IST522 - Rassal Süreçler 21/04/2017 Ders Notları Elmedin Zukoviç

IST522 - Rassal Süreçler
21/04/2017 Ders Notları
Elmedin Zukoviç
Sürekli zamanlı markov zincirleri
{X(t) , t ≥ 0}
P(X(t+s))= J X(s)= i,X(U)=U, 0 ≤U<S)= P(X(t+s)= J(X(S)=i)
P(T>15|T>10) = P(T>5)→P(Ti>s+t|Ti>5) = P (Ti>t)
→Ti » Exp
Sürekli zamanlı bir markov zinciri aşağıdaki özelliklere sahiptir.
1) Her hangi bir durumda geçirilen zaman ortalaması üssel dağlıma sahiptir
2) Süreç(i) durumunda Pij olasılığı ile J durumuna geçmekte ve Pij değerleri aşağdki gibi
olmalıdır Pij=0
∑
=1
EX.
2m
→
İşler exp (λ) dağlımına uygun aralıklarla gelmektedir. Sadece işçi boşken işler kabul edilir.
0: işçi boş olduğu durumda
1: işçi 1 makinada çalıştığına
2: işçi 2 makinada çalıştığındaμ
V0= λ
T0- Exp(λ) ( yeni bir iş gelme zamanı)
V1= μ1
T1- Exp(λ1)
V2= μ2
T2- Exp(μ2)
EX: M/M/1
Müşteriler λ hızıyla üssel dağılımına uygun şekilde gelmekte ve servis süresi ise
Exp (μ) dağılımına uymakta
T1= μ μ (λ+ μ)→ Exp(λ+ μ)
P12=
P01=
T2=Exp (λ+ μ)
P23=
qij= Yi + Pij
Vi=∑
qij: i den j ye geçme hızı (sıklığı)
Pij=
( )
ı) lim
→
( )
ıı) lim
P21=
→
q12= λ
=Vi
=qij
Pij (t+s)= ∑
( )
( )
Chapma denklemleri
lim
(
)
( )
lim
→
Pij (t)= ∑
( )−
lim
→
/
( ) (
( ) kolmogorov equivalent
( ) = lim
( )−
→
lim
→
0=∑
( )
( )=
( )
Kolmogorov forward equivalent
Pij(t)= ∑
( )−
0=∑
−
∑
=
( )
limit olasılıklar denklemi
Πo *λ-Π2 *μ2
Πo +Π1+ Π2 =1
Π1 * μ1 -Π0 * λ
Π2= Πo*
∑
=1
+
Πo(1+
Π1 = Πo*
) Ex:1 için
M/M/1 örnek için
Πo* λ= Π1* μ
Π1 (λ+ μ)= Πo λ + Π2* μ → Π2= Πo*( )²
Π2 (λ+ μ)= Π1 λ + Π3 * μ → Π3= Πo*( )³
Πi (λ+ μ)= Πi-1 λ + Πi+1 * μ → Πi= Πo*( )ⁱ
∑∞
=1
1 işçi
→ ∑∞
2 işçi
ⁱ=
=1
=
Π1,0 * μ1 = Π0,0 * λ + Π1,1 + μ2
Π0,1 *( λ+ μ2)
Π1,1(μ1+ μ2)
Π0,0 + Π0,1+ Π1,0 + Π1,1=1
Ex: M/M/C
Genel c