integral ünite 4. ünite 4. ünite 4. ünite 4. ünit

İNTEGRAL
ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
4. ÜNİTE
Belirli İntegral
1.
Kazanım
: Riemann toplamı yardımıyla integral kavramını açıklar.
2.
Kazanım
: Belirli integralin özelliklerini açıklar.
3.
Kazanım
: İntegral hesabının birinci ve ikinci temel teoremlerinin anlamını açıklar.
Belirsiz İntegral
1.
Kazanım
: Bir fonksiyonun belirsiz integralini açıklar.
2.
Kazanım
: Temel integral alma kurallarını türev alma kuralları yardımıyla yazar.
3.
Kazanım
: Bir fonksiyonun bir sabitle çarpımının, iki fonksiyonun toplamının ve farkının integraline
ait kuralları bulur ve uygulamalar yapar.
4.
Kazanım
: İntegral alma yöntemlerini açıklar ve uygulamalar yapar.
Belirli İntegralin Uygulamaları
1.
Kazanım
: Belirli integralleri kullanarak uygulamalar yapar ve problem çözer.
4. ÜNİT
İntegral
BELİRSİZ İNTEGRAL
Belirsiz integral almak, türevi verilen fonksiyonu bulma işlemidir.
x3
tür.
Türevi x2 olan fonksiyonlardan biri
3
Çünkü
x3
x3
x3
x3
+ 1,
+ 10,
– 100,
+
3
3
3
3
Bu fonksiyonları temsilen
Bunu
3
# x 2 dx = x3
2 , ...... fonksiyonlarının türevi x2 dir.
x3
x3
+ c alınırsa, türevi x2 olan fonksiyon
+ c olur.
3
3
+ c biçimde gösteririz.
# f (x) dx = F (x) + c
Türevi f(x) e eşit olan F(x) ifadesine f(x) in integrali denir ve
biçiminde gösterilir.
Şimdi de bu eşitlikte kullanılan dx ifadesini açıklayalım.
df (x)
= f′(x) olduğunu biliyoruz. Bu eşitlikten df(x) = f′(x)dx yazılabilir. Bu işlem diferansiyel alma işlemidir.
dx
ÖRNEK 1
ÖRNEK 3
Aşağıda bazı fonksiyonların diferansiyelleri alınmıştır.
İnceleyiniz.
d(x3) = (x3)′.dx = 3x2.dx
2
2
d(x – 2) = (x – 2)′.dx = 2x.dx
Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
®
# d (x3 – x)
®
# d (tanx)
Çözüm
d(sinx) = (sinx)′.dx = cosx.dx
d(lnx) = (lnx)′.dx =
1
.dx
x
d(x + 1) = (x + 1)′.dx = 1.dx = dx
ÖRNEK 4
ÖRNEK 2
#
x2
x3
dx =
+ c eşitliğinden yararlanarak,
3
ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
318
#
x3
dc
m
3
3
# x 2 dx = x3
d
dx
# x 2 dx
Çözüm
+ c eşitliğinden yararlanarak,
ifadesinin eşitini bulunuz.
İntegral
ÖRNEK 5
f(x) =
ÖRNEK 9
# (x 2 – x + 2) dx
# 6 x.f (x) + 2 @ dx = x 3 – x + c
ise f′(x) fonksiyonunu bulu-
nuz.
ise f(2) kaçtır?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 6
d2
dx 2
# (x 3 – x 2 + 1) dx
ifadesinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 10
x2
Çözüm
# f (x) dx = x4 + x
ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 7
# f (x) dx =
x3 + x2
–1
ise f(x) fonksiyonunu bulu-
Temel İntegral Alma Kuralları
Temel integral alma kurallarını türev alma kuralları
nuz.
yardımıyla yazabiliriz.
Çözüm
xn ifadesi
xn + 1
+ c nin türevi olduğundan, bu durum
n+1
aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
n+1
# x n dx = nx + 1 + c
ÖRNEK 8
# x 2 f (x) dx = 6x 4 – 2x 3 + c
bulunuz.
Çözüm
x2 f(x) = (6x4 – 2x3 + c)′
x2 f(x) = 24x3 – 6x2
ÖRNEK 11
ise
f(x)
fonksiyonunu
# x dx = 1x
# x 4 dx = x
# x 5 dx = x
319
İntegral
Aşağıdaki tabloda bazı fonksiyonların türevi ile integ-
Şimdi de tabloda ifade edilen temel integral kurallarını
rali arasındaki ilişkiden yararlanarak temel integral
tek tek ele alıp örneklerle pekiştirelim.
kuralları verilmiştir. İnceleyiniz.
F(x)
F′(x)
x n+1
n +1
xn
n+1
# x n dx = nx + 1 + c
∫ F′(x)dx
n+1
∫ x n dx = xn + 1 + c
ÖRNEK 12
ex
ax
ln a
1
x
– cosx
sinx
∫ sinx dx = − cos x + c
1
∫ cos12 x dx = tanx + c
arctanx
ax
320
cos2 x
1
sin2 x
1
1− x
2
1
1+ x2
a
# x 3 dx = x
®
# x – 3 dx =
®
#
1
dx =
x2
#
®
#
x dx =
#
®
#
x
®
#
x
x
∫ cosx dx = sin x + c
arcsinx
®
a
+c
∫ ax dx = lna
ax
cos x
– cotx
İnceleyiniz.
∫ ex dx = ex + c
ex
sinx
tanx
Aşağıda bazı integrallerin eşiti bulunmuştur.
∫ 1x dx = ln x + c
∫ sin12 x dx = − cot x + c
∫
1
1− x 2
ESEN YAYINLARI
lnx
dx =
#
1
dx =
x
#
x
2
dx = arcsinx + c
∫ 1 +1x 2 dx = arctan x + c
∫ a dx = ax + c
İntegral
ÖRNEK 15
# a dx = a x + c
# x (x – 2) dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 13
Aşağıda bazı integrallerin eşiti bulunmuştur.
İnceleyiniz.
# 2 dx = 2 x + c
®
# y dx = y x + c
®
# x dy = x y + c
®
# x dz = x z + c
®
# cos t dx = x cost + c
®
# e k dx = ek.x + c
ÖRNEK 16
# ( 2x – 1)2 dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
# a .f(x) dx = a. # f (x) dx
# [ f(x) ± g(x) ]dx = # f (x) dx ± # g (x) dx
ESEN YAYINLARI
®
ÖRNEK 17
# x (x – 1)2 dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 14
Aşağıda bazı integrallerin eşiti bulunmuştur.
İnceleyiniz.
2
®
# 2 x dx = 2 # x dx = 2 x2
®
# ( 3x2 – x + 1) dx = 3 # x 2 dx – # x dx + # dx
+ c = x2 + c
ÖRNEK 18
#
x+ x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
Çözüm
®
2
# c x2
– 2x + 3 m dx =
#
x
dx –
# 2x dx + # 3 dx
321
İntegral
ÖRNEK 23
#
1
dx = ln|x| + c ,
x
#
1
dx = ln|x + a| + c
x+a
#
x2 – x + 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
Çözüm
ÖRNEK 19
#
2
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
Çözüm
ÖRNEK 24
ÖRNEK 20
#
#
3
dx integralinin eşitini bulunuz.
x +1
(x – 2) 2
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
Çözüm
ÖRNEK 21
#
x+2
dx integralinin eşitini bulunuz.
x+1
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 25
#
(x – 1) 3
dx integralinin eşitini bulunuz.
x+1
Çözüm
ÖRNEK 22
#
x2 – x + 3
dx integralinin eşitini bulunuz.
x+2
Çözüm
322
İntegral
# e x dx = ex + c
,
#
# e x + a dx = ex + a + c
ÖRNEK 26
#
ÖRNEK 30
ex
dx integralinin eşitini bulunuz.
e
#
Çözüm
2
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 + x2
Çözüm
ÖRNEK 27
# ex .
1
dx = arctanx + c
1 + x2
ÖRNEK 31
e dx integralinin eşitini bulunuz.
#
Çözüm
x2 + 2
dx integralinin eşitini bulunuz.
x2 + 1
ESEN YAYINLARI
Çözüm
#
# a x dx = ln1a .ax + c
# a x + b dx = ln1a .ax + b + c
ÖRNEK 28
# 2 x dx
integralinin eşitini bulunuz.
1
dx = arcsinx + c
1 – x2
ÖRNEK 32
#
1–
1 – x2
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 – x2
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 29
#
2x
dx integralinin eşitini bulunuz.
3x
Çözüm
NOT:
#
1
dx = – arccosx + c
1 – x2
olarak da yazılabileceğinden sorunun cevabı
– arccosx – x + c biçiminde de yazılabilirdi.
323
İntegral
ÖRNEK 33
#
ÖRNEK 36
1 – x2
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 – x2
#
3 – 2 sin 2 x
dx integralinin eşitini bulunuz.
sin 2 x
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 37
#
1
dx =
cos 2 x
#
1
dx =
sin 2 x
#
# ( 1 + tan2x) dx = tanx + c
cot x
dx integralinin eşitini bulunuz.
tan x
Çözüm
# ( 1 + cot2x) dx = – cotx + c
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
sin 2 x. cos 2 x
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 34
# cos dx = sin x + c
,
# sin x dx = – cos x + c
ÖRNEK 38
# sin 2x . cos 2x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 35
# tan 2 x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 39
#
1 + cos 2x
dx integralinin eşitini bulunuz.
cos x
Çözüm
324
İntegral
f(x) =
# fl (x) dx
ÖRNEK 40
f′(x) = 2x + 1 ve f(1) = 3 ise f(x) nedir?
ÖRNEK 42
Çözüm
f′′(x) = 12x olmak üzere, f(x) fonksiyonuna A(1, 3)
noktasından çizilen teğetin eğimi 7 ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 41
f′′(x) = 6x – 4 , f′(0) = 2 ve f(1) = 3 ise f(x) nedir?
Çözüm
ETKİNLİK
Bir internet sitesi günlük 8000 olan ziyaretçi sayısını arttırmak için
reklam kampanyası düzenliyor. Kampanyanın t. günündeki ziyaretçi
sayısı s(t) olmak üzere kampanya sonucunda ziyaretçi sayısı artış
hızının
s′(t) = 60 t
olması beklenmektedir. Ziyaretçi sayısının
10 560 kişiye ulaşması için kampanya kaç gün devam etmelidir?
s(t) =
# sl (t)dt = # 60
1
t dt = 60 # t 2 dt = 60.
3
3
3
2
t2
+ c = 60. t 2 + c ⇒ s(t) = 40.t 2 + c
3
3
2
Kampanyadan önceki günlük ziyaretçi sayısı 8 000 olduğundan s(0) = 8 000 dir.
3
3
s(t) = 40.t 2 + c ⇒ s(0) = c ⇒ c = 8 000 ⇒ s(t) = 40.t 2 + 8 000 olur.
3
3
Ziyaretçi sayısı t günde 10.560 a ulaşacaksa s(t) = 10 560 ⇒ 40.t 2 + 8 000 = 10 560 ⇒ 40.t 2 = 2560 ⇒ t = 16
O halde, istenen ziyaretçi sayısına ulaşmak için kampanya 16 gün sürdürülmelidir.
325
ALIŞTIRMALAR – 1
2.
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# x dx
b.
#3
c.
#x
d.
#
1
dx
x4
e.
#
x x
dx
3
x
f.
#
x2
dx
x
326
x dx
x dx
ESEN YAYINLARI
1.
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# dx
b.
# 3 dx
c.
# x 2 dy
d.
# y 3 dx
e.
# log k dx
f.
# 2 x dy
İntegral
4.
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# (4x + 1) dx
b.
#
c.
# (x – 3) 2 dx
(x 2
– 2x + 4) dx
d.
# (x – 1) (x + 1) (x 2 + 1) dx
e.
# x (x –
f.
#
2) 2
dx
x2 – 2 x
dx
x
ESEN YAYINLARI
3.
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
2
dx
x
b.
#
1
dx
x+3
c.
#
2
dx
x+2
d.
#
x–2
dx
x+2
e.
#
(x – 1) 2
dx
x+1
f.
#
x3 + x2 – x + 2
dx
x2
327
İntegral
6.
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
# e x + 1 dx
b.
#
c.
e e x dx
d.
#
3x
dx
4x
e.
#
2 2x
dx
3x
f.
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
b.
#
c.
#
d.
#
e.
#
f.
#
# 3 x + 4 dx
#
4.3 x
dx
5.7 x
ESEN YAYINLARI
5.
3
dx
1 + x2
x2
x2 + 1
dx
3
dx
1 – x2
1 + 1 – x2
dx
1 – x2
1 – x2 + 1 – x2
dx
1 – x2
– 2x 2 – 1
dx
x2 + 1
3
328
x
İntegral
8.
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
Aşağıdaki integrallerin eşitini bulunuz.
a.
#
2
dx
cos 2 x
a.
# (2 sin x + cos x) dx
b.
#
3
dx
sin 2 x
b.
#
1 – cos 2x
dx
sin x
c.
#
2 – cos 2 x
dx
cos 2 x
c.
#
1 + cos 2x
dx
cos x
d.
#
3 + 2 sin 2 x
dx
sin 2 x
d.
# (2 + 2 tan 2 x) dx
e.
#
2 cot 2 x
e.
# b sin 2x + cos 2x l
f.
#
tan x
dx
cot x
f.
#
dx
ESEN YAYINLARI
7.
2
dx
cos 2x
dx
sin 2 x. cos 2 x
329
İntegral
9.
d
dx
# (x 3 – 2x) dx
14.
ifadesinin eşitini bulunuz.
# x f (x) dx = x4 – x2 + c
ise f(x) fonksiyonunu
bulunuz.
10. f(x) =
# c x 2 + 1x m dx
15. x # 6 x f (x) + 2 @ dx = x3 – x2 ise f(x) fonksiyonuise f′(1) kaçtır?
nu bulunuz.
16. f′(x) = 4x ve f(–2) = 1 ise f(x) fonksiyonunu
#
bulunuz.
ESEN YAYINLARI
11. f(x) =
r
(x – cos x) dx ise fll b l kaçtır?
2
17. f′′(x) = 24x – 12, f′(–1) = 26, f(1) = 2 ise
12.
# d (x 2 +
x ) integralinin eşitini bulunuz.
f(0) kaçtır?
18. f′′(x) = 30x olmak üzere, f(x) fonksiyonuna
13.
d
dx
330
# d c x + 1x m
ifadesinin eşitini bulunuz.
A(–1, 18) noktasından çizilen teğetin denklemi
y = 3x + k ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.
İntegral
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
ÖRNEK 45
Değişken Değiştirme Yöntemi
# ( 2x – 1)3 dx
Her integral sorusu temel integral kuralları yardımıyla
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
çözülmeyebilir veya çözümü uzun işlemler gerektirebilir. Örneğin
# (x – 2) 10 dx
ifadesinin integralini almak için (x – 2)10
açılımını yapmak gerekebilir.
Bu da çözümün çok uzun olması demektir.
Bu integralde x – 2 = u alınarak
d(x – 2) = du ⇒ dx = du yazılırsa x olan integral
değişkeni u ya dönüştürülmüş olur. Bu durumda,
# (x – 2) 10 dx = # u 10 du =
(x – 2) 11
u 11
+c=
+c
11
11
ÖRNEK 46
# ( x2 – x)4(2x – 1) dx
bulunur.
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Bu çözüm yöntemi, değişken değiştirme yöntemidir.
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
1– x
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 43
ÖRNEK 47
#x
x 2 – 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 44
# cos (4x – 1) dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
331
İntegral
ÖRNEK 48
# f (x) .fl (x) dx
ÖRNEK 51
2x – 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x2 – x
#
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
f(x) = u alırsak f′(x) dx = du olur.
ÖRNEK 49
#
ÖRNEK 52
x 7 + x 4 dx integralinin eşitini bulunuz.
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
ax + b
#
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 53
Aşağıda, Örnek 52 deki sonuçtan yararlanarak
bazı integrallerin sonucu pratik olarak bulunmuştur.
İnceleyiniz.
ÖRNEK 50
#
x2
dx integralinin eşitini bulunuz.
1– x 3
Çözüm
®
#
1
1
dx = ln|2x + 1| + c
2x + 1
2
®
#
1
1
dx = ln|3x – 1| + c
3x – 1
3
®
#
1
1
dx = – ln|2 – 5x| + c
2 – 5x
5
ÖRNEK 54
#
fl (x)
dx integralinin eşitini bulunuz.
f (x)
Çözüm
332
İntegral
ÖRNEK 55
ÖRNEK 59
Aşağıda, Örnek 54 teki sonuçtan yararlanarak bazı
# e x2 + ln 2x dx
integrallerin sonucu pratik olarak bulunmuştur.
Çözüm
İnceleyiniz.
®
#
2x
dx = ln|x2 + 2| + c
x2 + 2
®
#
3x 2
dx = ln|x3 – 1| + c
x3 – 1
®
#
1 + tan 2 x
dx = ln|tanx| + c
tan x
®
# cot x dx = #
®
# tan x dx = – #
cot x
–
integralinin eşitini bulunuz.
dx = ln|sinx| + c
x
dx = – ln|cosx| + c
ÖRNEK 60
1
dx integralinin eşitini bulunuz. (n ≠ 1)
(x – 1) n
#
ÖRNEK 56
# e 1 + sin x cosx dx
Çözüm
integralinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 57
#
e 1–
x
x
dx integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 61
Aşağıda, Örnek 60 taki sonuçtan yararlanarak bazı
integrallerin sonucu pratik olarak bulunmuştur.
İnceleyiniz.
®
#
1
dx = –
(x – 1) 4
®
#
1
dx = –
(x + 1) 5
®
#
1
dx = –
(x – 2) 2
®
#
1
dx = –
(x + 3) 6
ÖRNEK 58
#
2 tan x
dx integralinin eşitini bulunuz.
cos 2 x
Çözüm
333
İntegral
ÖRNEK 62
#
ÖRNEK 66
ex
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 + ex
#
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 63
#
ex
1 + e 2x
ln x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
ÖRNEK 67
dx integralinin eşitini bulunuz.
#
Çözüm
integralinin eşitini bulu-
nuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 64
# (e x – 2e 2x) sin (e x – e 2x) dx
2 – ln x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
ÖRNEK 68
#
1 + ln x
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 – x ln x
Çözüm
ÖRNEK 65
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
ex + e– x
Çözüm
334
ÖRNEK 69
# cot x. ln (sin x) dx
Çözüm
integralinin eşitini bulunuz.
İntegral
ÖRNEK 70
#
ÖRNEK 73
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x 1 + ln x
#
Çözüm
x3
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 + x8
Çözüm
ÖRNEK 74
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x 1 – (ln x) 2
Çözüm
#
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 71
cos x
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 + sin 2 x
Çözüm
sinx = u ⇒ cosx dx = du
ÖRNEK 75
#
ÖRNEK 72
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x (1 + x)
Çözüm
arctan x
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 + x2
Çözüm
335
İntegral
ÖRNEK 76
#
ÖRNEK 79
Aşağıda, Örnek 78 deki sonuçtan yararlanarak
1 + tan 2 x
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 – tan 2 x
bazı integrallerin eşiti pratik olarak bulunmuştur.
İnceleyiniz.
Çözüm
®
#
1
dx = arctanx + c
1 + x2
®
#
1
1
dx =
2
4 + x2
®
#
2
2
dx =
3
9 + x2
®
#
1
dx =
2 + x2
ÖRNEK 77
#
ex
dx integralinin eşitini bulunuz.
1– e 2x
ÖRNEK 80
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 + (x + 2) 2
#
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 78
#
1
1
x
dx = arctan + c olduğunu gösteriniz.
a
a
a2 + x2
Çözüm
ÖRNEK 81
Aşağıda, Örnek 80 deki sonuçtan yararlanarak
bazı integrallerin eşiti pratik olarak bulunmuştur.
İnceleyiniz.
1
dx = arctan(x – 1) + c
® #
1 + (x – 1) 2
®
#
1
1
x–3
dx = arctan c
m+c
2
2
4 + (x – 3) 2
®
#
1
1
x+1
dx =
arctan c
m+c
2 + (x + 1) 2
2
2
ÖRNEK 82
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x 2 + 2x + 2
Çözüm
336
İntegral
ÖRNEK 83
ÖRNEK 86
Aşağıda, Örnek 85 teki sonuçtan yararlanarak bazı
a > 0 olmak üzere,
integrallerin eşiti pratik olarak bulunmuştur.
1
x
dx = arcsin + c olduğunu gösteriniz.
a
a2 – x2
#
İnceleyiniz.
Çözüm
®
#
1
dx = arcsin(x – 2) + c
1 – (x – 2) 2
®
#
x+3
1
dx = arcsin c
4 – (x + 3) 2
®
#
x
2
dx = 2arcsin c
2
25 – (x – 1)
ÖRNEK 87
#
1
–
x 2 + 4x
–3
dx integralinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 84
Aşağıda, Örnek 83 teki sonuçtan yararlanarak
bazı integrallerin eşiti pratik olarak bulunmuştur.
İnceleyiniz.
1
dx = arcsinx + c
® #
1 – x2
®
#
x
1
dx = arcsin + c
2
4 – x2
®
#
x
2
dx = 2arcsin + c
3
9 – x2
®
#
x
2
dx = 2arc sin
5 – x2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 88
#
1
– x 2 – 2x
dx integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 89
ÖRNEK 85
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 – (x + 1) 2
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
– x 2 – 2ax
Çözüm
Çözüm
337
ALIŞTIRMALAR – 2
2.
#
#
2
dx integralinin eşitini bulunuz.
3x – 1
6.
# ( x2 + 1)5 x dx
7.
#x
8.
# ( x2
integralinin eşitini bulunuz.
2x 2 – 1 dx integralinin eşitini bulunuz.
2x + 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x2 + x
3x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x2 + 2
3.
#
4.
# f n (x).f′(x) dx
5.
# ( x3 + x2)4 (3x2 + 2x) dx
lunuz.
338
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bu-
+ 1)(x3 + 3x – 1)5 dx integralinin eşitini
bulunuz.
ESEN YAYINLARI
1.
9.
# x. 4
10.
#
(x 2 – 1) 3 dx integralinin eşitini bulunuz.
dx
integralinin eşitini bulunuz.
2–x
İntegral
11.
# sin b 2x + 1 l dx
12.
# cos (–2x + 1) dx
13.
# e 4x – 1 dx
14.
# 2x ex
15.
# (x – 1)e2x – x
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
integralinin eşitini bulunuz.
2
–1
dx integralinin eşitini bulunuz.
2
dx integralinin eşitini bulunuz.
16.
#
cos x
dx integralinin eşitini bulunuz.
3 + sin x
17.
#
sin 2x
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 + cos 2 x
18.
#
1 + ln x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
19.
#
2
dx integralinin eşitini bulunuz.
x ln x
20.
#
1 + ln x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
339
İntegral
cos x
dx integralinin eşitini bulunuz.
e sin x
21.
#
22.
# ex
23.
#
2
+ lnx
dx integralinin eşitini bulunuz.
26.
#
e tan x
dx integralinin eşitini bulunuz.
cos 2 x
27.
#
e1 +
x
28.
#
4x
dx integralinin eşitini bulunuz.
(1 – 2x 2) 2
1– x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x 2 – 2x
x
dx integralinin eşitini bulunuz.
1
ex
2
dx integralinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
x
24.
#
e x dx
integralinin eşitini bulunuz.
ex + 2
29.
#
25.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x. cos 2 (ln x)
30.
#
340
2 ln x
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
İntegral
31.
# tan x.ln(cosx) dx
32.
#
arcsin x
dx integralinin eşitini bulunuz.
1– x 2
33.
#
cos x dx
integralinin eşitini bulunuz.
4 + sin x
34.
#
27 x – 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
3x
36.
# ln x
37.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
16 + x 2
38.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
3 + x2
39.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
9 + 4x 2
40.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x 2 – 2x + 2
ESEN YAYINLARI
integralinin eşitini bulunuz.
35.
#
2x dx
integralinin eşitini bulunuz.
(x 2 + 1) ln (x 2 + 1)
x dx integralinin eşitini bulunuz.
341
İntegral
41.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x 2 – 4x + 13
42.
#
x+2
dx integralinin eşitini bulunuz.
x 2 + 2x + 2
43.
#
44.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
2x – x 2
45.
#
46.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
16 – x 2
47.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
3 + 2x – x 2
dx
integralinin eşitini bulunuz.
4 – 9x 2
48.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
– x 2 + 2x + 1
dx
integralinin eşitini bulunuz.
– 4x – 3
ESEN YAYINLARI
–
x2
342
İntegral
a2 – x2 ,
İçinde
x 2 – a 2 veya
a2 + x2
den
başka irrasyonel ifade bulundurmayan integraller
İçinde
a 2 – x 2 den başka irrasyonel terim bulun-
durmayan integrallerde x = a sint veya x = a cost
dönüşümü yapılır.
ÖRNEK 90
#
1– x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
x2 – a2
den başka irrasyonel ifade
a
bulundurmayan integrallerde x = a sec t =
cos t
dönüşümü yapılır.
ESEN YAYINLARI
İçinde
ÖRNEK 92
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x x2 – 1
Çözüm
ÖRNEK 91
#
x dx
integralinin eşitini bulunuz.
4 – x2
Çözüm
343
İntegral
ÖRNEK 93
#
İçinde
x2 – 4
dx integralinin eşitini bulunuz.
x
a2 + x2
den başka irrasyonel ifade
bulunmayan integrallerde x = a tan t dönüşümü
yapılır.
Çözüm
ÖRNEK 94
#
x2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
344
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x2 + 1
İntegral
İçinde
m
İçinde
ax + b ve
m
ax + b ve
n
n
ax + b bulunan integraller
ax + b bulunan integralleri
çözerken OKEK(m, n) = t olmak üzere
(ax + b) = ut dönüşümü yapılır.
ÖRNEK 95
# (x – 1)
x + 1 dx integralinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 97
Çözüm
#
2
x + 1 = u ⇒ dx = 2u du ve
x – 3 x+1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x+1
Çözüm
ESEN YAYINLARI
x + 1 = u2 ⇒ x = u2 – 1 olur.
ÖRNEK 96
#
x dx
integralinin eşitini bulunuz.
2x – 1
Çözüm
345
ALIŞTIRMALAR – 3
#
9 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
5.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x x2 – 1
2.
#
25 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
6.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
(4 + x 2) 4 + x 2
3.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
4 – x2
7.
#x
4.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x x 2 – 16
8.
#
ESEN YAYINLARI
1.
x2
346
x + 1 dx integralinin eşitini bulunuz.
x+ x –1
dx integralinin eşitini bulunuz.
3
x –1
İntegral
Trigonometrik İfadelerin İntegrali
# sin m x. cos n x dx
çift ise
sinx = u
ÖRNEK 101
# sin 5 x dx
integralinde m tek, n tek veya
alınarak değişken değiştirme
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
yöntemi ile çözüm yapılır.
cosx = u ⇒ – sinx dx = du ⇒ sinx dx = – du olur.
ÖRNEK 98
# sin 7 x. cos x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
sinx = u ⇒ cosx dx = du olur.
ÖRNEK 99
# cos 4 x. sin 3 x dx
integralinin eşitini bulunuz.
cosx = u ⇒ – sinx dx = du ⇒ sinx dx = – du olur.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
# sin m x. cos n x dx
integralinde m ve n çift ise,
cos2x = 2cos2x – 1 ve cos2x = 1 – 2sin2x
formüllerinden elde edilen
cos2x =
1 + cos 2x
2
sin2x =
1 – cos 2x
2
eşitlikleri kullanılarak çözüm yapılır.
ÖRNEK 100
# cos 3 x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
sinx = u ⇒ cosx dx = du
ÖRNEK 102
# sin 2 x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
347
İntegral
ÖRNEK 103
ÖRNEK 105
# sin 2 2x. cos 2 2x dx
# sin 5x. cos 3x dx
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 106
# sin x. sin 9x dx
ÖRNEK 104
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
# cos 4 x dx
Çözüm
integralinin eşitini bulunuz.
sinx.sin9x =
1
(cos8x – cos10x)
2
ÖRNEK 107
Bazı trigonometrik terim içeren integralleri aşağıda ifade edilmiş olan ters trigonometri formülleri
yardımıyla çözeriz.
sinx.cosy =
1
[sin(x + y) + sin(x – y) ]
2
sinx.siny =
1
[cos(x – y) – cos(x + y) ]
2
cosx.cosy =
348
1
[cos(x + y) + cos(x – y) ]
2
# cos 3x. cos x dx
Çözüm
integralinin eşitini bulunuz.
İntegral
ÖRNEK 108
ÖRNEK 111
# sin x. cos x. cos 5x dx
# tan x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 112
# tan 2x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 109
# sin x. cos (cos x) dx
integralinin eşitini bulunuz.
cosx = u ⇒ – sinx dx = du ⇒ sinx dx = – du
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 113
# cot x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 110
#
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 – cos x
sinx = u ⇒ cosx dx = du olup
Çözüm
ÖRNEK 114
# cot 3x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
# tan x dx = – ln|cosx| + c = ln
1
+c
cos x
= ln|secx| + c
# cot x dx = ln|sinx| + c
349
İntegral
ÖRNEK 115
# tan 3 x dx
ÖRNEK 118
integralinin eşitini bulunuz.
# cosec 2x dx
Çözüm
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
# sec 4 x. tan 6 x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 116
ÖRNEK 119
#
sin 5 x
dx integralinin eşitini bulunuz.
cos 3 x
Çözüm
ÖRNEK 117
# sec x dx
Çözüm
350
integralinin eşitini bulunuz.
ALIŞTIRMALAR – 4
# cos x. sin 3 x dx
integralinin eşiti nedir?
6.
# sin 4 x. cos 3 x dx
integralinin eşiti nedir?
2.
# cos 4 x.sin x dx
integralinin eşiti nedir?
7.
# sin 3 x. cos 6 x dx
integralinin eşiti nedir?
3.
# sin x.sin 2x dx
integralinin eşiti nedir?
8.
# sin 2 x. cos 2 x dx
integralinin eşiti nedir?
4.
# sin 3 x dx
integralinin eşiti nedir?
9.
# cos 2 x dx
5.
# cos 5 x dx
integralinin eşiti nedir?
10.
# sin 2 x. cos 4 x dx
ESEN YAYINLARI
1.
integralinin eşiti nedir?
integralinin eşiti nedir?
351
İntegral
11.
# cos 2x. cos 4x dx
12.
# sin 2x. sin 3x dx
integralinin eşiti nedir?
13.
# sin 2x. cos 4x dx
integralinin eşiti nedir?
16.
# cos x. sin (sin x) dx
17.
#
18.
# cot 3 x dx
19.
# cosec x dx
20.
#
integralinin eşitini bulunuz.
1
dx integralinin eşitini bulunuz.
1 – sin x
integralinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
integralinin eşiti nedir?
14.
# cos 3x. (2 cos 2 2x – 1) dx
integralinin eşiti
integralinin eşitini bulunuz.
nedir?
15.
# sin 32x cos 32x sin 5x dx
352
integralinin eşiti nedir?
sin 7 x
dx integralinin eşitini bulunuz.
cos 4 x
İntegral
Kısmi İntegral Yöntemi
ÖRNEK 122
d(u.v) = v.du + u.dv eşitliğinin her iki tarafında integ-
# ln x dx
ral alırsak
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
# d (u.v) = # v.du + # u.dv ⇒ u.v = # v.du + # u.dv
lnx = u ⇒
elde ederiz.
1
dx = du
x
# u.dv = u.v – # v.du
ÖRNEK 120
# x.e x dx
integralinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 123
Çözüm
# x 2 ln x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 121
# x. cos x dx
1
dx = du
x
ESEN YAYINLARI
lnx = u ⇒
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
x = u ⇒ dx = du
ÖRNEK 124
# arctan x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Kısmi integral yöntemi ile soru çözerken hangi
fonksiyona u diyeceğimiz önemlidir.
LAPTÜ kelimesinde bulunan harflerin dizilişindeki
sıra dikkate alınabilir.
LAPTÜ
Üsteller
Logaritmikler
arc’li
ifadeler
Trigonometrikler
Polinomlar
353
İntegral
Pratik Yol
ÖRNEK 125
#e
x
Bazı kısmi integral sorularını aşağıdaki örnekte
dx integralinin eşitini bulunuz.
görüldüğü gibi pratik yoldan çözebiliriz.
Çözüm
Pratik yolu kullanabilmemiz için,
® İntegrali alınacak ifadenin içinde, logaritmik veya ters trigonometrik çarpan bulunmamalıdır.
® Çarpanlardan biri polinom fonksiyon olmalıdır.
# x 2 e x dx
ÖRNEK 126
# e x . sin x dx
Üst üste
türev al
Üst üste
integral al
+
x2
ex
–
2x
ex
+
2
ex
–
0
ex
# x 2 e x dx = x2.ex – 2x.ex + 2ex + c
integralinin eşitini bulunuz.
sinx = u ⇒ cosx dx = du
x
e dx = dv ⇒
Ι=
#
e x dx
=
# dv ⇒ e
# e x . sin x dx = u.v – # v.du
x
=v
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 127
# x. sin x dx
integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 128
# (x 3 + x 2) .e x dx
Çözüm
354
integralinin eşitini bulunuz.
ALIŞTIRMALAR – 5
1.
# x.e 2x dx
2.
# x 3 . ln (2x) dx
3.
# 9x e 3x dx
4.
#
5.
# x 5 ln x dx
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
# arccos 2x dx
integralinin eşitini bulunuz.
7.
# x. sin 2 2x dx
integralinin eşitini bulunuz.
8.
# 2e x cos x dx
integralinin eşitini bulunuz.
9.
# x 2 sin x dx
10.
# x. sin 3x dx
ESEN YAYINLARI
integralinin eşitini bulunuz.
6.
x2
dx integralinin eşitini bulunuz.
ex
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
355
İntegral
11.
12.
13.
# 4x. cos 2x dx
# sin
integralinin eşitini bulunuz.
x dx integralinin eşitini bulunuz.
# e x + ln x2 dx
integralinin eşitini bulunuz.
16.
# (x 2 – 2x + 3) e x dx
17.
# (x – 1) 2 sin x dx
18.
# x 2 e x dx – # xe x dx + # e x dx
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşitini bulunuz.
integralinin eşiti-
ESEN YAYINLARI
ni bulunuz.
14.
# (3x + 2) cos b 4x l dx
integralinin eşitini bulu-
19.
nuz.
15.
#x
356
#
x3
dx +
ex
# xe – x dx + # e – x dx
integralinin eşi-
tini bulunuz.
x + 1 dx integralinin eşitini bulunuz.
20.
# x sin xdx – # sin x dx
nuz.
integralinin eşitini bulu-
İntegral
Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi
ÖRNEK 130
Çarpanlara ayırma konusunda öğrendiğiniz basit
#
kesirlere ayırma yöntemlerini kullanarak, kesirli biçimde ifade edilmiş bazı integral sorularını çözebiliriz.
5x + 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x2 – 1
Çözüm
ÖRNEK 129
x–3
ifadesini basit kesirlerine ayırarak
(x – 1) (x – 2)
#
x–3
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 1) (x – 2)
Çözüm
Payın derecesi paydanın derecesinden büyük
ESEN YAYINLARI
veya eşit ise önce polinom bölmesi yapılır.
ÖRNEK 131
#
x3 – x + 2
integralinin eşitini bulunuz.
x2 – 1
Çözüm
357
İntegral
ÖRNEK 132
#
ÖRNEK 134
#
x2 – x + 2
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 1) (x 2 + 1)
Çözüm
#
3x 2 + x + 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x (x 2 + 1)
Çözüm
358
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 133
x+1
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 1) 2
ÖRNEK 135
#
x 2 + 4x – 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 1) (x + 1) 2
Çözüm
İntegral
ÖRNEK 136
#
ÖRNEK 138
x2 – x + 4
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 2) 3
#
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 137
#
e x dx
integralinin eşitini bulunuz.
e 2x – 3e x + 2
ÖRNEK 139
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x x –x
Çözüm
3 cos x dx
integralinin eşitini bulunuz.
sin 2 x – sin x – 2
Çözüm
359
ALIŞTIRMALAR – 6
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x2 – 1
6.
#
30dx
integralinin eşitini bulunuz.
x (x + 2) (x – 3)
2.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x2 – 4
7.
#
x3 – x + 2
dx integralinin eşitini bulunuz.
x2 – 1
3.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x3 – x
8.
#
x dx
integralinin eşitini bulunuz.
x 2 – 3x – 4
4.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x 2 – 3x + 2
9.
#
cos x dx
integralinin eşitini bulunuz.
sin 2 x – sin x – 2
5.
#
10.
#
e x dx
integralinin eşitini bulunuz.
e 3x – e x
ESEN YAYINLARI
1.
dx
x2 + x
360
integralinin eşitini bulunuz.
İntegral
11.
#
12.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x3 + x
dx
integralinin eşitini bulunuz.
– ex
e 2x
#
x3 + x2 + x + 3
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x 2 + 1) (x 2 + 3)
14.
#
dx
integralinin eşitini bulunuz.
x 2 (x 2 + 1)
15.
#
x3 + x2 + x + 3
dx integralinin eşiti nedir?
x 4 + 3x 2 + 2
#
x+1
dx integralinin eşiti nedir?
(x – 1) 2
17.
#
x2 – x + 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
(x – 1) 3
18.
#
x 2 + 4x + 1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x 3 + 2x 2 + x
19.
#
x 4 – x 3 – x –1
dx integralinin eşitini bulunuz.
x3 – x2
20.
#
3x + 5
dx integralinin eşitini bulunuz.
x3 – x2 – x + 1
ESEN YAYINLARI
13.
16.
361
İntegral
BELİRLİ İNTEGRAL
Riemann Toplamı
y
f(x) = x2
y = x2 eğrisi x ekseni ve x = 3 doğrusuyla sınırlanan
alanının yaklaşık değerini dikdörtgenlere ayırarak
hesaplayalım.
0
y
0
y
f(x) = x2
1
2
3
x
3
x
0
Şekil - I
f(x) = x2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
x
Şekil - II
Şekil - I de oluşan üç dikdörtgenin alanları toplamı = (1 – 0).f(0) + (2 – 1).f(1) + (3 – 2).f(2)
= 1[f(0) + f(1) + f(2) ] = 1(02 + 12 + 22) = 5 olur.
Şekil - II de oluşan altı dikdörtgenin alanları toplamı =
n (n + 1) (2n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
6
2
2
2
=
1
1
2
5
; f (0) + f c m + f c m + … + f c m E
2
2
2
2
=
1 2 12 22
52
+
+…+
;0 +
E
2
4
4
4
=
1 5.6.11
1 2
55
[0 + 12 + 22 + ... + 52 ] = .
=
= 6,874
8
6
8
8
2
olduğunu hatırlayınız.
1
1
1
1
2
1
5
.f (0) + .f c m + .f c m + … + .f c m
2
2
2
2
2
2
2
[0, 3 ] aralığını n parçaya ayırdığımızda oluşan alt dikdörtgenlerin alanları toplamı:
3 2 .(n – 1) 2
3 (n – 1) 2
3 3 2 3 2 .2 2
3 > 3.0 2
3.1 2
3.2 2
+…+
G
m H= = 2+
m +c
m +c
m + … +c
c
2
n n
n
n
n
n
n
n
n2
=
27 2
[1 + 22 + ... + (n – 1)2 ]
n3
=
9 (n – 1) (2n – 1)
27 (n – 1) n (2n – 1)
E=
;
6
n3
2n 2
olur.
Bu ifadede parça sayısı olan n yerine değerler yazarak oluşan alt dikdörtgenlerin alanları toplamını bulabiliriz.
Bazı n değerleri için bulunan sonuçlar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. İnceleyiniz.
Parça say›s›: n
Toplam alan:
9(n − 1)(2n − 1)
2n 2
3
6
10
12
20
100
1000
5
6,874
7,695
7,90625
8,33628
8,86547
8,9865045
Tabloda görüldüğü gibi n çok büyüdükçe toplam alan 9 a yaklaşmaktadır.
362
İntegral
y
y
f(x) = x2
0
1
2
3
f(x) = x2
x
0
Şekil - I
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
x
6
2
Şekil - II
Şekil - I deki üç dikdörtgenin alanları toplamı:
3
3
3
3
3
3
3
f (1) + f (2) + f (3) = .12 + .22 + .32 = (12 + 22 + 32) = 14
3
3
3
3
3
3
3
Şekil - II de oluşan altı dikdörtgenin alanları toplamı:
3
1
3
2
3
6
1 1 2
2 2
6 2
3
1
2
6
.f c m + .f c m + … + .f c m = ; f c m + f c m + … + f c m E = = c m + c m + … + c m G
6
2
6
2
6
2
2 2
2
2
6
2
2
2
=
1 12 + 22 + … + 62
91
= 11,375
;
E=
2
4
8
[0, 3 ] aralığını n parçaya ayırdığımızda oluşan üst dikdörtgenlerin alanları toplamı:
27 2
3 3.1 2
3.2 2
3.n 2
3 3 2 3 3 .2 2
3 2 .n 2
2
2
+…+
=c
G = 3 [1 + 2 + ... + n ]
m +c
m + … +c
m G= = 2+
2
n
n
n
n
n n
n
n
n2
=
27 n (n + 1) (2n + 1)
;
E
6
n3
=
9 (n + 1) (2n + 1)
2n 2
olur.
Bu ifadede n yerine değerler yazarak oluşan üst dikdörtgenlerin alanları toplamını bulabiliriz.
Parça say›s›: n
Toplam alan:
9(n + 1)(2n + 1)
2n 2
3
6
10
12
20
100
1000
14
11,375
10,395
10,15625
9,68625
9,13545
9,0135045
Tabloda da görüldüğü gibi n çok büyüdükçe toplam alan 9 a yaklaşmaktadır.
y = x2 eğrisi, x ekseni ve x = 3 doğrusunun sınırladığı alanın yaklaşık değerini alt ve üst dikdörtgenler oluşturarak bulduk. Bu sayısal işlemleri aşağıdaki gibi genelleştirebiliriz.
[0, 3 ] kapalı aralığı 0 = x0 < x1 < x2 ... < xn–1 < xn = 3 olmak üzere,
∀k ∈ {1, 2, 3, ... n } için [xk – 1, xk ] şeklinde n tane kapalı alt aralığa bölünmüştür.
∆xk = xk – xk – 1 , f(x) = x2 ve tk ∈ [xk – 1, xk ] için oluşan alanlar toplamı
Bu toplama Riemann toplamı denir. n → ∞ için ∆xk → 0 olacağından
denir ve lim
n
/
n"3 k=1
3
f ( t k) Tx k =
#
n
/
k=1
n
/
k=1
f (tk)∆xk biçiminde yazılabilir.
f (tk)∆xk toplamına belirli integral
x 2 dx biçiminde gösterilir.
0
363
İntegral
İntegral Hesabının Temel Teoremi
ÖRNEK 141
2
#
f, [a, b ] aralığında tanımlı, integrallenebilen bir
1
fonksiyon olmak üzere,
b
#
a.f (x) dx = C ise
1
= F(b) – F(a) dır.
a
a
2
4
f (x) dx = B ,
Çözüm
b
f (x)dx = F (x)
#
a nın A, B, C cinsinden değerini bulunuz.
x ∈ (a, b) için F′(x) = f(x) ise
#
4
f (x) dx = A ,
ÖRNEK 140
Aşağıda bazı belirli integrallerin sonucu bulunmuştur.
İnceleyiniz.
3
®
#
x 2 dx =
0
x
3
ÖRNEK 142
a
r
2
x
sin dx = –
2
#
0
6
®
#
( 4x – 1) dx = 9 ise a ∈ R+ kaçtır?
2
ESEN YAYINLARI
®
#
dx = x
Çözüm
3
Belirli İntegralin Özellikleri
a
®
#
f (x) dx = 0
a
b
®
#
a
#
f (x) dx = –
a
f (x) dx
ÖRNEK 143
b
r
#
® a < b < c olmak üzere,
b
c
#
f (x) dx =
a
#
#
f (x) dx
Çözüm
b
#
f (x) dx
a
b
#
6 f (x) ! g (x) @ dx =
a
364
b
#
a
b
f (x) dx !
sin b 2x –
0
b
k.f (x) dx = k
a
®
#
f (x) dx +
a
b
®
c
#
a
g (x) dx
r
l dx integralinin eşitini bulunuz.
6
İntegral
ÖRNEK 144
2
#
1
ÖRNEK 147
10
d (x 3)
integralinin eşitini bulunuz.
x3 + 1
#
2
Çözüm
8
11
f (x) dx +
#
#
f (x) dx +
8
f (x) dx
10
ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 145
ln 3
#
0
e x dx
integralinin eşitini bulunuz.
1 + e 2x
ESEN YAYINLARI
Çözüm
f(x) tek fonksiyon ise
a
#
f (x) dx = 0 dır.
–a
f(x) çift fonksiyon ise
a
ÖRNEK 146
#
a
f (x)dx = 2
–a
#
f (x)dx tir.
0
a ve b birer tam sayı olmak üzere
b
#
( 2x + 1) dx = 4 ise b kaçtır?
a
Çözüm
ÖRNEK 148
20
#
(x 3 + sin x) dx integralinin eşitini bulunuz.
– 20
Çözüm
365
İntegral
ÖRNEK 149
ÖRNEK 152
3
f′(x) fonksiyonu x ∈ (–2, 2) için çift fonksiyondur.
#
2
f(0) = 4 ve f(2) = 6 ise
#
0
fl (x) dx kaçtır?
–2
1
dx integralinde x = 3 sinu dönüşümü
9 – x2
yapılırsa hangi integral elde edilir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 150
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine A(4, 3) noktasından
çizilen teğetin eğimi 2 dir.
4
#
x.fll (x) dx = 8 ise f(0) kaçtır?
0
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 153
3
#
4x – x 2 dx integralinde x – 2 = 2 cost dönüşü-
2
mü yapılırsa hangi integral elde edilir?
Çözüm
ÖRNEK 151
ln 3
#
0
e 2x – e x
dx integralinde ex = u dönüşümü yapı1 + e 2x
lırsa hangi integral elde edilir?
Çözüm
366
İntegral
ÖRNEK 154
4
#
ÖRNEK 156
1
f (5 – x)dx = a ise
1
#
2
f (x)dx integralinin eşitini
#
4
6 1 + f (x) dx @ = a ise
0
bulunuz.
0
#
f (x) dx in a cinsinden
2
değerini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 155
3
#
ÖRNEK 157
f(x) = *
5
f (2x – 1) dx = b ise
–1
#
–3
f (x) dx integralinin eşitini
3x – 1 , x > 1
2
olmak üzere
#
f (x) dx integralinin eşitini bulunuz.
0
bulunuz.
Çözüm
x2 + 1 , x ≤ 1
Çözüm
367
İntegral
ÖRNEK 158
ÖRNEK 162
3
#
f(x) =
d (x3 – 1) ifadesinin eşitini bulunuz.
x+1
olmak üzere,
x
4
1
#
Çözüm
d (f –1(x)) ifadesinin eşitini bulunuz.
2
Çözüm
ÖRNEK 159
r
3
#
d (cosx) ifadesinin eşitini bulunuz.
0
ÖRNEK 160
2
#
1
d (x 3 + 1)
ifadesinin eşitini bulunuz.
x3 + 1
Çözüm
ÖRNEK 161
3
#
x.d (x2 – 1) ifadesinin eşitini bulunuz.
1
Çözüm
368
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 163
r
2
#
1 + cos x dx integralinin eşitini bulunuz.
0
Çözüm
İntegral
MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İNTEGRALİ
ÖRNEK 164
b
3r
2
#
#
1 + sin 2x dx integralinin eşitini bulunuz.
f (x) dx integralinin eşiti bulunurken:
a
r
Çözüm
®
f(x) in (a, b) aralığında işareti incelenir.
®
Bulunan aralıklara göre, integral uygun parçalara
ayrılır.
Her parçanın belirli integrali bulunur.
®
ÖRNEK 166
2
#
x dx integralinin eşitini bulunuz.
–1
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 165
r
6
#
sin 4 x dx +
0
Çözüm
0
#
cos 4 x dx integralinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 167
r
6
3
#
2 |x – 2| dx integralinin eşitini bulunuz.
0
Çözüm
369
İntegral
ÖRNEK 168
ÖRNEK 171
2
#
1
#
x + 1 dx integralinin eşitini bulunuz.
4x 2 – 4x + 1 dx integralinin eşitini bulunuz.
0
0
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 169
2
#
x – 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
0
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 170
ÖRNEK 172
3
#
( x + |x – 1|) dx integralinin eşitini bulunuz.
–2
Çözüm
2
#
x 2 – 2x dx integralinin eşitini bulunuz.
–1
Çözüm
370
İntegral
ÖRNEK 173
ÖRNEK 175
3r
2
#
#
ln 2
sin x dx integralinin eşitini bulunuz.
e x dx integralinin eşitini bulunuz.
1
0
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 176
e
#
ln x dx integralinin eşitini bulunuz.
1
2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Pratik Yol
r
2
0
#
... =
#
sin x dx =
r
sin x dx =
0
r
–
2
#
sin x dx = 1
r
2
Bu kural |cosx| için de geçerlidir.
ÖRNEK 174
Aşağıda bazı integrallerin eşiti bulunmuştur.
İnceleyiniz.
Belirli İntegralin Türevi
d
dx
v (x)
#
f (t)dt = v′(x).f(v(x)) – u′(x).f(u(x))
u (x)
r
2
®
#
cos x dx = 1
ÖRNEK 177
0
2r
#
®
sin x dx = 6
–r
2r
®
#
sin x dx = 4
d
dx
x3
#
cos t dt ifadesinin eşitini bulunuz.
x2
Çözüm
0
2r
®
#
cos x dx = 2
r
371
İntegral
ÖRNEK 178
d
dx
ln x
#
e t dt ifadesinin eşitini bulunuz.
1
ÖRNEK 181
#
f(x) =
x
( t2 + 1) dt ⇒ f′(1) kaçtır?
2
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 179
d
dx
5
#
arctan t dt ifadesinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 182
2
x2 + 1
#
f(x) =
Çözüm
3
t+2
dt fonksiyonunun x = 1 noktasınt2 + 1
daki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 180
tan x
#
f(x) =
arctan t dt ise f′(x) nedir?
2
Çözüm
ETKİNLİK
f(t); bir şeker fabrikasının işletmeye açılışından t ay sonra üretilen
(ton olarak) şeker miktarını göstermektedir.
İlk 4 aylık üretim bilgilerinden üretim hızının f′(t) = 32 + 6t olduğu
belirlenmiştir.
Üretimin f′(t) hızıyla devam ettiği düşünülerek sonraki 4 ay boyunca
üreteceği şeker miktarını bulunuz.
Çözüm
372
ALIŞTIRMALAR – 7
2.
Aşağıdaki belirli integrallerin eşitini bulunuz.
Aşağıdaki belirli integrallerin eşitini bulunuz.
4
a.
#
1
dx
a.
2
3
#
b.
1
x dx
b.
–1
#
0
cos x dx
0
1
d.
#
(2x – 1) 2 dx
0
#
0
2
c.
2x dx
x2 + 1
#
0
2
#
d.
2 x dx
–1
2
2
e.
x2 – 1
dx
x2 + 1
#
r
c.
x
dx
x+1
#
0
ESEN YAYINLARI
1.
x dx
e.
#
e 2x dx
0
373
İntegral
4.
Aşağıdaki belirli integrallerin eşitini bulunuz.
2
a.
#
Aşağıdaki belirli integrallerin eşitini bulunuz.
3
(x 3 + x 5) dx
3
2r
#
b.
(x + sin x) dx
3
#
–3
2
d.
#
x2
dx
3
x +x
(5x 4 + 1) dx
3
–3r
374
(x. x + x 2) dx
–1
2
d.
#
x – 1 x + 1 dx
0
3r
#
( x + x – 1 ) dx
#
c.
–2
e.
#
0
– 2r
c.
x dx
–1
–2
b.
#
a.
ESEN YAYINLARI
3.
(sin x + x + cos x) dx
–1
e.
#
–2
x 2 + 2x + 1 dx
İntegral
6.
Aşağıdaki belirli integrallerin eşitini bulunuz.
Aşağıdaki belirli integrallerin eşitini bulunuz.
2
a.
#
r
2x + 1 dx
a.
#
1 – cos 2x dx
0
0
0
#
b.
r
2
4x 2 – 4x + 1 dx
b.
#
1 + sin 2x dx
0
–2
r
#
c.
cos x dx
r
2
–
ESEN YAYINLARI
5.
r
3
c.
#
sin 2 x dx +
0
0
#
cos 2 x dx
r
3
2r
#
d.
sin x dx
r
2
r
2
d.
#
d (sin x)
0
r
2
e.
#
0
sin x – cos x dx
2
e.
#
x 2 d (x – 1)
1
375
İntegral
7.
y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre A(2, –1)
12.
noktasından çizilen teğetin eğimi 3 tür.
2
#
d
dx
3
e x + sin x
dx ifadesinin eşiti nedir?
cos x + e x
#
2
x .f′′(x) dx = 4 ise f(0) kaçtır?
0
4
8.
13.
dx
integralinde x = 4 cost dönüşümü
16 – x 2
#
0
d
dx
x
#
e t + ln t dt ifadesinin eşiti nedir?
1
yapılırsa hangi integral elde edilir?
x2
#
9.
ln 2
ex – 1
dx integralinde ex = t dönüşümü
e 2x + e x
yapılırsa hangi integral elde edilir?
5
10.
#
2
#
ln t dt ise f′(2) kaçtır?
x+2
x2
8
f (2x – 2)dx = 6 ise
#
14. f(x) =
ESEN YAYINLARI
ln 3
f (x) dx
2
#
15. f(x) =
nuz.
sin t dt ise f′′(x) fonksiyonunu bulu-
1
integralinin eşiti nedir?
3
11.
#
1
2x
1
[ 1 – f(x) ]dx = A ise
#
f (x) dx
3
integralinin A cinsinden değeri nedir?
376
16. f(x) =
#
2
t –1
dt fonksiyonunun x = 2 noktat+3
sındaki teğetinin eğimi kaçtır?
İntegral
BELİRLİ İNTEGRAL YARDIMIYLA ALAN HESABI
®
y
y = x2 – 6x
y
y = f(x)
A1
a
b
c
A2
3
x
0
x
6 7
Yukarıdaki grafikte
x ∈ [a, b ] için f(x) ≥ 0
x ∈ [b, c ] için f(x) ≤ 0 dır.
Taralı bölgelerin alanları A1 ve A2 olmak üzere,
b
A1 =
#
c
f (x) dx ve
a
A2 = –
#
®
f (x) dx tir.
y
b
y = f(x)
Bu durumu aşağıdaki gibi birleştirebiliriz.
–3
c
#
1
f (x) dx
4
x
a
ÖRNEK 183
Aşağıda bazı bölgeler ve bu bölgelerin alanlarına
karşılık gelen integraller ifade edilmiştir. İnceleyiniz.
y
®
ESEN YAYINLARI
A1 + A2 =
y=x+1
ÖRNEK 184
y
–1
0
x
1
–4
y = f(x)
S1
1
S2
3
x
Şekilde ifade edilen taralı alanlar için
y
®
S1 = 10 br2, S2 = 3 br2 ise
y = x2 – 1
3
#
f (x)dx integralinin eşiti kaçtır?
–4
0
1
x
Çözüm
–1
377
İntegral
ÖRNEK 185
ÖRNEK 187
y
y
S3
S1
–3
–1
1
S2
x
4
0
y = f(x)
x
1
y = 1 – x2
2
2
Şekilde S1 = 2 br , S2 = 3 br
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
4
#
–3
f (x) dx = 4 br2 ise S3 kaç br2 dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 186
y
1 B
C
ÖRNEK 188
y
A
D
–1
O
3
4
6
E
y = x3 + 1
x
F
–2
y = f(x)
–2
–1
0
6
Şekilde verilenlere göre
#
f (x)dx kaçtır?
–1
Çözüm
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
378
x
İntegral
ÖRNEK 189
ÖRNEK 191
y
y
y = x2 + 2x
–1
0
y = lnx
x
2
0
1
x
3
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
Şekildeki taralı alanı bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 190
ÖRNEK 192
y
y
y = ex
3π
2
0
0
3
x
π
y = sinx
x
Şekildeki taralı alanı bulunuz.
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
Çözüm
379
İntegral
ÖRNEK 193
ÖRNEK 196
y
y = x2
f(x) = x2 – 1 parabolü, x = 0 ve x = 3 doğruları ile x
ekseninin sınırladığı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
–2
0
x
2
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
ÖRNEK 194
y
y=
1
x
ÖRNEK 197
f(x) = x3 – 1 eğrisi, x = 0 ve x = 2 doğruları ile x
ekseninin sınırladığı bölgenin alanını bulunuz.
1
e
x
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
0
ÖRNEK 195
f(x) = x3 eğrisi, x = –1 ve x = 2 doğruları ve x ekseninin sınırladığı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
İstenen alan A olsun.
ÖRNEK 198
f(x) = x2 – 2x parabolü, x = 1 ve x = 3 doğruları ile
x ekseninin sınırladığı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
380
İntegral
ÖRNEK 201
y
y=
x = f(y)
b
4 – x eğrisi ile y ekseni arasında kalan bölge-
nin alanını bulunuz.
Çözüm
a
x
0
x = f(y) eğrisi y = a ve y = b doğruları ile y ekseninin sınırladığı bölgenin alanı
b
T.A =
#
a
b
f (y) dy =
#
x dy dir.
a
ÖRNEK 199
x = y2 + 1 eğrisi, y = 0 ve y = 1 doğruları ile y ekseESEN YAYINLARI
ninin sınırladığı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 202
y=
1
eğrisi, y = 1 ve y = 2 doğruları ile y ekseninin
x
oluşturduğu bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 200
y = (x – 4)2 eğrisi y = 0 ve y = 1 doğruları ile y
y
ÖRNEK 203
ekseninin sınırladığı bölgenin alanını bulunuz.
1
Çözüm
0
y = vx
x
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
381
İntegral
ÖRNEK 204
ÖRNEK 206
y
y
y = x3
1
y = lnx
2
0
x
x
0
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
y = x3 ⇒ x =
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
3
y olur.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 207
ÖRNEK 205
y
y = ex
2
1
0
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Çözüm
382
x
y = x2 – 1 parabolü ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
İntegral
İKİ EĞRİ ARASINDAKİ ALAN
ÖRNEK 208
y = 4 – x2 parabolü ile x ekseni arasında kalan böly
genin alanını bulunuz.
Çözüm
y = g(x)
y = f(x)
0
a
x
b
[a, b ] aralığında f(x) ≥ g(x) olmak üzere,
b
T.A =
#
(f (x) – g (x)) dx tir.
a
ÖRNEK 211
ÖRNEK 209
y = x – x2 parabolü ile x ekseni arasında kalan bölÇözüm
y
ESEN YAYINLARI
genin alanını bulunuz.
f(x) = x2
g(x) = x
0
x
Şekildeki taralı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 210
x = 1 – y2 eğrisi ile y ekseni arasında kalan bölgenin
alanını bulunuz.
Çözüm
383
İntegral
ÖRNEK 212
ÖRNEK 214
y = x2 – 4 ile y = 4 – x2 parabolleri arasında kalan
bölgenin alanını bulunuz.
bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 213
y = x3 eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm
384
ESEN YAYINLARI
y = x2 – 1 eğrisi ile y = x + 1 doğrusu arasında kalan
ÖRNEK 215
#
r
r 2 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
–r
Çözüm
İntegral
ÖRNEK 216
2
#
ÖRNEK 219
2
#
4 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
16 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
–2
0
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 217
4
#
16 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
0
ÖRNEK 220
#
3
x 9 – x 4 dx integralinin eşitini bulunuz.
0
Çözüm
ÖRNEK 218
#
2
2 – x 2 dx integralinin eşitini bulunuz.
0
Çözüm
385
İntegral
ÖRNEK 221
y
y = x2
Şekilde ifade edilen
taralı alanlar için
S2 = 63.S1 ise
a kaçtır?
S1
0
1
S2
a
x
Çözüm
ÖRNEK 224
ÖRNEK 222
1
y
#
y = emx
2 x dx +
0
Şekildeki taralı alan
1
x
3
br2 ise m kaçtır?
m
Çözüm
ÖRNEK 223
2
2
#
^ 1– x 2 – x h dx integralinin eşitini bulunuz.
0
Çözüm
386
ESEN YAYINLARI
0
Çözüm
2
#
1
log 2 x dx ifadesinin eşitini bulunuz.
İntegral
ÖRNEK 225
Çözüm
y
f(b)
f(x)
f(a)
0
a
b
x
Şekilde grafiği verilen bire bir ve örten
f:[a, b ] → [f(a), f(b) ] fonksiyonunun tersi f –1 dir.
f (b)
b
#
f (x) dx +
a
#
f – 1 (x) dx
f (a)
ifadesinin eşitini bulunuz.
ETKİNLİK
Yandaki resimde bir gölün kesiti verilmiştir. Bu kesitin
bir parabol olduğu biliniyorsa kesitin alanını a ve h cinsinden bulunuz.
a
h
Çözüm
387
ALIŞTIRMALAR – 8
1.
4.
y
Aşağıdaki taralı alanlara karşılık gelen belirli
integralleri yazınız.
y = f(x)
S1
–3
1
a.
4
S2
y
x
y = x2 – 1
0
–1
Grafikte ifade edilen S1 ve S2 alanları için
4
#
S1 = 10 br2, S2 = 6 br2 ise
–1
f (x) dx kaçtır?
–3
b.
2.
x
1
y
y
–5
S1
S3
–1
S2
1
y=
x
4
–1
Grafikte ifade edilen S1, S2 ve S3 alanları için
4
S1 = 5 br2, S2 = 6 br2,
kaç br2 dir?
#
–5
f (x) dx = 3 ise S3
ESEN YAYINLARI
y = f(x)
0
c.
1
2
x
x
2
y
y = x2
4
y=4
x
0
3.
y
y = f(x)
S1
b
a
S2
c
x
Grafikte ifade edilen S1 ve S2 alanları için
c
#
y
d.
x
0
c
f (x) dx = 5,
a
dir?
388
#
a
y = –1
f (x) dx = 9 ise S1 kaç br2
y = –x2
İntegral
6.
Aşağıdaki taralı alanların eşitini bulunuz.
a.
Aşağıdaki taralı alanların eşitini bulunuz.
a.
y
y=x
y
y = x2 – 1
2
0
0
b.
b.
x
x
1
y
y
y= x–1
y = x2
0
0
c.
1
y
c.
0
1–x
0
x
3
d.
d.
y
3
y=x
–1
0
1
x
2
y
y=
y = x3
1
1
x
3
ESEN YAYINLARI
5.
y
x
1
y = lnx
2
x
1
2
0
x
389
İntegral
8.
Aşağıdaki taralı alanların eşitini bulunuz.
y = ex eğrisi, x = 0 ve x = 1 doğruları ile x ekseninin oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2 dir?
a.
y
y = x2
y = 2x
x
0
9.
y = x2 – 4 eğrisi, x = 1 ve x = 3 doğruları ile x
ekseninin sınırladığı bölgenin alanı kaç br2 dir?
b.
y
y=1
x
0
y = 5 – x2
c.
2
1
eğrisi, x =
ve x = 1 doğruları ile x
x
e
ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
10. y =
ESEN YAYINLARI
7.
y
y = x2 – 1
0
–1
1
2
x
11. y = 4x – x2 eğrisi ile x ekseni arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2 dir?
d.
y
y = ex
y = 4e–x
0
390
12. x = 4 – y2 eğrisi ile y ekseni arasında kalan
x
bölgenin alanı kaç br2 dir?
İntegral
13. y = 9 – x2 parabolü ile y = x + 3 doğrusu ara-
18. y = x2 – 1 parabolü ile y = 1 – x2 parabolü
2
arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
sında kalan bölgenin alanı kaç br dir?
– x –1
doğrusu ile y = x2 – 1 eğrisi arasın2
da kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
19. y =
14. y = 2 – x2 eğrisi ile y = –x doğrusu arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
15. y = 4x – x2 ile y = x2 – 2x parabolleri arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
16. y = 4x doğrusu ile y = x3 eğrisi arasında kalan
2
bölgenin alanı kaç br dir?
ESEN YAYINLARI
20. y2 + 4x = 0 eğrisi ile y – 4x = 2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
21. y = x2 – 2x – 6 parabolü ile y = –x2 + 4x + 2
parabolü arasında kalan bölgenin alanı kaç br2
dir?
17. y = x – 2 doğrusu ile y2 = x eğrisi arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
22. y – x2 + 2x = 0 eğrisi ile y – x = 0 doğrusu
arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
391
İntegral
BELİRLİ İNTEGRAL YARDIMIYLA HACİM HESABI
ÖRNEK 227
1
eğrisi, x = 1 ve x = e2 doğruları ile x eksenix
nin sınırladığı bölge x ekseni etrafında 360° döndürü-
y=
y
y = f(x)
lüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz.
Çözüm
0
a
x
b
y = f(x) eğrisi, x ekseni, x = a ve x = b doğrularının sınırladığı kapalı bölge, x ekseni etrafında
360° döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi
b
#
V= r
y 2 dx = r
a
b
#
f 2 (x) dx olur.
a
y = x doğrusu
y
y=x
x = 2 doğrusu
ve x ekseninin
sınırladığı
0
bölge x ekseni
2
x
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 226
etrafında 360°
döndürülüyor.
Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
I. Yol
ÖRNEK 228
y = x2 eğrisi, x = 0 ve x = 2 doğrularının x ekseni
ile sınırladığı bölge x ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz.
Çözüm
392
İntegral
ÖRNEK 229
ÖRNEK 231
x eğrisi, x = 1 ve x = 4 doğruları ile x ekse-
y = ex eğrisi, x = 0 ve x = 2 doğrularıyla sınırlanmış
ninin oluşturduğu bölge x ekseni etrafında 360° dön-
bölge x ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan
y=
dürülüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz.
cismin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 230
r
doğruları ile x ekse2
ninin oluşturduğu bölge x ekseni etrafında 360° döny = sin2x eğrisi, x = 0 ve x =
ÖRNEK 232
y = secx eğrisi, x = 0 ve x =
r
doğruları ile x ek3
seninin oluşturduğu bölge x ekseni etrafında 360°
döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
dürülüyor. Oluşan cismin hacmini bulunuz.
Çözüm
393
İntegral
ÖRNEK 234
y
y =
y = f(x)
2x
eğrisi, y = 0 ve y = 2 doğruları ve y
ekseninin sınırladığı bölge y ekseni etrafında 360°
b
döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
a
0
x
y = f(x) eğrisi, y = a ve y = b doğruları ile y
ekseninin sınırladığı bölge y ekseni etrafında 360°
döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi
b
#
V=r
x 2 dy = r
a
b
#
6 f – 1 (y) @ 2 dy olur.
a
y = x – 1 doğrusu, y = 0 ve y = 2 doğruları ile y
ekseninin oluşturduğu bölge y ekseni etrafında 360°
döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 233
ÖRNEK 235
y = lnx eğrisi, x ekseni ve y = 2 doğrusu arasında
kalan bölge y ekseni etrafında 360° döndürülüyor.
Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
394
İntegral
ÖRNEK 237
y
y = x3 eğrisi ile y = x2 eğrisinin arasında kalan bölge
y = g(x)
x ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin
y = f(x)
hacmini bulunuz.
Çözüm
0
a
b
x
y = f(x) ve y = g(x) eğrilerinin arasında kalan
bölge x ekseni etrafında 360° döndürüldüğünde
oluşan cismin hacmi,
b
V=r
#
6 f 2 (x) – g 2 (x) @ dx tir.
a
ÖRNEK 238
ÖRNEK 236
y = x2 eğrisi, y = 2x doğrusunun arasında kalan
bölge x ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan
cismin hacmi kaç br3 tür?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
y = x2 + 1 eğrisi ile y = 2 doğrusu arasında kalan
bölge x ekseni etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan
cismin hacmini bulunuz.
Çözüm
395
İntegral
ETKİNLİK
a.
b.
h
R
r
Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan dik koninin
1 2
hacminin
rr .h olduğunu gösteriniz.
3
Çözüm
396
Yarıçapı R olan kürenin hacminin
ğunu gösteriniz.
4
rR 3 oldu3
ALIŞTIRMALAR – 9
1.
y = x2 eğrisi, x = 1 ve x = 3 doğruları ile x ek-
5.
y = sinx eğrisi, x = 0 ve x = r doğrularının x
seninin sınırladığı bölge x ekseni etrafında 360°
ekseni ile oluşturduğu bölge x ekseni etrafında
döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3
tür?
2.
y = x3 eğrisi, x = 0 ve x = 1 doğruları ve x
ekseninin oluşturduğu bölge x ekseni etrafında
360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br
6.
3
y = ex eğrisi, x = –1 ve x = 2 doğruları ile x
ekseninin oluşturduğu bölge x ekseni etrafında
tür?
360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmini bulu-
ESEN YAYINLARI
nuz.
3.
x = y2 eğrisi, x = 2 ve x = 4 doğruları ile x ek-
7.
x = y2 eğrisi, y = –2 ve y = 2 doğrularının y
seninin sınırladığı bölge x ekseni etrafında 360°
ekseni ile oluşturdukları bölge y ekseni etrafında
döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3
tür?
4.
y2 = 4x eğrisi, x = 1 ve x = 2 doğrularının x
ekseni ile oluşturduğu bölge x ekseni etrafında
360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3
tür?
8.
y = x2 eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan
bölge x ekseni etrafında 360° döndürülüyor.
Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
397
İntegral
9.
y = x3 eğrisi ile y2 = x eğrisi arasında kalan
13. y = x2 – 2x parabolü, x = 1 ve x = 3 doğruları
bölge y ekseni etrafında 360° döndürülüyor.
ile sınırlanmış bölge x ekseni etrafında 360°
3
döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
Oluşan cismin hacmi kaç br tür?
10. x =
y
eğrisi x = 4 doğrusu ve x ekseninin
14. x.y = 2 eğrisi, x = 2 ve x = 3 doğruları ile x
sınırladığı bölge x ekseni etrafında 360° döndü-
ekseninin sınırladığı bölgenin x ekseni etrafında
3
rülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç br tür?
döndürülmesi ile oluşturulan cismin hacmi kaç
ESEN YAYINLARI
br3 tür?
11. y = x2 eğrisi ile y = 4 doğrusunun sınırladığı
bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi
3
ile oluşan cismin hacmi kaç br tür?
15. y =
4 – x 2 eğrisi ile x ekseni arasında kalan
bölgenin x ekseni etrafında 180° döndürülmesi
ile oluşturulan cismin hacmi kaç br3 tür?
12. y = x2 + 3 eğrisi ile y = 4 doğrusunun sınırla-
16. |y| = 1 – x bağıntısının grafiği ile y ekseni ara-
dığı bölge x ekseni etrafında 360° döndürülüyor.
sında kalan bölgenin y ekseni etrafında 360°
Oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
döndürülmesi ile oluşturulan cismin hacmi kaç
br3 tür?
398
İntegral
İNTEGRALİN FİZİKSEL ANLAMI
t. saniyedeki hız denklemi V(t) olan bir cismin
[t1, t2 ] aralığında aldığı yol
t2
x(t) =
#
V (t) dt dir.
t1
ÖRNEK 239
V0
Yerden x0 yükseklikte bulunan bir cisim V0 ilk hızıyla yukarı doğru düşey olarak atılıyor.
Bu cismin t. saniyedeki hız denklemi
V(t) = V0 – 10t dir.
ESEN YAYINLARI
x0
Cismin atıldıktan 2 saniye sonra yerden yüksekliği
2V0 olduğuna göre
a.
Çıkış süresini bulunuz.
b.
Cismin atıldığı noktadan çıkacağı maksimum
ÖRNEK 240
Bir cismin hızı V(t) =
12
t + 30 m/saniye dir.
5
yükseklik 45 m olduğuna göre cismin ilk hızını
t ∈ [0, 10 ] aralığında alınan yolu bulunuz.
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
399
İntegral
ÖRNEK 241
ÖRNEK 242
Bir bilyenin akışkan bir madde içinde ivmesi a = –3V2
x ekseni boyunca hareket eden 4 kg lık bir cismin
bağıntısı ile değişmektedir. Bilye bu akışkan içine
konumu x = t + 2t3 bağıntısına göre değişmektedir.
3
m/saniyelik ilk hızla girerse kaç saniye sonra hızı
2
ilk hızının yarısına düşer?
Çözüm
®
Herhangi bir t anı için kinetik enerjiyi
®
t anı için ivme ve kuvveti
®
t anında verilen gücü
®
[0, 2 ] zaman aralığındaki yapılan işi bulunuz.
Çözüm
ETKİNLİK
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866)
Analiz ve diferansiyel geometri dalında çok önemli katkıları olan
Alman matematikçidir.
Riemann integrali olarak bildiğimiz belirli integral kavramını ortaya koymuştur.
Riemann ilk dersini 1854’te verdi ve bu dersle sadece Riemann geometrisinin
temellerini kurmakla kalmadı aynı zamanda daha sonra Einstein’in izafiyet teorisinde kullanacağı yapıların da temellerini attı.
1857’de Götingen Üniversitesi’nde özel profesörlük kademesine terfi etti ve 1859’da profesör oldu.
Bu matematikçinin ismi aynı zamanda zeta fonksiyonu, Riemann hipotezi, Riemann manifoldları ve
Riemann yüzeyleri ile de bağlantılıdır.
400
Belirsiz
İntegral
Sayı
Problemleri
TEST – 1
1.
# ( 3x2 – 2x + 1) dx
5.
integralinin eşiti nedir?
x
dx integralinin eşiti nedir?
x+1
A) x3 – x2 + c
B) 9x3 – 4x2 + x + c
A) 1 + ln|x + 1| + c
B) x + ln|x + 2| + c
C) x3 – x2 – x + c
D) 9x3 – 4x2 + c
C) x – ln|x + 1| + c
D) x + ln|x + 1| + c
E) x3 – x2 + x + c
2.
#
#
A)
E) ln|x + 1| + c
6.
dx
integralinin eşiti nedir?
2 x
x
+c
2
B)
D) 2 x + c
x +c
C)
# cos 3x dx
A) –3sin
3 x
+c
2
C) 3sin
E) x x + c
dx
integralinin eşiti nedir?
x–3
A) (x – 3)2 + c
1
B)
+c
(x – 3) 2
C) ln|x – 3| + c
D)
7.
1
+c
ln x – 3
E) x2 – 3x + c
4.
#
B)
1
x
sin + c
3
3
D)
1
x
cos + c
3
3
x
+c
3
ESEN YAYINLARI
#
x
+c
3
x
+c
3
E) 3cos
3.
integralinin eşiti nedir?
#
x2 + 2
dx integralinin eşiti nedir?
x2 + 1
A) arctanx + c
B) –x – arccotx + c
C) x – arctanx + c
D) x + arccotx + c
E) x + arctanx + c
2 dx
integralinin eşiti nedir?
3x – 1
A)
2
ln|3x – 1| + c
3
B) 2ln|3x – 1| + c
C)
1
ln|3x – 1| + c
3
D)
E)
1
2
ln
+c
3
3x – 1
3
ln|3x – 1| + c
2
8.
#
x2
dx integralinin eşiti nedir?
x
A)
2 2
x x +c
5
B)
5 2
x x +c
2
C)
2
x x +c
5
D)
5
x x +c
2
E)
2 3
x x +c
5
405
İntegral
# cos x dy
9.
integralinin eşiti nedir?
13.
# arctan x dx
ifadesinin eşiti nedir?
A) y.cosx + c
B) sinx + c
A) arccotx + c
B) arctanx + c
C) siny + c
D) y.sinx + c
C) arctanx
D) arccotx
E) – siny + c
# 3 (x + 2)2 dx
10.
d
dx
E) arcsinx
integralinin eşiti nedir?
(x + 2) 3
+c
2
A)
B)
C) (x + 2)3 + c
14.
(x + 2) 3
+c
3
D) 3(x + 2)3 + c
E) 6(x + 2)3 + c
# d (sinx)
integralinin eşiti nedir?
A) cosx + c
B) cosx
C) sinx
D) sinx + c
ESEN YAYINLARI
E) – sinx + c
# ( ex + ey) dx
11.
integralinin eşiti nedir?
15.
A) ex + ey + c
B) ex + c
C) ex.ey + c
D) x.ex + y.ey + c
A)
E) ex + x.ey + c
5
2
B) 3
C)
7
2
ise f(2) kaçtır?
D) 4
E)
9
2
2
dx integralinin eşiti nedir?
1 – x2
#
12.
# [ xf(x) – 1 ]dx = x2 + 2x + c
A) arccosx2 + c
B) 2arcsinx + c
C) 2arccosx + c
D) arcsinx2 + c
16. f′(x) = 2x + 3 ve f(1) = 2 ise f(0) kaçtır?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
E) arctanx + c
1. E
2. B
406
3. C
4. A
5. C
6. C
7. E
8. A
9. A
10. C
11. E
12. B
13. C
14. D
15. C
16. E
Belirsiz İntegral
TEST – 2
1.
# 12 x(x – 1)2 dx
5.
integralinin eşiti nedir?
A) 3x4 – 4x3 + 6x2 + c
4
3
# sin x.cosx dx
A)
2
B) 3x – 8x + 6x + c
integralinin eşiti nedir?
1
cos2x + c
2
1
cos2x + c
4
C) 3x4 – 2x3 + 6x2 + c
C) –
D) 3x4 – 6x3 + 2x2 + c
E) – 2cos2x + c
4
3
B)
1
cos2x + c
4
D) –
1
cos2x + c
2
2
E) 3x + 4x + 6x + c
#
x2 + 2
dx integralinin eşiti nedir?
x
A)
x2
+ ln|x| + c
2
B)
C)
x2
+ ln|x + 1| + c
2
D) x2 + ln|x| + c
6.
x2
+ lnx2 + c
2
f′(x) = 3x2 – 1 ve f(–1) = 2 ise f(1) kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
ESEN YAYINLARI
2.
E) x2 – ln|x| + c
7.
f′′(x) = 12x – 2 olmak üzere
f(x) eğrisinin (–1, 2) noktasındaki teğeti
3.
# sec 2 x dx
integralinin eşiti nedir?
A) tanx + c
B) cotx + c
C) secx +c
D) cosecx + c
3x + y – 1 = 0 ise f(1) kaçtır?
A) –14
B) –15
C) –16
D) –17
E) –18
E) cosx + c
4.
#
dx
integralinin eşiti nedir?
cot 2 x
A) x – tanx + c
B) – x – tanx + c
C) x + cotx + c
D) – x + tanx + c
E) – x + cotx + c
8.
d
dx
#
dx
ifadesinin eşiti nedir?
1 + x2
A) arctanx
C) arctanx + c
E)
1
+c
1 + x2
B) arccotx
1
D)
1 + x2
407
İntegral
9.
d[f(x)] = (4x + 3) dx ve f(–1) = 1 ise f(1) kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
13.
# [ f(x).g′(x)
+ g(x).f′(x) ] dx
integralinin eşiti
nedir?
E) 8
A) f(x).g(x) + c
C)
B) f(x) + g(x) + c
f (x)
+c
g (x)
D)
g (x)
+c
f (x)
E) f [g(x) ] + c
# [ x f(x) + 2 ] dx = # d (x2 + x)
10.
1
2
A)
B) 1
C)
3
2
ise f(2) kaçtır?
D) 2
E)
5
2
14.
#
x –1
dx integralinin eşiti nedir?
x
A)
2
x +x+c
3
B) 2 x b
x
+1l + c
3
C)
2
x –x+c
3
D) 2 x b
x
–1l + c
3
11. f(x) =
d
dx
A) –
2
2
# cos 2 x dx
ise fl b
B) –
r
l kaçtır?
8
3
2
C) –
1
2
15.
2
E)
2
1
D)
2
# ( sinx – cosx)2 dx
#
1. B
integralinin eşiti nedir?
1
sin2x + c
2
B) x –
1
sin2x + c
2
C) x + 2cos2x + c
D) x –
1
cos2x + c
2
A) x +
E) x +
12.
x +c
ESEN YAYINLARI
E) 3x x –
1
cos2x + c
2
x3 – x2 + x – 1
dx integralinin eşiti nedir?
x –1
A)
x2
–x+c
2
B)
x2
+x+c
2
C)
x3
–x+c
3
D)
x3
+x+c
3
E)
x3 x2
+
+c
3
2
2. B
408
3. A
16.
# 2 x .3x+1 dx
A)
6x
+c
ln 6
D)
4. D
5. C
6. C
7. C
8. D
9. D
10. C
integralinin eşiti nedir?
B)
3.6 x
+c
ln 3
11. A
12. D
3.6 x
+c
ln 6
E)
13. A
C)
2.6 x
+c
ln 6
2.6 x
+c
ln 3
14. D
15. E
16. B
Belirsiz İntegral
TEST – 6
1.
3x + 1
dx integralinin eşiti aşağıdakiler3x 2 + 2x + 5
den hangisidir?
ln 2 x
dx
x
hangisidir?
A) ln 3x 2 + 2x + 5 + c
A)
1
lnx3 + c
3
B)
C)
ln 3 x
+c
3
D) ln2x + c
#
5.
B) ln(3x2 + 2x + 5) + c
C) ln(3x2 + 2x + 5)2 + c
#
integralinin eşiti aşağıdakilerden
ln 2 x
lnx3 + c
2
E) ln3x + c
D) ln 3x + 1 + c
E) ln(3x + 1)2 + c
6.
#
e
dx integralinin eşiti aşağıdakilerden hanx
gisidir?
A) e
x
+c
D) 2 e
3.
B)
x
# 2e x2 + ln x dx
1
e
2
x
E) 2ex + c
+c
integralinin eşiti aşağıdakilerden
C)
ex
+c
2
D)
4.
B) e (x
e (x
2
2)
+c
2)
7.
C) ex + c
+c
E) 2 e (x
2)
+c
cos x
dx integralinin eşiti aşağıdakilerden
1 + sin x
hangisidir?
1
tanx + c
2
D)
sec 2 x
dx
tan x –1
den hangisidir?
#
1
tan2x + c
2
8.
integralinin eşiti aşağıdakiler-
A) tan2x + c
B) 2 tan x + 1 + c
C) 2 tan x – 1 + c
D) tanx + c
E)
#
B) 2tan2x + c
E) 2tanx + c
hangisidir?
A)
integralinin eşiti aşağıdakilerden
A) tan2x + c
C) ex + c
+c
tan x
dx
cos 2 x
hangisidir?
ESEN YAYINLARI
2.
#
x
#
tan x + c
dx
ex + e– x
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) ln|1 + sinx| + c
B) ln|sinx| + c
A) ln(ex + e–x) + c
B) arctan(ex) + c
C) ln|1 + cosx| + c
D) ln|cosx| + c
C) ln(1 + ex) + c
D) arctan(e–x) + c
E) ln|secx| + c
E) arctan(ex + e–x) + c
415
İntegral
#
9.
2x + 1
dx
x2 + 4
12.
integralinin eşiti aşağıdakilerden
#
sec x. tan x
dx integralinin eşiti aşağıdakiler1 + sec x
den hangisidir?
hangisidir?
A) ln(x2 + 4) +
1
x
arctan + c
2
2
B) ln(x2 + 4) + arctanx + c
C) ln(x2 + 4) + arctan
x
+c
2
D) ln(x2 + 4) – arctan
x
+c
2
E) ln(x2 + 4) –
A) ln|1 + tanx| + c
B) ln|1 + secx| + c
C) ln|1 + cotx| + c
D) ln|secx| + c
E) ln|1 + cosecx| + c
1
x
arctan + c
2
2
13.
#
x dx
1 – 9x 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
integralinin eşiti aşağıdakilerden
ESEN YAYINLARI
#
10.
dx
4x 2 + 9
hangisidir?
1
2x
A)
arctan
+c
3
3
C)
1
2x
arctan
+c
6
3
E)
1
x
arctan + c
3
3
1
2x
B) arctan
+c
2
3
D)
1
x
arctan + c
6
3
B) ln|sinx| + c
C) ln|cosx| + c
D) ln|cosecx| + c
416
2. D
3. B
4. A
5. C
6. D
7. C
1
1 – 9x 2 + c
3
C) –
1
1 – 9x 2 + c
9
D)
1
1 – 9x 2 + c
9
#
1
1 – 9x 2 + c
6
x 2 dx
1– x 6
integralinin eşiti aşağıdakilerden
1
arcsinx6 + c
3
1
arccosx3 + c
C)
3
1
arcsinx2 + c
E)
3
1
arccosx2 + c
3
1
D) arcsinx3 + c
3
B)
A)
E) ln|tanx| + c
1. A
B)
hangisidir?
sec x
dx integralinin eşiti aşağıdakilerden
cosec x
hangisidir?
#
A) ln|secx| + c
1
1 – 9x 2 + c
3
E)
14.
11.
A) –
8. B
9. A
10. C
11. A
12. B
13. C
14. D
Belirsiz İntegral
TEST – 9
1.
# x .e2x dx
A)
integralinin eşiti nedir?
e 2x
1
cx – m + c
2
2
1
m+c
4
C) e 2x c x –
E)
2.
B)
5.
A)
B)
1
m+c
4
(ln x) 2
–x+c
2
(ln x) 2
– xlnx + x + c
2
C)
(ln x) 2
+x+c
2
D)
(ln x) 2
+ xlnx – x + c
2
E)
(ln x) 2
– lnx – x + c
2
D) e 2x c x +
integralinin eşiti nedir?
# x 2 ex dx + # xe x dx
integralinin eşiti nedir?
B) 2xsinx + (2 – x2)cosx + c
A) ex(x2 – x + 1) + c
B) ex(x2 + x – 1) + c
C) 2xcosx + sinx + c
C) ex(x2 – x) + c
D) ex(x2 + x + 1) + c
6.
A) 2xsinx + cosx + c
2
D) 2xcosx + (2 – x )cosx + c
E) ex(x2 – x – 1) + c
# x 3 lnx dx
integralinin eşiti nedir?
x4
A)
(lnx – 1) + c
4
4.
x4
1
B)
c ln x + m + c
4
2
C)
x4
1
c ln x – m + c
4
4
E)
x4
1
c ln x – m + c
2
2
# arccos 2x dx
D)
ESEN YAYINLARI
E) 2xsinx – cosx + c
3.
integralinin eşiti nedir?
e 2x
1
cx+ m + c
2
2
e 2x
1
cx – m + c
2
4
# x 2 .sinx dx
# c 1–x x m lnx dx
7.
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
x4
1
c ln x – m + c
2
4
integralinin eşiti nedir?
# x .sec2x dx
A) x.tanx + cosx + c
B) x.tanx + sinx + c
C) x.tanx – sinx + c
D) x.tanx + ln|cosx| + c
E) x.tanx – ln|cosx| + c
8.
# e x sinx dx
integralinin eşiti nedir?
A) x.arccos2x –
1 – 4x 2 + c
A)
ex
(cosx – sinx) + c
4
B) x.arccos2x –
1
1 – 4x 2 + c
2
B)
ex
(sinx – cosx) + c
4
C) x.arcsin2x –
1
1 – 4x 2 + c
2
C)
ex
(sinx + cosx) + c
2
D) x.arcsin2x –
1 – 4x 2 + c
D)
ex
(cosx – sinx) + c
2
E)
ex
(sinx – cosx) + c
2
E) x.arccos2x –
1 – 4x 2
+c
4
421
İntegral
#
9.
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hanx 2 + 4x
12.
gisidir?
C)
1
x
ln
+c
4
x+4
E)
x+4
1
ln
+c
x
4
B)
1
x
ln
+c
2
x+4
x+4
+c
x
D) ln
13.
#
10.
dx
x 2 + 6x + 8
B) ln
C) ln
x+4
+c
x+2
D) ln
E) ln
x+2
+c
x+4
#
ESEN YAYINLARI
2
x+2
m +c
x+4
11.
A) ln
(x – 2) 5 .x 2
+c
(x – 1) 6
B) ln
(x – 2) 5 .x 3
+c
(x – 1) 4
C) ln
(x – 2) 3 .x 2
+c
(x – 1) 4
D) ln
(x – 2) 3 .x
+c
(x – 1) 6
E) ln
(x – 2) 4 .x
+c
(x – 1) 3
#
x –1
dx integralinin eşiti nedir?
(x + 1) 2
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) ln c
x2 + x + 4
dx integralinin eşiti aşağıdakix (x – 1) (x – 2)
lerden hangisidir?
x
+c
x+4
A) ln
#
x+2
+c
x+4
x+4
+c
x+2
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden
3x 2 + 4x + 1
14.
hangisidir?
A) ln|x + 1| –
2
+c
x +1
B) ln|x + 1| +
2
+c
x +1
C) ln|x + 1| –
1
+c
x +1
D) ln|x + 1| +
1
+c
x +1
E) ln|x – 1| –
2
+c
x +1
#
dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hanx3 + x
gisidir?
A) ln c
x+1 2
m +c
3x + 1
B) ln
x+1
+c
3x + 1
A) ln
x2 + 1
+c
x
B) ln
x
+c
1+x
C) ln
3x + 1
+c
x+1
D) ln c
3x + 1 2
m +c
x+1
C) ln
1+x
+c
x
D) ln
x
+c
x2 + 1
E) ln
1. A
422
3x + 1
+c
x+1
2. B
3. C
E) ln x 2 + 1 + c
4. B
5. B
6. A
7. D
8. E
9. C
10. B
11. C
12. A
13. B
14. D
Belirli İntegral
TEST – 10
0
#
1.
1– e
r
2
dx
integralinin eşiti nedir?
1– x
#
5.
–
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
cos x.cos3x dx integralinin eşiti aşağıdaki-
r
4
lerden hangisidir?
A) –
1
2
B) –
1
4
C)
1
8
D)
1
4
E)
1
2
1
#
2.
( x + 1)4 dx integralinin eşiti aşağıdakilerden
–1
6.
hangisidir?
16
5
A)
#
2
1
B) 4
C)
32
5
D) 12
E)
4 (x 3 + x) dx
(x 2 + 1) 2 + 1
integralinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
64
5
A) ln 2
C) ln 3
B) ln2
E) ln5
ESEN YAYINLARI
D) ln3
3.
#
3
1
A)
dx
integralinin eşiti nedir?
1 + x2
r
12
B)
r
8
C)
r
6
D)
r
4
E)
r
3
e2
7.
#
e
dx
integralinin eşiti nedir?
x ln x
A) 2
r
3
4.
#
0
sin x
dx
cos 2 x
B) 0
C) ln2
D) ln4
E) 0
2
integralinin eşiti aşağıdakilerden
8.
#
4x lnx dx integralinin eşiti nedir?
1
hangisidir?
A) –1
B) 2e
A) 8(ln2) – 3
C) 1
D) 2
E) 3
B) 4(ln2) – 3
D) 8(ln2) – 2
C) 8(ln2) – 4
E) 4(ln2) – 2
423
İntegral
1
r
dx
integralinde x = sint dönüşümü
1– x 2
#
9.
0
13.
den hangisidir?
#
A)
t dt
B)
#
dt
#
r
2
2 dt
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
(1– t) dt
0
r
2
D)
#
C)
0
0
A) 1
r
2
r
2
1 + sin x dx integralinin eşiti aşağıdakiler-
0
yapılırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
r
2
#
#
E)
0
(1– t 2) dt
0
r
14.
#
1– cos x dx integralinin eşiti nedir?
0
2
#
10.
1
2
A)
7
f (x).f′(x) dx =
olmak üzere f(x) fonksiyo2
B)
D)
nunun grafiği (1, 3) noktasından geçmektedir.
5 2
2
3 2
2
C) 2 2
E) 3 2
Buna göre f(2) nin pozitif değeri kaçtır?
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
ESEN YAYINLARI
A) 6
15. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine üzerindeki x = a
ve x = b apsisli noktalarından çizilen teğetler
sırasıyla x ekseni ile 45° ve 150° lik açılar yap-
r
#
11.
sin 2x.cos2x dx integralinin eşiti aşağıdakiler-
maktadır.
0
b
den hangisidir?
r
12
A)
B)
r
8
Buna göre
C)
r
6
r
4
D)
E)
r
2
fl (x) .fll (x) dx
integralinin eşiti
a
kaçtır?
A) –
#
1
3
B) –
2
3
C) –1
D) –
3
4
E) –
4
3
1
#
12.
x .ex dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden
ln 2
hangisidir?
A) ln
e2
2
B) ln
D) ln
1. D
2. C
424
3. A
e
4
r
3
e2
4
C) ln
e
2
16.
#
0
E) 1
dx
integralinin eşiti nedir?
1– sin x
A)
3
B)
D)
4. C
5. D
6. B
7. C
8. A
9. B
10. C
11. B
3 +2
12. B
3 –1
E)
13. D
C) 1 –
3
3 +1
14. C
15. A
16. E
Alan ve Hacim Hesabı
TEST – 13
1.
y
5.
y = 3x2 + 1
y
y = (x + 1)2
Şekilde ifade edilen
taralı bölgenin alanı
kaç br2 dir?
0
3
B)
2
A) 1
x
1
5
D)
2
C) 2
x
0
–1
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
E) 3
1
3
A)
B)
2
3
C) 1
D)
4
3
E)
5
3
y
2.
Şekildeki taralı
bölgenin alanı
x
0
6.
kaç br2 dir?
y
y = 2x – x2
4
3
B) 1
C)
5
3
D) 2
E)
y
3.
y2 = x
1
0
A) ln2
1
3
B)
x
3
B) ln3
D) ln5
x
0
kaç br2 dir?
A)
1
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
Şekildeki taralı
bölgenin alanı
1
x
7
3
ESEN YAYINLARI
A)
y=
C) ln4
E) ln6
–1
2
3
C) 1
D)
4
3
E)
7.
5
3
y
–2
y
4.
S1
S3
1
0
5
S2
y = ex
3
y = f(x)
Şekildeki taralı
bölgenin alanı
Grafikte ifade edilen alanlardan
kaç br2 dir?
0
1
x
S1 = 5 br2, S2 = 2 br2, S3 = 8 br2 ise
5
A) e + 2
D) e – 1
x
B) e + 1
E) e – 2
C) e
#
5
f (x)dx +
–2
A) 11
#
f (x) dx ifadesinin eşiti nedir?
–2
B) 15
C) 20
D) 22
E) 26
429
İntegral
8.
12.
y
y
y = lnx
y=
1
x
y=x
Şekildeki taralı
bölgenin alanı
0
kaç br2 dir?
x
2
0
A) ln
2
e
B) ln
D) ln
3
e
5
e
C) ln
E) ln
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
6
e
y
9.
4
e
C) 2
D)
7
3
E)
S1
8
=
S 2 19
x
3
ESEN YAYINLARI
0
8
3
y
10.
A) 1
A) 3
2
kaç br dir?
B)
1
3
C)
1
2
D)
B)
x
0
2
3
E)
3
2
C)
4
3
D) 2
E)
5
2
dir?
bölgenin alanı
1
6
B)
x
a
4
—
3
x ekseni ile oluşturduğu bölgenin alanı kaç br2
y=x
Şekildeki taralı
0
ise a kaçtır?
S2
S1
14. y = x3 eğrisi ile x = –1 ve x = 2 doğrularının
y = x2
A)
y = x2
alanları için
kaç br2 dir?
5
3
y
edilen S1 ve S2
bölgenin alanı
B)
1
+ ln2
B) 1 + ln2
C) 2 + ln2
2
D) 1 + ln4
E) 2 + ln4
13. Şekilde ifade
y = x2 – 2x
Şekildeki taralı
A) 1
x
2
5
6
1
#
15.
13
4
C)
15
4
D) 4
E)
17
4
4 – x 2 dx integralinin eşiti aşağıdakilerden
0
hangisidir?
A)
11. y = x2 ile y = 3 – 2x2 eğrileri arasında kalan
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) 6
1. C
430
2. A
B) 4
3. B
C) 3
4. D
r
3
+
3
2
D)
D) 2
5. A
E) 1
6. B
7. E
8. C
9. E
10. A
B)
r
3
r
+ 3
3
11. B
C)
E)
12. A
r
2
r
3
–
3
3
13. D
14. E
15. A
TEST – 16
1.
# ( 2x – 1)3 dx
A)
C)
E)
(2x – 1) 4
+c
8
(2x
– 1) 4
4
r
integralinin eşiti nedir?
B)
+c
(2x
– 1) 4
3
cos (|x| + x) dx integralinin eşiti nedir?
–r
(2x – 1) 4
+c
6
D)
#
5.
A) – r
B) –
r
2
C) 0
D)
r
2
E) r
+c
(2x – 1) 4
+c
2
6.
#
dx
5 – 4x – x 2
integralinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
x
2.
#
x dy integralinin eşiti nedir?
A) arccos c
x–2
m+c
3
B) arcsin c
x–2
m+c
3
C) arccos c
x+2
m+c
3
D) arcsin c
x+2
m+c
3
E) arcsin c
x+3
m+c
2
0
B) x2y
A) xy
E) y2
ESEN YAYINLARI
D) xy2
C) x2
7.
1
3.
#
4x 2 – 4x + 1 dx integralinin eşiti nedir?
#
sin (ln x)
dx integralinin eşiti nedir?
x
A) cos(lnx) + c
B)
sin 2 (ln x)
+c
2
C) – sin(lnx) + c
D)
cos 2 (ln x)
+c
2
0
1
A)
2
B) 1
3
C)
2
D) 2
5
E)
2
E) – cos(lnx) + c
8.
r
3
4.
#
r
6
B) ln3
C) ln4
D) ln5
integralinin eşiti nedir?
A) ecosx + c
dx
integralinin eşiti nedir?
sin x. cos x
A) ln2
# e sin x cosx dx
C)
E) ln6
e sin x
+c
cos x
B) esinx + c
D) ex – sinx + c
E) ex + cosx + c
435
İntegral
3x dx
dx
dx
= A ve #
= B ise #
x–2
x+1
x2 – x – 2
integralinin A ve B cinsinden değeri nedir?
3r
2
#
9.
A) A – 2B
B) A + 2B
D) 2A + B
# sin 5x.sin3x dx
10.
#
13.
1 + cos 2x dx integralinin eşiti nedir?
r
C) 2A – B
A) 1
2
B)
E) A – B
C)
3
E) 2 3
D) 2
integralinin eşiti aşağıdakiler-
den hangisidir?
A)
1
(4sin2x + sin8x) + c
16
B)
1
(4sin2x + sin8x) + c
12
14. f(x) = x3 eğrisi ile g(x) = x doğrusu arasında
kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
A)
D)
1
(4sin2x – sin8x) + c
12
E)
1
(4sin2x – sin8x) + c
16
1
4
B)
1
2
C) 1
D)
3
2
E) 2
ESEN YAYINLARI
1
(4sin2x – sin8x) + c
C)
6
2
#
11.
fl (x)
dx = x3 + x2 + c ve f(–1) = e ise f(1)
f (x)
15.
#
12.
B) e2
C) 2e
D) 4e
A) –10
C) arctanx + c
2. C
436
3. A
A)
5. E
6. D
E) –2
si ile oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
D) arctanx + c
4. B
D) – 4
bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülme-
E) 1 + ln2x + c
1. A
C) –6
x eğrisi ile y = x doğrusu arasında kalan
16. y =
B) arctan(lnx) + c
2
B) –8
E) e3
d (ln x)
integralinin eşiti nedir?
1 + ln 2 x
A) ln(1 + lnx) + c
( x – 2) ( x + 2) dx integralinin eşiti nedir?
0
nedir?
A) e
#
7. E
8. B
9. A
3r
2
10. E
B)
11. E
r
2
12. B
r
3
D)
13. B
14. B
C)
r
4
E)
15. C
r
6
16. E
TEST – 17
2
1.
#
5.
( x2 – 2x + 1) dx ifadesinin eşiti nedir?
0
1
A)
3
2
B)
3
4
D)
3
C) 1
d
dx
# 3 x2 dx
hangisidir?
5
E)
3
A) x3
B) x2
D)
2.
#
x+2
dx
x+1
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
x4
4
C) 3x2
E) 3x2 + c
integralinin eşiti aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + ln|x + 1| + c
B) x + ln|x + 2| + c
C) 1 + ln|x + 1| + c
D) 1 + ln|x + 2| + c
6.
E) x – ln|x + 1| + c
#
dx
integralinin eşiti nedir?
(2x – 1) 2
A)
1
+c
2x – 1
B) –
C)
1
+c
1 – 2x
D)
A) 2 ln x + c
B)
1
ln x + c
2
C) (lnx)2 + c
D)
(ln x) 2
+c
2
E) ln x
ESEN YAYINLARI
3.
dx
integralinin eşiti nedir?
x ln x
#
1
+c
2 (2x – 1)
1
+c
2 (2x – 1)
1
E)
+c
2 (2x + 1)
1
7.
#
x (x2 + 1)2 dx integralinin eşiti nedir?
–1
A) –2
4.
#
+c
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
dx
dx integralinin eşiti aşağıdakiler16 – 9x 2
den hangisidir?
A)
3x
1
arcsin
+c
6
4
B)
3x
1
arcsin
+c
3
4
C)
3x
3
arcsin
+c
4
4
D)
3x
2
arcsin
+c
3
2
1
3x
E)
arcsin
+c
3
2
8.
# x 2ex dx – # e x dx
integralinin eşiti nedir?
A) ex(x + 1)2 + c
B) ex(x2 – 2x) + c
C) ex(x2 – x) + c
D) ex(x2 + x) + c
E) ex(x – 1)2 + c
437
İntegral
13. y2 = 1 – x
cos 2 x
dx integralinin eşiti nedir?
1– sin x
#
9.
eğrisi ile y ekseninin sınırladığı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
A) x – sinx + c
B) x + cosx + c
C) x + sinx + c
D) x – cosx + c
A)
2
3
B) 1
C)
4
3
5
3
D)
E) 2
E) 1 – cosx + c
x
ve 12y2 = x eğrileri ile sınırlanmış böl4
genin alanı kaç br2 dir?
14. y3 =
5
#
10.
x 4 – 9x 2 dx integralinin eşiti nedir?
A) 24
3
B) 16
C)
52
3
D) 20
E)
r
4
#
11.
2
( sinx + cosx) dx integralinin eşiti nedir?
r+2
4
D)
B)
r+1
4
r+1
2
E)
C)
D) 27
15.
E) 28
y
y = (x – a)2
Şekildeki taralı
bölgenin alanı
8 2
br ise a kaçtır?
3
0
A)
C) 26
64
3
ESEN YAYINLARI
32
3
A)
B) 25
r+2
2
A)
r
2
1
2
B) 1
0
C)
x
a
3
2
D) 2
E)
5
2
r
doğrularının
3
x ekseni ile oluşturdukları bölgenin x ekseni
16. y = secx eğrisi, x = 0 ve x =
#
12.
dx
integralinin eşiti nedir?
ex + e– x
etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin
A) ln(1 + ex) + c
B) arctane–x + c
C) ln(1 + e–x) + c
D) arctanex + c
hacmi kaç br3 tür?
E) ln|tanex| + c
1. B
2. A
438
3. B
B)
A) r
D) 2 3 r
4. B
5. C
6. A
7. C
8. E
9. D
10. E
11. A
12. D
3r
C) 2 r
E) 4 r
13. C
14. D
15. D
16. B
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1982 - ÖYS
5.
#
#
sin 32x.sin4x dx ifadesinin değeri nedir?
( 2x + 3)dx = 50 ve b – a = 5 olduğuna göre
a
0
a + b kaçtır?
1
A)
160
1
B)
60
9
C)
80
9
D)
160
1
E)
32
A) 11
6.
2.
1983 - ÖYS
b
r
12
1982 - ÖYS
1
0
x1
13
4
B)
D) ln
S2
0
x
2
D) 8
E) 7
(x 2 + 3) 2x
dx integralinin değeri nedir?
(x 2 + 3) 2 + 1
A) ln
S1
C) 9
1984 - ÖYS
#
y
B) 10
1 13
ln
2 10
15
4
E)
C)
1
2
1 17
ln
2 10
S2 alanları arasında 3S1 = S2 bağıntısı bulunduğuna göre x1 apsisi kaçtır?
A)
3
8
B)
3
6
C)
3
4
D)
3
3
E)
3
2
ESEN YAYINLARI
Şekilde y = x2 nin grafiği verilmiştir. Taralı S1 ve
7.
1984 - ÖYS
y
S2
0
3.
1982 - ÖYS
5
#
duğuna göre a nın değeri nedir?
C) 3
D) 4
f (x) dx = –
0
E) 5
25
32
ve S1 =
birim kare oldu3
3
ğuna göre, S2 kaç birim karedir?
A)
4.
x
5
bir fonksiyondur.
ve x = 2 doğrusu ile sınırlı alan 8 birim kare olB) 2
4
S1
f, grafiğinin bir parçası yukarıdaki şekilde verilen
a > 0 koşulu ile y = x3 + ax eğrisi, x ekseni
A) 1
y = f(x)
7
3
B)
13
3
C)
23
3
D)
47
3
E)
57
3
1983 - ÖYS
a > 0, b > –1 koşulu ile sonlu iki sayıdır.
1
#
x a dx.
0
1
#
x b dx =
0
1
#
8.
x a x b dx
y = lnx eğrisi, x ekseni ve x = b (b > 1) ile sı-
0
nırlı bölgenin alanı b + 1 birim olduğuna göre
olduğuna göre b nin değeri kaçtır?
A)
3
4
B)
1
2
C) 0
1985 - ÖYS
D) –
b kaçtır?
1
2
E) –
3
4
A)
e
2
B) 2
C) e
D)
e2
2
E) e2
439
İntegral
9.
14. 1987 - ÖYS
1985 - ÖYS
r
2
r
3
#
#
1 – cos 2x dx integralinin değeri nedir?
A) 0
( cosx – sinx)dx integralinin değeri nedir?
0
0
2
B) –
C) 2
1
2
D)
2
2
E)
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
10. 1986 - ÖYS
f′(x) = 3x2 + 2x ve f(1) = 3 olduğuna göre f(–1)
in değeri nedir?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
15. 1988 - ÖYS
e–1
#
0
A) e – 2
11. 1986 - ÖYS
A) 0
1
olduğuna göre
x+1
1
6
B) –
C)
1
6
D) e + 1
2
#
C) e
E) e + 2
d (f –1(x)) kaçtır?
1
D)
1
2
E) –
1
2
16. 1988 - ÖYS
12. 1987 - ÖYS
# xf (x)dx = x2 + x + c
Denklemi y = x2 ve y2 = 8x olan eğrinin sınır-
olduğuna göre
ladığı bölgenin alanı kaç birim karedir?
f(x) aşağıdakilerden hangisidir? (c sabittir.)
A) 2
B) e – 1
ESEN YAYINLARI
f(x) =
x
dx integralinin değeri nedir?
x+1
B) x – lnx
D) x + 1
C)
E) 2 +
x3
3
+
x2
2
A)
8
3
B)
16
3
C) 2
D) 3
E) 4
+ cx
1
x
13. 1987 - ÖYS
# f (x).f′(x)dx
integrali alındığında aşağıdakiler-
17. 1989 - ÖYS
den hangisi elde edilir?
x
1
A)
[f(x) ]2 + c
2
B) ln|f(x)| + c
C) ef(x) + c
D)
E)
440
f (x) + c
1
+c
f (x)
#
f(x) =
0
t2
t3 + 4
dt olduğuna göre f′(1) değeri
kaçtır?
A) 0
B)
7
25
C)
4
51
D)
1
5
E)
1
4
İntegral
22. 1991 - ÖYS
18. 1989 - ÖYS
#
2
^ 4–
x2
– x h dx integralinin sonucu kaçtır?
r
2
B)
r
3
1
#
0
0
A)
C)
2r
3
D)
3r
4
A)
E) r
d (x 2)
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x2 + 1
r
4
B)
r
2
C) ln2
D) ln3
E) 2
19. 1989 - ÖYS
y
23. 1991 - ÖYS
15
(–2, 0)
1
y = f(x)
(3, 0)
A
0
B
C
(5, 0)
4
#
x
( 2x – 3)(x2 – 3x + 2)4dx
0
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Yukarıdaki şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir.
x–ekseninin, AB yayı ile sınırladığı bölgenin
32
B) –3
5
A) –
2
alanı 15 br , BC yayı ile sınırladığı bölgenin ala-
C) 0
D) 3
E)
243
5
5
#
nı 4 br2 olduğuna göre
f (x)dx değeri kaçtır?
–2
B) 67
C) 60
D) 19
E) 11
ESEN YAYINLARI
A) 83
20. 1989 - ÖYS
y
24. 1991 - ÖYS
h
Şekildeki AB, O mer-
noktalarını
birleştiren doğru parçasıdır. Buna göre,
1
aşağıdaki integraller0
x + y = 1 olan
1
#
A)
2
1
C)
6
1
D)
5
B)
1
E)
4
#
;
0
1
C)
#
y–2
+ 4 – y 2 E dy
2
8 4 – x 2 + (2 + 2x) B dx
0
21. 1990 - ÖYS
#
8 4 – x 2 – (2 + 2x) B dx
–2
kaç birim karedir?
4
x
C(–1, 0)
verir?
parabol verilmiştir. Şekildeki taralı bölgenin alanı
1
B)
8
A(–2, 0)
den hangisi taralı alanı
x
1
Yukarıdaki şekilde denklemi
1
A)
9
B(0, 2)
yayı, [BC ] de B(0, 2),
C(–1, 0)
vx + vy = 1
y
kezli dörtte bir çember
–1
8 16 – x 2 – (4 – x) B dx in değeri nedir?
#
D)
0
8 4 – x 2 – (2 + 2x) B dx
–2
A) 4(π – 2)
B) 4(π –
D) 3 2 (π – 2)
3)
C) 3(π –
E) 2 3 (π – 2)
2)
1
E)
#
0
y–2
dy +
2
2
#
4 – y 2 dy
0
441
İntegral
29. 1993 - ÖYS
25. 1992 - ÖYS
# – cos(cos2x)sin2x dx
aşağıdakilerden hangi-
0<a<
sine eşittir?
a
r
,
3
#
( tan4x + tan2x)dx =
0
1
3
olduğuna göre a nın değeri aşağıdakilerden
A) sin(cosx) + c
B) cos(sinx) + c
2
hangisidir?
D) sin(cos2x) + c
C) cos(sin x) + c
A)
E) sin(cos2x) + cos(sin2x) + c
26. 1992 - ÖYS
d
f
dx
5
#
r
6
B)
r
4
C)
r
3
D)
E)
5r
6
30. 1993 - ÖYS
2
(x 3 + x 2) dx p aşağıdakilerden hangisine
#
2
4 – x 2 dx integralinde x = 2 sint dönüşümü
0
eşittir?
3
yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde
x3 x2
+
B)
3
2
2
A) x + x
D) 79
67
C)
3
edilir?
r
2
r
E) 0
#
A)
sin 2 t dt
B)
27. 1992 - ÖYS
ln 3
( e3x – ex)dx integralinde ex = t dönüşümü
0
yapılırsa, aşağıdaki integrallerden hangisi elde
ESEN YAYINLARI
–r
#
2r
3
r
4 (sin t – cos t) dt
D)
#
cos 2 t dt
–r
r
2
r
2
E)
4 sin 2 t dt
0
r
#
C)
#
#
4 cos 2 t dt
0
edilir?
3
#
A)
3
( t3 – t) dt
B)
1
( t2 – 1) dt
1
3
#
C)
#
1
( e3t – et)et dt
D)
#
( t3 – t) dt
31. 1993 - ÖYS
0
1
y
3
#
E)
y = 4e–x
( ln3t – lnt) dt
y = ex
0
28. 1993 - ÖYS
f
a
#
3
x dx p =
0
a
#
x
0
x 3 dx
olduğuna göre, pozitif a
0
Şekilde, y = ex, y = 4e–x fonksiyonlarının grafikleri ve y ekseniyle sınırlı olan taralı bölgenin
kaçtır?
alanı kaç birim karedir?
A)
442
2
2
3
B)
2
C)
2
D)
3
E) 2
A) 1
B) 2
C) 3
D) ln2
E) ln3
İntegral
32. 1994 - ÖYS
36. 1995 - ÖYS
1+ x
dx integralinde u =
1– x
#
x
2
2
dönüşümü
#
#
A)
1
2
C)
1+ u
du
1– u
#
E) 2 #
B)
1+u
du
1– u
nüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
1+u
du
1– u
#
D) 2 #
sin (arccosx)dx integralinde t = arccosx dö-
0
yapılırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
r
4
1+ u
du
1– u
A)
#
0
u (1 + u)
du
1– u
r
4
#
C)
r
2
33. 1994 - ÖYS
a
#
– 2 (sin4x – cos4x)dx =
r
12
r
4
1
sin2t dt
2
B)
#
0
1
cos22t dt
2
r
4
1
cost dt
2
D)
#
– 2 cos2t dt
0
r
4
1
olduğuna göre
2
# – sin2t dt
E)
r
2
a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir?
r
8
B)
r
6
C)
r
4
D)
r
3
E)
37. 1995 - ÖYS
r
2
y
ESEN YAYINLARI
A)
34. 1995 - ÖYS
g(x)
6
f(x)
3
y = f(x) eğrisinin (–2, 3) noktasındaki teğeti x
0
x
4
1
ekseni ile 135° lik açı yapmaktadır.
f′′(x) = 16x olduğuna göre eğrinin y eksenini
Şekildeki f(x) doğrusu x = 1 noktasında
kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
y = g(x) eğrisine teğettir.
A) –3
B) –2
C) –1
D) –
69
123
E) –
5
3
1
#
0
gl (x)
a
dx = ln
olduğuna göre a kaçtır?
g (x)
8
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
35. 1995 - ÖYS
#
x+3
dx
x 2 – 9x + 14
integrali aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
A) ln|x – 2| + ln|x + 5| + c
38. 1996 - ÖYS
r
6
# > dtd f #
0
t
cos 3x dx p H dt değeri kaçtır?
0
B) 2ln|x – 2| + 2ln|x + 5| + c
C) 2ln|x – 7| – ln|x – 2| + c
D) ln|x – 1| – 2ln|x + 3| + c
E) 5ln|x – 7| + 3ln|x – 2| + c
A)
7 2
6
D)
B)
1
3
3
2
C)
E)
1
2
1
4
443
İntegral
39. 1996 - ÖYS
42. 1997 - ÖYS
5
2
2
y = 16 – x parabolünün koordinat sisteminin 1.
#
bölgesindeki (x ≥ 0, y ≥ 0) parçası ile x = 0 ve
( 25 – x 2 – x) dx integralinin değeri aşağı-
y = 0 doğrularıyla sınırlı olan bölgenin alanı kaç
0
birim karedir?
dakilerden hangisidir?
128
3
A)
B)
32
3
C)
64
3
D)
16
3
A)
E) 16
25r
4
B)
25r
8
D) 36
C) 16 r
E) 45
40. 1996 - ÖYS
y
43. 1997 - ÖYS
1
y = x2 eğrisi, x = 3 doğrusu ve x ekseni ile
3
y = ex
sınırlı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç br3 tür?
x
x=a
Şekildeki gibi y = ex eğirisi ile x = –1, x = a
ve y = 0 doğruları ile sınırlı bölgenin x ekseni
etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin
r 10
(e – e–2) br3 olduğuna göre a nın
hacmi
2
değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
A)
13r
4
D)
ESEN YAYINLARI
0
x = –1
B)
17r
4
27r
5
C)
E)
19r
5
32r
5
44. 1998 - ÖYS
# 52x + 2 dx integralinin değeri aşağıdakilerden
x –4
hangisidir?
A) 3ln|x – 2| + 2ln|x + 2| + c
B) 5ln|x – 2| – 2ln|x + 2| + c
C) 2ln|x – 2| + ln|x + 2| + c
41. 1997 - ÖYS
#
5x 2
dx integralinin değeri aşağıdakilerx3 + 2
4
D) ln|x – 2| + 3ln|x + 2| + c
E) 5ln|x2 – 4| + c
den hangisidir?
A)
20
9
C)
4
3
E) –
4
(x 3 + 2) 3 + c
4
(x 3 + 2) 3 + c
20
9
4
(x 3 + 2) 3 + c
B)
5
3
D) –
4
5
3
(x 3 + 2) 3 + c
4
(x 3 + 2) 3 + c
45. 1998 - ÖYS
y2 = 4x ve y = 2x2 eğrisi ile sınırlanan bölgenin
alanı kaç br2 dir?
A)
444
5
6
B)
4
5
C)
3
4
D)
2
3
E)
1
2
İntegral
49. 2007 - ÖSS
46. 2006 - ÖSS
1
f : R → R fonksiyonu her noktada türevli ve
#
0
f′(x) = x + 1, f(2) = –1 olduğuna göre f(0) kaçtır?
x2
dx integralinin değeri kaçtır?
x+1
1
+ ln2
2
A) –
B) –4
A) –5
C) –2
D) –1
E) 0
B) –1 + ln2
D) 2ln2
C) ln2
E) 1 + 2ln2
47. 2006 - ÖSS
50. 2007 - ÖSS
r
#
( sinx + cosx)dx integralinde t = r – x
1
#
r
2
dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden
hangisi elde edilir?
A) 1 +
r
2
#
( sint + cost)dt
B)
0
#
r
3
3
C) 2 +
E) 8 – 3 3
( sint – cost)dt
r
( sint – cost)dt
#
D)
r
2
( cost – sint)dt
r
2
0
#
E)
B) 2 – 2 3
0
#
C)
3
D) 4 –
r
2
( sint – cost)dt
r
–
2
ESEN YAYINLARI
A)
3x 3 + x 2 dx integralinin değeri kaçtır?
0
51. 2007 - ÖSS
x2 = 2y ve y2 = 2x eğrileri ile sınırlanan bölgenin alanı kaç birim karedir?
A)
5
2
B)
1
3
C)
2
3
D)
4
3
E)
5
4
48. 2006 - ÖSS
Şekilde grafiği verilen
y
bire bir ve örten
f(x)
4
f : [1, 2 ] → [2, 4 ]
fonksiyonunun tersi
52. 2008 - ÖSS
2
f –1 dir.
2
#
b > 0 olduğuna göre,
4
f (x)dx +
1
#
f –1(x)dx
2
0
1
2
B) 4
#
(2x – x 2) dx
0
değeri nedir?
A) 2
b
x
integralinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
C) 6
D) 8
E) 10
A)
1
2
B)
3
2
C)
5
2
D)
1
3
E)
4
3
445
İntegral
53. 2008 - ÖSS
#
57. 2009 – ÖSS
y
r
2
1
dx integralinin değeri kaçtır?
2
sin x –
0
a
3–
A)
3–
C)
r
–1
12
B)
r
–1
4
D) 2 3 –
E) 2 3 –
3–
r
–1
6
c
4
O
7
b
x
9
f(x)
r 3
–
4 2
Yukarıda verilen taralı bölgelerin alanları sırasıyla a, b ve c birim karedir.
r
1
–
2
2
9
Buna göre,
#
7
#
f (x) dx –
0
A) 2a + b
f (x) dx değeri kaçtır?
0
B) 2a + c
D) 2c + b
C) 2b + c
E) 2a + 2b + c
54. 2008 - ÖSS
#
e
A)
dx
x (ln x) 2
integralinin değeri kaçtır?
1
2
3
2
B)
C) 1
D) 2
E) 4
58. 2010 – LYS
ESEN YAYINLARI
e2
55. 2009 - ÖSS
1
#
(x + 1) e x dx integralinin değeri kaçtır?
f′′(x) = 6x – 2 , f′(0) = 4 , f(0) = 1
koşullarını gerçekleyen f fonksiyonu için f(1)
değeri kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
0
A) e
B) e – 1
D) 2e – 1
C) e – 2
E) 2e – 3
59. 2010 – LYS
r
3
#
56. 2009 – ÖSS
0
sin x
dx integralinin değeri kaçtır?
cos 2 x
y
A) 2
y= 4 2x
bölgenin alanı kaç birim karedir?
446
5
B)
2
4
C)
3
D) –1
E) –2
60. 2010 – LYS
Şekildeki parabol ile doğru arasında kalan taralı
3
A)
2
C) 0
x
O
2
y= 4 x
B) 1
7
D)
3
4
#
0
9
E)
4
6x
dx integralinin değeri kaçtır?
2x + 1
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
İntegral
61. 2010 – LYS
3
65. 2011 – LYS
eğrisi ve y = x doğrusu ile sınırlı (sonlu)
y=x
Bir f fonksiyonunun grafiğinin x = a noktasında-
bölgenin alanı kaç birim karedir?
A)
1
2
B)
3
2
C) 1
D)
ki teğetinin eğimi 1, x = b noktasındaki teğetinin
1
3
E)
eğimi
2
3
3 tür. f′′(x) ikinci türev fonksiyonu [a, b]
aralığında sürekli olduğuna göre,
a
#
fl (x) .fll (x) dx integralinin değeri kaçtır?
b
A) –1
B) 1
C) 2
D)
62. 2010 – LYS
1
3
E)
2
3
y
4
1
O
1
3
x
f
66. 2011 – LYS
Yukarıda grafiği verilen f fonksiyonu için
1
A)
eşit olacak şekilde y = k doğrusu verilmiştir.
x.fl (x) – f (x)
dx integralinin değeri kaçtır?
x2
7
2
B)
3
2
C)
2
3
D)
1
3
E)
5
4
y
ESEN YAYINLARI
3
#
Aşağıdaki grafikte, A ve B bölgelerinin alanları
y = x2 + 1
10
B
1
O
x
3
Buna göre, k nin değeri kaçtır?
63. 2010 – LYS
f(x) = )
y=k
A
3 – x , x < 2 ise
2x – 3 , x ≥ 2 ise
A) 2
B) 3
C) 4
D)
9
4
E)
11
2
3
#
için
f (x + 1) dx integralinin değeri kaçtır?
1
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
67. 2011 – LYS
e
#
ln 3 x dx = 6 – 2e olduğuna göre,
1
64. 2011 – LYS
2
e
f′(x) = 3x + 4x + 3 ,
#
f(0) = 2
olduğuna göre, f(–1) değeri kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
ln 4 x dx integralinin değeri kaçtır?
1
A) 7e – 16
E) 2
B) 8e – 18
D) 10e – 26
C) 9e – 24
E) 11e – 28
447
İntegral
68. 2011 – LYS
#
ln x
dx
x
71. 2012 – LYS
integralinde u =
x
Birinci bölgede; koordinat eksenleri, x = 5, y = 5
dönüşümü
doğruları ve y = x2 + 1, x = y2 + 1 eğrileri
yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde
arasında kalan A bölgesi aşağıda verilmiştir.
edilir?
y
A)
# ln u du
B)
# 2 ln u du
C)
#
ln u
du
u
D)
#
(2, 5)
ln u
du
2u
A
(5, 2)
E)
# u ln u du
x
O
A bölgesinin alanı kaç birim karedir?
A)
69. 2012 – LYS
6f (x)@
2
–1
4
B)
35
3
C)
43
3
D)
71
6
E)
77
6
72. 2012 – LYS
dx =
y
# 2 dx
eşitliği veriliyor.
1
olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
f(0) =
2
A)
B)
3
4
C)
3
5
D) –2
E) –1
3
ESEN YAYINLARI
#
f l(x)
27
2
1
O
x
1
Birinci bölgede; y ekseni, y = 1 doğrusu ve
9x2 + y2 = 9 elipsi arasında kalan bölge y ekseni
etrafında 360° döndürülüyor. Elde edilen dönel
cismin hacmi kaç birim küptür?
A)
B)
D)
70. 2012 – LYS
# (arcsin x) 2 dx
integralinde u = arcsinx dönüşümü yapılırsa
aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
A)
# u.sin 2 u du
B)
# u.cos 2 u du
C)
# u 2 .sin u du
D)
# u 2 .cos u du
E)
# u 2 du
448
8r
9
25r
27
10r
9
C)
E)
28r
27
19r
18
ESEN ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
ESEN
ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
9. SINIF
10. SINIF
11. SINIF
12. SINIF
YGS - LYS
www.nevzatasma.com & www.halitbiyik.com