smert tez 28 agustos savunma sonrası

T.C
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA GENELLEŞTİRİLMİŞ
SÜREKLİLİKLER ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA
SIDDIKA MERT
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ORTAÖĞRETİM
FEN VE MATEMATİK ALANLARI EĞİTİMİ ANABİLİM DALI
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI
Konya, 2006
T.C
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA GENELLEŞTİRİLMİŞ
SÜREKLİLİKLER ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA
SIDDIKA MERT
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ORTAÖĞRETİM
FEN VE MATEMATİK ALANLARI EĞİTİMİ ANABİLİM DALI
MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ PROGRAMI
Bu tez 28 / 08 / 2006 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile
kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Eşref HATIR
Yrd. Doç. Dr. Aynur KESKİN
Yrd. Doç. Dr. A.Selçuk KURBANLI
(Danışman)
(Üye)
(Üye)
-ii-
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
FUZZY TOPOLOJİK UZAYLARDA GENELLEŞTİRİLMİŞ
SÜREKLİLİKLER ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA
Sıddıka MERT
Selçuk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fen Ve Matematik Alanları Eğitimi Anabilim Dalı
Matematik Öğretmenliği Programı
Tez Danışmanı : Prof. Dr. Eşref HATIR
2006, 25 Sayfa
Bu
çalışma,
üç
bölümden
oluşmuştur.
Birinci
bölümde,
konunun
uygulamalarıyla ilgili genel bilgilere değinilmiş, ikinci bölümde konu ile ilgili bilgi
ve kavramlar verilmiştir. Son bölümde, fuzzy δ − pre açık küme tanımlanarak, fuzy
δ − pre açık kümelerin özellikleri incelenip yorumlanmıştır. Ayrıca, fuzzy δ − pre
açık kümelerden faydalanarak fuzzy δ − pre süreklilik kavramı tanımlanmış, bu
süreklilik kavramı ile diğer genelleştirilmiş süreklilik çeşitleri karşılaştırılıp,
yorumlanmıştır.
Anahtar kelimeler: Fuzzy küme, fuzzy δ − pre açık (kapalı) küme, fuzzy
δ − pre süreklilik, fuzzy δ − pre kapanış, fuzzy δ − pre iç.
-iii-
ABSTRACT
The Post Graduate Thesis
A RESEARCH ON GENERALIZED CONTINUITIES
IN FUZZY TOPOLOGIC SPACES
Sıddıka MERT
Selcuk University
Graduate School of Natural Applied Sciences
Department of Secondary
Science And Mathematics Education
Mathematics Education Program
Supervisor: Prof. Dr. Esref HATIR
2006, 25 pages
This study includes three sections. In first section, general knowledge about the
subject is touched; in second section information and notions about the subject are
given. In last section, by defining fuzzy δ − pre open set, properties of fuzzy δ − pre
open sets are studied and explained. Besides, utilizing fuzzy δ − pre open sets fuzzy
δ − pre continuity concept is defined; this continuity concept compared by other
generalized continuity types, and explained.
Keywords: Fuzzy set, fuzzy δ − pre open (closed) set, fuzzy δ − pre continuity,
fuzzy δ − pre closure, fuzzy δ − pre interior.
-iv-
ÖNSÖZ
Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Matematik
Öğretmenliği Öğretim Üyesi Prof. Dr. Eşref HATIR danışmanlığında yapılmış ve
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak
sunulmuştur.
Yaptığım çalışmalarda bana her türlü desteği veren değerli hocam Prof. Dr.
Eşref HATIR’a, tezin hazırlık sürecinde ve yazımında yardımlarını esirgemeyen
değerli eşime teşekkürü borç bilirim.
-v-
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET......................................................................................................................... iii
ABSTRACT............................................................................................................... iv
ÖNSÖZ......................................................................................................................v
İÇİNDEKİLER..........................................................................................................vi
SİMGELER...............................................................................................................vii
1. GİRİŞ..................................................................................................................... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR....................................................................................... 2
2. 1. Fuzzy Küme, Fuzzy Nokta ve Fuzzy Eleman olma kavramları........................ 2
2. 2. Fuzzy Topolojik Uzaylar................................................................................... 4
2. 3. Fuzzy regüler açık (kapalı) , Fuzzy δ − açık (kapalı), Fuzzy pre açık (kapalı)
kümeler...................................................................................................................... 8
3. FUZZY δ − PRE AÇIK KÜMELER VE FUZZY δ − PRE SÜREKLİ
FONKSİYONLAR.................................................................................................... 12
3. 1. Fuzzy δ − pre açık Kümeler.............................................................................. 12
3. 2. Fuzzy δ − pre sürekli Fonksiyonlar...................................................................17
4. SONUÇ VE ÖNERİLER....................................................................................... 23
5. KAYNAKLAR.......................................................................................................24
-vi-
SİMGELER
Tez metni içinde geçen küme isimleri ( regüler açık, pre açık, vb.) literatürdeki
isimleri ile aynen kullanılmıştır.
Bu çalışmada kullanılmış, fakat tez metni içinde açıklanmamış simgeler,
açıklamalarıyla birlikte aşağıda verilmiştir.
Simgeler
Ix
⇒
⇐
⇔
τ
τx
Açıklamaları
X fuzzy uzayındaki fuzzy kümelerin ailesi
Gerektirir
Yeterdir
İki yönlü gerektirme
Topoloji
xλ q µ
β q µ
β q µ
int µ
clµ
µc
δ − cl (µ )
δ − int(µ )
N (xλ)
Nq (xλ)
δ − O( X )
δ − PO ( X )
Fuzzy topoloji
x λ fuzzy noktasının µ fuzzy kümesi ile çakışığımsı olması
β fuzzy kümesinin µ fuzzy kümesi ile çakışığımsı olması
β fuzzy kümesinin µ fuzzy kümesi ile çakışığımsı olmaması
µ fuzzy kümesinin içi
µ fuzzy kümesinin kapanışı
µ fuzzy kümesinin tümleyeni
µ fuzzy kümesinin δ-kapanışı
µ fuzzy kümesinin δ- içi
x λ fuzzy noktasının fuzzy komşuluklar sınıfı
x λ fuzzy noktasının q- komşuluklar sınıfı
int u µ
δ − cl u µ
Fuzzy δ- açık kümelerin ailesi
Fuzzy δ-pre açık kümelerin ailesi
µ fuzzy kümesinin δ-pre içi
µ fuzzy kümesinin δ-pre kapanışı
U’ ya bağlı fuzzy alt uzay
µ fuzzy kümesinin alt uzaydaki içi
µ fuzzy kümesinin alt uzaydaki δ-kapanışı
f
Kısıtlanmış fonksiyon
δ − P int(µ )
δ − Pcl (µ )
τu
U
-vii-
1. GİRİŞ
Cantor’un 1879 yılında vermiş olduğu küme tanımı, 1965 yılında Zadeh
tarafından fuzzy (belirtisiz) küme olarak genişletilmiştir.
1965 yılına kadar matematikte, incelenen konuların daha önce belirlenmiş olan
kurallara, kesin olarak uyup uymadığı araştırılmıştır. Bu incelemede her zaman
kesinlik aranmıştır. Araç olarak, düşünce sistemimizde iki değerli mantığı
kullandığımızda, örneğin bir önerme için, daha önce belirlenen kurallara uyuyorsa
doğru, uymuyorsa yanlış denilmiştir. Buna karşılık yaşadığımız dünyada birçok
olaylar vardır ki, bunlarla ilgili önermelerin doğru ya da yanlış olduğunu ayırt etmek
bizi güç durumda bırakabilir. Örneğin, bir sınıftaki öğrencilerden yeşil gözlü
öğrencilerin kümesinin yapılması istense, bu küme değişik kişiler tarafından değişik
biçimde oluşturulacaktır. Çünkü, yeşil ile yeşil olmama arasında bir kesin
değerlendirme olmadığından, yeşile benzeyen gözlü bir öğrenci birine göre yeşil
gözlü sayılacak, diğerine göre yeşil gözlü sayılmayacaktır. Bu gözlemler ve çeşitli
araştırmalar, iki değerli mantığa dayanan bugünkü matematiğin kesinlik göstermeyen
birçok olayı, tam olarak açıklayamayacağı düşüncesini doğurmuştur. Bu durumu ilk
kez, 1965 yılında Zadeh “ Fuzzy Sets “ adlı makalesi ile ortaya koymuş ve fuzzy
(belirtisiz) küme kavramını vermiştir. Fuzzy küme kavramı, kesin olarak
tanımlanmış ölçülerin olmadığı fiziksel olaylara da karşılık geldiğinden, fuzzy küme
kavramı istatistik, bilgi işlem ve dil bilimi konularında da faydalı uygulamalar
vermektedir.
Araştırmacılar bu yeni küme tanımına göre, soyut matematikte kümeler
kavramı kullanılarak oluşturulan gelişmelere paralel olarak, fuzzy topolojik uzaylar,
fuzzy regüler uzaylar, fuzzy gruplar, fuzzy vektör uzayları, fuzzy topolojik gruplar
ve fuzzy ölçümler gibi konularda çalışmaktadırlar.
Ayrıca, fuzzy topoloji, string teori ve ε ∞ teori ile bağlantılı olarak kuantum
parçacık fiziğinde de kullanılmaktadır [14] ve [15].
-22. TEMEL KAVRAMLAR
2. 1. Fuzzy Küme, Fuzzy Nokta Ve Fuzzy Eleman Olma Kavramları
2. 1. 1. Tanım
X ≠ φ ve I = [0,1] kapalı aralık olsun. Tüm α : X → I fonksiyonların kümesi I x
olmak üzere I x ’ in her elamanına, X’ in bir fuzzy kümesi denir [1].
Fuzzy kümeleri α, β, µ, ... gibi latin harflerle göstereceğiz. ∀x ∈ X
C λ ( x) = λ
için
(0 ≤ λ ≤ 1) olmak üzere Cλ ile sabit fuzzy kümesini göstereceğiz. Bir β
fuzzy kümesinin x ∈ X noktasındaki değerini β (x) ile göstereceğiz.
Kümeler için kullanacağımız kapsama, birleşim ve kesişim sembolleri yerine fuzzy
kümeleri için sırası ile; ≤, ∨, ∧ sembollerini kullanacağız.
∀x ∈ X için, 1 ∈ I değerini alan sabit fuzzy kümesini “1” ile ∀x ∈ X için O ∈ I
değerini alan fuzzy kümesini de “O” ile göstereceğiz.
2. 1. 2. Tanım
X’ in α ve β fuzzy kümeleri için aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) α ≤ β ⇔ ∀x ∈ X için α ( x ) ≤ β ( x)
b) α = β ⇔ ∀x ∈ X için α ( x ) = β ( x )
c) µ = α ∨ β ⇔ ∀x ∈ X için µ ( x ) = Max{ α ( x), β ( x )
d) δ = α ∧ β ⇔ ∀x ∈ X için δ ( x) = Min{ α ( x ), β ( x )
}
}
e) α = 1 − β ⇔ ∀x ∈ X için α ( x) = 1 − β ( x ) [1].
2. 1. 3. Tanım
X’in fuzzy kümelerinin bir ailesi
sağlanır:
{α }
j
j∈J
olsun. O halde aşağıdaki özellikler
-3a) µ =
b) β =
∨
α j ⇔ ∀x ∈ X için µ ( x ) = Sup { α ( x)
j
j∈J
∧
}
j∈J
α j ⇔ ∀x ∈ X için β ( x ) = inf { α ( x)
j
j∈J
j∈J
}
[4].
2. 1. 4. Tanım
x ∈ X ve λ ∈ (0,1] olsun. X içindeki x λ fuzzy noktası,
λ , y = x ise
xλ ( y ) = 
 0, y ≠ x ise
olarak tanımlanan X içindeki fuzzy kümesidir. x λ fuzzy noktasının sıfırdan farklı
değer aldığı, x ∈ X noktasına x λ ’ın dayanağı ve λ ∈ (0,1] sayısına da x λ ’nın değeri
denir [3].
2. 1. 5. Tanım
µ bir fuzzy küme ve x λ bir fuzzy nokta olmak üzere, λ ≤ µ (x) ise x λ ∈ µ dır [3].
2. 1. 6. Teorem
µ , β ∈ I x ve x λ bir fuzzy nokta olmak üzere, aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) x λ ∈ µ ∧ β ⇔ x λ ∈ µ ve x λ ∈ β
b) x λ ∈ µ ∨ β ⇔ x λ ∈ µ veya x λ ∈ β [5].
2. 1. 7. Önerme
X ’in bir µ fuzzy kümesi, kendi fuzzy noktalarının birleşimine eşittir [3].
2. 1. 8. Tanım
X’in bir x λ fuzzy noktası ve β fuzzy kümesi için λ + β ( x) > 1 ise x λ fuzzy
-4noktası ile β fuzzy kümesi çakışığımsıdır (quasi coincident) denir ve xλ qβ ile
gösterilir [3].
2. 1. 9. Önerme
µ 
, X’in fuzzy kümelerinin bir ailesi ve x λ bir fuzzy nokta olsun.
 j
  j∈J


∃ j 0 ∈ J için, x λ qµ j 0 ⇔ x λ q ∨ µ  dir [3].
 j∈J j 


2. 1. 10. Tanım
X içindeki α ve β fuzzy kümeleri için α ( x) + β ( x ) > 1 olacak şekilde bir x ∈ X
noktası var ise, α ile β çakışığımsıdır denir ve α q β ile gösterilir [3].
2. 1. 11. Önerme
µ , β ∈ I x olsun. µ ≤ β olması için, gerek ve yeter şart µ ve β
c
fuzzy kümelerinin
çakışığımsı olmamasıdır. Yani µ q (1 − β ) olmalıdır. Özellikle, x λ ∈ µ olması için,
gerek ve yeter şart x λ q (1 − µ ) olmasıdır [3].
2. 2. Fuzzy Topolojik Uzaylar
2. 2. 1. Tanım
X’in fuzzy kümelerinin bir ailesi τ x olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa; τ x ’e,
X üzerinde bir fuzzy topoloji ve ( X ,τ x ) ikilisine de, bir fuzzy topolojik uzay denir.
a) 0,1 ∈τ x
b) α , β ∈τ x ise, bu halde α ∧ β ∈τ x
c) ∀ j ∈ J için α j ∈τ x ise, bu halde
∨
α j∈τ x
j∈J
-5-
τ x ’in her elemanına fuzzy açık küme denir. Bir fuzzy açık kümenin tümleyeni fuzzy
kapalı küme olarak tanımlanır [4].
2. 2. 2. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve β ≤ τ x olsun. ∀µ ∈τ x için, µ = ∨{ α α ∈ B
}
olacak şekilde B ≤ β alt ailesi varsa, β ailesine τ x için bir tabandır denir [4].
2. 2. 3. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve δ ≤ τ x olsun. β = ∧{A
A ∈ψ ,ψ ≤ δ ve ψ sonlu }
ailesi τ x için bir baz ise, δ ailesine τ x ’ in bir alt tabanı denir [4].
2. 2. 4. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve µ ∈ I x olsun.
Bu durumda; int µ = ∨ {β ; β ≤ µ , β ∈τ x }
şeklinde tanımlanan int μ fuzzy kümesine, µ fuzzy kümesinin içi denir [4].
2. 2. 5. Teorem
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve µ ∈ I x olsun. µ fuzzy kümesinin açık olması için
gerek ve yeter şart µ = int µ olmasıdır [4].
2. 2. 6. Sonuç
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α , β ∈ I x için aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) int 1 = 1 ve int 0 = 0
b) int α ≤ α
c) int(int α ) = int α
-6d) int(α ∧ β ) = int α ∧ int β
∨
α j)
f) α ≤ β ⇒ int α ≤ int β
[2].
e)
∨
j∈J
int α j ≤ int(
j∈J
2. 2. 7. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve β ∈ I x olsun.
Bu durumda; clβ = ∧{µ β ≤ µ , (1 − µ ) ∈τ x }
şeklinde tanımlanan clβ fuzzy kümesine, β ’nın kapanışı denir [4].
2. 2. 8. Sonuç
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve β ∈ I x olsun. β fuzzy kümesinin kapalı olması için,
gerek ve yeter şart β = clβ olmasıdır [4].
2. 2. 9. Sonuç
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α , β ∈ I x için aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) cl1 = 1 ve cl 0 = 0
b) α ≤ clα
c) cl (clα ) = clα
d) cl (α ∨ β ) = clα ∨ clβ


α j  ≤ ∧ cl α j
 j∈J
 j∈J

e) cl 

∧
f) α ≤ β ⇒ clα ≤ clβ [2].
2. 2. 10. Teorem
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve µ ∈ I x olsun. Bu takdirde aşağıdakiler vardır:
-7a) 1 − int µ = cl (1 − µ )
b) 1 − clµ = int(1 − µ ) [2].
2. 2. 11. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay, µ ∈ I x ve x λ bir fuzzy nokta olsun. Eğer xλ ∈ β ve
β ≤ µ olacak şekilde bir β fuzzy açık kümesi varsa, µ fuzzy kümesine x λ ’nın bir
fuzzy komşuluğu denir. x λ ’nın tüm fuzzy komşuluklarının ailesi, N ( x λ ) ile
gösterilir [3].
2. 2. 12. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay, µ ∈ I x ve x λ bir fuzzy nokta olsun. xλ qβ ve β ≤ µ
( xλ qβ ≤ µ ) olacak şekilde bir β ∈ τ x varsa, µ fuzzy kümesine x λ ’nın qkomşuluğu denir [3]. x λ fuzzy noktasının tüm q-komşuluklarının ailesi N q ( x λ ) ile
gösterilir.
2. 2. 13. Teorem
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzayındaki bir x λ fuzzy noktasının q-komşuluklarının ailesi,
N q ( x λ ) olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:
a) µ ∈ N q ( xλ ) ise x λ qµ dır.
b) µ , β ∈ N q ( xλ ) ise µ ∧ β ∈ N q ( xλ ) dır.
c) µ ∈ N q ( xλ ) ve µ ≤ β ise β ∈ N q ( x λ ) dır.
d)
µ ∈ N q ( xλ ) ise β ≤ µ ve
β ∈ N q ( x λ ) vardır [3].
∀ x λ qβ için, µ ∈ N q ( xλ ) olacak şekilde bir
-82. 2. 14. Teorem
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve µ ∈ I x olsun. µ fuzzy kümesinin açık olması için,
gerek ve yeter şart µ ile çakışığımsı olan her x λ fuzzy noktası için µ ∈ N q ( xλ )
olmasıdır [3].
2. 2. 15. Önerme
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay, µ ∈ I x ve x λ bir fuzzy nokta olsun. Bu takdirde,
µ ∈ N q ( xλ ) ise, int µ ∈ N q ( xλ ) olur [3].
2. 2. 16. Teorem
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay, µ ∈ I x ve x λ bir fuzzy nokta olsun. xλ ∈ clµ olması
için, gerek ve yeter şart x λ fuzzy noktasının her bir
q-komşuluğunun µ ile
çakışığımsı olmasıdır [3].
2. 2. 17. Önerme
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay, µ ∈ I x ve µ ≠ 0 olsun. clµ = 1 olması için gerek ve
yeter şart τ x fuzzy topolojisinin her elemanının µ ile çakışığımsı olmasıdır [3].
2. 3. Fuzzy Regüler Açık (Kapalı), Fuzzy δ - Açık (Kapalı), Fuzzy Pre Açık
(Kapalı) Kümeler
2. 3. 1. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve µ ∈ I x olsun. µ = int (cl ( µ ) ) ise, µ fuzzy kümesine
regüler (düzenli) açık küme denir.
Benzer şekilde, µ = cl (int(µ ) ) ise µ fuzzy kümesine regüler kapalı küme denir [2].
-92. 3. 2. Tanım
a) Bir fuzzy açık kümenin kapanışı, fuzzy regüler kapalı kümedir.
b) Bir fuzzy kapalı kümenin içi, fuzzy regüler açık kümedir [2].
2. 3. 3. Uyarı
Her fuzzy regüler açık (kapalı) küme, fuzzy açık (kapalı) dır. Tersi her zaman geçerli
değildir. İki fuzzy regüler açık (kapalı) kümenin birleşimi (kesişimi), fuzzy regüler
açık ( kapalı) olmak zorunda değildir [2].
2. 3. 4. Teorem
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay, µ ve β fuzzy regüler açık (kapalı) kümeler olsun.
Bu takdirde, µ ∧ β ( µ ∨ β ) kümesi fuzzy regüler açıktır (kapalıdır) [2].
2. 3. 5. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve x λ fuzzy nokta olsun.
a) x λ ’nın her bir µ fuzzy regüler açık q-komşuluğu, β fuzzy kümesi ile çakışığımsı
ise; x λ fuzzy noktasına, β fuzzy kümesinin bir fuzzy δ -kapanış noktası denir.
β fuzzy kümesinin tüm fuzzy δ -değme noktalarının birleşimine, β ’nın fuzzy
δ -kapanış kümesi denir ve δ − cl (β ) ile gösterilir [5].
b) Eğer β = δ − cl (β ) ise, β fuzzy kümesine fuzzy δ -kapalı küme denir. Bir fuzzy
δ -kapalı kümenin tümleyenine, fuzzy δ -açık küme denir [5].
2. 3. 6. Uyarı
Her fuzzy regüler açık küme, fuzzy δ -açık kümedir. Fakat tersi genelde doğru
değildir [5]. ( Ters örnek için, [5]’e bakınız.)
- 10 2. 3. 7. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve x λ bir fuzzy nokta olsun. β ≤ µ olacak şekilde,
x λ ’nın bir β fuzzy regüler q-komşuluğu varsa; bu takdirde µ fuzzy kümesine x λ
fuzzy noktasının fuzzy δ -komşuluğu denir [5].
2. 3. 8. Uyarı
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzayındaki herhangi bir µ fuzzy kümesi için, clµ ≤ δ − cl (µ )
bağıntısı vardır. Genel olarak; clµ ≠ δ − cl (µ ) geçerlidir [5].
2. 3. 9. Teorem
( X,τ x ) bir fuzzy topolojik uzay olsun. Eğer µ ∈ τ x ise; bu takdirde, clµ = δ − cl (µ )
geçerlidir [5].
2. 3. 10. Uyarı
Her fuzzy regüler kapalı küme, fuzzy δ - kapalı küme olmak zorunda değildir [13].
( Ters örnek için, [13]’e bakınız.)
2. 3. 11. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve x λ bir fuzzy nokta olsun.
x λ q β ve β ≤ int(clβ ) ≤ µ olacak şekilde x λ ’nın bir β fuzzy açık q-komşuluğu
varsa; bu takdirde, x λ fuzzy noktasına, µ fuzzy kümesinin fuzzy δ -iç noktası denir.
µ fuzzy kümesinin tüm fuzzy δ -iç noktalarının birleşimine, µ ’nün fuzzy δ -içi
denir ve δ − int(µ ) ile gösterilir.
Bu tanımdan 1 − (δ − int( µ ) ) = δ − cl (1 − µ ) olduğu görülür [6].
- 11 2. 3. 12. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun.
a) α ≤ int (cl (α ) ) oluyorsa, α fuzzy kümesine fuzzy pre açık küme;
b) α ≤ cl (int(α ) ) oluyorsa, α fuzzy kümesine fuzzy pre kapalı küme denir [7].
2. 3. 13. Önerme
(X,τ x ) fuzzy topolojik uzay olmak üzere;
a) Fuzzy pre açık kümelerin herhangi sayıda birleşimi, yine bir fuzzy pre açık
kümedir.
b) Fuzzy pre kapalı kümelerin sonlu sayıda kesişimi, yine bir fuzzy pre kapalı
kümedir [8].
2. 3. 14. Uyarı
Yukarıda tanımlanan fuzzy küme çeşitleri ve özelliklerinden faydalanarak literatürde,
genelleştirilmiş süreklilik çeşitleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
2. 3. 15. Tanım
(X,τ 1 ) ve (Y, τ 2 ) fuzzy topolojik uzaylar olmak üzere;
fonksiyonu verilsin. Eğer ∀β ∈τ 2 için, f
−1
f : ( X ,τ 1 ) → (Y ,τ 2 )
(β ) (X,τ 1 ) uzayında fuzzy açık ( fuzzy
pre açık ) küme oluyorsa; bu takdirde f fonksiyonuna fuzzy sürekli ( fuzzy pre
sürekli) denir [12].
- 12 3. FUZZY δ -PRE AÇIK
KÜMELER VE FUZZY δ -PRE SÜREKLİ
FONKSİYONLAR
Bu bölümde, fuzzy pre açık kümelerden daha genel olan ve fuzzy δ - pre açık
küme olarak adlandırdığımız yeni bir küme çeşidi tanımladık ve sağladığı çeşitli
özellikleri inceledik.
3. 1. Fuzzy δ -Pre açık Kümeler
3. 1. 1. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun. Eğer α ≤ int (δ − cl (α ) ) ise, bu
takdirde α fuzzy kümesine fuzzy δ − pre açık küme denir.
3. 1. 2. Uyarı
(X,τ x )
fuzzy topolojik uzayındaki bütün fuzzy δ − pre açık kümelerin ailesini
δ − PO ( X ) ile göstereceğiz.
3. 1. 3. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun. α fuzzy δ − pre açık kümesinin
tümleyenine, fuzzy δ − pre kapalı küme denir.
3. 1. 4. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun. α fuzzy kümesinin kapsadığı tüm
fuzzy δ − pre açık kümelerin birleşimine, α fuzzy kümesinin fuzzy δ − pre içi denir
ve δ − P int(α ) = ∨{ α i α i ≤ α
ve α i ∈ δ − PO ( X )
} şeklinde gösterilir.
- 13 3. 1. 5. Uyarı
Bir α fuzzy kümesinin δ − pre içi için, δ − P int(α ) ile gösterimini kullanacağız.
3. 1. 6. Tanım
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun. α fuzzy kümesini kapsayan bütün
fuzzy δ − pre kapalı kümelerin kesişimine, α fuzzy kümesinin fuzzy δ − pre
kapanışı denir ve δ − cl (α ) = ∧{ α i α ≤ α i ; α i
δ − pre kapalı küme
}
şeklinde
gösterilir.
3. 1. 7. Uyarı
α fuzzy kümesinin δ − pre kapanışı için δ − Pcl (α ) gösterimini kullanacağız.
3. 1. 8. Önerme
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun. Eğer α fuzzy kümesi, fuzzy pre açık
küme ise, bu takdirde α , fuzzy δ − pre açık kümedir.
İspat:
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun. Her zaman clα ≤ δ − clα bağıntısı
sağlandığı için, önermenin doğruluğu açıktır.
3. 1. 9. Uyarı
3. 1. 8. Önerme ve fuzzy kümelerin tanımları gereği aşağıdaki çizelge elde edilir.
Fuzzy açık küme
→
Fuzzy pre açık küme
↓
Fuzzy δ − pre açık küme
3. 1. Çizelge
- 14 3. 1. 10. Uyarı
3. 1. Çizelge’deki gerektirmelerin tersleri genellikle doğru değildir.
3. 1. 11. Örnek
X={a,b,c} ve X üzerindeki fuzzy topoloji
A(a)= 0,5 ; A(b)=0,7 ;
τ = {0, 1, A} olsun. Fuzzy kümeleri
A(c)=0,6
B(a)=0,5 ; B(b)=0,2 ; B(c)=0,4 biçiminde tanımlayalım. Bu takdirde B fuzzy
kümesi fuzzy pre açıktır, fakat fuzzy açık değildir.
3. 1. 12. Örnek
X = {a, b, c} kümesi ile üzerinde τ = {0, 1, A, A ∨ C } fuzzy topolojisi verilsin.
Fuzzy kümeleri;
A(a ) = 0,6 ; A(b) = 0,4 ; A(c ) = 0,7
B(a ) = 0,3 ; B(b) = 0,5 ; B(c ) = 0,1
C (a) = 0,5 ; C (b) = 0,3 ; C (c) = 0,8 olarak tanımlansın. Bu takdirde, B fuzzy kümesi
X üzerindeki
τ
fuzzy topolojisine göre fuzzy δ − pre açık kümedir, ama fuzzy pre
açık küme değildir.
3. 1. 13. Önerme
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun. Eğer cl (δ − int α ) ≤ α ise; bu takdirde
α fuzzy kümesi fuzzy δ − pre kapalı kümedir.
İspat:
α fuzzy kümesi, fuzzy δ − pre kapalı küme olsun. Bu takdirde, (1 − α ) fuzzy
δ − pre açıktır. Buradan,
(1 − α ) ∈ δ − PO( X ) ⇔ (1 − α ) ≤ int (δ − cl(1 − α ) ) ⇔ int(1 − (δ − int α)) = 1 − cl(δ − intα ) ≤ α
olur ki, bu durumda (1 − α ) ≤ 1 − cl (δ − int α ) ve cl (δ − int α ) ≤ α elde edilir. Bu ise;
α fuzzy kümesinin fuzzy δ − pre kapalı bir küme olduğunu gösterir.
- 15 3. 1. 14. Uyarı
a) Fuzzy δ − pre açık kümelerin herhangi sayıda birleşimi yine, bir fuzzy δ − pre
açık kümedir.
b) Fuzzy δ − pre kapalı kümelerin herhangi sayıda kesişimi yine, bir fuzzy δ − pre
kapalı kümedir.
3. 1. 15. Özellik
Bir ( X,τ x ) fuzzy topolojik uzayındaki fuzzy δ − pre kapalı küme için, aşağıdaki
özellikler sağlanır:
a) α = δ − Pcl (α ) ise, α fuzzy δ − pre kapalı kümedir.
b) α ≤ β ise, δ − Pcl (α ) ≤ δ − Pclβ
(δ − pre kapalı küme tanımından açıktır.)
c) δ − Pcl (δ − Pcl (α )) = δ − Pclα
d) xλ bir fuzzy nokta olmak üzere; ∀µ ∈ δ − PO ( X ) ∋ λ q (1 − µ ) ise, α ∧ µ ≠ 0
olduğu anlaşılır ki xλ ∈ δ − Pcl (α ) dır. ( xλ , α ’nın bir δ − pre kapanış noktasıdır.)
3. 1. 16. Önerme
( X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I x olsun.
a) ∀β ∈ δ − O ( X ) fuzzy kümesi için; (δ − clα ) ∧ β ≤ δ − cl (α
∧ β)
b) ∀β ∈ δ − cl ( X ) fuzzy kümesi için; δ − int(α ∨ β ) ≤ (δ − int α ) ∨ β
3. 1. 17. Teorem
(X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve α ∈ I
x
olsun. Bu takdirde, δ − Pclα = α ∨ cl(δ − intα)
eşitliği geçerlidir.
İspat:
cl[δ −int(α ∨ cl(δ − int))] =cl [(δ − intα ) ∨ (δ − int(cl(δ − intα )))] ≤ cl (δ −intα) ≤ α ∨cl(δ −intα)
α ∨cl(δ − intα ) kümesi, α fuzzy kümesini kapsayan fuzzy δ − pre kapalı kümedir.
- 16 O halde, α ≤ α ∨ cl (δ − int α ) olup, buradan δ − Pclα ≤ α ∨ cl (δ − int α ) bulunur.
Diğer yandan, δ − Pcl (α ) kümesi δ − pre kapalı olduğundan, α ≤ δ − clα ve
(δ − int α ) ≤ cl (δ − int( Pclα ) ) ≤ δ − Pcl (α ) olur.
Buradan,
α ∨ cl (δ − int) ≤ α ∨ (δ − Pcl (α ) ) = δ − Pclα
bulunur. Sonuç olarak,
δ − Pclα = α ∨ cl(δ − intα) eşitliği elde edilir.
3. 1. 18. Teorem
α ∈ I x olmak üzere, X fuzzy uzayındaki her µ fuzzy regüler ( δ − açık) kümesi için,
α ∧ µ ∈ δ − PO ( X ) olması için gerek ve yeter şart α fuzzy kümesinin fuzzy δ − pre
açık küme olmasıdır.
İspat:
⇐ : α fuzzy kümesi, fuzzy δ − pre açık küme olduğundan µ ∧ α ≤ µ ∧ int(δ − clα )
olur. Buradan, µ ∧ α ≤ int µ ∧ int (δ − clα ) = int(µ ∧ (δ − clα)) bulunur. 3. 1. 16. Önerme
gereğince, int ((δ − cl (α ) ) ∧ µ ) ≤ int (δ − cl (µ ∧ α ) ) olur.
Buradan µ ∧ α ≤ int (δ − cl ( µ ∧ α ) ) olup, µ ∧ α ∈ δ − PO ( X ) bulunur.
⇒: µ fuzzy kümesi, δ − açık küme olduğundan µ ≤ (δ − int µ ) yazabiliriz. Her
zaman,
α ≤ δ − clα
olacağından
µ ∧ α ≤ (δ − int µ ) ∧ (δ − clα )
bulunur.
Hipotezden, µ ∧ α ≤ (δ − int µ ) ∧ ((δ − clα ) ≤ int (δ − cl ( µ ∧ α )) olur. Dolayısıyla
µ ∧ α ≤ int [ (δ − int µ ) ∧ ((δ − clα ) ] ≤ int (δ − cl ( µ ∧ α ))
ifadesi kullanılarak
µ ∧ α ≤ (δ − int µ ) ∧ int (δ − clα ) elde edilir. Buradan, α ≤ int δ − clα bulunur ki, bu
da α fuzzy kümesinin δ − pre açık bir küme olduğunu gösterir.
3. 1. 19. Teorem
X fuzzy uzayında bir α fuzzy δ − açık kümesi için, δ − Pclα = clα eşitliği sağlanır.
İspat:
3. 1. 17. Teorem gereğince, δ − Pclα = α ∨ cl (δ − int α )
kümesi,
fuzzy
δ − açık
küme
olduğundan
yazabiliriz. α fuzzy
α = δ − int α
olup,
buradan
- 17 elde edilir. Sonuç olarak, α ∨ (clα ) = clα
α ∨ cl (δ − int α ) = α ∨ clα
olup,
δ − Pclα = clα bulunur.
3. 1. 20. Tanım
(X,τ x )
fuzzy topolojik uzay, β ∈ I x ve xλ bir fuzzy nokta olsun. xλ fuzzy
noktasının
x λ ∈U ≤ β olacak şekilde, xλ ile çakışığımsı olan bir U fuzzy δ − pre
açık küme varsa, β fuzzy kümesine xλ fuzzy noktasının δ − pre komşuluğu denir.
3. 2. Fuzzy δ − Pre Sürekli Fonksiyonlar
Tanımladığımız fuzzy δ − pre açık küme kavramından yararlanarak aşağıdaki
süreklilik çeşidini tanımlayabiliriz.
3. 2. 1. Tanım
f : ( X ,τ x ) → (Y ,τ y ) fonksiyonu verilsin. Y fuzzy uzayındaki
(
f ( x λ ) fuzzy
)
noktasının her β fuzzy q-komşuluğu için, δ − cl f −1 ( β ) kümesi X fuzzy uzayında
xλ fuzzy noktasının
bir q-komşuluğu oluyorsa, f fonksiyonuna fuzzy δ − pre
süreklidir denir.
3. 2. 2. Teorem
f : ( X ,τ x ) → (Y ,τ y ) fonksiyonu için aşağıdakiler denktirler:
a) f fonksiyonu fuzzy δ − pre süreklidir.
b) ∀β ∈τ y için f
−1
(
(β ) ≤ int δ − cl f
−1
)
(β ) dır.
c) Her α fuzzy δ − açık kümesi için, f (clα ) ≤ clf (α ) dır.
İspat:
(a ) ⇒ (b) f fonksiyonu, fuzzy δ − pre sürekli ve xλ , bir fuzzy nokta olsun. Fuzzy
(
)
δ − pre süreklilik tanımı gereğince, xλ ∈ f −1 (α ) fuzzy noktası için δ − cl f −1 (α ) ,
- 18 xλ ’nın fuzzy q-komşuluğudur. Bu takdirde x λ ∈ int (δ − clf
(
−1
)
(α ) olup,
)
f −1 (α ) ≤ int δ − clf −1 (α ) bulunur.
(b) ⇒ (a ) xλ fuzzy noktası için, Y fuzzy uzayında α ∈ I x fuzzy kümesi
f ( xλ )
fuzzy noktasının açık bir q-komşuluğu olsun. Buradan ters fonksiyonun tanımından
xλ ∈ f
−1
(
(α ) bulunur. (b) gereğince xλ ∈ f −1 (α ) ≤ int δ − clf
−1
)
(α ) ≤ δ − clf
−1
(α )
olup, δ − clf −1 (α ) xλ fuzzy noktasının bir q-komşuluğudur. O halde, f fonksiyonu
fuzzy δ − pre süreklidir.
(a ) ⇒ (c ) xλ fuzzy noktası ve α fuzzy δ − açık kümesi verilsin. xλ ∈ clα fakat,
f ( xλ ) ∉ clf (α )
(
)
f ( xλ ) ∉ clf (α ) ise,
olsun.
kapanış
noktası
tanımından
∀β ∈ N f ( x ) için, β q f (α ) dır. O halde, f −1 ( β )qα olur. α fuzzy kümesi fuzzy
q
λ
(
)
δ − açık küme olduğundan, δ − clf −1 ( β ) qα olur ki, xλ ∉ clα dır. Bu ise bir çelişki
olup, f ( xλ ) ∈ clf (α ) bulunur.
(c ) ⇒ (a )
f fonksiyonunun, fuzzy
δ − pre sürekli olmadığını varsayalım. Bu
(δ − cl f (β )) ∉ N ( x ) elde edilir. Buradan
x ∈ cl (X − (δ − cl f ( β ) )) ve f ( x ) ∈ f (cl(X − (δ − cl f ( β )))) bulunur.
(c ) gereğince, f (cl (X − (δ − cl f ( β ) ))) ≤ cl ( f (X − (δ − clf ( β ) ))) ≤ cl (Y − β )
( (X − (δ − cl f (β ))) fuzzy δ − açık küme olduğundan ) bulunur. Bu ise
takdirde, ∀β ∈ N q ( f ( xλ )) için,
−1
λ
−1
q
λ
−1
λ
−1
−1
−1
β ∈ N q ( f ( x λ ) ) ile çelişir ki, f fonksiyonu fuzzy δ − pre süreklidir.
3. 2. 3. Teorem
f : ( X ,τ x ) → (Y ,τ y ) fonksiyonu için, aşağıdaki özellikler denktir:
a) f fonksiyonu fuzzy δ − pre süreklidir.
b) ∀β ∈τ y için f −1 ( β ) , X uzayında δ − pre açık kümedir.
c) f ( xλ ) ’nin her β fuzzy açık q-komşuluğu için, f (U ) ≤ β olacak şekilde xλ ’nın
bir δ − pre açık q-komşuluğu vardır.
- 19 d) ∀β ≤ Y fuzzy kapalı kümesi için
−1
f
(β ) , X uzayında fuzzy δ − pre kapalı
kümedir.
e) ∀β ∈ N q ( f ( xλ )) için f
−1
(β ) fuzzy kümesi X uzayında, xλ fuzzy noktasının bir
fuzzy δ − pre komşuluğudur.
f) ∀α ∈ I x için f (δ − Pclα ) ≤ clf (α )
g) ∀β ∈ I y için δ − Pcl f
−1
(β ) ≤ f −1 (clβ )
h) ∀β ∈ I y için f −1 (int β ) ≤ δ − P int f −1 ( β )
ı) Y fuzzy uzayının her β fuzzy temel açık kümeleri için, f
−1
(β ) X uzayında fuzzy
δ − pre açık kümedir.
İspat:
a ⇔ b 3. 2. 2. Teorem’inin (a ⇔ b) kısmının ispatı ile aynıdır.
b ⇔ d α ∈ I y için, f
−1
(Y − α ) = X − f
−1
(α ) özelliğinden açıktır.
c ⇒ b , b ⇔ e , b ⇒ ı , kısımlarının doğruluğu açıktır.
b ⇒ c (b) gereğince f ( xλ ) ’nın her β fuzzy açık q-komşuluğunun ters görüntüsü,
X fuzzy uzayında δ − pre açıktır. f
−1
(
(β ) =U dersek, f (U ) = f f
−1
)
( β ) ≤ β olur ki
buradan, f (U ) ≤ β elde edilir.
d ⇒ f (d) gereğince ∀α ∈ I x için, f
−1
(clf (α ) ) , X fuzzy uzayında fuzzy
kapalıdır ve α fuzzy kümesini kapsar. δ − Pclα ≤ f
( (clf (α ))) ≤ clf (α ) ve
f (δ − Pclα ) ≤ f f
−1
−1
(clf (α ) )
δ − pre
olduğundan dolayı,
f (δ − Pclα ) ≤ clf (α ) elde edilir.
f ⇒ d Y fuzzy uzayında herhangi bir α kapalı fuzzy kümesini ele alalım.
(f)
(
(
(
f δ − cl f
gereğince,
)
δ − Pcl f −1 (α ) ≤ f −1 (α )
−1
))
((
(α ) ≤ cl f f
−1
))
(α ) ≤ clα = α
ve
buradan
da
elde edilir. Diğer yandan, δ − pre kapanış tanımı
(
gereğince, f −1 (α ) ≤ δ − Pcl f
−1
)
(
(α ) bulunur. Dolayısıyla, f −1 (α ) = δ − Pcl f −1 (α )
)
olup, f −1 (α ) fuzzy kümesi fuzzy δ − pre kapalı kümedir.
(
)
(
)
f ⇒ g µ ∈I y fuzzy kümesi verilsin. (f) gereğince, f δ − Pclf −1 (µ) ≤ clf f −1 (µ) ≤ clµ
(
)
olup buradan, f δ − Pcl f −1 ( µ ) ≤ clµ bulunur. Her iki tarafın ters görüntüsü alınırsa
δ − Pcl f
−1
(µ ) ≤
f −1 (clµ ) elde edilir.
- 20 g ⇒ f α ∈ I x kümesi verilsin. f (α ) = µ olsun. (g) gereğince,
δ − Pclα ≤ δ − Pcl f −1 (µ) ≤ f −1 (clµ ) = f −1 (clf (α )) olup, buradan, δ − Pclα ≤ f −1 (clf (α))
olur. Her iki tarafın f altındaki görüntüsü alınırsa, f (δ − Pclα ) ≤ clf (α ) bulunur.
−1
b ⇒ h β ∈ I y fuzzy kümesi verilsin. (b) gereğince, f
(int β ) , X fuzzy uzayında
fuzzy δ − pre açık kümedir. f −1 int(β ) ≤ δ − P int f −1 (int β ) ≤ δ − P int f −1 (β )
f
−1
(β ) δ − pre açık olduğundan, f
−1
(int β ) ≤ δ − P int f
−1
( β ) bulunur.
h ⇒ b α ∈τ y fuzzy kümesi verilsin. f −1 (α ) = f −1 (int α ) dır. (h) gereğince,
f −1 (α ) = f −1 (intα ) ≤ δ − P int f −1 (α ) bulunur. Bu durumda, f
olur.
Diğer
δ − P int f
−1
taraftan,
(α ) = f
−1
her
zaman
δ − P int f
−1
−1
(α ) ≤ δ − P int f
(α ) ≤ f
−1
(α )
−1
(α )
olduğundan,
(α ) bulunur. Yani; f −1 (α ) fuzzy δ − pre açık kümedir.
ı ⇒ b : β ∈τ y fuzzy açık kümesi verilsin. β α , Y fuzzy uzayının tabanına ait
kümeler olduğundan β = ∨ β α yazılabilir. Hipotez gereğince
α
fuzzy
f
−1
(β ) = f
uzayında
−1
fuzzy
(∨ β α ) = ∨ f
α
α
−1
δ − pre
açık
−1
(β α ) , ∀α için X
küme
olduğundan
f
( β α ) olur. Dolayısıyla, fuzzy δ − pre açık kümelerin
herhangi sayıda birleşimi de fuzzy δ − pre açık olduğundan,
f −1 ( β ) , X uzayında
fuzzy δ − pre açık kümedir.
3. 2. 4 . Uyarı
2. bölümde ve 3. bölümde yorumlamaya çalıştığımız süreklilik kavramları arasındaki
bağıntılar aşağıdaki çizelgede verilmiştir.
Fuzzy süreklilik
→
Fuzzy pre süreklilik
↓
Fuzzy δ − pre süreklik
3. 2. Çizelge
- 21 3. 2. 5. Uyarı
Çizelge 3. 2.’de verilen gerektirmelerin tersleri genellikle doğru değildir.
3. 2. 6. Örnek
X = {a, b, c} ve X üzerindeki fuzzy topolojiler
τ = {0, 1, A, A ∨ C}
ve ϑ = {0, 1, B}
olsun. f : ( X ,τ ) → ( X , ϑ ) birim fonksiyonu tanımlansın. A, B, C fuzzy kümeleri,
3. 1. 12. Örnek’ teki fuzzy kümeler olsun. Bu takdirde, f fonksiyonu fuzzy δ − pre
süreklidir, fakat fuzzy pre sürekli değildir.
( Fuzzy pre sürekli olup, fuzzy sürekli olmayan fonksiyon örnekleri için [7]’ ye
bakınız.)
3. 2. 7. Tanım
(X,τ x )
fuzzy topolojik uzay ve U , X fuzzy uzayının bir alt kümesi olsun. Eğer
τU = { α ∧ β
β ∈τ x ve α ∈ I u
oluşturuyorsa bu fuzzy topolojiye
}
ailesi U kümesi üzerinde bir fuzzy topoloji
τ x topolojisinden indirgenen fuzzy topoloji denir
ve (U, τ u ) ikilisine de, X fuzzy uzayının bir alt uzayı denir [16].
3. 2. 8. Önerme
(X,τ x ) fuzzy topolojik uzay ve U, X fuzzy uzayının δ − açık alt kümesi olsun. Eğer
β ∈δ − PO (X ) ise; bu takdirde U ∧ β fuzzy kümesi, (U ,τ u ) fuzzy alt uzayında
δ − pre açık kümedir.
İspat:
α ∈ δ − PO ( X ) olduğundan, α ≤ int(δ − clα ) dir. 3. 1. 16. Önerme dikkate alınırsa
U
∧ α ≤ U ∧ int(δ − clα ) ≤ int u (U ∧ (δ − clα )) ≤ int u (δ − cl (U ∧ α )) elde edilir.
- 22 Buradan; U ∧ α ≤ int u (δ − cl (U ∧ α ) ∧ U ) = int u (δ − clu (U ∧ α ) ) bulunur ki, bu da
(U
∧ α ) fuzzy kümesinin , (U ,τ u )
fuzzy alt uzayında, bir fuzzy δ − pre açık küme
olduğunu gösterir.
3. 2. 9. Teorem
f : (X,τx ) → (Y,τy )
f
U
fuzzy
δ − pre
sürekli
fonksiyon
ve
U ∈ δ − O( X ) olsun.
: U → Y fonksiyonu da, fuzzy δ − pre süreklidir.
İspat:
α ∈τ y olsun. f fonksiyonu fuzzy δ − pre sürekli olduğundan,
( )
f −1 (α ) ∈ δ − PO( X ) ’ dir. 3. 2. 8. Önerme gereğince, f −1 (α) ∧U = f
bulunur. Dolayısıyla
fonksiyondur.
f
U
−1
U
(α) ∈δ − PO(U)
: U → Y kısıtlanmış fonksiyonu, fuzzy δ − pre sürekli bir
- 23 4. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu çalışmada, fuzzy δ − pre açık kümeler tanımlanıp, özellikleri verilmiş ve
ispatlanmıştır. Bunun yanında, fuzzy δ − pre açık kümeler yardımı ile fuzzy δ − pre
süreklilik tanımı yapılıp, sağladığı özellikler incelenmiştir.
Bundan sonraki çalışmalarda; elde ettiğimiz fuzzy δ − pre açık küme
yardımıyla, fuzzy topolojik uzaylarda ayırma aksiyomları tanımlanıp, bu aksiyomlar
arasındaki geçişler ile söz konusu aksiyomların hangi fonksiyonlar altında korunduğu
incelenebilir.
- 24 5. KAYNAKLAR
[1]. Zadeh, L.A., 1965 Fuzzy Sets. Informa And Control
Studies 8: 338-353.
[2]. Azad, K.K., 1981 Fuzzy Semicontinuity, Fuzzy Pre Contiuity and Fuzzy Weakly
Contiuity. J.Math. Anal. Appl.
Studies 82: 14-32.
[3]. Ming, P.P. and Ming,L. Y. , 1980 Fuzzy Topology I. , Neighborhood Structure
of a Fuzzy Point and Moore – Smith Conuergence. J.Math. Anal. Appl.
Studies 76: 571-599.
[4]. Chang, C. L., 1968 Fuzzy Topological Space. J.Math. Anal. Appl.
Studies 24: 182-190.
[5]. Mukherjee, M. N. and Sinha, S. P., 1990 On Some Near Fuzzy Continuous
Functions Beetwen Fuzzy Topological Space. Fuzzy Sets and Systems
Studies 34: 245-254.
[6]. Çoker, D. ve Eş, H., 1990 On Some Strong Forms of Fuzzy Continuity. Doğa
Tr. J. of Mathematics
Studies 14: 26-38.
[7]. Shahana, A. S. Bin, 1991 On Fuzzy Strong Semicontinuity and Fuzzy
Precontinuity. Fuzzy Sets and Systems
Studies 44: 303-308.
[8]. Singal, M. K. and Prakash, Niti, 1991 On Fuzzy Preopen Sets And Fuzzy
Preseparation axioms. Fuzzy Sets and Systems
Studies 44: 273-281.
[9]. Pao-Ming P. and Ying-Ming L., 1980 Fuzzy Topology, II. Product and Quotient
Spaces. J. Math. Anal. Appl.
Studies 77: 20-37.
[10]. Supriti, S., 1987 On Fuzzy δ − Continuous Mappings. Journal of Mathematical
Analysis and Applications
Studies 126: 130-142.
[11]. Ganguly, S. and Supriti, S., 1988 A note on δ − Continuity And δ − connected
Sets in Fuzzy Setting. Simon Steuin
Studies 62: 127-141.
- 25 [12]. Krsteska, B., 1998 Fuzzy Strongly Preopen Sets And Fuzzy Strong
Precontinuity. Mat. Vesnik
Studies 50: 111-123
[13]. Bhaumik, R. N. and Mukherjee, A., 1993 Fuzzy Completely Continuous
Mappings. Fuzzy Sets and Systems
Studies 56: 243-246.
[14]. Elnaschie, M.S. , 1998 On the Uncertanity of Cantorian Geometry and the
Two-split Experiment. Chaos, Solitons and Fractals
Studies 9: 517-529.
[15]. Elnaschie, M.S., 2000 On the Unification of the Heterotic Strings, M-Theory
and ε ∞ Theory. Chaos, Solitons and Fractals
Studies 11: 2397-2408
[16]. Sarkar, Mira, 1981 On Fuzzy Topological Spaces. Journal of Mathematical
Analysis And Applications
Studies 79: 384-394.