Elektrik Devre Denklemlerinin Euler Lagrange ve Hamilton Formülasyonları Mustafa Kösem Özkan Karabacak İÇERİK • Çalışma grubumuz • Neden farklı bir formülasyon? • Euler-Langrange(EL) ve Hamilton(H) denklemleri • Elektrik devrelerinin EL-H formülasyonlarıkısa tarihçe • Ötesi… Neden farklı bir formülasyon? • • • • Elektromekanik sistemler Lineer olmayan sistemler Davranışı doğrudan görmek Kapılar tanımlayarak enerji temelli kontrol yapmak • Ve diğer teorileri elektriğe taşımak EL-H Denklemleri (Neden Newton yetmiyor?) Tek parçacık için Newton’un ikinci yasası: dp F= dt Kuvvet korunumlu ise F ⋅ dx = 0 ∫ Stokes theorem ∇× F = 0 F = −∇V V bir skaler fonksiyon; adı potansiyel (enerji) EL-H Denklemleri 2 (Neden Newton yetmiyor?) 2 2 dv W12 = ∫ F ⋅ dx = ∫ m ⋅ dx = m ⋅ ∫ v ⋅ dv dt 1 1 1 V1 − V2 = T2 − T1 , 2 Ti = m ⋅ vi / 2 T bir skaler fonksiyon; adı kinetik enerji H = V1 + T1 = V2 + T2 H bir skaler fonksiyon; adı enerji H korunur. EL-H Denklemleri (Neden Newton yetmiyor?) N parçacık için Newton’un ikinci yasası: ∑ Fji + Fi (e) = pi , i = 1,2, … , N j Kuvvetler korunumlu ise, 1 2 T = ∑ mi ⋅ vi 2 i , 1 V = ∑ Vi + ∑ Vij 2 i≠ j i H korunur. EL-H Denklemleri (Neden Newton yetmiyor?) Çünkü sistemde etkisini bilip de kendisini bilemediğimiz kuvvetler olabilir. Yani KISIT KUVVETLERİ x2 θ genelleştirilmiş koordinat Kısıt kuvveti (genelde işsiz) x1 alışıldık koordinatlar (e) F Kısıt: f ( x1 , x2 , … , x N ) = 0 EL-H Denklemleri (Kısıt kuvvetlerinden bağımsız bir denklem: D’Alembert Prensibi) ∑ statik Fi ⋅ δ xi = 0 i Fi = Fi ∑ Fi (a) (a) kısıt kuvvetlerini ayırdık + fi statik ⋅δxi = 0 i ∑ (F − p )⋅ δx i i i i ∑ (F (a) i dinamik =0 ) − pi ⋅δxi = 0 i D’Alembert Prensibi ∑ (F i i − p i )⋅ δ x i = 0 dinamik EL-H Denklemleri (D’Alembert Prensibi genelleştirilmiş koordinatlara taşınması: EL-H denklemleri ) Euler-Lagrange denklemleri d ⎛ ∂L(q, q) ⎞ ∂L(q, q) ⎜⎜ ⎟⎟ − = 0 , L = T −V dt ⎝ ∂q ⎠ ∂q L: Lagrange fonksiyonu Korunumsuz kuvvetler var ise: d ⎛ ∂L(q, q) ⎞ ∂L(q, q) ⎜⎜ ⎟⎟ − =Q , dt ⎝ ∂q ⎠ ∂q L = T −V EL-H Denklemleri (D’Alembert Prensibi genelleştirilmiş koordinatlara taşınması: EL-H denklemleri ) Hamilton denklemleri: ∂H(q,p) q= , p = M (q) ⋅ q ∂p ∂H(q,p) p=− , H = T +V ∂q H: Hamilton fonksiyonu BASİT SARKAÇ Newton denklemleri kullanılarak Sabit uzunluklu ip cismin hareketini sınırlamaktadır. Kısıt denklemi : Sisteme ait dinamik denklem Kısıt kuvveti : Sisteme ait kısıt denklemi BASİT SARKAÇ Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak Koordinat dönüşümü Genelleştirilmiş koordinatlara geçiş EULER-LAGRANGE DENKLEMİ UYARILMIŞ SARKAÇ Euler-Lagrange denklemleri kullanılarak EULER-LAGRANGE DENKLEMİ Elektrik devrelerinin EL-H formülasyonları • • • • • Application of the Lagrangian equations to electrical circuits, D. A. Wells, 1938. A theory of nonlinear networks, R. K. Brayton, J. K. Moser, 1964. Explicit topological formulation of Lagrangian and Hamiltonian equations for nonlinear networks, L. 0. Chua and J. D. McPherson, 1974. A method for obtaining a canonical hamiltonian for nonlinear LC circuits, G. M. Bernstein and M. A. Lieberman, 1989. Ötesi… Brayton-Moser Denklemleri Devre üzerine kısıtlamalar Kondansatör gerilimleri ve endüktans akımları tam değişkenler kümesi oluştursun. Denge noktası problemi çözülebilir olsun. diL ∂P L ( iL ) = ( iL , vC ) dt ∂iL dvC ∂P C ( vC ) =− ( iL , vC ) dt ∂vC P karışık potansiyel fonksiyonu (mixed potantial function) LC DEVRELERİ Devre topolojisi üzerine kısıtlamalar Kondansatörler çevre, endüktanslar kesitleme oluşturmuyor. Eleman tanım bağıntıları üzerine kısıtlamalar Dallar Kirişler ENERJİ FONKSİYONLARI Enerji : Tümleyen Enerji : LAGRANGE FONKSİYONU Klasik mekanik : LC devresi : Genelleştirilmiş konum : Genelleştirilmiş hız : Problem : Kondansatör akısı ve endüktans yükü alışılagelmiş büyüklükler değil! EULER-LAGRANGE DENKLEMLERİ Bu denklem sağlanır. SONUÇ : Kirchhoff’un gerilimler yasası Enerjinin korunumu (Euler-Lagrange denklemleri) Kondansatör gerilimlerine dair dinamik denklem L, C, J, R DEVRELERİ Dallar Kirişler Bağımsız DC akım kaynakları akı kontrollü endüktanslar gibi düşünülür. Dirençler denklemlere genelleştirilmiş kuvvet olarak katılır. L, C, J devresi : L, C, J, R devresi : GENEL HALDE EULER-LAGRANGE DENKLEMLERİ Yük kontrollü kapasiteler Akı kontrollü endüktanslar Akım kontrollü bağımsız kaynaklar Gerilim kontrollü bağımsız kaynaklar Gerilim kontrollü kondansatörler Akım kontrollü endüktanslar ÖRNEK Durum değişkenleri gösterimi Euler-Lagrange gösterimi HAMİLTON DENKLEMLERİ Eleman tanım bağıntıları üzerine kısıtlamalar : Hamilton fonksiyonu : BİR LC DEVRESİNİN KARMAŞIKLIĞI Devre topolojisi üzerine kısıtlamalar Kondansatörler çevre, endüktanslar kesitleme oluşturmuyor. Durum değişkeni sayısı Gerçek karmaşıklık 5 kondansatör gerilimi 5-1=4 kondansatör gerilimi 6 endüktans akımı 6-2=4 endüktans akımı ÖZELLİK : Bağımsız kondansatör gerilimi sayısı, bağımsız endüktans akımı sayısına eşittir. KANONİK YAPIDA HAMİLTON DENKLEMLERİ Bu eşitliği sağlayan M ve N matrisleri vardır. Genelleştirilmiş koordinatlara geçiş : Kanonik hamilton gösterimi Ötesi… • Kontrol - enerji şekillendirme (Power shaping) - pasiflik temelli kontrol (PBC) - bağlantı ve sönüm atama yoluyla pasiflik temelli kontrol (IDA-PBC) • Diferansiyel geometri - manifold üzerinde dinamik sistem - simetri