MAT1152 GENEL MATEMATcIK!II FcINAL SINAVI SORULAR! ININ

MAT1152 GENEL MATEMATI·K-II FI·NAL SINAVI SORULARININ CEVAP ANAHTARI
1.SORU
a) Verilen integralde 2x = t dönüşümü yapal¬m.
2x = t =) 2x ln 2dx = dt
olur.Dolay¬s¬yla;
Z
2x
p
dx =
1 + 4x
=
Z
1
dt
p
ln 2
1 + t2
p
1
ln t + 1 + t2 + c
ln 2
olur. son olarak t = 2x ifadesi yerine yaz¬l¬rsa
Z
p
2x
1
p
ln 2x + 1 + 22x + c
dx =
x
ln 2
1+4
olarak elde edilir.
b) Verilen integrale k¬smi integrasyon yapal¬m.
xdx = dv =)
u
=
x2
=v
2
arcsin x =) du = p
1
x2
1
dx
olmak üzere
Z
x2
x arcsin xdx =
arcsin x
2
1
2
Z
p
x2
dx
1 x2
olur.Bu integralde
x = sin t
dönüşümü yap¬l¬rsa
Z
Z
x2
p
dx =
sin2 tdt
1 x2
Z
1 cos 2t
dt
=
2
1
1
=
t
sin 2t + c
2
4
1
1
=
arcsin x
sin 2(arcsin x) + c
2
4
1
olur.Dolay¬s¬yla verilen integral
Z
x2
x arcsin xdx =
arcsin x
2
1
1
arcsin x + sin 2(arcsin x) + c
2
4
şeklkinde elde edilir.
c) Verilen integralde verilmiş olan fonksiyonun pay¬n¬n derecesi paydas¬n¬n
derecesinden küçük oldu¼
gundan ilk önce basit kesirlerine ay¬rma işlemi yap¬l¬r.
x2 + 1
x3 + 2x2 + x
=
=
=)
x2 + 1
2
x (x + 1)
A
B
C
+
+
x
x + 1 (x + 1)2
2
x2 + 1 = A (x + 1) + Bx (x + 1) + Cx
işlemi yap¬l¬rsa
A=1,B=0,C=
olarak elde edilir.Ohalde
Z
Z
1
x2 + 1
dx =
dx
x3 + 2x2 + x
x
=
ln jxj +
2
2
Z
1
2 dx
(x + 1)
2
+c
x+1
şeklinde elde edilir.
2.SORU
a) Verilen integralin karakterini belirlemek için limit testi uygulayal¬m.
lim (1
x!1
1
p=1
x)
x2
1
=
1
=c
2
şeklinde olur.
1
<1
2
oldu¼
gundan verilen integral limit testinden ¬raksak olur.
p = 1 ve c =
Ayr¬ca ikinci bir yol olarak integral hesaplanarakta sonucun sonlu oldu¼
gu
dolay¬s¬yla integralin yak¬nsak oldu¼
gu gösterilebilir.
b)Verilen integralin karakterini belirlemek için limit testi uygulayal¬m.
4
lim xp= 3 p
3
x!1
1
x4
2
+x
=1=c
şeklinde olur.
4
,c=1
3
oldu¼
gundan verilen integral limit testinden yak¬nsakt¬r.
p=
Ayr¬ca ikinci bir yol olarak Binom integrali hesaplanarakta sonucun sonlu
oldu¼
gu dolay¬s¬yla integralin yak¬nsak oldu¼
gu gösterilebilir.
p
grisi , x y = 2 ve x + y = 0 do¼
grular¬ taraf¬ndan
3.SORU : x = y e¼
s¬n¬rlanan bölgenin alan¬
A =
Z0
j(x + 2)
( x)j dx +
1
=
Z2
(x + 2)
x2 dx
0
13
3
olarak elde edilir.
4.SORU: xy = 5 e¼
grisi ile x + y = 6 do¼
grusu taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgenin
Oy ekseni etraf¬nda döndürülmesiden elde edilen dönel cismin hacmi kabuk
metodu ile
V
=
2
Z5
x (6
x)
5
dx
x
1
V
işaret tablosunda mutlak de¼
ger içindeki ifade incelenip gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa
Z5
6x x2 5 dx
= 2
1
=
64
3
olarak elde edilir.
5.SORU:
8
2
>
< x (t) = t
2
3
>
: y (t) = 1 (2t + 1) 2
3
3
e¼
grisinin 0
t
1 aral¬g¼¬ndaki yay uzunlu¼
gu
l
Z1 q
2
2
=
(x0 ) + (y 0 ) dt
0
Z1 r
1
=
t2 + (2t + 1) 4dt
4
0
=
Z1 q
2
(t + 1) dt =
(t + 1) dt
0
0
=
Z1
3
2
olarak elde edilir.
6.SORU:
a) Verilen serinin karakterini incelemek için oran testini kullanal¬m.
lim
n!1
10n+1 n!
an+1
= lim
=0<1
n!1 (n + 1)! 10n
an
oldu¼
gundan verilen seri oran testinden mutlak yak¬nsakt¬r. Ayr¬ca mutlak yak¬nsak her seri yak¬nsak olaca¼
g¬ndan verilen seri yak¬nsakt¬r.Ayr¬ca Leibnitz testinden de yak¬nsakl¬k gösterilebilir.
b) Verilen serinin karakterini incelemek için oran testini kullanal¬m.
an+1
n!1 an
lim
=
=
2
3n (n!)
n!1 3n+1 [(n + 1)!]2 (n + 2)!
(n + 3)!
lim
lim
n!1
1 (n + 3)
=0<1
3 (n + 1)2
oldu¼
gundan verilen seri oran testinden yak¬nsakt¬r.
c) Verilen serinin karakterini incelemek için limit testini kullanal¬m.
3
lim np= 2 p
n!1
1
n3
+1
=1=c
olur. Dolay¬s¬yla
3
ve c = 1
2
oldu¼
gundan verilen seri limit testinden yak¬nsakt¬r.
p=
4
7.SORU: Verilen serinin yak¬nsakl¬k aral¬g¼¬n¬bulmak için Cauchy H’Adamart
formülünü kullan¬rsak
1
cn =
(n + 1) 5n
olmak üzere yak¬nsakl¬k yar¬çap¬
p
n
cn =
1
=) R = 5
5
2j < 5 yani
3<x<7
L = lim
n!1
olarak elde edilir.Ohalde
jx
için verilen seri yak¬nsakt¬r. Uç noktalarda inceleme yapacak olursak
x=
3 için
serisi
X ( 1)n
n+1
1
1
monoton azalan ve lim
=0
n!1 n + 1
n+1
oldu¼
gundan Leibnitz testinden yak¬nsakt¬r.
an =
x = 7 için
X
1
n+1
serisi ¬raksakt¬r. Dolay¬s¬yla verilen serinin yak¬nsakl¬k aral¬g¼¬ [ 3; 7) şeklinde
elde edilir.
1
8.SORU: Soruda verilen A matrisinin tersini A
=
ekA
formülü ile hesapl¬yal¬m.
jAj
1
1 0
2
1
1 1
2
1 1 =1
( 1) + 0
0 1
1 2
0 1 2
= 3 + 4 = 1 olur. Öteyandan Minörler
2 1
1 1
1+2
1+1
= 3 , A12 = ( 1)
A11 = ( 1)
0 2
1 2
2
1
1+3
( 1)
=2
0 1
jAj =
2+1
A21 = ( 1)
2+3
( 1)
1
0
1
1
1
1
=
3+3
( 1)
1
2
1
1
2+2
1
0
0
2
3+2
1
2
0
1
= 2 , A22 = ( 1)
4 , A13 =
= 2 , A23 =
1
1
1
3+1
A31 = ( 1)
0
2
=
0
1
=
1 , A32 = ( 1)
=1
5
=
1 , A33 =
şeklindedir.Dolay¬s¬yla
A
1
3
2
1
ekA
1
=
=
jAj
1
A
1
3
4
2
=
4
2
1
2
2
1
2
1
1
T
1
1
1
şeklinde elde edilir.
9.SORU: Verilen denkelm sisteminin çözümünü Cramer metodu ile bulal¬m.
3
1
2
jAj =
=
3
=
5
3
5
3
3
2
3
3
5 2
63 + 40 + 3
( 5)
1
2
3
2
+3
=)
jAj =
20
olarak elde edilir. Buradan
x=
10
2
6
5
3
5
jAj
3
3
2
=
19
5
=
2
5
=
1
5
olur.
y=
3
1
2
10 3
2
3
6
2
jAj
3
1
2
5 10
3 2
5 6
jAj
olur.Ve benzer şekilde
z=
şeklinde elde edilir.
6
1
2
3
5