2012 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ oluşturmada, aralarında ilişki kurmada ve onları yorumlamada mantıklı düşünme öne çıkar. Mantıklı düşünce ile en iyi uyum sağlayan bilim dalı matematik olarak bilinir. Ünlü fizikçi Einstein (Aynştayn)’ın “Matematik mantıklı düşünce yoludur.” sözü de bilinen bu gerçeği vurgulamaktadır. Eğer bir birey mantık kavramını tam olarak öğrenir ve sembolik mantığı doğru kullanabilirse matematiği öğrenmede de büyük kolaylık sağlar düşüncesi vardır. O nedenle bireye mantıklı düşünme yollarını kazandırma matematik öğretiminin genel amaçları arasında yerini almıştır. 1. ÜNİTE: MANTIK İnsan diğer canlılardan ayıran en önemli özelliklerden biri düşünebilme yeteneğidir. Bireyler karşılaştıkları günlük olayları akıl süzgecinden geçirerek anlamlı kılarken, analiz ederken ya da olası sonuçları tahmin ederken düşünce üretirler. Dolayısı ile bireyler arası yarışmalarda problemlerin çözümünde düşünce üretiminin öne çıkarılması önemli bir göstergedir. Hemen her olguda olduğu gibi doğru düşünme kurallarının ortaya çıkması da tarih içinde bir gelişim izlemiştir. Buna bir başlangıç noktası seçilemez. Ancak, Antik Çağ’dan günümüze gelen kanıtlarda mantık ile uğraşan düşünürlerin var olduğu görülmektedir. Bunlar arasında, mantık biliminin oluşmasında en etkili olanı Aristoteles (Aristo)’dur. MÖ 600-300 yıllarında ortaya çıkan usa vurma kurallarını Aristoteles sistemleştirmiştir. Organon (Alet) adlı 14 “usa vurma kuralı, syllogism (selocizm)” ortaya koymuştur. Bu kurallar, bugünkü biçimsel mantığın temellerini oluşturmaktadır ve 2000 yılı aşkın bir zaman dilimi içinde insanoğlunun düşünme ve doğruyu bulma eylemini etkilemiştir. Organon, insanlığa bırakılmış en büyük miraslardan biridir. Kısacası yaşamımız boyunca düşünme, hepimiz için çok önemlidir. Ancak ondan da önemlisi oluşturulan düşüncenin dayanaklarının doğru, kanıtlanmış, bilinen, görülen ve elde edilen doğrulardan yola çıkılarak üretilmiş olmasıdır. Düşüncenin bir başka özelliği karşısındakini de düşünce üretmeye yöneltmesidir. Böylesine anlamlı düşünme ve akıl yürütme yoluna “Mantık” dendiği bilinmektedir. Öyleyse mantık, temelleri yaklaşık 2500 yıl önce Aristo tarafından atılan, günümüze kadar sürekli geliştirilen, anlamlı ve sistemli düşünce üretme kurallarına dayanan bir yapıdır, denebilir. Günümüzde mantık, “Aristo Mantığı” ve “Sembolik Mantık” adlı iki ana başlık altında işlenmektedir. Yine bilindiği gibi “Sembolik Mantık” da kendi içinde iki alt başlığa ayrılmaktadır. Terim ve Tanım Bir bilim dalıyla ilgili özel anlam içeren sözcüklere, o bilim dalının terimleri denir. Bir terimin anlamını belirlemeye o terimi tanımlamak denir. Matematikte herhangi bir terim kendisinden önce tanımlanmış olan terimlerden yararlanılarak tanımlanırsa bu terime tanımlı terim adı verilir. Bazı terimleri ise tanımlayamayız, sezgi yoluyla kavrarız. Bu terimlere tanımsız terimler adı verilir. Nokta terimi tanımsız bir terimdir. Buna karşılık eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgen şeklinde tanımlanan bir tanımlı terimdir. Tanımın Özellikleri 1. Tanım, tanımsız terimlere ya da daha önce tanımlanmış terimlere dayanmalıdır. 2. Tanım, daha önce (başka terimler İçin) yapılan tanımlarla çelişmemelidir. 3. Tanım, terimi hiçbir şüphe bırakmayacak kadar kesin olarak tanımlamalıdır. Önerme: Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı verilir. Önermeler p, q, r, s, t… gibi harflerle isimlendirilir. Matematiksel mantık önermelerle uğraşır. Her önerme bir yargı, bir bildirim, bir bilgidir. Önermelerin Doğruluk Değeri Bir önermenin doğru ya da yanlış olması, bu önermenin doğruluk değeridir. Önerme doğru ise doğruluk değeri “1” ya da “D” ile, yanlış ise doğruluk değeri “0” ya da “Y” ile gösterilir. Doğruluk değerleri genellikle doğruluk tablosu denilen bir tablo ile gösterilir. Matematikçilerin çok kullandığı bu alt başlıklardan biri Önermeler Mantığı diğeri de Niceleyiciler Mantığı’dır. Bilim dallarının tümünde ana dayanak olarak mantıklı düşünce kullanılır. Bilimin kavramlarını 1 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ Birbirinden bağımsız n tane önermenin doğruluk tablosunda 2n tane farklı değer satırı bulunur. p q Böyle bir tablo oluşturmak için: 1. Önce bağımsız önerme sayısı tespit 1 1 edilir. Bağımsız önerme sayısı n ise 1 0 tabloya tane değer satırı ve önerme 0 1 sayısı kadar sütun çizilir. İlk n sütuna 0 0 bağımsız değer alan önermeler yazılır. 2. İlk sütunda satırların ilk yarısı 1, diğer yarısı 0 ile doldurulur. 3. İkinci sütunda, ilk sütunda 1 olan satırların ilk yarısı 1, ikince yarısı 0; ilk sütunda 0 olan satırların ilk yarısı 1, ikinci yarısı 0 olarak doldurulur. 4. Bağımsız değer alan önermelere ait satırlar bir önceki sütuna bakılarak 3. adıma benzer şekilde doldurulur. 5. Bağımsız değer alamayan önermelere ait satırlar bağlaç ve değilleme kurallarına göre doldurulur. “VE” İLE “VEYA” BAĞLAÇLARININ ÖZELLİKLERİ Her p, q, r önermesi için, 1. p ∨ p ≡ p ve p ∧ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği) 2. p ∨ q ≡ q ∨ p ve p ∧ q ≡ q ∧ p (Değişme özelliği) 3. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ve (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (Birleşme özelliği) 4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ve p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Soldan dağılma özelliği) özellikleri vardır. De Morgan Kuralları Her p ve q önermesi için, (p ∨ q)ˊ ≡ pˊ ∧ qˊ ve (p ∧ q)ˊ ≡ pˊ ∨ qˊ dir. Bu denklikleri ilk bulan Augustus De Morgan (Ogust Dö Morgın) olduğu için, bu kurallara De Morgan Kuralları denir. Denk Önermeler Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önermeler adı verilir. Denklik ≡ şeklinde gösterilir. "Senenin dokuzuncu ayındayız" önermesi ile "Eylül ayındayız" denk önermelerdir. İSE BAĞLACI (Koşullu Önerme) “⇒” İse bağlacı ⇒ sembolü ile gösterilir. İse bağlacı ile bağlanmış p ile q önermeleri p ⇒ q biçiminde yazılır. p ise q diye okunur. p ⇒ q bileşik önermesine koşullu önerme denir. p ⇒ q önermesinde verilen p ve q önermelerinin; Yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q önermesinin karşıtı denir. p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p olarak gösterilir. Olumsuzları alınarak elde edilen önermeye p ⇒ q önermesinin tersi denir. p ⇒ q önermesinin tersi pˊ ⇒ qˊ olarak gösterilir. Hem olumsuzları alınıp hem de yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q önermesinin karşıt tersi denir. p ⇒ q önermesinin karşıt tersi qˊ ⇒ pˊ olarak gösterilir. p ve q önermeleri için p ⇒ q ≡ pˊ ∨ q dur. Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) Hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan yeni önerme, bu önermenin olumsuzu (değili) olarak adlandırılır. p önermesinin değili veya olumsuzu ve p' şeklinde gösterilir. ( ) Bir önerme ile değilinin değili denktir: "Ev sıcak" önermesinin değili, "ev sıcak p pˊ değil"; 1 0 "a = 5" önermesinin değili “a≠5” 0 1 önermesidir. BİLEŞİK ÖNERMELER İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ise, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla birleştirilmesinden elde edilen önermelere bileşik önerme adı verilir. Bileşik olmayan önermelere basit önerme denir. p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0∨0≡0 diğer hallerde 1 1∧1≡1 diğer hallerde 0 1⇒0≡0 diğer hallerde 1 1⟺1≡1 veya 0⟺0≡1 diğer hallerde 0 ANCAK VE ANCAK BAĞLACI (İki Yönlü Koşullu Önerme) “⇔” Ancak ve ancak bağlacı ⇔ sembolü ile gösterilir. Ancak ve ancak bağlacı ile bağlanmış p ile q önermeleri p ⇔ q biçiminde yazılır. p ancak ve ancak q diye okunur. Her p ve q önermeleri için, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) dir. TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ Bileşenlerinin doğruluk değerlerinden bağımsız olarak, her zaman doğru olan bileşik önermelere 2 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ totoloji; bileşenlerinin doğruluk değerlerinden bağımsız olarak, her zaman yanlış olan bileşik önermelere ise çelişki denir. Teoremin hipotezinin doğruluğundan yola çıkarak hükmünün de doğru olduğunun gösterilmesine doğrudan ispat yöntemi denir. Hükmün olumsuzundan hareketle hipotezin olumsuzunu elde etmeye olmayana ergi yöntemi ile ispat denir. Hipotezin doğru olduğu kabul edilip hükmün olumsuzunun hipotez ile çeliştiğinin gösterilmesine çelişki yöntemi ile ispat denir. Bir önermenin yanlışlığı için olumsuz bir örnek bulunarak ispatlama yöntemine aksine örnek vererek ispat yöntemi denir. AÇIK ÖNERMELER İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenin aldığı değerlere göre doğru ya da yanlış hüküm bildiren önermelere açık önerme denir. Değişkenin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin kümesine açık önermenin doğruluk kümesi denir. Denklem ve eşitsizlikler de birer açık önermedir. “HER” VE “BAZI” NİCELEYİCİLERİ “∀” VE “∃” Bazı niceleyicisi ∃ sembolü ile gösterilir, en az bir anlamına da gelir. Bu niceleyiciye varlıksal niceleyici denir. Her niceleyicisi ∀ sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir. Bazı niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi, her niceleyicisinin olumsuzu da bazı niceleyicisidir. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. İSPAT YÖNTEMLERİ, TANIM, AKSİYOM VE TEOREM Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere aksiyom adı verilir. p≡1 olmak şartıyla, p⇒q koşullu önermesi doğru ise bu önermeye teorem denir. p⇒q teoreminde, p önermesi hipotez, q önermesi hüküm olarak isimlendirilir. 0⇒1 koşullu önermesi doğru olmasına karşın bir teorem değildir. Çünkü bir koşullu önermenin teorem olabilmesi için hem kendinin hem de hipotezinin doğru olması gerekir. Bir teoremin hükmünün, hipotezinden elde edilebileceğini, veya başka bir deyişle hükmün, hipotezin bir sonucu olduğunu göstermeye ispat adı verilir. Bir teoremin ispatlanması için kullanılan çeşitli yöntemler vardır. Önemli Kurallar: p∨1≡1 p∧1≡p p∨0≡p p∧0≡0 ∨ ∧ ⇒ ∨ p⇒q≡q'⇒p' p⟺q≡(p⇒q)∧(q⇒p) 2. ÜNİTE: KÜMELER Kümeler, matematiğin nesnelerden oluşan, iyi tanımlanmış toplulukların özelliklerini inceleyen dalıdır. Söz konusu nesneler matematiksel nitelikli (ör. sayılar ya da fonksiyonlar) olabileceği gibi böyle bir niteliği taşımıyor da olabilir. Kümeler kuramı günlük yaşamda da kullanılmaktadır. Ancak kuramın, karmaşık matematiksel kavramların oluşturulmasında bir araç olarak kullanımı daha önemlidir. Sezgisel olarak küme kavramı, sayı kavramından daha önce geliştirilmiştir. Bir sürüdeki hayvanların, hiçbir sayma işlemi yapmaksızın bir torbadaki taş parçalarıyla ya da bir çubuğa açılan çentiklerle eşleştirilmesi buna bir örnek oluşturur. Matematik dilinde uluslararası birlik sağlama gereksinimi on dokuzuncu yüzyıl sonlarına doğru zorunlu hâle geldi. Alman matematikçi George Cantor (Corç Kantor) (1845 - 1918) sonlu ve sonsuz kümeleri oluşturmak amacıyla ilk çalışmaları yapanlardan biridir. Cantor matematiksel küme kavramı ile uğraşmıştır. Aynı dönemlerde Bernard Bolzano (Bernart Balzano) (1851), sayılabilme problemini ortaya koyan sonsuz kümeler üzerine çalışmalar yapmış ve yayımlamıştır. Frege (Frek) 1893 yılında Aritmetiğin Temel Yasaları isimli yapıtının ilk cildinde Cantor’unkine 3 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ çok yakın bir küme kavramı oluşturmuştur. Frege çalışmalarında sayıların tanımını küme kavramına dayalı olarak yeniden vermeyi denemiştir. Küme, matematiğin en temel terimlerinden birisi olmasına rağmen tanımsız bir terimdir. Kümeleri göstermek için üç farklı yöntem vardır: 1. Liste Yöntemi: Liste yönteminde; küme adı büyük harfle yazılır, küme parantezi oluşturulur ({ >), kümenin elemanları aralarına virgül koymak suretiyle parantez içine sıralanır. 2. Venn Şeması yöntemi: Venn şeması yönteminde; Venn şeması adı verilen kapalı eğri çizilir, küme adı eğrinin dışına büyük harfle yazılır, küme elemanları irice noktalarla belirtilir, bu noktaların yanına adları yazılır. 3. Ortak Özellik Yöntemi: Ortak özellik yönteminde; küme adı büyük harfle yazılır, küme parantezi oluşturulur ({ >), küme elemanlarını temsil eden değişken yazılır ve "öyle ki" şeklinde okunan “:” konur, küme elemanlarının ortak özelliklerinin tamamı yazılır. Bir a elemanının, bir A kümesine: 1. Ait olduğunu göstermek için sembolü kullanılır: a A 2. Ait olmadığını göstermek için de sembolü kullanılır: a A Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine öz alt kümeleri adı verilir. Bir A kümenin bütün alt kümelerinin kümesine A’nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir. Alt Küme Sayısına Ait Temel Değerler 1. n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısı C(n,k) kombinasyonuna eşittir. ( ) ( ) ( ) 2. Eleman sayısı n olan bir kümenin toplam 2n tane alt kümesi, 2n − 1 tane öz alt kümesi vardır. Özellikleri 1. ( ) ( ) 2. ( ) ( 3. ( ) ( ) ) ( ) Özel Alt Küme Sayılarının Bulunmasına Dair Teoremler 1. n elemanlı herhangi bir A kümesinin herhangi bir a elemanı, kümenin tüm alt kümelerinin yarısında bulunur, diğer yarısında bulunmaz. 2. n elemanlı herhangi bir A kümesinin herhangi bir a elemanının bulunduğu alt kümelerin yarısında herhangi bir b elemanı bulunur, diğer yarısında bulunmaz. 3. n elemanlı herhangi bir A kümesinin herhangi bir a elemanı, k elemanlı alt kümelerin ( ) kadarında bulunur, gerisinde bulunmaz (n > k). 4. s(A) = k, s(B) = n ve k < n olmak üzere, AKB olacak şekilde tane farklı K kümesi yazılabilir. SONLU VE SONSUZ KÜME Sonlu sayıda elemandan oluşan kümelere sonlu küme, sonlu sayıda elemandan oluşmayan kümelere de sonsuz küme denir. Sonlu bir A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. BOŞ KÜME Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve veya {} şeklinde gösterilir. Boş küme asla {0} şeklinde gösterilmez. ALT KÜME Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir. A kümesi, B kümesinin alt kümesi olduğunda B kümesinin A kümesini kapsadığı söylenir. A B işareti A kümesinin B kümesinin alt kümesi olduğu; B A işareti ise B kümesinin A kümesini kapsadığı anlamına gelir. Her küme kendinin bir alt kümesidir. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Örnek: 5 elemanlı A = {1,2,3,4,5} kümesinin toplam alt kümesinin yarısında, yani 16 tanesinde 1 elemanı bulunur, 16 tanesinde ise bulunmaz. A kümesinin 1 elemanını bulunduran 16 alt kümesinin yarısında, yani 8 tanesinde 2 elemanı bulunur, 8 tanesinde ise bulunmaz. 4 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ A kümesinin 1 elemanını bulundurup 2 elemanını bulundurmayan 8 alt kümesinin yarısında, yani 4 tanesinde 3 elemanı bulunur, 4 tanesinde bulunmaz. 4 elemanlı A = {a, b, c, d} kümesinin c elemanı 3 elemanlı alt kümelerin ( ) ( 3. Birleşme özelliği A∪(B∪C)=(A∪B)∪C ve A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 4. Dağılma özelliği A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ve A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ) tanesinde bulunur; C(4,3)-3=1 tanesinde bulunmaz. Boş küme ilişkileri A∪ = ∪A=A ve A∩ = ∩A= Örnek: A = {a, b, c, d, e} kümesinin kaç tane alt kümesinde a ve c elemanlarından en az birinin bulunacağını bulalım. A kümesinin tane alt kümesi vardır. Buna göre, 32:2 = 16 alt kümede a elemanı; 16:2 = 8 alt kümede a ve c elemanı bulunmaz. Öyleyse 32-8=24 alt kümede a ve c elemanlarından en az biri bulunur. Kapsama ilişkileri 1. A∪B=B⟺A⊂B 2. A∩B=A⟺A⊂B 3. A⊂A∪B ve B⊂A∪B 4. A∩B⊂A ve A∩B⊂B BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI A ve B kümesinin birleşim kümesinin eleman sayısı, s(A∪B)=s(A)+s(B) – s(A∩B) A, B ve C kümelerinin birleşim kümesinin eleman sayısı, s(A∪B∪C)= s(A)+s(B)+s(C) – s(A∩B) – s(A∩C) – s(B∩C)+s(A∩B∩C) bağıntıları ile bulunur. Örnek: A = {1,2,3} ve B = {1,2,3,4,5} olmak üzere, ACB şartını sağlayan kaç farklı C kümesi yazılabileceğini bulalım. s(A) = 3, s(B) = 5 olduğuna göre, C kümesi farklı şekilde oluşturulabilir. DENK VE EŞİT KÜMELER Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler; eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denir. Herhangi A ve B kümesinin eşitliği A = B, denkliği ise A ≡ B biçiminde ifade edilir. Eşit iki küme daima denktir. EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME Kümelerle yapılan işlemlerde işleme katılan, tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir ve bu küme A' ile gösterilir. A kümesi ve A' kümesinin hiç ortak elemanı yoktur. A kümesi ile A' kümesinin eleman sayıları ile E kümesinin eleman sayıları arasında s(A)+s(A')=s(E) bağıntısı vardır. KÜMELERDE İŞLEMLER A ve B kümelerinin elemanları ile oluşturulabilen en geniş kümeye A ve B kümelerinin birleşim kümesi adı verilir ve A∪B şeklinde gösterilir. A∪B={x: x A ∨ x B} A ve B kümelerinin ortak elemanları ile oluşturulan kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi adı verilir ve A∩B şeklinde gösterilir. A∩B={x: x A ∧ x B} İkiden fazla kümenin kesişimi benzer şekilde tanımlanır. Kesişim kümeleri boş olan kümeler ayrık kümeler olarak adlandırılır. Evrensel kümenin özellikleri 1. E'= ve '=E 2. A∪E=E ve A∩E=A Tümleyen Küme A kümesinin elemanı olmayan evrensel küme elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyen kümesi denir ve A' şeklinde gösterilir. Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri 1. Tek kuvvet özelliği A∪A=A ve A∩A=A 2. Değişme özelliği A∪B=B∪A ve A∩B=B∩A A'={x : x 5 E ˄ x∉A} 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ Tümleyen kümenin özellikleri 1. (A') = A 2. A∪A'=E s(A) + s(A') = E 3. A∩A'= SIRALI İKİLİ (a, b) sıralı ikilisinde a ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye ise ikinci bileşeni denir. (a, b) sıralı ikilisi ile (b, a) sıralı ikilisi birbirinden farklıdır. Sıralı ikililerin eşitliği, (a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d biçiminde ifade edilir. De Morgan kuralları 1. (A∪B)'=A'∩B' 2. (A∩B)'=A'∪B' İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 1. bileşeni A kümesinden, 2. bileşeni B kümesinden olmak üzere yazılan tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B kümelerinin kartezyen çarpım kümesi denir ve A x B ile gösterilir. Bu durum, A x B = { (x, y) | x A ∧ y B } biçiminde ifade edilir. Ayrıca s(A x B) = s(A).s(B) dir. İKİ KÜMENİN FARKI A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve A – B biçiminde gösterilir. B kümesinde olan fakat A kümesinde olmayan elemanları n kümesine de B fark A kümesi denir ve B – A biçiminde gösterilir. 3. ÜNİTE: BAĞINTI - FONKSİYON – İŞLEM Fonksiyon terimi, “bir çokluğun bir başkasına bağlı olarak değişmesi” anlamıyla ilk kez 1673 yılında Leibniz (Laybniz) tarafından kullanıldı. Leibniz buna örnek olarak, • Dairenin alanının r yarıçapına bağlı olarak r nin bir fonksiyonu, • Serbest düşen bir topun hızının yere değinceye kadar geçen t zamanına bağlı olduğunu, hızın zamanının fonksiyonu olduğunu göstermiştir. Aynı yıllarda Euler (Öylır), fonksiyonu harflerle göstermek için formüller arıyordu. Sonunda, f fonksiyonu göstermek üzere, y = f(x) bağıntısını uygun buldu. Bunun “y, x in bir fonksiyonudur.” biçiminde okunmasını istemiştir. Buradaki x e “f nin bağımsız değişkeni” ve y ye “f nin bağımlı değişkeni” denir. Dirichlet (Dirihle) de fonksiyonu, bir kural içermesi ve bir kümenin her bir elemanını, diğer kümenin sadece bir elemanı ile eşleme olarak tanımladı. 1939’da fonksiyon ile ilgili matematik programlarında kullanılan en iyi tanım Bourbaki (Burbek)’in küme teorisi anlamında düzenlediği bir tanımdır. Bu tanım şöyle idi: “A ile B ayrık olan ya da ayrık olmayan ve boş olmayan iki küme olsun. Eğer A kümesindeki tüm x lerin her birine, f ile verilen bağıntı ile B kümesindeki sadece bir tek y karşılık geliyorsa verilen bağıntı, A nın x değişken elemanları ile B nin y değişken elemanları arasındaki fonksiyon olarak adlandırılır.” Günümüzde kullandığımız fonksiyon tanımı Dirichlet - Bourbaki tanımı olarak bilinmektedir. Kartezyen çarpımının özellikleri: A, B ve C boş kümeden farklı kümeler olmak üzere, 1. A x B ≠ B x A 2. A x = x A = 3. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C) 4. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) 5. A x B = ⇒ A = veya B = özellikleri vardır. BAĞINTI A x B kümesinin alt kümelerinin her birine A dan B ye bir bağıntı denir. β kümesi A dan B ye bir bağıntı ise β ⊂ (A x B) olarak ifade edilir. (x, y) β ise y elemanı β bağıntısı ile x e bağlıdır ve bu durum y β x şeklinde gösterilir. Eğer β, A x A nın bir alt kümesi ise β ya A dan A ya bağıntıdır veya β, A da tanımlı bir bağıntıdır denir. A x B kümesinin alt kümelerinin her biri A dan B ye bağıntı sayısı, AxB kümesinin alt küme sayısına eşittir. O hâlde A dan B ye bağıntı sayısı: 2s(A).s(B) dir. BİR BAĞINTININ TERSİ A ve B boş kümeden farklı olmak üzere β, A dan B ye bir bağıntı olsun. β bağıntısındaki elemanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen yeni bağıntıya β bağıntısının tersi denir ve β−1 ile gösterilir. β−1 bağıntısı B den A ya tanımlıdır. Bu durumda, β = { ( x, y) | x A ∧ y B } ⊂ A x B β−1 = { ( y, x) | x A ∧ y B } ⊂ B x A olur. 6 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ Her β bağıntısının grafiği aynı düzlemde y = x doğrusuna göre simetriği β−1 bağıntısının grafiğidir. FONKSİYONLAR A ≠ ve B ≠ olmak üzere, A kümesinin her elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyondur denir. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ A ≠ olmak üzere, β ⊂ A x A olsun. 1. Yansıma özelliği: ∀x A için (x, x) β oluyorsa β bağıntısına yansıyan bağıntı veya β bağıntısının yansıma özelliği vardır denir. Analitik düzlemde y=x doğrusu üzerinde bulunan tüm elemanlar β bağıntısına ait ise β yansıyandır. s(A)=n ise A’ da ( ) tane yansıyan, ( ) tane yansıyan olmayan bağıntı vardır. Yukarıdaki şemada verilen A dan B ye f fonksiyonu, f : A → B, A → veya f : x → y biçiminde gösterilir. y = f(x) yazılır. x A ve y = f(x) B dir. A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine fonksiyonun değer kümesi ve f(A) kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir. 2. Simetri özelliği: ∀(x, y) β iken (y , x) β oluyorsa β bağıntısına simetrik bağıntı veya β bağıntısının simetri özelliği vardır denir. Analitik düzlemde β simetrik ise β ve β-1 aynı kümededir. Analitik düzlemde β ; köşegene göre simetrik ise β simetriktir. ( s(A)=n ise A’ da ( UYARI: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için gerekli şartları akılda tutmak için aşağıdaki yöntem düşünülebilir. Bir anaokulunda anne ve çocukları arasında bir eşleme yapılmaktadır. Çocuklar tanım, anneler değer kümesinde olmak üzere. Bir çocuğun iki annesi olamaz. Annesiz çocuk olmaz. f : A → B ve g : A → B iki fonksiyon olmak üzere, ∀x A için f(x) = g(x) ise f ile g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir. f = g şeklinde gösterilir. ) tane simetrik, ) tane simetrik olmayan bağıntı vardır. 3. Ters simetri özelliği: ∀(x, y) β iken (y , x) ∉ β ve y ≠ x ise β bağıntısına ters simetrik bağıntı veya β bağıntısının ters simetri özelliği vardır denir. β simetrik değilse ters – simetriktir denilemez. Ters – simetrik bir bağıntının grafiğinde köşegene göre simetrik elemanlar bulunamaz. Köşegen üzerinde eleman bulunması ise ters simetri özelliğini bozmaz. ( Dikey doğru kriteri: Bir fonksiyonun grafiğinde y eksenine çizilen her paralel doğru, eğriyi yalnız ve yalnız bir noktada keser. Verilen bir grafiğin fonksiyon grafiği olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel çizilen doğruların bu grafiği kaç noktada kestiğine bakmak yeterlidir. ) s(A)=n ise A’ da tane ters – simetrik bağıntı vardır. 4. Geçişme özelliği: ∀(x, y) β ve ∀(y, z) iken (x, z) β oluyorsa β bağıntısına geçişken bağıntı veya β bağıntısının geçişme özelliği vardır denir. (a, b) β olmasına karşılık, β bağıntısında b ile başlayan bir eleman yoksa β bağıntısı geçişken olmaya devam eder. Denklik Bağıntısı 1. Yansıma 2. Simetri 3. Geçişme β Sıralama Bağıntısı 1. Yansıma 2. Ters - Simetri 3. Geçişme 7 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ FONKSİYON ÇEŞİTLERİ BİRE BİR FONKSİYON (1 - 1) Tanım kümesinin farklı elemanlarını görüntü kümesindeki farklı elemanlara eşleyen fonksiyona bire bir fonksiyon denir. f : A → B fonksiyonu 1-1 ise bu durum, ∀x1, x2 A için, x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) veya f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 dir. DOĞRUSAL FONKSİYON Elemanları bir doğru üzerinde bulunan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal fonksiyon m, n R olmak üzere f: R → R, f(x) = mx + n biçiminde ifade edilir. Yatay Doğru Kriteri: f:A→B fonksiyonunun, örten, içine veya bire bir olduğunu anlamak için, değer kümesindeki elemanlardan OX eksenine paralel doğrular çizilir. a) ∀a B için, denklemi y=a olan doğrular, fonksiyonun grafiğini daima keserse fonksiyon örtendir. b) ∀a B için, denklemi y=a olan doğrular, fonksiyonun grafiğini bazen keser bazen kesmezse fonksiyon içinedir. c) ∀a B için, denklemi y=a olan doğruların eğriyi kesmesi durumunda, kesim noktası daima bir tane ise fonksiyon bire bir, birden fazla ise bire bir değildir. UYARI: s(A)=n, s(B)=m olmak üzere; A’dan B’ye fonksiyon sayısı mn dir. A’dan B’ye fonksiyon olmayan bağıntı sayısı 2n.m − mn dır. A’dan B’ye birebir fonksiyonların sayısı i) n ≤ m ise P(m,n) ii) n > m ise 0 dır. A’dan A’ya tanımlanan birebir ve örten fonksiyonların sayısı n! dir. A’dan A’ya tanımlanan içine fonksiyonların sayısı nn − n! dir. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların sayısı m dir. ÖRTEN FONKSİYON Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir. f:A→B, ∀y B için, f(x)=y olacak biçimde ∃x A dır. Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir. İŞLEM A ≠ olmak üzere A x A nın boş olmayan bir β alt kümesinden herhangi bir B kümesine tanımlı her fonksiyona bir ikili işlem veya kısaca işlem denir. A x A nın boş kümeden farklı bir β alt kümesinden A kümesine tanımlı her fonksiyona da A da bir ikili işlem ya da kısaca A da işlem denir. BİRİM (ÖZDEŞLİK) FONKSİYONU A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere, A dan A ya (A da) tanımlı her elemanı kendine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir. I: A → A, I(x) = x biçiminde ifade edilir. SABİT FONKSİYON Görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyonlara sabit fonksiyon denir. f sabit fonksiyon ise f: R→R, ∀x R için f(x) = c (c R) şeklinde ifade edilir. UYARI: a, b, c, d R ve a≠0, c≠0 için ( ) sabit fonksiyon ise dir. İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 1. Kapalılık Özelliği: Herhangi bir A kümesinde Δ işlemi tanımlandığında, ∀x, y A için x Δ y A oluyorsa Δ işleminin A kümesinde kapalılık özelliği vardır ya da A kümesi Δ işlemine göre kapalıdır denir. 2. Değişme Özelliği: Herhangi bir A kümesinde � işlemi tanımlandığında, ∀x, y A için x � y = y � x oluyorsa A kümesinde � işleminin değişme özelliği vardır denir. 8 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 3. Birleşme Özelliği: Herhangi bir A kümesinde Δ işlemi tanımlandığında, ∀x, y, z A için (x Δ y) Δ z = x Δ (y Δ z) oluyorsa A kümesinde Δ işleminin birleşme özelliği vardır denir. 4. Dağılma Özelliği: Herhangi bir A kümesinde Δ ve � işlemleri tanımlandığında, ∀x, y, z A için x Δ (y � z) = (x Δ y) � (x Δ z) oluyorsa A kümesinde Δ işleminin � işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır denir. ∀x, y, z A için (y � z) Δ x = (y Δ x) � (z Δ x) oluyorsa A kümesinde Δ işleminin � işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği vardır denir. 5. Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Boş olmayan bir A kümesinde Δ işlemi verilsin. ∀x A için x Δ e = e Δ x = x koşulunu sağlayan e A sayısına Δ işleminin etkisiz (birim) elemanı denir. İşlemin varsa etkisiz elemanı bir tanedir. İşlemin birleşme özelliği yoksa etkisiz elemanı yoktur. 6. Ters Eleman Özelliği: Boş kümeden farklı bir A kümesinde Δ işlemi verilsin. İşlemin etkisiz elemanı e olsun. ∀x A için x Δ x−1 = x−1 Δ x = e koşulunu sağlayan x−1 sayısına x in tersi denir. Bir elemanın tersi varsa bir tanedir. 7. Yutan Eleman Özelliği: Boş kümeden farklı bir A kümesinde � işlemi tanımlandığında eğer, ∀x A için x � m = m � x = m olacak şekilde m A varsa bu m elemanına � işleminin yutan elemanı denir. Yutan elemanın tersi yoktur. Sonuçlarda görünen baş sütun ile baş satırın kesiştiği noktadaki eleman etkisiz elemandır. Bir b elemanının � işlemine göre tersi bulunurken baş sütundaki b den satırca hareketle etkisiz eleman c ye ulaşılır. Buradan sütunca hareketle baş satıra çıkıldığında b nin tersi elde edilir. b−1 = d dir. A = { a, b, c, d } kümesinde tanımlı � işlemi tablo ile verildiğinde, Tablodaki elemanlar köşegene göre simetrik ise işlemin değişme özelliği, işlemin sonuçlarının tamamı A kümesinin elemanı ise işlemin kapalılık özelliği vardır. 9 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ FONKSİYONLARDA BİLEŞKE İŞLEMİ f: A→B, g: B→C tanımlı fonksiyonlar olmak üzere A→C yazılabilecek fonksiyona g bileşke f fonksiyonu denir ve gof biçiminde gösterilir ve (gof )(x) = g [ f(x) ] dir. Kuralı verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için y = f(x) denkleminden x çekilip sonra y nin yerine x yazılır. Özel olarak; a, b, c, d R ve a≠0, c≠0 olsun. ( ) ( ) ⇒ dır. f ve g fonksiyonlarını gerçek sayılar üzerinde işlem yapan makineler olarak düşünürsek girdi x, çıktı (gof )(x) olur. UYARI: 1. (fog)–1 = g–1of–1 2. fof–1 = f–1of = I ( I: birim fonksiyon ) 3. fog = h ⟹ f = hog–1 ve g = f–1oh GRAFİĞİ VERİLEN BİR FONKSİYONUN BAZI DEĞERLERİNİ BULMA y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir nokta (a , b) ise b = f(a) dır. UYARI: 1. fog ≠ gof 2. fo(goh) = (fog)oh A sonlu veya sonsuz aralık olmak üzere f: A→R fonksiyonu verilsin. Eğer ∀ x1, x2 A, x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonuna kesin artan fonksiyon denir. Eğer ∀ x1, x2 A, x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonuna kesin azalan fonksiyon denir. Kesin artan ve kesin azalan fonksiyonlar bire bir ve örtendir. BİR FONKSİYONUN BİLEŞKE İŞLEMİNE GÖRE TERSİ Genel olarak f: A→B, 1-1 ve örten fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanları A kümesindeki aynı elemanlara eşleyen g: B→A, 1-1 ve örten fonksiyona f fonksiyonunun tersi denir ve g = f −1 biçiminde gösterilir. Buna göre aşağıdaki şemadan da görülebileceği gibi, f(x) = y ⇔ f −1(y) = x ve (f −1)−1 = f olur. Bir f fonksiyonunun grafiği ile f−1 fonksiyonunun grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir. 10 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ Babilliler, 59’dan büyük sayıları da basamak düşüncesinden yararlanarak yazdılar. 60 sayısını taban olarak kullandılar. Gruplamalarını 60’lık olarak yani 60x2=120 ... şeklinde yaptılar. Böylece ilk kez sayılarda basamak düşüncesini geliştirmiş oldular. Babilliler, sayıları yazarken iki tane sembol ve bulunmayan basamakların yerini doldurmak için de (( : )) işaretini kullanmışlardır. Babil rakamları arasında da sıfır rakamını gösteren bir sembol yoktur. Buradan Babillilerin rakamları sağdan sola doğru yazarak ifade ettikleri anlaşılmaktadır. Bilindiği gibi günümüzde, sayıları belirten standart hâlde rakam ve sözcükler vardır. Sayılar, hem 1, 2, 3, ... gibi sembollerle hem de bir, iki, üç, ... gibi kelimelerle ifade edilebilmektedir. Dört adet kalemi, “dört kalem” kelimesi ile belirtip “4” rakam› ile gösterebiliyoruz. 4. ÜNİTE: SAYILAR Matematik öğrenirken gelişme sağlayabilmek için kavramlardan birini diğeri ile ilişkilendirmek çok önemlidir. Sayı kavramı, matematiksel kavramların başında yer alır. Eğer sayı kavramı tam olarak algılanır ise sonraki öğrenmelerde karşılaşılacak pek çok sıkıntı başlangıçta giderilmiş olacaktır. Sayılar ilk çağlardan beri insanların yaşamında çok önemli bir yer tutmuştur. İlk Çağ insanları, sayılar için kil tabletler üzerine çizikler kazımaya ya da kesilmiş ağaç dalına çentik yapmaya başlamakla ilk kez sayıları yazılı olarak ifade etmiş oluyorlardı. Kullanılan bu işaretler, rakam ve sayıların ilk yazılı ifadeleridir. Bunların yanında, sayıları belirtmek için değişik ses ve kelimeler de kullanmışlardır. Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski Mısırlılara aittir. Eski Mısırlıların kullandıkları resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, MÖ 3300 yılına kadar gider. Bir başka deyişle Mısırlılar yaklaşık 5300 yıl önce, milyona kadar olan sayıları kapsayan bir sistem geliştirmişlerdir. Mısırlılara ait sayma sistemi, İlk Çağ mağara insanının önceleri kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir. Eski Mısır aritmetiği hakkındaki bilgilerimiz, zamanımıza kadar ulaşmış papirüs tomarlarından elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler bilim tarihinde, MÖ 1900-1800 yılları için adlandırılan, Kahun (Kaun) ve Berlin papirüsleri ile MÖ 1700 ile 1600 yılları için adlandırılan, Hiksoslar devrinden (MÖ 1788-1580) kalma Rhind (Rind) ve Moskova papirüsleridir. Mezopotamyalılarda rakamlar, çivi yazısında görülen çivi ya da oduncu kamasına benzeyen şekillerden oluşmaktadır. Bu işaretlerin (sembollerin) uygun biçimde, yan yana ya da büyük sayıları gösterebilmek için toplu olarak yazılması suretiyle 60’a kadarki sayıların gösterimi yapılabiliyordu. Bu tür yazım biçiminde, 0.1 ile 0.01 gibi rakamların arasındaki farkı anlamak bir hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için metin ve konu yardımıyla sonuç çıkarma yollarına gidilirdi. Mezopotamyalılar, sıfır sembolünü kullanmamışlardır. Ancak astronomide bu amaçla özel bir sembol kullandıkları anlaşılmaktadır. MÖ 2000 yıllarında Mezopotamya’da yaşayan Babillilerin, bilimin birçok dalında oldukça ileri bir seviyeye ulaşmış oldukları bilinmektedir. Öyle ki Babil şehrini zamanın bilim merkezi hâline getirmişlerdir. Özellikle matematik ve astronomide çok ilerlemişlerdir. DOĞAL SAYILAR Doğal sayılar, N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} şeklinde sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar. Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel yapılar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır. Doğal sayının Peano belitleri tanımı; Sıfır bir doğal sayıdır. Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan bir ardılı vardır. Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur. Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine eşittir. Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme doğal sayılar kümesine eşittir. Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollerdir. Onluk sayma sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamları kullanılır. Sayı: Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların tek başına ya da birlikte kullanılmasıyla oluşturulan ifadelerdir. 2, –5, 19, 0, , , √ , π, e, √ ifadeleri birer sayıyı gösterir. 11 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ Sayma Sayıları Kümesi (N+ ) N+ = S = {1, 2, 3, ..... } BİR DOĞAL SAYININ HERHANGİ BİR TABANA GÖRE YAZILMASI Doğal Sayılar Kümesi (N) N = {0, 1, 2, 3, ..... } Tam Sayılar Kümesi (Z) Z– = {..., –3, –2, –1} negatif tam sayılar kümesi, Z+ = {1, 2, 3, ... } pozitif tam sayılar kümesidir. Z = Z– ∪ {0 } ∪ Z+ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } 132 sayısının 5 tabanındaki yazılışını bulalım. Rasyonel Sayılar Kümesi (Q) Q = { : a Z, b Z ve b ≠ 0 } 132 = (1012)5 bulunur. İrrasyonel Sayılar Kümesi (Q' ) Rasyonel olmayan sayılar kümesidir. √ √ , π, e , ..... gibi Reel (Gerçel) Sayılar Kümesi (R) Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine reel (gerçel) sayılar kümesi denir. R = Q ∪ Q' N+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Q' ⊂ R a N+ − {1}, x ≠ 0 ve x, y, z N olmak üzere a tabanındaki (xyz)a sayısının 10 tabanındaki eşiti x.a2 + y.a1 + z.a0 dır. (xyz)a sayısı için x < a, y < a ve z < a dır. 5 tabanındaki (1423)5 sayısının basamaklarını yazarak çözümleyelim. BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF DOĞAL SAYI KUVVETİ a N ve n N+ olmak üzere n tane a nın çarpımı, an biçiminde yazılır. a üssü n veya a nın n. kuvveti diye ifade edilir. an ifadesinde a ya taban, n ye üs denir. Özel olarak; a2 : “a nın karesi” a3: “a nın küpü” diye okunur. UYARI: x, y, m ve n 1) xm.xn = xm + n 10 tabanında verilen bir sayı bölme işleminden faydalanarak değişik tabanlarda yazılabilir. (1423)5 = 1.53 + 4.52 + 2.51 + 3.50= 125 + 100 + 10 + 3 = 238 olur. Herhangi bir tabanda toplama işlemi yapılırken birler basamağındaki rakamlar toplamı, tabana bölünür. Kalan, birler basamağına yazılır. Bölüm ise bir sonraki basamaktaki rakamlar toplamına eklenir ve toplama işlemine bu şekilde devam edilir. N+ olmak üzere, 2) xn.yn = (x.y)n 3) (xm)n = (xn)m = xm.n dir. O hâlde, sonuç (3112)4 olur. 12 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ FAKTÖRİYEL n N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir. n! = 1.2.3 ....... n 0! = 1 ve 1! = 1 olarak kabul edilir. 2! = 1.2 = 2 3! = 1.2.3 = 6 4! = 1.2.3.4 = 24 5! = 1.2.3.4.5 = 120 ....................................... n! = (n – 1)!.n n! = (n – 2)!.(n – 1).n Çarpma işleminin her adımında rakamların çarpımı tabana bölünerek kalan, basamağa yazılır. Bölüm ise bir sonraki çarpıma “elde var” diyerek eklenir. Benzer işlem basamakları takip edilerek, f = 3, e = 2 ve d = 1 olur. UYARI: n N+ , m N+ m<n olmak üzere n! içindeki m çarpanlarının sayısını bulmak için; a) m asal sayı ise, n, m sayısına bölünür. Bölüm m sayısından küçük oluncaya kadar bölme işlemine devam edilir. Bölümlerin toplamı n! içindeki m çarpanlarının sayısıdır. b) m asal sayı değilse, m’ nin en büyük asal çarpanı k olsun. n, k sayısına bölünür. Bölüm k sayısından küçük oluncaya kadar bölme işlemine devam edilir. Bölümlerin toplamı n! içindeki m çarpanlarının sayısıdır. bulunur. ASAL SAYILAR 1 den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...... asal sayılardır. En küçük asal sayı 2 dir. 2 den başka çift asal sayı yoktur. Herhangi Bir n Doğal Sayısına Kadar Olan Asal Sayıları Bulmak 1 den n ye kadar olan doğal sayılar yazılır. √ sayısından küçük olan bütün asal sayıların katları ile 1 çizilir. Çizilmemiş olan sayılar asal sayılardır. Örnek: 25! = 3n.A eşitliğinde A ve n doğal sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük değeri bulalım. n doğal sayısı en çok 25! içindeki 3 çarpanlarının sayısı kadardır. 25 sayısını 3 e böleriz. Bölüm tekrar 3 e bölünür. Bu işleme bölüm 3 ten küçük çıkana kadar devam edilir. Bölümlerin toplamı 25! içindeki bütün 3 çarpanlarının sayısını verir. BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF BÖLENLERİ İLE İLGİLİ FORMÜLLER Herhangi bir A sayısı A = an.bm şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olsun. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (n + 1).(m + 1) dir. (Negatif bölenlerinin sayısı da aynıdır. Bölenlerinin sayısı iki katıdır.) A nın pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı (a0 + a1 + ... + an).(b0 + b1 + ... + bm) dir. A nın pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı A ( )( 25! de 8+2=10 tane 3 çarpanı vardır. Yani n nin en büyük değeri 10 dur. Örnek: 24! = 6n.A eşitliğinde A ve n doğal sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük değeri bulalım. 6n = (2.3)n = 2n.3n olduğundan, 24! sayısının içinde kaç tane 6 çarpanı olduğunu bulmak için 3 çarpanlarının sayısını bulmak yeterlidir. Çünkü 3 çarpanı 2 çarpanından daha azdır. Belirleyici olan 3 çarpanıdır. ) dir. Ortak doğal sayı bölenleri yalnız 1 olan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir. 13 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 4 İle Bölünebilme Son iki rakamı (onlar ve birler basamağı) 00 ya da 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür. Son iki rakamının 4 ile bölümünden elde edilen kalan, sayının 4 ile bölümünden elde edilen kalanına eşittir. 24! de 8+2=10 tane 6 çarpanı vardır. Yani n nin en büyük değeri 10 dur. Örnek: 73! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır? Verilen soru; “A, n N, 73! = 10n.A ise n en çok kaçtır?” şeklinde de sorulabilirdi. 10n = (2.5)2 = 2n.5n olduğundan, 5 çarpanlarının sayısı kadar sondan basamağı sıfırdır. 5 İle Bölünebilme Birler basamağı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. Birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalan, sayının 5 ile bölümünden elde edilen kalanına eşittir. 7 ile bölünebilme: Sayının son rakamının 2 katı bir önceki rakamdan çıkarılır. Elde edilen sayının 2 katı gene bir önceki rakamdan çıkarılır. Son basamağa kadar işleme devam edilir. Elde edilen sayı 7 ile bölünürse, bu sayı 7 ile bölünür. 73! sayısının sondan 14+2=16 basamağı sıfırdır. Örnek: 35! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır? 35! sayısının sondan kaç basamağı sıfırsa, 35! – 1 sayısının da sonunda o kadar 9 rakamı vardır. 8 İle Bölünebilme Bir doğal sayının son üç (yüzler, onlar, birler) basamağındaki üç basamaklı sayı 8 ile tam bölünürse bu doğal sayı 8 ile tam bölünür. Bir doğal sayının 8 ile bölümünden kalan bu doğal sayının son üç basamağındaki üç basamaklı sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir. 35! – 1 sayısının sondan 7+1=8 basamağında 9 rakamı vardır. Örnek: 24! = 4a.B eşitliğinde B bir tam sayı ise a nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? 4a = (22)a = 22a 9 İle Bölünebilme Rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünebilir. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. 11 İle Bölünebilme Sayının rakamları birler basamağından başlanarak + ve – işaretleri ile sınıflandırılır. + lı rakamların toplamı ile – li rakamların toplamının farkı 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür. Sayı 11 ile tam bölünemiyorsa, kalanı bulmak için, + lı rakamlar ile – li rakamların farkının 11 ile bölümünden kalan bulunur. 12 + 6 + 3 + 1 = 22 2a = 22 ⟹ a = 11 dir. BÖLÜNEBİLME KURALLARI 2 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı çift olan doğal sayılar 2 ile tam bölünür. 2 ile tam bölünemeyen sayılar 1 kalanını verirler. UYARI: Aralarında asal iki sayıya tam bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. 2 ve 3 ile bölünebilen sayı 6 ile bölünür. 2 ve 5 ile bölünebilen sayı 10 ile bölünür. 3 ve 4 ile bölünebilen sayı 12 ile bölünür. 3 ve 5 ile bölünebilen sayı 15 ile bölünür. 2 ve 9 ile bölünebilen sayı 18 ile bölünür. 5 ve 9 ile bölünebilen sayı 45 ile bölünür. 3 İle Bölünebilme Rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünebilir. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının sayı değerleri toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. 14 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2) a.b = b.a (Çarpma işleminin değişme özelliği) 3) (a.b).c = a.(b.c) (Çarpma işleminin birleşme özelliği) 4) a.1 = 1.a = a (Çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman özelliği) 5) a.0 = 0.a = 0 (Çarpma işleminin yutan eleman özelliği) dir. EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) VE EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB) İki veya daha çok doğal sayının en küçük ortak katları bulunurken, verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanların çarpımı, en küçük ortak kat olur. İki veya daha çok doğal sayının en büyük ortak böleni bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımı en büyük ortak bölen olur. ∀a, b dir. Z olmak üzere a – b = a + (−1).b = a + (−b) Aynı işaretli iki tam sayının bölümünün sonucu pozitif, ters işaretli iki tam sayının bölümünün sonucu negatif işaretlidir. TAM SAYILAR Doğal sayılar kümesi ile 0 sayısının solundaki noktalara eşlenen { −1, −2, −3, … } kümesinin birleşimine tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi Z+ = { 1, 2, 3, … } Negatif tam sayılar kümesi Z− = { −1, −2, −3, … } Çift tam sayılar kümesi Ç = {… , −4, −2, 0, 2, 4,…} Tek tam sayılar kümesi T = { … , −3, −1, 1, 3, … } ve Tam sayılar kümesi Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+ biçiminde ifade edilir. (+ . + = +) (+ : + = +) (+ . − = −) (+ : − = −) (− . − = +) (− : − = +) MODÜLER ARİTMETİK Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bağıntıya denklik bağıntısı denir. β denklik bağıntısına göre aynı kümede bulunan elemanlar birbirine denktir. Bu durumda, { 0, 2, 4 } kümesinden 0 ≡ 2 ≡ 4 { 1, 3, 5 } kümesinden 1 ≡ 3 ≡ 5 tir. x e bağlı olan denk elemanların kümesi x in denklik sınıfı (kalan sınıfı) diye adlandırılır ve ̅ ile gösterilir. Genel olarak x in denklik sınıfı: β, A da bir denklik bağıntısı olmak üzere, ̅ = { y | (x, y) β ve y A } biçiminde gösterilir. Buna göre incelediğimiz örnekteki denklik bağıntısı için ̅ = { 0, 2, 4 } ve ̅ = { 1, 3, 5 } olur. Bu durumu, Pozitif iki tam sayının toplamı pozitif; negatif iki tam sayının toplamı negatiftir. Ters işaretli iki tam sayının toplamında ise mutlak değerce büyük olandan küçük olan çıkarılır, sonucun önüne büyüğün işareti yazılır. ∀a, b, c Z için, 1) (a + b) Z (Toplama işleminin kapalılık özelliği) 2) a + b = b + a (Toplama işleminin değişme özelliği) 3) (a + b) + c = a + (b + c) (Toplama işleminin birleşme özelliği) 4) a + 0 = 0 + a = a (Toplama işlemine göre etkisiz (birim) eleman özelliği) 5) a + (−a) = (−a) + a = 0 (Toplama işlemine göre ters eleman özelliği) dir. biçiminde gösteririz. A kümesindeki sayıları 2 ile böldüğümüzde 0 kalanını veren sayılar ̅ nda; 1 kalanını veren sayılar da ̅ nda bulunurlar. Aynı işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu pozitif, ters işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu negatif işaretlidir. m Z+ olmak üzere denklik sınıflarının kümesi Z/m = { ̅ , ̅ , ... , ̅̅̅̅̅̅̅̅ } dir. ∀a, b, c Z için, 1) (a.b) Z (Çarpma işleminin kapalılık özelliği) x, y, n 15 Z ve m Z+ olmak üzere 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ Q için ise x = m.n + y dir. Dolayısıyla x − y = m.n olur. O hâlde, x − y sayısı m sayısına tam bölünür. Bu durum (x ile y aynı denklik sınıfında olduğundan) x ≡ y (mod m) biçiminde ifade edilir. Kısaca x ≡ y (mod m) ⇔ m ⎪ (x – y) dir. İki rasyonel sayının çarpımında, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı da paydaya yazılır. Verilen iki rasyonel sayının çarpımı; Q için olarak ifade edilir. rasyonel sayısının sıfırdan farklı rasyonel MODÜLER ARİTMETİKTE İŞLEMLER ∀a, b, c, d Z ve m Z+ için, a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) ise a + c ≡ b + d (mod m) ve a.c ≡ b.d (mod m) dir. sayısına bölümü RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMLERİNİN ÖZELLİKLERİ ∀ Q için, Z/m için ̅ ⊕ ̅ = ̅̅̅̅̅̅̅ ve ̅ ⊗ ̅ = ̅̅̅̅ dir. 1) ( m Z+ olmak üzere Z/m kümesinde, ∀ ̅, ̅ , ̅ Z/m için, 1. ̅ ⊕ ̅ Z/m, ̅ ⊗ ̅ Z/m (kapalılık özelliği) 2. ̅ ⊕ ̅ = ̅ ⊕ ̅, ̅ ⊗ ̅ = ̅ ⊗ ̅ (değişme özelliği) 3. ̅ ⊕ ( ̅ ⊕ ̅) = ( ̅ ⊕ ̅ ) ⊕ ̅, ̅ ⊗ ( ̅ ⊗ ̅) = ( ̅ ⊗ ̅ ) ⊗ ̅ (birleşme özelliği) 4. ̅ ⊕ ̅ = ̅ ⊕ ̅ = ̅, ̅ ⊗ ̅ = ̅ ⊗ ̅ = ̅ (etkisiz eleman özelliği) 5. ̅⊕ ̅ = ̅ ⊕ ̅= ̅ , (ters eleman özelliği) ( ̅ ile ̅ , ⊕ işlemine göre birbirinin tersi) ̅ ⊗ ̅ = ̅ ⊗ ̅= ̅ (ters eleman özelliği) ( ̅ ile ̅ , ⊗ işlemine göre birbirinin tersi) 6. ̅ ⊗ ̅ = ̅ ⊗ ̅= ̅ (yutan eleman özelliği) dir. ) Q (Kapalılık özelliği) (Değişme özelliği) 2) 3) ( ) ( ) (Birleşme özelliği) 4) (Etkisiz eleman özelliği) 5) ( ) ( ) (Ters eleman özelliği) ∀ Q içi 1) ( ) 3) ( Q (Kapalılık özelliği) (Değişme özelliği) 2) RASYONEL SAYILAR a, b Z, b ≠ 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere biçimindeki sayıya rasyonel sayı denir. a, b, c, d Z, b ≠ 0 ve d ≠ 0 olmak üzere b.c = a.d dir. olarak yazılır. Bu durum; Q, ( c≠ 0) olmak üzere olarak ifade edilir. a, b, n, x, m Z+ olmak üzere, (ab) ≡ 1 (mod m) ise (ab)n ≡ 1 (mod m) dir. a, b olarak ifade edilir. ) ( ) (Birleşme özelliği) 4) (Etkisiz eleman özelliği) 5) (Ters eleman özelliği) 6) (Yutan eleman özelliği) RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA Payları eşit olan rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyüktür. Paydaları eşit pozitif rasyonel sayılardan payı büyük olan daha büyüktür. Payları eşit negatif rasyonel sayılar sıralanırken (−) işareti paydaya taşınır. Paydalar karşılaştırılır ve paydası küçük olan daha büyüktür, denir. ise Verilen iki rasyonel sayının toplamı; Q için olarak ifade edilir. İki rasyonel sayının farkı ise; 16 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ GERÇEK SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN ÖZELLİKLERİ ∀a, b, c, d R için, 1) a < b ⇒ a + c < b + c 2) (a < b ∧ c > 0) ⇒ a.c < b.c 3) (a < b ∧ c < 0) ⇒ a.c > b.c 4) a < b ∧ b < c ⇒ a < c 5) (a < b ∧ c < d) ⇒ a + c < b + d 6) a, b, c, d R+ için (a < b ∧ c < d) ⇒ a.c < b.d 7) a ve b aynı işaretli iki gerçek sayı ve a<b⇒ dir. Paydaları eşit negatif rasyonel sayılar sıralanırken (−) işareti paya taşınır. Paylar karşılaştırılır ve payı büyük olan daha büyüktür, denir. Birbirinden farklı iki rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı bulunur. Bu durum bize rasyonel sayılar kümesinin yoğun olduğunu gösterir. Her bir rasyonel sayının bir devirli ondalık açılımı vardır. Her devirli ondalık açılım bir rasyonel sayıdır. GERÇEK SAYILAR Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel (rasyonel olmayan) sayılar denilmekte ve Q' ile gösterilmektedir. Buna göre sayı doğrusunda rasyonel olmayan sayılar da bulunmaktadır. Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi, gerçek (reel) sayılar kümesini oluşturur. Böylece sayı doğrusu üzerindeki her noktaya bir gerçek say›, her gerçek sayıya da sayı doğrusunda bir nokta karşılık gelir, diyebiliriz. Bu durum gerçek sayılar kümesinin elemanları ile sayı doğrusunun noktaları arasında bire bir ve örten bir eşleme olduğunu gösterir. Bir sayının irrasyonel olduğuna ondalık açılımına bakarak karar verilir. AÇIK, KAPALI VE YARI AÇIK ARALIKLAR a, b R olmak üzere, { x | a < x < b, x R } kümesi a ve b den açık aralık denir ve (a, b) biçiminde gösterilir. { x | a ≤ x ≤ b, x R } kümesi a ve b den kapalı aralık denir ve [a, b] biçiminde gösterilir. { x | a < x ≤ b, x R } kümesi a dan açık, b den kapalı aralık denir ve (a, b] biçiminde gösterilir. { x | a ≤ x < b, x R } kümesi a dan kapalı, b den açık aralık denir ve [a, b) biçiminde gösterilir. MUTLAK DEĞER Bir x gerçek sayısının sayı doğrusu üzerinde eşlendiği noktanın başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve | x | ile gösterilir. i ∀x R için, | | { olur. i GERÇEK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇARPMA İŞLEMLERİNİN ÖZELLİKLERİ ∀ x, y, z R olmak üzere, 1) (x + y) R (Kapalılık özelliği) 2) x + y = y + x (Değişme özelliği) 3) (x + y) + z = x + (y + z) (Birleşme özelliği) 4) x + 0 = 0 + x = x (Etkisiz eleman özelliği) 5) x + (−x) = (−x) + x = 0 (Ters eleman özelliği) Mutlak değer içindeki ifade pozitifse, dışarıya aynen çıkar; negatifse işaret değiştirerek çıkar. MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ ∀ x, y R, a, b R+ için 1) | x | ≥ 0 , | f(x) | ≥ 0 ise | x | ve | f(x) | ifadelerinin en küçük değeri sıfırdır. 2) | x | ≥ 0 3) −| x | ≤ x ≤ | x | 4) | x | = | –x | , | x – y | = | y – x | 5) | x.y | = | x |.| y | | | 6) | | | | , (y ≠ 0) ∀ x, y, z R olmak üzere, 1) (x.y) R (Kapalılık özelliği) 2) x.y = y.x (Değişme özelliği) 3) (x.y).z = x.(y.z) (Birleşme özelliği) 4) x.1 = 1.x = x (Etkisiz eleman özelliği) 5) (x≠0) (Ters eleman özelliği) 6) x.0 = 0.x = 0 (Yutan eleman özelliği) 7) | xn | = | x |n , (n N+) 8) | x | = a ⟹ (x = a veya x = –a) , (a ≥ 0) 9) | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a 10) | x | ≥ a ⇔ ( x ≥ a ∨ x ≤ −a ) 11) a ≤ | x | ≤ b ⇔ ( a ≤ x ≤ b ∨ −b ≤ x ≤ −a ) 12) | f(x) | + | g(x) | = 0 ⟺ f(x) = 0 ve g(x) = 0 17 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, xn = a denklemini sağlayan x sayısına, a nın n. dereceden kökü denir ve x = √ şeklinde gösterilir. 13) | | x | – | y | | ≤ | x + y | ≤ | x | + | y | (üçgen eşitsizliği) 14) | x | < | y | ⟹ – | y | < x < | y | ÜSLÜ İFADELER a R ve n Z+ olmak üzere, n tane a nın çarpımı olan an ye üslü ifade denir. an = a.a........a n tane an ifadesinde, a ya taban, n ye üs veya kuvvet denir. xn = a ⟹ x a, b R, b ≠ 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere biçiminde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. 7) ( ) 8) Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Pozitif sayıların ise tüm kuvvetleri pozitiftir. Köklü İfadelerin Özellikleri 1) √ 2) √ i | | çi i (√ ) √ √ (k Z+) √ ( n çift ise a > 0 olmalıdır. ) √ √ √ √ √ { 3) √ ÜSLÜ DENKLEMLER 1) a R – {−1, 0, 1}, m, n Z+ için am = an ⇔ m = n dir. 2) an = 1 denkleminde, a) n = 0 dır. (a ≠ 0 ise) b) a = 1 dir. (n R ise) c) a = –1 dir. (n çift ise) ⇒{ çi i √ n Z+ ve a R+ için √ R dir. n pozitif tek tam sayı ve b R– için √ R dir. – n pozitif çift tam sayı ve c R için √ ∉ R dir. 6) R ve n i √ √ √ 2. dereceden (kare) kök a √ 3. dereceden (küp) kök a √ 4. dereceden kök a diye okunur. Üslü İfadelerin Özelikleri a, b R ve m, n Z+ olmak üzere, 1) a1 = a , a0 = 1 , 0n = 0 dır. ( 00 belirsizdir. ) 2) a.an + b.an – c.an = (a + b – c).an 3) an.am = an+m 4) an.bn = (a.b)n 5) (an)m = an.m = (am)n 3) a, b { 4) 5) 6) 7) 8) Z+ için, an = bn i çi i √ √ (y≠0) √ √ √ 10) √ √ √ 9) √ ( ) √ Paydanın Rasyonel Yapılması Çarpımları rasyonel sayı olan iki reel sayıdan her birine diğerinin eşleniği denir. (√ olduğundan √ ) (√ √ ) (√ √ ) ile (√ √ ) eşlenik ifadelerdir. Aşağıdaki tabloda sıklıkla kullanacağımız bazı ifadeler ve eşlenikleri verilmiştir. x y x.y a √ √ a−b √ √ √ √ a+b √ √ √ √ √ ÜSLÜ İFADELERDE EŞİTSİZLİK 1) a > 1 iken an < am ⟹ n < m dir. 2) 0 < a < 1 iken an < am ⟹ n > m dir. KÖKLÜ İFADELER Kök sembolünün kullanılması çok eski dönemlere dayanmaktadır. Mısırlılar, Babilliler, Çinliler ve Hintliler bunun için özel işaretler kullanmışlardır. Bugün kullanılan kök işareti, kök anlamına gelen “radix” sözcüğünün baş harfi olan “r” den gelmektedir. Bu yüzden Latin yazarlar da kök için “R” harfini kullanmışlardır. Bu işaret zamanla bugünkü şeklini almıştır. √ 18 √ √ √ √ a−b 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ √ √ veya √ } olacak şekilde m, n √ √ ifade edebiliriz. ⟺ √ ifadeleri verildiğinde ,√ R+ varsa √ 5) 6) n biçiminde 1) √ √ √ 2) √ √ 3) √ ( ) √ √ ( dir. Doğru Orantı Herhangi bir şekilde birbirlerine bağlı olan iki büyüklükten birisi değiştirildiğinde, ikisindeki değişme oranı da aynı ise bu iki büyüklüğe doğru orantılıdır ya da kısaca orantılıdır denir. Doğru orantılı iki büyüklükten biri artarken diğeri de orantılı olarak artar veya biri azalırken diğeri de orantılı olarak azalır. Doğru orantılı iki büyüklüğün oranı sabittir. k > 0 olmak üzere, ise x ile y doğru orantılıdır. x ile y doğru orantılı ve k R+ ise veya y = k.x tir. √ √ ⟹ a = b.k , c = d.k , e = f.k N olmak üzere, + ⟹ Sonsuz Kökler dır. ) ORAN - ORANTI ORAN Birimleri aynı olan iki çokluğun bölümüne (karşılaştırılmasına) oran denir. En az biri sıfırdan farklı olan a ve b büyüklükleri verildiğinde a nın b ye oranı a : b veya biçiminde gösterilir. Oran bir sayı belirtmekte olup birimi yoktur. Kesirlerde de olduğu gibi oranın payı ve paydası sıfırdan farklı bir sayı ile genişletilebilir veya sadeleştirilebilir. ORANTI İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir. veya a : b = c : d ikili orantısında b ve c ye içler, a ve d ye dışlar denir. y = k.x doğru orantı denkleminin grafiği x, y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile doğru orantılı ise dir. Ters Orantı x ve y herhangi iki büyüklük olsun. Eğer x ile orantısında k orantı sabitidir. biçimindeki üçlü orantı doğru orantılı ise x ile y ters orantılıdır denir. k R+ olmak üzere; x ile y ters orantılı ise x. y = k veya dir. Ters orantılı iki büyüklükten biri arttıkça diğeri azalır. biçiminde de gösterilebilir. Bu gösterimde a ile b, c ile d ve e ile f doğru orantılıdır. Orantının Özelikleri 1) İçler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir. ⟺ b.c = a.d 2) İçler veya dışlar yer değiştirebilir. ⟺ ⟺ 3) m ≠ 0, n ≠ 0 olmak üzere, ⟺ dır. 4) m, n, p aynı anda sıfır olmamak üzere, ters orantı denkleminin grafiği 19 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ x, y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile ters orantılı ise a.x = b.y = c.z = k dır. bilinmeyenleri bir biri cinsinden yazmaya çalışmalıyız. Bileşik Orantı Bir orantının içinde hem doğru hem de ters orantı varsa bu orantıya bileşik orantı denir. x ile y doğru orantılı, x ile z ters orantılı ise Örneğin; herhangi bir sayı x olsun. Bir sayının 5 fazlası: x + 5 Bir sayının üç katı: 3x Bir sayının üçte ikisi : Bir sayının karesi: x2 Bir sayının karesinin üç katı: 3x2 Bir sayının 3 katının karesi: (3x)2 Bir sayının 2 katının 1 eksiği: 2x – 1 ) Bir sayının 2 eksiğinin ü : ( dır. ARİTMETİK ORTALAMA a1, a2, a3 ...... an reel sayılar olmak üzere, A sayısına a1, a2, a3 .......an sayılarının aritmetik ortalaması ya da kısaca ortalaması denir. a ve b nin aritmetik ortalaması: dir. a, b ve c nin aritmetik ortalaması: tür. GEOMETRİK ORTALAMA a1, a2, a3, ...., an gibi n tane pozitif sayının geometrik ortalaması; dir. √ ifadesine a ve b nin geometrik ortası veya orta √ orantısı denir. ifadesine a, b ve c nin geometrik ortası √ denir. YAŞ PROBLEMLERİ Bir kişinin yaşı x ise; k yıl sonraki yaşı: x + k, k yıl önceki yaşı: x − k İki kişinin yaşları toplamı x ise; k yıl sonraki yaşları toplamı: x + 2k k yıl önceki yaşları toplamı: x − 2k a tane kişinin yaşları toplamı A ise; k yıl sonraki yaşları toplamı: A + a.k k yıl önceki yaşları toplamı: A − a.k İki kişinin yaşları arasındaki fark sabittir. HARMONİK ORTALAMA a1, a2, a3,...,an gibi n tane pozitif sayının harmonik ortalaması H ile gösterilirse ( ) dir. a ve b nin harmonik ortalaması, ( )⟹ Bir sayının karesinin 3 eksiğinin yarısı: İki sayının toplamı 5 ise bu sayılar: x ve 5 – x İki sayıdan birinin 2 katı diğerinin 3 katına eşitse bu sayılar sırasıyla, 3x ve 2x tir. Bir sayının karesinin 6 eksiği kendisine eşitse, x2 – 6 = x şeklinde denklemler kurulur. dir. YÜZDE VE KÂR-ZARAR PROBLEMLERİ Yüzde deyimi, paydası 100 olan kesirler için kullanılır. Bir A sayısının % x i: A İki sayının aritmetik ortalaması A, geometrik ortalaması G, harmonik ortalaması H ise G2 = A.H dir. % x i a olan sayı: dir Bir malın satışındaki kâr-zarar durumu alış (maliyet) fiyatı üzerinden hesaplanır. Zam ya da indirim ise satış fiyatı üzerinden hesaplanır. Kâr = Satış fiyatı – Alış fiyatı Zarar = Alış fiyatı – Satış fiyatı PROBLEMLER DENKLEM KURMA Bu konuyu sayı, kesir, yaş, işçi-havuz, yüzde, karışım ve hareket problemleri gibi alt başlıklar altında örneklerle inceleyeceğiz. Bir problemi çözebilmek için, verilen ifadenin matematiksel olarak yazılmasına denklem kurma denir. Semboller kullanılarak kurulan denklemlerin çözülmesi ile problemde istenen bulunur. Bilinmeyen sayısı ne kadar az olursa, çözüm o oranda kolay olacağından eğer mümkünse F: faiz miktarı A: ana para n: faiz yüzdesi t: zaman olmak üzere; 20 9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ Yıllık faiz: Aylık faiz: Günlük faiz: Bileşik faiz: 4) Akıntı problemlerinde; Hareketlinin hızı VH, Akıntının hızı VA olsun. Akıntıya zıt yönde hız = VH − VA dır. Akıntı yönünde hız = VH + VA dır. A( ) A dır. İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan iş üzerinden işlem yapılır. Birim zaman problemde kullanılan birimdir. (1 dakika, 1 saat, 1 gün, 1 ay,... gibi) Bir işçi işin tamamını x günde yapıyorsa bir günde bu işin ini yapar. Bir işçi bir işi a günde, ikinci işçi aynı işi b günde, ikisi birlikte x günde yapıyorlarsa; bağıntısı yazılır. Havuz problemleri de işçi problemleri gibi yorumlanarak çözülür. Havuz problemlerinde dolduran muslukların birim zamanda yaptıkları işin toplamından boşaltan muslukların yaptığı iş çıkarılır. Örneğin; birinci musluk bir havuzu a saatte dolduruyor, ikinci musluk b saatte boşaltıyor ve ikisi birlikte x saatte dolduruyorsa, bağıntısı yazılır. UYARI: t her zaman yıl olarak alınmalıdır. KARIŞIM PROBLEMLERİ Tuz oranı % x olan A litrelik tuzlu su karışımındaki tuz miktarını bu karışıma saf su ilave ederek veya karışımdan su buharlaştırarak değiştiremeyiz. Her iki durumda değişen tuzun yüzdesidir. Çapraz Kuralı: oranı karışımdaki madde miktarlarının oranıdır. İşlem yaparken denklem kurma ve yüzde hesaplarındaki metotlardan faydalanırız x miktar maddenin % a sı tuz, y miktar maddenin % b si tuz, z miktar maddenin % c si tuz Bu maddelerin karıştırılmasıyla oluşan karışımın tuz yüzdesi dir. SAAT PROBLEMLERİ Saat bir çember oluşturduğu için tamamı 360° lik bir yaydır. 12 eşit aralıktan oluştuğu için her aralık 360 : 12 = 30° dir. Yelkovan 1 saatte bir tam tur yaptığından dolayı 360° lik yol alır. 1 dakikada ise 360 : 60 = 6° lik yol alır. Akrep 1 saatte 30° lik, 1 dakikada ise 30 : 60 = (0,5)° lik yol alır. HAREKET PROBLEMLERİ Yol = Hız.Zaman Yol = X, Hız = V, Zaman = t ⟹ X = V.t veya V1, V2 hızları için UYARI: Yelkovan 1 dakikada 6° lik, Akrep 1 dakikada (0,5)° lik yol aldığından 1 dakikada Yelkovan, akrepten (6 − 0,5) = (5,5)° lik fazla yol almış olur. 10 lik fazla yolu : dakikada alır. 1) Aynı yöndeki hareketliler için hızların farkı alınır. (V1 − V2) 2) Zıt yöndeki hareketliler için hızların toplamı alınır. (V1 + V2) 3) Giderken alınan yol dönerken alınan yola eşittir. 21 Saat problemlerinin çözümünde yelkovanı 12 ye getirmekle kolaylık sağlanır. Yelkovanın akrepten kaç derece fazla yol aldığı bulunur ve fazla açı çarpılarak dakikaya çevrilir. Bilinmeyeni (x, y, z, a, ....) gibi sembollerle ifade ederek denklem çözümü yapılır.