Test 1`in Çözümleri Keppler Yasaları ve Genel Çekim

18
Test 1’in Çözümleri
1.
Uydu Dünya’nın merkezinden r kadar uzaklıktaki yörüngesinde T periyodu ile dolanırken iki kütle
arasındaki çekim kuvveti, merkezcil kuvvet görevi
görür.
4.
Dünya Güneş’e yaklaşırken hızı, dolayısıyla kinetik enerjisi artar. Kinetik enerjisi ne kadar artarsa
potansiyel enerjisi de o kadar azalır.
Bir sisteme dışarıdan bir kuvvet etki etmedikçe
mekanik enerjisi değişmez.
Cevap B dir.
Fçekim = Fmerkezcil
G·
M·m
r
1
Keppler Yasaları ve Genel Çekim
2
= m·
4r2 r
T2
Bağıntıya göre, uydunun dolanım periyodu yalnızca uydunun kütlesine bağlı değildir.
Cevap B dir.
Uyduya yörüngede etki eden merkezcil kuvvet
çekim kuvvetine eşittir.
5.
v2
M·m
m r = m~2 r = G·
r2
olur. Bu bağıntılardan;
2
~ = G·
M
r3
yazabiliriz. Bağıntıya göre, açısal hız ile r uzaklığı ters orantılıdır. Bir başka ifade ile, uydu r1 uzaklığından r2 uzaklığına getirilirse açısal hızı artar.
2r
T
bağıntısına göre ω artınca T azalır. Kütlesi M olan
Dünya’nın merkezinden r kadar uzaklıkta dolanan
m kütleli uydu Dünya’ya
~=
Nihat Bilgin Yayıncılık©
2.
Dünya’nın kütlesi m1, uydunun kütlesi m2 olarak
alınırsa uydunun kinetik enerjisini veren bağıntı;
m1 ·m2
Ek = G·
2r
dir. Bu bağıntıyı A ve B uydularına ayrı ayrı uygularsak;
4m·M
2·3r
3m·M
Ek ( B ) = G·
2·4r
Ek ( A )
16
=
bulunur .
Ek ( B )
9
Ek ( A ) = G·
Cevap C dir.
M·m
2r
toplam enerjisi ile bağlıdır. (–) işaretinden dolayı r
küçülünce, toplam enerji de küçülür.
Etop = – G ·
Cevap E dir.
6.
3.
Uydunun toplam enerjisi;
M·m
2r
dir. uydunun toplam enerjisini sıfır yapan enerji
onun bağlanma enerjisidir. Bağlanma enerjisi;
Eb = + G ·
Etop = – G ·
M·m
2r
dir. Buradan;
M·m
= G·
2· ( 3r )
M·m
E2 = G·
= G·
2· ( 4r )
E1 = G·
m1 kütleli bir uydu m2 kütleli bir gezegenin çevresinde r yarıçaplı yörüngede dolanıyor olsun. Uydu
ile gezegen arasındaki bağlanma enerjisini veren
bağıntı;
m1 ·m2
Eb = G·
2r
dir. Her iki sisteme bu bağıntıyı uygulayalım.
m·3M
2·2r
2m·2M
E2 = G·
2·3r
E1
9
=
bulunur .
E2
8
E1 = G·
M·m
= E ise
6r
3
M·m
= E olur .
8r
4
Cevap C dir.
Cevap A dır.
2
KEPPLER YASALARI VE GENEL ÇEKİM
7.
r3
Kepler’in III. kanunu olan,
= sabit ifadesini,
2
T
3
2
r ·f = Sabit şeklinde yaza-
biliriz. Buradan da;
11. Bir gezegenin çekim alanı, gezegenin üzerindeki birim kütleye uyguladığı çekim kuvveti olarak
tanımlanır. Çekim kanununa göre kütlesi M, yarıçapı R olan bir gezegenin üzerindeki birim kütleye
(m) e uyguladığı çekim kuvveti;
rK3 · fK2 = rL3 · fL2
( 2 r ) 3 · fK2 = ( 3 r ) 3 · fL2
fK2
27 r 3
=
8r3
fL2
fK
3 3
=
fL
2 2
bulunur .
M·m
R2
bağıntısı ile bulunur. Buradaki m birim kütle olup
sabit alınırsa;
g = G·
Cevap D dir.
F = G·
M
R2
bulunur. Buna göre;
gX = G·
8.
Newton’un genel çekim kanununa göre, ağırlık
kütlelerin çarpımı ile doğru, aralarındaki uzaklığın
karesi ile ters orantılıdır. Buna göre, ağırlık m ve M
ile doğru orantılı, r nin karesi ile ters orantılıdır.
gY = G·
gZ = G·
Cevap E dir.
2
12
1
22
1
12
= 2 birim
=
1
birim
4
= 1 birim
gX > gZ > gY bulunur.
9.
Dünya-Ay sisteminin Güneş’e uzaklığının değişmediğini kabul edersek, Dünya’nın Güneş çevresindeki dolanma süresi değişmez.
Dünya Ay arasındaki uzaklık arttığı için;
m ay · m d ü nya
F=G·
r2
bağıntısına göre, çekim kuvveti azalır.
Periyotlar kanununa göre (
arttığı için periyot da artar.
r3
T2
= s abit ) , uzaklık
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap D dir.
12. • Her gezegen, odaklarından birinde Güneş bulunan elips biçiminde bir yörünge üzerinde dolanır.
• Güneş’i gezegenle birleştiren yarıçap vektörü
eşit zaman aralıklarında eşit olanlar tarar.
Buna göre, gezegen 6S alanlı eliptik düzlemi 6t
sürede dolanır.
Cevap C dir.
Cevap B dir.
10. Uydunun kinetik enerjisi;
1
m·M
mv 2 = G ·
2
2r
dir. Buradan;
Ek =
13. Dünya’nın çekim alanı içinde ve Dünya’nın çevreside dolanan uyduların periyotları T1, T2, T3 arasında;
M
v2 = G· r
bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıya göre uyduların
çizgisel hızları eşittir.
Çizgisel hız ve yarıçaplar eşit olduğuna göre, açısal hızlar da eşittir.
3m kütleli uydunun kütlesi büyük olduğu için kinetik enerjisi daha büyüktür.
Cevap E dir.
r13
=
r23
=
r33
r3
=
8r3
=
27 r 3
= sabit
T12
T22
T32
bağıntısı vardır. Bu bağıntıya göre;
T12
T22
T32
yazabiliriz. Buradan T3 > T2 > T1 bulunur.
Cevap A dır.
3
KEPPLER YASALARI VE GENEL ÇEKİM
14. I. Uydunun oturtulduğu
yörüngesinde hareketini
sürdürebilmesi için, merkezcil kuvvetin, uydu ile
Dünya arasındaki çekim
kuvvetine eşit olması
gerekir.
uydu
r
m
M
Dünya
Cevap D dir.
Dünyanın kütlesi M, uydunun kütlesi m olsun.
16. Haberleşme uyduları Dünya ile aynı periyotta dönerler. Bu nedenle açısal hızları aynıdır.
Dünya’nın ve uydunun dolandığı yörüngeler farklı olduğundan çizgisel hızları farklıdır. Dünya uyduyu hangi kuvvetle çekerse, uydu da Dünya’yı aynı
büyüklükteki kuvvetle çeker. Merkezcil kuvvet ile
çekim kuvveti büyüklük olarak aynıdır.
v
Fçekim = Fmerkezcil
G·
M·m
v2
= m· r
r2
yazabiliriz. Bağıntıdan uydunun hızını yalnız bıra-
17.
v
kırsak;
R
M
G· r
v=
bulunur. Buna göre, uydunun dolanım hızı kendi
kütlesinden bağımsızdır. Bir başka ifadeyle, X ve
Y uydularının çizgisel hızları eşit olur.
II. Merkezcil kuvveti veren bağıntı uydunun kütlesiyle doğru orantılıdır. Bu nedenle X uydusunun
merkezcil kuvveti Y ninkinden büyük olur.
III. Uydunun toplam enerjisi;
M·m
2r
dir. Bağıntının önündeki (–) işaretinden dolayı m
artınca Etop azalır.
Etop = – G ·
Cevap B dir.
Güneş
F
Güneş’in çevresinde eliptik bir yörüngede hareket
eden bir gezegen (veya kuyruklu yıldız) düşünün.
Gezegenin üzerine etki eden çekim kuvveti, daima
yarıçap vektörü boyuncadır ve Güneş’e doğru
yönelmiştir. Sabit bir noktaya veya ondan uzağa
doğru yönelmiş böyle bir kuvvet merkezi kuvvet
adını alır. Bu merkezi kuvvetten dolayı gezegenin
üzerine etkiyen tork ( F nin R ye paralel olmasından dolayı) sıfırdır. Yani;
x= F xR
τ = F . R . sin0° = 0
olur. Tork sıfır olduğundan açısal momentum korunur
Cevap C dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
15. Uydunun Dünya çevresindeki dönüşü için gerekli
merkezcil kuvvet, çekim kuvvetinden kaynaklanır.
r, uydunun Dünya merkezinden olan uzaklığı
olmak üzere;
r
= G·
r = G·
F = G
Fmerkezcil = Fçekim
m uydu · v 2
18. Kütleleri m1 , m2 olan iki cismin merkezleri arasındaki uzaklık r olsun. Bu iki cisim birbirine;
m1 .m2
r2
kuvvetini uygular. Dünya ve çevresindeki cisimler
de aynı şekilde biribirini çeker.
M d ü nya · m uydu
r2
M d ü nya
v2
Uzaklık uydunun hızına dolayısıyla periyoduna,
Dünya’nın yarıçapına ve Dünya’nın kütlesine bağlıdır. Uydunun kütlesi uzaklığı etkilemez.
Cevap A dır.
Yarıçapı r olan Dünya, kendi yüzeyinde bulunan
bir cisme F kuvvetini uyguluyor olsun. Bu cisim
dünya merkezinden 2r uzaklığa götürüldüğünde
F
F
çekim kuvveti
, 3r uzaklığa götürüldüğünde
4
9
olur.
Cevap A dır.