tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim

T.C.
BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA YAKLAŞIM
DOKTORA TEZİ
HÜSEYİN KOÇ
BALIKESİR, MAYIS 2015
T.C.
BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA YAKLAŞIM
DOKTORA TEZİ
HÜSEYİN KOÇ
BALIKESİR, MAYIS 2015
Bu tez çalışması Balıkesir Üniversitesi Rektörlüğü Bilimsel Araştırma
Projeleri tarafından 2015/132 nolu proje ile desteklenmiştir.
ÖZET
ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA YAKLAŞIM
DOKTORA TEZİ
HÜSEYİN KOÇ
BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
(TEZ DANIŞMANI: DOÇ. DR. RAMAZAN AKGÜN)
BALIKESİR, MAYIS 2015
Bu çalışma 4 bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, bazı temel tanım ve teoremler ile bu çalışmada bize
gerekli eşitsizlikler verilmiştir.
İkinci bölümde önce klasik anlamda Orlicz sınıfı ve L*ϕ Orlicz uzayı
tanımlanmıştır. Sonra L*ϕ Orlicz uzayından daha geniş ve benzer özelliklere sahip
olan L**
ϕ Orlicz uzayı tanımlanmış ve bu uzayın temel özellikleri ele alınmıştır.
Üçüncü bölümde konvekslik olma şartı bulunmayan Young fonksiyonları
ile üretilen L**
ϕ Orlicz uzaylarında cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı anda
yaklaşım problemleri ifade edilmiş ve elde edilen sonuçlar ispatlanmıştır.
Dördüncü bölümde ise Muckenhoupt koşulunu sağlayan ağırlıklarla
oluşturulan L∗∗
ϕ ,ω ağırlıklı Orlicz uzaylarında aynı anda trigonometrik yaklaşım
teoremleri ispatlanmıştır.
ANAHTAR KELİMELER: Orlicz sınıfı, Orlicz uzayı, cebirsel/trigonometrik
polinomlarla yaklaşım, aynı anda yaklaşım, Muckenhoupt ağırlıkları, düzgünlük
modülü, Jackson ve Bernstein eşitsizlikleri.
i
ABSTRACT
APPROXIMATION BY POLYNOMIALS IN ORLICZ SPACES
PH. D. THESIS
HÜSEYİN KOÇ
BALIKESİR UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE
MATHEMATICS
(SUPERVISOR: ASSOC. PROF. DR. RAMAZAN AKGÜN)
BALIKESİR, MAY 2015
This thesis consists of four chapters.
In the first chapter, some basic definitions, theorems and some inequalities
which are used in this thesis are given.
In second chapter firstly Orlicz classes and classical Orlicz spaces L*ϕ are
defined. Later definition of another class of functions which is wider than the
classical Orlicz spaces L*ϕ is given. The wider class is denoted by L**
ϕ and the
generating function ϕ is not necessary to be convex. Moreover its general
properties and some applications of the class L**
ϕ are investigated.
In third chapter some theorems on simultaneous approximation by
Orlicz spaces L**
ϕ constructed by
trigonometric or algebraic polynomials in
Young functions belonging to a reasonably wide class are proved.
In fourth chapter main theorems of simultaneous trigonometric
approximation with Muckenhoupt weights in weighted Orlicz spaces L**
ϕ ,ω with a
generating Young function ϕ that may be non convex are proved.
KEYWORDS: Orlicz class, Orlicz space, trigonometric/algebraic polynomial
approximation, simultaneous approximation, Muckenhoupt weights, modulus of
smoothness, Jackson and Bernstein inequalities.
ii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .................................................................................................................. i
ABSTRACT ....................................................................................................... ii
İÇİNDEKİLER ................................................................................................. iii
SEMBOL LİSTESİ ........................................................................................... iv
ÖNSÖZ ............................................................................................................... v
1. ÖN BİLGİLER .............................................................................................. 1
1.1 Sınırlı Küme ve Tamamen Sınırlılık ...................................................... 1
1.2 Kompakt Küme ..................................................................................... 1
1.3 Cebirsel Polinom ve Trigonometrik Polinom ......................................... 1
1.4 Mutlak Sürekli Fonksiyon ...................................................................... 2
1.5 Weierstrass Yaklaşım Teoremi .............................................................. 2
1.6 En İyi Yaklaşım ..................................................................................... 2
1.7 Aynı Anda Yaklaşım ............................................................................. 3
1.8 Konveks Fonksiyon ............................................................................... 3
1.9
N − Fonksiyonu ve Tümleyen N − Fonksiyonu...................................... 3
1.10 Young Eşitsizliği ................................................................................... 4
1.11 ∆ 2 Koşulu ............................................................................................. 4
1.12 Lipschitz Koşulu .................................................................................... 4
2. L**
ϕ ORLICZ UZAYI ..................................................................................... 5
2.1 Giriş ...................................................................................................... 5
2.2 Gösterimler............................................................................................ 6
2.3
L**
ϕ Fonksiyon Uzayı .............................................................................. 7
2.4
L**
ϕ Uzayının Bazı Özellikleri .............................................................. 16
2.5 Uygulamalar ........................................................................................ 24
3. ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA AYNI ANDA
YAKLAŞIM ..................................................................................................... 28
3.1 Giriş .................................................................................................... 28
3.2 Ana Sonuçlar ....................................................................................... 31
L∗∗
3.3
ϕ Uzayında K Fonksiyoneli ve Düzgünlük Modülü ......................... 31
3.4 Ana Sonuçların İspatı........................................................................... 40
4. AĞIRLIKLI ORLICZ UZAYLARINDA AYNI ANDA YAKLAŞIM...... 50
4.1 Giriş .................................................................................................... 50
4.2 Ana Sonuçlar ve İspatları ..................................................................... 55
5. SONUÇ VE ÖNERİLER ............................................................................ 61
6. KAYNAKLAR ............................................................................................ 62
iii
SEMBOL LİSTESİ
Simge
Adı
N
Doğal sayılar kümesi
R
Reel sayılar kümesi
I
[a, b] ⊂ R aralığı
T
2π uzunluklu aralık
Tn
n dereceli trigonometrik polinom
Pn
n dereceli cebirsel polinom
ϕ
Young fonksiyonu
ψ
Tümleyen Young fonksiyonu
En ( f )
En iyi yaklaşım sayısı
ω
Ağırlık fonksiyonu
Ap
Muckenhoupt sınıfı
Lϕ
Orlicz sınıfı
L*ϕ
Klasik Orlicz uzayı
L**
ϕ
Genelleştirilmiş Orlicz uzayı
Lipα
Lipschitz sınıfı
K rυ,ϕ ( f , t )
K − fonksiyoneli
ωr , ϕ ( f , t )
f ∈ L∗∗
ϕ için r inci düzgünlük modülü
Ωr ( f , δ ) ϕ ,ω
f ∈ L∗∗
ϕ ,ω için r inci düzgünlük modülü
L∗ϕ ,ω
Klasik ağırlıklı Orlicz uzayı
L**
ϕ ,ω
Genelleştirilmiş ağırlıklı Orlicz uzayı
Sn ( f )
f nin Fourier serisinin n. kısmi toplamı
Fn (u )
Fejer çekirdeği
K n (u )
Drichlet çekirdeği
iv
ÖNSÖZ
Bu çalışmamda da engin matematik bilgisini ve deneyimini hiçbir zaman
esirgemeyen; bilim öğrenmede ve üretmede rehberim, danışman hocam Doç. Dr.
Ramazan AKGÜN’e gönülden teşekkürlerimi sunarım.
Lisansüstü eğitimim süresince kendimi geliştirmemde büyük katkıları olan
değerli hocalarım; Prof. Dr. Daniyal İSRAFİLZADE, Prof. Dr. Ali GÜVEN ve
Doç. Dr. Yunus Emre YILDIRIR’a teşekkür ederim.
Manevi desteklerini esirgemeyen ağabeyim Ahmet KOÇ, ablam Emine
BERBEROĞLU ve anne-babama sevgi ve saygılarımı sunar teşekkür ederim.
Lisansüstü eğitimi yapmamda her zaman destek olan ve ailemle
geçirdiğim zamanımın bir kısmını doktora eğitimime ayırmamı sabırla karşılayıp
hoşgörü gösteren meslektaşım, canım kızım Aybüke ile canım oğlum Aybars’ın
annesi, çok kıymetli eşim Şefika KOÇ’a teşekkürlerimi sunarım. Var olun…
v
1. ÖN BİLGİLER
1.1
Sınırlı Küme ve Tamamen Sınırlılık
( M , d ) bir metrik uzay ve A ⊂ M olsun. ∀x, y ∈ A için d ( x, y ) < c olacak
şekilde bir c > 0 sayısı varsa A ya sınırlı küme denir [1, s.29].
ε > 0 verildiğinde A ⊆ ∪ { B( xk ; ε ) :1 ≤ k ≤ n} koşulunu sağlayan A nın sonlu bir
E = { x1 , x2 ,..., xn } altkümesine A için ε − ağ adı verilir. ε > 0 verildiğinde A için
ε − ağ varsa yani herhangi bir ε > 0 için A , merkezleri A içinde olan ε yarıçaplı
açık yuvarların sonlu bir birleşimi tarafından örtülebiliyorsa, A ya tamamen sınırlı
küme denir [1, s.30].
1.2
Kompakt Küme
( M , d ) bir metrik uzay olsun. Bir A ⊂ M kümesindeki her { xn } dizisi A nın
bir elemanına yakınsayan bir alt diziye sahipse A ya kompakt küme denir [1, s.34].
1.3
Cebirsel Polinom ve Trigonometrik Polinom
a0 , a1,..., an ∈ R ve an ≠ 0 olmak üzere,
n
Pn ( x) = ∑ ak x k
k =0
fonksiyonuna n dereceli bir cebirsel polinom denir.
n ∈ N , ak , bk ∈ R, k = 1, 2,..., n ve an + bn > 0 olmak üzere,
Tn ( x) =
a0 n
+ ∑ ( ak cos kx + bk sin kx )
2 k =1
1
fonksiyonuna n dereceli reel trigonometrik polinom denir [3, s.1].
1.4
Mutlak Sürekli Fonksiyon
f : [ a, b] → R fonksiyonu verilmiş olsun. Her ε > 0 için [ a, b ] aralığının
n
∑ (b − a ) < δ
i
i
biçimindeki her
i =1
n
∑
{( a , b )}
n
i
i
i =1
ayrık alt aralıkları için
f (bi ) − f (ai ) < ε olacak şekilde bir δ > 0 varsa f fonksiyonu [ a, b ] üzerinde
i =1
mutlak süreklidir denir.
1.5
Weierstrass Yaklaşım Teoremi
Teorem 1.5.1: [ a, b ] aralığında sürekli f reel fonksiyonlarına düzgün
yaklaşan bir P cebirsel polinomu vardır. Yani ∀ε > 0 için
f ( x ) − P( x) < ε , a ≤ x ≤ b
koşulunu sağlayan n dereceli bir P cebirsel polinomu vardır [3, s.2].
Teorem 1.5.2 : T aralığında sürekli f fonksiyonlarına düzgün yaklaşan bir
T trigonometrik polinomu vardır. Yani ∀ε > 0 için
f ( x) − T ( x) < ε , x ∈ T
koşulunu sağlayan n dereceli bir T cebirsel polinomu vardır [3, s.2].
1.6
En İyi Yaklaşım
X bir normlu uzay, Y uzayı X in bir lineer alt uzayı ve f ∈ X olsun.
E ( f ) := E ( f , Y ) X := inf { f − P : P ∈ Y }
2
sayısına f nin Y alt uzayının elemanları ile en iyi yaklaşımı (yaklaşım hatası) denir
[3, s.82].
1.7
Aynı Anda Yaklaşım
Pn cebirsel polinomu f fonksiyonuna yaklaşıyor iken Pn in türevi f nin
türevine yaklaşıyor ise oluşan bu duruma aynı anda yaklaşım adı verilir [3, s.245].
1.8
Konveks Fonksiyon
Sürekli M : R → R fonksiyonu verildiğinde bütün u1 , u2 ∈ R değerleri için
u +u  1
M  1 2  ≤ [ M (u1 ) + M (u2 )]
 2  2
eşitsizliği sağlanıyorsa M fonksiyonuna konveks fonksiyon denir [2, s.1].
1.9
N − Fonksiyonu ve Tümleyen N − Fonksiyonu
Bir Φ(u ) fonksiyonu
u
Φ(u ) := ∫ ϕ (t )dt
0
gösterimine sahipse Φ(u ) fonksiyonuna N − fonksiyonu denir. Burada ϕ (t ), t ≥ 0
için sağ sürekli, t > 0 için azalmayan, pozitif ve ϕ (0) = 0,
ϕ (∞ ) := lim ϕ (t ) = ∞ koşullarını sağlayan bir fonksiyondur.
t →∞
ψ ( s ) := sup t , ( s ≥ 0)
ϕ ( t )≤s
olmak üzere
u
Ψ (u ) := ∫ψ ( s)ds
0
fonksiyonuna Φ (u ) fonksiyonunun tamamlayıcı (tümleyen) fonksiyonu denir [2,
s.11].
3
1.10
Young Eşitsizliği
ϕ (u ) ve ψ (u ) tümleyen N − fonksiyonları çifti ise
uv ≤ ϕ (u ) + ψ (v)
eşitsizliği bütün u , v değerleri için geçerlidir. Buna Young eşitsizliği denir [2, s.12].
1.11
∆ 2 Koşulu
ϕ (u ) bir N − fonksiyon olsun. Eğer
ϕ (2u ) ≤ kϕ (u ), (u ≥ u0 )
olacak şekilde bir k > 0 ve bir u0 ≥ 0 varsa ϕ (u ) fonksiyonu ∆ 2 koşulunu sağlar
denir [2, s.23].
1.12
Lipschitz Koşulu
f fonksiyonu [ a, b ] ⊂ R aralığında tanımlı olsun. Eğer her t1 , t2 ∈ [ a, b] için
f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ M x1 − x2
α
koşulunu sağlayacak biçimde ∃M > 0 varsa f fonksiyonu Lipschitz koşulunu
( Lipα koşulunu) sağlıyor denir [3, s.51].
4
2. L**ϕ ORLICZ UZAYI
2.1
Giriş
Bu bölümde klasik Orlicz uzayının bazı özelliklerini göz önüne alacağız.
Negatif olmayan, konveks, orijinde 0 olan bir ϕ (u ) fonksiyonu u → ∞ için
ϕ (u )
u
→ ∞ özelliğini sağlasın. ψ (u ) Young anlamında ϕ (u ) fonksiyonunun
tümleyeni olsun.
ϕ (u ) bir N − fonksiyonu olsun. Lϕ , I := [a, b] ⊂ R olmak üzere
ρ (u;ψ ) := ∫ ϕ  u ( x)  dx < ∞
I
koşulunu sağlayan ölçülebilir u : I → R fonksiyonlarının kümesi olsun. Lϕ
sınıflarına Orlicz sınıfı denir.
x : I → R fonksiyonu göz önüne alındığında ölçülebilir y (t ) ∈ L ψ ( a, b)
x ϕ = sup
∫ x(t ) y(t )dt < ∞
(2.1)
ρ ( y ,ψ ) ≤1 I
koşulunu sağlayan ölçülebilir x : I → R fonksiyonlarının sınıfı L*ϕ ile gösterilir.
Bu sınıf Orlicz uzayı olarak adlandırılır.
Eğer ϕ (u ) , ∆ 2 koşulunu sağlarsa Lϕ ve L*ϕ denk olurlar (çakışırlar) [2, s.23].
Biz bu bölümde L*ϕ Orlicz uzayından daha geniş olan L**
ϕ fonksiyon uzayı
hakkında bilgi vereceğiz.
Kolaylık olsun diye bu çalışmada her yerde C ve c ile değişik yerlerdeki
temel parametrelere bağlı farklı sabitler ifade edilecektir.
5
2.2
Gösterimler
(1) ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ], 0 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ( ya da benzer şekilde −∞ ≤ p1 ≤ p2 ≤ 0 )
ile x, (0, ∞) aralığında artarken ϕ ( x) x − p1 azalmayan, ϕ ( x) x − p2 artmayan koşullarını
sağlayan ϕ ( x) ≥ 0 çift fonksiyonların sınıfını gösteririz.
(2) ϕ ( x) ~ [ p1 , ∞ ] ile x, (0, ∞) aralığında artarken ϕ ( x) x − p1 azalmayan ϕ ( x)
fonksiyon sınıflarını gösteririz.
(3) ϕ ( x) ~ [ p1 , ∞ ile öyle bir N ≥ p1 pozitif sabiti vardır ki ϕ ( x) ~ [ p1 , N ]
özelliğinin sağlandığı ϕ ( x) fonksiyonlarının sınıfını gösteririz.
(4) ϕ ( x) ~ p1 , p2 , 0 ≤ p1 ≤ p2 < ∞ ( ya da benzer şekilde −∞ < p1 ≤ p2 ≤ 0 )
ile bir ε > 0 için ϕ ( x) ~ [ p1 + ε , p2 + ε ] koşulunun sağlandığı ϕ ( x) fonksiyonlarının
sınıfını gösteririz.
(5) Benzer şekilde p1 > p2 için ϕ ( x) ~ [ p2 , ∞ , ϕ ( x) ~ p1 , p2 ] tanımlanır.
M (a, b), 1 ≤ a ≤ b < ∞ ile 0 ≤ x < ∞ için ϕ (0) = 0 ve u → ∞ için
ϕ (2u ) = c.ϕ (u ) ⇒ ϕ (2u ) = O {ϕ (u )} ,
∞
ϕ (t )
∫t
b +1
u
u
ϕ (u ) 
dt = O  b  ,
 u 
ϕ (t )
∫t
a +1
1
ϕ (u ) 
dt = O  a 
 u 
(2.2)
(2.3)
(2.4)
koşullarını sağlayan, sürekli, azalmayan ϕ ( x) ≥ 0 fonksiyonlarının ailesini gösteririz.
Z ( a, b) ile yukarıdaki (2.2) ve (2.4) koşullarına ek olarak u → 0+ iken
ϕ (2u ) = O {ϕ (u )} ,
1
ϕ (t )
∫t
b +1
u
u
ϕ (t )
∫t
0
a +1
(2.5)
ϕ (u ) 
dt = O  b  ,
 u 
(2.6)
ϕ (u ) 
dt = O  a 
 u 
(2.7)
6
koşullarını sağlayan ϕ ( x) ∈ M (a, b) fonksiyonlarının ailesini gösteririz.
2.3
L**
ϕ Fonksiyon Uzayı
Önerme 2.3.1: Eğer ϕ ( x) ~ [a, b , 0 ≤ a < b < ∞ ve N herhangi pozitif sayı
ise ϕ ( x) , (− N , N ) aralığında mutlak süreklidir. Eğer ϕ ( x) ~ −∞, 0] ve ε herhangi
pozitif bir sayı ise ϕ ( x) , (ε , ∞) aralığında mutlak süreklidir.
İspat : Öncelikle ilk kısmı ispatlayalım. İkinci kısım ϕ ( x) ~ −∞, 0] için
benzer bir yol izlenebilir. ϕ ( x) = 0 almak genelliği bozmaz. ϕ ( x) (0, ∞) aralığında
artan olduğundan herhangi bir ε için öyle bir δ > 0 bulunabilir ki
δ = δ (ϕ , ε ), ϕ (δ ) < ε 2 olur.
(δ , N ) aralığını göz önüne alalım. Eğer δ ≤ x1 < x2 ≤ N ise
ϕ ( x2 )
b
2
x
≤
ϕ ( x1 )
x1b
(2.8)
,
{
}
ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 ) ≤ ϕ ( x2 ). ( x2 x1 ) − 1 ≤
b
{
≤ ϕ (δ ) δ b
}x
b
2
ϕ ( x1 )
x1b
x2b − x1b
− x1b = Kδ ,ϕ x2b − x1b
(2.9)
olur.
y = x b (0, N ) aralığında mutlak sürekli olduğunda, n herhangi bir tamsayı
olmak üzere
n
∑x
r +1
− xr < δ ′ = δ ′(ϕ , ε ), x ∈ (0, N )
1
ve
n
n
ε
r =1
r =1
2
∑ ϕ ( xr +1 ) − ϕ ( xr ) ≤ ϕ (δ ) + Kδ ,ϕ ∑ xrb+1 − xrb ≤
+
ε
2
elde ederiz.
ϕ ( x) çift olduğundan, (− N , N ) aralığında mutlak süreklidir.
7
=ε
(2.10)
Teorem 2.3.1: Eğer ϕ ( x) ~ a, b , 1 ≤ a < b < ∞ ise ϕ ( x) ∈ Z (a, b) ’dir.
A := { f : f ~ a, b , 1 ≤ a < b < ∞} ,
B := { f : f , Kx a ile Kxb arasında düzensiz artan fonksiyonlar} olmak üzere A ⊂ B
olur [4].
Biz şimdi L*ϕ Orlicz uzayından daha geniş ve benzer bazı özelliklere sahip
olan L**
ϕ uzayını tanımlayalım.
ϕ ( x) ~ [ p1, p2 ], 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ile t → ∞ ise ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t → ∞ alalım (eğer
koşul 1 < p1 ≤ p2 ≤ ∞ ise ϕ1 (t ) → ∞, t → ∞ koşulu zaten sağlanır). ψ 1 (t ) ,
ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t fonksiyonunun ters fonksiyonu olsun. ψ 1 (t ) azalmayan, sürekli ve
pozitiftir.
x
x
0
0
Φ1 ( x) := ∫ ϕ1 (t )dt ve Ψ1 ( x) := ∫ψ 1 (t )dt
yazalım.
Buradan Φ1, Ψ1 konveks birer fonksiyon olurlar ve böylece Φ1 ile Ψ1 Young
anlamında tümleyen fonksiyon olurlar.
x(t ) : I → R fonksiyonu verildiğinde x(t ) y (t ) çarpımı I aralığı üzerinde her
y (t ) ∈ Lψ1 (a, b) için integrallenebilir olmak üzere
x(t )
ϕ
= sup ∫ x(t ) y (t )dt
y
(2.11)
I
Orlicz normunu tanımlayalım. Burada supremum
ρ y = ∫ Ψ1 ( y (t ) )dt ≤ 1
(2.12)
I
koşulunu sağlayan y ler üzerinden alınmaktadır.
Böyle x(t ) fonksiyonlarının oluşturduğu sınıfı L**ϕ = L**
ϕ ( I ) ile göstereceğiz.
Kolaylıkla görülebilir ki eğer ϕ ( x) = x p , p > 1 ise L**
ϕ klasik L p uzayına dönüşür.
8
Önerme 2.3.2: Eğer ϕ ( x) negatif olmayan, konveks,
ϕ (0) = 0, ϕ (2 x) ≤ kϕ ( x) koşulunu sağlarsa öyle bir m < ∞ bulunabilir ki
ϕ ( x) ~ [1, m olur.
İspat : ϕ (0) = 0, ϕ ( x) ≥ 0 ve ϕ konveks olduğundan, x artarken
azalmayandır.
ϕ ( x)
xm
ϕ ( x)
x
in azalan olduğunu göstermek için 0 < x1 < x2 < ∞, 1 < x2 x1 < 2
durumunu göz önüne almak yeterlidir.
x2 = x1 + ∆x, ∆x < x1 yazarak ve negatif olmayan, azalmayan p (t ) için [4, s.65]
x
ϕ ( x) = ∫ p (t )dt yazalım.
0
F (a, 0) = 0 ve ∂F ∂x ≡ a (1 + x) a −1 − a > 0 olduğundan F (a, x) ≡ (1 + x) a − (1 + ax)
fonksiyonu a > 1 ve x > 0 için pozitiftir.
Buradan
x1 +∆x
ϕ ( x2 ) ϕ ( x1 + ∆x)
=
=
ϕ ( x1 )
ϕ ( x1 )
ϕ ( x1 ) +
∫
p (t )dt
x1
x1
∫ p(t )dt
0
x1 +∆x
∫
< 1+
x1
x1
∫
p ( x2 )dt
 2 p ( x2 )  ∆x 
= 1+ 
 ,
p ( x1 2)  x1 

p ( x1 2)dt
(2.13)
x1 2
2 x1
 4 x1
2 x1 p ( x2 ) ≤ 2 x1 p(2 x1 ) <  ∫ + ∫
 2x
0
 1

 p (t )dt = ϕ (4 x1 )


≤ k 3ϕ ( x1 2) = k 3
x1 2
∫
p (t )dt ≤
0
(2.14)
x1 3
k p ( x1 2)
2
elde ederiz.
Buradan
p ( x2 ) ≤
1 3
k p ( x1 2)
4
9
(2.15)
1
ve m = 1 + k 3 alınarak
2
1
1+ k 3
2
ϕ ( x2 )
1  ∆x 
 1   ∆x   ∆x 
< 1 + k 3   < 1 +  1 + k 3    < 1 + 
ϕ ( x1 )
2  x1 
x1 
 2   x1  
= ( x2 x1 )
m
(2.16)
olur.
x2 x1 > 2 durumunda ( x2 x1 ) = ( x2 x3 )( x3 x4 ) ... ( x p x1 ) şeklinde yazılabilir ve bu
1
m = 1 + k 3 ile Önerme 2.3.2 ispatı tamamlanır.
2
Önerme 2.3.3: ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ], 1 ≤ p1 ≤ p2 < ∞ alalım. O zaman
p1 ≤
ϕ ( x)
x
=
ϕ ( x)
x
∫ {ϕ (t ) t} dt ∫ ϕ (t )dt
=
ϕ ( x)
Φ1 ( x)
≤ p2
(2.17)
1
0
0
olur.
İspat : ϕ ( x) x p1 azalmayan ve ϕ ( x) x p2 artmayan olduğundan, bu ifadelerin
diferansiyelini aldığımızda, bütün x ler için
p1 ≤
ϕ ′( x)
ϕ ′( x)
=
≤p
{ϕ (t ) t} ϕ1 (t ) 2
(2.18)
çıkar.
x
ϕ ( x) mutlak sürekli olduğundan ϕ ( x) = ∫ ϕ ′(t )dt yazılabilir. Böylece sonuç bulunur.
0
Teorem 2.3.2:
a) Eğer ϕ ( x) ;
i. ϕ ( x) bir konveks fonksiyondur,
ii. 0 = ϕ (0) ≤ ϕ ( x) ≤ ϕ ( y ), 0 < x < y ,
iii. ϕ ( x) x ↑ ∞ , x → ∞ ,
iv.Bütün u > 0 ’lar için ϕ (2u ) ≤ Kϕ (u ) ,
koşullarını sağlarsa
10
Lϕ = L*ϕ = L**
ϕ
olur. Diğer bir ifadeyle, {ϕ ( x)} konveks fonksiyonları için, {Lϕ } , {L*ϕ } , {L**
ϕ}
uzaylarında bu tanımlar denktir.
b) Genel durumda, {ϕ ( x)} sınıfının dışındaki her bir ϕ ( x) eğer aşağıdaki
koşulları sağlarsa:
i. ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ], 1 ≤ p1 ≤ p2 < ∞ ;
ii. ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t ↑ ∞, t → ∞ ;
L*ϕ ⊂ L**
ϕ olur. Tam olarak, (i) ve (ii) koşullarını sağlayan öyle bir ϕ ( x ) fonksiyonu
*
**
*
**
vardır ki L*ϕ ⊂ L**
ϕ , Lϕ ≠ Lϕ olur. Diğer bir ifadeyle { Lϕ } uzaylarının sınıfı { Lϕ }
uzaylarının sınıfının bir özalt sınıfı olur. (i) ve (ii) koşullarını sağlayan öyle bir ϕ ( x)
bulunabilir ki L*ϕ de tanımlanamaz. (Yani L*ϕ de boş küme olur.)
İspat :
a) Eğer ϕ ( x) , ∆ 2 koşulunu sağlarsa, Lϕ ve L*ϕ denk olurlar.[5, s. 172]
x
Φ1 ( x) = ∫ ϕ1 (t )dt azalmayan bir fonksiyonun integrali olduğundan, Φ1 ( x) konveks
0
fonksiyon olur ve böylece Φ1 ( x) x azalmayandır. Önerme 2.3.2 ve Önerme 2.3.3 ten
{ϕ ( x) x} → ∞
iken {Φ1 ( x) x} → ∞ olur. Kolayca görülebilir ki
2u
Φ1 (2u ) = Φ1 (u ) + ∫ ϕ1 (t )dt ≤ Φ1 (u ) + K
0
u
∫ ϕ (t )dt ≤ K Φ (u)
1
1
u 2
olduğundan ∆ 2 koşulunu sağlar.
**
*
Böylece, bizim L**
ϕ için yaptığımız tanımdan, Lϕ = LΦ1 = LΦ1 olur ve Önerme 2.3.3
ten L**
ϕ = LΦ1 = Lϕ elde ederiz.
b) L*ϕ uzayında, konveks bir ϕ için x → ∞ iken {ϕ ( x) x} → ∞ olur. ψ 1 (t )
ve ψ (t ) fonksiyonları sırasıyla ϕ1 (t ) ve ϕ ′(t ) nin ters fonksiyonlarını ifade etsin.
(2.18) ve Önerme 2.3.3 ün varsayımından ϕ1 (t ) ≤ ϕ ′(t ) olur. Böylece ψ (t ) ≤ ψ 1 (t ) ve
11
x
x
0
0
Ψ ( x) = ∫ψ (t )dt ≤ ∫ψ 1 (t )dt ≤ Ψ1 ( x), ( x > 0)
bulunur.
**
*
Buradan L*ϕ ⊂ L**
ϕ olur ve Lϕ de tanımlı x in normu, Lϕ de tanımlı x in normu
tarafından sınırlandırılmıştır.
*
L**
ϕ nin Lϕ den daha geniş olduğunu göstermek için, ϕ ( x ) ~ [1, m
fonksiyonunu göz önüne alabiliriz. ϕ ( x) fonksiyonu konveks değilse, L*ϕ
tanımlanamaz.
ϕ ( x) ~ 2,3 alalım. O zaman ϕ ′( x) h.h. yerde mevcut olduğundan
d ϕ ( x )  ϕ ′( x) 2ϕ ( x) 
− 3  > 0,

=
dx  x 2   x 2
x 
(2.19)
d ϕ ( x)  ϕ ′( x) 3ϕ ( x) 
− 4 <0

=
dx  x3   x 3
x 
(2.20)
olur ve
2 {ϕ ( x) x} = 2ϕ1 ( x) < ϕ ′( x ) < 3ϕ1 ( x) = 3{ϕ ( x) x}
(2.21)
dir.
Tersine, eğer (2.21) sağlanırsa ϕ ( x) x 2 ↑ (artan), ϕ ( x) x 3 ↓ (azalan) ve
ϕ ( x) ~ 2,3 olur. Şimdi eğer biz öyle bir ϕ ( x) fonksiyonu inşa edersek öyle ki
ϕ ′( x) her zaman azalmayan değilse ϕ ′( x), 2 {ϕ ( x) x} ve 3{ϕ ( x) x} fonksiyonları
ile sınırlı olur. O zaman ϕ ( x) konveks olmaz. (Eğer ϕ ( x) konveks ise p (t )
x
azalmayan olmak üzere ϕ ( x) = ∫ p (t )dt olur.) Bunu sonlandırmak için (2.21) deki
0
terimlerin her birini ϕ ( x) ile bölelim ve sonra x > 1 için üç terimin 1 den x e
integralini alalım.
Buradan
x 2 < ϕ ( x) ϕ (1) < x 3 , ( x > 1)
12
(2.22)
elde ederiz.
ϕ (1) = 1 ve
 x5 2 , 0 ≤ x ≤ 1
ϕ ( x) =  9 4
x >1
x ,
(2.23)
alalım. Böylece tanımlanan ϕ ( x) fonksiyonu (2.21) i sağlar. Diğer taraftan, ϕ ′( x) ,
x = 1 hariç her yerde mevcuttur. ϕ ′(1− ) = 5 2 ve ϕ ′(1+ ) = 9 4 olduğundan ϕ ( x)
azalmayan fonksiyonun integraline eşit değildir. Böylece ϕ ( x) konveks bir
fonksiyon değildir. Teorem 2.3.2 den L**
ϕ nin Orlicz uzayından daha geniş olduğu ve
yukarıdaki tanımlanan p2 sonlu ise Lϕ nin L**
ϕ ye denk olmasını sonuçlandırırız.
*
Şimdi L**
ϕ nin Lϕ uzayının hemen hemen bütün özelliklerine sahip olduğunu
göreceğiz. Gerçekten, [5, s.170-175]’deki benzer ifadelerle, ϕ (t ) t nin azalmayan
olması ve ϕ (t ) t → ∞, t → ∞ olmasından dolayı L**
ϕ için benzer sonuçlar elde
edilebilir.
Teorem 2.3.3: L**
ϕ uzayı bir tam uzaydır.
Eğer bir θ > 0 sayısı bulunabilir ve ϕ (t ) ~ [ p1 , p2 ], 1 ≤ p1 ≤ p2 < ∞ için
θ x(t ) ∈ Lϕ ise x(t ) ∈ L**ϕ olur. Tersine, eğer x(t ) ∈ L**ϕ ise sonlu bir p2 ile bir θ > 0
bulunabilir ki θ x(t ) ∈ Lϕ . Daha açıkçası şu Teoremi elde ederiz.
Teorem 2.3.4: Eğer x(t ) ∈ L**
ϕ , p2 < ∞ , x (t )
∫ ϕ { x(t )
x(t )
ϕ
I
olur.
Bu [5, s.171]’deki ifadeden ve (2.18)’den çıkar.
13
ϕ
}dt ≤ C
≠ 0 ise
Teorem 2.3.5 [4]:
(a) Eğer her x(t ) ∈ L**ϕ ( I ) için
u ( x) = ∫ x(t ) y (t )dt
I
sınırlıysa y (t ) ∈ L**Ψ1 olur.
(b)Eğer bütün x(t ) ∈ L**
ϕ ler için
un ( x) = ∫ x(t ) yn (t )dt
I
dizisi sınırlıysa L**Ψ1 uzayında n → ∞ için yn (t )
Ψ1
= O (1) olur.
(c) Eğer (b) deki dizi her x(t ) ∈ Lϕ için sınırlıysa öyle bir θ > 0 sabiti mevcuttur ki
n → ∞ için
∫ Ψ {θ
1
yn (t ) } dt = O(1)
I
olur.
Biz şimdi eşlenik fonksiyonlarla ilgili [4] teki bazı sonuçların
karşılaştırmasını vereceğiz.
Negatif olmayan, konveks, ϕ (0) = 0 için ϕ (2t ) ≤ Kϕ (t ) , t > 0 ile tanımlı ϕ (t )
alalım. Aşağıdaki şekilde tanımlanan sınıfları ele alalım:
A sınıfı: ϕ ′(t ) konkav ve ϕ (t θ ) , bazı θ < 1 ler için konvekstir.
B sınıfı: ϕ ′(t ) konveks öyle ki ϕ ′(0) = 0 [4, s. 69] ve bazı θ < 1 ler için
ϕ (t1−θ ) konkavdır.
C sınıfı: ϕ1 ∈ A ve ϕ 2 ∈ B iken ϕ (t ) = ϕ1 (t ) + ϕ2 (t ) .
D sınıfı: ϕ1 ∈ C olduğunda bütün büyük t ’ler için 0 < a ≤ ϕ (t ) ϕ1 (t ) ≤ b < ∞ .
E sınıfı: 1 < p ≠ 2 olduğunda ve Karamata [4, kaynak 5,6] anlamında L(t )
yavaş değişen olduğunda ϕ (t ) = t p L(t ) olur.
Lamperti A ∪ B ⊂ C ⊂ D, E ⊂ D olduğunu ispatlamıştır ve eğer ϕ (t ) A dan E ye
herhangi bir sınıfa aitse, f ( x) ∈ Lϕ ve fɶ ( x) , f ( x) fonksiyonunun eşleniği
olduğunda fɶ ( x) ≤ C f ( x) ϕ olur.
ϕ
Sonuçları karşılaştırmak için A ya da B ye ait fonksiyonları göz önüne almak
yeterlidir.
14
ϕ (t ) konveks olduğunda, ϕ (0) = 0 , ϕ (2t ) ≤ Kϕ (t ) olur ve böylece
sonuçlarımızdan ϕ (t ) mutlak sürekli olur ve 1 < m < ∞ için ϕ (t ) ~ [1, m olur.
Eğer ϕ (t ) ∈ A ise ϕ ′(t ) konkav ve bazı θ < 1 'ler için ϕ (t θ ) konvekstir. Buradan
1 < p1 < p2 < ∞ için ϕ (t θ ) ~ [1, m ve ϕ (t ) ~ [1 θ , m θ = [ p1 , p2 çıkar. Böylece
1 < a < p2 < ∞ iken ϕ (t ) ~ a, p2 olur. Teorem 2.3.1 ve [4, Karamata J., Teorem 1]
den 1 < a < p2 < ∞ iken ϕ ∈ Z (a, p2 ) olur.
Eğer ϕ (t ) ∈ B ise ϕ ′(t ) konveks ve bazı θ < 1 ler için ϕ (t1−θ ) konkavdır. [4,
s.69] daki dipnottaki genelliği kaybetmeden ϕ ′′(t ) > 0, t > 0 ve ϕ ′(0) = 0 alabiliriz.
t
ϕ ′′(t ) ’nin azalmayan olması durumunda ϕ ′(t ) = ∫ ϕ ′′( s )ds çıkar.
0
Şimdi B sınıfından bir anlamda daha geniş olma durumunda ϕ ′(t ) konveks
olduğunda ϕ ′′(t ) > 0, t > 0 olma durumunu göz önüne alacağız.
O zaman ϕ ′(0) = 0 , ϕ ′( x) konveks, azalmayan ve ϕ ′′( x) artan ise,
x
x
0
0
ϕ ′( x) = ∫ ϕ ′′( s )ds ≤ ∫ ϕ ′′( x)ds = xϕ ′′( x), ϕ ′( x) x ≤ ϕ ′′( x )
olur ve buradan
t
t
t
0
0
0
ϕ (t ) = ∫ ϕ ′(u )du ≤ ∫ uϕ ′′(u )du = tϕ ′(t ) − ∫ ϕ ′(u )du,
ϕ ′(t ) ≥ 2ϕ (t ) t
(2.24)
(2.25)
2
elde ederiz. Buradan ϕ (t ) t nin azalmayan olduğu ortaya çıkar. Diğer taraftan,
Önerme 2.3.2 den ϕ ( x) konveks, ϕ (0) = 0 , ϕ (2 x) ≤ Cϕ ( x ) olduğundan
ϕ ( x) ~ [1, m , m < ∞ olur.
ϕ ( x) x 2 nin azalmayan olmasından dolayı, ϕ ( x) ~ [2, m , m < ∞ çıkar.
15
3
Teorem 1[4, s.64] , Önerme 2.3.1 ve Teorem 2.3.1 den dolayı ϕ ( x) ∈ Z ( , m + 1)
2
olur.
Elde edilen sonuçları toplarsak, eğer ϕ ( x) ∈ A veya ϕ ( x) ∈ B ise
1 < a < b < ∞ için ϕ ( x) ∈ Z (a, b) olur. Böylece Lamperti’nin sonuçları
Marcinkiewicz-Zygmund’un sonuçlarının özel durumları olur [4].
2.4
L**ϕ Uzayının Bazı Özellikleri
ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ] , 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ alalım ve (0, ∞) aralığında t artarken
ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t azalmayan olsun. ϕ1 (t ) nin ters fonksiyonu ψ 1 (t ) olsun.
u
u
0
0
Φ1 (u ) := ∫ ϕ1 (t )dt ve Ψ1 (u ) := ∫ψ 1 (t )dt
yazalım.
Eğer un ( x) ∈ L*ϕ , (n = 1, 2,...) fonksiyon dizisi, u0 ( x) ∈ L*ϕ olmak üzere
lim ∫ Φ [un ( x) − u0 ( x)] dx = 0
n→∞
T
sağlarsa un ( x) fonksiyon dizisi u0 ( x) fonksiyonuna ortalamada yakınsak denir [2,
s.75].
Tanım 2.4.1: Eğer un ( x) ∈ L**ϕ fonksiyonlar dizisi eğer
ρ (un ; Φ1 ) = ∫ Φ1 [un ( x)] dx < ∞
I
iken
lim ρ (un ; Φ1 ) = 0
n →∞
ise 0 a ortalamada yakınsar denir [4].
16
Teorem 2.4.1: Eğer ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ] , 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ve eğer {un ( x)} , L**
ϕ de
0 a ortalamada yakınsarsa {un } , Lϕ de 0 a ortalamada yakınsar.
İspat: Önerme 2.3.3’ten p2 < ∞ için
p1Φ1 ( x) ≤ ϕ ( x ) ≤ p2Φ1 ( x)
(2.26)
olur. Böylece ρ (un , Φ1 ) → 0 gösterir ki n → ∞ için ρ (un , ϕ ) → 0 olur.
Tanım 2.4.2: Öyle u0 ve k pozitif sabitleri bulunabilir ki [2, s.15]’de
tanımlandığı gibi M 1 (u ) ≤ M 2 (ku ), u > u0 olur yani M 1 (u ) ≺ M 2 (u ) yu ifade ederiz.
Tanım 2.4.3: M 1 (u ) ~ M 2 (u ) ile M 1 (u ) ve M 2 (u ) nun denk oluğunu
gösteririz. Yani M 1 (u ) ≺ M 2 (u ) ve M 1 (u ) ≻ M 2 (u ) olur.
Kolaylıkla görülebilir ki
i. u
ϕ
ii. α u
= 0 ⇔ u ( x) = 0 h.h.;
ϕ
iii. u1 + u2
=α u
ϕ
≤ u1
ϕ
, ∀α ∈ R ;
ϕ
+ u2
ϕ
.
Aşağıdaki Teorem, Teorem 2.3.3 ün bir sonucudur. ([2, s.72] ve [6, s.45 Teorem 1])
Teorem 2.4.2: Eğer ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ] , 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ise L**
ϕ bir normlu lineer
uzay olur. Ayrıca L**
ϕ bir Banach uzayıdır [4].
Önerme 9.2 [2] den şunu elde ederiz:
Teorem 2.4.3: Eğer ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ] , 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ iken u
ϕ
≤ 1 ise
x
Φ1 ( x) = ∫ {ϕ (t ) t} dt ve ρ (u; Φ1 ) ≤ u
ϕ
olduğunda u ( x) ∈ LΦ1 olur.
0
Dahası, eğer u ∈ L**
ϕ ise
∫Φ
1
I
 u ( x) 

dx ≤ 1
 u ϕ 
(2.27)
olur.
17
Ek olarak, (2.26) dan eğer p2 < ∞ ise
 u ( x) 
dx ≤ p2
 u ϕ 
∫ϕ 
I
(2.28)
çıkar.
Teorem 2.4.3 den eğer p2 < ∞ ve eğer L**
ϕ de {un ( x )} , u0 ( x ) ’e normda
yakınsarsa {un ( x)} L**
ϕ de u0 ( x ) e ortalamada yakınsar.
Ayrıca Teorem 2.3.4, (2.27) ve (2.28)’ten anlaşılır ki L**
ϕ uzayı LΦ1 sınıfını
içeren en dar lineer küme olduğu görülür. Ayrıca
Φ1 (2u ) ≤ Φ1 (u ) + 2 p2 Φ1 (u ) = C Φ1 (u ) olduğunda yani ∆ 2 koşulunu sağladığında,
p2 < ∞ için L**
ϕ , Lϕ yi içine alan en dar lineer küme olur. Diğer bir ifadeyle, eğer p2
sonlu ise, L**
ϕ uzayı LΦ1 deki fonksiyonların lineer bileşimini içerir.
p2 < ∞ iken,
a) Eğer ϕ ~ [ p1 , p2 ] , 1 ≤ p1 ≤ p2 < ∞ ve f ( x) ∈ L**
ϕ ise öyle bir k > 0
mevcuttur ki kf ∈ LΦ1 olur.
b) Eğer p2 < ∞ ve f ( x) ∈ LΦ1 ise herhangi pozitif k sabiti için kf ∈ L**
ϕ olur.
Teorem 2.4.4: L**
ϕ uzayının lineer uzay olması için gerek ve yeter şart ϕ
fonksiyonunun ∆ 2 koşulunu sağlamasıdır [4].
Teorem 8.2 [2] ve aşağıdaki Önerme 2.4.1 ile sonuç bulunur.
Önerme 2.4.1: Eğer ϕ (t ) ~ [ p1 , p2 ] , 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ve eğer
x
x
0
0
Φ1 ( x) = ∫ {ϕ (t ) t} dt = ∫ ϕ1 (t )dt
ise Φ1 ( x) in ∆ 2 koşulunu sağlaması için gerek ve yeter şart ϕ ( x) in ∆ 2 koşulunu
sağlamasıdır.
18
İspat : Eğer ϕ ( x) , ∆ 2 koşulunu sağlarsa
2x
Φ1 (2 x) = ∫ ϕ1 (t )dt = Φ1 ( x) +
0
2x
∫ {ϕ (t ) t} dt
0
(2.29)
2x
≤ Φ1 ( x) + K
∫ {ϕ (t ) t} dt ≤ K Φ ( x)
1
x 2
olur. Buradan Φ1 ( x) ’in ∆ 2 koşulunu sağladığı görülür.
Tersine, eğer Φ1 ( x) ∆ 2 koşulunu sağlarsa, Önerme 2.3.2 ile öyle bir pozitif m sabiti
mevcuttur ki Φ1 ( x) ~ [1, m olur.
Φ1 ( x) x ve Φ1 ( x) x m ’in diferansiyeli alınarak
1 ≤ {Φ1′ (t ) [ Φ1 (t ) t ]} = {ϕ (t ) Φ1 (t )} ≤ m
(2.30)
bulunur. Bunun anlamı ϕ (t ) ~ Φ1 (t ) olmasıdır ve böylelikle ϕ (t ) , ∆ 2 koşulunu
sağlar.
Aşağıdaki Teorem, Teorem 9.4 [2] ün bir sonucudur.
Teorem 2.4.5: Eğer ϕ ( x) , ∆ 2 koşulunu sağlarsa L**
ϕ de normda yakınsama
L**
ϕ de ortalamada yakınsama denk olur [4].
ℵ ⊂ I kümesinin karakteristik fonksiyonu χ ( x;ℵ) olsun.
(9.11) [2] formülünden L**ϕ ( I ) = L*Φ1 ( I ) olduğundan şunu elde ederiz:
x
Teorem 2.4.6: Ψ1 ( x) = ∫ψ 1 (t )dt ve ψ 1 (t ) de ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t ’nin ters
0
fonksiyonu olduğunda χ ( x;ℵ) karakteristik fonksiyonunun normu
χ ( x;ℵ)
ϕ
 1 
= mesℵ⋅ Ψ1−1 

 mesℵ 
formülü ile verilir [4].
19
(2.31)
Teorem 2.4.7: Yukarıda tanımlanan L**
ϕ uzayının ayrılabilir olması için gerek
ve yeter şart ϕ (t ) fonksiyonunun ∆ 2 koşulunu sağlamasıdır.
Bu Önerme 2.3.1 ve Teorem 10.2 [2] den çıkar.
Teorem 2.4.8: Eğer L**
ϕ uzayı 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ iken ϕ (t ) ~ [ p1 , p2 ] yardımı
ile oluşturulmuş ise Φ1 (t ) ~ [ p1 , p2 ] olmak üzere L*Φ1 bir Orlicz uzayıdır. Buradan
x
Φ1 ( x) = ∫ ϕ (t ) t dt olur [4].
0
Önerme 2.4.2: 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ iken ϕ (t ) fonksiyonu ϕ (t ) ~ [ p1 , p2 ] ’yi
t
sağlarsa, Φ1 (t ) = ∫ ϕ (u ) u du olmak üzere Φ1 (t ) özellikle Φ1 (t ) ~ [ p1 , p2 ] sağlanır.
0
İspat : Eğer ϕ (t ) ~ [ p1 , p2 ] , 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ve 0 < t < ∞ ise
ϕ ( x)  t 
p2 −1
 
x x
≤
ϕ (t )
t
≤
ϕ ( x)  t 
p1 −1
 
x x
(2.32)
olur.
1 ϕ ( x) 1
1 ϕ ( x)
≤ ∫ {ϕ (t ) t} dt ≤
p2 x
x0
p1 x
x
(2.33)
ve
p1 Φ1 ( x ) x ≤ {ϕ ( x) x} = Φ1′ ( x ) ≤ p2 Φ1 ( x) x
(2.34)
eşitsizliklerinden çıkar.
Bunun anlamı Φ1 ( x) x − p1 azalmayan ve Φ1 ( x) x − p2 ’nin artmayan olmasıdır.
Böylece Φ1 ( x) ~ [ p1 , p2 ] olur.
Şimdi eğer p2 = ∞ ise (2.32), (2.33), (2.34) eşitsizliklerinden biri bu
koşullarda sağlanır. Bu Φ1 ( x) ~ [ p, ∞ ] olduğunu gösterir.
20
Tanım 2.4.4: (9.18) ve (9.19) [2] formüllerinden Lüksemburg normu
tanımları görülebilir. f ∈ L*M fonksiyonunun Lüksemburg normunu
f
(M )

 u ( x)

:= inf k > 0 : ρ 
;M  = ∫ M
k

 I


 u ( x) 
 k  dx ≤ 1

(2.35)
biçiminde tanımlayalım.
f ∈ L**ϕ = L*Φ1 in Lüksemburg normunu
f
[ϕ ]
= f
(2.36)
( Φ1 )
eşitliği ile tanımlarız.
(9.24) formülünden [2]
f
[ϕ ]
≤ f
≤2 f
ϕ
(2.37)
[ϕ ]
olur ve genelleştirilmiş Hölder eşitsizliğinden, (ayrıntılı sonuçlar (9.26) ve (9.27) [2]
*
formüllerinde elde edilmiştir) u ∈ L*Φ1 = L**
ϕ , v ∈ LΨ1 iken
∫ u( x)v( x)dx ≤
u ( x)
v( x)
ϕ
( Ψ1 )
(2.38)
I
ve u ∈ L**ϕ , v ∈ L*Ψ1 iken
∫ u( x)v( x)dx ≤
u ( x ) [ϕ ] v( x)
Ψ1
(2.39)
I
olur.
Teorem 2.4.9: L**
ϕ uzayındaki .
u
ϕ
ϕ
normu
≤ 1 + ∫ Φ1 [u ( x)]dx = 1 + ∫ dx
I
I
21
u ( x)
∫ {ϕ (t ) t} dt ,
0
(2.40)
ve
u( x) u
 u ( x) 
∫I Φ1  u dx = ∫I dx ∫0
 ϕ 
ϕ
{ϕ (t ) t} dt ≤ 1
(2.41)
ifadelerini sağlar.
Dahası, eğer u
ϕ
≤ 1 ise,
u ( x)
∫ Φ1  u ( x) dx = ∫ dx
I
I
∫ {ϕ (t ) t} dt ≤
u
ϕ
(2.42)
0
olur [4].
Bu sonuçlar (9.12), (9.14) ve (9.21) [2] in direkt sonuçlarıdır.
Teorem 2.4.10: L**
ϕ uzayında normda yakınsama ile ortalamada
yakınsamanın eşit olması için gerek ve yeter şart L**
ϕ de ϕ (t ) fonksiyonunun ∆ 2
koşulunu sağlamasıdır [4].
L*Φ1 = L**
ϕ olduğunda, Önerme 2.4.1 deki ve [2, ch. 2, Sec. 6] ile direkt sonuç elde
edilir.
Tanım 2.4.5: Eϕ ile Bölüm 10 [2] da olduğu gibi L*ϕ ’de normda yakınsak
sınırlı fonksiyonlar ailesinin kapanışını ifade ederiz.
Diğer deyişle, eğer
i. un ( x) ler sınırlı olmak üzere un ( x) → u0 ( x),
ii. un ( x) − u0 ( x) ϕ → 0, n → ∞ ,
ise u0 ( x) ∈ Eϕ olur.
Eğer u0 ( x) ∈ Lϕ ve
u ( x),
un ( x) =  0
 0,
u0 ( x ) ≤ n
u0 ( x ) > n
22
(2.43)
alırsak n → ∞ iken ρ [un − u0 ] = ∫ ϕ [un − u0 ] dx ifadesinin 0 a yaklaşmasına rağmen,
I
un ( x) − u0 ( x) ϕ sıfıra yaklaşmayabilir [2, Önerme 10.1].
Tanım 2.4.6: Eϕ′ ile normda yakınsak sınırlı fonksiyonlar ailesinin L**ϕ = L*Φ1
kapanışını ifade ederiz.
Aşağıdaki Teorem, Önerme 10.1 [2] ve Önerme 2.4.1 in sonucudur:
Teorem 2.4.11: Eğer ϕ ( x) , ∆ 2 koşulunu sağlamazsa, normda yakınsak
sınırlı fonksiyonlar ailesi L**
ϕ içinde hiçbir yerde yoğun değildir. Ama eğer ϕ (u ) , ∆ 2
′
koşulunu sağlarsa, Eϕ = L*ϕ = L**
ϕ = Eϕ olur [4].
Eϕ , Lϕ de L*ϕ nin maximal lineer alt uzayı olduğunda, Eϕ′ kümesi LΦ1 de
Eϕ** nin maximal lineer alt uzayı olarak göz önüne alınabilir. Bu bütün λ değerleri
için λu ( x) ∈ Lϕ olmasından görülür. Ayrıca u ( x) ∈ Eϕ olur [2, s.84]. Bunu
göstermek için herhangi bir ε > 0 verildiğini düşünelim ve λ = ε 2 yazalım.
u ( x) λ ∈ Lϕ olduğundan öyle bir v( x) = u1 ( x) λ mevcuttur ki

u

 u1 ( x) − u ( x) 
 dx ≤ 1
λ
ρ v − ; ϕ  = ∫ ϕ 
 λ  I 
(2.44)
olur. u1 ( x) sınırlı bir fonksiyon olduğundan, v( x) − u ( x) λ = (λ v − u ) λ = (u1 − u ) λ
olur. Buradan
u1 ( x) − u ( x)
(ϕ )
≤ λ = ε 2.
(2.45)
[2] deki formül (9.24) dolayısıyla
u1 ( x) − u ( x) ϕ < ε
elde ederiz.
Bu gösterir ki öyle bir {un ( x)} sınırlı fonksiyonlar dizisi mevcuttur ki,
23
(2.46)
un ( x ) − u ( x ) ϕ → 0 , n → ∞
(2.47)
olur. Böylece u ( x) ∈ Eϕ olduğu görülür.
Önerme 2.4.1 ve Teorem 10.2 [2] den aşağıdaki teorem elde edilir:
Teorem 2.4.12: L**
ϕ uzayının ayrılabilir olması için gerek ve yeter şart ϕ
fonksiyonunun ∆ 2 koşulunu sağlamasıdır [4].
2.5
Uygulamalar
L**
ϕ ’de normun hesaplanmasında zorluklar olduğunda normun alternatif
formlarını göz önüne alabiliriz.
Teorem 2.5.1: u ( x) ∈ L**
ϕ ve
∫Ψ
1
ϕ (k * u ( x) ) k * u ( x) dx = 1,
(2.48)
I
koşulunu sağlayan bir pozitif k * sayısı var olsun.
Bu durumda
u
ϕ
= u
Φ1
=
1
ϕ ( k * u ( x) ) dx
* ∫
k I
(2.49)
olur.
Bu sonuçlar Teorem 10.4 [2] ün direkt sonuçlarıdır.
L**
ϕ de başka alternatif norm ifadesi verilebilir.
Teorem 2.5.2: u ( x) ∈ L**
ϕ olsun. O zaman
u ( x)
ϕ
= u ( x)
Φ1
= inf
k >0

1
 1 + ∫ Φ1 ( k u ( x) ) dx 
k I

olur.
24
(2.50)
Bu, eğer Φ1 (u ) yerine M (u ) alırsak Teorem 10.5 [2] ile denk olur.
Teorem 2.5.3: Eϕ′ ( I ) uzayında bir taban mevcuttur.
Bu Teorem 12.1 [2] den ve L**ϕ ( I ) = L*Φ1 ( I ) gerçeğinden çıkar.
Eϕ′ uzayına ilişkin, u ( x) in Eϕ′ ye ait olmasına dair gerekli ve yeterli koşul bulmakla
ilgilenelim.
′
Teorem 2.5.4: u ( x) ∈ L**
ϕ fonksiyonunun Eϕ ’ye ait olması için gerekli ve
yeterli şart L**
ϕ uzayının mutlak sürekli norma sahip olmasıdır. Yani her ε > 0 için
öyle bir δ > 0 vardır öyle ki mesℵ < δ iken
u ( x) χ ( x;ℵ)
ϕ
<ε
(2.51)
sağlanır. Bu Teorem 10.3 [2] ten çıkar.
Eϕ′ ve LΦ1 uzaylarını karşılaştırmak için, Π ( Eϕ′ ; r ) ile
d (u , Eϕ′ ) = inf u − w
W ∈Eϕ′
ϕ
<r
(2.52)
koşulunu sağlayan u fonksiyonlarının ailesini gösterelim.
Teorem 2.5.5: ϕ ( x) fonksiyonunun ∆ 2 koşulunu sağlamadığını düşünelim.
O zaman
Π ( Eϕ′ ;1) ⊂ LΦ1 ⊂ Π ( Eϕ′ ;1) , Π ( Eϕ′ ;1) ≠ LΦ1 ≠ Π ( Eϕ′ ;1)
(2.53)
olur.
Bu Önerme 2.4.1 ve Teorem 10.1 [2] den görülür.
Eϕ uzayı için A. N. Kolmogorov’un kompaktlık kriteri düşünülecek olursa
Eϕ′ uzayı için aşağıdaki kriteri Teorem 11.1 [2] den doğrudan elde ederiz:
Teorem 2.5.6: Eϕ′ uzayında bir ℜ fonksiyonlar ailesinin L**
ϕ ye göre
kompakt olması için gerekli ve yeterli şart,
a) ∀u ( x) ∈ ℜ için u
ϕ
< A,
25
b) Keyfi ε > 0 için öyle bir δ > 0 bulunabilir ki r < δ iken ℜ nin her u
fonksiyonlar ailesi için u − ur
ϕ
<ε .
Buradaki ur = ur ( x) ,
ur ( x ) =
1
mr
∫
u (t )dt ,
Tr ( x )
ile tanımlanan Steklov fonksiyonudur. Burada Tr ( x) ; r yarıçaplı x merkezli açık
yuvardır ve mr ise bu açık yuvarın uzunluğudur [2, (11.3) formülü].
F. Riesz’in Eϕ uzayı için kompaktlık kriteri düşünülürse Eϕ′ için aşağıdaki kriteri
elde ederiz [2, Teorem 11.4]:
Teorem 2.5.7: Eϕ′ uzayında bir ℜ fonksiyonlar ailesinin L**
ϕ ’ye göre
kompakt olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki koşulların sağlanmasıdır:
a) ∀u ( x) ∈ℜ için u
ϕ
< A,
b) Keyfi ε > 0 için öyle bir δ > 0 bulunabilir ki, d (h, 0) , h ile 0 arasında
uzaklığı belirtmek üzere, bütün u ( x) ∈ℜ ler için d (h, 0) < δ iken
u ( x + h) − u ( x)
ϕ
<ε .
x
Şimdi daha önce tanımlanan Φ1 ( x) = ∫ {ϕ (t ) t} dx olmak üzere Φ1 ( x) ve
0
Ψ1 ( x) karşılıklı tümleyen fonksiyonlar olsunlar.
v( x) , L*Φ1 uzayında bir fonksiyon olmak üzere,
ℑ (u ) = [u, v ] = ∫ u ( x)v ( x)dx, u ( x) ∈ L**ϕ
(2.54)
I
alalım. O zaman L**ϕ ( I ) tam uzayında ℑ (u ) nun bir lineer fonksiyon tanımladığı
Banach-Steinhaus teoreminden [4, kaynak 8 s.135 ve kaynak 2 s.54] elde edilir.
ℑ = sup ℑ(u )
u
ϕ
≤1
alalım. (14.2) [2] formülünden
26
(2.55)
ℑ ≤ v
Ψ1
≤2 ℑ
(2.56)
elde ederiz.
K (v ) = v
Ψ1
ℑ dersek. 1 ≤ K (v) ≤ 2 bulunur.
α
ϕ (u ) = u , α > 1 ile tanımlanırsa, L**ϕ için K (v) ’nin değerinin hesaplanması
için, Φ1 (u ) = uα α olacağından,
1α
u
ϕ
= u
1α
Φ1
=α β
1β


 ∫ Φ1  u dx 
I

(2.57)
kullanabilir.
Aşağıdaki ifade [2, s.125] deki sonuçtan elde edilmiştir.
ℑ = sup
u
∫ u ( x)v( x)dx = α
≤1 G
Φ1
v
1α
Ψ1
β1 β
.
(2.58)
Böylece v( x) ∈ ℑΨ1 olmak üzere
K (v ) = α 1 α β 1 β
(2.59)
olur.
Teorem 2.5.8: ϕ fonksiyonunun ∆ 2 koşulunu sağlamadığını düşünelim. O
zaman (2.54) L**
ϕ de bir lineer fonksiyonelin genel formu olamaz.
Bu Teorem 14.1 [2] ve Önerme 2.4.1 den çıkar.
Teorem 2.5.9: v( x) ∈ L*Ψ1 olduğunda (2.54) formülü Eϕ′ üzerinde bir lineer
fonksiyonelin genel formu olur.
Bu bizim Eϕ′ için tanımımızdan ve Teorem 14.2 [2] den görülür.
27
3. ORLICZ
UZAYLARINDA
POLİNOMLARLA
AYNI
ANDA YAKLAŞIM
3.1
Giriş
Klasik Orlicz uzaylarında cebirsel/trigonometrik polinomlarla yaklaşım
problemleri birçok matematikçi tarafından çalışılmıştır. [7] de Tsyganok
trigonometrik yaklaşımın Jackson eşitsizliklerini elde etmiştir. [8] de Kokilashvili
trigonometrik yaklaşımın ters teoremlerini elde etmiştir. [9] da Ponomarenko,
Fourier serilerinin kısmi toplamları ile trigonometrik yaklaşımın bazı düz
teoremlerini ispatlamıştır. [10] da Cohen Fourier serilerinin kısmi toplamları ile
trigonometrik yaklaşımın bazı düz teoremlerini ispatlamıştır. Diğer taraftan klasik
Orlicz uzaylarında fonksiyonlara cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı anda
yaklaşım [11] de Ramazanov ve [12] de Garidi tarafından çalışılmıştır. Bu
sonuçlarda Orlicz uzaylarını üreten Young fonksiyonları konvekstir. Oluşturulan
Young fonksiyonu kvazi-konvekslik koşulunu sağladığında benzer problemler R.
Akgün [13,14,15] ve R. Akgün, D. M. İsrafilov [16,17] tarafından çalışılmıştır.
Bu bölüm L**ϕ Orlicz uzaylarında cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı
anda yaklaşım problemlerini içerir.
−∞ < p ≤ q < ∞ alalım ve Y [ p, q ] ile (−∞, ∞ ) aralığında tanımlanmış
aşağıdaki iki koşulu sağlayan ϕ ∈ Φ fonksiyonlarını ifade edelim.
i.
u artarken, ϕ ( u ) / u p azalmayandır:
ii.
u artarken, ϕ ( u ) / u q artmayandır.
p < q olduğunda Y p, q ile bir ε , δ > 0 için ϕ ∈ Y [ p + ε , q − δ ] koşulunu
sağlayan ϕ fonksiyonlar sınıfını ifade ederiz.
28
ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ], 0 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ( ya da benzer şekilde −∞ ≤ p1 ≤ p2 ≤ 0 ) ile
negatif olmayan ϕ ( x) çift fonksiyonlarını ifade ederiz öyle ki x, (0, ∞) aralığında
artarken ϕ ( x) x − p1 azalmayan ϕ ( x) x − p2 artmayandır.
ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ], 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ile t → ∞ iken ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t → ∞ alalım.
ψ 1 (t ) , ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t fonksiyonunun ters fonksiyonu olsun. ψ 1 (t ) azalmayan, sürekli,
pozitiftir.
x
x
0
0
Φ1 ( x) := ∫ ϕ1 (t )dt ve Ψ1 ( x) := ∫ψ 1 (t )dt
yazalım. Buradan Φ1 ( x), Ψ1 ( x) konveks birer fonksiyon olurlar ve böylece Φ1 ( x)
ile Ψ1 ( x) Young anlamında tümleyen fonksiyon olurlar.
f ( x) g ( x) çarpımı I aralığı üzerinde her g ( x ) ∈ Lψ1 ( I ) için integrallenebilir
koşulunu sağlayan f : I → R fonksiyonlarının ailesi L**ϕ ile gösterilir.
L**ϕ uzayında norm
f
ϕ
:= f
ϕ (I )
:= sup ∫ f ( x) g ( x)dx
g
(3.1)
I
şeklinde tanımlanır. Burada supremum
ρ ( g , Ψ1 ) = ∫ Ψ1 ( g ( x) )dx ≤ 1
(3.2)
I
koşulunu sağlayan g ler üzerinden alınmıştır.

L∗∗
ϕ :=  f : I → R |

∫ f ( x) g ( x)dx < ∞, ∀g ∈ L
Ψ1
I
∗∗
f ∈ L∗∗
ϕ , g ∈ LΨ1 için
g
( Ψ1 )

 g ( x)
 
:= inf k > 0 : ρ 
; Ψ1  ≤ 1
 k
 

29

.

olmak üzere genelleştirilmiş Hölder eşitsizliği [4]
∫ f ( x) g ( x)dx ≤
f
ϕ
g
I
(3.3)
( Ψ1 )
olur.
1984 te A. R. –K. Ramazanov [11] L*ϕ Orlicz uzayındaki fonksiyonlar için
Jackson tipli eşitsizlikleri elde etmiştir (ayrıntılı sonuçlar için (R. Akgün [13,14] ve
H. Koç, R. Akgün [18]). Daha sonra Wu Garidi [12] Ramazanov’un sonuçlarını
genişletmiş ve Jackson tipli eşitsizlikleri türevler için
{
L∗ϕ,r := f ∈ L∗ϕ | f ( ) ∈ L∗ϕ
r
}
Sobolev uzayında ispatlamıştır.
∗∗,r
a = −π ve b = π için L∗∗
ϕ ,π ve Lϕ ,π notasyonlarını kullanacağız.
,r
(r)
∗
L∗∗
∈ L∗∗
ϕ := { f : f , f
ϕ \ Lϕ } ,
,r
(r)
∗
L∗∗
∈ L∗∗
ϕ ,π := { f : f , f
ϕ ,π \ Lϕ ,π } .
**
*
*
Ama L**
ϕ ya da Lϕ ,π uzayında öyle fonksiyonlar bulunabilir ki Lϕ ya da Lϕ ,π
uzaylarına ait değildir.
Örneğin ϕ ( x) ~ 2,3 alarak ϕ ( x) = x 5 2 , 0 ≤ x ≤ 1 ve ϕ ( x) = x 9 4 , x > 1
*
tanımlanırsa [4, s. 67-68] ϕ konveks olmaz. L**
ϕ tanımlanabildiği halde Lϕ
tanımlanamaz.
Bu bölümün ana amacı Sobolev tipli uzaylarda fonksiyonlara
cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı anda yaklaşım problemlerini göz önüne
almaktır.
Kolaylık olsun diye bu çalışmada her yerde C sabiti ile değişik yerlerdeki
farklı pozitif reel sayılar ifade edilecektir. Ana sonuçlarımız şunlardır.
30
3.2
Ana Sonuçlar
Teorem 3.2.1: ϕ ∈ Y p, q , 1 < p < q < ∞ alalım. r = 1, 2,3,… ve
,r
υ = 0,1, 2,…, r olsun. Herhangi bir f ∈ L∗∗
için öyle bir n dereceli P cebirsel
ϕ
polinomu mevcuttur ki herhangi n ≥ 1 tamsayısı için
f ( ) − P(
υ)
υ
≤ Cωr −υ , ϕ
ϕ
( f ( ) ,1/ n )
υ
sağlanır. Burada C sabiti sadece r ve ϕ ye bağlıdır.
Teorem 3.2.2: ϕ ∈ Y p, q , 1 < p < q < ∞ alalım. r = 1, 2,3,… ve
,r
υ = 0,1, 2,… , r olsun. Herhangi bir f ∈ L∗∗
ϕ ,π için öyle bir n dereceli T trigonometrik
polinomu mevcuttur ki herhangi n ≥ 1 tamsayısı için
f (υ ) − T (υ )
≤ Cωr −υ , ϕ
ϕ
( f ( ) ,1/ n )
υ
sağlanır. Burada C sabiti sadece r ve ϕ ye bağlıdır.
L∗∗
ϕ Uzayında K Fonksiyoneli ve Düzgünlük Modülü
3.3
,r
Varsayalım ki r = 1, 2,3,... , υ = 0,1, 2,...r , t > 0 ve f ∈ L∗∗
olsun.
ϕ
f
r , ϕ ,t
= f
υ
:= ∑ t i f ( )
i
r, ϕ
i =0
(3.4)
ϕ
olmak üzere K fonksiyoneli
K rυ,ϕ ( f , t ) := inf
{ f −g
υ, ϕ
+ t r g (r )
υ, ϕ
,( r +υ )
: g ∈ L∗∗
ϕ
ile tanımlanır.
r
r −i  r 
∆ tr ( f , x ) := ∑ ( −1)   f ( x + it )
i =0
i
ifadesi f fonksiyonunun r inci farkı olarak adlandırılır.
31
}
(3.5)
h ≥ 0 için
[ a, b − h ] ,0 ≤ h ≤ b − a
I h := 
.
,h > b − a
∅
olarak tanımlayalım.
.
ϕ (∅ )
= 0 ve f ∈ L∗∗
ϕ için r inci düzgünlük modülü
ωr , ϕ ( f , t ) = sup ∆ rh ( f ,.)
0≤ h ≤t
(3.6)
ϕ ( I rh )
şeklinde tanımlanır.
Açıklama 3.3.1: ωr , ϕ
( f ,t )
düzgünlük modülü aşağıdaki genel özellikleri
sağlar:
(1) ωr , ϕ
( f ,t )
ifadesi t nin monoton artan fonksiyonudur ve
ωr , ϕ ( f , 0 ) = 0 .
(2) Herhangi bir f ∈ L∗∗
ϕ için, t → 0 iken ωr , ϕ
( f ,t) → 0
olması için gerek
ve yeter şart ϕ fonksiyonunun ∆ 2 koşulunu sağlamasıdır.
,r
(3) Eğer f ∈ L∗∗
ise ωr + n , ϕ
ϕ
( f , t ) ≤ t nωr , ϕ
( f ( ) , t ) olur.
n
(4) Herhangi bir negatif olmayan n tamsayısı için
ωr , ϕ
( f , nt ) ≤ n rωr , ϕ ( f , t )
olur.
Teorem 3.3.2: ϕ fonksiyonunun ∆ 2 koşulunu sağlaması için gerek ve yeter
koşul verilen herhangi bir r tamsayısı ve f ∈ L∗∗
ϕ fonksiyonu için
ωr , ϕ
( f , t ) → 0,
t → 0 özelliğini sağlamasıdır.
İspat: ϕ fonksiyonu ∆ 2 koşulunu sağlasın. Varsayalım ki Pn , ( n = 1, 2,...)
f ∈ L∗∗
ϕ fonksiyonuna yakınsayan bir polinomlar dizisi olsun. 0 < h <
olduğu gibi
32
b−a
r
için [8]’de
∆ hr ( f − Pn , x )
b − rh

= sup  ∫
 a
r
b−rh

= sup  ∫ ∆ hr ( f − Pn , x ) g ( x ) dx : ρ ( g , Ψ1 ) ≤ 1
ϕ [ a ,b − rh ]
g∈LΨ1  a

∑ ( −1)
i =0
r −i

r
  ( f − Pn )( x + ih ) g ( x ) dx : g ∈ LΨ1 , ρ ( g , Ψ1 ) ≤ 1
i

b −rh r  r 

≤ sup  ∫ ∑   f ( x + ih ) − Pn ( x + ih ) g ( x ) dx : g ∈ LΨ1 , ρ ( g , Ψ1 ) ≤ 1
 a i =0  i 

 r b−rh  r 

= sup ∑ ∫   f ( x + ih ) − Pn ( x + ih ) g ( x ) dx : g ∈ LΨ1 , ρ ( g , Ψ1 ) ≤ 1
 i =0 a  i 

 r  r  b −rh

= sup ∑   ∫ f ( x + ih ) − Pn ( x + ih ) g ( x ) dx : g ∈ LΨ1 , ρ ( g , Ψ1 ) ≤ 1
 i =0  i  a


 r   b−rh
≤ ∑   sup ∫ f ( x + ih ) − Pn ( x + ih ) g ( x ) dx : g ∈ LΨ1 , ρ ( g , Ψ1 ) ≤ 1
i =0  i  
a

r
r
r
= ∑   f ( x + ih ) − Pn ( x + ih )
i =0  i 
ϕ [ a ,b − rh]
.
L∗∗
ϕ uzayı öteleme altında invaryant olduğundan
x + ih = u, 0 ≤ i ≤ r , a ≤ x ≤ br − h, a ≤ x + rh ≤ b yazarak
∆ hr ( f , ⋅)
ϕ [ a ,b− rh]
= ∆ hr ( f − Pn , ⋅) + ∆ hr ( Pn , ⋅)
≤ ∆ hr ( f − Pn , ⋅)
ϕ [ a ,b − rh]
ϕ [ a ,b − rh]
+ ∆ hr ( Pn , ⋅)
≤ 2r f − Pn
ϕ [ a ,b − rh ]
+ ∆ rh ( Pn , ⋅)
≤ 2 r f − Pn
ϕ [ a ,b − rh ]
+ ∆ rh ( Pn , ⋅ )
ϕ [ a ,b − rh]
ϕ [ a ,b − rh ]
elde ederiz. Böylece
∆ hr ( f , ⋅ )
ϕ [ a ,b − rh ]
ϕ [ a ,b − rh ]
buluruz. Dolayısıyla, n → ∞ iken ωr , ϕ → 0 yazılabilir çünkü,
Cωr , ϕ
( f ) < ε.
33
<ε
Teorem 3.3.2 nin diğer yönünü kanıtlamak kolaydır.
,r
Varsayalım ki E ⊂ L∗∗
olsun. Uygun t > 0 için en iyi yaklaşımın derecesini
ϕ
ρr ,ϕ ( f , E ) = inf f − g
g∈E
(3.7)
r , ϕ ,t
ile verelim [12].
,r
Teorem 3.3.3: Varsayalım ki r = 0,1,... , υ = 0,1,..., r , t > 0 ve f ∈ L∗∗
ϕ
olsun.
Sadece r , ϕ ye bağlı öyle c ve C sabitleri vardır ki
ctυ ωr −υ , ϕ
( f ( ),t) ≤ K
υ
υ
r ,ϕ
( f , t ) ≤ Ctυωr −υ , ϕ
( f ( ),t)
υ
(3.9)
eşitsizliği gerçeklenir.
İspat: İspatta öncelikle eşitsizliğin sol tarafının hesabını yapalım. [12] deki
yöntemi kullanacağız.
( f ,t )
,r
,r −υ
ve herhangi g ∈ L∗∗
için, ωr , ϕ
0 ≤ υ ≤ r , f ∈ L∗∗
ϕ
ϕ
ωr , ϕ
( f , t ) ≤ C 

f (υ ) − g
ϕ
nin (3) üncü özelliğinden
+ t r −υ g ( r −υ )
ϕ



elde ederiz. g keyfi alındığından g ler üzerinden infumum alarak
ctυ ωr −υ , ϕ
( f ( ),t ) ≤ t K
υ
υ
0
r −υ , ϕ
( f ( ),t)
υ
(3.9)
,r
elde ederiz. f ∈ L∗∗
ϕ , i = 0,1,...,υ − 1 için
(
)
{ f − g +t g
≥ inf {t. f
− g′
+t
≥ t.inf { f
−h
+t
K rυ−−tt,ϕ f ( i ) , t = inf
(i)
r −t
( r −t )
υ −t , ϕ
( i +1)
υ −t , ϕ
r −t
υ −t −1, ϕ
( i +1)
r −t −1
υ −t −1, ϕ
34
g ( r −t )
,( r +υ − 2 t )
: g ∈ L∗∗
ϕ
υ −t −1, ϕ
h( r −t −1)
υ −t −1, ϕ
}
,( r +υ − 2 t )
: g ∈ L∗∗
ϕ
}
,( r +υ − 2 t − 2 )
: h ∈ L∗∗
ϕ
}
(
= t.K rυ−−tt−−1,1ϕ f (
i +1)
)
,t .
(3.10)
Bu formül tekrarlanırsa
(
)
K rυ,ϕ ( f , t ) ≥ tυ .K r0−υ ,ϕ f ( ) , t .
υ
(3.11)
Böylece (3.9) ve (3.11) den sol taraf çıkar.
(
)
ctυ ωr −υ ,ϕ f ( ) , t ≤ K rυ,ϕ ( f , t ) .
υ
Şimdi eşitsizliğin sağ tarafını ispatlayalım. r = 0 için
K 0,0 ϕ ( f , t ) = f
ϕ
= ω0, ϕ
( f ,t)
olduğundan sonuç açıktır. İspatta bu aşamadan sonra
,r
r ≥ 1 ve f ∈ L∗∗
alalım. Öncelikle 0 ≤ t ≤
ϕ
b− a
4r2
alalım ve

3(b − a ) 

3(b − a ) 
b−a 
b−a

I 0 =  a, a +
, b  , I 2 = I 0 ∩ I1 =  a +
,a +
 , I1 =  a +
,
4 
4
4
4 




t
t
0
0
g 0 ( x ) = f ( x ) + t − r ∫ ... ∫ ( −1)
t
t
0
0
g1 ( x ) = f ( x ) + t − r ∫ ... ∫ ( −1)
Varsayalım ki
r +1
r +1
∆ ur 1 +...+ur ( f , x ) du1...dur , x ∈ I 0 ,
∆ r−( u1 +...+ur ) ( f , x ) du1...dur , x ∈ I1.
∫ Ψ ( v ( x ) ) dx ≤ 1 olsun. Öyleyse i = 0,1,...
1
için
I0

t
t
()
()
∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) v ( x ) dx = ∫  t ∫ ... ∫ ∆
i
i
0
I0
−r
0
I0
=t

( f ( ) , x ) du ...du  v ( x ) dx
i
1
0
 r

(i)
...
∆
f
,
x
v
x
dx

 du1...dur
(
)
u
+
...
+
u
∫0 ∫0  I∫ 1 r

0

t
−r
r
u1 +...+ur
t
(
t
≤t
−r
∫ ... ∫ ω ϕ ( f
r,
0
= ωr , ϕ
t
)
(i )
)
, rt du1...dur
0
( f ( ) , rt ) ≤ r ω ( f ( ) , t ) .
i
i
r
r, ϕ
Böylece
35
r

f (i ) − g 0( i )
ϕ ( I0 )
≤ r r ωr , ϕ
( f ( ) , t ) ≤ Ct
i
(
)
ωr −υ , ϕ f (υ ) , t .
υ −i
(3.12)
Benzer biçimde
f (i ) − g1(i )
ϕ ( I1 )
≤ Ctυ −iωr −υ , ϕ
( f ( ),t)
υ
(3.13)
olur.
t r g 0( r +i )
ϕ ( I0 )
=
r
∑ ( −1)
r+ j
j =1
 r  −r r
(i)
  j ∆ ji f ,.
j
 
(
r
r
≤ ∑   j − rωr , ϕ
j =1  j 
)
( f ( ) , jt ) ≤ Ct
i
ϕ ( I0 )
υ −i
ωr −υ , ϕ
( f ( ),t)
υ
(3.14)
ve aynı şekilde
t r g1(
r +i )
ϕ ( I1 )
≤ Ctυ −iωr −υ , ϕ
x ∈ [ a, a + b−4a ] için ϕ ( x ) = 0 , x ∈  a +

3( b − a )
4
( f ( ) , t ).
υ
(3.15)
, b  için ϕ ( x ) = 1 ve x ∈ [ a, b ]

için ϕ ( i ) ( x ) ≤ C , i = 0,1,..., 2r koşullarını sağlayan bir ϕ ( x ) fonksiyonu alalım.
,r +υ
g 0 ∈ L∗∗
( I 0 ) ve g1 ∈ L∗∗ϕ ,r +υ ( I1 ) olduğundan g0, g1 ∈ L∗∗ϕ ,r +υ biçimde
ϕ
genişletilebilir.[11]
g ( x ) := (1 − ϕ ( x ) ) g 0 ( x ) + ϕ ( x ) g1 ( x )
alalım. Buradan i = 0,1,..., r + υ için
36
(3.16)
i −1
g ( ) ( x ) = (1 − ϕ ( x ) ) g 0( ) ( x ) + ϕ ( x ) g1( ) ( x ) + ∑ ϕ (
i
i
i
i− j)
j =0
( x ) ( g1( j ) ( x ) − g0( j ) ( x ) )
(3.17)
olduğundan i = 0,1,..., r + υ için (3.12), (3.13) ve (3.17) ile
f ( ) − g( )
i
= f ( ) − g1( )
i
f ( ) − g( )
i
i
ϕ ( I |I 0 )
i
= f ( ) − g 0( )
i
ϕ ( I | I1 )
f (i ) − g (i )
ϕ ( I2 )
ϕ ( I | I0 )
i
ϕ ( I | I1 )
≤ f (i ) − g 0( i )
≤ Ctυ −iωr −υ , ϕ
≤ Ctυ −iωr −υ , ϕ
i
ϕ ( I0 )
+ f (i ) − g1(i )
( f ( ) , t ) + C ∑ 
i
υ
≤ Ct υ −iωr −υ , ϕ
f ( ) − g 0(
j
υ
(3.18)
( f ( ),t ),
υ
(3.19)
i
ϕ ( I1 )
j)
+ C ∑ g1( j ) − g 0( j )
ϕ ( I2 )
j =0
+ f ( ) − g1(
j
ϕ ( I0 )
j =0
≤ Ct υ −iωr −υ , ϕ
( f ( ),t ),
j)
ϕ ( I1 )



( f ( ) , t ).
υ
(3.20)
i = 0,1,..., r için (3.12), (3.17) ve Önerme 1a [11] den,
g ( r +i )
≤ C  g 0( r +i )

ϕ (I )
ϕ ( I0 )
+ g1( r +i )
ϕ ( I1 )
+
r +i
+ ∑ ϕ (i − j ) ( x ) g1( j ) ( x ) − g 0( j ) ( x )
j =0
≤ C  g 0( r +i )

≤ C  g 0( r +i )

ϕ ( I0 )
ϕ ( I0 )
≤ Ct υ −i − rωr −υ , ϕ
+ g1( r + i )
+ g1( r +i )
ϕ ( I1 )
ϕ ( I1 )


ϕ ( I2 )

+ g1 − g 0
+ f − g0
ϕ ( I2 )
ϕ ( I0 )
( f ( ),t)
υ
kullanılırsa 0 < t <
b− a
4r2
ϕ (I )
= .
ϕ ( I2 )
+ .
+ f − g1
ϕ ( I1 )



(3.21)
elde edilir. Böylece
.



ϕ ( I |I0 )
için (3.18) ve (3.21) den,
37
+ .
ϕ ( I |I1 )
K rυ,ϕ ( f , t ) ≤ f − g
υ, ϕ
+ tr g(
r)
υ, ϕ
≤ Ctυ ωr −υ , ϕ
( f ( ),t)
υ
(3.22)
elde ederiz. Diğer taraftan herhangi s ≥ 1 için
K rυ,ϕ ( f , st ) ≤ s r +υ K rυ,ϕ ( f , t )
buluruz. Böylece (3.22) den ve tυωr −υ , ϕ
K rυ,ϕ ( f , st ) ≤ s r +υ Ct υωr −υ , ϕ
( f ( ) , t ) nin monotonluğundan
υ
( f ( ),t ) ≤ ( s
υ
r +υ
C ) ( st ) ωr −υ , ϕ
υ
( f ( ) , st )
υ
çıkar. Böylece 0 < t ≤ b − a için
( f ( ),t )
K rυ,ϕ ( f , st ) ≤ Ct υ ωr −υ , ϕ
υ
(3.23)
elde ederiz. Burada C sabiti sadece r ve ϕ ye bağlıdır.
r +i
, r +υ
ve ayrıca herhangi p ( x ) ∈ Pr −1 için p ( ) ( x ) = 0, i = 0,1,...,υ
Pr −1 ⊂ L∗∗
ϕ
olur. Bundan dolayı r ≥ 1 için K rυ,ϕ ( f , t ) ≤ ρυ ,ϕ ( f , Pr −1 ) olur. Böylece aşağıda
verilen Önerme 3.3.4 den görülebilir ki t ≥ b − a için Teorem 3.3.3 doğrudur. Şimdi
Teorem 3.3.3 in ispatını bitirmiş olduk.
Önerme 3.3.4: Varsayalım ki r = 1, 2,... ve υ = 0,1,..., r olsun. Bu durumda
,r
herhangi f ∈ L∗∗
ve t ≥ b − a için
ϕ
(
ρ r ,ϕ ( f , Pr −1 ) ≤ Ctυωr −υ , ϕ f (υ ) , t
)
olur. Burada Pr −1 , r − 1 dereceli bütün cebirsel polinomların kümesidir ve C sabiti
sadece r ve ϕ ye bağlıdır.
,r
,r +υ
İspat: Teorem 3.3.3 in ispatının ilk kısmından f ∈ L∗∗
için öyle g ∈ L∗∗
ϕ
ϕ
mevcuttur ki
38
f −g
+ (b − a ) g (
r
υ , ϕ ,( b − a )
r)
( f ( ),b − a)
≤ C ( b − a ) ωr −υ , ϕ
υ
r
υ , ϕ ,( b − a )
r −1 ( i )
g ( a)
i!
i =0
olur. [12] de olduğu gibi p ( x ) = ∑
( x − a)
i
(3.24)
∈ Pr −1 olsun. Buradan i = 1,..., r ve
x ∈ [ a, b ] için
g (i −1) ( x ) − p ( i −1) ( x ) =
x
()
()
∫ ( g ( t ) − p ( t ) ) dt
i
i
a
x
(
)
≤ ∫ g (i ) ( t ) − p ( i ) ( t ) dt ≤ g (i ) − p ( i )
a
1Ψ .
ϕ
1
Böylece i = 1,..., r için kolaylıkla görülebilir ki
g ( i −1) − p (i −1)
ϕ
= sup
( )
( )
∫ ( g ( x ) − p ( x ) ) v ( x ) dx
i −1
i −1
ρ ( v ,Ψ1 )≤1 I
≤ g ( ) − p( )
i
= 1
b
i
ϕ
ρ ( v ,Ψ1 )≤1 a
1
1 Ψ g ( ) − p( )
i
ϕ
∫ v( x) dx
1 Ψ sup
i
≤ C ( b − a ) g ( ) − p( )
i
ϕ
1
i
ϕ
.
Bundan dolayı, t ≥ b − a için
f − p υ , ϕ ,t ≤ f − g
≤ f −g
υ , ϕ ,t
+ g − p υ , ϕ ,t
υ , ϕ ,t
+ C ( b − a )  g
r

≤C f −g

+ (b − a ) g
r
υ , ϕ ,t
υ
 t 
≤ C 

 (b − a ) 
υ
 t 
≤ C 

 (b − a ) 


t


∑
i =0  C ( b − a ) 
υ
(r )
ϕ
 t 


∑
i =0  ( b − a ) 
υ
(r )
ϕ
{ f −g
υ , ϕ ,( b − a )
+ (b − a ) g (r )
{ f −g
υ , ϕ ,( b − a )
+ (b − a ) g (r )
r
ϕ
i
i



r
39
}
(υ + 1)
υ , ϕ ,( b − a )
}
(3.25)
olarak elde ederiz. (3.24), (3.25) ve aşağıdaki eşitsizlik ışığında t ≥ b − a için
υ
( b − a ) ωr −υ , ϕ
( f ( ),b − a) ≤ t ω
υ
( f ( ),t)
υ
υ
r −υ , ϕ
Önerme 3.3.4 nın ispatını tamamlarız.
∗∗
Sonuç 3.3.5: Varsayalım ki L , L∗∗
ϕ dan Lϕ a bir sınırlı lineer operatör olsun
,r +υ
ve L υ , ϕ ≤ C0 olsun. Eğer herhangi bir g ∈ L∗∗
için
ϕ
g − L ( g ) υ , ϕ ≤ C0t r g (
r)
υ, ϕ
,r
ise herhangi f ∈ L∗∗
için L υ , ϕ = sup L ( f ) υ , ϕ olmak üzere
ϕ
f
υ, ϕ
≤1
f − L ( f ) υ , ϕ ≤ Ct υ ωr −υ , ϕ
( f ( ),t)
υ
olur. Burada C sabiti sadece r ve ϕ ye bağlıdır.
3.4
Ana Sonuçların İspatı
İspat için aşağıdaki Önermelere ihtiyacımız vardır.
Önerme 3.4.1: Varsayalım ki I = [ a, b ] ve J = [ c, d ] kapalı aralıklar
olsunlar. I ⊂ J , r = 0,1,... ve f ( x ) fonksiyonu I üzerinde tanımlı olsun. f ( x )
fonksiyonunu I dan J ye aşağıdaki formülle genişletelim:

, x ∈ [ a, b ] ,
 f ( x)
 2r

f 0 ( x ) =  ∑ α i f ( a + 2− i ba−−ac ( a − x ) ) , x ∈ [ c, a ) .
i = 0
 2r
βi f ( b − 2− i db−−ab ( x − b ) ) , x ∈ ( b, d ].
i∑
=0
Burada {αi } ve {βi } aşağıdaki koşulları sağlayan reel sayılardır:
40
2r
∑ α i ( −2
i =0
− i b−a
a −c
)
j
2r
= 1 , ∑ βi ( −2− i
i =0
b−a
d −b
)
j
= 1,
j = 0,1,..., 2r ⋅
,i
Öyleyse i, j = 0,1,..., r , t > 0 ve herhangi f ∈ L∗∗
için
ϕ
(
)
(
ω j , ϕ ( J ) f 0( i ) , t ≤ Cω j , ϕ ( I ) f ( i ) , t
)
olur. Burada C sabiti r , ϕ , I ve J ye bağlıdır.
Önerme 3.4.1 in ispatı Ramazanov’un çalışmasındaki Önerme[11] ve
Teorem 2[11] nin yöntemi kullanarak yapılır. n dereceli bütün cebirsel polinomların
kümesi Pn olsun.
1
4r
∫ λ ( t ) dt = 1
(3.26)
n
−1
4r
olacak şekilde λn ( t ) ∈ Pn alalım.
t
K n ( t ) = λn   4
4
(3.27)
ve
r
µn ( t ) := ∑ ( −1)
k +1
k =1
r  t 
  Kn   k
k   k 
(3.28)
olsun.
Eğer f ( x ) fonksiyonu [ −1,1] aralığında tanımlı ise, f ( x ) fonksiyonunu
[ −2, 2] ye genişletmek için Önerme 3.4.1 deki yöntemi kullanırız ve genişletilmiş
f ( x ) fonksiyonunu f0 ( x ) ile ifade ederiz.
Φ n ( f , x ) :=
2
∫ f ( t ) µ ( t − x ) dt ∈ P ,
0
n
−2
41
n
(3.29)
x
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt
0
alalım.
2i
Varsayalım ki −1 + r , i = 1, 2,..., r interpolasyon noktaları ile F ( x ) in r inci
interpolasyon polinomu Qr ( x ) olsun.
q ( f , x ) := Qr′ ( x ) yazarak aşağıdaki önemli bir polinomu tanımlayalım:
Ln ( f , x ) = Φ n ( f − q ( f ) , x ) + q ( f , x ) ∈ Pn , n ≥ 1.
(3.30)
Önerme 3.4.2: [19] Varsayalım ki r , n = 1, 2,... ve i = 0,1,..., 4r − 2 olsun. Bu
durumda (3.27) de tanımlanan K n (t ) ,
4
∫t
i
K n ( t ) dt ≤ Cn − i ,
(3.31)
−4
{
≤ C 1 + q(
υ)
( b − a ) }ωr −υ , ϕ
υ
( f ( ) , b − a ) . (3.32)
υ
eşitsizliklerini sağlar. Burada C sadece r ve ϕ ye bağlıdır.
Önerme 3.4.3: r = 1, 2,... ve υ = 0,1,..., r olduğunu varsayalım. Öyleyse
(3.29) da tanımlanan Φ n lineer operatörü ve [ −1,1] aralığında en azından υ kökü
,r
bulunan herhangi f ∈ L∗∗
için,
ϕ
f(
υ)
(.) − Φ(nυ ) ( f ,.)
ϕ

 υ 1
υ
≤ C ωr −υ , ϕ  f ( ) ,  + n1−4 r +υ f ( )
n


ϕ



elde ederiz. Burada C sadece r ve ϕ ye bağlıdır
İspat: [12] deki değişkenleri kullanarak
 −2 − x 2 − x 
Ei , x = 
,
i 
 i
 1 1
 − ,  , Ri , x = ∫ f 0 ( x + it ) K n ( t ) dt
 r r
Ei , x
alalım. O zaman
42
1
r
∫{
Φn ( f , x) =
−
f 0 ( x ) + ( −1)
r +1
1
r
r
i +1  r 
∆ tr ( f 0 , x ) K n ( t ) dt + ∑ ( −1)   Ri ( x )
i =1
i
}
= An ( f , x ) + Bn ( f , x )
ve
f (υ ) ( .) − Φ (nυ ) ( f ,.)
≤ f (υ ) ( .) − An(υ ) ( f ,.)
ϕ
+ Bn(υ ) ( f ,.)
ϕ
ϕ
olur.
,r +υ
g ∈ L∗∗
ve g0 , g nin [ −1,1] den [ −2, 2] ye genişletilmiş fonksiyonu olsun.
ϕ
Öyleyse (3.26) dan,
g ( ) ( x ) − An( ) ( g , x ) = ( −1)
i
i
r
1
r
()
∫ ∆ ( g , x ) K ( t ) dt , i = 0,1,...,υ
i
0
r
t
−
n
1
r
çıkar. i = 0,1,...,υ için Önerme 3.4.1 ve (3.31) den,
g ( ) (.) − An( ) ( g ,.)
i
 1r



(i )
r
= sup ∫  ∫ ∆ t g 0 , x K n ( t ) dt  v ( x ) dx
ρ ( v ,Ψ1 )≤1 −1
 −1

 r

1
i
ϕ
(
1
r
≤
)
1


(i )
r
sup
∫1  ρ(v,Ψ1 )≤1 −∫1 ∆t g0 , x v ( x ) dx  K n ( t ) dt

− 
(
)
r
1
r
1
r
()
∫ ω ϕ ( g , t ) K ( t ) dt ≤ ∫ t
≤
i
0
r,
n
1
−
r
1
−
r
≤C g
elde ederiz. Bundan dolayı t =
1
n
1
r
(i + r )
t
] ∫
ϕ [ −1,1
−
r
r
g 0(
i+r )
ϕ [ −2, 2 ]
K n ( t ) dt ≤ Cn − r g ( i +r )
1
r
K n ( t ) dt
ϕ [ −1,1]
,r +υ
ve herhangi g ∈ L∗∗
için
ϕ
g ( .) − An ( g ,.) υ , ϕ , 1
n
r
1
r
≤ C   g( )
n
43
υ , ϕ , 1n
(3.33)
,r +υ
buluruz. Diğer taraftan f ∈ L∗∗
[ −1,1] ve i = 0,1,...,υ için kolaylıkla
ϕ
(i )
n
A
( f ,.)
≤ f ( ) ( x)
ϕ
= f
(i )
r
1
r
( x ) + ∑ ∫ ( −1)
r− j
j =0 1
−
r
 r  (i)
 j  f 0 ( x + jt ) K n ( t ) dt
 
ϕ
 r 1r

r − j  r  (i )


+ sup ∫ ∑ ∫ ( −1)   f0 ( x + jt ) K n ( t ) dt  v ( x ) dx
ρ ( v ,Ψ1 )≤1 −1 j =0 1
 j
 −



r
1
i
ϕ
1
≤ f ( ) ( x)
1+ jt

 r  r 
i
+ ∑   ∫  sup ∫ f0( ) ( y ) v ( y − jt ) dy  K n ( t ) dt
j =0  j  1  ρ ( v ,Ψ1 )≤1 −1+ jt

− 
r
i
ϕ
r
1
≤ f
(i )
( x)
r r 
i
+ ∑   ∫  sup f 0( )
j =0  j  1  ρ ( v ,Ψ1 )≤1
−
r
ϕ
ϕ [ −1+ jt ,1+ jt ]
v
Ψ1 [ −1,1]

 K n ( t ) dt

r
≤ f ( ) ( x)
i
+ C f 0( )
1
r
i
ϕ
ϕ [ −2,2]
∫ K ( t ) dt ≤ C
n
1
−
r
f()
i
ϕ [ −1,1]
.
Dolayısıyla
An ( f ,.) υ , ϕ ≤ C f
υ, ϕ
,
,r
f ∈ L∗∗
ϕ [ −1,1]
buluruz ki bu
An
υ, ϕ
≤ C,
( n = 1, 2,...)
olduğunu gösterir.
,r
f ∈ L∗∗
ϕ [ −1,1] için (3.33), (3.34) ve Teorem 3.3.3 ün sonucundan,
υ
1
 υ 1
f (.) − An ( f ,.) υ , ϕ , 1 ≤ C   ωr −υ , ϕ  f ( ) ,  .
n
n
n

Bundan dolayı,
44
(3.34)
f (υ ) (.) − An(υ ) ( f ,.)
ϕ
1

≤ Cωr −υ , ϕ  f (υ ) , 
n

(3.35)
çıkar. Ayrıca
Bn(
υ)
r
( f , x ) = ∑ ( −1)
i +1
i=0
 r  (υ )
  Ri ( x )
i
ve
Ri(υ ) ( x ) =
f 0(υ ) ( x + it ) K n ( t ) dt +
∫
Ei , x
 1  j +1  (υ −1− j )
2−x
−2 − x   
(υ −1− j )
+ ∑ 1 −   f 0
( 2 ) K n( j ) 
( −2 ) K n( j ) 
 − f0
 
 i 
 i   
j =0 
 i  
υ −1
göz önünde bulundurularak (3.32) den,
∫
Ei , x


(υ )
f
x
it
K
t
dt
+
(
)
(
)
 v ( x ) dx
n
∫ ∫ 0
ρ ( v ,Ψ1 )≤1 −1 E
 i , x

1
f0(υ ) ( x + it ) K n ( t ) dt
= sup
ϕ
≤
1+it


(υ )
sup
∫E  ρ (v,Ψ1 )≤1 −1∫+it f0 ( y ) v ( y − it ) dy  K n ( t ) dt

i,x 
≤ c f0(υ )
∫ K ( t ) dt ≤ cn
1− 4 r
ϕ [ −2,2]
≤ cn1−4 r +υ f (υ )
n
Ei , x
ϕ
f (υ )
ϕ [ −1,1]
.
(3.36)
Varsayımlarımızdan, f (i ) , i = 1, 2,...,υ − 1 nin [ −1,1] üzerinde i tane kökü vardır.
Varsayalım ki i = 1, 2,...,υ − 1 için f ( i ) nin kökleri ci olsun. Öyleyse
x ∈ [ −2, 2] için
f0(i ) ( x ) =
x
∫
f 0( i+1) ( t ) dt ≤
∫
f0( i +1) ( x ) dx
−2
ci
≤ f 0( i+1)
2
ϕ [ −2,2]
1
Ψ1
45
≤ C f ( i+1)
ϕ [ −1,1]
elde ederiz. Böylece i = 0,1,...,υ − 1 için,
f (i)
ϕ [ −1,1]
≤ C f (i +1)
ϕ [ −1,1]
çıkar. Dolayısıyla x ∈ [ −2, 2] için,
f 0( ) ( x ) ≤ C f (
i
i +1)
υ)
ϕ
≤ ... ≤ C f (
ϕ
, i = 0,1,...,υ − 1
olur. Bundan dolayı j = 0,1,...,υ − 1 için,
f 0(
υ −1− j )
( 2) ≤ C
f(
υ)
υ −1− j )
ϕ
, f 0(
( −2 ) ≤ C
f(
υ)
ϕ
.
(3.32) yi tekrarlarsak
 1  j +1  (υ −1− j )
−2 − x   
2− x
(υ −1− j )
( 2 ) K n( j ) 
( −2 ) K n( j ) 
 −   f 0
∑
 − f0
 
 i 
 i   
j =0 
 i  
υ −1
≤ Cn1−4 r +υ f (υ )
ϕ
buluruz. Böylece
j +1
2− x
−2 − x   
 1   (υ −1− j )
(υ −1− j )
( 2 ) K n( j ) 
( −2 ) K n( j ) 
 −   f 0
∑
 − f0
 
 i 
 i   
j =0 
 i  
υ −1
≤ Cn1− 4 r +υ f (υ )
ϕ
elde ederiz. (3.36) ve (3.37) den
Ri(
υ)
(.)
υ)
ϕ
≤ Cn1−4 r +υ f (
46
ϕ
, i = 1,..., r
(3.37)
ϕ
buluruz. Bundan dolayı
Bn(
υ)
( f ,.)
υ)
ϕ
≤ Cn1−4 r +υ f (
ϕ
.
(3.38)
(3.35) ve (3.38) ten, Önerme 3.4.3 un ispatını tamamlayabiliriz.
Önerme 3.4.4: Varsayalım ki r = 1, 2,... , υ = 0,1,..., r ve q ( f , x ) yukarıda
tanımlandığı gibi olsun. q (υ ) = sup q (υ ) ( f ,.)
f
ϕ
ϕ
≤1
alalım. Böylece herhangi
,r
f ∈ L∗∗
ϕ için,
f(
υ)
(.) − q(υ ) ( f ,.)
ϕ
{
≤ C 1 + q(
υ)
υ
( b − a ) }ωr −υ , ϕ
( f ( ),b − a)
υ
olur. Burada C sadece r ve ϕ ye bağlıdır.
İspat: Q ( x ) ∈ Pr −1 olduğunu varsayalım. Öyleyse, Önerme 3.3.4 ü kullanarak,
[12] den,
f (υ ) ( .) − q (υ ) ( f ,.)
ϕ
≤ f (υ ) − Q(υ )
{
−υ
+ q(υ ) ( f − Q,.)
ϕ
≤ ( b − a ) + q(
{
≤ C 1 + q(
υ)
υ)
}
f ( ) − Q(
υ
( b − a ) } ωr −υ , ϕ
υ
ϕ
υ)
υ , ϕ ( b−a )
( f ( ), b − a).
υ
Teorem 3.2.1’in İspatı: Varsayalım ki x ∈ [ −1,1] için υ = 0,1,..., r olsun.
Markov eşitsizliğinden,
q(
υ)
q ( f , x ) = C max Qr′ ( x ) ≤ C max Qr ( x ) .
( f , x ) ≤ C xmax
∈[ −1,1]
x∈[ −1,1]
x∈[ −1,1]
[19] daki Önerme 4 ü kullanarak
C max Qr ( x ) ≤ C max F ( x ) = C max
x∈[ −1,1]
x∈[ −1,1]
x∈[ −1,1]
47
x
∫ f ( t ) dt
0
(3.39)
1
≤ C ∫ f ( x ) dx ≤ C f
ϕ
1
−1
Ψ1
≤C f
(3.40)
ϕ
buluruz. (3.39) ve (3.40) tan,
q (υ ) ( f ,.)
≤C f
ϕ
ve q (υ )
ϕ
ϕ
≤C
çıkar. Önerme 3.4.3, Önerme 3.4.4 ve q ( f , x ) in r − 1 dereceli bir polinom olması
ile [12]
f(
υ)
(.) − L(nυ ) ( f ,.)
= f(
υ)
ϕ
(.) − q(υ ) ( f ,.) − Φ(nυ ) ( f
− q ( f ) ,.)
ϕ
1


≤ C ωr −υ , ϕ  f (υ ) ,  + n1− 4 r +υ f (υ ) (.) − q (υ ) ( f ,.)
n



1

≤ C ωr −υ , ϕ  f (υ ) ,  + n1− 4 r +υ ωr −υ , ϕ
n


ϕ



( f ( ) , 2)
υ

1
1 
r −υ


≤ C ωr −υ , ϕ  f (υ ) ,  + n1− 4 r +υ ( 2n ) ωr −υ , ϕ  f (υ ) ,  
n
n 



 υ 1
≤ Cωr −υ , ϕ  f ( ) , 
n

elde ederiz.
Teorem 3.2.2 nin İspatı: [6] daki Bölüm 4 ten r = 1, 2,... için, öyle
{ }
~
K n ( t ) ⊂ Tn mevcuttur ki
π
~
∫π K ( t ) dt = 1,
(3.41)
n
−
π
∫π t
i
~
K n ( t ) dt ≤ Cn − i , i = 0,1,..., r
(3.42)
−
olur.
Ln ( f , x ) :=
π
∫π { f ( x ) + ( −1)
r +1
}
~
∆ tr ( f , x ) K n ( t ) dt ∈ Tn
−
48
(3.43)
alalım [12]. (3.33) ve (3.34) daki gibi benzer sonuçlardan, (3.41) ve (3.42) den
r
1
g (.) − Ln ( g ,.) υ , ϕ , 1 ≤ C   g ( r )
n
n
Ln
υ, ϕ
υ , ϕ , 1n
,r +υ
, g ∈ L∗∗
ϕ ,π
≤ C , n = 1, 2,....
(3.44)
(3.20)
,r +υ
olduğu görülebilir. Böylece herhangi f ∈ L∗∗
için Teorem 3.3.3 ün sonucundan,
ϕ ,π
υ
1
 υ 1
f (.) − Ln ( f ,.) υ , ϕ , 1 ≤ C   ωr −υ , ϕ  f ( ) , 
n
n
n

çıkar. Dolayısıyla
f(
υ)
(.) − L(nυ ) ( f ,.)
ϕ [ −π ,π ]
 υ 1
≤ Cωr −υ , ϕ  f ( ) , 
n

elde ederiz.
49
4. AĞIRLIKLI ORLICZ UZAYLARINDA AYNI ANDA
YAKLAŞIM
4.1
Giriş
Bu bölümde konvekslik şartı olmayan Young fonksiyonu ile üretilen L∗∗
ϕ ,ω
ağırlıklı Orlicz uzaylarında aynı anda trigonometrik yaklaşımın temel teoremleri
ifade ve ispat edilmiştir. Biz özellikle Ap Muckenhoupt koşulunu sağlayan ağırlıkları
kullanacağız.
Özel durumda, ϕ konveks olduğunda, trigonometrik yaklaşımda Jackson
eşitsizlikleri ve tersi gibi bazı temel eşitsizlikler İsrafilov ve Güven tarafından
incelenmiştir. Örneğin [20] de klasik ağırlıklı Orlicz uzaylarında Jackson tipli
eşitsizlikleri ve tersi İsrafilov ve Güven tarafından ispatlanmıştır. [21] de klasik
ağırlıklı Orlicz uzaylarında fonksiyonların türevleri için Jackson tipli eşitsizlikleri ve
tersi İsrafilov ve Güven tarafından ispatlanmıştır.
ϕ kvazi-konveks yani ϕ bir konveks Young fonksiyonuna denk olduğunda
[16] da Akgün L∗ϕ ,ω de bazı düz ve ters teoremleri elde etmiştir. Özellikle [17] de
Akgün ve İsrafilov aynı anda yaklaşım ve ters yaklaşım teoremlerini incelediler.
İnceleyeceğimiz fonksiyon sınıflarını tanımlamak için klasik ağırlıklı Orlicz
uzayı tanımı ile başlayalım.
Kolaylık olsun diye bu çalışmada her yerde C sabiti ile değişik yerlerdeki
farklı pozitif reel sayılar ifade edilecektir.
Bir ω : T → [0, ∞] fonksiyonu ölçülebilir ve ω −1 ({0, ∞} ) öngörüntü
kümesinin ölçümü sıfır oluyorsa ω fonksiyonuna ağırlık fonksiyonu denir.
2π periyotlu bir ω ağırlık fonksiyonu eğer



1
J


∫J ω ( x)dx 
1
J
∫ω
J
− p1−1

( x)dx 

50
p −1
≤ C , 1 < p < ∞,
sağlarsa ω , Ap , 1 < p < ∞ Muckenhoupt sınıfında bir ağırlıktır denir. Burada C
sonlu bir sabit; J , T nin herhangi bir alt aralığı, J , J nin uzunluğunu ifade eder
[24].
M ( ∞ ) := lim x→∞ M ( x ) = ∞ koşulunu sağlayan M :[0, ∞) → [0, ∞) artan
fonksiyonların sınıfını Φ ile ifade edeceğiz. M bir N − fonksiyonu olduğunda [2]
N (u ) ile M (u ) N − fonksiyonunun tümleyenini ifade ederiz. M (u ) bir
N − fonksiyonu olsun. T
:= [0, 2π ) üzerinde tanımlanmış ölçülebilir f fonksiyonlar
sınıfını göz önüne alalım öyle ki f ( x ) g ( x)ω ( x ) çarpımı T üzerinde her ölçülebilir
g ∈ L N için integrallenebilir olsun ve
ρ g := ρ ( g , N , ω ) = ∫ N ( g ( x ) )ω ( x)dx,
T
ρ ( g, N ,ω ) ≤ 1
yazalım.
Son eşitsizliği sağlayan bütün g ler üzerinden supremum alarak
f
M ,ω
Orlicz normunu tanımlarız. f
:= sup ∫ f ( x) g ( x)ω ( x)dx
M ,ω
g
T
< ∞ koşulunu sağlayan f : T → R
fonksiyonlarının oluşturduğu bu sınıf L*M ,ω ile gösterilir ve klasik ağırlıklı Orlicz
uzayı olarak adlandırılır.
M ( x, p ) := x p , 1 < p < ∞ alarak bir ω ağırlığı için Lp ( T, ω ) := LM (., p ),ω ( T )
oluşur.
Biz şimdi klasik L*M ,ω Orlicz uzayından daha geniş olan başka bir fonksiyon
sınıfının tanımını vereceğiz. Bu geniş sınıfı L**ϕ ,ω ile ifade edeceğiz. ϕ ∈ L**
ϕ ,ω
fonksiyonlarının konveks olmasına gerek yoktur.
51
−∞ < p ≤ q < ∞ alalım ve Y [ p, q ] ile (−∞, ∞ ) aralığında tanımlanmış
aşağıdaki iki koşulu sağlayan ϕ ∈ Φ çift fonksiyonlarını ifade edelim.
i)
u artarken, ϕ ( u ) / u p azalmayandır:
ii)
u artarken, ϕ ( u ) / u q artmayandır.
p < q olduğunda Y p, q ile bir ε , δ > 0 için ϕ ∈ Y [ p + ε , q − δ ] koşulunu
sağlayan ϕ fonksiyonlar sınıfını ifade ederiz.
ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ], 0 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ( ya da benzer şekilde −∞ ≤ p1 ≤ p2 ≤ 0 ) ile
x, (0, ∞) aralığında artarken ϕ ( x) x − p1 azalmayan, ϕ ( x) x − p2 artmayan koşullarını
sağlayan ϕ ( x) ≥ 0 çift fonksiyonların sınıfı gösterilir.
ϕ ( x) ~ [ p1 , p2 ], 1 ≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ ile t → ∞ iken ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t → ∞ alalım.
ψ 1 (t ) , ϕ1 (t ) = ϕ (t ) t fonksiyonunun ters fonksiyonu olsun. ψ 1 (t ) azalmayan, sürekli,
pozitiftir.
x
x
0
0
Φ1 ( x) := ∫ ϕ1 (t )dt ve Ψ1 ( x) := ∫ψ 1 (t )dt
yazalım. Buradan Φ1 ( x), Ψ1 ( x) konveks birer fonksiyon olurlar ve böylece Φ1 ( x)
ile Ψ1 ( x) Young anlamında tümleyen fonksiyon olurlar.
L**ϕ ,ω ( T ) ile öyle f ( x) , x ∈ T fonksiyonlarını tanımlarız ki f ( x) g ( x) çarpımı T
aralığında her g ( x) ∈ Lψ1 ,ω için integrallenebilirdir.

∗∗
L∗∗
ϕ ,π ,ω := Lϕ ,ω (T) :=  f : T → R;

∫ f ( x) g ( x)ω ( x)dx < ∞, g ∈ L
Ψ1 ,ω
T
L**ϕ ,π ,ω uzayında Lüksemburg normu
f


f
 
:
=
inf
τ
>
0
:
ρ
Ψ
,
,
ω


 ≤ 1
1
(ϕ ),ω
τ


 
52

.

şeklinde tanımlayabiliriz.
Öyle sabitler mevcuttur ki
1 f
ϕ ,ω
≤ f
(ϕ ),ω
≤2 f
ϕ ,ω
.
Kolaylıkla görülebilir ki yukarıdaki normlarla L**ϕ ,ω ( T ) ⊂ L1 ( T ) olur ve
L**ϕ ,ω ( T ) bir Banach uzayı olur. L**ϕ ,ω ( T ) Banach uzayı ağırlıklı Orlicz uzayı olarak
adlandırılır ve
f
ϕ ,ω


:= sup  ∫ f ( x) g ( x) ω ( x)dx : ∫ Ψ1 ( g ( x) ) ω ( x)dx ≤ 1
g T
T

olur.
f ∈ L∗∗
ϕ ,π ,ω , g ∈ LΨ1 ,ω için
∫ f ( x) g ( x)ω ( x)dx ≤
f
ϕ ,ω
g
( Ψ1 ),ω
T
eşitsizliğine genelleştirilmiş Hölder eşitsizliği denir.
Bu bölümün ana amacı Sobolev tipli ağırlıklı uzaylarda fonksiyonlara
trigonometrik polinomlarla aynı anda yaklaşım problemlerini göz önüne almaktır.
,r
1
(r)
∗
L∗∗
∈ L∗∗
ϕ ,π ,ω := { f ∈ L : f , f
ϕ ,π ,ω \ Lϕ ,π ,ω } .
f ∈ L**ϕ ,ω (T) alarak
x+ h 2
1
Ah f ( x) :=
f (t )dt , x ∈ T
h x −∫h 2
ortalamasını tanımlarız.
53
Hardy-Littlewood Maksimal operatörünün ϕ ∈ Y p, q , 1 < p < q < ∞ ve
ω ∈ Ap için f ∈ L**ϕ ,ω (T) de sınırlılığını kullanarak Ah f (.)
ϕ ,ω
≤C f
ϕ ,ω
< ∞ elde
ederiz [15].
Şimdi ağırlıklı düzgünlük modülünü tanımlayalım. Eğer r ∈ N ,
ϕ ∈ Y p, q , 1 < p < q < ∞ ve ω ∈ Ap ise, I birim operatör olmak üzere, bir
f ∈ L∗∗
ϕ ,ω (T) fonksiyonu için ağırlıklı düzgünlük modülü
Ω0 ( f , δ ) ϕ ,ω := f
ϕ ,ω
ve
Ωr ( f , δ ) ϕ ,ω := sup
0≤ hi ≤δ
r
∏( I − A ( f )
,
hi
i =1
ϕ ,ω
şeklinde tanımlanır.
Bu koşullar altında
Ω r ( f , δ ) ϕ ,ω ≤ C f
ϕ ,ω
olur [25].
T n ile derecesi n den büyük olamayan trigonometrik polinomlar sınıfını
ifade edelim. f ∈ L∗∗
ϕ ,ω (T) için
En ( f ) ϕ ,ω := inf
{ f −T
ϕ ,ω
: T ∈T n
}
olarak tanımlanır.
f ∈ L1 ( T ) için
f ( x) ∼
α0 ( f )
2
∞
∞
k =1
k =0
+ ∑(ak ( f ) cos kx + bk ( f )sin kx) =: ∑ Ak ( x, f )
ve
54
∞
∞
⌢
⌢
f ( x) ∼ ∑(ak ( f ) sin kx − bk ( f ) cos kx) =: ∑ Ak ( x, f )
k =1
k =0
serilerine f nin Fourier ve eşlenik Fourier serileri denir. f nin Fourier serilerinin n
inci kısmi toplamını
n
Sn ( f ) := S n ( x, f ) := ∑ Ak ( x, f ), n = 0,1, 2,...
k =0
ile ifade edelim.
4.2
Ana Sonuçlar ve İspatları
Teorem 4.2.1: ϕ ∈ Y p, q , 1 < p < q < ∞ alalım. n, r ∈ N ve ω ∈ Ap olsun.
,r
Böylece f ∈ L∗∗
ϕ ,π ,ω için
( )
En ( f ) ϕ ,ω ≤ Cϕ ,ω ,r (n + 1)− r En f ( r )
ϕ ,ω
sağlanır. Burada C sabiti sadece ϕ , ω ve r ye bağlıdır.
İspat: [16] daki Teorem 1 in ispat yolunu kullanıp
,r
Ak ( x, f ) := ak cos kx + bk sin kx alalım. Herhangi f ∈ L∗∗
ϕ ,π ,ω ve ε > 0 için [22, Önerme
3] ten n dereceli öyle bir T trigonometrik polinomu bulunabilir ki
∫ ϕ ( f ( x) − T ( x) )ω ( x)dx < ε
(4.1)
T
olur.
Young eşitsizliği xy ≤ ϕ ( x ) + ϕ ( y ), ( x, y ≥ 0 ) ve (4.1) gösterir ki
f −T
Sn ( f )
ϕ ,ω
< ε dir. Böylece n → ∞ iken En ( f ) ϕ ,ω → 0 olur. Diğer taraftan
ϕ ,ω
≤ Cϕ , f
ϕ ,ω
ten [15, Remark 1.4.] En ( f ) ϕ ,ω ≈ f ( x) − Sn ( f )
ederiz ki bundan dolayı .
∞
ϕ ,ω
normunda f (⋅) = ∑ Ak ( ⋅, f ) olur.
k =0
55
ϕ ,ω
elde
rπ
rπ
rπ ⌢
rπ
, f ) cos
+ Ak ( x + , f )sin ,
2k
2
2k
2
rπ
Ak ( x, f ( r ) ) = k r Ak ( x + , f ), k = 1, 2,3,..., r ∈ R +
2k
Ak ( x, f ) = Ak ( x +
olduğundan
rπ
∞
rπ
∞
∑ A (⋅, f ) = A (⋅, f ) + cos 2 ∑ A (⋅ + 2k , f ) + sin
0
k
k
k =0
k =1
= A0 (⋅, f ) + cos
rπ
2
∞
∑k
−r
Ak (⋅, f ( r ) ) + sin
k =1
rπ
2
∑ A (⋅ + 2k , f )
rπ ⌢
rπ
2
∑k
∞
k
k =1
∞
−r
⌢ (r )
Ak (⋅, f ).
k =1
Böylece,
f (⋅) − Sn (⋅, f ) = cos
rπ
2
∞
∑
k − r Ak (⋅, f ( r ) ) + sin
k = n +1
rπ
2
∞
∑k
−r
⌢ (r )
Ak (⋅, f ).
k = n +1
Buradan
∞
∑
k − r Ak (⋅, f ( r ) ) =
k = n +1
∞
∑ k ( S (., f
−r
k
k = n +1
=
∞
∑ (k
−r
k = n +1
(r )
) − f ( r ) (.) ) − ( S k −1 (., f ( r ) ) − f ( r ) (.) ) 
− (k + 1)− r )( S k (., f ( r ) ) − f ( r ) (.) ) −
− (n + 1)− r ( S n (., f ( r ) ) − f ( r ) (.) )
ve
∞
∑k
k = n +1
−r
⌢ (r )
Ak (⋅, f ) =
∞
∑ (k
k = n +1
−r
)
(
⌢ (r ) ⌢ (r )
− (k + 1) − r ) S k (., f ) − f (.) −
)
(
⌢ (r ) ⌢ (r )
−(n + 1)− r S n (., f ) − f (.) ,
ile
56
∞
f − Sn ( f )
ϕ ,ω
≤
∑ (k
−r
k = n +1
− (k + 1)− r ) S k ( f ( r ) ) − f ( r )
+(n + 1) − r S n ( f ( r ) ) − f ( r )
+
∞
∑ (k
−r
k = n +1
ϕ ,ω
⌢ (r ) ⌢ (r )
− (k + 1) − r ) S k ( f ) − f
⌢ (r ) ⌢ (r )
+(n + 1) − r S n ( f ) − f
ϕ ,ω
ϕ ,ω
+
ϕ ,ω
 ∞

≤ C  ∑ ( k − r − (k + 1)− r ) Ek ( f ) ϕ ,ω + (n + 1) − r En ( f ( r ) )
ϕ ,ω 
 k = n+1

∞
⌢
⌢
(r)


+C  ∑ ( k − r − (k + 1) − r ) Ek f
+ (n + 1) − r En f
.
ϕ ,ω
ϕ ,ω 
 k = n +1
( )
( )
buluruz. Sonuç olarak
f − Sn ( f )
ϕ ,ω
 ∞
( k − r − (k + 1)− r ) + (n + 1)−r 
ϕ ,ω  ∑
 k = n+1

∞
⌢ (r )


+CEn f
k − r − (k + 1)− r ) + (n + 1) − r 
(
∑

ϕ ,ω  k = n +1

∞


≤ CEn ( f ( r ) )
k − r − (k + 1)− r ) + (n + 1) − r 
(
∑

ϕ ,ω
 k = n +1

1
≤C
.
En f ( r )
r
ϕ ,ω
(n + 1)
≤ CEk ( f ( r ) )
( )
( )
Teorem 4.2.2: ϕ ∈ Y p, q , 1 < p < q < ∞ , n, r ∈ N ve ω ∈ Ap olsun.
,r
Böylece L∗∗
ϕ ,π ,ω de n dereceli her T ∈ T n trigonometrik polinomu için
Tn( r )
ϕ ,ω
≤ Cn r Tn
ϕ ,ω
, r = 1, 2, 3,...
sağlanır. Burada C sabiti sadece r , ϕ ve ω ya bağlıdır.
57
,r
İspat: L∗∗
ϕ ,π ,ω de ω ∈ Ap ise
K n (⋅, f ) :=
1
{S0 (⋅, f ), S1 (⋅, f ),..., Sn (⋅, f )}
n +1
olduğunda
K n (., f )
ϕ ,ω
≤C f
ϕ ,ω
, n = 0,1, 2,...
olur.[23, s.99] dan
Fn (u ) :=

1 n 1 k
 + ∑ cos ju 
∑
n + 1 k =0  2 j =1

olduğundan
Tn′ (⋅) =
1
π
∫ T (⋅ + u )n sin nF
n −1
n
(u )du
T
olur. Böylece
Tn′ (⋅) ≤ 2nK n −1 (⋅, Tn )
elde ederiz. Buradan da Tn′
ϕ ,ω
≤ Cn Tn
ϕ ,ω
Bernstein eşitsizliğini buluruz ve
böylece r = 1, 2,3,... için
Tn( r )
ϕ ,ω
≤ Cn r Tn
elde ederiz.
58
ϕ ,ω
Teorem 4.2.3: ϕ ∈ Y p, q , 1 < p < q < ∞ alalım. n, r ∈ N , v = 0,1, 2,… , r ,
ω ∈ Ap ve En ( f ) ϕ ,ω = f − Tn∗
,r
olsun. Böylece f ∈ L∗∗
ϕ ,π ,ω için n dereceli öyle
ϕ ,ω
bir Tn trigonometrik polinomu bulunabilir ki
f ( ) − Tn(
v
v)
ϕ ,ω
( ))
≤ Cn v − r En f (
r
ϕ ,ω
sağlanır. Burada C sabiti sadece ϕ , ω ve r ye bağlıdır.
İspat : [15,Remark 1.4.] ten Sn ( f ,.)
( ))
En f (
ν
= f ( ) − qn
v
ϕ ,ω
ϕ ,ω
ϕ ,ω
≤C f
ϕ ,ω
dir.
, qn ∈ Tn olsun. Buradan Teorem 4.2.1 i
kullanarak
f (ν ) − Tn∗(ν )
ϕ ,ω
≤ f (ν ) − S n ( f (ν ) )
≤ f (ν ) − qn
( )
≤ En f
ϕ ,ω
(ν )
ϕ ,ω
+ qn − S n ( f (ν ) )
+ S n ( qn ) − S n ( f
ϕ ,ω
( ))
E ( f ( ))
E ( f ( ))
≤ (1 + C ) En f (
ν
≤ Cnν − r
≤ Cnν − r
+ S n(ν ) ( f ) − Tn∗(ν )
ϕ ,ω
r
n
ϕ ,ω
+ ( S n ( f ) − Tn∗ )(ν )
ϕ ,ω
(ν )
)
ϕ ,ω
ϕ ,ω
ν
ϕ ,ω
+ Cn S n ( f ) − Tn∗
+ Cnν S n ( f ) − S n (Tn∗ )
ϕ ,ω
ϕ ,ω
+ Cnν En ( f ) ϕ ,ω
r
n
ϕ ,ω
çıkar ve teoremin ispatını tamamlanır.
Teorem 4.2.4: ϕ ∈ Y p, q , 1 < p < q < ∞ alalım. n, r ∈ N , r = 0,1, 2,… ,
,r
v = 0,1, 2,… , r ve ω ∈ Ap olsun. Her f ∈ L∗∗
ϕ ,π ,ω için n dereceli öyle bir Tn
trigonometrik polinomu bulunabilir ki
f ( v ) − Tn( v )
ϕ ,ω
(
≤ Cϕ ,ω ,r n v −r Ω r ,⟨ϕ ⟩ ,ω 1 / n, f ( r )
sağlanır. Burada C sabiti sadece ϕ , ω ve r ye bağlıdır.
59
)
İspat : Tn ∈ Tn∗ , En ( f ) ϕ ,ω = f − Tn∗
ϕ ,ω
alalım ve ω ∈ Ap olsun. Teorem
1.5 [15], Teorem 1 [17] ve Teorem 4.2.1 den
)
(
)
(1/ n, f ( ) )
f − Tn
≤ Cn − r Ω r ,⟨ϕ ⟩ ,ω 1/ n, f (
r
ϕ ,ω
f − Tn∗
≤ Cn − r Ω r ,⟨ϕ ⟩ ,ω
r
ϕ ,ω
elde ederiz. Diğer taraftan
Tn − Tn∗
ϕ ,ω
(
≤ 2Cn − r Ω r ,⟨ϕ ⟩ ,ω 1/ n, f ( r )
)
olur. Böylece Bernstein eşitsizliğinden
f ( ) − Tn(
v
v)
≤ f ( ) − Tn (
v
ϕ ,ω
v −r
∗ v)
( ) + cn Ω
Ω
(1/ n, f ( ) )
≤ Cn En f
≤ Cnv −r
+ Tn( ) − Tn (
∗ v)
v
ϕ ,ω
(r )
v −r
(1/ n, f ( ) )
r
r ,⟨ ϕ ⟩ ,ω
r
r ,⟨ϕ ⟩ ,ω
elde ederiz. Burada C sabiti sadece ϕ , ω ve r ye bağlıdır.
60
ϕ ,ω
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu tezde L*ϕ Orlicz uzayından daha geniş ve benzer özelliklerine sahip olan
L**
ϕ Orlicz uzayı tanımlanmış ve bu Orlicz uzaylarının temel özellikleri ele alınmıştır.
Bu çalışmada ele alınan Orlicz uzayının üretildiği ϕ fonksiyonlarının
konveks olma zorunluluğu yoktur. Bu tezde L∗∗
uzaylarında incelenecek olan
ϕ
yaklaşım teorisi problemlerinde önemli bir koşulun zayıflatılması gibi bir kolaylık
ortaya konulmuştur.
Bu
tezin
ana
amacı
Sobolev
tipli
uzaylarda
fonksiyonlara
cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı anda yaklaşım problemleridir. Bu tezde
konvekslik şartı olmayabilen Young fonksiyonları ile üretilen Orlicz uzaylarında
cebirsel/trigonometrik polinomlarla yaklaşımın bazı problemleri çalışılmıştır. Aynı
zamanda K Fonksiyoneli ve L∗∗
uzayında düzgünlük modülü ele alınıp bazı
ϕ
özellikleri incelenmiştir.
Ayrıca konvekslik şartı olmayabilen Young fonksiyonları ile üretilen
Muckenhoupt
ağırlıkları
ile
oluşturulan
Orlicz
uzaylarında
polinomlarla aynı anda yaklaşım problemleri ele alınmıştır.
61
trigonometrik
6. KAYNAKLAR
[1] Soykan, Y., Fonksiyonel Analiz, İstanbul: Nobel Yayın Dağıtım, (2008).
[2] Krasnoselskii, M. A., Rutickii, Y. B., Convex functions and Orlicz spaces,
Groningen: Translated from the first Russian edition by Leo F. Boron, P. Noordhoff
Ltd., (1961).
[3] Lorentz, G. G., DeVore, R. A., Constructive Approximation, New York:
Springer-Verlag, (1993).
[4] Chen, Y.-M, “On two-functional spaces”, Studia Mathematica, 24, 61-88 (1964).
[5] Zygmund, A., Trigonometric series, Cambridge University Press: (1), 2nd
edition, (1959)
[6] Lorentz, G. G., Approximation of functions, Holt, Rinehart and Winston, (1966).
[7] Tsyganok, I. I., ‘‘A generalization of a theorem of Jackson’’, (Russian) Mat. Sb.
(N.S.) 71 (113), 257-260, (1966).
[8] Kokilasvili, V. M., ‘‘An inverse theorem of the constructive theory of functions
in Orlicz spaces’’, (Russian) Soobsc. Akad. Nauk Gruzin. SSR 37 263-270, (1965).
[9] Ponomarenko, V. G., ‘‘Approximation of periodic functions in an Orlicz space’’,
(Russian) Sibirsk. Mat. Z. (7), 1337-1346, (1966).
[10] Cohen, E., ‘‘On the degree of approximation of a function by the partial sums of
its Fourier series’’, Trans. Amer. Math. Soc. (235), 35-74, (1978).
[11] Ramazanov, A.-R. K., ‘‘On approximation by polynomials and rational
functions in Orlicz spaces’’, Anal. Math. 10 (2), 117-132, (1984).
[12] Garidi, W., ‘‘On approximation by polynomials in Orlicz spaces’’, Approx.
Theory Appl. 7 (3), 97-110, (1991).
[13] Akgün, R., ‘‘Approximating polynomials for functions of weighted SmirnovOrlicz spaces’’, J. Funct. Spaces Appl. , Article ID 982360, 41 pp. (2012)
[14] Akgün, R., ‘‘Inequalities for one sided approximation in Orlicz spaces’’,
Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40 (2), 231-240, (2011).
[15] Akgün, R., ‘‘Some inequalities of trigonometric approximation in weighted
Orlicz spaces’’, Mathematica Slovaca, in press.
[16] Akgün, R., Israfilov, D. M., ‘‘Approximation in weighted Orlicz spaces’’,
Mathematica Slovaca,, 61 (4), 601-618, (2011).
62
[17] Israfilov, D. M., Akgün, R., ‘‘Simultaneous and converse approximation
theorems in weighted Orlicz spaces’’, Bulletin of the Belgium Mathematics Society,
Simon Stevin, 17 (1), 13-28. (2010).
[18] Akgün, R., Koç, H., ‘‘Approximation by interpolating polynomials in weighted
symmetric Smirnov spaces’’, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 41
(5), 643-649., (2012).
[19] Yiqun, Y., ‘‘K-functional and Degree of Approximation (I)’’, (in Chinese), Acta
Mathematica Sinica, 27 (1), 133-144, (1984).
[20] Guven, A., Israfilov, D. M., ‘‘On approximation in weighted Orlicz spaces’’,
Mathematica Slovaca, 62 (1), 77-86, (2011).
[21] Israfilov, D. M., Guven, A., ‘‘Approximation by trigonometric polynomials in
weighted Orlicz spaces’’, Stud. Math., 174 (2), 147-168, (2006).
[22] Khabazi, M., ‘‘The mean convergence of trigonometric Fourier series in
weighted Orlicz classes’’, Proceedings of A. Razmadze Mathematical Institute,
(129), 65-75, (2002)
[23] Butzer, P. L., -Nessel, R., Fourier Analysis and Approximation, Basel-Stuttgart:
One dimensional Theory, Birkhauser, (1971).
[24] Muckenhoupt, B., ‘‘Weighted norm inequalities for the Hardy maximal
function’’. Trans. Amer. Math. Soc. (165), 207-226, (1972).
[25] Jafarov, S. Z., ‘‘On moduli of smoothness in Orlicz classes’’, Proc. Inst. Math.
Mech. Natl. Acad. Sci. Azerb. (33), 95-100, (2010).
63