Cebir III Ödev 2

CEBİR III ÖDEV 2
1. Aşağıdaki iddialar doğru mudur? Neden?
a) F ≤ E bir cisim genişlemesi, α ∈ E olsun. Eğer, α 2 F üzerinde cebirsel ise, α da F
üzerinde cebirseldir.
b) F ≤ E bir cisim genişlemesi, α , β ∈ FE , f ( x) ∈ F [ x]* olsun. Eğer, f (α ) = f ( β ) = 0 ise,
ϕ (α ) = β olacak biçimde bir ϕ : F (α ) → F ( β ) halka izomorfisi vardır.
c) p bir pozitif asal sayı, f ( x) ∈ _[ x], a, b ∈ _ olsun. Eğer, a + b p ,
f ( x) in bir kökü
ise a − b p de f ( x) in bir köküdür.
d) _( 7) = _( 5) tir.
e) F ≤ E bir cisim genişlemesi, α , β ∈ FE
olsun. Bu durumda,
[ F (α , β ) : F ] = deg(α , F ) deg( β , F )
dir.
f) ⎡⎣ _( 2,1 − 2) : _ ⎤⎦ = 4 tür.
g) π 3 ∈ \,
_ üzerinde cebirseldir.
ğ) Transandant sayılar kümesi reel sayılar kümesinin bir alt kümesidir.
h) \ ≤ ^ bir basit genişlemedir.
ı) [ F : ^ ] = 2 olacak biçimde bir ^ ≤ F cisim genişlemesi vardır.
i) F cebirsel kapalı bir cisim, f ( x) ∈ F [ x] olsun. Eğer, f ( x) ∈ F [ x] asal ise, deg f ( x) = 1
dir.
j) F bir cisim olsun ve p := karF ≠ 0 biçiminde tanımlansın. Bu durumda,
ϕ : F → F ; a 6 ap
k)
7 ∈_
l) deg
(
F nin bir otomorfisidir.
( 7 ) dir.
5
3, _
( 3 )) = 2
7
m) Her basit genişleme sonludur.
n) F ≤ E bir sonlu basit cisim genişlemesi olsun. Bu durumda, [ E : F ] bir asal sayıdır.
o) F ≤ E bir cisim genişlemesi olsun. Eğer bu genişleme sonlu bir genişleme ise, FE = E
dir.
ö) p bir pozitif asal sayı, ] p ≤ E bir cisim genişlemesi; α ∈ E , f ( x) ∈ ] p [ x ] monik
*
polinomunun bir kökü olsun ve n := deg f ( x) biçiminde tanımlansın. Bu durumda,
] p (α ) = p n
dir.
p) F ≤ E bir cisim genişlemesi, α ∈ FE , a, b ∈ F olsun. Bu durumda,
deg(a + bα , F )⏐ deg(α , F )
dir.
r) F ≤ E bir cisim genişlemesi olsun. Eğer FE = E ise, F ≤ E bir sonlu genişlemedir.
s) F ≤ E bir cisim genişlemesi, α ∈ E , F üzerinde cebirsel, n bir doğal sayı,
deg(α , F ) = 2n olsun. Bu durumda, deg(α 2 , F ) = n dir.
ş) F bir cisim olsun. Eğer aşağıdaki koşul gerçeklenirse, F cebirsel kapalı bir cisimdir:
“Her f ( x) ∈ F [ x] asal polinomu için deg f ( x) = 1 dir”
Not: POLİNOMLAR HALKASINDAKİ ASALLIK KRİTERLERİNİ ÇALIŞMAYI
UNUTMAYINIZ.