bessel dönü“ümünün do‡urdu‡u pseudo

T.C.
AH EVRAN ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
BESSEL DÖNܓÜMÜNÜN DO‡URDU‡U
PSEUDO-DFERENSYEL OPERATÖRLER VE
ÖZELLKLER
ALPER “AHN
YÜKSEK LSANS TEZ
MATEMATK ANABLM DALI
KIR“EHR
Aralk - 2011
T.C.
AH EVRAN ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
BESSEL DÖNܓÜMÜNÜN DO‡URDU‡U
PSEUDO-DFERENSYEL OPERATÖRLER VE
ÖZELLKLER
ALPER “AHN
YÜKSEK LSANS TEZ
MATEMATK ANABLM DALI
DANI“MAN:
YRD. DOÇ. DR. AL AKBULUT
KIR“EHR
Aralk - 2011
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlü§ü'ne
Bu çal³ma jürimiz tarafndan MATEMATK
Anabilim Dalnda YÜKSEK LSANS
TEZ
olarak kabul edilmi³tir.
Ba³kan: Prof.Dr.Vagf S.GULYEV
Akademik Ünvan, Ad-Soyad
Üye: Prof.Dr.Ayhan “ERBETǝ
Akademik Ünvan, Ad-Soyad
Üye: Yrd.Doç.Dr.Ali AKBULUT
Akademik Ünvan, Ad-Soyad
Onay
Yukardaki imzalarn, ad geçen ö§retim üyelerine ait oldu§unu onaylarm.
.../.../20..
Doç.Dr.Mustafa KURT
Enstitü Müdürü
ÖZET
Pseudo diferensiyel operatörü
p(x, D) ve Bessel diferensiyel operatörü ∆α,β
harmonik analizin
önemli konular arasnda yer alm³tr. Son yllarda önemli bir inceleme alan olmu³ ve G. Altenburg,
J. J. Betankor, M. Belhadj, R. S. Pathak, S. Pathak, A. Prasad, S. Zaidman, A. H. Zemanian, D.
T. Haimo, P. K. Pandey, Ryusuke Numata, Micheal Taylor, Vagif S. Guliyev gibi birçok matematikçi
tarafndan çal³lm³tr.
Bu tez üç bölümden olu³maktadr.
Birinci bölümde
Rn
deki Pseudo diferensiyel operatör-
lerinin gösterimi ve özellikleri; ikinci bölümde Bessel Diferensiyel denklemi, Bessel fonksiyonlar ve
özellikleri; son bölümde ise Pseudo diferensiyel operatörü
p(x, D)
bir sembolün aracl§yla tanm-
lanm³ ve bu sembolün ters Hankel dönü³ümü verilmi³tir. Pseudo diferensiyel operatörü
p(x, D)
nin
Hankel dönü³ümü ile ili³kili belirli Sobolev Tipi Uzay ile snrland§ gösterilmi³tir. Sembol snar
H0m
ve
Hm
tanmlanm³tr. Ayrca bu snara ait semboller ile ili³kili Pseudo Diferensiyel operatör-
lerin Zemanian uzayn
Hα,β
Pseudo Diferensiyel operatör
atörlerin
L1
nn kendi içine dönü³türen sürekli lineer dönü³üm oldu§u gösterilmi³tir.
hα,β,a
için integral gösterimi ifade edilmi³tir. Pseudo Diferensiyel oper-
norm e³itsizli§ini sa§lad§ gösterilmi³tir.
Anahtar Kelimeler: Pseudo diferensiyel operatör, Hankel dönü³ümü, Hankel konvolüsyon, sembol
snf, integral gösterimi, Sobolev tipi uzay.
i
ABSTRACT
Pseudo dierential type operators
great value in harmonic analysis.
p(x, D)
and Bessel type dierential operator
∆α,β
have a
They are an important area of review in recent years; and have
been studied by such mathematicians as G. Altenburg, J. J. Betankor, M. Belhadj, R. S. Pathak,
S. Pathak, A. Prasad, S. Zaidman, A. H. Zemanian, D. T. Haimo, P. K. Pandey, Ryusuke Numata,
Micheal Taylor, and Vagif S. Guliyev.
This thesis consists of three chapters. Denitions and properties of Pseudo dierential operators on
Rn
presented in the rst chapter. In the second chapter Bessel dierential equation, Bessel
function and its properties are given; in the last section Pseudo dierential operator
of a symbol is dened and inverse Hankel transform of this symbol is dened.
p(x, D)
in terms
It is shown that the
Pseudo dierential operator is bounded in certian Sobolev type space associated with Hankel transform.
The symbol classes
H0m
and
Hm
are presented.
It is shown that Pseudo dierential type
operator associated with symbols belonging to these classes are continuous linear mappings of the
Zemanian space
Hα,β
into itself. Integral representation for Pseudo dierential type operator
is given. It is shown that Pseudo dierential type operators satisfy
L1
hα,β,a
norm inequality.
Keywords: Pseudo dierential operator, Hankel transform, Hankel convolution, symbol class, integral representation, Sobolev type space.
ii
TE“EKKÜR
Tez çal³mam süresince büyük yardmlarn gördü§üm, bilgi ve deneyimlerinden yararland§m
dan³manm sayn Yrd.
Doç.
Dr.
Ali AKBULUT'a, tezimin her a³amasnda de§erli yardmlarn
esirgemeyen sayn Prof. Dr. Vagif S. GULYEV'a içtenlikle te³ekkür ederim.
iii
ÇNDEKLER DZN
ÖZET
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TE“EKKÜR
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ÇNDEKLER DZN
1
GR“
1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Temel Kavramlar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
PSEUDO DFERENSYEL OPERATÖRLERN GÖSTERM
3
BESSEL FONKSYONLARI VE BESSEL OPERATÖRÜ LE
4
. . . . . . .
6
. . . . . .
10
3.1
Bessel Operatörü le li³kilendirilmi³ Pseudo-Diferensiyel Operatör . . .
15
3.2
Hankel Konvolüsyon
15
3.3
Pseudo-Diferensiyel Operatör
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.4
Sembol Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.5
Notasyonlar ve Terminoloji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.6
Pseudo-Diferensiyel Operatörü
3.7
hα,β,a
3.8
L1 -Norm
E³itsizli§i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.9
Sonuçlar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
L“KLENDRLM“ PSEUDO-DFERENS YEL OPERATÖR
P (x, D)
hα,β,a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
çin ntegral Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
KAYNAKLAR
ÖZGEÇM“
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
SEMBOLLER VE KISALTMALAR
Rn :
Gsµ,p :
C ∞ (I × I) :
∆(x, y, z) :
Cr :
p(x, D) :
Γ(n) :
S(Rn ) :
fb :
∆α,β :
n- boyutlu Öklid uzay
Sobolev Tipi Uzay
Kompleks de§erli sonsuz türevlenebilen fonksiyonlar kümesi
x,y,z kenarl üçgenin alan
Pozitif reel sabitler
Pseudo Diferensiyel Operatörü
Gamma fonksiyonu
Schwartz uzay
f fonksiyonunun Fourier dönü³ümü
.
Bessel tipi operatör
1
1
GR“
φ ∈
Bu bölümde Hankel dönü³ümü ve baz sembol snar tanmlanm³tr.
L1 (I), I = (0, ∞)
nun Hankel tipi dönü³ümü a³a§da tanmlanm³tr.
Z
∞
(xy)−µ Jµ (xy)φ(y)y 2µ+1 dy, x ∈ I, µ > −1/2.
(Hµ φ)(x) =
(1.1)
0
Burada
(x, y)−µ Jµ (xy)
bu dönü³ümün çekirde§i ve
Jµ
birinci çe³it ve
µ'üncü
mertebe-
den Bessel fonksiyonudur.
x−µ Jµ (x) I
üzerinde snrl oldu§u için Hankel tipi dönü³ümü
erinde snrldr ve
Z
Hµ (φ)(x) I
üz-
∞
x2µ+1 |φ(x)| dx < ∞
(1.2)
0
dr.
Dolaysyla
1
(Hµ φ)(0) = µ
2 Γ(µ + 1)
Z
∞
φ(y)y 2µ+1 dy
(1.3)
0
olup (1.1) için ters Hankel dönü³ümü formülü
∞
Z
(xy)−µ Jµ (xy)Hµ φ(y)y 2µ+1 dy, x ∈ I
φ(x) =
(1.4)
0
³eklindedir.
(1.4) teki dönü³üme J. J. Betancor, I. Merrero [3], R. S. Pathak
ve A. Prasad [10] çal³malarnda yer vermi³lerdir. Altenburg [1]
φ
bütün sonsuz türevlenebilen
fonksiyonlarn içeren
H
I = (0, ∞)
uzaynda her
aral§nda
m, k ∈ N0
γm,k (φ) = sup(1 + x2 )m (x−1 d/dx)k φ(x) < ∞
için
(1.5)
x∈I
oldu§unu göstermi³tir.
Zaidman Schwartz'n Fourier dönü³üm teorisini kullanarak
Pseudo Diferensiyelin bir snf üzerine çal³m³tr. Pathak ve Prasad tarafndan saysal
de§erli
a(x, y)
sembolü ile ili³kili Pseudo diferensiyel operatörler incelenmi³tir [9].
Ayrca (1.1) deki Hankel dönü³ümü ve Hankel konvolüsyon teorisinde geni³ uygulamalar [3,8] de ele alnm³tr.
teorisini geli³tirmek do§aldr.
Dolaysyla dönü³ümlere ba§l Pseudo Diferensiyel
Hµ dönü³ümüne ba§l Pseudo Diferensiyel ara³trmasnda
a(x, y) sembolünün belli büyüme ³artlarn sa§layan türevlere sahip oldu§u varsaylm³tr.
Bu tip operatörün bir formülü a³a§daki gibidir.
Z
(Hµ,a φ)(x) =
∞
(xy)−µ Jµ (xy)a(x, y)Hµ φ(y)y 2µ+1 dy, x ∈ I
0
2
(1.6)
Burada
Z
∞
(Hµ φ)(x) =
(xy)−µ Jµ (xy)φ(y)y 2µ+1 dy, x ∈ I
(1.7)
0
[11] de
a(x, y)
sembolü
I×I
daki kompleks de§erli sonsuz türevlenebilen fonksiyon
olarak tanmlanr ki a³a§daki e³itsizlik bunu sa§lar .
−1
(x d/dx)α (y −1 d/dy)β a(x, y) ≤ C α+β+1 !β!(1 + y)m−β ,
∀α, β ∈ N0
ve
m
gerçel bir sabit saydr. Bütün bu tip semboller snf
lanr. [9] dan biliyoruz ki herhangi
(x−1 d/dx)k (φ, ψ) =
φ, ψ ∈ H :
(1.8)
Hm
ile tanm-
için
k
X
(kυ )(x−1 d/dx)υ φ((x−1 d/dx)k−υ )ψ
(1.9)
υ=0
Hankel'in konvolüsyon teorisini Belhadj ve Betancor [2] da çal³m³tr. Bu çal³mada
Bessel operatörü ile ili³kili olan Pseudo diferensiyel teorisini geli³tirmek için (1.1) ile
tanmlanan Hankel dönü³ümü kullanlm³tr.
Hankel dönü³ümü,
Z
(hα,β φ)(x) =
∞
(xy)α+β Jα−β (xy)φ(y)dy
(1.10)
0
0
Hα,β
ya ait da§lmlara Zemanian [18] tarafndan geni³letilmi³tir ve her
a³a§daki e³itsizli§i sa§layan
I = (0, ∞)
m, k ∈ N0
için
üzerinde tanmlanan bütün kompleks de§erli
sonsuz türevlenebilen fonksiyonlar içeren fonksiyon uzay
Hα,β
nn dualidir.
m −1
k 2β−1
ρα,β
φ(x)) < ∞
m,k (φ) = sup x (x Dx ) (x
Zaidman [15], [17] deki Pseudo diferensiyel operatörler çal³masnda
da§lmnn Fourier dönü³ümünü kullanm³tr.
(1.11)
T(Rn ) deki, Schwartz
Fakat Zemanian Hankel tipi dönü³üm
teorisini son zamanlarda özel bir durum olarak Bessel tipi operatörler ile ili³kili Pseudo
diferensiyel operatörlerinin teorisini geni³letmek için kullanlm³tr.
amac bu konuda yaplan incelemelerin bir araya getirilmesidir.
3
Bu çal³mann
1.1
Temel Kavramlar
Tanm 1.1 (Öklid Uzay)
Rn = {x : x = (x1 , x2 , ..., xn ), xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n} ³eklinde
tanmlanan uzaya Öklid Uzay denir.
Γ(n) sembolü ile gösterilen
Z ∞
xn−1 e−x dx
Γ(n) =
Tanm 1.2 (Gamma Fonksiyonu)
ve
0
ba§ntsyla tanmlanan fonksiyona Gamma Fonksiyonu denir.
Tanm 1.3 (Konvolüsyon)
f
ve
K , Rn
de tanml ölçülebilir iki fonksiyon olsun.
Bu
durumda,
Z
f (y)K(x − y)dy
h(x) = (f ∗ K)(x) =
Rn
biçimindeki
h(x)
fonksiyonuna
f
K
ve
Tanm 1.4 (Schwartz Uzay) E§er
f
nn Konvolüsyonu denir.
fonksiyonu
ve tüm türevleri sonsuzda azalan ise yani,
Rn
de her mertebeden türevlenebilen
α = (α1 , α2 , ..., αn ), β = (β1 , β2 , ..., βn ) olmak
üzere
sup xα Dβ f (x) < ∞
x∈Rn
ise
f
fonksiyonuna Schwartz Uzayna aittir denir ve
f ∈ S(Rn )
ile gösterilir. Burada
xα = xα1 1 xα2 2 ...xαnn
ve
Dβ =
∂ β1 ∂ β2
∂ βn
∂xβ1 1 ∂x2
∂xβnn
...
β2
dr.
Tanm 1.5 (Sobolev Uzay)
ve
1≤p≤∞
Ω ⊂ Rn
snrl bir bölge,
`
negatif olmayan bir tam say
olsun.
W `,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : ∀ |α| ≤ `, Dα u ∈ Lp (Ω)}
biçiminde tanmlanan uzaya
W `,p (Ω) Sobolev Uzay denir, burada |α| = α1 +α2 +...+αn
dir.
Tanm 1.6 (Fubini Teoremi)
bir fonksiyon olsun. Her
R := [a, b]×[c, d] iki boyutlu bir dikdörtgen ve f : R → R
x ∈ [a, b] için f (x, ·) fonksiyonunun [c, d] üzerinde, her y ∈ [c, d]
4
için
f (·, y) fonksiyonunun [a, b] üzerinde ve f
fonksiyonunun
R üzerinde integrallenebilir
oldu§u varsayalm ; Bu durumda,
Z bZ
Z Z
Z
d
Z
f (x, y)dy dx =
f dA =
R
d
a
c
c
e³itlikleri gerçeklenir.
5
a
b
f (x, y)dx dy
2
PSEUDO DFERENSYEL OPERATÖRLERN GÖSTERM
Rn
deki bir Pseudo Diferensiyel operatörün Fourier integral gösterimi
Z
−n/2
p(x, ξ)b
u(ξ)eix.ξ dξ
p(x, D)u = (2π)
(2.1)
Rn
³eklindedir, burada
u
b(ξ)
u'nun Fourier dönü³ümüdür ve
−n/2
Z
u
b(ξ) = (2π)
dir. (2.1) deki
p(x, ξ)
fonksiyonu
p(x, ξ) = Σpα (x)ξ α
ifadesi
(2.2)
Rn
p(x, D)
ξ
u(y)e−iyξ dy
nin sembolü olarak adlandrlr.
nin bir polinomu ise (2.1) deki
diferensiyel operatörü olarak adlandrlr. Burada
Dj
dir. A³a§daki Fourier inversiyon formülüne
−n/2
Z
u(x) = (2π)
Rn
p(x, D) = Σpα (x)Dα
Dα = D1α1 , ..., Dnαn , Dj = (1/i)∂/∂xj
uygulanrsa
u
b(ξ)e−ixξ dξ,
(2.3)
olmak üzere
−n/2
α
Z
D u(x) = (2π)
Rn
ξαu
b(ξ)e−ixξ dξ
(2.4)
elde edilir. Bu gösterimin önemi diferensiyel operatörleri cebirsel operatöre dönü³türmesidir. Is denklemleri buna bir örnektir.
∂u
= ∆u, u(x, 0) = f (x)
∂t
(2.5)
∂b
u
= − |ξ|2 u
b, u
b(0, ξ) = fb(ξ),
∂t
(2.6)
olmak üzere
çözülerek
−n/2
u(t, x) = et∆ f (x) = (2π)i
2
nte−t|ξ| fb(ξ)eixξ dξ
(2.7)
elde edilir. Pseudo diferensiyel operatörler için bir ba³ka gösterim ise singüler integral
gösterimidir.
Z
K(x, x − y)u(y)dy,
p(x, D)u =
(2.8)
burada
−n
K(x, x − y) = (2π)
Z
p(x, ξ)ei(x−y)ξ dξ
(2.9)
biçimindedir. Bunu a³a§daki formül ile birlikte (2.7) ye uygulayabiliriz.
(2π)
−n
Z
2
e−t|ξ| eizξ dξ = (4πt)−n/2 e−|z|
Rn
6
2
/4t
,
(2.10)
elde edilen formül
t∆
e f (x) = (4πt)
−n/2
Z
e−|x−y|
2
/4t
f (y)dy
(2.11)
|ξ|2 fb(ξ)eix.ξ dξ
(2.12)
olur.
−1
−n/2
∆ f (x) = −(2π)
Z
operatörü ³öyle yazlabilir,
Z
−1
G(x − y)f (y)dy,
∆ f (x) =
(2.13)
G(x − y) = Cn |x − y|−(n−2) , n ≥ 3.
(2.14)
s = 1/t de§i³ken de§i³tirmesi ile (2.11)'e uygulan³
Z ∞
−1
et∆ f (x)dt,
(2.15)
∆ f (x) =
Bu formülü elde etmenin bir yolu ve
0
Pseudo diferensiyel operatörler olarak bilinen operatör
m
p(x, ξ), Sρ,δ
gibi bir sembol
m ∈ R, 0 ≤ δ, ρ ≤ 1
snfna ait olmak ³artyla a³a§daki gibi tanmlanr.
iken
m
p(x, ξ) ∈ Sρ,δ
⇐⇒ Dxβ Dξα p(x, ξ) ≤ Cα,β hξim−p|α|+δ|β|
Burada
hξi = (1 + |ξ|2 )1/2
(2.16)
dr.
m
m
p(x, ξ) ∈ Sρ,δ
⇐⇒ p(x, D) ∈ OP Sρ,δ
.
Sm
(veya bazen
Sclm )
olarak belirtti§imiz önemli bir alt snf,
(2.17)
m
p(x, ξ) ∈ S1,0
sembol-
lerinden olu³ur. Örne§in
p(x, ξ) ∼
X
pj (x, ξ),
(2.18)
j≥0
burada
m−j
S1,0
,
pj (x, ξ) ∈
|ξ| ≥ 1
için
ξ 'nin
p(x, ξ) −
k
X
derecesi de
m−j
dir ve (2.18),
m−k−1
pj (x, ξ) ∈ S1,0
0
anlamna gelir (sonrasnda
p(x, D) ∈ OP S m
m−(ρ−δ)
Sρ,δ
denilebilir).
(2.18) deki
p0 (x, ξ)
terimi
in temel sembolü olarak bilinir.
Genel olarak
mod
p(x, D) ∈ OP S m
m
p(x, ξ) ∈ Sρ,δ
, p(x, D)
nin asl sembolü
. Bunun anlaml olabilmesi için
(2.12) deki
|ξ|−2
0'n bir kom³ulu§unda
fonksiyonu
ξ=0
ϕ ∈ C0∞ (Rn )
ρ>δ
p(x, ξ)
nin denklik snfdr
olmasna ihtiyaç vardr.
daki singülerlikten dolay
verildi§inde örne§in
S −2
ϕ(ξ) = 1
ye ait de§ildir.
için
E ∈ OP S −2
dir.
Ef (x) = −(2π)
−n/2
Z
7
1 − ϕ(ξ) b
f (ξ)eixξ dξ
2
|ξ|
(2.19)
olmas durumunda
∆Ef (x) = E∆f (x) = (I + R)f (x),
Z
−n/2
Rf (x) = −(2π)
ϕ(ξ)fb(ξ)eixξ dξ
(2.20)
ve böylece
R ∈ OP S −∞ =
\
−m
OP S1,0
(2.21)
m>0
elde edilir. Böyle bir operatör düzgün operatör olarak adlandrlr ve burada E,
∆
için
bir parametredir.
Pseudo diferensiyel operatörler teorisinde önemli bir nokta da eliptik operatör
snfndan ba³layarak diferensiyel operatörlerin farkl snar için parametreler olu³turmasdr.
(2.8), (2.9) daki singüler integral sonucuna dönecek olursak
Dxβ Dzγ z α K(x, z)
= (2π)
−n
Z
pαβ (x, ξ)ξ γ eizξ dξ
(2.22)
buluruz, burada
m−ρ|α|+δ|β|+|γ|
pαβ (x, ξ) = Dxβ Dξγ p(x, ξ) ⇒ pαβ (x, ξ)ξ γ ∈ Sρδ
ρ > 0
³artyla verilen
β
ve
γ , |α|
boyunca yeterince geni³tir.
pαβ (x, ξ)ξ γ , ξ
integrallenebilirdir. (2.23) ifadesi soldan snrl ve süreklidir. Sonuç olarak
ve
ρ>0
oldu§unda
d³ndadr ve
p=1
δ ∈ [0, 1]
C∞
da
|x − y| → ∞
p(x, D)
nin Schwartz Kernel
(2.23)
içinde
m
p( x, ξ) ∈ Sρδ
K(x, x − y) x = y
kö³egenin
olarak hzla küçülür.
ise daha fazlas söylenebilir. Bundan dolay
m
p(x, ξ) ∈ S1,δ
⇒ Dxβ Dyγ K(x, x − y) ≤ Cβγ |x − y|−n−m−|β|−|γ|
(2.24)
m + |β| + |γ| > −n
(2.25)
için sa§lanr.
Bu bölümü (2,1) Fourier integral sunumunda daha genel ksa bir açklama ile
sonlandralm. “öyle ki
−n
Au(x) = (2π)
Burada
x, y ∈ ξ
nin herbiri
Rn
Z Z
a(x, y, ξ)ei(x−y)ξ u(y)dydξ.
(2.26)
ye döner. Öyle ki
m
a(x, y, ξ) ∈ Sρδ
⇔ Dxβ1 Dyβ2 Dξα a(x, y, ξ) ≤ Cαβ1 β2 hξim−ρ|α|+δ1 |β1 |+δ2 |β2 |
1 δ2
8
(2.27)
(2.26) yönteminin bir operatörü (2.1) yöntemiyle yazlabilir.
p(x, ξ) = (2π)
−n
Z
a(x, y, ξ)ei(x−y).(η−ξ) dydη,
= eiDξ Dy a(x, y, ξ)|y=x
m
a(x, y, ξ) ∈ Sρ,δ
1 ,δ2
(2.28)
oldu§unda sabit a³ama metodunun bir türevi bunu göstermek için
kullanabilir. Bu durumda
m
0 ≤ δ2 < ρ ≤ 1 ⇒ p(x, ξ) ∈ Sρδ
, δ = max(δ1 , δ2 ),
p(x, ξ) ∼
X i|α|
α≥0
asimtotik formül toplam
|α| < N
α!
ve
Dξα Dyα a(x, y, ξ)|y=x ,
fazla oldu§undan
m−N (ρ−δ)
Sρδ
farklla³r. spatlar belirtilen kaynaklarda bulunabilir.
9
(2.29)
eleman ile
p(x, ξ)
den
3
BESSEL FONKSYONLARI VE BESSEL OPERATÖRÜ LE
L“KLENDRLM“ PSEUDO-DFERENS YEL OPERATÖR
Bessel diferensiyel denklemi a³agdaki gibi tanmlanr.
Tanm 3.1
du
v2
d2 u 1 du
v2
1 d
z
+ 1− 2 u= 2 +
+ 1 − 2 u = 0.
(3.1)
z dx dz
z
dz
z dz
z
v
P∞ (−1)n (z/2)2n
z
Bessel fonksiyonlar Jv (z) =
n=0 n!Γ(v+n+1) , (z 6= R− ) olarak tanm2
lanr. Bessel fonksiyonlar yardm ile Neumann fonksiyonu
Nv (z) = Yv (z) =
Nn (z) = Yn (z) =
=
−
−
1
[cos vπJv (z) − J−v (z)](v 6= Tamsay, z 6= R− )
sin vπ
(3.2)
1 ∂Jv (z)
n ∂J−v (z)
− (−1)
π
∂v
∂v
z
2
Jn (z) γ + log
π
2
n X
2k X
n+k
∞
k
X
1 z
1
(−1)k
z
1
+
π 2
k!(n + k)! 2
m m=1 m
m=1
k=0
−n X
2r
n−1
(n − r − 1)! z
1 z
(n = 0, 1, 2, ..., z 6= R− )
π 2
r!
2
r=0
³eklinde tanmlanr.
Burada
γ = 0, 57721...
Euler gammasdr ve son terimde
Hankel (birinci çe³it)
Hankel (ikinci çe³it)
(1,2)
Jv , Nv , Hv
n=0
konulmu³tur.
Hv(1) = Jv (z) + iNv (z)
Hv(2) = Jv (z) − iNv (z)
(3.3)
(3.4)
fonksiyonlar silindirik fonksiyonlarn birinci, ikinci ve üçüncüsü olarak da
adlandrlr ve hepsi birlikte v'inci silindirik veya bessel fonksiyonu olarak adlandrlr.
Tanm 3.2 Bessel fonksiyonlar için tamsay parametreli gösterim ise
i−n
Jn (z) =
2π
Z
2π
cos nθeiz cos θ dθ
0
dr.
“imdi Bessel e³itsizli§inin sa§land§n gösterelim.
10
(3.5)
Teorem 3.3
Jn
için rekürans ba§nts a³a§daki gibi sa§lanr.
Jn−1 + Jn+1 =
2n
Jn
z
(3.6)
spat.
z(Jn−1 + Jn+1 ) =
=
=
=
=
=
Z
Z
i−n+1 2π
i−n+1 2π
iz cos θ
z
cos(n − 1)θe
dθ + z
cos(n + 1)θeiz cos θ dθ
2π 0
2π 0
Z
i−n 2π
iz(cos(n − 1)θ − cos(n + 1)θ)eiz cos θ dθ
2π 0
Z
i−n 2π
2iz sin nθ sin θeiz cos θ dθ
2π 0
Z
∂
i−n 2π
sin nθ (eiz cos θ )dθ
−2
2π 0
∂θ
Z 2π
−n
i
iz cos θ
iz cos θ 2π
−2
n cos nθe
dθ
[sin nθe
]0 −
2π
0
2nJn .
“imdi z ye ba§l türevlerini alalm.
Z
i−n 2π
dJN
=
i cos θ cos nθeiz cos θ dθ
dz
2π 0
Z
i−n 2π i
=
(cos(n + 1)θ + cos(n − 1)θ)eiz cos θ dθ
2π 0 2
Z
Z
1 i−n+1 i2 2π
1 i−n+1 2π
iz cos θ
=
cos(n + 1)θe
dθ +
cos(n − 1)θeiz cos θ dθ
2
2 2π i 0
2 2π 0
1
1
1 2n
1
n
= − Jn+1 + Jn−1 = − ( Jn − Jn−1 ) + Jn−1 = Jn−1 − Jn .
2
2
2 z
2
z
d2 Jn
dJn−1 n dJn
n
=
−
+
J
2 n
dz 2
dz
z
dz
z
n−1
n
n
n
= Jn−2 −
Jn−1
Jn−1 Jn + 2 Jn
z
z
z
z
2(n − 1)
n2 + n
2n − 1
= − Jn +
Jn
Jn−1 −
Jn−1 +
z
2
z2
2
1
n +n
− 1 Jn
= − Jn−1 +
z
z2
2
1 dJn n
n +n
=−
+ Jn +
− 1 Jn
z dz
z
z2
2
1 dJn
n
=−
+
− 1 Jn .
z dz
z2
Böylece
Jn
Bessel e³itli§ini sa§lar.
Bessel fonksiyonu üretici fonksiyon yardmyla türetilebilir.
eiz sin θ =
∞
X
−∞
11
Jn (z)einθ
(3.7)
θ
yerine
−θ
getirilerek kolaylkla geni³letilebilir.
±iz sin θ
e
=
∞
X
Jn (z)e±inθ .
(3.8)
−∞
Ayn zamanda
(±iz cos θ)
ifadesini elde etmek için
θ0 = θ ± π/2
dönü³ümünü kullan-
abiliriz.
π
π
) = ± cos θ0 sin = cos θ0 ,
2
2
0
in(θ0 ±π/2)
±inπ/2 inθ0
=e
=e
e
= (±i)n einθ
sin θ = sin(θ0 ±
einθ
Ba§nty (3.7) ile ili³kilendirerek
iz sin θ
e
=e
±iz cos θ0
=
∞
X
0
Jn (z)(±i)n einθ .
(3.9)
−∞
elde ederiz.
Buna Jakobi-Anger geni³lemesi denir. Böylece a³a§daki ba§nty elde ederiz.
±iz sin θ
e
=
∞
X
±inθ
Jn (z)e
±iz cos θ0
,e
−∞
=
∞
X
(±i)n Jn (z)einθ .
(3.10)
−∞
1
2π
Z
2π
cos nθeiz cos θ dθ.
(3.11)
0
integrali dikkate alnarak yukardaki ifade de yerine koyarsak ³u sonucu alrz.
1
2π
Z
2π
cos nθe
iz cos θ
0
2π
∞
einθ + e−inθ X t
i Jt (z)eitθ dθ
2
0
t=−∞
Z 2π ∞
X it
1
i(n+t)θ
i(−n+t)θ
=
Jt (z)
e
+e
dθ
2
2π
0
t=∞
1
dθ =
2π
Z
i−n
in
Jn (z) +
J−n (z)
2
2
in
= Jn (z) 1 + (−1)n i−2n = in Jn (z).
2
=
Burada
J−n (z) = (−1)Jn
dir.
Dolaysyla
i−n
Jn (z) =
2π
Z
2π
cos nθeiz cos θ dθ
0
elde ederiz.
bulunan ifade hesapland§nda
1
2π
Z
2π
cos nθe−iz cos θ dθ = (−i)n Jn (z)
0
12
(3.12)
ve böylece
(±i)−n
Jn (z) =
2π
elde edilir. Daha sonra
1
2π
2π
Z
cos nθe±iz cos θ dθ
(3.13)
0
2π
Z
sin nθe±iz cos θ dθ
(3.14)
0
dikkate alnarak,
1
2π
2π
Z
sin nθe
±iz cos θ
0
∞
2π
einθ − e−inθ X
(±i)t Jt (z)eitθ dθ
2i
0
t=−∞
Z
∞
2π X (±i)t
1
i(n+1)θ
i(−n+1)θ
Jt (z)
dθ
=
e
−e
2i
2π 0
t=−∞
1
dθ =
2π
Z
(±i)n
(±i)−n
Jn (z) +
J−n (z)
2i
2i
(±i)n
=
Jn (z)(−1 + (±i)−2n (−1)n ) = 0
2i
=−
hesaplanr.
Di§er kombinasyonlar
1
2π
Z
2π
cos nθe
±iz cos θ
0
1
dθ,
2π
Z
2π
sin nθe±iz cos θ dθ
(3.15)
0
gibidir.
Herbiri a³a§daki gibi hesaplanm³tr.
1
2π
2π
Z
cos nθe
±iz cos θ
0
1
dθ =
2π
2π
Z
0
∞
einθ + e−inθ X
(±i)t Jt (z)eitθ dθ
2i
t=−∞
1
1
1
J±n (z) + J±n = (1 + (−1)n )Jn (z)
2
2
2
Z 2π ∞
X
1
1
i(n±1)θ
i(−n±1)θ
=
Jt (z)
e
+e
dθ
2
2π
0
t=−∞
=



J (z)

 n
= 0




1
2π
Z
2π
sin nθe
0
±iz sin θ
1
dθ =
2π
Z
0
2π
n = çift ise
n = tek ise
∞
einθ − e−inθ X
(±i)t Jt (z)eitθ dθ
2i
t=−∞
i
i
i
= − J±n (z) + J±n (z) = ± (1 − (−1)n )Jn (z)
2
2
2
Z 2π ∞
X
1
1
i(n±1)θ
i(−n±1)θ
Jt (z)
e
−e
dθ
=
2i
2π
0
t=−∞
13
(3.16)



0


= ±iJn (z)




n = çift ise
n = tek ise
(3.17)
Bu sonuçlar a³a§daki yolla birle³tirebiliriz.
1
2π
Z
2π
e
0
Z 2π
1
dθ =
(cos nθ + i sin nθ)e±z sin θ dθ
2π 0



J (z) n = çift ise

 n
= ±Jn (z) n = tek ise




inθ ±z sin θ
e
= (±1)n Jn (z)
ya da
(±1)−n
Jn (z) =
2π
Z
0
³eklinde yazabiliriz.
14
(3.18)
2π
einθ e±z sin θ dθ.
(3.19)
3.1
Bessel Operatörü le li³kilendirilmi³ Pseudo-Diferensiyel Operatör
3.2
Hankel Konvolüsyon
Zemanian [18] den hatrlyoruz ki a³a§daki Hankel konvolüsyonunda e§er
kenarl bir üçgen var ise
∆(x, y, z)
x, y, z
ile
kenarl üçgenin alangösterilir.
µ>0
D(x, y, z) = 23µ−1/2 (π)−1/2 [Γ(µ + 1)]2 (Γ(µ + 1/2))−1 (xyz)−µ ∆(x, y, z)2µ−1
∆
∆(x, y, z) ≥ 0
varsa (3.20), yoksa sfr alnr.
ve
Z
dr ve
∆(x, y, z), x, y, z
x, y, z
için
(3.20)
de simetriktir
∞
j(zt)D(x, y, z)dµ(z) = j(xt)j(yt)
(3.21)
0
dir, burada
dµ(z) = [2µ Γ(µ + 1)]−1 z 2µ+1 dz
(3.22)
j(x) = 2µ Γ(µ + 1)x−µ Jµ (x).
(3.23)
ve
[8] den biliyoruz ki
Z
1
Jµ (xξ)Jµ (xλ) = µ
2 Γ(µ + 1)
∞
(xλξ)µ z −µ Jµ (zx)D(ξ, λ, z)dµ(z)
(3.24)
0
dir.
I = (0, ∞), 1 ≤ p < ∞
olmak üzere
Z
∞
Lpµ (I)
uzayn
1/p
|f (x)| dµ(x)
<∞
p
kf kp =
(3.25)
0
olacak biçimde bütün ölçülebilir fonksiyonlarn uzay olarak tanmlarz.
Tanm 3.4
f ∈ L1µ (I)
f (x, y)
olsun,
Z
e³lenik fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanr.
∞
f (z)D(x, y, z)dµ(z), 0 < x, y < ∞.
f (x, y) =
(3.26)
0
f
ve
g L1µ (I)'de
iki fonksiyon olsun ve
Z
f
ve
g
nin Hankel konvolüsyonu
∞
f (x, y)g(y)dµ(y), 0 < x < ∞.
(f #g)(x) =
(3.27)
0
³eklinde tanmlayalm. Bu durumda
(f #g)(x) olarak tanmlanan integralin tersi alnr
ve
k(f #g)k1 ≤ kf k1 kgk1
ve hemen hemen heryerde
(f #g) = (g#f )
dir.
15
(3.28)
3.3
P (x, D)
Pseudo-Diferensiyel Operatör
Pseudo diferensiyel operatörü
P (x, D)
a³a§daki ³ekilde tanmlanr.
Tanm 3.5
∞
Z
(xξ)−µ Jµ (xξ)a(x, ξ)Hµ φ(ξ)ξ 2µ+1 dξ, x ∈ I,
(P (x, D)φ)(x) =
(3.29)
0
burada
φ ∈ H(I), I = (0, ∞), µ ≥ −1/2
ve
a(x, ξ)
sembolünün Hankel tipi dönü³ümü
olarak tanmland§n varsayyoruz.
Z
∞
(xλ)−µ Jµ (xλ)(Hµ α)(λ, ξ)λ2µ+1 dλ, x ∈ I
a(x, ξ) =
(3.30)
0
λ ∈ I, ξ ∈ I
bütün
için
|(Hµ )(λ, ξ)| ≤ k(λ), ∀λ ∈ I, ξ ∈ I
gerçeklenir, burada
“imdi
P (x, D)
k(λ) ∈ L1µ (I), µ ≥ −1/2
(3.31)
dir.
nin snrll§n ispatlayaca§z. Bunun için a³a§daki Sobolev tipi uzaya
ihtiyacmz vardr.
Tanm 3.6
s, µ ∈ R
ve
1 ≤ p < ∞
için
Gsµ,p
uzay bütün
φ ∈ H 0 (I)
elemanlarn
kümesine tanmlanr ki a³a§daki e³itlik sa§lanr.
kφkGsµ,p = η 2 Hµ φp
Gsµ,p
(3.32)
ye genellikle Sobolev tipi uzay adn veririz.
Teorem 3.7
µ ≥ −1/2
olsun, bu durumda
kP (x, D)φkG0 ≤ kkk1 kφkG0 , φ ∈ H(I)
µ,1
µ,1
(3.33)
e³itsizli§i gerçeklenir.
spat.
Z
(P (x, D)φ)(x) =
∞
(xξ)−µ Jµ (xξ)a(x, ξ)Hµ φ(ξ)ξ 2µ+1 dξ, x ∈ I
(3.34)
0
oldu§unu biliyoruz, burada
Z
a(x, ξ) =
∞
(xλ)−µ Jµ (xλ)(Hµ α)(λ, ξ)λ2µ+1 dλ, x ∈ I
0
16
(3.35)
biçimindedir. Böylece Fubinin teoremini kullanarak, integrasyon srasn de§i³tirerek
∞
Z
(xξ)−µ Jµ (xξ)
(P (x, D)φ)(x) =
Z0 ∞
×
(xλ)−µ Jµ (xλ)(Hµ α)(λ, ξ)λ2µ+1 dλ
0
× Hµ φ(ξ)ξ 2µ+1 dξ, x ∈ I
Z ∞Z ∞
=
(xξ)−µ (xλ)−µ (Hµ α)(λ, ξ)(λξ)2µ+1 Hµ φ(ξ)
0
0
Z ∞
1
× µ
(xλξ)µ z −µ Jµ (zx)D(ξ, λ, z)dµ(z)dλdξ
2 Γ(µ + 1) 0
Z ∞Z ∞
=
(xξ)−µ (xλ)−µ (Hµ α)(λ, ξ)(λ, ξ)2µ+1 Hµ φ(ξ)
0
0
Z ∞
1
× µ
(xλξ)µ z −µ Jµ (zx)D(ξ, λ, z)
2 Γ(µ + 1) 0
1
× µ
z 2µ+1 dzdλdξ
2 Γ(µ + 1)
Z ∞
1
= µ
(xz)−µ Jµ (zx)
(2 Γ(µ + 1))2 0
Z ∞Z ∞
2µ+1
(λξ)
(Hµ α)Hµ φ(ξ)D(ξ, λ, z)
×
×z
0
2µ+1
0
dzdλdξ
elde edilir. Ters Hankel dönü³ümünün bir uygulamas a³a§daki sonucu verir.
∞
Z
(xz)−µ Jµ (xz)(P (x, D)φ)(x)x2µ+1 dx =
0
∞
Z
Z
+ 1))2
∞
ξ 2µ+1 Hµ φ(ξ)λ2µ+1 (Hµ α)(λ, ξ)D(ξ, λ, z)dλdξ.
×
0
1
(2µ Γ(µ
(3.36)
0
Bir ba³ka deyi³le
∞
Z
∞
Z
Hµ (P (x, D)φ(x))(z) =
(Hµ α)(λ, ξ)D(ξ, λ, z)(Hµ φ)(ξ)dµ(λ)dµ(ξ)
(3.37)
0
0
elde ederiz. (3.31) e³itsizli§ini kullanarak
Z
∞
Z
|Hµ (P (x, D)φ(x))(z)| ≤
∞
k(λ)D(ξ, λ, z)(Hµ φ)(ξ)dµ(λ)dµ(ξ) = (k#Hµ φ)(z)
0
0
(3.38)
elde ederiz. Böylece
Z
∞
Z
∞
|Hµ (P (x, D)φ(x))(z)| dµ(z) ≤
0
(k#Hµ φ)(z)dµ(z)
(3.39)
0
bulunur. “imdi (3.33) ve (3.28) tanmlarn uygulayarak
kP (x, D)φkG0 ≤ kkk1 kφkG0 , φ ∈ H(I).
µ,1
µ,1
17
(3.40)
3.4
Sembol Özellikleri
a(x, ξ)
nin ayrlabilir olmas özel durumunu göz önüne alalm.
a(x, ξ) = a(x)c(ξ)
ki burada
Hµ (a(x))(λ) ∈ L1µ (I)
ξ∈I
|c(ξ)| ≤ M
için
ve
c(ξ) I
(3.41)
da snrl ölçülebilir bir fonksiyondur. Bütün
dir. A³a§daki formül ve
[Hµ α(x)](λ) ∈ L1µ (I)
dan dolay
∞
Z
(xλ)−µ Jµ (xλ)[(Hµ a(x))](λ)λ2µ+1 dλ, x ∈ I
a(x) =
(3.42)
0
böylece
Z
∞
a(x, ξ) =
Z0 ∞
=
Z0 ∞
=
(xλ)−µ Jµ (xλ)(Hµ a(x, ξ))(λ)λ2µ+1 dλ, x ∈ I
(xλ)−µ Jµ (xλ)(Hµ a(x))(λ)c(ξ)λ2µ+1 dλ
(xλ)−µ Jµ (xλ)(Hµ a(x))(λ)λ2µ+1 dλc(ξ)
0
elde edilir. Dolaysyla
dan
ξ∈I
için
I ×I
c(ξ) ≤ M
ve
|(Hµ a)(λ, ξ)| ≤ M Hµ (a(x))(λ) ∈ L1µ (I)
daki ölçülebilir fonksiyon olan
oldu§un-
(Hµ a(x, ξ))(λ) = Hµ (a(x))(λ)c(ξ)
dir.
Böylece
k(λ) = Hµ (a(x))(λ)
(3.43)
kP (x, D)φkG0 ≤ kkk1 kφkG0 , φ ∈ H(I)
(3.44)
ve teoremden
µ,1
µ,1
elde edilir.
3.5
Notasyonlar ve Terminoloji
Diferensiyel operatörler
Pα,β , Qα,β
ve
Sα,β
Pα,β = Pα,β,x = x2α Dx x2β−1
(3.45)
Qα,β,x = x2β−1 Dx x2α
(3.46)
∆α,β = ∆α,β,x = Qα,β Pα,β = x2β−1 Dx x4α Dx x2β−1
= (2β − 1)(4α + 2β − 2)x4(α+β−1)
18
+2(2α + 2β − 1)x4α+4β−3 Dx + x2(2α+2β−1) Dx2
tanmlayabiliriz ki
Hα,β
(3.47)
d
tir. [11,p.139], [3,p.948] i takip ederek herhangi bir
dz
Dx =
φ∈
için a³a§daki ba§ntlar kurabiliriz.
hα,β,1 (−xφ) = Pα,β hα,β φ
(3.48)
hα,β,1 (Pα,β φ) = −yhα,β φ
(3.49)
hα,β,1 (∆α,β φ) = −y 2 hα,β φ
(3.50)
k
X
(ki )(x−1 D)i θ(x−1 D)k−i (x2β−1 φ)
(x−1 D)k (x2β−1 θφ ) =
(3.51)
i=0
∆α,β,x φ(x) =
r
X
bj x2j+2α (x−1 Dx )r+j (x2β−1 φ(x)),
(3.52)
j=0
ki burada
bj
sadece
α−β
ye ba§l sabitlerdir. Hankel tipi konvolüsyon dönü³ümü için
Haimo [4] den ötürü a³a§daki Lemmaya da ihtiyacmz vardr.
Lemma 3.8
(a − b) ≥
1
ve
2
x, y, z
kenarl üçgeni için
∆(x, y, z)
üçgenin alan olsun.
Bu durumda
23(a−b)−1 (Γ(a − b + 1))2
√
(xyz)−2(a−b) [∆(x, y, z)]2(a−b)−1 .
D(x, y, z) =
1
πΓ(a − b + 2 )
Dikkat edilmelidir ki
∆(x, y, z) ≥ 0
formül elde edilir.
Z
ve
x, y, z
simetriktir.
(3.53)
Böylece a³a§daki temel
∞
i(zt)D(x, y, z)dµ(z) = i(xt)i(yt)
(3.54)
0
ki burada
dµ(x) =
x2(a−b)+1
dx
2a−b Γ(a − b + 1)
(3.55)
dir.
i(x) = 2a−b Γ(a − b + 1)x−(a−b) Ja−b (x)
f ∈ L1 (0, ∞)
olsun.
i
ile ili³kili fonksiyon
Z
f (x, y)
(3.56)
a³a§daki gibi tanmlanr
∞
f (z)D(x, y, z)dµ(z) 0 < x < ∞.
f (x, y) =
(3.57)
0
Lemma 3.9
f
ve
g L1 (0, ∞)
n fonksiyonlar ve
Z
∞
f (x, y)g(y)dµ(y) 0 < x < ∞
f #g(x) =
(3.58)
0
olsun, böylece yukarda tanmlanan integral, hemen her
0<x<∞
x
için yaknsaktr.
ve
kf #gkL1 ≤ kf kL1 kgkL1 .
19
(3.59)
3.6
Pseudo-Diferensiyel Operatörü
Tanm 3.10
I = (0, ∞)
hα,β,a
a(x, y) C ∞ (I×I) uzayna ait kompleks de§erli bir fonksiyon olsun, burada
dur ve onun türevleri belli büyüklük ³artlarn sa§lar.
ili³kili pseudo diferensiyel tipi operatörü
hα,β,a
a(x, y)
sembolü ile
a³a§daki gibi tanmlanr.
∞
Z
(xy)α+β Jα−β (xy)a(x, y)Uα,β (y)dy
(hα,β,a u)(x) =
(3.60)
0
ki burada
Z
Uα,β (y) = (hα,β,a u)(y) =
0
dir.
a(x, y) = b(y)
∞
1
(xy)α+β Jα−β (xy)u(x)dx; (a − b) ≤ − .
2
(3.61)
durumunda açkça sonucu elde ederiz.
(hα,β,a u)(x) = hα,β [b(y)Uα,β (y)].
E§er
a(x, y) xe
ba§l olan de§i³ken katsaylar ile
(−y 2 )
de bir güç serisi da§lmna
sahip ise yani
N
X
a(x, y) =
ak (x)(−y 2 )k .
(3.62)
k=0
ise bu durumda a³a§daki gibi gösterebilir öyle ki
(hα,β,a u)(x) =
N
X
ak (x)(∆α,β )k u(x)
(3.63)
k=0
(3.62) sembolü ile ili³kili Pseudo diferensiyel tipi operatörü
∆α,β
y içeren sonlu sral
diferensiyel operatörü olur.
Tanm 3.11
ko³ul her
a(x, y) : C ∞ (I × I) → C
snfna ait olmas için gerek ve yeter
q ∈ N0 , i ∈ N0 , p ∈ N0 için
(1 + x)q (x−1 Dx )i (y −1 Dy )p a(a, y) ≤ Kp,i,m,q (1 + y)m−p
olacak biçimde
saydr. E§er
Kp,i,m,q > 0
a(x, y) q = 0
gösterilecektir. Açk olarak
kolaylkla gösterebilir.
−x2
a(x, y) = e
saysnn bulunmasdr, burada
Dy =
d
ve
dy
(3.64)
m
sabit gerçek
ile (3.62) sa§lanrsa bu durumda sembol snf H m ⊂ H0m
m ∈ R H0m
(1 + y 2 )m/2
Teorem 3.12 Sembol
− 21
Hm
nin
dir.
dir.
a(x, y) = (1 + x2 )−n (1 + y 2 )m/2 > 0
n elemandr.
m ∈ R Hm
a(x, y) ∈ H0m
H0m
Ama
Hm
ye ait de§ildir.
olarak
oldu§u
Yine de
ye aittir.
(yada
için pseudo diferensiyel tipi operatörü
dönü³ümüdür.
20
H m)
olsun.
hα,β,a Hα,β
Bu durumda
(α − β) ≤
nn kendi içine sürekli lineer
spat.
φ(y) = (hα,β,a u)(y), u ∈ Hα,β (I)
olsun. (3.48), (3.49) deki formülü ve Zemani-
ann [18,p.141] tekni§ini kullanarak
(Pα,β,k−1 ......Pα,β φ)(y) =
k
X
Z
∞
1
1
y r+ 2 x 2 (y −1 Dy )r a(x, y)(−x)k−r u(x)Jα−β+k−r (xy)dx,
Cr
0
r=0
elde ederiz ki burada
Cr
belli pozitif gerçel saylardr.
ar (x, y) = (y −1 Dy )r a(x, y)
olu³turur. “imdi (3.51) formülünü ve tümevarm kullanarak
(−y)n (Pα,β,k−1 ......Pα,β φ(y))
=
k
X
k−r
(−1)
∞
Z
Cr
y
−1
α−β+k−r =λ
n
X
(x
2β−1
u(x))Jα−β+k+n−r+1 (xy)dx
yi olmak üzere (3.45) formülünü kullanarak
−1
(−1) y (y Dy )(y
2β−1
Z
k
X
k−r
(−1) Cr
φ(y)) =
∞
x2λ+n+1 .
0
r=0
n
X
(ni )(x−1 Dx )i
i=0
n−i
× ar (x, y)(x Dx )
n n
x
α−β+k+n−r+1
0
r=0
elde ederiz.
r+ 21
(ni )(x−1 Dx )i ar (x, y)(x−1 Dx )n−i (x2β−1 u(x))Jλ+n (xy)(xy)−λ dx
i=0
elde ederiz.
s, t ∈ N0 , s ≤ m
ifadeyi elde ederiz.
ve srasyla
n = t
ve
q = 0 iken (3.64) y (α − β) ≤ − 21
ifadeyi buluruz. Sabit bir
Km,y,r
n = t+s
oldu§unda yukardaki
varsaymn kullanarak a³a§daki
vardr öyle ki
(1 + y s ) y t (y −1 Dy )k y 2β−1 φ(y)
≤
k Z
X
r=0

2m (1 + y m )(1 + y)−p .
0

t+s
−1
t+s−i 2β−1
K
(
)(x
D
)
(x
φ(x))
m,v,r i
x
i=0
 dx
P
t
2λ+t+l
t
−1
t−i 2β−1
+(1 + x)
(x
φ(x))
i=0 Km,v,r (i )(x Dx )
(1 + x)2λ+t+s+l

∞
Pt+s
olur. Böylece
k
X
t −1
y (y Dy )k y 2β−1 φ(x) ≤ K
r=0


Z
∞
2m (1 + y m )(1 + ys)−1
0

t+s
−1
t+s−i 2β−1
(
)(x
D
)
(x
φ(x))
x
i=0 i
 dx
Pt t −1
2λ+t+l
t−i 2β−1
+(1 + x)
(
)(x
D
)
(x
φ(x))
x
i=0 i
(1 + x)2λ+t+s+l
Pt+s
21
dir.
“imdi
N > 2(α − β + k) + t + s + 3
yi seçebiliriz.
y ≥ 0, s ≥ m
Bu durumda
ederiz.
olacak biçimde pozitif olmayan integral
(1 + y m )/(1 + y s ) ≤ 2
için
k
X
t −1
y (y Dy )k y 2β−1 φ(x) ≤ K 0
2m+1
Z
N
kullanarak elde
∞
(1 + x)N −2 .
0
0
X
t+s
t
X
−1
t+s −1
t+s+i 2β−1
t
t−i
2β−1
(i ) (x Dx )
x
φ(x) +
(i ) (x Dx ) x
φ(x) dx
i=0
i=0
k X
t+s
N
t
N
X
X
X
X
α,β
t+s
00
N α,β
t
N
≤K
(i )
(i )ρj,t+s−i (u) +
(i )
(i )Pj,t−i (u) .
i=0
i=0
j=0
i=0
j=0
Böylece (1.11) yi kullanarak
ρα,β
t,k (φ)
X
k X
N
t+s
t
X
X
t+s
N
t α,β
(i )
(i )ρj,t+s−i (u) +
(i )ρj,t−i (u)
≤K
00
r=0 j=0
elde edilir, burada
K 00
i=0
(3.65)
j=0
pozitif bir sabittir.
hα,β,a
nn süreklili§i (3.65) de verilmi³tir.
Böylece ispat tamamlanm³ olur.
3.7
hα,β,a
çin ntegral Gösterimi
Z
∞
aη (y) =
(xy)α+β Jα−β (xy)(∆α,β )r [(xη)α+β Jα−β (xt)a(x, η)]dx
(3.66)
0
(3.7) ile tanmlanan ve sembol
a(x, y)
ile ili³kili olan
temel bir rol oynayacaktr. A³a§daki lemma ile
Lemma 3.13 Sembol
fonksiyonu
spat.
Aα,β,m,r,q
r ∈ N0
a(x, y) ∈ H m
olsun.
aη (y)
aη (y)
fonksiyonu ara³trmamzda
için bir tahmin verilmi³tir.
Bu durumda (3.65) ile tanmlanan
nun pozitif sabit oldu§u e³itsizli§i sa§lar.
için (3.50) formülünü kullanarak
Z
2 r
∞
(xy)α+β Jα−β (xy)(∆α,β )r [(xη)α+β Jα−β (xη)a(x, η)]dx
(−y ) aη (y) =
0
Z
=
∞
α+β
(xy)
Jα−β (xy)
0
r
X
bj x2j+2α (x−1 Dx )r+j x2β−1
j=0
α+β
× [(xη)
Jα−β (xη)a(x, η)]dx
22
aη (y)
elde ederiz. (3.51) yi kullanarak
∞
Z
2 r
(xy)α+β Jα−β (xy)
(−y ) aη (y) =
r
X
0
bj x2j+2α
−1
i
× (x Dx ) a(x, η)(x Dx )
(r+j
)
i
i=0
j=0
−1
r+j
X
r+j−i
x
−(α−β)
Jα−β (x, η) η α+β dx.
buluruz. “imdi
(x−1 Dx )m x−(α−β) Jα−β (xη) = (−η)m x−(α−β)−m Jα−β+m (xη).
formülü kullanarak a³a§daki e³itsizli§i elde ederiz:
Z
2 r
∞
(−y ) aη (y) ≤
0
×
r+j
X
−1
i
(x Dx ) a(x, η)η
r
X
(xy)α+β Jα−β
bj x2j+2α
j=0
2r+2j−2i+2α
−(α−β)−r−j−i
(xη)
i=0
≤y
2α
Z
Jα−β+r+j−i (xη)dx
∞
x2α (xy)−(α−β) Jα−β (xη)
0
r+j
r
X
X
−1
i
2r+2j−2i+2α )((x
D
)
a(x,
η)η
)
×
bj x2j+2α
(r+j
x
i
j=0
i=0
× (xη)−(α−β)−r−j−i Jα−β+r+j−i (xη) dx
≤ Bα,β y
2α
r+j
r X
X
(r+j
)D02r+2j−2i+2α (1
i
Z
+ η)
∞
x2(α−β)+1+2j (1 + x)−q dx
0
i=0 i=0
≤ Bα,β y
m
2α
r+j
r X
X
(r+j
)D02r+2j−2i+2α (1 + η)m
i
i=0 i=0
×B(2(α − β) + 2j + 2, q − 2(α − β) − 2j − 2);
23
burada
q > 2(α − β + j + 1)
η)m+4r+2α (1 + y)2α (1 + y 2r )−1
dir.
Böylece her
r > 0
olacak biçimde sabit bir
için
|aη (y)| ≤ Aα,β,m,r,q (1 +
Aα,β,m,r,q
vardr.
Bu ispat
tamamlar.
“imdi a³a§daki teoremde pseudo diferensiyel tipi operatörü için integral gösterimini elde etmeye hazrz.
a(x, y) ∈ H m için kar³lk gelen operatör
Z ∞
Z ∞
α+β
hα,β,a (x) =
(xy) Jα−β (xy)
aη (y)Uα,β (η) dy, u ∈ Hα,β (I),
Teorem 3.14 Herhagi bir sembol
0
Uα,β (η) = (hα,β,u (η))
ile verilir, burada
(3.67)
0
ve içeri§indeki bütün integraller yaknsaktr.
spat. Elimizde
Z
∞
(xy)α+β Jα−β (xy)[(xη)α+β Jα−β (xη)a(x, η)]dx
aη (y) =
0
var ters formül ile
Z
∞
aη (y)(xy)α+β Jα−β (xy)dy = (xη)α+β Jα−β (xη)a(x, η)
0
elde ederiz.
Böylece
Z
∞
(xη)α+β Jα−β (xη)a(x, η)Uα,β (η)dx
Z0 ∞
Z ∞
aη (y)(xy)α+β Jα−β (xy)dy
Uα,β (η)dη
=
0
Z0 ∞
Z ∞
α+β
=
(xy) Jα−β (xy)dy
Uα,β (η)dη.
(hα,β,u (x)) =
0
aη (y)
0
için (3.66) kullanarak integralin srasnda a³a§daki de§i³iklikler yaplabilir ve
Uα,β (η) ∈ Hα,β (I)
son integralin ispat yaplabilir.
Uα,β (η) ≤ Cη 2α (1 + η)−` olacak biçimde her
` > 0
dir.
Böylece
∞
Z
Z
|(hα,β,u (x))| ≤
0
∞
(xy)2α (xy)−(α−β) Jα−β (xy)
0
×Aα,β,m,r,q (1 + y)2α (1 + y 2r )−1 × (1 + η)m+4r+2α Cη 2α (1 + η)−` dηdy
Z ∞
02α
≤ Dα,β,m,r,q
(1 + y)2(α−β)+1 (1 + y 2r )−1 dy
0
24
için
∞
Z
(1 + η)2(α−β)+m+4r−`+1 dη
×
0
dr.
(α − β) ≥ −1/2
`
oldu§unda
ve
r
yeterince geni³ seçilebildi§i için integraller
yaknsaktr. Bu da ispat tamamlar.
3.8
L1 -Norm
Tanm 3.15
E³itsizli§i
Gs (R)
tanmlanr öyleki
u
uzay
s ∈ R,
u ∈ Hα,β (I)
bütün
elemanlarnn kümesi olarak
,
kukGs = η s+2β−1 hα,β (u)L1 < ∞
(3.68)
e³itsizli§ini sa§lar.
Lemma 3.16
(α − β) ≥ −1/2
ve
r ∈ N0
için sabit bir
Cm,r,q > 0
vardr öyleki
Aη (y) ≤ Cm,r,q (1 + η)m y 2α (1 + y 2r )−1 ,
(3.69)
Aη (y) = hα,β (x2α a(x, η)(y)).
(3.70)
burada
spat. Açk olarak
Z
2 r
∞
(xy)α+β Jα−β (xy)(∆α,β )r [x2α a(x, η)]dx
(−y ) Aη (y) =
0
Z
∞
=
(xy)α+β Jα−β (xy)
0
r
X
bj x2j+2α (x−1 Dx )r+j a(x, η)dx.
j=0
Böylece
(−y 2 )r Aη (y) ≤
Z
∞
r
X
(xy)α+β Jα−β (xy)
bj x2j+2α
0
m
j=0
−q
m
−q
× Dr+j,m,q (1 + η) (1 + x) dx
Z ∞
r
X
≤
y 2α x2α (xy)−(α−β) Jα−β (xy)
|bj | x2j+2α
0
j=0
× Dr+j,m,q (1 + η) (1 + x) dx
Z ∞
r
X
2α
m
≤
y Bj,m,q (1 + η)
(1 + η)2(α−β)+2j+1−q dx.
0
j=0
q > 2(α − β + r + 1)
seçerek elde ederiz ki
|Aη (y)| ≤ Cr,m,q (1 + η)m (1 + y 2r )−1 y 2α
25
dir, burada
Cr,m,q
pozitif bir sabittir. Böylelikle ispat tamamlanr.
“imdi asl teoremimizi ispatlayalm.
(α − β) ≥ −1/2
Teorem 3.17
olsun. Bu durumda her
khα,β,a (u)kG0 ≤ C
m
X
m ∈ N0
ve
C>0
için
k(u)kG` , u ∈ Hα,β (I).
(3.71)
`=0
dir.
spat. (3.67) teoreminden, (3.66) e³itli§inden (3.54) ba§ntsndan
Z
∞
(xy)
α+β
Z
Jα−β (xy)(hα,β,a u)(x)dx =
0
∞
aη (y)Uα,β (η)dη
0
dr. Böylece
∞
Z
y 2β−1 (xy)α+β Jα−β (hα,β,a u)(x)dx =
0
∞
Z
Z
2α
η Uα,β (η)dη
A
∞
z 2α D(η, y, z)dz.
0
0
∞
Z
x2α a(x, η)(zx)α+β Jα−β (zx)dx
(3.72)
0
olur, burada
A=
1
dr.
[2α−β Γ(α−β+1)]2
(3.69) den (3.72) e kadar yaplan tahminlerin uygulamalar ³u sonucu verir.
2β−1
y
hα,β (hα,β,a u)(y)
Z ∞
Z
m 2α
Cr,m,q A
(1 + η) η Uα,β (η)dη.
0
∞
z 2(α−β)+1 (1 + z 2r )−1 D(η, y, z)dz
(3.73)
0
Z
m
X
m
Dα,β,m,r,q
(` )
∞
η
`+2α
Z
0
`=0
∞
Uα,β (η)dη.
(1 + z 2r )−1 D(η, y, z)z 2(α−β)+1 2−(α−β)
0
×(Γ(α − β + 1))−1 dz.
f (z) = (1 + z 2r )−1 ∈ L1 (0, ∞); r > 0
1)η `+2β−1 Uα,β (η) ∈ L1 (0, ∞),
için her
için olu³turalm ve
` = 0, 1, 2, ..., m
g(η) = 2α−β Γ(α − β +
bö ylece (3.56) ve (3.57) a göre
a³a§daki formülü elde ederiz.
Z
∞
f (η, y) =
f (η, y)D(η, y, z)z 2(α−β)+1 2−(α−β) (Γ(α − β + 1))−1 dz
0
ve
Z
(f #g)(y) =
∞
f (η, y)g(η)η 2(α−β)+1 2−(α−β) (Γ(α − β + 1))−1 dη
0
26
“imdi (3.58); (3.62) uygulanarak
2β−1
y
hα,β (hα,β,a u(y))L1
m
X
`+2β−1
≤ Dα,β,r,m,q
(m
Uα,β (η)L1 . (1 + z 2r )−1 L1
` ) η
`=0
m
X
`+2β−1
≤C
(m
Uα,β (η)L1
` ) η
(3.74)
`=0
bulunur. “imdi (3.57) e³itsizli§ini (3.58) e³itsizli§i takip eder ve böylece ispat tamamlanr.
3.9
Sonuçlar
E§er (3.45) (3.46) ve (3.47) deki
α =
1
4
+
µ
ve
2
β =
1
4
−
µ
alrsak srayla
2
a³a§dakileri elde ederiz.
1
1
Pµ = Pµ,x = xµ+ 2 Dx x−µ− 2
1
1
Qµ = Qµ,x = x−µ− 2 Dx xµ+ 2
ve
1
1
∆µ = ∆µ,x = Qµ Pµ = x−µ− 2 Dx x2µ+1 x−µ− 2 = Dx2 +
27
(1 − 4µ2 )
x2
KAYNAKLAR
Bessel Transformation in Roümen von Grund funktionen uber dem
interval Ω = (0, ∞) and derem Dual-raumen, Math Nachr., 108.1982, 197-208.
[1] Altenburg, G.
Hankel transformation and Hankel convolution of
tempered Beurling distributions, Rocky Mountain J. Math., 31(4).2001, 1171-
[2] Belhadj M. ; Betancor J. J.
1203.
[3] Betancor J. J. ; Merrero I.
Some properties of Hankel convolution operators,
Canad. Math. Bull., 36(4).1993, 398-406.
[4] Haimo D. T.
Integral equations associated with Hankel convolutions, Trans. Amer.
Math. Soc., 116.
1965, 330-375.
The complex Hankel and I-transformations of Generalized functions, SIAM J. Appl. Math., 16 .1968, 945-957.
[5] Koh E. L. ; Zemanian A. H.
[6] Numata R.
Bessel functions, The Univercity of Maryland, September
03. 2008.
A class of Pseudo-Dierential operators Associated
with Bessel operators, J. Math. Anal., Appl. 196. 1995, 736-747.
[7] Pathak R. S. ; Pandey P. K.
Certain pseudo-dierential operators associated with
Bessel operator, Indian. J. pure.,appl. Math, 31.2000,309-317.
[8] Pathak R. S. ; Pathak S.
Continuity of pseudo-dierential operators associated
with Bessel operator in some Gevrey spaces, appl. anal., 81(3).2002, 637-662.
[9] Pathak R. S. ; Prasad A.
[10] Prasad A. ; Singh V. K.
On Pseudo-Dierential Operator Associated with Bessel
Operator, 2011.
Linear Partial Dierential Operators in Gevrey spaces, World Scientic, Singapore, 1993.
[11] Rodino L.
[12] Schwartz L.
[13] Taylor M.
Theorie des Distributions, Herman, Paris, 1978.
Pseudodierential Operators, September
[14] Waphare B. B.
2008.
Pseudo-Dierential Operator Associated with Bessel Operator-I,
2010.
28
On some simple estimates for Pseudo-dierential operators, J. Math.
[15] Zaidman S.
Anal., Appl., 39 .1972, 202-207.
[16] Zaidman S.
Distributions and Pseudo-Dierential operators, Logman, Essex, Eng-
land, 1991.
[17] Zaidman S.
Distributions and Pseudo-dierential Operators, Longmann Esex,
England, 1991.
[18] Zemanian A. H.
Generalised Integral Transformations, Interscience, New York,
1968.
29
ÖZGEÇM“
22 Agustos 1979 Kr³ehir ilinde do§du.
lkokulu A³kpa³a,
ortaokulu Srr
Karde³ ortaokulunda, Mehmet Akif Ersoy Y.D.A lisesinde okudu. 2002 de Hacettepe
Üniversitesi Matematik Bölümünden mezun oldu.
2002 ylndan bu yana M.E.B'na
ba§l okullarda ö§retmenlik yapmaya devam ediyor. Evli ve bir çocuk babasdr.
30