
olup böylece
π
Z
ecos x sin xdx = e −
0
olarak bulunur. kinci yolla ise önce
yardmyla
f (x) :=
Z
ex
e
ecos x sin x
1
e
fonksiyonunun antitürevi,
φ(x) = cos x
olmak üzere
cos x
Z
sin xdx =
[f (φ(x))]0 dx = f (φ(x)) + C = ecosx + C
olarak bulunur. Daha sonra da kalkülüsün temel teoremi uygulanarak
Z
π
cos x
e
sin xdx = e
0
olarak bulunur.
2
π
cosx seçilirse,
1
=e− e
0
de§i³imi
Bu yöntemi kullanmann matematiksel olarak açklamas zor fakat daha pratik bir yolu ³öyledir: örne§in
Z
I :=
esin x cos xdx
belirsiz integrali hesaplanmak isteniyor. Bu durumda
y := sin x
de§i³ken tanm yaplrsa,
dy
= cos x
dx
e³itli§inden hareketle
dy = cos xdx
³eklinde bir e³itli§in var oldu§unu kabul edelim. Bunlar belirsiz integralde yerine yazlrsa
Z
I=
e
sin x
Z
cos xdx =
ey dy
belirsiz integrali elde edilir ki bunun hesab oldukça basittir:
Z
I=
Son olarak
y
e
sin x
Z
cos xdx =
ey dy = ey + C.
x cinsinden yerine yazlrsa
Z
Z
I = esin x cos xdx = ey dy = esin x + C
de§i³keni tekrar
elde edilir. Bu yöntem de§i³ken de§i³imi yönteminden ba³ka bir³ey de§ildir ama bu gösterim
matematiksel olarak temelsizdir, dolaysyla bu gösterimi bir kabul olarak kullanyoruz.
Örnek 4 I := tan xdx belirsiz integralini hesaplamak için önce
R
Z
Z
tan xdx =
olarak yazlp,
y := cos x
Z
elde edilir. Son olarak
sin x
dx
cos x
dy = − sin xdx olaca§ndan
Z
Z
sin x
dy
tan xdx =
dx = −
= − ln |y| + C
cos x
y
tanm yaplrsa,
y = cos x
tanm yerine yazlrsa
I = − ln | cos x| + C = ln | sec x| + C
elde edilir. Benzer yöntemle
Z
cot xdx = ln | sin x| + C
oldu§u da gösterilebilir.
Örnek 5 I :=
2xdx
R
x sin x2 dx
belirsiz integralini hesaplamak için
y := x2
tanm yaplrsa
olaca§ndan
Z
I=
1
x sin x dx =
2
2
Z
1
1
sin ydy = − cos y + C = − cos x2 + C
2
2
elde edilir.
3
dy =
Örnek 6 I := (3x − 2)57 dx
R
dy = 3dx
belirsiz integralini hesaplamak için
y := 3x − 2
tanm yaplrsa
olaca§ndan
Z
I=
1
(3x − 2) dx =
3
57
Z
1 y 58
(3x − 2)58
+C =
+C
3 58
174
y 57 dy =
elde edilir.
Örnek 7 I := (x2 + 5)19 xdx
R
dy = 2xdx
belirsiz integralini hesaplamak için
y := x2 + 5
tanm yaplrsa
olaca§ndan
Z
Z
1
(x + 5) xdx =
2
2
I=
19
y 19 dy =
1 y 20
(x2 + 5)20
+C =
+C
2 20
40
elde edilir.
Örnek 8 I := 3x xdx belirsiz integralini hesaplamak için y := x2
2
R
tanm yaplrsa
dy = 2xdx
olaca§ndan
Z
I=
2
3x xdx =
1
2
Z
2
3y dy =
1 3y
3x
+C =
+C
2 ln 3
2 ln 3
elde edilir.
Örnek 9 I := sin 2xdx belirsiz integralini hesaplamak için y := 2x tanm yaplrsa dy = 2dx
R
olaca§ndan
Z
I=
1
sin 2xdx =
2
Z
1
1
sin ydy = − cos y + C = − cos 2x + C
2
2
elde edilir. Di§er yandan bu belirsiz integral a³a§daki ³ekilde de hesaplanabilir:
Z
I=
Z
sin 2xdx =
Z
2 sin x cos xdx = 2
ydy = y 2 + C = sin2 x + C.
ki farkl sonuç bulunmas do§aldr, çünkü bir fonksiyonun belirsiz integrali o fonksiyonun tüm
antitürevlerinin kümesidir. Bir fonksiyonun herhangi iki antitürevinin farknn sabit olmas gerekti§i daha önce açklanm³t, ³u halde bu örnekte bulununan antitürevlerin farklar sabit oluyorsa
yaplan i³lemlerde yanl³lk yoktur. Gerçekten
sin2 x +
cos 2x
2 sin2 x + (cos2 x − sin2 x)
1
=
=
2
2
2
oldu§u görülür.
Örnek 10 I :=
R
√ sin x dx
1+cos x
R
ln x
x dx
belirsiz integralini hesaplamak için y := 1 + cos x tanm
dy = − sin xdx olaca§ndan
Z
Z
Z
√
1
1
sin x
dy
√
I=
dx = − √ = − y − 2 dy = 2y 2 + C = 2 1 + cos x + C
y
1 + cos x
yaplrsa
elde edilir.
Örnek 11 I :=
belirsiz integralini hesaplamak için
y := ln x tanm yaplrsa dy = x1 xdx
olaca§ndan
Z
I=
ln x
dx =
x
Z
ydy =
elde edilir.
4
y2
ln2 x
+C =
+C
2
2
Örnek
12
R
Baz durumlarda birden fazla de§i³ken de§i³imi yapmak gerekebilir. Örne§in I :=
ln cos x tan xdx belirsiz integralini hesaplamak için önce y := cos x tanm yaplsn, bu durumda
dy = − sin xdx olaca§ndan
Z
Z
ln y
I = ln cos x tan xdx = −
dy
y
e³itli§i elde edilir. Örnek 11 de kullanlan yöntem ile
u := ln y
tanm yaplrsa
du = y1 dy
olaca-
§ndan
Z
ln y
dy = −
y
I=−
elde edilir. Son olarak
u
ve
y
Z
udu = −
u2
+C
2
de§i³kenleri yerine yazlrsa
I=−
u2
ln y 2
ln2 cos x
+C =−
+C =−
+C
2
2
2
olarak bulunur.
2
f
RASYONEL FONKSYONLAR
ve
g 6= 0
polinomlar olmak üzere
f
g
olarak yazlan ifadeye bir kesirli polinom denir.
f
g
munun sonlu saydaki kökleri d³nda kalan bölgede her
g
polino-
kesirli polinomu bir fonksiyon belirtir
ve bu tür fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir. Bu bölümde rasyonel fonksiyonlarn belirsiz
integrallerini hesaplamak için yöntemler verilecektir.
f
g
bir rasyonel fonksiyon olmak üzere, genel olarak
bölmesi yaplarak
f
getirilir. Daha sonra
fonksiyonunun derecesi
g
g
R
f (x)
g(x) dx
belirsiz integralinde polinom
fonksiyonunun derecesinden küçük veya e³it hale
polinomu indirgenemez polinomlarn çarpm ³eklinde yazlr. ndirgene-
mez reel polinomlar ya birinci dereceden polinomlar, ya da negatif diskriminantl ikinci dereceden
polinomlardr. Bu a³amadan sonra
f
g
rasyonel fonksiyonu
A
(a+bx)n
ve
Bx+C
(a+bx2 )n
biçimindeki basit
kesirler in toplam ³eklinde yazlr, bu i³leme ksmi kesirlere ayrma i³lemi denir. Dolaysyla her
rasyonel fonksiyonun belirsiz integrali problemi
R
A
(a+bx)n dx
ve
R
Bx+C
dx
(a+bx2 )n
belirsiz integralleri
problemine indirgenir. Bu bölümde önce basit örneklerden ba³layarak bu iki tip belirsiz integral için yöntemler verilecek, daha sonra da ksmi kesirlere ayrma yöntemi ile genel rasyonel
fonksiyonlarn belirsiz integrallerinin hesaplanmas örnekleri verilecektir.
2.1
Kolay Örnekler
Örnek 13 I :=
R
dx
x−5
belirsiz integrali için
Z
I=
Örnek 14 I :=
dy = dx
R
x
1+x dx
dx
=
x−5
Z
y := x − 5
tanmlamas yeterlidir:
dy
= ln |y| + C = ln |x − 5| + C.
y
belirsiz integralini hesaplamak için
y := 1 + x
tanmlamas yaplrsa
olaca§ndan
Z
I=
x
dx =
1+x
Z
y−1
dy =
y
elde edilir (tüm sabitlerin tek bir
C
Z
Z
dy
= y − ln|y| + C = x − ln |x + 1| + C
y
dy −
sabiti içinde topland§na dikkat ediniz). Bu belirsiz integral
a³a§daki ³ekilde de hesaplanabilir:
Z
I=
x
dx =
1+x
Z
(1 + x) − 1
dy =
1+x
Z
5
Z
dx −
dx
= x − ln |x + 1| + C.
1+x
Örnek 15 I :=
dy = dx
x2
dx
(1+x)3
R
belirsiz integralini hesaplamak için
y := 1 + x
tanmlamas yaplrsa
olaca§ndan
Z
Z 2
x2
(y − 1)2
y − 2y + 1
dx
=
dy
=
dy
3
3
(1 + x)
y
y3
Z
Z
Z
dy
2
dy
=
−
dy +
y
y2
y3
2
1
= ln |y| + − 2 + C
y 2y
2
1
= ln |1 + x| +
−
1 + x 2(1 + x)2 + C
Z
I =
olarak elde edilir. Bu örnekteki belirsiz integral, paydaki
x2
ifadesi yerine
(x2 − 1) + 1
yazlarak
da hesaplanabilir.
Örnek 16 I :=
dy = 2dx
R
x3
dx
(1+2x)3
belirsiz integralini hesaplamak için
y := 1 + 2x
tanm yaplrsa
olaca§ndan
Z y−1 3
Z 3
( 2 )
x3
1
1
y − 3y 2 + 3y − 1
=
dy
=
dy
(1 + 2x)3
2
y3
16
y3
Z
Z
Z
Z
dy
dy
dy
1
+3
−
dy − 3
16
y
y2
y3
y
3
3
1
−
ln |y| −
+
+C
16 16
16y 32y 2
1 + 2x
3
3
1
−
ln |1 + 2x| −
+
+C
16
16
16(1 + 2x) 32(1 + 2x)2
Z
I =
=
=
=
olarak elde edilir.
Örnek 17 I :=
x3
dx
x2 +1
3
x = (x2
R
nomuna bölünür,
belirsiz integralini hesaplamak için önce
+ 1)x − x
x3
polinomunu
x2 + 1
poli-
oldu§undan
x
x3
=x− 2
x2 + 1
x +1
y := x2 + 1 tanmlamasyla,
Z
Z
Z
x3
x
dx
=
xdx
−
dx
2
2
x +1
x +1
Z
Z
1
dy
xdx −
2
y
2
x
1
− ln |y| + C
2
2
x2 1
− ln |x2 + 1| + C
2
2
e³itli§i elde edilmi³ olur. Bu durumda
I =
=
=
=
olarak elde edilir.
2.2
Paydada
1 + x2
fadesi Beliriyorsa
Bu tip rasyonel fonksiyonlarn belirsiz integralleri hesaplanrken genellikle
x := tan y R(veya y := arctan x) de§i³ken de§i³imi yaplr. Bu
dx
I := 1+x
2 belirsiz integralinde bu dönü³üm uygulanrsa
Z
Z
Z
dx
sec2 y
I=
=
dy = dy = y + C = arctan x + C
1 + x2
sec2 y
e³itli§inden hareketle
dx = sec2 ydy
1 + tan2 y = sec2 y
olur. Örne§in
6
durumda
arctan x
oldu§u görülür. Bu belirsiz integral Bölüm 1 de
elde edilmi³ti. Benzer ³ekilde
a 6= 0
için
R
fonksiyonunun türevi hesapalanarak
dx
belirsiz integralinde önce
a2 +x2
y :=
x
a
de§i³imi, sonra
da yukarda bahsedilen de§i³im yaplrsa
Z
dx
1
= 2
a2 + x2
a
Z
dx
1
=
1 + ( xa )2
a
Z
dy
1
1
x
= arctan y + C = arctan + C
1 + y2
a
a
a
olarak elde edilir. Ayn de§i³ken tanmlamas ile
R
dx
(1+x2 )n
biçimindeki belirsiz integraller de
hesaplanabilir. Bu durumda
Z
e³itli§i elde edilir, yani
R
dx
=
(1 + x2 )n
cos2n−2 ydy
Z
sec2 y
dy =
sec2n y
Z
cos2n−2 ydy
biçimindeki belirsiz integrallerin hesaplnamas gerekir. Bu
hesaplama için de
Z
cos
2n
Z ydy =
1 + cos 2y
2
n
dy
e³itli§i göz önüne alnr. Bu durumda e³itli§in sa§ tarafnda
tegraller de belirecektir. Bu tip belirsiz integraller a³a§daki
cos2k+1 ydy
gibi z := sin y
R
³eklinde belirsiz inde§i³imi ile kolayca
hesaplanabilirler:
Z
cos
2k+1
Örnek 18 I :=
R
Z
ydy =
dx
1+x+x2
cos
2k
Z
2
k
Z
(1 − sin y) cos ydy =
y cos ydy =
(1 − z 2 )k dz.
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
Z
Z
dx
dy
dx
=
=
2
2
1+x+x
(x + 1/2) + 3/4
3/4 + y 2
2
2y
√ arctan √
+C
3
3
2x + 1
2
√ arctan
√
+ C.
3
3
Z
I =
=
=
Örnek 19 I :=
R
3x−1
dx
4x2 +9
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
Z
Z
x
dx
3x − 1
dx
=
3
dx
−
2
2
4x + 9
4x + 9
4x2 + 9
Z
Z
3
dy 1
dz
−
8
y
2
9 + z2
3
1
z
ln |y| − − arctan + C
8
6
3
3
1
2x
ln(4x2 + 9) − − arctan
+ C.
8
6
3
Z
I =
=
=
=
7
Örnek 20 I :=
R
dx
(1+x2 )2
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
Z
I =
dx
=
(1 + x2 )2
Z
sec2 y
dy
(sec2 y)2
Z
=
=
=
=
=
=
Örnek 21 I :=
R
dx
(1+x2 )3
Z
I =
cos2 ydy
Z
1
(1 + cos 2y)dy
2
sin 2y
1
y+
+C
2
2
1
(y + sin y cos y) + C
2
1
[arctan x + sin(arctan x) cos(arctan x)] + C
2
1
x
+ C.
arctan x +
2
1 + x2
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
dx
=
(1 + x2 )3
Z
sec2 y
dy
(sec2 y)3
Z
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
cos4 ydy
Z
1
(1 + cos 2y)2 dy
4
Z
1
(1 + 2 cos 2y + cos2 2y)dy
4
Z
1
2
y + sin 2y + cos 2ydy
4
Z
1
1
y + sin 2y +
cos2 zdz
4
2
Z
1
1
y + sin 2y +
(1 + cos 2z)dz
4
4
1
1
1
y + sin 2y + z + sin 2z + C
4
4
8
1
1 3
y + sin 2y + sin z cos z + C
4 2
4
1 3
1
y + 2 sin y cos y + sin 2y cos 2y + C
4 2
4
1 3
1
2
y + 2 sin y cos y + sin y cos y(2 cos y − 1) + C
4 2
2
2x
1 x
2
1 3
arctan x +
+
−1
+C
4 2
1 + x2 2 1 + x2 1 + x2
1 3
2x
1 x(1 − x2 )
arctan x +
+
+C
4 2
1 + x2 2 (1 + x2 )2
3
1 x
1 x(1 − x2 )
arctan x +
+
+ C.
8
2 1 + x2 8 (1 + x2 )2
8
2.3
E§er
Ksmi Kesirlere Ayrma
f
ve
g
aralarnda asal iki polinom ise
aralarnda asal olduklarndan
uf + vg = 1
1
fg
ifadesi
1
f
ve
1
g
cinsinden yazlabilir ve
e³itli§i sa§lanacak ³ekilde
u
ve
v
f
ile
g
polinomlar vardr.
Böylece
1
u v
= +
fg
f
g
e³itli§i sa§lanacak ³ekilde
ve
v
g
u
ve
v
polinomlar var olaca§ndan paydann derecesi küçültülebilir.
u
f
kesirlerine ksmi kesirler denir.Bu ksmi kesirler ³u ³ekilde tespit edilir:
fg
nin
(x − a)m
³eklinde bir çarpan varsa ksmi kesirler
A1
A2
Am
,
,...,
2
(x − a) (x − a)
(x − a)m
³eklindedir.
fg
nin
(x2 + px + q)m
³eklinde bir çarpan varsa ksmi kesirler
B 2 x + C2
B m x + Cm
B 1 x + C1
, 2
,..., 2
2
2
(x + px + q) (x + px + q)
(x + px + q)m
³eklindedir.
E§er
fg
ifadesi yukaridaki her iki çarpana da sahip ise ilgili ksmi kesirlerin tamam alnr.
Rasyonel fonksiyonlar ksmi kesirlere ayr³trlp, her ksmi kesrin bilinmeyen katsaylar hesaplanarak belirsiz integrali kolayca hesaplanabilir.
Örnek olarak a³a§daki e³itliklerdeki ksmi kesirleri inceleyiniz:
x2 + 4x + 1
A1
B1
C1
=
+
+
(x − 1)(x + 1)(x + 3)
x−1 x+1 x+3
2x − 3
Ax + B
C
D
= 2
+
+
(x2 + 1)(x − 1)2
x +1
(x − 1) (x − 1)2
x(x2
Örnek 22 I :=
R
dx
1−x2
Z
I=
Örnek 23 I :=
R
A Bx + C
Dx + E
1
= + 2
+ 2
2
+ 1)
x
(x + 1) (x + 1)2
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
dx
1
=
2
1−x
2
dx
(1−2x)(1+3x)
Z 1
1
+
1−x 1+x
1 x + 1 + C.
dx = ln 2
x − 1
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
Z
Z
Z
2
dx
3
dx
dx
=
+
I =
(1 − 2x)(1 + 3x)
5
1 − 2x 5
1 + 3x
1
1
= − ln |1 − 2x| + ln |1 + 3x| + C.
5
5
Örnek 24 I :=
R
dx
(1−x)2 (1+x)
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
Z
dx
(1 − x)2 (1 + x)
Z
Z
Z
1
dx
1
dx
1
dx
= −
+
+
2
4
1−x 2
(1 − x)
4
1+x
1 1 + x 1 1
=
ln
−
+ C.
4 1 − x 2 1 − x
I =
9
3
TRGONOMETRK FONKSYONLAR
3.1
Trigonometrik Özde³likler
Trigonometrik fonskiyonlar içeren belirsiz integrallerin bir ksm trigonometrik özde³likler yard-
sinn x cosn x tann x cotn x
n, m ∈ N
myla kolayca hesaplanabilir. Bu bölümde
olmak üzere
,
,
,
,
n
n ,
n ,
m , sinn x ve cosn x gibi baz bu tip belirsiz integrallere örnekler verilem
m
cos x
sin x
sec x csc x sin x cos x
cektir.
Örne§in
n ∈ N olmak üzere sinn x ve cosn x fonksiyonlarnn belirsiz integralleri hesaplanrken
sin2 x =
1 − cos 2x
2
ve
cos2 x =
1 + cos 2x
2
özde³liklerinden faydalanlr. Bu yöntemle
Z
ve
Z
1
cos xdx =
2
Z
1
2
Z
2
sin2 xdx =
(1 + cos 2x)dx =
x sin 2x
+
+C
2
4
(1 − cos 2x)dx =
x sin 2x
−
+C
2
4
oldu§u görülür. Daha büyük kuvvetler için de ayn özde³lik kullanlr, kuvvet tek ise bu özde³lik
kullanlmadan, sadece
sin2 x + cos2 x = 1
özde³ili§i yardmyla sonuç alnabilir.
Örnek 25 I := cos5 xdx belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
R
Z
I =
Z
5
Z
4
cos xdx =
cos x cos xdx =
Z
(1 − sin2 x)2 cos xdx
Z
(1 − y 2 )2 dy
Z
(1 − 2y 2 + y 4 )dy
=
=
=
(cos2 x)2 cos xdx
2
1
= y − y3 + y5 + C
3
5
2
1
= sin x − sin3 x + sin5 x + C.
3
5
Kuvvet çift ise Örnek 20 ve Örnek 21 ile verilen belirsiz integral hesaplalamarn inceleyin.
n, m ∈ N
olmak üzere
sinn x cosm x
fonksiyonunun belirsiz integrali hesaplanrken de ayn
özde³likler kullanlr. Örne§in
Z
I :=
2
2
sin x cos xdx =
Z
2
2
sin x(1 − sin x)dx =
Z
2
sin xdx −
Z
sin4 xdx
olup i³lemin devam yukardaki yöntemle yaplabilir. Kuvvetlerden birisi tek ise i³lem daha da
10
basitle³ir, örne§in:
Z
I :=
4
5
Z
sin4 x cos4 x cos xdx
Z
sin4 x(1 − sin2 x)2 cos xdx
Z
y 4 (1 − y 2 )2 dy
Z
(y 4 − 2y 6 + y 8 )dy
sin x cos xdx =
=
=
=
y5
y7 y9
−2 +
+C
5
7
9
sin5 x
sin7 x sin9 x
−2
+
+ C.
5
7
9
=
=
Ayn özde³liklerle ve benzer i³lemlerle
n>m
olmak üzere
sinn x
cosm x
ve
cosn x
sinm x
fonksiyonlarnn
n tek ise hesaplamalar oldukça
n
n
ise sec x veya csc x fonksiyon-
belirsiz integralleri de hesaplanabilir. Bu tip belirsiz integrallerde
kolaydr, bu durum için a³a§daki örne§i inceleyiniz. E§er
n
çift
larnn belirsiz integrali ile kar³la³labilir, bu tür belirsiz integraller daha sonra incelenecektir.
n < m olmas durumunda integrand tanp x secq x veya cotp x cscq x ³eklinde ifade edilerek kolayca
hesaplanabilir. Bu tip belirsiz integraller de daha sonra incelenecektir. Örne§in:
Z
I :=
cos3 x
dx =
sin2 x
=
=
=
=
cos2 x
cos xdx
sin2 x
Z
1 − sin2 x
cos xdx
sin2 x
Z
1 − y2
dy
y2
1
− −y+C
y
− csc x − sin x + C
Z
ve
Z
I :=
n∈N
için
tann x
ve
sin4 x
dx =
cos2 x
cotn x
(1 − cos2 x)2
dx
cos2 x
Z
1 − 2 cos2 x + cos4 x
=
dx
cos2 x
Z
Z
Z
2
=
sec xdx − 2 dx + cos2 xdx.
Z
fonksiyonlarnn belirsiz integralleri hesaplanrken
tan2 x = sec2 x − 1
özde³likleri ile
ve
cot2 x = csc2 x − 1
tan0 x = sec2 x ve cot0 x = − csc2 x e³itlikleri kullanlr. Bu
Z
Z
tan2 xdx = (sec2 x − 1)dx = tan x − x + C
elde edilir. Daha büyük kuvvetler için de bu yöntem kullanlr.
11
yöntemle örne§in,
Örnek 26 I := tan3 xdx belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
R
Z
I =
Z
3
tan xdx =
tan x tan2 xdx
Z
tan x(sec2 x − 1)dx
Z
Z
2
=
tan x sec xdx − tan xdx
Z
Z
=
ydy − tan xdx
=
=
=
y2
− ln | cos x| + C
2
tan2 x
− ln | cos x| + C.
2
Örnek 27 I := tan4 xdx belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
R
Z
I =
Z
4
tan xdx =
tan2 x tan2 xdx
Z
tan2 x(sec2 x − 1)dx
Z
Z
2
2
=
tan x sec xdx − tan2 xdx
Z
Z
2
=
y dy − tan2 xdx
=
=
=
y3
− tan x + x + C
3
tan3 x
− tan x + x + C.
3
Örnek 28 I := cot3 xdx belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
R
Z
I =
Z
3
cot xdx =
cot x cot2 xdx
Z
cot x(csc2 x − 1)dx
Z
Z
2
=
cot x csc xdx − cot xdx
Z
Z
= − ydy − cot xdx
=
y2
− ln | sin x| + C
2
cot2 x
= −
− ln | sin x| + C.
2
= −
Ayn trigonometrik özde³likler yardmyla
n ∈ N olmak üzere secn x ve cscn x fonksiyonlarnn
12
da belirsiz integralleri hesaplanabilir.
n
says çift ise hesaplamalar oldukça kolaydr. Örne§in
Z
I :=
Z
sec xdx =
=
=
=
=
=
=
cos x
dx
cos2 x
Z
cos x
2 dx
Z 1 − sin x
dy
1 − y2
Z 1
1
1
dy
−
2
1+y 1−y
1 1 + y +C
ln
2 1 − y 1 1 + sin x +C
ln
2 1 − sin x 1 + sin x + C.
ln cos x ve
Z
I :=
Z
csc xdx =
=
=
=
=
sin x
2 dx
Z sin x
sin x
dx
1 − cos2 x
Z
dy
−
dy
1 − y2
1 1 − y ln
+C
2 1 + y 1 1 − cos x ln
+ C.
2 1 + cos x n
oldu§u görülür. Daha büyük kuvvetler için de benzer yöntem kullanlr (
says tek ise bu
belirsiz integraller ksmi integrasyon yöntemi ile daha kolay hesaplanabilir, bu yöntem daha sonra
açklanacaktr).
Örnek 29 I := sec4 xdx belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
R
Z
sec4 xdx =
Z
(1 + tan2 x) sec2 xdx
Z
(1 + y 2 )dy
I =
=
=
Z
sec2 x sec2 xdx
y3
+C
3
tan3 x
= tan x +
+ C.
3
= y+
tanp x secq x ve cotp x cscq x fonksiyonlarcosn x
sinn x
nn belirsiz integralleri de hesaplanabilir. Böylece n < m olmak üzere
sinm x ve cosm x fonksiyonlarnn belirsiz integralleri de bu yöntemle hesaplanabilir. E§er n ve m saylar her ikisi birden tek
2
2
veya çift ise hesaplamalar oldukça kolaydr. Di§er durumlarda; n çift m tek ise tan x = sec x−1
Ayn özde³ikler kullanlarak
m, n ∈ N
olmak üzere
13
n
özde³li§i kullanlarak sonuç elde edilebilir, e§er
csc x := y
tanmlamas yaplabilir (bu durumda
tek m çift ise bu durumda sec x := y veya
sec0 x = sec x tan x ve csc0 x = − csc x cot x
e³itlikleri de faydal olur). A³a§da verilen örnekleri inceleyiniz.
Z
cos2 x
dx =
tan2 x sec4 xdx
sin6 x
Z
=
tan2 x(1 + tan2 x) sec2 xdx
Z
=
y 2 (1 + y 2 )dy
Z
I :=
y3 y5
+
+C
3
5
tan3 x tan5 x
+
+ C,
3
5
=
=
Z
I :=
sin3 x
dx =
cos4 x
Z
tan3 x sec xdx
Z
(sec2 x − 1) sec x tan xdx
Z
(y 2 − 1)dy
=
=
=
=
y3
−y+C
3
sec3 x
+ sec x + C
3
ve
Z
I :=
sin2 x
dx =
cos3 x
Z
tan2 x sec xdx
Z
(sec2 x − 1) sec xdx
Z
Z
3
=
sec xdx − sec xdx.
=
n 6= m
olmak üzere
sin mx cos nx
fonksiyonunun belirsiz integrali hesaplanrken
sin mx cos nx =
1
[sin(m − n)x + sin(m + n)x] ,
2
cos mx cos nx =
1
[cos(m − n)x + cos(m + n)x]
2
sin mx sin nx =
1
[cos(m − n)x − cos(m + n)x]
2
ve
özde³likleri kullanlr, örne§in:
Z
I :=
Z
1
sin 3x cos 2xdx =
sin 5xdx +
sin xdx
2
1
1
= − cos 5x − cos x + C.
10
2
1
2
Z
Kimi durumlarda oldukça karma³k görünen trigonometrik fonksiyonlarn belirsiz integralleri
beklenmedik ³ekilde kolaylkla hesaplanabilir, örne§in
14
Z
I :=
sin x
√
dx = −
cos x
Z
Z √
√
dy
√
√ = −2 y + C = −2 cos x + C,
y
sin x
dx =
cos x
I :=
Z
√
y
dy = 2
1 − y2
Z
z2
dz
1 − z4
ve
Z
I :=
sin7 x
√
dx =
cos x
Z
sin6 x
√
sin xdx =
cos x
Z
(y 2 − 1)3
dy = 2
√
y
Z
(z 4 − 1)3 dz.
Son iki örnekte i³lemlerin devam kolaylkla getirilebilir.
3.2
Weierstrass Dönü³ümü
−π < x < π için yaplan y := tan( x2 )
x = 2 arctan y oldu§undan
dönü³ümüne Weierstrass dönü³ümü denir. Bu durumda
dx =
2dy
1 + y2
olur. Ayrca
sin x = sin(2 arctan y) = 2 sin(arctan y) cos(arctan y)
oldu§undan
sin x =
2y
1 + y2
elde edilir. Benzer ³ekilde
cos x = cos(2 arctan y) = cos2 (arctan y) − sin2 (arctan y)
oldu§undan
cos x =
1 − y2
1 + y2
elde edilir. Böylece trigonometrik fonksiyonlar içeren bir belirsiz integral rasyonel fonksiyonlarn
bir belirsiz integraline dönü³ür.
Örnek 30 I :=
R
dx
3−5 cos x
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
Z
I=
dx
3 − 5 cos x
Z
=
3
2dy
1+y 2
1−y 2
− 5 1+y
2
Z
=
=
=
=
dy
−1
Z
Z
1
dy
1
dy
−
2
2y − 1 2
2y + 1
1 2y − 1 ln
+C
4 2y + 1 1 2 tan( x2 ) − 1 ln
+ C.
4 2 tan( x2 ) + 1 4y 2
15
Örnek 31 I :=
R
dx
2+sin x
belirsiz integrali a³a§daki ³ekilde hesaplanabilir:
Z
dx
2 + sin x
I=
Z
=
=
=
=
=
=
dy
+y+1
Z
dy
(y + 21 )2 + 34
Z
dz
√ 2
z 2 + 23
2
2z
√ arctan √
+C
3
3
2
2y + 1
√ arctan
√
+C
3
3
2 tan( x2 ) + 1
2
√ arctan
√
+ C.
3
3
y2
Baz durumlarda Weierstrass dönü³ümü yapmadan önce integrandn farkl ³ekilde ifade edilmesi kolaylk sa§layabilir. Örne§in
Z
I :=
cos2 x + 3 cos x − 4
dx
cos3 x + 5 cos 32x + 8 cos x + 4
belirsiz integralini hesaplamak için integrand,
cos2 x + 3 cos x − 4
cos3 x + 5 cos2 x + 8 cos x + 4
=
=
=
=
u := cos x
tanm yardmyla,
u2 + 3u − 4
u3 + 5u2 + 8u + 4
u2 + 3u − 4
(u + 1)(u + 2)2
−6
7
6
+
+
u + 1 u + 2 (u + 2)2
−6
7
6
+
+
cos x + 1 cos x + 2 (cos x + 2)2
olarak yeniden ifade edilirse
Z
I=
cos2 x + 3 cos x − 4
dx =
cos3 x + 5 cos2 x + 8 cos x + 4
Z −6
7
6
+
+
cos x + 1 cos x + 2 (cos x + 2)2
olaca§ndan Weierstrass dönü³ümü ile hesap yaplabilir.
Benzer ³ekilde
cos3 x − sin2 x
dx
2 + cos x
integrand, u := cos x tanm
Z
I :=
belirsiz integralini hesaplamak için
u3 + u2 − 1
cos3 x − sin2 x
=
2 + cos x
2+u
= u2 − u + 2 −
yardmyla,
5
2+u
= cos2 x − cos x + 2 −
5
2 + cos x
olarak yeniden ifade edilirse
Z
I=
cos3 x − sin2 x
dx =
2 + cos x
Z cos2 x − cos x + 2 −
olaca§ndan hesaplama kolaylkla devam ettirilebilir.
16
5
2 + cos x
dx
dx
3.3
Di§er Yöntemler
Weierstrass dönü³ümü yardmyla tüm trigonometrik integraller bir rasyonel integrale dönü³türülerek hesaplanabilsede bu yöntem her zaman çok kullan³l olmayabilir. Örne§in
Z
I :=
cos3 x
dx
1 − 2 sin x
belirsiz integralinde Weierstrass dönü³ümü uygulanrsa
cos3 x
dx = 2
1 − 2 sin x
Z
I=
Z
(1 − y 2 )3
dy
(1 + y 2 )3 (1 − 4y + y 2 )
belirsiz integraline varlr. Bu son integral her ne kadar bir rasyonel integral olup hesaplanabilir
olsa da uzun i³lemler gerektirir. Böyle durumlarda, a³a§da ispatsz olarak verilecek teoremler
yardmyla Weierstrass dönü³ümünden daha kolay sonuç veren baz dönü³ümler bulunabilir.
Teorem 1 F (x, y)
rasyonel bir polinom ise öyle tek de§i³kenli
F1
ve
F2
rasyonel polinomlar
vardr ki
F (sin x, cos x) = F1 (cos x) + sin xF2 (cos x)
(1)
e³itli§i sa§lanr.
Teorem 1 e göre
Z
F (sin x, cos x)dx
belirsiz integralini hesaplamak için
Z
Z
F1 (cos x)dx
sin xF2 (cos x)dx
ve
belirsiz integralleri hesaplanmaldr. kinci integral
y := cos x tanmlamasyla kolayca hesaplana-
bilir fakat birinci integralin hesaplanmas genellikle kolay de§ildir. Bu tip belirsiz integraller için
a³a§da verilecek olan teoremler yardmyla bir dönü³üm tanmlanabilir.
Sonuç 2
Teorem 1 deki
F
rasyonel polinomu için
F (− sin x, cos x) = −F (sin x, cos x)
e³itli§i sa§lanyorsa, (1) e³itli§indeki
F1
(2)
terimi kaybolur ve
F (sin x, cos x) = sin xF2 (cos x)
e³itli§i sa§lanr.
Böylece Teorem 1 ve Sonuç 2 ye göre
F (sin x, cos x)
³eklindeki rasyonel trigonometrik bir
fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken, e§er (2) e³itli§i sa§lanyorsa,
y := cos x
dönü³ümü yaplabilir.
Ayrca Teorem 1 de
sin x ile cos x terimlerinin yerleri de§i³tirilerek a³a§daki sonuçlar da elde
edilebilir.
Teorem 3 F (x, y)
rasyonel bir polinom ise öyle tek de§i³kenli
F3
ve
F4
rasyonel polinomlar
vardr ki
F (sin x, cos x) = F3 (sin x) + cos xF4 (sin x)
e³itli§i sa§lanr.
17
(3)
Sonuç 4
Teorem 1 deki
F
rasyonel polinomu için
F (sin x, − cos x) = −F (sin x, cos x)
e³itli§i sa§lanyorsa, (3) e³itli§indeki
F3
(4)
terimi kaybolur ve
F (sin x, cos x) = cos xF4 (sin x)
e³itli§i sa§lanr.
Böylece Teorem 3 ve Sonuç 4 e göre
F (sin x, cos x)
³eklindeki rasyonel trigonometrik bir
fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken, e§er (4) e³itli§i sa§lanyorsa,
y := sin x
dönü³ümü yaplabilir. E§er (2) ve (4) e³itliklerinin her ikisi de sa§lanyorsa
y := cos x ve y := sin x
dönü³ümlerinden herhangi biri yaplabilir.
Ayrca yukarda verilenlere benzer ³ekilde görülebilir ki e§er
F (sin x, cos x)
fonksiyonu
F (− sin x, − cos x) = F (sin x, cos x)
e³itli§ini sa§lyorsa ya da
F (sin x, cos x) = F (tan x)
veya
(5)
F (sin x, cos x) = F (cot x)
³eklinde ise
bu fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken
y := tan x
dönü³ümü kullanlabilir.
Örnek 32 I :=
cos x
R
csc3 xdx =
R
dx
dx
sin3 x
belirsiz integralini hesaplamak için Sonuç 2 gere§i
y :=
dönü³ümü yaplabilir:
Z
I=
=
=
=
=
=
=
Örnek 33 I :=
R
cos3 x
1−2 sin x dx
Z
1
dy
p
p
2
3
(1 − y )
1 − y2
Z
dy
−
(1 − y 2 )2
Z
dy
−
(1 − y)2 (1 + y)2
Z 1
1
1
1
1
−
+
+
+
du
4
(1 − y)2 1 − y (1 + y)2 1 + y
1
1
1
−
− ln |1 − y| −
+ ln |1 + y| + C
4 1−y
1+y
1 − y 1
2y
−
−
ln
1 + y + C
4 1 − y2
cos x
1 1 − cos x −
+ C.
+ ln
2 sin2 x 4 1 + sin x dx
dx = −
sin3 x
belirsiz integralini hesaplamak için Sonuç 4 gere§i
³ümü yaplabilir:
Z
I=
cos3 x
dx =
1 − 2 sin x
1 − y2
dy
1 − 2y
Z y 1 3 1
=
+ +
du
2 4 4 1 − 2y
y2 y 3
=
+ − ln |1 − 2y| + C
4
4 8
sin2 x + sin x 3
=
− ln |1 − 2 sin x| + C.
4
8
Z
18
y := sin x
dönü-
Örnek 34 I :=
lad§ndan,
cos x =
R
cos2 x sin x
sin x+2 cos x dx
y := tan x
√1
1+y 2
belirsiz integralini hesaplamak için, integrand (5) e³itli§ini sa§-
dönü³ümü yaplabilir. Bu durumda
dx =
dy
,
1+y 2
sin x = √ y
1+y 2
ve
olaca§ndan
cos2 x sin x
dx
sin x + 2 cos x
Z
y
=
dy
(y + 2)(1 + y 2 )2
Z
Z
Z
2
dy
1
2y + 1
1
2y − 4
= −
+
dy
+
dy
2
2
25
y+2 5
(1 + y )
25
1 + y2
Z
I =
elde edilir ve i³lemlerin devam getirilebilir.
Kimi zaman da bunlardan hiçbiri en kolay yöntem de§ildir. Elemanter i³lemler ile beklenmedik kolaylkla sonuç alnabilen belirsiz integraller de vardr.
Örnek 35 I :=
R
cos x
sin x+cos x dx
belirsiz integrali Weierstrass dönü³ümü ile hesaplanabilir, ayrca
(5) e³itli§ini sa§lad§ndan dolay
y := tan x
dönü³ümü de yaplabilir. Fakat daha kolay bir
yöntem var.
Z
sin x
dx
sin x + cos x
J :=
olarak tanmlanrsa
Z
I +J =
dx = x + C
olur. Di§er yandan
cos x − sin x
dx
sin x + cos x
Z
dy
=
y
= ln |y| + C
Z
I −J
=
= ln | sin x + cos x| + C.
oldu§undan
2I = (I + J) + (I − J) = x + ln | sin x + cos x| + C
elde edilmi³ olur.
Örnek 36 I :=
R
cos2 x
cos 2x dx
belirsiz integralini hesaplamak için
Z
J :=
sin2 x
dx
cos 2x
integrali tanmlanrsa
Z
I −J =
olur. Di§er yandan
y := sin 2x
dx = x + C
dönü³ümüyle
Z
I +J =
dx
=
cos 2x
Z
cos 2x
1
dx =
2
cos 2x
2
olup, devam kolaylkla getirilebilir.
19
Z
dy
1 − y2
Örnek 37 n key bir pozitif sabit olmak üzere
π/2
Z
I :=
0
belirsiz integralinde
sinn x
dx
sin x + cosn x
n
π
2
−y
dönü³ümü yaplrsa
Z
π/2
sinn x
dx =
sinn x + cosn x
x :=
I=
0
Z
0
π/2
cosn y
dy
sinn y + cosn y
oldu§u görülür. Böylece
Z
π/2
2I =
0
π
sinn x + cosn x
dx =
n
n
sin x + cos x
4
elde edilir.
4
KÖKLÜ FADELER
4.1
Trigonometrik Dönü³ümler
x = tan y ,
x
=
sec
y
dönü³ümleri oldukça etkilidir.
√
Örne§in
a2 + x2 ifadesini içeren bir belirsiz
√ integralde −π/2 ≤ y ≤ π/2 olmak üzere x =
a tan y dönü³ümü yaplrsa dx = a sec2 ydy ve a2 + x2 = | sec y| = sec y olacaktr. Dolaysyla
Baz köklü ifadelerin integralleri hesaplanrken trigonometrik dönü³ümler denilen
x = sin y
ve
ba³ka bir köklü ifade yoksa belirsiz integral kolayca hesaplanabilir bir biçime girmi³ olur.
Örnek 38 I :=
x = 2 tan y
R
√ dx
4+x2
belirsiz integralini hesaplamak için
√
dönü³ümü yaplrsa
Z
dx
√
=
4 + x2
I=
Z
4+
x2
= 2 sec y
ve
dx =
−π/2 ≤ y ≤ π/2
sec2 ydy
olmak üzere
olaca§ndan
√
4 + x2 x + +C
sec ydy = ln | sec y + tan y| = ln 2
2
elde edilir.
Örnek 39 I :=
R√
1 + x2 dx √
belirsiz integralini hesaplamak için −π/2 ≤ y ≤ π/2
x = tan y dönü³ümü yaplrsa 1 + x2 = sec y ve dx = sec2 ydy olaca§ndan
Z p
Z
2
I=
1 + x dx = sec3 ydy
olmak üzere
belirsiz integraline varlr ve bu tip integraller daha önce Bölüm 3 de incelenmi³ti. Bu integral
hesaplanp daha sonra
y = arctan x
yerine koymasyla sonuç elde edilir.
√
a2 − x2 ifadesini içeren belirsiz integraller hesaplanrken −π/2
√ ≤ y ≤ π/2 olmak üzere x =
a sin y dönü³ümü faydal olabilir. Bu durumda dx = a cos ydy ve a2 − x2 = a| cos y| = a cos y
olur.
Örnek 40 I :=
R
2
√x
dx
9−x2
belirsiz integralini hesaplamak için
20
−π/2 ≤ y ≤ π/2
olmak üzere
x = 3 sin y
dönü³ümü yaplrsa
x2
√
dx =
9 − x2
Z
I=
9 sin2 y · 3 cos y
dy
3| cos y|
Z
Z
= 9
sin2 ydy
1 − cos 2y
dy
2
sin 2y
9
y−
+C
2
2
2 sin y cos y
9
y−
+C
2
2
!
√
9
x x 9 − x2
arcsin −
+ C.
2
3
3
3
Z
= 9
=
=
=
oldu§u görülür.
√
x2 − a2 ifadesini içeren belirsiz integraller
p x = a sec y dönü³ümü yaplabilir.
√ hesaplanrken
2
2
2
2
E§er x/a ≥ 1 ise 0 ≤ y ≤ π/2 olaca§ndan
√ x − a =p a tan y = |a tan y| = a tan y olur.
2
2
2
2
E§er x/a ≤ 1 ise π/2 ≤ y ≤ π olaca§ndan
x − a = a tan y = |a tan y| = −a tan y olur.
Ayrca her iki durumda da dx = a sec y tan ydy olur.
R
Örnek 41 I := √xdx2 −1 belirsiz integralini hesaplamak için x = sec y dönü³ümü yaplrsa dx =
sec y tan ydy olur. E§er x ≥ 1 ise 0 ≤ y ≤ π/2 olup bu aralkta tan y > 0 olur, böylece
Z
Z
Z
p
dx
sec y tan y
√
I=
=
dy = sec ydy = ln | sec y + tan y| + C = ln x + x2 − 1 + C
| tan y|
x2 − 1
olur. Benzer ³ekilde e§er
x≥1
oldu§u görülür. Ayrca her
π/2 ≤ y ≤ π olaca§ndan bu
p
I = − ln −x + x2 − 1 + C
ise
aralkta
x > 0 için gösterilebilir ki
p
p
ln x + x2 − 1 = − ln −x + x2 − 1
e³itli§i sa§lanr. Benzer i³lemlerle
Z
I :=
√
p
dx
= ln x + x2 ± a2 + C
x2 ± a2
oldu§u da gösterilebilir.
4.2
√
ax2 + bx + c
fadesini çeren Belirsiz ntegraller
Bu tip integraller için önce baz özel durumlar ele alalm. Örne§in
Z
I=
belirsiz integrali,
ax2 + bx + c
dx
√
2
ax + bx + c
(6)
ifadesi iki kare fark veya toplam haline getirilip trigonometrik
dönü³ümler kullanlarak hesaplanabilir. Benzer yöntemle
Z
I=
√
mx + n
dx
ax2 + bx + c
21
(7)
tipindeki integraller de hesaplanabilir. Bunun için kesrin paynda
2ax + b
ye e³it olan bir toplam
ayrlrsa (6) tipinde bir integral elde edilir. Ayrca
Z
dx
√
(mx + n) ax2 + bx + c
I=
mx + n =
belirsiz integralinde
Pn (x) n.
1
y
(8)
dönü³ümü yaplrsa (7) tipinde bir integral elde edilir. E§er
dereceden bir polinom ise
Z
I=
√
Pn (x)
dx
ax2 + bx + c
(9)
belirsiz integralinin hesab için, do§rulu§u kolaylkla gösterilebilen (her iki tarafn türevi alnarak)
Z
p
dx
Pn (x)
2
√
dx = Qn−1 (x) ax + bx + c + λ √
2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
Z
özde³ili§i kullanlarak (6) tipinde bir integral elde edilir. Burada
bir polinom ve
λ
Qn−1 (x)
ile
n − 1.
dereceden
ile de bir sabit belirtilmektedir. Her iki tarafn türevi alnarak bilinmeyen sabit
katsaylar belirlenebilir. Ayrca e§er
r∈N
Z
I=
tipindeki integraller hesaplanrken
ise
(mx +
mx + n =
n)r
1
y
dx
√
ax2 + bx + c
(10)
dönü³ümü yaplrsa (9) tipinde bir integral elde
edilir.
Bu özel durumlar d³nda genel olarak bir
Z
F (x,
p
ax2 + bx + c)dx
belirsiz integrali a³a§daki dönü³ümler yardmyla rasyonel fonksiyonlarn integraline dönü³türülebilir:
(i)
(ii)
(iii)
√
√
ax (veya y − ax),
√
√
√
c > 0 ise ax2 + bx + c = xy + c (veya xy − c),
√
b2 − 4ac > 0 ise ax2 + bx + c = y(x − x1 ). (Burada x1
a>0
ise
ax2 + bx + c = y +
√
ile
ax2 + bx + c
polinomunun
herhangi bir kökü gösterilmektedir.)
ax2 +bx+c
polinomu için a > 0, c > 0 ve
√
R
nedenle
F (x, ax2 + bx + c)dx tipindeki
Bu dönü³ümlere Euler dönü³ümleri denir. Herhangi bir
b2
− 4ac > 0
durumlarndan en az biri do§rudur. Bu
her belirsiz integral bu dönü³ümler yardmyla hesaplanabilir.
Örnek 42 I :=
R
√
dx
4x2 +6x+1
Z
I=
√
belirsiz integrali a³a§daki gibi hesaplanabilir:
dx
2
4x + 6x + 1
Z
=
=
=
=
dx
q
√
(2x + 32 )2 − ( 25 )2
Z
1
dy
q
√
2
y 2 − ( 25 )2
s
√ 1 5
ln y + y 2 − (
)2 + C
2 2 1 3 p 2
ln 2x + + 4x + 6x + 1 + C.
2
2
22
Örnek 43 I :=
R
√
dx
−x2 +2x+3
belirsiz integrali a³a§daki gibi hesaplanabilir:
Z
dx
√
2
−x + 2x + 3
I=
Z
=
dx
p
Z
=
4 − (x − 1)2
dy
p
4 − y2
y
= arcsin + C
2
x−1
+ C.
= arcsin
2
Örnek 44 I :=
Z
I=
√
R
3x+2
dx
x2 +3x+5
belirsiz integrali a³a§daki gibi hesaplanabilir:
Z
3x + 2
dx =
2
x + 3x + 5
6x + 4
√
dx
2 x2 + 3x + 5
Z
3(2x + 3) − 5
√
dx
2
Z2 x + 3x + 5
Z
5
3
2x + 3
dx
√
√
dx −
2
2
x2 + 3x
x2 + 3x + 5
Z
Z+5
3
dy
5
dx
q
√ −
3
2
y 2
(x 2 )2 + 11
4
p
p
5
3
2
2
3 x + 3x + 5 − ln x + + x + 3x + 5 + C.
2
2
=
=
=
=
Örnek 45 I :=
Z
R
2
√x −x+1 dx
x2 +2x+3
belirsiz integralini hesaplamak için
p
x2 − x + 1
√
dx = (ax + b) x2 + 2x + 3 + λ
x2 + 2x + 3
Z
√
x2
dx
+ 2x + 3
yazlp her iki tarafn türevi alnrsa
x2 − x + 1 = a(x2 + 2x + 3) + (ax + b)(x + 1) + λ
özde³li§i elde edilir. Buradan da
Z
I=
a = 1/2, b = −5/2
x2 − x + 1
√
dx =
x2 + 2x + 3
=
λ = 2 bulunup
Z
x − 5p 2
dx
x + 2x + 3 + 2 √
2
x2 + 2x + 3
p
x − 5p 2
x + 2x + 3 + 2 ln x + 1 + x2 + 2x + 3 + C
2
ve
elde edilir.
Örnek 46 I :=
R
√dx
(x+1)3 x2 +2x+2
belirsiz integralini hesaplamak için
yaplrsa
Z
I=
dx
√
=−
3
(x + 1) x2 + 2x + 2
Z
y2
p
dy
y2 + 1
elde edilir. Buradan da
Z
y2
Z
p
dy
2
p
dy = (ay + b) y + 1 + λ p
2
y +1
y2 + 1
e³itli§inin türevi alnrak
y 2 = a(y 2 + 1) + (ay + b)y + λ
23
x+1 =
1
y
dönü³ümü
a = 1/2, b = 0
özde³li§i elde edilir.
Z
I=
(x +
1)3
λ = −1/2 oldu§undan
Z
y2
= − p
dy
y2 + 1
Z
1 p 2
1
dy
p
= − y y +1+
2
2
y2 + 1
p
1 p
1 = − y y 2 + 1 + ln y + y 2 + 1 + C
2
2
√
√
x2 + 2x + 2 1 1 + x2 + 2x + 2 = −
+ ln +C
2(x + 1)2
2 x+1
ve
dx
√
x2 + 2x + 2
elde edilir.
Örnek 47 I :=
√
R
√ dx
x+ x2 +x+1
x2 + x + 1 = y − x
a > 0
belirsiz integralinde hem
hem de
c > 0
ko³ulu sa§lanr.
dönü³ümü yaplrsa
Z
I=
x+
√
dx
=
x2 + x + 1
Z 1+
3y
2y 2 − 5y + 2
dy
√
belirsiz integraline,
x2 + x + 1 = xy − 1 dönü³ümü yaplrsa da
Z
Z
dx
−2y 2 − 2y − 2
√
dy
I=
=
y 4 + 3y 3 + y 2 − 3y − 2
x + x2 + x + 1
belirsiz integraline varlr, her iki integral de hesaplanabilir.
4.3
Genel Durum
Genel olarak
m≥2
do§al says için bir
r
Z
I :=
F
x,
m
ax + b
cx + d
!
dx
belirsiz integralinde
ax + b
= ym
cx + d
dönü³ümü yaplrsa
x=
dy m − b
a − cy m
ve
dx =
dmy m−1 (a − cy m ) + cmy m−1 (dy m − b)
dy
(a − cy m )2
olaca§ndan rasyonel bir belirsiz integrale varlr. E§er ayn ifadenin farkl dereceden kökleri varsa,
bu derecelerin en küçük ortak katlar
q
olmak üzere
ax + b
= yq
cx + d
dönü³ümü ile yine rasyonel bir integrale varlr.
Örnek 48 I :=
R q 1+x
3−x dx
belirsiz integralini hesaplamak için
y 2 :=
1+x
3−x
dönü³ümü yaplrsa
x=
3y 2 − 1
1 + y2
dx =
ve
24
8y
dy
(1 + y 2 )2
olaca§ndan
Z r
I=
1+x
dx = 8
3−x
Z
y2
dy = 8
(1 + y 2 )2
Z
dy
−
1 + y2
Z
dy
(1 + y 2 )2
elde edilir, bu integrallerin nasl hesapland§ daha önceden biliniyor.
Örnek 49 I :=
√
R
√
3
x+1
√x+1− √
dx
3
x+1+
x+1
belirsiz integralinde
y6 = x + 1
dönü³ümü yaplrsa
√
Z 3
Z 5
Z √
x+1− 3x+1
y − y2 5
y (y − 1)
p
dx =
6y dy = 6
dy
I=
√
3 + y2
3
y
y+1
x+1+ x+1
rasyonel integraline varlr, bu integral kolaylkla hesaplanabilir.
5
f0
KISM NTEGRASYON
ve
g0
fonksiyonlar integrallenebilir ise
(f g)0 = f 0 g + f g 0
e³itli§inden hareketle
Z
f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x) −
e³itli§i elde edilir. Bu e³itlikte
Z
g(x)f 0 (x)dx
u := f (x) ve v := g(x) tanmlar yaplrsa
Z
Z
u(x)dv = u(x)v(x) − v(x)du
ya da daha ksa bir yazm ile
Z
Z
udv = uv −
vdu
e³itli§i elde edilir ve bu e³itli§e ksmi integrasyon formülü denir. Bu yöntem özellikle logaritmik,
ters trigonometrik, polinom, trigonometrik ve üstel fonksiyonlarn çarpm durumunda bulundu§u
integrallerin hesabnda kullan³ldr.
Örnek 50 I := xex dx belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için
R
u := x
ex dx := dv
ve
tanmlar yaplrsa
du = dx
v = ex
ve
olaca§ndan
Z
I=
xex dx = xex −
Z
ex dx = xex − ex + C
olarak bulunur.
Örnek 51 I :=
R
x2 ex dx
belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için Örnek 50 de
kullanlan yöntem arka arkaya iki defa kullanlrsa
Z
I=
x2 ex dx = (x2 − 2x + 2)ex + C
olarak bulunur.
25
Örnek 52 I := x sin xdx belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için
R
u := x
sin xdx := dv
ve
tanmlamalar yaplrsa
du = dx
v = − cos x
ve
olaca§ndan
Z
Z
x sin xdx = −x cos x +
I=
cosxdx = −x cos x + sin x + C
olarak bulunur.
Örnek 53 I :=
R
x3 cos xdx
belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için Örnek 52
de kullanlan yöntem arka arkaya üç defa kullanlrsa
Z
x3 cos xdx = x3 sin x + 3x2 cos x − 6x sin x − 6 cos x + c
I=
olarak bulunur.
Örnek 54 I := ex sin xdx belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için
R
u := sin x
ex dx := dv
ve
tanmlar yaplrsa
du = cos xdx
ve
v = ex
olaca§ndan
Z
x
I = e sin x −
ex cos xdx
elde edilir. Buradaki integralde tekrar
u := cos x
ve
ex dx := dv
tanmlar altnda ksmi integrasyon uygulanrsa
I = ex sin x − (ex cos x + I) + C
elde edilir. Böylece
I=
ex
(sin x − cos x) + C
2
elde edilmi³ olur.
Örnek 55 I := ex sin2 xdx belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için
R
u := sin2 x
ve
ex dx := dv
tanmlar yaplrsa
du = 2 sin x cos xdx
ve
v = ex
olaca§ndan
x
2
I = e sin x −
Z
x
x
2
e 2 sin x cos xdx = e sin x −
Z
ex sin 2xdx
elde edilir. Bu son integral de önceki örneklerdeki gibi kolayca hesaplanabilir.
26
Örnek 56 I := ln xdx belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için
R
u := ln x
dx := dv
ve
tanmlar yaplrsa
du =
dx
x
v=x
ve
olaca§ndan
Z
Z
ln xdx = x ln x −
I=
dx = x ln x − x + C
olarak bulunur.
Örnek 57 I := x ln xdx belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için
R
u := ln x
xdx := dv
ve
tanmlar yaplrsa
du =
dx
x
x2
2
v=
ve
olaca§ndan
Z
I=
x2
1
x ln xdx =
ln x −
2
2
Z
xdx =
x2
x2
ln x −
+C
2
4
olarak bulunur.
Örnek 58 I := arcsin xdx belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için
R
u := arcsin x
dx := dv
ve
tanmlar yaplrsa
du = √
dx
1 − x2
v=x
ve
olaca§ndan
Z
I=
arcsin xdx = x arcsin x +
p
1 − x2 + C
olarak bulunur.
Örnek 59 I := arctan xdx belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için
R
u := arctan x
ve
dx := dv
tanmlar yaplrsa
du =
dx
1 + x2
ve
v=x
olaca§ndan
Z
I=
arctan xdx = x arctan x −
olarak bulunur.
27
1
ln(1 + x2 ) + C
2
6
NDRGEME BA‡INTILARI
Kimi belirsiz integralleri hesaplamak için benzer i³lemleri arka arkaya birkaç kez tekrarlamak
gerekebilir. Örne§in baz hesaplamalarda ksmi integrasyon i³lemi sklkla tekrar edilir. Bu tekrarlanan i³lemler indirgeme formülleri denilen ba§ntlar elde etmemizi sa§lar, elde edilen bu
ba§ntlar yardmyla tümevarmla integraller hesaplanabilir. Bu yöntemi örnekler üzerinde açklayalm.
Örnek 60
Pozitif bir
n
do§al says için
Z
sinn xdx
In :=
belirsiz integralini ele alalm.
u := sinn−1 x
ve
dv := sin xdx
tanmlar ile ksmi integrasyon yöntemi kullanlrsa
du = (n − 1) sinn−2 x cos xdx
ve
v = − cos x
olaca§ndan
Z
In =
Z
n
sin xdx =
sinn−1 x sin xdx
n−1
= − cos x sin
n−1
Z
x + (n − 1)
sinn−2 x cos2 xdx
Z
sinn−2 x(1 − sin2 x)dx
Z
Z
n−1
n−2
= − cos x sin
x + (n − 1) sin
xdx − (n − 1) sinn xdx
= − cos x sin
x + (n − 1)
= − cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2 − (n − 1)In
elde edilir. Buradan da
1
− cos x sinn−1 x + (n − 1)In−2
n
olur. n = 0 ve n = 1 için In bilindi§i
In =
indirgeme formülü elde edilmi³
yardmyla her
n
says için
In
için bu indirgeme ba§nts
hesaplanabilir. Örne§in
Z
I4 =
sin4 xdx
belirsiz integrali
Z
sin4 xdx = I4 =
=
=
1
− cos x sin3 x + 3I2
4
1
3
3
− cos x sin x + (− cos x sin x + I0 )
4
2
−1
3
3
sin3 x cos x − sin x cos x + x + C
4
8
8
olarak elde edilir. Benzer i³lemlerle
Z
Jn :=
cosn xdx
belirsiz integrali için
Jn =
1
− sin x cosn−1 x + (n − 1)Jn−2
n
indirgeme formülü de elde edilebilir.
28
Örnek 61
Pozitif bir
n
do§al says için
Z
cscn xdx
In :=
belirsiz integralini ele alalm.
u := cscn−2 x
ve
dv := csc2 xdx
tanmlaryla ksmi integrasyon uygulanrsa
du := −(n − 2) cscn−2 x cot xdx
ve
v := − cot x
olaca§ndan
Z
In =
n
csc xdx = − csc
n−2
x cot x − (n − 2)
cscn−2 x cot2 xdx
Z
cscn−2 x(csc2 x − 1)dx
Z
Z
n−2
n
= − csc
x cot x − (n − 2) csc dx + (n − 2) cscn−2 xdx
= − csc
n−2
Z
x cot x − (n − 2)
= − cscn−2 x cot x − (n − 2)In + (n − 2)In−2
elde edilir. Böylece
In =
1 (n − 2)In−2 − cscn−2 x cot x
n−1
indirgeme formülü elde edilmi³ olur. Benzer i³lemlerle
Z
secn xdx
Jn :=
belirsiz integrali için
Jn =
1 (n − 2)In−2 + secn−2 x tan x
n−1
indirgeme formülü elde edilebilir.
Örnek 62 n pozitif bir do§al say olmak üzere
Z
In :=
(ln x)n dx
belirsiz integrali için bir indirgeme formülü elde etmek için
u := (ln x)n
ve
dv := dx
tanmlar yaplrsa
du :=
n(ln x)n−1
dx
x
ve
v := x
olup ksmi integrasyon ile
Z
(ln x)n dx = x(ln x)n − n
Z
(ln x)n−1 dx
elde edilir. Böylece
In = x(ln x)n − nIn−1
indirgeme formülü bulunmu³ olur.
29
Örnek 63
Pozitif
n
do§al says için
√
xn a + bxdx
Z
In :=
biçimine sahip bir belirsiz integrali ele alalm.
u := xn
dv :=
ve
√
tanmlar ile
du := nxn−1 dx
v :=
ve
a + bxdx
2
(a + bx)3/2
3b
oldu§undan
√
xn a + bxdx
Z
In =
=
=
=
=
2
(a + bx)3/2 xn −
3b
2
(a + bx)3/2 xn −
3b
2
(a + bx)3/2 xn −
3b
2
(a + bx)3/2 xn −
3b
Z
2n
(a + bx)3/2 xn−1 dx
3b
Z
2n
(a + bx)(a + bx)1/2 xn−1 dx
3b
Z
Z
2an
2n
1/2 n−1
(a + bx) x
dx −
(a + bx)1/2 xn dx
3b
3
2an
2n
In−1 −
In
3b
3
elde edilir. Böylece
In =
2an
2
(a + bx)3/2 xn −
In−1
b(2n + 3)
b(2n + 3)
indirgeme formülü bulunmu³ olur.
Örnek 64
Daha önce Bölüm 2 de bir de§i³ken de§i³imi ile
Z
In :=
belirsiz integrali baz
n
dx
(1 + x2 )n
de§erleri için hesaplanm³t. “imdi bu belirsiz integral için bir indirgeme
formülü elde edelim.
u :=
tanmlar yaplrsa
du :=
1
(1 + x2 )n
ve
−2nx
dx
(1 + x2 )n+1
dv := dx
ve
v := x
olaca§ndan
Z
In =
dx
(1 + x2 )n
=
=
=
=
x
(1 + x2 )n
x
(1 + x2 )n
x
(1 + x2 )n
x
(1 + x2 )n
x2
dx
(1 + x2 )n+1
Z
(1 + x2 ) − 1
+ 2n
dx
(1 + x2 )n+1
Z
Z
dx
dx
+ 2n
−
2n
2
n
(1 + x )
(1 + x2 )n+1
Z
+ 2n
+ 2nIn − 2nIn+1
elde edilir. Böylece
In+1
x
1
=
+ (2n − 1)In
2n (1 + x2 )n
30
indirgeme formülü elde edilmi³ olur. Bu formül ve
I1 = arctan x + C
bilgisi ile bu integral her pozitif
Z
n
do§al says için hesaplanabilir. Örne§in
dx 3
= I3 =
(1 + x2 )
=
=
x
1
+ 3I2
4 (1 + x2 )2
1
x
x
3
+
+ I1
4 (1 + x2 )2 2 1 + x2
x
1
3 x
3
+
+ arctan x + C
2
2
2
4 (1 + x )
81+x
8
olarak bulunur.
31