1.5 Tanım Düzeyinde Ayrısım¨Ozellikleri

14
1. Topolojik Uzaylar
1.5
Tanım Düzeyinde Ayrışım Özellikleri
(X, τ ) bir toplojik uzay olmak üzere, x, y ∈ X ve x 6= y olsun.
x ∈ U, y 6∈ U
olacak biçimde U ∈ τ var ise, bu durum x 6= y olmasından daha kuvvetli bir
özelliktir. Bundan daha kuvvetli bir özellik ise,
x ∈ U \ V , y 6∈ V \ U
olacak biçimde U , U ∈ τ açık kümelerinin olmasıdır. Hat da, U ∩ V = ∅ olması
ayrışımın daha kuvvetli olmasıdır.
Yukarıdaki türde verilen ayrışımlar bazı noktolar için gerçleşse de, bazı ikili
noktalar için gerçekleşmeyebilir. Ama gerçekleşmesi işimizi kolaylaştıracaktır.
Bu bölüme yukarıda verilen ayrışımları sınıflayacağız. Bu sınıflamalardan bazıları
bir topolojik uzayda tek elemanlı kümelerin kapalı olmasına denk olacaktır.
Tanım 1.15. (X, τ ) topolojik uzay olsun. X uzayının T0 , T1 ve T2 olması
aşağıdaki gibi tanımlanır.
(i) T0 -uzayı:,”x,y ∈ X, x 6= y =⇒ ∃U ∈ τ, x ∈ U \ {y} ya da y ∈ U \ {x}”
(ii) T1 -uzayı:, ”x,y ∈ X, x 6= y =⇒ ∃U, V ∈ τ, x ∈ U \ V ve y ∈ V \ U ”.
(iii) T2 -uzayı: ”x,y ∈ X, x 6= y =⇒ ∃U, V ∈ τ, U ∩ V = ∅, x ∈ U ve y ∈ V ”.
denir.
Literatürde T0 uzayına Kolmogorov uzayı, T1 uzayına Frechet uzayı,
T2 uzayına Hausdorff uzayı denir.
Bir X topolojik uzayında
T2 =⇒ T1 =⇒ T0
olmasına karçın tersleri doğru değildir.
Bir topolojik uzayın T4 , T5 ve T6 olmaları ise açağıdaki gibi tanımlanır.
Tanım 1.16. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun. X uzayına:
(i) T3 -uzayı: ”x ∈ X, K ⊂ X kapalı ve x 6∈ K =⇒ ∃U, V ∈ τ, x ∈ U ,
K ⊂ V , U ∩ V = ∅”.
(ii) T4 -uzayı : ”K, F ⊂ X kapalı ve K ∩ T = ∅ =⇒ ∃U, V ∈ τ, T ⊂ U ,
K ⊂ V ve U ∩ V = ∅”
(iii) T5 -uzayı: ”K, T ⊂ X, T ∩ K = K ∩ T = ∅ =⇒ ∃U, V ∈ τ, T ⊂ U ,
K ⊂ V ve U ∩ V = ∅”
1.5. Tanım Düzeyinde Ayrışım Özellikleri
Tanım 1.17.
7
15
(X, τ ) bir topolojik uzay olsun. X uzayına:
(i) düzenli: X T0 ve T3 uzayı ise.
(ii) normal : X, T1 ve T4 uzayı ise.
(iii) tümüyle normal: X T1 ve T5 uzayı ise.
Alıştırmalar
1.50. Bir topolojik uzay X için aşağıdakiler denkiğini gösteriniz.
(i) X, T0 -uzayıdır.
(ii) x,y ∈ X, x 6= y için {x} 6= {y} dir.
(iii) x,y ∈ X, x 6= y için x 6∈ {y} ya da y 6∈ {x}.
1.51. Bir topolojik uzay (X, τ ) için aşağıdakiler denkliğini kanıtlayınız.
(i) T1 -uzayıdır.
(ii) Her x ∈ X için {x} kapalıdır.
(iii) Her x ∈ X için {x} = ∩{X \ U : x 6∈ U ∈ τ }
(iv) x,y ∈ X, x 6= y için {x} ∩ {y} = ∅.
(v) x,y ∈ X, x 6= y için x 6∈ {y}.
1.52. Bir topolojik uzay (X, τ ) için aşağıdakiler denkliğini gösteriniz.
(i) T2 -uzayıdır.
(ii) Her x ∈ X için {x} = ∩{U : x ∈ U ∈ X }.
(iii) {(x, x) : x ∈ X} = (X \ U ) ∪ (X \ V ) olacak biçimde U , V ∈ τ vardır.
1.53. X, T3 uzayı olsun. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) X, T0 -uzayıdır.
(ii) X, T2 -uzayıdır.
1.54. X, T4 uzayı olsun. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) X, T1 -uzayıdır.
(ii) X, T2 -uzayıdır.
1.55. X, T5 uzayı olsun. Aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) X, T1 -uzayıdır.
(ii) X, T2 -uzayıdır.
1.56. X bir topolojik uzay ve B bir topolojik taban olsun. A = {(x, y) : x, y ∈ X, x 6= y}
olmak üzere, aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) X, T0 -uzayıdır.
7
Literatürde i = 1, 2, 3 için Ti uzaylarının tanımları standart olmasına karşin, i = 3, 4, 5
için Ti -uzaylarının tanımları standart değildir. Örneğin, yukarıda tanımlanan düzenli uzay
tanımı, Handbook of General topoloji ve Counterexample in Topology kitaplarındaki tanımla
uyumlu olmasına karşın, Engelking’in General Topoloji kitabında T3 uzayı düzenli uzay
analmındadır.
16
1. Topolojik Uzaylar
(ii) {x, y} 6⊂ T0 (x, y) ve {x, y} ∩ T0 (x, y) 6= ∅ özelliğinde T0 : A → B fonksiyonu vardır.
1.57. X bir topolojik uzay ve B bir topolojik taban olsun. A = {(x, y) : x, y ∈ X, x 6= y}
olmak üzere, aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) X, T0 -uzayıdır.
(ii) x ∈ T1 (x, y) ve y 6∈ T1 (x, y) özelliğinde T1 : A → B fonksiyonu vardır.
1.58. X bir topolojik uzay ve B bir topolojik taban olsun. A = {(x, y) : x, y ∈ X, x 6= y}
olmak üzere, aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) X, T2 -uzayıdır.
(ii) x ∈ T1 (x, y), y 6∈ T1 (x, y) ve T2 (x, y) ∩ T2 (y, x) = ∅ özelliğinde T2 : A → B
fonksiyonu vardır.
1.59. T2 =⇒ T1 =⇒ T0 olsuğu bariz. Terseleinin doğru olmadığını gösteriniz:
(i) T0 6=⇒ T1 ve T0 6=⇒ T4 : X = [−1, 1] olamak üzere, X üzeriinde,
B = {[−1, a) : a < 0} ∪ {(b, 1] : b < 0}
tarafından üretilen topoloji8
τ = {[−1, b) : b > 0} ∪ {(a, b) : a < 0 < b} ∪ {(a, 1] : a < 0}
dir. X topolojik uzayı T0 fakat T1 değildir, çükü {0} kümesi kapalı değildir. Ayrıca
{−1} ve {1} kümeleri kapalı ve −1 ∈ U ve 1 ∈ V olacak biçimde U ve V açık
kümeleri olmadığından T4 değildir.
(i) T1 6=⇒ T2 : X sonsuz bir küme ve τ , X üzerinde tümleyeni sonlu topoloji, yani
τ = {U ⊂ X : X \ U
sonlu}
olsun. X uzayı T1 -fakat T2 değildir.
0
0
1.60. (X, τ ) tümleyeni sonlu topolojik uzay ve (X, τ ) T1 -uzay olsun. τ ⊂ τ olduğunu gösteriniz.
1.61. Boşkümeden farklı ayrık iki açık küme bulundurmayan topolojik uzaya hyperconnected uzay uzay denir.
(iii) Sonsuz hyperconnected topolojik uzayın i = 2, 3, 4, 5 için Ti uzayı olamayacağını
gösteriniz.
(iii) Sonsuz ve tumleyeneni sonlu topolojik uzayın hyperconnected olduğunu gösteriniz.
1.62. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun.
x ≡ y ⇐⇒ {x} = {y}
olarak tanımlanan ≡ ilişkisinin bir denklik ilişkisi olduğu barizdir. Y , X’nin elemanlarının denklik sınıflarının kümesi olama üzere, q : X → Y , q(x) = [x] olarak tanımlansın.
τY = {U ⊂ Y : q −1 (U ) ∈ τ }
olarak tanımlanan topolojiye göre Y ’nin T0 -uzayı olduğunu gösteriniz.
1.63. (X, τ ) T0 -uzay ve B, X’nin w(X) = |B| özelliğinde topolojik tabanı olsun. |X| ≤ |P(B)|
olduğunu gösteriniz.
Kanıt: . Her x ∈ X için, B(x) = {U ∈ τ : x ∈ U } olarak tanımlansın.
π : x → P(B), π(x) = B(x)
olarak tanımlanan fonksiyon birebir dir.
8
bu topolojiye overlapping interval topology denir.
1.5. Tanım Düzeyinde Ayrışım Özellikleri
17
1.64. (X, τ ) Haudsorff uzay ve A ⊂ X yoğun küme, yani A = X olsun.
|X| ≤ |P(P(A))|
olduğunu gösteriniz.
Kanıt: Her x ∈ X için,
A(x) = {U ∩ A : x ∈ U ∈ t}
olarak tanımlansın. Her U ∈ τ için U ∩ A = U ve her x ∈ X için
{x} = ∩x∈U ∈τ U
olmasından dolayı, x 6= y için A(x) 6= A(x) dir. Böylece,
π : X → P(P(A)),
π(x) = A(x)
olarak tanımlanan fonksiyon birebir dir.
1.65. (Laliha(1967), Crisler(1974)) (X, τ ) T1 -uzay olsun.
0
0
τ = ∩{τ : (X, τ )
olduğunu gösteriniz.
T2 − uzay}