b˙ıt˙ırme ödev˙ıı arasınav sorularının çözümler˙ıaaaaaaa

AKDENI·Z ÜNI·VERSI·TESI·
MATEMATI·K BÖLÜMÜ
BI·TI·RME ÖDEVI· I
ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERI·
2015 - 2016 GÜZ DÖNEMI·
ADI SOYADI : ...............................................................
NO : ......................................
A A A A A A A
SINAV TARI·HI· VE SAATI· :
Bu s¬nav 40 sorudan oluşmaktad¬r ve s¬nav süresi 90 dakikad¬r.
SINAVLA I·LGI·LI· UYULACAK KURALLAR
1. Cevap ka¼
g¬d¬n¬za soru kitapç¬g¼¬n¬z¬n türünü işaretlemeyi unutmay¬n¬z.
2. Her soru eşit de¼
gerde olup, puanlama yap¬l¬rken do¼
gru cevaplar¬n¬z¬n say¬s¬ndan yanl¬ş cevaplar¬n¬z¬n
say¬s¬n¬n dörtte biri düşülecektir.
3. S¬navda pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yard¬mc¬araçlar ve müsvedde ka¼
g¬d¬kullan¬lmas¬yasakt¬r. Tüm işlemlerinizi soru kitapç¬g¼¬üzerinde yap¬n¬z.
4. S¬nav süresince görevlilerle konuşulmayacak ve onlara soru sorulmayacakt¬r. Yanl¬ş oldu¼
gunu
düşündü¼
günüz sorularla ilgili, görevlilere soru sormay¬n¬z. Bu çok küçük bir olas¬l¬k olsa da, jüri bu
tür durumlar¬daha sonra de¼
gerlendirecektir.
5. Ö¼
grencilerin birbirlerinden kalem, silgi vb. şeyler istemeleri yasakt¬r.
6. D¬şar¬ya ç¬kan bir aday tekrar s¬nava al¬nmayacakt¬r.
7. Cep telefonuyla s¬nava girmek yasakt¬r. Cep telefonunuzu görevliye teslim ediniz.
8. Soru kitapç¬klar¬toplanacakt¬r.
1
A
A
x2 +1
fonksiyonu aşa¼
g¬daki aral¬klar¬n hangisinde azaland¬r?
x
A) ( 1; 0)
B) ( 2; 1)
C) ( 1; 0)
D) (0; 2)
E) (0;1)
1. f (x) =
Çözüm :
f 0 (x) < 0 oldu¼
gu aral¬kta fonksiyon azaland¬r:
x2 1
< 0 ise x 6= 0, x2 1 < 0 eşitsizli¼
gine göre, ( 1; 0) [ (0; 1) elde edilir. Yan¬t
x2
C. f fonksiyonu ( 1; 0) aral¬g¼¬nda azaland¬r.
f 0 (x) =
2. f (x) = x (x2 1) (x2 4) olmak üzere f 0 (x) = 0 denkleminin kaç reel kökü vard¬r.
A) 0
B) 1
Çözüm :
f (x) = x (x2
C) 2
1) (x2
D) 3
E) 4
4) = (x + 2) (x + 1) x (x
f (k) = f (k + 1) ; k =
1) (x
2) fonksiyonu için,
2; 1; 0; 1
oldu¼
gundan Rolle teoremi gere¼
gi, her k = 2; 1; 0; 1 için f 0 (c) = 0 olacak şekilde en az bir
0
c 2 (k; k + 1) vard¬r. f (x) fonksiyonu 4. dereceden bir polinom oldu¼
gundan f 0 (x) = 0
denkleminin 4 reel kökü vard¬r.
4. Yanda gra…¼
gi verilmiş fonksiyonun hangi noktas¬nda birinci türevi negatif, ikinci türevi pozitiftir?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
Çözüm : f 0 (x) < 0 oldu¼gu aral¬kta fonksiyon azalan,
f 00 (x) > 0 oldu¼
gu aral¬kta fonksiyon konvekstir. Bu
koşullar¬sa¼
glayan tek nokta P noktas¬d¬r.
4. f (x) =
A)
1
X
xn
n!
n=0
1
X
( x)n
n!
n=0
1
X
( 1)n x2n+1
2
(2n + 1) !
n=0
sinh x
sin x
B)
sinh x
2 sin x
oldu¼
guna göre, f (x) =?
C)
sin x
sinh x
D)
sin x
cosh x
x
x2
x
x2
+
+
,e x=1
+
1!x 2!x
1!
2!
e
e
aç¬l¬mlar¬ile, sinh x =
eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa,
2
ex e x
sinh x
f (x) =
=
2 sin x
sin x
elde edilir.
Çözüm :
ex = 1 +
2
E)
sin x
2 sinh x
, sin x = 1
x3 x5
+
3!
5!
seri
1
X
3n 2n
5.
toplam¬aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
2n 3n
n=1
A)
1
2
Çözüm :
6.
1
X
B)
3
2
C)
1
1
X
X
3n 2n
n
n =
2
3
n=1
n=1
1
2n
2
3
4
3
D)
1
33
=
E)
1
1 1=2
3
4
1
1
= :
1 1=3
2
an serisi yak¬nsak ise aşa¼
g¬dakilerden hangisi her zaman do¼
gru olmayabilir?
n=1
A) lim an = 0 ’d¬r.
x!1
B) (an ) dizisi yak¬nsak bir dizidir.
C) Yeteri kadar büyük her k için ak > ak+1 ’dir.
D) (an ) dizisi s¬n¬rl¬bir dizidir.
E) Öyle bir c > 0 vard¬r ki, her k için, ja1 +a2 +
Çözüm :
1
X
+ ak j < c’dir.
an serisi yak¬nsak ise,
n=1
i) Genel teriminin limiti s¬f¬r olmal¬d¬r. (A do¼
gru)
ii) Genel teriminin limiti s¬f¬rsa, yak¬nsakt¬r. (B do¼
gru)
1
X
( 1)n
=
n
n=1
iii) Her zaman do¼
gru de¼
gildir. Örne¼
gin alterne seri. (
ln 2):
iv) Genel terimin limiti s¬f¬rsa, an dizisi s¬n¬rl¬d¬r. (Yak¬nsak her dizi s¬n¬rl¬d¬r.)
v) Seri yak¬nsak oldu¼
gundan, lim (a1 + a2 +
+ an ) limiti var ve sonludur. Dolay¬s¬yla, Sn =
n!1
a1 + a2 +
+ an k¬smi toplamlar dizisi de s¬n¬rl¬d¬r.
belirli bir k de¼
gerinden sonra, ak+1 < ak olacakt¬r.
R
e
p
3
x
dx integralinin sonucu aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
p
p
p
p
p
p
p
p
3x
3x
3x
3x
3
3
3
2e 3 x
A) 3
x
6
xe
+6e
+C
B)
xe
+e
+C p
p
p
p
p
3
3x
3
x
x
x
2 3x
3
2
C) x e
xe +e +C
D) x e
xe +2e x +C
3
3
3
E) x2 ex +5xex +ex +C
R p
R
3
Çözüm : I·lk olarak t3 = x de¼gişken de¼giştirmesi ile e x dx = 3t2 et dt bulunur. Şimdi,
k¬smi integrasyon ile, P (x) polinomu için,
Z
P (x) ex dx = ex (P (x) P 0 (x) + P 00 (x) P 000 (x) +
)+c
7.
oldu¼
gu kullan¬l¬rsa,
elde edilir. t =
Z
3t2 et dt = 3t2
6t + 6 et + C
p
p
R p
p
3
3
3
3
x oldu¼
gundan e x dx = 3 x2 e x
3
p
p p
3
3
6 3 xe x + 6e x + C bulunur.
1
X
xn
8.
serisi yak¬nsakl¬k aral¬g
geri için aşa¼
g¬dakilerden hangisine
¼¬ndaki bir x de¼
2n+1
n=0
eşittir?
1
1
2
2
1
A)
B)
C)
D)
E)
2 x
2+x
1 x
1+x
1 + 2x
Çözüm : jxj < 2 için
x
2
< 1 olaca¼
g¬ndan
1
1
X
xn
1X x
=
2n+1
2 n=0 2
n=0
n
=
1
2
1
1
x
2
=
1
2
x
bulunur.
1
9. 1 6 x 6 4 olmak üzere y = 2 e¼
grisi alt¬nda ve x-ekseni üstünde kalan bölgeyi
x
iki eşit parçaya bölen dikey do¼
gru aşa¼
g¬dakilerden hangisidir.
3
4
8
A) x = 1
B) x = 2
C) x =
D) x =
E) x =
2
5
5
4
4
R dx
1
3
Çözüm : Söz konusu bölgenin alan¬A = x2 = x = 4 oldu¼gundan
1
1
A
3
= =
2
8
Za
1
dx
=
x2
1
x
a
=
1
1
1
5
8
+1) = )a=
a
a
8
5
elde edilir.
10. 7. Hacmi
R
2 (4
x) sin4 xdx ile verilen dönel cisim aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
0
A) y = sin4 x e¼
grisi, x-ekseni, x = 0 ve x =
do¼
grular¬ ile s¬n¬rl¬ bölgenin
y-ekseni etraf¬nda döndürülmesi ile oluşan dönel cisim
B) y = 4 x do¼
grusu, x-ekseni, x = 0 ve x = do¼
grular¬ile s¬n¬rl¬bölgenin
4
y = sin x e¼
grisi etraf¬nda döndürülmesi ile oluşan dönel cisim
C) y = sin4 x e¼
grisi, y-ekseni, y = 0 ve y = do¼
grular¬ ile s¬n¬rl¬ bölgenin xekseni etraf¬nda döndürülmesi ile oluşan dönel cisim
D) y = sin x e¼
grisi, x-ekseni, x = 0 ve x = do¼
grular¬ ile s¬n¬rl¬ bölgenin xekseni etraf¬nda döndürülmesi ile oluşan dönel cisim
E) y = sin2 x e¼
grisi, y-ekseni, x = 0 ve x = do¼
grular¬ ile s¬n¬rl¬ bölgenin yekseni etraf¬nda döndürülmesi ile oluşan dönel cisim
Çözüm : Verilen formüldeki 4
x çarpan¬ndan dolay¬dönme y-ekseni etraf¬ndad¬r. Yan¬t A
seçene¼
gidir.
4
11. f (x) = (sin x
A)
5
1)(sin x + 2)fonksiyonunun alabilece¼
gi en büyük de¼
ger kaçt¬r?
B) 0
C) 1
D) 5
Çözüm : f (x) fonksiyonunu f (x) = sin2 x + sin x
E) 7
2 şeklinde yazal¬m.
f 0 (x) = 2 sin x cos x + cos x = 0
1
olur. Buradan cos x = 0 icin f
2
p
(x) = sin2 x + sin x 2 = (1 cos2 x) + 1 cos2 x
eşitli¼
ginden cos x = 0 ve sin x =
2=0
bulunur.
12. Bir dikdörtgenin üç kenar¬n¬n uzunlu¼
gu 80cm ise alan¬en çok kaç olabilir.
A)800cm2
B)600cm2
C) 400cm2 D) 200cm2
Çözüm : y + 2x = 80 ve alan A(x) = xy = x(80
A0 (x) = 80
E)100cm2
2x) oldu¼
gundan,
4x = 0 ) x = 20 ve A00 (x) =
4 < 0 (maksimum)
olur. A(x) = 800 cm2 bulunur.
13. Taban yar¬çap¬4 cm olan silindir şeklindeki bir lastik borunun yüksek s¬cakl¬k
alt¬nda boyu uzamaktad¬r.
Silindirin yüksekli¼
ginin art¬ş h¬z¬ 0; 1 cm=sn oldu¼
guna göre silindirin hacminin
de¼
gişim h¬z¬kaç cm=sn dir?
A) 1; 5
B) 1; 6
C) 2
D) 4
E) 9
Çözüm : Silindirin hacmi V = r2 h ’d¬r. Buna göre,
dh
dV
= r2
dt
dt
dV
1
= 16 = 1; 6
dt
10
)
bulunur.
14. Aşa¼
g¬da serilerden kaç tanesi yak¬nsakt¬r?
1
1
1
X n
X
X
( 1)n
n
p
I)
II)
III)
2
3
n +1
n +1
n
n=1
n=1
n=1
A) 5
Çözüm :
B) 4
C) 3
IV)
1
X
n=1
1
3
1=n
D) 2
V)
1
X
n
1000 + n
n=1
E) 1
n
n
= 1 6= 0 ve lim
= 1 6= 0:
n!1 n + 1
n!1 n + 1000
I ve V) ¬raksakt¬r. lim
P 1
; > 1 için yak¬nsakt¬r.
n
Buna göre, III) yak¬nsakt¬r. Ayr¬ca, IV) bir geometrik seri oldu¼
gundan yine yak¬nsakt¬r.
II) Iraksakt¬r. Çünkü,
5
15.
0
1
Z0
d @
dx
dt A
=?
1 + 4t2
x3
A)
3x2 tan
Çözüm :
d
dx
F (t) =
1
3x2
(2x) B)
1 + 4x6
!
b(x)
R
a(x)
F (t) dt
1
1 + 4x6
C)
= F (b (x)) b0 (x)
(2x) E)
3x2
1 + 4x6
1
, a (x) = x3 ve b (x) = 0 oldu¼
gundan,
+1
0 0
1
Z
d @
dt A
= F (0) b0 (x) F (x3 ) 3x2 =
dx
1 + 4t2
4t2
elde edilir.
16.
1
F (a (x)) a0 (x) eşitli¼
gini kullanal¬m.
x3
Zx
D) 3x2 tan
3x2
1
2
3x
=
1 + 4x6
4 (x3 )2 + 1
sin t
dt ifadesi x’in kuvvetlerine göre yaz¬l¬rsa, aşa¼
g¬dakilerden hangisi elde
t
0
edilir?
1
X
1
X
x2n+1
( 1)
A)
(2n + 1)!
n=0
D)
x2n+1
( 1)
B)
(2n + 2)!
n=0
n
1
X
x2n+1
(2n + 1)!
n=0
Çözüm :
E)
( 1)n
n=0
8x 2 R için sin x =
olur. O halde
Zx
1
X
n
1
X
( 1)n
n=0
C)
x2n+1
(2n + 1)!(2n + 1)
1
X
x2n+1
(2n + 1)!(2n + 1)
n=0
x2n+1
oldu¼
gundan
(2n + 1)!
sin x X
x2n
=
( 1)n
x
(2n + 1)!
n=0
sin t
dt =
t
0
Zx
0
1
X
1
t2n
( 1)n
(2n + 1)!
n=0
!
dt =
1
X
( 1)n
n=0
x2n+1
(2n + 1)!(2n + 1)
elde edilir.
17. x2 + (y 1)2 = 1 çemberinin y-ekseni boyunca döndürülmesi ile oluşan dönel
cismin hacmi aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
2
4
A)
B) 2
C)
D)
E)
3
3
3
Çözüm :
V =
R2
0
1
I·stenilen hacim
(y
2
1) dy =
R2
( y 2 + 2y) dy =
0
6
y3
+ y2
3
2
0
!
=
4
olur.
3
18.
Z1
f (1
x)dx aşa¼
g¬dakilerden hangisine eşittir?
0
Z1
A) 2 f (x)dx
B)
0
Çözüm :
Z1
f (x)dx
C)
0
1
f (1
x)dx =
0
f (t)dt
D)
1
x = t dönüşümünü uygularsak,
Z1
Z0
Z0
f (x)dx
E) 0
0
dx = dt olur.
f (t)dt =
1
Z1
Z1
f (t)dt =
0
Z1
f (x)dx
0
elde edilir. Do¼
gru yan¬t E ş¬kk¬d¬r.
19. Aşa¼
g¬daki diferansiyel denklemlerin türleri hangisinde do¼
gru verilmiştir?
I (2x3 +y 3 )dx + x2 ydy = 0
II (y sin x
sin y)dx
x2 )dx + xdy = 0
III ((x + 1)y
IV (5xy
(x cos y + cos x)dy = 0
y 4 )dx + dy = 0
A) I: Tam II: Bernoulli III: Homojen IV: Lineer
B) I: Homojen II: Tam III: Bernoulli IV: Lineer
C) I: Tam II: Homojen III: Lineer IV: Bernoulli
D) I: Bernoulli II: Lineer III: Tam IV: Homojen
E) I: Homojen II: Tam III: Lineer IV: Bernoulli
Çözüm :
denklemi için M (x; y) = 2x3 + y 3 ; N (x; y) = x2 y olup bu iki fonksiyon ayn¬dereceden (2. dereceden) homojen fonksiyonlar oldug̃undan homojen diferansiyel denklemdir.
II denklemi için M (x; y) = y sin x sin y; N (x; y) = (x cos y + cos x) seçimi ile
My = sin x cos y = Nx oldug̃undan tam diferansiyel denklemdir.
III denklemi,
dy
dx
+
x+1
y
x
= x şeklinde yaz¬labilir. Bu da lineer diferansiyel denklemdir.
dy
IV denklemi, dx
+ 5xy = y 4 olarak Bernoulli diferansiyel denklemi biçiminde yaz¬labilir. Yani
denklem Bernoulli diferansiyel denklemidir.
7
20. (Aex y 4 +x2 )dx + (2Bex y 3 +2y 3 )dy = 0 diferansiyel denklemi tam ise
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
B
=?
A
E) 5
Çözüm :
Denklem için M (x; y) = Aex y 4 + x2 ; N (x; y) = 2Bex y 3 + 2y 3 olup denklem tam
B
= 2 bulunur.
oldug̃undan My = Nx olacag̃¬ndan 4Aex y 3 = 2Bex y 3 olur ve burdan
A
21. y 00 +2y 0 +y = 0 diferansiyel denklemi için y(0) = 1 ve y 0 (0) = 3 ise y 00 (0) =?
A)
7
B) 3
C) 7
D)
3
E) 5
Çözüm : Diferansiyel denklemin karakteristik polinomu olan L(m) = m2 +2m+1 polinomunun
kökleri m1 = m2 = 1’dir. O zaman 2. mertebeden sabit katsay¬l¬homojen denklemin genel
çözümü y(x) = c1 e x + c2 xe x olup y(0) = 1 ve y 0 (0) = 3 koşullar¬ için y(x) = e x + 4xe x
bulunur. Böylece, y 00 (0) = 7 bulunur.
4x + 1; 0 < x
1
3x2 +m; 1 < x < 2
olmas¬için m kaç olmal¬d¬r?
22. f (x) =
A)
Çözüm :
9
B) 8
R1
0
(4x + 1) dx +
eşitli¼
ginden, m =
fonksiyonunun olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu
C)
R2
1
8
D) 10
E)
10
(3x2 + m) dx = 1 olmal¬d¬r. Buna göre,
1
1 = 2x2 + x 0 + x3 + mx
2
1
= m + 10
9 bulunur.
23. 60 kişilik bir s¬n¬ftaki ö¼
grencilerden 12 tanesinin yaş¬17’den küçük, 15 tanesinin
kilosu 60 kg’dan fazla ve 20 tanesinin boyu 165 cm’den uzundur. Bunlardan 9
tanesinin hem boyunun 165 cm’den uzun, hem de kilosunun 60 kg’dan fazla oldu¼
gu
biliniyor. 3 tanesinin de hem yaş¬n¬n 17’den küçük, hem kilosunun 60 kg’dan
fazla, hem de boyunun 165 cm’den uzun oldu¼
gu biliniyor. Bu durumda bu s¬n¬ftan
rastgele seçilen bir ö¼
grencinin boyunun 165 cm’den uzun ve kilosunun 60 kg’dan
fazla oldu¼
gu bilindi¼
gine göre yaş¬n¬n 17’den küçük ç¬kma olas¬l¬g
¼¬kaçt¬r?
1
1
3
2
3
B)
C)
D)
E)
A)
17
2
3
4
3
Çözüm :
S¬n¬ftan rastgele seçilen ö¼
grenciyle ilgili aşa¼
g¬daki olaylar tan¬mlans¬n:
Yaş¬n¬n 17’den küçük olmas¬
Kilosunun 60 kg’dan fazla olmas¬
Boyunun 165 cm’den fazla olmas¬
3
9
Buna göre, P (A1 \ A2 \ A3 ) =
ve P (A2 \ A3 ) =
olur. Buradan
60
60
3
P (A1 \ A2 \ A3 )
1
P (A1 (A2 \ A3 )) =
= 60
elde edilir.
9 =
P (A2 \ A3 )
3
60
A1 :
A2 :
A3 :
8
24) X rastgele de¼
gişkeninin olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu
x
f (x) = e
;
x
> 0 olmak üzere
0
şeklinde verilmiştir. X ’in beklenen de¼
geri nedir?
1
1
A) 1
B) 2
C)
D) 2
Çözüm :
X ’in beklenen de¼
geri E (X) =
R1
x
x e
E)
dx bulunur. K¬smi integrasyon ile
0
E (X) =
Z1
x
xe
1
dx =
2
=
1
0
bulunur. Cevap C.
25) X rastgele de¼
gişkeninin olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu
f (x) =
3 2
x +1 ;
8
x
1
1
şeklinde verilmiştir. X ’in standart sapmas¬n¬bulunuz.
p
p
p
2
2
10
C)
D)
E)
A) 0
B) 2
5
5
5
1
R
Çözüm : X ’in beklenen de¼geri E (X) = = x 83 (x2 + 1) dx = 0 bulunur. V ar (X) =
1
E (X
2
)
oldu¼
gundan
V ar (X) = E X 2 =
Z1
x2
2
3 2
x + 1 dx =
8
5
1
olur. O halde standart sapma
X
p
= V ar (X) =
r
2
=
5
p
10
elde edilir.
5
26. Aşa¼
g¬daki kaç tanesi lineer dönüşümdür?
I. T (x; y; z) = (2x + y; x z; x + y + z)
III. T (x; y; z) = (2x + y; 0; x)
V. T (x; y; z) = (x; (sin 3) y; e2 z + y)
A) 4
B) 3
C) 2
II. T (x; y; z) = (2x + y; x; 2)
IV. T (x; y; z) = e xyz
D) 1
Çözüm :
E) 5
Bir lineer dönüşüm, s¬f¬r vektörünü s¬f¬r vektörüne götürür. Di¼
ger yandan, katsay¬lar reel say¬olabilir, ama de¼
gişkenler sadece birinci dereceden terimler ile bunlar¬n toplam
ve farklar¬ndan oluşabilir. De¼
gişkenler üstel, köklü, logaritmik, trigonometrik, çarp¬m, ikinci
veya daha büyük dereceden polinom fonksiyonlar olarak bulunamaz. Buna göre, sadece II lineer
dönüşüm de¼
gildir.
9
2
0 1
4
27. A = 1 0
0 0
(I·pucu : Cayley -
3
0
0 5 ise, aşa¼
g¬dakilerden hangisi bu matrisin tersini verir?
1
Hamilton Teoremi)
A) A2 4A + 4I
D)
B) A2 A + I
A2 +A + I
C) A2 4I
A2 +4I
E)
Çözüm :
Cayley - Hamilton teoremini kullanal¬m. Her matris kendi karakteristik polinomunu sa¼
glar. A matrisinin, karakteristik polinomu : det ( I3 A) = 0 d¬r. Hesaplan¬rsa,
0 2
3
1 0 0
det @ 4 0 1 0 5
0 0 1
oldu¼
gundan, A3
2
31
0 1 0
4 1 0 0 5A =
0 0 1
A2 + A + I = 0 eşitli¼
gi, A
1
3
2
ile çarp¬l¬rsa, A
1
=
+1
A2 + A + I elde edilir.
28. G = Q olmak üzere, hangi H için G grubunun işlemi G=H ye taş¬namaz?
7
D) H = 7Z E) H = 3Z \ 5Z
A) H = f0g B) H = Z6
C) H = Z
3
Çözüm :
Z6 , Q nun normal altgrubu de¼
gildir, işlemleri farkl¬d¬r. Q=Z6 grup de¼
gildir.
29. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi devirli gruptur.?
A) Q
B) Z
C) R
D) C
E) Q
Çözüm :
Z dir. Q veQ devirli de¼
gildir, asal say¬lar kümsesi üreteç kümesi olarak al¬nabilir.
Bir devirli grubun her alt grubu da devirlidir. Buna göre R ve C devirli olamaz.
30. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi (Q; +) grubunun altgrubu olamaz?
7
A) H = f0g B) H = Z6
C) H = Z
D) H = 7Z E) H = 3Z \ 5Z
3
Çözüm :
Z6 grubunun işlemi farkl¬d¬r. Örne¼
gin, Q kümesinde 2 + 5 = 7 iken, Z6 grubuna
göre 2 + 5 = 1’dir.
31. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi bir yönüyle di¼
gerlerinden farkl¬d¬r?
A) C
Çözüm :
B) 5Z [ 2Z
C) R
5Z [ 2Z grup de¼
gildir, di¼
gerleri gruptur.
10
D) Q
E) Q
32. ~
x = (1; 0; 1) ve y
~ = (1; 1; k) vektörleri için,
A) 3
Çözüm :
B)
2
C) 2
1
1
(~
x+y
~ ) == (2; 1; k + 1) vektörü birim ise normu 1 olmal¬d¬r. Buna göre,
3
3
1
1
1
(~
x+y
~ ) = k(~
x+y
~ )k =
3
3
3
eşitli¼
ginden, k 2 + 2k
A) 4
q
4 + 1 + (k + 1)2 = 1
3 = 0 olur. O halde, k = 1 veya k =
33. ~
x = (1; 1; 3) ; y
~ = (1;
Çözüm :
1
(~
x+y
~ ) birim vektör ise k =?
3
D) 0
E) 1
3’tür. Yan¬t E.
2; 3) ve ~
z = (2; 1; k) vektörleri lineer ba¼
g¬ml¬ise k nedir?
B) 6
C)
2
1
1
2
det (~x; ~y ; ~z) = 0 olmal¬d¬r.
D) 5
1 3
2 3
1 k
E) 1
= 0 ise, 18
3k = 0 ) k = 6 bulunur.
34. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi lineer ba¼
g¬ms¬zl¬g
¼¬n taban olma koşulu için tek baş¬na
yeterli olmad¬g
¼¬na bir örnektir?
A) R2 , f(1; 2) ; (0; 0)g B) R3 , f(1; 2; 1) ; (2; 1; 1)g
D) R2 ,f(1; 2) ; (2; 1) ; (1; 1)g
Çözüm :
C) R2 , f(1; 2) ; (2; 1)g
E) R3 , f(1; 0; 0) ; (2; 0; 0)g
B) seçene¼
gindeki küme lineer ba¼
g¬ms¬zd¬r ama R3 iki vektörle gerilemeyece¼
ginden
taban de¼
gildir. Di¼
gerlerine bakal¬m. A) Lineer ba¼
g¬ml¬d¬r. C) Lineer ba¼
g¬ms¬zd¬r ve R2 yi
2
2
gererler. R nn taban¬d¬rlar. D) R yi gererler ama lineer ba¼
g¬ms¬z de¼
gildirler. E) Lineer
ba¼
g¬ml¬d¬rlar.
35. Aşa¼
g¬daki vektörlerden hangisi ~
x = (1; 2; 3) ve y
~ = (3; 3; 4) vektörleri taraf¬ndan
üretilen (gerilen) uzaydad¬r?
A) (2; 1; 1)
Çözüm :
B) (1; 1; 1)
C) (2; 5; 1)
D) (2; 5; 4)
E) (1; 3; 1)
~
x = (1; 2; 3) ve y
~ = (3; 3; 4) vektörleri ile üretilen (gerilen) uzay¬n denklemi :
x y
1 2
3 3
oldu¼
gundan, bu denklemi sa¼
glayan
z
3 = x + 5y 3z = 0
4
tek vektörün A) seçene¼
ginde oldu¼
gu görülebilir.
36. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi R2 nin bir ortogonal taban¬d¬r?
A) f(1; 0) ; (1; 1)g
B) f(1;
D) f(1; 1) ; (0; 1)g
E) f(1; 0) ; (0; 1) ; (0; 0)g
Çözüm :
1) ; (1; 2)g
C) f(1; 1) ; ( 1; 1)g
Ortogonal tabanda, vektörler birbirine dik olmal¬d¬r. Yan¬t C.
11
37. ~
x = (1; 2; 3; 1) ve y
~ = (3; 1; 2; 1) vektörleri aras¬ndaki aç¬n¬n kosinüsünü bulunuz.
14
11
13
4
3
A)
B)
C)
D)
E)
15
15
15
5
5
Çözüm :
cos =
3+2+6+1
h~x; ~y i
4
= p p
= bulunur.
k~xk k~y k
5
15 15
38. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi A(1,1,1); B(1,2,3), C(2,3,1) noktalar¬n¬n bulundu¼
gu
düzleme dik bir vektördür?
A) (2; 0;
Çözüm :
!
AB
B) (4;
1)
2; 1)
!
AC vektörü,
( !
AB) = (0; 1; 2)
göre,
)
!
AC = (1; 2; 0)
C) ( 3; 2; 1)
D) (1; 1;
2)
E) (1; 2;
bu noktalar¬n bulundu¼
gu düzleme diktir.
i j k
0 1 2
1 2 0
1)
Buna
= ( 4; 2; 1) vektörü, A; B; C’nin bulundu¼
gu düzleme
diktir.
39. Köşelerinin koordinatlar¬ A(1,1,1); B(1,2,3), C(2,3,1) olan üçgenin alan¬n¬
bulunuz.
p
p
p
p
23
17
21
C)
D)
E) 5
A) 2 5
B)
2
2
2
!
gunu kullanal¬m. Bir önceki soruda,
AC oldu¼
p
!
1p
21
AC = ( 4; 2; 1) bulmuştuk. O halde, Alan(ABC) =
elde edilir.
16 + 4 + 1 =
2
2
Çözüm :
!
AB
Alan(ABC) =
1 !
AB
2
40. AX = B formundaki bir lineer denklem sisteminde, [A : B] genelleştirilmiş
katsay¬lar matrisi
2
3
1 2
3
0
4 0 m
m
m2 m 5
0 0 m2 +2m
m+2
matrisine denktir. Bu sistemin 1 parametreye ba¼
gl¬sonsuz çözümü oldu¼
guna göre,
m kaçt¬r?
A) 0
B)
2
C)
1
D) 2
E) 1
Çözüm :
Bu sistemin 1 parametreye ba¼
gl¬sonsuz çözümü olmas¬için,
Rank (A : B) = Rank (A) = 2 olmas¬gerekir.
m = 0 olursa, Rank(A : B) = 2; Rank(A) = 1 oldu¼
gundan çözüm olmaz.
m = 2 olursa, Rank(A : B) = 2 =Rank(A) = 2 oldu¼
gundan, sistemin 1 parametreye ba¼
gl¬
sonsuz çözümü olur. Yan¬t B)
Matematik Bölümü - 2015 ........ Haz¬rlayan : Doç.Dr. Mustafa Özdemir
12