BÖLÜM-2 2.1 PERİYODİK TİTREŞİMLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ

BÖLÜM-2
2.1
PERİYODİK TİTREŞİMLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ
(Süperpozisyon)
Kütle-yay problemlerini geri çağırıcı kuvvetin sadece x ile orantılı olduğu
durumlar için inceleyeceğiz, yani Hook yasasının (
) geçerli olduğu
durumu ele alacağız. Bu durumda geri çağırıcı kuvvet x2’ye veya x3’e bağlı
değildir. İçinde x,
ve
gibi zamana göre türevlerinin yalnız
birinci kuvvet terimlerinden oluşan denklemlere çizgisel (linear) diferansiyel
denklem denir. Buna ek olarak denklemde x’den bağımsız bir terim
bulunmazsa denkleme homojen denir. Denklemde x’in veya türevlerinin daha
yukarı kuvvetleri varsa çizgisel olmayan (non linear) diferansiyel denklem
denir.
Çizgisel olmayan denklemlerin çözümü zordur. Ancak pek çok fiziksel durum
için çizgisel denklemler yeterli bir yaklaşıklık sağlarlar. Biz bu ders kapsamında
hemen hemen çizgisel denklemler içeren problemlerle uğraşacağız.
Sabit katsayılı çizgisel homojen diferansiyel denklem örneği olarak
(2.1)
denklemini verebiliriz. Burada a,b,c ve d sabitlerdir.
Çizgisel homojen diferansiyel denklemlerin çok önemli bir özelliği vardır:
Herhangi iki çözümün toplamı da bir çözümdür. Oysa çizgisel olmayan bir
diferansiyel denklemin ayrı iki çözümünün toplamı bir çözüm değildir.
Çözümlerinin üst üste gelmesinin yine bir çözüm olması özelliği yalnız çizgisel
denklemlere özgüdür. Böyle denklemlere uyan salınımlar üst üste gelme
(süperpozisyon) ilkesine uyuyor denir. Homojen olmayan çizgisel denklemler
de üst üste gelme ilkesine uyarlar..
1
Burada üst üste gelme ilkesi için bazı özel durumları inceleyeceğiz. Şu anda
sadece matematiksel bir problem olarak ele alacağız. Sonuçların fiziksel
uygulanabilirliğine daha sonra bakacağız. Ancak bu kavramların iyi öğrenilmesi
gerekir, ilerde gerektiği yerlerde bu bilgileri hazır olarak alıp kullanacağız.
2.1.1 Bir boyutta eşit frekanslı titreşimlerin üst üste gelmesi
Tek boyutta x-ekseni doğrultusunda, aynı frekanslı iki basit harmonik hareketin
üst üste gelmesini ele alalım. Bu iki BHH’in aşağıdaki eşitliklerle tanımlı
olduğunu kabul edelim.
(2.2a)
(2.2b)
Burada
ve
genlikleri,
ve
faz sabitlerini ve
açısal frekansı
göstermektedir. Bunların cebirsel toplamı üst üste gelmeyi verir:
(2.3)
Bu toplamı elde etmek için iki farklı yöntem kullanacağız.
2.1.2.Geometrik yöntem
Yukarıdaki
toplamı
elde
etmek
için
BHH’nin
dönme
vektörü
ile
tanımlanmasını kullanabiliriz. Başka bir deyişle geometriden faydalanırız.
ile temsil edilen BHH’i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörü ile,
ile temsil edilen BHH’i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vektörü ile temsil edelim (Şekil-2.1)
Şekil-2.1 Aynı doğrultuda iki BHH’in geometrik yöntemle toplanması.
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x bileşeni için
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x bileşeni için
⃗⃗⃗⃗⃗ bileşke vektör için ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
yazabiliriz. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ile ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ arasındaki açının
’e eşit olduğu açıktır.
OP1P taralı üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa
(2.4)
eşitliği elde edilir.
⃗⃗⃗⃗⃗ vektörü ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörü ile  açısı yapar. Şekildeki OPH ve P1PH dik
üçgenlerinden
ve
(2.5a)
yazılabilir. Buradan
(2.5b)
yazılabilir. ⃗⃗⃗⃗⃗ bileşke vektörünün x-ekseni üzerindeki izdüşümü
(2.6)
ifadesi ile verilir. Burada A genliğinin
[
]
(2.7)
ifadesi ile verildiğini tekrar hatırlayalım. Faz sabitinin de  = 1+  verileceği
açıktır. Eşitlik-2.4 ve 2.5 eşitlikleri kullanılarak



açısı için

[
(2.8)
]
ifadesini yazabiliriz.
Sonuç olarak bir cisim, frekansları aynı, genlikleri ve faz sabitleri farklı, aynı
doğrultuda titreşim hareketi yapıyorsa bu iki hareketin üst üste gelmesini
BHH’in vektör temsilini kullanarak nasıl elde edileceğini görmüş olduk. Bileşke
vektörün büyüklüğü (2.7) bağıntısı ile ve fazı ise (2.8) bağıntısı ile tanımlıdır.
3
2.1.3 Kompleks üstel fonksiyonların toplanması yöntemi
Şimdi aynı problemi BHH’in üstel kopleks fonksiyonla temsilini kullanarak ele
alalım.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörüne karşı kompleks uzayda
kompleks vektörünü,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektörüne karşı kompleks uzayda
kompleks vektörünü,
yazabiliriz. Bu iki vektörün toplamını
[
]
(2.9)
şeklinde ifade edebiliriz. Parantez içindeki terimleri ele alalım

terimi
kompleks vektörünün t=0 anındaki değerine karşı gelir.

terimi
kompleks vektörünün t=0 anındaki değerine karşı gelir.
Bu iki vektörün toplamı Şekil-2.2’da verilmiştir.
Şekil-2.2. Kompleks düzlemde
vektörünün gösterimi (t=0 anı)
Bu şekil kullanılarak ⃗⃗⃗⃗⃗ kompleks vektörü için
(2.10)
yazabiliriz. Bu durumda z kompleks vektörü için
[
]
(2.11)
yazabiliriz. Burada
(2.12)
olduğunu hatırlarsak
4
(2.13)
, A’nın
sonucunu elde ederiz. Burada
döndürülmesinden;
[
]
kadar saat ibrelerinin tersi yönünde
’nin
ise
kadar
döndürülmesinden elde edildiğine dikkat ediniz. z kompleks vektörünün reel
bileşeni
ile verilir. Kompleks üstel fonksiyon kullanılarak üst
üste gelme olayını analiz etmek mümkündür. Kompleks fonksiyon kullanımı
çok daha kolay olmaktadır. İleride bu yöntemi sık sık kullanacaksınız.
Şekil-2.2 kullanılarak A genliği için
[
]
(2.14a)
veya
[
]
(2.14b)
şeklinde yazabiliriz.
faz sabiti için ise
(2.15)
yazılabilir. Sonuç olarak
eşitlikleri ile tanımlı iki BHH’in üst üste gelmesinden oluşan bileşke hareket de
BHH olup
(2.16)
ifadesi ile temsil edilebilir. Burada A ve
değerleri sırasıyla Eşitlik-2.14 ve
Eşitlik-2.15 ile tanımlıdır.
2.1.4 Aynı doğrultuda titreşen, eşit frekanslı ve eşit genlikli titreşimlerin
toplanması
Şimdi üst üste gelen titreşimlerin frekanslarının ve genliklerinin eşit olduğu
(A1=A2) özel duruma bakalım (Şekil-2.3).
5
Şekil-2.3
İki titreşim arasındaki faz farkını
ile gösterelim
(2.17)
veya
⁄
(2.18)
yazabiliriz. Şekil-2.3’den
⁄
(2.19)
yazılabilir. Bu durumda OP’nin x-ekseni üzerindeki izdüşümü için
(2.20)
yazılabilir.
Elde edilen bu sonuç iki benzer hoparlörün aynı sinyal üretecinden sinüzoidal
olarak sürüldüğü ve bunların ses titreşimlerinin Şekil-2.4’de görüldüğü gibi
uzakta bir noktadaki mikrofondan algılandığı durumda, bu çeşit üst üste gelme
elde edilebilir. Eğer mikrofon OB çizgisi boyunca hareket ettirilirse  faz farkı,
O’daki sıfır ilk durumdan itibaren düzenli bir şekilde artar. Eğer ses dalgalarının
dalga boyu, iki hoparlör arasındaki uzaklıktan daha kısa ise, A bileşke
vektörünün genliği OB noktaları arasında birkaç noktada sıfıra düşer ve sıfırlar
arasındaki noktalarda 2A1 genliğine sahip maksimumlara ulaşır. Bu konu daha
ileriki konularda ayrıntılı olarak incelenecektir. Laboratuvar dersinizde bu
deneyi yapacaksınız. Benzer deneyi mikrodalga ve görünür ışık kaynakları
kullanarak da gerçekleştirebilirsiniz.
6
Şekil-2.4. Aynı kaynakla (Osilatör) beslenen özdeş iki hoparlörden yayınlanan
sinyallerin üst üste gelmesini incelemek ve ayrıca mikrofonun konumunun bir
fonksiyonu olarak faz farkını algılamak için bir düzenek.
2.1.5 Tek boyutta frekansları farklı titreşimlerin üst üste binmesi ve
vurular (beats)
Bir doğru boyunca titreşen, genlikleri A1 ve A2, açısal frekansları
1
ve
2
olan
iki titreşimin üst üste geldiği durumu düşünelim (Şekil-2.5).
Şekil-2.5. Farklı frekanslı dönme vektörlerinin toplanması.
Basitlik olması bakımından titreşimlerin faz sabitlerinin sıfır olduğunu kabul
edelim. Bu iki titreşimi
fonksiyonları ile tanımlayabiliriz. Bileşke vektörün OP uzunluğu, A1 ve A2
vektörlerinin toplamı ve farkı arasında bir değere sahip olacaktır. x-eksenindeki
7
yer değiştirmenin büyüklüğü Ox ise A1+A2 ve sıfır arasında yer alır.
1
ve
2
arasında bir ilişki olmadıkça bileşke yer değiştirme, zamanın karmaşık bir
fonksiyonu olacaktır.
Eğer iki BHH’nin frekansları birbirine çok yakın ise böyle üst üste gelmeler
vuru (beat) olarak adlandırılır. Eğer eşit genlikli (
) BHH’lerin
toplamını göz önüne alırsak vuru olayını kolayca analiz edebiliriz. Genliklerin
eşit olma durumunda bileşke titreşim hareketi için
[
(
)]
(
)
(2.21)
ifadesini yazabiliriz.
Bileşke titreşimin frekansı
olacaktır. Bu değer iki titreşimin
frekanslarının ortalamasıdır yani
titreşimin genliği
modülasyonu denir. Bu nedenle
yazabiliriz. Bileşke
frekansı ile değişir. Bu olaya genlik
değeri modülasyon frekansı
olarak adlandırılır yani,
(2.22)
yazabiliriz.
Genlik değişimini belirleyen
fonksiyonu -1 veya
+1'e eşit olursa bir tam vuru veya bir maksimum genlik meydana gelmiş olur.
Bir saniyedeki vuruların sayısı (yani vuru frekansı) modülasyon frekansının iki
katına eşittir. Bu durumda vuru ve modülasyon frekansları arasındaki ilişkinin
(2.23a)
veya
(2.23b)
şeklinde yazılacağı açıktır. Sonuç olarak vuru frekansı modülasyon frekansının
iki katına eşittir. Ayrıca bir saniyedeki vuru sayısı (
farka (
) frekanslar arasındaki
) eşittir. Burada f1>f2 kabul edilmiştir. Şekil-2.6’da genlikleri eşit
fakat frekansları f1 = 700 Hz ve f2 =600 Hz olan iki titreşimin üst üste gelmesi
8
ile elde edilen tipik bir vuru şekli verilmiştir.
Şekil-2.6. Genlikleri eşit, f1 = 700 Hz ve f2 =600 Hz olan iki titreşimin üst üste
gelmesinden oluşan vurular.
2.1.7 Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesi
Bundan önce üst üste binmiş iki titreşim için anlatılan yöntemler çok sayıda
titreşimin üst üste gelmesi için genelleştirilebilir. Aynı fekans, aynı genlikli ve
birbirlerini eşit faz farkı ile takip eden çok sayıda BHH’nin üst üste gelmesi
optikte çok kaynaklı girişim etkilerinin analizinde ve diğer dalga olaylarının
analizinde kullanılacaktır. Şekil-2.7’de genlikleri eşit (A0) olan, birbirini aynı
faz farkı () ile takip eden aynı frekanslı N-tane dönme vektörünün üst üste
gelmesini göstermektedir.
Şekil-2.7. Birbirini aynı faz farkı ile takip eden eşit genlikli ve frekanslı
dönme vektörlerinin üst üste gelmesi. Küçük şekilde OCB ikiz kenar
üçgeninin OB kenarına orta dikmesi aynı zamanda OCB açısına ait açı ortayı
göstermektedir.
9
Bileşen titreşimlerden birincisini temsil eden ⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x-bileşeni,
(2.24)
ve bileşke vektörünü temsil eden ⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x-bileşeni ise,
(2.25)
ifadesi ile tanımlanabilir.
2.1.8
Geometrik yöntem ile analiz
Geometriden yararlanarak, vektörlerin düzgün bir çokgen (tamamlanmamış)
oluşturmak üzere uç uca getirilmeleri şeklinde görebiliriz. Böylece çokgen C
merkezli ve R yarıçaplı bir dairenin parçası olarak düşünülebilir (Şekil-2.7).
Çokgenin köşeleri çember üzerindedir ve her biri A0 genliğine sahip
titreşimleri gösteren vektörlerin C noktasına göre yapmış olduğu açılar eşit
ve  dır. OCP toplam açısı ise N olacaktır. Buradan aşağıdaki eşitlikler
yazılabilir:
⁄
(2.26a)
⁄
(2.26b)
⁄
(2.26c)
⁄
Aynı zamanda A bileşke vektörü (⃗⃗⃗⃗⃗ ) ile birinci vektör (⃗⃗⃗⃗⃗ ) arasındaki 
faz açısı için
̂
̂
[
δ/2] [
]
(2.26d)
eşitliği elde edilir.
Eşitlik-2.26c ve 2.26d’de verilen değerler Eşitlik-2.25’de kullanılarak
bileşke ⃗⃗⃗⃗⃗ vektörünün x bileşeni için
⁄
⁄
[
]
(2.27)
ifadesini yazabiliriz. Bu ifadeyi ileride kırınım ağını (ızgara) incelerken
kullanacağız.
10
2.1.9 Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesinin kompleks
gösterim yöntemi ile analizi
Yukarıdaki problemi kompleks gösterimi kullanarak da analiz edebiliriz. xekseni boyunca eşit frekanslı, eşit genlikli, arda arda gelen dönme vektörleri
arasındaki faz farkı () aynı olan N-tane üst üste binmiş titreşimlerin toplamı
(2.28)
şeklinde yazılabilir. Bu toplamı aşağıdaki gibi kompleks vektörlerin toplamının
reel bileşeni olarak da düşünebiliriz.
z1= ei kısaltmasını kullanarak bileşke kompleks vektörü
(
)
(2.29)
şeklinde yazabiliriz.
Burada parantez içindeki toplam bir geometrik seridir. Geometrik serinin
toplamını hatırlayalım
∑
(2.30)
Bu eşitliğin her iki tarafını r ile çarpalım
(2.31)
Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkarırsak.
(2.32)
sonucunu elde ederiz. Buradan
toplamı için
(2.33)
ifadesini elde ederiz. Burada
kısaltmaları
ve
yapıldığında,
(
)
(2.34)
elde edilir. Bu eşitliği biraz daha farklı düzenleyerek geometrik yöntemle elde
11
edilen sonuca benzetebiliriz:
(
)
⁄
](
[
⁄
⁄
[
]
⁄
⁄
⁄
)
⁄
)
⁄
)
⁄
⁄
[
]
⁄
burada
⁄
⁄
⁄
](
[
⁄
(
⁄
⁄
⁄
dır. z’nin x-bileşeni için
⁄
(2.35)
⁄
elde edilir. Bu ifade daha önce Eşitlik-2.27’de elde ettiğimiz sonuç ile aynıdır.
Ancak burada herhangi bir şekil çizmeksizin sadece cebirsel işlemler yapılarak
sonuca ulaşılmıştır. Bu sonuca ulaşmanın daha kolay olduğuna dikkat ediniz.
2.1.10 Birbirine dik iki titreşimin üst üste gelmesi
Şimdiye kadar bir boyutta üst üste gelmiş titreşimleri inceledik. Şimdi birbirine
dik doğrultuda ilerleyen iki harmonik hareketin üst üste gelmesini tartışacağız.
Böyle bir hareketi şekildeki gibi (Şekil-2.8) bir hava masasında gerçekleştirmek
mümkündür (Bu deneyi Fiz. Lab-I dersinde yaptınız). Benzer deneyleri Fiz.
Lab-IV dersinde osiloskop kullanarak da yapacaksınız.
Şekil-2.8-Yatay düzlemde birbirine dik iki BHH’in üst üste binmesini
gerçekleştirecek deneysel düzenek.
12
Şekildeki dört yaya bağlı kütleyi biraz sağa ve biraz da yukarı çekip bırakırsak,
kütle düzlemde x ve y doğrultusunda iki BHH hareketi yapar. Burada kütlenin x
ve y eksenindeki yer değiştirme miktarının
(36a)
(36b)
ifadeleri ile belirleyebiliriz. Burada
1
ve
2
sırasıyla x ve y doğrultusundaki
hareketlerin açısal frekanslarıdır. Bu hareketi, dönme vektörü tekniğinin ikili
uygulaması ile ifade edebiliriz. Bunu yapmanın yolu Şekil-2.9’da gösterilmiştir.
Şekil-2.9.Birbirine dik olarak hareket eden BHH’lerin üst üste gelmelerininin
geometrik gösterimi.
Yukarıdaki şekilde, yatay
harekette açılar +x-ekseninden itibaren saat
ibrelerinin tersi yönünde; düşey harekette açılar +y-ekseninden itibaren saat
ibrelerinin tersi yönünde ölçüldüğüne dikkat ediniz.
x-eksenindeki BHH, –A1 ile +A1 arasında ; y-eksenindeki BHH ise –A2 ile +A2
arasında olacaktır. İki farklı yönde ilerleyen hareketin fazları arasındaki ilişki ne
olursa olsun, P noktasının hareketi her zaman dikdörtgen içinde sınırlıdır ve
dikdörtgenin kenarları P1 ve P2 noktalarının x ve y yer değiştirmelerine teğettir.
13
İzlenecek yol aşağıda özetlenmiştir:
 Önce kenar uzunlukları x-ekseninde 2A1 ve y-ekseninde 2A2 olan bir
dikdörtgen çizilir.
 C1 merkezi düşey eksen üzerinde olan ve yarıçapı A1 olan bir çember çizilir
hareketini temsil için).
(
 C2 merkezi yatay eksen üzerinde olan ve yarıçapı A2 olan bir çember çizilir
hareketini temsil için).
(
 Bu çemberlerin birincisi P1 noktasının C1X yer değiştirmesini tanımlamak
için; ikincisi ise P2 noktasının C2Y yer değiştirmesini tanımlamak için
kullanılır.
 Bu x ve y yer değiştirmesi birlikte O noktasına göre P noktasının herhangi bir
andaki konumunu tanımlar. O noktası dikdörtgenin orta noktasıdır.
 İki yer değiştirme birlikte O orijinine göre P noktasının herhangi bir andaki
konumunu tanımlar.
 Eğer
1
ve
2
orantılı değilse yani
1/
2
oranı 1, 2, 3,… veya 1/2, 1/3,
1/4,… gibi değilse faz ve frekanslar hakkında fazla bir şey söylenemez.
2.1.11 Eşit frekanslı dik titreşimler
Şimdi aynı frekanslı birbirine dik doğrultuda titreşen iki basit harmonik
hareketin üst üste gelmesini ele alacağız:
(2.37a)
(2.37b)
Burada
(2.38)
trigonometrik özdeşliği kullanılarak,
(2.39a)
(2.39b)
yazabiliriz. (2.39a) eşitliğini
ile ve (2.39b) eşitliğini
ile çarpalım ve
14
taraf tarafa çıkaralım.
[
]
veya
(2.40a)
elde ederiz.
Benzer şekilde (2.39a) eşitliğini cos
ile ve (2.39b) eşitliğini cos
ile
çarpalım ve taraf tarafa çıkaralım,
(2.40b)
eşitliğini elde ederiz.
Eşitlik (2.40a) ve (2.40b)’nin kareleri alınıp taraf tarafa toplanırsa
(2.41)
sonucu elde edilir. Bu ifade elipsin genel denklemidir.
Şimdi faz farkının
bazı özel durumları için analiz yapalım:
Bu koşulda
olacağından, (2.41) eşitliği
şeklini alır. Buradan da
(2.42)
sonucu elde edilir. Bu durumda hareket doğrusal olup, Şekil-2.10a’deki
dikdörtgenin köşegeni boyunca BHH yapar.
15
Şekil-2.10a
ii)
Bu durumda
cos = -1, sin = 0 olacağı için (2.41) eşitliği
şeklinde yazılabilir. Buradan
( = , 3 )
sonucunu elde ederiz. Bu hareket,
durumundaki harekete
benzemektedir ancak bu sefer dikdörtgenin diğer köşegeni boyunca doğrusal
BHH yapar (Şekil -2.10b)
Şekil-2.10b
iii)  = /2, 3 /2
Bu durumda (64) eşitliği
şeklini alır. Bu ifade, temel eksenleri x ve y eksenleri boyunca olan bir elipsin
denklemidir (Şekil-10c). Burada  = /2 durumu için elipsin saat ibrelerinin
tersi yönünde,  = 3 /2 durumu için ise saat ibreleri yönünde çizildiğine dikkat
16
ediniz. A1 = A2 = A olması durumunda bu elipsler A yarıçaplı çembere dönüşür.
Şekil-2.10c
iv)  = /4, 7 /4

√
√

ve
√
Şekil-2.10d
v)

 = 3 /4, 5 /4
√
ve

√
√
Şekil-10e
Bunları elektromanyetik dalgaların kutuplanmasını incelerken kullanacağız.
17
2.1.12 Farklı frekanslı dik titreşimler: Lissajous eğrileri
Farklı frekanslı birbirine dik BHH yapan bir cismin çizmiş olduğu yörüngelere
Lissajous eğrileri denir. Bu ders kapsamında bu olayın ayrıntılarına
girmeyeceğiz. Şimdi frekansları farklı iki dik hareketi
(2.43a)
(2.43b)
şeklinde yazabiliriz. Bu iki denklemde t elimine edilerek x ve y arasında elde
edilen ilişki yörüngeyi belirler. Açısal frekans oranına (
1/
2)
ve iki titreşim
arasındaki faz farkına ( = 1-2) bağlı olarak çeşitli yörünge şekilleri elde
edilir. Örneğin,
2
=2
1
ve  = /4 için Lissajous eğrisinin çizimi Şekil-2.11’de
verilmiştir.
Şekil-2.11
Lissajous şekillerden faydalanarak akustik ölçümlerde bilinmeyen frakansları
tayin
etmek
mümkün
olmaktadır.
Hazır
matematik
programlarından
yararlanarak Lissajous eğrilerini elde edebilirsiniz. Daha sonra size verilecek
örnek problemleri incelemenizi öneririz.
Şekil-2.12’da
,
fonksiyonları ile tanımlı
birbirine dik iki harmonik hareketin toplamından oluşan çeşitli Lissajous
eğrileri verilmiştir. Bu eğrilerin çiziminde
frekanslar oranının (
alınmıştır. Her satırda
ve her sütunda ise faz sabitinin ( ) farklı olduğuna
dikkat ediniz.
18
Şekil-2.12. Çeşitli Lissajous eğrileri.
19
ÖRNEK-1
[
Aşağıdaki ifadeleri
] formunda yazınız.
a)
(
b)
)
c)
(
d)
)
(French-p2.1)
Çözüm:
a)
√
 √
√
ve
 √
bu değerleri
yukarıdaki ifadede yerine yazalım,
√
√
√
elde ederiz. Bunu ise
(
[√
)
]
şeklinde ifade edebiliriz.
(
b)
(
)
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
Bu sonuç
[
(
)
]
şeklinde yazılabilir.
20
c)
Şekildeki dik üçgenden
√

√
ve

√
√
Yazabiliriz. Bu değerler verilen ifadede yerine yazılırsa
√
√
√
sonucu elde edilir. Bu sonuç
[√
]
şeklinde ifade edilebilir. Burada
(
d)
‘dir.
)
(
)
Burada a-şıkının sonucu kullanılırsa
√
elde edilir. Bu değer yerine yazılırsa
√
(
(
)
√ )
(
(
)
(√
)
)
(
[(√
)
)
(
)
]
veya
[(√
)
(
)
]
[(√
)
(
)
]
yazılabilir.
21
ÖRNEK-2
Bir parçacık aynı frekanslı ve x-ekseni doğrultusunda üç BHH’ye aynı zamanda
maruz kalmaktadır. Eğer BHH’lerin genlikleri sırasıyla 0,25, 0,20 ve 0,15 mm
ve birinci ile ikinci BHH arasındaki faz farkı 45, ikinci ile üçüncü BHH
arasındaki faz farkı 30 ise bileşke hareketin yer değiştirmesinin genliğini ve
birinci BHH’ye göre (genliği 0,25 mm olan) faz farkını bulunuz. (French, p2.2)
Çözüm:
BHH’lerin bileşkesi aşağıdaki vektör diyagramı kullanılarak incelenebilir.
OPR üçgeninde kosinüs teorimini kullanarak
Buradan
bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden
yazabiliriz. Buradan
veya
bulunur.
Benzer şekilde ORQ üçgeninden
Buradan
bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden
yazabiliriz. Buradan
veya
bulunur.
22
dersek
(
olur. Sonuç olarak A
ve
A1 ile A arasındaki açıya
veya
)
bulunur.
ÖRNEK-3
Aynı doğrultuda iki titreşim hareketi
10πt ve
eşitlikleri ile tanımlıdır. Vuru periyodunu bulunuz ve bir vuru periyodu için
bileşke hareketin yer değiştirmesinin grafiğini çiziniz. (French-p2.3)
Çözüm:
Bileşke hareket için
yazabiliriz. Burada
ve
olduğunu hatırlayınız. Verilen ifadelerden
olduğu açıktır. Buradan vuru frekansı için
ve

;
bulunur. Vuru periyodu ise
olur.
Bileşke hareketin yerdeğişimi aşağıdaki şekilde verilmiştir.
2
1
y ( t) 0
1
2
0
0.5
1
1.5
2
t
23
ÖRNEK-4
Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde eşit frekanslı titreşim
hareketi yapıyor. Bu titreşim hareketleri
ve
eşitlikleri ile tanımlıdır. Lissajous eğrisini geometrik yöntemle çiziniz.
Çözüm:
Yatay hareketi temsil için yarıçapı
ve düşey hareketi temsil için ise
yarıçaplı çemberleri çizeriz. İki hareket arasında
kadarlık faz farkı
olduğuna dikkat ediniz. Bu nedenle çember-1 üzerinde
aralıklarla noktalar
işaretlemek şekli belirlemek için yeterlidir (Siz daha fazla örnekleme aralığı
seçebilirsiniz). +x-ekseninden itibaren
aralıklarla döneriz ve çember-2
üzerinde buna karşı gelen noktaları işaretleriz. Noktalara karşılıklı aynı
numaralar veririz. Aynı numaraları noktalardan x-eksenine ve y-eksenine
şekildeki gibi dikmeler ineriz. Bu dikmelerin kesiştiği noktalara da aynı
numaraları veririz. Şekildeki dikdörtgen içerisine düşen bu noktaları sırası ile
birleştirirseniz saat ibreleri yönünde çizilmiş elipsi elde edersiniz. Bu şekli daha
önce analitik yöntemle de elde ettiğimizi hatırlayınız (Ders notlarına bakınız).
24
ÖRNEK-5
Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde titreşim hareketi
yapıyor. Bu titreşim hareketleri
ve
eşitlikleri ile tanımlıdır.
a) Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin
analitik ifadesini türetiniz.
b) a=b=2 özel durumunda meydana gelecek Lissajous eğrisini geometrik
yöntemle çiziniz.
Çözüm:
Titreşim hareketlerini tanımlayan eşitlikler:
Burada
√
ve buradan
yazılabilir.
eşitliğinden
elde edilir ve
ifadesinde
yerine yazılırsa
(
)(
)
elde edilir.
b) Lissajous eğrisinin şekli aşağıda verilmiştir (Geometrik yöntemle
çizilmiş).
25
ÖRNEK-6
Birbirlerine dik iki titreşim,
ve
ifadelerine
uymaktadır. Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous
eğrisinin grafiğini aşağıda verilen şekilden yararlanarak, çiziniz. Çizimi şekil
üzerinde gösteriniz. Şekildeki çemberler radyan’lık eşit açılara bölünmüştür.
Çözüm:
26
Not 1: 1. Çemberde seçilen
açısına karşı 2. Çemberde
alındığına
dikkat ediniz. Şekildeki noktalar bu yöntemle elde edilmiştir. Şekildeki
noktaları sırasıyla birleştirirseniz Lissajous eğrisini elde edersiniz.
Not 2: Yatay teğete 2 nokta, düşey teğete 1 nokta değdiğine dikkat ediniz. Bu
durum frekanslar oranına karşı gelir yani
dir.
Not 3: Lissajous eğrisini çizen yazılım programları vardır. Aşağıdaki şekil
ve
fonksiyonları mathcad programında
kullanılarak çizilmiştir.
27