tıklat indir

14 OCAK 2011
2010–2011 ÖĞRETĐM YILI GÜZ DÖNEMĐ
ANALĐZ III FĐNAL SORULARI
ADI – SOYADI:
NO:
1.(5p) 2.(6p) 3.(7p) 4.a.(3p) 4.b.(2p) 5.(4p) 6.(5p) 7.(13p) 8.(17p) 9.(33p) TOPLAM
1.
 
 sgn nx  
f n ( x) = arctan sin log 5  2 2
 (n ∈ ℕ ) fonksiyonel dizisinin ℝ üzerinde
 n x −1  
 
( )′ (0) eşitliğinin
düzgün yakınsak olup olmadığını araştırınız ve lim f n′ (0) = lim
n→∞
n→∞
sağlanıp sağlanmadığını sebepleri ile birlikte açıklayınız. Sağlanırsa sağlandığına dair,
sağlanmazsa sağlanmadığına dair bir örnek vererek gösteriniz.
100
∞
2.
∑n

 n
1
arc cot1+

 ln(sin n) 
x99 serisinin yakınsaklığını, düzgün yakınsaklığını, mutlak
n=1
yakınsaklığını, koşullu yakınsaklığını araştırınız. Neden?
3. Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve değer kümelerini bulunuz. Açıklayınız.
yπ − z  x 
a) f ( x, y, z ) = sgn 
 arctan
x 2  y − z 
( z)
3
( arcsin
b) f ( x, y ) =
xy
)
2
x (1 − xy )
sgn ( ln x )
4. Aşağıdaki serilerin yakınsaklık karakterini inceleyiniz:
n!
1
π ee r !( n−r ) ! a) ∑∑∑
b) ∑ p sgn e
n n =9 n = 2 n = 0
n =1 n
5. Seri, kuvvet serisi, yakınsaklık yarıçapı, yakınsaklık aralığı, kapalı fonksiyon, kısmi
türev, yönlü türev, gradiyent, Fourier serisi, Taylor serisi, Maclaurin serisi
kavramlarının tanımlarını vererek açıklayınız ve çeşitli örnekler gösteriniz.
6. Aşağıdaki verilen fonksiyonların x, y, z , t , k , l , m, n, o, p değişkenlere göre kısmi
türevlerini bulunuz. Bulduğunuz kısmi türevler sürekli midir? Schwarz Teoremi’nin
koşulları sağlanıyor mu? Nedenleriyle birlikte açıklayınız.
∞
∞
∞
n+2 − n−2
arccos ( n 2 − 7 ) sgn n ;
α
n
∞
x 753 − y z t − k 93
a) f ( x, y, z , t , k , l , m, n, o, p ) = 3
arctan ( x 2 + y 2 )
6
l − mn − o − p
b) f ( x, y , z , t ) =
7.
(
83
x7 − y5 zt
f ( x) = sgn ( arctan π − x e ln e ),
−1
)
− π < x < π fonksiyonunun Fourier sersine
açılıp açılmadığını bulunuz. Açılıyorsa açılımını bulunuz. Açılmıyorsa neden
açılmadığını sebepleriyle açıklayınız. Örnekler gösteriniz.
8.
 
x  x 2 f ( x, y ) = arctan sgn cos
 ln fonksiyonunun dikdörtgenler prizması
x − y  y  
üzerinde mutlak ekstremumlarını bulunuz.
9. Fourier Katsayıları Đçin Riemann Teoremi, Dini Teoremi, Schwarz Teoremi,
Weierstrass’ın I. ve II. Teoremlerini ifade ve ispat ediniz. Çok değişkenli fonksiyonun
noktada sürekliğinin Cauchy tanımını veriniz.
NOT: Sınav süresi 45 dakikadır. Puanlama tabloda belirtilmiştir.
BAŞARILAR…