ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Ayşe ÇOBANKAYA
ESAS GRUPOİDLER VE UYGULAMALARI
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2011
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ESAS GRUPOİDLER VE UYGULAMALARI
Ayşe ÇOBANKAYA
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu Tez 08/08/2011 Tarihinde Aşağıdaki
Oybirliği/Oyçokluğu ile Kabul Edilmiştir.
Jüri
………………....................
……................................
…………………………..
Üyeleri
Tarafından
Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ Doç. Dr. Ali Arslan ÖZKURT Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL
Enstitü Müdürü
Bu Çalışma Tübitak-Bideb Tarafından Desteklenmiştir.
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere
tabidir.
Sevgili Eşim Murat’a
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ESAS GRUPOİDLER VE UYGULAMALARI
Ayşe ÇOBANKAYA
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman :Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
Yıl: 2011, Sayfa: 81
Jüri
:Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
:Doç. Dr. Ali ÖZKURT
:Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
Bu çalışmada bir topolojik uzayın esas grupoidi tanımlandı ve esas
grupoidin topolojik uzaylar kategorisine kovaryant bir funktor olduğu gösterildi.
Daha sonra Seifert-van Kampen teoreminin daha genel şeklinin bir ispatı verildi.
Ayrıca grupoidler arasında örtü morfizmaları çalışıldı ve yükseltme teoremi
ispatlandı.
Anahtar Kelimeler: Topolojik Uzaylar, Esas Grup, Örtü uzayı,
Seifert-van Kampen Teoremi, Esas Grupoid.
I
ABSTRACT
MSc THESIS
FUNDAMENTAL GRUPOIDS AND ITS APPLICATIONS
Ayşe ÇOBANKAYA
DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTITUTE OF NATURAL AND
APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA
Supervisor :Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
Year: 2011, Pages: 81
Jury
:Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ
:Assoc. Prof. Dr. Ali ÖZKURT
:Assoc. Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
In this thesis, the fundamental grupoid of a topological space is defined and
proved to be a covariant functor from the category of topological spaces to be
category of grupoids. Also a proof of a more general form of the Seifert-Van
Kampen theorem is given. We also study the concept of covering morphism between
groupoids and a lifting theorem is proven.
Key Words: Topological Spaces, Fundamental Grup, Covering Spaces,
Seifert-van Kampen Theorem, Fundamental Grupoid.
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan,
yardımlarını esirgemeyen, bilgisi ve kişiliğiyle her zaman örnek aldığım saygıdeğer
danışmanım Prof. Dr. Doğan DÖNMEZ’e sonsuz sevgi ve teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca, değerli hocalarım Prof. Dr. Yusuf ÜNLÜ’ye, Doç. Dr. Ali Arslan
ÖZKURT’a, oda arkadaşım Arş. Gör. Gülistan KAYA GÖK’e ve tüm matematik
bölümü akademik personeline yardım ve teşviklerinden dolayı teşekkür ederim.
Manevi desteklerini hiç bir zaman esirgemeyen eşim Murat ÇOBANKAYA’ya,
annem Saadet ÇAYLAK’a, babam Hüseyin ÇAYLAK’a, abim Salih ÇAYLAK’a ve
fizik öğretmenim Ahmet EROL ’a sevgi ve teşekkürlerimi sunarım.
Yüksek lisans eğitimim süresince verdiği burstan dolayı TÜBİTAK Bilim
İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına teşekkür ederim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ ............................................................................................................................ I
ABSTRACT............................................................................................................ II
TEŞEKKÜR...........................................................................................................III
İÇİNDEKİLER ..................................................................................................... IV
1. GİRİŞ ...................................................................................................................1
2. KATEGORİLER..................................................................................................3
2.1. πX kategorisi ...............................................................................................5
3. ESAS GRUPOİD .................................................................................................9
3.1. Grupoidlerin özellikleri ..............................................................................10
3.2. Grupoidlerin funktorları ve morfizmleri ...................................................14
3.2.1. Kategorilerin Çarpımı.........................................................................19
3.3. Homotopi ...................................................................................................23
3.4. Coproduct ve Pushout ...............................................................................32
3.5. Esas Grupoid için Seifert-van Kampen Teoremi ......................................38
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ ....................................................................................65
4.1. Yükseltmelerin Toplamları ve Morfizmalar...............................................70
KAYNAKLAR ......................................................................................................79
ÖZGEÇMİŞ ...........................................................................................................81
IV
1. GİRİŞ
Ayşe ÇOBANKAYA
1. GİRİŞ
Bir topolojik uzayın esas grubu (Poincare, 1895), Poincare tarafından
tanımlandı. Bu grubu tanımlamak için uzayın bir noktası (taban noktası) seçilir ve
bu noktadaki kapalı eğrilerin (relatif homotopik olmak denklik bağıntısına göre) denklik sınıfları grubun elemanlarını oluşturur. Eğrilerin (sınıflarının) ardarda eklenmesi
de gruptaki ikili işlemdir.
Seifert-van Kampen teoremi (Seifert, 1931),(Kampen, E. H. Van, 1933) bazı
koşullarda birleşimin esas grupların nasıl hesaplandığını gösterir. Bu teorem incelendiğinde noktaya bağlılık ve arakesitin yol bağlantılı olma koşulu ile hesaplandığı
görülmektedir. Bu tezde (Hu, Sze-tsen, 1964), Hu, Sze-tsen tarafından tanımlanan ve
Brown (Brown, 2006) tarafından grupoidler için Seifert-van Kampen Teoreminin genel
şekli ispatlanmış olan esas grupoidler incelenmiştir. Bunun için R.Brown’un Topology
and Gropoids (Brown, 2006) kitabındaki yol izlenmiştir.
İkinci bölümde kategori kavramı tanımlandı ve πX in kategori olduğu
gösterildi.
Üçüncü bölümde grupoidler hakkında belirli tanım ve teoremler ile birlikte esas
grupoidin yapısı hakkında bilgi verildi ve bölümün sonunda daha genel Seifert-Van
Kampen teoremi ispatlandı.
Dördüncü bölümde ise örtü grupoidleri incelenmiştir ve örtü uzaylarındaki
bazı teoremlerin daha genel olarak geçerli olduğu gösterilmiştir.
1
Ayşe ÇOBANKAYA
2
2. KATEGORİLER
Ayşe ÇOBANKAYA
2. KATEGORİLER
Tanım 2.1 Bir C kategorisi,
1. Ob jC ile gösterilen, C nin objelerinin (nesnelerinin) sınıfı,
2. ∀x, y ∈ Ob jC için C (x, y) ile gösterilen ( ve elemanlarına x den y ye giden morfizmalar diyeceğimiz ve f : x → y şeklinde göstereceğimiz) kümelerden oluşur.
morfizmalar arasındaki bir bileşke işlemi :
C (y, z) × C (x, y) → C (x, z)
(g, f ) 7−→ g f ( Bazı özel kategorilerde g + f şeklinde yazacağız. )
Aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.
(i) ∀h ∈ C (z, w) , ∀g ∈ C (y, z) , ∀ f ∈ C (x, y) için h(g f ) = (hg) f
(ii) Her x ∈ Ob j(C ) için 1x ∈ C (x, x) vardır, öyle ki ∀g ∈ C (w, x) ve ∀ f ∈ C (x, y) için
1x g = g ve f 1x = f
f , C nin bir morfizması ise bazen f ∈ C yazacağız.
Tanım 2.2 Bir kategorinin nesneleri topluluğu küme ise o kategoriye küçük kategori
denir.
Örnek 2.1 X bir topolojik uzay, PX
Objeleri : X in noktaları
Morfizmaları : PX(x, y) = {a : x, y ∈ X için a : x den y ye giden bir yol}
olmak üzere PX in bir küçük kategori olduğunu gösterelim. Nesnelerinin
bir küme olduğu açıktır.
Bileşke işlemini (değişmeli olmamasına karşın) + ile
göstereceğiz. (a : [0, q] → X ise q =| a | yazalım.)
+ : PX(x, y) × PX(y, z) → PX(x, z)
(a, b) 7−→ b + a
3
2. KATEGORİLER
Ayşe ÇOBANKAYA
b+a 
: [0, | a | + | b |] → X
 a(s)
0 ≤ s ≤| a |
(b + a)(s) =
 b(s− | a |) | a |≤ s ≤| a | + | b |
(i) 0x ∈ PX(x, x) dir. (0x : [0, 0] → X, 0x (0) = x)
∀a ∈ PX(x, y) için a + 0x = a ve 0y + a = a dir.
Çünkü

 0 (s) = x 0 ≤ s ≤ 0
x
(a + 0x )(s) =
ve
 a(s − 0) 0 ≤ s ≤| a | +0

 a(s)
0 ≤ s ≤| a |
(0y + a)(s) =
olup, 0x , PX(x, x) nin ve 0y , PX(y, y)
 0 (s− | a |) = y | a |≤ s ≤| a |
y
nin birimidir.
(ii) (c + b) + a = c + (b + a) dır. | c |= r, | b |= q, | a |= p olsun.

 a(s)
0≤s≤ p
((c + b) + a) (s) =
 (c + b) (s − p) p ≤ s ≤ p + q



a (s)
0≤s≤ p


=
b (s − p)
p ≤ s ≤ p+q



 c (s − p − q) p + q ≤ s ≤ p + q + r

 (b + a) (s)
(c + (b + a)) (s) =
 c (s − p − q)



a (s)


=
b (s − p)



 c (s − p − q)
olduğundan, (c + b) + a = c + (b + a) olur.
PX bir kategoridir.
4
0 ≤ s ≤ p+q
p+q ≤ s ≤ p+q+r
0≤s≤ p
p ≤ s ≤ p+q
p+q ≤ s ≤ p+q+r
2. KATEGORİLER
Ayşe ÇOBANKAYA
2.1. πX kategorisi
Teorem 2.1 C bir kategori ve ∀x, y ∈ Ob jC için denklik bağıntıları verilsin. Eğer her
a, a0 ∈ C (x, y), b, b0 ∈ C (y, z) için a ∼ a0 , b ∼ b0 iken (ba) ∼ (b0 a0 ) oluyor ise
C0 :
Ob jC 0 = Ob jC ve C 0 (x, y) = C (x,y)
∼ ve [b][a] = [ba] işlemi ile bir kategoridir.
İspat: C kategori olduğundan ;
(i) (cb)a = c(ba) dır.
([c] [b]) [a] = [cb] [a] = [(cb)a] = [c(ba)] = [c] [ba] = [c] ([ba])
(ii) 1y a = a, a1x = a olduğundan,
[1y ] [a] = [1y a] = [a] ve [a] [1x ] = [a1x ] = [a]
X bir Topolojik uzay olsun.
Objeleri : X in elemanları
Morfizmaları: x den y ye giden yolların denklik sınıfı olacak şekilde πX kategorisini
oluşturalım.
Denklik bağıntısını tanımlayalım.
a, b ∈ PX(x, y) ve |a| = |b| = r olsun.
F(s, 0) = a(s) F(s, q) = b(s) , s ∈ [0, r]
F(0,t) = x
t ∈ [0, q]
F(r,t) = y , t ∈ [0, q]
Ft : s 7−→ F(s,t) F0 = a , Fq = b
|a| = |b| = r olmak üzere ; F : [0, r] × [0, q] → X sürekli fonksiyonu varsa
F ye a ile b arasında homotopidir deriz ve a ile b ye homotopiktir denir.
aHb olarak gösterilir. F nin X ×I = X ×[0, 1] de tanımlı olduğunu varsayabiliriz. r ≥ 0
ise rx : [0, r] → X ( Kısaca r ) rx (t) = x sabit eğrisini göstersin.
Tanım 2.3 a, b ∈ PX(x, y) olsun. a ∼ b ⇔ (r + a)H(s + b) olacak şekilde r, s ≥ 0
vardır.
C = PX için bu teoremi kullanalım. F : aHb ve G : cHd olsun. | a |=| b | ve | c |=| d |
olur.
5
2. KATEGORİLER
Ayşe ÇOBANKAYA
H : [0, |a| + |c|] × I −→ X homotopisi (I = [0, 1])

 F(s,t)
0 ≤ s ≤| a |
H(s,t) =
 G(s− | a |,t) | a |≤ s ≤| a | + | c |
olsun.

 F(s, 0)
0 ≤ s ≤| a |
H(s, 0) =
 G(s− | a |, 0) | a |≤ s ≤| a | + | c |

 a(s)
0 ≤ s ≤| a |
=
 c(s− | a |) | a |≤ s ≤| a | + | c |
= (c + a)(s)

 F(s, 1)
0 ≤ s ≤| a |
H(s, 1) =
 G(s− | a |, 1) | a |≤ s ≤| a | + | c |

 b(s)
0 ≤ s ≤| a |
=
 d(s− | a |) | a |≤ s ≤| a | + | c |
= (d + b)(s)
(c + a)H(d + b) olur.
(ii)
İddia: r ≥ 0 ve a ∈ PX(x, y) olsun. Bu durumda (a + rx )H(ry + a) dır.
|a| = r0 olsun.
6
2. KATEGORİLER
Ayşe ÇOBANKAYA
F : [0, r + r0 ] × I −→ X
F(s,t) =
F(s, 0) =



x


0 ≤ s ≤ tr
a(s − tr) tr ≤ s ≤ tr + r0



 y
tr + r0 ≤ s ≤ r + r0



x
0≤s≤0


a(s) 0 ≤ s ≤ r0



 y
r0 ≤ s ≤ r + r0
= (ry + a)(s)



x
0≤s≤r


F(s, 1) =
a(s − r) r ≤ s ≤ r + r0



 y
s = r + r0
= (a + rx )(s)
F(0,t) = x ve F(1,t) = y dir ve Böylece (a + rx )H(ry + a) olur. Şimdi a ∼ a0 ve
b ∼ b0 ise (b + a) ∼ (b0 + a0 ) olduğunu gösterelim. Bazı r1 , r2 , s1 , s2 ≥ 0 için
a ∼ a0 olduğundan (r1 + a)H(s1 + a0 ), (ii) den (a + r1 )H(a0 + s1 ).
0
b ∼ b olduğundan (r2 + b)H(s2 + b0 ) (i) den (r2 + b + a + r1 )H(s2 + b0 + a0 + s1 ) olur.
(ii) den (r1 + r2 + b + a)H(s1 + s2 + b0 + a0 ) olur. Böylece (b + a) ∼ (b0 + a0 ) olur.
Yani işlem iyi tanımlıdır. Önceki teoremden πX bir (küçük) kategoridir. Bu kategorideki bileşke işlemini de (her ne kadar değişmeli olmak zorunda değilse de) + ile
göstereceğiz.
Tanım 2.4
C , D iki kategori olsun.
(i) Ob jD ⊆ Ob jC
(ii) ∀x, y ∈ Ob jD için D (x, y) ⊆ C (x, y)
(iii) D nin morfizmalarının bileşke işlemi C ninki ile aynı ise
D , C nin alt kategorisidir denir.
Tanım 2.5 D , C nin alt kategorisi ve ∀x, y ∈ Ob jD için D (x, y) = C (x, y) ise D ye C
nin full alt kategorisi denir.
7
2. KATEGORİLER
Ayşe ÇOBANKAYA
Tanım 2.6 D , C nin alt kategorisi ve Ob jD = Ob jC ise D ye C nin wide alt kategorisi
denir.
Tanım 2.7 C bir kategori ve f , g C nin morfizmaları olmak üzere g f = 1 oluyorsa
g ye, f nin sol tersi denir. f ye, g nin sağ tersi denir.
Teorem 2.2 f , g1 ve g2 ; f : x → y, g1 , g2 : y → x, g1 f = 1x ve f g2 = 1y olacak şekilde
bir C kategorisinin morfizmaları olsun. Bu durumda g1 = g2 olur. Dahası g f = 1x
oluyorsa g = g1 dir.
İspat: g1 = g1 1y = g1 f g2 = 1x g2 = g2 ve g = g1y = g f g2 = 1x g2 = g2 olduğundan
g1 = g2 = g yani g1 = g dir.
Tanım 2.8 C bir kategori x, y ∈ Ob jC ve f ∈ C (x, y) olsun. f nin hem sağ hem de sol
tersi varsa f ye tersinirdir veya izomorfizmadır denir.
8
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
3. ESAS GRUPOİD
Tanım 3.1 Her morfizması izomorfizma olan küçük kategoriye grupoid denir.
Örnek 3.1 Her grubu grupoid yapabiliriz.
Şöyle ki;
G bir grup olsun.
C nin tek objesi ∗, C (∗, ∗) = G ve işlem grup işlemidir.
G bir grup olduğundan birleşme ve birim eleman özelliğinden dolayı C bir
kategoridir.
C nin her morfizması ( G nin elemanlarının tersi olduğundan) izomorfizma
olduğundan C bir grupoiddir.
İddia 3.1 (Esas Grupoid) X bir Topolojik uzay ise πX kategorisi bir grupoiddir.
İspat: πX in her morfizmasının izomorfizma olduğunu gösterelim.
Bunun için a ∈ PX(x, y) ve |a| = r olsun.
−a + a ∼ 2rx ve a + (−a) ∼ 2ry olduğunu gösterelim.
Önce −a morfizmasını tanımlayalım.
a : [0, |a|] → X, a ∈ PX(x, y) olsun.
−a : [0, |a|] → X, (−a)(s) = a(|a| − s) olarak tanımlayalım. −a süreklidir ve
(−a)(0) = y ve (−a)(1) = x olduğundan −a ∈ PX(y, x)
(i) −a + a ∼ 2rx oluşu :
9
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
F : [0, 2r] × I −→ X



a(s)
0 ≤ s ≤ rt


F(s,t) =
a(2rt − s) rt ≤ s ≤ 2rt



 x
2rt ≤ s ≤ 2r



x 0≤s≤0


F(s, 0) =
x 0≤s≤0



 x 0 ≤ s ≤ 2r
= x
 a(s)
0≤s≤r
F(s, 1) =
 a(2r − s) r ≤ s ≤ 2r
= (−a + a)(s)
F(0,t) = x , F(1,t) = y olduğundan ;
2rx ∼ −a + a olur. Yani −a + a ∼ 2rx dir.
(ii) a yerine −a alınırsa da (−(−a) = a olduğundan ) a + (−a) ∼ 2ry olur.
[a] + [−a] = [a + (−a)] = [2ry ] = [0] Aynı şekilde [−a] + [a] = 0 olur. Yani;
[a] + (−[a]) = 0 ve (−[a]) + [a] = 0 olduğundan πX kategorisinde her morfizma
izomorfizmadır. πX in objelerinin topluluğu X (bir küme) ve her morfizması
izomorfizma olduğundan πX grupoid olur.
πX e, X in esas grupoidi denir.
3.1. Grupoidlerin özellikleri
Bu bölümde groupoidlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Toplamsal notasyon kullanacağız.
−a : G groupoidinin a morfizmasının tersini göstersin. Böylece a − b = a +
(−b)
olarak yazabileceğiz ve ayrıca a − b − c yi hem (a − b) − c olarak hem de
a − (c + b) olarak ifade edeceğiz.
Tanım 3.2 G bir groupoid olsun. H , G nin altkategorisi ve ayrıca a, H de bir morfizma iken −a da H de bir morfizma oluyorsa H ye G nin alt grupoid i denir.
10
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
Yani, H grupoid olan altkategoridir. H full (wide) altkategori ise H full(wide)
grupoiddir. G nin tek objeli (yegane objesi x ise ) full alt grupoidi G (x) olarak yazılır.
Tanım 3.3 Sadece tek objeden oluşan grupoidler grupdur. G (x) e G nin obje grubu
adı verilir.
X topolojik uzay x ∈ X ise πX(x) , x de X in esas grubu olarak adlandırılır.
π(X, x) olarak yazılır.
X bir topolojik uzay, A bir küme olsun.
πXA grupoidi:
Objeleri :X ∩ A nın elemanları
Morfizmaları : x, y ∈ Ob jπXA = A ∩ X için
πXA (x, y) = πX (x, y)
Bileşke işlemi :πX deki bileşke işlem
şeklinde tanımlı πX in full alt grupoididir.
Tanım 3.4 G bir grupoid olsun. ∀x, y ∈ Ob jG için G (x, y) 6= ∅ ise G bağlantılıdır
deriz.
Örnek 3.2 πX bağlantılıdır. ⇔ X yol bağlantılıdır.
Çözüm: X yol bağlantılıdır. ⇔ ∀x, y ∈ X için PX(x, y) 6= ∅. πX(x, y) =
PX(x,y)
∼
PX(x,y)
∼
idi.
6= ∅ ⇔ PX(x, y) 6= ∅
G bir grupoid , x0 ∈ Ob jG ve Cx0 , y ∈ Ob jG için G (x0 , y) 6= ∅ olacak şekilde
G nin full alt grupoidi olsun. Cx0 kategorisi; x0 ∈ Ob jG olmak üzere;
Ob jCx0 = {y ∈ Ob jG : G (x0 , y) 6= ∅} Cx0 (x, y) = G (x, y) şeklinde tanımlanır.
İddia 3.2 x, y ∈ Ob jCx0 ise G (x, y) 6= ∅
Çünkü, b ∈ G (x0 , y) ve a ∈ G (x, x0 ) (G (x, x0 ) 6= ∅ dır. Çünkü G (x0 , x) 6= ∅
ve G grupoiddir.) olmak üzere b + a ∈ G (x, y) olup G (x, y) 6= ∅
Cx0 bağlantılıdır.
İddia 3.3 Cx0 ; x0 objesini içeren maksimal bağlantılı alt grupoiddir.
11
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
İspat: A ; x0 objesini içeren bağlantılı full alt grupoidi olsun.
Ob jCx0 ⊂ Ob jA ⊂ Ob jG ise Cx0 = A olduğunu gösterelim.
x ∈ Ob jA olsun. Bu durumda G (x0 , x) 6= ∅ olur ve x ∈ Ob jCx0
olur. Böylece Ob jA ⊂ Ob jCx0 olup,
Ob jA = Ob jCx0
dır. A ve Cx0 full alt grupoid olduğundan,
Cx0 = A
olup Cx0 maksimaldir.
Teorem 3.4 G bir grupoid x, y, x0 , y0 ∈ Ob jG ve G bağlantılı grupoid olsun. Bu durumda ϕ : G (x, y) −→ G (x0 , y0 ) eşlemesi vardır. Eğer x = y ve x0 = y0 seçilirse ϕ bir
grup izomorfizmi olacak şekilde bulunabilir.
İspat: G bağlantılı olduğundan ;
G (x, x0 ) 6= ∅ ve G (y, y0 ) 6= ∅ olduğundan; a : x → x0 , b : y → y0
seçebiliriz.
x.0
.
.........
...
...
...
...
...
...
...
...
.
........................................................
ϕc
a
x
........................................................
c
y0
..
.........
....
...
...
...
...
...
...
...
.
b
y
ϕ : G (x, y) → G (x0 , y0 ) , ϕ (c) = b + c − a
ψ : G (x0 , y0 ) → G (x, y) , ψ (d) = −b + d + a
olarak tanımlayalım. Bu durumda
(ϕΨ )(c) = ϕ(b + c − a)
= −b + b + c − a + a
=c
ϕΨ = 1G (x0 ,y0 )
Ψ ϕ = 1G (x,y)
olur. Böylece ϕ eşleme olur. Eğer x = y ve x0 = y0 ise a = b seçebiliriz. Böylece
ϕ(c) = a + c − a olur.
0
x ∈ Ob jG ; c, c ∈ G (x, x) için,
12
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
0
0
ϕc + ϕc = a + c − a + a + c − a
0
= a+c+c −a
0
= ϕ(c + c )
Böylece ϕ grup homomorfizması olur ve ϕ birebir eşleme olduğundan ϕ grup
izomorfizmasıdır. Böylece bağlantılı grupoidlerin object groupları izomorftur ve bu
izomorfizm ;
0
ax : G (x) → G (x )
c 7−→ a + c − a
olarak yazılır. Eğer x = x0 ise ax , G (x) in iç otomorfizmi olur.
Teorem 3.5 x ve x0 , G nin aynı bileşenine ait objeleri olsun. Bu durumda
∀ a, b : x → x0 için ax = bx : G (x) → G (x0 ) olması için gerek ve yeter koşul
G (x) in abelyen olmasıdır.
İspat:
⇒) ((−b + a)x )(c) = (−b + a) + c − (−b + a) = −b + a + c − a + b = (−b)x (ax (c))
(−b + a)x = (−b)x ax = b−1
x ax
İddia 3.6 (−b)x = b−1
x
bx (−b)x = (b − b)x = 0x
(−b)x bx = (−b + b)x = 0x
(−b)x = b−1
x
olur.
c:x→x
ise bu durumda
(bx )−1 (b + c)x = (bx )−1 (bx cx ) = ((bx )−1 bx )cx = cx
olduğundan G (x) in her iç otomorfizması b−1
x ax formundadır.
İddia 3.7 Bir grubun her iç otomorfizmasının aşikar izomorfizma olması için gerek ve
yeter koşul grubun abelyen olmasıdır.
İspat: G bir grup olsun. ∀g ∈ G için ϕ : G → G ϕ(x) = gxg−1 olsun.
13
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
⇒) ϕ iç otomorfizmi aşikar olsun. Bu durumda ∀x ∈ G için
gxg−1 = x olur.
gxg−1 = x ⇒ gx = xg olup,
∀ x, g ∈ G için sağlandığından,
G abelyendir.
⇐) Açıktır.
∀ a, b : x → x0 için
(bx )−1 ax = 1G (x)
olduğundan lemma dan G (x) abelyendir.
⇐) G (x) abelyen olsun. Bu durumda bir önceki lemmadan G (x) in iç otomorfizmleri aşikardır.
G (x) in iç otomorfizmleri ((bx )−1 ax ) formunda olduğundan,
(bx )−1 ax = 1G (x) olur. Böylece
ax = bx
olur.
Sonuç 3.8 α, X de x den x0 ne giden yolların bir sınıfı olsun. Bu durumda α, αx :
π(X, x) → π(X, x0 ) bir izomorfizm belirler.
αx ,α nın seçiminden bağımsızdır. ⇔ π(X, x) abelyendir. Bu tanımlar ve sonuçları πX
esas grupoidine de uygulayabiliriz. πX in bileşenleri, X in X0 yol bileşeni için πX0
grupoididir. x0 ∈ X olsun.
(πX)x0 = πX0 (X0 : x0 i içeren X in yol bileşeni)
3.2. Grupoidlerin funktorları ve morfizmleri
C ve D iki kategori olsun.
T : C → D ye bir kovaryant funktor olması için,
1. X ∈ Ob jC iken T X ∈ Ob jD
14
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
2. f ∈ C (X,Y ) için T f ∈ D (T X, TY ) (T f , f den indüklenmiş morfizma olarak
adlandırılır.) olmalıdır ve T aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.
(i) 1 : X → X, 1x ∈ C (X, X) birim morfizm olmak üzere
T 1x : T X → T X, birim morfizmdir. Yani; T 1x = 1T X
(ii) f ∈ C (X,Y ) ve g ∈ C (Y, Z) olmak üzere T (g f ) = T gT f
Teorem 3.9 T : C → D bir funktor olsun. Eğer f retraction, coretraction veya izomorfizm ise T f de retraction, coretraction veya izomorfizm olur.
İspat: f izomorfizm olsun. Bu durumda f ∈ C (X,Y )
f g = 1y ve g f = 1x olacak şekilde bir g ∈ C (Y, X) vardır.
T funktor olduğundan;
T f T g = T ( f g) = T 1x = 1T X
T gT f = T (g f ) = T 1Y = 1TY
olup T f izomorfizmdir. Diğerleri de benzer şekilde gösterilir.
Örnek 3.3 Küçük kategoriler ve funktorlar (funktorların ardarda uygulanması işlemi
ile) bir kategori oluşturur. Bu kategoriyi SCat ile gösterelim.
Örnek 3.4 Grpd kategorisi
Nesneler: Grupoidler
Morfizmalar: G ve H iki grupoid ise
Grpd(G, H) = {T : T : G → H bir funktor}
İşlem : Funktorların bileşkesi
(T1 T2 )X = T1 (T2 X)
(i) ((T1 T2 )T3 )X = T1 (T2 (T3 X))
(T1 (T2 T3 ))X = T1 (T2 (T3 X))
((T1 T2 )T3 ) f = (T1 T2 )(T3 f ) = T1 (T2 (T3 f )) = T1 (T2 T3 )) f
15
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
(ii) (T 1G )X = T (1G X) = T X (1G T )X = 1G (T X) = T X
(T 1G ) f = T (1G f ) = T f
(1G T ) f = 1G (T f ) = T f
Grpd kategorisi, SCat kategorisinin bir full alt kategorisidir.
Teorem 3.10 P, Top (topolojik uzaylar kategorisi) kategorisinden SCat kategorisine
bir funktordur.
İspat:
X ∈ Ob jTop için PX ∈ Ob jSCat
f : X → Y sürekli fonksiyon olsun. P f nin funktorunu tanımlayalım.
P f : PX → PY
(a) x ∈ Ob jPX, (x ∈ X) için
P f (x) = f (x)
(b) P f (a) = f a (a : [0, r] → X )
olarak tanımlayalım.
(i) P f (0x ) = f 0x = 0 f (x)
(ii) P f (a + b) = f (a + b) = f a + f b = P f (a) + P f (b)
a, b ∈ PX, f : X → Y olsun.

 ( f b)(t)
0 ≤ t ≤| b |
f (a + b) =
 ( f a)(t− | b |) | b |≤ t ≤| a | + | b |
= fa+ fb
olduğundan P f bir funktordur. Şimdi P : Top → SCat bir funktor olduğunu
gösterelim.
(i) 1x : X → X birim fonksiyon olmak üzere
16
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
(P1x )a = 1x a = a = 1Px (a)
P1x = 1Px
(ii) (P f g)a = ( f g)a = f (ga) = P f (Pg(a)) olduğundan
P f g = (P f )(Pg)
P funktordur.
Teorem 3.11 Esas grupoid, Top kategorisinden Grpd kategorisine bir funktordur.
İspat: π : Top → Grpd
X ∈ Ob jTop için πX ∈ Ob jGrpd
f : X → Y sürekli fonksiyon olsun.
π f : πX → πY funktorunu şöyle tanımlayalım. ∀x ∈ X için π f x = f x ve
a : [0, r] → X için
π f ([a]) = [ f a] olarak tanımlayalım.
1. π f iyi tanımlıdır.
[a] = [b] olsun. [ f a] = [ f b] olduğunu gösterelim.
Bu durumda (r + a)H(s + b) olacak şekilde r, s ≥ 0 vardır.
G : [0, r+ | a |] × I → X homotopi olsun. f (r + a) = r + f a
f G = [0, r+ | a |] × I → Y, r + f a ile f b + s = f (b + s) arasında homotopidir
dolayısıyla [ f a] = [ f b] olur.
2. π f nin morfizma yani funktor oluşu:
0
f
[0, 0] →x X → Y
a) (π f )(1x ) = (π f )([0x ]) = [ f 0x ] = 0 f x = 0π f x
b) π f : πX → πY
π f ([a] + [b]) = π f ([a + b]) = [ f (a + b)] = [ f a + f b] = [ f a] + [ f b] = π f ([a]) +
π f ([b])
olduğundan π f morfizmadır.
17
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
Şimdi π : Top → Grpd bir funktor olduğunu gösterelim.
(i) 1x : X → X birim fonksiyon olmak üzere
(π1x ) [a] = [1x a] = [a] = 1πx ([a])
π1x = 1πx
(ii) (π f g) [a] = [( f g)a] = [ f (ga)] = π f (πg([a]))
π f g = (π f )(πg)
π funktordur.
Sonuç 3.12 X,Y ye homeomorf ise πX, πY ye izomorftur.
Teorem 3.13 f : C → D bir funktor olsun. f izomorfizmdir. ⇔
ϕ : Ob jC → Ob jD , ϕ(X) = f X
φ : C (X,Y ) → D ( f X, fY ), φ (a) = f a (∀X,Y ∈ Ob jC )
f tarafından tanımlanan bu fonksiyonlar eşleme olur.
İspat: ⇒)g : D → C funktor ve f g = 1D ve g f = 1 C dir.
i)ϕ0 : Ob jD → Ob jC , ϕ0 (Y ) = gY
ii)φ 0 : D ( f X, fY ) → C (X,Y ),
φ 0 (b) = gb
(ϕϕ0 )Y = ϕ(gY ) = f (gY ) = ( f g)Y = 1D Y = Y
(φ φ 0 )b = φ (φ 0 b) = φ (gb) = f (gb) = ( f g)b = b
⇐)g : D → C funktorunu bulmalıyız.
g : Ob jD → Ob j(C
gY = ϕ−1Y olarak tanımlayalım.
Y1 = f X1 ve Y2 = f X2
ψ : C (X1 , X2 ) → D ( f X1 , f X2 ) = D (Y1 ,Y2 ) ψa = f a
eşleme olduğundan ga = ψ −1 a seçelim.
18
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
(i) g (ab) = gagb olduğunu gösterelim.
g (ab) = ψ −1 (ab)
ψ(g(ab)) = ab
ψ(gagb) = f (gagb) = f (ga) f (gb) = ψ(ga)ψ(gb) = ψ −1 ψ (a) ψψ −1 (b) = ab
gagb = ψ −1 (ab) = g (ab)
(ii) Y ∈ Ob jD olsun. g1Y = ψ −1 (1Y ) = f 1Y
ψ (g1Y ) = 1Y , f (g1Y ) = 1Y
f 1X = 1 f X = 1Y
ve ψ eşleme olduğundan g1Y = 1X dir.
3.2.1. Kategorilerin Çarpımı
C1 , C2 iki kategori olsun. C1 × C2 kategorisinin :
Objeleri: x1 ∈ Ob j C1 ve x2 ∈ Ob j C2 olmak üzere (x1 , x2 ) sıralı ikilileri yani
Ob j(C1 × C2 ) = Ob j(C1 ) × Ob j(C2 )
Morfizmaları: (C1 × C2 )((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = C1 (x1 , y1 ) × C2 (x2 , y2 )
Bileşke işlemi şöyle tanımlanır.
(b1 , b2 )(a1 , a2 ) = (b1 a1 , b2 a2 ) Bu tanımla :
(i)
((a1 , a2 )(b1 , b2 ))(c1 , c2 ) = (a1 b1 , a2 b2 )(c1 , c2 )
= ((a1 b1 )c1 , (a2 b2 )c2 )
= (a1 (b1 c1 ), (a2 (b2 c2 ))
= (a1 , a2 )(b1 c1 , b2 c2 )
= (a1 , a2 )((b1 , b2 )(c1 , c2 ))
19
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
(ii) x1 ∈ Ob jC1 ve x2 ∈ Ob jC2 olmak üzere
(a1 , a2 )(1x1 , 1x2 ) = (a1 1x1 , a2 1x2 ) = (a1 , a2 ) ve
(1x1 , 1x2 )(a1 , a2 ) = (1x1 a1 , 1x2 a2 ) = (a1 , a2 )
C1 × C2 bir kategoridir.
−1
−1 −1
a1 , a2 , sırasıyla a−1
1 , a2 terslerine sahipse (a1 , a2 ) ,(a1 , a2 ) nin tersidir
ve C1 ve C2 nin objeleri küme ise C1 × C2 nin objeleri bir kümedir. Böylece C1 , C2
grupoid ise C1 × C2 de grupoiddir. p1 : C1 × C2 → C1 , p2 : C1 × C2 → C2
projeksiyon funktorları olsunlar.
Örnek 3.5 (Çarpımın Evrensel Özelliği) f1 : D → C1 , f2 : D → C2 funktorlar olsun.
Bu durumda; p1 f = f1 ve p2 f = f2 olacak şekilde tek bir f : D → C1 × C2 funktoru
vardır.
Var Oluşu:
C1 × C2 p1 C1
.........................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
p2
C2
........
......
.....
..
.....
..
f
.....
..
f2
.....
..
.....
..
........................................................
.
.........
...
...
..
...
...
...
...
...
..
f1
D
f : D → C1 × C2
d ∈ Ob jD olmak üzere f d = ( f1 a, f2 a)
a, D de morfizma olmak üzere f a = ( f1 a, f2 a)
olsun.
(i) f (gg0 ) = ( f1 (gg0 ), f2 (gg0 )) = ( f1 g f1 g0 , f2 g f2 g0 ) = ( f1 g, f2 g)( f1 g0 , f2 g0 ) = f g f g0
(ii) f 1a = ( f1 1a , f2 1a ) = (1 f1 a , 1 f2 a ) = 1( f1 a, f2 a) = 1 f a
diyagram değişmeli olacak şekilde bir f funktoru vardır.
Teklik:
g , p1 g = f1 ve p2 g = f2 koşulları sağlayan bir funktor olsun.
d ∈ Ob jD , gd = (d1 , d2 ) p1 gd = d1 = f1 d ve p2 gd = d2 = f2 d
gd = ( f1 d, f2 d) = f d
20
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
a, D de morfizma ve ga = (a1 , a2 ) olsun. p1 ga = a1 = f1 a ve p2 ga = a2 = f2 a
ga = ( f1 a, f2 a) = f a olup,
f = g dir.
Teorem 3.14 X = X1 × X2 ise πX ∼
= πX1 × πX2
İspat: pr : X → Xr (r = 1, 2)için projeksiyon π pr : πX → πXr
(x = (x1 , x2 ), π pr (x1 , x2 ) = xr ) evrensel özellikten ;
πX..................π..........p............................. πXr
..
.....
..
r
.....
..
f
.....
..
.....
..
.....
..
........
.
.........
..
...
...
...
...
...
...
...
...
pr
πX1 × πX2
p1 f = π p1 ve p2 f = π p2 olacak şekilde tek bir f : πX → πX1 × πX2 morfizması
vardır. f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ), f ([a]) = ([p1 a] , [p2 a]) (pr f (x1 , x2 ) = π pr (x1 , x2 ) = xr )
x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ X için
f
πX(x1 , x2 ) → πX1 (x1 , x2 ) × πX2 (x1 , x2 ) nin eşleme olduğunu gösterelim.
f nin birebir oluşu :
f ([a]) = f ([b]) olsun. Bu durumda ([p1 a] , [p2 a]) = ([p1 b] , [p2 b]) dir.
Yani [p1 a] = [p1 b] ve [p2 a] = [p2 b]
Böylece p1 a ∼ p1 b ve p2 a ∼ p2 b olur.
r = |a| = |p1 a| = |p2 a| ve |b| = |p1 b| = |p2 b|

 a(s) 0 ≤ s ≤ r
(r + a)(s) =
 a(r) r ≤ s ≤ 2r

 p (a(s)) 0 ≤ s ≤ r
1
p1 (r + a)(s) =
 p (a(r)) r ≤ s ≤ 2r
1
= (r + p1 (a))(s)
Bazı r, s ≥ 0 için; (r + p1 a)H(s + p1 b) ve (r + p2 a)H(s + p2 b) dir.
21
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
p1 (r + a) = (r + p1 a)H(s + p1 b) = p1 (s + b) ve
p2 (r + a) = (r + p2 a)H(s + p2 b) = p2 (s + b)
F1 : (p1 a)H(p1 b) ve F2 : (p2 a)H(p2 b) olsun.
F : [0, r] × I → X F(s,t) = (F1 (s,t), F2 (s,t)) ile aHb olur.
Yani (r + a)H(s + b) olup, a ∼ b olur. f birebir dir.
f nin örten oluşu:
[a1 ] ∈ πX1 , [a2 ] ∈ πX2 olsun. |a1 | = |a2 | = 1 alalım.
a = (a, a) için p1 a = a1 ve p2 a = a2 ve
f [a] = ([p1 a] , [p2 a]) = ([a1 ] , [a2 ]) olduğundan f örtendir.
G1 , G2 iki grupoid olsun. G = G1 t G2 (Aşağıdaki gibi tanımlanan) bir grupoiddir.
Ob jG1 ∩ Ob
 jG2 = ∅ ise Ob jG = Ob jG1 ∪ Ob jG2


G (x, y)
x, y ∈ Ob jG1

 1
G(x, y) =
G2 (x, y)
x, y ∈ Ob jG2



 ∅
diğer durumlarda
ile G grupoid olur.
Ob jG1 ∩ Ob jG2 6=∅ ise Ob jG = (Ob jG1 × {1}) ∪ (Ob jG2 × {2}) alırsak,


G (x, y)
i= j=1

 1
G((x, i), (y, j)) =
G2 (x, y)
i= j=2



 ∅
diğer durumlarda
dir.
Teorem 3.15 πX1 t πX2 ∼
= π(X1 t X2 )
İspat: X1 ∩ X2 = ∅ olsun. (X = X1 ∪ X2 )
F : πX → πX1 t πX2
x ∈ X1 ∪ X2 için Fx = x
a ∈ PX(x, y) için, I bağlantılı ve X1 ∩X2 = ∅ olduğundan Im a ⊂ X1 veya Im a ⊂
X2 olur.
F [a] =

 [a]
 [a]
Im a ⊂ X1
Im a ⊂ X2
F funktordur. F([a] + [b]) = F([a]) + F([b]) ve x ∈ X için F [0x ] = [0x ]
22
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
G : πX1 t πX2 → πX
x ∈ X1 ∪ X2 için Gx = x 
 [a]
a ∈ PX(x, y) için G [a] =
 [a]
G funktordur.
Im a ⊂ X1
Im a ⊂ X2
G([a] + [b]) = G([a]) + G([b]) ve x ∈ X için G [0x ] = [0x ] dir.
x ∈ X için (GF)x = G(Fx) = Gx = x ve (FG)x = F(Gx) = Fx = x
a ∈ PX(x, y) için (GF) [a] = G(F [a]) = G [a] = [a]
ve (FG) [a] = F(G [a]) = F [a] = [a]
X1 ∩ X2 = ∅ ve X = X1 t X2 için πX1 t πX2 ∼
= π(X1 t X2 )
X1 ∩ X2 6= ∅ ise X1 t X2 = (X1 × {1}) ∪ (X2 × {2}) olur. (x ∈ X1 ∩ X2 için
(x, 1) 6= (x, 2)) πX1 t πX2 ∼
= π(X1 t X2 ) olur.
3.3. Homotopi
X,Y topolojik uzay ve F : X × [0, q] → Y dönüşümü;
f : X → Y f (x) = F(x, 0)
g : X → Y g(x) = F(x, 1)
olan q uzunluğundaki bir homotopi olarak adlandırılacaktır ve
F ye f ile g arasındaki homotopidir denir.
F : f ' g olarak gösterilir.
Aslında [0, q] uzunluğundaki homotopiyi [0, 1] uzunluğundaki bir homotopi
olarak ta düşünebiliriz.
Çünkü;
F : X × [0, q] → Y,
1×λ
λ : [0, 1] → [0, q] sürekli λ (0) = 0 ve λ (1) = q olsun.
F
X × [0, 1] → X × [0, q] → Y,
G = F(1 × λ )
G(s, 0) = F(1 × λ )(s, 0) = F(s, λ (0)) = F(s, 0) = f (s)
G(s, 1) = F(1 × λ )(s, 1) = F(s, λ (1)) = F(s, 1) = g(s)
Teorem 3.16 f ' g bağıntısı denklik bağıntısıdır.
23
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
Teorem 3.17 f : W → X, g0 , g1 : X → Y, h : Y → Z fonksiyonlar olmak üzere
g0 ' g1 ⇒ hg0 f ' hg1 f dir.
İspat: gt : g0 ' g1 olmak üzere hgt f : hg0 f ' hg1 f dir.
Teorem 3.18 f0 ' f1 : X → Y ve g0 ' g1 : Z → W ise f0 × g0 ' f1 × g1
İspat: F : f0 ' f1 , G : g0 ' g1 olsun.
f
F×G
F : X × I → Y, G : Z × I → W X × Z × I, → X × I × Z × I → Y ×W
f (x, z,t) = (x,t, z,t)
H = (F × G) f olsun.
H((x, z), 0) = F(x, 0) × G(z, 0) = ( f0 × g0 )(x, z)
H((x, z), 1) = F(x, 1) × G(z, 1) = ( f1 × g1 )(x, z)
f0 × g0 ' f1 × g1 olur.
Tanım 3.5 f : X → Y, g : Y → X dönüşüm olsun. f g ' 1y ise g ye f nin sağ tersi veya
f ye g nin sol homotopi tersi denir.
g , f nin hem sağ hem de sol homotopi tersi ise f ye homotopi denklik denir.
f : X ' Y olarak gösterilir. Eğer f : X → Y homotopi denklik varsa X ve Y ye
homotopi denktir denir.
C , D , E kategoriler ve F : C × D → E bir funktor olsun. x ∈ Ob j C için 1x , C
de birim morfizma, b de D de bir morfizma olmak üzere F(1x , b) yerine F(x, b) kullanacağız.
y ∈ Ob jD , 1y ,D de birim morfizma a, C de morfizma olmak üzere F(a, 1y )
yerine F(a, y) kullanacağız. Kolayca F(x, ) : D → E ve F( , y) : C → E bir funktor
olur.
a : x → x0 , b : y → y0 , C ve D de morfizmalar olmak üzere
24
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
F(x, y) ...................................................................... F(x0 , y)
...
... .......
F(a, y)
.....
...
...
....
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
F(x, b)
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
........
F(a, b)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
F(x0 , b)
F(x, y0 ) .............................................0..................... F(x0 , y0 )
F(a, y )
F(x0 , b)F(a, y) = F(1x0 a, b1y ) = F(a, b)
F(a, y0 )F(x, b) = F(a1x , 1y0 b) = F(a, b) diyagramı değişmelidir.
Teorem 3.19 ∀x ∈ Ob j C
ve ∀y ∈ Ob jD için F(x, −) : D → E , F(−, y) : C → E
funktorlarıiçin F(x, −)y = F(−, y)x = F(x, y) olsun. a : x → x0 C de ve b : y → y0
D de morfizmalar olmak üzere yukarıdaki diyağram değişmeli olsun. Bu durumda
F : C × D → E bir funktor olur.
İspat: F : C × D → E
(i) F(1x , 1y ) = F(1x , y)F(x, 1y ) = (F( , y)1x )(F(x, )1y ) = 1F(x,y) 1F(x,y) = 1F(x,y)
(ii) a1 : x0 → x00 , a2 : x → x0 , b1 : y0 → y00 , b2 : y → y0 morfizmalar olmak üzere
F((a1 , b1 )(a2 , b2 )) = F(a1 a2 , b1 b2 ) = F(a1 a2 , y00 )F(x, b1 b2 )
= F(a1 , y00 )F(a2 , y00 )F(x, b1 )F(x, b2 )
= F(a1 , y00 )F(x0 , b1 )F(a2 , y0 )F(x, b2 ) = F(a1 , b1 )F(a2 , b2 )
F funktordur.
I kategorisi;
Objeleri:{0, 1}
Morfizmaları:{10 , 11 , ı, −ı} ı : 0 → 1, −ı : 1 → 0 olan kategoridir.
C ve E iki kategori olsun.
F : C × I → E , F( , 0) = f (başlangıç funktoru)
25
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
F( , 1) = g (bitiş funktoru) ∀x ∈ Ob j C için
F(x, ) : I → E
funktoru;
F(x, 0) = f x, F(x, 1) = gx ve
F(x, 10 ) = 1 f x , F(x, 11 ) = 1gx , F(x, ı) = θx , F(x, −ı) = θx−1 olmak üzere ∀a ∈
C (x, y) için
f x ........................................................ f y
...
...
fa
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
θy
θx
gx ........................................................ gy
ga
diyagramı değişmeli ise F : C × I → E funktoru tanımlanır ve F : f ' g
dir. Verilen herhangi f : C → E ve f x başlangıç noktalı E nın θx tersinir elemanı
biliniyorsa bir g : C → E funktoru tanımlar ve f ' g olur.
θ ya, f ile g arasında homotopi denir.
C (x, y)
.........................
f
E ( f x, f y)
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..... .
..........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
gθ (x, y)
E (gx, gy)
diyagramı değişmelidir.
0
θ (x, y) : E ( f x, gx) → E (gx, gy), θ (x, y) (a0 ) = (θy ) a (θx )−1 ile diyagram değişmelidir
ve θ (x, y) eşleme olur.
(i) θ (x, y) f a = (θy ) f a (θx )−1 = ga
(ii) ψ : C (gx, gy) → C ( f x, f y) , ψ (a) = (θ y)−1 a(θ x)
0
0
0
0
(ψθ )a = ψ(θ a ) = ψ(θ ya (θ x)−1 ) = (θ y)−1 θ ya (θ x)−1 (θ x) = a
0
(θ ψ)a = θ (ψa) = θ ((θ y)−1 a (θ x)) = (θ y) (θ y)−1 a (θ x) (θ x)−1 = a
Teorem 3.20 Homotopi, funktorlar arasında bir denklik bağıntısıdır.
İspat:
26
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
(i) θ x = 1 f x seçilirse, f ' f
(ii) θ : f ' g olsun. ψx = (θ x)−1 alınırsa g ' f olur.
(iii) θ : f ' g ve ψ : g ' h olsun. ϕx = ψxθ x alınırsa f ' h olur.
Teorem 3.21 f : C → D , g : D → E , h : E → F funktorlar ve θ : g ' g0 olsun. Bu
0
durumda hg f ' hg f olur.
İspat: ∀x, y ∈ Ob j C ,∀a ∈ C (x, y) için
(hg f )x .................................. (hg f )y
...
(hg f )a .......
...
.
...
...
.
...
...
.
ϕy ..........
ϕx ..........
...
...
..........
.
...
...
..........
.
(hg0 f )x ...........0.................. (hg0 f )y
(hg f )a
0
değişmeli olacak şekilde ϕx : (hg f )x → (hg f )x ler bulmalıyız.
ϕx = h(θ ( f x)) olsun.
0
0
∀d, d ∈ Ob jD ve ∀c ∈ D (d, d ) için
....................................
gd ....................gc
gd 0
θd
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
θ d0
g0 d ........................0.............................. g0 d 0
gc
0
0
diyagramı değişmelidir. Yani θ d gc = g cθ d dir.
0
d = f x, d = f y, c = f a olarak alırsak;
0
0
h(θ d gc) = h(g cθ d)
0
0
h(θ d )h(gc) = h(g c)h(θ d)
0
h(θ f y)h(g( f a)) = h(g ( f a))h(θ ( f x))
0
olup, hg f ' hg f olur.
Teorem 3.22 f , g : X → Y homotopik dönüşüm olsun. π f , πg : πX → πY ye homotopiktir.
27
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
İspat: F : X × I → Y , f ile g arasında homotopi olsun. i : I = πI{0, 1} ⊂ πI olsun.
1×i
ϕ
πF
πX × I → πX × πI → π(X × I) → πY
G = πFϕ(1 × i) olsun. G : π f ' πg olduğunu gösterelim.
a ∈ PX(x, y) [a] = α ∈ πX(x, y) ve |a| = 1 olsun.
cε ,(ε = 0, 1) 1 uzunluğunda ε da sabit yolları gösterelim. (cε (t) = ε ∈ I)
G(α, ε) = πFϕ(α, ε) = πF([(a, cε )]) = [F ◦ (a, cε )]

 [F ◦ (a, 1 )] = [ f ◦ a] ε = 0
0
=
 [F ◦ (a, 1 )] = [g ◦ a] ε = 1
1
olup böylece G : π f ' πg dir.
Sonuç 3.23 f : X → Y topolojik uzaylarda homotopi denklik olsun. Bu durumda
π f : πX → πY homotopi denkliktir.
İspat: Bir g : Y → X için f g ' 1Y ve g f ' 1X dir.
π f πg = π( f g) ' π(1Y ) = 1πY , πgπ f = π(g f ) ' π(1X ) = 1πx olup,
π f :πX ile πY arasındaki homotopi denkliktir.
Teorem 3.24 f : C → C ,
f ' 1C olsun.
Bu durumda ∀x, y ∈ Ob j C için f : C (x, y) → C ( f x, f y) eşleme olur.
İspat: θ : f ' 1 olsun.
f x ........................................................ f y
...
...
fa
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
θy
θx
x
........................................................
a
y
θ y f a = aθ x olur.
C (x, y)
........................
f
C ( f x, f y)
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
..........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
θ (x, y)
1C (x,y)
C (x, y)
θ (x, y) : C ( f x, f y) → C (x, y) θ (x, y)( a0 ) = θ ya0 (θ x)−1 eşleme dir.
θ (x, y) f = 1 ϕθ = 1, θ ϕ = 1, θ f = 1 olup f = ϕ = θ −1 eşleme olur.
28
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
Teorem 3.25 f : C → E homotopi denklik olsun. ∀x, y ∈ Ob j C için
f : C (x, y) → E ( f x, f y) eşleme olur.
İspat: g : C → E , f nin homotopi tersi olsun. Bu durumda g f ' 1 C ve f g ' 1E olur.
f
g
f
C (x, y) → E ( f x, f y) → C (g f x, g f y) → E ( f g f x, f g f y)
Teorem 3.24 den g f ve f g eşleme olur. Böylece f ve g eşleme olur.
f objeler üzerinde eşleme ise Teorem 3.13 dan f izomorfizmdir.
Sonuç 3.26 f : X → Y homotopi denklik olsun. Bu durumda ∀x ∈ X için
π f : π(X, x) → π(Y, f x) esas gruplarda izomorfizmdir.
İspat: π f : πX → πY homotopi denkliktir. Teorem 3.25 den
∀x, y ∈ X için π f : πX(x, y) → πY ( f x, f y) bir eşlemedir. Yani
π f : π(X, x) → π(Y, f x) eşleme olur.
π f ([a] + [b]) = π f ([a + b]) = [ f (a + b)]
= [ f a + f b] = [ f a] + [ f b] = π f ([a]) + π f ([b])
olup π f grup homomorfizmasıdır.
π f : π(X, x) → π(Y, f x) esas gruplarda izomorfizmdir.
Tanım 3.6 C , E kategori ve F : C × I → E bir homotopi olsun.
∀x ∈ Ob j C için F(x, 0) = F(x, 1) ve ∀a ∈ C (x, y) için
F(a, 0) = F(a, 1) = F(a, ı)
ise F ye sabit homotopi denir.
θ , F tarafından tanımlı homotopi fonksiyonu olsun.
∀x ∈ Ob j C için θ x = F(x, ı)
İddia 3.27 F sabit homotopidir. ⇔ ∀x ∈ Ob j C için θ x, E nın birimidir.
İspat: ⇐)θ x = 1x olsun. θ x = F(x, ı) : F(x, 0) → F(x, 1) θ x birim dönüşüm
29
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
olduğundan F(x, 0) = F(x, 1) olur. a ∈ C (x, y) için
F(x, 0) .................................. F(y, 0)
...
...
.....F(a, 0)
.....
...
...
....
.
.
1
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...........
1
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
F(x, 1) .................................. F(y, 1)
F(a, 1)
değişmeli olduğundan F(a, 0) = F(a, 1)
⇒) F sabit homotopi olsun. θ x = F(x, ı) = F(1x , ı) = F(1x , 10 ) = 1F(x,0)
Tanım 3.7 D , C nin alt kategorisi olsun. F |D ×I sabit homotopi ise (∀x ∈ Ob jD için
θ x = 1x ) F ye rel D homotopi denir.
F |D ×I : D × I → E , F nin başlangıç ve bitiş funktorları f ve g olmak üzere
f ' g rel D olarak yazılır. D , C nin bir alt kategorisi olsun.
r : C → D , ir ' 1 C rel D , i : D → C içerme funktoru olacak şekilde bir r
funktoru varsa D ye C nin deformation retracti denir. r deformation retract ise aynı
zamanda retract olur.
Çünki ir ' 1 C rel D , i : D → C , r : C → D ir |D = 1C |D yani d ∈ Ob jD için
(ir)d = d yani rd = d, d ∈ Ob jD için (ri)d = r(id) = rd = d, ri = 1(objeler üzerinde)
a : x → y, D de morfizma olmak üzere (ir)a = i(ra) = ra = a, (ri)a = i(ra) = ra = a
ri = 1(morfizmalar üzerinde) ri = 1 olup r retracttir.
Tanım 3.8 D , C nin alt kategorisi olsun.
C nin her objesi ile D nin bir objesine
izomorfik ise D ye C nin representative i denir.
Teorem 3.28 D , C nin bir alt kategorisi olsun. D , C nin deformation retractidir. ⇔
D , C nin representative full alt kategorisidir.
İspat: ⇐) D , C nin representative full alt kategorisi olsun. f = 1C olsun.
x ∈ Ob jD ise θ x = 1x : x → x seçelim.
x∈
/ Ob jD ise D nin x e izomorfik olan objesini seçelim. θ x : x → y olsun.
g : C → D , gx = x(x ∈ Ob jD ise), gx = y (x ∈
/ Ob jD , y ' x, y ∈ Ob jD )
30
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
a ∈ C (x, x0 ) olsun.
x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
........................................................
a
x.0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
θ x0
θx
.....................................
gx ...................ga
gx0
değişmeli olduğundan; g ' 1 C = f dir.
g: C →D
∀x ∈ Ob j C için gx ∈ Ob jD
a : x → x0 C de morfizması için ga = θ x0 a(θ x)−1 : gx → gx0
İddia: g : C → D funktordur.
(i) a1 : x0 → x00 , a2 : x → x0 , olsun. a1 a2 : x → x00 olur.
g(a1 a2 ) = θ x00 (a1 a2 )(θ x)−1
= (θ x00 a1 )(θ x0 )−1 (θ x0 )a2 (θ x)−1
= (θ x00 a1 )(θ x0 )−1 )((θ x0 )a2 (θ x)−1 )
= ga1 ga2
(ii) g1x = θ x1x (θ x)−1 = 1gx
g : C → D bir funktordur.
i : D → C , ig : C → C ig ' 1C ve ig|D = 1C |D dir. g deformation retracttir.
⇒)D deformation retract olsun.
r : C → D , i : D → C ir ' 1 C (rel D ), ir|D = 1C |D
(i) x, y ∈ Ob jD için D (x, y) = C (x, y) olduğunu gösterelim.
D (x, y) ⊂ C (x, y)
a ∈ C (x, y) olsun.
31
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
(ir)x .............................................. (ir)y
...
(ir)a .......
...
.
...
...
.
...
...
..
θ y = 1y ..........
θ x = 1x ..........
...
..
.........
.
...
.
..........
.
x
........................................................
a
y
1y (ir)a = a1x , ra = a, r funktor olduğundan a ∈ D (x, y) dir. Yani
D (x, y) ⊃ C (x, y) dir.
(ii) x ∈ Ob j C olsun. x ' y olacak şekilde y ∈ Ob jD bulmalıyız.
θ x : (ir)x ' x yani θ x : rx ' x y = rx ∈ Ob jD olup, x ' y dir. D , C nin representative full alt kategorisidir.
Teorem 3.29 Her grupoid tamamen bağlantısız bir grupoide homotopiktir.
İspat: G bir grupoid olsun. Ob jG =
S
Xi (i 6= j iken )
i∈I
/ H : Her bir Xi den tek bir nesne alarak (xi ∈ Xi )
Xi ∩ X j = 0/ ve x, y ∈ Xi ⇔ G(x, y) 6= 0,
oluşan G nin full alt grupoidi olsun. H, G içinde representative olur.
H(xi , xi ) = G(xi , xi ), H(xi , x j ) = 0/ (i 6= j)
r : G → H, i : H → G, ir ' 1D (rel D )
ri = 1H
3.4. Coproduct ve Pushout
Tanım 3.9 C bir kategori ve C,C1 ,C2 ∈ Ob jC olsun.
i
i
1
2
C1 →
C ←
C2
v
(i1 ve i2 , C nin morfizmaları ) diyagramı verilsin. Herhangi
v
1
2
bir C1 →
C0 ←
C2 diyagramı için vi1 = v1 ve vi2 = v2 olacak şekilde tek bir
i
i
1
2
v : C → C0 morfizması varsa C1 →
C ←
C2
C = C1 tC2 olarak gösterilir.
32
diyagramına coproduct denir. Kısaca
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
Tanım 3.10
C0 ........................................................ C1
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
C2 ....................u.................................... C
2
diyagramı için ;
(i) u1 i1 = u2 i2
(diyagram değişmeli)
ve
(ii)
C0 ........................................................ C1
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
.........
.
v1
...
...
...
...
...
...
...
...
.........
.
C2 ....................v.................................... C0
2
v1 i1 = v2 i2 iken vu1 = v1 , vu2 = v2 olacak şekilde tek bir v : C → C0 morfizması
varsa
C0 ........................................................ C1
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
C2 ....................u.................................... C
2
diyagramına pushout tur denir.
Örnek 3.6 X bir topolojik uzay ve X0 , X1 , X2 ; X in X0 = X1 ∩ X2 ve X = X1◦ ∪ X2◦ olan
alt uzayları olsun.
X0 ........................................................ X1
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
.........
..
...
...
..
u1 ..........
...
...
.........
..
X2 ....................u.................................... X
2
içerme fonksiyonları ile oluşturulan diyagram (Top kategorisinde) pushouttur.
33
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
Çözüm:
(i) ∀a ∈ X0 için (u1 i1 )(a) = u1 a = a,
(u2 i2 )(a) = u2 a = a olduğundan u1 i1 = u2 i2
dir.
(ii)
X0 ........................................................ X1
i1
... ..
...
.. ...
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
X2
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
........
...
.
...
...
...
.
.......................................................
...
...
...........
...........
.....
...
...........
.
.
..
...........
.
..... ........
...........
. .. ...
...........
........... . .......
...........
.
u1
u2
v2
v1
X
X0
v1 : X1 → X 0 , v2 : X2 → X 0 , v1 i1 = v2 i2 olsun.
X = X1 
∪ X2 , v1 i1 = v2 i2 olduğundan a ∈ X0 için v1 (a) = v2 (a)
 v (x) x ∈ X
1
1
f (x) =
 v (x) x ∈ X
2
2
x ∈ X0 = X1 ∩ X2 ise v1 (x) = v2 (x) olduğundan f iyi tanımlıdır ve f : X → X 0
bir fonksiyon olur.
x ∈ X = X1◦ ∪ X2◦ olsun. V, f (x) i içeren bir açık küme olsun. x ∈ X1◦ olduğunu
varsayabiliriz. v1 : X1 → X 0 sürekli olduğundan x ∈ U ⊂ X1 ve v1 (U) ⊂ V olacak
şekilde bir U açık kümesi vardır. U 0 = X1◦ ∩U olsun. U 0 , X de açık olur ve x ∈ U 0 ve
f (U 0 ) = v1 (U 0 ) ⊂ v1 (U) ⊂ V olduğundan f , x de süreklidir. x ∈ X2◦ iken de aynı durum
olur.
Teklik:
F : X → X 0 Fu1 = v1 , Fu2 = v2 olsun.
x ∈ X1 için ( f u1 )(x) = f (x) = v1 (x) , (Fu1 )(x) = F(x) = v1 (x) olup,
f (x) = F(x) dir. x ∈ X2 için f (x) = F(x) olduğundan f tektir.
Teorem 3.30 C bir kategori olsun. İki pushoutun kompozisyonu yine pushouttur.
34
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
İspat:
C
f
........................................................
h
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
D
E
........................................................
l
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
m
k
........................................................
g
F
G
........................................................
n
H
iki pushout olsun.
(i) m(lh) = (ng) f dir. (aşikar).
(ii)
C
........................................................
lh
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
f
G
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
v
D
........................................................
K
C
........................................................
E
u
diyagramı değişmeli olsun.
h
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
f
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
k
D
........................................................
F
C
........................................................
E
g
pushout olduğundan ve
h
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
f
vl
D
........................................................
E
........................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
K
u
diyagramı değişmeli olduğundan wk = vl ve wg = u olacak şekilde tek bir
w : F → K morfizması vardır.
l
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
m
k
F
G
........................................................
n
35
H
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
pushout olduğundan ve
E
........................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
v
k
F
G
l
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
........................................................
K
w
diyagramı değişmeli olduğundan;
xm = v ve xn = w olacak şekilde tek bir x : H → K morfizması vardır.
wg = u olduğundan xng = u, xm = v dir.
x0 ng = u, x0 m = v olacak şekilde x0 : H → K morfizma olsun.
x0 nk = x0 ml = vl ve x0 ng = u dir. w tek olduğundan x0 n = w olur.
x0 n = w ve x0 m = v ve x tek olduğundan x0 = x olur.
C bir kategori olsun.
C0 ................................................................................................ C1 ..
i1
... ......
... ......
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
...
...
.
.....
.....
.
...
.....
.
.
c
.
.....
...
0
.....
...
.
.
.
.....
.....
...
...
.
.....
.
.....
...
...
.....
c
.
.
.....
1
...
...
.....
.
.
.....
.....
...
...
.....
.
.
......
...
u
i2 .......
.
1
..........
.
.
.
.....
.
.
...
...
.
................................................................
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. , D1
...
...
D0
.
.
....
....
...
...
j1
..
..
...
...
....
....
.......
.
C2
...
...
...
.
...............................................................................................
...
...
.....
...
.....
.....
....
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
.....
.....
.....
....
.....
.
.
..
.
.
.
........ ....
u2
j2
c2
D2
.......
.
C .....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
......
........
.
............................................................................................
v1
c
v2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
D
C : Gerideki kare
D : Öndeki kare
Tüm diyagram değişmeli ise c : C → D bir morfizma olarak adlandırılır.
c = (c0 , c1 , c2 , c), 1c : C → C 1c = (1c0 , 1c1 , 1c2 , 1c )
(c0 , c1 , c2 , c)(d0 , d1 , d2 , d) = (d0 c0 , d1 c1 , d2 c2 , dc)
C ;
Objeleri : Değişmeli kareler
36
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
Morfizmaları: Ön ve arka yüzü değişmeli olan küpler (bileşke ar arda ekleme )
olan kategoridir.
Teorem 3.31 C, D ∈ Ob jC (C de değişmeli olan kareler) ve D pushout ve c : C → D
olsun. Bir d : D → C retraction varsa C de pushouttur.
İspat:
C0 ........................................................ C1
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
w1
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
.....................................
C2 ...................w
C0
2
diyagramı değişmeli olsun. Yani w1 i1 = w2 i2 olsun.
C0 ................................................................................................ C1 ..
i1
... ...........
... ...........
.. ..
.. ..
..... ....................
..... ....................
..... .....
..... .....
...
...
..... .....
..... .....
...
...
.
..... .....
.
c
.
.
.
..... ....
...
...
..... .....
..... ..... 0
..... .....
...
...
..... ....d
. .
.
0
..... .....
...
...
c
.
.
.
..... ....
1................................
...
...
..... .....
.
...
...
..... .....
.
..... ......
u1 ..... d1 .....................................
i2 ......
............
.....
.....
...
...
.....
....
.
.
...
.....
.........................................................................................................
...
...
D
D1
...
0
...
.
.
...
...
...
...
j1
..
.
...
...
....
....
......
.
...
...
.......
...
...
.
...
...
...
...
.
.
.
.
.........................................................................................
...
...
...
.
.
.
.
...
.
.....
...
.
.
................
.
.
...
.......... ......
.....
......... .......
...
.
.
..... .....
..... .....
.
...
.
.
.
.
.
..... .....
..... .....
....
...
..... .....
..... .....
...
..... .....
...
..... .....
..... .....
..... .....
...
...
.
.
.
.
..... ....
..... ....
...
...
.
.
..... .....
.
.
.
.
..
..... .....
...
..... .....
.
.
.
.
.
...
...
..... .....
..... .....
.
.
..... .....
.
.
.
..
..... .....
..... ...... ..........
.
.
.
.
.
.
.
.
..... ......... .......
............ .
..... ..
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....
... ....
C2
C
u2
j2
v1
c2 d2
c d
v2
D2
D
d1 j1 = i1 d0 , d2 j2 = i2 d0
(w1 d1 ) j1 = (w1 d1 j1 ) = w1 (d1 j1 ) = w1 (i1 d0 )
= (w1 i1 )d0 = (w2 i2 )d0 = w2 (i2 d0 ) = (w2 d2 ) j2
D pushout olduğundan xv1 = w1 d1 , xv2 = w2 d2 olacak şekilde tek bir x : D → C0
morfizması vardır. w : C → C0 , w = xc olsun. λ = 1, 2 için
wuλ = xcuλ = xvλ cλ = wλ dλ cλ = wλ
Tek oluşu:
w0 : C → C0 , (λ = 1, 2 için ) w0 uλ = wλ olsun.
37
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
w0 dvλ = w0 uλ dλ = wλ dλ
x tek olduğundan w0 d = x olur. w0 = w0 dc = xc = w olduğundan w tektir.
3.5. Esas Grupoid için Seifert-van Kampen Teoremi
Bu kısımda X bir topolojik uzay ve X0 , X1 , X2 X in X0 = X1 ∩ X2 ve
X = X1◦ ∪ X2◦ olan alt uzayları olduğunu varsayacağız.
X0 ........................................................ X1
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
X2 ....................u.................................... X
2
içerme fonksiyonları ile oluşturulan diyagramın pushout olduğu bir önceki bölümde
gösterildi.
Bu kareyi X ile gösterelim. A herhangi bir küme olsun. Y ⊂ X alt uzayı
için i : Y → X içerme dönüşümü olmak üzere πYA → πXA morfizması vardır ve bu
morfizmayı i ile göstereceğiz.
Teorem 3.32 (Seifert-Van Kampen Teoremi) X1 ve X2 , X in açık ve yol bağlantılı alt
kümeleri , X0 = X1 ∩ X2 yol bağlantılı ve x ∈ X0 ise
π(X0 , x) .......................... π(X1 , x)
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
π(X2 , x) ......u....................... π(X, x)
2
(Gruplar kategorisinde) pushouttur. (Seifert, 1931), (Kampen, E.H. van, 1933)
Tanım 3.11 X bir Topolojik uzay, A ⊂ X olsun. A, X in her yol bileşenini kesiyorsa
A ya X in representativi denir.
Teorem 3.33 (Esas Grupoid için Seifert-Van Kampen Teoremi) A her bir X0 , X1 , X2
için representative olsun. O zaman
38
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
πX0 A ......................................... πX1 A
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
πX2 A ..............u.............................. πXA
2
karesi grupoidler kategorisinde pushouttur.
İspat: Önce A = X alalım.
PX0 ................................................... PX1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
u01
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
PX2 ..........................0............................ PX
u2
πX0 ................................................... πX1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
u1
πX0 ................................................... πX1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
πX2 .................u................................... πX
2
v1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
πX2 ...................v................................... G
2
πX
PX
İlk iki kare değişmelidir. Üçüncü kare değişmeli olsun.
G
vu1 = v1 , vu2 = v2 olacak şekilde tek bir v : πX → G morfizması bulmalıyız.
1.Adım
pλ : PXλ → πXλ projeksiyonlarını düşünelim.
P : PX → πX morfizmdir. (Yani funktor)
wλ = vλ pλ , (λ = 1, 2) olsun. (wλ : PXλ → G) Biz, w : PX → G bulmak için
w1 ve w2 yi kullanacağız.
a, X de bir yol olsun. Im a ⊂ X1 veya Im a ⊂ X2 olsun.
İddia: a = u01 b1 veya a = u02 b2 olacak şekilde Xλ da tek bir bλ yolu vardır.
[0, q] .....................a.............................. X
.....
..
.....
..
.....
..
b1
.....
..
.....
..
..
.........
....
...
...
...
...
...
...
...
.
i1
......
........
X1
a = i1 b1 olacak şekilde bir b1 : [0, q] → X morfizması vardır.
Tek oluşu:
39
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
a = i1 b1 = i1 b01 ise b1 = b01 dir.
i1 : X1 → X
, u01 : PX1 → PX
a 7→ u1 a = i1 a
u01 b1 = i1 b1 = a
u02 b2 = i2 b2 = a dır.
wa = wλ bλ olarak tanımlayalım.
İyi tanımlı oluşu:
Im a ⊂ X0 = X1 ∩ X2 ise X0 da bir b yolu için b1 = i1 b ve b2 = i2 b dir.
b1 = i1 b oluşu:
[0, q] ................................................... X
.....
.
b1
..
..........
.
.....
..
.....
..
b
.....
..
.....
..
......
........
....
...
..
...
...
...
...
...
.
i1
X1
Im a ⊂ X1 , Im a = Im b1 , i1 b = b1 olacak şekilde X0 da tek bir b yolu vardır.
i2 b0 = b2 olacak şekilde X0 da tek bir b0 yolu vardır. b = b0 olduğunu
gösterelim.
a = j1 b1 = j1 i1 b
a = j2 b2 = j2 i2 b0 olduğundan
X0 ........................................................ X1
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
.........
.
j1
...
...
...
...
...
...
...
...
.........
.
X2 ........................................................ X
j2
j1 i1 b = j2 i2 b0
(i1 , i2 , j1 , j2 içerme olduğundan)
Bu durumda b = b0 olur.
w1 b1 = w1 i1 b = v1 p1 i1 b = v1 i1 p0 b
w2 b2 = w2 i2 b = v2 p2 i2 b = v2 i2 p0 b
40
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
PX1 ..................p................................. πX1
1
.
..........
..
...
...
...
...
...
...
...
...
i1
.
..........
..
...
...
...
...
...
...
...
...
i1
PX0 ..................p................................. πX0
0
p1 i1 = i1 p0
PX2 ..................p................................. πX2
.
..........
...
...
...
...
...
...
...
...
..
2
i2
.
..........
...
...
...
...
...
...
...
...
..
i2
PX0 ..................p................................. πX0
0
p2 i2 = i2 p0
Kabulden v1 i1 = v2 i2 olduğundan w1 b1 = w2 b2
dir. Böylece w iyi tanımlıdır.
a, X de herhangi bir yol olsun.
a : [0, q] → X = X1◦ ∪ X2◦ a−1 (X1◦ ) , a−1 (X2◦ ) [0, q] nin açık örtüsüdür.
[0, q] kompakt metrik uzay olduğundan bu açık örtünün bir Lebesgue sayısı
vardır. Bu sayıya δ diyelim.
[0, q1 ] , [q1 , q2 ] , ... [qn−1 , q]
a ([qi , qi+1 ]) ⊂ X1◦ ⊂ X1
(hepsinin uzunluğu < δ ) olsun.
veya a ([qi , qi+1 ]) ⊂ X2◦ ⊂ X2 olur.
a = an + · · · + a1 dir ve ai : [0, qi − qi−1 ] → X
ai (t) = a(t + qi−1 ), Im ai ⊂ X1 veya Im ai ⊂ X2
i = 1, 2, ...n
ai = u01 b1 veya ai = u02 b2 olacak şekilde Xλ da tek bir bλ yolu vardır.
wai = wλ bλ seçelim. wai iyi tanımlıdır.
wa = wan + · · · + wa1 olsun.
wa iyi tanımlı olduğunu gösterelim.
Yani a = a2 + a1 = a02 + a01 için wa2 + wa1 = wa02 + wa01 olduğunu gösterelim.
(i) Im ai ⊂ X1 ve Im a0i ⊂ X1 olsun. a1 = u01 b1
a2 = u02 b01
wa2 = w1 b01
a01 = u01 b001
wa01 = w1 b001
a02 = u01 b000
1
wa02 = w1 b000
1
41
wa1 = w1 b1
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
a = a2 + a1 = u01 b1 + u01 b01 = u01 (b1 + b01 )
00
a = a02 + a01 = u01 (b000
1 + b1 )
u01 içermeden indüklenmiş olduğundan monomorfizma olup,
00
b1 + b01 = b000
1 + b1 olur.
wa2 + wa1 = w1 b01 + w1 b1 = w1 (b01 + b1 )
00
000
00
wa02 + wa01 = w1 b000
1 + w1 b1 = w1 (b1 + b1 )
olup, wa2 + wa1 = wa02 + wa01 dir.
(ii) a = a2 + a1 = a02 + a01 Im a1 ⊂ X1 , Im a01 ⊂ X1
Im a2 ⊂ X2 , Im a02 ⊂ X2 için
wa2 + wa1 = wa02 + wa01 olduğunu gösterelim.
a1 = u01 b1 ,
a1 = a00 + a01 ,
a01 = u01 b01 ,
a2 = u02 b2 ,
a02 = a2 + a00 ,
a02 = u02 b02
Im a00 ⊂ X0 olacak şekilde a00 bulmalıyız.
|a1 | = q1 , |a2 | = q − q1 , |a01 | = q2, |a02 | = q − q2 olsun.
a00 : [0, q1 − q2 ] → X,
a00 (t) = a(t + q2 ) olarak tanımlayalım.
a = a2 + a1 = a02 + a01
a1 : [0, q1 ] → X, a2 : [0, q − q1 ] → X, a01 : [0, q2 ] → X, a02 : [0, q − q2 ] → X
a2 (t) = a(t + q1 ), a01 (t) = a(t), a02 (t) = a(t + q2 )

 a (t)
0 ≤ t ≤ q2
1
(a00 + a01 )(t) =
 a00 (t − q ) q ≤ t ≤ q + q − q
2
2
2
1
2

 a(t) 0 ≤ t ≤ q
2
=
= a1 (t)
 a(t) q ≤ t ≤ q
2
1

 a00 (t)
0 ≤ t ≤ q1 − q2
(a2 + a00 )(t) =
 a (t − q + q ) q − q ≤ t ≤ q − q + q − q
2
1
2
1
2
1
2
1

 a(t + q ) 0 ≤ t ≤ q − q
2
1
2
=
= a02 (t)
 a(t + q ) q − q ≤ t ≤ q − q
a1 (t) = a(t),
2
1
42
2
2
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
a00 : [0, q1 − q2 ] → X
Im a1 ⊂ X1 , Im a00 ⊂ Im a1 ⊂ X1 , Im a02 ⊂ X2 , Im a00 ⊂ Im a02 ⊂ X2
a2 = u02 b2 ,
a01 = u01 b01 ,
Im a00 ⊂ X1 ∩ X2 = X0 . a1 = u01 b1 ,
a02 = u02 b02 .
wa = w (a02 + a01 ) = w2 b02 + w1 b01
wa = w (a2 + a1 ) = w2 b2 + w1 b1 ,
Im a00 ⊂ X0 olduğundan a00 = i1 b ve a00 = i2 b olacak şekilde bir b vardır.
a1 = a00 + a01 ,
u01 b1 = u01 i1 b0 + u01 b01 ve a02 = a2 + a00 , u02 b02 = u02 b2 + u02 i2 b
b1 = i1 b + b01
b02 = b2 + i2 b olacak şekilde Im b ⊂ X0 vardır.
w1 i1 = w2 i2
PX0 ................................................... PX1
i1
... ...
...
.. ...
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
.........
.
PX2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
...
.
...
...
...
.
.
.
..................................................
...
...
.......
...
.......
.......
...
.......
...
.......
...
.......
.......
...
.......
...
.......
...
.......
...
.......
.......
...
.......
...
.......
...
.......
...
.......
.......
......
.......
.......... ...
.....
...
...
.
...
u01 ..........
.
PX w1
u02
w2
G
w2 b2 + w1 b1 = w2 b2 + w1 (i1 b + b01 ) = w2 b2 + w1 i1 b + w1 b01
= w2 b2 + w2 i2 b + w1 b01 = w2 (b2 + i2 b) + w1 b01 = w2 b02 + w1 b01 = w2 b02 + w1 b01
Genel Durum:
a = an + · · · + a1
(Im ai ⊂ Xλi , ai = u0λi bi )
a = a0m + · · · + a01
(Im a0j ⊂ Xλ j , a0j = u0λ j b0j )
olsun. ∑ni=1 wλi bi = ∑mj=1 wλ j b0j olduğunu göstermeliyiz.
n + m üzerine tümevarımla
(i) n + m = 2, n = m = 1
a = a1 , a = a2 , Im a1 ⊂ X1 , Im a01 ⊂ X1
a1 = u01 b, a01 = u01 b0 = a, b = b0 w1 b1 = w1 b01
(ii) (Tümevarım adımı ) n + m ≤ k için iddia doğru olsun.
a = an + · · · + a1
n+m = k+1
43
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
a = a0m + · · · + a01
| a1 |= q1 , | a01 |= q01 olsun.
a) q1 = q01 ise a1 = a01 olur.
4 durum ortaya çıkar.
(i) Im a1 ⊂ X1
(ii) Im a1 ⊂ X1
Im a01 ⊂ X1
Im a01 ⊂ X2
(iii) Im a1 ⊂ X2
(iv) Im a1 ⊂ X2
Im a02 ⊂ X1
Im a2 ⊂ X2
(i) Durumu : a1 = u01 b1 , a01 = u01 b01 olsun. (b1 = b01 )
a0 = an + · · · + a2
a0 = a0m + · · · + a02
n
m
Tümevarımla (n + m ≤ k − 1 ≤ k olduğundan ) ∑ wλi bi = ∑ wλ j b0j olur.
i=2
j=2
n
n
m
m
i=1
i=2
j=2
j=1
∑ wλi bi = ∑ wλ j b0j + wλ1 b1 = ∑ wλ j b0j + wλ1 b01 = ∑ wλ j b0j
(ii) Durumu:
|a1 | = |a01 | (a1 = a01 ) ve Im a1 ⊂ X1 , Im a01 ⊂ X2 , a1 = u01 b1 , a01 = u02 b01
Im a1 = Im a01 ⊂ X1 ∩ X2 = X0 olduğundan,
b1 = i1 b, b01 = i2 b olacak şekilde PX0 da tek bir b morfizması vardır.
a1 = u01 b1 = u01 i1 b,
n
a01 = u02 b01 = u02 i2 b
n
∑ wλi bi =
i=1
=
m
∑ wλ ibi + w1b1 =
i=2
m
∑ wλ j b0j + w1i1b =
j=2
m
∑ wλ j b0j + w2b01 = ∑ wλ j b0j
j=2
j=1
(iii) ve (iv) durumları da benzer şekilde yapılır.
b) |a1 | = q1 > q2 = |a01 | olsun.
a1 = c1 + a01 olacak şekilde c1 vardır.
c1 (t) = a1 (t + q2 ) = a (t + q2 )
44
m
∑ wλ j b0j + w2i2b
j=2
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
(i) Im a1 ⊂ X1
(ii) Im a1 ⊂ X1
Im a01 ⊂ X1
Im a01 ⊂ X2
(iii) Im a1 ⊂ X2
Im a01 ⊂ X2
(iv) Im a1 ⊂ X2
Im a01 ⊂ X1
(i) Durumu: Im c1 ⊂ X1 olur.
a1 = u01 b1 , a01 = u01 b1 , c1 = u01 c olacak şekilde b1 , b01 ve c vardır.
a1 = c1 + a01 olduğundan b1 = c + b01 olur.
n
∑ wλi bi
=
i=1
=
n
n
i=2
n
i=2
∑ wλ ibi + w1b1 = ∑ wλ ibi + w1(c + b01)
n
∑ wλ ibi + w1(c + b01) = ∑ wλ ibi + w1c + w1b01
i=2
i=2
a = an + · · · + a2 + a1 = an + · · · + a2 + c1 + a01 = a0m + · · · + a02 + a01
an + · · · + c1 = a0m + · · · + a02
olur. Tümevarım hipotezinden;
m
n
m
n
j=2
i=1
j=1
i=1
∑ wλ j b0i + w1 b1 = ∑ wλi bi = ∑ wλ j b0i = ∑ wλi bi
(ii) Durumu: Im a1 ⊂ X1
Im a01 ⊂ X2 ,
a1 = u01 b1
a01 = u02 b01 olacak şekilde b01 vardır.
|a1 | = q1 > q2 = |a01 | olduğundan a1 = c1 + a01 olacak şekilde tek bir c1 vardır.
c1 (t) = a (t + q2 )
c1 = u01 c,
q1 < q2
olduğundan
Im a01 ⊂ X2 ve Im a01 ⊂ X1 olduğundan Im a01 ⊂ X0
u01 b1 = u01 c + u02 b01 Im b01 = Im a01 ⊂ X0 olduğundan b01 = i2 b olacak şekilde PX0
da bir b morfizması vardır.
u01 b1 = u01 c + u02 i2 b
u01 b1 = u01 c + u02 i1 b
45
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
u01 b1 = u01 (c + i1 b),
n
b1 = c + i1 b
n
∑ wλi bi =
i=1
=
n
n
∑ wλi bi + w1b1 = ∑ wλi bi + w1(c + i1b) = ∑ wλi bi + w1c + w1i1b
i=2
m
i=2
m
i=2
m
∑ wλ j b0j + w2i2b = ∑ wλ j b0j + w2b01 = ∑ wλ j b0j
j=2
j=2
j=1
a = an + · · · + a2 + c1 + a1 = a0m + · · · + a2 + a1
an + · · · + c1 = a0m + · · · + a2
Toplam terim sayısı 1 azaldığından ,
n
m
i=2
j=2
∑ wλi bi + w1 c = ∑ wλ j b0j
Diğer durumlarda benzer şekilde yapılırsa ;
w : PX → G iyi tanımlı bir morfizmadır.
PX0 ................................................... PX1
i1
... ..
...
.. ...
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
.........
.
PX2
... ...
... ...
. ...
...
...
...
...
...
...
...
.........
...
.
...
...
...
.
.....................................................
...
...
...........
...........
.....
...
...........
.
.
..
...........
.
..... ........
...........
. .. ...
...........
........... . ......
...........
.
...
u01 ..........
.
u02
w2
w1
PX
w
G

 w (x) x ∈ X
1
1
wx =
 w (x) x ∈ X
2
2
0
0
u1 : PX1 → PX, u1 a = i1 a
u02 : PX2 → PX, u02 a = i2 a
x ∈ X1 olsun. wu01 x = wx = w1 x
x ∈ X2 olsun. wu02 x = wx = w2 x
a, PX1 de bir morfizma olsun.
(wu01 ) a = w(u01 a) = w1 a
a, PX2 de bir morfizma olsun.
(wu02 ) a = w(u02 a) = w2 a
46
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
O halde wu01 = w1 , wu02 = w2 olur.
w nin tek oluşu:
w0 : PX → G
w0 u01 = w1 ve w0 u02 = w2 olsun.
X = X1 ∪ X2
x ∈ X1 için (w0 u01 )x = (w1 x) = w (u01 x)
w0 x = wx
x ∈ X2 için (w0 u02 )x = (w2 x) = w (u02 x)
w0 x = wx
a , PX de bir morfizma olsun.
a = an + · · · + a1
0
n
ai = u0λi bi
Im ai ⊂ Xλi
0
0
wa = ∑ wλi bi
i=1
0
n
w a = w (an + · · · + a1 ) = w an + · · · + w a1 = ∑ w0 ai
i=1
n
=
∑w
0
(u0λi bi ) =
i=1
n
∑ wλi bi = wa
i=1
w tektir.
İddia: w, sabit eğrileri G nin birimlerine götürür.
a : [0, q] → X, X de sabit bir eğri olsun.
a (t) = x0
Pλ : PXλ → πXλ
a ∈ PX (x0 , x0 )
w1 = v1 p1
w2 = v2 p2
x0 ∈ X1 ise
0 = [a] ∈ πX1 (x0 , x0 ) = π (X1 , x0 )
wa = v1 (p1 a) = v1 [a] = v1 0 = 0
x0 ∈ X2 ise
0 = [a] ∈ πX2 (x0 , x0 ) = π (X2 , x0 )
wa = v2 (p2 a) = v2 [a] = v2 0 = 0
2.Adım:
R, R2 de bir dikdörtgen olsun. F : R → X, Im F ⊂ Xλ (λ = 1, 2) olsun. F, R nin
kenarlarında a, b, c, d yolları belirler ve a = u0λ aλ , ..., d = u0λ dλ
47
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
b
d
a
x0
x1
c
bλ + aλ ∼ dλ + cλ homotopik olur. (Greenberg, 1967)
Im F ⊂ Xλ olduğu için
wb + wa = wλ bλ + wλ aλ = wλ (bλ + aλ ) = vλ pλ (bλ + aλ ) = vλ pλ (dλ + cλ )
= wλ (dλ + cλ ) = wλ dλ + wλ cλ = wd + wc
3.Adım:
a ve b, X de yollar , |a| = |b| ve F : [0, r] × I → X = X1◦ ∪ X2◦ F : a ∼ b olacak
şekilde sürekli fonksiyon olsun.
−1 ◦
F (X1 ) , F −1 (X2◦ ) , [0, r] × I nın bir açık örtüsü olduğundan ve [0, r] × I
kompakt metrik uzay olduğundan bu açık örtünün bir Lebesgue sayısı vardır. δ bir
Lebesgue sayısı olsun.
1
1
n
0
{(ri/n,t) : t ∈ I}
r
r
n
i = 0, 1, ...n
{(s, j/n) : s ∈ [0, r]}
j = 0, 1, ...n
q r 2
A = sup {d (x, y) : x, y ∈ A}
n +
A ⊂ F −1 (X2◦ ) olur.
48
1 2
n
< δ ise A ⊂ F −1 (X1◦ ) veya
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
[0, r] × I dikdörtgeni bu doğrularla daha küçük dikdörtgenlere ayrılmış olur ve
bu dikdörtgenlerin çapı δ dan küçük olduğundan her dikdörtgen F altında X1 ya da X2
nin içine gider.
a j (s) = F s, nj de yollarını düşünelim.
X de a j : [0, r] → X,
a0 = a
ve an = b dir.
a j nin
a j,k : 0, nr → X
j
r
a j,k (t) = a j t + n k, n
alınırsa a j = a j,n−1 + a j,n−2 + · · · + a j,0
Benzer şekilde ;
ci, j : 0, 1n → X
ci, j (t) = F rin ,t + nj
dır.
0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n − 1
Bir önceki adımdan
aj+1,i
ci+1,j
ci,j
aj,i
Bu küçük dikdörtgenlerin her biri F altında X1 ya da X2 nin içine gittiğinden
a j+1,i + ci, j ∼ ci+1, j + a j,i dir.
n−1
wa j =
n−1
∑ wa j,n−1−i =
i=0
∑ {−wcn−i, j + wa j+1,n−1−i + wcn−1−i, j }
i=0
= −wcn, j + wa j+1,n−1 + wcn−1, j − wcn−1, j + wa j+1,n−2 + wcn−2, j − · · ·
n−1
n−1
= −wcn, j + ∑ wa j+1,n−1−i + wc0, j =
i=0
∑ wa j+1,n−1−i = wa j+1
i=0
((cn, j ) (t) = F(r,t + nj ) = x1 , (c0, j ) (t) = F(0,t + nj ) = x0 , wcn, j = wc0, j = 0)
wa = wa0 = wa1 = · · · = wan−1 = wan = wb
49
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
|a| = |b| için wa = wb
olur.
4.Adım:
a ve b, X de denk yollar olsun. (r + a)H(s + b) olacak şekilde r, s ≥ 0 vardır.
w (r + a) = wr + wa = 0 + wa = wa,
w (s + b) = ws + wb = 0 + wb = wb
wa = w (r + a) = w (s + b) = wb
olup , wa = wb dir.
v : πX → G, x ∈ X için vx = wx, [a] ∈ πX (x, y) için v [a] = wa olarak
tanımlayalım.
(i) v iyi tanımlıdır.
[a] = [b] olsun. a ∼ b dir. wa = wb dir. (3. ve 4. adımdan)
v [a] = v [b] dir.
İddia: v funktordur.
(i) v [a] + v [b] = wa + wb = w (a + b) = v [a + b] = v([a] + [b])
(ii) v [0x ] = w0x = 0
πX0 ......................................................................................... πX1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
πX2
... ...
... ...
... ....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
........
...
.
...
...
...
.
.
...
........................................................................................
...
.........
...
.........
.
.....
...
.........
.
.
.....
.........
...
.....
.........
...
.....
.........
...
.....
.........
...
.....
.........
...
.....
.........
...
.....
.........
.........
.....
.........
..... .....
.........
.
.
.
.
.
.
.........
..... ....
.........
.
.
..... .... .
.........
... ....
.........
......... . ...............
...........
u1
πX v1
u2
v2
v
G
aλ , Xλ da bir yol olsun.
(i) (vuλ ) [aλ ] = v(uλ [aλ ]) = v u0λ aλ = wu0λ aλ = wλ aλ = vλ [aλ ]
(wλ = vλ pλ , wλ a = (vλ pλ ) a = vλ [a])
(ii) x ∈ Xλ için (vuλ ) x = v (uλ x) = vx = wx = wλ x = vλ x
vuλ = vλ
50
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
5.Adım:
v0 : πX → G
v0 uλ = vλ (λ = 1, 2) olsun.
v0 pu0λ = v0 uλ pλ = vλ pλ =
wλ
pu0λ
p : PX → πX, pλ : PXλ → πXλ
a = p u0λ a = u0λ a (uλ pλ ) a = uλ [a] = u0λ a
PX0 ......................................................................................... PX1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
PX2
wu01
= w1 ve
wu02
... ....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
........
...
.
...
...
...
..............................................................................................
...
..............
...
..............
.......
...
..............
.
.
.
.
...
........ ........
..............
........ ........
...
..............
........ .......
...
..............
........ ........
..............
...
........ ........
..............
...
..............
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............. ......... ........... .........
.............. .............
....................
.
.
.. .
u01
u02
PX
w1
w
v0 p
w2
G
= w2 olacak şekilde tek bir w : PX → G morfizması vardır.
Fakat v0 pu0λ = wλ (λ = 1, 2) olduğundan w = v0 p olur.
(i) x ∈ X için v0 x = vx
(ii) f , πX de morfizma olsun. p : PX (x, y) → πX (x, y) örtendir. f = [a] = pa olacak
şekilde bir a ∈ PX(x, y) vardır. v0 f = v0 (pa) = (v0 p)a = wa = (vp)a = v (pa) =
vf
v = v0
Böylece
πX0 ................................................... πX1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
πX2 .................u................................... πX
2
pushouttur.
Genel Durum:
Teorem 3.31 i kullanarak πXA nın πX in retracti olduğunu göstereceğiz.
Yani rλ : πXλ → πXλ A ve r : πX → πXA, (λ = 0, 1, 2) retractionlarıbulmalıyız.
Teorem 3.28 den D , C nin alt kategorisi deformation retracttir.
51
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
⇔ D , C nin full,representative alt kategorisidir.
A, X0 ın representative i olduğundan A, X0 ın her bir yol bileşenini keser.
x ∈ X0 ise σ : [0, q] → X0 (σ (0) = x0 ∈ A ∩ X0 , σ (1) = x)
A, x i içeren yol bileşenini kestiğinden kestiği nokta x0 olsun.
Bu yol bileşeni yol bağlantılı olduğundan;
θ0 x = [σ ] ∈ πX0 (x0 , x) πX0 grupoid olduğundan [σ ] : x0 → x bir izomorfizmadır.
Bu durumda πX0 A, πX0 ın representative full alt kategorisidir.
Böylece r0 : πX0 → πX0 A deformation retract vardır.
πX0 A .................................................................................................................... πX1 A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
.
........
.........
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
r0
πX0
...
........
...
.........
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.
...
..
.
...............................................................................................................................
...
...
...
...
.
.....
...
...
...
...
...
.
..........
.
r1
πX1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........................................................................................................................
...
...
........
...
.........
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
..
.....
.
..... ........
.
πX2 A
r2
u1
πXA
........
.........
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.....
.
.
..............................................................................................................................
r
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.........
.
u2
πX2
πX
A, X1 ve X2 nin representative i olduğundan x ∈ Xλ − X0 için
A, x i içeren yol bileşenini keser.
σ : [0, q] → Xλ − X0
σ (0) = xλ ∈ A ∩ X1 , σ (1) = x
θλ x = [σ ] : xλ → x
rλ x = xλ
rλ [τ] = [−σ 0 + τ + σ ]

 u θ x x∈X
1 1
1
rλ deformation retracttir. θ x =
 u θ x x∈X
2 2
2
θ , r : πX → πX1 deformation retract tanımlar ve r1 , r2 , r nin tanımından yukarıdaki
küp değişmelidir.
52
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
Böylece
πX0 A ......................................... πX1 A
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
πX2 A ..............u.............................. πXA
2
karesi pushouttur.
Teorem 3.34 C ve D kategoriler ve f : C → D ye objeler üzerinde 1−1 olacak şekilde
bir funktor olsun.
C nin C 0 representative alt kategorisi için
C
f
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
D
........................................................
r
C0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
f0
........................................................
D0
r0
diyagramı pushout olacak şekilde r, r0 deformation retractleri vardır.
( f 0 , f nin kısıtlaması , r ve r0 deformation retractler)
İspat: Ob jD 0 = f (Ob jC 0 ) ∪ (Ob jD − f (Ob jC )) olan
D nin full alt kategorisi olsun.
D 0 nin representative oluşu:
Ob jD = f (Ob jC ) ∪ (Ob jD − f (Ob jC ))
x ∈ Ob jD olsun.
(i) x ∈ f (Ob jC ) olsun. f y = x olacak şekilde bir y ∈ Ob jC vardır.
C 0 , C nin full representative alt kategorisi olduğundan
bir y0 ∈ Ob jC 0 için y ' y0 (izomorfizma) olur.
f funktor olduğundan f y ' f y0 ve x0 = f y0 ∈ Ob jD0 ve x ' x0 olur.
(ii) x ∈ Ob jD − f (Ob jC ) olsun.
53
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
x ∈ Ob jD 0 olup x ' x0 dir.
D 0 , D nin full representative alt kategorisidir.
r ve r0 yü diyagramı değişmeli yapacak şekilde seçmeliyiz.
C0
i
f0
D0
C
........................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
f
........................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
D
j
0
f , f nin kısıtlaması olduğundan diyagram değişmelidir. (i, j içerme funktorları)
r : C → C 0 deformation retract olduğundan
θ : ir ' 1C relC0 , θ homotopi fonksiyonu olsun.
y ∈ Ob jD olsun.
(i) y = f x, x ∈ Ob jC ise ϕy = f θ x
(ii) y ∈ Ob jD − f (Ob jC ) ise ϕy = 1y olsun.
1D : D → D
Ob jD= f (Ob jC ) ∪ (Ob jD − f (Ob jC ))
 fθ y = fx
x
ϕy =
 1
diğer durumlarda
y
ϕy : f (ir) x → f x = y = 1D y, y = f x ise
ϕy : y → y = 1D y , diğer durumlarda
1D : D → D funktoru verilsin.
ϕy tersinir elemanı ve f (ir) x başlangıç objesi bilindiği için
g : D → D,
ϕ : g ' 1D dir.

 f irx
gy =
 y

 jf0
gy =
 y
y = fx
diğer durumlarda
y = fx
diğer durumlarda
54
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
gy ....... ....... ....... ................ gy0
...
...
ϕ−1
...
..
y0 aϕy .....
...
...
...
..
ϕ0y ..........
ϕy ..........
....
..
.........
.
...
..
.........
.
y
y0
........................................................
a
a, D de morfizma ga = ϕ−1
y0 aϕy dir.
∀y ∈ Ob jD için gy ∈ Ob jD 0 olduğundan
ϕ : jr0 ' 1D rel D 0 y ∈ Ob jD 0 için 1D y = y dir.
D
........................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
..........
r0
g
D
..........
...
...
..
.
...
...
...
...
.
..
j
D0
değişmeli olacak şekilde bir r0 vardır.
(i)
C
f
........................................................
r
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
D
C0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
f0
........................................................
r0
D0
a ∈ C (x, x0 ) olsun.
−1
−1
f 0 r a = f 0 (ra) = ( f θ x0
aθ x) = f θ x0
fa fθx
−1
= ϕ f x0
f a (ϕ f x) = r0 f a
x ∈ Ob jC için ( f 0 r) x = f 0 rx = f irx = r0 ( f x) = (r0 f ) x
55
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
(ii)
C
f
D
C0
........................................................
r
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
u
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
E
........................................................
v
diyagramı değişmeli olsun.
C
f
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
D
........................................................
r
C0
... ...
... ...
... ...
... ...
... ....
... ...
...
.....
...
..
...
..
...
...
..........
...
.
...
...
.
...
.......................................................
...
...........
...
...........
.....
...........
...
.
.
.....
...........
.
.
...........
..... .........
...........
..... ..
........... . .......
...........
.
f0
u
r0
D0
v
w
E
a) w : D 0 → E , wr0 = v olacak şekilde bir funktor varsa v j = wr0 j = w olur.
Dolayısıyla w (varsa) tektir.
b) wr0 = v olsun. w f 0 = v j f 0 = v f i = uri = u olup, wr0 = v olacak şekilde w : D 0 → E
funktoru bulmak yeterlidir.
w = v j olsun.
c) y = f x (y ∈ f (Ob jC )) ise vϕy = vϕ f x = v f θ x = urθ x = u1 = u
y∈
/ f (Ob jC ) ise ϕy = 1 vϕy = 1 ϕ : jr0 ' 1D idi.
ϕy : ( jr0 ) y → y izomorfizma
1y vϕy = v ( jr0 ) y → vy izomorfizma v ( jr0 ) y = vy olur.
wr0 = (v j) r0 = v ( jr0 ) = v
olur.
Teorem 3.35 A0 ⊂ A ∩ X1 , X1 in representative i ve A1 = A0 ∪ (A − X1 ) olsun. Bu
durumda
56
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
πX0 A ......................................... πX1 A ...............r........................ πX1 A1
i1
...
...
..
..
i2
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
...
...
.
...
u01 ..........
.
...
.........
.
πX2 A ..............u.............................. πXA ....................0...................... πXA1
2
r
0
diyagramı pushout olacak şekilde r, r deformation retractleri vardır.
İspat: Diyagramı u1 : πX1 A → πXA ekleyerek iki kareye bölersek, ilk kare pushouttur.
D = πXA ,C = πX1 A ,C0 = πX1 A0 olsun.
A1 ∩ X1 = (A0 ∪ (A − X1 )) ∩ X1 = A0 ∩ X1
İddia: C0 ,C nin full representative alt kategorisidir.
Yani πX1 A nin her objesi πX1 A0 nün bir objesine izomorfik olmalıdır.
Ob jπX1 A0 = X1 ∩ A0 = A0 , x ∈ Ob j (πX1 A) = X1 ∩ A dir.
x ∈ X1 olduğundan ve A0 , X1 in representative i olduğundan
bir σ : [0, q] → X1 , a = σ (0) ∈ A0 , σ (q) = x ∈ X1
[σ ] : a ' x olduğundan πX1 A0 , πX1 A da representative olur.
Ob jD0 =
u1 Ob jC0
∪ Ob jD − u01 (Ob jC)
−
−
= A0 ∪ (A − (A ∩ X1 )) = A0 ∪ (A ∩ (A ∩ X1 )) = A0 ∪ (A ∩ (A ∪ X 1 ))
= A0 ∪ (0/ ∪ (A − X1 )) = A0 ∪ (A − X1 ) = A1
D0 = πXA1 dir. (Ayrıca full olduğundan)
Bir önceki teoremden u01 , u1 in kısıtlaması olduğundan
πX1 A ...............r........................ πX1 A1
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
u01
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
πXA ....................0...................... πXA1
r
57
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
pushout olacak şekilde r, r0 deformation retractleri vardır.
İki pushoutun bileşkesi pushout olduğundan
verilen diyağram pushouttur.
Teorem 3.36 π S1 , 1 ∼
= Z dir.
İspat:
i
i
X0+
X0−
−i
X = S1
X1 = S 1 − {i}
X2 = S 1 − {−i}
−i
X0 = S 1 − {±i}
A = {+1, −1}, A0 = {+1}, A1 = A0 ∪ (A − X1 ) = {+1} ∪ 0/ = {+1}
Bir önceki teoremden;
πX0 A ............r........................... πX1 A1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..........
.
πX2 A ............r............................ πXA1
2
pushout olacak şekilde deformation retractleri vardır.
πX0 A :
Objeleri: X0 ∩ A = {1, −1}
Morfizmaları: πX0 A (1, 1) = {01 } , πX0 A (−1, −1) = {0−1 }
/ πX0 A (−1, 1) = 0/
πX0 A (1, −1) = 0,
πX0 A kategorisini {1, −1} olarak gösterelim.
Bu bir ayrık (discrete) grupoiddir.
πX1 A:
Objeleri: A1 ∩ X1 = {1}
Morfizmaları:
πX1 A (1, 1) = {11 }
πX1 A grupoidini {1} ile gösterelim.
58
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
πX2 A:
Objeleri: X2 ∩ A = {1, −1}
Morfizmaları:
πX2 A (1, 1) = {11 }
πX2 A (−1, −1) = {1−1 }
πX2 A (1, −1) = {a}(Tek elemanlı çünkü X2 büzülebilirdir. )
πX2 A (−1, 1) = {−a}
πX2 A grupoidini I ile gösterebiliriz.
πXA1 :
Objeleri:{1}
Morfizmaları:
πXA1 (1, 1) = πX (1, 1) = πS1 (1, 1) = π S1 , 1
πXA1 grupoidini π S1 , 1 ile gösterelim.
{1, −1} ....................................... {1}
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
I
.......................................
g
pushouttur.
g funktoru :
g1 = g (−1) = 1 , g11 = 0 ,
g1−1 = 0 , gı = a , g (−ı) = −a dır.
Z grubunu (object grup ) alalım.
59
π S1 , 1
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
{1, −1} ........................................ {1}
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
I
... ...
... ....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
........
...
.
...
...
...
...
........................................
...
.........
...
.........
...
.........
...
......
.........
...
.
.........
...
......
.........
...
.
.........
...
.........
......
...
.
.........
.........
...
......
.........
.
...
.........
......
...
.........
.
...
.........
.
...
.
.
.
..
.........
......... . ..... ..... .
......... .. .........
......... ........ .
...........
π S1 , 1
f
h
Z
Z tek Objeli: ∗; Z (∗, ∗) = Z olan grupoiddir.
Z , f : I → Z =< 1 > f (−1) = f 1 = ∗ ,
f 11 = 0 = f 1−1 , fı = 1 , f (−ı) = −1
f funktordur.
f (ı + (−ı)) = f 11 = 0 = 1 − 1 = fı + f (−ı)
f (−ı + ı) = f 10 = 0 = −1 + 1 = f (−ı) + fı
f (11 + ı) = fı = 1 = 0 + 1 = f 11 + fı
f (ı + 1−1 ) = fı = 1 = 1 + 0 = fı + f 1−1
f (1−1 + (−ı)) = f−ı = −1 = 0 − 1 = f 1−1 + f (−ı)
f (−ı + 11 ) = f (−ı) = −1 = −1 + 0 = f (−ı) + f 0
{1, −1} ........................................ {1}
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
I
........................................................
f
Z
hg = f olacak şekilde h : π S1 , 1 → Z tek bir morfizma vardır.
k : Z → π S1 , 1 , k∗ = 1 , k1 = ϕ = gı , hk : Z → Z
olsun.
Z =< 1 >, 1 tarafından üretilen serbest grup olduğundan
bu şekilde k tek bir grup homomorfizmasıdır.
Yani k funktordur.
G ve H iki grup olsun.
G : G tarafından oluşturulan (tek nesneli) grupoid
60
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
H : H tarafından oluşturulan (tek nesneli) grupoid
Hom (G , H ) ∼
= Hom (G, H)
G = Z , H = π S1 , 1
hk : Z → Z, hk1 = hϕ = 1 ve Z =< 1 > olduğundan hk = 1 dir.
kh : π S1 , 1 → π S1 , 1 ,
khg : I → π S1 , 1
(khg) ı = k (hg) ı = k fı = k1 = ϕ = gı
(khg)(−ı) = k (hg) (−ı) = k f (−ı) = k(−1) = −ϕ = g(−ı)
{1, −1} ........................................ {1}
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
I
... ...
... ....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
........
...
.
...
...
...
...
........................................
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
...
.........
....
.........
.......
...........
......
g
π S1 , 1
g
π S1 , 1
Aynı zamanda g1 = g olduğundan karenin pushout oluşundan kh = 1 olur.
Yani π S1 , 1 ∼
= Z dir.
k : Z → π S1 , 1 , k (1) = ϕ = gı
olduğundan ϕ ,π S1 , 1 in bir üretecidir.
Şimdi bu üretecin nasıl olduğunu bulalım.
πX0 A ......................................... πX1 A ...............r........................ πX1 A1
i1
...
...
...
..
..
..
i2
ı0 = u2 ı
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
u1
...
...
...
...
...
...
...
...
..........
.
...
...
.
...
u01 ..........
.
...
.........
.
πX2 A ..............u.............................. πXA ....................0...................... πXA1
2
r
ı : −1 → 1 yegane morfizma
τ
[τ ] = ı
−1
1
X2
61
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
X2 = S1 − {i} , ı = [τ]
τ
[τ ] = ı
−1
1
X
ϕ2 = [−τ] = 
−ı0 = u2 θ2 , θ2 = [−τ]
 f θ = u θ y = f x( f = u )
x
1 x
1
ϕy =
 1
y 6= f x
y
−1
1
σ
X1
[σ ] = θ1 , u1 θ1 = ϕ1
πX1 A nın objeleri {+1, −1}
θx : (ir) x → x izomorfizma,
u1 (1) = 1, u1 (−1) = −1
r (1) = r (−1) = 1
1
........................................................
r0 ı
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
θ (−1)
1
01
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
−1 .........................ı............................... 1
(ϕ(+1) = 11 , ϕ(−1) = θ (−1))
11 = θ (1) : 1 → 1
θ1 = θ (−1) : 1 → −1
r0 ı0 = −11 + ı0 + ϕ (−1) = ı0 + ϕ1 = −ϕ2 + ϕ1
gı = r0 ı0 = ϕ , π S1 , 1 =< ϕ >
π S1 , 1 in bir üreteci −ϕ2 + ϕ1 dir.
Sonuç 3.37 S1 , E 2 nin retract i değildir.
62
3. ESAS GRUPOİD
Ayşe ÇOBANKAYA
İspat: r : E 2 → S1 retract olsun.
A = {1} için πE 2 {1} → πS1 {1} = π S1 , 1 ∼
= Z retract olur.
Yani
.............................................
πE 2 1 = {0}
πS1 1 =
..... Z
i
..
.
..
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
...
.....
.....
...
.....
...
.....
..
.....
.....
..........
.
.
.
.
.
.
.....
r
1
πS1 1
Bu durumda r örten, i birebir olur.
πS1 1 ∼ Z,
=
πE 2 1 = 0
Fakat morfizmalar kümesi üzerinde ne i birebir ne de r örten olduğundan S1 , E 2
nin retract i değildir.
63
Ayşe ÇOBANKAYA
64
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Bir x ∈ ObG için StG x=
Tanım 4.1 G bir groupoid olsun.
S
G(x, y) olarak
y∈ObG
tanımlanır.
∼
∼
∼
∼
∼
Tanım 4.2 p : G → G bir morfizma olsun. ∀ x ∈ ObG için p : St ∼ x → StG p x dönüşümü
G
∼
∼
eşleme ise p ye örtü morfizmi denir. G ya G nin bir örtü grupoidi denir. G ve G
bağlantılı ise p bağlantılıdır denir.
∼
∼
∼
∼
Tanım 4.3 p : G → G herhangi bir morfizma için x ∈ ObG olmak üzere G(p x) nın
∼ ∼
∼
p(G( x)) alt grubuna x de p nin karakteristik grubu denir.
∼ ∼
Ya da G, x nın karakteristik grubu denir.
∼
∼
∼
∼
∼
İddia: p : G → G örtü morfizması ise G( x) ∼
= p(G( x)) olur.
S ∼ ∼ ∼
∼
∼
S
G(p x, y) eşlemedir.
G( x, y) p
∼
→
− y∈ObG
y∈ObG
∼ ∼
∼ ∼ ∼
∼
∼
∼ ∼
∼
G( x) = G( x, x) → pG(p x, p x) = G(p x) ⊂ p(G( x))
birebir,örten ve grup homomorfizmasıdır, dolayısıyla izomorfizmdir.
∼
∼ ∼
∼
∼
∼
İddia 4.1 p : G → G örtü morfizmi a ∈ G( x) ise p a = a olacak şekilde tek bir a ∈ St x
∼
∼
∼
∼
∼
vardır. a ∈ G(p x) ⊂ St p x olduğundan p a = a olacak şekilde tek bir a ∈ St x vardır.
Örnek 4.1 I → Z2 şeklinde bir örtü morfizması var olduğunu gösteriniz.
Çözüm: p0 = p1 = ∗, (Obj Z2 = {∗} )
p(10 ) = p(11 ) = 0, p(ı) = p(−ı) = 1 bir funktordur ve StI 0 = {10 , ı} , StI 1 =
{11 , −ı} , StZ2 ∗ = {0, 1}, p : StI 0 → StZ2 ∗, p : StI 1 → StZ2 ∗ eşleme olduğundan p
örtü morfizmasıdır.
Örnek 4.2 I → Z3 örtü morfizması yoktur.
Çözüm: Z3 ün Obj Z3 = {∗}, Morfizma {0, 1, −1}
StI 0 = {10 , ı} , StI 1 = {11 , −ı} , StZ3 ∗ = {0, 1, −1}
{00 , ı} → {0, 1, −1} , {00 , −ı} → {0, 1, −1} eşleme yoktur.
I → Z3 örtü morfizması yoktur.
65
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
∼
∼
Teorem 4.2 p : X → X örtü dönüşümü, A ⊂ X ve A = p−1 (A) olsun.
∼∼
π p : π X A → πXA morfizmi örtü morfizmidir.
∼
∼
∼
İspat: x ∈ A ve p x = x olsun.
∼
∼
∼
∼
A = p−1 (A) ⊂ X, X de x başlangıç noktalı her a yolu için X nın, x
∼
∼
başlangıç noktalı tek örtü yolunu ( p a = a olacak şekilde ) a ile gösterelim.
(Greenberg, 1967)
∼
∼
a nın bitiş noktası A da ise a nın da bitiş noktası A dadır.
∼ ∼
∼
∼ ∼
a : I → X, a(0) = x , a (1) = y
∼
a : I → X, (p a)(1) = p(y) = a(1)
∼
p(y) ∈ A ise y ∈ p−1 (A) = A
∼
∼
∼
Homotopi Lifting Teoremi:(Greenberg, 1967) p : X → X örtü dönüşümü x ∈ X
∼
ve p x = x olsun.
∼
∼
Bu durumda X in x başlangıç noktalı a ve b yolları X nın x başlangıç noktalı
∼
∼
a ve b yollarına yükseltilebilirdir ve a ve b denk olması için gerek ve yeter
∼
∼
koşul a ve b nın denk olmasıdır.
∼
Yani a sadece a nın denklik sınıfına bağlıdır.
∼
∼
a ∼ b ⇒ a ∼ b olur.
∼
∼
ϕ : Stx → St x ϕ([a]) = [ a]
∼
ϕ : [a] → [ a] iyi tanımlıdır.
∼
π p : St x → Stx , π p[a] = [pa]
alalım.
∼
∼
∼
(π pϕ)[a] = π p[ a] = [p a] = [a] , (ϕπ p)[a] = ϕ[pa] = [ pa] = [a]
∼
∼
(p a = a olduğundan p( pa) = pa)
olur. π p örtü morfizmidir.
Sonuç 4.3 π(S1 ) ∼
=Z
İspat: p : R → S1 p(t) = e2πit örtü dönüşümüdür.
A = {1} için, p−1 (A) = Z olduğundan bir önceki teoremden
p0 = π p : πRZ → πS1 {1} , p0 [a] = [pa] örtü morfizmidir.
66
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
πRZ 1-bağlantılıdır: R ∩ Z = Z
∀x, y ∈ Z için πRZ (x, y) = πR (x, y)
|a| = q, |b| = r
H : [0, q + r] × I → R
H (s,t) = t (a + r) (s) + (1 − t) (b + q) (s)
için (a + r)H(b + q) olduğundan a ∼ b olur.
Yani |πR (n, m)| = 1 olup ∀n ∈ Z için tek bir τn ∈ πR (0, n) vardır.
τ1 ∈ πR (0, 1) olmak üzere σ : I → R, σ (t) = t olsun. [σ ] = τ1 olsun.
τn+1 − τn ∈ πR (n, n + 1) tektir ve πR (n, n + 1) tek elemanlı olduğundan
σn : I → R σn (t) = t + n için
[σn ] = τn+1 − τn olur.
p0 (τn+1 − τn ) = [pσn ]
(pσn ) (t) = p (t + n) = e2πi(t+n) = e2πit = pσ (t)
[pσn ] = [pσ ] = p0 τ1
p0 τn = p0 (τn+1 − τn ) + · · · + p0 (τ2 − τ1 ) + p0 τ1
= np0 τ1 = nτ (p0 τ1 = τ dersek)
∼
∼
olur. p0 örtü morfizması olduğu için St x → St p x eşleme olur.
∼ ∼ ∼
∼
∼
G( x, y) → G(p x, p y) birebir olur.
∼ ∼
∼
∼
∼
x, y ∈ Z , G = πRZ olduğundan
∼
∼
x = 0 ⇒ px = 1 , y = n ⇒ py = 1
p0 : πR (0, n) → πS1 {1} (1, 1) = π S1 , 1 , p0 (τ0 ) = 0
birebirdir.
n 6= 0 ise p0 τn 6= 0 olur. Böylece nτ 6= 0 olur.
a ∈ π S1 , 1 =< τ > , τ (tek) üreteçli sonsuz devirli grup Z ye izomorftur.
π(S1 , 1) ∼
= Z dir.
Sonuç 4.4 n > 1 için π (Pn (R)) ∼
= Z2 olur.
İspat: h : Sn → Pn (R) =
Sn
x∼−x
örtü dönüşümüdür.
Çünki G = Z2 sonlu (Z2 = {+1, −1} alırsak )
67
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
ϕ : G × Sn → Sn ϕ(1, x) = x ve ϕ(−1, x) = −x etkisi properly discountinious
etki olduğundan
Sn → Pn (R) =
Sn
x∼−x
örtü dönüşümüdür. (Greenberg,1967)
n > 1 için Sn 1− bağlantılıdır. (Greenberg,1967)
n ∩ En
e ∈ Sn−1 = E+
−
n , e)
π(Sn−1 , e) ................... π(E+
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
n , e) ..........................
π(E−
π(Sn , e)
pushouttur.
n , E n nin representativedir.
Çünki A = {e} , Sn−1 , E+
−
n ve E n ,E n ye homeomorftur ve
E+
−
E n , her n için büzülebilir olduğundan πE n = {0} dır.
n ,e ∗π E n ,e
π (E+
) ( − )
= {0} olur. (n > 1 için)
π (Sn , e) =
π (Sn−1 ,e)
(n = 1 için kare pushout olmaz. Çünki
A = {1} , S0 = {1, −1} ın representative’ i değildir.)
∼
∼
∼
∼
x ve − x Sn nin zıt noktaları olsun ve h(− x) = h x = x dir.
∼
∼
A = {x} , h−1 (A) = { x, − x} olur.
∼ ∼
πh : πSn { x, −x} → π(Pn (R), x) örtü morfizmasıdır.
∼
∼
πSn { x, −x} ∼
=I
πh : I → π(Pn (R), x) örtü morfizmasıdır.
∼
∼
∼
St x → Stπh x = Stx = π(Pn (R), x) , St (−x) → π (Pn (R) , x) eşleme di r.
|π (Pn (R) , x) | = 2 olduğundan (n > 1 için)
π (Pn (R) , x) ∼
= Z2 olur.
∼
Teorem 4.5 p : G → G örtü morfizmi ve G bağlantılı olsun.
a ve b, G nin herhangi iki morfizmi ise
p−1 (a) ve p−1 (b) aynı kardinaliteye sahiptir.
İspat: c ∈ G (x, y) olsun. p−1 (c) → p−1 (x) eşleme vardır.
68
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
∼
ϕ : p−1 (c) → p−1 (x) , ϕ(a) = x
∼ ∼ ∼
a ∈ p−1 (c) ve a ∈ G( x, y) olsun.
ϕ nin birebir oluşu:
a, b ∈ p−1 (c) ve ϕa = ϕb olsun.
∼ a ∼ ∼ b ∼
x → y, x → z olsun.
∼
∼
p : G → G örtü morfizmi (p x = x) olduğundan
∼
∼
p : St x → St p x = Stx eşleme olur.
p birebir ve pa = pb = c olduğundan a = b olur.
ϕ nin örten oluşu:
∼
∼
x ∈ p−1 (x) olsun. p : St x → Stx örten olduğundan
c ∈ G(x, y) ⊂ Stx olduğundan
∼
∼
∼
p a = c olacak şekilde tek bir a ∈ St x vardır.
∼
∼
∼
∼
ϕ a = x dır. ( a ∈ St x)
ϕ eşleme olur. Aynı şekilde −a yı kullanarak p−1 (c) ile p−1 (y) de aynı kardinaliteye sahiptir. a ∈ G(x, x1 ), b ∈ G(x, y1 ) olsun. Bu durumda
−1 −1 −1 −1 p (a) = p (x) ve p (b) = p (y) dir.
G bağlantılı olduğundan c ∈ G(x, y) vardır ve p−1 (c) = p−1 (x) = p−1 (y) olur.
Böylece p−1 (a) = p−1 (b) olur.
Teorem 4.6 r : K → H , q : H → G grupoidlerin morfizmaları olsun.
(i) q ve r örtü morfizmi ise qr örtü morfizmidir.
(ii) q ve qr örtü morfizmi ise r de örtü morfizmidir.
(iii) r ve qr örtü morfizmi ve Ob jr : ObK → ObH örten ise q da örtü morfizmidir.
İspat:
r0
q0
(i) Stx → Strx → Stq(rx) = St(qr)x
q0 r0 = (qr)0
r0 ve q0 eşleme olduğundan (qr)0 de eşleme olur. (qr) örtü morfizmasıdır.
(ii) q ve qr örtü morfizmi olsun.
69
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
Stx .................0..........0................. St(qr)x
...
q r ..............
...
...
...
.
...
r0 .....
...
...
..
.........
.
q0 r 0
ve
q0
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
..
q0
Strx
eşleme olduğundan r0 eşleme olur.
(iii) r ve qr örtü morfizmi ve Ob jr örten olsun. y ∈ Ob jH alalım.
Sty ..........................0.......................... Stqy
.
q ................
..........
.
..
...
..
...
...
...
...
...
...
değişmeli diyağramında
r0
ve
q0 r0
...
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
....
.
.
.
.
...
.....
r0
q0 r 0
Stx
eşleme olduğundan q0 de eşleme olur.
Ob jr : Ob jK → Ob jH örten olduğundan y ∈ Ob jH için rx = y olacak şekilde bir x ∈
Ob jK vardır.
4.1. Yükseltmelerin Toplamları ve Morfizmalar
∼
∼
∼
∼
Tanım 4.4 p : G → G örtü morfizması olsun. G nın bir a morfizmasına p a nın bir
yükseltmesi ya da örtüsü denir.
∼
∼
∼
∼
∼
∼
İddia 4.7 G nın a n + · · · + a 1 morfizması pan + · · · + pa1 nın bir örtüsü olur. p( a n +
∼
∼
∼
∼
∼
∼
· · · + a 1 ) = p a n + · · · + p a 1 (Tümevarımla) p funktor olduğundan p(a2 + a 1 ) = pa2 +
∼
∼
∼
∼
∼
p a 1 , p( a n−1 + · · · + a 1 ) = p a n−1 + · · · + p a 1 dir.
∼
∼
∼
Teorem 4.8 x ∈ Ob jG ve p x = x olsun.
∼
∼
∼
a = an + · · · + a1 ∈ Stx ise G nın a 1 , . . . , a n morfizmaları vardır öyle ki:
∼
(a) p a i = ai , i = 1, 2, . . . , n
∼
∼
∼
∼
∼
(b) a = a n + · · · + a 1 tanımlanabilir ve a ∈ St x dır.
70
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
∼
∼
Ayşe ÇOBANKAYA
∼
∼
İspat: x ∈ ObG için p : St x → St p x = Stx eşleme dir.
∼
∼
∼
a1 ∈ Stx olduğundan p a 1 = a1 olacak şekilde tek bir a 1 ∈ St x vardır.
Bir n ∈ N için (a) ve (b) doğru olsun.
an+1 + · · · + a1 ∈ Stx
an + · · · + a1 ∈ Stx olduğundan tümevarım hipotezinden
∼
∼
∼
∼
∼
∼
p a i = ai (i = 1, 2, . . . , n) ve a n + · · · + a 1 tanımlı ve a n + · · · + a 1 ∈ St x olacak şekilde
∼
∼
a1, . . . , an
vardır.
∼
∼
a n + · · · + a 1 nin
∼
∼
∼
∼
bitişi y olsun. y = p y olsun.
p : St y → St p y = Sty eşleme an+1 ∈ Sty olduğundan
∼
∼
∼
p a n+1 = an+1 olacak şekilde tek bir a n+1 ∈ St y vardır.
∼
∼
∼
a n+1 + ( a n + · · · + a 1 )
∼
∼
∼
∼
tanımlı ve a n+1 + a n + · · · + a 1 ∈ St x dır.
Tanım 4.5 C, G (x) in D de G (y) nin bir alt grubu olsun.
a +C − a = D olacak şekilde a ∈ G (x, y) varsa C ve D ye
G de birbirine eşleniktir denir.
Bu koşulu −a + D + a = C olarak ta yazabiliriz.
∼
∼ ∼
Teorem 4.9 p : G → G örtü morfizmi C, G, y nın karakteristik grubu olsun.
∼ ∼
(C = p(G( x))) O zaman:
∼ ∼
∼ ∼ ∼
(a) D, G, y nın karakteristik grubu ve x, y, G nin aynı bileşeninde ise C ve D ,G de
eşleniktir.
∼
∼ ∼
(b) D, G(y) nin alt grubu ve D,C nin eşleniği ise D en az bir y için G, y nin karakteristik grubudur.
∼ ∼
∼
∼ ∼ ∼
∼
İspat: D = p( G( y)) , a ∈ G( x, y) ve p a = a olsun.
∼ ∼
∼ ∼
∼
(a) c ∈ C ise C = p( G( x)) olduğundan G( x) nın c elemanı ile örtülür.
∼
∼
∼
Teorem 4.8. den a + c − a, a + c − a ile örtülür.
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼ ∼
Yani p( a + c − a) = a + c − a olup, a + c − a ∈ G( y) ve a + c − a ∈ D dir.
71
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
(b) a + c − a = D, a ∈ G(x, y) olsun.
∼
∼
∼
p a = a olacak şekilde a ∈ St x , a nın örtüsü olsun.
∼
∼ ∼
∼
a nın son noktası y olsun ve D0 , G, y nın karakteristik grubu olsun.
D = D0 olduğunu gösterelim.
d ∈ D ise d = a + c − a olacak şekilde c ∈ C vardır.
∼
∼
∼
∼ ∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
a + c − a ∈ G( y) ve p( a + c − a) = p a + p c − p a = a + c − a = d, d ∈ D0 dir.
∼
∼
∼
d ∈ D0 olsun. d, G nın d elemanı ile örtülür. (pd = d)
∼
∼
∼
c = −p a + pd + p a ∈ G(x) ,
c = −a + d + a ∈ G(x) , d = a + c − a ∈ D
olduğundan d ∈ D olup D = D0 dir.
Tanım 4.6 (Noktalı Grupoid)
G bir grupoid ve x ∈ Ob jG ise G, x e noktalı grupoiddir denir.
Noktalı morfizma ise f : G, x → H, y, f : G → H morfizma ve f x = y ise f iki
noktalı grupoid arasında morfizmadır.
Tanım 4.7 f : G, x → H, y noktalı morfizmasının karakteristik grubu f nin x de karak∼ ∼
∼
teristik grubudur. Ayrıca p : G, x → G, x noktalı morfizma ve p : G → G ye örtü morfizması ise p örtü morfizmasıdır.
∼ ∼
Teorem 4.10 p : G, x → G, x e örtü morfizmi ve f : F, z → G, x
F bağlantılı olacak şekilde bir morfizma olsun.
∼
∼ ∼
Bu durumda f , f :F, z → G, x ya yükseltilebilir bir morfizmadır.
⇔ p nin karakteristik grubu f nin karakteristik grubunu içerir.
Bu yükseltme varsa tektir.
∼
∼
İspat: ⇒) f var olsun. p f = f olsun.
∼ ∼
f (F(z)) ⊂ p(G( x)) olduğunu göstermeliyiz.
a ∈ f (F(z)) olsun. Bu durumda f b = a olacak şekilde b ∈ F(z) vardır.
∼
∼
∼ ∼
p f = f olduğundan p f b = f b = a olup a ∈ p(G( x)) dır.
∼ ∼
⇐) f (F(z)) ⊂ p(G( x)) olsun. y ∈ Ob jF için
72
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
f y ∈ Ob jG, F(z, y) 6= ∅ olduğundan u : z → y olsun.
f u : f z → f y yani f u : x → f y ∈ Stx bir morfizmadır.
∼
∼
p : St x → St p x = Stx eşleme olduğundan pu0 = f u
∼
∼
∼
olacak şekilde u0 : x → y ∈ St x vardır ve tektir.
∼
∼ ∼ ∼
∼
f : F, z → G, x f y = y olsun.
0 : z → z , 0 = f 0 : x → x ∈ Stx
∼
∼
p : St x → St p x = Stx eşleme olduğundan
∼
pu0 = 0 olacak şekilde u0 ∈ St x vardır.
∼
∼
p0 = 0 , 0 ∈ St x ve u0 ∈ St x olduğundan u0 = 0 dır.
∼
∼
∼
∼
u0 : x → x olup f z = x dır.
Şimdi seçimin u dan bağımsız olduğunu gösterelim.
u, v : z → y , f u, f v : x → f y ∈ Stx ,
∼
∼
p : St x → St p x = Stx eşleme olduğundan
∼
pu0 = f u, pv0 = f v olacak şekilde u0 , v0 ∈ St x vardır.
−v + u ∈ F (z) f u : x → f y,
− f v : f y → x , f (−v + u) = − f v + f u ∈ f (F(z)) ⊆ p(G̃(x̃))
− f v + f u ∈ p(G̃(x̃))
p(−v0 ) = − f v , pu0 = f u − v0 + u0 tanımlı ve
∼ ∼
p(−v0 + u0 ) = p(−v0 ) + p(u0 ) = − f v + f u ∈ pG( x)( Teorem 4.8 den)
olacak şekilde tek −v0 ve u0 vardır.
∼
∼
∼
∼
∼
∼
u0 : x → y1 , −v0 : y1 → x, v0 : x → y1 , u0 ve v0 nin hedefi aynıdır.
a ∈ F(y, y0 ) olsun.
y
....... .
..... ....
.....
...
....
.
.
...
.
.
.....
...
.....
.
...
.
.
.
...
.
...
.
.
.
...
....
.
.
.
...
...
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
...
..........
.
.
.
.
.
....
.
.
.
.
........................................................
u
z
∼
∼
a+u
∼
a
y0
a : y → y0 , f a : y → y0 f u : x → f y ∈ Stx ve
73
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
∼
Ayşe ÇOBANKAYA
∼
p : St x → St p x = Stx eşleme olduğundan pu0 = f u olacak şekilde
∼
∼
∼
u0 : x → y = f y vardır.
f (a + u) : x → f y0 , f a + f b : x → f y0
fy
..........
.....
.....
.....
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
....
.....
.....
....
.....
........................................................
fu
x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
fa
fa+ fu
f y0
f u : x → f y ∈ Stx ,
∼
∼
p : St x → St p x = Stx eşleme olduğundan
∼
∼
∼
∼
p u = f u olacak şekilde u : x → w vardır.
∼
∼
∼
f a ∈ St f y olduğundan p a = f a olacak şekilde a : w → t vardır.
∼
∼
∼
∼
∼
a + u : x → t tanımlıdır ve
∼
∼
∼
a + u ∈ St x dir. Teorem 4.8 den, p : St x → St p x = Stx eşleme olduğundan
∼
∼
∼
∼
p u = f u , pu0 = f u ve u, u0 ∈ St x olduğundan u0 = u olur.
∼
∼
O halde y = w dir.
∼
∼
∼
∼
p( a + u) = p a + p u = f a + f u = f (a + u)
∼
∼
f (a + u) : x → f y0 p a + p u : f a + f u = f (a + u)
∼
∼
∼
f (a + u) : x → f y0 , p a + p u : x → pt , pt = f y0 olup t = f y0 dir.
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
a : w = y → f y0 = y0 dir. f a = a alalım.
∼
f nın (funktor) morfizma oluşu:
∼
∼
a. f a = a olsun.
∼
∼
∼
∼
p(a]
+ b) = f (a + b) = f a + f b = p a + p b = p( a + b)
∼
∼
∼
f (a + b) nin f a + f b olduğunu gösterelim.
∼
∼
p(a]
+ b) = p( a + b)
a : l → n , b : k → l olsun. a + b : k → n olur.
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
a]
+ b = f (a + b) : f k → f n ∈ St f k
∼
∼
∼
∼
a + b = f a + f b : f k → f n ∈ St f k
74
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
∼
∼
p( a + b) = p(a]
+ b) ve
∼
∼
∼
∼
∼
a]
+ b, a, +b ∈ St f k olduğundan a]
+ b = a + b dir.
∼
∼
b. f (0l ) = 0 l = 0∼ olduğunu gösterelim.
fl
∼
f 0l = 0 f l , p 0 l
∼
∼
∼
= 0 f l p : St l → St p l = St p f l = St f l eşleme olduğundan,
∼
p(0∼ ) = 0 f l , p 0 l = 0 f l ve
l
∼
0∼ , 0 l
l
∼
∼
∼
∼
∈ St l olduğundan f (0l ) = 0 ı = 0∼
fl
f funktordur yani morfizmadır.
∼
∼ ∼
f : F, z → G, x nin tek oluşu:
∼ ∼
g : F, z → G, x ya f nin yükseltmesi olsun.
∼
pg = f ve p f = f olsun.
y ∈ Ob jF için u : z → y, f u : x → f y ∈ Stx
∼
∼
p : St x → St p x = Stx eşleme olduğundan
∼
∼ ∼
∼
pu0 = f u olacak şekilde u0 : x → y , f y = y
∼
∼
gu : x → gy ∈ St x ,
∼
∼
p : St x → St p x = Stx
gu 7→ pgu = f u
∼
gu, u0 ∈ St x ve pgu = f u, pu0 = f u olduğundan gu = u0 olur.
∼
∼
gy = y = f y
a : z → y , f a : x → f y ∈ Stx
∼
∼
p : St x → St p x = Stx eşleme olduğundan
∼
∼
∼
∼
p a = f a olacak şekilde a : x → y vardır.
∼
∼
ga : x → gy ∈ St x ,
∼
∼
∼
p : St x → St p x = Stx , pga = f a = p a
∼
∼
∼
∼
∼
ga, a ∈ St x ve pga = p a olduğundan ga = a = f a olur.
y
........................................................
ab
.......
.........
.....
.....
.....
z
..........
.....
.....
....
75
y0
b+a
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
b+a = b+a
b = (b + a) − a
∼
∼
∼
∼
gb = g (b + a) − ga = f (b + a) − f a = f (b + a − a) = f b
∼
olup, g = f dır.
∼ ∼
∼ ∼
Sonuç 4.11 p : G, x → G, x, q : H, y → G, x bağlantılı örtü morfizmleri,
∼ ∼
∼ ∼
p(G( x)) = C, q(H( y)) = D olsun.
∼ ∼
∼ ∼
C ⊆ D ise r : G, x → H, y p = qr olacak şekilde tek bir r örtü morfizması vardır.
C = D olduğunda r izomorfizma olur.
İspat:
G̃,x̃
∼ ∼
.....
.........
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
...
.......
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
...
.......
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
..
.......
...............................................................................................................................
H̃,ỹ
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
..
r
q
p
G, x
∼ ∼
p(G( x)) = C ⊂ D = q(H( y)) olduğundan;
∼ ∼
∼ ∼
Teorem 4.10 dan qr = p olacak şekilde tek bir r : G, x → H, y örtü morfizması
vardır.
q ve p örtü morfizması olduğundan r de örtü morfizmasıdır.
D ⊂ C ise
.....
..........
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
...
.......
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
...
.......
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
...
.......
...............................................................................................................................
G̃,x̃
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
p
r0
H̃,ỹ
q
∼ ∼
G, x
∼ ∼
pr0 = q olacak şekilde tek bir r0 : H, y → G, x örtü morfizması vardır.
pr0 = q , qr = p olduğundan qrr0 = q ve pr0 r = p dir.
∼ ∼
∼ ∼
∼ ∼
∼ ∼
r0 r : G, x → G, x , 1 ∼ ∼ : G, x → G, x ve
G, x
76
4. ÖRTÜ GRUPOİDLERİ
Ayşe ÇOBANKAYA
..........
...... .
......
......
.
.
.
.
..........
.
....
...... .
......
......
......
......
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
......
......
......
......
......
......
......
..........................................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
1G̃,x̃
r0 r
p
p
G, x
G̃,x̃
∼ ∼
G̃,x̃
∼ ∼
p(G( x)) ⊆ p(G( x)) olduğundan p nin tek bir liftingi vardır ve r0 r = 1 ∼ ∼ dir. Benzer
G, x
şekilde rr0 = 1 ∼ ∼ olup r izomorfizmadır.
H, y
Sonuç 4.12 G nin 1− bağlantılı örtü grupoidi G nin her örtü grupoidini örter.
∼ ∼
∼
İspat: p : G, x → G, x örtü morfizmi ve G 1− bağlantılı olsun.
∼
∼ ∼
∼ ∼ ∼
∀ y, z ∈ Ob jG için |G( y, z)| = 1 olur.
Böylece p nin karakteristik grubu tek elemanlıdır (aşikar gruptur).
∼ ∼
a, p(G( x)) da bir morfizma olsun.
∼ ∼
O halde pb = a olacak şekilde b ∈ G( x) vardır ve b tektir.
b = 0∼x dır.
∼ ∼
∼ = 0x , a = 0x , |p(G( x))| = 1
p0∼x = 0 px
H, y G nin bir örtü grupoidi olsun.
G̃,x̃
. .
.........
....... .
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
...
.......
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
...
.......
.......
.......
.......
.......
.
.
.
.
.
.
.....
...............................................................................................................................
H, y
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
.........
.
r
q
p
G, x
∼ ∼
|p(G( x))| = 1 olduğundan tek elemanlı (aşikar) gruptur ve
∼ ∼
p(G( x)) ⊂ q(H(y)) dir.
∼ ∼
O halde qr = p olacak şekilde tek bir r : G, x → H, y örtü morfizması vardır.
q ve p örtü morfizması olduğundan r de örtü morfizmasıdır.
77
78
KAYNAKLAR
BROWN, R., 2006. Topology and Groupoids. Deganwy, United Kingdom, 512s.
GREENBERG, M., 1967. Lectures on Algebraic Topology. Newyork, 235s.
HU, S.T., 1964. Elements of General Topology. Holden-Day, Inc., San Francisco,
Calif.-London-Amsterdam 214s.
KAMPEN, E. H. VAN., 1933. On the connection between the fundamental groups of
some related spaces. Am. J. Math. 55, 261-267.
POINCARE, H., 1895. Analysis Situs, Journal Ecole Polytecnique Ser 2 , 1-123s.
SEIFERT, H., 1931. Konstruction dreidimensionaler geschlossener Raume. Ber.
Sachs. Akad. Wiss. 88, 26-66.
79
80
ÖZGEÇMİŞ
1988 yılında Isparta’da doğdu. İlköğretim ve Lise öğrenimini Isparta’nın
Senirkent ilçesinde tamamladı.
2004 yılında Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen-
Edebiyat Fakültesi Matematik bölümüne girdi. 2008 yılında mezun oldu. Aynı
yıl Afyon Kocatepe Üniversitesinde yüksek Lisans eğitimine başladı.
Kasım
ayında Çukurova Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik bölümüne Araştırma
Görevlisi olarak atandı. 2009 yılında Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsüne yatay geçiş yaptı.
Halen Ç.Ü. Matematik Bölümünde Araştırma Görevlisi olarak çalışmaya devam etmektedir.
81