MT242_20_Sorular ve Çözümler

MT242 Analiz IV Aras¬nav¬, 8 Nisan 2009
Sorular
MT242 Analiz IV Aras¬nav¬, 8 Nisan 2009
Ö¼
grenci No :
Ad¬Soyad¬:
Kurallar. Cevaplar¬n¬z¬ sorular¬n hemen alt¬nda bulunan boşlu¼
gu yaz¬n¬z. Verilen alan
d¬ş¬nda yaz¬lan yaz¬lar cevap olarak puanlamada dikkate al¬nmayacakt¬r.
1. Aşa¼
g¬daki önermelerdeki boşlular¬doldurunuz.
(a) f : A ! R bir fonksiyon ve c 2 A0 olsun. limx !c f (x) = L olmas¬için gerek ve
yeter koşul (xn ) A gibi terimleri c den __________ ve __________
= c olan her (xn ) dizisi için _________f (_____) =_________ olmas¬d¬r.
(b) I bir aral¬k ve f : I ! R sürekli bir fonksiyon olsun. c; d 2 I, k 2 R ve
f (c) k f (d) ise bir ____2_____ için f (______) =_______ dir.
(c) I bir kapal¬aral¬k ve f : I ! R sürekli bir fonksiyon olsun. O zaman f fonksiyonu I da s¬n¬rl¬d¬r.
m = inf f (x) ve M = sup f (x)
x2I
x2I
ise bir tak¬m ___ , ___2_____ için f (______) =_______ ve f (______) =____
dir. I kapal¬aral¬k de¼
gilse bu önerme do¼
gru olmayabilir. Bunabir örnek olarak
I = (0; 1) aln¬rsa
_________
f (x) =
_________
al¬nabilir. Bu fonsiyonun I da ne bir _____________ ne de bir _______________
vard¬r
2. Aşa¼
g¬daki önermelerdeki boşlular¬doldurunuz.
(a) (2 Puan) A R oldu¼
guna göre f : A ! R fonksiyonu verilsin. Verilen her " > 0
için j______ ______j < , x; y 2 A oldu¼
gunda jf (______) f (______)j <___
olacak şekilde bir
> 0 bulunabiliyorsa f ye A da düzgün sürekli denir. I
bir kapal¬ aral¬k ve f : I ! R sürekli bir fonksiyon olsun. f fonkiyonu I da
_____________ ______________.
b. 0 < a < 1 ise f : [a; 1] ! R fonksiyonu f (x) = ln x olarak tan¬mlanan fonksiyon
ise f fonksiyonu [a; 1] de düzgün sürekli midir? Neden?
c. f (x) = ln x ise (0; 1] de düzgün sürekli midir? Neden? I·p ucu : xn = 1 ve yn = 12
n
n
3. f : [0; 1] ! [0; 1] fonksiyonu sürekli olsun. Bir c 2 [0; 1] için f (c) = c oldu¼
gunu
kan¬tlay¬n¬z.
1
4. I = [a; b] ve f : I ! R sürekli bir fonksiyon olsun. a < c < b ve f (c) = M de¼
geri f
nin [a; b] deki maksimumu ise f nin [a; b] de (1 1) olamayaca¼
g¬n¬kan¬tlay¬n¬z.
p
5. f (x) = x fonksiyonu [0; 1] de Lipschitz koşulunu sa¼
glar m¬? Neden?
Cevaplar
6. Aşa¼
g¬daki önermelerdeki boşlular¬doldurunuz.
(a) f : A ! R bir fonksiyon ve c 2 A0 olsun. limx !c f (x) = L olmas¬için gerek ve
yeter koşul (xn ) A gibi terimleri c den farkl¬ve lim xn = c olan her (xn ) dizisi
için lim f (xn ) = L olmas¬d¬r.
(b) I bir aral¬k ve f : I ! R sürekli bir fonksiyon olsun. c; d 2 I, k 2 R ve
f (c) k f (d) ise bir m 2 [c; d] için f (m) = k dir.
(c) I bir kapal¬aral¬k ve f : I ! R sürekli bir fonksiyon olsun. O zaman f fonksiyonu I da s¬n¬rl¬d¬r.
m = inf f (x) ve M = sup f (x)
x2I
x2I
ise bir tak¬m a , b 2 I için f (a) = m ve f (b) = M dir. I kapal¬aral¬k de¼
gilse
bu önerme do¼
gru olmayabilir. Buna bir örnek olarak I = (0; 1) aln¬rsa
f (x) =
1
x
al¬nabilir. Bu fonsiyonun I da ne bir minimumu ne de bir maksimumu vard¬r.
7. Aşa¼
g¬daki önermelerdeki boşlular¬doldurunuz.
(a) (2 Puan) A
R oldu¼
guna göre f : A ! R fonksiyonu verilsin. Verilen her
" > 0 için jx yj < , x; y 2 A oldu¼
gunda jf (x) -f (y)j < " olacak şekilde
bir > 0bulunabiliyorsa f ye A da düzgün sürekli denir. I bir kapal¬aral¬k ve
f : I ! R sürekli bir fonksiyon olsun. f fonkiyonu I da düzgün süreklidir.
(b) f (x) = ln x fonksiyonu [a; 1] aral¬g¼¬nda sürekli ve [a; 1] bir kapal¬aral¬k oldu¼
gundan f (x) = ln x fonksiyonu [a; 1] aral¬g¼¬nda düzgün süreklidir.
(c) f (x) = ln x fonksiyonunun (0; 1] de düzgün sürekli oldu¼
gunu varsayal¬m. n 2 N
1
1
1
n
n+1
1
=
için xn = n+1 ve yn = (n+1)2 için jxn yn j = n+1 (n+1)2 = (n+1)
2
(n+1)2
1
n+1
: oldu¼
gundan lim jxn
jf (xn )
yn j = 0 d¬r. Fakat
f (yn )j = ln
1
n+1
ln
1
= ln (n + 1)
(n + 1)2
ln 2 > 0
oldu¼
gundan f (x) = ln x fonksiyonu (0; 1] de düzgün sürekli de¼
gildir.
8. f : [0; 1] ! [0; 1] fonksiyonu sürekli olsun. g (x) = f (x) x olarak tan¬mlayal¬m.g
fonksiyonu [0; 1] aral¬g¼¬nda süreklidir. g (0) = f (0) 0 = f (0) 0 ve g (1) = f (1) 1
0. O halde g (1) 0 g (0) oldu¼
gundan ADT den dolay¬bir c 2 [0; 1] için g (c) = 0
olur. O zaman g (c) = f (c) c = 0 olur. O halde bir c 2 [0; 1] için f (c) = c olur.
2
9. f (a) = f (c) ise a < c olup f nin (1 1) olmad¬g¼¬ görülür. f (b) = f (c) ise c < b
olup f nin (1 1) olmad¬g¼¬görülür. O halde f (a) < f (c) ve f (b) < f (c) oldu¼
gunu
varsayal¬m. Başka durum olamaz çünkü f (c) = M maksimumdur. Genelli¼
gi kaybetmeksizin f (a)
f (b) oldu¼
gunu varsayal¬m. f (a) = f (b) ise f nin (1 1) olmad¬g¼¬
görülür. f (a) < K = f (b) olsun. O zaman f (a) < K = f (b) < f (c) dir. f sürekli
olup ara de¼
ger teoremi nedeniyle 9d 2 (a; c) için K = f (d) olur. O halde d < b iken
f (d) = f (b) olur. Dolay¬s¬yla f nin (1 1) olmad¬g¼¬görülür.
p
glad¬g¼¬n¬ varsayal¬m O zaman
10. f (x) = x fonksiyonu [0; 1] de Lipschitz koşulunu sa¼
9K > 0 ve 8x; y 2 [0; 1] için
jf (x) f (y)j
p
p
=) x
y
dir. n 2 N için x =
1
(n+1)2
,y=
1
n2
1
n+1
K jx
K jx
yj
yj
koyal¬m.
1
n
K
1
(n + 1)2
1
n2
1
1
1
K
2
n+1
n
(n + 1)2
1
2n + 1
=)
K
n (n + 1)
n2 (n + 1)2
2n + 1
=) 1 K
n (n + 1)
=)
1
n
n ! 1 yap¬l¬rsa 1 0 çelişkisi elde edilir. O halde f (x) =
Lipschitz koşulunu sa¼
glamaz.
3
p
x fonksiyonu, [0; 1] de