Özdeşlikler, Denklemler ve Eşitsizlikler

Özdeşlikler, Denklemler
ve Eşitsizlikler
ÜNİTE
2
Yazar
Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• temel özdeşlikleri ve binom açılımını,
• birinci ve ikinci dereceden denklem çözümlerini ve bu denklemler yardımıyla çözülebilen problemleri ,
• birinci ve ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümünün bulunmasını,
• bir iki terimli ile bir üç terimlinin işaretinin incelenmesini,
• yüksek dereceden bazı denklemlerin çözümlerinin bulunmasını
öğrenmiş olacaksınız.
İçindekiler
• Giriş
37
• Özdeşlikler ve Binom Açılımı
37
• Denklemler
46
• Eşitsizlikler
62
• Yüksek Dereceden Denklemler
73
• Değerlendirme Soruları
78
Çalışma Önerileri
• Üniteyi çok dikkatli okuyunuz
• Mutlaka yazarak çalışınız
• Çözümleri size bırakılan soruları kendiniz çözüp cevaplarınızı
karşılaştırınız
• Benzer sorular yazıp çözmeye çalışınız
• Ezberlemeye değil öğrenmeye çalışınız
• Bu konuların büyük bölümü liselerde okutulduğu için lise bilgilerinizi hatırlayınız
• Zaman zaman hesap makinesine ihtiyaç duyabilirsiniz, mümkünse, yanınızda bir hesap makinesi bulundurunuz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
1. Giriş
Günlük yaşantımızda sıkça karşılaştığımız ve dört işlemle çözmekte zorlandığımız
hatta bazen çözemediğimiz problemleri denklemler yardımıyla kolayca çözebilmekteyiz. Ancak bundan daha önemlisi gerek matematik ve gerekse uygulamalı bilimlerde pek çok problemin çözümü bir denklemin çözümüne indirgenebilmektedir. Bu nedenle denklem çözümlerinin bilinmesi matematikçiler açısından oldukça
önemli olmuş ve matematikçiler asırlar boyunca her tür denklemin çözümünde izlenebilecek bir yöntem bulmaya çalışmışlardır. Ancak her tür denklemin çözümünde izlenebilecek belirli bir yöntemin verilemeyeceği görülmüş ve denklemler sınıflara ayrılarak her bir sınıf için bir çözüm yöntemi verilmeye çalışılmıştır. Bugün dahi pek çok denklem için kesin çözüm yöntemi verilememektedir. Kesin çözüm yöntemi verilemeyen denklemlerin kökleri,günümüzde özellikle bilgisayarlar yardımıyla yaklaşık olarak istenilen hassasiyette bulunabilmektedir.
Bu ünitede bazı özdeşlikleri ve Binom (iki terimli) eşitliğini hatırlattıktan sonra birinci ve ikinci dereceden (polinom) denklemler ile çözümleri bu tür denklemlerin
çözümüne indirgenebilen bazı denklemlerden söz edeceğiz. Daha sonra matematiğin denklemler kadar önemli bir konusu olan ve denklemlerle çok yakından ilgili
olan eşitsizlik çözümlerini ele alacağız.
2. Özdeşlikler ve Binom Açılımı
Kısa kenar uzunluğu 2 birim, uzun kenar uzunluğu 5 birim olan bir dikdörtgenin
alanının 10 birim kare; kısa kenar uzunluğu 2,4 birim, uzun kenar uzunluğu 3 birim
olan bir dikdörtgenin alanının ise 7,2 birim kare olduğunu biliyoruz. Burada dikdörtgenlerin alanlarını bulmak için kısa kenar uzunlukları ile uzun kenar uzunluklarını çarpıyoruz. Neden böyle buluyoruz sorusuna cevap vermek konumuz ve
amacımız dışındadır. Aslında bu sorudan önce alan nedir sorusunu sormamız gerekir. Bu soru ise bugün fen fakültelerinin matematik bölümlerinin ancak son sınıflarında öğretilen ve matematiğin bir dalı olan ölçüm kuramının doğmasına neden olmuştur. Dikdörtgenin alanının bulunması ile ilgili "bir dikdörtgenin alanının kaç birim kare olduğunu bulmak için dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar
uzunluğunu çarpıyoruz" ifadesini; A alan, x kısa kenar uzunluğu, y uzun kenar
uzunluğu olmak üzere A = x.y şeklinde kısaca ifade edebiliriz. Benzer şekilde yarıçapı r birim olan bir dairenin alanını da A = π r2 şeklinde ifade edebiliriz. Alan
formülleri de dediğimiz bu ifadeler, genellik ve kısalık sağlamanın yanında işlem
yapma imkanı da sağlamaktadır. Örneğin
"bir dikdörtgende karşılıklı iki kenarın uzunlukları 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanı ne
kadar değişir?"
sorusuna kolayca cevap verebiliriz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
37
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
38
Kenar uzunlukları x ve y birim olan bir dikdörtgenin x birim uzunluğundaki kenarlarının uzunlukları 1 birim artırılsın. Bu durumda yeni dikdörtgenin kenar uzunlukları x +1 ile y birim olduğundan alanı (x + 1). y = x.y + y birim kare olur. Dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, son alan ile ilk alan arasındaki fark olduğundan,
bu fark x.y + y - x.y = y birim karedir. Buna göre bir dikdörtgenin ayrıtlarından birisinin uzunluğu 1 birim artırılırsa dikdörtgenin alanındaki değişme miktarı, diğer
kenarın uzunluğu kadar birim karedir diyebiliriz.
?
Yukarıdaki soruya x,y gibi harfleri kullanmadan cevap vermeye çalışınız.
Bu tip sorulara kelimelerle, sözlerle cevap vermek genellikle kolay değildir. Kelimeler, sözler yerine harfleri ve sembolleri kullandığımızda bu tür sorulara daha kolay cevap verebiliriz. Harfler ve semboller içeren ifadelere cebirsel ifadeler diyeceğiz.
Örneğin,
xy, πr2, 2x + 5 , 3x2 - 4x +1,
x2 + 1,
x + 1 , 3x2 - y 2 + 2,
x2 + 1
3
x2 + y 3 , 1 gt2
2
şeklindeki ifadeler birer cebirsel ifadedir. Buna göre, harfler ve sayılarla ilgili toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yanında kuvvet alma, kök alma gibi
işlemlerden bazılarını veya hepsini içeren ifadelere cebirsel ifade, ifadelerde bulunan ve herhangi bir gerçel sayıyı temsil eden x,y,r,..,t gibi harflere de değişken
veya bilinmeyen diyoruz. Cebirsel ifadelerde değişkenler yerine sayılar yazılıp
gerekli işlemler yapılarak ifadenin sayısal değeri bulunur. Örneğin 3x2- 4x +1 ifadesinin x = -2 için sayısal değeri 3(-2)2 - 4(-2) + 1 = 12 + 8 +1 = 21 dir.
İki cebirsel ifade değişkenlerin her değeri için aynı sayısal değeri alıyorsa bu iki
ifadeye özdeştir diyoruz. Örneğin x2 - 1 ile (x - 1)(x + 1) ifadesini ele alalım. İkinci
ifadedeki çarpma işlemini ve gerekli kısaltmaları yaparsak,
(x -1)(x + 1)= x.x + x.1 - 1.x -1.1 = x2 - 1
buluruz. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için
x2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
dır. Bu nedenle bu iki ifade özdeştir diyoruz.
Bir problemde bir ifade yerine onun özdeşi alınabilir.
İki ifadenin özdeşliği ≡ işareti ile ifade edilirse de sıkça kullanılan özdeşliklerde bu
işaret yerine = işareti de kullanılmakta hatta tercih edilmektedir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
39
x + y ifadesinin pozitif tam kuvvetleriyle ilgili özdeşlikler sıkça kullanılmaktadır.
Şimdi bu özdeşlikleri ele alalım.
(x + y)2 = (x + y) (x + y) = x.x + x.y + y.x + y.y = x2 + 2xy + y2 olduğundan
Her x , y ∈ IR için (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
dir.
x ve y pozitif gerçel sayı olduğunda bu özdeşliğin (eşitliğin) doğruluğunu geometrik olarak da görmek mümkündür. Bunun için (x + y)2 sayısını, bir kenar uzunluğu x + y olan bir karenin, x2 ile y2 yi de sırasıyla bir kenar uzunluğu x ve y
olan karelerin alanları olarak düşünebiliriz. Buna göre özdeşliğin doğruluğu aşağıdaki şekilden kolayca görülebilir.
y
x
2
x
xy
x2
x
y
y
2
xy
y
y
x
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazarsak aşağıdaki özdeşliği elde ederiz.
Her x , y ∈ IR için (x - y)2 = x2 - 2xy + y2
x > y > 0 için bu eşitliğin doğruluğunu aşağıdaki şekilden görmeye çalışınız.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
40
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
y
y2
y
y
y
x-y
xy
x-y
x
2
x
y
y
xy
x
x
Şekil 2.1
Bir diğer özdeşlik,
Her x , y ∈ IR için x2 - y2 = (x - y) (x + y)
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için sağ taraftaki çarpma işlemini yapmak yeterlidir. x ve y nin pozitif sayı olması durumunda bu özdeşliğin doğruluğunu geometrik olarak da görmek mümkündür.
2
y
x
x
2
x - y
2
x - y
D
y
A
B
y
x-y
Şekil 2.2
Her x , y ∈ IR için (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Bu özdeşliğin doğruluğunu görmek için
(x + y)3 = (x + y)2(x + y) = (x2 + 2xy + y2)(x +y)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
B
D
A
2
x+y
C
y2
C
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
çarpma işlemini yapmak yeterlidir. Bu özdeşliği pozitif x ve y için geometrik olarak
doğrulamak için aşağıdaki şekli inceleyiniz.
Şekil 2.3
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
41
42
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Yukarıdaki özdeşlikte y yerine (- y) yazılırsa,
Her x , y ∈ IR için (x - y)3 = x3 - 3x2 y + 3xy2 - y3
bulunur.
Her zaman karşımıza çıkan,
Her x , y ∈ IR için x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy +y2)
Her x , y ∈ IR için x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy +y2)
özdeşliklerini de unutmamalıyız.
Son iki eşitlikte sağ taraftaki çarpma işlemi yapılarak özdeşliğin doğruluğu ispatlanabilir. Bunlara benzer şekilde
(x + y)4 = (x + y)( x + y)3 = (x + y)(x3 + 3x2y + 3xy2 + y3)
= x4 +3x3y +3x2y2 + xy3 + yx3 +3x2y2 +3xy3 + y4
= x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
dır. O halde,
Her x, y ∈ IR için
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x + y)2 , (x + y)3, (x + y)4 ifadelerinin açılımları , n doğal sayı olmak üzere (x +
y)n nin Newton Binom Açılımı’nın (formülünün) özel halleridir. Bu açılım,
x + y n = xn + n xn-1y +
1
n n - 1 n-2 2 n n - 1 n - 2 n-3 3
x y +
x y + ...
1.2
1.2.3
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1 n-k k
n n - 1 ...2.1 n
+
x y + ... +
y
1.2.3...k
1.2.3...n
şeklindedir. Bu özdeşlik tümevarım yöntemi ile ispatlanabilir.
Burada olduğu gibi k∈ IN olmak üzere 1.2.3.4...k çarpımına k faktöriyel denir
ve k! şeklinde gösterilir. Örneğin 3! = 1.2.3 = 6, 5!=1.2.3.4.5 = 120 dir.
0! = 1 olarak tanımlanır. Faktöriyel tanımından sonra Binom Açılımını şöyle yazabiliriz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
43
n n - 1 n-2 2 n n - 1 n - 2 n-3 3
x + y n = xn + n xn-1 y +
x y +
x y + ...
1!
2!
3!
n n - 1 n - 2 n -3 ... n - k + 1 n-k k
+
x y + ... + y n
k!
Binom formülü biraz karmaşık gibi görünse de uygulaması oldukça kolaydır. Formülden de açıkça görüldüğü gibi, bu açılımda;
i) terim sayısı n + 1 dir,
ii) ilk terim xn dir ve x in kuvvetleri birer birer azalırken y nin kuvvetleri birer
birer artar ve son terim yn olur,
iii) her terimde x ile y nin kuvvetleri toplamı n dir,
iv) baştan k + 1 -inci terim, A katsayı olmak üzere Axn-k yk dır ve burada A katsayısının payı n den başlayan birer birer azalan k tane tamsayının çarpımı, paydası ise k! dir.
Örnek:
x + y 10 = x10 + 10 x9 y + 10.9 x8 y 2 + 10.9.8 x7 y 3 + 10.9.8.7 x6 y 4 + 10.9.8.7.6 x5 y 5
1
1.2
1.2.3
1.2.3.4
1.2.3.4.5
10.9.8.7.6.5
+
x4 y 6 + 10.9.8.7.6.5.4 x3 y 7 + 10.9.8.7.6.5.4.3 x2 y 8
1.2.3.4.5.6
1.2.3.4.5.6.7
1.2.3.4.5.6.7.8
10.9.8.7.6.5.4.3.2
+
xy9 + y 10
1.2.3.4.5.6.7.8.9
= x10 + 10 x9y + 45 x8 y2 + 120 x7 y3 + 210 x6 y4 + 252 x5 y5 + 210 x4 y6
+ 120 x3 y7 + 45 x2 y6 +10 x y9 + y10 .
Örnek :
x + 2y 4 = x4 + 4 x3 2y + 4.3 x2 2y 2 + 4.3.2 x 2y 3 + 4.3.2.1 2y
1
1.2
1.2.3
1.2.3.4
2
3
= x4 + 4x3 2y + 6x2 2y + 4x 2y + 2y
4
4
(2y)2 = 22 y2 = 4y2 , (2y)3 = 23y3 = 8y3, (2y)4 =24 y 4 = 16y4 olduğundan
(x + 2y)4 = x4 + 8x3y + 24x2y2 + 32xy3 + 16y4
dir. Bu açılımda ikinci terimin 2y olduğuna ve 2y nin kuvvetlerinin alındığına dikkat ediniz.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
44
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Örnek :
2x - y
5
= 2x + -y
5
= 2x
5
+ 5 2x
1!
4
-y + 5.4 2x
2!
5.4.3.2+ 2x -y
4!
4
+ -y
3
-y
2
+ 5.4.3 2x
3!
2
-y
3
5
= 32x5 – 80 x4y + 80x3y2- 40x2y3 + 10xy4 – y5 .
Burada da birinci terimin 2x, ikinci terimin –y olduğuna ve bunların kuvvetlerinin
alındığına dikkat ediniz.
Örnek:
1002 . 998 = (1000 + 2)(1000 – 2) =10002 – 22 = 1000 000 – 4 = 999 996 .
Örnek :
472 = (50 – 3)2 = 502 - 2.50.3 + 32 = 2500 - 300 + 9 =2209 ,
veya
472 = (40 + 7)2 = 402 + 2.40.7 +72 = 1600 + 560 + 49 = 2209 .
Örnek:
Toplamaları 50, çarpımları 481 olan iki gerçel sayının kareleri toplamı kaçtır?
Bu sayılardan birincisine x, ikincisine y diyelim. Buna göre x + y = 50 , xy = 481 olur.
Diğer taraftan (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = (x2 + y2 ) + 2xy olduğundan
502 = (x2 + y2 ) + 2 . 481 olur. Buradan da x2 + y2 = 502 - 962 = 2500 - 962 = 1538
bulunur.
Binom açılımında baştan k+1 -inci terimin katsayısının n n - 1 n - 2 ..... n - k + 1
1.2.3.4.....k
n
olduğunu belirtmiştik. Bu sayı kısaca
şeklinde de gösterilir. Buna göre
k
n
k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k + 1 n n - 1 n - 2 ... n - k + 1
=
1.2.3.4.....k
k!
dir. Özel olarak
n
= 1 alınır. Buna göre örneğin
0
4
0
= 1,
4
= 4 = 4,
1
1
4
= 4.3 = 6,
1.2
2
dir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
4
= 4.3.2 = 4,
1.2.3
3
4
4
= 4.3.2.1 = 1
1.2.3.4
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
n n - 1 ... n - k + 1
1.2.3.....k
=
n n - 1 n - 2 ... n - k - 1
1.2.3.4.....k
.
45
n-k n- k+1
n-k n- k+1
n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
n - k + 2 ... n - n - 2 n - n - 1
yazılabilir. Bu ifadenin sağ tarafında payın 1.2.3.4..... n = n! , paydanın ise
(1.2.3...k)[1.2.3...(n-k)] = k! . (n-k)! olduğu görülebilir. Bu kısaltmalardan sonra,
n
şu şekilde yazılabilir:
k
n
=
k
n!
,
k! n-k !
n ∈ IN ,
k ∈ IN
Bu gösterimden sonra Binom formülünü şöyle de ifade edebiliriz.
x+yn=
n
xn +
0
n
xn-1 y +
1
n
xn-2 y 2 + .. +
2
n
xn-k y k +.. + n y n , n∈ IN , k ∈ IN
n
k
Örnek:
x+y7 =
7
0
x7 +
7
x6 y +
1
7
2
x5 y 2 +
7
x4 y 3 +
3
7
4
x3 y 4 +
7
x2 y 5 +
5
7
xy6 +
6
7
y7
7
= x7 + 7! x6 y + 7! x5 y 2 + 7! x4 y 3 + 7! x3 y 4 + 7! x2 y 5 + 7! xy6 + 7! y 7
1!.6!
2!.5!
3!.4!
4!.3!
5!.2!
6!.1!
7!.0!
= x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7 .
Örnek:
(x + y)11 in Binom açılımında x4y7 teriminin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Binom açılımında xn-k yk teriminin katsayısı
n
dır. Burada k nın y nin kuvveti
k
olduğuna dikkat ediniz. Buna göre, x4y7 nin katsayısı 11 = 11! = 330 dır.
7!.4!
7
Şimdi (x + y) nin pozitif tam kuvvetlerinin açılımları ile bu açılımlardaki katsayılara
birlikte bir göz atalım.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
46
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
(x + y) = x + y
1
1
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
1
2
1
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
1
3
3
1
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
1
4
6
4
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
1
5
10 10 5
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
.....
1 6 15 20 15 6 1
.....
1
1
Yukarıda katsayıların oluşturduğu üçgen biçimindeki tablodan açılımla ilgili şu
özellikleri görüyoruz. Bu açılımlarda n. satırda ilk katsayı 1, ikinci katsayı n, diğer
katsayılar ise bir üst satırda o katsayının üstündeki sayı ile onun solundaki sayının
toplamıdır. Örneğin üçüncü satırdaki 3, üstündeki 2 ile 2 nin solundaki 1 in toplamına, 6-ıncı satırdaki ikinci 15 de üstündeki 5 ile 5 in solundaki 10 nun toplamına eşittir. Bu kural diğer bütün katsayılar için de geçerlidir. Bunun doğruluğunu tablodan
kolayca görebilirsiniz. Bu üçgende 7-inci satır, x + y nin 7-inci kuvvetinin açılımındaki katsayılardan oluşacaktır. 6-ıncı satırdaki katsayılar bilindikten sonra 7-inci satırdaki katsayılar, yukarıda açıklamaya çalıştığımız kuralla kolayca bulunabilir. Bu
katsayılar, 1,7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 dir. Binom açılımında katsayıların bulunmasında oldukça kolaylık sağlayan bu tabloya Pascal Üçgeni denilmektedir. x + y nin n-inci
kuvvetinin açılımındaki katsayıları Pascal üçgeni ile bulabilmek için (n-1)-inci kuvvetin açılımındaki katsayıların (yani Pascal Üçgeninde n-1 -inci satırın) bilinmesi
gerekmektedir. Bu n büyüdükçe Pascal üçgeninin uygulanabilirliğini kısıtlayan bir
özelliktir.
3. Denklemler
Matematiğin önemli kavramlarından birisi olan denklem kavramı matematiğin gelişmesine önemli katkılar sağlamıştır. Bundan başka uygulamalı bilimlerde de pek
çok problemin çözümü bir denklemin veya denklemler sisteminin çözümüne indirgenebilmektedir. Bu nedenle denklem çözümlerinde izlenebilecek kesin yöntemler
bulmak matematik kadar uygulamalı bilimler açısından da önem taşımaktadır. Daha öncede ifade ettiğimiz gibi her tür denklemin çözümünde izlenebilecek kesin bir
yöntem yoktur. Bu nedenle denklemler çeşitli sınıflara ayrılır ve her sınıf için izlenebilecek çözüm yöntemleri verilmeye çalışılır. Biz bu kesimde birinci ve ikinci dereceden polinom denklem çözümlerini ayrıntılı olarak inceleyeceğiz. Daha sonra yüksek dereceden bazı özel polinom denklemlerin nasıl çözülebileceğine dair örnekler
vereceğiz. Trigonometrik , üstel ve logaritmik denklemlerin çözümlerini de ilgili bölümlerde açıklayacağız.
Şimdi, aşağıdaki soruları ele alalım.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
47
Bir kişi cebindeki para ile 5 kiloluk karpuz alırsa parası 40 000 lira eksik geliyor, bunun yerine bu kişi 3 kiloluk karpuz alıyor ve cebinde 70 000 lira parası kalıyor. Buna
göre karpuzun fiyatı kaç liradır?
Uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı 481 birim kare olan dikdörtgenin kenarları kaç birimdir?
Sorulardan birincisini, bazı kimseler biraz uğraşarak bazıları ise fazla uğraşmadan,
dört işlemle çözebilir, ancak ikinci soruya dört işlemle ya da şekle bakarak doğru cevap vermemiz oldukça zordur. Bu sorulara denklem kavramını bildikten sonra daha kolay cevap verebiliriz.
Sorulardan birincisinde, karpuz fiyatına x diyelim. Buna göre, 5x - 40 000 =
3x + 70 000 eşitliğini sağlayan x sayısını bulursak, karpuz fiyatını bulmuş oluruz.
İkinci soruda ise, dikdörtgenin kenar uzunluklarına x ve y dersek, x + y = 50
, x.y = 481 eşitliklerinin her ikisini de sağlayan x ve y sayıları ya da x2-50x + 481 =
0 eşitliğini sağlayan x sayısı ile y = 50 - x sayısı dikdörtgenin kenar uzunluklarıdır.
Bu örneklerde olduğu gibi x,y z,... bilinmeyenlerini içeren ve bilinmeyenlerin bazı
değerleri için gerçeklenen (sağlanan) eşitliklere denklem diyoruz. Bilinmeyenlerin denklemi sağlayan değerlerine denklemin kökü ya da çözümü, tüm çözümlerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi, denklemin köklerini bulmak için yapılan işlemler zincirine de denklemin çözülmesi denir. Denklem, bilinmeyenlerinin
hiçbir değeri için sağlanmıyorsa bu durumda denklemin çözümü veya kökü yoktur
denir. Bu durumda çözüm kümesinin boş küme olacağı açıktır.
Özdeşlik ile denklem arasındaki fark nedir?
Özdeşlik bilinmeyenlerin her değeri için gerçeklenen eşitliktir. Denklem ise genellikle bilinmeyenlerin bazı özel değerleri için gerçeklenen eşitliktir. Örneğin x2 - y2 =
(x - y)(x + y) eşitliğinde x ve y ye hangi değerler verilirse verilsin bu eşitlik sağlanır.
Buna karşılık 5x - 40000 = 3x + 70 000 eşitliği sadece x = 55 000 için sağlanır, x + y = 50
eşitliği ise örneğin x = 15, y = 35 için sağlanırken x = 10 ve y = 20 için sağlanmaz.
Denklemler öncelikle bilinmeyen sayılarına göre sınıflara ayrılır. Eğer denklemde
bir bilinmeyen varsa denkleme bir bilinmeyenli, iki bilinmeyen varsa iki bilinmeyenli , ..., n tane bilinmeyen varsa n bilinmeyenli denklem denir. Örneğin
7x - 81 = 144, 3x = 81 bir bilinmeyenli iken x + y = 50, x2 + y2 = 1 denklemleri
birer iki bilinmeyenli denklemdir. Cebirsel ifadelerin eşitlenmesiyle elde edilen
denklemlere cebirsel denklem denir. Örneğin
2x - 5 = 0, 4x - 5 = 3, x2 - 5x + 6 = 0,
x+1
birer cebirsel denklemdir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
3x + 4 - x = -12, x3 - 4x2 + 5 = 0
?
48
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Şimdi bir bilinmeyenli bazı denklemlerin çözümlerini inceleyelim.
3.1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a ve b bilinen gerçel sayılar, a ≠ 0 olmak üzere,
ax + b = 0
biçiminde yazılabilen bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli polinom
denklem veya kısaca birinci dereceden denklem veya bir bilinmeyenli lineer
(doğrusal) denklem , a ile b ye denklemin katsayıları, x e bilinmeyen denir.Bu
denkleme birinci dereceden veya lineer denklem denmesinin nedeni x in sadece birinci kuvvetinin bulunması ve başka hiçbir kuvvetinin bulunmamasıdır. Bu denklemi çözmek yani eşitliği sağlayan x i bulmak için şu işlemler yapılır.
ax + b = 0 ,
ax = - b .
Burada a ≠ 0 olduğundan her iki tarafı a ile bölebiliriz. Bu işlemi yaparsak
ax = -b ,
a
a
x =- b
a
bulunur. Buna göre denklemin çözüm kümesi Ç= - b
a
dır.
Örnek:
2x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2x + 4 = 0 ise 2x = - 4 buradan 2x = -4 ⇒ x = -2,
2
2
Örnek:
Ç= { -2 } bulunur.
2x + 4 = x + 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
İlk bakışta denklem ax + b = 0 biçiminde değildir. Ancak denklemi düzenlersek
2x - x = 2 - 4, x = -2 elde ederiz. Denklemin kökü x = - 2 olduğundan Ç = { - 2} olur.
Örnek:
Yukarıdaki birinci problemin cevabı, 5x - 40 000 = 3x + 70 000 denkleminin kökü olduğuna göre bu denklemi çözelim.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Çözüm :
5x - 40 000 = 3x + 70 000
5x - 3x = 70 000 + 40 000
2x = 110 000
x = 55 000
bulunur. Ç = { 55 000 }.
Örnek:
a, b, c, d ∈IR olmak üzere, ax + b = cx + d denkleminin çözüm kümesini araştıralım.
Çözüm:
ax + b = cx + d ................(1)
ax - cx = d - b
(a - c) x = d - b ................(2)
Burada köklerin varlığı a , b, c ve d katsayılarına bağlıdır. Şimdi karşılaşabileceğimiz durumlara göre kökün varlığını inceleyelim.
i.durum: a = c ve b = d ise ( 2) e şitliği 0x = 0 şeklini alır. Bu eşitlik her gerçel
x sayısı için doğru olduğundan Ç = IR dir. Aslında bu sonuç doğal bir sonuçtur.
Çünkü a = c ve b = d ise ( 1) eşitliği, ax + b = ax + b demektir. Bu eşitlik de her gerçel
sayı için doğrudur.
ii. durum: a = c ve b ≠ d ise (2) eşitliği 0x = d - b şeklini alır. Burada sol taraf x in her değeri için daima 0 iken, sağ taraf sıfırdan farklı bir sayıdır. Bu nedenle bu eşitlik hiçbir
x gerçel sayısı için sağlanmaz, çözüm kümesi boş kümedir. Ç = Ø .
iii.durum: a ≠ c olsun. Bu durumda (2) eşitliğinde x in katsayısı olan a - c sıfırdan
farklı olacağı için her iki tarafı a - c ye bölebiliriz.
a-cx d-b
=
a-c
a-c
x =d - b
a-c
bulunur. Ç =
d - b olur. Bu durumda b = d ise 0 ın kök olacağına dikkat ediniz.
a-c
Örnek:
Bir tüccar 285 000 000 liraya bir miktar kumaş alıyor. Kumaşın 1/4 ünü metresi 2
000 000 liradan, geri kalanını da metresi 1 600 000 liradan satıyor ve 21 000 000 lira
kar sağlıyor. Bu tüccar kaç metre kumaş almıştır?
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
49
50
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Çözüm:
Alınan kumaş miktarına x diyelim. Kumaşın 1/4 ünün satışından elde edilen
x . 2 000 000 = 500 000.x lira,
gelir
kalan kumaşın satışından elde edilen gelir
4
x - x 1 600 000 = 3x 1 600 000 = 1 200 000 liradır. Buna göre toplam gelir
ise
4
4
500 000.x + 1 200 000.x = 1 700 000.x
liradır. Kar = gelir - gider olduğundan
21 000 000 = 1 700 000.x - 285 000 000
denklemi elde edilir. Bu denklemin kökü aradığımız kumaş miktarını verecektir.
21 000 000 + 285 000 000 = 1 700 000 . x
306 000 000 = 1 700 000 . x
306 000 000 = x
1 700 000
180 = x .
Buna göre tüccar 180 metre kumaş almıştır.
Örnek:
Ardışık 25 tamsayının toplamı 425 olduğuna göre, bu sayıların en küçüğü ve en
büyüğü kaçtır?
Çözüm:
Sayıların en küçüğüne x diyelim. Ardışık tamsayı birbirini izleyen tamsayı demek
olduğuna göre, diğer sayılar x +1, x + 2, x +3, .... x + 24 olacaktır. Bu sayıların toplamı,
x + (x +1) + (x + 2) + ... + (x +24) = 25 x + (1 + 2 + 3 + 4 + ... + 24)
= 25 x + 300
dir. Bu sayı 425 olduğuna göre,
25x + 300 = 425
25 x = 125
x= 5
bulunur. O halde en küçük sayı 5, en büyük sayı ise x + 24 = 5 + 24 = 29 olarak bulunur.
Bazı denklemlerin çözümleri birinci dereceden denklem çözümüne indirgenebilir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Örnek:
1+
3
= 2
x x x+1 x+1
Çözüm: x = 0 ve x = -1 için paydalar sıfır olduğundan x ≠ 0 ve x ≠ -1 olmalıdır.
1 + 3
= 2
x xx+1 x+1
1 + 3
- 2 =0
x xx+1 x+1
x + 1 + 3 - 2x
=0.
x x +1
Bir kesrin 0 olması için payın 0 olması gereklidir. Bu nedenle,
(x +1) + 3 - 2x = 0
4-x=0,
buradan da x = 4 bulunur. Ç = { 4 } .
Örnek:
Alkol oranı % 65 olan 40 litrelik bir çözeltinin alkol oranını % 80 e çıkarmak için ne
kadar saf (mutlak) alkol ilave edilmelidir?
Çözüm:
Çözeltideki alkol oranı % 65 olduğuna göre, saf alkol miktarı 0,65.40 = 26 litredir.
İlave edilecek saf alkol miktarı x litre olsun. Bu durumda alkol oranı 26 + x olur.
40 + x
26 + x = 0,80 eşitliğini sağlayan x aradıBu oranın % 80 olması istendiğine göre,
40 + x
ğımız sayıyı verecektir. Bu eşitlikte her iki tarafı 40 + x ile çarparsak,
26 + x = (40 + x).0,8
26 + x = 32 + 0,8x
0,2x = 6
x = 30
bulunur. Demek ki 30 litre saf alkol ilave etmek gerekmektedir.
Bir denklemin kökü olarak bulunan sayının gerçekten kök olup olmadığını kontrol
etmek için bu sayı denklemde yerine yazılır ve gerekli işlemler yapılır, sonuçta bir
özdeşlik elde edilirse, sayı denklemin köküdür. Bu işleme kökün denklemi sağlaması ya da denklemin sağlatılması denir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
51
52
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Örneğin bir önceki örnekte 26 + x = 0,80 denkleminin kökü olarak 30 sayısını
40 + x
bulmuştuk. Şimdi bu sayının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim. Diğer
bir deyişle denklemi doğru çözüp çözmediğimizi kontrol edelim. Bunun için denklemde x yerine 30 yazalım. 26 + x = 0,80 , 56 = 0,8 , 0,8 = 0,8 Buna göre, 30 sayı40 + x
70
sı denklemi sağlamaktadır, dolayısıyla denklemin köküdür diyebiliriz.
Örnek:
|2x + 3| = 8
deklemini çözünüz.
Çözüm:
Bir sayının mutlak değeri 8 ise, bu sayı ya 8 ya da - 8 dir. Bu yüzden
2x + 3 = 8 veya 2x + 3 = - 8
olmalıdır. Buradan da x = 5/2 veya x = - 11/2 olmalıdır. Denklemim çözüm kümesi,
Ç = {5/2, - 11/2}
dir.
Örnek:
|x| + 3 = 2x denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Bu denklemde,
i) x ≥ 0,
ii) x < 0 durumlarına göre kök arayacağız.
i)
x ≥ 0 ise, |x| = x olduğundan denklem, x +3 = 2x denklemine dönüşür.
Buradan x = 3 bulunur. x in bu değeri x ≥ 0 koşulunu sağladığından, 3 denklemin bir köküdür.
ii) x < 0 ise, |x| = -x olduğundan denklem, - x + 3 = 2x şekline dönüşür.
Buradan x = 1 bulunur. Ancak bulunan 1 sayısı x < 0 koşulunu sağlamaz, bu nedenle kök olamaz. O halde denklemin çözüm kümesi Ç = { 3} dir.
3.2. İkinci Dereceden Denklemler
a,b,c ∈ IR , a ≠ 0 , olmak üzere
ax2 + bx + c = 0
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
53
biçiminde yazılabilen denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli veya kısaca
ikinci dereceden denklem denir. x bilinmeyeninin en büyük kuvvetinin 2 olması
ve x in kesirli ve negatif kuvvetlerinin olmaması nedeniyle denkleme ikinci dereceden denklem denildiği açıktır. Burada a,b, c sayılarına denklemin katsayıları denir.
Şimdi bu denklemin köklerinin nasıl araştırıldığını görelim.
ax2 + bx + c = 0 denkleminde a ≠ 0 olduğundan bu denklem
a x2 + b x + c = 0
a
a
şeklinde yazılabilir. Bir çarpımın sıfır olması için çarpanlardan birisinin sıfır olması
yeterlidir. Burada a ≠ 0 olduğundan
x2 + b x + c = 0
a
a
olmalıdır. Bu denklemi çözmek için x in katsayısının yarısının karesini bir ekleyip
bir de çıkaralım (bu işlemi yapmak için x2 nin katsayısının 1 olması gerektiğine
dikkat ediniz)
x2 + b x + c = x2 + b x + b
a
a
a
2a
x+ b
2a
2
2
- b - 4ac = 0
4a 2
2
- b
2a
2
+c = x+ b
a
2a
2
2
- b +c
4a 2 a
................ 1
2
2
Burada daima x + b ≥ 0 dır. Buna karşılık b - 4ac nin işareti, 4a 2 > 0 oldu2a
4a 2
ğundan b2 - 4ac nin işaretine bağlıdır. Eğer b2 - 4ac negatif değilse (1) eşitliğinin
sol tarafı negatif olmayan iki sayının farkı olur, dolayısıyla bu toplam x in bazı değerleri için sıfır olabilir, diğer bir deyişle denklemin kökü vardır. Eğer b2 - 4ac negatif
ise (1) eşitliğinin sol tarafı negatif olmayan bir sayı ile negatif bir sayının farkı olur, dolayısıyla sıfır olamaz. Bu nedenle bu durumda denklemin kökü olamaz. Dikkat ederseniz ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı b2 - 4ac nin işaretine bağlıdır.
Bu nedenle b2 - 4ac sayısına , denklemin diskriminantı denir ve ∆ ile gösterilir:
∆ = b2 - 4ac .
Bu gösterimden sonra ikinci dereceden denklemin köklerinin varlığı ve sayısı şu şekilde özetlenebilir.
i)
∆ = b2 - 4ac > 0 ise (1) eşitliği şu şekilde yazılabilir.
x+ b
2a
2
- ∆ = x+ b
2a
4a 2
bu eşitliğin sıfır olması için
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
2
-
∆
2a
2
= x+ b - ∆
2a 2a
x+ b + ∆
2a
2a
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
54
x+ b - ∆ =0
2a 2a
veya
x+
b + ∆ =0
2a
2a
olmalıdır. Bu eşitliklerden denklemin iki kökünün varlığı ve bu köklerin
x = - b - ∆ = -b - ∆ ,
2a 2a
2a
x=-
b + ∆ = -b + ∆
2a
2a
2a
olduğu kolayca görülebilir. Bu köklere x1 ve x2 dersek, ∆ > 0 olduğunda ikinci
dereceden denklemin farklı iki gerçel kökünün varlığı ve bu köklerin
x1,2 = - b ± ∆
2a
olduğu sonucuna ulaşırız.
∆ > 0 ise denklemin farklı iki gerçel kökü vardır ve kökler ,
x1,2 = -b ± ∆
2a
dır.
?
ax2 + bx + c = 0 denkleminde a ile c ters işaretli ise denklemin kesinlikle gerçel kökü vardır diyebilir misiniz?
Cevabınız evet olmalıydı. Çünkü bu durumda diskriminant kesinlikle pozitif olur.
2
x + b = x + b x + b = 0 şeklini alır. Bu eşitliğin sıfır
2a
2a
2a
olması için, her iki çarpan x + b olduğundan, x +b = 0, x = - b olmalıdır.
2a
2a
2a
Bu durumda iki kök eşit olmaktadır:
ii) ∆ = 0 ise (1) eşitliği
x1 = x2 = - b .
2a
O halde ikinci dereceden denklemde ∆ = 0 ise denklemin tek kökü vardır diyebiliriz.
Bu durumda kökler çakışıktır veya iki kat kök vardır da denir.
∆ = 0 ise denklemin tek kökü (iki kat kökü) vardır ve bu kök,
x1 = x2 = - b
2a
dır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
55
iii) ∆ < 0 ise b2 - 4ac < 0 , 4ac - b2 > 0 olur. (1) eşitliğinin sol tarafı,
x+ b
2a
2
- ∆ = x+ b
2a
2a
2
2
- b - 4ac = x + b
2a
4a 2
2
2
+ 4ac - b
4a 2
biçiminde, negatif olmayan bir sayı ile pozitif bir sayının toplamı olur, dolayısıyla
sıfır olamaz. Bu nedenle denklemin gerçel kökü yoktur.
∆<0
ise denklemin gerçel kökü yoktur.
Örnek:
x2 - 3x +2 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz.
Çözüm:
Bu denklemde a = 1 , b = - 3 ve c = 2 olduğundan ∆ = b2 - 4ac = (- 3)2 - 4.1.2 = 9 - 8
= 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. Bu kökler,
- -3 ±
x1,2 = - b ± ∆ =
2a
2.1
1
=3 ± 1 ,
2
x1 = 3 - 1 = 1, x2 = 3 + 1 = 2
2
2
bulunur. Çözüm kümesi Ç = {1, 2} dir.
1 ve 2 sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol ediniz.
Örnek:
3x2 + 2x + 5 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız.
Çözüm:
a = 3, b = 2 ve c = 5 olduğundan, ∆ = b2 - 4ac = 22 - 4.3.5 = 4 - 60 = - 56 < 0 olduğundan denklemin gerçel kökü yoktur. Çözüm kümesi Ç = Ø dir.
Örnek:
4x2 - 4x +1 = 0 denkleminin çözümünü bulunuz.
Çözüm:
∆ = (- 4)2 - 4 . 4 . 1 = 16 - 16 = 0 olduğundan denklemin tek (iki kat) kökü vardır.
Bu kök
x1 = x2 = - b = - -4 = 1 = 0,5 dir. Çözüm kümesi Ç = 1
2a
2.4 2
2
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
dir.
?
56
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Örnek:
x2 + x + 1 = 0 denkleminin çözümünü araştırınız.
Çözüm:
a = b = c = 1 olduğundan ∆ = 1 - 4.1.1= -3 < 0 dır. Dolayısıyla gerçel kök yoktur.
Ç = Ø dir.
Bu kesimin başında sözünü ettiğimiz dikdörtgen problemini hatırlayalım. Problemde uzun ve kısa kenar uzunlukları toplamı 50 birim, alanı ise 481 birim kare olan
dikdörtgenin kenar uzunlukları soruluyordu. Bu dikdörtgenin kenar uzunluklarına x ve y diyelim. Probleme göre, x + y = 50 , x. y = 481 dir. Bu eşitliklerin birincisinden y = 50 - x bulup ikinci eşitlikte yerine yazarsak, x2 - 50 x + 481 = 0 denklemini elde ederiz. Böylece problem bu ikinci dereceden denklemin çözümüne indirgenmiş olur. Bu denklemde
∆ = 502 - 4.1.481 = 2500 - 1924 = 576 > 0
olduğundan iki gerçel kök vardır ve bu kökler, x1,2 =
- (-50) ± 576 50 ± 24
=
olup,
2.1
2
buradan da x1 = 37, x2 =13 bulunur. x = 37 için y = 50 - 37 = 13; x = 13 için
y = 50 - 13 = 37 bulunur. Buna göre söz konusu dikdörtgenin kenar uzunlukları 37 ve
13 birimdir.
Bu problemde dikkatimizi çeken bir nokta var. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını ifade eden x ve y sayılarının toplamı 50, çarpımı 481 dir ve bu sayılar
x2 - 50x + 481 = 0 denkleminin kökleridir. Acaba bu her zaman doğru mudur?
Yani iki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı x2 - px + q = 0 denkleminin
kökleri midir? Şimdi bu soruya cevap vermeye çalışalım. Sayılara x1 ve x2 diyelim. Bu durumda x1 + x2 = p , x1.x2 = q dur. x2 - px + q = 0 denkleminde p yerine x1 + x2 ve q yerine x1 . x2 yazalım:
x2 - (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0 .
Bu eşitliğin sol tarafı (x - x1) (x - x2) dir (Bunun doğruluğunu görmek için buradaki çarpma işlemini yapmak yeterlidir). Bu durumda denklem
(x - x1) (x- x2) = 0
şeklini alır. Buradan x- x1 = 0 veya x – x2 = 0 , buradan da x = x1 veya x = x2
bulunur. Buna göre tahminimiz doğrulanmaktadır. Yani:
İki sayının toplamı p, çarpımı q ise bu iki sayı, x2 - px + q = 0 denkleminin
kökleridir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Bazı ikinci dereceden denklemleri yukarıda verdiğimiz formülü kullanmadan daha
kolay çözebiliriz. Örneğin x2 - 9 = 0 denkleminin çözümü için formüle gerek yoktur. Bunun çözümü için sol tarafı çarpanlara ayırmak yeterlidir. (x -3) (x + 3) = 0,
buradan x - 3 = 0 veya x + 3 = 0 olmalıdır. Buradan da x = 3 ve x = -3 bulunur. Benzer
şekilde x2 + 8x = 0 denklemi, x (x + 8) = 0 şeklinde yazılabilir, buradan x = 0 , x =
- 8 çözümleri elde edilir.
ax2 + bx + c = 0 denkleminde ∆ > 0 ise bu denklemin kökleri,
x1,2
-b ±
= 2
a
b 2 - ac
2
formülü ile de bulunabilir. Bu formülün doğruluğunu görmek istiyorsanız,
-b ± ∆ formülünde pay ve paydayı 2 ile bölünüz. b nin çift sayı olması
2a
durumunda oldukça kullanışlı olan bu formüle yarım formül denir.
x1,2 =
Örnek:
4x2 - 24x - 13 = 0 denkleminin çözümünü bulalım.
Çözüm:
b çift sayı olduğundan yarım formülü kullanabiliriz.
x1,2 =
12 ±
122 - 4. (-13) 12 ± 14
=
,
4
4
buradan x1 = 6,5 , x2 = - 0,5 bulunur.
Ç = {6,5 , -0,5}
dır.
Örnek:
Bir karenin kenarlarından birisi 2 birim kısaltılıp , diğer kenar 4 birim uzatılırsa, elde
edilen dikdörtgenin alanı 280 birim kare oluyor. Buna göre karenin kenar uzunluğu
kaç birimdir?
Çözüm:
Karenin kenar uzunluğuna x dersek, dikdörtgenin kenar uzunlukları x - 2 ve x + 4
birim olur. Dikdörtgenin alanı 280 birim kare olduğuna göre, (x -2 ) . (x + 4) = 280
olmalıdır. Bu eşitliğin sol tarafını açarsak,
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
57
58
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
x-2
x2 + 2x - 8 = 280,
x2 + 2x - 288 = 0
x
x+4
denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri,
x=-1±
1 + 1.288 = - 1 ±
289 = - 1 ± 17
x1 = - 18 , x2 = 16
dır. Negatif bir sayı kenar uzunluğu olamayacağından karenin kenar uzunluğu 16
birimdir.
Örnek:
Dikdörtgen şeklinde bir kartonun köşelerinden, bir kenar uzunluğu 2 cm olan eşit
kareler kesilerek dikdörtgenler prizması şeklinde üstü açık bir kutu yapılmıştır. Kutunun tabanının uzun kenarı, kısa kenarından 5 cm daha uzun ve kutunun hacmi
1000 cm3 olduğuna göre, dikdörtgen biçimindeki kartonun kısa kenar uzunluğu
kaç cm dir?
Çözüm:
Kartonun kısa kenarının uzunluğu x cm olsun. Buna göre kutunun tabanının kısa kenarının uzunluğu x - 4 cm, uzun kenarının uzunluğu x - 4 + 5 = x +1 cm, yüksekliği ise 2 cm dir. Buna göre kutunun hacmi 2(x - 4)(x +1) cm3 olur. Bu durumda
2(x - 4)(x +1) = 1000 eşitliğini sağlayan x sayısı kartonun kısa kenar uzunluğunu verecektir.
2
2
x
2(x - 4)(x +1) = 1000
(x - 4)(x +1) = 500
x2 -3x - 4 = 500
x2 -3x - 504 = 0
2
x-4
x+1
Bu denklemin kökleri,
x1,2 =
3 ± 9 + 2016 3 ± 45
=
2
2
buradan da x1 = 24, x2 = -21 bulunur. Negatif sayı kenar uzunluğu olamayacağından aradığımız cevap 24 cm dir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
59
Bazı denklemlerin köklerinin bulunması, bir ikinci dereceden denklemin köklerinin bulunmasına indirgenebilir. Şimdi buna ait birkaç örnek verelim.
Örnek:
x-1 = 5
x 6
denklemini çözünüz.
Çözüm:
Verilen denklemde x ≠ 0 olmak zorundadır, çünkü x = 0 için payda sıfır olmaktadır, bu nedenle denklem anlamlı olmaz. x ≠ 0 olmasının manası, kökleri IR de değil
IR - {0} da arayacağız demektir. Yani denklemi çözmek için yapılan işlemler sonunda elde edilen "yardımcı" denklemin köklerinden birisi 0 ise, 0 esas denklemin kökü
olamaz.
x-1 = 5 ,
x 6
x2 - 1 = 5 .
x
6
Burada her iki tarafı 6x ile çarparsak,
6 (x2 - 1 ) = 5x ,
6x2 - 5x - 6 = 0
elde ederiz. Bu denklemde ∆ = (-5)2 - 4. 6 .(-6) = 169 > 0 olduğundan farklı iki
gerçel kök vardır:
x1 = 5 + 169 = 3 ,
2.6
2
x2 = 5 - 169 = - 2 ,
2.6
3
Ç= 3 ,-2
2 3
.
Örnek:
Bir gün, ekmek fiyatlarına 5000 TL zam geliyor ve bir işçi, bir günlüğü ile alabildiği
ekmek sayısından 10 ekmek daha az ekmek alabilir duruma düşüyor. İşçinin günlüğü 2 800 000 TL olduğuna göre ekmeğin eski fiyatı kaç liradır?
Çözüm:
Ekmeğin eski fiyatına x diyelim. İşçinin ekmek zammından önce alabildiği ekmek
sayısı 2 800 000 , ekmek zammından sonra alabildiği ekmek sayısı ise
x
dir. İkinci sayı birincisinden 10 eksik olduğundan
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
2 800 000
x + 5000
60
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
2 800 000 - 10 = 2 800 000
x
x + 5000
eşitliğini sağlayan x sayısı ekmek fiyatını verecektir. Bu eşitliğin her iki tarafını x
(x + 5000) ile çarparsak,
2 800 000(x + 5000)-10x(x + 5000) = 2 800 000 x ,
buradan
-10 x2 - 50 000x + 14 000 000 000 = 0
x2 + 5 000 x - 1 400 000 000 = 0
elde ederiz. Bu denklemin köklerini bulalım. b = 5 000 çift sayı olduğundan yarım
formülü kullanabiliriz.
x1,2 =
-2 500 ±
2 500 2 + 1 400 000 000
1
= - 2 500 ± 625.104 + 14.108
= - 2 500 ±
104 625 + 140 000
= - 2 500 ± 100 140 625
= - 2 500 ± 100.375 ,
buradan x1 = 35 000 , x2 = - 40 000 bulunur. Ekmek fiyatı negatif olamayacağından aradığımız cevap 35 000 TL dir.
Örnek:
4x + 1 - x = -1
denkleminin çözüm kümesini bulalım
Çözüm:
Bu denklemin (varsa) kökünü bulmak için kareköklü ifade eşitliğin bir tarafında
yalnız bırakılır ve her iki tarafın karesi alınır.
4x + 1 = x - 1 ,
2
4x + 1 = (x - 1) 2 ,
4x + 1 =x2 - 2x + 1 ,
x2 - 6x = 0 ,
buradan da x = 6 ve x = 0 bulunur. Ancak bulunan bu sayıların esas denklemin kökü
olup olmadığı mutlaka kontrol edilmelidir. 6 nın verilen denklemi sağlayıp sağlamadığına bakalım.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
61
4.6 + 1 - 6 = -1,
5 - 6 = -1,
bu eşitlik doğru olduğundan 6 verilen denklemin köküdür. Şimdi de 0 ın denklemi
sağlayıp sağlamadığına bakalım.
4.0 + 1 - 0 = -1
1 = -1
Bu eşitlik doğru olmadığından 0 kök değildir. O halde çözüm kümesi Ç = {6} dır.
Denklemlerde bulunan sayıların denklemin kökü olup olmadığını mutlaka
kontrol ediniz.
Bir dikdörtgenin kısa kenarı, uzun kenarından 7 cm, köşegeninden 8 cm kısa olduğuna göre, dikdörtgenin kısa kenar uzunluğu kaç cm dir?
?
Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir kapalı dairesel dik silindirin toplam yüzey
πr2 + 2π
πrh dir. Yüksekliği 10 cm, toplam yüzey alanı 288π
π cm2 olan
alanı S = 2π
bir silindirin taban yarıçapı kaç cm dir?
?
Cevaplarınız birinci problem için, 5 cm, ikinci problem için 8 cm olmalıydı.
Bir ikinci dereceden denklemi çözmeden denklemin köklerinin toplamını ve
çarpımını bulabilir misiniz?
?
Cevabınız evet olmalıydı. a x2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı - b , köka
ler çarpımı c dır.
a
Kökler farkı , köklerin kareleri toplamı, köklerin sıfırdan farklı olması halinde
köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını katsayılar türünden ifade edebilir
misiniz?
Cevaplarınız şu şekilde olmalıydı.
x1 - x2 =
∆
a
,
2
2
2
x1 + x2 = b - 2ac ,
a2
1 + 1 = -b .
x1 x2
c
a, b, c ∈ IR, a ≠ 0, olmak üzere, ax2 + bx + c ifadesine bir ikinci derece üç terimlisi denir. ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri var ve kökler x1 , x2 ise,
üçterimli a(x - x1)(x- x2) biçiminde yazılabilir, diğer bir deyişle çarpanlarına ayrılabilir. Yani
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) dir.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
?
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
62
Örnek:
3x2 + 5x -2 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
3x2 + 5x -2 = 0 denkleminin kökleri x1 = 1/3, x2 = - 2 olduğundan,
3x2 + 5x -2 = 3 x - 1 x + 2 dir.
3
?
6x2 + x - 1 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.
25x2 - 30x + 9 üç terimlisini çarpanlarına ayırınız.
Cevaplarınız 6 x + 1 x - 1 , 25 x - 3
2
3
5
?
2
olmalıydı.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin tek kökü varsa, ax 2 + bx + c = a x + b
2a
yazılabilir mi?
2
Cevabınız evet olmalıydı.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri yoksa,
ax 2 + bx + c = a x + b
2a
2
+ -∆
2a
2
yazılabilir.
4. Eşitsizlikler
4.1. Birinci Dereceden Eşitsizlikler
a, b ∈ IR, a ≠ 0 olmak üzere, ax + b ifadesine bir iki terimli denir. Bir iki terimli x
değişkenine verilecek gerçel değerlere göre pozitif, negatif veya sıfır değerini alır.
Örneğin - 4x + 7 iki terimlisi x = 0 için pozitif bir değer, x = 2 için negatif bir değer alırken x = 7/4 için 0 değerini almaktadır. Bazı problemlerin çözümü, böyle bir iki terimlinin x in hangi değerleri için sıfır, x in hangi değerleri için pozitif veya x in hangi
değerleri için negatif değerler aldığını bilmemizi gerektirebilir. ax + b iki terimli
sinin, sadece ax + b = 0 denkleminin kökü olan x = - b için sıfır değerini aldığını
a
biliyoruz. Böyle bir iki terimlinin pozitif değerler alması demek x in bazı değerleri
için ax + b > 0 eşitsizliğinin sağlanması , benzer şekilde negatif değerler alması da
bazı x ler için ax + b < 0 eşitsizliğinin sağlanması demektir.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
a, b ∈ IR, a ≠ 0 olmak üzere,
ax + b > 0,
ax + b < 0,
ax + b ≥ 0 ,
ax + b ≤ 0
biçiminde yazılabilen eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik
veya kısaca birinci dereceden eşitsizlik denir. Eşitsizliği doğru kılan x gerçel sayılarının kümesine de eşitsizliğin çözüm kümesi ,bu kümenin bulunması işlemine de
eşitsizliğin çözülmesi denir. Şimdi bu tip eşitsizliklerin çözüm kümesinin nasıl bulunacağını görelim.
ax + b > 0 eşitsizliğini ele alalım. Diğer eşitsizliklerin çözümleri benzer yolla bulunabilir. Sadece, > yerine "<", " ≤", "≥" işaretleri gelir.
1. yol:
ax + b > 0
ax > - b ,
şimdi burada her iki tarafı a ya böleceğiz. Ancak biraz dikkatli olmamız gerekiyor.
Çünkü bir eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değişmez, ancak negatif bir sayıya bölünürse eşitsizlikte yön değişir. Bu nedenle eğer
a > 0 ise x > - b
a
a < 0 ise x < - b
a
elde edilir. Birinci durumda çözüm kümesi Ç = - b , ∞ aralığı, ikinci durumda
a
ise Ç = -∞ , - b aralığıdır.
a
Örnek:
2x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
2x + 4 > 0
2x > - 4 ,
x > -4 ,
2
x > -2 .
Buna göre çözüm kümesi Ç = ( -2 , ∞ ) dır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
63
64
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Örnek:
- 3x + 4 ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Bu eşitsizliğin bir önceki eşitsizlikten farkı, > işareti yerine ≥ gelmiş olmasıdır. Ancak bu değişiklik çözüm yönteminde önemli bir değişikliği gerektirmemektedir, sadece > işareti yerine ≥ işareti gelecektir.
-3x + 4 ≥ 3 ,
-3x + 1 ≥ 0 ,
-3x ≥ -1 ,
x ≤ -1 ,
-3
x ≤1 .
3
Ç = -∞ , 1 dır. Burada her iki tarafı negatif bir sayıya
3
böldüğümüz için eşitsizliğin yön değiştirdiğine dikkat ediniz.
Buna göre çözüm kümesi,
2. yol:
ax + b > 0
eşitsizliğini göz önüne alalım. Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için ax + b
ifadesinin, x in hangi değerleri için pozitif , hangi değeri için sıfır veya hangi değerleri için negatif olduğunu belirlememiz gerekmektedir.
ax + b ifadesini a x + b biçiminde yazabiliriz.
a
ax + b = a x + b
a
eşitliğinde x < - b
a
ise x +b < 0 olacağından a x + b , dolayısıyla ax + b, a
a
a
ile ters işaretli bir değer olur. Yani a pozitif ise ax + b negatif bir değer, a negatif ise pozitif bir değer olur. x = - b
a
ise ax + b = 0 olduğunu biliyoruz. Eğer
x > - b ise x + b > 0 olacağından a x + b , dolayısıyla ax + b, a ile aynı işareta
a
a
li bir değer olur. Kısaca, a > 0 iken x < - b
a
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ise ax + b negatif (yani a ile ters
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
işaretli), x > - b
a
65
ise ax + b pozitiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu
tablo ile şöyle ifade edebiliriz.
a > 0 ise
- b
a
x
ax + b
Negatif bir değer
0
Pozitif bir değer
Benzer şekilde,
a < 0 iken x < - b ise ax + b pozitif (yani a ile ters işaretli), x > a
b ise ax + b
a
negatiftir (yani a ile aynı işaretlidir). Bu durumu da tabloda şu şekilde gösterebiliriz.
a < 0 ise
- b
a
x
ax + b
Pozitif bir değer
0
Negatif bir değer
Dikkat ederseniz, a nın işareti ne olursa olsun, x değişkeni negatif ve yeteri kadar
küçük değerlerden pozitif ve yeteri kadar büyük değerlere doğru değiştikçe, yani x
değişkeni - ∞ dan + ∞ a doğru değiştikçe, ax + b ifadesi ancak bir kez işaret değiştirmektedir. Tablo ile çözümün basit olmasının nedeni de budur. Yukarıdaki iki
tabloyu tek bir tablo ile kısaca şöyle ifade edebiliriz.
- b
a
x
ax + b
a ile ters işaretli bir
değer
0
a ile aynı işaretli bir
değer
Bu tabloya ax + b ifadesinin işaret tablosu denir. Birinci dereceden bir eşitsizliğin
çözüm kümesini bulmak için, ax + b nin işaret tablosu hazırlanır ve çözüm kümesi
belirlenir. Şimdi yukarıda çözdüğümüz örnekleri bir de bu yöntemle çözelim.
Örnek:
2x + 4 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
66
Çözüm:
Önce 2x + 4 ifadesinin işaret tablosunu hazırlayalım. Bunun için işaretin değişim
noktası olan 2x + 4 = 0 denkleminin kökünü bulmamız gerekiyor. Bu kökün - 2 olduğu açıktır. a = 2 > 0 olduğundan tablo aşağıdaki şekildedir.
-2
x
_
2x + 4
0
+
Tabloya göre x > -2 için 2x + 4 >0 olduğundan çözüm kümesi Ç = (-2, ∞) dır.
Örnek:
-3x + 4 ≥ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
- 3x + 4 ≥ 3 ise - 3x + 1 ≥ 0 dır. - 3x +1 = 0 denkleminin kökü x = 1 dir.
3
a = - 3 < 0 olduğundan - 3x + 1 in işaret tablosu aşağıdaki şekildedir.
x
-3x + 1
x ≤ 1 için
3
1/3
+
0
_
-3x + 1 ≥ 0 olduğundan çözüm kümesi
Ç = ( - ∞ , 1 ] dir.
3
Örnek:
x - 2 > 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
3-x
Çözüm:
Eşitsizliğe bakar bakmaz aklımıza şu soru gelmektedir.
?
Burada her iki tarafı (3 - x) ile çarpabilir miyiz?
Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirmez, ancak negatif bir sayı ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirir. Burada 3 - x in işareti x e bağlıdır. x üzerine "x < 3 veya x > 3 olsun" gibi bir koşul bindirmeden her iki taANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
67
rafı 3 - x ile çarpamayız. Bu koşulları bindirdikten sonra koşullara göre çözüm kümelerini bulup bu çözüm kümelerinin birleşimlerini almamız gerekir. Ancak böyle
bir soruya yukarıda verdiğimiz tablo yöntemi ile daha kolay cevap verebiliriz. Bunun için önce 1 i eşitsizliğin sol tarafına alıp toplama işlemini yapmamız gerekmektedir.
x-2 > 1,
3-x
x - 2 -1 > 0 ,
3-x
x-2-3+x > 0,
3-x
2x - 5 > 0
3-x
Böyle bir eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için, pay ve paydanın işaretlerine göre bölümün işareti incelenir. Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi pay ve paydanın
işaretlerini inceleyelim. Bunun için öncelikle pay ve paydanın köklerini bulmamız
gerekiyor.
2x - 5 = 0 ,
x =5 ;
2
3-x=0,
x=3
Buna göre tabloyu oluşturalım.
x
3
5/2
2x - 5
_
3-x
+
2x - 5
3-x
_
0
+
+
0
+
_
0
_
+
Tablodan görüldüğü gibi,
x < 5/2 için 2x - 5 < 0 ve 3 - x > 0
olduğundan
2x - 5 < 0 ;
3-x
5/2 ≤ x < 3 için 2x - 5 ≥ 0 ve 3 - x > 0
olduğundan 2x - 5 ≥ 0 ;
3-x
5/2 ≤ x < 3 için 2x - 5 ≥ 0 ve 3 - x > 0
olduğundan 2x - 5 < 0 .
3-x
x = 3 için payda sıfır olduğundan 2x - 5 tanımsızdır, bu durumu düşey çift
3-x
çizgi ile belirtiyoruz. Bu sonuçlara göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( 5/2, 3) aralığıdır. Burada x = 5/2 için kesir 0 olduğundan 5/2 çözüm kümesine dahil değildir.
3x + 4 ≥ 0 eşitsizli ğinin çözüm kümesinin
x- 2
gösteriniz?
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
(- ∞, - 4/3] ∪ (2, ∞) olduğunu
?
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
68
Örnek:
|3x - 8| ≤ 7 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bir a sayısının mutlak değeri 7 den küçük veya eşit ise, -7 ≤ a ≤ 7 olmalıdır. Bunun tersi de doğrudur. Bu nedenle,
|3x - 8| ≤ 7 ⇔ -7 ≤ 3x - 8 ≤ 7 dir.
Bu son eşitsizliğin çözüm kümesi aradığımız çözüm kümesidir.
-7 ≤ 3x - 8 ≤ 7 ,
-7 + 8 ≤ 3x ≤ 7 + 8
1 ≤ 3x ≤ 15 ,
1 ≤ x ≤ 5 ,
3
buna göre çözüm kümesi Ç = [ 1/3, 5] kapalı aralığıdır.
Örnek:
|- 4x + 7| > 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bir gerçel sayının mutlak değeri 5 den büyük ise o sayı ya 5 den büyüktür veya – 5
den küçüktür. Bunun tersi de doğrudur. Bu nedenle,
|- 4x + 7| > 5 ⇔ - 4x + 7 > 5 veya - 4x + 7 < -5
dir. Bu iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin birleşimi aradığımız çözüm kümesi olacaktır.
- 4x + 7 > 5 ⇒ - 4x > -2 ⇒ x < 0,5 ⇒ Ç1 = (- ∞, 0,5) ,
- 4x + 7 < -5 ⇒ - 4x < -12 ⇒ x > 3 ⇒ Ç2 = (3, ∞) ,
buna göre, çözüm kümesi Ç = (- ∞, 0,5) ∪ (3, ∞) dır.
?
1) |x + 2| ≤ |x|
2) |x - 4| > |3x|
eşitsizliklerinin çözüm kümelerini bulunuz.
Cevaplarınız ( - ∞ , - 1] ve ( - 2 , 1) aralıkları olmalıdır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
69
4.2. İkinci Dereceden Eşitsizlikler
a, b, c ∈ IR ve a ≠ 0 olmak üzere ,
ax2 + bx + c > 0,
ax2 + bx + c ≥ 0,
ax2 + bx + c < 0,
ax2 + bx + c ≤ 0
biçiminde ifade edilebilen eşitsizliklere bir bilinmeyenli ikinci dereceden eşitsiz
likler veya kısaca ikinci dereceden eşitsizlikler denir. Bu tür eşitsizliklerin çözüm
kümelerini bulmak için ax2 + bx + c üç terimlisinin işaretini incelememiz, yani
bu ifadenin x in hangi değerleri için pozitif, x in hangi değerleri için negatif bir değer
aldığını belirlememiz gerekir. Bu işaret ise, a nın işareti ile birlikte ax2 + bx + c =
0 denkleminin köklerine bağlıdır.
i.
∆ > 0. Yani, ax2 + bx + c = 0 denkleminin x1 < x2 olmak üzere x1 ve x2
gibi farklı iki gerçel kökü olsun. Bu durumda ax2 + bx + c = a (x – x1) (x –
x2) yazılabileceğini biliyoruz. Şimdi x değişkeni - ∞ dan ∞ kadar tüm
gerçel sayıları tarasın. Eğer x < x1 ise x – x1 < 0 ve x - x2 < 0 olacağından (x – x1) (x – x2) > 0 olur. Bu durumda a (x – x1) (x – x2) ve dolayısıyla ax2 + bx + c üçterimlisi a ile aynı işaretli bir değer alır. Eğer x1 < x <
x2 ise x – x1 > 0 ve x – x2 < 0 olacağından (x–x1) (x–x2) < 0 olur. Bu nedenle a (x – x1) (x – x2) ve dolayısıyla ax2 + bx + c üç terimlisi a ile ters işaretli bir değer alır. Eğer x>x2 ise x – x1 ve x – x2 çarpanlarının her ikisi
de pozitif olacağından a (x – x1) (x – x2) = ax2 + bx + c üç terimlisi a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumları bir tablo ile kısaca ifade edebiliriz.
x
x1
ax2 + bx + c a ile aynı işaretli
bir değer
x2
|
a ile ters işaretli
|
a ile aynı işaretli
0
bir değer
0
bir değer
Böyle bir tabloya ax2 + bx + c üç terimlisinin işaret tablosu denir.
ii. ∆ = 0, yani a x2 + bx + c = 0 denkleminin tek kökü olsun. Bu durumda ax2 + bx + c
üç terimlisinin, a x + b
2a
x+ b
2a
2
2
biçiminde yazılabileceğini biliyoruz. Burada
ifadesi x = - b için sıfır, diğer durumlarda daima pozitif oldu2a
ğundan a x + b
2a
2
dolayısıyla a x2 + bx + c üç terimlisi daima a ile aynı
işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekilde olur.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
70
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
- b
2a
x
ax2 + bx + c
a ile aynı işaretli
bir değer
|
0
a ile aynı işaretli
bir değer
iii. ∆ < 0, yani ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökü olmasın. Bu durumda
ax2 + bx + c = a x + b
2a
2
2
+ 4ac - b
4a 2
yazılabileceğini biliyoruz. Burada ∆ = b2 – 4ac < 0 olduğundan 4ac – b2 > 0
dır, dolayısıyla köşeli parantezin içi daima pozitiftir. Bu nedenle ax2 + bx + c
daima a ile aynı işaretli bir değer alır. Bu durumda işaret tablosu şu şekildedir.
x
ax2 + bx + c
a ile aynı işaretli bir değer
Örnek:
x2 – 3x + 2 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için x2 – 3x + 2 üç terimlisinin işaret tablosunu hazırlamamız gerekmektedir. Bunun için de x2 – 3x + 2 = 0 denkleminin
köklerini araştırmalıyız. ∆ = (-3)2 – 4.1.2 = 1 > 0 olduğundan denklemin farklı iki
gerçel kökü vardır ve bu kökler
x1,2 =
3±1
,
2
x1 = 1 , x2 = 2
dir. Buna göre işaret tablosu şu şekildedir.
x
x2
- 3x + 2
1
+
|
0
2
_
|
+
0
Tabloya göre x e 1 den küçük veya 2 den büyük bir değer verirsek x2 – 3x + 2
üç terimlisi pozitif bir değer, x e 1 ile 2 arasında bir değer verirsek bu üç terimli negatif bir değer, x = 1 ve x = 2 için 0 değerini aldığından eşitsizliğin çözüm kümesi
Ç = (-∞ , 1] ∪ [2, ∞)
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
dır. Burada eşitsizlik ≥ biçiminde olduğundan üç terimlinin sıfır olduğu 1 ve 2 nin
de çözüm kümesine dahil olduğuna dikkat ediniz.
Üç terimlinin kökleri içermeyen herhangi bir açık aralıktaki işareti, bu aralıktan
seçilen herhangi bir noktada üç terimlinin aldığı değerin işareti ile aynıdır.
Örneğin x2 - 3x + 2 üç terimlisinin (-∞, 1) aralığında işaretini belirleyelim. Bunun
için bu aralıktan keyfi bir nokta seçelim, işlem yapması kolay olduğu için 0 noktasını
seçelim, (siz isterseniz -1000000 veya
- 189 seçebilirsiniz). 0 için üç terimli
+2 değerini almaktadır. Dolayısıyla (- ∞ , 1) aralığında x2 - 3x + 2 üç terimlisinin
işareti + dır. Bunun doğruluğu yukarıdaki tablodan da açıkça görülmektedir.
Örnek:
- 9x2 + 6x – 1 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
∆ = 0 olduğundan tek kök vardır ve bu kök 1 tür. Buna göre, a = - 9 < 0 oldu3
ğundan, işaret tablosu aşağıdaki gibidir.
x
1/3
-9x2 + 6x -1
_|
0
|
Tablodan görüldüğü gibi, - 9x2 + 6x – 1 üçterimlisi sadece x = 1/3 noktasında
sıfır olmakta, bunun dışındaki noktalarda ise daima negatif değer almaktadır. Buna
göre eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = IR – {1/3} = (-∞, 1/3) ∪ (1/3, ∞) dir.
Bu cevabın doğruluğunu aşağıdaki eşitliğe bakarak kontrol ediniz.
-9x2 + 6x - 1 = -9 x - 1
3
2
Örnek:
x2 – 4x + 5 < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
∆ = 16 – 20 = - 4 < 0 olduğundan üçterimli daima a ile aynı işaretli bir
değer alır. a = 1 > 0 olduğundan üç terimli daima pozitif değer alır, hiçbir noktada sıfır veya negatif olmaz. Bu nedenle eşitsizliğin çözüm kümesi boş kümedir: Ç = ∅.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
71
72
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Örnek:
1 - 1 < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
x x + 1 15
Çözüm:
Bu eşitsizliği çözmek için önce bazı düzenlemeler yapmamız gerekmektedir.
1- 1 < 4 ,
x x + 1 15
x+1-x- 4 <0 ,
x (x + 1) 15
-4x2 - 4x + 15 < 0 .
15x (x + 1)
Son eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ayrı ayrı işaretlerini
inceleyerek bölümün işaretini inceleyelim. Bunun için pay ve paydanın köklerini
bulalım.
- 4x2 – 4x + 15 = 0 ise
15x (x +1) = 0 ise
x
x1 = - 5/2,
x1 = 0,
-1
- 5/2
- 4x2 - 4x + 15
_
15x (x + 1)
+
- 4x2 - 4x + 15
15x (x + 1)
_
0
+
+
0
x2 = 3/2 dir.
x2 = - 1 dir.
0
+
0
+
_
_
3/2
+
0
0
+
+
+
_
0
_
Tabloya göre, eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = ( - ∞, - 5/2) ∪ (- 1, 0) ∪ (3/2, ∞)
olur.
Örnek:
Bir maldan x birim satıldığında elde edilen karın, -2x2 + 44200x - 1 400 000 TL
olduğu belirlenmiştir. Buna göre, kârın 100 000 000 TL dan az olmaması için ne kadar mal satılmalıdır?
Çözüm:
Karın 100 000 000 dan az olmaması için satılan mal miktarını ifade eden x in
-2x2 + 44200x – 1 400 000 ≥ 100 000 000
eşitsizliğini sağlaması gerekir. Şimdi bu eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
73
-2x2 + 44200x – 101 400 000 ≥ 0 ,
x1, 2 =
-22100 ± 221002 - 2.101400000 -22100 ± 16900
=
-2
-2
x1 = 2600,
x2 = 19500 .
x
2600
-2x2 + 44200x - 101400000
_
0
19500
+
0
_
Buna göre, 2600 ≤ x ≤ 19500 koşulunu sağlayan x miktarda mal satıldığında kar
100.000.000 TL dan az olmaz.
5. Yüksek Dereceden Denklemler
n ∈ IN, a0 , a1 ,..., an-1 , an ∈ IR ve a0 ≠ 0 olmak üzere,
a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an
biçimindeki bir cebirsel ifadeye n-inci dereceden polinom (çok terimli),
a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an= 0
biçiminde yazılabilen bir denkleme de n-inci dereceden bir bilinmeyenli polinom
denklem veya kısaca n-inci dereceden denklem denir. n-inci dereceden bir polinom bazan kısaca P(x) , Q(x) ,... şeklinde gösterilir.
Örneğin, P(x) = 5x3 - 4x2 + 2x + 5 üçüncü dereceden, Q(x) = x13 - 2x10 + 0,5x8 + 1
onüçüncü dereceden bir polinomdur.
5x3 - 4x2 + 2x + 5 = 0
üçüncü dereceden,
x13 - 2x10 + 0,5x8 + 1 = 0
ise onüçüncü dereceden bir denklemdir.
1-inci ve 2-inci dereceden denklemleri önceki kesimlerde incelemiştik. Bu incelemelerden hatırlayacağınız gibi birinci dereceden denklemin bir tane gerçel kökü varken ikinci dereceden denklemin en çok iki tane gerçel kökü vardır. Genel olarak
denklemin derecesi ile gerçel köklerinin sayısı hakkında, burada ispatını vermeyeceğimiz, şu ilişkiyi söyleyebiliriz.
n-inci dereceden bir polinom denklemin en çok n tane gerçel kökü vardır.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
74
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Her dereceden polinom denklemlerin çözümünde izlenebilecek kesin yöntemler
bulma konusunda çok çalışmalar yapılmış ve 3. ve 4. dereceden denklemlerin çözümünde kullanılabilecek kesin yöntemler bulunmuştur. Ancak bu yöntemler de çok
kullanışlı değildir. 5 ve daha yüksek dereceden denklemlerin çözümünde izlenebilecek kesin bir yöntem yoktur. Yüksek dereceden denklemlerin kökleri günümüzde
bilgisayarlar yardımı ile yaklaşık olarak bulunabilmektedir.
b∈ IR olmak üzere,
P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an
polinomunu x – b ye böldüğümüzde, bölüm Q(x), kalan K sabit sayısı olmak üzere ,
P(x) = (x – b) Q(x) + K
yazılabilir.
P(x) = (x – b) Q(x) + K eşitliğinde x yerine b yazarsak, P(b) = (b – b) Q(b) + K , buradan
da K = P(b) bulunur. Buna göre, P(x) polinomunun x – b ye bölümünden kalan P(b)
dir. P(x) = (x – b) Q(x) + K eşitliğinde, eğer K = 0 ise P(x) polinomu x – b ye kalansız
bölünüyor demektir.Tersine, P(x) in x – b ye kalansız bölünebilmesi için K = P(b) = 0
olmalıdır. Böylece aşağıdaki teoremi ispatlamış olduk.
Teorem:
P(x) polinomunun x – b ye kalansız bölünebilmesi için gerek ve yeter koşul P(b) = 0
olması, diğer bir deyişle x = b nin P(x) = 0 denkleminin bir kökü olmasıdır.
P(x) polinomu x – b ye kalansız bölündüğünde, Q(x), (n-1)-inci dereceden bir polinom olmak üzere, P(x) = (x – b) Q(x) yazılabileceği açıktır.
Örnek:
P(x) = x4 – 2x3 + 5x + 2 polinomu verilsin. Bu polinom x + 1 e kalansız bölünebilir. Çünkü P(-1) = (-1)4 - 2(-1)3 + 5(-1) + 2 = 1 + 2 – 5 +2 = 0.
P(x) polinomunu x +1 bölersek , bölüm olarak, Q(x) = x3 – 3x2 + 3x + 2 buluruz .
Buna göre,
x4 – 2x3 + 5x + 2 = (x +1 ) (x3 – 3x2 +3x + 2)
yazabiliriz.
Örnek:
P(x) = x3 - x2 - x - 2 polinomu x - 2 ye kalansız bölünür. Çünkü, P(2) = 23 - 22 - 2 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0 dır. Bölme işleminden sonra, x3 – x2 – x –2 = (x – 2) (x2 + x +1 )
yazabiliriz.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Şimdi yüksek dereceli bazı denklemlerin köklerinin bulunması ile ilgili bir teoremi
ve bu teoremin uygulamalarını görelim.
Teorem:
a1 , a2 , ... , an-1 , an birer tam sayı olmak üzere,
xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ...+ an-1x + an = 0
n-inci dereceden polinom denklemi verilsin. Bir p tam sayısı bu denklemin bir kökü
ise p sayısı an katsayısının (sabit teriminin) bir bölenidir.
İspat:
x = p tam sayısı denklemin kökü olduğundan denklemi sağlar, yani
pn + a1pn-1 + a2pn-1+...+ an-1p + an = 0
dır. Buradan
pn + a1pn-1 + a2pn-1+...+ an-1p = - an
p(pn-1 + a1pn-2 + a2pn-3 +...+ an-1) = - an .
Bu eşitlikte p, a1, a2, ...,an-1 birer tam sayı olduğundan sol taraf bir tam sayıdır ve
p ile bölünür. Bu nedenle sağ taraf ve dolayısıyla an katsayısı p ile bölünür.
Örnek:
x3 + 4x2 + x – 6 = 0 denkleminin köklerini araştırınız.
Çözüm:
Yukarıdaki teoreme göre, bu denklemin varsa tam sayı kökleri, sabit terim olan
a3 = - 6 nın bölenleridir. Bu nedenle (- 6) nın bölenleri olan -1, 1, -2, 2 , -3, 3, -6 ve
6 sayılarının denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol edersek, -2, -3 ve 1 in denklemin kökleri olduğunu görürüz.
Denklem üçüncü dereceden olduğundan en fazla üç tane gerçel kökü vardır.
Denklemi sağlayan (varsa) üç tane tam sayı bulunduktan sonra, kontrol edilmeyen bölenler denklemi sağlamaz, bu nedenle başka kök aramaya gerek yoktur.
Her zaman yukarıdaki örnekte olduğu kadar şanslı olmayabiliriz. Karşılaşabileceğimiz durumları görmek için aşağıdaki örnekleri ele alalım.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
75
76
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Örnek:
x3 - 5x2 + 5x + 3 = 0 denklemini çözünüz.
En büyük dereceli terimin katsayısı 1 olduğundan bu denklemin varsa tam sayı olan
kökleri 3 ün bölenidir. 3 ün bölenleri -1, 1, -3, 3 tür. Bu sayıların denklemi sağlayıp
sağlamadığını kontrol edersek 3 ün denklemi sağladığını, diğerlerinin sağlamadığını görürüz. Buna göre denklemin köklerinden birisi x = 3 tür. 3 ün diğer bölenleri
denklemi sağlamadığından denklemin başka tam sayı kökü yoktur. Tam sayı olmayan eğer varsa diğer kökleri bulmak için x3 - 5x2 - 5x + 3 polinomunu x - 3 e bölelim. Bu işlemi yaparsak bölümün x2 – 2x –1 olduğunu görürüz. O halde
x3 - 5x2 + 5x + 3 = (x - 3) (x2 - 2x -1)
yazabiliriz. x3 - 5x2 + 5x + 3 = (x - 3) (x2 - 2x - 1)= 0 olması için x - 3 = 0 veya x2 - 2x - 1 = 0
olmalıdır.
x-3=0
ise
x = 3, x2 - 2x - 1 = 0 ise x1 = 1 + 2 , x2 = 1 - 2
dir.
O halde denklemin çözüm kümesi
Ç = {3, 1 + 2 , 1 - 2 } dir.
Örnek:
x4 - 2x3 + 3x2 - 8x - 4 = 0 denkleminin tam sayı köklerini araştıralım.
Çözüm:
Önce - 4 ün bölenleri arasından varsa tam sayı köklerini araştıralım. -1, 1, -2, 2, - 4 ve
4 sayılarının hiç birisi denklemi sağlamamaktadır.Bu nedenle denklemin tamsayı
kökü yoktur diyebiliriz.Bu yöntemle, denklemin gerçel kökleri hakkında bir şey
söyleyemeyiz. Bu denklemin köklerinin araştırılması amacımız dışındadır.
Örnek:
x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini araştıralım.
Çözüm:
4 ün bölenleri olan -1, 1, -2, 2, -4 ve 4 sayılarından 1 in denklemi sağladığı kolayca görülebilir. O halde x = 1 denklemin köküdür. x4 -2 x3 + 5x2 - 8x + 4 polinomunu x - 1
e bölerek
x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = (x - 1 ) (x3 - x2 + 4x - 4) = 0
yazabiliriz. Buradan x -1 = 0 veya x3 - x2 + 4x - 4 = 0 olması gerektiği açıktır.
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
77
x3 - x2 + 4x - 4 = 0 denkleminde - 4 ün bölenlerinden 1 denklemi sağlamaktadır. Bu nedenle x3 - x2 + 4x - 4 = (x - 1)(x2 + 4) yazılabilir. Buna göre,
x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = (x - 1)2 (x2 + 4)
dır.
x4 - 2x3 + 5x2 - 8x + 4 = 0 ise (x - 1)2 (x2 + 4) = 0, buradan (x - 1)2 = 0 veya x2 + 4 = 0
olmalıdır. Bu eşitliklerin birincisinden x = 1 iki kat kök olarak bulunur,ikincisinin
gerçel kökü yoktur. Bu durumda verilen denklemin çözüm kümesi Ç = {1} dir.
Bazı yüksek dereceli denklemlerin çözümleri bir ve ikinci dereceden denklemlerin
çözümlerine indirgenebilir.
Örnek:
x4 - 5x2 + 6 = 0
denklemini çözelim.
Çözüm:
Bu denklemde x2 = t dersek, denklem t2 - 5t + 6 = 0 denklemine dönüşür. Bu ikinci
dereceden denklemin kökleri t = 2 ve t = 3 tür. Şimdi t yerine x cinsinden eşitini yazarsak x2 = 2 ve x2 = 3 olur. Bu denklemlerden de x1 = - 2 , x2 = 2 , x3 = - 3 ,
x4 = 3
bulunur. Çözüm kümesi Ç =- 3, - 2, 2, 3
dir.
Örnek:
x5 - x3 - 12x = 0
denklemini çözelim.
Çözüm:
Bu denklemi önce x parantezine alalım,
x (x4 - x2 -12) = 0, buradan x = 0 veya x4 - x2 - 12 = 0 olmalıdır.
Birinci eşitlikten x1 = 0 bulunur. İkinci denklemi bir önceki örnekte izlediğimiz yöntemle çözebiliriz. x2 = t dersek, t2 - t - 12 = 0 olur, buradan t = 4, t = - 3
bulunur. x2 = 4 ise x2 = - 2, x3 = 2 dir. Buna karşılık x2 = - 3 eşitliğini hiçbir gerçel sayı sağlamaz. Bu nedenle denklemin üç tane gerçel kökü vardır ve bu kökler,
x1 = 0, x2 = - 2, x3 = 2 dir. Ç = {0, -2, 2}.
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
78
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Değerlendirme Soruları
1.
2.
Kareleri toplamı 1156 olan iki doğal sayının farkı 14 ise bu sayıların çarpımı
kaçtır?
A. 320
B. 360
C. 420
D. 480
E. 540
3x + y 6
A.
B.
C.
D.
E.
3.
ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir?
1
a
ax
x
y
3 8
= - 2
x x x+1
x+1
A.
B.
C.
D.
E.
ifadesinin sadeleşmiş şekli nedir?
x+y
x-y
1
2
x
2
2
a3 + a a + x - a a + y
xy
x2 - xy
xy - y 2
A.
B.
C.
D.
E.
5.
1210
1215
1220
1225
1230
x3 + y 3
2y
xy
: x2 - y 2 +
x+y
x + y x2 - y 2
A.
B.
C.
D.
E.
4.
açılımında x4 y 2 'nin katsayısı kaçtır?
{- 2, 1}
{1}
{1, 3}
{1, 2}
Ø
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
denkleminin çözüm kümesi hangisidir?
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
6.
6 katının 7 fazlası karesine eşit olan doğal sayı kaçtır?
A. 15
B. 12
C. 9
D. 7
E. 6
7.
80 milyon TL ile bir maldan kaç tane alınıyorsa aynı para ile ikinci maldan 6
tane daha fazla mal alınabilir. Birinci mal ikinciden 3 milyon TL pahalı olduğuna göre, birinci malın fiyatı kaç milyon TL. dir?
A. 4,5
B. 5,5
C. 7
D. 8
E. 10
8.
x-3 = 5-x
A. Ø
B. {7}
C. {4 , 7}
D. {4}
E. {12}
9.
- 2x2 - 3x + 2 > 0
denkleminin çözüm kümesi hangisidir?
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A. - ∞ , 1
B.
- ∞, - 2 ∪ 1 , ∞
2
C. 1 , ∞
2
D. - 2, 1
2
E. - 2, 1
2
10. (x - 2)2 ≤ 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A. [0, 3]
B. [1, 3]
C. [- 1, 2]
D. [- 1, 3]
E. [1, 2]
AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ
79
80
ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
11. |x - 4| ≤ |x| eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
A. (- ∞, 0] ∪ [4, ∞)
B. [0, 4]
C. [2, ∞)
D. [4, ∞)
E. [2, 4]
12. 5 katının 4 eksiği karesinden büyük olan en büyük tam sayı kaçtır?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
13. x4 + 3x3 - x - 3 = 0 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?
A. {- 5, 2}
B. {- 3, 2}
C. {- 3}
D. {1}
E. {- 3, 1}
14. Köklerinin toplamı - 1/15 , çarpımı - 2/15 olan ikinci dereceden denklem
aşağıdakilerden hangisidir?
A. 15x2 + 3x + 2 = 0
B. 15x2 - 2x - 1 = 0
C. 15x2 - x + 2 = 0
D. 15x2 + x - 2 = 0
E. x2 - x + 15 = 0
15.
x ≥2
x+1
A.
B.
C.
D.
E.
eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir?
(- ∞, - 2]
[1, ∞)
[- 2, - 1)
[- 2, - 1]
(0, 1)
Değerlendirme Sorularının Yanıtları
1. D
11. C
2. B
12. C
3. C
13. E
4. B
14. D
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
5. B
15. C
6. D
7. D
8. D
9. E
10. B