Newton-Cotes ile Sayısal˙Integral Hesabı

Newton-Cotes ile Sayısal İntegral Hesabı
• Burda integralin yaklaşık dğerini data noktalarına polinom uydurarak hesaplıyoruz.
Pn
• İntegralin yaklaşık değeri şu genel yapı ile hesaplanabilir: i=1 Aif (xi)
• Burada Ai değerleri kaç nokta ve kaçıncı derece polinom kullandığımıza
göre değişir.
Newton-Cotes ile Sayısal İntegral Hesabı
• Genel olarak n noktadan n − 1. polinom geçirebiliriz
Pn−1(x) =
n
X
f (xi)`i(x)
i=1
• Terimleri düzenlersek
I=
Z b
a
Pn−1(x) dx =
n
X
i=1
[f (xi)
Z b
a
`i(x) dx] =
n
X
i=1
Aif (xi)
(2)
Yamuk Kuralı/Trapezoid Rule ile İntegral Hesaplama
• Burda bir yamuk oluşturarak alanı hesaplıyoruz
(x−x2 )
−(x−b)
n=2 için, ⇒ `1 = (x
=
h
1 −x2 )
−1 b
h
A1 =
(x − b)dx =
h a
2
Z
(x−x1 )
(x−a)
=
Benzer şekilde, `2 = (x
h
2 −x1 )
1 b
h
A2 =
(x − a)dx =
h a
2
Z
Yamuk Kurali/Trapezoid Rule ile İntegral Hesaplama
• Yerine koyarsak
I = [f (a) + f (b)]
h
2
(Y amuk Kuralı)(3)
• Ya da direkt geometrik olarak alan hesabından aynı sonuca ulaşabiliriz.
Bileşik Yamuk Kuralı/Composite Trapezoidal Rule
ile İntegral Hesabı
• Burda noktaları iki iki gruplayıp her iki noktadan bir doğru geçirerek
integral hesabı yapıyoruz, yani küçük küçük yamuklar oluşturarak
alanları topluyoruz.
h
Ii = [f (xi) + f (xi+1)]
2
n−1
X
h
I=
Ii = [f (x1) + 2f (x2) + 2f (x3) + ... + 2f (xn−1) + f (xn)] (4)
2
i=1
Bileşik Yamuk Kuralının Recursive olarak
Hesaplanması
• Ik → 2k−1 panel (yamuk) kullanılarak hesaplanan integral olsun.
H = b − a; I1 = [f (a) + f (b)]
H
2
H
H
1
H H
k = 2 : I2 = [f (a) + 2f (a + ) + f (b)] = I1 + f (a + )
2
4
2
2 2
k = 3 : I3 =
1
H
3H H
I2 + [f (a + ) + f (a +
)]
2
4
4
4
• Genel terim:
k−1
(2i − 1)H
1
H 2X
f [a +
],
Ik = Ik−1 + k−1
k−1
2
2
2
i=1
k = 2, 3..(5)
• Yani her aşamadki sonucu bir önceki aşamadaki sonucu kullanarak
hesaplayabiliyoruz.
Simpson Kuralı ile İntegral Hesabı
• Burda noktaları iki iki gurplamak yerine üç üç gruplayıp, bir parabol
geçiriyoruz.
h
a+b
) + f (b)]
I = [f (a) + 4f (
2
3
Sonuç olarak:
Z x
i+2
xi
Z b
a
f (x)dx ≈ [f (xi) + 4f (xi+1) + f (xi+2)]
f (x)dx =
Z x
n
x1
f (x)dx =
n−2
X
i=1,3,..
[
Z x
i+2
xi
h
3
f (x)dx]
(∗)
(∗∗)
Simpson Kuralı ile İntegral Hesabı
• Birden fazla üçlü grup oluşturup birleştirirsek:
Z b
a
f (x)dx ≈ I =
h
[f (x1)+4f (x2)+2f (x3)+4f (x4)+...+2f (xn−2)+4f (xn−1)+f (xn)]
3
Simpson Kuralının Çıkarımı
• 3 noktadan geçen parabolü Lagrange yöntemi ile bulalım:
(x − x2)(x − x3)
,
`1(x) =
(x1 − x2)(x1 − x3)
(x − x1)(x − x3)
`2(x) =
,
(x2 − x1)(x2 − x3)
(x
`3(x) =
(x3
Rb
R
ξ1 = −h, ξ2 = 0, ξ3 = h, then Ai = a `i(x) = − hh`i(ξ)dξ
Z
Z
1
(ξ
−
0)(ξ
−
h)
h (ξ 2 − hξ)dξ = h
A1 =
dξ =
hh
h
(−h)(−2h)
2h2 −
3
−
−1
4h
(ξ + h)(ξ − h)
h
2
2
h
dξ = 2
A2 =
h
h (ξ − h )dξ =
(h)(−h)
h −
3
−
Z
Z
(ξ + h)(ξ − 0)
1
h (ξ 2 + hξ)dξ = h
dξ =
A3 =
hh
h
(h)(2h)
2h2 −
3
−
Z
Z
• Sonuç olarak:
3
X
a+b
h
I=
Aif (xi) = [f (a) + 4f (
) + f (b)]
2
3
i=1