ÖSYM - 2.qxp - Google Groups

Artan - Azalan Fonksiyonlar Max. Min. ve Dönüm Noktalarý
1. Aþaðýdaki fonksiyonlardan hangisi
4. f(x) = x3 – 3ax2 + 2x – 1 fonksiyonunda f ý(x) in
daima
artandýr?
A) y =
ÖSYM SORULARI
yerel (baðýl) minimum deðerinin –1 olmasý için a
1
B) y =
(x – 1)2
D) y =
x +1
x–2
x2
C) y =
olmalýdýr?
A) 0
E) y = x2 – 3x + 2
2
x –1
C) 2
D) 3
E) 4
(1983 - ÖYS)
y
5. 0 < x < ∞ için f(x) azalan bir fonksiyon olduðuna
y = f(x)
göre aþaðýdakilerden hangisi ayný aralýkta
ile bunun türevinin
artan bir fonksiyondur?
grafikleridir.
Bu grafiklerden ya-
B) 1
(1974)
2. Grafikteki eðriler,
y = f(x) fonksiyonu
nýn pozitif deðeri aþaðýdakilerden hangisi
x –1
x+2
x
yý = f ý(x)
yýý = f ýý(x)
rarlanýlarak aþaðý-
B) f(x2)
A) f(x) – x
C) x – f(x)
E) [f(x)]3
D) 2f(x)
dakilerden hangisi
(1983 - ÖYS)
söylenemez?
A) yý = 0 olduðu noktalarda (y) nin minimumu ya
da maksimumu vardýr.
B) yýý = 0 olduðu bir noktadan (y′) nin maksimumu
vardýr.
6. f(x) fonksiyonu (a, b) aralýðýnda pozitif olarak
C) (y) nin minimum, maksimum noktalarýnda
tanýmlý ve artan ise aþaðýdakilerden hangisi ayný
yýý = 0 dýr.
aralýkta azalandýr?
D) yýý > 0 olduðu bölgelerde yý artandýr.
A) 2f(x)
E) yýýý < 0 olduðu bölgelerde yýý eksilendir.
B)
1
f(x)
C) f3(x)
D) f2(x)
(1976)
E) –
1
f 2(x)
(1985 - ÖYS)
7. 0 < a < b ve ∀ x ∈ [a, b] için
3. y = x3 + bx2 + cx – 1 fonksiyonunda apsisi x = 1
f ý(x) > 0 olduðuna göre,
olan nokta dönüm (büküm) noktasýdýr. Foksiyonun
∀ x ∈ (a, b) için aþaðýdakilerden hangisi daima
doðrudur?
bu noktadaki teðetinin eðimi 1 olduðuna göre
c nin deðeri kaçtýr?
A) f(x) > f(a)
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
D) f(x) > f(b)
(1983 - ÖYS)
B) f(x) > 0
C) f(x) < 0
E) f(x) = f(b)
(1986 - ÖYS)
282
ÖSYM SORULARI
12. k nin hangi aralýktaki deðerleri için y = kx +1
8. f ve g bir l aralýðýnda türevli olan fonksiyonlardýr.
Bu fonksiyonlar için aþaðýdaki baðlantýlardan
fonksiyonu daima eksilendir (azalandýr)?
hangisi saðlanýrsa g(x) ⋅ f(x) çarpýmý l aralýðýn-
x +k
A) –∞ < k < –2 B) –2 < k < –1 C) –1 < k < 1
da artandýr?
B) 1 < k < 2
A) f ý(x) > g(x)
C) 0 < k < 2
(1996 - ÖYS)
B) fý(x) ⋅ g(x) > –f ý (x) ⋅ g(x)
C) f ý(x) ⋅ g(x) > –f ý(x) g′(x)
D) f(x) > g(x) >
13. f: R → R, f(x) = x3 + 6x2 + kx veriliyor. f(x)
–f ý(x) ⋅ g(x)
fonksiyonu (–∞,+∞) aralýðýnda artan olduðuna
E) f(x) ⋅ g(x) > –f ý(x) ⋅ g(x)
göre, k için aþaðýdakilerden hangisi doðrudur?
(1987 - ÖYS)
A) k = –7
B) k = –1
D) k<0
9.
C) k < –2
E) k>12
y
(1997- ÖYS)
14. a ≠ 0 olmak üzere, y = ax3 + bx2 + cx + d
−3
−1 0
1
4
fonksiyonu ile ilgili olarak,
x
6
I. Büküm (dönüm) noktasý vardýr?
II. Yerel minimum noktasý vardýr.
ý
y = f (x)
III. Yerel maksimum noktasý vardýr.
Türevinin grafiði yukarýda verilen f ý fonksiyonu
Yargýlardan herhangi her zaman doðrudur?
hangi x deðeri için maksimum deðerini alýr?
A) –3
B) –1
C) 1
D) 4
A) Yalnýz I
E) 6
B) Yalnýz II
D) I ve II
(1984 - ÖYS)
C) Yalnýz III
E) II ve III
(1998- ÖYS)
10. P(x) =
ax4
+
4x3
–
3x2
+ bx + c nin iki katlý bir
15. a bir parametre (deðiþken) olmak üzere,
kökü x = 2 olduðuna göre, a ile b arasýndaki
y = x2 – 2ax + a eðrilerinin ekstremum nokta-
baðýntý nedir?
larýnýn geometrik yeri aþaðýdakilerden hangi-
A) 32a + b + 10 = 0
sidir?
B) 32a + b + 36 = 0
A) y = –x2 + 2x B) y = –x2 + x C) y = x2 – 2x
C) 16a + b – 24 = 0
D) y = x2 + x
D) 16a + b – 32 = 0
E) y = x2 + 2x
(1998- ÖYS)
E) 16a + 2b + 24 = 0
(1989- ÖYS)
3
3
⎛ 3
⎞
A) ⎜ − , − 1⎟
⎝ 2
⎠
1⎞
⎛
⎛ 1 ⎞
B) ⎜ −1 , − ⎟ C) ⎜ − , 0 ⎟
2⎠
⎝
⎝ 2 ⎠
1⎞
⎛
⎛ 1 3⎞
D) ⎜ 0, ⎟
E) ⎜ , ⎟
2⎠
⎝
⎝ 2 2⎠
dönüm (büküm) noktasýnýn apsisi 1 ise, ordinatý
kaçtýr?
B) –1
C) 0
D) 1
2
larýn hangisinde azalandýr?
11. Denklemi y = x3 + ax2 + (a + 7)x – 1 olan eðrinin
A) –2
2
16. f(x) = 2x − x + 5 fonksiyonu aþaðýdaki aralýk-
E) 2
(1993- ÖYS)
(2006- ÖSS)
Cevaplar: 1-C 2-C 3-B 4-B 5-E 6-B 7-A 8-D 9-E 10-B 11-D 12-C 13-E 14-A 15-A 16-D
283
Maksimum ve Minimum Problemleri - 1
ÖSYM SORULARI
1. y = x2 + 2x + 2 parabolünün y = –2x + 1
5. y = (cosx + 5)(7 – cosx) ifadesinin en büyük
doðrusuna en yakýn noktasý aþaðýdakilerden
deðeri nedir?
hangisidir?
A) 48
A) (2, 1)
B) (2, –2)
D) (1, 2)
B) 42
C) 40
D) 36
E) 35
C) (–2, –2)
(1976)
E) (–2, 2)
(1967)
2. x2 + (2 – m)x – m – 3 = 0 denkleminde köklerin
6. Bir kenarý y = 4 doðrusu,
karelerinin toplamý minimum olmasý için m aþaðý-
diðer bir kenarý y ekseni
daki sayýlardan hangisi olmalýdýr?
ve bir köþesi de
A) –0,5
B) –1
C) 1
D) –2
y
4
y = x2 eðrisi üzerinde
E) 0,5
deðiþen dikdörtgenlerin
(1969)
0
en büyük alanlýsýnýn
x
2
alaný ne olur?
A)
16
3
9
3. P(x) =3x3 + 6x2 + qx+1 polinomu x = –1 için
D)
sýfýra eþit oluyor. Buna göre q nün deðeri aþaðý-
B)
16
2
9
14
5
C)
16
3
E) 3ñ6
(1977)
dakilerden hangisidir?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 4
E) 3
(1974)
7. Þekilde, y = x2 pa-
y
rabolü ile A(3, 0)
y = x2
noktasý verilmiþtir.
Grafiðin A ya en
4.
x 2 – mx +10
fonksiyonunun, x = 1 için bir
x–3
maksimumu bulunduðuna göre m, aþaðýdakilery=
olduðuna göre,
B) 4
C) 3
0
AP uzaklýðý kaç
A(3, 0)
x
birimdir?
den hangi deðeri alýr?
A) 5
A(x, y)
yakýn noktasý P
D) 2
A) 1
E) 1
B) ñ2
C) ñ3
D) 2
E) ñ5
(1983 - ÖYS)
(1974)
284
ÖSYM SORULARI
8.
12.
x y
+ =1, x = 0; y = 0 doðrularý ile sýnýrlý bölgede
6 4
bulunan ve köþelerinden üçü bu doðrular
y
üzerinde diðeri de O(0, 0) noktasýnda olan bir
1
dikdörtgenin alaný en çok kaç birim karedir?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
−3
−2
x
−1
f ý(x)
E) 4
(1983 - ÖYS)
Yukarýdaki eðri, f(x) fonksiyonun f ý(x) türevinin
eðrisidir. Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi
f(x) fonksiyonunun ekstremum
(yerel maksi-
mum, minimum) noktalarýndan birinin apsi-
9. f(x) =
mx2
+ (m + 1) x + m – 1 fonksiyonunun
–3
te bir minimumu olduðuna göre, m
x=
4
kaçtýr?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 1
sidir?
A) 1
B) 0
C) –1
D) –2
E) –3
(1988 - ÖYS)
E) 2
(1985 - ÖYS)
13. Þekildeki P(x1 , y1)
x
y
+
= 1 doðru8 16
suna en yakýn noktasýnýn apsisi kaçtýr?
noktasý, denklemi
10. 4x2 + 9y2 = 144 elipsinin
A)
10
2
B)
16
9
C)
9 10
5
D)
9
4
E)
y
P(x1, y1)
y = x (5 – x) olan
parabol üzerindedir.
9
2
5
0
x
(1986 - ÖYS)
x1 in hangi deðerleri için x1 + y1 maksimumdur?
A) 2,50
B) 7,75
C) 3,00
D) 3,25
E) 4,00
(1989 - ÖYS)
11. Þekildeki gibi dikdörtgen biçiminde
ve bir kenarýnda,
duvar bulunan bir
bahçenin üç kena-
x 2+mx
olan fonksiyonun x = 3
x –1
noktasýnda ekstremum noktasýnýn olmasý için m
14. Denklemi f(x)=
rýna bir sýra tel
çekilmiþtir. Kullanýlan telin uzunluðu 80 m olduðuna göre, bahçenin alaný en fazla kaç m2 olabilir?
A) 800
B) 1000
C) 1200
D) 1400
kaç olmalýdýr?
A) 2
E) 2000
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
(1994 - ÖYS)
(1987 - ÖYS)
Cevaplar: 1-E 2-C 3-D 4-A 5-D 6-A 7-E 8-D 9-E 10-C 11-A 12-D 13-C 14-B
285
Maksimum ve Minimum Problemleri - 2
1.
D
ÖSYM SORULARI
5. Þekildeki denklemi
C
x2 + y2 = 9
y
olan
3
dörtte bir çemberin
A
0
|AB| = 2 birim olan bir yarýçemberin içine çizili
seni üzerindeki dik
ABCD yamuðunun alaný en büyük deðeri
izdüþümü
aldýðýnda, yüksekliði kaç birim olur?
2
B)
3
1
A)
2
2
C)
2
B
B noktasýnýn x ek-
B
x
A(x, 0) 3
0
A(x, 0)
noktasýdýr.
3
E)
3
D) 3
2
Buna göre, OAB üçgeninin alaný x in hangi
deðeri için en büyüktür?
(1990 - ÖYS)
A)
3 2
2
B)
3 2
4
C)
3 3
4
D) 1
E) 2
(1994 - ÖYS)
2. Dik yarýçaplarý [OA],
B
[OB] olan dörtte bir
P
birim çember üzerindeki deðiþken bir
6. y = –x2 eðrisi üzerinde, P(–3, 0) noktasýna en
yakýn olan noktanýn apsisi kaçtýr?
P noktasýnýn OA üzerindeki dik izdüþümü
0
H
A
A) 4
B) 3
C) 2
D) –1
H olduðuna göre, POH üçgeninin çevresi en
E) –2
(1995 - ÖYS)
çok kaç birim olabilir?
A) ñ2 + ñ3
B) 2ñ2 – 1
D) 1 + ñ3
C) 2ñ3 – 1
E) 1 + ñ2
(1990 - ÖYS)
7. f(x) = x2 – 7x + 14
parabolü üzerindeki bir
noktanýn koordinatlarý toplamýnýn alabileceði en
küçük deðer kaçtýr?
3. f(x) =
x3
– 3x + 8 fonksiyonunun [–1 , 2 ] aralýðýn-
A) 10
B) 8
C) 6
D) 5
da alabileceði en küçük deðer kaçtýr?
A) –1
B) 6
C) 8
D) 10
E) 3
(1996- ÖYS)
E) 12
(1990 - ÖYS)
8. m,n ∈ R olmak üzere, f: R → R fonksiyonu,
4.
1 3
x − mx 2 +nx ile tanýmlýdýr. f fonksiy3
onunun x1 = 2 ve x2 = 3 noktalarýnda yerel
f(x)=
4
fonksiyonunun baþlangýç noktasýna en
x
yakýn olan noktasýnýn, baþlangýç noktasýna uzay=
ekstremumu
B) 4
göre,
n – m farký kaçtýr?
klýðý kaç birimdir?
A) 8
olduðuna
C) 2
D) 4ñ2
A) –1
E) 2ñ2
(1990 - ÖYS)
B) 4
C)
7
2
D)
9
2
E)
17
5
(1996 - ÖYS)
286
ÖSYM SORULARI
9. Köþesi A(6, 3) olan
12. Þekilde merkezi O, yarý-
y
A(6, 3)
þekildeki dik üçgenin
kenarlarý
B
çapý |OA|= OB|= 4 cm
koordinat
olan dörtte bir çember
F
eksenlerini E ve F de
N
L
4
yayý üzerindeki bir N nokx
E
kesmektedir.
0
tasýndan yarýçaplara inen
dikme ayaklarý K ve L dir.
Buna göre, |EF| nin en küçük deðeri kaçtýr?
A) 2ñ5
B) 3ñ5
C) 2ñ3
D) 5
A
K
A
Buna göre, OKNL dikdörtgeninin en büyük
E) 4
alaný kaç cm2 dir?
(1991 - ÖYS)
A) ñ2
B) ñ3
C) 2ñ3
D) 6
E) 8
(1996 - ÖYS)
10. O, [AB] üzerinde
A
13.
F
AE ⊥ AB
y
BF ⊥ AB
y = f(x)
1
2
OE ⊥ OF
1
3
α
|AO| = 8 birim
A 8
0
27
B
|OB| = 27 birim
−1
Yukarýdaki grafikte, A(3, –1) noktasý f(x) fonksif(x)
yonunun yerel minimum noktasý ve h(x)=
x
olduðuna göre, h′′(3) ün deðeri kaçtýr?
tür?
A) ñ3
B)ñ2
2
3
C)
D)
3
4
x
A(3, −1)
Yukarýda verilenlere göre, tan α nýn hangi
deðeri için |OE| + |OF| toplamý en küçük-
3
E) 1
(h′(x), h(x) in türevi)
(1992 - ÖYS)
A) –1
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
1
9
(1998 - ÖYS)
y
11. Denklemi y = ñx olan
þekildeki parabolün A
A
P
ve P noktalarýnýn x
y= x
14. a, b gerçel (reel) sayýlar ve
ekseni üzerindeki dik
izdüþümleri sýrasýyla
0
H
B
A = –a2 + 8a +1
x
B = b2 + 18b + 5
B(36, 0) ve H(x, 0) dýr.
olduðuna göre,
HBP üçgeninin alaný, x in hangi deðeri için en
A nýn en büyük sayý deðeri ile B nin en küçük
büyüktür?
sayý deðeri toplamý kaçtýr?
A) 12
B) 9
C) 8
D) 6
A) –59
E) 4
B) –50
C) 60
D) 70
E) 80
(1999 - ÖYS)
(1993 - ÖYS)
Cevaplar: 1-D 2-E 3-B 4-E 5-A 6-D 7-D 8-C 9-B 10-C 11-A 12-E 13-E 14-A
287