cIc.indekiler - 80.251.40.59

I·c.indekiler
6 Riemann I·ntegrali
6.1 Temel Tan¬mlar ve Sonuc.lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 I·ntegrallenebilen Baz¬Fonksiyon S¬n¬‡ar¬ . . . . . . . . . . . .
6.3 Riemann I·ntegralinin Özellikleri.
Ortalama Deg̃er Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Türev ve I·ntegral.
I·ntegral Hesab¬n¬n Temel Teoremleri . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Yaklas.¬k I·ntegralleme Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬ . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Alan Hesab¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Kartezyen koordinatlarda Alan Hesab¬ . . . . . . . . .
6.6.3 Kutupsal koordinatlarda Alan Hesab¬ . . . . . . . . . .
6.6.4 Yay Uzunlug̃u Hesab¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.5 Hacim Hesab¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.6 Kütleler, Kütle Merkezleri, Ag̃¬rl¬k Merkezleri ve Eylemsizlik Merkezleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
1
1
14
23
30
42
53
56
56
62
65
71
85
ii
Bölüm 6
Riemann I·ntegrali
Bu bölümde reel eksenin kapal¬ ve s¬n¬rl¬ aral¬g̃¬ üzerinde tan¬ml¬ reel
deg̃erli s¬n¬rl¬fonksiyonlar¬n Riemann (Belirli) integrali kavram¬tan¬t¬lacak
bu integralin özelliklerinden ve baz¬ uygulamalar¬ndan söz edilecektir. Bu
sonuc.lar¬n kapal¬ olmayan s¬n¬rl¬ ve s¬n¬rs¬z aral¬klar üzerinde tan¬ml¬ reel
deg̃erli s¬n¬rs¬z fonksiyonlar ic.in genelles.tirilmesi daha sonraki bölümlerde
verilecektir.
6.1
Temel Tan¬mlar ve Sonuc.lar
Tan¬m 6.1.1 :[a; b](a; b2R) aral¬g¬n¬n a = x0 < x1 <
kos.ulunu sag̃layan her,
P = fx0 ; x1 ;
< xn
1
< xn = b
; xn g
sonlu alt kümesine [a; b] aral¬g̃¬n¬n bir parc.alanmas¬(veya bölüntüsü);
xk ; k = 0; 1; ; n noktalar¬na bu parc.alanman¬n bölüm noktalar¬;
[xk 1 ; xk ] (xk 1 ; xk ) ; k = 1;
; n aral¬klar¬na [a; b] nin P parc.alanmalar¬na
kars.¬¬k gelen kapal¬ (ac.¬k) alt aral¬klar¬ ad¬ verilir. 4xk = xk xk 1 > 0
say¬lar¬na [xk 1 ; xk ] (xk 1 ; xk ) aral¬g̃¬n¬n boyu (veya ölc.üsü) denir.
4x1 ;
; 4xn say¬lar¬n¬n en büyüg̃üne P parc.alanmas¬n¬n normu (veya
maksimal c.ap¬) denir ve jjP jj ile gösterilir. S.u halde P = maxf4xk : k =
1
Riemann I·ntegrali
2
1;
; ng d¬r. Eg̃er, 4x1 = 4x2 =
= 4xn ; yani 4xk =
ise, P ye [a; b] nin düzgün parc.alanmas¬ad¬verilir.
I·leride a1 ; a2 ;
; an say¬lar¬n¬n toplam¬n¬, k¬saca
n
P
b a
;k
n
ak (veya
k=1
v.s) sembolü ile göstereceg̃iz. Buna göre,
a1 + a2 +
+ an =
n
X
= 1;
n
P
i=1
ai ;
;n
n
P
as
s=1
ak
k=1
olacakt¬r.
Tan¬m 6.1.2 : [a; b] R ve f : [a; b] fonksiyonu s¬n¬rl¬olsun. [a; b] nin P =
fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ic.in
mk (f ) = m(f; [xk 1 ; xk ]) = infff (x) : x 2 [xk 1 ; xk ]g;
Mk (f ) = M (f; [xk 1 ; xk ]) = supff (x) : x 2 [xk 1 ; xk ]g k = 1;
olsun.
A(f; p) =
n
X
mk (f )4xk ve U• (f; p) =
n
X
Mk (f )4xk
;n
(6.1)
k=1
k 1
toplamlar¬na s¬ras¬ ile, f fonksiyonunun [a; b] nin P parc.alanmas¬na göre
alt Darboux toplam¬ ve üst Darboux toplam¬ ad¬ verilir. k ; [xk 1 ; xk ] alt
aral¬g̃¬nda al¬nan herhangi bir nokta olmak üzere
R(f; P ) =
n
X
f ( k )4xk
(6.2)
k=1
toplam¬na f fonksiyonunun [a; b] nin P parc.alanmas¬na göre Riemann toplam¬
(veya) Riemann integral toplam¬) ad¬verilir. ( 1 ;
; n ) s¬ral¬n lisini bir
sembolü ile göstereceg̃iz.
Not: S¬n¬rl¬ f : [a; b] ! R fonksiyonu sabit tutuldug̃unda A(f; P ) ve
U (f; P ) Darboux toplamlar¬ yaln¬zca [a; b] nin P parc.alanmas¬n¬n,R(f; P )
Riemann toplam¬ ise hem P parc.alanmas¬n¬n hem de k 2 [xk 1 ; xk ](k =
Temel Tan¬mlar ve Sonuc.lar
3
1;
; n) olmak üzere = ( 1 ;
; n ) n lisinin sec.ilis.ine bag̃l¬d¬r. Buna
göre, R(f; P ) toplam¬c.og̃u kez R(f; P; ) ile gösterilir.
Eg̃er, [a; b] nin bir P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.anmas¬ve her bir [xk 1 ; xk ]
aral¬g̃¬nda herhangi bir k noktas¬sec.ilmis.se [a; b] nin bir is.aretlenmis. (P; )
parc.alanmas¬verilmis.tir diyeceg̃iz.
S¬n¬rl¬ bir f : [a; b] ! R fonksiyonu ve [a; b]’nin herhangi is.aretlenmis.
bir (P; ) parc.alanmas¬ verilsin. Her k 2 [xk 1 ; xk ] ic.in mk (f )
f ( k)
Mk (f ); k = 1;
; n oldug̃undan,
A(f; p)
R(f; P; )
(6.3)
U (f; p)
olacag̃¬ac.¬kt¬r.
Tan¬m 6.1.3 : [a; b] R üzerinde s¬n¬rl¬f : [a; b] ! R fonksiyonu ic.in [a; b]
nin P parc.alanmas¬ve ye bag̃¬ml¬olmayarak,
lim R(f; P; ) = lim
jjP jj!0
jjP jj!0
n
X
(6.4)
f ( k )4xk = I
k 1
sonlu limiti varsa bu limite f nin [a; b] üzerinde Riemann (veya Belirli) inteRb
grali denir ve f (x)dx ile gösterilir. Bu durumda f; [a; b] üzerinde integrala
lenebilirdir (Riemann anlam¬nda) denir. a ve b say¬lar¬na integralin s¬ras¬
ile alt ve üst s¬n¬rlar¬denir. (6.4) es.itlig̃i .su anlamdad¬r. lim R(f; P; ) =
jjP jj!0
I () 8 > 0 ic.in 9 > 0 öyleki, [a; b] nin jjP jj < olacak .sekilde herbir
is.aretlenmis. (P; ) parc.alanmas¬ic.in j R(f; P; ) I j< olur.
(m)
(m)
(m)
(m)
Tan¬m 6.1.4 : [a; b] aral¬g̃¬n¬n a = x0 < x1 <
< xnm 1 < xnm = b
(m)
(m)
(m)
kos.ulunu sag̃layan Pm = fx0 ; x1 ;
; xnm g; m = 1; 2;
parc.alanmalar¬
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
(m)
ve k 2 [xk 1 ; xk ];
= ( 1 ;
; nm ); 4xk = xk (m)
xk 1 (m) ;
(m)
jjPm jj = maxfxk : k = 1;
; ng olmak üzere lim jjPm jj = 0 olsun. Bu
m!1
durumda,
lim R(f; Pm ; (m) ) = I
(6.5)
m!1
sonlu limiti varsa,bu limite f ’nin [a; b] üzerinde Riemann integrali denir.
Riemann I·ntegrali
4
Yukar¬daki 6.1.3 ve 6.1.4 Tan¬mlar¬n¬n denk oldug̃u fonksiyon limitinin
Cauchy ve Heyne anlam¬nda tan¬mlar¬n¬n denklig̃ine benzer s.ekilde ispatlanabilir.
I·leride [a; b] üzerinde Riemann anlam¬nda integrallenebilen reel deg̃erli
bütün fonksiyonlar kümesini R[a; b] ve [a; b] üzerinde s¬n¬rl¬reel deg̃erli bütün
fonksiyonlar kümesini de B[a; b] ile göstereceg̃iz.
Teorem 6.1.5 : [a; b] üzerinde Riemann anlam¬nda integrallenebilen her
fonksiyon bu aral¬k üzerinde s¬n¬r¬d¬r.
I·spat:
f; [a; b] üzerinde s¬n¬rs¬z, (P; ); [a; b] n¬n is.aretlenmis. herhangi
n
P
bir parc.alanmas¬ ve R(f; P; ) =
f ( k )4xk olsun. f; [a; b] üzerinde
k=1
s¬n¬rs¬z oldug̃undan, bu fonksiyon [xk 1 ; xk ] aral¬klar¬ndan en az biri üzerinde
s¬n¬rs¬zd¬r. Bu aral¬k [xk0 1 ; xk0 ] olsun k 6= k0 ic.in öyle bir k0 = ~k0 2
[xk0 1 ; xk0 ] noktas¬vard¬r ki,
X
1
[j
f ( k )4xk j + A]
4xk0 k=1
n
jf (~k0 )j >
k6=k0
olur. O halde, ~ = ( 1 ;
; k0 1 ; ~k0 ;
is.aretlennis. (P; ~) parc.alanmas¬ic.in
jR(f; P; ~)j = j
n
X
k0 +1 ;
f ( k )4xk + f (
k=1
k6=k0
j f(
;
k0 )
j 4xk0
j
n)
olmak üzere [a; b] nin
k0 4xk0
n
X
k=1
k6=k0
j
f ( k )4xk j> A
olur. Buna göre, eg̃er f; [a; b] üzerinde s¬n¬rs¬z ise herhangi A > 0 say¬s¬ve
[a; b]’nin herhangi bir P parc.alanmas¬ ic.in öyle bir ~ n’lisi bulunabilir ki,
jR(f; P; ~)j > A olur. Bu da f fonksiyonunun [a; b] üzerinde integrallenemez
oldug̃unu gösterir. 2
Sonuc. 6.1.6 : R[a; b]
B[a; b] dir.
Temel Tan¬mlar ve Sonuc.lar
5
Not: [a; b]
R üzerinde tan¬ml¬ f : [a; b] ! R fonksiyonunun [a; b]
üzerinde itegrallenebilir olmas¬ ic.in f fonksiyonunun [a; b] de s¬n¬rl¬ olmas¬
kos.ulu gereklidir, fakat yeterli deg̃ildir. Örneg̃in,
8
<1; x 2 [a; b] rasyonel ise,
D(x) =
:0; x 2 [a; b] irrasyonel ise
bic.iminde tan¬ml¬D : [a; b] ! 0; 1 fonksiyonu [a; b] üzerinde s¬n¬rl¬d¬r fakat
integrallenebilen deg̃ildir. Gerc.ekten, [a; b] aral¬g¬n¬n herhangi bir
P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ ic.in k 2 [xk 1 ; xk ] rasyonel ve k 2
[xk 1 ; xk ] irrasyonel say¬lar olmak üzere
R(D; P; ) =
R(D; P; ) =
n
X
k=1
n
X
D( k )4xk =
D( k )4xk =
k=1
oldug̃undan b
n
X
k=1
n
X
14xk = b
a;
04xk = 0
k=1
a 6= 0 durumunda lim R(D; P; ) limiti yoktur. Buna göre,
jjP jj!0
verilen D fonksiyonu her [a; b] aral¬g̃¬üzerinde integrallenemezdir.
I·leride, [a; b]
R üzerinde tan¬ml¬ reel ve s¬n¬rl¬ fonksiyonlar¬n [a; b]
üzerinde Riemann anlamïnda integrallenebilir olmas¬ ic.in gerekli ve yeterli
kos.ulu inceleyeceg̃iz.
Tan¬m 6.1.7 : [a; b] aral¬g̃¬n¬n iki parc.alanmas¬P1 ve P2 olsun. Eg̃er P1
P2 ise P2 ye P1 in incelmesi denir. Bu durumda P2
P1 oldug̃u ac.¬kt¬r.
Örneg̃in, [0; 1] aral¬g̃¬n¬n P1 = f0; 31 ; 32 ; 1g ve P2 = f0; 61 ; 13 ; 21 ; 23 ; 56 ; 1g
parc.alanmalar¬ic.in P1
1
6
<
1
3
P2 oldug̃undan, P2 ; P1 in bir incelmesidir ve P2 =
= P1 dir.
[a; b] aral¬g̃¬n¬n iki P1 ve P2 parc.alanmas¬ic.in P = P1 [ P2 ise, P ; P1 ve
P2 nin ortak incelmesidir.
Riemann I·ntegrali
6
Teorem 6.1.8 : P ve P0 ; [a; b] aral¬g̃¬n¬n iki parc.alanmas¬ ve f 2 [a; b] olsun. Eg̃er, P0 P ise
A(f; P ); U• (f; P )
A(f; P0 )
U• (f; P0 )
dir.
I·spat: I·spat¬önce s.u özel hal ic.in yapal¬m. [a; b] nin
P0 = fx0 ; x1 ;
; xk 0 1 ; xk 0 ;
; xn g; P = fx0 ; x1 ;
; xk 0 1 ; x ; x k 0 ;
parc.alanmalar¬verilsin. P0 P oldug̃u ac.¬kt¬r.
; xn g
mk (f ) = infff (x) : x 2 [xk 1 ; xk ]g;
Mk (f ) = supff (x) : x 2 [xk 1 ; xk ]g;
m00k0 (f ) = infff (x) : x 2 [x ; xk0 ]g;
Mk000 (f ) = supff (x) : x 2 [x ; xk0 ]g;
m0k0 (f ) = infff (x) : x 2 [xk0 1 ; x ]g;
Mk0 o (f ) = supff (x) : x 2 [xk0 1 ; x ]g;
denirse,
mk (f )
Mk0 0 (f )
Mk (f )(k = 1;
; n); mk0 (f )
Mk0 (f ) ve Mk000 (f )
A(f; P ) =
m0k0 (f ); mk0 (f )
m00k0 (f );
Mk0 (f ) oldug̃undan
kX
0 1
mk (f )4xk + m0k0 (f )(x
x k0 1 )
k=1
+m00k0 (f )(xk0
x )+
n
X
mk (f )4xk
k=k0 +1
kX
0 1
mk (f )4xk + mk0 (f )(x
x k0 1 )
k=1
+mk0 (f )(xk0
x )+
n
X
mk (f )4xk
k=k0 1
=
n
X
mk (f )4xk = A(f; P0 )
k=1
elde edilir. Benzer s.ekilde, U• (f; P )
U• (f; P0 ) oldug̃u gösterilebilir.
Temel Tan¬mlar ve Sonuc.lar
7
S.imdi kabul edelim ki, P nin P0 dan r tane fazla noktas¬olsun. Bu noktalar x1 ;
; xr olsun. [a; b] aral¬g̃¬n¬n P1 = P0 [fx1 g; P2 = P1 [fx2 g;
; Pr =
Pr 1 [ fxr g parc.alanmalar¬ic.in P0
P1
Pr 1
Pr = P oldug̃una
göre, yukar¬daki ispattan A(f; P0 ) A(f; P1 )
A(f; Pr ) = A(f; P ) ve
U• (f; P0 ) U• (f; P1
U• (f; Pr ) = U• (f; P ) es.itsizlikleri, dolay¬s¬yla,
A(f; P0 )
A(f; P ) ve U• (f; P )
U• (f; P0 )
es.itsizliklerinin dog̃ru oldug̃u elde edilir. 2
Teorem 6.1.9 : P1 ve P2 ; [a; b] aral¬g̃¬n¬n herhangi iki parc. alanmas¬ ve
f 2 B[a; b] olsun. Bu durumda,
A(f; P1 )
U• (f; P2 )
d¬r.
I·spat: P = P1 [P2 olsun P ; P1 ve P2 parc.alanmalar¬n¬n ortak incelmesi
oldug̃undan Teorem 6.1.8 den dolay¬
A(f; P1 )
A(f; P ); U• (f; P )
U• (f; P2 )
yaz¬labilir. Öte yandan P parc.alanmas¬ic.in (6.3) e göre A(f; P )
oldug̃undan son es.itsizlikten A(f; P1 ) U• (f; P2 ) yaz¬labilir. 2
U• (f; P )
Sonuc. 6.1.10 : f : [a; b] ! R s¬n¬r¬rl¬ bir fonksiyon ve m(f ) = infff (x) :
x 2 [a; b]g ve M (f ) = supff (x) : x 2 [a; b]g olsun. Bu durumda [a; b]aral¬g̃¬
n¬n her P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ic.in
m(f )(b
a)
A(f; P )
U• (f; P )
M (f )(b
(6.6)
a)
dir.
Gerc.ekten, 8k = 1;
; 2 ic.in mk (f ) m(f ) ve Mk (f )
(c.ünkü E R; F R ve E F ) inf F inf E; sup E
A(f; P ) =
n
X
mk (f )4xk
k=1
U• (f; P ) =
n
X
k 1
Mk (f )4xk
n
X
k=1
n
X
k=1
M (f ) oldug̃undan
sup F dir)
m(f )4xk = m(f )(b
M (f )4xk = M (f )(b
a);
a)
Riemann I·ntegrali
8
yaz¬labilir. (6.3) ten dolay¬A(f; P )
dog̃rulug̃u anlas.¬l¬r.
U• (f; P ) oldug̃undan, (6.6) es.itlig̃inin
Sonuc. 6.1.11 : f : [a; b] ! R s¬n¬rl¬bir fonksiyon ve (Pn ) de [a; b] aral¬g̃¬n¬n
parc.alanmalar¬n¬n artan bir dizisi (yani, 8n 2 N ic.in Pn
Pn+1 ) olsun.
(A(f; Pn )) alt toplamlar dizisi azalmayan ve üstten s¬n¬rl¬, (U• (f; Pn )) üst
toplamlar dizisi artmayan ve alttan s¬n¬rl¬d¬r.
Gerc.ekten, 8n 2 N ic.in Pn Pn+1 oldug̃undan, Teorem 6.1.8 den dolay¬
A(f; Pn )
A(f; Pn+1 ) ve U• (f; Pn+1 )
U• (f; Pn ) yaz¬labilir. Buna göre ve
Sonuc. 6.1.10 a göre (A(f; Pn )) dizisi azalmayan ve üstten s¬n¬r¬, (U• (f; Pn ))
dizisi ise artmayan ve alttan s¬n¬rl¬d¬r.
Teorem 6.1.12 : f : [a; b] ! R s¬n¬rl¬bir fonksiyon ve P = fx0 ; x1 ;
[a; b] nin herhangi bir parc.alanmas¬olsun. Bu durumda,
U• (f; P )
A(f; P ) =
n
X
wk (f )4xk
; xn g;
(6.7)
k=1
d¬r. Burada,
wk (f ) = w(f; [xk 1 ; xk ]) = supfj f (x)
f (y) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
f fonksiyonunun [xk 1 ; xk ] aral¬g̃¬üzerindeki sal¬n¬m¬d¬r.
I·spat: X
sup Z = sup X
Mk (f )
R; Y
R ve Z = fz = x
inf Y oldug̃undan,
y : x 2 X; y 2 Y g kümeleri ic.in
mk (f ) = supff (x) : x 2 [xk 1 ; xk ]g
= supff (x)
= supfj f (x)
infff (y) : y 2 [xk 1 ; xk ]g
f (y) : x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
f (y) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
yaz¬labilir. Buradan, (6.7) es.itlig̃inin dog̃rulug̃u anlas.¬l¬r.
f : [a; b] ! R s¬n¬r¬ bir fonksiyon P de [a; b] aral¬g̃¬n¬n bütün mümkün
P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmalar¬ndan olus.an bir küme olsun. Sonuc.
Temel Tan¬mlar ve Sonuc.lar
9
6.1.10 dan dolay¬ fA(f; P ) : P 2 Pg kümesi üstten (c.ünkü 8P 2 P ic.in
A(f; P ) M (f )(b a) d¬r), fU• (f; P ) : P 2 Pg kümesi alttan (c.ünkü 8P 2
P ic.in U• (f; P ) m(f )(b a) d¬r.) s¬n¬rl¬bir reel say¬kümesidir. Bu nedenle,
bu kümelerin s¬ras¬yla supremumu ve in…mumu vard¬r. 2
Tan¬m 6.1.13 : f : [a; b] ! R s¬n¬rl¬bir fonksiyon olsun. I = supfA(f; P ) :
P 2 Pg ve I = inffU• (f; P ) : P 2 Pg say¬lar¬na f fonksiyonunun [a; b]
üzerindeki s¬ras¬ile alt integrali ve üst integrali denir.
Teorem 6.1.14 : f : [a; b] ! R s¬n¬rl¬ bir fonksiyon olsun. Bu durumuda,
I I d¬r.
I·spat: [a; b] aral¬g̃¬n¬n herhangi iki P1 ve P2 parc.alanmalar¬ verilsin.
Teorem 6.1.9 dan dolay¬
A(f; P1 )
U• (f; P2 )
yaz¬labilir. P2 parc.alanmas¬n¬sabit tutarak P1 in P kümesi üzerinde deg̃is.mesi
halinde elde edilen fA(f; P1 ) : P1 2 Pg kümesi üstten s¬n¬rl¬ oldug̃undan,
(E
R alt kümesi ve B 2 R say¬s¬ ic.in 8x 2 E; x
B oldugundan
sup E B dir.)
I = supfA(f; P1 ) : P1 2 Pg
U• (f; P2 )
d¬r. Buna göre, fU• (f; P2 ) : P2 2 Pg kümesi alttan s¬n¬rl¬ oldu g̃undan
(F
R alt kümesi ve c 2 R say¬s¬ic.in 8x 2 F; x c oldug̃undan inf F
c
dir)
I = inffU• (f; P2 ) : P2 2 Pg I
oldug̃u elde edilir. 2
Not:
f : [a; b] ! R s¬n¬rl¬ bir fonksiyon, (Pn ) de [a; b] aral¬g̃¬n¬n
lim jjPn jj = 0 olacak s.ekilde parc.alanmalar¬n¬n artan bir dizisi olsun. Sonuc.
n!1
6.1.11 den dolay¬(A(f; Pn )) alt toplamlar dizisi azalmayan ve üstten s¬n¬rl¬,
(U (f; Pn )) üst toplamlar dizisi artmayan ve alttan s¬n¬rl¬oldug̃undan, monoton
Riemann I·ntegrali
10
dizi özelliklerine göre bu dizilerin birer limitleri vard¬r. Bu nedenle s¬n¬rl¬
f : [a; b] ! R fonksiyonunun [a; b] üzerindeki alt ve üst integralleri s¬ras¬ile
I = lim A(f; Pn ) = supfA(f; Pn ) : n 2 Ng
n!1
I = lim U (f; Pn ) = inffU (f; Pn : n 2 Ng
n!1
gibi tan¬mlana bilir.
Teorem 6.1.15 : f : [a; b] ! R s¬n¬rl¬bir fonksiyon olsun. As.ag̃¬daki önermeler denktirler.
(1) (a) I = I
(b) 8 > 0 ic.in [a; b] aral¬g̃¬n¬n
U• (f; P )
(6.8)
A(f; P ) <
olacak .sekilde bir P = P parc.alanmas¬vard¬r.
Rb
(c) lim R(f; P; ) = I = f (x)dx limiti vard¬r. Bir de I = I = I
jjP jj!0
a
dir.
I·spat: (a) ) (b): I = I olsun ve herhangi bir > 0 say¬s¬verilsin. I ve
I nin tan¬m¬ndan dolay¬[a; b] aral¬g̃¬n¬n öyle P1 ve P2 parc.alanmalar¬vard¬r
ki, (in…mum ve supremumun karakteristik özelliklerinden dolay¬)
I
A(f; P1 ) <
2
ve U• (f; P2 )
I<
2
yaz¬labilir. P; P1 ve P2 parc.alanmalar¬n¬n ortak incelmesi olsun. O halde,
Teorem 6.1.8 den ve son iki es.itsizlikten
U• (f; P )
U• (f; P2 ) < I +
= I+
2
< A(f; P1 ) +
2
= A(f; P1 ) +
+
2 2
A(f; P ) +
Temel Tan¬mlar ve Sonuc.lar
11
yaz¬labilir. Buradan, [a; b] aral¬g̃¬n¬n P parc.alanmas¬ic.in (6.8) es.itsizlig̃inin
sag̃land¬g̃¬görülür.
(b) ) (a): Herhangi bir > 0 say¬s¬verilmis. olsun. [a; b] aral¬g̃¬n¬n
U• (f; P )
(6.9)
A(f; P ) <
olacak s.ekilde bir P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬n¬n varoldug̃unu varsayal¬m. Teorem 6.1.14 ten dolay¬8P 2 P parc.alanmas¬ic.in
A(f; P )
I
I
U• (f; P )
oldug̃una göre (6.8) es.itsizlig̃ini gerc.ekleyen P 2 P parc.alanmas¬ic.in
0
I
U• (f; P )
I
A(f; P ) <
bulunur. Bu durum 8 2 R+ say¬s¬ic.in sag̃lanabileceg̃inden I = I olmal¬d¬r.
(b) ) (c): Herhangi bir > 0 say¬s¬ve (6.9) es.itsizlig̃ini gerc.ekleyen bir
P 2 P parc.alanmas¬verilmis. olsun. Bu durumda I = I oldug̃unu gördük.
1
1
1
= minf 4xk = (xk
2
2
; ng ve
xk 1 ) : k = 1;
2
=
4n M (f )
olmak üzere herhangi bir 0 < < minf 1 ; 2 g say¬s¬n¬sec.elim. [a; b] aral¬g̃¬n¬n¬n jjP jj < olacak s.ekilde herhangi bir P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬
n¬göz önüne alal¬m. P
P oldug̃u ac.¬kt¬r.
E = fk 2 f1;
; ng herhangi bir i 2 f1;
; ng ic.in xi 2 [xk 1 ; xk ]g ve
F = f1; 2;
; ng n E olsun. Bu durumda,
U• (f; P )
A(f; P ) =
m
X
Mk (f )4xk
k=1
=
X
n
X
mk (f )4xk
k 1
[Mk (f )
m( k)(f )]4xk
k2E
+
X
k2F
yaz¬labilir.
[Mk (f )
mk (f )]4xk
Riemann I·ntegrali
12
a ve b noktalar¬ hem P , hem de P parc.alanmas¬na ait oldug̃undan P
parc.alanmas¬n¬n P parc.alanmas¬n¬n alt aral¬klar¬n¬n ic.ine düs.en noktalar¬n¬n
say¬s¬en fazla n
1 dir (böyle aral¬klar¬n say¬s¬en fazla 2n
2 dir). S.u
halde,
X
X
[Mk (f ) mk (f )]4xk
[M (f ) m(f )]
4xk
k2E
k2E
< [M (f )
m(f )]2n P
< [M (f )
m(f )]2n
4n M (f )
ve Mk (f ) mk (f ) 2M (f ) oldug̃undan dolay¬
X
X
4xk
[Mk (f ) mk (f )]4xk
2M (f )
<
2
k2F
k2F
2M (f )(n
1)kP k < 2M (f )
n
1
<
4n M (f )
2
olur. Buna göre, [a; b] aral¬g̃¬n¬n P < olacak s.ekilde herhangi is.aretlenmis.
bir (P; ) parc.alanmas¬verilmis. olsun. Bu durumda,
A(f; P )
U• (f; P ) ve A(f; P )
R(f; P; )
I
I
U• (f; p)
oldug̃undan, I = I = I dersek
jR(f; P; )
Ij
U• (f; P )
A(f; P ) <
yaz¬labilir. Böylece, (b) ) (c) önermesinin dog̃rulug̃u ispatlanm¬s. olur.
(c) ) (b): Tan¬m 6.1.3 ten 8 > 0 ic.in 9 > 0 öyle ki, [a; b] nin P <
olacak s.ekilde herbir is.aretlenmis. (P; ) parc.alanmas¬ic.in
I
3
<
n
X
f ( k )4xk < I +
k=1
3
olur. Buradan,
I
3
A(f; P )
U• (f; P )
I+
3
Temel Tan¬mlar ve Sonuc.lar
13
ve dolay¬s¬yla [a; b] aral¬g̃¬n¬n P < olacak s.ekilde de P 2 P parc.alanmas¬
2
ic.in U• (f; P ) A(f; P )
< olur. Bu da (b) kos.ulunun sag̃land¬g̃¬n¬
3
gösterir. Böylece teoremin ispat¬tamamlanm¬s. olur. 2
Bu teoremi s.u s.ekilde ifade edebiliriz.
Teorem 6.1.16 : S¬n¬rl¬ bir f : [a; b] ! R fonksiyonunun [a; b] üzerinde
integrallenebilmesi ic.in gerek ve yeter kos.ul as.ag̃¬daki kos.ullardan birinin
sag̃lanmas¬d¬r.
(1) I = I (Darboux Kos.ulu)
(2) 8 2 R+ ic.in
U• (f; P )
A(f; P ) =
n
X
! k (f )4xk <
k=1
olacak .sekilde bir P 2 P parc.alanmas¬vard¬r (Riemann Kos.ulu).
Sonuc. 6.1.17 : Pn 2 P; Pn
sag̃layan bir (Pn ) dizisi ic.in
(n)
(n)
(Pn = fx0 ; x1 ;
; x(n)
n g;
n
k
lim
n!1
limiti varsa
Pn+1 (n 2 N) ve lim Pn = 0 kos.ullar¬n¬
n!1
(n)
(n)
(n)
(n)
2 [xk 1 ; xk ]; 4xk = xk
n
X
f(
(n)
(n)
k )4xk
=I
(n)
xk 1 ; k = 1;
; n)
(6.10)
k=1
I=
Zb
f (x)dx
a
integrali vard¬r.
Not:
Sonuc. 6.1.17 den görüldüg̃ü gibi
Rb
f (x)dx integralinin varolmas¬
a
ic.in Pn
Pn+1 (n 2 N) ve lim Pn = 0 kos.ullar¬n¬sag̃layan herhangi bir
n!1
(Pn ) dizisi ic.in (6.10) limitinin varoldug̃unu göstermek yeterlidir. Örneg̃in,
(n)
böyle bir (Pn ) dizisi olarak terimleri Pn = fxk = a + b na k : k = 0; 1;
; ng
s.eklinde tan¬ml¬(Pn ) dizisi (yani [a; b] nin düzgün parc.alanmalar¬ndan olus.an
dizi) al¬nabilir.
Riemann I·ntegrali
14
I·ntegrallenebilen Baz¬Fonksiyon S¬n¬‡ar¬
6.2
Teorem 6.2.1 : [a; b] aral¬g̃¬nda sürekli her fonksiyon bu aral¬k üzerinde
integrallenebilirdir, yani C[a; b] R[a; b] dir.
I·spat: [a; b] aral¬g̃¬nda sürekli bir f : [a; b] fonksiyonu verilsin ve ! f :
(0; b a] ! R+ ; f fonksiyonunun süreklilik modülü olsun (Bkz. §3.2). Teorem 3.2.21 den dolay¬ f fonksiyonu [a; b] de düzgün sürekli ve dolay¬s¬yla,
lim ! f ( ) = 0 oldug̃undan, 8" 2 R+ ic.in 9 " 2 R+ öyleki 80 < < "
!0+
ic.in ! f ( ) < (b " a) dir. 0 < < " olmak üzere [a; b] aral¬g̃¬n¬n jj P jj<
olacak s.ekilde bir P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬verilsin. Bu durumda,
. in
k ; k 2 [xk 1 ; xk ] ic
j
k
k
j
) j f ( k)
f ( k) j
= maxfj f (x)
yazilabilir. Buna göre, jj P jj<
U• (f; P )
! k (f )
f (y) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
!f ( )
olacak s.ekilde P 2 P parc.alanmas¬ic.in
A(f; P ) =
n
X
[Mk (f )
mk (f )] xk
k=1
[Mk (f )
mk (f ) = ! k (f )
=
n
X
k=1
! k (f ) xk
! f ( ) oldug̃undan]
n
X
! f ( ) xk = ! f ( )(b
a) < "
k=1
elde edilir. Böylece, 8" 2 R+ ic.in 9 > 0 öyleki, [a; b] nin jj P jj< olacak
s.ekilde P 2 P parc.alanmas¬ic.in U (f; P ) A(f; P ) < " olur. Teorem 6.1.15
e göre f 2 R[a; b] dir. 2
Teorem 6.2.2 : [a; b] aral¬g̃¬nda monoton(artan veya azalan) her fonksiyon
bu aral¬k üzerinde integrallenebilirdir.
I·spat: f : [a; b] ! R fonksiyonu monoton azalan olsun. f sabit bir
fonksiyon ise ispat ac.¬kt¬r. f sabit olmas¬n. O halde f (a) f (b) > 0 d¬r.
I·ntegrallenebilen Baz¬Fonksiyon S¬n¬‡ar¬
15
Herhangi " 2 R+ say¬s¬ic.in [a; b] aral¬g̃¬n¬n jj P jj< f (a) " f (b) olacak s.ekilde
bir P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬n¬gözönüne alal¬m. Monoton azalan
f : [a; b] ! R+ fonksiyonu ic.in
mk (f ) = f (xk ) ve
Mk (f ) = f (xk 1 )
olacag̃¬ndan,
n
X
k=1
! k (f ) xk =
n
X
[Mk (f )
k=1
n
X
mk (f )] xk =
n
X
[f (xk 1 )
f (xk )] xk
k=1
[f (xk 1 )
f (xk )] = "(f (a)
f (b)) < "
k=1
bulunur. Riemann kos.ulu gerc.eklendig̃inden f 2 R[a; b] dir. 2
Tan¬m 6.2.3 : a; b 2 R olmak üzere b a 2 R+ say¬s¬na J = [a; b]; (J =
(a; b)) aral¬g̃¬n¬n uzunlug̃u (veya ölc.üsü) denir ve (J) = b a ( (J) = 0)
.seklinde gösterilir.
Tan¬m 6.2.4 : Bos. olmayan bir X [a; b] alt kümesi verilmis. olsun. 8" 2
R+ ic.in
1
1
N
[
X
X
X
(J k ) = lim
J k ve
(J k ) < "
k=1
N !1
k=1
k=1
olacak .sekilde J = fJ k : J k = [ak ; bk ]; k 2 Ng kapal¬aral¬klar ailesi varsa, X
kümesinin Lebesque ölc.üsü s¬f¬rd¬r denir ve (X) = 0 .seklinde yaz¬l¬r.
Not: Yukar¬daki tan¬mda J ailesi yerine J = fJk : Jk = (ak ; bk ); k 2 Ng
ac.ik aral¬klar ailesi de al¬nabilir.
Tan¬m 6.2.5 : Bos. olmayan bir X [a; b] alt kümesi verilmis. olsun. 8" 2
R+ ic.in
n
n
[
X
J k ve
(J k ) < "
X
k=1
k=1
olacak bic.imde sonlu J = fJ 1 ; J 2 ;
; J n g kapal¬ aral¬klar ailesi varsa X
kümesinin Jordan ölc.üsü s¬f¬rd¬r denir. Bu tan¬ma göre Jordan ölc.üsü s¬f¬r
olan 8X R kümesinin Lebesque ölc.üsü de s¬f¬rd¬r.
Riemann I·ntegrali
16
Örnek 6.2.6 : R nin sonlu say¬da x0 ; x1 ;
; xm noktalar¬ndan olus.an X =
fx0 ; x1 ;
; xm g kümesinin Jordan ölc.üsünün s¬f¬r oldug̃unu gösteriniz.
C
. özüm: 8" 2 R+ say¬s¬verilsin. J k = [xk
m
S
aral¬klar¬ic.in X
Xk ve
"
"
; xk + 4m
];
4m
k = 1; 2;
;m
k=1
m
X
(J k ) =
k=1
m
X
k=1
2
"
"
= <"
4m
2
oldug̃una göre, (X) = 0.
Örnek 6.2.7 : Say¬labilir her X
Gösteriniz.
R alt kümesinin Lebesque ölc.üsü s¬f¬rd¬r.
C
; xm ; g kümesi
. özüm: 8" 2 R+ say¬s¬ve say¬labilir X = fx0 ; x1 ;
"
"
verilsin. J k = [xk 2k ; xk + 2k ]; k = 1; 2;
aral¬klar¬gözönüne al¬nd¬g̃¬nda
1
S
J k oldug̃u ac.iktir. Bir de (J k ) = 2k" 1 ; k = 1; 2;
oldug̃una göre,
X
k=1
1
X
k=1
(J k ) =
1
N
X
X
"
"
=
lim
2k 1 N !1 k=1 2k 1
k=1
1
1
+
+ N 1)
N !1
2
2
1
= 2" lim (1
) = 2"
N !1
2N
= " lim (1 +
bulunur. Bu da (X) = 0 olmas¬demektir.
Örnek 6.2.8 : Sonlu say¬da limit noktas¬ olan say¬labilir her X
kümesinin Jordan ölc.üsü s¬f¬rd¬r. Gösteriniz.
R alt
S.imdi Reel Analiz dersinde göreceg̃iniz as.ag̃¬daki teoremi ispats¬z verebiliriz.
Teorem 6.2.9 : [a; b] aral¬g̃¬nda s¬n¬rl¬ f : [a; b] ! R fonksiyonunun [a; b]
üzerinde integrallenebilen olmas¬ ic.in gerek ve yeter kos.ul f nin süreksizlik
noktalar¬ndan olus.an kümenin Lebesque ölc.üsünün s¬f¬r olmas¬d¬r.
I·ntegrallenebilen Baz¬Fonksiyon S¬n¬‡ar¬
17
Sonuc. 6.2.10 : [a; b]
R üzerinde s¬n¬rl¬ ve parc.al¬ sürekli her fonksiyon
[a; b] üzerinde integrallenebilirdir.
Örnek 6.2.11 : f : [0; 1] ! R;
(
sgn(sin x ); x 2 (0; 1] ise;
f (x) =
0;
x = 0 ise
fonksiyonunun [0; 1] üzerinde Riemann anlam¬nda integrallenebilen oldug̃unu
gösteriniz.
1
C
. özüm: f nin [0; 1] üzerinde s¬n¬rl¬oldug̃u ac.¬kt¬r. xk = k ; k = 1; 2;
noktalar¬ f nin 1: c.es.it süreksizlik noktalar¬ x = 0 noktas¬ ise f nin 2:
c.es.it süreksizlik noktas¬d¬r. Herhangi " 2 (0; 1) say¬s¬verilsin. lim xk = 0
k!1
oldug̃undun, (xk ) dizisinin sonlu say¬daki terimleri haric. dig̃er bütün terimleri J 0 = [0; 2" ] aral¬g̃¬ndad¬r. P" = [[ 2" ]] olmak üzere 8k = 1; 2;
; P" ic.in
"
"
"
xk 2 [ 2 ; 1] olur. J k = [xk 4P" ; xk + 4P" ]; k = 1; 2;
; P" dersek
[0; 1]
P"
[
k=0
J k ve
P"
X
(J k ) =
k=0
"
"
+
P" = "
2 2P"
oldug̃u elde edilir. Buna göre, s¬n¬rl¬ f : [0; 1] ! Rfonksiyonunun bütün
süreksizlik noktalar¬ndan olus.an X = f0; 1; 21 ; g
[0; 1]kümesinin Jordan ölc.üsü , dolay¬s¬yla, Lebesque ölc.üsü s¬f¬rd¬r. Bu nedenle Teorem 6.2.9
dan dolay¬ verilen fonksiyon [0; 1] üzerinde Riemann anlam¬nda integrallenebilendir.
Teorem 6.2.12 : f; g 2 R[a; b] olsun. Bu durumda,
(1) (a) f + g 2 R[a; b]
(b) 8 2 R ic.in f 2 R[a; b].
(c) j f j2 R[a; b].
(d) [c; d]
[a; b] ise f j[c;d] 2 R[c; d].
Riemann I·ntegrali
18
(e) f g 2 R[a; b].
(f) 8x 2 [a; b] ic.in j g(x) j
1
g
> 0 ise
2 R[a; b] dir.
I·spat: (a) f; g 2 R[a; b] ve F = f + g olsun. Teorem 6.1.5 ten dolay¬
F : [a; b] ! R fonksiyonu [a; b] üzerinde s¬n¬rl¬d¬r. F 2 R[a; b] oldug̃unu
görelim. f; g 2 R[a; b] =) 8" > 0 ic.in 9 > 0 öyleki [a; b]nin k P k<
olacak s.ekilde her P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ic.in
n
X
! k (f ) xk <
k=1
yaz¬labilir. Her k = 1; 2;
n
X
2
! k (f ) + ! k (g)
olacak s.ekilde her P parc.alanmas¬ic.in
! k (f ) xk +
n
X
! k (g) xk <
k=1
k=1
k=1
! k (g) xk <
k=1
F (y) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
oldug̃undan, [a; b]nin k P k<
! k (F ) xk
ve
; n ic.in
! k (F ) = supfj F (x)
n
X
2
n
X
" "
+ ="
2 2
olur. Bu da Riemann kos.uluna göre, F = f + g 2 R[a; b] oldug̃u demektir.
(b) [a; b] aral¬g̃¬n¬n is.aretlenmis. her (P; ) parc.alanmas¬ic.in
R( f; P; ) =
n
X
( f )( k ) xk = R(f; P; )
k=1
oldug̃una göre, f 2 R[a; b] ise f 2 R[a; b] oldug̃u görülür.
(c) [a; b] aral¬g̃¬n¬n her P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ic.in
!(j f j) = supfjj f (x) j
supfj f (x)
j f (y) jj: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
f (y) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g = ! k (f )
oldug̃undan,
n
X
k=1
! k (j f j) xk
n
X
k=1
! k (f ) xk
I·ntegrallenebilen Baz¬Fonksiyon S¬n¬‡ar¬
19
yazabiliriz. Buradan da
lim
kP k!0
n
X
! k (f ) xk = 0 =) lim
kP k!0
k=1
n
X
k=1
! k (j f j) xk = 0
oldug̃u ve dolay¬s¬yla, j f j2 R[a; b] oldug̃u görülür.
(d) f 2 R[a; b] ve [a; c]
[a; b] olsun. F (x) = f (x); x 2 [a; c] tan¬m¬yla
F j[a;c] : [a; c] ! R fonksiyonunun [a; c] üzerinde Riemann anlam¬nda integrallenebilen oldug̃unu görelim. f 2 R[a; b] =) f; [a; b] üzerinde s¬n¬rl¬d¬r.
Buna göre, F j[a;c] fonksiyonu [a; c] üzerinde s¬n¬rl¬d¬r. [a; c] aral¬g̃¬n¬n herhangi bir P 0 = fx0 ; x1 ;
; xm g (a = x0 < x1 <
< xm 1 < xm = c)
parc.alanmas¬verilsin.k P 0 k= maxf xk ; k = 1; 2;
; mg ve xm < xm+1 <
< xn 1 < xn = b; olmak üzere [a; b] aral¬g̃¬n¬n k P k= maxf xk ; k =
1; 2;
; mg <k P 0 k olacak s.ekilde bir P = fx0 ; x1 ;
; xm ; xm+1 ;
; xn g
parc.alanmas¬n¬gözönüne alal¬m. O halde, F j[a;c] fonksiyonu ic.in
m
X
! k (F ) xk
n
X
! k (f ) xk
k=1
k=1
yazabiliriz. Bu es.itsizlikte k P 0 k! 0 iken limite gec.ersek
0
(k P k! 0 =)k P k! 0 =)
lim
0
kP k!0
m
X
n
X
k=1
! k (f ) xk ! 0)
! k (F ) xk = 0
k=1
oldug̃undan dolay¬F j[a;c] 2 R[a; b] oldug̃u görülür.
(e) f; g 2 R[a; b] olsun. f g 2 R[a; b] oldug̃unu görelim. f ve g nin dolay¬s¬
ile f g nin [a; b] de s¬n¬rl¬ oldug̃u ac.¬kt¬r. [a; b] aral¬g̃¬n¬n herhangi bir P =
fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ic.in
! k (f g) = supfj f (x)g(x)
f (y)g(y) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
Mk (g)! k (f ) + Mk (f )! k (g)
M (g)! k (f ) + M (f )! k (g)
Riemann I·ntegrali
20
oldug̃undan,
n
X
! k (f g) xk
M (g)
k=1
n
X
! k (f ) xk + M (f )
k=1
n
X
! k (g) xk
k=1
yaz¬labilir. k P k! 0 iken sag̃ taraf¬n limiti s¬f¬r oldug̃undan,
lim
kP k!0
n
X
! k (f g) xk = 0
k=1
yani, f g 2 R[a; b] oldug̃u anlas.¬l¬r.
(f) [a; b] aral¬g̃¬n¬n her P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ic.in
1
1
1
j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
! k ( ) = supfj
g
g(x) g(y)
1
1
g(y) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g = 2 ! k (g)
2 supfj g(x)
oldug̃undan,
n
X
1
! k ( ) xk
g
k=1
n
1 X
g 2 R[a; b] =) lim
n
X
yaz¬labilir. Buradan,
kP k!0
n
X
2
! k (g) xk
k=1
! k (g) xk = 0
k=1
1
1
! k ( ) xk = 0 ) 2 R[a; b]
kP k!0
g
g
k=1
lim
oldug̃u anlas.¬l¬r. 2
Not: (e) ve (f) den f; g 2 R[a; b] ve 8x 2 [a; b] ic.in j g(x) j
> 0 ise
f
nin de [a; b] de integrallenebilir oldug̃u elde edilir.
g
Not: Teorem 6.2.12 deki önermelerin tersi genelde dog̃ru deg̃ildir. Örne
g̃in, D : [0; 1] ! R;
(
1; x rasyonel ise;
D(x) =
0; x irrasyonel ise
I·ntegrallenebilen Baz¬Fonksiyon S¬n¬‡ar¬
21
fonksiyonunun [0; 1] üzerinde integrallenemez oldug̃unu biliyoruz. (Bkz. Ke
sim 6.1). [0; 1] üzerinde integrallenemez f (x) = D(x) ve g(x) = D(x)
fonksiyonlar¬n¬n toplam¬olan f (x) + g(x) = 0 fonksiyonu [0; 1] üzerinde integrallenebilirdir.
Teorem 6.2.13 : f 2 R[a; b]; m = infff (x) : x 2 [a; b]g ve M = supff (x) :
x 2 [a; b]g olsun. Eg̃er ' 2 C[m; M ] ise, h(x) = '(f (x)); x 2 [a; b] bic.iminde
tan¬mlanan h = f g : [a; b] ! R biles.ik fonksiyonu [a; b] üzerinde integrallenebilirdir.
I·spat: 8" > R+ say¬s¬ verilsin. C = maxfj '(t) j: t 2 [m; M ]g olmak
"
olsun. [m; M ] üzerinde sürekli ' fonksiyonu [m; M ]
üzere "1 = (b a+2C)
üzerinde düzgün sürekli oldug̃una göre 9 = (") > 0 öyleki 8s; t 2 [m; M ]
ic.in
js
olur. Bu
aral¬g̃¬n¬n
t j<
=)j '(s)
> 0 say¬s¬n¬ 0 <
U• (f; P )
'(t) j< "1
< "1 gibi sec.ebiliriz. f 2 R[a; b] =) [a; b]
A(f; P ) =
n
X
! k (f ) xk <
2
k=1
olacak s.ekilde bir P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬vard¬r.
A = fk : ! k (f ) < g ve B = fk : ! k (f )
olsun. k 2 A ic.in ! k (h) = Mk (h)
k 2 A =) ! k (f ) = Mf (f )
mk (h) < "1 oldug̃unu görelim.
mk (f ) = supfj f (x)
=) 8x; y 2 [xk 1 ; xk ] ic.in j f (x)
Buna göre, 8s; t 2 [m; M ] ic.in j s
8k 2 A ic.in
! k (h) = supfj '(f (x))
g
t j<
f (y) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
f (y) j<
=)j '(s)
'(t) j< "1 olacag̃¬ndan
'(f (y)) j: x; y 2 [xk 1 ; xk ]g
"1
Riemann I·ntegrali
22
oldug̃u anlas.¬l¬r. k 2 B ic.in Mk (h) mk (h)
her P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ic.in
n
X
! k (h) xk =
k=1
[k 2 A ic.in ! k (h)
X
! k (h) xk +
k2A
ve buradan da f 2 R[a; b] =)
X
k2B
oldug̃una göre,
X
! k (f ) xk
xk
k2B
k2B
n
P
! k (f ) xk <
! k (h) xk
2
oldug̃unu dikkate ald¬g̃¬m¬z
k=1
xk <
2
=)
X
xk <
k2B
k2B
n
X
! k (h) xk
"1 ve k 2 B ic.in ! k (h) 2C oldug̃undan]
X
X
"1
xk + 2C
xk
yazabiliriz. k 2 B ic.in ! k (h)
X
bulunur. Buna göre,
X
k2B
k2A
da
2C oldug̃u ac.¬kt¬r. [a; b] nin
"1 (b
a) + 2C < "1 (b
a + 2C) = "
k=1
olur. Riemann kos.ulu sag̃land¬g̃¬ndan h = f
integrallenebilirdir. 2
g fonksiyonu [a; b] aral¬g̃¬nada
Sonuc. 6.2.14 : f 2 R[a; b] =) 8 2 R+ ic.in j f j 2 R[a; b] dir. Gerc.ekten,
8 > 0 ic.in ' : R ! R+ ; '(t) =j t j fonksiyonu R üzerinde sürekli
oldug̃undan, bu fonksiyon her [A; B]
R üzerindede süreklidir. Öyleyse,
Teorem 6.2.13 e göre j f (x) j = '(f (x)) : [a; b] ! R fonksiyonu [a; b] aral¬g̃¬nda integrallenebilendir.
Not: Teorem 6.2.13 te ' nin [m; M ] üzerinde sürekli olmas¬kos.ulunun
' nin [m; M ] üzerinde integrallenebilir olmas¬kos.ulu ile deg̃is.tirmesi halinde
teoremin iddeas¬dog̃ru olmayabilir. Bunu görelim.
f : [0; 1] ! R;
' : [0; 1] ! R
Riemann I·ntegralinin Özellikleri.Ortalama Deg̃er Teoremleri
f (x) =
(
23
x= m
2 [0; 1]; m; n 2 Z; m ve n aralar nda asal ise;
n
0; x 2 [0; 1] irrasyonel ise
(
1; y 2 [0; 1]; ise;
'(y) =
0; y = 0 ise
1
;
n
fonksiyonlar¬n¬ alal¬m. f fonksiyonunun [0; 1] aral¬g̃¬nda herbir irrasyonel
noktas¬nda sürekli ve bu aral¬g̃¬n herbir rasyonel noktas¬nda süreksiz oldug̃unu
biliyoruz. (Bkz. Bölüm 3, Problem 34). f s¬n¬rl¬ve süreksizlik noktalar¬n¬n
say¬s¬say¬labilir oldug̃undan, Örnek 6.2.7 den dolay¬bu noktalar kümesinin
Lebesque ölc.üsü s¬f¬rd¬r. Buna göre, Teorem 6.2.9 dan dolay¬f 2 R[a; b] dir.
' 2 R[a; b] oldug̃u da ac.¬kt¬r. Bununla beraber h = ' f : [0; 1] ! R,
(
1; x 2 [0; 1] rasyonel ise;
h(x) = (' f )(x) =
0; x 2 [0; 1] irrasyonel ise
biles.ik fonksiyonu [0; 1] üzerinde integrallenemezdir.
6.3
Riemann I·ntegralinin Özellikleri.
Ortalama Deg̃er Teoremleri
Tan¬m 6.3.1 : f 2 R[a; b] ic.in
Ra
(1) (a) f (x)dx = 0
a
(b)
Ra
f (x)dx =
Rb
f (x)dx :
a
b
Teorem 6.3.2 : (a) f 2 R[a; b] ve g 2 R[a; b] ise f + g 2 R[a; b] ve
8 2 R ic.in f 2 R[a; b] dir ve
Zb
[f (x) + g(x)]dx =
a
Zb
f (x)dx +
a
Zb
a
f (x)dx =
Zb
g(x)dx;
(6.11)
a
Zb
a
f (x)dx;
(6.12)
Riemann I·ntegrali
24
es.itlikleri dog̃rudur.
(b) f 2 R[a; b] ve a < c < b ise f 2 R[a; c]; f 2 R[c; b] dir ve
Zb
f (x)dx =
a
Zc
f (x)dx +
a
Zb
f (x)dx;
(6.13)
c
dir. Bu sonuca Riemann integralinin Toplamsall¬k Özellig̃i denir.
(c) f 2 R[a; b] ve 8x 2 [a; b] ic.in f (x) 0 ise
Zb
f (x)dx
0
a
d¬r.
(d) f 2 R[a; b] ve 8x 2 [a; b] ic.in f (x) > 0 ise
Zb
f (x)dx > 0
a
d¬r.
(e) f 2 R[a; b]; g 2 R[a; b] ve 8x 2 [a; b] ic.in f (x)
g(x) ( veya f (x) <
g(x)) ise
Zb
Zb
Zb
Zb
f (x)dx
g(x)dx ( f (x)dx < g(x)dx)
a
a
a
a
dir.
(f) f 2 R[a; b] ve 8x 2 [a; b] ic.in q f (x)
Zb
q(b a)
f (x)dx
p ise
p(b
a)
(6.14)
a
dir.
(g) f 2 R[a; b] ise j f j2 R[a; b] dir ve
j
Zb
a
dir.
f (x)dx j
Zb
a
j f (x) j dx
(6.15)
Riemann I·ntegralinin Özellikleri.Ortalama Deg̃er Teoremleri
25
I·spat: (a) f 2 R[a; b]; g 2 R[a; b] ic.in f + g 2 R[a; b] ve f 2 R[a; b]
oldugu Teorem 6.2.12(a) dan bellidir. (6.11) es.itlig̃inin dog̃ru oldug̃unu göre
lim. [a; b] aral¬g̃¬n¬n is.aretlenmis. her (P; ) parc.alanmas¬ic.in
(6.16)
R(f + g; P; ) = R(f; P; ) + R(g; P; )
yaz¬labilir. Üstelik, f 2 R[a; b] )
R[a; b] ) lim R(g; P; ) =
kP k!0
Rb
lim R(f; P; ) =
kP k!0
Rb
a
f (x)dx; ve g 2
g(x)dx; limitleri mevcut oldug̃undan, (6.16)
a
es.itlig̃inde k P k! 0 iken limite gec.ersek lim R(f + g; P; ) limitinin varl¬g̃¬
kP k!0
ve (6.11) es.itlig̃inin dog̃rulug̃u ispatlanm¬s. olur. (6.12) es.itlig̃inin dog̃rulug̃u
benzer s.ekilde gösterilebilir.
(b) f 2 R[a; b] ic.in Teorem 6.2.12(d) den dolay¬fj[a;c] 2 R[a; c] ve fj[c;b] 2
R[c; b] d¬r. (6.13) es.itlig̃inin dog̃rulug̃unu ispatlayal¬m.
Rb
f 2 R[a; b] ic.in f (x)dx integrali
a
Zb
f (x)dx = lim R(f; P; )
kP k!0
a
limiti gibi hesapland¬g̃¬nda [a; b] aral¬g̃¬n¬n bu limitin hesaplanmas¬ic.in kolayl¬k sag̃layan parc.alanmalar¬ndan kullanabiliriz. Bu nedenle, böyle parc.alanmalar olarak [a; b] aral¬g̃¬n¬n c noktas¬bir bölüm noktas¬olan parc.alanmalar¬ndan kullanal¬m. [a; b] aral¬g̃¬n¬n c noktas¬ bir bölüm noktas¬ olan
is.aretlenmis. her (P; ) parc.alanmas¬ic.in P 0 = P \ [a; c]; P 00 = P \ [c; b]; P =
P 0 [ P 00 ve = ( 0 ; 00 ) olmak üzere (P 0 ; 0 ) ve (P 00 ; 00 ) s¬ras¬ile [a; c] ve [c; b]
aral¬klar¬n¬n is.aretlenmis. parc.alanmalar¬olacakt¬r. Buna göre,
R(f; P; ) = R(f; P 0 ; 0 ) + R(f; P 00 ;
00
)
(6.17)
es.itlikleri sag̃lanacakt¬r. k P 0 k k P k ve k P 00 k k P k oldug̃undan, ve
k P k! 0 iken (k P k! 0 )k P 0 k! 0; k P 00 k! 0) lim
R(f; P 0 ; 0 ) =
0
Rb
a
f (x)dx lim
R(f; P 00 ;
00
kP k!0
00
)=
Rb
c
kP k!0
f (x)dx limitleri mevcut oldug̃undan, (6.17)
Riemann I·ntegrali
26
es.itlig̃inde k P k! 0 iken limite gec.ersek (6.13) ifadesinin dog̃rulug̃u ispatlan
m¬s. olur.
(c) [a; b] aral¬g̃¬n¬n is.aretlenmis. her (P; ) parc.alanmas¬ ic.in f ( k )
0 ve
n
P
xk xk 1 > 0 oldug̃undan, R(f; P; ) =
f ( k ) xk
0 yaz¬labilir. Bu
k=1
durumda, lim R(f; P; ) =
ve
kP k!0
Rb
f (x)dx = I
0 oldug̃unu görelim. I < 0
a
=j I j> 0 olsun.
lim R(f; P; ) = I ) [a; b] aral¬g̃¬n¬n is.aretlenmis.
kP k!0
öyle bir (Pe; e) parc.alanmas¬vard¬r ki j R(f; Pe; e) I j<j I j) R(f; Pe; e) <j
I j +I = 0 olur. Bu da [a; b] nin is.aretlenmis. her (P; ) parc.alanmas¬ ic.in
R(f; P; ) 0 olmas¬v ile c.elis.tig̃inden I 0 d¬r.
Rb
(d) (c) ye göre I = f (x)dx 0 d¬r. I > 0 oldug̃unu görelim. I = 0 olsun.
a
Bu durumda,
lim U• (f; P ) = lim
kP k!0
kP k!0
n
X
Mk (f ) xk = 0
k=1
; x0n g
> 0 ic.in [a; b] aral¬g̃¬n¬n öyle bir P 0 = fx00 ; x01 ;
n
P
parc.alanmas¬ vard¬r ki, 0
Mk (f ) x0k < 1 (b a) olur. Buna göre,
oldug̃undan, 8
1
k=1
Mk0 (f ) = supff (x) : x 2 [x0k0 1 ; x0k0 ]g < 1 olacak s.ekilde bir k0 2 f1; 2;
; ng
dog̃al say¬s¬ vard¬r. Buradan da, 8x 2 [a1 ; b1 ]
[a; b] ic.in 0 < f (x) < 1
Rb1
olacak s.ekilde bir [a1 ; b1 ]
[a; b] alt aral¬g̃¬ varolacakt¬r.
f (x)dx = 0
a1
Rb
d¬r.Gerc.ekten (b) den dolay¬ f (x)dx =
a
Ra1
(c) den dolay¬ f (x)dx
0 ve
a
Rb1
f (x)dx
s.ekilde ,0 <
a
Rb
f (x)dx
0 oldug̃u,dolay¬s¬yla
f (x)dx +
Rb1
f (x)dx +
a1
0 oldug̃una göre 0 =
Rb
b1
Rb
f (x)dx ve
f (x)dx
a
b1
a1
Ra1
Rb1
f (x)dx = 0 oldug̃u elde edilir. Benzer
a1
2
<
1
ic.in
Rb2
a2
f (x)dx = 0 ve 8x 2 [a2 ; b2 ] ic.in 0 < f (x) <
2
olacak s.ekilde bir [a2 ; b2 ]
[a1 ; b1 ] alt aral¬g̃¬elde ederiz. R+ ic.inde azalan
ve k ! 1 iken k ! 0 kos.ullar¬n¬sag̃layan herhangi bir ( k ) dizisi ic.in bu
Riemann I·ntegralinin Özellikleri.Ortalama Deg̃er Teoremleri
27
düs.ünceleri ard arda devam edersek
(1) [ak+1 ; bk ]
(2) lim (bk
k!1
[ak ; bk ]; k = 1; 2;
;
ak ) = 0;
(3) 8x 2 [ak ; bk ] ic.in 0 < f (x) < k ; k = 1; 2; ::: özelliklerine sahip ([ak ; bk ])
kapal¬ aral¬klar dizisi elde ederiz. Ic. ic.e aral¬klar prensibi gereg̃ince
1
\ [ak bk ] = fcg olur. 8k 2 N ic.in c 2 [ak bk ] oldug̃undan, 8k 2 N
k=1
ic.in 0 < f (x) < k olacakt¬r. Burada k ! 1 iken limite gec.ersek
f (c) = 0 oldug̃u elde edilir.Bu ise 8x 2 [a; b] ic.in f (x) > 0 olmas¬ile
Rb
c.elis.tig̃inden f (x)dx = 0 hipotezinin yanl¬s. oldug̃u anlas.¬l¬r.Demek
a
ki, f 2 R[a; b] ve 8x 2 [a; b] ic.in f (x) > 0 ise
Rb
f (x)dx > 0 d¬r.
a
(e) f 2 R[a; b]; g 2 R[a; b] ve 8x 2 [a; b] ic.in f (x) g(x) (veya f (x) <
g(x)) olsun. Bu durumda, '(x) = g(x) f (x) fonksiyonu ic.in ' 2 R[a; b] ic.in
Rb
'(x) 0 (veya '(x) > 0) olacag̃¬ndan (c) ye ((d)ye) göre '(x)dx 0 (veya
a
Rb
'(x)dx > 0) bulunur. Buradan istenen es.itsizlig̃in sag̃land¬g̃¬anlas.¬l¬r.
a
(f) [a; b] aral¬g̃¬n¬n is.aretlenmis. her (P; ) parc.alanmas¬ic.in
q xk
f ( k ) xk
es.itsizlikleri sag̃land¬g̃¬ndan ve
q(b
a)
n
P
p xk ; k = 1; ::; n
xk = b
a oldug̃undan, dolay¬
k=1
R(f; P; )
P (b
a)
yaz¬labilir. Burada, k P k! 0 iken limite gec.ersek (6.14) es.itsizlig̃inin
dog̃rulug̃unu elde ederiz.
(g) j f j2 R[a; b] oldug̃u Teorem 6.2.12(c) den bellidir. (6.15) es.itsizlig̃inin
sag̃land¬g̃¬n¬görelim. 8x 2 [a; b] ic.in
j f (x) j
f (x)
j f (x) j
Riemann I·ntegrali
28
es.itsizlig̃i sag̃land¬g̃¬ndan ve j f (x) j; j f (x) j2 R[a; b] oldug̃undan, (e) ye
göre
Zb
Zb
Zb
j f (x) j dx
f (x)dx
j f (x) j dx ;
a
a
a
dolay¬s¬ile (6.15) es.itsizlig̃inin dog̃ru oldug̃u görülür. 2
Teorem 6.3.3 (Birinci Ortalama Deg̃er Teoremi) : f; g 2 R[a; b] ve
m = infff (x) : x 2 [a; b]g; M = supff (x) : x 2 [a; b]g olsun. Eg̃er, g, [a; b]
üzerinde her yerde ayn¬is.aretli ise
Zb
f (x)g(x)dx =
a
olacak .sekilde
sürekli ise
Zb
(6.18)
g(x)dx
a
2 [m; M ] say¬s¬ vard¬r.Eg̃er, f fonksiyonu [a; b] üzerinde
Zb
f (x)g(x)dx = f ( )
a
olacak .sekilde en az bir
Zb
(6.19)
g(x)dx
a
2 [a; b] noktas¬vard¬r.
I·spat: Teoremi 8x 2 [a; b] ic.in g(x)
0 oldug̃u durumda ispatlayal¬m. Bu durumda, 8x 2 [a; b] ic.in mg(x) f (x)g(x) M g(x) yaz¬labilir.
mg(x) 2 R[a; b]; f g 2 R[a; b] ve M g 2 R[a; b] oldug̃una göre, Teorem 6.3.2
(e) den dolay¬
m
Zb
g(x)dx
a
Zb
f (x)g(x)dx
a
elde ederiz. 8x 2 [a; b] ic.in g(x)
Rb
a
g(x)dx = 0 ise (6.20) den
Rb
a
M
Zb
g(x)dx
(6.20)
a
0 oldug̃una göre,
Rb
g(x)dx
0 d¬r.
a
f (x)g(x)dx = 0; dolay¬s¬ile (6.18) es.itsizlig̃inin
Riemann I·ntegralinin Özellikleri.Ortalama Deg̃er Teoremleri
her
2 [n; M ] say¬s¬ic.in sag̃land¬g̃¬görülür.
den
Rb
Rb
g(x)dx > 0 oldug̃unda (6.20)
a
f (x)g(x)dx
a
m
29
Rb
M
g(x)dx
a
ve dolay¬s¬ile
=
Rb
f (x)g(x)dx
a
Rb
g(x)dx
2 [m; M ]
a
say¬s¬ic.in (6.18) es.itlig̃inin sag̃land¬g̃¬görülür.
f; [a; b] üzerinde sürekli ise f fonksiyonu m ve M aras¬ndaki her deg̃eri
en az bir kere al¬r (Bkz. Teorem 3.2.5). O halde, 2 [a; b] bu deg̃erlerden biri
oldug̃undan, f ( ) = olacak s.ekilde en az bir 2 [a; b] noktas¬vard¬r.Buradan
da (6.19) es.itlig̃ini gerc.ekleyen en az bir
2 [a; b] noktas¬n¬n varoldug̃u
anlas.¬l¬r.
8x 2 [a; b] ic.in g(x) 0 oldug̃u durumda teorem benzer s.ekilde ispatlan¬r.
2
Sonuc. 6.3.4 : f 2 R[a; b]; m = infff (x) : x 2 [a; b]g ve M = supff (x) :
x 2 [a; b]g olsun. Bu durumda,
Zb
f (x)dx = (b
a)
(6.21)
a
olacak .sekilde
sürekli ise
2 [m; M ] say¬s¬ vard¬r. Eg̃er, f fonksiyonu [a; b] üzerinde
Zb
f (x)dx = f ( )(b
a
olacak .sekilde en az bir
2 [a; b] noktas¬vard¬r.
a)
(6.22)
Riemann I·ntegrali
30
Gerc.ekten, Teorem 6.3.3 de özel olarak g(x)
1 al¬n¬rsa
Rb
g(x)dx =
a
Rb
dx = (b
a) oldug̃una göre, (6.18) ve (6.19) dan s¬ras¬ile (6.21) ve (6.22)
a
es.itliklerinin sag̃land¬g̃¬anlas.¬l¬r.a 6= b ise (6.21) den
=
1
b
a
Zb
f (x)dx
a
bulunur. Bu deg̃ere f fonksiyonunun [a; b] aral¬g̃¬ndaki ortalama deg̃eri veya
varyasyonu denir.
Teorem 6.3.5 (I·kinci Ortalama Deg̃er Teoremi) : f 2 R[a; b] ve g :
[a; b] ! R fonksiyonu [a; b] üzerinde monoton artan (yada monoton azalan)
bir fonksiyon olsun. Bu durumda,
Zb
f (x)g(x)dx = g(a)
a
olacak .sekilde en az bir
Z
f (x)dx + g(b)
a
Zb
f (x)dx
(6.23)
2 [a; b] noktas¬vard¬r.
Teoremin ispat¬Problem 39 da verilecektir.
6.4
Türev ve I·ntegral.
I·ntegral Hesab¬n¬n Temel Teoremleri
f 2 R[a; b] foksiyonu verilmis. olsun. Her bir [a; x]
f j[ [[[a; x] 2 R[a; b] oldug̃una göre,
F (x) =
Zx
a
f (t)dt
[a; b] aral¬g̃¬ ic.in
(6.24)
Türev ve I·ntegral.I·ntegral Hesab¬n¬n Temel Teoremleri
31
es.itlig̃i ile [a; b] aral¬g̃¬nda tan¬mlanan F : [a; b] ! Reel foksiyonunu göz
önüne alal¬m.
Zx
Zx
Zx
f (t)dt = f (s)ds = f (u)du
a
a
a
yaz¬ld¬g̃¬ndan, F fonksiyonunun t; s; u deg̃is.kenlerine bag̃l¬olmay¬p, x e bag̃l¬
oldug̃u ac.¬kt¬r. Buna göre, F (x) fonksiyonuna deg̃is.ken üst s¬n¬rl¬integral de
denilir.
Teorem 6.4.1 : f 2 R[a; b] ise (6.24) es.itsizlig̃i ile tan¬ml¬F (x) fonksiyonu
[a; b] üzerinde süreklidir. Ayr¬ca, eg̃er, f fonksiyonu bir x0 2 [a; b] noktas¬nda
sürekli ise F (x) fonksiyonu x0 noktas¬nda türevlenebilirdir ve F 0 (x0 ) = f (x0 )
d¬r.
I·spat: f; [a; b] üzerinde integrallenebilen oldug̃una göre, Teorem 6.1.5
den dolay¬f fonksiyonu [a; b] üzerinde s¬n¬rl¬d¬r, yani 8x 2 [a; b] ic.in
j f (x) j
(6.25)
c
olacak s.ekilde bir c > 0 say¬s¬vard¬r. x; x + h 2 [a; b] olsun. Bu durumda,
x+h
x+h
Z
Zx
Z
f (t)dt = f (t)dt +
f (t)dt
a
a
x
oldug̃una göre,
F (x + h)
F (x) =
x+h
Z
f (t)dt
a
j F (x + h)
x+h
Z
F (x) j = j
f (t)dt j
Zx
a
x+h
Z
f (t)dt =
f (t)dt )
x
[(6:15)ten]
x
j
x+h
Z
j f (t) j dt j
x
x+h
Z
j
cdt j= c j h j
x
[(6:25)ten]
Riemann I·ntegrali
32
bulunur. Buradan da lim F (x + h) = F (x); yani,F fonksiyonunun x 2 [a; b]
h!0
noktas¬nda sürekli oldug̃u anlas.¬l¬r. x0 + h 2 [a; b] olacak s.ekilde her h 6= 0
ic.in
xZ0 +h
f (t)dt
F (x0 + h) F (x0 ) =
x0
ve 1 =
1
h
x0R+h
dt oldug̃una göre,
x0
F (x0 + h)
h
F (x0 )
f (x0 )
1
= j
h
xZ0 +h
1
h
xZ0 +h
f (x0 )
h
f (t)dt
x0
= j
xZ0 +h
dt j
x0
f (x0 )]dt j
[f (t)
x0
1
j
jhj
xZ0 +h
j f (t)
f (x0 ) j dt j (6.26)
x0
yaz¬labilir. f fonksiyonu x0 2 [a; b] noktas¬nda sürekli oldug̃una göre 8 > 0
ic.in 9 > 0 öyle ki 8t 2 [a; b] ic.in j t x0 j<
)j f (t) f (x0 ) j<
olur. j h j< olsun. Bu durumda, 8t 2 [x0 ; x0 + h] (h > 0ise) veya 8t 2
[x0 + h; x0 ](h < 0ise) ic.in j f (t) f (x0 ) j< oldug̃undan, dolay¬
F (x0 + h)
j
h
F (x0 )
f (x0 ) j<
jhj
j
xZ0 +h
dt j=
x0
bulunur. Buradan da F nin x0 noktas¬nda türevlenebilir olmas¬ve F 0 (x0 ) =
f (x0 ) oldug̃u anlas.¬l¬r. 2
Sonuc. 6.4.2 : f 2 C[a; b] ise (6.24) es.itlig̃i ile tan¬ml¬ F fonksiyonu [a; b]
üzerinde türevlidir ve 8x 2 [a; b] ic.in
Zx
F (x) = ( f (t)dt)0 = f (x)
0
a
(6.27)
Türev ve I·ntegral.I·ntegral Hesab¬n¬n Temel Teoremleri
33
dir.
Sonuc. 6.4.3 : f 2 R[a; b] ise
G(x) =
Zb
f (t)dt; x 2 [a; b]
(6.28)
x
bic.iminde tan¬mlanan G : [a; b] ! R fonksiyonu [a; b] üzerinde sürekli ve f
nin sürekli oldug̃u her x 2 [a; b] noktas¬nda türevli ve G0 (x) = f (x) d¬r.
Her x 2 [a; b] ic.in
Zx
f (t)dt +
a
Zb
f (t)dt =
x
Zb
f (t)dt veya F (x) + G(x) =
a
Zb
f (t)dt
a
oldug̃una göre,
G(x) =
Zb
f (t)dt
F (x)
a
yaz¬labilir. Teorem 6.4.1 den dolay¬buradan G nin Sonuc. 6.4.3 de ad¬gec.en
özelliklere sahip oldug̃u anlas.¬l¬r.
Teorem 6.4.4 : (·
Iilkel Fonksiyonun Varl¬g̃¬Üzerine):
[a; b] kapal¬aral¬g̃¬nda sürekli her f : [a; b] ! R fonksiyonunun bu aral¬kta
ilkel fonksiyonu vard¬r. Üstelik, f fonksiyonunun [a; b] üzerindeki her ilkel
fonksiyonu C key… bir reel say¬olmak üzere
F(x) =
Zx
f (t)dt + c
(6.29)
a
bic.imindedir.
I·spat:
f 2 C[a; b] oldug̃unda Sonuc. 6.4.2 den dolay¬ (6.24) es.itlig̃i
Rx
ile tan¬mlanan F (x) = f (t)dt fonksiyonu f nin [a; b] üzerinde bir ilkel
a
Riemann I·ntegrali
34
fonksiyonudur. Eg̃er, F(x) fonksiyonu f nin [a; b] üzerinde herhangi bir ilkel
fonksiyonu,yani 8x 2 [a; b]ic.inF 0 (x) = f(x) ise (F F )0 (x) = F 0 (x) F 0 (x) =
f (x) f (x) = 0 oldug̃una göre, (6.29) bag̃¬nt¬s¬n¬n dog̃rulug̃u anlas.¬l¬r. 2
Not: (6.29) dan görüldüg̃ü gibi f 2 C[a; b] fonksiyonunun belirsiz inteRx
R
grali ile belirli integrali aras¬nda f (x)dx = f (t)dt+c bag̃¬nt¬s¬mevcuttur.
a
Buna göre,Teorem 6.4.4 den dolay¬[a; b] aral¬g̃¬nda sürekli her f : [a; b] ! R
fonksiyonunun bu aral¬kta belirsiz integrali vard¬r.
S.imdi belirsiz integral ile belirli integral aras¬nda bas.ka bir önemli ilgiyi
veren s.u teoremi vereceg̃iz.
Teorem 6.4.5 : (·
Iintegral hesab¬n temel teoremi):
f 2 C[a; b] ve F(x); [a; b] aral¬g̃¬nda f nin herhangi bir ilkel fonksiyonu
ise
Zb
f (x)dx = F(b) F(a)
(6.30)
a
d¬r.
I·spat: Teorem 6.4.4 e göre (6.29) es.itlig̃i ile tan¬mlanan F(x) fonksiyonu
[a; b] aral¬g̃¬nda f nin bir ilkel fonksiyonudur. (6.29) da x = a ve x = b
Rb
Rb
yaz¬ld¬g̃¬nda s¬ras¬ile c = F(a) ve ( f (t)dt = f (x)dx oldug̃undan)
a
Zb
f (x)dx = F(b)
a
F(a)
a
elde edilir. 2
(6.30) es.itlig̃ine Newton-Leibnitz formülü ad¬ verilir. F(b)
b
F(x)
sembolüne göre bu formül
a
Zb
a
b
f (x)dx = F(x)
a
F(a) =
Türev ve I·ntegral.I·ntegral Hesab¬n¬n Temel Teoremleri
35
bic.iminde de yaz¬l¬r.
Not: f fonksiyonu [a; b] üzerinde parc.al¬sürekli ve F(x); [a; b] aral¬g̃¬nda
f nin herhangi bir ilkel fonksiyonu olmas¬ durumunda da (6.30) NewtonLeibnitz formülü gec.erlidir.
S.imdi belirli integrallerin hesaplanmas¬nda s¬k s¬k kullan¬lan k¬smi integrasyon ve deg̃is.ken deg̃is.tirme yöntemlerini vereceg̃iz.
Teorem 6.4.6 (K¬smi I·ntegrasyon Yöntemi) : u ve v fonksiyonlar¬[a; b]
aral¬g̃¬nda sürekli türevlenebilir ise
Zb
Zb
b
0
u(x)v (x)dx = u(x)v(x)
a
v(x)u0 (x)dx
(6.31)
a
a
olur.
I·spat: 8x 2 [a; b] ic.in (u(x)v(x))0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) oldug̃una
göre, u(x)v(x) fonksiyonu u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) fonksiyonunun [a; b] üzerinde
bir ilkel fonksiyonudur. O halde, (6.30) formülüne göre
Zb
[u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x)]dx = u(x)v(x)
b
a
a
veya belirli integralin (6.11) de ifade edilen özellig̃ine göre
Zb
0
u (x)v(x)dx +
a
Zb
u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x)
b
a
a
yaz¬labilir. Buradan (6.31) formülünün dog̃ru oldug̃u görülür. 2
u0 (x)dx = du(x) ve v 0 (x)dx = dv(x) oldug̃una göre (6.31) formülü
Zb
a
b
udv = uv
a
Zb
vdu
(6.32)
a
bic.iminde de yaz¬labilir.
(6.31)(veya (6.32)) formülüne Riemann integrali ic.in k¬smi integrasyon
formülü denir.
Riemann I·ntegrali
36
Teorem 6.4.7 (Deg̃is.ken Deg̃is.tirme Yöntemi) : ' : [ ; ] ! R fonksiyonu [ ; ] üzerinde sürekli türevlenebilen, a = minf'(t) : t 2 [ ; ]g ve
b = maxf'(t) : t 2 [ ; ]g olsun. Bu durumda, [a; b] üzerinde sürekli her
f : [a; b] ! R fonksiyonu ic.in
Zb
f (x)dx =
a
Zb
f ('(t))'0 (t)dt
(6.33)
a
dir.
I·spat: F(x); f nin [a; b] üzerinde bir ilkel fonksiyonu, yani 8x 2 [a; b]
ic.in F 0 (x) = f (x) olsun. Bu durumda, zincir kural¬ndan dolay¬8t 2 [ ; ]
ic.in
(F('(t)))0 = F 0 ('(t))'0 (t) = f ('(t))'0 (t)
oldug̃una göre F('(t)) fonksiyonu [ ; ] üzerinde f ('(t))'0 (t) fonksiyonunun
bir ilkel fonksiyonudur. Bu durumda, (6.31) Newton-Leibnitz formülüne göre
Zb
f (x)dx = F(b)
F(a)
a
ve
Z
f ('(t))'0 (t)dt = F('( ))
F('( ))
olur. '( ) = a ve '( ) = b oldug̃una göre son iki es.itlikten (6.33) ifadesinin
dog̃rulug̃u görülür. 2
Daha genis. kos.ullar sag̃land¬g̃¬nda (6.33) formülünün gec.erli oldug̃unu
gösteren as.ag̃¬daki teoremi ifade edelim.
Teorem 6.4.8 : ' : [ ; ] ! [a; b]; [ ; ] aral¬g̃¬nda sürekli türevlenebilen
,kesin monoton ve '( ) = a, '( ) = b veya '( ) = b, '( ) = a kos.ullar¬n¬
sag̃layan bir fonksiyon olsun. Bu durumda, [a; b] aral¬g̃¬nda integrallenebilen
Türev ve I·ntegral.I·ntegral Hesab¬n¬n Temel Teoremleri
37
her f : [a; b] ! R fonksiyonu ic.in f ('(t))'0 (t) fonksiyonu [ ; ] aral¬g̃¬nda
integrallenebilirdir ve
'(
Z
)
f (x)dx =
'( )
Z
f ('(t))'0 (t)dt
(6.34)
es.itlig̃i dog̃rudur.
Örnek 6.4.9 : I, bitim noktalar¬x0 ve x olan kapal¬bir aral¬k olmak üzere
f : I ! R fonksiyonu ic.in Teorem 4.5.1 in (a); (b) ve (c) hipotezleri sag̃lans¬n.
Bu durumda,
Zx
1
rn (x) =
(x t)n f (n+1) (t)dt
(6.35)
n!
x0
olmak üzere
f (x) =
n
X
f (k) x0
k=0
k!
(x
x0 )k + rn (x)
(6.36)
oldug̃unu gösteriniz.
I·spat¬x0 < x durumunda Matematik indüksiyon yöntemi ile
C
. özüm:
yapacag̃¬z.
f (x) = f (x0 ) + f (x)
f (x0 ) = f (x0 ) + f (t)
jxx0 =
f (x0 ) +
Zx
f 0 (t)dt
x0
oldug̃una göre,
f (x) = f (x0 ) + r0 (x)
ve r0 (x) =
Rx
f 0 (t)dt olur ki, bu da sonucun n = 0 ic.in dog̃ru oldug̃unu
x0
gösterir.
n=k
1 ic.in sonucun dog̃ru oldug̃unu kabul edelim. O halde, u(t) =
1
1
(k+1)
f
(t) ve k! (x t)k = dv dersek du = f (k+2) (t)dt ve v(t) = (k+1)!
(x t)k+1
Riemann I·ntegrali
38
oldug̃undan, k¬smi integrasyon formülüne göre
1
k!
Zx
f (k+1) (t)
(x
(k + 1)!
t)k f (k+1) (t)dt =
(x
t)k+1
x
x0
x0
1
+
(k + 1)!
Zx
(x
t)k+1 f (k+2) (t)dt
x0
f
=
(k+1)
(x0 )(x x0 )k+1
+ rk+1 (x)
(k + 1)!
buluruz. Bu sonucun n = k + 1 ic.inde gec.erli oldug̃unu gösterir. Dolay¬s¬yla,
sonuc., bütün n 0 tamsay¬lar¬ic.in dog̃rudur.
(6.35) ifadesine f nin (6.36) Taylor formülünün kalan teriminin integral
formu denir. Teorem 6.3.3 e göre
Zx
u(t)v(t)dt = u( )
a
Zx
v(t)dt;
2 [a; x]
(6.37)
a
formülünde
u(t) = f (n+1) (t); v(t) =
1
(x
n!
t)n
dersek
1
rn (x) =
n!
Zx
(x
f (n+1) ( )
t)n f (n+1) (t)dt =
n!
x0
=
f
(n+1)
Zx
(x
t)n dt
x0
n+1
( )(x x0 )
(n + 1)!
elde ederiz. Bu f nin Taylor formülünün Lagrange kalan terimidir (Bkz.(??)).
(6.37) de
1
u(t) = f (n+1) (t)(x t)n ve v(t) = 1 al¬rsak
n!
Zx
f (n+1) ( )(x
)n (x x0 )
f (n+1) ( )(x
)n
rn (x) =
dt =
n!
n!
x0
elde ederiz. Bu f nin Taylor formülünün Cauchy kalan terimidir (Bkz. (??)).
Türev ve I·ntegral.I·ntegral Hesab¬n¬n Temel Teoremleri
Örnek 6.4.10 : n
Z2
39
0 tamsay¬olmak üzere
n
sin xdx =
0
Z2
n
cos xdx =
0
oldug̃unu gösteriniz. Burada,
(
1:3:5
n!! =
2:4:6
(n
(n
(
(n 1)!!
;
n!!
(n+1)!!
;
n!! 2
n tek ise;
n c.ift ise
(6.38)
2)n; n tek ise;
2)n; n c.ift ise;
bic.iminde tan¬ml¬n!! ifadesine yar¬-faktoriyel ad¬verilir.
In =
C
. özüm:
J0 =
2
sinn xdx; Jn =
0
ve
I1 =
R2
Z2
R2
cosn xdx; n = 0; 1;
sin xdx =
cos x
2
= 1; J1 =
0
0
Z2
Z2
n
sin xdx =
0
sinn
1
xd(cos x)
0
1) sinn
x ) du = (n
=
cos xdx = sin x j02 = 1
2 olsun. Bu durumda,
In =
1
Z2
0
oldug̃u ac.¬kt¬r. n
[u = sinn
olsun. I0 =
0
cos x sin
n 1
x
2
2
x cos xdx; dv = d cos x ) v = cos x]
+ (n
1)
0
Z2
sinn
2
x cos2 xdx
0
Z2
= (n
1)
= (n
1)In
sinn
2
x(1
sin2 x)dx
0
2
(n
1)In
ve dolay¬s¬ile In ; n = 0; 1;
bulunur. Buradan In = nn 1 In 2 ; n = 2; 3;
ic.in (6.38) ifadesinin dog̃ru oldug̃u görülür. Jn ; n = 0; 1;
ic.in bu ifadenin
dog̃ru oldug̃u benzer s.ekilde gösterilebilir.
Riemann I·ntegrali
40
Örnek 6.4.11 : m ve n dog̃al say¬lar olmak üzere
R
sin mx cos nxdx = 0;
(1) (a)
(
R
0; m 6= n ise;
sin mx sin nxdx =
(b)
; m = n ise;
(
R
0; m 6= n ise;
cos mx cos nxdx =
(c)
; m = n ise
oldug̃unu gösteriniz.
C
. özüm: (a) m 6= n iken
Z
Z
1
sin mx cos nxdx =
[sin(m
2
=
n)x + sin(m + n)x]dx
1 cos(m n)x
[
2
m n
cos(m + n)x
m+n
]=0
ve m = n olmas¬halinde
Z
Z
Z
1
sin mx cos nxdx =
sin nx cos nxdx =
sin 2nxdx
2
=
1 cos 2nx
2 2n
bulunur.
(b) m 6= n iken
Z
Z
1
sin mx sin nxdx =
[cos(m
2
=0
n)x
1 sin(m n)x
[
2
m n
=
cos(m + n)x]dx
sin(m + n)x
m+n
ve m = n olmas¬halinde
Z
Z
Z
1
2
sin mx sin nxdx =
sin nxdx =
(1
2
=
1
[x
2
sin 2nx
]
2n
]=0
cos 2nx)dx
1
= ( + )=
2
Türev ve I·ntegral.I·ntegral Hesab¬n¬n Temel Teoremleri
41
bulunur.
(c) nin dog̃rulug̃u (b) ye benzer s.ekilde gösterilebilir.
Örnek 6.4.12 : a pozitif bir say¬ve f 2 R[ a; a] ise
8 Ra
Za
< 2 f (x)dx; f (x) fonksiyonu cift ise;
.
f (x)dx =
0
:
0;
f (x) fonksiyonu c.ift ise
a
oldug̃unu gösteriniz.
C
. özüm:
Za
Z0
f (x)dx =
a
[birinci integralde x =
=
Z0
=
Za
f (x)dx +
a
Za
f (x)dx
0
t deg̃is.ken deg̃is.tirmesi yap¬l¬rsa]
f ( t)( 1)dt +
a
Za
f (x)dx
0
f ( t)dt +
0
Za
f (x)dx =
0
ve
Za
[f ( x) + f (x)]dx
0
(
2f (x); f c.if t ise;
0;
f c.if t ise
oldug̃undan, istenen es.itlig̃in dog̃ru oldug̃u anals.¬l¬r.
f ( x) + f (x) =
Örnek 6.4.13 : f; R üzerinde tan¬ml¬ve esas periyodu T olan bir periyodik
fonksiyon, yani 8x 2 R ic.in f (x + T ) = f (x) olsun. Eg̃er, her [a; b]
R
kapal¬aral¬g̃¬ic.in f 2 R[a; b] ise x0 herhangi bir reel say¬olmak üzere
xZ
0 +T
x0
oldug̃unu gösteriniz.
f (x)dx =
ZT
0
f (x)dx
Riemann I·ntegrali
42
C
. özüm:
xZ
0 +T
f (x)dx =
Z0
f (x)dx +
x0
x0
ZT
f (x)dx +
0
xZ
0 +T
f (x)dx
T
[üc.üncü integralde x = t + T deg̃is.ken deg̃is.tirmesi yap¬l¬rsa]
=
=
0
x0
Zx0
ZT
Zx0
Zx0
ZT
0
f (x)dx +
f (x)dx
Z0
f (x)dx +
f (t + T ):1dt
0
f (x)dx +
0
0
f (t)dt =
ZT
f (x)dx
0
es.itlig̃i elde edilir.
6.5
Yaklas.¬k I·ntegralleme Yöntemleri
Bilindig̃i gibi, [a; b] R kapal¬aral¬g̃¬nda integrallenebilen bir fonksiyonun Riemann integrali ya integralin tan¬m¬ kullan¬larak, yani Riemann integral (veya Darboux) toplamlar¬n¬n limiti gibi, ya da verilen fonksiyonun
ilkel fonksiyonu (belirsiz integrali) belli oldug̃unda Newton-Leibnitz formülü
yard¬m¬ ile hesaplanabilir. Fakat sözkonusu toplamlar¬n limitlerinin bulunmas¬ ve Riemann integrali hesaplanacak fonksiyonun ilkel fonksiyonunun
analitik olarak bulunmas¬c.ok zor ya da mümkün olmad¬g̃¬durumlarda Riemann integralinin hesaplanmas¬nda yaklas.¬k (say¬sal) integralleme metodlar¬
kullan¬l¬r. Üstelik, deg̃erler tablosu ile verilen fonksiyonun Riemann integralini de analitik olarak hesaplamam¬z mümkün olmad¬g̃¬na göre bu integrali
yaklas.¬k metodlarla hesaplamak zorunda kal¬r¬z. Bu k¬s¬mda uygulamalarda
en c.ok kullan¬lan dikdörtgenler formülü, yamuklar formülü ve Simpson (vaya
para-boller) formüllerini inceleyeceg̃iz. Bu yaklas.¬k integralleme metodlar¬
he-saplanmas¬istenen
Zb
I = f (x)dx
a
Yaklas.¬k I·ntegralleme Yöntemleri
43
integralinde f (x) integrant fonksiyonunun yaklas.¬k olarak bir Lagrange interpolasyon polinomu ile ifade edilmesi esas¬na dayanmaktad¬r. Bilindig̃i gibi,
[a; b]
R kapal¬ aral¬g̃¬nda integrallenebilen f : [a; b] ! R fonksiyonu ve
[a; b] aral¬g̃¬n¬n farkl¬m tane x1 ;
; xm (a x1 < x2
< xm 1 < xm b)
noktalar¬verildig̃inde f fonksiyonunun
Lm 1 (f; xj ) = f (xj ); j = 1; 2;
olacak s.ekilde (m
(x x1 )(x x2 )
`m
1;j (x) =
;m
1): dereceden Lagrange interpolasyon polinomu ! m (x) =
(x xm ) ve
m
Y
(x
(xj
i=1i6=j
xi )
! m (x)
= 0
; j = 1; 2;
xi )
! m (xj )(x xj )
olmak üzere
Lm 1 (f; x) =
m
X
`m
1;j (x)f (xj )
;m
(6.39)
j=1
bic.imindedir. Ayr¬ca, f 2 C (m) [a; b] ise 8x 2 [a; b] ic.in
f (x)
Lm 1 (f; x) =
f (m) ( (x))
! m (x)
m!
(6.40)
olacak s.ekilde bir (x) 2 (a; b) noktas¬vard¬r. (Bkz. Kesim 4.4, Problem 4).
cj =
Zb
`m
;m
(6.41)
Lm 1 (f ; x)]dx
(6.42)
1;j (x)dx; j
= 1; 2;
a
ve
Hm (f ) =
Zb
[f (x)
a
olmak üzere f (x) = Lm 1 (f ; x) + f (x)
Zb
a
f (x)dx =
m
X
j=1
Lm 1 (f ; x) es.itlig̃inden
cj f (xj ) + Hm (f )
(6.43)
Riemann I·ntegrali
44
bulunur. Bu es.itlikten
Rb
f (x)dx integralinin yaklas.¬k deg̃eri
a
Zb
f (x)dx
Im =
m
X
(6.44)
cj f (xj )
j=1
a
olur. Burada yap¬lan hata (6.42) formülü ile verilir.
Teorem 6.5.1 : f 2 C (m) [a; b]; m 2 N ve
M (j f (m) j) = maxfj f (m) (x) j: x 2 [a; b]g
olsun. Bu durumda (6.44) formülünün Hm (f ) hatas¬ic.in
j Hm (f ) j
M (j f (m) j)
m!
Zb
j ! m (x) j dx
(6.45)
a
dir.
I·spat: Teoremin ispat¬(6.42) ve (6.40) dan görülmektedir. 2
Örnek 6.5.2 : A; B ve C reel say¬lar olmak üzere '(x) = Ax + B;
Ax2 + Bx + C fonksiyonlar¬ic.in s¬ras¬yla
Z
'(x)dx =
2
['( ) + '( )]
(x) =
(6.46)
ve
Z
(x)dx =
6
[ ( )+4
es.itliklerinin dog̃ru oldug̃unu gösteriniz.
+
2
+ ( )]
(6.47)
Yaklas.¬k I·ntegralleme Yöntemleri
45
C
. özüm: Newton-Leibnitz formülüne göre
Z
'(x)dx =
Z
(Ax + B)dx
= (A
=
x2
+ Bx)
2
A
(
2
2
2
) + B(
)=
2
['( ) + '( )]
ve
Z
(x)dx =
Z
(Ax2 + Bx + C)dx
x3
x2
+ B + Cx) j
3
2
A 3
B
3
=
(
)+ ( 2
3
2
= (A
=
6
2
[2A(
+
[ ( )+4
=
6
ifadelerinin dog̃ru oldug̃u anlas.¬l¬r.
2
+
+
2
2
) + C(
)
) + 3B( + ) + 6C]
+ ( )]
Lemma 6.5.3 : [ ; ] kapal¬ aral¬g̃¬nda sürekli f : [ ; ] ! R fonksiyonu
verilmis. olsun. Bu durumda,
Z
Z
f (x)dx = (
f (x)dx =
)f (
2
+
) + HD (f; [ ; ]);
2
[f ( ) + f ( )] + HY (f; [ ; ])
(6.48)
(6.49)
ve
Z
f (x)dx =
6
[f ( ) + 4f (
+
) + f ( )] + HS (f; [ ; ])
2
(6.50)
Riemann I·ntegrali
46
ifadelerinin dog̃rulug̃unu ve s¬ras¬ile f 2 C (1) [ ; ]; f 2 C (2) [ ; ];
f 2 C (4) [ ; ] ic.in
f 0( 1)
HD (f; [ ; ]) =
(
)2 ;
4
f 00 ( 2 )
(
)3 ;
HY (f; [ ; ]) =
12
(4)
f ( 3)
HS (f; [ ; ]) =
(
)5 ;
2880
olacak .sekilde i 2 [ ; ]; i = 1; 2; 3 noktalar¬n¬n varoldug̃unu gösteriniz.
I·spat: Dig̃erlerini okuyucuya b¬rakarak (6.49) es.itlig̃inin dog̃rulug̃unu
gösterelim.
m = 2; x1 =
ve x2 =
olmak üzere f nin 1: dereceden Lagrange
interpolasyon polinomu
L1 (f ; x) =
x
x
f( ) +
f( )
oldug̃una göre (6.43) den
Z
f (x)dx =
Z
L1 (f ; x)dx +
Z
[f (x)
L1 (f ; x)]dx
olur. L1 (f ; x) polinomu Ax + B s.eklinde bir polinom oldug̃una göre (6.46)
dan
Z
L1 (f ; x)dx =
[f ( ) + f ( )]
2
bulunur. (6.40) a göre
f (x)
f 00 ( (x))
L1 (f ; x) =
(x
2!
)(x
)
olacak s.ekilde (x) 2 ( ; ) noktas¬vard¬r. Buna göre,
HY (f; [ ; ]) =
Z
[f (x)
L1 (f ; x)]dx =
Z
f 00 ( (x))
(x
2!
)(x
)dx
Yaklas.¬k I·ntegralleme Yöntemleri
47
elde edilir.
f 2 C (2) [ ; ] oldug̃una göre, ortalama deg̃er teoremi gereg̃i
f 00 ( 2 )
HY (f; [ ; ]) =
2
Z
(x
)(x
)dx =
f 00 ( 2 )
(
12
)3
olacak s.ekilde 2 2 ( ; ) noktas¬vard¬r. 2
Not: f 2 C (2) [ ; ] oldug̃unda
f 00 ( )
(
)3
24
olacak s.ekilde bir
2 [ ; ] noktas¬n¬n varl¬g̃¬ gösterilebilir. Gerc.ekten,
Taylor formülüne göre 8x 2 [ ; ] ic.in
HD (f; [ ; ]) =
f (x) = f (
+
) + (x
2
+
+
1
)f 0 (
) + (x
2
2
2!
olacak s.ekilde bir e(x) 2 (x;
olacag̃¬ndan son es.itlig̃in dan
Z
+
2
+ 2 00 e
) f ( (x))
2
) veya e(x) 2 ( +2 ; x) noktas¬ mevcut
ya kadar integrali al¬nd¬g̃¬nda ve
+
)dx = 0
2
(x
oldug̃unu gözönüne al¬rsak
Z
f (x)dx = (
+
1
)f (
)+
2
2
olur. Buna göre,
1
HD (f; [ ; ]) =
2
Z
Z
f 00 (e(x))(x
f (e(x))(x
+ 2
) dx
2
+ 2
) dx
2
oldug̃u ve buradanda Teorem 6.3.3 e göre
f 00 ( )
HD (f; [ ; ]) =
2
Z
(x
+ 2
f 00 ( )
) dx =
(
2
24
)3
Riemann I·ntegrali
48
olcacak s.ekilde bir
2 [ ; ] noktas¬n¬n varl¬g̃¬ anlas.¬l¬r. (6.48) (6.49) ve
(6.50) ifadelerinden ortaya c.¬kan
ve
Z
formüllerine
R
Z
f (x)dx
Z
f (x)dx
f (x)dx
(
)f (
2
6
+
);
2
(6.51)
(6.52)
[f ( ) + f ( )];
[f ( ) + 4f (
+
) + f ( )];
2
(6.53)
f (x)dx integralinin yaklas.¬k deg̃eri ic.in s¬ras¬ ile dikdörtgen,
yamuk ve Simpson (paralel) kural¬denir.
Not:
I·ntegrasyon aral¬g̃¬n¬n uzunlug̃u yeteri derecede küc.ük deg̃ilse
(6.51) , (6.52) ve (6.53) ile verilen yöntemler kullan¬s.l¬ deg̃ildir. [a; b] kaRb
pal¬ aral¬g̃¬n¬n uzunlug̃u büyükse, f 2 R[a; b] fonksiyonunun I = f (x)dx
a
integralinin hesaplanabilmesi ic.in [a; b] aral¬g̃¬n¬ daha küc.ük alt aral¬klara
ay¬rarak bu aral¬klar üzerindeki integrallerin her biri ic.in (6.51), (6.52) ve
Rb
(6.53) kurallar¬ uygulanarak I = f (x)dx integralinin yaklas.¬k deg̃eri ic.in
a
genel (biles.ik) formüller elde edilir. Hesaplaman¬n kolay olmas¬ic.in n küc.ük
aral¬g̃¬es.it olarak al¬rsak
n
1; h =
b
a
n
olmak üzere (6.48) den (xk =
Zxk
xk
f (x)dx = (xk
h
1) ; k = 1; 2;
2
vexk = a + (2k
(xk
1 )+xk
2
xk 1 )f (
); k = 1; 2;
xk
;n
+ xk
) + HD (f; [xk 1 ; xk ])
2
1
1
= h:f (a + (k
;n
1
)h) + HD (f; [xk 1 ; xk ])
2
Yaklas.¬k I·ntegralleme Yöntemleri
49
oldug̃una göre,
I=
Zb
f (x)dx =
x
n Zk
X
k=1 x
a
= h
f (x)dx
k 1
n
X
f (a + (k
k=1
n
X
1
)h) +
HD (f; [xk 1 ; xk ])
2
k=1
bulunur. Bu es.itlikten elde edilen
Zb
f (x)dx
h
n
X
f (a + (k
k=1
a
1
)h)
2
(6.54)
formülüne I integralinin yaklas.k deg̃eri ic.in biles.ik dikdörtgenler kural¬(formülü) denir. Burada yap¬lan
HD (f; [a; b]) =
n
X
HD (f; [xk 1 ; xk ])
k=1
toplam hatas¬ise, f 2 C (1) [a; b] ve
2 (a; b) olmak üzere
h
HD (f; [a; b]) = f (1) ( )(b
4
f (1) ( )(b
a) =
4n
a)2
veya f 2 C (2) [a; b] ve e 2 (a; b) olmak üzere
HD (f; [a; b]) =
(b a)3 00 e
f ( )
24n3
(6.55)
(6.56)
ile verilir.
Benzer s.ekilde (6.49) dan faydalanarak I integralinin yaklas.k deg̃eri ic.in
Zb
f (x)dx
1
h[ f (x0 ) + f (x1 ) +
2
1
+ f (xn 1 ) + f (xn )]
2
a
biles.ik yamuklar kural¬(formülü) elde edilir. Burada yap¬lan
HY (f; [a; b]) =
n
X
k=1
HY (f; [xk 1 ; xk ])
(6.57)
Riemann I·ntegrali
50
toplam hatas¬ise, f 2 C (2) [a; b] ve
2 (a; b) olmak üzere
h3 (2)
( )(b a)3 (2)
nf ( ) =
f ( )
12
12n2
HY (f; [a; b]) =
(6.58)
ile verilir.
Biles.ik dikdörtgenler ve yamuklar kurallar¬ndakine benzer, [a; b] aral¬g̃¬n¬n
h = b2na (n
1) ve k = 0; 1;
; 2n ic.in xk = a + kh olmak üzere 2n tane
[xk 1 ; xk ] aral¬ktan olus.an bir bölüntüsü ic.in (6.50) den
Zx2k
x2k
f (x)dx =
x2k
x2k
6
2
[f (x2k 2 ) + 4f (
x2k + x2k
2
2
) + f (x2k )]
2
+ HS (f; [x2k 2 ; x2k ])
h
=
[f (x2k 2 ) + 4f (x2k 1 ) + f (x2k )] + HS (f; [x2k 2 ; x2k ])
3
oldug̃una göre,
I =
Zx2k
n
X
k=1 x
h
=
3
f (x)dx
2k 2
n
X
[f (x2k 2 ) + 4f (x2k 1 ) + f (x2k )] +
n
X
HS (f; [x2k 2 ; x2k ])
k=1
k=1
bulunur. Bu es.tlikten elde edilen
Zb
n
hX
f (x)dx
[f (x2k 2 ) + 4f (x2k 1 ) + f (x2k )]
3 k=1
(6.59)
a
formülüne I integralinin yaklas.k deg̃eri ic.in biles.ik Simpson kural¬(formülü)
denir. Burada yap¬lan
HS (f; [a; b]) =
n
X
HS (f; [x2k 2 ; x2k ])
k=1
toplam hatas¬ise, f 2 C (4) [a; b] ve
HS (f; [a; b]) =
ile verilir.
2 (a; b) olmak üzere
f (4) ( )
(b
180
4
a)h =
f (4) ( )
(b
2880n4
a)5
(6.60)
Yaklas.¬k I·ntegralleme Yöntemleri
51
Örnek 6.5.4 : [1; 2] aral¬g̃¬n¬ 10 es.it parc.aya bölüp,
R2
1
dx
x
= ln 2 integralini
dikdörtgenler, yamuklar ve Simpson formülleri ile yaklas.¬k hesaplay¬n¬z ve
hatalar¬deg̃erlendiriniz.
C
. özüm: Dikdörtgenler kural¬a = 0; b = 1 ve n = 10 ic.in h = 0; 1 ve
; 10 olacag̃¬ndan f (x) = x1
xk = 1 + (2k 1) h2 = 1 + 0; 5:(2k 1); k = 1; 2
fonksiyonunun as.ag̃¬daki deg̃erlerini hesaplayal¬m.
k
1
2
3
4
5
xk
1,05
1,15 1,25 1,35
1,45
f (xk ) 0,9524 0,8696 0,8 0,7407 0,6897
k
6
7
8
9
10
xk
1,55
1,65
1,75
1,85
1,95
f (xk ) 0,6452 0,6061 0,5714 0,5405 0,5128
Bulunan deg̃erleri (6.54) formülünde yazal¬m :
Z2
dx
x
h(f (x1 ) + f (x2 ) +
+ f (x10 ))
1
= 0; 1(0; 9524 + 0; 8696 + 0; 8 + 0; 7407 + 0; 6897 + 0; 6452
+ 0; 6061 + 0; 5714 + 0; 5405 + 0; 5128)
= 0; 1:6; 9284 = 0; 69284
S.imdi yap¬lan hatay¬ deg̃erlendirelim. x 2 [1; 2] ic.in 0 < f 00 (x) =
oldug̃undan, (6.56) formülüne göre
0 < HD (f; [1; 2])
2
1
=
< 0; 84:10
2
24:10
1200
2
x3
2
3
olur.
Yamuklar kural¬: n = 10; h = 0; 1 ve xk = 0; 1:k; k = 0; 1; 2
f (x) = x1 fonksiyonunun as.ag̃¬daki deg̃erlerini hesaplayal¬m.
k
0
1
2
3
4
5
xk
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
f (xk ) 1 0,9091 0,8333 0,7692 0,7143 0,6667
; 10 ic.in
Riemann I·ntegrali
52
k
6
7
8
9
10
xk
1,6
1,7
1,8
1,9
2
f (xk ) 0,6250 0,5882 0,5556 0,5263 0,5
Bulunan deg̃erleri (6.57) formülünde yazal¬m :
Z2
dx
x
1
h( f (x0 ) + f (x1 ) +
2
1
+ f (x9 ) + f (x10 ))
2
1
1
= 0; 1( :1 + 0; 9091 + 0; 8333 + 0; 7692 + 0; 7143 + 0; 6667
2
1
+0; 6250 + 0; 5882 + 0; 5556 + 0; 5263 + 0; 5)
2
= 0; 1:6; 9377 = 0; 69377
S.imdi yap¬lan hatay¬ deg̃erlendirelim.
oldug̃undan, (6.58) formülüne göre
j HY (f; [1; 2]) j
8x 2 [1; 2] ic.in 0 < f 00 (x)
2
1
=
< 1; 7:10
2
12:10
6:102
2
3
olur.
Simpson kural¬: a = 0; b = 1; 2n = 10 , h = b2na = 0; 1 ve xk = 0; 1:k; k =
0; 1; 2
; 10 ic.in f (x) = x1 in yamuklar kural¬nda hesaplanm¬s. degerlerinden
yararlanarak (6.59) formülünden
Z2
dx
x
h
[f (x0 ) + 2(f (x2 ) + f (x4 ) + f (x6 ) + f (x8 )) + 4(f (x1 ) + f (x3 )
3
1
+f (x5 ) + f (x7 ) + f (x9 )) + f (x10 )]
1
=
[1 + 2(0; 8333 + 0; 7143 + 0; 6250 + 0; 5556)
30
+ 4(0; 9091 + 0; 7692 + 0; 6667 + 0; 5882 + 0; 5263) + 0; 5]
1
=
[1; 5 + 2:2; 7282 + 4:3; 4595] = 0; 6931
30
S.imdi yap¬lan hatay¬deg̃erlendirelim. 8x 2 [1; 2] ic.in 0 < f (4) (x) =
oldug̃undan, (6.60) formülüne göre
j HS (f; [1; 2]) j
24
< 1; 4:10
2880:54
5
24
x5
24
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
53
olur. Hatalar ic.in yukar¬da elde edilen deg̃erlendirmelerden de görüldüg̃ü
R2 dx
= ln 2 = 0; 69314718
integralinin yaklas.¬k deg̃erinin bulunmas¬nda
x
1
en iyi sonucu Simpson kural¬vermektedir.
Not: Verilen integrali, istenen kesinlikle yaklas.¬k hesaplamak gerektig̃inde,
önce kullan¬lan formüle ve integranta bag̃l¬olarak uygun hata formülünden
n say¬s¬belirlenir.
Örnek 6.5.5 : I =
R3 p
xdx integralini 10
3
kesinlikle yaklas.¬k hesaplay¬n¬z.
1
C
C
. özüm ic.in Simpson formülünü kullanal¬m.
. özüm:
7
fonksiyonu ic.in f (4) (x) = 15
x 2 ve
16
M (j f (4) j) = maxfj f (4) (x) j: x 2 [1; 3]g =
oldug̃undan, (6.60) formülüne göre (a = 1; b = 3; b
j HS (f; [1; 3]) j
f (x) =
p
x
15
16
a = 2)
15:25
< 10
16:2880:n4
3
olmas¬ic.in
15:25 :103
75
= ; yani n 2
16:2880
72
elde ederiz. Buna göre, bölüm noktalar¬n¬n sa¬y¬s¬n¬2n = 4 kabul edebiliriz.
n = 2 ic.in I integrali (6.59) Simpson kural¬ile hesapland¬g̃¬nda 10 3 kesinlikle
I 2; 796 elde ederiz.
n4 >
6.6
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
Bilindig̃i gibi, Riemann integralinin Geometri, Fizik, Mekanik, Mühendislik, I·statistik v.b. bilim dallar¬nda c.ok önemli uygulamalar¬ vard¬r. Biz
burada bu uygulamalardan baz¬lar¬n¬n özetini vereceg̃iz.
Riemann integralinin mevcut olan bütün uygulamalar¬nda ayn¬bir s.ema
takip edildig̃inden bu s.emay¬detayl¬bir bic.imde tan¬tmaya c.al¬s.al¬m.
Riemann I·ntegrali
54
Tan¬m 6.6.1 : a 2 R; b 2 R; a b; 2 [a; b] ve 2 [a; b] olmak üzere her
bir ( ; ) s¬ral¬ikilisine bir ve yaln¬z bir J( ; ) reel say¬s¬n¬kars.¬l¬k getiren
ve [a; b] nin herhangi ; ; noktalar¬ic.in
J( ; ) = J( ; )+J( ; )
(6.61)
es.itlig̃ini sag̃layan ( ; ) ! J ( ; ) 2 R fonksiyonuna [a; b] aral¬g̃¬n¬n alt
aral¬klar¬ üzerinde tan¬ml¬ yönlü aral¬g̃¬n toplamsal (additif) fonksiyonu ad¬
verilir.
(6.61) den = = iken J ( ; ) = 0 ve = iken J ( ; )+J ( ; ) =
0 yani, J ( ; ) = J ( ; ) oldug̃u elde edilir. Böylece yönlü aral¬g̃¬n her
toplamsal J fonksiyonu, F : [a; b] ! R bir fonksiyon olmak üzere
J ( ; ) = F( )
F( )
(6.62)
bic.iminde yaz¬labildig̃i anlas.¬l¬r.
Örnek 6.6.2 : f 2 R[a; b] ise, Riemann integralinin toplamsall¬k özellig̃ine
göre
Zx
F : [a; b] ! R; F(x) = f (t)dt
a
fonksiyonu yönlü aral¬g̃¬n J ( ; ) =
R
f (t)dt bic.iminde toplamsal fonksiy-
onunu tan¬mlar. Bu durumda, F 2 C[a; b] oldug̃unu biliyoruz (Bkz. Teorem
6.4.1).
Teorem 6.6.3 : [a; b] aral¬g̃¬n¬n , noktalar¬ic.in tan¬ml¬J ( ; ) toplamsal fonksiyonu verilmis. olsun. Eg̃er, a
<
b olacak .sekilde her bir
[ ; ] aral¬g̃¬ic.in
m(f ; [ ; ]) = infff (x) : x 2 [ ; ]g;
M (f ; [ ; ]) = supff (x) : x 2 [ ; ]g
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
55
olmak üzere
m(f ; [ ; ])(
)
J( ; )
M (f ; [ ; ])(
)
(6.63)
es.itsizlig̃ini sag̃layan f 2 R[a; b] fonksiyonu varsa ,
J (a; b) =
Zb
f (x)dx
a
dir.
I·spat: P = fx0 ; x1 ;
; xn g; [a; b] aral¬g̃¬n¬n herhangi bir parc.alanmas¬,
mk (f ) = m(f ; [xk 1 ; xk ]); Mk (f ) = M (f ; [xk 1 ; xk ]) ve xk = xk xk 1 ; k =
1;
; n olsun. [a; b] nin herbir [xk 1 ; xk ] aral¬g̃¬ic.in (6.63) ten dolay¬
J (xk 1 ; xk )
mk (f ) xk
Mk (f ) xk
yazabiliriz. J ( ; ) fonksiyonunun toplamsall¬g̃¬na göre buradan
n
X
mk (f ) xk
n
X
k=1
k=1
J (xk 1 ; xk ) = J (a; b)
n
X
Mk (f ) xk
k=1
veya
A(f; P )
J (a; b)
U• (f; P )
oldug̃u elde edilir. f 2 R[a; b] fonksiyonu ic.in
lim A(f; P ) = lim U• (f; P ) =
kP k!0
kP k!0
Zb
f (x)dx
a
oldug̃una göre son es.itsizlikten k P k! 0 iken istenen es.itlig̃in dog̃rulug̃u
anlas.¬l¬r. 2
S.imdi Riemann integralinin uygulamalar¬nda Teorem 6.6.3 ten nas¬l yararlan¬ld¬g̃¬n¬görelim.
Riemann I·ntegrali
56
6.6.1
Alan Hesab¬
6.6.2
Kartezyen koordinatlarda Alan Hesab¬
[a; b]; (a < b) aral¬g̃¬nda integrallenebilen ve negatif olmayan f (x) fonksiyonu
verilmis. olsun. y = f (x) fonksiyonunun gra…g̃i, x = a; x = b dog̃rular¬ve Ox
ekseni ile s¬n¬rlanan aABb eg̃risel yamug̃unu gözönüne alal¬m.[a; b] nin [ ; ]
alt aral¬g̃¬na uygun f ( )f ( ) eg̃risel yamug̃un alan¬ S( ; ) olsun (S.ekil
6.1).
(1) (a)
Alan¬n toplamsal oldug̃u yani a
<
<
b ic.in
S( ; ) = S( ; ) + S( ; )
oldug̃u ve
m(f ; [ ; ])(
)
S( ; )
M (f ; [ ; ])(
)
es.itsizlig̃inin sag̃land¬g̃¬kabul edilir. O halde, Teorem 6.6.3 e göre
gösterilen yamug̃un alan¬
S(a; b) =
Zb
a
formülü ile hesaplan¬r.
ydx =
Zb
a
f (x)dx
(6.64)
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
57
(b) Eg̃er, f fonksiyonu [a; b] üzerinde integrallenebilen ve negatif ise
aABb eg̃risel yamug̃ununun (Bkz. S.ekil 6.2) alan¬
S(a; b) =
Zb
ydx =
a
Zb
f (x)dx
(6.65)
a
formülü ile verilir.
Gerc.ekten, f : [a; b] ! R+ ; f (x) = f (x) fonksiyonu [a; b] üzerinde integrallenebilen ve negatif olmad¬g̃¬ndan (6.64) formülüne
göre aA B b eg̃risel yamug̃ununun alan¬
S (a; b) =
Zb
f (x)dx
(6.66)
a
olacakt¬r. Ox eksenine göre simetrik aABb ve aA B b eg̃risel yamuklar¬n¬n alanlar¬es.it ve
Zb
a
f (x)dx =
Zb
f (x)dx
a
oldug̃una göre (6.66) formülünden (6.65) formülünün dog̃ru oldug̃u
elde edilir.
Riemann I·ntegrali
58
(c) Eg̃er, f fonksiyonu [a; b] üzerinde integrallenebilen ve bu aral¬kta
is.aretini deg̃is.tiriyorsa y = f (x) fonksiyonunun gra…g̃i, x = a; x =
b dog̃rular¬ve Ox ekseniyle s¬n¬rlanan bölgenin alan¬
S(a; b) =
Zb
j y j dx =
Zb
j f (x) j dx
(6.67)
a
a
integraliyle verilir.
(d) [a; b] üzerinde integrallenebilen y = f (x) ve y = g(x) fonksiyonlar¬
verildig̃inde y = f (x) ve y = g(x) fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri ve
x = a; x = b dog̃rular¬yla s¬n¬rlanan bölgenin alan¬
S(a; b) =
Zb
j f (x)
g(x) j dx
(6.68)
a
integraliyle verilir.
(e) f ve g türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere
(
x = f (t)
y = g(t)
parametrik denklemleri ile verilen bir C eg̃risi,x = a; x = b dog̃rular¬
ve Ox ekseniyle s¬n¬rlanan bölgenin S(a; b) alan¬n¬ hesaplamak
ic.in gec.erli olan (6.67) formülünü t cinsinden ifade etmek gerekir.
y = g(t); dx = f 0 (t)dt oldug̃undan, ve t nin a ve b ya kars.¬l¬k gelen
deg̃erlerine, s¬ras¬ile t1 ve t2 dersek
S(a; b) =
Zt2
j g(t) j f 0 (t)dt
(6.69)
t1
olur.
Örnek 6.6.4 : y =j x 1 j ve y = 3
alan¬n¬bulunuz.(S.ekil 6.3)
j x j eg̃rileri ile s¬n¬rlanan bölgenin
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
59
C
. özüm: Eg̃rilerin kesim noktalar¬n¬bulal¬m.
j x j=j x
3
1 j) x1 =
1; x2 = 2
olur. Dolay¬s¬yla, (6.68) formülüne göre, aranan alan
S( 1; 2) =
Z2
=
Z0
[(3
+
Z2
[(3
(3
jxj
jx
1 j)dx
1
x)
(1
x)]dx +
1
Z1
[(3
x)
(1
x)]dx
0
x)
(x
1)]dx = 1 + 2 + 1 = 4br2
1
olur.
2
2
p
Örnek 6.6.5 : b a > 0 olmak üzere xa2 + yb2 = 1 elipsine C( 2b ; a 2 3 ) noktas¬nda teg̃et c.izilmis.tir.ABC eg̃risel üc.geninin alan¬n¬bulunuz.(S.ekil 6.4).
Riemann I·ntegrali
60
C
. özüm: Elipsin AC yay¬ve teg̃etin CB parc.as¬, s¬ras¬ile
r
p
x2
x 3
y = y1 (x) = b 1
ve y = y2 (x) = b(2 +
)
a2
a
fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri oldug̃undan, (6.68) formülüne göre, aranan alan
Z0
S=
(y2 (x)
y1 (x))dx
p
a 3
2
integrali ile verilir.
Z0
y2 (x)dx =
p
a 3
2
p
a 3
2
Z0
p
a 3
2
[x = a sin t dersek, x =
= ab
Z0 p
3
Z0
1
p
p
x 3
5 3
b(2 +
)dx =
ab;
a
8
Z0 r
y1 (x)dx = b
1
p
a 3
2
p
a 3
2
ic.in t =
x2
dx
a2
; x = 0 ic.in t = 0 ve dx = a cos tdt]
p
Z0
3
2
cos2 t cos tdt = ab cos tdt = ( +
)ab
6
8
3
3
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
61
oldug̃undan, aranan alan
S=
Z0
y2 (x)dx
p
a 3
2
Z0
p
a 3
2
p
5 3
ab
y1 (x)dx =
8
(
6
+
p
p
3
)ab = (3 3
8
)ab
br2 bulunur.
2
2
Örnek 6.6.6 : Denklemi ( xa ) 3 + ( yb ) 3 = 1 .seklinde verilen eg̃rinin s¬n¬rlad¬g̃¬
bölgenin alan¬n¬bulunuz.
C
. özüm: Verilen eg̃ri Ox ve Oy eksenlerine göre simetriktir (S.ekil 6.5).
Taral¬alan dört tane simetrik bölgenin alanlar¬toplam¬na es.it oldug̃undan,
bunlardan birinin alan¬n¬bulup 4 ile c.arpmak yeterlidir. Eg̃rinin parametrik
denklemi
x = a sin3 t; y = b cos3 t; 0
t
2
bic.imindedir. [0; 2 ] aral¬g̃¬na eg̃rinin AB yay¬ kars.¬l¬k geldig̃inden OAB
eg̃risel üc.geninin alan¬(6.69) formülüne göre
S=
Z2
0
y(t)x0 (t)dt
(6.70)
Riemann I·ntegrali
62
olur. (6.70) te u = y(t); x0 (t)dt = dv dersek du = y 0 (t)dt; v = x(t) ve
y(t)x(t)
2
= 0 olacag̃¬ndan k¬smi integrasyon formülüne göre
0
S = y(t)x(t)
Z2
2
0
0
x (t)y(t)dt =
0
Z2
x(t)y 0 (t)dt
(6.71)
0
oldug̃u elde edilir. (6.70) ve (6.71) den
S=
Z2
[x0 (t)y(t)
x(t)y 0 (t)]dt
(6.72)
0
bulunur. Buradan,
S =
Z2
[3ab cos4 t sin2 t + 3ab sin4 t cos2 t]dt
0
3ab
=
2
Z2
3ab
sin2 t cos2 tdt =
8
Z2
(1
0
3ab
=
16
Z2
sin2 2tdt
0
cos 4t)dt =
3 ab
32
0
bulunur. O halde, s¬n¬rlanan bölgenin alan¬4S =
6.6.3
3 ab
8
br2 olur.
Kutupsal koordinatlarda Alan Hesab¬
Kutupsal koordinat sisteminde denklemi r = r(') olan eg̃ri verilmis.
olsun. r = r(') eg̃risi ve ' = ; ' = ¬s.¬nlar¬ile s¬n¬rlanan bölgenin S( ; )
alan¬n¬bulal¬m. (S.ekil 6.6).
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
63
r = r('); [ ; ] aral¬g̃¬nda sürekli ve 8' 2 [ ; ] ic.in r(')
Alan toplamsal, yani
< <
ic.in
0 olsun.
S( ; ) = S( ; ) + S( ; )
oldug̃undan, ve
1 2
m (r; [ ; ])(
2
)
S( ; )
1 2
M (r; [ ; ])(
2
)
es.itsizlig̃i sag̃land¬g̃¬ndan, Teorem 6.6.3 gereg̃ince verilen bölgenin alan¬
1
S( ; ) =
2
Z
r2 (')d'
(6.73)
formülü ile verilir.
Alan¬ istenen bölge, r = r1 ('); r = r2 (') eg̃rileri ve ' = ; ' =
(r1 (')
r2 (');
'
) ¬s.¬nlar¬ ile s¬n¬rlanan bölge ise (S.ekil 6.7), bu
bölgenin alan¬
Riemann I·ntegrali
64
1
S( ; ) =
2
Z
r2 (')d'
1
=
2
Z
[r2 2 (')
1
2
2
Z
r1 2 (')d'
r1 2 (')]d'
(6.74)
olacakt¬r.
a
Örnek 6.6.7 : r = 1 cos
; (a > 0) eg̃risi ve ' =
'
s¬n¬rlanan bölgenin alan¬n¬bulunuz.
4
, ' =
2
¬.s¬nlar¬ ile
C
. özüm: (6.73) formülüne göre aranan alan
1
S( ; ) =
4 2
2
Z2
a2 d'
a2
=
(1 cos ')2
2
4
a2
=
4
Z2
Z2
d'
4 sin4
'
2
4
(1 + cot2
'
'
a2
' 1
'
)d(cot ) = (cot + cot3 )
2
2
4
2 3
2
4
=
br2 bulunur.
p
a2 p
1
[ 2 + ((1 + 2)3
4
3
1)] =
a2 p
(4 2 + 3)
4
2
4
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
65
Örnek 6.6.8 : x2 y 2 = a2 hiperbolü üzerinde M (x0 ; y0 ) noktas¬verilms.tir.
OAM eg̃risel üc.geninin alan¬n¬bulunuz.(S.ekil 6.8)
C
. özüm: x = r cos ' ; y = r sin ' formülleriyle kutupsal koordinatlara
gec.ersek, verilen hiperbolün denklemi
r2 =
a2
cos2 '
sin2 '
=
a2
cos 2'
s.eklinde yaz¬l¬r.OAM eg̃risel üc.geninin alan¬n¬(6.73) formülüne göre
Z
Z
1
a2
d'
2
S(0; ) =
r d' =
2
2
cos 2'
0
a2
=
2
0
Z
a2
d'
=
2
cos2 ' sin2 '
0
a2 1 + tan '
=
ln
4
1 tan '
Z
d(tan ')
1 tan2 '
0
0
a2 1 + tan
=
ln
4
1 tan
br2 buluruz.
6.6.4
Yay Uzunlug̃u Hesab¬
R de kapal¬ve s¬n¬rl¬bir [a; b] aral¬g̃¬n¬alal¬m. Herbir t 2 [a; b] noktas¬na
R düzleminin bir M (t) noktas¬n¬kars.¬l¬k getiren M : [a; b] ! R2 ; M = M (t)
2
Riemann I·ntegrali
66
dönüs.ümü verilsin. R2 de kartezyen koordinat sistemi sec.ilmis.se M : [a; b] !
R2 dönüs.ümünün verilmesi M (t) 2 R2 noktas¬n¬n kartezyen koordinatlar¬n¬
olus.turan x : [a; b] ! R ; x = x(t) ve y : [a; b] ! R ; y = y(t) koordinat
fonksiyonlar¬n¬n verilmesine denktir. Eg̃er, x = x(t) ve y = y(t) koordinat fonksiyonlar¬ [a; b] aral¬g̃¬nda sürekliyse, M : [a; b] ! R2 ; M = M (t)
dönüs.ümü [a; b] üzerinde süreklidir denir ve M 2 C[a; b] ile gösterilir. Eg̃er,
M : [a; b] ! R2 ; M = M (t) dönüs.ümü [a; b] üzerinde sürekliyse bu dönüs.üme
eg̃ri ad¬verilir ve
= fM (t) 2 R2 : a t bg
(6.75)
veya
= fr(t) = (x(t); y(t)) 2 R2 : a
t
bg
s.eklinde gösterilir. t deg̃is.kenine
üzerinde parametre denir. Eg̃er, M :
2
[a; b] ! R dönüs.ümü sürekli, birebir ve örten ise = fM (t) 2 R2 : a
t bg eg̃risine basit eg̃ri (veya yay) ad¬verilir. A = M (x(a); y(a)) noktas¬na
eg̃risinin bas.lang¬c. noktas¬, B = M (x(b); y(b)) noktas¬na da eg̃risinin
bitis. noktas¬ ad¬ verilir. Eg̃er, A 6= B (A = B) ise, r eg̃risine ac.¬k (kapal¬)
eg̃ri denir. Eg̃er, t1 2 [a; b] ; t2 2 [a; b] ; t1 < t2 ise fM (t) 2 R2 : t1
t
t2 g eg̃risine (6.75) eg̃risinin bir parc.as¬ (veya hissesi) denir ve M (t\
1 )M (t2 )
s.eklinde gösterilir. x = x(t) ve y = y(t); [a; b] aral¬g̃¬nda sürekli diferansiyellenebilen fonksiyonlar olmak üzere = f(x(t); y(t)) 2 R2 : a
t
bg
yay¬ verilsin. [a; b] nin herhangi bir P = ft0 ; t1 ;
; tn g parc.alanmas¬ ic.in
Mk = M (x(tk ); y(tk )) ; k = 0; 1;
; n noktalar¬n¬ ard¬s.¬k olarak birles.tiren
kiris.lerin j M0 M1 j; j M1 M2 j;
; j Mn 1 Mn j uzunluklar¬toplam¬
`n (a; b) =
n
X
k=1
j Mk 1 Mk j
n
X
p
=
(x(tk )
x(tk 1 ))2 + (y(tk )
y(tk 1 ))2
k=1
olur. k P k= maxf tk = tk
tk
1
: k = 0; 1;
; ng olsun.
Tan¬m 6.6.9 : f`n (a; b)g dizisinin k P k! 0 iken limiti varsa, bu limite
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
67
yay¬n¬n uzunlug̃u denir ve
`(a; b) = lim `n (a; b) = lim
kP k!0
kP k!0
n
X
k=1
j Mk 1 M k j
(6.76)
ile gösterilir.
Not:
yay¬n¬n uzunlug̃u
`(a; b) = supf`n (a; b) : P 2 Pg
s.eklinde de tan¬mlanabilir.
Teorem 6.6.10 : x = x(t) ve y = y(t),[a; b] aral¬g̃¬nda sürekli diferansiyellenebilen fonksiyonlar olmak üzere = fr(t) = (x(t); y(t)) 2 R2 : a t bg
yay¬verilmis. olsun. Bu durumda, r yay¬n¬n uzunlug̃u
`(a; b) =
Zb q
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt
(6.77)
a
formülü ile verilir.
I·spat: [a; b] nin herhangi bir parc.alanmas¬ P = ft0 ; t1 ;
tk = tk tk 1 > 0 : k = 0; 1;
; n olmak üzere
`n (a; b) =
n
X
p
k=1
=
n
X
k=1
s
(x(tk )
(
x(tk )
x(tk 1 ))2 + (y(tk )
; tn g olsun.
y(tk 1 ))2
x(tk 1 )
(y(tk ) y(tk 1 ))
+
(
tk )
(tk )2
(tk )2
[Lagrange teoremi gereg̃ince, x(tk ) x(tk 1 ) = x0 (tk ) tk ve y(tk ) y(tk 1 ) =
y 0 (tk ) tk ; olacak s.ekilde tk ; tk 2 [tk 1 ; tk ] noktalar¬varoldug̃undan]
n q
X
2
=
[x0 (tk )]2 + [y 0 (tk )] : tk
k=1
Riemann I·ntegrali
68
yaz¬labilir. t = (t1 ;
; tn ) olmak üzere
R(F; t) =
n q
X
2
[x0 (tk )]2 + [y 0 (tk )] : tk
k=1
toplam¬
F (t) =
q
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2
fonksiyonunun [a; b] nin P = ft0 ; t1 ;
integral toplam¬oldug̃undan,
j `n (a; b)
[8 ; ;
1
2 R ic.in j
R(F; t) j
p
2
+
n
X
k=1
q
n
X
2
[x0 (tk )]2 + [y 0 (tk )]
k=1
p
2
; tn g parc.alanmas¬ic.in bir Riemann
2
+
j [y 0 (tk )]
q
1
2
2
[x0 (tk )]2 + [y 0 (tk )]
j j
1
tk
j oldug̃undan]
y 0 (tk ) j : tk
bulunur. y 0 (t) fonksiyonu [a; b] aral¬g̃¬nda sürekli oldug̃undan, 8" > 0 ic.in
9 = (") > 0 öyleki j t0 t00 j< )j y 0 (t0 ) y 0 (t00 ) j< b " a olur. Buna göre,
eg̃er, k P k< ise son es.itsizlikten
j `n (a; b)
R(F; t) j<
"
b
a
n
X
tk =
k=1
"
b
a
(b
elde edilir. Demekki
lim `n (a; b) = lim R(F; t)
kP k!0
kP k!0
olur. Öte yandan , F 2 R[a; b] oldug̃una göre
lim R(F; t) =
kP k!0
Zb q
a
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt
a) = "
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
69
olacag̃¬ndan (6.76) ya göre
`(a; b) = lim `n (a; b) =
n!1
Zb q
[x0 (t)]2 + [y 0 (t)]2 dt
a
bulunur.
[a; b] üzerinde tan¬ml¬y = f (x) fonksiyonu tan¬m aral¬g̃¬nda sürekli türeve
sahip ise, bu durumda
(
(
x=t
x0 (t) = 1
=)
y 0 (t) = f 0 (t) :
y = f (t)
oldug̃u ic.in r = f(x; y) 2 R2 : y = f (x); a x bg yay¬n¬n uzunlug̃u (6.77)
ye göre
Zb q
`(a; b) =
1 + [f 0 (x)]2 dt
(6.78)
a
olacakt¬r.
Kutupsal koordinat sisteminde denklemi r = r(');
'
s.eklinde
olan
= f('; r) 2 R2 : r = r(');
'
g yay¬ verilmis. olsun.r(')
fonksiyonu [ ; ] aral¬g̃¬nda sürekli türeve sahip ise, bu durumda
(
(
x = r(') cos '
x0 (') = r0 (') cos ' r(') sin ' ;
=)
y = r(') sin ' :
y 0 (') = r0 (') sin ' + r(') cos ' :
) [x0 (')]2 + [y 0 (')]2 = r(')2 + [r0 (')]2
oldug̃una göre, verilen
eg̃risinin uzunlug̃u (6.77) ye göre,
Z q
`( ; ) =
r(')2 + [r0 (')]2 d'
(6.79)
olacakt¬r.
Kutuppsal koordinatlar sisteminde denklemi ' = '(r); r1 r r2 olan
= f('; r) 2 R2 : ' = '(r); r1
r
r2 g yay¬ verilmis. olsun. '(r)
Riemann I·ntegrali
70
fonksiyonu [r1 ; r2 ] aral¬g̃¬nda sürekli türevlenebilir ise ,
' = '(r) ) r0 (') =
1
'0 (r)
; d' = '0 (r)dr
olacag̃¬ndan '1 = '(r1 ) ; '2 = '(r2 ) dersek (6.79) a göre r yay¬n¬n uzunlug̃u
Zr2 s
1
r(')2 + [ 0 ]2 '0 (r)dr
`(r1 ; r2 ) =
' (r)
=
r1
Zr2
r1
p
1 + [r'0 (r)]2 dr
(6.80)
olacakt¬r. 2
2
Örnek 6.6.11 : y = x4 12 ln x eg̃risinin x = 1 ve x = e dog̃rular¬aras¬ndaki
k¬sm¬n¬n uzunlug̃unu bulunuz.
1
C
. özüm: y(x) = 2 x
1
2x
oldug̃undan, (6.78) formülüne göre
Ze r
Ze p
1
1 + [y 0 (x)]2 dx =
1 + (x
`(1; e) =
4
1
1
=
Ze r
1 2
) dx
x
1
1
1
(x + )2 dx =
4
x
2
1
1 x2
=
( + ln x)
2 2
Ze
1
(x + )dx
x
1
e
1
1
= (1 + e2 )
4
bulunur.
Örnek 6.6.12 : x = a cos4 t ; y = a sin4 t; (a > 0) eg̃risinin t1 = 0 ve t2 =
noktalar¬aras¬ndaki yay¬n¬n uzunlug̃unu bulunuz.
2
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
71
3
0
3
0
0
2
0
2
C
. özüm: x = 4 cos t sin t; y = 4 sin t cos t ) [x (t)] + [y (t)] =
2a2 sin2 2t(1 + cos2 2t) oldug̃una göre, (6.77) den dolay¬
1
p Z p
`(0; ) = a 2
1 cos2 2t sin 2tdx =
2
0
p Z1
a 2 p
1 cos2 2td(cos 2t)
2
0
p Z1
p
p
a 2 p
a 2 p
2
=
1 + u du =
[u 1 + u2 + ln u + 1 + u2 ]
2
2
1
0
1
p
a
= a + p ln (1 + 2)
2
bulunur.
Örnek 6.6.13 : ' = 21 (r+ 1r ); 1
bulunuz.
1
0
C
. özüm: ' (r) = 2 (1
`(1; 3) =
1
)
r2
Z3 p
r
3denklemi ile verilen yay¬n uzunlug̃unu
oldug̃undan, (6.80) formülüne göre
1+
[r'0 (r)]2 dr
1
r2 1
= [ + ln r]
4
2
=
Z3
r
1
( + )dr
2 2r
1
3
1
1
= 2 + ln 3
2
olur.
6.6.5
Hacim Hesab¬
1. Dönel Cismin Hacmi
[a; b] aral¬g̃¬nda integrallenebilen ve negatif olmayan y = f (x) fonksiyonu verilmis. olsun. af (a)f (b)b eg̃risel yamug̃un (Bkz S.ekil 6.1) Ox ekseni
etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel cismin hacmini bulal¬m. Bu
hacim V (a; b) olsun. Hacmin toplamsal, yani a
< <
b ic.in
V( ; )=V( ; )+V( ; )
Riemann I·ntegrali
72
oldug̃undan, ve
m2 (f ; [ ; ])(
)
V( ; )
M 2 (f ; [ ; ])(
es.itsizlig̃i sag̃land¬g̃¬ndan Teorem 6.6.3 gereg̃ince aranan hacim
Zb
V (a; b) =
f 2 (x)dx
)
(6.81)
a
formülü ile verilir.
Eg̃er ,y = f (x); x 2 [a; b] fonksiyonu x = x(t) ; y = y(t); t 2 [ ; ; ]
parametrik denklemler yard¬m¬yla verilmis.se ve x(t) fonksiyonu [ ; ] üzerinde sürekli türevlenebilen ve x( ) = a; x( ) = b ise S.ekil 6.1 de gösterilen
af (a)f (b)b eg̃risel yamug̃unun Ox ekseni etraf¬nda dönmesinden meydana
gelen dönel cismin hacmi (6.81) den dolay¬
V (a; b) =
Z
y 2 (t) j x0 (t) j dt
(6.82)
formülü ile verilir.
Eg̃er ,x = g(y); y 2 [c; d] fonksiyonu x = x(t) ; y = y(t);
t
parametrik denklemlerle verilmis.se ve y(t) fonksiyonu [ ; ] üzerinde sürekli
türevlenebilen ve y( ) = c; y( ) = d ise S.ekil 6.9 da gösterilen cg(c)g(d)d
eg̃risel yamug̃unun Oy ekseni etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel
cismin hacmi
Z
V (c; d) =
x2 (t) j y 0 (t) j dt
(6.83)
formülü ile verilir.
Not: Dönme ekseni olarak Ox ve Oy eksenleri d¬s.¬nda dog̃rular da
sec.ilebilir. Örneg̃in, eg̃er y = l dönme ekseni ile G = f(x; y) 2 R2 : a
x b; f1 (x) y f2 (x)g bölgesinin ortak noktas¬yoksa, G bölgesinin y = l
dog̃rusu etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel cismin hacmi
V (a; b) =
Zb
a
j [f2 (x)
l]2
[f1 (x)
l]2 j dx
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
73
formülü ile verilir.
2. Kesit Yöntemi
Herhangi D
R3 bölgesinin x 2 [a; b] noktas¬nda Ox eksenine dik
olan düzlemle arakesitinin alan¬, [a; b] aral¬g̃¬nda integrallenebilen bir S(x)
fonksiyonu ile ifade edilmis. olsun. Bu durumda, D bölgesinin [a; b] aral¬g̃¬na
ait hacmi
Zb
V (a; b) = S(x)dx
(6.84)
a
formülü ile verilir.
3. Kabuk Yöntemi
f1 2 R[a; b] ve f2 2 R[a; b] fonksiyonlar¬ verilsin. y = f1 (x) ve
y = f2 (x) eg̃rileri ile x = a ve x = b dog̃rular¬ ile s¬n¬rlanan bölgenin Oy
ekseni etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel cismin hacmi
V =2
Zb
j x[f1 (x)
f2 (x)]dx j
(6.85)
a
formülü ile verilir.
Örnek 6.6.14 : y = 4 x2 parabolü, y = 3x dog̃rusu ve Ox ekseninin [ 2; 0]
aral¬g̃¬ ile s¬n¬rlanan G bölgesinin Ox ekseni etraf¬nda dönmesiyle meydana
gelen cismin hacmini bulunuz.(S.ekil 6.10)
Riemann I·ntegrali
74
2
C
. özüm: 4 x = 3x ) x1 = 1; x2 = 4 ) C noktas¬n¬n koordinatlar¬
1 ve 3 tür. G bölgesinin Ox ekseni etraf¬nda dönmesinden elde edilen dönel
cismin hacmi , ABCD eg̃risel yamug̃unun ve OCD üc.geninin Ox ekseni
etraf¬nda dönmesiyle elde edilen dönel cisimlerin V1 ve V2 hacimlerinin fark¬
olacag̃¬ac.¬kt¬r. (6.81) formülüne göre
V1 =
Z1
(4
x2 )2 dx =
153
;
5
2
V2 =
Z1
(3x)2 dx = 3
0
olacag̃¬ndan aranan hacim V = V1
V2 =
138
5
olur.
Örnek 6.6.15 : x2 + (y a)2 a2 ; (a > 0) dairesinin Ox ekseni etraf¬nda
dönmesiyle meydana gelen cismin hacmini bulunuz.(S.ekil 6.11)
p
C
a2 x2 ve
. özüm: p COA ve CBA yaylar¬, s¬ras¬ ile y1 (x) = a
y2 (x) = a + a2 x2 ; a
x
b fonksiyonlar¬n¬n gra…kleri oldug̃u ac.¬kt¬r.
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
75
(6.81) formülüne göre aranan hacim
V
=
Za
2
y2 (x)dx
a
= 4a
Za
y1 2 (x)dx
a
Za p
a2
x2 dx
= 4a
3
a
Z2
cos2 tdt = 2 2 a3
2
olur.
Örnek 6.6.16 : Taban alan¬ S ve yükseklig̃i H olan, c.ok kös.eli piramitin
hacmini bulunuz.(S.ekil 6.12)
C
. özüm: Piramitin tepesini koordinat bas.lang¬c¬kabul edip, Ox eksenini
piramitin yükseklig̃i yönünde c.izelim. Ox eksenine dik olan, x 2 [0; H] noktas¬ndan gec.en düzlemin, piramitle arakesiti A1 B1 C1 D1 E1 F1 c.okgeni olur.
Bu durumda, ABCDEF ve A1 B1 C1 D1 E1 F1 c.okgenlerinin alan¬, s¬ras¬ile S
2
ve S1 (x) olmak üzere S1 (x) : S = x2 : H 2 olur. Buradan, S1 (x) = Hx 2 S
oldug̃una göre, verilen piramitin hacmi (6.83) ten dolay¬
V =
ZH
0
oldug̃u elde edilir.
x2
S x3
Sdx
=
:
H2
H2 3
H
0
1
= SH
3
Riemann I·ntegrali
76
Örnek 6.6.17 : 2y = 4 x2 parabolü ve x + y 2 = 0 dog̃rusu ile s¬n¬rlanan
bölgenin x + y 2 = 0 dog̃rusu etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel
cismin hacmini bulunuz.(S.ekil 6.13)
C
. özüm:
(
u=
v=
x py+2
;
2
x+y
2
p
2
dönüs.ümü yard¬m¬ile Oxy koordinat sisteminden O0 uv koordinat sistemine
gec.elim. O0 uv koordinat sisteminde 2y = 4 x2 parabolünün parametrik
2
denklemi, y(x) = 4 2x olmak üzere,
8
2
x+ x2
< u = u(x) = x y(x)+2
p
p ;
=
2
2
2
x x2
2
: v = v(x) = x+y(x)
p
= p
2
2
olur. O halde, O0 A yay¬, [0; 2] aral¬g̃¬na uygun oldug̃undan, dönel cismin
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
77
aranan hacmi (6.83) formülüne göre
V (0; 2) =
Z2
V 2 (x) j u0 (x) j dx
=
Z2
1
(2x
8
0
1
x2
x2 )2 j p (x + )0 j dx
2
2
0
=
p
8 2
Z2
(4x
2
p
2 2
4x + x )(1 + x)dx =
15
3
4
0
olur.
4. Dönel Yüzeylerin Alan¬
[a; b] aral¬g̃¬nda sürekli ve negatif olmayan bir y(x) fonksiyonu ve
[a; b] nin herhangi bir P = fx0 ; x1 ;
; xn g parc.alanmas¬ verilmis. olsun.
Ak = A(xk ; y(xk )); k = 0; 1;
; n olmak üzere Ak 1 ve Ak noktalar¬n¬
Ak 1 Ak ; k = 1;
; n kiris.leriyle birles.tirelim. y = y(x) eg̃risi Ox ekseni
etraf¬nda döndüg̃ünde, Ak 1 Ak kiris.i, taban yar¬c.aplar¬ y(xk 1 ) ve y(xk ),
yanal yükseklig̃i xk = xk xk 1 ve yk = y(xk ) y(xk 1 ) olmak üzere,
p
j Ak 1 Ak j= ( xk )2 + ( yk )2 olan bir kesik koni c.izer. Bu kesik koninin
yanal alan¬
p
Sk = [y(xk 1 ) + y(xk )] ( xk )2 + ( yk )2
olacakt¬r. Buna göre, bu yanal alanlar¬n toplam¬
Sn (a; b) =
=
n
X
k=1
n
X
k=1
Sk
p
[y(xk 1 ) + y(xk )] ( xk )2 + ( yk )2
d¬r.
Tan¬m 6.6.18 : fSn (a; b)g dizisinin k P k! 0 iken limiti varsa, bu limite
y = y(x); x 2 [a; b] eg̃risinin Ox ekseni etraf¬nda dönmesiyle elde edilen
Riemann I·ntegrali
78
dönel yüzeyin alan¬denir ve
S(a; b) =
.seklinde gösterilir.
p
lim [y(xk 1 ) + y(xk )] ( xk )2 + ( yk )2
kP k!0
Teorem 6.6.19 : [a; b] üzerinde sürekli türevlenebilen y = y(x) fonksiyonu
verilsin. Bu durumda, y = y(x); x 2 [a; b] eg̃risinin Ox ekseni etraf¬nda
dönmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin alan¬
S(a; b) = 2
Zb
j y(x) j
a
p
1 + [y 0 (x)]2 dx
(6.86)
formülü ile verilir.
Teoremin ispat¬ Teorem 6.6.10 a benzer s.ekilde yap¬l¬r. [c; d] üzerinde
sürekli türevlenebilen x = x(y) fonksiyonu verildig̃inde x = x(y); y 2 [c; d]
eg̃risinin Oy ekseni etraf¬nda dönmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin alan¬
S(c; d) = 2
Zd
j x(y) j
c
p
1 + [x0 (y)]2 dy
(6.87)
formülü ile verilir.
Denklemi, x = '(t); y = (t);
t
parametrik s.ekilde olan bir eg̃ri
verilsin. Her t 2 [ ; ] ic.in x0 (t) ve y 0 (t) türevleri var ve sürekliyse, bu eg̃rinin
(a) Ox ekseni etraf¬nda dönmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin alan¬
S( ; ) = 2
Z
j (t) j
q
['0 (t)]2 + [ 0 (t)]2 dt
(6.88)
formülü,
(b) Oy ekseni etraf¬nda dönmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin alan¬
S( ; ) = 2
Z
j '(t) j
q
['0 (t)]2 + [ 0 (t)]2 dt
(6.89)
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
79
formülü ile verilir.
ac.¬k eg̃risinin, kendisiyle ayn¬ düzlemde bulunan ` dog̃rusu (ekseni)
etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel yüzeyin alan¬(S.ekil 6.13)
S=2
Zb
j M N j d`
(6.90)
a
formülü ile verilir. Burada, j M N j ile M (x; y) 2 noktas¬n¬n ` dog̃rusundan
olan uzakl¬g̃¬, d` ile yay diferansiyeli, a ve b eg̃rinin A ve B uc.lar¬na kars.¬l¬k
gelen integralleme s¬n¬rlar¬n¬göstermektedir. I·ntegral hesaplan¬rken j M N j
ve d`; integralleme deg̃is.keni cinsinden ifade edilmelidir.
Eg̃rinin denklemi kutupsal koordinat sisteminde r = r(');
'
; ; 2 [0; ] bic.iminde verilirse, bu eg̃rinin kutup ekseni etraf¬nda dönmesiyle meydana gelen dönel yüzeyin alan¬
S=2
Z
p
r(') r2 (') + [r0 (')]2 sin 'd'
(6.91)
formülü ile verilir. Burada r('); [ ; ] aral¬g̃¬nda sürekli türevlenebilen bir
fonksiyondur. Ayn¬kos.ullar alt¬nda, bu eg̃rinin ' = 2 ¬s.¬n¬etraf¬nda dönmesin-
Riemann I·ntegrali
80
den meydana gelen dönel yüzeyin alan¬
S=2
Z
p
r(') r2 (') + [r0 (')]2 cos 'd'
(6.92)
formülü ile verilir.
p
Örnek 6.6.20 : 2ay = x2 a2 ; x 2 [0; 2 2a] parabol yay¬n¬n
(a) Ox ekseni etraf¬nda ;
(b) Oy ekseni etraf¬nda
dönmesinden meydana gelen dönel yüzeyin alan¬n¬bulunuz.(S.ekil 6.14)
C
. özüm:
göre
(a) y(x) =
S = 2
= 2
x2 a 2
;
2a
p
2Z 2a
0
p
2Z 2a
0
j y(x) j
j
x
a
y 0 (x) =
x2
p
a2
2a
oldug̃undan, (6.86) formülüne
1 + [y 0 (x)]2 dx
j
r
1+
x2
dx
a2
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
[x = at dersek x 2 [0; a] ic.in, j x2
x2 a2 oldug̃undan]
= a2 (
Z1
a2 j= a2
p
1) 1 + t2 dt +
(t2
81
0
x2 ve x
p
Z2
2
(t2
a ic.in, j x2
p
1) 1
a2 j=
t2 dt)
1
p
p
p
[F (t) = 18 t 1 + t2 (2t3 3) 58 ln t + 1 + t2 fonksiyonu f (t) = (t2 1) 1 + t2
n¬n bir ilkel fonksiyonu oldug̃undan, Newton-Leibnitz formülüne göre]
p
a2 ( F (1) + F (0) + F (2 2)
p
F (1)) = 10 a2 2
olur.
(b) Eg̃rinin parametrik denklemi x = '(t); y = (t) =
bileceg̃inden (6.89) formülüne göre
S = 2
= 2
p
2Z 2a
0
p
2Z 2a
s.eklide yaz¬la-
q
j '(t) j 1 + [ 0 (t)]2 dt
r
t2
t2 3
2
t 1 + 2 dt = a2 (1 + 2 ) 2
a
3
a
0
=
a2 t2
;
2a
p
2 2a
0
52 2
a
3
bulunur.
Örnek 6.6.21 : 9x2 = y(3 y)2 eg̃risi ilmeg̃inin
(a) Ox ekseni etraf¬nda ;
(b) Oy ekseni etraf¬nda
dönmesinden meydana gelen dönel yüzeyin alan¬n¬bulunuz.
C
. özüm: Eg̃rinin ilmeg̃i y 2 [0; 3] deg̃erlerine kars.¬l¬k gelmektedir(S.ekil
6.15). Verilen eg̃rinin parametrik denklemi
Riemann I·ntegrali
82
(
2
x = '(t) = t(3 3 t ) ;
y = (t) = t2 ; t 2 R
p p
s.eklinde yaz¬labilir. Buna göre, ilmeg̃in yay¬ parametrenin t 2 [
3; 3]
deg̃erlerine uygun olacakt¬r.
(a) I·lmeg̃in Ox ekseni etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel yüzeyin
alan¬(6.88) formülüne göre
p
S = 2
Z3 p
t2 (1
t2 )2 + 4t2 dt
p
= 2
3
p
Z3
p
p
56 3
t (1 + t )dt =
5
2
2
3
olur.
(b) Eg̃rinin ilmeg̃i Oy eksenine göre simetrik oldug̃undan, ilmeg̃in kendisinin ve onun OM N yar¬k¬sm¬n¬n Oy ekseni etraf¬nda dön-mesinden meydana gelen dönel yüzeyler ayn¬olacakt¬r. Buna göre, verilen ilmeg̃in Oy ekseni etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel yüzeyin alan¬(6.89) formü-
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
83
lüne göre
p
S = 2
Z3
1
t(3
3
0
p
2
=
3
Z3
t(3
p
t2 ) (1
t2 )2 + 4t2 dt
t2 )(1 + t2 )dt = 3
0
olur.
Örnek 6.6.22 : r = a(1 cos ') kardioid eg̃risinin üst yar¬s¬n¬n kutup
ekseni etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel yüzeyin alan¬n¬ bulunuz
(S.ekil 6.16).
2 '
2
0
2
2
C
. özüm: r (') + [r (')] = 4a sin 2 oldug̃undan, (6.91) formülünden
Z
p
S = 2
r(') r2 (') + [r0 (')]2 sin 'd'
0
= 4 a
2
Z
(1
'
cos ') sin ' sin d' = 16 a2
2
0
'
1
= 32 a2 [ sin5 ]
5
2
buluruz.
Z
0
=
0
32 2
a
5
sin4
'
'
cos d'
2
2
Riemann I·ntegrali
84
p
p
4
Örnek 6.6.23 : y = 31 x3 ; 0
x
2 eg̃risinin 3y
2x = 0 dog̃rusu
etraf¬nda dönmesinden meydana gelen dönel yüzeyin alan¬n¬bulunuz.
p
1 3
1 3
2x = 0
C
. özüm: y = 3 x eg̃risi üzerindeki M (x; 3 x ) noktas¬n¬n 3y
dog̃rusundan uzakl¬g̃¬(S.ekil 6.17)
p
1
1
1 p
j M N j= p j 3: x3
2x j= p ( 2x x3 )
3
11
11
p
p
0
2
4
ve d` = 1 + [y (x)] dx = 1 + x dx oldug̃undan, (6.90) formülüne göre
aranan alan
p
4
Z
S = 2
2
j MN j
0
2 p
= p [ 2
11
p
4
[
Z
0
p
4
Z
0
p
4
Z
2
p
4
p
p
2
1 + [y 0 (x)]2 dx = p
11
x 1+
p
4
Z
x4 dx
0
Z 2p
( 2x
0
2
p
x3 1 + x4 dx]
0
p
p
p
1
3
x 1 + x4 dx =
ln ( 2 + 3) + p
4
2 2
2
p
2
x
3
p
1 + x4 dx =
p
x3 ) 1 + x4 dx
p
3
2
1
6
ve
oldug̃undan ]
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
85
p
p
p
= p (3 ln ( 2 + 3) + 2)
3 22
olur.
6.6.6
Kütleler, Kütle Merkezleri, Ag̃¬rl¬k Merkezleri
ve Eylemsizlik Merkezleri
(a) Kütleler
Bir …ziksel cismin kütlesi ic.indeki madde miktar¬n¬n ölc.üsü, hacmi ise
cismin bos.lukta kaplad¬g̃¬yerin ölc.üsüdür. Bir eg̃ri parc.as¬n¬n kütlesinin yay
= oran¬na kütlenin yog̃unluk
uzunlug̃una göre deg̃is.me oran¬na, yani dm
d`
fonksiyonu ad¬verilir. Bu durumda, dm = d` olur. Benzer s.ekilde, ds ve
dv alan ve hacim diferansiyeli olmak üzere, bir düzlem parc.as¬(levha) veya
bir kat¬cisim olmas¬durumunda, s¬ras¬yla dm = ds ve dm = dv olacakt¬r.
= 1 ya da daha genel olarak = K gibi bir sabit ise, bu durumda cisim
homogendir veya sabit yog̃unlukludur denir. Buna göre, bir eg̃ri parc.as¬, bir
düzlem pars.as¬veya bir kat¬cisim olmas¬durumunda cismin kütlesi s¬ras¬yla
Z
Z
Z
m=
d`; m =
ds; m =
dv
olacakt¬r. Belirtelim ki, bu integraller hesaplan¬rken, yog̃unluk fonksiyonu integralleme deg̃is.kenleri cinsinden ifade edilmelidir. Örneg̃in, eg̃er R2
deki yay¬n¬n denklemi x = '(t); y = (t);
t
parametrik s.ekilde
verilmis.se ve [ ; ] aral¬g̃¬nda '0 (t); y = 0 (t) türevleri var ve sürekliyse,
p
d` = ['0 (t)]2 + [ 0 (t)]2 dt oldug̃undan, eg̃risinin kütlesi
m=
Z
q
(t) ['0 (t)]2 + [ 0 (t)]2 dt
(6.93)
olur. Eg̃er,
R2 eg̃risinin denklemi y = y(x); a x b (x = x(y); c
y
d) s.eklinde verilmis.se ve [a; b] ([c; d]) aral¬g̃¬nda y 0 (x) (x0 (y)) türevi var
p
p
ve sürekliyse, d` = 1 + [y 0 (x)]2 dx (d` = 1 + [x0 (y)]2 dy) oldug̃undan,
Riemann I·ntegrali
86
eg̃risinin kütlesi
m=
Zb
a
Z
p
(x) 1 + [y 0 (x)]2 dx m =
d
c
p
(y) 1 + [x0 (y)]2 dy
(6.94)
olacakt¬r.
1 özel durumunda, `( ); eg̃risinin uzunlug̃u olmak üzere, `
eg̃risinin kütlesinin m = `( ) olacag̃¬ac.¬kt¬r.
(b) Momentler
Kütlesi m olan bir parc.ac¬g̃¬n bir noktaya, bir eksene veya bir düzleme
göre momenti, parc.ac¬g̃¬n sözkonusu nokta, eksen veya düzleme olan uzakl¬g̃¬ d olmak üzere, M = md say¬s¬na denir. Momenti istenen eg̃ri x =
'(t); y = (t);
t
parametrik denklemle verilmis.se ve [ ; ] aral¬g̃¬nda '0 (t); y = 0 (t) türevleri var ve sürekliyse, bu eg̃rinin Ox ve Oy
eksenlerine göre Momenti (ya da Birinci Momenti), s¬ras¬yla
Mx =
Z
q
(t)'(t) ['0 (t)]2 + [ 0 (t)]2 dt
(6.95)
My =
Z
q
(t) (t) ['0 (t)]2 + [ 0 (t)]2 dt
(6.96)
olacakt¬r. Eg̃er, eg̃ri y = y(x); a
x
b (x = x(y); c
y
d) s.eklinde
0
0
verilmis.se ve [a; b] ([c; d]) aral¬g̃¬nda y (x) (x (y)) türevi var ve sürekliyse, bu
eg̃rinin Ox (Oy) eksenlerine göre Momenti
Mx =
Zb
a
(My =
Zd
c
olacakt¬r.
p
(x)y(x) 1 + [y 0 (x)]2 dx
p
(y)x(y) 1 + [x0 (y)]2 dy)
(6.97)
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
87
y = y1 (x); y = y2 (x); [a; b] aral¬g̃¬nda sürekli fonksiyonlar olmak üzere,
yog̃unluk fonksiyonu (x) olan
G = f(x; y) 2 R2 : a
x
b; y1 (x)
y
y2 (x)g
düzlem parc.as¬n¬n Ox ve Oy eksenlerine göre momenti s¬ras¬yla
1
Mx =
2
Zb
(x)[y2 (x)2
y1 (x)2 ]dx
(6.98)
y1 (x)]dx
(6.99)
a
My =
Zb
(x)x[y2 (x)
a
olacakt¬r.
r = r('); ['1 ; '2 ] aral¬g̃¬nda sürekli fonksiyon olmak üzere, yog̃unluk
fonksiyonu (') olan
G = f('; r) : '1
'
'2 ; 0
r
r(')g
düzlem parc.as¬n¬n Ox ve Oy eksenlerine göre momenti s¬ras¬yla
1
Mx =
3
Z'2
(')r3 (') sin 'd'
(6.100)
Z'2
(')r3 (') cos 'd'
(6.101)
'1
1
My =
3
'1
olacakt¬r.
(c)Kütle (Ag̃¬rl¬k) Merkezleri
Kütlesi m olan bir G
noktas¬bulal¬m ki,
R2 düzlem parc.as¬verilmis. olsun. Öyle bir (x; y)
xm = My ; ym = Mx
Riemann I·ntegrali
88
olsun. Bu durumda, tüm kütlenin (x; y) noktas¬nda topland¬g̃¬düs.ünülebilir.
Bu (x; y) noktas¬na G cisminin kütle merkezi ad¬ verilir. S.u halde kütle
merkezinin koordinatlar¬
My
Mx
;y=
x=
m
m
olacakt¬r. Benzer s.ekilde, uzayda kütlesi m olan bir G parc.as¬ic.in tan¬mlanacak kütle merkezinin koordinatlar¬, G parc.as¬n¬n Y Z; XZ ve XY düzlemine
göre momenti s¬ras¬yla Myz ; Mxz ve Mxy olmak üzere,
x=
Myz
Mxz
Mxy
;y=
;z=
m
m
m
olacakt¬r.
yog̃unluk fonksiyonu
1 ya da daha genel olarak = K gibi bir
sabit ise, bu durumda elde edilen kütle merkezine, verilen parc.an¬n ag̃¬rl¬k
merkezi ad¬ verilir. Buna göre, düzlemsel G parc.as¬n¬n ag̃¬rl¬k merkezinin
koordinatlar¬, S; G nin alan¬olmak üzere,
x=
My
Mx
;y=
S
S
bic.iminde ve G R3 uzay parc.as¬n¬n ag̃¬rl¬k merkezinin koordinatlar¬ise,V; G
nin hacmi olmak üzere,
x=
Myz
Mxz
Mxy
;y=
;z=
V
V
V
bic.iminde olacakt¬r.
(d) Eylemsizlik (Atalet) Momentleri
Kütlesi m olan bir parc.ac¬g̃¬n bir noktaya, bir eksene veya bir düzleme
olan uzakl¬g̃¬d olsun. I = md2 say¬s¬na, verilen parc.ac¬g̃¬n sözkonusu nokta,
eksen veya düzleme göre Eylemsizlik (Atalet) Momenti (ya da I·kinci Momenti) denir. y = y1 (x); y = y2 (x); [a; b] aral¬g̃¬nda sürekli fonksiyonlar olmak üzere, yog̃unluk fonksiyonu (x) olan
G = f(x; y) 2 R2 : a
x
b; y1 (x)
y
y2 (x)g
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
89
düzlem parc.as¬n¬n Ox ve Oy eksenlerine göre eylemsizlik momenti s¬ras¬yla
Zb
1
Ix =
(x)[y2 (x)3 y1 (x)3 ]dx;
(6.102)
3
a
Iy =
Zb
(x)x2 [y2 (x)
y1 (x)]dx
(6.103)
a
olacakt¬r.
r = r('); ['1 ; '2 ] aral¬g̃¬nda sürekli fonksiyon olmak üzere, yog̃unluk
fonksiyonu (') olan
G = f('; r) : '1
'
'2 ; 0
r
r(')g
düzlem parc.as¬n¬n Ox ve Oy eksenlerine göre eylemsizlik momenti s¬ras¬yla
Z'2
1
Ix =
(')r4 (') sin2 'd'
(6.104)
4
'1
1
Iy =
4
Z'2
(')r4 (') cos2 'd'
(6.105)
'1
olacakt¬r.
y1 (x) 2 C[a; b]; y2 (x) 2 C[a; b] olmak üzere, yog̃unluk fonksiyonu
olan
G0 = f(x; y) 2 R2 : a x b; 0 y1 (x) y y2 (x)g
(x)
düzlem parc.as¬n¬n Ox ekseni etraf¬nda dönmesiyle meydana gelen dönel cismin Ox ve Oy eksenlerine göre eylemsizlik momenti s¬ras¬yla
Ixx =
2
Zb
(x)[y2 (x)4
y1 (x)4 ]dx;
(6.106)
a
Iyy
1
= Ixx +
2
Zb
a
olacakt¬r.
(x)x2 [y2 (x)2
y1 (x)2 ]dx
(6.107)
Riemann I·ntegrali
90
Örnek 6.6.24 : Yog̃unlug̃u = x olmak üzere y = x2 ; y = x + 2 eg̃rileriyle
s¬n¬rlanan bölgenin Mx ; My ; Ix ve Iy momentlerini bulunuz.
C
. özüm: Önce, verilen eg̃rilerin kesis.me noktalar¬n¬n apsislerini bulal¬m.
(S.ekil 6.18)
x2 = x + 2 ) x2
2 = 0 ) x1 =
x
1; x2 = 2
(6.98), (6.99) formüllerine göre (y1 (x) = x2 ; y2 (x) = x + 2) :
Mx
1
=
2
Z2
x[(x + 2)
Z2
1
x ]dx =
2
2
4
1
My =
4
6
x
1 x
[4 + 4
2 2
4
Z2
x4 ]dx
1
2
=
x[4 + 4x2
x
]
6
x2 (x + 2
2
=
1
x2 )dx = [
63
12
x4
x3
+2
4
3
x5
]
5
2
=
1
179
60
1
ve (6.102), (6.103) formüllerine göre
Ix
1
=
3
Z2
x[(x + 2)
3
1
x ]dx =
3
6
1
4
=
5
3x
x
1 2
[4x + 4x3 +
+
3
2
5
Z2
x[8 + 12x + 6x2 + x3
1
7 2
x
7
=
]
1
4987
70
x6 ]dx
Riemann I·ntegralinin Baz¬Uygulamalar¬
Z2
Iy =
x3 (x + 2
x2 )dx = [
91
x4 x5
+
2
5
x6
]
6
2
=
1
27
5
1
olur.
Örnek 6.6.25 : r = a(1 + cos ') kardioidi taraf¬ndan s¬n¬rlanan bölgenin
Mx ; My momentlerini bulunuz.(
1)
C
. özüm: (6.102), (6.103) formüllerine göre (S.ekil 6.19)
Mx
a3
=
3
=
Z
(1 + cos ') sin 'd' =
a3 1 + cos '
3
4
My
bulunur.
a3
3
3
a3
=
3
Z
(1 + cos ')3 d(1 + cos ')
= 0;
Z
5 a3
(1 + cos ') cos 'd' =
4
3