ba. forma - Açık Lise TV

T.C.
M‹LLÎ E⁄‹T‹M BAKANLI⁄I
AÇIK Ö⁄RET‹M OKULLARI
(AÇIK Ö⁄RET‹M L‹SES‹ - MESLEK‹ AÇIK Ö⁄RET‹M L‹SES‹)
Matematik 7
Ders Notu
Haz›rlayan
Ayhan ÖZDEM‹R
ANKARA 2014
Copyright ¶MEB
Her hakk› sakl›d›r ve Millî E¤itim Bakanl›¤›na aittir. Tümü ya da bölümleri izin
al›nmadan hiçbir ﬂekilde ço¤alt›lamaz, bas›lamaz ve da¤›t›lamaz.
Resimleyen
: Hatice DEM‹RER
Ozan AKORAL
Bülent DURSUN
Grafik Tasar›m
: Süleyman B‹LG‹N
Dizgi
: Nazmi KEP‹R
Havva ÖZKAN
Münevver KARABACAK
& #' ! & " &
!&
" ) !(
! $ $
))&" &
&* ! ) # #
') ! " * &*& " * # "& !&
(" &*
&& & %&* &
!!)&&!
*&&*&&)')))*
%***&&
*$&!
" "
) # " *$
& $ !#$&*&*
&")(**#
!&" )
#
')$
SUNU
“E¤itim” kavram› yaﬂam boyu süren çok önemli bir etkinliktir. E¤itim süreci ilk
ça¤lardan beri sürekli olarak geliﬂim göstermektedir. Teknolojinin geliﬂim göstermesiyle birlikte, yeni bilgi ve iletiﬂim teknolojileri e¤itim sürecinde h›zla kullan›lmaya
baﬂlanm›ﬂt›r.
Günümüzde pek çok problemin çözümünde e¤itimin etkin bir ﬂekilde kullan›lmas›
gereklidir. Pek çok çaba ve çözümün içinde, biliﬂim teknolojisi geleneksel araçlar
aras›ndan s›yr›larak öne ç›kmaktad›r. Öne ç›kan bu teknolojiyle birlikte geliﬂen ve önemini giderek art›ran yöntemlerden birisi de yer, zaman ve yaﬂ s›n›rlamas› olmayan
uzaktan e¤itimdir.
“Uzaktan e¤itim” yolu ile e¤itim görmekte oldu¤unuz Aç›kö¤retim Lisesi’nde, Genel
Müdürlük olarak sizlere sundu¤umuz hizmetlerden birisi de ders notu mahiyetindeki
kitaplar›m›zd›r. Uzaktan e¤itim ilkelerine uygun olarak haz›rlanan bu ders materyali
lise müfredat programlar›na uygun olarak haz›rlanmaktad›r. Haz›rlanan bu ders notlar›m›z, müfredat programlar›nda meydana gelen de¤iﬂikliklere paralel olarak yenilenmekte ve güncelleﬂtirilmektedir.
Bu ders notundan yararlanacak olan ö¤rencilerimize baﬂar›lar diliyor, ders notlar›n›n
haz›rlanmas›nda eme¤i geçen tüm Genel Müdürlü¤ümüz çal›ﬂanlar›na teﬂekkür ediyorum.
SUNUﬁ
De¤erli ö¤renciler, bu ders notu s›ras›yla fonksiyonlar, limit ve süreklilik konular›n›
içermektedir.
Matematik bilgi birikimine dayal› bir dersdir. Konular› ö¤renmek için ön koﬂul, lise 1
ve lise 2 konular›n› iyi kavramakt›r.
Ders notlar›n› haz›rlarken, bir çok örne¤e yer verdim. Bu örneklere çal›ﬂarak baﬂar›l›
olaca¤›n›za inan›yorum. Ayr›ca bu konular, ileride üniversite okurken karﬂ›n›za
ç›kaca¤›n› unutmay›n›z.
De¤erli ö¤renciler önekleri çal›ﬂ›rken titizlikle kendinize neden niçin sorular›n›
sorunuz ve tam ö¤renmeden baﬂka örne¤e ya da konuya geçmeyiniz.
Bu ders notunda;
\
➯
Karﬂ›s›nda verilen tan›mlar›
Karﬂ›s›nda verilen uyar›lar›
Karﬂ›s›nda verilen yaz›lar› dikkatlice okuyunuz.
Ayr›ca konu ya da bölüm sonunda verilen özetleri okuyunuz.
ÜN‹TE I
FONKS‹YONLAR
Fonksiyonlarla ‹lgili Temel Kavramlar
Eﬂit Fonksiyonlar
Fonksiyon Türleri
Birim Fonksiyon
Sabit Fonksiyon
Fonksiyonlar›n Bileﬂkesi
Bir Fonksiyonun Tersi
Fonksiyonlarda ‹ﬂlemler
Fonksiyonlar›n Tan›m ve De¤er Kümelerini Bulmak
Tek ve Çift Fonksiyonlar
Fonksiyon Grafikleri
Ters Fonksiyonlar›n Grafikleri
Parçal› Fonksiyonlar›n Grafikleri
Mutlak De¤er Fonksiyonu ve Mutlak De¤er Fonksiyon Grafikleri
‹ﬂaret Fonksiyonu ve ‹ﬂaret Fonksiyonu Grafikleri
Tam k›s›m Fonksiyonu ve Tam k›s›m Fonksiyon Grafikleri
Örnekler
MATEMAT‹K 7
☞
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
☞
Bu bölümü çal›ﬂt›¤›n›zda,
Fonksiyonlar›n tan›m›n› kavrayacak, bir ifadenin fonksiyon olup olmad›¤›n› belirtecek,
Eﬂit fonksiyonu kavrayacak,
Fonksiyon türlerini kavray›p, fonksiyonun hangi tür fonksiyon oldu¤unu söyleyecek,
Birim fonksiyonu kavrayacak,
Sabit ve s›f›r fonksiyonu kavrayacak ve üzerinde iﬂlem yapmay› ö¤renecek,
Fonksiyon bileﬂiklerini kavray›p, bileﬂke fonksiyon sorular›n› çözmeyi ö¤renecek,
Fonksiyonlarda iﬂlemleri kavrayacak, üzerinde iﬂlem yapmay› ö¤renecek,
Fonksiyonun tan›m ve de¤er kümelerini bulmay› ö¤renecek,
Tek ve çift fonksiyonlar› tan›y›p, bir fonksiyonun tek ya da çift fonksiyon oldu¤unu
söyleyecek,
Fonksiyon grafiklerini çizebilecek,
Ters fonksiyon grafiklerini çizebilecek,
Parçal› fonksiyon grafiklerini çizebilecek,
Mutlak de¤er fonksiyonunu tan›yacak ve mutlak de¤er fonksiyon grafiklerini çizecek,
* ‹ﬂaret fonksiyonunu tan›yacak ve iﬂaret fonksiyonu grafiklerini çizmeyi ö¤renecek,
* Tam k›s›m fonksiyonu tan›yacak ve tamk›s›m fonkosiyon grafiklerini çizmeyi
ö¤reneceksiniz.
☞
BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIﬁMALIYIZ?
☞
* Bu bölüme baﬂlamadan önce lise 1 de gösterilen fonksiyon konusunu yeniden gözden
geçiriniz.
* Tan›mlar› iyice okuyunuz.
* Bölüm içindeki örnek ve çözümleri inceleyerek bölüm sonundaki de¤erlendirme
sorular›n› çözmeniz yarar›n›za olacakt›r.
2
MATEMAT‹K 7
FONKS‹YONLAR
1.1. FONKS‹YONLARLA ‹LG‹L‹ TEMEL KAVRAMLAR
\
1. A ≠ , B ≠ olacak.
2. A kümesinin bir eleman› B kümesinde birden fazla eleman ile eﬂleﬂmeyecek.
3. A kümesinde (tan›m kümesinde) aç›kta eleman kalmayacak. (De¤er kümesinde
aç›kta eleman kalabilir.)
E¤er f: AAB ﬂeklinde tan›mlanan bir ba¤›nt› (1), (2) ve (3) koﬂullar›n› sa¤l›yorsa bu
ba¤›nt›ya A dan B ye tan›mlanan fonksiyon denir. O hâlde aﬂa¤›daki ba¤›nt›lar›n
fonksiyon olup olmad›klar›n› görmek mümkün olacakt›r.
f: fonksiyon
g: fonksiyon de¤il
Çünkü tan›m kümesindeki
3 aç›kta kald›.
h: fonksiyon de¤il
Çünkü A’daki 1 eleman›
B de hem a ya
hem de b ye eﬂlenmiﬂ
3
MATEMAT‹K 7
Yandaki ﬂekilde,
A kümesine, f fonksiyonunun tan›m kümesi
B kümesine, f fonksiyonunun de¤er kümesi
f(A) kümesine de, f fonksiyonu alt›nda
A kümesinin görüntü kümesi denir.
Bir f fonksiyonunun belli olmas› için, f fonksiyonunun tan›m kümesinin, de¤er
kümesinin ve de¤iﬂken ile görüntü aras›ndaki ba¤›nt›s›n›n (fonksiyon kural›n›n
verilmesi gerekir.
Yani, fonksiyon ya
f: AAB xA y= f(x) ile
ya da f : (x,y) = xDA, y DB ve y= f (x)
biçiminde, ikililer kümesi olarak belirtilir.
Örnek: A={-1,0,1} ve B={1,3,5,7} kümeleri verilsin. f:AAB olmak üzere,
f(x)=2x+3 ﬂeklinde tan›mlans›n.
a) f fonksiyonun tan›m kümesi A={-1,0,1}dir.
b) f fonksiyonun de¤er kümesi B= {1,3,5,7}dir.
c) f fonksiyonun görüntü kümesi, verilen kuralda x yerine A kümesinin elemanlar›
yaz›larak bulunacakt›r.
f(x)= 2x+3 kural›nda
x = -1 için
f(-1) = 2. (-1) + 3
x = 0 için
f(0) = 2. (0) + 3
x = 1 için
f(1) = 2. (1) + 3
Buradan f(A)={1,3,5} olur.
➯
4
=1
=3
= 5 dir.
Bir ba¤›nt›n›n grafi¤inden fonksiyon olup olmad›¤›n› anlamak için y eksenine paralel do¤rular çizdi¤imizi
düﬂünelim. .(x=a do¤rular›) Bu do¤ru grafi¤i en fazla bir noktada kesiyorsa, grafik bir fonksiyon
grafi¤idir.
MATEMAT‹K 7
Örnek
x=a do¤rusu grafi¤i farkl› iki
noktada kesiyor. Grafik
fonksiyona ait de¤ildir.
x=a do¤rusu grafi¤i farkl› iki
noktada kesiyor. Fonksiyon
de¤ildir.
x= a do¤rusu grafi¤i
en fazla bir noktada kesiyor.
Grafik bir fonksiyona aittir.
Eﬁ‹T FONKS‹YONLAR
f= AAB ve g: AAB fonksiyonlar›nda, xDA için f(x) = g(x) ise, f, g fonksiyonlar›na
birbirine eﬂit fonksiyonlar denir. f fonksiyonu ile g fonksiyonunun birbirine eﬂitli¤i
f=g
yaz›larak belirtilir.
Örnek: A= -1,0,1 , B= 1,2
f: AAB , xAy = f (x) = x2 +1
g: AAB, xAy = g (x) = -x +1 fonksiyonlar› veriliyor.
f= g dir. Gerçekten,
5
MATEMAT‹K 7
g(-1)= -1 +1=2
g (0) = 0 +1=1
g(1)=1 +1=2
f(-1)=(1) 2 +1= 2
f(-0)= (0) 2+1=1
f(1)=(1) 2+1=2
Dikkat edilirse f (-1) = g(-1)
f(0) = g(0)
f(1) = g(1)
( xDA için)
oldu¤u görülür.
O hâlde f= g
FONKS‹YON TÜRLER‹
1. Bire bir Fonksiyon
f : AAB , xA y= f (x) fonksiyonunda
(x1, x2 D A ve x1 & x2) iken f (x1)& f (x2)
ise f fonksiyonuna, bire bir fonksiyon denir.
Örnek
f bire bir dir.
Örnek:
f= AAB , A= -1,0,1
f (x) =
x2 fonksiyonu
1: 1 de¤ildir. Çünkü
f (-1) = (-1) = 1
yani, -1& 1 iken f (-1) = f (1) oldu¤undan
f (1) = (1) 2 = 1
bire bir de¤ildir.
2
6
B= 0,1,2
MATEMAT‹K 7
2. Örten fonksiyon
\
f:AAB,
f(A) = B ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Yani, A n›n
elemanlar›n›n f alt›ndaki görüntüleri B kümesine eﬂit olacak.
Örnek
Örnek: A= 1,2,3 B= 3,5,7 f: AAB
f (x) = 2x+1,
verilen f fonksiyonu örtendir. Çünkü,
f (1) = 2. 1+1 = 3
f (2) = 2. 2+1= 5
f (3) = 2.3+1 = 7
f (A) = B oldu¤undan, f örten, di¤er bir ifade
ile de¤er kümesinde aç›kta eleman kalmad›¤›ndan
örten fonksiyondur.
3. ‹çine Fonksiyon:
\
f: AA B ,
xA y= f (x) fonksiyonunda,
f (A) ≠ B ise, f fonksiyonuna,
içine fonksiyon denir.
Di¤er bir ifade ile örten olmayan bir fonksiyon içine fonksiyondur.
7
MATEMAT‹K 7
Örnek
f örten de¤il ancak f içine fonksiyon
(Çünkü f (A) ≠ B) dir.
g örtendir. Ancak g içine fonksiyon de¤il
Çünkü (f (A) = B) dir.
4. Bire bir ve ‹çine fonksiyon
\
f:AAB,
x A y = f (x) fonksiyonu hem bire bir hem de içine fonksiyon ise
f fonksiyonuna, bire bir ve içine fonksiyon denir.
Örnek
f(A) ≠ B dir. Çünkü f (A) = { 1, 2, 3 }
B = {1, 2, 3, 4, 5}
O hâlde f içine,
f (a) = 1
f (b) = 2
f (c) = 3
oldu¤undan f bire bir fonksiyondur.
8
MATEMAT‹K 7
5. Bire bir ve Örten Fonksiyon
\
f:AAB,
x A y = f (x) fonksiyonu hem bire bir hem de örten fonksiyon ise
f fonksiyonuna, bire bir ve örten fonksiyon denir.
Örnek:
f (a) = 1
f (b) = 2
f bire bir fonksiyon
f (c) = 3
f (A) = {1, 2, 3}
f (A) = B örten fonksiyon
B= {1, 2, 3 }
O halde, f bire bir (1-1) ve örten fonksiyondur.
Birim Fonksiyon
I:AAA
x DA için I(x) = x
ise I birim fonksiyon
Örnek: A = a, b, c
I: A AA
I (a) = a
I (b) = b
I (c) = c
ise
x DA
I (x) = x ile gösterilir.
Buradan I birim fonksiyondur.
Sabit Fonksiyon:
f : AA B
,
f (x) = C,
C D R ise f sabit fonksiyondur.
Örnek:
9
MATEMAT‹K 7
Örnek : f: RA R
xA y= f (x) = 2x -3
fonksiyonu bire bir ve örten midir?
Çözüm: Bire birlik:
x1 & x2 (x1, x2DR) için f (x1) & f (x2) oluyor mu? (1:1 lik ﬂart›)
O halde,
x1& x2 iken
f (x1) = 2x1-3
ise f (x1) & f (x2) oldu¤u aç›kt›r.
f (x2) = 2x2-3
o halde, f 1:1 dir.
Örtenlik:
y1 DR ve f (x1) = y1 2x1 -3 = y1
y +3
x1 = 1 D R
2
x1 D R O halde f örtendir.
Örnek: 1) f (x) = 2x - 1 ise f (2x) i
Çözüm: f (x) + 1 = 2x
f (x) cinsinden yazal›m.
f (2x) = 2 (2x) - 1
f (x) + 1
=x
2
f 2x = 4x-1 de x yerine
= 4x -1
f (x) + 1
2
yazarsak
f (x) +1
-1
2
= 2f (x) + 2 - 1
f (2x) = 2f (x) + 1 olur.
f 2x = 4
Örnek: f:RAR, olmak üzere,f(x)=x.f(x+1) ve f(2)=4 ise f(4) nedir?
Çözüm:
10
x=2 yazal›m.
ﬁimdi
f(2)=2.f(3)
x=3 yazal›m.
4=2.f(3)
f(3)=3.f(4)
2= f(3)
2 = f (4)
3
olarak bulunur.
MATEMAT‹K 7
x2 +2x,
Örnek: f:RAR, f(x) =
5,
2
4x - 2x ,
x <3 ise
x = 3 ise
x >3 ise
oldu¤una göre
f(2) + f(3) + f(5) nedir?
Çözüm:
f(2) = 22 + 2.2 = 8
(2<3 oldu¤undan x2 + 2x de x yerine 2 yazd›k
f(3) = 5
f(5) =4.52 - 2.5 = 100 - 10 = 90 olur. (5> 3 oldu¤undan) 4x2 -2x de,
x yerine 5 yazd›k
8+5 + 90 = 103 olarak bulunur.
Örnek: f(x)=(a-1)x2 + (2b-1)x + 5 fonksiyonu sabit fonksiyon ise a+b nedir?
Çözüm: f(x), sabit fonksiyon oldu¤undan
f(x) = 5 olmal›d›r. Buradan,
a-1 =0
ve 2b-1=0
a=1
ve b=1/2 dir
a+b = 3/2 olur.
Örnek: f(x) = (2k-4)x2 + (n-1)x + m -1 fonksiyonu birim (özdeﬂ) fonksiyon ise
k+m+n nedir?
Çözüm: f(x) birim fonksiyon ise f(x) = x olmal› o hâlde,
2k-4 = 0 , n-1= 1
m-1 = 0 olmal›
k=2
, n =2 ve
m =1 dir.
k+n+m = 5 olarak bulunur.
FONKS‹YONLARIN B‹LEﬁKES‹
A = {-2, -1, 0, 1}
, B = {0, 1, 4 }
,
C = {2, 3, 4, 6 }
2
f= AA B ye f (x)= x fonksiyonun görüntü kümesi
gof
f (A) = {0, 1, 4,} (f (A) = B)
gof
g = BA C, g (x) = x+2
gof
gof
fonksiyonunun görüntü kümesi g (f (A)) = {2, 3, 6}
(-2) = g(4) = 6
(-1) = g(1) = 3
(0) = g(0) = 2
(1) = g (1) = 3
11
MATEMAT‹K 7
Aﬂa¤›daki ﬂemay› inceleyelim
ﬁemada görüldü¤ü gibi, A kümesinin elemanlar› f ve g fonksiyonlar› yard›m›yla
C kümesindeki elemanlara eﬂlenmiﬂtir.
Burada f ve g fonksiyonlar›ndan yararlan›larak, A dan C ye yeni bir fonksiyon elde
edilmiﬂtir. Bu fonksiyon, f ile g fonksiyonlar›n bileﬂke fonksiyonudur ve gof biçiminde
gösterilir.
gof fonksiyonunda, tan›m kümesinden al›nan bir eleman›n önce f alt›ndaki görüntüsü,
sonra bunun g alt›ndaki görüntüsü bulunur.
Yani, (gof): AAC, (gof) (x) =g f(x) dir.
Buna göre, (gof) (x) fonksiyonun kural›n› bulal›m.
f(x) = x2
(gof) (x) = g f (x) = g(x2 ) =x2 +2 dir.
g(x) = x+2)
(gof) (x)= g f x
anlam›:
Bir g fonksiyonunda x gördü¤ün yere f (x) fonksiyonunu yaz.
ﬁimdi bileﬂke fonksiyonun tan›m›n› yapabiliriz.
\
Boﬂ kümeden farkl› A, B, C kümeleri için
f: AAB,
g: BAC
fonksiyonlar› verilsin. f ve g fonksiyonlar› yard›m›yla A dan C’ye tan›mlanan yeni
bir fonksiyona f ile g fonksiyonlar›n›n bileﬂkesi denir ve gof ile gösterilir.
(gof : AAC; xDA için (gof) (x) = g f x
12
ﬂeklinde de gösterilir.
MATEMAT‹K 7
Örnekler
1) f: RA R,
f (x) = x2 -1,
g: R A R ile tan›mlans›n
g(x)= x +3 olsun
(fog) (x) = (gof) (x) olup olmad›¤›n› gösterelim.
Çözüm
(fog) (x) = f [g (x)] = f (x+3) = (x+3)2 -1
= x2 + 6x + 9 -1
= x2 + 6x + 8
(gof) (x) = g [f (x)]= g (x2-1)
= (x2 -1) +3)
= x2 + 2
fog (x) ≠ (gof) (x)
Sonuç = Fonksiyonlarda bileﬂke iﬂleminin de¤iﬂme özeli¤i yoktur. Yani,
(gof) (x) ≠ (fog) (x)
2) f= RAR ,
f(x) = 2x ,
g= RA R ,
h = RA R
g (x) = x+1
h (x) = x2 -1
a) (fogoh) (x) = ?
b) (gofoh) (1) = ?
Çözüm
a) (fogoh) (x)
= (fog) (h(x)) = (fog) (x2 -1)
= f [g (x2 - 1)]
= f [ (x2-1) +1] = f[x2]
= 2x2
b) (gof oh) (1)
= (gof) [h(1) ]
= (gof) (12 - 1) = (gof) (0) = g [f (0)]
= g(2 . 0) = g(0) = 0+1 = 1
13
MATEMAT‹K 7
3) f= R A R ,
g= RA R ,
f(x) = 3 - 4x ve
g (x) = x
fonksiyonlar› veriliyor.
(fog) (x) = (gof) (x)
olup olmad›¤›n› araﬂt›ral›m.
(fog) (x) = f g x
, (gof) (x) = g f (x) = g 3-4x
=fgx
= 3 -4x
= f (x)
= 3- 4x
O hâlde, (fog) (x) = (gof) (x) dir.
Ayr›ca, (fog) (x) = (gof) (x) = f (x)
Çünkü, g (x) = x fonksiyonu birim (etkisiz) fonksiyon yani, kendisini kendisine
dönüﬂtüren fonksiyon
A dan B ye bir f fonksiyonu ve A dan A ya bir I (x) = x veya I: xA x
\
fonksiyonu verilsin.
A kümesindeki her f fonksiyonu için
foI = Iof= f
Koﬂulunu sa¤layan I fonksiyonuna bileﬂke iﬂlemine göre birim (etkisiz) fonksiyon
denir.
Örnek
g, f: RAR,
f(x) =2x+5 olsun
(fog) (x) = I (x) oldu¤una göre
g (x) fonksiyonunu bulunuz.
14
MATEMAT‹K 7
Çözüm
(fog) (x) = f [g (x)] = I (x)
= 2.g (x) + 5 = x
= 2g (x) = x-5
= g(x) = x-5
2
dikkat edilirse g(x), f (x) fonksiyonunun bileﬂke iﬂlemine göre tersidir. (‹ﬂlem bilgisini
hat›rlay›n›z. )
B‹R FONKS‹YONUN TERS‹
Her fonksiyonun tersi vard›r. Ancak her fonksiyonun tersi fonksiyon de¤ildir.
Bir fonksiyonun tersininde fonksiyon olmas› için o fonksiyonun bire bir ve örten olmas›
gerekir. Aksi hâlde o fonksiyonun ters fonksiyonundan söz edemeyiz.
\
f fonksiyonu,
\
f= AAB bire bir ve örten fonksiyon I: A AA birim fonksiyon olsun
A’dan B’ye tan›mlanm›ﬂ bire bir ve örten fonksiyon ise,
fog = gof = I koﬂulunu sa¤layan g fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir ve
f-1 ile gösterilir.
fof -1 = f-1 of = I
15
MATEMAT‹K 7
Örnek: A= -1, 0, 1, 2
, B= -1, 1, 3, 5
kümeleri ile f: AAB
f: x A2x+1 fonksiyonu veriliyor.
a) f, 1-1 ve örten midir?
b) f -1 var m›d›r?
c) f -1(x) nedir?
d) f -1 liste biçiminde yaz›n›z.
Çözüm: a) f(x) = 2x+1
f(-1) = 2 (-1) +1 = -1
f(0) = 2.0+1 = 1
f(1) = 2.1+1 =3
f(2) = 2.2+1 = 5 oldu¤undan, bire bir dir.
Ayr›ca B kümesinde aç›kta eleman kalmad›¤›ndan örtendir.
b) f, 1- 1 ve örten oldu¤undan f -1 mevcuttur.
c) Hat›rlatma: bir fonksiyonun tersi bulunurken, x yerine y, y yerine
x yaz›l›r. Buradan y çekilir. Bulunan y= f -1 (x) dir.
O hâlde, f (x) = 2x+1
y= 2x+1 (x yerine y, y yerine x yazal›m)
x = 2y+1 (y'yi çekelim)
x- 1 = 2y
y= x-1 o hâlde, f -1(x) = x-1 dir.
2
2
-1
d) f = (-1, -1), (1,0), (3, 1), (5,2)
Bir fonksiyonun tersini almada pratik kural
a, b, c, d D IR
c& 0 olmak üzere,
f (x) = ax +b fonksiyonunun tersi f -1(x) = x-b
a d›r.
f (x) = ax +b fonksiyonunun tersi f -1(x) = -dx+b
cx-a
cx+d
Örnek: Aﬂa¤›daki fonksiyonlar 1- 1 ve örten oldu¤una göre, terslerini bulal›m.
a) f (x) = 2x -1
b) f (x) = 2x+1
3x-1
c) f (x) = 1-2x
x-3
d) f (x) = 2- 3x
16
a&0,
MATEMAT‹K 7
Çözüm
ise f -1(x) = x+1
2
b) f (x) = 2x+1 ise f -1(x) = x+1
3x-1
3x-2
c) f (x) = 1-2x = -2x+1 ise f -1(x) = 3x+1
x-3
x-3
x+2
-1
x-2
d) f (x) = 2-3x = - 3x+2 ise f (x) =
-3
a) f (x)= 2x-1
Not: fonksiyonun tersinin tersi, kendisidir. f -1 -1 = f
Örnek: f (x) = x-1 bire bir örten fonksiyon olsun.
f -1(x) = x+1
f
-1 -1
= x+1 -1 = x-1 o hâlde,
-1
f(x) = f -1 x
oldu¤u aç›kt›r.
Örnek: x < -3 ve f(x) = x2+6x +10 bire bir örten oldu¤u bilindi¤ine göre,
f-1(x) nedir?
Çözüm: f (x) = y oldu¤undan
y= x2+6x+10 (x yerine y, y yerine x yaz›p,
y'yi çekelim. O zaman, x< -3 ﬂart›
y< -3 olur.
y+3 < 0
x = y2+6y +10
x = (y+3) 2+1
x-1 = (y+3) 2
x-1 = y+ 3
x-1 = - y - 3
y = -3 - x- 1
Örnek: f: RAR,
f(x) = x +3,
(fog) (x) = 2x -1
ise g-1 (x) nedir?
17
MATEMAT‹K 7
Çözüm
I. YOL
(fog) (x) = f g (x) = 2x- 1
II. YOL
f-1o (fog) (x) = f-1o (2x-1)
= g(x) + 3 = 2x -1
= g (x) = 2x-1-3
= g(x) = 2x-4
= g-1 (x) = x+4
2
I(x)
(Iog) (x) = (x-3) o (2x-1)
g(x) = 2x -1 - 3 = 2x - 4
g-1 (x) = x+4
2
Örnek: f:RAR, g: RAR
(fog) (x) = 2x+1 , g (x) = x-5 ise f (x) = ?
Çözüm
Not : fog (x) = A (x)
f-1 (x)o(fog) (x) = f-1 (x) oA (x)
I og (x)
= f-1 (x) oA (x)
g(x)
Not : (fog) (x) = A (x)
(fog) (x) og-1(x) = A (x) og-1(x)
I(x)
(foI) (x)
f (x)
= A (x) og-1(x)
= A (x) og-1(x)
O halde örne¤in çözümü,
fog og-1 = 2x+1 og-1 (x)
fo gog-1 = 2x+1 o(x+5)
foI = 2(x+5) + 1
f (x) = 2x+11
olarak bulunur.
18
MATEMAT‹K 7
Örnek: f, g: R AR
f -1 (x) = 3x+1 ve (gof -1) (x) = 4+x fonksiyonlar› veriliyor.
Buna göre, g (x)'i bulal›m.
Çözüm : gof -1 (x) = 4+x
gof -1 of = (4+x) of
goI
g= (4+x) of
g= (4+x) o x-1
3
x-1
g (x) = 4 +
= 12 + x -1 = x+11
3
3
3
Örnek: f: RAR, f(x) = 2x-1
f -1 (x) = 3x+1 ise tersinin
tersi kendisine eﬂit oldu¤undan
f(x) = x-1
3
(fof) (a) = 9 ise a= ?
Çözüm: (fof) (x) = f [f (x) ]
= 2.(2x -1) - 1
(fof) (x) = 4x -3
(fof) (a) = 4a - 3 = 9
4a = 12
a= 3 olarak bulunur.
Örnek: f(x) do¤rusal bir fonksiyon olsun
f (1) = 2 ve f (2) = 3 ise f-1 (4)’ün de¤erini bulal›m
Çözüm: f(x) do¤rusul bir fonksiyon ise,
f(x) = ax+b dir.
f(1) = a+b = 2
f(2) = 2a+b= 3
19
MATEMAT‹K 7
-2/ a+b=2
- 2a - 2b = -4
2a +b = 3
+ 2a + b = 3
b= 1 ise
a+b = 2 yerine
- b = -1
yazal›m.
b=1
a+1=2
a=1
O hâlde, f(x) = 1.x + 1 = x +1 dir.
f-1 (x) = x-1
f-1 (4) = 4 - 1 = 3 olarak bulunur.
Örnek: R A R ye tan›ml› bire bir ve örten f ve g fonksiyonlar› için
f -1 (2) = 3 ve g (4) = 2 ise
(f -1 og)-1 (3)
Çözüm
Not: (fog) -1= g-1 of -1 dir. O hâlde,
f -1 (2) = 3 f (3) = 2 dir.
(f -1og) -1(3) = (g -1of) (3) = g -1 f (3)
= g -1(2) = 4
➯
(fog) -1 = g -1 of -1
(gof) -1 = f -1 og -1
FONKS‹YONLARDA ‹ﬁLEMLER
\
f: RAR , g: RAR iki fonksiyon ve hDR olmak üzere
1. f ile g nin toplam› xDR için (f+g) (x) = f(x) + g(x)
2. f nin h ile çarp›m›, xDR için (hf) (x) = h. f ( x)
3. f ile g nin çarp›m›, xDR için (f.g) (x) = f(x). g(x)
4. f nin, g ye bölümü xDR için
f(x)
f
için g(x) & 0
g (x) = g ( x ) , xDR
olarak tan›mlan›r.
20
MATEMAT‹K 7
Örnek: f: RAR , g : R AR f(x) =2x , g(x) = x2- 1 iki fonksiyon ise,
a) (f+g) (x)
b) 5.f(x)
d) (f.g) (x)
e) gf (x) fonksiyonlar›n› bulunuz?
c) 2f(x)+3g(x)
Çözüm
a) (f+g) (x) = x2+2x -1
b) 5 f (x) = 5.(2x) = 10x
c) 2f(x) = 4x
2f(x) +3g (x) = 3x2 +4x-3
3g(x) = 3x2 - 3
d) (f.g) (x) = 2x (x2-1) = 2x3 - 2x
f(x)
e) gf (x) =
= 2x , x2 -1 & 0
g(x) x2 -1
FONKS‹YONLARIN TANIM VE DE⁄ER KÜMELER‹N‹ BULMAK
A. Polinom ﬂeklineki fonksiyonlar›n tan›m ve de¤er kümeleri R d›r.
Yani, f(x) = ao +a1 x+ ....................+anx
ﬂeklinde ise f : RA R dir.
B. Rasyonel fonksiyonlarda tan›m kümesini bulmak için R’den varsa payday› s›f›r yapan
de¤erler ç›kart›l›r. De¤er kümesini bulmak için de fonksyionun tersi al›n›r, payday› s›f›r
yapan de¤erler R den ç›kart›l›r. Yani,
f(x) = ax + b ﬂeklinde ise
cx + d
tan›m kümesi R - -d
c
De¤er kümesini bulmak için;
f -1(x) = -dx + b
cx - a
cx + d = 0
cx= - d
x= - dc
cx - a = 0
cx= a
x = ac
De¤er kümesi R- ac
O hâlde, fonksiyonu
AR - a
f: R - -d
c
c
ile göstermeliyiz.
21
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x) = 2x-1 fonksiyonun tan›m ve de¤er kümelerini bulunuz?
3x-4
Tan›m kümesi R- 4
Çözüm: 3x- 4 = 0
3
3x = 4
x = 4/3
-1
f (x) = 4x - 1
3x -2
3x+ 2= 0
x = 2/3 De¤er kümesi IR - 2
3
n
f (x) fonksiyonunun tan›m kümesi
n, tek ise tan›m kümesi
f(x) ile ayn›,
n, çift ise tan›m kümesi
log f(x)
f(x) ≥ 0, xDR
fonksiyonun tan›m kümesi f (x) > 0
tan f(x) fonksiyonu x & k/ için tan›ml›d›r.
cot f(x) fonksiyonu x& k/ için tan›ml›d›r.
Örnek: Aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n tan›m kümelerini bulunuz.
a) f (x) =
3
x+1
b) f (x) = x2 - 1
Çözüm: a) n = 3 tek oldu¤undan tan›m kümesi x+1 ile ayn›, R dir.
b) x2 - 1 ≥ 0
(x - 1) (x + 1) = 0
x = -1, x = 1
Tan›m kümesi = (-', -1] F [ 1, +')
Örnek: log (2x - 1) tan›m kümesini bulunuz.
2x - 1 > 0 dan 2x > 1
x > 1 dir.
2
Örnek: f(x)= xx fonksiyonun en geniﬂ tan›m kümesini bulunuz.
Çözüm: 0° belirsiz ve x ≠ 0 için xx tan›ml› oldu¤undan, fonksiyonun tan›m kümesi
R-{0} d›r.
22
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x) =
log 1/10(2x-1) fonksiyonunun en geniﬂ tan›m kümesini bulunuz.
Çözüm: 2x -1 > 0 ve log 1 .(2x-1) ≥ 0 için tan›ml›
/10
2x > 1 ve log 1/10(2x-1) ≥ 0
x > 1/2 ve - log (2x - 1) ≥ 0
(Eﬂitsizli¤i - ile çarpmak ya da bölmek
eﬂitsizli¤in yönünü de¤iﬂtirir.
log (2x - 1) ≤ 0
2x - 1 ≤ 1
x≤1
O hâlde tan›m kümesi (1/2 , 1] olur.
➯
l og 2x - 1 ≤ 0
1
l og 2x - 1 ≤ log 10
2x - 1 ≤ 1
TEK VE Ç‹FT FONKS‹YONLAR
f: RAR bir fonksiyon olsun.
1. f(-x) = f(x) ise f ye çift fonksiyon
2. f(-x) = -f(x) ise f ye tek fonksiyon
Çift fonksiyonun grafi¤i y eksenine göre simetrik
Tek fonksiyonun grafi¤i orijine göre simetriktir.
Örnek: f:RAR oldu¤una göre, aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n tek mi çift mi, oldu¤unu
söyleyiniz.
a ) f(x) = x3
b) f(x) = x2
d) f(x) = cos (x)
e ) f(x) = x2 + x3
c ) f(x) = sin x
23
MATEMAT‹K 7
Çözüm
a ) f(x) = x3
f(-x) = (-x) 3 = -x3 = - f(x)
f(-x) = -f (x) oldu¤undan f (x) = x3 tek fonksiyondur.
b) f(x) = x2
f( -x) = (-x) 2= x2 = f (x)
f (-x) = f (x) oldu¤undan f(x) = x2 çift fonksiyondur.
c ) f(x) = sin x
f(-x) = sin (-x) = -sin x = -f(x)
f(-x) = -f (x) oldu¤undan f(x) = sin x tek fonksiyondur.
d) f(x) = cos (x) fonksiyonunda,
f(-x) = cos (-x) = cos x = f(x)
f(-x) = f(x) oldu¤undan f(x) = cos x fonksiyonu çift fonksiyondur.
e ) f(x) = x3 + x2 fonksiyonunda
f(-x) = (-x) 3 + (-x) 2
= -x3 + x2 dikkat edilirse
f(-x) = f(x) ya da f (-x) = -f(x) olmuyor.
O hâlde, f(x) ne tek ne de çift fonksiyondur.
FONKS‹YON GRAF‹KLER‹
f: AA B, f(x) = y fonksiyonu verilsin.
\
f= {(x ,y) : y = f(x), xDA, yDB} kümesine düzlemde karﬂ›l›k gelen noktalar›n
oluﬂturdu¤u ﬂekle f fonksiyonun grafi¤i denir.
Fonksiyonlar›n grafiklerini çizmek için aﬂa¤›daki hat›rlatmalar› dikkatle inceleyiniz.
A. E¤er fonksiyon do¤rusal ise
yani f(x)=ax+b ﬂeklinde fonksiyonlar›n
grafikleri için f(x) = y = ax+b oldu¤undan
x=0 için y= b de y eksenini
y=0 için x = -b/a x eksenini kesti¤i nokta bulunur.
Bu noktalardan geçen do¤ru çizilir.
24
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x) = 2x - 4 fonksiyon grafi¤i
f (x) = 2x - 4
y = 2x - 4
x = 0 için y = -4
(0, -4) y eksenini
y = 0 için x = 2
(2, 0)
x eksenini keser.
Bu noktalar› XOY koordinat sisteminde belirler ve do¤ru grafi¤ini çizeriz.
B. ‹kinci dereceden polinom ﬂeklindeki fonksiyonlar›n grafikleri parabol ﬂeklindedir.
B.1) y= f (x) = ax2
a > 0 ise kollar yukar› do¤ru,
a < 0 ise kollar aﬂa¤› do¤ru olacak ﬂekilde orjinden baﬂlayan
parabol e¤rileridir.
25
MATEMAT‹K 7
B.2) f(x) = y = a (x ± r)2
grafi¤ini çizmek için önce y = ax2 fonksiyonun grafi¤i çizilir. Sonra grafik x ekseni
üzerinde r bilim sola veya sa¤a kayd›r›larak çizilir.
Örnek
B.3) y = f(x) = ax2 + k öncelikle y = ax2 grafi¤i çizilir. Sonra k birim y ekseni üzerinde
kayd›r›l›r.
ﬁekil
26
Örnek
MATEMAT‹K 7
B.4) f(x) = y = a (x-r)2 + k
Bu fonksiyon grafi¤inde tepe noktas› belirlenir. Tepe noktas› T(r,k) belirlenecek.
Sonra a’n›n durumuna göre fonksiyon çizilir.
y= f(x) = (x-1) 2+2
Tepe noktas› (1, 2)
x= 0 için y = (-1) 2 + 2 = 3
a = 1 > 0 kollar yukar› do¤ru
B.5) f (x) = y = ax2 + bx + c
Bu tür fonksiyonlar›n grafikleri çizilirken
x = 0 için y eksenini kesti¤i nokta
y = 0 için x eksenini kesti¤i nokta bulunur.
Tepe noktas›n› bulmak 2için
r = - b , k = 4ac - b formüllerinden yararlan›l›r.
4a
2a
Örnek: y = f(x) = x2 - 2x - 3 fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
y=-3
Çözüm: x = 0 için
y = 0 için
x=3
r=- b
2a
dan
k = 4ac - b
4a
2
dan
veya x = -1
r=1
k= -4
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3) (x + 1) = 0
T (1,-4)
x-3=0
veya x + 1 = 0
x = 3 veya x = -1 bulunur.
27
MATEMAT‹K 7
ﬁekil
TERS FONKS‹YONLARIN GRAF‹KLER‹
Örnek: f= R+ AR, f(x) = x2 -1 ise f-1 in grafi¤ini çiziniz.
Çizim: Dikkat edilirse tan›m kümesi R+
28
MATEMAT‹K 7
ARTAN VE AZALAN FONKS‹YONLAR
AR, ve f:AAB bir fonksiyon olsun.
1. x2>x1 için f (x2) > f(x1) ise fonksiyona artan
2. x2>x1 için f (x2) < f(x1) ise fonksiyona azalan
3. x2>x1 için f (x2) = f(x1) ise fonksiyona sabit sabit fonksiyon denir.
Örnek: f(x) = x2 fonksiyonu ele alal›m. Grafik aﬂa¤›da oldu¤u gibidir.
Grafi¤e dikkat edilirse f(x) = x2 R- de azalm›ﬂ R+ da artm›ﬂd›r. Ayn› örne¤i x’e de¤erler
vererek inceleyelim.
R+ da iki say› düﬂünelim.
x2 = 2
x2 > x1 iken
x1 = 1
f(x2) = (2) 2 = 4
f(x1) = (1) 2 = 1
f(x2) < f (x1) dir.
O hâlde R+ da artan
R- de iki say› düﬂünelim.
x2 = -1
x2 > x1 iken
x1 = -2
f(x2) = (-1) 2 = 1
f(x2) < f (x1) dir.
f(x1) = (-2) 2 = 4
O hâlde R- de fonksiyon azaland›r.
29
MATEMAT‹K 7
Ancak bu yol her zaman sa¤l›kl› de¤ildir. Çünkü say›sal ifadelerde yap›lan ispat ve
sonuçlar ifadeyi her zaman do¤rulamaz.
Örnek: f(x) =2x fonksiyonun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› bulunuz.
Çözüm: Fonksiyonun grafi¤ini çizerek görmek daha basit oldu¤undan,
x = 1 için f(1) = 2
x = -1 için f (-1) = 1/2
x = 2 için f(2) = 4
x = -2 için f(-2) = 1/4
x = 3 için f(2) = 8
x1, x2 D R için x2 > x1 2x2 > 2x1
O hâlde fonksiyon R de artand›r.
Örnek: f(x)=lnx fonksiyonun artan ve azalan oldu¤u aral›klar› belirleyiniz.
Çözüm: Fonksiyonun grafi¤ini çizelim.
f (x) = lnx = logex
f(1) = ln 1= 0
f(e) = lne = 1
f(e2) = lne2 = 2
x1<x2 iken f(x1) < f(x2)
oldu¤undan f(x) = lnx
fonksiyonu artand›r.
30
MATEMAT‹K 7
Bundan sonraki konular›m›zda, parçal› fonksiyonunun, mutlak de¤er fonksiyonunun,
tam k›s›m fonksiyonunun ve iﬂaret fonksiyonunun özeliklerini araﬂt›raca¤›z,
grafiklerinin nas›l çizildi¤ini ö¤renece¤iz.
PARÇALI FONKS‹YONLARIN GRAF‹KLER‹
f(x), x< a ise,
f(x) =
h(x), a≤ x < b ise,
k(x), x≥b ise
a,b, say›lar›na fonksiyonun kritik noktas› denir. Fonksiyon bu noktalarda de¤iﬂikliklere
u¤rar. (S›çrama, k›vr›lma,... gibi) Parçal› fonksiyonlar›n grafiklerini çizmeden önce
lise 1 konusu olan do¤ru ve parabol grafiklerinin nas›l çizildi¤ini tekrar etmede fayda
olaca¤›na inan›yoruz.
Örnek:
2 - x , x ≥ 3 ise
f(x) =
x + 1 , x < 3 ise
fonksiyonun grafi¤ini çizelim.
Parçal› fonksiyonu analiz ederken x ≥ 3 noktalar›nda fonksiyonun f(x)=2-x oldu¤unu,
x < 3 iken ise fonksiyonun f(x) = x+1 oldu¤unu görmüﬂtük.
O hâlde x ≥ 3 noktalar›nda f(x) = 2 - x in grafi¤ini çizelim.
Önce, f(x) = 2 - x grafi¤ini çizip sonra x ≥ 3 durumunu inceleyelim.
31
MATEMAT‹K 7
Yukar›daki iki ﬂekli tek ﬂekil ile gösterirsek,
ﬂekli elde edilir.
32
MATEMAT‹K 7
Örnek:
Çözüm:
33
MATEMAT‹K 7
x2 - 1,
x < 2 ise
(x + 1)2 -1,
x ≥ 2 ise
Örnek: f(x) =
MUTLAK DE⁄ER FONKS‹YONU VE MUTLAK DE⁄ER FONKS‹YON
GRAF‹KLER‹
\
n çift ise
n
f(x)
, f(x) ≥ 0 ise
-f(x)
, f(x) < 0 ise
n
[ ( f ( x ) ] = f (x) =
ﬁekinde tan›mlanan fonksiyona mutlak de¤er fonksiyonu denir.
Mutlak de¤er fonksiyonu incelenirken önce kritik noktalar bulunur. Sonra parçal›
fonksiyon halinde yaz›l›p, grafi¤i çizilir.
Örnek: f(x) = |x+2| fonksiyonu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
34
MATEMAT‹K 7
Çözüm
x≥ -2 için |x+2| = x+2
x< -2 için |x+2| = -x-2 oldu¤undan
|x + 2| = x + 2, x ≥ -2 ise
-x -2, < -2 ise
Örnek: f(x) = |x – 2| - x fonksiyonun grafi¤ini çizelim.
Önce f(x) fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yazal›m. Mutlak de¤er tan›m›
gere¤ince;
|x-2| de x - 2 = 0 dan, x = 2 kritik noktad›r.
x ≥ 2 için, f(x) = x - 2 - x = -2
x < 2 için, f(x) = -x + 2 - x = 2 - 2x
parçal› fonksiyon olarak yazarsak;
f(x) =
- 2,
2-2x
x ≥ 2 ise
x < 2 ise
ﬂeklinde parçal› fonksiyon olarak yaz›l›r.
ﬁimdi grafi¤i çizelim. Önce x ≥ 2 için f(x) = - 2 nin grafi¤ini sonra da x < 2 nin
f(x) = 2 - 2x' in grafi¤ini çizilerek grafik son ﬂeklini al›r.
35
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x) = |x-1| + | x | fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: x - 1 = 0
x = 1 ve x = 0 kritik noktalar
x < 0 için
f(x) = - x + 1 - x = - 2x +1
0 ≤ x < 1 için f(x) = -x +1 + x = 1
x ≥ 1 için f (x) = x - 1 + x = 2x - 1
f(x) =
-2x + 1,
1
2x - 1
x < 0 ise
0 ≤ x <1 ise
1 ≤ x ise.
Örnek: f (x) = | 2- x | - | x+2| fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: 2 -x = 0 dan x = 2
x + 2 = 0 dan x = -2 kritik noktalard›r.
x < -2 nin f (x) = 2 -x + x + 2 = 4
-2 ≤ x < 2 için f (x) = 2 -x -x -2 = -2x
x ≥ 2 için f (x) = -2 +x -x -2 = -4
parçal› fonksiyon olarak yazarsak
4
-2x
f(x) =
-4
x<-2 ise
-2≤x<2 ise
x ≥ 2 ise
ﬁeklinde parçal› fonksiyon olarak yaz›l›r.
Bu parçal› fonksiyonun grafi¤i yandaki ﬂekilde gösterilmiﬂtir.
36
MATEMAT‹K 7
Örnek: f(x) = |x-2| + |1-x| fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
Çözüm : x =2 ve x = 1 kritik noktalar
x < 1 için f(x) = -x + 2 +1 -x = 3 - 2x
1≤ x < 2 için f(x) = - x+2 -1 + x = 1
x ≥2 için f(x) = x -2 - 1 +x = - 3 + 2x
f(x) =
3 -2x,
x < 1 ise
1, 1≤ x < 2 ise
- 3 + 2x ,
x ≥ 2 ise
‹ﬁARET FONKS‹YONU VE ‹ﬁARET FONKS‹YONU GRAF‹KLER‹
\
‹ﬂaret fonksiyonu sgnf (x) ile gösterilir.
AR ve f : AAR bir fonksiyon olsun
1, f(x) > 0 ise
0, f(x) = 0 ise
y= Sgnf(x) =
-1, f(x) < 0 ise
ﬁeklinde tan›mlanan fonksiyona signum fonksiyonu veya iﬂaret fonksiyonu denir.
Signum fonksiyonun kritik noktas› signum fonksiyonunun içini s›f›r yapan x de¤erlerdir.
Signum fonksiyonunun grafi¤i çizilirken, önce fonksiyon parçal› fonksiyon olarak
yaz›l›r. Sonra parçal› fonksiyonlar›n grafi¤i yard›m›yla çizim yap›l›r.
Örnek: f = RAR
f (x) = Sgn(x2 - 2x - 15) fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
37
MATEMAT‹K 7
Çözüm
x2- 2x - 15 = (x-5) (x + 3) = 0
x - 5 = 0 ise
x=5
x + 3 = 0 ise x = -3
ﬁimdi tablosunu yazal›m.
O hâlde
f(x) = Sgn (x2 - 2x - 15) =
-
x< -3
+1
V
x >5
0
x = -3 V
x=5
-1
-3 < x < 5
ise
ﬂeklinde parçalan›r.
Örnek: f : RAR
f(x)= Sgn (4-x2) fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: Verilen fonksiyonu önce parçal› fonksiyon olarak yazal›m.
4- x2 = 0
(2 - x ) (2 + x) = 0
O hâlde, x = 2 ve x = -2 kritik noktalard›r.
Sgn (4- x2 ) =
-
-1
x < -2 V x > 2
0
x = -2 V x = 2
+1 -2 < x < 2
ise
ﬂeklinde parçalan›r.
38
MATEMAT‹K 7
Örnek: f : RAR
f (x) = sgn (x2 - 5x - 14) fonksiyonunun grafi¤ini çizelim.
Çözüm: Verilen fonksiyonu önce parçal› fonksiyon olarak yazal›m.
x2 - 5x - 14 = (x - 7) (x +2 ) = 0
x = 7 ve x = - 2 kritik noktalar
Sgn (x2 -5x -14) =
+1 , x < -2 V x > 7
0 , x = -2 V x= 7
-1, -2 < x < 7 ise
39
MATEMAT‹K 7
Örnek: f : RAR
f(x) = x. sgn (x -2 ) fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm:
Tabloya göre parçal› fonksiyon x.sgn (x -2) =
Örnek: f : RAR f(3x - 2) =6x - 4 ise
-x
0
x
, x < 2 ise
, x = 2 ise
, x > 2 ise
Sgn f(3) + f - 5 nedir?
2
Çözüm: f (3x - 2) = 6x - 4 ise f(x) i bulmak için
g(x) = 3x - 2 olarak alal›m g-1(x) = x + 2 tür.
3
f 3. x + 2 - 2 = 6 x + 2 - 4
3
3
f (x + 2 - 2 ) = 2. (x +2) - 4
f (x) = 2x
Sgn f(3) = sgn (2 . 3 ) = sgn (6) = 1
f -5 = 2 . - 5 = -5 = 5
2
2
O halde yukar›daki iﬂlemin sonucu 1+5 = 6 olur.
Örnek:
f(x) = 8x - 1 ise, Sgn f (1) = sgn (8.1 -1) = sgn (7) = 1
Sgn f(-11) = sgn 8. (-11) -1 = sgn (-89) = -1
Sgn f 1 = sgn 8. 1 -1 = sgn (0) = 0
8
8
40
MATEMAT‹K 7
Tan›m ve örneklerde görüldü¤ü gibi, iﬂaret fonksiyonunda bütün reel de¤erlere gelebilecek
say›lar -1, 0, 1 den baﬂkas› olamaz.
Örnek: 3x. sgn (x2 + 4) = |x2 - 4| denklemini çözünüz.
Çözüm: x2 + 4= 0
x2 = - 4,
xR
Bu durumda sgn (x2 + 4) = +1
x2 - 4 = 0
(x -2) (x + 2) = 0
x=2
x = -2
O hâlde |x2 -4|
=
x2 - 4
0
- x2 + 4
x2 - 4
x < - 2 ise
x = -2 ve x = 2 ise
-2<x<2
x > 2 ise
I. durum
II. durum
III. durum
IV. durum
O hâlde 4 durum söz konusudur.
l. durum:
3x (+1) = x2 - 4
3x = x2 - 4 den
ll. durum: 3x . (+1 ) = 0 dan
x2 - 3x - 4 = 0
(x - 4) (x + 1) = 0
x = +4 ve x = -1 kök yoktur. (x<-2 olaca¤›ndan)
3x = 0 ise x = 0 kök yoktur.
lll. durum: 3x (+1) = - x2 - 4 den x2 + 3x - 4 = 0
(x + 4 ) (x - 1) = 0
x = -4 ve x = 1 x= 1 köktür.
lV. durum: 3x (+1) )= x2 - 4 den x = 4 ve x = -1
x= 4 köktür.
O hâlde denklemin çözüm kümesi {1, 4} olur.
41
MATEMAT‹K 7
TAM KISIM FONKS‹YONU VE TAM KISIM FONKS‹YONU GRAF‹KLER‹
\
xDR olmak üzere, x in tam k›s›m›; [| x |] gösterilir.
x D Z ise
x
[|x|]=
x den küçük ilk tamsay›, x Z ise
olarak tan›mlan›r.
Örnek: Aﬂa¤›daki ifadelerin tam de¤erlerini bulal›m
a ) [| log 34 |] nedir?
b) x D(0,/) için sin x nedir?
c ) 2,34
d) -1,26
nedir?
nedir?
Çözüm:a) log 34 ün karekteristi¤i 1 dir.
(Çünkü basamak say›s› 2, karekteristik 1 olur.
O hâlde
[|log 34|] = 1 olur.
b) f(x)=Sinx fonksiyonu 0 < x < π de¤erleri için (0,1) aral›¤›nda de¤erler al›r.
O hâlde xD (0, /) için [| sin x|] = 0 olur.
c ) [| 2, 34 |] = 2
d) [|-1, 26|] = -2
Tam k›s›m Fonksiyonun Özelikleri
xyDR ve nDZ olmak üzere
1) x DZ
2)
3)
4)
5)
x = n ise n ≤ x <n + 1 dir.
x+n = x + n
x <x< x +1
x+y ≥ x + y
Örnek: [|2x - 1|] = 3 denkleminin çözüm kümesi nedir?
42
MATEMAT‹K 7
Örnek:
2x -1 = 3
Çözüm: 2. özelli¤e göre
3≤ 2x - 1 < 4
4 ≤ 2x < 5
2≤x<5
2
O hâlde Ç= [2, 5 )
2
Örnek: [| x + [| x -2 |]|] = 6 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm: [|x -2|] = [|x| ] - 2 dir. (3. özelli¤e göre)
O hâlde
[|x|] + [|x|] - 2 = 6
2 [|x| ] = 8
[|x|] = 4
4 ≤ x < 5 olur. Ç= [ 4, 5) dir.
Örnek: f(x) =
[|2x -1|] ,
(x + 4)
,
1< x < 3 ise
x ≤ 1 ise
ﬂeklinde f(x) fonksiyonu tan›mlan›yor.
f 3 + f (- 6) nedir?
2
Çözüm:
3 D (1,3) o hâlde,
2
-6D (x ≤ 1, xDR)
[|2. 3 - 1|] = [|3-1|] = 2
2
o hâlde,
f(-6) = - 6+4 = -2
f 3 + f (-6) = 2 - 2 = 0
2
Örnek:
f (x) = sgn (x+1) + [| -x|] ise
f 7 nedir?
2
Çözüm:
Sgn 7 + 1 = Sgn 9 = 1
2
2
7
[| - |] = -3, 5 = -4
2
Buradan, f 7 = 1 - 4 = -3 olur.
2
43
MATEMAT‹K 7
✎
TAM KISIM FONKS‹YONLARININ GRAF‹KLER‹
Tam k›s›m fonksiyonunun kritik noktalar›, tam k›s›m fonksiyonunun içini tam say›
yapan x de¤erleridir. Tam k›s›m fonksiyonlar›n›n grafikleri çizilirken,
aral›k boyu , 1 olan aral›klarda inceleme yap›l›r.
a
Kritik noktalardan biri bulunduktan sonra x ekseni üzerinde iﬂaretlenir.
Sa¤a ve sola 1 kadar gidilir.
a
Ancak,
a > 0 ise aral›¤›n sol uçlar› dahil
a < 0 ise aral›¤›n sa¤ uçlar› dahil edilir.
y=
ax + b
Örnek: f = -4, 4 A R, f(x) = [| x |] nin grafi¤ini çiziniz.
2
Çözüm: Burada a = 1 > 0 O hâlde aral›¤›n sol uçlar› dahil
2
1 dan 1 = 2 olarak artma olacak. O hâlde, tan›m kümesi
a
1
2
- 4, 4 aral›¤›nda oldu¤una göre, 2 artmaya göre bu aral›¤› parçalayal›m.
- 4 ≤ x < - 2 ise f(x) = [| x |] = - 2 = y
2
- 2 ≤ x < 0 ise f(x) = [| x |] = - 1 = y
2
x
0 ≤ x < 2 ise f(x) = [| |] = 0 = y
2
2 ≤ x < 4 ise f(x) = [| x |] = 1 = y
2
x
x = 4 ise f(x) = [| |] = 2 = y
2
O hâlde bu ﬂartlara uygun grafi¤i çizelim.
44
MATEMAT‹K 7
Örnek: f: [ 0, 2 ] A R
f (x) = [| 2x|] fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: 2= a > 0 O hâlde aral›¤›n sol uçlar› dahil
a=2
, 1 dan 1 = 1 kadar 0,2 aral›¤›n› parçalamal›y›z, O hâlde
a
2
2
0 ≤ x < 1 ise 0 ≤ 2x < 1 ise f (x) = [|2x|] = 0
2
1 ≤ x < 1 ise 1 ≤ 2x < 2 ise f (x) [|2x|] = 1
2
1 ≤ x < 3 ise 2 ≤ 2x < 3 ise f (x) = [|2x|] = 2
2
3 ≤ x < 2 ise 3 ≤ 2x < 4 ise f (x) =[|2x|] = 3
2
x = 2 ise 2x = 4 ise f (x) = [|2x|] = 4
Örnek: f (x): -1, 1 AR , f (x) = -2x fonksiyonun grafi¤ini çiziniz.
Çözüm: a = - 2 < 0 sa¤ uçlar dahil
a = - 2 ise 1 dan 1 = 1 kadar -1, 1 aral›¤›n› parçalamal›y›z. O hâlde
a
-2 2
x = -1 ise -2x = 2 ise f(x) = -2x = 2
-1 < x ≤ -1 ise 2 > -2x ≥ 1 ise f (x) = -2x = 1
2
-1 < x ≤ 0 ise -1 > -2x ≥ 0 ise f(x) = -2x = 0
2
0 < x ≤ 1 ise 0 > -2x ≥ -1 ise f(x) = -2x = -1
2
1 < x ≤ 1 ise -1> -2x ≥ -2 ise f(x) = -2x = -2
2
Yukar›daki ﬂartlara göre grafi¤i çizersek
45
MATEMAT‹K 7
Örnek: A = (x, y ) : [|x2 + y2| ] = 1, (x, y) DR2 grafi¤ini çiziniz.
[| x2+y2| ] = 1 den
1 ≤ x2 + y2 < 2
yukar›daki yaz›l›ﬂ›n anlam› ﬂudur: Merkezi (0, 0) yar›çap› 1'e eﬂit, çember
ve çemberin d›ﬂ› ile merkezi (0, 0) olan yar›çap› 2 ye eﬂit olmayan
çemberlerin iç bölgesi aras›ndaki kalan k›s›md›r.
46
MATEMAT‹K 7
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER
1) f : RAR , f(x) = 3x+2
,
g(x) = 1 - 2x ise
a) fog (x) nedir?
b) (gof) (3) nedir?
2) f(x) = x.f(x+1)
,
3) f = RAR, f(x) =
f(4) = 4 ise f(2) nedir?
3
4, x < 3 ise
2x + 4, x ≥ 3 ise
f(2) + f(3) + f(4) = ?
4) f : RAR, f(x) = x +x-2 fonksiyonunun grafi¤ini çiziniz.
5) f : RAR, f(x) = x+1 +x-2 fonkisoyunu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
6) R de Sgn (x2- 4x+3) < 0 eﬂitsizli¤inin çözüm kümesi nedir?
7) f (x) = Sgn (x -1) fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yaz›n›z.
8) [|log 1998|] de¤eri nedir?
9) [|Sgn (2x -6 )|] = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
ÇÖZÜMLER
1) a. ( fog) (x) = f(g(x))
= 3.(1 - 2x) +2
= 3 - 6x + 2
= - 6x + 5
b. (gof) (3) = g[f(3)] = g [f(3)] = g [3. 3+2]
= g (11)
= 1 - 2. 11
= 1 - 22 = - 21
2) f (x) = x . f (x + 1)
x = 3 olsun
f (3) = 3. f (4)
= 3. 4 = 4
3
f (3) = 4
x = 2 olsun
f (2) = 2. f (3)
f (2) = 2. 4
=8
3) f (2) = 4
f (3) = 2. 3 + 4 = 10
f (4) = 2. 4 + 4 = 12
f (2) + f (3) + f (4) = 4+ 10 + 12 = 26
47
MATEMAT‹K 7
4) x - 2 = 0
x = 2 kritik nokta O hâlde
Parçal› fonksiyon olarak
yaz›l›rsa,
x + |x - 2| =
2,
x < 2 ise
2,
x = 2 ise
2x - 2
x
y = 2x - 2
x > 2 ise
0
1
2
-2
0
2
5) x+1 = 0 A x = -1 kritik nokta
x - 2 = 0 A x = 2 kritik nokta.
O hâlde,
f(x) =
-2x+1,
x < -1
3
-1 ≤ x < 2
,
2x -1 ,
6) x2- 4x+3 =0
(x-3) (x -1) = 0
x = 3 , x = 1 kritik nokta.
48
x≥2
ise
ise
MATEMAT‹K 7
7) f(x )= Sgn ( |x| -1) = ?
| x | -1 = 0
|x|=1
x = ±1
parçal› fonksiyon olarak yazarsak,
f(x) =Sgn (|x|-1) =
-1
-1 < x < 1, için
0
x= ±1
1
x< -1 , x > 1 için
için
8) log1998 in karekteristi¤i 3 tür.
Çünkü 1998 dört basamakl› say›d›r : Bu durumda, karakteristik 4 - 1 = 3 dür.
O hâlde [| log 1998 |] = 3
9) 1 ≤ sgn (2x - 6) < 2
Sgn (2x - 6) ≥ 1 ve sgn (2x - 6) < 2
2x -6 = 0
x=3
O hâlde Ç. K x > 3 yani (3, + ∞ )
49
MATEMAT‹K 7
ÖZET
Bu bölümde, aﬂa¤›daki durumlar ö¤rencilere verilmeye çal›ﬂ›lm›ﬂt›r:
1. Fonksiyonlar›n tan›m› verilerek, bir ifadenin niçin fonksiyon oldu¤u
tan›t›lm›ﬂt›r.
2. fonksiyon türleri (içine fonksiyon, örten fonksiyon, bire bir fonksiyon, birim
fonksiyon, sabit ve s›f›r fonksiyon) tan›mlar› verilerek, ö¤rencilere fonksiyon türleri
hakk›nda bilgi verilmiﬂtir.
3. Fonksiyon bileﬂkesi tan›m› verilerek, bileﬂke fonksiyona ait örneklerle
problem çözme bilgisi art›r›lma hedeflenmiﬂtir.
4. Bir fonksiyonun tersinin tan›m› yap›larak, hangi durumlarda ters
fonksiyonun olabilece¤i aç›klanm›ﬂ, gerekli örnekler verilerek fonksiyonlar›n tersinin
nas›l al›naca¤› ö¤rencilere gösterilmiﬂtir.
5. Fonksiyonlarda iﬂlemlerin tan›m› verilerek örneklerle konu pekiﬂtirilmiﬂtir.
6. Fonksiyonlar›n tan›m ve de¤er kümelerini bulmak için gerekli tan›mlar
kullan›lm›ﬂ örnekler üzerinde durulmuﬂtur.
7. Tek ve çift fonksiyonun tan›m› verilerek, herhangi bir fonksiyonun tek ya da
çift oldu¤u örneklerle gösterilmiﬂtir.
8. Fonksiyon grafiklerini çizerken, önceki bilgilerimizin hat›rlatmalar› yap›l›p
s›ras›yla ters fonksiyonlar›n grafikleri parçal› fonksiyonlar›n grafikleri, mutlak de¤er
fonksiyonu grafikleri, iﬂaret fonksiyonu grafikleri tam de¤er fonksiyonu grafikleri
çizimleri ö¤rencilerin anlayabilece¤i ﬂekilde çizilmiﬂtir.
50
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ (1)
✎
1) f(x) = 3x2 , g(x) = e -x , h(x) = x ise
2
(fogoh) (x) aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) e x
B) e -x
C) 1
2e x
D) 3x
e
2) f(x) = 2x - |x| fonksiyonunun grafi¤i aﬂ›dakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
D)
3) f(x) =y = |x2 -4x+3| fonksiyonunun grafi¤i aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
51
MATEMAT‹K 7
4) f(x) = Sgn (lnx) fonksiyonunun grafi¤i aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
5) f(x) = x+ Sgnx fonksiyonunun grafi¤i aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
52
MATEMAT‹K 7
6) f(x) = x+ [| x |] fonksiyonunun xD [ -1, 3) için grafi¤i aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
53
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹
-x
1) (fogoh) (x) = (fog) x = f e 2
2
-x
-x 2
= f e 2 = 3. e 2 = 3.e -x
Do¤ru cevap D
2) y = 2x - x =
2x - x = x
,x≥0
2x - ( -x) = 3x, x < 0
Do¤ru cevap A
3) f (x) = x2 - 4x +3 =
x2 - 4x + 3 ,
x ≤ 1, x ≥ 3
-x2 + 4x - 3 , 1 < x < 3
Do¤ru cevap B
4) f (x ) = sgn (lnx) fonksiyonun grafi¤i,
0 < x <1 lnx < 0 sgn (lnx ) = -1
x = 1 lnx = 0 sgn (lnx) = 0
x > 1 lnx > 0 sgn (lnx) = +1
Do¤ru cevap D
5) f (x) = x + sgn x =
x - 1 , x < 0 ise
x
, x = 0 ise
x + 1 , x > 0 ise
Do¤ru cevap A
6) f (x) = x + [|x| ] =
Do¤ru cevap A
54
x-1
x
x+1
x+2
, -1 ≤ x < 0 ise
, 0 ≤ x < 1 ise
, 1 ≤ x < 2 ise
, 2 ≤ x < 3 ise
0
ÜN‹TE II
L‹M‹T
Limit
Sa¤dan ve Soldan Limit
Özel Fonksiyonlarda Limit
Limit Teoremleri
Belirsizlik Durumlar›
Örnekler
MATEMAT‹K 7
☞
BU BÖLÜM NELER‹ AMAÇLIYOR?
☞
Bu bölümü çal›ﬂt›¤›n›zda (bitirdi¤inizde),
* Bir fonksiyonun limitinin ne oldu¤unu ö¤renip kavrayacaks›n›z.
* Fonksiyonun limiti varsa sa¤dan ve soldan limitlerinin eﬂit oldu¤unu ö¤renecek ve
kavrayacaks›n›z.
* Özel fonksiyonlar› gerçek fonksiyon olarak yaz›p, limitlerine bakmay›
ö¤reneceksiniz.
* Limit teoremlerini kavray›p, üzerinde iﬂlem yapmay› ö¤reneceksiniz.
* Trigonometrik fonksiyonlar›n limitini kavray›p, problem çözme yetene¤inizi
geliﬂtireceksiniz.
* Limit hesaplar›ndaki belirsizlik durumlar›n› inceleyerek, her belirsizlik durumu için
ayr› bir yoldan limit hesab›n› yapmay› ö¤reneceksiniz.
☞
BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIﬁMALIYIZ?
☞
* Ön bilgi olarak lise II s›n›f Matematik konusundaki trigonometri bilgisine
ihtiyac›n›z olacak.
* Birinci bölümü çok iyi kavray›p bu bölüme geçiniz.
* Tan›mlar› çok dikkatli okuyun.
* Örnek ve çözümlerini çok iyi inceleyin yazarak çal›ﬂ›n.
* Bölüm sonundaki de¤erlendirme sorular›n› çözmeniz yarar›n›za olacakt›r.
56
MATEMAT‹K 7
ÜN‹TE II
L‹M‹T
\
Limit kavram› ve tan›m›, kavram olarak eski olmas›na karﬂ›n, tan›mlanmas› ve
kullan›lmas› çok eski de¤ildir. Örne¤in limit ünlü ¡<b tekni¤i ile tan›mlanmas› ve
kullan›lmas› ülü Alman Matematikçisi Eduard Heine (1821-1881) taraf›ndan
olmuﬂtur. Limit fizik ve mühendislikte yayg›n olarak kullan›l›l›r.
Limit kavram›n›n ö¤rencilere verilmesi, tan›t›lmas›, ö¤retilmesi ve ö¤renilmesi öyle o
kadar da kolay de¤ildir. Bunun için, limitin tan›t›lmas›na önce sezgisel olarak
yaklaﬂal›m. Daha sonra tam tan›m›n› verelim.
f(x) fonksiyonu verilsin. x noktas› bir a noktas›na yeteri kadar yaklaﬂs›n. x noktas›n›n
a noktas›na reel eksen üzerinde sa¤dan ve soldan olmak üzere, iki yönlü yaklaﬂ›m›
vard›r.
.
a
x- 1
n
x+1
n
Burada, x de¤erinin a de¤erine eﬂit olmas› gerekmez. Bir çok durumda, a noktas›, f(x)
fonksiyonunun tan›m bölgesinde olmayabilir. Yani, x noktas› a noktas›na (x≠a) sa¤dan
ve soldan yaklaﬂ›rken f(x) fonksiyonu bir L say›s›na yaklaﬂ›yorsa f(x) fonksiyonunun
bu a noktas›nda limiti vard›r denir ve k›saca limit;
lim f(x) = L ile gösterilir.
xAa
(x noktas› a ya giderken f(x) fonksiyonunun limiti L dir, diye okunur.)
E¤er x noktas› , a ya yaklaﬂ›rken f(x) fonksiyonu bir L say›s›na yaklaﬂm›yorsa,
f(x) fonksiyonunun limiti yoktur, diyece¤iz.
Yukardaki aç›klamalar gösteriyor ki, f(x) fonksiyonunun x=a noktas›na sa¤dan ve soldan
yaklaﬂ›mlar› için , f(x) fonksiyonunun de¤erine eﬂit olmas› gerekir. Yani;
lim f(x) = L1
xAa -
L1=L2= L
ise
ve
lim f(x) = L2
xAa +
lim f(x) = L
xAa
dir.
Aksi takdirde bu noktada limit yoktur diyece¤iz.
57
MATEMAT‹K 7
Örnek: y = x2 fonksiyonu için , x noktas› 2 de¤erine yaklaﬂ›rken, y de¤eri hangi de¤ere
yaklaﬂ›r? Bu durumda Reel eksen üzerindeki bu 2 say›s›na sa¤dan ve soldan de¤erler
vererek yaklaﬂal›m.
y = x2
2,25
2.89
3,61
3,9601
.
.
.
x
1,5
1,7
1,9
1,99
.
.
.
Soldan yaklaﬂma
x
y = x2
2,9
8,41
2,5
6,25
2,1
4,41
2,01
4.0401
.
.
.
.
.
.
Sa¤dan yaklaﬂma
.
2
Soldan yaklaﬂma
Sa¤dan yaklaﬂma
Yukarda görüldü¤ü gibi x say›s›, reel eksen üzerinde gerek sa¤dan ve gerekse soldan
2 say›s›na yaklaﬂ›rken y de¤eri de her iki hâlde de 4 say›s›na yaklaﬂmaktad›r.
Öyleyse Lim x2 = 4
xA2
Benzer olarak
oldu¤u kolayca yaz›l›r.
Lim [|x| ]
de¤eri var m›d›r?
xA1
x
0,5
0,6
0,8
0,9
0.99
Soldan yaklaﬂma
f(x) = [|x|]
0
0
0
0
0
x
1,9
1,5
1,4
1,1
1,01
1,001
f(x) = [|x|]
1
1
1
1
1
1
Sa¤dan yaklaﬂma
Görüldü¤ü gibi, soldan yaklaﬂ›l›rsa limit de¤eri 0, sa¤dan yaklaﬂ›l›rsa limit de¤eri
1 olmaktad›r. O hâlde, Lim [|x| ] de¤eri yoktur denir.
xA1
58
MATEMAT‹K 7
\
AR, f : AAR bir fonksiyon olsun. aDR sabit bir say› olmak üzere, terimleri
A-{a} kümesinde olan ve a ya yak›nsayan her ( xn ) dizisi için (f( xn )) görüntü
dizileri bir LDR say›s›na yaklaﬂ›yorsa. x, a ya yaklaﬂ›rken (xAa için)
f fonksiyonunun limiti L dir denir ve limit;
Lim f(x) = L biçiminde gösterilir.
xAa
Örnek: f = RAR, f(x)= x2 -1 fonksiyonu veriliyor. x, 1 e giderken fonksiyonun
limitini bulunuz.
Yani, Lim x2 - 1 nedir?
xA1
Çözüm: 1 e soldan yak›nsayan
1-1
n
dizisi için,
2
1 2
1
1 A0
2 1
f (xn ) = (1- 1
n ) - 1 = 1 - n + n2 - 1 = n2 - n = n2 -2 n
Ayr›ca 1 e sa¤dan yak›nsayan 1 + 1
n
dizisi için,
2
2 1
f xn = (1+ 1
n ) -1 = 1+ n + n2 -1
1
1 A0
= 12 + 2
n = n2 + 2. n
n
O halde ;
lim f(x) = lim f(x) = 0 oldu¤undan
xA1-
xA1+
lim f(x) = 0
xA1
olarak yaz›l›r.
➯
Pratik yöntem ile , limitin var oldu¤u kesin olarak biliniyorsa
lim f(x) = lim x 2 - 1 = 1 2 - 1 = 0
xA 1
xA 1
59
MATEMAT‹K 7
Örnek: f: R AR, f(x) =
2 - x2,
x < 0 ise
3,
x ≥ 0 ise
fonksiyonu veriliyor. lim f (x) de¤erini bulunuz.
xA0
Çözüm: 0 noktas›na soldan yaklaﬂ›rsak, f(x) = 2 - x2
0 noktas›na sa¤dan yaklaﬂ›rsak f(x) = 3 al›r›z.
O hâlde;
lim f(x) =lim (2 -x2) = 2- 02 = 2
xA0-
xA-0
lim f(x) =lim 3 =3
xA0+
xA0+
2≠ 3 oldu¤undan limit yoktur.
\
A R, f = AAR bir fonksiyon olsun veA D IR olsun.
¡DR+ için x -a < b (delta) oldu¤unda f(x)- L < ¡ olacak biçimde bir
b(¡)DR+ say›s› varsa, xAa için f nin limiti L dir, denir ve lim f(x) = L
xAa
ﬂeklinde gösterilir.
¡ D R+ için b(¡) D R+ öyleki x -a <¡ f(x)- L < ¡ lim f(x) = L
xAa
Bu tan›m önceki limit tan›m›na denktir. Çünkü x-a < b olmas› demek, xn -a < b yani
xn A a olmas› demektir. Bu durumda f(x) - L <¡ olmas› demek f(xn ) -L <¡
olmas› yani f xn A L olmas› demektir.
Di¤er bir deyiﬂle x - a < b olmas›, b istenildi¤i kadar küçük seçildi¤inde x ile a
aras›ndaki uzakl›¤›n b dan küçük kalmas› ve s›f›ra yaklaﬂmas›, dolay›s›yla xA a
60
MATEMAT‹K 7
Bu durumda |f (x) -L | <¡ olmas› ise, çok küçük ¡ lar için f(x) ile L aras›ndaki uzakl›¤›n
0 a yaklaﬂmas› f(x) A L olmas› anlam›na gelir.
Bu yönteme b < ¡ tekni¤i ad› verilir.
Örnek: f : RAR, f(x) = 2x +1 ise Lim 2x + 1 = 5 oldu¤unu ispatlay›n›z.
xA2
¡DR+ in fDR2 öyleki, x-a < b iken f x -L < ¡ olmal›d›r.
x-2 <b2 x-2 <2b
2x - 4 < 2 b
2x + 1 - 5 < 2 b
O hâlde 2 b < ¡ dersek.
b<
¡
2
+
bulunur. Yani ¡DR verildi¤inde b(¡) =
¡ veya b = ¡
2
2
den küçük pozitif bir say›
olarak al›nabilir.
¡DR+ en az bir b bulundu¤unda tan›ma göre
Lim 2x + 1 = 5 olur.
xA2
SA⁄DAN VE SOLDAN L‹M‹T
\
A bir aç›k aral›k, aDA ve f, A da ya da A-{a} da tan›ml› bir fonksiyon olsun.
1. x de¤iﬂkeni a ya sa¤dan yaklaﬂt›rd›¤›m›zda f(x) bir L1 say›s›na yaklaﬂ›yorsa,
f nin x = a da sa¤dan limiti L1 dir, denir ve bu durum ;
lim f(x) = L1 ile gösterilir.
xAa+
2. x de¤iﬂkeni a ya soldan yaklaﬂt›¤›nda f(x) bir L2
f nin x = a da soldan limiti L2 denir ve bu durum ;
say›s›na yaklaﬂ›yorsa,
lim f(x) = L2 ile gösterilir.
xAa-
3. x de¤iﬂkeni soldan ve sa¤dan a ya yaklaﬂt›¤›nda f(x) bir
yaklaﬂ›yorsa , f nin x = a da limiti L dir denir ve bu durum
lim f(x) = L
x Aa
L say›s›na
ile gösterilir.
61
MATEMAT‹K 7
➯
1. lim- f (x) = lim+ f (x) = L ise lim f (x) = L d›r.
xAa
xAa
xAa
2. lim+ f (x) ≠lim- f (x) ise lim
f (x)
xAa
xAa
xAa
yoktur.
3. h > 0 olmak üzere,
lim- f (x) =lim f (a -h) ve lim+ f (x) =lim f (a+h) dir.
hA0
xAa
xAa
hA0
4. lim f (x) varsa bu limit tekdir.
xAa
➯
Parçal› fonksiyonlarda, parçalanma noktalar›nda (kritik noktalarda) sa¤dan ve soldan limite mutlaka
bak›lmal›d›r.
x2 - 1, x < 0 ise
2x+1, x ≥ 0 ise
Örnek: f: RAR f(x) =
lim f(x) nedir?
xA0
Çözüm: lim- f (x) =
xA0
lim f(x) =
xA0+
lim- (x2 -1) =02-1 = -1
xA0
lim (2x+1) =2.0+1 =1
xA0+
- 1 & 1 O hâlde
lim
f (x) yoktur.
xA0
Örnek
ﬁekildeki f (x) fonksiyonun x = 1
noktas›nda limiti var m›d›r? Varsa
nedir?
62
MATEMAT‹K 7
Çözüm
lim+ f(x) =3
xA1
3≠ 2 oldu¤undan
lim- f(x) =2
lim f(x) yoktur.
xA1
xA1
Örnek
ﬁekildeki f(x) fonksiyonunun x = 1
noktas›nda limiti var m›d›r? Varsa nedir?
Çözüm
lim f(x) =1
lim
f(x) =1
xA1
xA1+
lim- f(x) =1
xA1
f (1) = Tan›ms›z
fonksiyonun limiti vard›r. Limit de¤eri 1 dir.
➯
Bir fonksiyonun x = x0 noktas›nda limitinin olmas› için x = x0 noktas›nda tan›ml› olmas› gerekmez.
ÖZEL FONKS‹YONLARDA L‹M‹T
Bütün özel tan›ml› fonksiyonlar›n limiti araﬂt›r›l›rken, verilen özel tan›ml› fonksiyon
parçal› fonksiyon olarak yaz›lmal›, sonra sa¤dan ve soldan limit de¤erlerine bak›lmal›.
E¤er verilen noktada sa¤dan limit de¤eri soldan limit de¤erine eﬂit ise 0 noktada limiti
vard›r denir. Aksi hâlde verilen noktada limiti yoktur deriz.
63
MATEMAT‹K 7
Örnek: lim Sgn(x-2) = ?
xA2
Çözüm: f(x) = Sgn(x -2) fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yazarsak.
x-2=0
x=2
f(x) =
-1, x< 2 ise
0, x= 2 ise
1, x> 2 ise
lim f(x) =-1
- 1 ≠ 1 oldu¤undan x = 2 noktas›nda limit de¤eri
lim f(x) =1
yoktur denir ve lim sgn (x -2) yoktur
xA2
xA2-
xA2+
Örnek: lim+ x + 2 = ?
xA2
Çözüm: f (x) = x+2 = x + 2
xA2+ x = 2
xA2- x = 1
oldu¤unu düﬂünürsek
lim f(x) = 4
xA2+
lim- f(x) = 3
xA2
Örnek
lim
x- 4 = ?
xA4
64
olur.
4 ≠ 3 oldu¤undan limit yok.
diye ifade edilir.
MATEMAT‹K 7
Çözüm: f (x) = x- 4 fonksiyonunu parçal› fonksiyon olarak yazal›m.
-x + 4 , x < 4 ise
x -4 =
0
, x = 4 ise
x - 4 , x > 4 ise
lim- f(x) =lim- - x + 4 = - 4 + 4 = 0
lim f(x) = 4
xA4
xA4
xA4
lim+ f(x) =lim+ ( x - 4) = 4 - 4 = 0
xA4
xA4
x
=?
Örnek: lim
xA0 x
-1
x
=
Çözüm: lim
xA0 x
,
x<0
Tan›ms›z,
x=0
1
x>0
lim+ f(x) = lim+ 1 = 1
xA0
xA0
lim- f(x) = lim- ( -1) = -1
xA0
xA0
x
yoktur.
1 & -1 oldu¤undan lim
xA0 x
Örnek: lim/ cos x = ?
xA
2
Çözüm: cos x =
cos x,
0≤x</
2
-cos x,
/ <x≤/
2
lim cos x = lim
(- cos x) = -cos / = 0
xA(/) +
2
2
xA(/) +
2
lim cos x = lim
(cos x) = cos / = 0
xA(/) 2
2
xA(/) 2
O hâlde lim/ (cos x) = 0
xA( )
2
65
MATEMAT‹K 7
x
Örnek: f(x) =
x - Sgn
2x - 1
ise lim- f (x) nedir?
xA0
Çözüm : lim- f (x) = - 1 - Sgn [|2. - 0.001 - 1|] = -1 - Sgn ( -0,002 -1) = -1+1 = 0
xA0
lim+ f (x) = 1 - Sgn [|2. 0.001 - 1|] =1 -1 = 0
xA0
oldu¤undan lim f (x) =0
xA0
2-x
Sgn 3x + 4
+
=?
2
x -4
x+2
Örnek: lim+
xA2
Çözüm : x A2+ iken 2-x = -2+x
Sgn (3x+4) = 1
x+2 = 4 dür.
lim+
xA2
Sgn 3x + 4
x-2
+
=
(x-2) (x+2)
x+2
=1 +1 =1
4 4 2
L‹M‹T TEOREMLER‹
lim
f(x) = L1 ,
xAa
lim
g(x) = L2 ve hDIR ise
xAa
A R, f: AAR ve g : AAR iki fonksiyon olsun.
1) lim
f±g (x) = lim
f(x) ±lim
g(x) = L1 ± L2
xAa
xAa
xAa
2) lim
h f (x) = h lim
f(x) = h . L1
xAa
xAa
3. lim
f .g (x) = lim
f(x) . lim
g(x) = L1 .L2
xAa
xAa
xAa
4) xDA
f
lim
xAa g
66
için g(x) 0 ve L2 0 ise
(x) =
lim
f(x)
xAa
lim
g(x)
xAa
L
= 1
L2
MATEMAT‹K 7
Örnekler
a) lim (2x +3) = lim 2x+ lim 3
xA1
xA1
xA1
= 2.1 + 3 = 5
b) lim 3x - 2x + 2 = lim 3x2 - lim 2x +lim 2
2
xA1
=3
xA1
lim x2 xA1
xA1
xA1
2 lim x + lim 2
xA1
xA1
= 3 (1) 2 - 2. (1) + 2
=3-2+2=3
lim x2+4
2+4
x
c) lim
= xA1
= 1+4 = 5 = - 5
xA1 x - 2
lim
x
2
1 -2 - 1
xA1
d) lim
3x + sgn x2- 1 + [| x - 1 | ]
xA2
2
2
= lim
(3x) + lim
sgn (x - 1) + lim
[| x - 1 | ]
xA2
xA2
xA2
2
=6+1+1=8
TEOREM
1. lim
f(x) =|lim
f(x)| dir.
xAa
xAa
lim f (x)
2. lim
cf(x) = cxAa
xAa
3. a) n bir çift do¤al say› ve f(x) ≥ 0 ise
n
n
lim
f(x) = lim
f(x)
xAa
xAa
b) n bir tek do¤al say› ise
n
n
lim
f(x) = lim
f(x) dir.
xAa
xAa
f(x) dir
4. lim
logb f(x) =logb lim
xAa
xAa
Örnek: lim x-2 = lim x-2 = 0
xA2
xA2
limx 2
2
3x =
Örnek: lim
xA2
Örnek: lim x =
xA4
xA2
3
lim x = 2
Örnek: lim 3 x2 -1 =
xA2
= 34 = 81
xA4
3
lim x2 -1 = 3
3
xA2
67
MATEMAT‹K 7
Örnek: lim
(lnx) = ln lim
x = lne = 1
xAe
xAe
\
AR ve f : AAR bir fonksiyon olsun.
1. (xn), (xn) A' için (f(xn)) AL1 ise x A' için f fonksiyonunun limiti L1 denir
(f (x) = L1 biçiminde gösterilir.
ve lim
xA'
2. (xn), (xn) A < ' için (f(xn)) AL2 ise x A < ' için f fonksiyonunun limiti
f (x) = L2 ﬂeklinde
gösterilir.
L2 denir ve lim
xA - '
Geniﬂletilmiﬂ reel say›larda iﬂlem ve özellikleri:
aD olsun
1) a.' = '
2 ) ' +' = '
'
3)
= belirsiz
'
4 ) ' - ' = belirsiz
5) ' - a = '
6 ) ' 0 = belirsiz
7 ) 00 = belirsiz
Polinom ﬂeklindeki ifadelerde xA ±' için limit hesab›
kDR, nDN +
f(x) = ax n + bx n-1 +cx n-2 + ....+ k
f (x) = lim x n a + b + c + ...... + kn =
lim
2
x
xA±'
xA±'
x
x
±
' n.
a
Pratik kural
p(x)
lim
,
Q (x) & 0
xA' Q ( x )
E¤er, der p(x) > der Q(x) ise limitin de¤eri ' veya -' dur.
E¤er, der p(x) = der Q (x) ise en büyük dereceli terimlerin katsay›lar›n›n bölümü
E¤er der p (x) < der Q(x) ise limitin de¤eri 0 d›r.
Örnek: lim
xA'
1 =0
x
2+x = lim - 1 + 3
Örnek: lim
xA'
1-x xA '
1- x
3
= lim
(- 1) +lim
xA '
xA '
-1+x
= -1 +0 = -1
lim a x = 0 d›r.
Teorem: a < 1 ise xA'
Örnek: xA'
lim 1
3
68
x
=
lim 1x = 0
3
xA'
x +2 = -1 + 3
-x +1
-x + 1
MATEMAT‹K 7
TR‹GONOMETR‹K FONKS‹YONLARIN L‹M‹T‹
Teorem: a,b,cDR olmak üzere,
1. lim
sin x = sin a
xAa
2. lim
cos x = cos a
xAa
x =1
3. lim
xA0 sin x
sin x = 1
4. lim
x
xA0
5. lim tanx = 1
x
xA0
6. lim tan bx
xA0 sin cx
sin bx
7. lim
xA0 sin cx
tan bx
8. lim
xA0 tan cx
sin bx
9. lim
xA0 tan cx
➯
= bc
= bc
= bc
= bc
3- 9 aras› ifadelerin anlamlar› türev konusunda l Hospital kural› ile daha iyi anlaﬂ›lacakt›r.
BEL‹RS‹ZL‹K DURUMLARI
'
Limit hesaplamalar›nda , 0 , , 0.', ' - ', belirsizlik durumlar›n› görelim
0 '
A) 0 biçimindeki belirsizlikler.
0
lim
xAa
lim
f(x)
f(x)
xAa
için
g(x)
lim
g (x)
xAa
= 0 olmas› durumunda pay ve payda da (x-a) çarpan›
0
var demektir.
Pay x - a). f1 (x) payda da (x -a) . g1 (x ) ﬂeklinde çarpanlar›na ayr›l›rsa
69
MATEMAT‹K 7
lim
f (x)
xAa
lim
g (x)
xAa
=
(x -a) f1 (x)
lim
xAa
lim
(x- a) g1(x)
xAa
=
f (x)
lim
xAa 1
lim
g (x)
xAa 1
hâline gelir. E¤er yine 0 hâlinde ise ayn› yol ile pay ve payda çarpanlar›na ayr›l›r.
0
2
Örnek: lim x - 4 = 4 - 4 = 0 belirsiz.
xA2 x - 2
2-2 0
(x -2) (x + 2)
= lim x + 2 = 4
lim
xA2
xA2
x-2
2
x2 - x - 2 = -1 - -1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0 belirsiz.
Örnek: lim
xA-1
x+1
-1 +1
0
0
(x +1) (x - 2)
= lim x - 2 = -1 - 2 = - 3
lim
xA-1
xA-1
x+1
y3 - x3
y3 - y3
=
= 0
y2 - x2
y2 -y2
0
2
2
(y -x) y + yx + x
y2 + yx +x2
y2+y2+y2
=
lim
lim
=
xAy
xAy
y+x
(y- x) (y + x)
2y
3y2 3
=
= y
2y 2
Örnek: lim
xAy
B)
'
biçimindeki belirsizlikler.
'
lim
xA'
lim f (x)
'
f (x)
için xA'
=
'
g (x)
lim g (x)
xA'
durumunda pay ve payda en yüksek dereceli x parantezine al›n›p k›saltmalar yap›l›r ve
limit hesab›na geçilir.
x2+x = x2+x = ' o hâlde,
Örnek: lim
xA' 2
x -x
x2 - x '
1
1 + lim
lim
1 + x1 lim
x2 1 + x1
2+x
xA'
xA'
xA' x
x
lim
=
=
= 1+0 = 1
= lim
xA' 2
1
1
x - x xA' x2 1 - x1
1- 0
lim
1
lim
1
lim
x
xA'
xA'
xA' x
➯
70
lim x1 = 0
x A'
MATEMAT‹K 7
Örnek:
3x4- 7x2+3 = ' o hâlde,
lim
xA'
3x2 - 5x + 7 '
x4 3 - 7 + 3
lim x2. 3 - 7 + 3
xA'
2 x4
x
x2 x4
lim
=
xA'
5
7
lim
3 - x + 72
x2 3 - 5
+
xA'
x
x x2
7 +lim 3
lim
3x2 - lim
xA'
xA' 2 xA' 4
x
x ='-0+0 =' ='
=
3-0+0
3
5 +lim 7
lim
3- lim
xA'
xA' x
xA' 2
x
Örnek:
-'
2
lim x + 1 =
'
xA-' x -1
x2 1 + 12
x = -' 1+0 = -'
lim
1-0
xA-' x . 1- 1
x
C) ' - ' B‹Ç‹M‹NDEK‹ BEL‹RS‹ZL‹K
lim f (x) - g (x) için
xA+- '
lim f(x) - lim g (x) = ' - ' durumunda f (x)
xA +- '
xA +- '
'
ifadesi, eﬂleni¤i olan f (x) + g (x) ifadesi ile çarp›l›p bölünürse 0 veya
belirsiz'
0
li¤i ile karﬂ›laﬂ›l›r. Bundan sonra, önceki yöntemlerle limit bulunmaya çal›ﬂ›l›r.
Örnek:
lim x - x ifadesini bulunuz.
xA'
Çözüm
lim
x - lim
x = ' - ' o hâlde,
xA'
xA'
lim
xA'
(x - x ) (x + x )
x2 - x = ' bu durumdan sonra önceki
= lim
xA' x + x
'
(x + x)
yöntemlerle
lim
xA'
x2( 1 - 1
x)
1
x (1 - x- 2 )
=
' 1-0
='
1-0
71
MATEMAT‹K 7
Örnek: lim
xA1
2 - 1 ifadesini bulunuz.
x2-1 x - 1
Çözüm: lim 2 - lim 1 = ' - ' O hâlde,
xA1 x2-1
xA1 x - 1
2 -x+1
1
lim
lim 2 - x - 1 = lim
xA1 x2-1
xA1
x2-1
x - 1 xA1 x2-1
( x + 1)
- (x - 1)
= lim -1 = - 1
lim
xA1 (x - 1) (x + 1)
xA1 x + 1
2
=0
0
Örnek: xA'
lim x - 2x - 1 de¤erini bulunuz.
Çözüm: xA'
lim x - lim
xA'
2x - 1 = ' - '
o hâlde eﬂleni¤i ile çarp›p bölelim.
x + 2x - 1
=
x + 2x - 1
x2 - 2x +1 = ' bulunur.
= lim
xA'
'
x + 2x - 1
1
x2 1- 2
x + x2
= xA'
lim x = '
lim
xA'
1
x 1+ 2
x x2
lim x - 2x - 1
xA'
D) 0. ' B‹Ç‹M‹NDEK‹ BEL‹RS‹ZL‹KLER
lim
f (x) . g(x) için lim
f (x) . lim
g (x) = 0. ' olmas› durumunda bu belirsizlik
xAa
xAa
xAa
'
g (x)
f (x)
lim
f (x) . g (x) = lim
hâlinde yaz›l›rsa
ya da 0
ya da lim
xAa
xAa
xAa
'
0
1
1
f (x)
g (x)
belirsizlikleri hâline dönüﬂtürürüz.
1 . x2 -1 limitini bulunuz.
Örnek: lim
xA' x
Çözüm: lim 1 x2 -1 lim 1 x2 -1 = 0.' o hâlde,
xA' x
xA' x
x2 1- 1
x2 = ' 1 - 1 = '
1
2
lim
x -1 = lim
xA' x
xA'
x
'
72
MATEMAT‹K 7
L‹M‹TE A‹T ÖRNEKLER
de¤eri var m›d›r?
1) lim 1
x
xA0
Çözüm: lim+ 1 = + ' , lim- 1 = - '
xA0 x
xA0 x
lim 1 yok
lim 1 = & lim- 1
xA0 x
xA0+ x
xA0 x
2) lim+ 1 + x = ?
xA0
2x
Çözüm: x > 0 2x = 2x;
lim 1+ x = 1+ 1 = 3
xA0+
2x
2 2
3) lim- 1+ x = ?
xA0
2x
Çözüm: x < 0 ise 2x = - 2x
lim- 1+ x = 1+ x = 1- 1 = 1
xA0
2x
-2x
2
2
lim x - 1 de¤eri var m›d›r?
4) xA
-1 1 + x
-1 - 1
-2
Çözüm: lim + x - 1 =
+ = + = -'
xA(-1) 1+ x
1 + (-1)
0
-1
1
-2
lim x - 1 =
= - =+'
xA (-1)- 1 + x
1+ (-1) 0
lim x - 1 & lim - x - 1 oldu¤undan
1 + x xA(-1) 1 + x
xA (-1)+
limit yok.
2
5) xA
lim0 xx de¤eri var m›d›r?
x2 = lim x
x
xA 0 x
x > 0 ise x = x
x < 0 ise x = - x d›r.
x
o hâlde, lim+ x = 1
xA0
Çözüm: lim
xA0
x
= -1
x
x
x
lim+ x & lim- x = oldu¤undan limit yok.
xA0
xA0
lim
xA0-
73
MATEMAT‹K 7
6) lim
Sgn x + (2x-1) de¤eri var m›d›r?
xA0
Çözüm: lim+ Sgn x
xA0
+ 2x - 1 = Sgn [|0+| ] + 2. 0 -1
=0 - 1 = -1
lim- Sgn x + 2x - 1 = Sgn [|0-| ] + 2 0 - 1
xA0
-1&-2
7) lim+
xA2
= Sgn (-1) + (-1)
=-1-1=-2
o hâlde limit yok.
x-2
+Sgn x
x-2
Çözüm: lim+
xA2
ifadesini hesaplay›n›z.
(x - 2)
+ Sgn x = lim+ (1 + Sgn x)
xA2
x-2
= 1 + Sgn (2+)
= 1+ 1 = 2
1
8) lim
1+2x de¤eri var m›d›r?
xA0
1
1
Çözüm: lim+ 1 +2x = 1+ 20+ = 1 + 2' = 1+' = '
xA0
1
lim 1 +2x = 1+ 2-' = 1 + 1 = 1
xA02'
limit yoktur.
2
9) lim x - 6x + 9 ifadesini hesaplay›n›z.
xA 3 x2 - 2x - 3
2
Çözüm: 3 2 - 6.3 +9 = 0 belirsiz.
0
3 - 2.3 -3
(x - 3) (x - 3)
= lim x - 3 = 0 = 0
lim
xA3 (x - 3) (x +1)
xA 3 x + 1
4
10) lim
xA 1
x - 1 ifadesini hesaplay›n›z
2x - 2
Çözüm:
74
1 - 1 = 0 = belirsiz.
2- 2 0
x-1
= lim 1 = 1 = 2
lim
xA 1
2
2 . ( x - 1) xA 1 2
2
MATEMAT‹K 7
3+x - 2 ifadesini hesaplay›n›z.
11) lim
xA 1
x2-1
3+x - 2 = 0 belirsiz.
Çözüm: lim
xA 1
x2 -1
0
( 3+x - 2) ( 3+x + 2)
3+x-4
= lim
xA 1
(x2 -1) ( 3+x +2)
(x2 - 1) ( 3 + x + 2
(x -1)
1
1
= lim
= lim
=
=1
xA 1
xA 1
2 (2+2) 8
(x - 1) (x + 1) ( 3+x +2)
(x + 1) ( 3+x + 2)
lim
xA 1
2
lim 2x - 3x+1 ifadesini hesaplay›n›z
12) xA
±'
5x4-2x + 1
2x2- 3x+1 = ' belirsiz
Çözüm: xA
lim
±'
5x4-2x + 1 '
1
x2 2 - 3
x + x2
= 22-0+0 = 2 = 0
lim
xA ±'
2
1
4
' 5-0+0 '
x 5- 3+ 4
x
x
x de¤eri var m›d›r?
lim/ cos
13) xA
x
2
/
/
2
x =
= 2 = +'
Çözüm: lim
xA(/) + cos x
(/)+ 0+
cos
2
2
/
/
lim x = 2 / - = 2- = - '
xA(/) - cos x
cos (2 ) 0
2
lim x yoktur.
xA(/) cos x
2
cos x de¤eri var m›d›r?
15) lim
x
xA0
+
x = cos (0 ) = 1 = '
Çözüm: lim+ cos
x
0+
0+
xA0
x = cos 0- = 1 = - '
lim- cos
x
00xA0
lim cos x yoktur.
xA0
x
75
MATEMAT‹K 7
ÖZET
Bu bölümde, aﬂa¤›daki durumlar ö¤rencilere verilmeye çal›ﬂ›lm›ﬂt›r:
1. Limitin tarihçesi, limite sezgisel yaklaﬂ›m ve limitin tan›m› verilmiﬂtir.
2. Limitde sa¤dan ve soldan yaklaﬂman›n ne oldu¤u anlat›larak örneklerle
pekiﬂtirilmiﬂtir.
3. Limitin var olup olmad›¤›n› anlamak için
ö¤rencilere tan›t›lm›ﬂt›r.
¡-b
(Epsilon- Delta) tekni¤i
4. Sa¤dan ve soldan limitin tan›m› verilerek ve gerekli uyar›larda bulunduktan
sonra örneklere geçilmiﬂtir.
5. Özel fonksiyonlar›n limitinin nas›l al›naca¤› ö¤rencilere anlat›lm›ﬂ, ilgili
örneklerle limit konusu aç›kl›k kazanm›ﬂt›r.
6. Limit teoremleri verilip, pekiﬂtirmek için örneklere baﬂvurulmuﬂtur.
7. Limitte belirsizlik durumlar› verilip, ilgili örneklerle baz› belirsizlik
durumlar› için limit al›nm›ﬂt›r.
76
MATEMAT‹K 7
✎
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ 2
1) lim+ 5-3x de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
xA3
2
A) 4
B) -3
C) -2
D) 1
2) f (x) = sgn (x2 - 3x - 4) + 1 ise lim- f (x) de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
xA4
A) -2
3)
B) -1
C) 0
D) 1
f : R AR
f (x) =
x2+ 1,
x < 0 ise
2x + 1 ,
x ≥ 0 ise
lim
f (x) de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
xA0
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
4)
ﬂekildeki f (x) fonksiyonun grafi¤i verilmiﬂtir.
Buna göre x = 1 noktas› için ne söylenir?
y
a) x = 1 noktas›nda limit yoktur.
b) x = 1 noktas›nda limit vard›r.
c) x = 1 noktas›nda limit vard›r ve 2 dir.
f(x) = 3
d) lim
xA1-
5) lim
sin x de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
xA/
2
A) 0
B) 1
C) 2
D) limiti yoktur.
3x2+5 de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
6) lim
xA'
x-3
A) e
B) 1
C) 0
D) '
2
7) xA'
lim ( x -x) de¤eri aﬂa¤›dakilerden hangisidir?
A) 0
B) - 1
C) 1
D) -'
77
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹
+
1) lim+ [| 5 - 3 | ] = - 3
xA3
2
Do¤ru cevap B
2) xA4+ x2 - 3x - 4 < 0 d›r.
Sgn x2 - 3x - 4 = - 1
lim- f (x) = - 1 + 1 = 0
xA4
Do¤ru cevap C
3) lim- x2 + 1 = 1
xA0
lim+ 2x + 1 = 1
xA0
Do¤ru cevap C
4) lim- f (x) = 2
xA1
2 & 3 limit yok.
lim+ f (x) = 3
xA1
Do¤ru cevap A
sin x
5) sin x =
/ <x</
2
sin x = lim/ sin x = sin / = 1
xA
2
2
-sin x
lim/ =
xA
2
Do¤ru cevap B
78
0<x</
2
MATEMAT‹K 7
6) I. Yol der 3x2 + 5 > der (x-3) oldu¤undan
2
lim 3x + 5 = '
x -3
5
2
x 3+ 2
' 3+0
x
='
II. Yol lim
=
xA'
1-0
x 1-3
x
xA'
Do¤ru cevap D
7) ' - ' biçiminde,
'
( x - x) . ( x +x)
2
lim x - x =
biçiminde belirsiz.
= xA'
'
x +x
x +x
x2 1x -1
' 0-1
=
lim
=-'
xA'
0+1
x 1 +1
x
Do¤ru cevap D
lim
xA'
79
ÜN‹TE III
SÜREKL‹L‹K
Süreklilik
Baz› fonksiyonlar›n süreksiz oldu¤u noktalar› bulma
Süreksizlik çeﬂitleri
Örnekler
MATEMAT‹K 7
☞
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
☞
Bu bölümü çal›ﬂt›¤›n›zda (bitirdi¤inizde);
* Limit kavram› ile süreklilik kavram› aras›ndaki iliﬂkiyi kavrayacak,
* Sa¤dan ve soldan süreklilik tan›mlar›n› kavrayacak, ilgili sorular›n çözümlerini
ö¤renecek,
* Fonksiyonlar›n süreksiz oldu¤u noktalar› bulmay› ö¤renecek,
* Süreksizlik çeﬂitleri hakk›nda bilgi sahibi olacak, verilen süreksiz fonksiyonun ne
tür süreksiz oldu¤unu söyleyebileceksiniz.
☞
BU BÖLÜMÜ NASIL ÇALIﬁMALIYIZ?
☞
* Limit konusunu ö¤renmeden, süreksizlik konusunu ö¤renmeye asla geçmeyiniz.
* Tan›mlar› dikkatli okuyunuz.
* Verilen örnekleri inceleyip, sürekli neden, niçin sorular›n› kendinize sorunuz.
* Bölüm sonundaki de¤erlendirme sorular›n› mutlaka çözmeye çal›ﬂ›n›z.
82
MATEMAT‹K 7
ÜN‹TE III
SÜREKL‹L‹K
Limit kavram› ile süreklilik kavram›n›n birbiriyle çok yak›n iliﬂkisi vard›r. K›saca
söylemek gerekirse, süreklilik bir limit problemidir.
lim
f(x)
xAa
biçimindeki tan›mda f fonksiyonunun x = a noktas›n›n sa¤›nda ve solunda
lim f(x)
ve lim- f(x)
xAa+
xAa
gibi sa¤ ve sol limitleri var, bu sa¤ ve sol limitler birbirine eﬂit yani,
lim
f(x) = lim
f(x)
xAaxAa+
ise f fonksiyonun x = a noktas›nda limiti vard›r denir. Görülüyor ki limitin varl›¤› için
fonksiyonun sa¤ ve sol limitleri var, birbirine eﬂit fakat bu limitin fonksiyonun o
noktadaki de¤erine eﬂit olmas› gerekmez.
Örne¤in;
f(x) =
1, x & a ise
0, x = a ise
biçiminde tan›mlanan f(x) fonksiyonunu düﬂünelim. Buna göre
lim
f(x) =1 = xAa
lim- f(x) ise lim
f(x) =1
xAa
xAa+
f (a) = 0,
f(a) & lim
f(x)
xAa
oldu¤u aç›kt›r. ‹ﬂte, bu örnek bizi aﬂa¤›daki tan›ma götürür.
\
x=a'da tan›ml› olmal›.
lim
f(x) limit var. Yani,
xAa
1. lim- f(x)
= lim+ f(x)
2. lim
f(x)
xAa
= f (a)
xAa
xAa
=lim
f(x)
xAa
oluyorsa, f fonksiyonuna x = a noktas›nda süreklidir denir. Aksi hâlde,
f fonksiyonuna x = a noktas›nda sürekli de¤ildir veya f fonksiyonu x = a noktas›nda
süreksizdir denir.
83
MATEMAT‹K 7
Limitte oldu¤u gibi, süreklili¤i de sezgisel yolla söylemek olana¤› vard›r.
Fonksiyonun grafi¤inde hiçbir kesiklilik yoksa, fonksiyon sürekli olur. E¤er
fonksiyonun grafi¤inde kesiklilik varsa, bu kesiklili¤i yapan noktalarda fonksiyon
süreksizdir denir.
x = 1 noktas›nda süreksiz
\
x = 1 noktas›nda süreksiz
a,b D R ve x0 D (a,b) olmak üzere, f : (a,b) A R fonksiyonunda,
lim f(x) = f(x 0)
xAx 0
ise, f fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
E¤er lim
f ( x ) & f(x 0 )
xAx
0
ise f fonksiyonu, x 0 noktas›nda sürekli de¤ildir.
(Süreksizdir.)
f fonksiyonu en az bir x0 D (a,b) noktas›nda sürekli de¤ilse, f fonksiyonu (a,b)
aral›¤›nda sürekli de¤ildir.
BAZI FONKS‹YONLARIN SÜREKS‹Z OLDU⁄U NOKTALARI BULMA
a) Rasyonel fonksiyonlar; payday› s›f›r yapan noktalarda, fonksiyon tan›ms›z
olaca¤›ndan, bu noktalarda süreksizdir.
Örnek : f(x) = x
x-1
x - 1 = 0 x = 1 noktas›nda süreksizdir.
84
MATEMAT‹K 7
b) ‹rrasyonel fonksiyonlarda; kök kuvveti çift ise fonksiyon, kök içini negatif yapan
de¤erler için tan›ms›z ve süreksizdir.
Örnek : y = x + 1 fonksiyonu için x + 1 < 0
x < -1 için
tan›ms›z ve süreksizdir.
c) Parçal› fonksiyonlar; kritik noktalarda süreksiz olabilir. Yine de incelemekte fayda
var.
d) y = Sgn f(x) fonksiyonu; f(x) = 0 denkleminin köklerinde süreksizdir.
Örnek : y=Sgn(x + 1) fonksiyonu x + 1 = 0 den x = -1 noktas›nda süreksizdir.
e) y = [|f(x)|] fonksiyonu f(x) D Z olacak ﬂekilde seçilen x D R ler için süreksiz
olabilir.
Örnek : y = 2x
3
fonksiyonu x = 3, 6, 9, .... noktalar›nda süreksizdir.
Ancak y = (x - 1)2
fonksiyonu x = 1 için (x - 1)2 D Z
oldu¤u hâlde
x = 1 noktas›nda süreklidir.
➯
O hâlde (e) deki durumu süreklilik tan›m›n› kullanarak incelemek daha do¤rudur.
Örnek : f : R A R fonksiyonu,
x2 - 1 ,
x-1
2,
f(x) =
2
-x - 2x + 5 ,
x < 1 ise
x = 1 ise
x > 1 ise
ile tan›mlans›n. f fonksiyonunun x0 = 1 noktas›nda sürekli olup olmad›¤›n› bulunuz.
Çözüm : lim f(x) = lim x2 - 1 = lim (x - 1) (x + 1) = lim (x + 1) = 2
xA1xA1- x - 1
xA1xA1x-1
+
+
lim+ f(x)= lim+ (- x2 - 2x + 5) = -(1 ) 2 - 2 (1 ) + 5 = -1 -2 +5 = 2
xA1
xA1
f(1) = 2
lim f(x) = 2 = f(1)
xA1
Oldu¤undan f(x) fonksiyonu x0 = 1 noktas›nda süreklidir.
85
MATEMAT‹K 7
g:RAR
Örnek : g(x) = Sgn (x - 2)2 ile tan›mlans›n g fonksiyonu x = 2 noktas›nda
0
sürekli midir?
Çözüm :
lim Sgn (x - 2)2 = Sgn (2- - 2) 2 = Sgn (-0,0....1) 2 = 1
xA2-
lim Sgn (x - 2)2 = Sgn (2+ - 2) 2 = Sgn (0,0....1) 2 = 1
xA2+
g(2) = Sgn (2 -2) 2 = 0
lim g(x) & g(2) oldu¤undan
xA2
g(x) fonksiyonu x0 = 2 noktas›nda sürekli de¤ildir.
Teorem : A R, x0 D A olmak üzere
f : A A R ve g : A A R fonksiyonlar› x0 noktas›nda sürekli iseler.
1) f + g fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
2) f . g fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
3) x D A için g (x) ≠ 0 olmak üzere, gf fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
4) a D R olmak üzere, a . f fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
5) f(A) A ise gof fonksiyonu x0 noktas›nda süreklidir.
Örnek : h : R A R
h(x) = [| x - 1 |] fonksiyonu x = 1 noktas›nda sürekli midir?
lim- h(x) = [|1- - 1|]= -1
Çözüm : xA1
lim h(x) = [|1+ - 1|] = 0
xA1+
O hâlde h(x) fonksiyonu x = 1 noktas›nda sürekli de¤ildir.
86
MATEMAT‹K 7
Örnek : Aﬂa¤›daki ﬂekillere göre fonksiyonlar›n hangi noktalarda süreksiz oldu¤unu
gösterelim.
Çözüm : A) ﬁekile göre f(2) yok, Bu durumda f, x=2 noktas›nda süreksiz.
B) ﬁekile göre f(2) var. Ancak lim
f(x) yok. Bu durumda f, x=2 noktas›nda
xA2
süreksiz.
SÜREKS‹ZL‹K ÇEﬁ‹TLER‹
\
A R ve f: AAR bir fonksiyon olsun.
f(x) = LD R fakat lim
lim
f(x) ≠ f(a) ise
xAa
xAa
ise f fonksiyonu x= a noktas›nda kald›r›labilir bir süreksizli¤i vard›r.
Örnek : f(x) =
x + 1,
4,
x2 + x,
x < 1 ise
x = 1 ise
x >1 ise
fonksiyonunun x = 1 noktas›ndaki süreklilik durumunu araﬂt›r›n›z.
Çözüm: lim- x + 1 = 2
xA1
lim+ 12 + 1 = 2
lim
f(x) = 2
xA1
xA1
Ancak, f(1) = 4
lim f(x) & f(1)
xA1
x = 1 noktas›ndan fonksiyonun kald›r›labilir süreksizli¤i vard›r.
87
MATEMAT‹K 7
\
A R
ve
f : A A R bir fonksiyon olsun.
f ( a ) D R, lim- f(x) = L1 D R ,
xAa
f
lim f(x) = L2 D R v e
xAa +
L1 & L 2
ise
fonksiyonunun x = a noktas›nda s›çramal› süreksizli¤e sahiptir.
Örnek : f(x) = Sgn (x + 1) fonksiyonunda x = -1 noktas›nda ne tür süreksizli¤e
sahiptir?
Çözüm : lim- f(x) = Sgn (-1- + 1) = -1
xA-1
lim f(x) = Sgn (-1+ + 1) = 0
xA-1+
-1 ≠ 0
O hâlde fonksiyon s›çramal› süreksizli¤e sahiptir.
\
A R
E¤er
biri +'
ve
f : AAR
xAa
için fonksiyonu sa¤dan ya da soldan limitlerinden en az
ya da
süreksizli¤i
bir fonksiyon olsun.
-'
oluyorsa f fonksiyonu
x = a da sonsuz
vard›r, denir.
Örnek : f : R A R,
f(x) = 1
x
fonksiyonunun x = 0 daki süreksizlik türünü belirtiniz.
Çözüm : lim+ f(x) = 1+ = +'
xA0
0
lim f(x) = 1- = -'
xA00
oldu¤undan f fonksiyonunun x = 0 noktas›nda sonsuz süreksizli¤i vard›r.
88
MATEMAT‹K 7
SÜREKL‹L‹K ‹LE ‹LG‹L‹ ÖRNEKLER
Süreklilik tan›m›ndan faydalanarak aﬂa¤›daki fonksiyonlar›n belirtilen noktalarda
sürekli olup olmad›klarn›› araﬂt›rn››z.
1) f(x) = Sgn x, x0 = 0
Çözüm: lim+ f(x) = Sgn (0+) = +1
xA0
lim f(x) = Sgn (0-) = -1
xA0+
lim+ f(x) lim- f(x)
xA0
xA0
Limit yoktur. O hâlde x0 = 0 noktas›nda fonksiyon sürekli de¤ildir.
2 ) f(x) =
1 , x0 = 2
x-2
1 = 1 = +'
0+
x-2
lim 1 = - 1 = 1- = -'
xA2- x - 2
2 -2 0
Çözüm: lim+
xA2
Limit yok x = 2 noktas›nda sürekli de¤ildir.
3 ) f(x) = x , x0 = 0
Çözüm: lim+ (+x) = 0
xA0
lim- (-x) = 0
lim
f(x) = 0 = f(0)
xA0
x0 = 0 noktas›nda f(x) süreklidir.
xA0
f(0) = 0 = 0
4 ) f(x) = Sgn (x + 1) , x0 = -1
Çözüm: Sgn (-1) + + 1 = Sgn (0+) = 1
lim f(x) & lim - f(x)
xA(-1)
Sgn (-1) - + 1 = Sgn (0-) = -1 xA(-1)+
Limit yok x0 = -1 noktas›nda sürekli de¤ildir.
89
MATEMAT‹K 7
1,
x≤3
5 ) f(x) = ax + b, 3 < x < 5
7,
x≥5
f(x) nin R de sürekli olmas› için a ve b
ise
ne olmal›d›r?
Çözüm: lim- f(x) =1, lim+ f(x) = 3a+b, lim- f(x) =5a+b, lim+ f(x) =7, f(3) =1, f (5) =7
xA3
xA3
xA5
xA5
5a + b = 7
3a + b = 1
__________
2a = 6
a=3
ve b = -8
lim f(x) =lim- f(x) = f(3) 3a + b
xA3+
xA3
lim f(x) =lim- f(x) = f(5) 5a + b
xA5 +
6 ) f(x) =
xA5
1
fonksiyonlar›n sürekli oldu¤u kümeyi belirtiniz.
x2 - 7x + 10
f(x) in sürekli oldu¤u aral›k payday› s›f›r
Çözüm: Payda x2 - 7x + 10
(x - 5) (x - 2) = 0 yapmayan de¤erler oldu¤undan, foksiyonun
x = 5 ve x = 2 sürekli oldu¤u aral›k, R- 2 , 5
7 ) f(x) = -x2 + 4 fonksiyonlar›n sürekli oldu¤u kümeyi belirtiniz.
Çözüm: Sürekli oldu¤u aral›k;
-x2 + 4 ≥ 0
-x2 + 4 = 0
x2 = 4
x1,2 = ±2
x
-x2+4
-∞
- 2
-
0
+
2
+∞
0
-
TANIM BÖLGES‹
Sürekli oldu¤u aral›k {x : -2 ≤ x ≤ 2, x DR }
90
MATEMAT‹K 7
8 ) f(x) =
1
fonksiyonunun sürekli oldu¤u aral›k nedir?
x2 - x
Çözüm: Sürekli oldu¤u aral›k;
x2 - x > 0
x2 - x = 0
x(x - 1) = 0
x=0,x=1
Sürekli oldu¤u aral›k {x : x < 0,
x > 1, x D R }
9 ) f : R A R fonksiyonu
f(x) =
x-1
,
x-1
1 ,
x1
ise
x=1
ise
ile tan›mlan›yor, f fonksiyonunun süreksiz oldu¤u noktalar kümesini bulunuz.
Çözüm: Kritik nokta x = 1 oldu¤undan,
x-1
-(x -1)
= lim= -1
xA1
x-1
x-1
Limit yok. x=1 noktas›nda sürekli de¤il.
x-1
x
1
= lim+
=1
lim+
xA1 x - 1
xA1 x - 1
limxA1
10)
ﬁekildeki h fonksiyonu x = 1
noktas›nda sürekli midir?
91
MATEMAT‹K 7
Çözüm: lim- h(x) = 3 = lim+ h(x)
xA1
xA1
Ancak h(1) = 1
oldu¤u için h fonksiyonu x = 1 noktas›nda sürekli de¤ildir.
11) Aﬂa¤›da verilen f, g, h, e fonksiyonlar›n› inceleyiniz.
f : [a, b] A R sürekli
g : [a, b) A R sürekli
h : (a, b) A R sürekli
lim e(x) = 2
xA1-
lim e(x) = 0
xA1+
e (1) = 0
x = 1 noktas›nda e fonksiyonu sürekli
de¤il.
92
MATEMAT‹K 7
ÖZET
Bu bölümde, aﬂa¤›daki konular ö¤rencilere verilmeye çal›ﬂ›lm›ﬂt›r.
Limit kavram› ile süreklilik kavram›n›n birbiriyle yak›n iliﬂkisi anlat›lm›ﬂt›r.
Sa¤dan ve soldan süreklilik tan›mlar› verilmiﬂtir.
Fonksiyonlar›n süreksiz oldu¤u noktalar› bulmak için gerekli tan›m ve örnek çözümleri
verilmiﬂtir.
Süreksizlik çeﬂitleri hakk›nda bilgi verilmiﬂ örneklerle, ö¤rencilerin kavrama
kabiliyetleri h›zland›r›lm›ﬂt›r.
93
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹ (3)
✎
1. ﬁekilde f fonksiyonunun grafi¤i verilmiﬂtir. Bu fonksiyonun süreksiz oldu¤u
noktalar kümesi hangisidir?
A) {-2, -1, 2}
B) {-1, 1}
C) {-2, -1, 3}
D) {-2, -1, 0, 1, 3}
2x ,
x > -3 ise
2. f(x) = 3
1 , x ) -3 ise
x2 - 9
fonksiyonu hangi x de¤erinde süreksizdir.
A) -3
B) -2
C) 0
D) 5
3. f(x) = Ln (4 - x2) kural› ile verilen f fonksiyonu aﬂa¤›daki kümelerden hangisinde
süreklidir?
A) [-2, 2] B) ] –∞, 2]
4. f(x) =
x2 + kx ,
kx + a ,
C) [2, ∞]
D) (–2, 2)
x ≥ 1 ise
x < 1 ise
fonksiyonu R de sürekli ise a say›s› kaçt›r?
A) -2
94
B) -1
C) 0
D) 1
MATEMAT‹K 7
x2 + 1 ,
5. f(x) =
3 ,
3
x + x2,
x < 1 ise
x = 1 ise
x > 1 ise
fonksiyonunda x = 1 noktas› için aﬂa¤›dakilerden hangisi söylenir?
A) Fonksiyonun x = 1 noktas›nda limiti yoktur.
B) Fonksiyonu x , 1 noktas›nda süreklidir.
C) Fonksiyonun x = 1 noktas›nda kald›r›labilir süreksizli¤i vard›r.
D) Fonksiyonun x = 1 noktas›nda s›çramal› süreksizli¤i vard›r.
6. f : R A R
1
f(x) = x2 ,
x,
x > 0, ise
x<0
ise
fonksiyonunda x = 0 noktas› için aﬂa¤›dakilerden hangisi söylenir?
A) Fonksiyonun x = 0 noktas›nda limiti vard›r.
B) Fonksiyonun x = 0 noktas›nda süreklidir.
C) Fonksiyonun x = 0 noktas›nda kald›r›labilir süreksizli¤i vard›r.
D) Fonksiyonun x = 0 noktas›nda sonsuz süreksizli¤i vard›r.
95
MATEMAT‹K 7
DE⁄ERLEND‹RME TEST‹N‹N ÇÖZÜMLER‹
1. x = -2, -1, 0, 1, 3 noktalar›nda tan›ml› de¤ildir. O hâlde bu noktalar süreksizlik noktalar›d›r.
Do¤ru Cevap D
2. Kritik noktaya bak, x=-3 için.
lim f(x) & lim+ f(x)
xA- 3-
3. Lnf(x) de sürekli oldu¤u noktalar
Do¤ru cevap A
xA- 3
f(x) > 0
O hâlde, 4 - x2 > 0
-2
x
4-x2
-
0
2
+
0
-
Ç.K = (-2, 2)
çözüm
Do¤ru cevap D
4.
1+k=k+a
lim
f(x) = lim
f(x) olmalı.
xA+
xA-
a=1
1
5.
lim- x2 + 1 = 2, lim+ x3 + x2 = 2
xA1
xA1
Do¤ru cevap D
1
O hâlde kald›r›labilir süreksizli¤i vard›r.
lim f(x) = 3
xA1
Do¤ru cevap C
6.
1 = +'
lim
xA+0 x2
lim- x = 0
xA0
96
Sonsuz süreksizli¤i vard›r.
Do¤ru cevap D
MATEMAT‹K 7
SÖZLÜK
-Aaç›
: Baﬂlang›ç noktalar› ortak olan, iki ›ﬂ›n›n bileﬂimi.
aral›k
: ‹ki say› aras›ndaki aç›kl›k.
artan fonksiyon
: x1, x2 D [a,b] için
x1<x2 ise f(x1) < f(x2) koﬂulunu sa¤layan fonksiyon.
ardaﬂ›k türevi
: Bir fonksiyonun birinci, ikinci, üçüncü, ..., n, türevleri.
asimptot
: Bir e¤rinin sonsuzda yaklaﬂt›¤› e¤ri veya do¤ru.
azalan fonksiyon
: x1, x2 D [a,b] için
x1<x2 ise f(x1) > f(x2) koﬂulunu sa¤layan fonksiyon.
-B0 , ' , '-', 0.', 00, 1', ' 0 ﬂeklinde ifade edilir.
0 '
belirsiz ifade
:
birim çember
: Merkezi orjinde bulunan ve yarçap› 1 birim olan çember.
büküm noktas›
: Bir fonksiyonun çukurlu¤unun yön de¤iﬂtirdi¤i nokta.
- C-Ç-D çift fonksiyon
: Tan›m kümesindeki her x eleman için f(-x) = f(x) olan
fonksiyon.
determinant
: Karesel matrisleri, reel say›lara dönüﬂtüren özel fonksiyon.
de¤iﬂken
: De¤iﬂik say› de¤erleri alabilen nicelik.
diferansiyel
: y= f(x) fonksiyonu için dy =f' (x).dx eﬂitli¤indeki dy ifadesi.
do¤al logaritma
fonksiyonu
: Taban› e olan logaritma fonksiyonu.
dönel cisim
: Düzlemsel bir bölgenin, bir do¤ru etraf›nda 360° dönmesinden
oluﬂan cisim.
97
MATEMAT‹K 7
- E-F-G e¤im
: Analitik düzlemde bir do¤runun 0x ekseni ile yapt›¤›, pozitif
yönlü aç›n›n tanjant›.
esas ölçü
: S›f›r ile 360° aras›nda olan aç› ya da yay ölçüsü.
ekstremum de¤er
: Bir fonksiyonun grafi¤inin uç noktalar›.
grafik
: Bir fonksiyonun belirtti¤i ikililere, düzlemde karﬂ›l›k gelen
noktalar›n kümesi.
- H-I-‹ integral
: Türevi bilinen bir fonksiyonun asl›n› bulma.
integrand
:
f(x) dx ifadesindeki f(x) fonksiyonu.
integrasyon sabiti
:
f(x) dx = F(x) + C = eﬂitli¤indeki C reel say›s›.
- K-L kapal› fonksiyon
: F(x,y) = 0 biçiminde yaz›lan fonksiyon.
kofaktör
: Bir kare matrisin aij teriminin kofaktörü, aij nin minörü ile
(-1)i+j nin çarp›m›d›r.
limit
: De¤iﬂken bir niceli¤in, istenilene yak›n olarak yaklaﬂt›¤› baﬂka
bir nicelik.
logaritma fonksiyonu: Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu.
- M-N maksimum de¤er
: Bir fonksionun belli bir aral›ktaki en büyük de¤er.
mxn türünde matris : m tane sat›r ve n tane sütundan oluﬂan matris.
98
minumum de¤er
: Bir fonksiyonun belli bir aral›ktaki en küçük de¤eri.
minör
: Bir kare matrisin, aij teriminin bulundu¤u i. sat›r ile j. sütunun
at›lmas› sonucu, geriye kalan matrisin determinant de¤eri.
norm
: Uzunluk.
normal
: Bir e¤rinin te¤etine, de¤me noktas›nda dik olan do¤ru.
MATEMAT‹K 7
- P-R-S periyodik fonksiyon : Bir f fonksiyonunun tan›m kümesindeki her x eleman› için
f(x+T) = f(x) eﬂitli¤ini gerçekleyen f fonksiyonu.
parametre
: Matematiksel bir denklemin, katsay›lar›na giren de¤iﬂken
nicelik.
sarrus kural›
: Üçüncü mertebeden bir determinant› hesaplama yöntemi.
skaler
: Reel say›.
-Ttek fonksiyon
: Tan›m kümesindeki her x eleman› için f(-x) = -f(x) olan
fonksiyon.
ters matris
: Çarp›mlar› birim matrisi veren iki matrisden biri.
türev
: Bir fonksiyondan limit ile elde edilen yeni bir fonksiyon.
transpoz
: Bir matrisin sat›rlar›n›n sütun yap›lmas› ile elde edilen matris.
- Ü-Y üs
: am say›s›ndaki m.
üstel denklem
: Bilinmeyeni, denklemin üstünde olan denklem.
yerel ekstremum
: Bir fonksiyonun belli bir aral›ktaki en büyük veya en küçük
de¤eri.
99
MATEMAT‹K 7
‹ﬁARETLER
100
N
: Do¤al say›lar kümesi.
N+
: Pozitif do¤al say›lar kümesi.
Z
: Tamsay›lar kümesi
Q
: Rasyonel say›lar kümesi.
R
: Reel say›lar kümesi.
/
: Pi say›s› = 3,1415 926...
e
: e say›s› e = 2, 718281...

: ise

: Çift gerektirme.

: Baz›.

: Her.
|AB|
: [AB] nin uzunlu¤u
A(a,b)
: Koordinatlar› a ve b olan A noktas›.
EBAS
: En büyük alt s›n›r.
EKÜS
: En küçük alt s›n›r.
I, IA
: Birim fonksiyon.
|f|
: f fonksiyonun mutlak de¤eri.
Sgnf
: f fonksiyonun iﬂaret fonksiyonu.
[ ]
: Tam k›s›m sembolü.
hoga
: a taban›na göre lo¤aritma fonksiyonu.
hn
: e taban›na göre logaritma fonksiyonu.
f' (x0)
: f fonksiyonun x0 noktas›ndaki türevi.
MATEMAT‹K 7
d f (x )
dx
: f fonksiyonunun x de¤iﬂkenine göre türevi.
dy
dx
: y nin x de¤iﬂkenine göre türevi.
d n f(x )
: f fonksiyonunun x de¤iﬂkenine göre n. basamaktan türevi.
dx n
d f(x)
: f fonksiyonun x de¤iﬂkenine göre diferansiyeli.
: belirsiz integral iﬂareti.
a
: Belirli (s›n›rl›) integral iﬂareti.
b
6x k
: [xk-1, xk+1] alt aral›¤›n›n uzunlu¤u.
A(f,p)
: f nin p bölüntüsüne göre alt toplam›.
Ü(f,p)
: f nin p bölüntüsüne göre üst toplam›.
R(f,p)
: f nin p bölüm türüne göre Riemann toplam›.
[aij]mxn
: m x n türünde matris.
aij
: Matrisin i. sat›r›nda ve j. sütununda bulunan eleman.
A-1
: A kare matrisinin çarpma iﬂlemine göre tersi.
AT
: A matrisinin devri¤i (transpozu)
|A|
: A kare matrisinin determinant›.
Mij
: Matrisinin aij eleman›n›n minörü.
Rank (A) : A matrisinin rank›
Aij
: Matrisinin aij eleman››n kofaktörü (eﬂ çarpan›)
Aij = (-1)i+j . Mij
101
MATEMAT‹K 7
KAYNAKÇA
Ellis, Robert, Gulick, Denny; Calculus One and Several Variables, London 1990.
Thomas, B. George; Thomas Üniversite Matemati¤i.
F›scher and Ziebur, Calculus and Analyt›c Geometry, Prentice Hall.
102
GÜNEY KIBRIS
RUM YÖNET‹M‹
NÖC: Nahcivan Özerk Cumhuriyeti
(Azerbaycan)
İl merkezleri
Başkent (Ankara)
(A
ZE N
RB .Ö
AY .C
CA
N)
Ö⁄RETMEN MARﬁI
Aln›m›zda bilgilerden bir çelenk,
Nura do¤ru can atan Türk genciyiz.
Yeryüzünde yoktur, olmaz Türk’e denk;
Korku bilmez soyumuz.
ﬁanl› yurdum, her buca¤›n ﬂanla dolsun;
Yurdum, seni yüceltmeye andlar olsun.
Candan açt›k cehle karﬂ› bir savaﬂ,
Ey bu yolda and içen genç arkadaﬂ!
Ö¤ren, ö¤ret hakk› halka, gürle coﬂ;
Durma durma koﬂ.
ﬁanl› yurdum, her buca¤›n ﬂanla dolsun;
Yurdum, seni yüceltmeye andlar olsun.
‹smail Hikmet ERTAYLAN

Download

ba. forma - Açık Lise TV

Products

Support

ba. forma - Açık Lise TV

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib