Altkümeler, 01-Dizileri ve Fibonacci Dizisi

Matematik Dünyas›, 2012-III
Popüler Matematik
Altkümeler, 01-Dizileri ve
Fibonacci Dizisi
Prof. İ. T. Erol
Örnek 3. ‹çinde 10 belirmeyen diziler, bir
0≤k≤n
için son k say›y› içeren kümeleri kodlarlar.
1. Altkümeler
Bir 01-dizisi, 0 ve 1’lerden oluflan bir dizidir.
Bu yaz›da sadece sonlu uzunluktaki dizilerden
sözedece€iz. Örne€in
00111001010011
uzunlu€u 14 olan bir 01-dizisidir.
Uzunlu€u n olan 2n tane dizi oldu€unu herkes
biliyor olmal›; n elemanl› bir kümenin altküme
say›s› kadar. Uzunlu€u 0 olan 20 = 1 tane dizi
vard›r; içinde hiç 0 ya da 1 ya da herhangi bir simge olmayan bu diziye bofldizi ad› verilir ve bofldizi
〈 〉 olarak gösterilir.
{1, 2, ..., n} kümesinin her altkümesini n
uzunlu€unda bir 01-dizisi olarak kodlayabilriz.
Örne€in, n = 6 ise,
001101
dizisi {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin
{3, 4, 6}
altkümesini kodlar. Anlafl›lm›flt›r herhalde: Dizinin
i’inci terimi 0 ise i eleman› altkümede de€il, 1 ise
i eleman› altkümede demektir. Örne€in sadece
0’lardan oluflan dizi boflkümeyi, sadece 1’lerden
oluflan dizi ise tüm kümeyi kodlar. 1010101... diye
devam eden dizi de tek say›lardan oluflan kümeyi
kodlar.
Örnek 4. ‹çinde 001 belirmeyen diziler, iki
ard›fl›k say›y› içermedi€inde o say›lardan büyük
hiçbir say›y› içermeyen altkümeleri kodlarlar.
Al›flt›rmalar
1. Tersten dizildi€inde de€iflmeyen dizilere palendromik ya da simetrik dizi denir. n uzunlu€unda
kaç simetrik dizi vard›r?
2. ‹çinde 101 belirmeyen diziler, hangi altkümeleri kodlarlar?
3. ‹çerdi€i her say› için, o say›n›n ya bir
küçü€ünü ya da bir büyü€ünü içeren (her ikisini
birden de içerebilir)
{1, 2, ..., n}
kümesinin altkümeleri ne tür 01-dizileri taraf›ndan
kodlan›rlar?
4. Ard›fl›k her üç say›n›n en az birini içeren
kümeler ne tür 01-dizileriyle kodlan›rlar?
Bu yaz›da yukardaki örneklerdeki gibi belli
bir özelli€i olan 01-dizilerini sayaca€›z, böylece
belli özelli€i olan altkümeleri de saym›fl olaca€›z.
Kolayl›k olmas› aç›s›ndan 01-dizisi yerine k›saca
dizi diyece€iz.
Örnekler
Örnek 1. ‹çinde 00 belirmeyen diziler, ard›fl›k
iki say›dan en az birinin altkümede bulundu€u
altkümeleri kodlarlar.
2. 01-Dizileri
Örnek 5. ‹çinde 01 olmayan n uzunlu€unda
kaç tane dizi vard›r?
Çözüm: Dizinin içinde 01 yoksa, dizide beliren ilk 0’dan sonra hep 0 belirmeli. Yani dizinin
bafl›nda belli say›da 1 olmal›, ve beliren ilk 0’dan
sonra dizide hep 0 olmal›. Örne€in içinde 01 olmayan 5 uzunlu€unda 6 dizi vard›r:
Örnek 2. ‹çinde 01 belirmeyen diziler, bir
0≤k≤n
için ilk k say›y› içeren kümeleri kodlarlar çünkü bu
dizilerde 0 belirir belirmez sonra gelen tüm terimler 0 olmak zorundad›rlar.
80
Matematik Dünyas›, 2012-III
Bu yöntemle a1000 say›s›n› hesaplaman›n zahmetli olaca€› belli. Yaz›n›n ikinci k›sm›nda an için
kapal› bir formül bulaca€›z.
Asl›nda bu aflamada an say›s›n›n neye eflit
oldu€unu tahmin edebilsek, (1) formülünü kullanarak formülü tümevar›mla oldukça kolay bir biçimde kan›tlayabiliriz ama ne yaz›k ki bu formülü
tahmin etmek hiç kolay de€ildir.
fiimdi problemi biraz daha zorlaflt›ral›m.
11111, 11110, 11100,
11000, 10000, 00000.
Genel olarak içinde 01 bulunmayan n uzunlu€undaki dizilerin say›s› n + 1’dir.
‹çinde 10 olmayan dizilerin say›s› da ayn›d›r
elbette.
Bu problem kolayd›. Daha zorlar›na geçelim.
Örnek 6. ‹çinde 00 olmayan n uzunlu€unda
kaç dizi vard›r?
Çözüm: ‹çinde 00 olmayan n + 1 uzunlu€unda
bir dizinin son rakam› elbette ya 0’d›r ya da 1’dir.
E€er dizinin son rakam› 1 ise, bu 1’i silerek içinde
00 olmayan n uzunlu€unda bir dizi elde ederiz.
E€er son rakam 0 ise, sondan bir önceki rakam
1 olmak zorundad›r, yani dizi 10 ile bitmek
zorundad›r; diziden son iki rakam› silersek, içinde
00 olmayan n − 1 uzunlu€unda bir dizi elde ederiz.
Ters istikamette, e€er içinde 00 olmayan n
uzunlu€unda bir dizi al›rsak ve bu dizinin sonuna
1 eklersek, içinde 00 olmayan n + 1 uzunlu€unda
bir dizi elde ederiz; ayn› flekilde içinde 00 olmayan
n − 1 uzunlu€unda bir dizi al›rsak ve bu dizinin
sonuna 10 eklersek, içinde 00 olmayan n + 1 uzunlu€unda bir dizi elde ederiz.
Yukarda söylemek istediklerimizi matematiksel olarak flöyle daha iyi ifade ederiz:
E€er An, içinde 00 olmayan n uzunlu€undaki
diziler kümesiyse,
An+1 = An1 ⊔ An−110
olur. Böylece e€er |An| = an ise,
an+1 = an + an−1
(1)
elde ederiz. Yani her a önceki iki a’n›n toplam›d›r.
(Bu diziye Fibonacci dizisi denir.) Bu formül sayesinde e€er a0 ve a1’i bilirsek, tüm an say›lar›n› teker
teker hesaplayabiliriz; a0 ve a1’i bulmak da hiç zor
de€il: a0 = 1 ve a1 = 2. Dolay›s›yla
a0 = 1
a1 = 2
a2 = 3
a3 = 5
a4 = 8
a5 = 13
a6 = 21
a7 = 34
a8 = 55
a9 = 89
a10 = 144
olur.
Örnek 7. ‹çinde 000 olmayan n uzunlu€unda
kaç dizi vard›r?
Çözüm: Bu tür dizilerden oluflan kümeye An
ve An’nin eleman say›s›na da an diyelim. An+2’den
bir eleman alal›m.
E€er bu eleman›n sonunda 1 varsa o zaman
bu 1’i silerek An+1’den bir eleman elde ederiz. Ve
bunun tersi de do€rudur: An+1’den bir eleman›n
sonuna 1 koyarak An+2’den bir eleman elde ederiz.
E€er An+2’den al›nan eleman›n sonunda 0
varsa, bu en sondaki 0’dan önce ya 1 vard›r ya da
0, yani eleman›n sonu ya 10 ile ya da 00 ile biter.
E€er eleman›n sonunda 10 varsa, en sondaki bu
10’› kald›rarak An’den bir eleman elde ederiz. Bunun tersi de do€rudur: An’den al›nan rastgele bir
eleman›n sonuna 10 koyarsak An+2’den bir eleman
elde ederiz. Öte yandan An+2’den al›nan eleman›n
sonunda 00 varsa, bu en sondaki 00’dan önce 1
olmal›, yani eleman 100 ile bitmeli ve bu en sondaki 100 at›ld›€›nda geriye An−1’den bir eleman
kalmal›. Bunun tersi de do€rudur: An−1’den al›nan
bir eleman›n sonuna 100 eklenirse, An+2’den bir
eleman elde ederiz.
Yukardaki paragraflarda söylenmek istenen flu:
An+2 = An+1 ⊔ An ⊔ An−1,
yani
an+2 = an+1 + an + an−1.
Bu da flu demektir: E€er ilk üç an’yi bilirsek,
di€erlerini sab›rla hesaplayabiliriz. ‹lk üç an’yi bulmak da pek zor de€il:
a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4.
Demek ki, örne€in,
a3 = 1 + 2 + 4 = 7,
a4 = 2 + 4 + 7= 13,
a5 = 4 + 7 + 13 = 24.
Genel formülün nas›l bulunaca€›n› daha sonra
görece€iz.
81
Matematik Dünyas›, 2012-III
Örnek 8. ‹çinde 010 olmayan n uzunlu€unda
kaç dizi vard›r?
Çözüm: Yukardaki örneklerde uygulanan yöntemi uygulamaya çal›flal›m. Yönteme bir fleyler
eklemek zorunda kalaca€›z.
‹çinde 010 olmayan n uzunlu€undaki diziler
kümesi An olsun.
E€er An+1’den al›nan bir eleman›n en sonunda
1 varsa, bu 1’i silersek An’den bir eleman buluruz.
Ve, tam tersine, An’den bir eleman›n sonuna 1
koyarsak An+1’den bir eleman elde ederiz. Öte
yandan e€er An+1’den al›nan bir eleman›n sonunda
0 varsa, bu 0’dan önce 01 olamaz. İçinde 010 olmayan ve ayr›ca 01 ile bitmeyen n uzunlu€undaki
diziler kümesi Bn olsun. Demek ki An+1’den al›nan
bir eleman›n sonunda 0 varsa, bu 0’› atarsak
Bn’den bir eleman buluruz. Ve, tam tersine Bn’den
bir eleman›n sonuna 0 eklersek An+1’den bir eleman buluruz. Bu paragrafta
An+1 = An1 ⊔ Bn0
eflitli€ini kan›tlad›k. E€er An’nin eleman say›s›na
an, Bn’nin eleman say›s›na bn dersek,
an+1 = an + bn
(2)
eflitli€ini kan›tlam›fl olduk.
E€er Bn’den bir eleman›n sonunda bir 0 varsa, bu 0’› atarak Bn−1’den bir eleman buluruz.
Ve, tam tersine Bn−1’den bir eleman›n sonuna
0 eklersek Bn’den bir eleman elde ederiz. E€er
Bn’den bir eleman›n sonunda bir 1 varsa, bu 1’den
önceki terim 0 olamaz, dolay›s›yla 1 olmal›, yani
bu eleman›n en sonunda 11 olmal›: bu en sondaki
11’i atarsak An−2’den bir eleman buluruz. Ve, tam
tersine An−2’den bir eleman›n sonuna 11 eklersek
Bn’den bir eleman buluruz. Sonuç olarak,
Bn = Bn−10 ⊔ An−211
eflitli€ini, yani
bn = bn−1 + an−2
(3)
eflitli€ini kan›tlad›k.
fiimdi (2) eflitli€ini n ve n − 1 için yazal›m:
an+1 = an + bn
an = an−1 + bn−1
Bu eflitliklerden ikincisini birincisinden ç›kar›rsak,
an+1 − an = an − an−1 + (bn − bn−1)
buluruz. Bu eflitlik ve (3) eflitli€i
an+1 − an = an − an−1 + an−2
eflitli€ini, yani
an+1 = 2an − an−1 + an−2
(4)
eflitli€ini verir. Böylece a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4 eflit-
liklerinden (4) sayesinde istedi€imiz an’yi (biraz
sab›rla) bulabiliriz. Örne€in,
a3 = 2a2 − a1 + a0 = 8
a4 = 2a3 − a2 + a1 = 14
a5 = 2a4 − a3 + a2 = 24
olur.
Al›flt›rmalar
5. ‹çinde 110 bulunmayan kaç tane 10 uzunlu€unda 01-dizisi vard›r?
6. ‹çinde 110 bulunmayan n uzunlu€undaki
01-dizisi say›s›n›n, içinde 100 bulunmayan 01-dizisi say›s›na eflit oldu€unu kan›tlay›n.
7. İçinde 012 bulunmayan n uzunluğunda
012-dizilerinin sayısını bulun.
8. İçinde 011 bulunmayan n uzunluğunda
012-dizilerinin sayısını bulun.
9. 00 ve 1 simgeleriyle n uzunluğunda kaç
01-dizisi yazılabilir?
3. Fibonacci Dizisi ‹çin
Kapal› Bir Formül
Örnek 6’da a0 = 1, a1 = 2 ile bafllayan ve daha
sonraki terimleri
an+1 = an + an−1
formülüyle tan›mlanan ve Fibonacci dizisi olarak
adland›r›lan diziyle muhattap olduk. Formülü
kullanarak
a10 = 144
eflitli€ini bulduk. Ama ya a1000 say›s› istenmifl
olsayd›? O zaman baya€› uzun hesaplar yapmak
zorunda kalacakt›k. Bu bölümün amac› an için
“kapal›” bir formül bulmak, yani içine n’nin
de€eri yerlefltirildi€inde bize hemen an de€erini
veren bir formül bulmak.
Her n ∈ N için
xn = f
an
an + 1
p
ve
A=c
0 1
m
1 1
olsun. O zaman
x0 = f
ve her n ∈ N için
82
a0
1
p=c m
a1
2
Matematik Dünyas›, 2012-III
olmal›. Hesaplar yap›nca bir hata yapmad›€›m›z
ve eflitli€in do€ru oldu€u kolayl›kla görülür. Buradan, biraz hesapla,
xn+1 = Axn
olur. Buradan da her n ∈ N için
Anx0 = xn
ç›kar.
An matrisini hesaplayal›m. Bunu yapmak için
önce A matrisini çapraz matris haline sokal›m.
(E€er bu mümkün de€ilse Jordan kanonik biçime
sokmak gerekir.) Bunu yapmak için de matrisin
özde€erlerini ve özvektörlerini bulal›m:
det (A − xId2) = det c
n
λ+ 0
λ+ 0 n
An = f P c 0 λ m P−1 p = P c 0 λ m P−1
−
−
= Pf
−x 1
m
1 1−x
f
1! 5
2
an
an + 1
p = xn = An x0
ve
an =
1
p
λ!
1 a n−1
m
− m−n − 1 + 2m+n − 2m−n k
5 +
olur2. Böylece do€rudan bir hesapla, mesela a52’yi
bulabiliriz:
a52 = 86.267.571.272.
Ayr›ca an için bulunan formülün her zaman bir
do€al say› vermesinin bafll› bafl›na flafl›rt›c› bir olgu
oldu€una dikkatinizi çekeriz. ♦
Al›flt›rmalar
13. a0 = 0, a1 = 1 olsun ve n ≥ 2 için an sayıları
ƒn = 3ƒn−1 − 2ƒn−2
formülüyle tanımlansın. ƒn için kapalı bir formül
bulun.
14. ƒ0 = 0, ƒ1 = 1, ƒ2 = 2 olsun ve n ≥ 3 için
ƒn sayıları
ƒn = ƒn−1 + ƒn−2 + ƒn−3
formülüyle tanımlansın. ƒn için kapalı bir formül
bulun.
15. a0 = 1, an = 3an−1 − 1 olsun. an için kapalı
bir formül bulun.
1 1
P = f λ λ p.
+ −
P’nin tersini bulmak zor de€il:
1 f λ− − 1 p
.
5 − λ+ 1
fiimdi
λ+ 0
P−1 AP = c 0 λ m
−
2
λn− − λn+
p
n +1
λ− − λn+ +1
n−1
n−1
λn− − λn+
1
1 f λ− − λ+
n
n
n+1
n + 1 pc m
λ− − λ+
λ− − λ+
5
2
J n−1
N
n−1
n
n
1 K λ − − λ + + 2 ^ λ − − λ+ h O
=−
K
O
5 Kλ−n − λ+n + 2 a λ−n + 1 − λ+n + 1 kO
L
P
buluruz. Bu vektörlerin gerçektende, s›ras›yla, λ±
özde€erlerine tekabül eden özvektörler olduklar›n›
kontrol etmek zor değildir. (Herhangi bir hesap
hatası olasılığına karşı bu kontrolün yapılmasını
önemle öneririz.)
fiimdi P, kanonik tabanı oluşturan e1 ve e2 vektörlerini v+ve v− vektörlerine götüren dönüflümün
matrisi olsun:
1
n −1
1 f λ− − λ+
λn− − λn+
5
=−
dir1. (‹ki de€iflik özde€er oldu€undan, A matrisi
bir baflka tabanda çapraz matris olarak yaz›l›r.)
Bu özde€erlere tekabül eden v± ≠ 0 özvektörleri
bulal›m.
Av± = λ±v±
denklemini çözersek
P−1 = −
p P−1
bulunur. Dolay›s›yla,
oldu€undan, özde€erler
v! = f
0 λn−
n −1
=−
= − x ( 1 − x) − 1 = x2 − x − 1
m! =
λn+ 0
Afla€›daki hesaplarda λ+λ− = −1 ve λ±2 − λ± − 1 = 0
eflitlikleri gerekecek. Ayr›ca λ+, alt›n oran ad›yla bilinen
sabittir.
Bu hesaplar› daha çabuk yapabilmek için λ±2 = λ± + 1
eflitlikleri kullan›labilir.
83