1.5 Metrik Uzaylarda Süreklilik

20
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1.5
Metrik Uzaylarda Süreklilik
X ve Y iki topolojik uzay olmak üzere, bir f : X → Y fonksiyonunun x0 ∈ X
noktasında sürekli olması, f (x)’i içeren her açık U ⊂ Y için, f (V ) ⊂ U
özelliğinde x’i içeren V ⊂ X açık kümesinin var olması idi. f fonksiyonu her
noktada sürekli ise f ’ye sürekli fonksiyon olarak tanımlanmıştı. Mertikleşebilir
iki topolojik uzay arasında tanımlı sürekli fonksiyonların yapısını anlamak,
aşağıdaki teoremden de anlaşılacağı gibi, iki topolojik uzay arasındaki süreklilik kavramını anlamaktan, daha ”kolay”dır. Bu kolaylıktan yararlanarak altmetrik uzayda tanımlı sürekli fonksiyonun sürekli olarak genişlemesi hakkında
temel iki teorem verilcektir.
(X, d) ve (Y, p) iki metrik uzay, τd , X üzerinde d tarafından üretilen topoloji
ve τp , Y üzerinde p tarafından üretilen topoloji olsun. f : (X, τX ) → (Y, τY )
fonksiyonu x noktasında sürekli ise, f ’ye bu iki metrik uzay arasında x noktasında sürekli denir. f ’nin sürekliliği benzer biçimde tanımlanır.
Teorem 1.14. X ve Y iki metrikleşebilir uzay, f : X → Y bir fonksiyon ve
x ∈ X için aşağıdakiler denktir.
(i) f , x noktasında süreklidir.
(i) xn → x =⇒ f (xn ) → f (x).
(i) Her > 0 için f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ) özelliğinde δ > 0 vardır.
X ve Y iki topolojik uzay ve ∅ =
6 A ⊂ B ⊂ X olmak üzere f : A → Y ve
g : B → Y fonksiyonları sürekli ve her x ∈ A için g(x) = f (x) ise g’ye f ’nin
sürekli genişlemesi denir.
Tanım 1.9. X bir topolojik uzay olsun. X’nin sayılabilir tane açık kümelerin
arakesiti olarak yazılabilen kümete Gδ -küme denir. Gδ -kümenin tümleyenine
Fδ -küme denir.
Örnekler
1.36. metrikleşebilir topolojik her uzayın kapalı alt kümesi Gδ -kümedir. Gerçekten, X’nin
topolojisinin d metriği tarafından üretilen topoloji olsun. A ⊂ X kapalı olsun.
f : X → R, f (x) = d(x, A)
olmak üzere, f sürekli ve
A = ∩n f −1 (− n1 , n1 )
ve sağlanır.
Teorem 1.15. X bir metrik uzay ve Y tam metrik uzay olsun. A ⊂ X ve
f : A → Y sürekli fonksiyon olsun. A ⊂ A∗ ⊂ A ve f ∗ : A∗ → Y , f ’nin sürekli
genişlemesi olacak biçimde Gδ -küme A∗ vardır.
1.5. Metrik Uzaylarda Süreklilik
21
Kanıt: x ∈ X’i içeren açık kümelerin kümesi Ux olmak üzere,
u(x) = inf U ∈Ux supx,y∈A∩U p(f (x), f (y))
olarak tanımlıyalım. (u(x) ∈ R olduğu bariz.)
A∗ = {x ∈ A : u(x) = 0}
olsun. x ∈ A∗ verilsin. xn → x ve u(x) = 0 özelliğindeki her dizi (xn ) dizisi için
(f (xn )) dizisinin Y ’de bir Cauchy dizisi olduğu açıktır. Dolayısı ile yakınsaktır.
Ayrıca aynı özellikte bir başka (yn ) dizisi var ise
limn f (xn ) = limn f (xn )
dir. (Bunu görmek için: her n ∈ N için z2n = xn ve z2n−1 = yn olam üzere
(zn ), A’da x’e yakınsayan bir dizidir. Dolyısıyla,
limn f (xn ) = limn f (z2n ) = limn f (z2n−1 ) = limn f (yn )
elde edilir.) Böylece,
f ∗ : A∗ → Y , f (x) = limn f (xn ) (xn ∈ A, xn → x)
fonksiyonunu tanımlayabiliriz. A∗ altuzayında xn → x olsun. > 0 verilsin.
supy,z∈U ∩A p(f (y), f (z)) < özelliğinde U ∈ Ux vardır. Buradan
supy,z∈U ∩A p(f ∗ (x), f ∗ (y)) ≤ dir. Aynı zamanda her n ≥ n0 için xn ∈ U olacak biçimde n0 ∈ N vardır.
Ayrıca zamanda xn ∈ A olduğundan, her n ≥ n0 için p(f ∗ (xn ), f ∗ (x)) ≤ dır. Böylece f ∗ ’nin sürekli olduğu gösterilmiş olur. Geriye A∗ ’nın Gδ -kümesi
olduğunu göstermek kalıyor. Her n ∈ N için,
An = {x ∈ A : u(x) < n1 },
A’nın açık bir kümesidir. Gerçekten, x ∈ An ise,
sup{p(f (y), f (z)) : y, z ∈ U ∩ A} <
1
n
özelliğinde U ∈ Ux vardır. Buradan U ∩ A ⊂ An elde edilir.
A∗ = ∩n An
olduğundan, A∗ , A’da Gδ -kümesidir. Metrik uzayda kapalı her küme Gδ -küme
olduğundan (?), A∗ , X’de Gδ -kümedir.
Yukarıki teoremde f fonksiyonununa eklenecek hangi ek koşul altında A∗ yerine A alınabilir? Bunun bir yanıtını vermeden önce aşağıdaki tanıma ihtiyacımız var.
22
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
Tanım 1.10. (X, d) ve (Y, p) iki metrik uzay olsun. f : X → Y fonksiyonu
verilsin. Her > 0 için
d(x, y) < δ =⇒ p(f (x), f (y)) < özelliğinde δ > 0 var ise, f ’ye düzgün sürekli denir.
Teorem 1.16. X bir metrik uzay ve Y tam metrik uzay olsun. A ⊂ X ve
f : A → Y düzgün sürekli fonksiyon olsun. f ’nin sürekli genişlemesi düzgün
sürekli f : A → Y vardır.
Kanıt: f ’nin düzgün sürekliliğinden, bir önceki teoremde geçen A∗ = A
olduğu barizdir. Ayrıca f ’nin düzgün sürekli olduğu da barizdir.
Alıştırmalar
1.37. (X, d) ber merik uzay ve ∅ =
6 A ⊂ X verilsin.
f : X → Y , f (x) = d(x, A)
olarak tanımlanan fonksiyonun düzgün sürekli olduğunu gösteriniz.
1.38. f : R\{0} → R, f (x) = x1 olarak tanımlanan sürekli fonksiyonun R’ye sürekli genişlemesinin
olmadığını gösteriniz.
1.39. f ,g : (0, 1] → R fonksiyonları
f (x) = x2 ve g(x) =
1
x
eşitlileri ile tanımlansın. f ’nin düzgün sürekli, g’nin düzgün sürekli olmayan fonksiyonlar
olduğunu gösteriniz.