04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı

04 Kasım 2010 TÜBİTAK ikince kademe seviyesinde Deneme Sınavı
(Prof.Dr.Ventsislav Dimitrov)
Soru 1. Şamandıra.
Genç ama yetenekli fizikçi Ali bir yaz boyunca, Karabulak köyünde misafirdi. Bir gün
isimi camgöz olan kediye balık yakalamak için, balık tutmaya karar verdi. Ama olta üzerinde
yüzen şamandıranın kaybolduğunu gördü. Kendi şamandırasını yapmaya karar verdi. Bunun
için hafif kütleli bir tahta çubuk aldı ve onunla denemeler yapmaya başladı. Suya attığı yassı
tahta çubuk suya paralel bir şekilde yüzmeye başladı. Ali’nin çubuğu dik yüzdürme
çabalarının hepsi boşa gitti.
1)İnce homojen bir çubuğun suda dikey şekilde yüzemeyeceğini ispatlayınız.
Ali olayı daha ayrıntılı incelemesi gerektiğini anladı. Bunun için silindirik bir şekle sahip olan
şamandıranın özelliklerini ölçtü; kütlesini (m1), yarıçapını (R)
uzunluğunu (l1>>R), ve yoğunluğunu (ρ1<<ρ0, burada ρ0 suyun
yoğunluğudur). Daha sonra Ali şamandıraya ağırlık asması gerektiğini
anladı (şekildeki gibi). Ağırlık yerine bir kurşun parçası kullandı
(kurşunun yoğunluğu ρ2 suyun yoğunluğundan daha fazladır ve bu
ağırlığın sahip olduğu m2 kütlesinin ayarlanması gerekmektedir).
Matematiksel işlemleri basitleştirmek için Ali asılan ağırlık için
indirgenmiş kütle (μ) kullandı öyle ki Arşimet ve ağırlık kuvvetlerinin
toplamı mg ye eşit olsun.
2)Bu şamandıranın indirgenmiş kütlesinin modelin diğer parametreleriyle olan
bağlantısını bulunuz.
3)Şamandıranın suda batmaması için ağrılığın kütlesi (m2) en fazla (mmax) ne kadar
olabilir?
4)Eğer m2<mmax ise şamandır suda ne kadar derinlikte (x) gömülür?
Ali ağrılın kütlesinin küçük olduğu durumda şamandıranın suda neredeyse yatay şekilde
yüzdüğünü, kütlesinin çok büyük olduğu durumda ise neredeyse suda dikey durduğunu
gözlemliyor Ali olayı daha kolay inceleyebilmek için tahta çubuğun kalınlığını ihmal
etmektedir (yani tahtayı ince tel gibi kabul ediyor).
5)Böyle bir ince şamandıra için şunu ispatlayınız: kütlesi bir kritik değerden ( m2* ) faklı ise
şamandıra sadece yatay veya sadece dikey durumda yüzebilir; kütlesi m2 = m2* iken
şamandıra dikey ile her bir açı yaparak dengede bulunabilir. Bu kritik m2* kütleyi bulunuz.
Ağrılığın kütlesinin hangi değerleri için şamandıra dikey durumda yüzmektedir?
Ali bu sınırlı durumları beğenmeyince şamandırayı biraz daha kalın yapmaya karar veriyor:
onu silindir şeklinde alıp ve parametrelerini varsayıp modelin teorisini yapmaya başlıyor.
6)Şamandıra dikey durumda üzerken su içinde gömülen kısmın uzunluğunu (x0, şekildeki
gibi) bulunuz. Ağırlığın etkisini onun indirgenmiş kütlesiyle gösteriniz.
Bu uzunluğu bulmak için silindirden kesilmiş bir parçanın (şekildeki gibi) ağırlık merkezinin
parametrelerini aşağıdaki gibi alınız:
Sırasıyla, parçanın yüksekliği ve hacmi, kütle merkezinin (C) yüksekliği b, ve parçanın
kenarından uzaklığı a aşağıdaki gibidir:
Kütle merkezin koordinatları kesit alanın merkezine (O′ noktası) göre aşağıdaki ifadelerle
veriliyor:
Dikkat: bu formüllerin ispatlaması gerekmemektedir, onları varsayınız!!
7) Şamandıraya etki eden kuvvetleri ve onların O′ göre momentlerini bulunuz ve şekilde
gösteriniz.
8)Şamandıranın dengede kalması için koşulları yazınız.
Bulunan denklemler basit olmadığı için Ali x0 ‘ı varsayarak, modelin diğer parametrelerinden
bağımsız olduğunu kabul eder.
9)x0 ‘ı hangi değerleri için modelin denge durum denklemin bir çözümden fazla çözümleri
vardır? Hangi koşullar için dikey durumdan farklı olan denge durumları bulunmaktadır?
Bu durumlarda şamandıranın yatayla açılarını (α*) bulunuz. Bu dengeler kararlımıdır?
Bu işlemleri yaptıktan sonra x0 modelin parametrelerine bağılı olarak bakınız.
10)Silindirin ve ağrılığın parametrelerin hangi değerleri için şamandıra dikey olmayan
durumda da yüzebilir?
Soru 1.Çözüm:
1)İnce çubuğa iki kuvvet etki etmektedir: yer çekim ve Arşimet kuvveti. Çubuk homojen
olduğuna göre kuvvetlerin uygulama noktalarını sırasıyla çubuğun
ortasında (C noktası, çubuğun ucundan l/2 mesafede bulunan C
noktasında) ve çubuğun suda gömülmüş kısmın ortasında almalıyız
(çubuğun sudaki ucundan x/2 mesafede bulunan P noktası, burada x
çubuğun suda gömülmüş kısmin uzunluğudur, şekildeki gibi).
Verilere göre şamandıra yüzmektedir, dolayısıyla x<l ve P noktası C
noktasına göre aşağıda bulunmaktadır. Buna göre çubuk dikey
durumda kararlı dengede bulunamaz çünkü her hangi dengeden
küçük sapma bile çubuğu deviren bir torka sebep oluyor.
2-4) Şamandıraya ağırlıkla birlikte etki eden kuvvetler (şekildeki gibi):
-yer çekim kuvveti
ve
-Arşimet kuvveti
ve
Ağırlığa etki eden kuvvet ilerde sık kullanıldığı için bu kuvveti indirgenmiş
kütlenin yer çekim kuvvetiyle gösterelim:
.
Sistemin dengede olması için bileşke kuvvet sıfır olmalıdır, buradan şu
denklemi yazabiliriz:
(1)
Yani, μ = m2 (ρ 2 − ρ 0 ) / ρ 2 ) . Yukarıdaki denklemden çubuğun gömülen uzunluğunu buluruz
(2)
x ≤ l koşuldan (şamandıranın batmaması gerekiyor) ağırlığın kütlesinin en fazla ne kadar
olabileceğini buluruz:
(3)
5)
Bu modelde (ince tahta çubuğu) şamandıra ile dikey arasında açı α iken sisteme etki eden
kuvvetler şekildeki gibidir. Sistemin dengede olması için momentlerin
toplamı da sıfır olmalıdır. Bileşke kuvvet sıfır olduğuna göre, momentleri
en uygun bir noktaya göre alabiliriz. Öyle bir nokta çubuğun kütle
merkezidir:
Bu denklemin çözümlerden biri α = 0 , yani şamandıranın dikey konumu dengelerden biridir.
α ≠ 0 iken ve FA1 = (μ + m1 )g üzere alıp yukarıdaki denklemden
(4)
denklemini buluruz, buradan ise
(5)
Bu ifade denk(2)’den farklı olduğu için sistemin dikey (veya yatay) durumundan farklı denge
durumu olamaz. Fakat x denk(2) ve denk(5)’te aynı ise, yani
İken sistem her bir konumda denge olacaktır. İndirgenmiş kütlenin tanımını üzere alıp
(6)
buluruz.
(7)
iken (yani
iken) şamandıra dikey durumda bulunacaktır.
6)Şamandıra dikey durumda iken sudaki kısmının uzunluğunu çok kolay buluruz: Arşimet
kuvveti yer çekim kuvvetine eşittir
(8)
Buradan:
7) Şamandıra dikey ile a açısı yaptığında sisteme etki eden kuvvetler şekildeki gibidir.
x0 sabit kabul edildiği için denk(9) ve sistemin geometrisine göre
Şimdi sisteme etki eden tüm kuvvetlerin büyüklerini ve momentlerini hesaplayalım:
şamandıra için
Ağırlık için,
Silindirin alt bölgesine etki eden Arşimet kuvveti için,
Silindirin kesit kısmına etki eden Arşimet kuvveti için
Sistem dengede iken bileşke kuvvet ve bileşke moment (burada O′ noktaya göre) sıfır
olmalıdır, yani
Hesaplanan momentleri bu denkleme yerleştirdiğimizde,
Veya ( α ≠ 0 iken)
Denklemlerde yapılan işlemlerde şu bağlantı üzere alınmıştır:
Denk(17) çözümü olması için
gerektir ve çözüm şudur:
Sistemin potansiyel enerjisi a açıya şu ifadeyle bağlıdır
Burada
Bu fonksiyonun grafiği şekildeki gibidir. Bu grafiğe göre denk.(18) geçerli iken dikey durum
kararsız dengedir (grafikte bu tepeye karşılıklıdır), ters durumda (denk(18) geçerli olmayan
koşullarda) potansiyel enerjinin grafiği çukurdur ve tek karalı denge dikey konumdur.
Soru 2. Fotosel
Bir diyota paralel bağlı olan bir elektrik akım kaynağı (şekildeki gibi) ideal bir güneş pilin
modeli olarak kabul edebilinir. Kaynağın akımı (IF) sadece ışığın şiddetine ve spektral
kompozisyonuna bağlı olarak devredeki dirençlerden (şekilde RH ile gösterilen) bağımsızdır.
Diyot D ise lineer olmayan bir alettir: akımı ile (ID) gerilimi (UD) arasında şu bağlantı
geçerlidir
I D = CU D2
Burada C bilinen bir sabittir.
1)Güneş piline RH direnci bağlanıyor. Akımı IF varsayıp ampermetrenin ve voltmetrenin
okudu değerler ne kadardır?
2)RH direnci sıfırdan sonsuza kadar değiştiğinde dirençten geçen akım ile gerilimi arasında
bağlantı, ( I H = F (U H ) ) nedir?
3)Kısa devre akımı (RH sıfır iken) ve açık devre akımı ( RH → ∞ iken) ne kadardır?
4) I H = F (U H ) fonksiyonun grafiğini çiziniz.
5)Dirençteki gücün maksimum değeri (Pmax) ne kadardır ve güç maksimum iken direnç RHmax
ne kadardır? Bu durumda dirençte IPmax ve UPmax ne kadardır?
6) I Φ = 1mA ve C = 4 ⋅10 −3 A / V 2 iken sorulara sayısal cevap veriniz.
Soru 2: Çözüm
1)Dirençteki akım Kirçof kuralına göre foto ve diyotun akımların farkıdır:
gerilimi ise diyotun gerilimine eşittir (paralel bağlı olduğu için).
verileri kullanarak gerilim için şu parabolik denklemini buluruz:
Buradan:
2)Denklem (1)’de I D = CU D2 kullanarak,
dirençteki akımı buluruz.
3)Kısa devre (RH=0) durumunda UH=0 ve denk(5)’e göre
I KD = I Φ
Açık devre içi ise IH=0, denk(5)’e göre
U AD = I Φ / C
4)Denk(5)’e göre I H = F (U H ) bir parabolik grafiktir.
5)Denk(5)’in iki tarafını UH çarpalım:
ve gerilime göre birici türevini sıfır alalım: buradan
Verilere göre
(6)
(7)
Soru 3. "İki generator"
A). Yuvarlak jeneratör.
Şekildeki gösterilen çembersel ağ merkezi aynı olan N=10 tane yarıklı tel çemberinden
oluşuyor. Tellerin öz direnci r, çapı ise d dir. Çemberlerin uçları
direnci çok düşük olan iki tane doğru tel parçası ile bir AC
ampermetreye bağlanıyor. (Not: AC ampermetre akımın etkin
değerini, I / 2 ölçer, burada Imax AC akımın genliğidir). )
max
Çemberlerin yarıçapı tellerin çapından çok daha büyük olarak çemberin numarasına
orantılıdır
a k = ka0 (k = 1,2,...,10)
Ağ, ağının düzleminde homojen bir manyetik alan oluşturan elektromanyetik bir mıknatısın
kutupları arasında yerleştiriliyor (şekildeki gibi). Manyetik alanın şiddeti zamanla
(1)
B (t ) = B0 cos ω t
şeklinde değişiyor. Burada B0 ve ω bilinen sabitlerdir.
1)Ağının her bir çemberinde oluşan indüksiyon emk’yı zamanın fonksiyonu olarak bulunuz,
e(t).
2)Ampermetrenin okudu değeri bulunuz (ampermetrenin iç direncini ihmal ediniz)
3)Ampermetreni direnci R ise gösterdiği akım ne kadardır?
B) Dikdörtgen jeneratör
Kalınlığı h, öz direnci ise ρ olan uzun iletken bir bant yatay yönde sabit bir mıknatısın
kutupları arasında hareket etmektedir (şekildeki gibi). Sabit mıknatıs bantta şiddeti B olan
sabit homojen bir dikdörtgen manyetik alanı oluşturuyor: manyetik alanın genişliği banttın
genişline (a) eşittir, dikdörtgenin diğer kenarı ise b dir. Banttın yan kenarları, R direnci ile
bağlı olan sabit çubuklar arasında kaymaktadır ve bant hareket ettiğinde dirençten elektrik
akımı geçiyor.
1)Dirençten geçen akımı bulunuz.
2)Bant v büyükte sabit hızı ile hareket edebilmesi için nasıl bir F kuvvetiyle çekmelidir?
3)Dirençteki gücü bulunuz.
4)Jeneratörün verimini, yani dirençteki gücün F kuvvetin gücünün oranını, bulunuz. Kaymada
sürtünmeyi ihmal ediniz.
Soru 3: Çözüm
A)Değişken manyetik alan. Zamanla değişen manyetik alanı
elektrik alanı Faraday yasasına göre elektrik alanı oluşturuyor: bu
alanın bir döngüde oluşturduğu emk
∂B
dΦ
ε =−
= −S
dt
∂t
Burada S döngünün kapsadı alandır. Verilere göre
k nolu döngüde
ε k = πak2 B0ω sin ω t
Bu döngünün direnci ise
2πak
a
= 8ρ k2
2
(πd )/ 4 d
Ampermetrenin iç direncini ihmal edersek, ampermetreden geçen akım
10
ε k πd 2 a0
55πd 2 a0
B0ω sin ω t ∑ k =
B0ω sin ω t
i0 = ∑ ik = ∑ =
8ρ
8ρ
k rk
k =1
k
Etkin akım ise
55πd 2 a0
I0 =
B0ω
8 2ρ
Ampermetrenin iç direncini üzere alırsak, her bir döngü için
rk = ρ
Burada,
Yani,
B)Sabit mıknatıs.
Bantla hareket eden her bir elektrona Lorentz kuvveti etki etmektedir (şekildeki gibi)
ve Faraday yasasına göre bir emk oluşturuyor:
Elektrik alanın bölgesinde bulunan banttın direnci şudur:
Ohm yasasına göre devrede oluşan akımın değeri şuna eşittir:
Bu akıma Ampere kuvveti
etki etmektedir.
Banttın sabit hız ile hareket etmesi içi bantta Ampere kuvvetin büyüklüğünde hız ile aynı
yönde bir mekanik kuvvetin uygulaması gerektir. Bu kuvvetin gücü
Dirençte birim zamanda açığa çıkan ısı miktarı ise Joule-Lentz yasasına göre
Buradan, jeneratörün verimi için şu değeri buluruz:
yani normal emk’lı devrelerdeki gibi.
Soru 4. Havanın sıcaklığı
Bir uçak Dünyanın ekvator bölgelerinde uçsa bile 10 km yükseklikte yolculara uçaktaki
monitörlerde dış havanın sıcaklığını yaklaşık -550C derece olarak gösteriyorlar. Havanın
sıcaklığının yükseklikle değişmesi için bir model oluşturun. Bu modelde havayı termodinamik
dengede olmayan (sıcaklı faklı noktalarda farklıdır) bir ideal gaz olarak kabul ediniz ve sıcaklı
yüksekliğin fonksiyonu olarak bulunuz.
Soru 4: Çözüm
Dünyanın yüzeyine yakın olan bölgelerde havanın yoğunluğu sıcaklığın artışınla etraftaki
havanın yoğunluğuna göre azalıyor ve Arşimet kaldırma kuvvetine yol açıyor: atmosferde
devamlı konveksiyon akışı oluşuyor. Bu akışın hızı ısı iletim hızından çok daha büyük
olduğuna göre konveksiyon akışım adyabatik bir süreçtir. Bir miktar gaz atmosferde
yükseldiğinde basıncı, yoğunlu ve sıcaklı ile arasında ideal gaz durum denklemine ve
adyabatik denklemine göre bağlantılar sağlanıyor:
⎧
ρ RT
⎪p = μ
⎪
⎪ dp
dV
dT
+
=
⎨
V
T
⎪ p
⎪ dp
dV
+ γ
= 0
⎪
V
⎩ p
(1)
Burada μ havanın ortalama moleküler kütlesi, ρ yoğunluğu, γ ise adyabatik sabitidir (iki
atomlu molekül için γ ≈ 7 / 5 ). Aynı anda yer çekim sebebiyle yükseklikle havanın basıncı
azalıyor:
(2)
dp = − ρgdy ,
Burada g yer çekim ivmesi, y ise gaz miktarın zemine göre konumudur. Denk(1)’den ve
(2)’den
dp dp dT
dp
γ dT
⇒
−
=
⇒
=
p γp T
p γ −1 T
γ dT
γ − 1 μρgdy
− μρgdy
⇒ dT = −
=
γ
ρRT
γ −1 T
R
buluruz, yani
γ − 1 μρgy
T ( y ) = T0 −
γ
R
Burada T0 havanın zemindeki sıcaklıdır.
Soru 5. Uydunun Yörüngesi
Bir uydu Dünyanın etrafında çembersel bir yörüngede dönerken hızının yönünü bir anda α
açısına kadar değiştiriyor ( α < π ), hızın büyüklüğü ise aynı kalıyor. Yeni yörünge ne
olacaktır ve onun yeni parametrelerini bulunuz. Dönme periyotu ne kadar olacaktı?
Soru 5: Çözüm
Uydu hızının yönünü değiştirdiğinde Dünya-uydu sistemin enerjisi değişmiyor. Buna göre
uydunun yeni yörüngesi genel olarak bir elips olacaktır (özel bir açı içi bu elips bir çember de
olabilir). İfadeleri daha kısa yazmak için kütle birimi uydunun kütlesi m=1, hız birimi
uydunun ilk hızı v0=1, mesafe birimi ise çembersel yörüngenin yarıçapı r0=1 ve evrensel
= c olsun. Uydu çembersel yörüngede iken
sabiti çarpı Dünyanın kütlesi γ M
γMm
r02
=
mv02
⇒ γM = c = 1
r0
İlk anda sistemin enerjisi
γMmr 1
1
1
1
E = mv02 − 2 = mv02 − mv02 = − mv02 = − dir.
2
r
2
2
2
Uydu hızının yönü değiştirdikten hemen ardından sistemin açısal momentumun büyüklüğü
⎛π
⎞
L = mv0 sin ⎜ + α ⎟ = cos α ’dır.
⎝2
⎠
Zamanla o değişmiyor. Uydu elipsin büyük ekseni uçlarında iken hızı eksene diktir ve açısal
momentumu L = mur = ur = cos α ’ye eşittir, burada u o noktada uydunun hızıdır, enerjisi ise
1
1 1
1
1
E = mu 2 − = u 2 − = − ,
2
r 2
r
2
Buradan
r 2 − 2r + cos 2 α = 0
Bu denklemin çözümleri r1 = 1 − sin α , r2 = 1 + sin α . Verilere göre α < π , yani yeni yörünge
bir elipstir. Boyutlu şekilde r1 = (1 − sin α )r0 , r2 = (1 + sin α )r0 . Kepler’in yasalarına göre
uydunun periyotu için
T2
⎛ r1 + r2 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
3
=
T02
⇒ T = T0
r03
Soru 6 Mercek ve Ayna
Odak uzunluğu F olan ince kenarlı bir merceğin odak ekseni dik olarak bir ayna yerleştiriliyor
(şekildeki gibi). Bu optik sistemi, merceğin odak noktası ile mercek arasında bulunan bir A
cisminin gerçek bir görüntüsünü oluşturup onu Γ = F / d kadar büyütüyor, burada d mercek
ile cisim arasındaki mesafedir. Bu verilere göre mercek ile ayna arasındaki mesafeyi (a)
bulunuz.
Soru 6: Çözüm
A cisminin bu sistemde gerçek görüntüsü oluşması için cisim mercek ile odak noktası
arasında bulunmalıdır. Ayna böyle bir cismin sanal görüntüsünü görüyor ve onu yansıtıyor.
Yansıtılan görüntü mercek için yeni bir cisim gibidir. Bu görüntü orijinal cisme göre
dF
Γ1 = F / (F − d ) ) kere büyütülmüştür ve mercekten f1 =
uzaklıkta bulunmaktadır.
F −d
Mercek ile aynadaki görüntü arasında mesafe ise d 2 = 2a + f1 dir. Merek ise aynadaki
görüntüyü Γ2 = F / (d 2 − F ) kere büyütüyor (verilere göre son görüntü gerçek görüntüdür).
Buna göre toplam büyütme sayısı Γ = Γ1Γ2 =
f1 değerini yerleştirdiğimizde a =
F2
F
= oluyor. Bu denkleme
(F − d )(2a + f1 − F ) d
F
buluruz.
2