ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KÜTLELİ NÖTRİNO FİZİĞİ Deniz YILMAZ FİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 2005 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi KÜTLELİ NÖTRİNO FİZİĞİ Deniz YILMAZ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. A. Ulvi YILMAZER Bu tez çalışmasında, Güneş nötrino açığının, madde ortamı tarafından zenginleştirilmiş spin-çeşni presesyon etkisinden kaynaklandığı varsayılarak, Güneş nötrino deneylerinden gelen verilerinin KamLAND verileri ile birleştirilmesiyle bir global analiz yapılmıştır. Güneşin tamamı boyunca etkili iki farklı manyetik alan şekli kullanıldı: Wood-Saxon ve Gaussyen şeklinde. Dirac nötrinoları için, μB değerleri artarken, izinli bölgelerin manyetik alan şeklinden bağımsız olduğu ve LMA’ daki izinli bölgelerin SMA bölgesine kaydığı görülmüştür. İzinli bölgeler % 95 CL güven seviyesinde hesaplanmıştır. 0.95 CL’ de elektron nötrinosu manyetik momenti için bir üst limit bulundu: Her iki manyetik alan şekli için 1σ seviyesinde μB< 0.2×10-7μ BG . 2005, 98 sayfa ANAHTAR KELİMELER : Nötrino, RSFP, Dirac kütlesi, Majorana kütlesi, Helisite, Ellilik, Global, İstatistik, Wood-Saxon, Gauss, Manyetik alan, Spin-çeşni, Presesyon, LMA, SMA, i ABSTRACT Ph. D. Thesis MASSIVE NEUTRINO PHYSICS Deniz YILMAZ Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Engineering Physics Supervisor: Prof. Dr. A. Ulvi YILMAZER In this thesis, a global analysis of the solar neutrino data from all solar neutrino experiments combined with the KamLAND data is presented assuming that the solar neutrino deficit is due to the matter-enhanced spin-flavor precession effect. We used two types of magnetic field profiles throughout the entire Sun: Wood-Saxon shape and the Gaussian shape. We showed that for Dirac neutrinos, the allowed regions are independent of the magnetic field profiles for all of the magnetic moments that we used in this thesis and the allowed region in the large mixing angle (LMA) region shifted to the small mixing angle region as μB value is increased. We calculated the allowed regions at 95 % CL. We also find a limit for the electron magnetic moment at 0.95 CL so that μB<0.2×10-7μ BG for both magnetic field profiles at 1σ level. 2005, 98 pages Key Words: Neutrino, RSFP, Dirac mass, Majorana mass, Helicity, Chirality, Global, Statistics, Wood-Saxon, Gauss, Magnetic field, Spin-flavor, Precession, LMA, SMA. ii TEŞEKKÜR Doktora tez çalışmalarım boyunca bana her konuda yardımcı ve destek olan danışmanım Prof. Dr. A. Ulvi YILMAZER’ e çok teşekkür ederim. Ayrıca Prof. Dr. Z. Zekeriya AYDIN’ a ve Prof. Dr. Ramazan Sever’ e Tez İzleme Komitesi (TİK) toplantılarında, çalışmalarımla ilgili yararlı görüşlerinden dolayı teşekkürlerimi sunarım. Bunun yanında TÜBİTAK-Bilim Adamı Yetiştirme Grubuna (BAYG) sağladığı bütünleştirilmiş doktora programı bursu için ve bu burs çerçevesinde Wisconsin Üniversitesinde birlikte çalıştığım, doktora tezimin oluşmasında büyük yardımları olan ve kendisini tanımaktan dolayı çok şanslı olduğum Prof. Dr. A. Baha BALANTEKİN’ e teşekkürlerimi bir borç bilirim. Hayat boyu desteklerini benden esirgemeyen sevgili aileme ve her türlü sıkıntımda yanımda yer alan çok değerli fizik öğretmenim Seçkin KARABULUT’ a yardım ve destekleri için teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca çok sevgili arkadaşlarım Ömer-Nesrin TARDU, Zeki TUĞCULAR, Memet KARAMAN ve Özgür S. AYTEKİN’ e de doktora çalışmam sırasındaki desteklerinden dolayı teşekkür ederim. Deniz YILMAZ Ankara, Ocak 2005 iii İÇİNDEKİLER ÖZET……………………………………………………………………………………..i ABSTRACT…………………………………………………………………………......ii TEŞEKKÜR………………………………………………………………………….....iii SİMGELER DİZİNİ…………………………………………………………………....vii ŞEKİLLER DİZİNİ………………………………………………………………...….viii ÇİZELGELER DİZİNİ……………………...………………………………..…...……..x 1. GİRİŞ………………………………………………………………………....1 2. KURAMSAL TEMELLER………………………………………………....5 2.1. Nötrinoların Tanımlanması............................................................................5 2.1.1. Dirac ve Majorana kütle terimleri...............................................................8 2.2. Nötrinoların Elektromanyetik Özellikleri.....................................................10 2.2.1. Nötrinoların manyetik dipol momenti.......................................................13 2.2.2. Nötrinoların manyetik momentleri üzerine sınırlamalar...........................13 2.3. Güneş Nötrino Problemi...............................................................................14 2.4. Nötrino Salınımlarının Teorisi.....................................................................16 2.4.1. Vakumda nötrino salınımları: iki çeşni durumu........................................20 2.4.2. Madde ortamında nötrino salınımları........................................................22 2.4.2.1 Madde ortamında efektif potansiyeller....................................................24 2.4.2.2. İki çeşni durumu için madde ortamında evrim denklemi ve nötrino salınımı…………………………………………………………….......26 2.5. Güneş’ te Spin-Flip ve Spin-Çeşni Presesyonu………......………………..33 2.5.1. Manyetik alanda spin-flip…………………………..……………………33 2.5.2. Güneş’te spin-çeşni presesyonu…………………...………………..…...34 2.6. Standart Güneş Modeli Çerçevesinde Güneş………………………...…....39 2.6.1. Standart Güneş Modeli (SGM) …………………………….....................39 2.6.2. Güneş nötrino akısı……………………………........................................42 2.6.3. Güneşteki manyetik alanlar……………………………...........................45 2.7. Nötrino Deneyleri…………………………….............................................46 2.7.1. Güneş nötrino deneyleri……………………...…….................................46 2.7.1.1. Homestake (Klor) deneyi………………...……....................................46 iv 2.7.1.2. Galyum deneyleri……………………...................................................48 2.7.1.3. Süper Kamiokande (SK) ………………................................................49 2.7.1.4. SNO (Sudbury Neutrino Observatory) ..................................................51 2.8. İstatistik ve Olasılık......................................................................................53 2.8.1. Olasılık tanımı, rastgele değişkenler, örnek uzay......................................53 2.8.2. Olasılık hesabı...........................................................................................55 2.8.2.1. Tanımlamalar..........................................................................................55 2.8.2.2. Koşulsal olasılık.....................................................................................56 2.8.3. Bayes Teoremi...........................................................................................57 2.8.4. Olasılık dağılımlarının genel özellikleri....................................................58 2.8.4.1. Olasılık yoğunluk fonksiyonu................................................................58 2.8.4.2. Kümülatif dağılım fonksiyonu...............................................................58 2.8.4.3. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri.........................................59 2.8.4.4. Bir fonksiyonun beklenen değeri............................................................60 2.8.4.5. Ortalama değer ve bir rastgele değişkenin varyansı...............................60 2.8.4.6. Kovaryans matris; korelasyon katsayıları..............................................61 2.8.5. Özel olasılık dağılımları............................................................................63 2.8.5.1. Binom ve Poisson dağılımı (Kesikli dağılımlar) ...................................63 2.8.5.3. Normal veya Gausyen dağılımı (Sürekli dağılım) .................................64 2.8.5.4. N(μ,σ 2 ) ’ nin olasılık içerikleri............................................................65 2.8.6. χ 2 istatistiği ve χ 2 dağılım fonksiyonu..................................................66 2.8.7. En-küçük kareler yöntemi.........................................................................68 2.8.8. Klasik güven aralığı (Neyman güven aralığı) ..........................................69 2.8.8.1. Klasik güven aralıklarına örnekler.........................................................71 2.8.8.1.1. Gauss dağılımına sahip güven aralığı..................................................71 2.8.8.1.2 Fona sahip Poisson süreci.....................................................................72 2.8.9. Feldman-Cousins Sıralama İlkesi..............................................................73 2.8.10. Fit uyumu ve izinli bölge hesabı.............................................................75 3. MATERYAL ve YÖNTEM..........................................................................76 3.1. İstatistiksel Analiz ve Nötrino Deneyleri.....................................................76 4. ARAŞTIRMA BULGULARI.......................................................................82 5. TARTIŞMA ve SONUÇ................................................................................88 v KAYNAKLAR…………........................……………………………………...89 EKLER……………................………………………......…………………….93 EK1…………….............……………………………………….………………94 EK2……………....................………….……….……………………………....97 ÖZGEÇMİŞ……………..........................……......…………………...……....98 vi SİMGELER DİZİNİ ν Nötrino alanı νc Nötrino alanının yük eşleniği νL Sol-elli nötrino alanı νR Sağ-elli nötrino alanı H Hamiltoniyen D m Dirac kütlesi jμem Elekromanyetik akım μel Elektrik dipol momenti μel Manyetik dipol moment θ Nötrino karışım açısı θ0 Vakumda Nötrino karışım açısı GF Fermi sabiti γμ Dirac matrisleri C Yük eşleniği operatörü Ve Elektron efektif potansiyeli Vμ Muon efektif potansiyeli Ne Elektron sayı yoğunluğu Nμ Muon sayı yoğunluğu L Güneş yüzey ışınlığı T Güneş yüzey sıcaklığı M Güneş kütlesi R Güneş yarıçapı B Güneşteki manyetik alan Ф Nötrino akısı σ Tesir kesiti vii ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1. Nötrino manyetik momentine katkıda bulunan bir-ilmek diyagramı………..10 Şekil 2.2. Standart Güneş Modeli ile Güneş nötrino deneyleri arasındaki ilişki.............15 Şekil 2.3. Nötrino salınım deneyi…………………………………………………....…16 Şekil 2.4. İki çeşni nötrino salınımlarının geçiş olasılığını mesafeye bağlayan eğri.…21 Şekil 2.5. Nötrino saçılım diyagramları……………………...……………………..…24 Şekil 2.6. Dirac nötrinolarının iki aileli durumu için enerji-seviye geçişleri. RMSW ve R1 sırasıyla MSW rezonansı ve ν eL → ν μ R rezonans durumuna karşı gelir..36 Şekil 2.7. MSW ve ν eL → ν μR rezonanslarının karşılaştırılması. Üst kısım (B=0 durumunda ) yalnızca MSW rezonansı durumundaki, alt kısım (B≠0 durumunda ) ise her iki rezonans durumundaki hayatta kalma olasılığının güneş yarıçapına bağlı değişimini vermektedir ( P(ν e → ν e ) - R/R )..........37 Şekil 2.8. Güneşteki pp zinciri........................................................................................40 Şekil 2.9. Güneşteki CNO döngüsü.................................................................................40 Şekil 2.10. Detaylı Güneş şekli.......................................................................................41 Şekil 2.11. Güneş yarıçapına bağlı olarak SGM çerçevesinde hesaplanan elektron yoğunluğu dağılımı........................................................................................42 Şekil 2.12. Güneş nötrino spektrumunun nötrino enerjisine bağlı gösterimi..................44 Şekil 2.13. Güneş yarıçapının bir fonksiyonu olarak nötrino üretimi.............................44 Şekil 2.14 Güneş’ teki manyetik alan tipleri. (a) Wood-Saxon (b) Gauss tipinde manyetik Alan şekilleri.................................................................................45 Şekil 2.15. Venn diyagramları.........................................................................................55 Şekil 2.16. Koşulsal olasılığı gösteren Venn diyagramı..................................................56 Şekil 2.17. B1, B2, ..., Bn ayrık alt kümelerinden oluşan Ω alt uzayı. A kümesi de Ω içinde herhangi bir küme................................................................................57 Şekil 2.18. Düzgün dağılımlı olasılık yoğunluk fonksiyonu için yerel parametreler......59 Şekil 2.19. Binom dağılımı..............................................................................................63 viii Şekil 2.20. Gauss (normal) dağılımı.............................................................................. .64 Şekil 2.21. Binom ve normal dağılım..............................................................................65 Şekil 2.22. χ 2 dağılımının olasılık içerikleri..................................................................66 Şekil 2.23. Kümülatif χ 2 dağılımı.................................................................................67 Şekil 2.24. En genel güven kemeri..................................................................................70 Şekil 2.25. (a) % 90 CL üst limitinde, Gausyen dağılımın ortalaması için standart güven kemeri. (b) % 90 CL merkezi güven aralıklarında, Gausyen dağılımın ortalaması için standart güven kemeri...........................................72 Şekil 2.26. (a) % 90 CL üst limitinde, b=3 durumu için bilinmeyen μ ortalamalı Poisson signali için standart güven kemeri. (b) % 90 CL merkezi güven aralıklarında, b=3 durumu için bilinmeyen μ ortalamalı Poisson sinyali için standart güven kemeri.............................................................................73 Şekil 2.27. FC sıralama ilkesine göre (a) Poisson dağılımı için (b) Gausyen dağılım için güven kemerleri.......................................................................................74 Şekil 4.1. Dört farklı µB değerinde (µB = 0, 2, 5 ,10 × 10-7) ve % 95 CL güven seviyesinde herbir Güneş nötrino deneyi için nötrino parametre uzayının izinli bölgeleri.................................................................................................82 Şekil 4.2. Şekil 2’ deki aynı µB değerlerinde birleştirilmiş (combined) Güneş nötrino deneylerinin izinli bölgeleri. “*”’ lar yerel en iyi fit noktasını belirtir….…83 Şekil 4.3. KamLAND spectrum verileri için farklı güven seviyelerindeki izinli bölgeler. “*” en iyi fit noktasını belirtir……………..………………….......84 Şekil 4.4. Güneş nötrino verilerini ve KamLAND verilerini birleştirilmesinden oluşturulan global analizden, % 95 CL’ de dokuz farklı µB değeri (0, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 10x10-7 µBG) için elde edilen izinli bölgeler. “*” en iyi fit noktasını belirtir…………..…………………...…………...…85 Şekil 4.5. Δχ2 fonksiyonunun µB üzerindeki izdüşümü……………………………..…87 EK 1. Şekil.1.a) Standart Model’ deki elektron ve kütlesiz elektron nötrinosu için helisite ve ellilik durumları.............................................................................96 Şekil 1.b) Kütleli Dirac ve Majorana nötrinosu için helisite ve ellilik durumları...........96 EK 2. Şekil 1. a) muon nötrinosu tarafından üretilen b) elektron duşunun ürettiği Cherenkov ışınımları....................................................................................97 ix ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2.1. Güneşteki nötrino üretim reaksiyonları…………………..…………….…43 Çizelge 2.2. Cl ve Ga deneyleri için tahmin edilen olay oranları………………………49 Çizelge 2.3. b=3 bilinen fon durumunda μ=0.5 durumu için güven kemeri yapımındaki hesaplamalar.…………………………………………………………..…74 Çizelge 4.1. Her iki manyetik alan şekli için en iyi fit noktaları……………………….86 x 1. GİRİŞ Nötrino radyoaktif çekirdeklerin beta bozunumunda ortaya çıkan enerji problemine bir çözüm olarak, 1930’ da Pauli tarafından ortaya atılmıştır. Standart Modelde lepton aileleri içinde yer alan, yükü sıfır, kütlesi sıfır ve ½ spinli parçacıklar olarak bilinen nötrinoların varlığının deneysel olarak doğrulanması 1950’ li yıllarda gerçekleşir. 1950’ lerin ortalarına kadar doğadaki tüm nötrinoların yarısının “sol-elli” helisiteli, diğer yarısının da “sağ-elli” helisiteli oldukları kabul ediliyordu. Ancak daha sonra, parite bozulumunun gözlenmesinin ardından keşfedildi ki doğada nötrinolar yalnızca sol-elli polarizasyona karşılık gelen helisite ile, antinötrinolar ise sağ elli polarizasyona karşı gelen helisite ile ortaya çıkmaktadırlar (Wu et al. 1956, Lee ve Yang 1957). Standart Modelde sol-elli leptonlar, üç aile şeklinde, SU(2)L zayıf izospin grubunun ikilileri olarak, sağ-elli leptonlar ise tekliler olarak yer almaktadırlar; ( eν )L ,eR ( μν )L ,μ R ( τν )L ,τR e μ τ Eğer nötrinolar kütleli ise, elektrozayıf etkileşmelerin kuark sektörüne benzer olarak, νe, νμ, ντ zayıf etkileşme özdurumları (çeşni özdurumları) ile ν1, ν2, ν3 nötrino kütle özdurumları arasında bir karışım vardır. Zayıf etkileşmeler ile üretilen nötrinolar uzayda yoluna devam ederken farklı çeşnideki bir nötrinoya peryodik geçiş yaparlar. Buna “nötrino salınımları” denir. Nötrinoların sıfırdan farklı kütlelere sahip olabileceklerinin ilk deneysel kanıtı olan, 1998’in haziran ayında gerçekleştirilen, Süper-Kamiokande deneyi ile, nötrino kütleleri ve karışımı problemi günümüz yüksek enerji fiziğinin en ilgi çeken problemlerinden biri olarak karşımızda durmaktadır. Dünya üzerindeki güneşsel nötrino ölçümlerinin, standart Güneş model tahmininin yaklasık üçte biri kadar olduğu deneysel olarak hesaplandıktan sonra, nötrino 1 osilasyonları deney ve teori arasındaki bu açığı açıklayabilecek bir mekanizma olarak sunuldu. Öte yandan, kayıp Güneş nötrinoları için öne sürülen çözümlerden birisi MikheyevSimirnov-Wolfenstein (MSW) (Wolfenstein 1978, Mikheyev ve Smirnov 1986) etkisidir. Bu çözümde, nötrinoların madde içindeki koherent ileri saçılması, elektron nötrinolarının başka çeşnideki nötrinolara dönüşmesine neden olur. Bu etkide karışım açılarının ve kütle kare farklarının ince ayarına gerek yoktur ve rezonans koşulu şu bağıntı ile verilir: Δm 2 Cos 2θ 0 2GF N e = 2E (1.1) Büyük karışım açısı (LMA), küçük karışım açısı (SMA) ve düşük δm2 (LOW) bölgeleri yaygın MSW çözümü olarak bilinirler. Tüm nötrino deneylerinin global analizi LMA çözümünü nötrino parametre uzayındaki en olası çözüm olarak göstermiştir. Ayrıca KamLAND (Eguchi et al. 2002) deneyinden gelen veriler de LMA bölgesini çözüm bölgesi olarak işaret etmiştir. Böylece reaktör ve Güneş nötrino deneyleri çözüm bölgesi olarak güçlü bir şekilde LMA bölgesini belirtmiştir. Bir diğer çözümde ise, nötrinoların manyetik momente sahip olduğu düşünülür. Eğer nötrinolar büyük manyetik momentlere sahipse güneş nötrino problemi için daha spekülatif bir çözüm vardır. Güneşin manyetik alanından geçiş, nötrinoların spinini etkiler; sol-elli elektron nötrinosunu şu anki nükleer dedektörlerde gözlenemeyen sağelli nötrinoya dönüştürür. Bu gözlemlerden yola çıkarak, Okun, Voloshin ve Vysotsky (Okun et al. 1986) bu manyetik moment çözümünü iyice incelediler. Elektrik ve manyetik dipol momentlere ek olarak, farklı türler arasındaki çeşni geçiş momentlerine sahip olmanın da akla yatkın olduğunu vurguladılar. Akhmedov (Akhmedov 1988) ve Barbieri ve Fiorentini (Barbieri ve Fiorentini 1988) çeşni değişim spin rotasyonunun resonant artırımı üzerindeki madde etklilerini incelediler. Nötrino spin ve çeşni presesyonu üzerine 2 maddenin ve manyetik alanların birleşik etkisi (RSFP) Lim ve Marciano ( Lim ve Marciano 1988) tarafından incelenmiştir. Çeşni karışımı ve manyetik(köşegensel veya geçiş) momentlerinin eş anlı varlığının MSW rezonansına ek olarak iki yeni rezonansa yol açabileceğini vurgulamıştır. Bu olasılığı Minakata ve Nunokawa ( Minakata ve Nunokawa 1989) çalışmıştır. Onlara göre önemli bir etki için oldukça büyük manyetik alanlara veya manyetik momentlere gereksinim vardır. Geçiş manyetik momentine sahip Güneş nötrinolarının madde-etkili spin-çeşni presesyonu klor ve galyum deneyleri için Balantekin et al. (Balantekin et al. 1990) tarafından detaylıca incelenmiştir. Son yıllarda RSFP’ yi farklı bakış açılarında inceleyen başka birçok çalışma yapılmaktadır. Chauhan (Chauhan et al. 2002) nötrino osilasyonunun ve spin çeşni presesyonunun birleşik etkisini incelemişlerdir: Güneş’ ten gelen elektron karşıt-nötrinolarını incelemişler ve µB’ ye bir üst sınır (µB<2.8x10-19 MeV) getirmişlerdir; burada µ, nötrinonun manyetik momenti, B ise manyetik alan şiddetidir. Ayrıca Güneş’ in manyetik alanının etkisinin detaylı bir incelemesi için, güneş verilerinin istatistiksel analizi yapılır ve minimum χ2 değerinden, farklı profiller için manyetik alan değerleri çıkarılabilir. Bunlara ek olarak, nötrinonun manyetik momentine bir üst sınır getirmek için, önce herbir nötrino deneyi için, farklı µB değerlerinde, nötrino parametre uzayının izinli bölgeleri incelenir. Sonra aynı µB değerleri için, Güneş nötrino deneylerinin birleşik etkisine bakılarak izinli bölgeler bulunabilir. Son olarak da, global analiz yapmak için, KamLAND verileri, birleşik güneş nötrino verilerine eklenir. Bu tezde, Güneş nötrino açığının RSFP’ den kaynaklandığı varsayılarak, böyle bir yol kullanıldı. Hesaplamalarda, Δm2 ve tan2θ osilasyon parametrelerinin izinli değerlerini elde etmek için sıklıkla kullanılan standart en-küçük kareler yöntemi kullanıldı. Bu tez çalışmasında, yapılan global analiz ile RSFP etkisinin, reaktör ve Güneş nötrino deneylerinin güçlü bir şekilde işaret ettiği LMA bölgesini nasıl değiştirdiğine bakıldı. İki farklı Güneş manyetik şekli ve dokuz farklı µB değerleri için yapılan hesaplamalar sonucunda LMA’ daki izinli bölgenin µB değeri arttıkça SMA bölgesine kaydığı bulunmuştur. Bu gözlemlerden dolayı µB’ ye bir üst sınır getirilebilir. 3 İkinci bölümde, “Kuramsal Temeller” olarak öncelikle nötrinoların genel bir tanımı verilmiştir. Bunun için iki alt bölümde nötrinoların helisite ve ellilik özellikleri ile kütle terimleri ve nötrinoların elektromanyetik özellikleri hakkında bilgiler verildi. Daha sonra “Güneş Nötrino Problemi (GNP) ”’ nden bahsedilerek izleyen iki alt bölümde GNP’ nin çözümü olarak öne sürülen nötrino salınımları ve Güneş’ te spin-çeşni presesyonu detaylıca anlatılmıştır. Sonraki iki alt bölümde, “ Standart Güneş Modeli (SGM)”’ den ve Güneş nötrino deneylerinden bahsedilmiştir. “Kuramsal Temeller”’ in son kısmında ise, deneylerden gelen verilerin analizi için gerekli olan istatistiksel analiz hakkında detaylı bilgi verilmiştir. “Materyal ve Yöntem” kısmında ise “Kuramsal Temeller”’ in ışığında Güneş nötrino deneylerinden elde edilen verilerin istatistiksel analizi anlatılmıştır. “Araştırma Bulguları”’ nda ise elde edilen sonuçlar ve grafikler verilmiştir. Son olarak “Sonuç” kısmında bulduğumuz μB limiti ile literatürdekiler karşılaştırılmıştır. 4 2. KURAMSAL TEMELLER 2.1. Nötrinoların Tanımlanması Yüklü leptonlar ve kuarklar dört bileşenden oluşan Dirac parçacıklarıdır: sol ve sağ-elli parçacıklar ve onların karşıt-parçacıkları. Nötrinoların zayıf etkileşmeleri daima elli alanlarla tanımlanır. Ellilik izdüşüm operatörleri PL = 1− γ 5 2 PR = 1+ γ 5 2 (2.1) şeklinde tanımlanır. Şöyle ki sol ve sağ elli alanlar, örneğin nötrinolar için ν L = PLν ve ν R = PRν olarak yazılır. “Sol-elli” ‘lik ve “sağ-elli”’ lik kavramları, relativistik parçacıklar için elliliğin, helisite ile özdeş oluşumundan doğar. Helisite bir parçacığın spininin momentumu üzerine izdüşümü olarak tanımlanır ve helisite izdüşüm operatörleri P± = 1 σ.p (1 m ) 2 p (2.2) şeklindedir. Helisite operatörünün özdurumları -1 (sol veya negatif helisiteli) ve +1 (sağ veya pozitif helisiteli)’ dir. Kütleli bir parçacık için belirli bir elliliğe sahip bir durum helisite durumlarının bir lineer karışımından oluşur. Sol (sağ)-elli durum baskın olarak negatif helisiteli durumdan ve az miktar (m/E) sağ (sol)-elli durumun toplamından oluşur [EK 1]. Serbest bir fermiyon için, helisite korunur, fakat ellilik korunmaz. Ellilik yalnızca m → 0 limitinde korunur (Akhmedov 2000). σ.p kütleli veya kütlesiz olsun serbest parçacığın Hamiltonien’i ile yerdeğiştirir, fakat γ 5 yerdeğiştirmez (Kim ve Pevsner 1993). 5 Ellilik ve helisite kavramlarından sonra, nötrino durumlarına tekrar dönecek olursak, önce kütleli nötrinoları helisite çerçevesinden inceleyelim. İşe, negative helisiteli kütleli bir nötrino alarak başlayalım, ν − . Bütün fizik teorileri CPT (yük-parite-zaman) altında değişmez olduğu için ν − ’ nin CPT altında bir ayna görüntüsü vardır; bu da pozitif helisiteli karşıt nötrinodur: ν + . Helisitenin yük eşleniği (C), parite (P) ve zaman tersinmesi (T) altındaki dönüşümü ise şu şekildedir: C (yük): t → t, p → p, P (uzay): t → t, p → -p, T (zaman): t → -t, p → -p, PT (uzay-zaman): t → -t, p → p, x → x, q → -q L=x × p → L ⇒ s → s, helisite: h= x → -x, q→q L=x × p → L ⇒ s → s, helisite: h= x → x, σ.p →h p σ.p → -h p q→q L=x × p → -L ⇒ s → -s, helisite: h= x → -x, σ.p → -h p q→q L=x × p → -L ⇒ s → -s, helisite: h= σ.p → -h p Bu özelliklerden yararlanarak nötrinoların CPT altındaki dönüşümlerini inceleyebiliriz. ν − ⎯CPT ⎯ ⎯→ ν + Nötrinoları kütleli kabul ettiğimizden dolayı, hızları ışık hızından küçüktür ve dolayısıyla bir gözlemci nötrinolardan hızlı gidebilir. Bu gözlemcinin çerçevesinden bakıldığında, nötrino diğer tarafa gidiyormuş gibi gözükür. Fakat spini yine aynı kalır. Başka bir deyişle, negative helisiteli (ν − ) nötrino Lorentz ötelemesi altında, pozitif helisiteli (ν + ) nötrinoya dönüşür. 6 Buradaki önemli soru, ν + ile ν + ’ nın aynı olup olmadığıdır; yani maddeyle aynı şekilde mi etkileşirler? Eğer ν + (− ) ile ν +(− ) ile aynı parçacık değilse (başka bir deyişle maddeyle aynı şekilde etkileşmiyorlarsa), o zaman ν + ’nın da kendi CPT ayna görüntüsü vardır: ν − . Dolayısıyla aynı kütleli dört duruma sahip oluruz ki, bu durumların kümesi DIRAC nötrinosu (ν D ) olarak adlandırılır. Genel olarak, Dirac nötrinoları manyetik ve elektrik dipol momentlere sahiptirler. Böylelikle ( ν − ν + ) durumları (ν − ν + ) durumlarına Lorentz dönüşümleri veya dış elektromanyetik alanlarla (E ,B) dönüştürülür. Eğer ν + (− ) , ν +(− ) ’ ya özdeş ise, yani iki durum da maddeyle aynı şekilde etkileşiyorsa, bu durumda aynı kütleli iki duruma sahip oluruz: Bu durumlar kümesi MAJORANA nötrinosu (ν M ) olarak adlandırılır. Majorana nötrinosu kendisinin karşı-parçacığıdır. 7 2.1.1. Dirac ve Majorana kütle terimleri Kütlesiz bir nötrino iki bileşenli Weyl spinör alanı ile tanımlanır; sağ ve sol olmak üzere belirli bir ellilikleri vardır. Kütleli bir nötrino ise ya Dirac ya da Majorana parçacığı olabilir ve sırasıyla Dirac veya Majorana spinörleri ile tanımlanırlar. Dirac spinörü dört bağımsız kompleks bileşenden oluşur: parçacıklar (sol ve sağ elli) ve karşı-parçacıklar (sol ve sağ-elli). Karşı-parçacık spinörleri yük eşleniği operatörü ile parçacık spinörlerinden elde edilirler: Ψ C = CΨ T C = iγ 2 γ 0 burada C yük eşleniği matrisini tanımlar ve C † = C T = C −1 = −C C 2 = −1 C −1γ μ C = −(γ μ ) T özelliklerine sahiptir. Yük eşlenik operatörü yük benzeri kuantum sayılarını değiştirirken, ellilik gibi diğer kuantum sayılarını değiştirmez. Bundan dolayı yeni bir operator tanımlayacağız: ) ) parçacık-karşı parçacık operatörü: C . C operatörü sol ve sağ-elli alanlara uygulandığında ) C : ν L → (ν L ) C = (ν C ) R ν R → (ν R ) C = (ν C ) L elde edilir. Dolayısıyla sol-elli bir nötrinoyu var olan sağ-elli karşı-nötrinoya dönüştürür. Oysa ki yük eşleniği sol-elli bir nötrinoyu var olmayan sol-elli karşı nötrinoya dönüştürür. 8 Buradan yola çıkarak Dirac alanını yazacak olursak; Dirac alanı iki bileşenden oluşur: ν = ν L +ν R Böylece Dirac kütle terimi -ℒm= m Dνν = m D (ν L + ν R )(ν L + ν R ) = m D (ν Lν R + ν Rν L ) şeklinde yazılır. Dirac durumunun aksine Majorana durumunda kütleli alanın sağ-elli bileşeni sol-elli ) bileşenin C -eşleniğidir: ΨR = ( ΨL ) C = ( Ψ C ) R Yani, parçacık kendisinin aynı zamanda karşıt-parçacığıdır. Bu durumda nötrinolar için Majorana alanı ν = ν L + η (ν C ) R = ν L + η (ν L ) C olarak yazılır ve η = e iϕ olmak üzere keyfi bir fazdır. Böylece Majorana alanı yalnızca bir Weyl alanından oluşur. Majorana kütle terimi ise [ ] 1 1 -ℒm= m M (ν L + (ν L ) C )(ν L + (ν L ) C ) = m M ν L (ν L ) C + hc 2 2 olarak ifade edilir. 9 Dirac ve Majorana kütle terimleri arasında önemli bir fark vardır: Dirac kütle terimleri νν ν → e iαν ν → ν e −iα U(1) global faz dönüşümleri altında değişmezdir. Böylece Dirac durumunda elektrik yükü, lepton ve baryon sayıları gibi karşı gelen yükler korunur. Fakat Majorana durumu lepton sayıları L=+1 ve L=-1 olan iki bileşenin bir lineer karışımıdır. Dolayısıyla toplam lepton sayısı korunmaz; ΔL = ±2 . 2.2. Nötrinoların Elektromanyetik Özellikleri Yüksüz olmasına karşın nötrinolar bir fotonla ilmek (radyatif) diyagramlar yoluyla etkileşebilir (Kim ve Pevsner 1993). Şekil 2.1. Nötrino manyetik momentine katkıda bulunan bir-ilmek diyagramı Sırasıyla ( pi , pf ) dörtlü momentumuna ve ( si , sf ) spinlerine sahip iki nötrino, (νi , νf), arasındaki elektromanyetik akımın matris elemanı için en genel ifade şu şekilde yazılır: < νf ; pf , sf |jemμ (0) | νi ; pi , si >=uf (pf , sf) Γμ (i → f)ui(pi , si) (2.3) burada Jemμ (×=0) elektromanyetik akımdır ve Γμ (i → f) ise Fa(q2; i → f) Γaμ’ nın bir lineer kombinasyonudur. Buradaki Γaμ(a=1,2,…,10) γμ, γμ γ5, qμ, qμ γ5, Q μ, Qμ γ5, σμνqν, σμνqνγ5, σμνQν, σμνQνγ5’ i temsil eder ve qμ=(pf – pi)μ ve Qμ=(pf + pi)μ şeklindedir. 10 Fa (q 2 ; i → f) ise karşı gelen form faktörleridir. Bununla birlikte buradaki on terim birbirlerinden lineer bağımsız değildir. uf ve ui Dirac denklemini sağladığından, Gordon ayrıştırma (dekompozisyon) ilişkilerinin kullanımına eklenmesi terimlerin sayısını 10’ dan 6’ ya indirir. Son olarak jemμ ‘ nin korunumundan ∂μjemμ(×)=0 veya qμ < νf ; pf , sf |jemμ (0) | νi ; pi , si >=0 (2.4) bağımsız terimlerin sayısını dörde indirir ve < νf ; pf , sf |jemμ (0) | νi ; pi , si >=uf (pf , si){[F(q2; i → f)- γ5G(q2; i → f)][ γμ- (qμ γ0q/q2)] + [M(q2; i → f)-i γ5D(q2; i → f)]iσμνqν}ui(pi , si) (2.5) olarak bulunur. Jemμ(×)’ in hermitsel oluşundan yukarda tanımlanan bütün köşegensel (i=f) form faktörleri reel (gerçel )’dir. Hermitselliğin sağlanması < νf |jemμ | νi >*=< νi |jemμ | νf > (2.6) olarak ifade edilir. Bunu (2.3) nolu eşitliğe uyguladığımızda Γμ (i → f)= γ0Γ†μ (f → i) γ0 (2.7) ifadesini elde ederiz. Yukardaki ifadeler, köşegensel form faktörlerini, F(q2; i → f), G(q2; i → f), M(q2; i → f), D(q2; i → f), reel yapar. Köşegen dışı form faktörleri için ise F*(q2; i → f)= F(q2; f → i) (2.8) ifadesi geçerlidir. Buradaki efektif elektromanyetik form faktörleri, F(q2) ve G(q2), elektrik yükü ile orantılıdır ve F(q2) 11 F(q2)=- q2(1/2M2W)η(q2) (2.9) olarak bilinir. Dolayısıyla nötrinoların yükü sıfır olduğundan F(q2) ve G(q2) q → 0 limitinde yok olur. Bu form faktörleri yük yarıçapı ve aksiyel yük yarıçapı form faktörleri olarak adlandırılırlar ve hayali yüklü parçacıklar, W±, ve diğer hayali yüklü fermiyonlar arasındaki sıfır yükün iç dağılımı üzerine bilgi içerir. M(q2) ve D(q2) ise genel olarak q2 → 0 limitinde bile kaybolmayan, sırasıyla manyetik ve elektrik dipole moment form faktörleri olarak adlandırılır. M(q2=0) ve D(q2=0) basitçe μ ve d ile tanımlanırlar ve nötrinonun manyetik ve elektrik dipol momentleri olarak ifade edilirler. Eğer ilk ve son nötrinolar özdeş (farklı) ise köşegen (köşegen dışı, geçiş) momentleri diye adlandırılırlar. Dirac nötrinoları köşegen ve köşegen dışı manyetik momentlere sahip olabilir. Fakat sağ-elli akımların varlığında, nötrino kütlesi ile orantılıdır ve deneysel olarak gözlenebilen bir olaya katkısı çok küçüktür. Majorana nötrinoları ise self-konjuge özelliğinden dolayı köşegensel momentlere sahip değildirler. Şöyle ki: Eğer bir Majorana nötrinosu bir manyetik(μman) ve elektrik(μel) dipol momente sahipse, dış elektromanyetik alanla etkileşim enerjisi Eet=- μman<s.B> - μel<s.E> olarak yazılır. Bu etkileşmenin CPT altındaki dönüşümüne bakılırsa: ilk olarak s, -s’ e dönüşür, B ve E ise değişmez kalır. Dolayısıyla Eet, -Eet’ e dönüşür. Eğer fizik yasaları CPT invaryant ise μman=0 ve μel=0 olmak zorundadır. Dolayısıyla Majorana nötrinoları için köşegensel elektrik ve manyetik dipole moment yoktur. Fakat bunun yanısıra, Majorana nötrinoları geçiş (köşegen dışı) manyetik momentlere sahip olabilir. 12 2.2.1. Nötrinoların manyetik dipol momenti Manyetik moment (2.5) eşitliğinden de görüldüğü gibi νσμνqννAμ (2.10) çiftleniminin katsayısı olarak tanımlanır. Bu ifade νLσμνqννRAμ + νRσνμqννLAμ (2.11) olarak da yazılabilir. Başka bir deyişle, nötrinonun helisitesi bir manyetik alanda değiştirilir, ki buda ancak Standart Model(SM)’ de nötrinoların kütleli olmasıyla mümkündür; yani νeL→ νeR dönüşümü için kütle terimi varlığını gerektirir. Sağ-elli nötrinolar, νeR, SM’ de olsalar bile, kütleli olmadıklarından W± ile etkileşmezler. SM’ in küçük bir genişletilmiş halinde, nötrinoların kütleli Dirac parçacıkları sayılması durumunda, Şekil 2.1’ de gösterilen radyatif düzeltmeler yoluyla Dirac nötrinoları manyetik moment elde ederler: μ(ν)=3GFemν/8π2√2 =3,2×10-19(mν/1eV)μB (2.12) burada μ B =eh/2me c ≈ 5.8×10-15 MeVG -1 olmak üzere Bohr magnetonudur. 2.2.2. Nötrinoların manyetik momentleri üzerine sınırlamalar (2.12) eşitliğinde verilen manyetik moment sıfır değil, fakat oldukça küçüktür. Sağ elli alanlar ve minimal elektrozayıf modelin Higgs genişletilmesi gibi, SM’ in ötesindeki fizik, daha geniş manyetik momentlere yol açabilir: Nötrino-elektron (ν e +e → ν e +e) saçılmasından |μνe| ≤10-9μB, karşı-nötrino-elektron (ν e +e → ν e +e) saçılmasından |μνe| ≤4×10-10 μB, 13 astrofiziksel ve kozmolojik tartışmalardan |μνe| ≤10-11 μB, ve SN1987A süpernova patlamasından ise yaklaşık olarak |μνe|≲(10-13-10-12) μB sınırlamaları elde edilir. 2.3. Güneş Nötrino Problemi Güneşteki ve yıldızlardaki enerjiler protonların α-parçacıklarına dönüşümüyle üretilir: 4p+2e-=4He+2νe+26,73 MeV Güneşteki ana yanma reaksiyonu pp zinciridir. CNO (Karbon-Nitrojen-Oksijen) döngüsü ise güneş enerjisinin yaklaşık % 2’ sinden sorumludur. Bu reaksiyonlar sonucunda nötrinolar üretilirler. Güneş’te üretilen nötrinoların sayısı yaklaşık olarak saniyede 1038’ dir. Bu yüzden Güneş’teki reaksiyonların en önemli sonuçlarından birisi nötrino üretimidir. Bu nötrinolar, fotonların aksine, Güneş’ in çekirdek bölgesinden geçebilir ve üretim noktaları ile ilgili ilk bilgiyi taşıyarak Güneş’ten kaçabilirler. Nötrino üreten, pp zincirinde beş reaksiyon ve CNO döngüsünde ise üç reaksiyon vardır (ilerki bölümlerde detaylı olarak incelenecek). Güneş nötrino akıları SGM çerçevesinde hesaplanır. Bir çok nötrino deneyleri güneş nötrinolarını gözlemlemişler ve deneysel akıyı SGM’ ce hesaplanan beklenen akıdan oldukça az sayıda bulmuşlardır (Şekil 2.2) (Bahcall homepage). Bu Güneş Nötrino Problemi (GNP) olarak bilinir. GNP’ nin çok çeşitli mümkün olabilen parçacık fiziği çözümleri vardır. Bunlardan birisi “nötrino salınımları”’ dır. Özellikle Süper Kamiokande topluluğu tarafından yayınlanan atmosferik nötrino salınımlarının güçlü kanıtından sonra nötrino salınım çözümü daha akla yatkın olmuştur. Nötrino salınımları Güneş elektron nötrinosunu (νe) başka bir nötrino çeşnisine (νμ, ντ) dönüştürür. Nötrino salınımları vakumda ve madde etkili 14 nötrino salınımlarıdır. Madde etkili salınımlar Mikheyev-Simirnov-Wolfenstein (MSW) etkisi olarak bilinirler. Bir diğer çözümde ise nötrinoların manyetik momente sahip olduğu düşünülür. Böylece nötrinolar Güneş’ in manyetik alanından geçerlerken, manyetik alan nötrinoların spinini dönderir; yani sol-elli elektron nötrinosunu sağ-elli elektron nötrinosuna dönüştürür ki, bu da dedektörlerde gözlenemediği için nötrino açığına neden olur. Şekil 2.2. Standart Güneş Modeli ile Güneş nötrino deneyleri arasındaki ilişki 15 2.4. Nötrino Salınımlarının Teorisi Tipik bir nötrino salınımı deneyi için bir pion demeti alınır ve pionlar büyük çoğunlukla müon ve nötrinolara bozunabilir: π+ Æ μ+ + νμ Bozunan pionların akış yönünde nötrinoları arayan bir hedef dedektör konur. Dedektör eğer elektronla ilgili bir etkileşme algılarsa bu, nötrino salınımlarının gözlenmesi olarak açıklanır. Bu sonuca, elektrona eşlik edecek olan olan nötrinonun νμ değil νe olması gerekliliğinden ulaşılır. Bunun için, νμ’ nün bozunum noktası ile dedektör arasında νe’ ye dönüşmesi gerekir. Bunun nasıl olacağının yanıtı kuantum mekaniği ile verilebilir (Kayser 1989). En genel olarak N çeşnili yüklü leptona, l =e, μ, τ, ... N tane nötrino νe, νμ, ντ, ... eşlik etsin. Elimizde bir tane çeşni özdurumu olan ν l kaynağı olsun. Nötrino çeşni durumu olan ν l , ν m kütle özdurumlarının bir lineer karışımıdır: n ν l = ∑ U lm ν m m=l Şekil 2.3. Nötrino salınım deneyi 16 (2.13) Basitlik için p ν momentumu iyi tanımlanmış ve t=0 ‘da doğmuş bir ν l nötrinosu göz önüne alınırsa, bu nötrinoya ait dalga fonksiyonu ψ ( x,t=0) =∑ Ulm ν meipν x (2.14) m şeklindedir. Bir t zaman sonra, dalga fonksiyonu evrime uğrayarak ψ ( x,t ) =∑ Ulm ν m eipν x e-iEm t (2.15) m halini alır. Burada E=E ( ν m ) = p 2ν +M m2 (2.16) dir. M m << p ν durumunda, yani nötrinoların ışık hızına yakın hızlarda hareket ettiği düşünüldüğünde Em ≅ pν + M 2m 2p ν yaklaşıklığı kullanılabilir. Böylece nötrino eğer x=0’ da doğmuşsa t zaman sonra yaklaşık olarak x=t’de olacaktır. ψ(x,t)=ψ ( t,t ) =ψ ( x,x ) Dolayısıyla, dalga fonksiyonuna bakılabilir: ψ ( x,x ) ≅ ∑ U lm ν m e -i ⎡⎢ M 2m /2p ν ⎤⎥ x ⎣ ⎦ (2.17) m elde edilir. ν m , ν l ’lerin bir kombinasyonu olarak yazılırsa ν m = ∑ U*l'm ν l' l' 17 (2.18) bulunur. Buradan ψ ( x,x ) dalga fonksiyonu ⎡ ψ ( x,x ) = ∑ ⎢ ∑ U lm e l ⎣ ' ) U* ⎤ν l' m ⎥ l' ( -i M 2m /2p ν x (2.19) ⎦ m halini alır. Bu dalga fonksiyonu bütün nötrino çeşnilerinin bir karışımıdır. l çeşnisiyle doğmuş nötrinonun belirli bir x mesafesini geçtikten sonra yeni bir l ' çeşnisine sahip olma genliği sadece ν l' ’nün katsayısıdır. Böylece bu dönüşümün olasılığı,P( l → l ' , x), (2.19) eşitliği kullanılarak elde edilir: ⎡ P ( l → l' ,x ) = ⎢ ∑ U*lm' e iM 2 ' x/2p ν m ⎦ ⎣ ⎣ m' = ∑m 2 U lm ⎤ ⎡ U l 'm 2 ( + ∑ m ' ,m 2 ⎦ m ( ' m ,m ⎛ M 2m -M 2 ' ⎞ m x⎟+ ⎜ ⎟ 2p ν ⎝ ⎠ ) R e U l m U *l m ' U l ' m ' U *l ' m cos ⎜ ) ⎛ M 2m -M 2 ' ∑ Im Ulm U*lm Ul'm' U*l'm sin ⎜ ' ⎤ U l'm' ⎥ . ⎢ ∑ U lm e-iMm x/2pν U*l'm ⎥ ⎜ ⎝ m 2p ν ⎞ x⎟ (2.20) ⎟ ⎠ CP’ nin korunduğu varsayılırsa o zaman U reel seçilebilir. Bu durumda (2.20) ifadesi basitleşerek P ( l → l' ,x ) = ∑ U l2m U l2'm + ∑ U lm U lm' U l'm' U l'm cos(2π m' ¹m m x Lmm' ) (2.21) halini alır. Bu olasılık x mesafesinin bir fonksiyonu olan iyi bir salınım desenine sahiptir. Burada L mm' , ν m ve ν m' arasındaki salınım uzunluğudur: L mm' =2π 2p ν 2p ν ≡ 2π 2 2 ΔM mm M -M m' ' 2 m (2.22) (2.22) ifadesinden de görüldüğü gibi, kütleler eşitse salınım gerçekleşmez. Yine l ' ≠ l 0 olmak üzere, eğer ν l 0 = ν m0 ise salınım gerçekleşmez. Yani salınımın olabilmesi için 18 nötrinoların hem bir kütleye, hem de basit olmayan bir karışıma sahip olması gerekir. Buradan yola çıkarak nötrino salınımlarının bazı özellikleri sıralanabilir: ( i) P l → l ' ,x ) ifadesindeki salınım terimleri nötrino dalga fonksiyonundaki farklı kütle özdurumları arasındaki girişimlerden gelir. ii) Eğer x iii) x L mm' ise nötrino başlangıç çeşnisinde kalır, yani salınım yapmaz. L mm' ise salınım deseni yok olur. Bunun nedeni nötrino demetindeki Δp ν momentum yayılmasıdır. Daha kesin bir şekilde eğer p ν momentumlu nötrino p'ν =p ν +Δp ν /2 momentumlu nötrino ile karşılaştırıldığında π kadarlık faz kaymasına sahipse salınım yok olur. X , yok olma mesafesi ve L'mm' ’ de p'ν momentumuna karşı gelen salınım uzunluğu olsun. Bu durumda 2π X X = 2π -π L mm' L mm' ' ve 2p'ν 2 ≅ 2π L mm' =2π 2 2 ΔM mm' ΔM mm ' ' Δp ν ⎞ ⎛ ⎜ pν + 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ Δp ν ⎞ ⎜1+ ⎟ ⎝ 2p ν ⎠ ⎛ Δp ⎞ ≅ L mm' ⎜1+ ν ⎟ ⎝ 2p ν ⎠ ≅ 2π 2p ν ΔM 2mm' (2.23) olur. Böylece X≈ pν L ' Δp ν mm (2.24) yaklaşıklığı kullanılabilir. Dolayısıyla, salınım eğer x, X’ den büyükse yok olur. Bu noktanın ötesinde 19 P ( l → l ' ,x ) = ∑ U l2m U l2'm ≠ 0 (2.25) m dır. Görüldüğü gibi, l nötrino demeti içinde hala bir l ' nötrinosu bulma olasılığı vardır fakat bunun olasılığı mesafe ile artık değişmeyecektir. Sonuç olarak, salınım deseni eğer x deney uzunluğu, L mm' salınım uzunluğunun büyüklüğü mertebesinde ise gözlenebilir (Kayser et al. 1989). 2.4.1. Vakumda nötrino salınımları: iki çeşni durumu νe ve νμ iki aileli durumu tanımlamak için U üniter matrisi ⎛ cosθ sinθ ⎞ ⎟ ⎝ - sinθ cosθ ⎠ U= ⎜ olarak alınır. Bu durumda (ν e , ν μ ) çeşni durumları (ν1 , ν 2 ) kütle özdurumlarına ⎛ ν e ⎞ ⎛ cosθ 0 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎝ ν μ ⎠ ⎝ - sinθ 0 sinθ0 ⎞ ⎛ ν1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ cosθ 0 ⎠⎝ ν 2 ⎠ ν e =cosθ 0 ν1 +sinθ 0 ν 2 ν μ = - sinθ 0 ν1 +cosθ0 ν 2 (2.26) şeklinde bağlıdır. ν e → νμ geçiş olasılığı P ( ν e → ν μ ;t)= A ( ν e → ν μ ;t ) = Uμje 2 -iE jt t U*ej 2 (2.27) ifadesinden bulunur. Bu ifadede j=1,2 kütle özdurumlarını belirtir. P momentumlu rölativistik nötrinolar göz önüne alındığında, Ei ifadesi 20 E i = p 2 +mi2 ≅ p+ mi2 m2 ≅ p+ i 2p 2E şeklinde seriye açılabilir. Böylece iki kütle özdurumu için enerji farkı m 22 -m12 Δm 2 E 2 -E1 = = 2E 2E olarak bulunur. U üniter matrisi (2.27) eşitliğinde kullanıldığında ν e → νμ geçiş olasılığı ⎛ Δm 2 ⎞ ⎟t ⎝ 4E ⎠ P(ν e → ν μ ;t)=P(ν μ → ν e ;t)=Sin 2 2θ 0Sin 2 ⎜ (2.28) olarak bulunur. Bu geçiş olasılığı nötrinoların aldığı yol, L, türünden yazılabilir: rölativistik nötrinolar için L=t alındığında olasılık ⎛ L ⎞ ⎟⎟ ⎝ l sal ⎠ P ( ν e → νμ ;L ) =Sin 2 2θ0Sin 2 ⎜⎜ π halini alır (Şekil 2.4). Burada l sal salınım uzunluğudur ve Şekil 2.4. İki çeşni nötrino salınımlarının geçiş olasılığını mesafeye bağlayan eğri 21 (2.29) l sal = ( 4πE E(GeV) ≅ 2.48km 2 Δm Δm 2 (eV 2 ) ) şeklindedir. Bu durumda P ν e → ν μ ;L olasılığı ⎛ π Δm 2 ⎞ L⎟ 2.48 E ⎝ ⎠ 2 ⎛ Δm ⎞ =Sin 2 2θ0Sin 2 ⎜1.27 L⎟ E ⎝ ⎠ P ( ν e → ν μ ;L ) =Sin 2 2θ 0Sin 2 ⎜ (2.30) olarak da yazılabilir. 2.4.2. Madde ortamında nötrino salınımları Bir ortamdan geçen nötrinolar, ortamdaki parçacıklarla etkileşirler ve saçılmaları koherent olduğunda bir efektif potansiyel hissederler. Nötrinoların hissettiği efektif potansiyeller, kütlelerinde ve ortamdaki karışım açılarında önemli değişiklikler oluştururlar. Efektif potansiyellerin işareti pozitif (negatif) olduğu zaman, nötrino (antinötrino) osilasyonları çarpıcı bir şekilde ortamdaki bölgelerde artarlar. Bu bölgeler rezonans bölgeleri olarak adlandırılırlar. Temel olarak nötrinoların bu rezonans bölgesinden geçmesi iki yolla olur: Birincisi adyabatik süreçtir. Bu süreçte nötrino, rezonans osilasyonları üreten rezonans bölgesinden geçerken, birçok kereler osilasyona uğrar. Diğer durumda ise osilasyon uzunluğu rezonans bölgesinin boyunu aşar. Sonuç olarak nötrinolar rezonans bölgesini görmez veya tanımlayamaz. Dolayısıyla osilasyon güçlendirilmez ve bu süreç adyabatik olmayan süreç olarak adlandırılır. 22 Rezonans osilasyonları yer aldığında, Güneşte doğan elektron nötrinoları ( ν e ), rezonans bölgesini adyabatik olarak geçerlerken muon veya tau nötrinosuna ( νμ , ντ ) efektif olarak dönüşürler. Bu iyi bilinen Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein (MSW) etkisidir. Büyük karışım açısı (LMA), küçük karışım açısı (SMA), düşük δm2 (LOW) bölgeleri yaygın MSW çözümü olarak bilinirler. Bu bölgeler ve VO (Vakum Salınımı) bölgesi için nötrino parametre uzayındaki aralık değerleri LMA bölgesi için, 10-1 <tan 2θ<10 2 ×10-6eV 2 <Δm 2 <10-3eV 2 SMA bölgesi için, 10-4 <tan 2θ<10-1 10-8eV 2 <Δm 2 <10-3eV 2 LOW bölgesi için, 10-1 <tan 2θ<10 10-8eV 2 <Δm 2 <2 ×10-6eV 2 VO bölgesi için, 10-1 <tan 2θ<10 10-11eV 2 <Δm 2 <10-8eV 2 olarak bilinir. 23 Şekil 2.5. Nötrino saçılım diyagramları 2.4.2.1 Madde ortamında efektif potansiyeller Bütün üç çeşni nötrinoları ( ν e , νμ , ντ ), Z0 bozonu sayesinde yüksüz akım (NC) etkileşmesi yoluyla maddenin elektron, proton ve nötronları ile etkileşirler. Ayrıca elektron nötrinoları atomdaki elektronlarla W ± değiştokuşu yaparak yüklü akım (CC) etkileşmeleri gerçekleştirirler (Şekil 2.5) ( Kim ve Pevsner 1993) CC etkileşmeleri için düşük nötrino enerjilerinde efektif Hamiltonyen GF ⎡ eγ μ (1-γ 5 ) ν e ⎦⎤ . ⎡⎣ ν e γ μ (1-γ 5 ) e ⎤⎦ ⎣ 2 G = F ⎡⎣ eγ μ (1-γ 5 ) e ⎤⎦ . ⎡ ν e γ μ (1-γ 5 ) ν e ⎤ ⎣ ⎦ 2 H cc = (2.31) ile tanımlanır. Madde içindeki elektronlardan dolayı efektif yüklü akım zayıf etkileşim Hamiltonyeni başka bir ifadeyle yine 24 H e C (x)= GF 3 d pef(E e ,T) 2∫ × e(pe ) e(x)γμ (1-γ5 ) ν e (x)ν e (x)γμ (1-γ5 ) e(x) e(pe ) G = F ν e (x)γμ (1-γ5 ) ν e (x) 2 (2.32) ×∫ d3pe f(E e ,T) e(pe ) e(x)γμ (1-γ5 ) e(x) e(pe ) ile verilir. Burada f(E e ,T) , T sıcaklığına sahip homojen ve izotropik bir ortam içindeki elektronların istatistiksel enerji dağılımıdır. Koheranslık, ilk ve son durumdaki elektronlar için aynı momentum alınarak sağlanır. f(E e ,T) ifadesi ∫ d pef(Ee ,T) = 1 3 (2.33) ile normalize edilir. Elektron matris elemanı e(pe ) e(x)γμ (1-γ5 ) e(x) e(pe ) = U e (pe )γμ (1-γ5 ) U e (pe ) = Ne (m +γ.p) μ γ (1-γ5 ) ] Tr[ e 2 2E e =N e (pe )μ Ee (2.34) olarak verilir. Burada Ne elektron sayı yoğunluğudur ve elektron spin durumları üzerinden ortalama alınır. Ayrıca, rr ⎡ γ.pe ⎤ γμ (pe )μ 3 = γ − d p f(E ,T) d p f(E ,T) ⎢ ⎥ = γ0 e e e e 0 ∫ ∫ Ee E e ⎣ ⎦ 3 (2.35) olduğu için, efektif yüklü akım zayıf etkileşim Hamiltonyeni H e C (x)= G F Ne ν e (x)γ 0 (1-γ5 ) ν e (x) 2 25 (2.36) olarak elde edilir. (2.36) eşitliğinden, ν e ’ nin ortamda hissettiği VC efektif potansiyeli r ur VC = ν e ∫ dxH e C (x) ν e = r G F Ne ν e ∫ dxν e (x)γ 0 (1-γ5 ) ν e (x) ν e 2 = 2G F N e (2.37) olarak bulunur. Benzer şekilde nötral akım etkileşmeleri için de efektif potansiyel bulunabilir: VN =- 1 G F Nn 2 (2.38) Burada Nn nötron sayı yoğunluğudur. (2.37) ve (2.38) eşitliklerinden elektron, muon ve tau nötrinosu için efektif potansiyeller yazilacak olunursa Ve = 2G F (N e − Nn ) 2 Vμ,τ =- 1 GF Nn 2 (2.39) sonucu elde edilir. Karşı-nötrinolar için Vα =-Vα alınır. 2.4.2.2. İki çeşni durumu için madde ortamında evrim denklemi ve nötrino salınımı Gözlenebilir nötrinolar için çeşni özdurumları kütle özdurumlarının bir karışımı olarak yazılabilir: ⎛ νe ⎞ ⎛ ν1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ =U ⎜ ⎟ ⎝ ν2 ⎠ ⎝ νμ ⎠ ⎛ νe ⎞ ⎛ ν1 ⎞ † ⎜ ⎟ =U ⎜⎜ ν ⎟⎟ ⎝ ν2 ⎠ ⎝ μ⎠ ⎛ cosθ sinθ ⎞ ⎟ ⎝ - sinθ cosθ ⎠ U= ⎜ 26 burada θ karışım açısıdır. Vakum ortamında evrim en basit olarak kütle özdurumları bazında incelenir. Vakumdaki evrim denklemi i ⎡E d ν =H m ν m dt m 0⎤ Hm = ⎢ 1 ⎥ ⎣ 0 E2 ⎦ şeklindedir ve E1 E2 nötrino enerjisidir. Rölativistik nötrinolar için E i ≅ p+ (2.40) mi2 alınır. 2Ei Çeşni özdurumu için önce vakumdaki evrim denklemi bulunur: i d ⎛ ν e ⎞ d ⎛ cosθ V sinθ V ⎞ ⎛ ν1 ⎞ ⎜ ⎟ =i ⎜ ⎟⎜ ⎟ dt ⎜⎝ ν μ ⎟⎠ dt ⎝ - sinθ V cosθ V ⎠ ⎝ ν 2 ⎠ ⎛ cosθ V sinθ V ⎞ d ⎛ ν1 ⎞ =⎜ ⎟i ⎜ ⎟ ⎝ - sinθ V cosθ V ⎠ dt ⎝ ν 2 ⎠ ⎛ cosθ V =⎜ sinθ V ⎞ ⎡ E1 0 ⎤ ⎛ ν1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ cosθ V ⎠ ⎢⎣ 0 E 2 ⎥⎦ ⎝ ν 2 ⎠ ⎝ - sinθ V ⎛ cosθ V sinθ V ⎞ ⎡ E1 0 ⎤ ⎛ cosθ V -sinθ V ⎞ ⎛ ν e ⎞ =⎜ ⎟⎢ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥⎜ ⎝ - sinθ V cosθ V ⎠ ⎣ 0 E 2 ⎦ ⎝ sinθ V cosθ V ⎠ ⎝ ν μ ⎠ ΔE ⎛ E1 + E 2 ΔE ⎞ sinθ V ⎜ 2 − 2 cos2θ V ⎟ ⎛ νe ⎞ 2 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ =⎜ ν E1 + E 2 ΔE ΔE ⎜ + sinθ V cos2θ V ⎟⎟ ⎝ μ ⎠ ⎜ 2 2 2 ⎝ ⎠ Buradaki Hamiltonyen ⎛ E1 + E 2 ΔE ⎜ 2 − 2 cos2θ V H= ⎜ ΔE ⎜ sinθ V ⎜ 2 ⎝ ΔE ⎞ sinθ V ⎟ 2 ⎟ E1 + E 2 ΔE cos2θ V ⎟⎟ + 2 2 ⎠ (2.41) olarak bulunur. (2.41) eşitliği vakum için türetilmiş Hamiltonyendir. Madde içerisinde elektron nötrinoları, madde ortamındaki elektron ve nötron yoğunluğundan dolayı efektif potansiyelleri hissedeceklerdir. Bu potansiyeller vakum için bulunan Hamiltonyen’e eklenirse madde ortamındaki evrim denklemi 27 ⎛ E1 + E 2 ΔE − cos2θ V +VC +VN ν ⎛ ⎞ d e ⎜ 2 2 i ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ΔE dt ⎝ νμ ⎠ ⎜ sinθ V ⎜ 2 ⎝ ΔE ⎞ sinθ V ⎟ ⎛ νe ⎞ 2 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ (2.42) ν E1 + E 2 ΔE + cos2θ V +VN ⎟⎟ ⎝ μ ⎠ 2 2 ⎠ olarak yazılır. Burada ΔE=E 2 -E1 ve VC = 2G F N e VN =- ⎧ ⎛ VC ΔE − cos2θ V ⎪ ν ⎛ ⎞ VC ⎡1 0 ⎤ ⎜ 2 d e ⎪ E1 + E 2 2 +⎜ +VN - ) ⎢ i ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎨( ΔE 2 2 ⎣0 1 ⎥⎦ ⎜ dt ⎝ ν μ ⎠ ⎪ sinθ V ⎜ ⎪⎩ 2 ⎝ 1 G F N n ’ dir. 2 ⎞⎫ ⎟ ⎪⎪ ⎛ ν e ⎞ ⎟⎬ ⎜ ⎟ ⎜ν ⎟ V ΔE cos2θ V − C ⎟⎟ ⎪ ⎝ μ ⎠ 2 2 ⎠ ⎪⎭ ΔE sinθ V 2 Parantez içerisindeki ilk terim toplam faz olduğu için nötrino salınımları üzerine etkisi yoktur ve evrim denklemine dahil edilmezler. m12 E1 ≅ p+ 2E1 E 2 ≅ p+ m 22 2E 2 ⎫ ⎪ (m 22 -m12 ) Δm 2 ⎪ ΔE=E -E = = ⎬ 2 1 2E 2E ⎪ ⎪ ⎭ alındığında evrim denklemi: ⎛ Δm 2 2G f N e cos2θ V + ⎜− ν ⎛ ⎞ d e 2 i ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 4E 2 dt ⎝ ν μ ⎠ ⎜ Δm sinθ V ⎜ 4E ⎝ ⎞ Δm 2 sinθ V ⎟⎛ ν ⎞ 4E ⎟⎜ e ⎟ 2 2G f N e ⎟ ⎜⎝ ν μ ⎟⎠ Δm cos2θ V − ⎟ 4E 2 ⎠ (2.43) olarak bulunur. Bu denklemi çözmek için önce evrim denklemindeki Hamiltonyeni köşegenleştiren üniter dönüşüm matrisleri bulunur: H=SM LS†M 28 ⎛ cosθ m SM = ⎜ ⎝ - sinθ m sinθ m ⎞ ⎟ cosθ m ⎠ -sinθ m ⎞ ⎛κ 0 ⎞ ⎟ L= ⎜ ⎟ cosθ m ⎠ ⎝0 κ⎠ ⎛ cosθ m S†M = ⎜ ⎝ sinθ m Fakat buradaki dönme açıları artık madde açıları olarak adlandırılırlar. Bu ifadeler, Hamiltonyen ile karşılaştırıldığında 2 ⎛ Δm 2 2G f N e ⎞ Δm 2 κ= ⎜⎜ Cos2θ V − Sinθ V ⎟⎟ + 4E 2 4E ⎝ ⎠ Δm 2 sin2θ V 2E sin2θ m = κ Δm 2 cos2θ V − 2G f N e 2E cos2θ m = κ tan2θ m = Δm 2 sin2θ V 2E Δm 2 cos2θ V − 2G f N e 2E ifadeleri kolaylıkla bulunabilir. Evrim denklemi bu yeni ifadelerle i ⎛ νe ⎞ d ⎛ νe ⎞ † ⎜⎜ ⎟⎟ =SM LSM ⎜⎜ ⎟⎟ dt ⎝ νμ ⎠ ⎝ νμ ⎠ halini alır. Kütle özdurumları da bu durumda ⎛ ν1 ⎞ † ⎛ ν e ⎞ ⎜ ⎟ =SM ⎜⎜ ν ⎟⎟ ⎝ ν2 ⎠ ⎝ μ⎠ olarak yazılır. 29 Kütle özdurumlarının evrim denklemi ise i d ⎛ ν1 ⎞ d ⎛ † ⎛ ν e ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ =i ⎜ S ⎜ ⎟ ⎟ dt ⎝ ν 2 ⎠ dt ⎜⎝ M ⎜⎝ ν μ ⎟⎠ ⎟⎠ =i d † ⎛ νe ⎞ † d ⎛ νe ⎞ (S ) ⎜ ⎟ + S i ⎜ ⎟ dt M ⎜⎝ ν μ ⎟⎠ M dt ⎜⎝ ν μ ⎟⎠ =i ⎛ νe ⎞ ⎛ν ⎞ d † SM ) SM ⎜ 1 ⎟ + S†MSM LS†M ⎜⎜ ⎟⎟ ( dt ⎝ ν2 ⎠ ⎝ νμ ⎠ =i ⎛ νe ⎞ ⎛ν ⎞ d † SM ) SM ⎜ 1 ⎟ + S†MSM LS†MSM ⎜⎜ ⎟⎟ ( dt ⎝ ν2 ⎠ ⎝ νμ ⎠ ⎛ν ⎞ ⎛d † ⎞ SM ⎟ SM +L) ⎜ 1 ⎟ ⎝ dt ⎠ ⎝ ν2 ⎠ =(i ⎜ (2.44) şeklindedir. Nötrino yörüngesi boyunca küçük aralıklar için ( x i → x f ) elektron sayı yoğunluğu, Ne, sabit alınırsa, yani adyabatik yaklaşım kullanılırsa, Ne’ ye bağlı madde ortamındaki karışım açısı sabit olur ve zamana göre değişimi sıfır olur. Bu durumda i d † S =0 olduğundan evrim denklemi dt M i d ⎛ ν1 ⎞ ⎡ κ 0 ⎤ ⎛ ν1 ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ dt ⎝ ν 2 ⎠ ⎢⎣ 0 -κ ⎥⎦ ⎝ ν 2 ⎠ (2.45) halini alır. Bu ifadelerden nötrinonun son durumdaki kütle özdurum fonksiyonu ilk haline bağlı olarak yazılabilir: tf d i ν1 =κν1 ⇒ ν1 (t f ) = ν1 (t i )exp[-i ∫ κdt] dt t i tf i d ν =κν 2 ⇒ ν 2 (t f ) = ν 2 (t i )exp[i ∫ κdt] dt 2 t i burada tf λ=exp[-i ∫ κdt] (2.46) ti 30 olarak alınırsa, son durumdaki nötrino kütle özdurum fonksiyonu ile ilk durumu arasındaki ilişki ⎛ ν1 ( t f ) ⎞ ⎡ λ 0 ⎤ ⎛ ν1 ( t i ) ⎞ ⎜ ⎟=⎢ ⎟ *⎥⎜ ⎝ ν 2 (t f ) ⎠ ⎣0 λ ⎦ ⎝ ν2 (ti ) ⎠ (2.47) olarak yazılabilir. Buradan tekrar çeşni özdurum bazına ⎛ ν1 ( t i ) ⎞ † ⎛ ν e ( t i ) ⎞ ⎜ ⎟ =SM ⎜⎜ ν ( t ) ⎟⎟ ⎝ ν 2 (t i ) ⎠ ⎝ μ i ⎠ ⎛ ν1 ( t f ) ⎞ † ⎛ ν e ( t f ) ⎞ ⎜ ⎟ =SM ⎜⎜ ν ( t ) ⎟⎟ ⎝ ν 2 (t f ) ⎠ ⎝ μ f ⎠ dönüşümleri kullanılarak geçilebilir: ⎛ νe (t f ) ⎞ 0 ⎤ † ⎛ νe (ti ) ⎞ ⎡ λ(t) ⎜⎜ ⎟⎟ = SM ⎢ ⎟⎟ ⎥ SM ⎜⎜ * ⎣ 0 λ (t ) ⎦ ⎝ νμ (t i ) ⎠ ⎝ νμ (t f ) ⎠ (2.48) Daha açık bir ifadeyle madde etkili evrim denklemi ⎡ λ+λ* -λ+λ* cos2θ m ⎛ νe (t f ) ⎞ ⎢ 2 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢ ν t ( ) -λ+λ* μ f ⎝ ⎠ ⎢ sin2θ m ⎢ 2 ⎣ λ+λ* = 2 tf tf ti ti exp[-i ∫ κdt] + exp[i ∫ κdt] 2 tf -λ+λ* = 2 ⎤ -λ+λ* sin2θ m ⎥ ⎛ νe (t i ) ⎞ 2 ⎥⎜ ⎟ ⎥ ⎜⎝ ν μ ( t i ) ⎟⎠ λ+λ* -λ+λ* cos2θ m ⎥ + 2 2 ⎦ =cosκ(t f -t i )=cosκΔt tf -exp[-i ∫ κdt] + exp[i ∫ κdt] ti ti 2 31 =isinκ(t f -t i )=isinκΔt (2.49) ifadelerinden ⎛ ν e ( t f ) ⎞ ⎡cosκΔt-isinκΔtcos2θ m ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢ isinκΔtsin2θ m ⎝ νμ (t f ) ⎠ ⎣ isinκΔtsin2θ m ⎤ ⎛ νe (ti ) ⎞ ⎜ ⎟ cosκΔt+isinκΔtcos2θ m ⎥⎦ ⎜⎝ ν μ ( t i ) ⎟⎠ (2.50) olarak bulunur. Burada, örneğin ν e ( t i ) Güneş’in merkezinde üretilen elektron nötrinosunun dalga fonksiyonudur ve ν e ( t f ) de Güneş’in yüzeyindeki elektron nötrino dalga fonksiyonudur. Evrim denkleminden ν e (t f ) = ( cosκΔt-isinκΔtcos2θ m ) ν e (t i ) + isinκΔtsin2θ m ν μ (t i ) ν μ (t f ) = isinκΔtsin2θ m ν e (t i ) + ( cosκΔt+isinκΔtcos2θ m ) ν μ (t i ) ifadeleri elde edilir. Elektron nötrinosu için Güneş’in yüzeyinde hayatta kalma olasılığı P(ν e → ν e ,t f ) = ν e (t f )ν e (t f )* = ( cos 2 κΔt+sin 2 κΔtcos 2 2θ m ) ν e (t i ) + sin 2 κΔtsin 2 2θ m ν μ (t i ) 2 sin4θ m sin2κΔt sin2θ m − sin 2 κΔt )ν e ν*μ 2 2 sin4θ sin2κΔt m − (i sin2θ m +sin 2 κΔt )ν*e ν μ 2 2 + (i 2 (2.51) olarak elde edilir. Burada 2 ⎛ Δm 2 2G f N e ⎞ Δm 2 κ= ⎜⎜ cos2θ V − sinθ V ⎟⎟ + 4E 2 4E ⎝ ⎠ olarak başlangıç vakum karışım açısına ve Güneş yarıçapına bağlı elektron sayı yoğunluğuna, Ne, bağlıdır: N e =245e 10.54r RG N A cm-3 N A = 6.02 ×1023 mol-1 32 Hayatta kalma olasılığındaki κ ’ lı terimler üzerinden ortalama alınırsa, yani olasılık ifadesinde Sin2κΔt = 0 Sin 2 κΔt = Cos 2 κΔt = 1 2 ortalama değerleri kullanılırsa basitçe P(ν e → ν e ,t f ) 2 1 2 ⎛1 1 ⎞ P(ν e → ν e ,t f ) = ⎜ + Cos 2 2θ m ⎟ ν e (t i ) + Sin 2 2θ m ν μ (t i ) 2 ⎝2 2 ⎠ 1 Sin4θ m + (ν e ν*μ + ν*e ν μ ) 2 2 (2.52) olarak bulunur. 2.5. Güneş’ te Spin-Flip ve Spin-Çeşni Presesyonu 2.5.1. Manyetik alanda spin-flip Eğer nötrinolar manyetik momente sahiplerse, ν e ’ nin helisitesi, bir manyetik alandan geçerken manyetik alan etkisiyle değişir; yani sol-elli elektron nötrinosu ( ν eL ) sağ-elli elektron nötrinosu ( ν eR ) halini alır. Elektron nötrinosu için elli bileşenler ( ν eL ve ν eR ) farklı biçimde maddeyle etkileşirler. m ν kütleli ve μ νe manyetik momentli bir Dirac nötrinosunun iki helisite bileşeninin madde ortamından ve manyetik alandan geçişini tanımlayan eşitlik (Balantekin et al. 1990) μB ⎡ Ve (t) ⎤ d ⎛ ν eL ⎞ ⎢ ⎥ ⎛⎜ ν eL ⎞⎟ 2 i ⎜ ⎟=⎢ m μB -Ve (t) ν2 ⎥ ⎜⎝ ν eR ⎟⎠ dt ⎜⎝ ν eR ⎟⎠ ⎢⎣ 2p ⎥⎦ 33 (2.53) olarak verilir. Buradaki B enine manyetik alan ve Ve maddenin efektif kütleye katkısıdır: Ve (t)= Gf (2N e -N n ) 2 Ne ve Nn elektron ve nötron sayı yoğunluğudur. m ν /p → 0 limitinde sağ-elli nötrinolar maddeyle etkileşmezler. (2.53) eşitliğinin çözümünden, t=0’ da doğan sol-elli elektron nötrinosunun, ν eL , t zaman sonra, ν eR , olarak bulunma olasılığı ( 2μB ) Sin 2 ⎧ ⎡ V 2 + 2μB 2 ⎤1/ 2 t ⎫ P(ν e → ν e )= 2 )⎦ ⎬ ⎨ e ( 2 2⎭ ⎩⎣ Ve + ( 2μB ) 2 L R (2.54) olarak bulunur. Vakum durumunda, Ve=0, (2.54) ifadesi μB frekanslı standart spinpresesyon formülü olur. Fakat Ve2 2μB durumunda presesyon baskılanır. Spin-flip durumunda rezonans koşulu ise Ne=Nn/2 olduğundan, bu rezonans koşulunu Güneş’te elde etmek olanaklı değildir. Çünkü Güneş’ te nötron sayı yoğunluğu Nn=Ne/6 ( 0.2 < r/R ≤ 1) ve Nn=Ne/3 ( 0.1 < r/R ≤ 0.2 ) şeklindedir. Bununla birlikte spin-flip nötron yoğunluğunun yüksek olduğu süpernovalarda elde edilebilir. 2.5.2. Güneş’te spin-çeşni presesyonu İki aile durumunda ( ν e , ν μ ) spin-çeşni presesyonu için evrim denklemine vakum kütle matrisinden, elektromanyetik etkileşmelerin matrisinden ve madde etkileşmeleri matrisinden katkı gelir (Bahcall 1989): 34 ⎞ ⎛ Madde ⎞ ⎛ Elektromanyetik ⎞ ⎟ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎝ Etkileşmeleri ⎠ ⎝ Etkileşmeleri ⎠ ⎝ Etkileşmeleri ⎠ ⎛ Vakum H= ⎜ Dolayısıyla Dirac nötrinoları için evrim denklemi ⎛ ν eL ⎜ d ⎜ νμL i ⎜ dt ν eR ⎜ ⎜ νμ ⎝ R ⎞ ⎛ ν eL ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎡ H L BM † ⎤ ⎜ ν μ L ⎟ ⎟ = ⎢ BM H ⎥ ⎜ ν ⎟ R ⎦ ⎜ eR ⎟ ⎟ ⎣ ⎟ ⎜ νμ ⎟ ⎠ ⎝ R⎠ (2.55) olarak yazılır. Buradaki HL ve HR ile manyetik momentlerin matrisi ⎡ Δm 2 sin 2θ+Ve ⎢ H L = ⎢ 2E 2 ⎢ Δm ⎢⎣ 4E sin2θ ⎤ Δm 2 sin2θ ⎥ 4E ⎥ Δm 2 ⎥ cos 2θ+Vμ ⎥ ⎦ 2E ⎡ μ ee M= ⎢ ⎣μ μe H R = H L (Ve = 0 = Vμ ) μ eμ ⎤ μ μμ ⎥⎦ şeklindedir. Yukardaki ifadelerdeki θ karışım açısı, Δm 2 kütle kare farkı ve E de nötrino enerjisidir. Daha önce de verildiği gibi Ve ve Vμ ( =- Gf N n ) polarize olmamış, 2 nötral bir ortam için madde potansiyelleridir. (2.55) ifadesinden, dört nötrino elli durumları için enerji-seviye kesişim rezonansları köşegen üzerindeki terimler eşitlenerek bulunabilir: 35 ν eL → ν eR rezonansı Gf (2N e -N n )=0 2 MSW ( ν eL → ν μ L ) rezonansı 2G f N e = Δm 2 cos2θ 2E ν eL → ν μR rezonansı Gf Δm 2 cos2θ (2N e -N n )= 2E 2 ν μ L → ν eR rezonansı Gf Δm 2 cos2θ Nn = 2E 2 olarak elde edilir. Şekil 2.6’ da dört olası geçiş için kesişim gösterilir (Lim ve Marciano 1988). Güneş için, nötron yoğunluğu elektron yoğunluğunun yaklaşık olarak 1/6’ i olduğu için MSW ve ν eL → ν μR rezonansları birbirlerine oldukça yakındır. Süpernova için ise ν eL → ν eR rezonası ile ν eL → ν μ R rezonansı birbirlerine çok yakındır. Şekil 2.6. Dirac nötrinolarının iki aileli durumu için enerji-seviye geçişleri. RMSW ve R1 sırasıyla MSW rezonansı ve ν eL → ν μ R rezonans durumuna karşı gelir. 36 Şekil 2.7. MSW ve ν eL → ν μ R rezonanslarının karşılaştırılması. Üst kısım (B=0 durumunda ) yalnızca MSW rezonansı durumundaki, alt kısım (B≠0 durumunda ) ise her iki rezonas durumundaki hayatta kalma olasılığının güneş yarıçapına bağlı değişimini vermektedir ( P(ν e → ν e ) - R/R ). Şekil 2.7’ de MSW ve ν eL → ν μ R rezonansları karşılaştırılıyor. Burada manyetik alan 20 kG civarında alınmıştır. Majorana nötrinoları için ise evrim denklemi, Dirac nötrinoları için yazılandan farklıdır. Majorana durumunda ν eR = ν eR ve ν μR = ν μR yazılabileceği için, evrim denklemindeki Hamiltonyen’e karşı-nötrinoların maddeyle etkileşmelerinden –Ve ve –Vμ efektif potansiyel terimleri eklenir ve ayrıca da Majorana durumunda köşegensel manyetik moment olmadığı için evrim denklemi 37 ⎡ Ve ⎢ ⎢ ⎛ ν e ⎞ ⎢ Δm 2 ⎜ ⎟ sin2θ d ⎜ ν μ ⎟ ⎢ 4E ⎢ i ⎜ ⎟= dt ν e ⎢ ⎜ ⎟ ⎢ 0 ⎜ νμ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎢ μB ⎢⎣ Δm 2 sin2θ 4E Δm 2 cos2θ+Vμ 2E 0 -μ*B -μB -Ve 0 Δm 2 sin2θ 4E ⎤ ⎥ ⎥ ν ⎥⎛ e ⎞ 0 ⎥ ⎜ νμ ⎟ ⎥⎜ ⎟ 2 Δm ⎥ ⎜ νe ⎟ sin2θ ⎥ ⎜⎜ ⎟⎟ 4E ⎥ ⎝ νμ ⎠ 2 Δm cos2θ-Vμ ⎥⎥ 2E ⎦ μ*B (2.56) olarak yazılır. Dirac ve Majorana nötrinoları için elde edilmiş olan evrim denkleminin, madde ortamındaki nötrino salınımları için yapılan çözüme benzer olarak çözülmesiyle elektron nötrinosu için hayatta kalma olasılığı bulunur. Bunun için yine işe evrim denklemindeki Hamiltonyen köşegenleştirilerek başlanır: H( Δm 2 Δm 2 Δm 2 T Δm 2 r)=S( r)D( r)S ( r) E E E E (2.57) buradaki S ve ST matrisleri ortagonal köşegenleştirici matrislerdir. Yeterince küçük adımlar için, yoğunluk ve manyetik alan ρ = Δm 2 r ile oldukça yavaş değişir. E Dolayısıyla Hamiltonyenin ρ bağımlılığı ihmal edilebilir. Bir adımdan diğer adıma geçiş ν(ρ+Δρ) : ν(ρ+Δρ)=Se-iDΔρST ν(ρ) (2.58) olarak verilir. Buradan, elektron nötrinosunun Dünya’da yaşamına elektron nötrinosu olarak devam etme olasılığı, vakumdaki mesafe üzerinden ortalama alındıktan sonra 38 1 1 1 P(ν e → ν e )=( + cos 2 2θ)P νe → νe (ρsınır )+ sin 2 2θP νe → νμ (ρsınır ) 2 2 2 1 - sin4θRe ⎡⎣ ν e (ρsınır )ν μ (ρsınır ) ⎤⎦ 2 (2.59) olarak elde edilir. Buradaki P νe → νe (ρsınır ) terimi Güneşte elektron nötrinosu olarak doğan nötrinonun, Güneş’in manyetik alanının etkisinin kalmadığı yerde (~1.5 R ) hayatta kalma olasılığıdır. P νe → νμ (ρsınır ) ise aynı noktada elektron nötrinosunun müon nötrinosu olma olasılığıdır. 2.6. Standart Güneş Modeli çerçevesinde Güneş 2.6.1. Standart Güneş Modeli (SGM) Standart Güneş Modeli, Güneş’ i tanımlar. Bu modele göre Güneş (Kim ve Pevsner 1993) yüzey ışınlığı L = 3.86×(1±0.005)×1033erg/s yüzey sıcaklığı Güneş kütlesi Güneş yarıçapı T = 5.78×103K M = 1.99×1033gr R =6.96×105 gözlenen parametrelerine sahiptir. Ayrıca Güneş küresel olarak simetriktir ve hidrostatik ve termal olarak dengededir. SGM’ ye göre Güneş, protonların α, e+ ve nötrinolara dönüşmesiyle ışır. Her dört proton tüketiminde Güneş, 26 MeV’ lik bir termal enerji üretir. Bu nükleer reaksiyonun sonucu: 4pÆ4He + 2e++2νe+γ E(2νe)= 0.59 MeV olarak bilinir. Nükleer reaksiyonlar pp zinciri (Şekil 2.8) ve CNO (Şekil 2.9) döngüsü sayesinde oluşurlar. 39 Şekil 2.8. Güneşteki pp zinciri pp zinciri Güneş’ teki enerji üretiminin yaklaşık olarak % 98.5’ ini oluştururken, CNO döngüsü ise ancak % 1.5’ ini oluşturur. Güneş yaklaşık olarak %70.5 protonlardan, % 27.5 4He ve % 2 ağır elementlerden oluşur. Şekil 2.9. Güneşteki CNO döngüsü 40 Şekil 2.10. Detaylı Güneş şekli. Bu modelde Güneş üç bölgeye ayrılmıştır: 1) Çekirdek Bölgesi (r≤0.3 R (Şekil 2.10’ da en içteki kısım)): r, Güneş’ in merkezinden itibaren mesafe, R ise Güneş yarıçapıdır): Bu bölge pp zincirinin ve CNO döngüsünün yer aldığı bölgedir. Bu bölgede üretilen enerji yüzeye ısı, radyasyon ve nötrinolarla taşınır. 2) Radyasyon Alanı (0.3 R ≤r≤0.71 R (Şekil 2.10’ da orta kısım)): Bu bölge ise çekirdek dış bölge arasında köprü görevi görür. Isı dış bölgeye başlıca radyasyon yoluyla taşındığı için bu bölgeye radyasyon alanı denir. Isı transferi bu bölgedeki ısı ve elementlerin kompozisyonu tarafından belirlenen opaklık ile kontrol edilir. 3) Konvektif Alan (0.71 R ≤r≤ R (Şekil 2.10’ da en dıştaki kısım)): Fotonlar konvektif alana ulaştıklarında artık ilerleyemezler. Çünkü ortalama serbest yol onların yüzeye gitmelerinde etkili olamayacak kadar kısadır. Bunun için bilinen tek mekanizma alandaki materyalin ısı aktarımıdır. Bu modele göre hesaplanan Güneş yoğunluğu ve elektron sayı yoğunluğu Güneş yarıçapına bağlı olarak verilir (Şekil 2.11) (Bahcall 1989): Ne/NA =245 exp(-10.54R/Rgüneş) 41 Şekil 2.11 Güneş yarıçapına bağlı olarak SGM çerçevesinde hesaplanan elektron yoğunluğu dağılımı . 2.6.2. Güneş nötrino akısı Güneş’ teki nükleer reaksiyonların en önemli sonuçlarından birisi nötrino üretimidir. Fotonların aksine nötrinolar çekirdek bölgesinden geçebilir ve Güneş’ ten kaçabilirler. Bu nötrinoların gözlenmesiyle, çekirdek bölgesindeki nükleer olaylar hakkında bilgi edinilebilir ve ayrıca da SGM’ nin bir testi sağlanabilir. Dünya yüzeyindeki nötrino akısı için kaba bir hesap şu şekildedir: Güneş’ in bilinen enerji çıkışı yaklaşık olarak 3.86x1037 erg/sn ve her bir 4He oluşumunda 26 MeV=4.2x10-5 erg’ lik enerji ortaya çıktığı için bu ikisinden Güneş’ te saniyede yaklaşık olarak 9.2x1037 füzyon olduğu bulunur. Herbir füzyon reaksiyonunda 2νe üretildiği için toplam üretilen νe sayısı saniyede 1.8x1038 olarak bulunur. Bu değer Dünya’ nın yüzey alanına bölünürse (1.8×1038 / 4π (1.5 ×1013 )2 ) / cm 2sn = 6.4 ×1010 / cm 2sn bulunur. 42 Çizelge 2.1. Güneşteki nötrino üretim reaksiyonları Kaynak Reaksiyon <Eν> (MeV) pp p + p Æ D + e + + νe ≤0.42 pep p + e- + p Æ D + νe 1.552 hep 3 He + p Æ 4He + e+ + νe 7 Be 7 Be + e- Æ 7Li + νe (%90)0.86 (%10)0.38 8 8 B Æ 8Be* + e+ + νe ≤15 B ≤18.67 13 N 13 C+e++ νe ≤1.199 15 O 15 N+e++ νe ≤1.732 17 O+e++ νe ≤1.740 17 F Nötrino akısına neden olan beş reaksiyon pp zincirinden, üç reaksiyon ise CNO döngüsünden gelir (Çizelge 2.1) Güneş nötrino spektrumu nötrino enerjisinin bir fonksiyonu olarak Bahcall ve grubu tarafından hesaplanmıştır (Şekil 2.12). Şekil 2.13’ te nötrino ve enerji üretiminin güneş yarıçapına bağlılığı verilir (Bahcall et al. 2001). 43 Şekil 2.12. Güneş nötrino spektrumunun nötrino enerjisine bağlı gösterimi. Şekil 2.13. Güneş yarıçapının bir fonksiyonu olarak nötrino üretimi. 44 2.6.3. Güneşteki manyetik alanlar Güneş nötrino probleminin bazı çözümleri Güneş’ in iç kısımlarında oldukça büyük manyetik alan olması gerektiğini gösterdi. Standart Güneş modeliyle de uyum içinde olması için Güneş’in çekirdek kısmındaki manyetik alana bir üst sınır getirilir: ~(0.82)x107 G. (0.71 R ≤r≤ R ) aralığındaki konvektif bölgede ise manyetik alan büyüklüğü 30-300 kG aralığında alınır. Literatürde bir çok manyetik alan şekli vardır (Akhmedov ve Pulido 2002, Chauhan 2002). Fakat bu çalışmada iki tip manyetik alan şekli kullanılacaktır. Birincisi WoodSaxon şeklindedir (Şekil 2.14 a): B(r)= B0 1+exp[10(r-R )/R ] Burada B0 Güneş’in merkezindeki manyetik alandır. Şekil 2.14. Güneş’ teki manyetik alan tipleri. (a) Wood-Saxon (b) Gauss tipinde manyetik alan şekilleri 45 (2.60) İkinci olarak alınan Gausyen şeklindedir (Şekil 2.14 b). Her iki tip manyetik alan şeklinde de, manyetik alan şiddetinin Güneş’ ten sonra da bir süre devam ettiği göz önüne alınmıştır. 2.7. Nötrino Deneyleri Güneş nötrinoları beş Güneş nötrino deneyinde gözlenir (Homestake, galyum, SK ve SNO). Bu beş nötrino deneyinin hepsinde beklenenden daha az nötrino gözlenmiştir ve bunlar her bir deney için farklı oranlardadır. Güneş nötrinolarından başka, atmosferik nötrinoları inceleyen (IMB, AMANDA, ... ) ve reaktörlerden gelen karşı-nötrinoları (KamLAND) gözleyen deneyler de vardır. 2.7.1. Güneş nötrino deneyleri 2.7.1.1. Homestake (Klor) deneyi Ray Davis ve grubu tarafından Güneş’ ten gelen nötrinoları başarılı olarak gözleyen ilk deneydir (1960). Deney Amerika’ da Homestake altın madeninde, yerin yaklaşık 1600 m altında kuruldu. Dedektör 615 ton C2Cl4 (temizlik sıvısı) içerir ve bunun 133 tonu Cl’ dur. Dedektör, Bruno Pontecorvo tarafından 1946’ da öne sürülen klor-nötrino etkileşmesi üzerine kurulmuştur. Nötrinoları gözlemek için kullanılan bu zayıf süreç νe + 37 ClÆe- + 37 Ar şeklindedir ve eşik enerjisi 0.814 MeV’ dir. Bu reaksiyon nadirdir ve sıklıkla olmaz. Her hafta bir argon atomu üretilir. 37 Ar radyokimyasal yöntemle çıkartılır. 37 Ar 35 günlük bir yarı ömre sahiptir ve bir elektron yakalayarak tekrar Cl atomuna geri bozunur. Bu kimyasal süreçle birleştirilince üretilen 37 Ar ayrıştırılır. Böylece yapılan sayım sonucunda kaç tane nötrino gözlendiği belirlenir (Kim ve Pevsner 1993, Davis et al. 1998). 46 0.814 MeV’ lik eşik enerjisinden dolayı, Cl deneyi 8 BÆ8Be + e+ + ν e reaksiyonundan gelen nötrinolara daha duyarlıdır. Bunun yanısıra 7 Be ve pep reaksiyonlarından gelen nötrinolar da gözlenir. Cl deneyinin ilk sonuçları 1968’ de açıklandı (Davis ve Hoffmann 1968) ve ölçümlerin açıkca argon atomlarının, nötrinoların klorla etkileşmesiyle üretildiği gösterildi. Fakat elde edilen nötrino miktarı, beklenenden oldukça azdı. Klor deneyi 1995’ e kadar veri topladı ve ΦCl = 2.56 ± 0.16 ± 0.16 SNU olay oranı elde edildi. Burada 1 SNU (Solar Neutrino Unit) atom başına saniyede 10-36 nötrino yakalamadır: 1 SNU = 10-36 ν yakalama / atom s Oysa ki SGM’ ye göre ΦCl (SGM)= 7.9 ±3 SNU olay oranı bekleniyordu. Bu iki olay oranı arasındaki fark Güneş nötrino problemi olarak bilinir. Ray Davis’ e, Dünya’ da gözlenen elektron nötrino akısının, Güneş’ te üretilenden daha az olduğunu gösteren bu öncü çalışmasından dolayı Masatoshi Koshiba ve Riccardo Giacconi ile birlikte 2002 yılında Nobel fizik ödülü verildi. 47 2.7.1.2. Galyum deneyleri Üç farklı galyum deneyi vardır. Birincisi Rusya’ da Baksan labaratuvarında SovyetAmerikan galyum deneyi (SAGE), diğeri ise İtalya’da Gran Sasso labaratuvarında Avrupa grubu tarafından yapılan GALLEX/GNO deneyidir. SAGE 57 ton galyum içeren sıvı metal hedef kullanırken, Avrupa grubu (GALLEX/GNO) 101 tonluk sulu asit solüsyonu içerisinde 30 tonluk doğal galyum kullanır. Bu deneylerde νe + 71 GaÆe- + 71 Ge reaksiyonuna bakılır. Eşik enerjisi 0.233 MeV’ dir. Burada ömre sahiptir ve elektron yakalaması yoluyla tekrar 71 71 Ge 16.5 günlük bir yarı Ga’ e bozunur. Bu elektron yakalamayla ortaya çıkan Auger elektronları ve X-ışınları 71Ge için bir işaret anlamına gelir. Böylece bir nötrino gözlenmiş olur (Kim ve Pevsner 1993). Düşük eşik enerjisinden dolayı 71 Ga dedektörleri pp, 7Be, 8B ve pep nötrinolarına duyarlıdır (Şekil 2.12). SAGE ve GALLEX/GNO deneylerinin her ikisi de beklenen orandan daha az miktarda nötrino gözlediler: +3.7 ΦGa (SAGE)= 69.6 +−4.4 4.3 −3.2 SNU ΦGa (GALLEX)= 77.5 ±6.2 ± 4.5 SNU ΦGa (GNO)= 65.2 ±6.4 ± 3.0 SNU ΦGa (GALLEX/GNO)= 70.8 ±4.5 ± 3.8 SNU 48 Çizelge 2.2. Cl ve Ga deneyleri için tahmin edilen olay oranları Kaynak pp pep hep 7 Be 8 B 13 N 15 O 17 F Cl(SNU) Ga(SNU) 70.8 3.0 0.06 34.3 14.0 3.8 6.1 0.06 0.0 0.2 0.03 1.1 6.1 0.1 0.3 0.003 Toplam(SGM) 7.9±3.0 132 +−20 17 SGM’ ye göre hesaplanan olay oranı ise ΦGa (Galyum)=129 +−97 SNU olarak bulunur (Abdurashitov et al. 2002, Altmann et al. 2000, Hampel et al. 1999). Galyum ve klor deneylerine ayrı ayrı nötrino katkıları Çizelge 2.2’ de verilir (Bahcall 1989). 2.7.1.3. Süper Kamiokande (SK) Süper Kamiokande 50000 tonluk görsel (imaging) su-Cherenkov dedektörüdür. Japonya’ da 1996 yılında Kamioka Mozumi madeninde 2700 m su eşdeğerli derinlikte kurulmuştur. 50000 ton oldukça saf hafif sudan oluşur. Silindirik geometriye sahiptir. 39.3 metre çapa ve 40 metre yüksekliğe sahiptir. Dedektör iç ve dış olmak üzere iki kısma ayrılmıştır: Dış kısım gelen kozmik ışın müonlarını dışlar ve harici düşük enerji fonu için kalkan görevi yaparken iç kısım ise 11146 foto çoğaltıcı tüple gözlenen 32000 tonluk sudan oluşur. 49 Bu deneyde Güneş nötrinoları, nötrino-elektron elastik saçılması (ES) ν x + e- → ν x + eyoluyla gözlenir. Burada x, (e,µ,τ) olabilir. Bu etkileşmenin tesir kesitleri arasındaki ilişki σ (νμτ e- → νμτ e- ) 0.15 × σ (ν ee- → ν ee- ) şeklindedir. Bu deneyde Güneş nötrinoları ES olayından gelen elektronlar tarafından yayınlanan Cherenkov fotonlarının [Ek 2] gözlenmesiyle gözlenir. Cherenkov fotonları foto çoğaltıcı tüpler tarafından toplanır. Eşik enerjisi Te ≥ 5.5 MeV olduğu için, SK deneyi 8B nötrinolarına duyarlıdır (Şekil 2.12). Deneydeki ES nötrino akısının kesin hesabı ΦES = (2.35±0.02±0.08) × 106 cm-2 s-1 olarak bulunur. SGM’ ye göre hesaplanan 8B akısı ise -2 -1 6 ΦSGM =5.05 +−1.01 0.81×10 cm s bulunur. SK için ölçülen nötrino akısı ile beklenen nötrino akısının oranına bakıldığında veri/SGM = 0.47±0.02 bulunur (Fukuda et al. 2002).. 50 2.7.1.4. SNO (Sudbury Neutrino Observatory) SNO 1000 ton ağır-su Cherenkov dedektörüdür. Kanada’ da Creighton madeninde yerin 2km altındadır. 7000 tonluk ultra saf hafif su ise destek ve kalkan olarak kullanılır. Dedektörde Cherenkov fotonlarını gözlemek için foto-çoğaltıcı tüpler kullanılır; 9456 foto çoğaltıcı tüp vardır. Diğer nötrino deneyleri başlıca elektron nötrinolarına duyarlı olmasına karşın, SNO üç nötrinonun da ölçülmesine olanak sağlar. Elektron nötrinoları yüklü-akım etkileşmesi yoluyla gözlenirken, yüksüz-akım etkileşmeleri youluyla da tüm nötrinolar gözlenebilir. SNO deneyinin eşik enerjisi Te ≥ 5.0 MeV olduğu için SNO’ da SK gibi Güneş’ teki 8B bozunumundan gelen elektron nötrinolarına duyarlıdır (Şekil 2.12). Nötrinoları gözlemeye yarayan reaksiyonlar, yüklü-akım (CC) reaksiyonu, yüksüz-akım (NC) ve elastik saçılma (ES) reaksiyonlarıdır. •Yüklü-akım (CC) reaksiyonu: Elektron nötrinolarına duyarlıdır: d + ν e → p+p+e•Yüksüz-akım (NC) reaksiyonu: Tüm nötrino çeşnilerine duyarlıdır (x=e,µ,τ): ν x + d → n+p+e•Elastik Saçılma (ES) reaksiyonu: SK deneyinde belirtildiği gibi başlıca elektron nötrinolarına duyarlıdır: ν x + e- → ν x + e- 51 Her üç reaksiyon için olay oranları ile nötrino akıları arasındaki ilişki ΦCC= φe ΦES= φe +0.15 φμτ ΦNC= φe + φμτ olarak verilebilir. Gözlenen akılar ise şu şekildedir: -2 -1 +0.09 6 ΦCC= 1.76+−0.06 0.05 −0.09 × 10 cm s -2 -1 +0.12 6 ΦES= 2.39+−0.24 0.23 −0.12 × 10 cm s -2 -1 +0.46 6 ΦNC= 5.09+−0.44 0.43 −0.43 × 10 cm s SGM’ ye göre hesaplanan 8B akısı ise -2 -1 6 ΦSGM =5.05 +−1.01 0.81×10 cm s olarak bulunur. SNO için ölçülen nötrino akısı ile beklenen nötrino akısının oranına bakıldığında veri/SGM(CC) = 0.35±0.02 veri/SGM(ES) = 0.47±0.05 veri/SGM(NC)=1.01±0.13 oranları bulunur (Ahmad et al. 2002). 52 2.8. İstatistik ve Olasılık İstatistik, verilerle eş anlamlı olarak kullanılabilir veya verilerden bilgi çıkarma yöntemleriyle ilgili tamamen bilimsel bir dal olarak alınabilir. Farklı içeriklerde kullanılan istatşistik kelimesi,verilerdeki sapmalari ölçerek, incelemeleri daha ayrıntılı yaparak deneylerdeki gözlenenlerin toplanması ve özetlenmesine eşlik eder. Bunların içerisinde diğer veriler veya modellerle karşılaştırma ve gözlenen veriler bazında parametre tahmini ve hipotez testi de vardır. Olasılık ve istatistik yoluyla teori ve deney arasındaki ilişki şu şekilde kurulur: Bir teorik model bir gözlenebilir nicelik, x, ile deneysel olarak bilinmeyen ve ölçüm için doğrudan erişilemeyen θ parametresi arasında belirli bir karşılıklılık öngörür; burada θ değeri model tarafından tahmin edilebilir veya edilemeyebilir. Deneyin amacı x gözlenebilirinin yapılan ölçümleriyle, θ değerini “düzenlemek”’ tir. X1, x2, ..., xn gözlenen sayılarının kümesinden, istatistiksel yöntem, parametre için bir tahminin nasıl elde edilebilineceğini söyler. Gözlenenler bazında parametre tahmini fizikte istatistiğin en önemli uygulamasıdır. İkinci ana uygulama ise hipotez testidir. Hipotez testi, modelce öngörülen parametrenin deneysel gözlemlerden çıkan değerle uyuşup uyuşmadığını ortaya çıkarır (Frodesen et al. 1976). Teorik modeller “θ parametresinin verilen bir değeri için, gözlenen x’ in beklenen dağılımı nedir?” sorusuna yanıt ararlar. Deney ise bunun tersini yaparak, “verilen x1, x2, ..., xn gözlemlerine karşın, θ değeri nedir?” sorusuna yanıt arar. Bu iki soru temelde farklı görünseler de, bir şekilde birbirlerine bağlıdır. Olasılık teorisi ve istatistik arasındaki tamamlayıcı ilişki sırasıyla teorisyenler ve deneyciler tarafından sunulur. 2.8.1. Olasılık tanımı, rastgele değişkenler, örnek uzay Fizikçiler için olasılık, oluşumun göreli sıklık limiti olarak tanımlanabilir. Örneğin bir deneyde n deneme sonunda bir E olayının r kadar olma olasılığı (Frodesen et al. 1976) 53 P(E)= r n olarak verilir. Burada E olayının olasılığı 0 ≤ P(E) ≤ 1 aralığındadır. Rastgele değişkenin ne anlam ifade ettiğini anlamak için zar atma örneği verilebilir. Atıştan önce sonuç tam bir kesinlikle ölçülemediği için, gözlenen noktaların sayısı rastgele değişkendir. Bu durumda sonuç 1, 2, ..., 6 sayılardan birisi olacaktır. Bu yüzden örnek uzay 1 ile 6 arasındaki tamsayıların tamamından oluşur. Bir özel sonucun oluşması, örneğin 1’ in gelmesi, diğer olasılıkları dışladığı için 2, 3, ..., 6 olaylarına dışlanmış denir. Eğer X rastgele değişkeni yalnızca değerlerin sonlu bir sayısı ise, örneğin zarın atılması, X, kesikli rastgele değişken olarak adlandırılır. Deneyin her bir mümkün xi sonucuna (outcome) bir Pi olasılığı eşlik eder: P(X= xi)= Pi ∑P =1 i i Eğer X rastgele değişkeni sonlu aralıkta sürekli değerlere sahipse, sürekli rastgele değişken olarak adlandırılır. Bir çubuk üzerindeki ölçümlerden elde edilen X uzunluğu buna bir örnektir. Bu durumda X sürekli rastgele değişkeni için f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanır: f(x)dx=P(x≤X≤x+dx) ∫ f(x)dx=1 Ω Buradaki integral hesabı, örnek uzayı, Ω, tanımlayan mümkün tüm x çıktıları üzerinden alınır. 54 Şekil 2.15. Venn diyagramları 2.8.2. Olasılık hesabı Olasılık hesabına başlamadan önce küme teorisi ile ilgili bazı tanımlamalar bilinmelidir. 2.8.2.1. Tanımlamalar Küme kavramı, bazı genel özelliklere sahip nesnelerin kümesini tanımlamak için kullanılır. A kümesine ait bir nesneye A’ nın bir elemanı denir. B kümesinin her elemanı aynı zamanda A kümesinin de elemanı ise B’ ye A’ nın alt kümesi denir. A, Ω örnek uzayında elemanların keyfi bir kümesi olsun. A’ nın tamamlayanı A ise Ω örnek uzayında olan fakat A’ ya ait olmayan elemanların kümesidir (Şekil 2.15). A ve B kümelerinin birleşimi A ∪ B , A’ ya veya B’ ye veya her ikisine ait olan elemanların kümesidir. A ve B kümelerinin kesişimi, A ∩ B , ise her iki kümeye de ait olan elemanların kümesidir. P( A ∪ B )=P(A)+P(B)-P( A ∩ B ) 55 (2.61) Şekil 2.16. Koşulsal olasılığı gösteren Venn diyagramı 2.8.2.2. Koşulsal olasılık A ve B, Ω örnek uzayının alt kümeleri olsun ve sırasıyla P(A) ve P(B) olasılıklarını temsil etsinler. Yalnızca A kümesi ile ilgilenilsin ve böylece yalnızca A alt kümesi için örnek uzayı yeniden tanımlamak istensin. O zaman, B alt kümesinin olasılığı bu “yeni” örnek uzayı A’ya göre nasıl açıklar? Bu yeni olasılığa B’ nin A’ ya göre koşulsal ( ) olasılığı denir ve P B A ile gösterilir. Yani “verilen bir A içerisinde B’ nin olasılığı” ( ) olarak söylenir. P B A , P(A ∩ B)=P ( B A ) P(A) (2.62) eşitliği ile tanımlanır. Koşulsal olasılık şekilsel olarak Şekil 2.16’ daki Venn diyagramına bakılarak anlaşılabilir. Burada, Ω örnek uzayı N elemana sahip, A ve B alt kümeleri de sırasıyla NA ve NB elemanlarına sahipken A ve B’ nin her ikisinin ortak NC elemanı vardır. Venn diyagramından olasılık ifadeleri P(A)= NA N NC N N P(B A )= C NA P(A ∩ B)= P(B)= NB N Ω’ ya göre kesişim bölgesi A’ ya göre kesişim bölgesi 56 P(A B)= NC NB B’ ye göre kesişim bölgesi şeklinde yazılabilir. Görüldüğü gibi bu olasılıklar (2.62) eşitliğini sağlarlar. 2.8.3. Bayes Teoremi ( ) ( ) Bayes Teorem P A B ile P B A arasında ilişki kurar. Ω uzayı Bi (i=1, ...,n) alt kümelerinden oluşsun (Şekil 2.17). Burada Bi’ lerin olasılıkları toplamı 1’ i verir: ∑ P(B ) = 1 i i Eğer A, Ω’ ya ait bir küme ise, Bayes’ Teorem P ( Bi A ) = P ( A Bi ) P ( Bi ) ∑ P (A B ) P (B ) n j (2.63) j j=1 durumunu belirtir. Bazı tanımlamalar yapılırsa: P ( Bi ) , prior olasılık ve P ( Bi A ) , ( ) posterior olasılıktır. P A Bi ise verilen bir Bi’ de A olayının olabilirliğidir. Şekil 2.17. B1, B2, ..., Bn ayrık alt kümelerinden oluşan Ω alt uzayı. A kümesi de Ω içinde herhangi bir küme. 57 Bayes Teoremi’ ne güzel bir örnek K0 mezonunun leptonik bozunum çalışmasındaki Cherenkov sayımıdır. Bayes Teoremi’ ne göre P ( A ) Æ Cherenkov sayımı veren olay sayısı P ( B ) Æ Doğru leptonik bozunum olayının oluşma olasılığı P ( A B ) Æ Cherenkov sayımı veren doğru leptonik bozunum olma olasılığı P ( B A ) Æ Eğer bir Cherenkov sayımı elde edildiyse, bunun doğru leptonik bozunumdan gelme olasılığı olarak ifade edilebilir. 2.8.4. Olasılık dağılımlarının genel özellikleri 2.8.4.1. Olasılık yoğunluk fonksiyonu X sürekli rastgele değişkeni Ω örnek uzayında herhangi bir değere sahip olabilir. X için olasılık belirli bir aralıkta, [x, x+dx], oluşur ve P(x<X<x+dx)=f(x)dx (2.64) olarak yazılır. F(x), birim uzunluktaki olasılığı temsil eder ve olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır. Toplam olasılık ∫ f(x)dx=1 Ω olmalıdır. 2.8.4.2. Kümülatif dağılım fonksiyonu f(x) olasılık dağılım fonksiyonu ile karakterize edilen X rastgele değişkeni yerine F(x)= ∫ x x min f(x´ )dx´ x min ≤ x ≤ x maks (2.65) ile tanımlanan kümülatif dağılım, F(x), kullanılabilir. Burada F(x), x’ in minimum ve maksimum noktalarında 58 F(xmin)=0 F(xmaks)=1 değerlerine sahiptir. 2.8.4.3. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri Olasılık yoğunluk fonksiyonu, x rastgele değişkeni hakkında bütün bilgiyi içerir. F(x)’ in çeşitli özellikleri dağılımı karakterize eder (Şekil 2.18): Dağılımın modu: Olasılık dağılım fonksiyonunu maksimum yapan x değeridir. Olasılık yoğunluk fonksiyonunun medyanı: F(xmedyan)=1/2’ yi sağlayan x değeridir. Ortalama: Merkezi değeri ölçer. Varyan: Dağılımın yayılımını ölçer. Şekil 2.18. Düzgün dağılımlı olasılık yoğunluk fonksiyonu için yerel parametreler. 59 2.8.4.4. Bir fonksiyonun beklenen değeri g(x), x fonksiyonunun herhangi bir fonksiyonu olsun. G(x)’ in beklenen değeri E(g(x)) ≡ ∫ g(x)f(x)dx (2.66) Ω olarak bulunur. F(x), g(x) için ağırlık fonksiyonu olarak davranır. E(g(x)), g(x) fonksiyonunun ortalama veya merkezi değerini ölçer. 2.8.4.5. Ortalama değer ve bir rastgele değişkenin varyansı Basit bir uygulama olarak, g(x)=x alınabilir. Bu durumda rastgele değişkenin bir f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu için ortalama değeri, µ, μ ≡ E(x)= ∫ xf(x)dx (2.67) Ω ile tanımlanır. En genel olarak g(x)’ in varyansı, V(x), g(x)’ in merkezi değerden yayılımı veya kayması olarak bilinir ve V[g(x)] ≡ E(g(x)- E(g(x)) )2 1 424 3 (2.68) μ ile tanımlanır. G(x)=x’ in varyansı ise σ 2 ≡ V[x]=E(x-μ)2 = ∫ (x-μ) 2 f(x)dx (2.69) Ω şeklindedir. σ, f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu için x’ in standart sapması olarak adlandırılır. 60 Birden fazla rastgele değişken dağılımı durumunda, yani x1, x2, ..., xn durumunda, f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu, f(x1, x2, ..., xn) birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu olur. Bu fonksiyonun, pozitif ve her x1, x2, ..., xn noktasında tekil değere sahip olduğu varsayılırsa ∫ f(x x ...x 1 2 n )dx1dx 2 ...dx n = 1 (2.70) Ω olarak normalize edilir. Kısaca, ∫ f(x)dx = 1 Ω şeklinde yazılabilir. Bu durumda g(x)=g(x1x 2 ...x n ) ’ in beklenen değeri ve varyansı E(g(x))= ∫ g(x)f(x)dx Ω V[g( x )]=E(g( x )-E(g(x)))2 = ∫ (g(x)-E(g(x))) 2f(x)dx Ω olarak bulunur. 2.8.4.6. Kovaryans matris; korelasyon katsayıları g(x)=x i ’ de özelleştirilirse, xi’ nin ortalama veya beklenen değeri μ ≡ E(x i )= ∫ x i f(x)dx (2.71) Ω ile bulunur. Çok değişkenli durumda, genişletilmiş varyans tanımı vardır. Bu x ’ in kovaryans matrisi V( x) ’ dir ve kendi elemanları ile tanımlanır: Vij ≡ E[(x i -μ i )(x j -μ j )]= ∫ (x i -μ i )(x j -μ j )f(x)dx Ω µi ve µj sırasıyla, xi ve xj’ nin beklenen değeridir. 61 (2.72) Kovaryans matris, fiziksel analiz için büyük öneme sahiptir. Bazı özellikleri şu şekilde sıralanabilir: (i) V( x) simetriktir. (ii) Vii köşegen elemanı, xi’ in varyansı, σ i2 , olarak adlandırılır. σ i2 negatif olmayan bir niceliktir. σ i2 ≡ Vii =E(x i -μ i ) 2 = ∫ (x i -μ i ) 2f(x)dx (2.73) Ω (iii) Vij (i ≠ j) köşegen dışı elemanı ise, xi ve xj’ nin kovaryansı olarak adlandırılır ve cov(xi,xj) olarak tanımlanır: cov(x i ,x j ) ≡ Vij =E(x i x j ) − E(x i )E(x j ) (2.74) Kovaryans pozitif veya negatif olabilir. xi ile xj arasındaki korelasyon, ρ ( x i ,x j ) korelasyon katsayısı ile verilir ve ρ ( x i ,x j ) ≡ Vij 1/2 (Vii Vjj ) = cov(x i ,x j ) σ iσ j (2.75) ile tanımlanır. Burada ρ ( x i ,x j ) , −1 ≤ ρ ( x i ,x j ) ≤ 1 aralığındadır ve ρ ( x i ,x j ) ’ in aldığı +1, 0, -1 değerlerine göre sırasıyla pozitif korelasyonlu, negatif korelasyonlu ve korelasyonsuz olarak söylenir. 62 Şekil 2.19. Binom dağılımı 2.8.5. Özel olasılık dağılımları 2.8.5.1. Binom ve Poisson dağılımı (Kesikli dağılımlar) B(r;n,p)=(nr )pr (1 − p)n-r r=0, 1, ..., n (2.76) burada (nr ) ≡ n! r!(n-r)! ve diğer ifadeler ise p: başarılı sonucun olma olasılığı q=(1-p): başarısızlık olasılığı n: bağımsız denemeler r: toplam başarı olarak bilinir (Şekil 2.19). Poisson dağılımı ise 1 r! P(r;μ) = μ r e-μ şeklindedir. Buradaki µ, r’ nin ortalama değeridir. 63 (2.77) Şekil 2.20. Gauss (normal) dağılımı 2.8.5.3. Normal veya Gausyen dağılımı (Sürekli dağılım) Gausyen veya normal dağılım 1 - 12 (x-μ)2 /σ2 e N(μ,σ ) ≡ f(x)= 2πσ 2 (2.78) ile verilir. Ortalama değer ve varyasyon ise ∞ E(x)= ∫ xf(x)dx = μ -∞ ∞ V(x)= ∫ (x-μ)2 f(x)dx = σ 2 -∞ olarak ifade edilir. Standart normal dağılım N(0,1) ≡ g(y)= 1 y2 /2 e 2π olarak alınırken, kümülatif standart normal dağılım y G(y)= ∫ g(y´)dy´ −∞ G(-y)=1-G(y) ile ifade edilir. 64 (2.79) Şekil 2.21. Binom ve normal dağılım. Aslında normal dağılım kesikli Binom dağılımında n’ nin çok büyük olmasına karşı gelen limit durumdur (Şekil 2.21). 2.8.5.4. N(μ,σ 2 ) ’ nin olasılık içerikleri x, N(μ,σ 2 ) ’ ye göre dağılım özelliği gösteren rastgele bir değişken olsun. x’ in a alt limiti ile b üst limiti arasına düşme olasılığı, P(a ≤ x ≤ b)=P(x ≤ b)-P(x ≤ a) (2.80) olarak ifade edilir. Eşitliğin sağ tarafındaki eşitsizlikler, standartlaştırılmış (x-µ)/σ değişkeni türünden yazılabilir: P(a ≤ x ≤ b)=P( x-μ σ ≤ b-μ σ )-P( b-μ a-μ σ σ -∞ -∞ x-μ σ ≤ a-μ σ ) = ∫ g(y´)dy´ − ∫ g(y´)dy´ Böylece P(a ≤ x ≤ b)=G( b-μ σ 65 )-G( a-μ σ ) (2.81) Şekil 2.22. χ 2 dağılımının olasılık içerikleri. olarak yazılabilir. Buradaki G kümülatif standart normal dağılımdır. Verilen µ, σ2 ve [a,b] aralıklarında G’ nin değerleri istatistik tablolarından bulunabilir. Örneğin, µ ortalama değerinden bir, iki ve üç standart sapma aralığında olasılık içerikleri P(μ-1σ ≤ x ≤ μ+1σ )=2G(1)-1=0.6827 P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ )=2G(2)-1=0.9545 P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ )=2G(2)-1=0.9545 olarak bulunur. Normal olasılık dağılımının olasılık içerikleri Şekil 2.22’ de detaylı olarak görülebilir. 2.8.6. χ 2 istatistiği ve χ 2 dağılım fonksiyonu Hepsi normal dağılıma sahip n bağımsız rastgele değişken, x1, x2, ..., xn verilsin. xi’ ler aynı fiziksel sistem üzerindeki n defa tekrar edilmiş ölçümler veya aynı nicelik üzerindeki n bağımsız gözlemler olarak düşünülebilir. O zaman xi’ ler σ2 varyansa ve µ ortalamaya sahip normal bir populasyondan n boyutlu bir örnektir (sample). 66 χ 2 dağılımı, istatistikte önemli rol oynayan bir başka önemli dağılımdır. N serbestlik dereceli χ 2 rastgele değişkeni n χ ≡ ∑( 2 i=1 x i -μ σ )2 (2.82) olarak tanımlanır. χ 2 değişkeni, f ( χ ;n ) = 2 1 n 2 2n/2Γ( ) n 1 -1 − χ 2 2 2 2 (χ ) e (2.83) ile verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir. Bu fonksiyon n serbestlik dereceli χ 2 dağılımı olarak adlandırılır. Uygulamada, güven aralıklarını (CL) hesaplamak için veya χ 2 rastgele değişkenlerini içeren hipotez testi için kümülatif χ 2 dağılımı ile ilgilenilir. Kümülatif χ 2 dağılımı χα2 F(χα ;ν) ≡ ∫ f (u;ν)du = 1 − α 2 (2.84) 0 olarak tanımlanır. Burada u, χ 2 yerine , ν de n yerine kullnılmıştır. F(u,ν)-u grafiği Şekil 2.23’ de verilir. Şekil 2.23. Kümülatif χ 2 dağılımı 67 2.8.7. En-küçük kareler yöntemi x1, x2, ..., xn gözlenen noktalar, y1, y2, ..., yn birbirinden bağımsız deney sonuçlarının n boyutlu bir kümesi, η1, η2, ..., ηn ise gözlenebilirlerin bilinmeyen gerçek değerleri olsun. Elimizde, herhangi bir fonksiyonel bağımlılık yoluyla her bir xi’ ye eşlik eden gerçek değeri tahmin edebilen bir teorik model olsun: fi=fi(θ1, θ2, ..., θL;xi) L≤n burada θ1, θ2, ..., θL, parametrelerin bir kümesidir. En küçük kareler yöntemine göre, bilinmeyen parametrelerin en iyi değerleri n χ 2 = ∑ w i (yi -f i )2 =minimum i=1 ile bulunur. wi i. Gözleme ait ağırlık fonksiyonudur. χ 2 ’ yi minimum yapan θ$ = {θ$ 1 , θ$ 2 , ..., θ$ L } parametrelerinin kümesi parametrelerin en-küçük kareler tahmini olarak adlandırılır. wi, yi ölçümündeki kesinliktir. Bir çok durumda, bütün gözlemler eşit kesinlikte varsayılır. Bu durumda wi=1 alınır. Eğer hatalar farklı gözlemlerde farklı, fakat biliniyorsa, i. Gözlemin ağırlığı, genellikle onun duyarlılığına eşit alınır; yani wi=1/ σi2 alınır. Bu durumda minimum yapılmak istenen nicelik n χ2 = ∑( i=1 yi -f i σi2 )2 halini alır. Eğer gözlemler, simetrik kovaryans matris V( y) ile verilen kovaryans terimlerle ve hatalarla ilişkili ise, bilinmeyen parametrelerin en iyi değerlerini bulan en-küçük kareler yöntemi 68 n n χ 2 = ∑∑ (yi -f i )Vij-1 (y j -f j ) (2.85) i=1 j=1 olarak verilir. 2.8.8. Klasik güven aralığı (Neyman güven aralığı) µt bilinmeyen gerçek değerine sahip µ parametresi hakkında bir çıkarım yapılmak istensin. Bunun, x gözlenebilirinin tekil bir ölçümü yapılarak elde edildiği varsayılsın. Öyle ki, x değerini elde etmek için olasılık yoğunluk fonksiyonu bilinmeyen µ parametresine bağlıdır. Bu, olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır. P(x μ ) . Olarak adlandırılır. P(x μ ) , x değerini µ parametresine göre elde etme olasılığıdır. Güven aralıkları P(x μ ) ’ den çıkarılan durumlara sınırlandırılmıştır. Bir [µ1, µ2] güven aralığı (Feldman ve Cousins 1998) P(µЄ[µ1, µ2])=α (2.86) Özelliğine sahip bir kümenin elemanlarıdır. Burada α güven seviyesi, µ1 ve µ2’ de ölçülen x’ in fonksiyonlarıdır. (2.86) eşitliği, sabit bir µ’ ye sahip deneylerin bir bütününden, [µ1, µ2] değişen güven aralıklarını belirtir ve her izinli µ değeri için doğrudur. Böylece, özel olarak, aralıklar deneylerin α kesrinde belirli bilinmeyen µt değerini içerir. Güven aralıkları ile ilgili bazı özellikler şu şekilde verilebilir: (i) (ii) (iii) Eğer (2.86) eşitliği sağlanırsa, aralıklar µ’ yü belirtilen güven aralığında kapsar denir; veya başka bir deyişle aralıkların kümesi doğru “kapsama” sahiptir denir. Eğer µ’ nün herhangi bir değeri için P(µЄ[µ1, µ2])<α ise o zaman aralıklar belirtilen µ için “undercover”’ dır. Herhangi bir µ için önemli önemli bir undercoverage ciddi bir kusurdur. Eğer µ’ nün herhangi bir değeri için P(µЄ[µ1, µ2])>α ise o zaman aralıklar belirtilen µ için “overcover”’ dır. 69 Şekil 2.24 En genel güven kemeri Eğer µ’ nün hiçbir değeri undercover değilken, bazı değerleri için overcover ise, aralıklar kümesi “conservative(koruyucu)” olarak adlandırılır. Conservatism, “undercover” düşüncesi kadar ciddi bir kusur olarak değerlendirilmez; yalnızca yanlış hipotezin reddindeki güç kaybı olarak değerlendirilebilir. Bir ölçülen nicelik ve bir bilinmeyen parametre için Neyman’ ın güven aralığı yapısı “güven kemerleri” yöntemi olarak adlandırılır. Şekil 2.24, µ parametresinin ölçülen x niceliğine göre grafiğini veren bir yapıyı gösterir. µ’ nün her bir değeri için µ boyunca yatay çizgi üzerinde P(x μ ) hesaplanır. Bu çizginin bir alt kümesi olan P(xЄ[x1, x2])=α (2.87) koşulunu sağlayan bir [x1, x2] aralığı seçilir. Bu aralıklar her bir µ için Şekil 2.24’ teki yatay çizgi bölümleri olarak çizilir. Kabul bölgesinin tekliğini sağlamak için, bazı zorunlu kriterler seçilmelidir. Bunlardan en yaygın olanlar 70 P(x<x1 μ ) = 1 − α üst güven sınırı (2.88) P(x>x 2 μ ) = 1 − α alt güven sınırı (2.89) 1−α ) merkezi güven aralıkları 2 P(x<x1 μ ) = P(x>x 2 μ ) = ( (2.90) olarak bilinir. Yapı, µ’ nün tüm değerleri için yatay kabul aralıkları çizildiğinde tamamlanmış olur. x değerini ölçmek için yapılan bir deney sonucunda bulunan x değeri üzerine, x0 noktasında düşey bir çizgi çizilir (Şekil 2.24’ teki düşey çizgi). Düşey çizgi ile kesişen yatay aralıklara karşı gelen µ değerlerinin birleşimi güven aralığıdır. 2.8.8.1. Klasik güven aralıklarına örnekler 2.8.8.1.1. Gauss dağılımına sahip güven aralığı x gözlenebiliri belirli bir σ standart sapmalı Gausyen çözünürlük fonksiyonuna sahip bir deneyde μ’ nün ölçülmüş değeri olsun: P(x μ ) = 1 exp[-(x-μ)2 /2] 2π σ=1 Bu duruma ait üst ve merkezi güven kemerleri sırasıyla Şekil 2.25 ve Şekil 2.26’ da verilir. Fiziksel olarak izinli negatif olmayan μ değerleri alınmıştır (örneğin μ kütle olabilir). Şekil 2.25 a, (2.88) eşitliğine göre çizilirken, Şekil 2.25 b, (2.90) eşitliğine göre çizilmiştir. Bununla birlikte deney sonuçları üzerine, üst limitin ya da merkezi güven aralığının hangisinin yayınlanıp yayınlanmayacağına karar vermek daha hassas bir konudur. Bir diğer sorun ise Şekil 2.25 a ve b’ den görüldüğü gibi, örneğin x=-1.8 için bir sonuç elde edilemiyor oluşudur. Bu durumda, x=-1.8’ de bir düşey çizgi çizildiğinde güven aralığı boş küme olarak elde edilir. Başka bir deyişle bu durum güven kemeri yapılırken 71 (a) (b) Şekil 2.25. (a) % 90 CL üst limitinde, Gausyen dağılımın ortalaması için standart güven kemeri. (b) % 90 CL merkezi güven aralıklarında, Gausyen dağılımın ortalaması için standart güven kemeri. fiziksel olmayan μ’ lere izin verir: yani güven aralığı tamamen fiziksel olmayan bölgededir. Bu önemli problem Feldman-Cousins (FC) sıralama ilkesi ile ortadan kalkar (Feldman ve Cousins 1998). 2.8.8.1.2 Fona sahip Poisson süreci x gözlenebiliri, bilinen b ortalamalı fon olaylarından ve μ ortalamalı sinyal olaylarından oluşan n gözlenen olaylarının toplam sayısı olsun: P(n μ ) = (μ+b)n exp[-(μ+b)]/n! (2.91) Bu duruma ait üst limit ve merkezi güven kemerleri, b=3.0 ve % 90 güven seviyesi durumunda Şekil 2.26.a ve b’ de verilir. Bu grafiklerden de, Gausyen için çizilenlerdeki gibi bazı problemlerin olduğu görülür. Bunlardan birisi, örneğin b=3.0 olmasına karşın hiçbir olayın gözükmemesidir. Bu durumda yine güven aralığı boş kümedir. Yine, bu problem de FC sıralama ilkesi ile çözülebilir. 72 (a) (b) Şekil 2.26 (a) % 90 CL üst limitinde, b=3 durumu için bilinmeyen μ ortalamalı Poisson signali için standart güven kemeri. (b) % 90 CL merkezi güven aralıklarında, b=3 durumu için bilinmeyen μ ortalamalı Poisson sinyali için standart güven kemeri. 2.8.9. Feldman-Cousins Sıralama İlkesi FC sıralama ilkesini anlamak için bir örnekle işe başlanabilir. Bunun için yine b=3 olsun ve yatay kabul aralığı μ=0.5’ te yapılsın. (2.91) eşitliğine göre hesaplanan P(n μ ) değerleri Çizelge 2.3’ tedir. Herbir n için P(n μ ) değerini maksimum yapan bir signal μ değeri olsun, μbest. Bu durumda μbest’ in fiziksel olması, yani negatif olmaması gerekir. O zaman μbest=max[0,n-b] alınabilir. μbest ve P(n μ best ) değerleri Çizelge 2.3’ te ikinci ve üçüncü sütündadır. Aynı tablodaki beşinci sütündaki oran R= P(n μ ) / P(n μ best ) 73 (2.92) Çizelge 2.3 b=3 bilinen fon durumunda μ=0.5 durumu için güven kemeri yapımındaki hesaplamalar ile hesaplanır ve sıralama ilkesi bu oran üzerine kuruludur. R, iki olabilirliğin oranıdır: gerçek μ ortalama ile verilen n’ nin elde edilme olabilirliği ile, fiziksel olarak izinli en iyi fiti veren μbest ile verilen n’ nin elde edilme olabilirliğinin oranıdır. P(n μ ) ’ nün toplamı güven seviyesine ulaşıncaya veya aşıncaya kadar, n değerleri R’ nin azalan sırasında (Çizelge 2.3’ te altıncı sütün) verilen μ için kabul bölgesine eklenirler. n değerleri için, toplam % 90 olasılığı elde etmek için gerekli bu sıralama Çizelge 2.3’ te beşinci sütünda gösterilir. Böylece μ=0.5 için kabul bölgesi (Şekil 2.24’ teki yatay çizgi segmentleri gibi) n=[0-6] aralığındadır. n’ nin kesikliğinden dolayı, kabul bölgesi %90’ dan büyük toplam olasılığı içerir. Bu sıralama prensibi ne olursa olsun kaçınılmazdır ve conservative güven aralıklarına yol açar. (a) (b) Şekil 2.27. FC sıralama ilkesine göre (a) Poisson dağılımı için (b) Gausyen dağılım için güven kemerleri. 74 FC prensibine göre hesaplanmış Poisson (b=3 ortalama fona sahip) ve Gausyen süreçleri ile ilgili grafikler Şekil 2.27’ dedir. 2.8.10. Fit uyumu ve izinli bölge hesabı χ 2min değeri, fit edilen parametre ile ölçülenler arasındaki uyuşumun niteliği hakkında bir ölçüt verir. Başka bir deyişle χ 2min fit uyumu ölçümünü sağlar. Fit uyumu ∞ Pχ 2 = ∫ f(u;ν)du=1-F(χ 2min ;ν) (2.93) χ 2min ifadesi ile verilir. Burada F(χ 2min ;ν) , ν serbestlik dereceli kümülatif χ 2 dağılımıdır. χ 2min ’ nin küçük olması büyük Pχ 2 ’ ye, yani iyi fite karşı gelirken, büyük χ 2min değeri küçük Pχ 2 ’ ye, yani kötü fite karşı gelir. Eğer minimum χ 2 değeri kabul edilebilir ise o zaman parametre uzayındaki izinli bölgeleri elde etmek için χ 2 ’ nin minimum değeri civarındaki şekline bakılır. Standart en küçük kareler yöntemine göre % 100β CL izinli bölgeleri χ 2 ≤ χ 2min + Δχ 2 (β) (2.94) koşulu ile verilir. Burada β güven seviyesidir (CL) ve Δχ 2 (β) , χ 2 değeridir; öyle ki, iki serbestlik derecesi için kümülatif χ 2 dağılımı β’ ya eşittir. İki serbestlik derecesi için Δχ 2 (β) değerleri, değişik güven seviyeleri için Δχ 2 (β) = 4.61 = 5.99 = 9.21 = 11.83 β= 0.90 (1.64σ) = 0.95 (1.96σ) = 0.99 (2.57σ) = 0.9973 (3σ) olarak bilinir. 75 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.1. İstatistiksel analiz ve nötrino deneyleri Güneş nötrino verilerince izinli Δm2, tan2θ nötrino osilasyon parametrelerinin değerlerini bulmada geleneksel yol, genellikle “χ2 fit” olarak adlandırılır. Bu yöntemde Δm2, tan2θ parametrelerinin Δm 2 , tan 2 θ izinli değerlerini belirlemek için (Yilmaz ve Yilmazer 2005) Nden χ = ∑ (R i1 (teo) -R i1 (den) )(V -1 )i1i2 (R i2 (teo) -R i2 (den) ) 2 (3.1) i1 ,i 2 χ2 fonksiyonu minimize edilir. V deneysel ve teorik belirsizliklerin kovaryans matrisidir. Ri(den) i. Deneyden ölçülmüş olay oranlarıdır. Ri(teo) ise teorik olay oranlarına karşı gelir (Δm2, tan2θ’ ya bağlıdır). İndisler Güneş nötrino deneylerini belirtir: i, i1, i2 = 1,…, Nden (Nden=4). Kovaryans matris deneysel ve teorik kısımlardan oluşur: Vi1i2 = Vi1i2 (deney)+Vi1i2 (teorik) Vi1i2 (den)=δi1 ,i2 σiden σiden 1 2 (3.2) burada σiden i. Deneye ait kesinsizliklerdir. Kovaryans matrisin teorik kısmı ise, 8 (teo) Vi1 ,i2 (teo)=δi1 ,i2 ∑ R (teo) + j1i1 ΔlnC j1i1 j1 =1 2 2 8 12 R (teo) R (teo) α j k α j k (ΔlnX k )2 ∑ ∑ ji ji j ,j =1 k=1 2 11 2 2 2 1 2 (3.3) 1 2 şeklindedir. Buradaki indislerden j,j1,j2 = 1,2,...,8, sekiz Güneş termonükleer reaksiyonunda üretilen Güneş nötrino akılarını belirtir (pp, pep, Hep, 7Be, 8B, N, O, F). k indisi ise (k=1, 2, …, 12) ΦSSM SGM(Standart Güneş Model) nötrino akılarının da j bağlı olduğu SGM’ deki 12 astrofiziksel parametre girdisidir. Logaritmik türevler 76 α jk = ∂ lnΦSSM j (3.4) ∂ lnX k olarak bilinir ve ΦSSM nötrino akılarının kesinsizliklerini belirlerler. ΔlnX k ve j Δln C(teo) sırasıyla 1σ SGM giriş parametrelerinin ve enerji-ortalamalı tesir kesitinin ji ( C(teo) ji ) göreli kesinsizlikleridir. Radyo-kimyasal deneyler, klor ve galyum deneyleri, için teorik olay oranları R ij(teo) = ∫ dEφ j (E)σi (E)Pij (ν e → ν e ,E) (3.5) ifadesi ile bulunur. Öyle ki 8 R i(teo) = ∑ R ij(teo) (3.6) j=1 şeklindedir. Burada φ j (E) , j. Reaksiyondan gelen E enerjisindeki akıdır ve σi (E) de i. dedektör için tesir kesitidir. Güneş nötrinoları SK deneyinde ν x +e → ν x +e x=e,μ, τ nötrino-elektron saçılma (ES) reaksiyonundan gelen Cherenkov ışığı yoluyla gözlenirler. SNO ağır su-Cherenkov dedektörü olduğu için, ES’ ye ek olarak Güneş nötrinolarını, yüklü-akım (CC) ve yüksüz-akım (NC) ν e +d → p+p + e (CC) ν x +d → n + p + e (NC) 77 yoluyla gözler. Cherenkov ışığı ES’ den ve CC reaksiyonlarından geri tepen elektronlar tarafından üretilir. SK ve SNO deneylerinin yüksek eşik enerjiye (Teşik>5MeV) sahip olmalarından, yalnızca 8B ve hep nötrinolarına duyarlıdırlar. Hep nötrinolarının akısının az oluşundan toplam oranlara katkısı tamamen ihmal edilebilir. SK ve SNO için, ES’ den gelen teorik olay oranları R ES = ∫ dEφ j (E){σiν (E)P(ν e → ν e ,E,t)+σiν (E)[1-P(ν e → ν e ,E,t)]} e x (3.7) ifadesi ile bulunur. Burada tesir kesiti, σ i ν e (ν x ) (E) = Tmak ∫ Tmin d 2σ dT dTdE (3.8) şeklindedir ve T geri tepen elektronun kinetik enerjisidir. Tmin=Eeşik-me ( Eeşik=5.5 MeV) ve Tmak=2E/(2E+me), sırasıyla, geri tepen elektronun minimum ve maksimum kinetik enerjisidir. (νe – e) ve (νx – e) saçılmaları için tesir kesiti d 2σ =σ e [g 2L +g R2 (1-T/E) 2 -g L g R (T/E 2 )] dTdE 1 g L =(± +sin 2θ W ) 2 (3.9) g R =sin 2θ W olarak verilir. g L ifadesindeki “+” işareti (νe – e) saçılması için ve “-” işareti (νx – e) saçılması içindir; x, μ veya τ olabilir. Tesir kesiti faktörü ise σe = 2G 2F me2 =88.083×10-46cm -2 4 πh şeklindedir. 78 SNO için ES’ ye ek olarak, CC ve NC reaksiyonlarından olay oranları R CC = ∫ dEφ j (E)σiCC (E)P( ν e → ν e ,E,t ) (3.10) R NC = ∫ dEφ j (E)σiNC (E) (3.11) ifadeleri ile verilir ve SNO için toplam olay oranı R SNO =R ES +R CC +R NC ile bulunur. Global analiz yapmak için χ 2KamLAND ’ in hesaplanmasi gerekir: 2 χ gl2 =χ 2 +χ KamLAND (3.12) KamLAND deneyi, nükleer reaktörlerden yayımlanan karşı-nötrinoları p+ν e → n+e+ reaksiyonu yoluyla gözler. Karşı-nötrinoların enerji spektrumu dN νj e ∝ exp(a 0 +a1E+a 2 E 2 ) dE ifadesi ile verilir. Burada j=1,2,3,4 sırasıyla 235 U, 239 (3.13) P, 238 U, 241 Pu izotoplarına karşı gelirken, ak (k=0, 1, 2)değerleri, reaktör nötrino spektrumu için fit edilen parametrelerdir (Bandyopadhyay et al. 2003). İki çeşnili nötrino durumu için, j. reaktörden gelen electron karşı-nötrinosunun hayatta kalma olasılığı 79 1.27Δm 2 (eV 2 )d j (km) ) P(ν e → ν e )=1-sin 2θsin ( E(GeV) 2 2 (3.14) ifadesi ile bulunur. dj, reaktör-dedektör mesafesidir. KamLAND deneyinde her bir enerji aralığındaki beklenen olayların sayısı Niteo (t,E,Δm 2 ,sin 2 2θ)=ηN p ∫ dE V ∫ dE e R(E V ,E e )∑ j Sj σ(E ν )P(ν e → ν e ,E ν ) 4πd 2j (3.15) ile bulunur. Burada Np dedektörün iç hacminde bulunan serbest protonların sayısıdır. Sj her bir reaktörün izotropik kompozisyonu ve ısısal gücü kullanılarak hesaplanan j reaktörünün başlangıç enerji spektrumudur. σ(E ν ) ise σ(E ν )= 2π 2 pE me2fτ n e e (3.16) ile verilen en düşük tesir kesitidir. f=1.69’ dur ve nötron için integre edilmiş Fermi fonksiyonu olarak bilinir. me, positron enerjisi, τ n , nötron’un yaşam ömrü, pe ve Ee ise sırasıyla pozitron momentumu ve enerjisidir. Öyle ki toplam positron enerjisi ile gelen karşı-nötrino enerjisi arasındaki ilişki Ee=Eν-1.293 MeV şeklindedir. (3.15) eşitliğindeki R(E V ,E e ) , görülebilir enerjiye ( E V =Ee+me) ve pozitron enerjisine R(E V ,E e )= E -E +m 1 exp(- V e 2 e ) 2σ 0 2πσ02 ifadesi ile bağlı, çözünürlük fonksiyonudur ve σ 0 = %6.2 E ’ dir. 80 (3.17) KamLAND verileri 2.6 MeV’ lik eşik enerjisinin üzerinde 13 enerji aralığında (bin) yayınlandı (Araki et al. 2004). KamLAND spectrum verileri istatistik için oldukça az olduğundan spektral olaylar için Poisson dağılımı gözönüne alınır. KamLAND için χ 2 hesabında χ 2Kml_sp = ∑ [2(κNiteo -Niden )+2Niden ln( i Niden (κ-1)2 )]+ 2 κNiteo σsys (3.18) ifadesi kullanılır. Burada toplam KamLAND spektral enerji aralıkları üzerinden alınır. 2 σsys , sistematik kesinsizliklerdir ve % 6.5 alınabilir. κ ise serbestçe seçilebilen normalizasyon parametresidir. 81 4. ARAŞTIRMA BULGULARI Bu çalışmada yapılan hesaplamalarda, Wood-Saxon ve Gauss tipindeki manyetik alan şekillerinin her ikisi için de Güneş’ in dışında sonlandığı varsayılır. Nötrino spektrumları Bahcall ve grubunun standart Güneş modelinden alınmıştır. İzinli bölgeler % 95 Cl güven seviyesinde hesaplanmıştır (Yilmaz ve Yilmazer 2005). 10 Cl Rate Ga Rate SK SNO -4 10 -5 2 2 Δm (eV ) 10 -3 10 -6 10 -7 10 -3 -8 μB=0 -7 10 μB=2x10 μΒG -5 2 2 Δm (eV ) 10 -4 10 10 -7 10 -8 -3 10 -4 10 -5 2 2 Δm (eV ) -6 10 10 -7 10 -8 -3 10 -7 μB=5x10 μΒG -4 10 -5 2 2 Δm (eV ) -6 10 -6 10 -7 10 -8 -7 μB=10x10 μΒG 10 -4 10 -3 10 -2 2 tan (θ) 10 -1 10 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 2 0 10 -3 10 -2 2 tan (θ) tan (θ) 10 -1 10 0 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 2 tan (θ) Şekil 4.1. Dört farklı µB değerinde (µB=0, 2, 5 ,10 × 10-7) ve %95 CL güven seviyesinde herbir Güneş nötrino deneyi için nötrino parametre uzayının izinli bölgeleri 82 İlk önce yalnızca Güneş nötrino verileri gözönüne alındı. Kullanılan istatistiksel analizde, kovaryans yaklaşım kullanıldı. Wood-Saxon manyetik alan şekli kullanılarak dört farklı µB değerinde herbir Güneş nötrino deneyi için nötrino parametre uzayının izinli bölgeleri ayrı ayrı bulundu (Şekil 4.1). Şekil 4.1’ de her bir sütün ve satır sırasıyla aynı deney için ve aynı µB değeri içindir. Örneğin üçüncü sütundaki ikinci satırda SK deneyi için µB=2x10-7µBG’ deki izinli bölge görülür. Şekil 4.2’ de, Şekil 4.1’ deki aynı µB değerlerinde birleştirilmiş (combined) Güneş nötrino deneylerinin izinli bölgeleri gösterilmiştir. 2x2 Solar -3 10 -4 -5 10 2 2 Δm (eV ) 10 -6 10 -7 10 μB=0 -7 μB=2x10 μΒG -8 -3 10 -4 -5 10 2 2 Δm (eV ) 10 -6 10 -7 10 -7 -7 μB=5x10 μΒG μB=10x10 μΒG -8 10 -4 10 -3 10 -2 -1 0 10 10 2 tan (θ) 10 -3 10 -2 -1 10 10 2 tan (θ) 0 10 Şekil 4.2. Şekil 4.1’ deki aynı µB değerlerinde birleştirilmiş (combined) Güneş nötrino deneylerinin izinli bölgeleri. “*”’ lar yerel en iyi fit noktasını belirtir. 83 KamLAND Spectrum 766 Ty Data -3 10 90 % CL 95 % CL 99 % CL 99.73 % CL -4 2 2 Δm (eV ) 10 -5 10 -6 10 0 0.2 0.4 2 0.6 0.8 1 tan (θ) Şekil 4.3. KamLAND spektrum verileri için farklı güven seviyelerindeki izinli bölgeler. “*” en iyi fit noktasını belirtir. Birleştirilmiş Güneş nötrino verilerinin farklı µB değerlerinde incelemerinden sonra, KamLAND verileri için farklı güven seviyelerindeki izinli bölgeler Şekil 4.3’ te verilmiştir. Güneş nötrino verilerini ve KamLAND verilerini birleştirerek elde edilen global analiz, dokuz farklı µB değeri (0, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 10x10-7 µBG) için, Şekil 4.4’ te verilir. Bu şekilde, sonuçlarımız gösterdi ki, µB değeri artarken, LMA’ daki izinli bölgeler SMA bölgesine kaymıştır. Bu kayma, en son deneysel veriler LMA bölgesini belirttikleri için, µB değerine bir üst sınır koymamızı sağlar. 84 2x2 Solar & KamLAND 766 Ty Data 10 -4 2 2 Δm (eV ) 10 -3 10 -5 μB=0 10 -7 μB=1.5x10 μΒG -3 -4 2 2 Δm (eV ) 10 -7 μB=1x10 μΒG 10 -5 -7 μB=2.5x10 μΒG -7 -7 μB=5x10 μΒG μB=2x10 μΒG 10 -3 -4 2 2 Δm (eV ) 10 -7 μB=3x10 μΒG 10 -5 -7 μB=4x10 μΒG 10 -7 μB=10x10 μΒG -6 10 -4 10 -3 10 -2 2 tan (θ) 10 -1 10 -4 10 -3 10 -2 2 tan (θ) 10 -1 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 2 tan (θ) Şekil 4.4. Güneş nötrino verileri ve KamLAND verilerinin birleştirilmesinden oluşturulan global analizden, %95 CL’ de, dokuz farklı µB değeri (0, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 10x10-7 µBG) için elde edilen izinli bölgeler. “*” en iyi fit noktasını belirtir. 85 0 Çizelge 4.1. Her iki manyetik alan şekli için en iyi fit noktaları. μB(×10-7μ BG) Δm 2 (eV) 2 tan 2θ (χ 2min ) Wood-Saxon (χ 2min )Gausyen 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 10 8.7 × 10-5 8.7 × 10-5 1.77 × 10-4 1.77 × 10-4 1.77 × 10-4 1.77 × 10-4 1.77 × 10-4 1.77 × 10-4 1.53 × 10-4 1.53 × 10-4 0.26 0.33 0.20 0.16 0.13 0.095 0.095 0.057 0.022 0.012 26.38 35.4 38.6 41.13 43.81 42.47 42.59 49.39 53.78 55.5 26.38 35.64 38.8 41.16 44.02 42.92 42.45 49.73 54.13 55.85 Daha sonra aynı global analiz, izinli bölgelerin ve minimum χ2 değerlerinin Güneş’ teki manyetik alan şekillerine nasıl bağlı olduğunu anlamak için, Gauss tipindeki manyetik şekil için de hesaplandı. Her iki manyetik alan şekli için global analiz sonuçları Çizelge 4.1’ de verilmiştir. Çizelge 4.1’ den de görüldüğü gibi iki manyetik alan şeklinin izinli bölgeler ve minimum χ2 değerleri üzerine etkisi arasında kayda değer bir fark yoktur. Son olarak Şekil 4.5’ te her iki manyetik alan şekli için µB değeri üzerine bir sınır koymak için global Δχ2 fonksiyonunun µB üzerindeki izdüşümü gösterilmektedir. Bu şekilde, Δχ2 -µB grafiği iki manyetik alan şekli için neredeyse aynı olduğu için genel bir sınır bulundu: 1σ, 2σ, 3σ sınırı için sırasıyla µB<0.2x10-7 µBG, 0.5x10-7 µBG, 1.0x10-7 µBG. 86 30 Gaussian Shape Wood-Saxon Shape 25 Δχ 2 20 15 10 3σ 5 2σ 1σ 0 0 2 4 6 -7 μB(MeV)x10 Şekil 4.5. Δχ2 fonksiyonunun µB üzerindeki izdüşümü. 87 8 10 5. TARTIŞMA ve SONUÇ Literatürde nötrinonun elektromanyetik özellikleri ile ilgili yoğun çalışmalar vardır. Nötrinolar kütleli olarak bilindikleri için, Standart Modelde ve biraz genişletilmiş halinde bile çok küçük de olsa bir manyetik momente sahip olabilirler. Astrofiziksel incelemelerden nötrinoların manyetik momenti üzerine güçlü sınırlamalar gelir ( µν <10-12 µB ); bununla birlikte bu sınırlar model bağımlıdır. Aynı zamanda reaktör deneyleri de daha az kısıtlayıcı sınırlar koyar: µν<10-12 µB. Süper Kamiokande deneyinin bir analizinden de benzer bir sınırlama gelir: µν<1.5x10-10 µB. Güneşteki manyetik alana gelince, varolan gözlemlerden çekirdek bölgesindeki üst limit genellikle 107G olarak alınırken konvektif bölgenin alt kısmında 3x107G olarak alınır. Yukardaki kısıtlamalardan, µB değeri üzerine bizim analizimiz µν’ nün ve BGüneş’ in verilen değerleri ile uyum içerisindedir (Yilmaz ve Yilmazer 2005). 88 KAYNAKLAR Abdurashitov, J. N. (Ed.) ( SAGE Collaboration). 2002. J. Exp. Theor. Phys., 95; 181. Ahmad, Q. R. (Ed.) 2002. Direct evidence for neutrino flavor transformation from neutral-current interactions in the SNO. Nucl-ex/0204008. Ahmad, Q. R. (Ed.) 2002. Measurement of day night neutrino energy spectra at SNO and constraints on neutrino mixing parameters. Nucl-ex/0204009. Ahmad, Q. R. (Ed.) 2002. Phys. Rev. Letters, 87(7);71301. Akhmedov, E. K. and Pulido, J. 2000. RSFP and solar neutrinos. Astropar. Phys.,13; 227. Akhmedov, E. K. and Pulido, J. 2000. SNO and the neutrino magnetic moment solution of the solar neutrino problem. hep-ph/0005173. Akhmedov, E. K. and Pulido, J. 2002. Solar neutrino oscillations and bounds on neutrino magnetic moment and solar magnetic field. hep-ph/0209192. Akhmedov, E. K. and Pulido, J. 2002.Distinguishing magnetic moment from oscillation solution of the solar neutrino problem with Borexino. hep-ph/0201089. Akhmedov, E. K.1992. RSFP of neutrinos as a possible solution to the SNP. Hepph/9205244. Akhmedov, E.K. 1988. Resonant amplification of neutrino spin rotation in matter and solar-neutrino problem. Phys. Letters B, 213(1); 64. Akhmedov, E.K. 2000. Neutrino Physics. hep-ph/0001264. Aliani, P., Antonelli, V., Ferrari, R., Picariello, M. and Torrente-Lujan, E. 2002. Determination of neutrino mixing parameters after SNO oscillation evidence. hep-ph/0205053. Aliani, P., Antonelli, V., Ferrari, R., Picariello, M. and Torrente-Lujan, E. 2002. KamLAND, solar antineutrinos and their magnetic moment. hep-ph/0208089. Aliani, P., Antonelli, V., Ferrari, R., Picariello and M., Torrente-Lujan, E. 2004. Analysis of neutrino oscillation data with the recent KamLAND results. hep-ph/0406182. Altmann, M., et al. ( GNO Collaboration). 2000. Phys. Lett. B, 490; 16. Araki, T. (Ed.) 2004. Measurement of neutrino oscillation with KamLAND: evidence of spectral distortion. hep-ex/0406035. Bahcall, J. N. 1989. Neutrino Astrophysics. Cambridge University Press, 566, USA. Bahcall, J. N., Gonzalez-Garcia, M.C. and Pena-Garay, C. 2001. Global analysis of solar neutrino oscillations including SNO CC measurement. hep-ph/0106258. Bahcall, J. N., Gonzalez-Garcia, M.C. and Pena-Garay, C. 2002. Robust signatures of solar neutrino oscillation solutions. JHEP042002007. Bahcall, J. N., Krastev, P. I. and Smirnov A. Yu. 2000. SNO: predictions for ten measurable quantities. Phys. Rev. D, 62; 93004. Bahcall, J. N. and Lisi, E.1996. Test of electron flavor conservation with the SNO. hep-ph/9607433. Bahcall, J. N., Pinsonneault, M. H. and Basu, S. 2001. Solar models: current epoch and time dependences, neutrinos, and helioseismological properties. hep-ph/0010346. Balantekin, A. B. 1996. MSW effect in a fluctuating matter density. Phys. Rev. D 54(6); 3941. 89 Balantekin, A. B. 1999. Neutrino propagation in matter. Physics Rep. 315; 123. Balantekin, A. B., Fricke, S. H. and Hatchell, P. J. 1988. Analytical and semiclassical aspects of matter-enhanced neutrino oscillations. Phys. Rev. D 38; 935. Balantekin, A. B., Hatchell, P. J. and Loreti, F. 1990.Matter-enhanced spin-flavor precession of solar neutrinos with transition mag. Mom. Phys. Rev.D 41; 3583. Balantekin, A. B. and Loreti, F. 1994. Neutrino oscillations in noisy media. Phys. Rev. D 50; 4762. Balantekin, A. B. and Yüksel, H. 2003. Global analysis of solar neutrino and KamLAND data. J. Phs. G, 29; 665. Bandyopadhyay, A., Choubey, S., Goswami, S., Gandhi, R. and Roy, D.P. 2003. Testing the solar LMA region with KamLAND data. J. Phys. G, 29; 2465. Bandyopadhyay, A., Choubey, S., Goswami, S. and Petcov, S. T. 2003. On the measurement of solar neutrino oscillation parameters with KamLAND. hep-ph/0309236. Bandyopadhyay, A., Choubey, S., Goswami, S., Petcov, S. T. and Roy, D. P. 2004. Update of the solar neutrino oscillation analysis with the 766 Ty KamLAND spectrum. hep-ph/0406328. Barbieri, R. and Fiorentini, G.1998. Nucl. Phys. B,304; 909. Bethe, H. A. 1986. Possible explanation of the solar-neutrino puzzle. Phys. Rev. Letters, 56(12); 1305. Bethe, H. A. 1989. Solar neutrino experiments. Phys. Rev. Letters, 63(8); 837. Bilenky, S. M. and Pontecorvo, B. 1977. Lepton Mixing and neutrino oscillations. Phys. Rep. 41;225 Bykov, A. A., Popov, V. Yu., Rashba, T. I. and Semikoz, V. B.2000. RSFP solution to the Solar neutrino problem and electron antineutrinos from the sun. hep-ph/0002174. Chauhan, C. B. 2002. Solar magnetic field profile: a natural consequence of RSFP scenario. hep-ph/0204160. Chauhan, C. B. and Pulido, J. 2002. RSFP of solar neutrinos after SNO NC data. hep-ph/0206193. Chauhan, C. B.,Pulido, J. 2004. LMA and sterile neutrinos: a case for resonance spin flavour precession?. JHEP062004008. Chauhan, C. B.,Pulido, J. and Torente-Lujan, E. 2003. KamLAND, solar antineutrinos and the solar magnetic field. hep-ph/0304297. Chauhan, C.B. 2002. Solar magnetic field profile: a natural consequence of RSFP scenenario. hep-ph/0204160. Cousins, R. D. and Baker, S. 1983. Clarification of the use of chi-square and likelihood functions in fits to histograms. UCLA-HEP-83-3. Daraktchieva, Z. (Ed.) 2003. Limits on the neutrino magnetic moment from the MUNU experiment. hep-ex/0304011. Davis, R. (Ed.) 1998. Measurement of the solar electron neutrino flux with the Homestake chlorine experiment. The Astrophysical Journal, 496; 505. Davis, R. and Hoffmann, K. C. 1968. Phys. Rev. Lett., 20,1205. De Holanda, P. C. and Smirnov, A. Yu. 2002. Solar neutrinos: global analysis with day and night spectra from SNO. Phys. Rev. D, 66; 113005. 90 Derkaoui, J. and Tayalati, Y. 2001. On the resonant spin flavor precession in the sun. Astropar. Phys. 14; 351. Eguchi, K. (Ed.) 2002. First result from KamLAND. hep-ex/0212021. Feldman, J. G., Cousins, R. D., 1998. Unified approach to the classical statistical analysis of small signals. Phys. Rev. D 57; 3873. Fogli, G. L. and Lisi, E. 1995. SSM uncertainties and their correlations in the analysis of the SNP. Astropar. Phys. 3, 185.. Fogli, G. L., Lisi, E., Marrone, A., Montanino, D., Palazzo,A. 2002.getting the most from the statistical analysis of solar neutrino oscillations. hep-ph/0206162. Fogli, G. L., Lisi, E. and Montanino, D. 1996. Matter-enhanced three-flavor oscillations of the solar neutrino problem. hep-ph/9605273. Fogli, G. L., Lisi, E., Montanino, D. and Palazzo,A. 1999. Three-flavor MSW solutions of the solar neutrino problem. hep-ph/9912231. Fogli, G. L., Lisi, E., Montanino, D. and Palazzo,A. 2001. Model dependent and independent implications of the first SNO results. hep-ph/0106247. Fogli, G. L., Lisi, E., Palazzo, A. and Villante, F.L. 2001. Solar neutrino event spectra: Tuning SNO to equalize SK. Rev. D, 63; 113016. Friedland, A., Gruzinov, A. 2002. A new solution to the solar neutrino deficit. hep-ph/0202095. Frodesen A. G., Skjeggestad O. and Tofte H. 1976. Probability and Statistics in Particle Physics. Columbia University Press, 501, USA. Fukuda, S. (Ed.) 2002. Determination of solar neutrino oscillation parameters using 1496 days of SK-I data. Hep-ex/0205075. Fukuda, Y. (Ed.) 1998. Measurements of the solar neutrino flux from SK’ s first 300 days. Phys. Rev. Letters. 81(6); 1158. Fukuda, Y. (Ed.) 1999. Contraints on neutrino oscillation parameters from the measur. of day-night neutrino fluxes at SK. Phys. Rev. Letters. 82(9); 1810. Fukuda, Y. (Ed.) 1999. Measurements of the solar neutrino energy spectrum using neutrino-electron scattering. Phys. Rev. Letters. 82(12); 2430. Garzelli, M. V. and Giunti, C. 2001. Bayesian view of solar neutrino oscillations. hep-ph/0108191. Garzelli, M. V. and Giunti. C. 2000. A frequentist analysis of solar neutrino data. hep-ph/0007155. Garzelli, M. V. and Giunti. C. 2000. Statistical treatment of detection cross-section uncertainties in the analysis of solar neutrino data. hep-ph/0006026. Grimus, W. 2003. Neutrino physics-theory. hep-ph/0307149. Hampel, W. (Ed.) (GALLEX Collaboration), 1999. Phys. Lett. B, 447; 127. Hata, N. and Langacker, P. 1994. Solar model uncertainties, MSW analysis, and future solar neutrino experiments. Phys. Rev. D, 50(2);632. Hudson Derek J. 1963. Lectures on Elementary Statistics and Probability. CERN Libraries, 101. GENEVA. Joshipura, S. A. and Mohanty, S. 2002. Bounds on neutrino magnetic moment tensor from solar neutrinos. hep-ph/0204305 Kayser, B., Gibrat-Debu, F. and Perrier, F. 1989. The Physics of Massive Neutrinos. World Scientific, 117, Singapore. Kim, C. W. and Pevsner A. 1993. Neutrinos in Physics and Astrophysics. Harwood Academic Publisher, 428, USA. 91 Lee, T.D. and Yang, C.N. 1957. Parity Nonconservation and a Two-Component Theory of the Neutrino. Phys. Rev. 105 5; 1671. Li, H. B. (Ed.) 2003. Limit on the electron neutrino magnetic moment from the KuoSheng reactor neutrino experiment. Phys. Rev. Letters, 90; 131802. Lim, C. and Marciano, J. W. 1988. RSFP of solar and supernova neutrinos. Phys. Rev. D, 37(6); 1368. Liu, J. 1987. Magnetic moment of Dirac neutrinos. Phys. Rev. D, 35(11); 3447. Masood, S. S. 2001. Magnetic moment of neutrino in statistical background. hep-ph/0109042. McDonald, A.B. 2001. First neutrino observs. from the SNO. Nucl. Phys. B, 91; 28. Mikheyev, S. P. and Smirnov, A. Yu. 1986. Yad. Fiz., 42; 1441. Minakata, H. and Nunokawa, H. 1989. Phys. Rev. Lett., 63;121 Murayama, H. and Pierce, A. 2000. Energy spectra of reactor neutrinos at KamLAND. hep-ph/0012075. Nakamura, S., Sato, T., Gudkov, V. and Kubodera, K. 2001. Neutrino reactions on the deuteron. Phys. Rev. C, 63; 34617. Peccei, R. D. 1999. Neutrino Physics. hep-ph/9906509. Pulido, J. 2000. Neutrino magnetic moment solution for the solar neutrino problem and the SNO experiment. hep-ph/0012059. Pulido, J. 2001. Global analysis of solar neutrinos with magnetic moment and solar field profiles. hep-ph/0106201. Pulido, J. 2002. Solar neutrinos with magnetic moment:rates and analysis. hep-ph/011204. Raghavan, R.S., Balantekin, A. B., Loreti, F., Batz, A. J., Pakvasa,S. and Pantaleone, J. 1991. Direct tests for solar-neutrino mass, mixing, and Majorana magnetic moment. Phys. Rev. D 44;3786. Roe Byron P. 2001. Probability and Statistics in Experimental Physics. SpringerVerlag, 252, USA. Roe, P. B. and Woodroofe M. B. 2000. Setting confidence belts. hep-ex/0007048. Schwetz, T. 2003. Variations on KamLAND: likelihood analysis and frequentist confidence regions. hep-ph/0308003. Suzuki, Y. 2001. Solar neutrino results from the SK. Nucl. Phys. B, 91; 29. Vogel, P. and Beacom, F.1999. Angular distribution of neutron inverse beta decay. Phys. Rev. D 60; 53003. Vogel, P. and Beacom, F.1999. Neutrino magnetic moments, flavor mixing, and the SK solar data. Phys. Rev. Letters, 83; 5222. Vogel, P. and McKeown, R. D. 2004. Neutrino masses and oscillations: triumphs and challenges. Phys. Rep. 394;315. Voloshin, M. B. and Vysotskii, M. I. 1986. Yad. Fiz., 44; 845. Voloshin, M. B. and Vysotskii, M. I., Okun, L. B., 1987. Sov. Phys. JETP, 64; 446. Wolfenstein, L. 1978. Neutrino oscillations in matter. Phys. Rev. D, 17(9);2369. Wu, C. S. (Ed.) 1957, Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay. Phys. Rev. 105; 1413. Yilmaz, D. and Yilmazer, A. U. 2005. Global analysis of the data from solar neutrinos having transition magnetic moments together with KamLAND data. J. Phys. G, 31;57. 92 EKLER Ek 1. Helisite ve Ellilik Kavramları Ek 2. Cherenkov Radyasyonu 93 EK 1 Ellilik ve helisite zaman zaman yanlışlıkla birbirlerinin yerine kullanılan ve dolayısıyla karışıklığa yol açan iki farklı temel kavramdır. Ellilik helisiteye aşikar olmayan bir şekilde bağlı iki-değerli bir niceliktir. Helisite ve ellilik kütlesiz parçacıklar için özdeş, ışık hızına yakın hızlarda hareket eden kütleli parçacıklar için ise hemen hemen özdeştir. Ellilik kavramı zayıf kuvvet ile etkileşen parçacık durumlarını tanımlamada ve Dirac ve Majorana arasındaki temel farkları açıklamada önemlidir. Helisite, parçacığın spininin parçacığın hareketi doğrultusu boyunca izdüşümüdür. Böyle iki durum vardır: spinin hareket doğrultusu boyunca oluşu (sağ-helisite) ve spinin hareket doğrultusuna zıt oluşu (sol-helisite). Bir parçacık belirli bir helisite durumunda üretilebilir ve açısal momentum korunumlu olduğundan bu durum doğrudan ölçülebilir. Kütleli parçacıklar için helisite göreli bir nicelik değildir. Eğer nötrinolar kütleli ise helisiteleri gözlem çerçevesine göre değişebilir. Sol-helisiteli kütleli bir nötrino, ışık hızına yakın bir hızla hareket eden bir gözlem çerçevesinden bakıldığında sağ-helisiteli görünür. Aksine, ellilik parçacık spin durumları için göreli bir niceliktir. Spin-1/2 parçacıkları için iki tane ellilik durumu vardır: sol-elli ve sağ-elli. Lepton sayısı ve elektrik yükü gibi parçacığın elliliği bakılan gözlem çerçevesinden bağımsızdır. Ayrıca, bir parçacık kütleli ya da kütlesiz olsun sol-elli ve sağ-elli iki bağımsız bileşene ayrılabilir ve bu gözlem çerçevesi ile değişmez. Ellilik serbest bir parçacık için bir hareket sabiti olmadığından uzay boyunca hareket eden bir spin-1/2 parçacık, helisitesini değiştirmeksizin elliliğini değiştirebilir, dolayısıyla ellilik doğrudan ölçülebilir değildir. 94 EK 1 (Devam) Ellilik nötrino kütlesini tartışmak için de önemli bir kavramdır. Bilindiği gibi spin-1/2 parçacıklarına sıfırdan farklı bir kütle veren herhangi bir etkileşme ya da mekanizma farklı elli parçacıkları birleştirmelidir. Yani etkileşme belli bir elli parçacığı yok edip zıt elli parçacığı yaratmalıdır. Böylece kütleli bir parçacık uzayda hareket ederken sol-elli ve sağ-elli durumlar arasında geçiş yapabilir. Halbuki kütlesiz bir parçacık böyle bir dönüşüme uğramadan helisite ve elliliğini koruyarak hareket eder. Ellilik ve helisite arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek için elektronun sol-elli ve sağ-elli durumları ile e λ helisite durumları arasındaki bağıntı aşağıdaki gibi yazılabilir: m e E 1/2 m e − E -1/2 eL ∝ e-1/2 + eR ∝ e1/2 vv v Burada m, parçacığın kütlesi, E enerjisi ve λ=s.p / p de helisitesidir. (λ=1/2 sağ- helisiteli, λ=-1/2 sol-helisteli). Bu bağıntılar parçacık kütlesizse helisite ve elliğin aynı olduğunu gösterir. Eğer sol-elli bir parçacık göreli ise yani ışık hızına yakın hızda hareket ediyorsa ( m E ) çoğunlukla sol-helisiteli bir durumda bulunur, benzer olarak göreli hızlarda hareket eden bir sağ elli parçacık da çoğunlukla sağ-helisiteli bir durumdadır. Helisite ve ellilik farklı özelliklerine sahip olmasına rağmen birbiri ile bu şekilde yakından ilgilidir. Şekil 1.a’ da (EK 1) Standart Model’ deki elektron ve kütlesiz elektron nötrinosu için helisite ve ellilik durumları, Şekil 1.b’ de (EK 1) ise kütleli Dirac ve Majorana nötrinosu için helisite ve ellilik durumları gösterilmektedir. 95 Şekil 1. a) Standart Model’ deki elektron ve kütlesiz elektron nötrinosu için helisite ve ellilik durumları Şekil 1. b) Kütleli Dirac ve Majorana nötrinosu için helisite ve ellilik durumları 96 EK 2 Cherenkov ışınımı, ışığın sudaki hızından fazla hızlarda suya giren parçacıklar tarafından oluşturulur. Parçacıklar, ışığın yerel hızına doğru yavaşlarken, mavi renkli bir ışık konisi oluşturur. Bu tıpkı bir botun suda giderken arkasında bıraktığı yay şeklindeki dalgalar gibidir. Cherenkov ışınımının en önemli uygulamalarından birisi nötrinoların gözlenmesinde ve farklı tipteki nötrinoların ayırd edilmesinde kullanılmasıdır. Örneğin SK deneyinde Cherenkov ışığını gözlemek için 11000 foto-çoğaltıcı tüp kullanılır. Yine SNO deneyinde de aynı amaç için yaklaşık 10000 foto-çoğaltıcı tüp vardır. Bir enerjik muon yavaşlarken bozulmadan kalır ve muonun Cherenkov konisi dedektör üzerinde çok belirgin dairesel halka şeklinde bir iz bırakır (Şekil 1.a. (EK 2)). Bunun yanısıra, yüksek enerjili bir elektron, yavaşlarken elektron duşu oluşturacağından ve herbirinin ayrı Cherenkov konisi olacağından, dedektör üzerinde birbirine geçmiş halkalar gözükür (Şekil 1.b. (EK 2)). Şekil 1. (a) muon nötrinosu tarafından üretilen (b) elektron duşunun ürettiği Cherenkov ışınımları 97 ÖZGEÇMİŞ 1975 Yılında Erbaa’ da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Erbaa’ da tamamladı. 1991 yılında girdiği Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Mühendisliği Bölümünden 1995 yılında mezun oldu. 1996 yılında A.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Mühendisliği Anabilim Dalında Yüksek Lisans programına kaydoldu ve 1997 yılında A.Ü.F.F. Fizik Mühendisliği Bölümüne Araştırma Görevlisi olarak girdi. 1999 yılında Yüksek Lisans Programını tamamladı. Aynı yıl aynı anabilim dalında Doktora Programına başladı. Mart 2002- Ocak 2003 tarihleri arasında bir yıl TÜBİTAK Bütünleştirilmiş Doktora Programı çerçevesinde ABD’ deki Wisconsin Üniversitesinde misafir araştırmacı olarak bulundu. Halen Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Fizik Mühendisliği Bölümünde Araştırma Görevlisi olarak görev yapmaktadır. 98