1 y˙ınelemel˙ı fonks˙ıyon s˙ıstemler˙ı

1
YİNELEMELİ FONKSİYON SİSTEMLERİ
1.1
Metrik Uzaylarda Sabit Nokta Teoremi
Tanım 1.1 Boş kümeden farklı bir X kümesi üzerinde aşağıda verilen koşulları sağlayan
d : X × X → R+ ∪ {0} fonksiyonuna X üzerinde bir metrik denir.
1. ∀x, y ∈ X için d(x, y) = 0 ancak ve ancak x = y.
2. ∀x, y ∈ X için d(x, y) = d(y, x).
3. ∀x, y, z ∈ X için d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Bu durumda (X, d) ikilisi de metrik uzay olarak adlandırılır.
Örnek 1.1 Rn üzerinde x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn olmak üzere
dstd (x, y) =
p
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2
şeklinde tanımlanan dönüşüm bir metriktir ve standart metrik adını alır.
Tanım 1.2 (X, d) metrik uzayı ve X içinde bir (xn ) dizisi verilsin. Eğer ǫ > 0 verildiğinde
n, m > Nε için d(xn , xm ) < ǫ olacak şekilde bir Nε > 0 sayısı varsa, (xn ) dizisine Cauchy
dizisi denir.
Tanım 1.3 (X, d) metrik uzayındaki her Cauchy dizisi yakınsak ise bu metrik uzaya tam
metrik uzay denir.
Örnek 1.2 (Rn , dstd ) bir tam metrik uzaydır. ((0, 1), dstd ) ise tam metrik uzay değildir.
1
Bunun için (xn ) =
Cauchy dizisinin (0, 1) de yakınsak olmadığını söylemek yetern
lidir (Bu dizi Rn ’de yakınsaktır ve 0 noktasına yakınsar, ama yakınsadığı 0 değeri (0, 1)
kümesinin elemanı değildir).
1
Alıştırma 1.1 Bir önceki örnekte verilen (xn ) =
1
dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu
n
gösteriniz.
Tanım 1.4 (X, d) bir metrik uzay ve S ⊂ X olsun. Eğer S içindeki her dizinin S de
yakınsak olan bir alt dizisi varsa S alt kümesine kompakt denir.
Tanım 1.5 Bir X kümesi üzerinde f : X → X fonksiyonu verilsin. f (x∗ ) = x∗ olacak
şekilde bir x∗ ∈ X noktası var ise x∗ noktasına f fonksiyonunun sabit noktası denir.
Tanım 1.6 (X, d) metrik uzay ve f : X → X fonksiyonu verilsin. Eğer her x, y ∈ X için
d(f (x), f (y)) ≤ s d(x, y)
olacak şekilde bir 0 ≤ s < 1 gerçel sayısı var ise f fonksiyonuna bir büzülme dönüşümü, s
değerine de büzülme katsayısı denir.
Alıştırma 1.2 (X, d) bir metrik uzay ve f : X → X bir büzülme dönüşümü olsun. Bu
durumda f fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz.
Teorem 1.1 (Sabit Nokta Teoremi) (X, d) bir tam metrik uzay ve f : X → X büzülme
dönüşümü olsun. Bu durumda f (x∗ ) = x∗ olacak şekilde bir tek x∗ ∈ X sabit noktası vardır
ve keyfi x0 ∈ X için
x0 , f (x0 ), f (f (x0 )) = f 2 (x0 ), ..., f n (x0 ), ...
dizisi x∗ noktasına yakınsar.
Kanıt. x0 ∈ X için;
x1 = f (x0 )
x2 = f (x1 ) = f (f (x0 ))
..
.
xn = f (xn−1 )
..
.
2
biçiminde oluşturduğumuz (xn ) dizisini düşünelim. Önce bu dizinin Cauchy dizisi olduğunu
görelim. (xn ) dizisinin Cauchy dizisi olması için, ∀ε > 0 için ∃Nε  n, m > Nε iken
d(f n (x), f m (x)) = d(xn , xm ) < ε
olmalıdır. n < m olsun. Eşitlik durumunda zaten 0 < ε olacaktır. Bu durumda
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(xm−1 , xm )
eşitsizliği d nin metrik oluşundan vardır. Ayrıca f büzülme dönüşümü olduğundan her n
için
d(xn , xn+1 ) = d(f (xn−1 ), f (xn )) ≤ sd(xn−1 , xn )
≤ s2 d(xn−2 , xn−1 )
≤ sn d(x0 , x1 )
dir. Bunu her n için yapabileceğimiz açıktır. Şimdi bu ifadeyi bir önceki eşitsizlikte yerine
yazarsak
d(xn , xm ) ≤ sn d(x0 , x1 ) + sn+1 d(x0 , x1 ) + ... + sm−1 d(x0 , x1 )
≤ sn (1 + s + s2 + ... + sm+1−n )d(x0 , x1 )
sn
≤
d(x0 , x1 )
1−s
log[ε(1 − s)]
sayısının tam değerinin bir fazlası seçersek
d(x0 , x1 )
istenilen eşitsizlik her n, m için sağlanmış olur. Yani (xn ) dizisi bir Cauchy dizisidir.
elde edilir. O halde Nε sayısını
(X, d) tam metrik uzay olduğundan dolayı (xn ) yakınsaktır. Bu durumda
lim xn = x∗
n→∞
olsun. Ayrıca f (xn ) = xn+1 dizisi, bu dizinin bir alt dizisi olduğundan, f sürekli ve (xn )
yakınsak olduğundan f (x∗ ) = x∗ olacağı açıktır. Bununla beraber x∗ tektir. Şimdi bunu
da görelim.
Varsayalım tek olmasın. x∗ 6= y ∗ ve f (y ∗ ) = y ∗ olsun. Bu durumda
d(f (x∗ ), f (y ∗ )) ≤ sd(x∗ , y ∗ ) < d(x∗ , y ∗ )
olmalıdır. Ama
d(f (x∗ ), f (y ∗ )) = d(x∗ , y ∗ )
3
olduğundan bu mümkün değildir. O halde x∗ tek olmak zorundadır.
Yani bir tam metrik uzay üzerinde tanımlı bir büzülme dönüşümünün sabit noktası
vardır ve tektir. Bu sabit nokta uzaydan alınan keyfi bir elemanın iterasyonuyla elde edilir.
x+1
dönüşümünü alalım. x, y ∈ R için
2
x+1 y+1
,
dstd (f (x), f (y)) = dstd
2
2
x + 1 y + 1 x − y 1
= |x − y|
= −
=
2
2 2 2
1
=
dstd (x, y)
2
Örnek 1.3 f : R → R, f (x) =
olduğundan f büzülme katsayısı
1
olan bir büzülme dönüşümüdür. Bu dönüşümün sabit
2
noktası x∗
f (x∗ ) =
x∗ + 1
= x∗ ⇒ x∗ = 1
2
olarak bulunur. Gerçekten de f (1) = 1 dir. Şimdi R’den keyfi bir nokta seçip Teorem
1.1’de belirtilen algoritmayla sabit noktaya ulaşmaya çalışalım. Örneğin 0 ∈ R alalım.
f (0) =
1
2
3
1
f 2 (0) = f (f (0)) = f ( ) =
2
4
3
7
3
2
f (0) = f (f (0)) = f ( ) =
4
8
7
15
f 4 (0) = f (f 3 (0)) = f ( ) =
8
16
..
.
şeklinde devam edersek, limit durumunda 1 sabit noktasına ulaşırız. Yani lim f n (0) = 1
n→∞
dir.
Yardımcı Teorem 1.1 (X, d) bir tam metrik uzay ve f : X → X büzülme katsayısı s
olan bir büzülme dönüşümü olsun. x0 , f fonksiyonunun sabit noktası olmak üzere her
x ∈ X için
d(x, x0 ) ≤
1
d(x, f (x))
1−s
şeklindedir.
4
Kanıt. Sabit nokta tanımından ve metriğin sürekliliğinden yararlanarak
d(x, x0 ) = d(x, lim f n (x))
n→∞
=
≤
≤
≤
lim d(x, f n (x))
n→∞
lim
n
X
n→∞
m=1
n
X
lim
n→∞
m=1
d(f (m−1) (x), f m (x))
d(x, f (x))(1 + s + · · · + sn−1 )
1
d(x, f (x))
1−s
şeklinde bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1. X = Rn üzerinde x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) olmak üzere
d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + · · · + |xn − yn |
d∞ (x, y) = max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |, · · · , |xn − yn |}
şeklinde tanımlanan dönüşümlerin birer metrik olduğunu gösteriniz.
2. f : (0, a) → (0, a), f (x) = x2 (a > 0) fonksiyonunun bir büzülme dönüşümü olması
1
için a ne olmalıdır? Ayrıca a =
için bu dönüşümün sabit noktası olmadığını
3
gösterip, nedeneni Teorem 1.1’i göz önüne alıp tartışınız.
3. Aşağıdaki dönüşümlerin büzülme olup olmadığını araştırınız.
a. f : R → R, f (x) =
x+3
2
b. f : R → R, f (x) = cos(x)
c. f : R → R, f (x) = cos2 (x)
1
2
2
d. f : R → R , f (x, y) = x, y
2
1
1 1
e. f : R2 → R2 , f (x, y) =
x+ , y
3
3 2
1
2
2
f. f : R → R , f (x, y) = 0, √ y
2
5
4. Aşağıdaki verilen dönüşümlerinin sabit noktalarını belirleyiniz.
a. f : R → R, f (x) =
2x + 3
4
b. f : R → R, f (x) = sin x
1
1
2
2
c. f : R → R , f (x, y) =
x + 1, y
4
2
1
1 1
1
2
2
√
√
d. f : R → R , f (x, y) =
x+
, y− x
2
3
3 2
1
1
1
x + y, √ y
e. f : R2 → R2 , f (x, y) =
5
5
2
1
1
1
1
1
3
3
x + y, z − √ y, y
f. f : R → R , f (x, y, z) =
5
5 4
2 2
6
1.2
Haussdorf Metriği
(X, d) bir tam metrik uzay olmak üzere, X’in boş kümeden farklı kompakt alt kümelerinin
uzayını H(X) ile gösterelim. Yani
H(X) = {A | A ⊂ X, A 6= Φ ve A kompakt}
olsun. Bu bölümdeki hedefimiz H(X) kümesi üzerinde bir metrik inşaa etmek. x ∈ X ve
A ∈ H(X) olmak üzere bir x noktasının A kümesine uzaklığı
d(x, A) = min{d(x, y) | y ∈ A}
olarak tanımlanır.
Bu tanımdan yararlanarak X’in kompakt alt kümeleri arasındaki
uzaklığı tanımlaya çalışalım. A, B ∈ H(X) olsun. Bu durumda A kümesinin B kümesine
olan uzaklığı
d(A, B) = max{d(x, B) | x ∈ A}
= max{min{d(x, y) | y ∈ B} | x ∈ A}
şeklinde tanımlanır. A ve B kümelerinin kompaktlığı ve metriğin sürekliliğinden dolayı
bu tanım anlamlıdır. H(X) kümesinin iki elemanı arasındaki uzaklık olarak tanımlanan
bu fonksiyon
A
B
d(B, A)
d(A, B)
Şekil 1.1: A ve B kümeler için d(A, B) ve d(B, A)
H(X) üzerinde bir metrik değildir. Bunun sebebi de tanımladığımız uzaklık fonksiyonunun
simetrik olmayışıdır. Yani d(A, B) = d(B, A) eşitliği geçerli olmayabilir. Şimdi bu duruma
basit bir örnek verelim.
7
Örnek 1.4 X = R2 olsun. R2 ’nin kompakt alt kümeleri olarak A = {0} ve B = [1, 2]
kümelerini alalım. Bu durumda
A
B
0
1
2
tanımdan d(A, B) = 1 ve d(B, A) = 2 olduğu kolayca doğrulanabilir.
Amacımız H(X) üzerinde bir metrik verebilmekti. Bu hedef doğrultusunda X metrik
uzayı üzerindeki d metriğine bağlı olarak H(X) uzayı üzerinde yeni bir uzaklık fonksiyonu
tanımlayalım.
Tanım 1.7 (X, d) tam bir metrik uzay ve A, B ∈ H(X) olmak üzere
h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)}
değerine A ile B kümeleri arasındaki Hausdorff uzaklığı denir.
Şimdi, bu kavramı daha iyi anlayabilmek için aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
Örnek 1.5 R2 ’de A kümesi (3, 4) merkezli ve 2 yarıçaplı bir daire, B kümesi de (6, 4)
merkezli ve 3 yarıçaplı bir daire olsun. Bu iki kompakt kümenin Hausdorff uzaklığını
hesaplayalım.
7
B
A
6
5
2
4
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Şekilden de açıkça görüldüğü üzere d(A, B) = 2 ve d(B, A) = 4 dür. Bu durumda
h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} = 4
olarak bulunur.
8
Örnek 1.6 R2 ’de A kümesi şekilde gösterildiği üzere 2 birim kenara sahip bir kare, B
kümesi de (3, 1) merkezli ve 1 yarıçaplı bir daire olsun. Bu iki kompakt kümenin Hausdorff
uzaklığı nedir?
A
2
B
1
√
2
5
1
2
3
Yine şekilden hesaplanabileceği üzere d(A, B) =
4
√
5 ve d(B, A) = 2 dir. Bu durumda
h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} =
√
5
olarak bulunur.
Örnek 1.7 R2 ’de A kümesi (2.25, 2) merkezli ve 1 yarıçaplı bir daire, B kümesi aynı
merkezli ve eksenleri sırasıyla 2 ve 1.25 olna bir elips olsun.
3
2
B
1
A
1
1
2
3
4
A kümesi B kümesinin alt kümesi olduğu için d(A, B) = 0 olduğu açıktır. Ve d(B, A) = 1
olduğu da şekilden görülmektedir. Sonuç olarak
h(A, B) = max{d(A, B), d(B, A)} = 1
şeklinde bulunur.
9
Not 1.1 A ∈ H(X) ve ε > 0 verilsin. A kümesinin ε-kapalı komşuluğu
Aε = {x ∈ X | d(x, A) ≤ ε}
şeklinde tanımlanır. Bu durumda verilen A, B ∈ H(X) kümeleri arasındaki Hausdorff
uzaklığı h(A, B), B ⊆ Aε ve A ⊆ Bε koşulunu sağlayan en küçük pozitif ε sayısı olarak da
tanımlanabilir.
Şekil 1.2: A ve B kümelerinin Hausdorff uzaklığı h(A, B) = ε
Yardımcı Teorem 1.2 (X, d) metrik uzay ve A, B, C ∈ H(X) verilsin. Bu durumda
Tanım 1.7 de tanımlanan h fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar.
• h(A, A) = 0 dır.
• h(A, B) = 0 olması için gerek ve yeter şart A = B olmasıdır.
• h(A, B) = h(B, A) dır.
• h(A, C) ≤ h(A, B) + h(B, C) dir.
Yardımcı Teorem 1.2’in sonucu olarak aşağıdaki teorem ispatlanmış olur.
Teorem 1.2 (H(X), h) bir metrik uzaydır.
10
Sonuç olarak d metriği yardımıyla H(X) üzerinde bir metrik tanımlamış olduk. Bu h
metriğine Hausdorff metriği denir.
Teorem 1.3 (X, d) tam metrik uzay ise (H(X), h) de tam metrik uzaydır.
Kanıt. Bkz. [Barnsley, s.35].
Yardımcı Teorem 1.3 (X, d) bir metrik uzay ve A, B, C ⊂ X kompakt alt kümeler olsun.
Bu durumda
d(A ∪ B, C) = max{d(A, C), d(B, C)}
eşitliği geçerlidir.
Yardımcı Teorem 1.4 (X, d) bir metrik uzay (H(X), h) Hausdorff metriği olmak üzere
∀ A, B, C, D ∈ H(X) için
h(A ∪ B, C ∪ D) ≤ max{h(A, C), h(B, D)}
şeklindedir.
Kanıt. Yardımcı Teorem 1.3 ve h’nin tanımını kullanarak sonuca ulaşılır.
ALIŞTIRMALAR
1. Teorem 1.3 ’ü kanıtlayınız.
2. Yardımcı Teorem 1.2 ’yi ve Yardımcı Teorem 1.3’ü kanıtlayınız.
3. Aşağıdaki verilen R2 ’nin kompakt alt kümelerin Hausdorff uzaklıklarını hesaplayınız.
a. A={(x, y) | 3 ≤ x ≤ 5, y = 2x} , B={(x, y) | (x − 1)2 + y 2 = 1}
b. A={(x, y) | 3 ≤ x ≤ 5, y = 2x} , B={(0, 1)}
c. A={(x, y) | 1 ≤ x ≤ 3, y = x2 + 2} , B={(x, y) | 1 ≤ x ≤ 3, y = 0}
d. A={(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, y = x2 } , B={(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, y =
11
√
x}
e. A={(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} , B={(x, y) | (x − 2)2 + (y − 2)2 = 2}
4. S 2 ⊂ R3 = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 = 1} birim küre olmak üzere h(S 2 , A) = 0.5
olacak şekilde bir A kompakt kümesi bulunuz.
5. Tanım 1.7’de ve Note 1.1’de tanımlanan Hausdorff uzaklığı kavramlarının denk
olduğunu gösteriniz.
12
1.3
Yinelemeli Fonksiyon Sistemleri
(X, d) bir metrik uzay olmak üzere f : X → X bir büzülme dönüşümü olsun. Bu durumda
bir A ∈ H(X) için
f (A) = {f (x) | x ∈ A}
kümesinin de f fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı H(X) kümesinin bir elemanı olacağı
açıktır. O halde (X, d) metrik uzayı üzerinde verilen bir f büzülme dönüşümü yardımıyla
(H(X), h) metrik uzayı üzerinde bir büzülme dönüşümü tanımlanabilir.
Yardımcı Teorem 1.5 (X, d) bir metrik uzay ve f : X → X büzülme katsayısı s olan
bir büzülme dönüşümü olsun. Bu durumda A ∈ H(X) için
f : H(X) → H(X)
f (A) = {f (x) | x ∈ A}
olarak tanımlanan f dönüşümü de (H(X), h) uzayında büzülme katsayısı s olan bir büzülme
dönüşümüdür.
Kanıt. A, B ∈ H(X) için
d(f (A), f (B)) = max{min{d(x, y) | f (y) ∈ f (B)} | f (x) ∈ f (A)}
= max{min{d(f (x), y) | f (y) ∈ f (B)} | x ∈ A}
= max{min{d(f (x), f (y)) | y ∈ B} | x ∈ A}
≤ max{min{s d(x, y) | y ∈ B} | x ∈ A}
= s d(A, B)
şeklindedir. Benzer biçimde d(f (B), f (A)) ≤ s d(B, A) dır. Bu durumda
h(f (A), f (B)) = max{ d(f (A), f (B)) , d(f (B), f (A)) }
≤ s max{d(A, B), d(B, A)}
= s h(A, B)
olduğundan istenilen elde edilir.
13
Yardımcı Teorem 1.6 (X, d) bir metrik uzay olmak üzere {fi | i = 1, 2, ..., n} dönüşümleri
(H(X), h) uzayında büzülme katsayıları sırasıyla si olan büzülme dönüşümleri olsun. Bu
durumda A ∈ H(X) için
F : H(X) → H(X)
F (A) = f1 (A) ∪ f2 (A) ∪ · · · ∪ fn (A) =
n
S
fi (A)
(1.1)
i=1
olarak tanımlanan F dönüşümü büzülme katsayısı
s = max{si | i = 1, 2, ..., n}
olan bir büzülme dönüşümüdür.
Kanıt. s = max{s1 , s2 , ..., sn } olsun. Kanıt için tümevarım metodunu kullanalım.
n = 2 için teoremin doğru olduğunu gösterelim önce.
F2 : H(X) → H(X)
F2 (A) = f1 (A) ∪ f2 (A)
olsun. Bu durumda Yardımcı Teorem 1.4 kullanılarak
h(F2 (A), F2 (B)) = h(f1 (A) ∪ f2 (A), f1 (B) ∪ f2 (B))
≤ max{h(f1 (A) ∪ f1 (B)) , h(f2 (A) ∪ f2 (B))}
≤ max{s1 h(A, B), s2 h(A, B)}
≤ s h(A, B)
şeklinde elde edilir. Şimdi n = m için teoremin doğru olduğunu kabul edelim. n = m + 1
için de doğru mu? Varsayalım
Fm : H(X) → H(X)
Fm (A) = f1 (A) ∪ f2 (A) ∪ · · · ∪ fm (A)
için iddia doğru olsun. Yani
h(Fm (A), Fm (B)) = h(f1 (A) ∪ · · · ∪ fm (A), f1 (B) ∪ · · · ∪ fm (B))
≤ s h(A, B)
olsun. Acaba
Fm+1 : H(X) → H(X)
Fm+1 (A) = f1 (A) ∪ f2 (A) ∪ · · · ∪ fm+1 (A)
14
(1.2)
için
h(Fm+1 (A), Fm+1 (B)) = h(f1 (A) ∪ · · · ∪ fm+1 (A), f1 (B) ∪ · · · ∪ fm+1 (B))
≤ s h(A, B)
eşitsizliği sağlanır mı? Yine Yardımcı Teorem 1.4 ve (1.2) eşitsizliği kullanılarak
h(Fm+1 (A), Fm+1 (B)) = h(f1 (A) ∪ · · · ∪ fm+1 (A), f1 (B) ∪ · · · ∪ fm+1 (B))
= h(Fm (A) ∪ fm+1 (A), Fm (B) ∪ fm+1 (B))
≤ max{h(Fm (A) ∪ Fm (B)), h(fm+1 (A) ∪ fm+1 (B))}
≤ max{s h(A, B), sm+1 h(A, B)}
= s h(A, B)
olarak istenilen sonuç elde edilir.
Tanım 1.8 (X, d) bir tam metrik uzay ve f1 , f2 , ..., fn : X → X dönüşümleri büzülme
katsayıları sırasıyla s1 , s2 , ..., sn olan büzülme dönüşümleri olsunlar. Bu durumda
{X; fi | i = 1, 2, ..., n}
sistemine büzülme katsayısı s = max{si | i = 1, 2, ..., n} olan yinelemeli fonksiyon sistemi
denir ve kısaca YFS ile gösterilir.
Teorem 1.4 {X; fi , i = 1, 2, ..., n} yinelemeli fonksiyon sistemi ve
F : H(X) → H(X)
F (A) = f1 (A) ∪ f2 (A) ∪ · · · ∪ fn (A) =
n
S
fi (A)
i=1
olarak tanımlanan F dönüşümü verilsin. Bu durumda F dönüşümünün
A = F (A) =
n
[
fi (A)
i=1
olacak şekilde tek bir A ∈ H(X) sabit noktası vardır. Ayrıca bu sabit nokta, ∀B ∈ H(X)
için
B, F (B), F 2 (B), F 3 (B), ...
15
dizisinin limiti olarak
A = lim F n (B)
n→∞
şeklinde elde edilir.
Kanıt. Teorem 1.1 kullanılarak istenilen sonuç elde edilir.
Tanım 1.9 Teorem 1.4 de ifade edilen A ∈ H(X) sabit noktasına YFS’nin çekicisi
denir. Ayrıca bir küme bir YFS’nin çekicisi ise kendine benzer küme adını alır.
Bu noktadan sonra kolaylık açısından yukarıda bahsi geçen YFS’nin çekicisini
A{X; f1 , f2 , ..., fn }
olarak göstereceğiz. Bu durumda
A = F (A) =
n
[
fi (A) ise A{X; f1 , f2 , ..., fn } = A
i=1
olarak yazılabilir. Ve keyfi bir B ∈ H(X) için A = lim Fn (B) şeklindedir.
n→∞
Örnek 1.8 (Sierpinski Üçgeni) (R2 , dstd ) tam metrik uzayı verilsin. i = 1, 2, 3 için
fi : R2 → R2
x y
,
2 2
x+1 y
f2 (x, y) =
,
2
2
f1 (x, y) =
f3 (x, y) =
√ !
x + (1/2) y + 3
,
2
2
1
olan büzülme dönüşümlerini düşünelim. Bu
2
durumda H(R2 ) üzerinde tanımlanan (Bkz. (1.1)) F büzülme dönüşümünün sabit nokşeklinde tanımlanan ve büzülme kasayıları
tasına ya da başka bir değişle {R2 ; f1 , f2 , f3 } YFS’nin çekicisine Sierpinski Üçgeni denir
ve S ile gösterilir. Bu durumda
f1 (S) ∪ f2 (S) ∪ f3 (S) = S
olur.
16
Şekil 1.3: Sierpinski Üçgeni
Şimdi Sierpinski üçgeninin nasıl elde edildiğine yakından göz atalım. Takibin kolaylığı
açısından, kompakt küme olarak {(0, 0)} kümesini alalım. Sonuçta bu küme de R2 ’nin
kompakt bir alt kümesi. Şimdi bu noktayı F dönüşümüne uygulayarak yeni bir kompakt
küme elde edeceğiz.
f1 (0, 0) = (0, 0), f2 (0, 0) =
1
, 0 , f3 (0, 0) =
2
olduğundan
F ({(0, 0)}) =
(
(0, 0),
√ !
1 3
,
4 2
√ !)
1 3
,
4 2
1
,0 ,
2
dir. Bu noktaların geometrik yeri
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
şeklindedir. Şekilden de açıkça görüldüğü üzere f1 , f2 ve f3 dönüşümleri düzlemde verilen
√ bir noktayı sırasıyla (0, 0), (1, 0) ve 12 , 23 noktalarına çekmektedir. Şimdi de bu elde
ettiğimiz kompakt kümeye F dönüşümünü uygulayarak F 2 ({(0, 0)}) kümesini elde edelim.
17
f1 (0, 0) = (0, 0)
1
2, 0
f1
f1
√ 3
1
,
4 2
=
=
1
4, 0
f2 (0, 0) =
1
2, 0
1
2, 0
3
4, 0
f2
√ 3
1
,
8 4
f2
√ 3
1
,
4 2
=
=
f3 (0, 0) =
f3
√ 3
5
,
8 4
f3
1
2, 0
=
√ 3
1
,
4 2
√ 3
1
,
4 2
=
√ 3
1
,
2 2
√ 3 3 3
,
8
4
olduğundan
2
F ({(0, 0)}) =
√ ! 1
1
3
1
3
,0 ,
,
,
,0 ,
,0 ,
(0, 0),
2
4 2
4
4
√ !
√ !
√ !
√ !)
1 3
1
3
5 3
3 3 3
,
,
,
,
,
,
,
2 2
8 4
8 4
8 4
(
şeklindedir. Bu noktaların geometrik yeri de
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
şeklindedir.
Bu şekilde devam edildiğinde her sonlu adımda sonlu noktadan oluşan (n. adımda 3n
nokta) kompakt bir küme elde edilir. Yeterince bu algoritmayı tekrar ettiğimizde çekicimiz
olan Sierpinski üçgeni belirmeye başlar.
Aşağıda ilk 5 adımda oluşan noktalar kümesini görmektesiniz.
18
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
A
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
F 2 (A)
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.2
0.4
0.8
1
0.6
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1
F 3 (A)
0.8
0
0.6
F (A)
0.8
0
0.4
0.8
1
0
F 4 (A)
0.2
0.4
0.6
F 5 (A)
Limit durumunda ise tam olarak Sierpinski üçgenine ulaşılır. Aldığımız tek noktanın ne
olduğunun bir önemi yoktur. Başlangıç kümesi olarak A = {(1453, −1071)} de alınsaydı
sonuç değişmeyecekti. Sonuç olarak herhangi bir yinelemeli fonksiyon sisteminin çekicisini
bulmak için hangi kompakt kümeyle başladığınızın da bir önemi yoktur. Örneğin düzlemdeki
birim kareyi alarak işlemimizi tekrarlasaydık aşağıdaki şekillerde de görüldüğü üzere yine
ilgili YFS’nin çekicisi Sierpinski üçgeni olacaktır.
19
A
F (A)
F 2 (A)
F 3 (A)
F 4 (A)
F 5 (A)
F 6 (A)
F 7 (A)
20
Ya da başlangıç kümesi olarak
şeklinde bir kompakt küme alınsa yine aynı çekiciye ulaşılır.
A
F (A)
F 2 (A)
F 3 (A)
F 4 (A)
F 5 (A)
21
Bir başka başlangıç kümesi için yine çekici Sierpinski üçgeni.
A
F (A)
F 2 (A)
F 3 (A)
F 4 (A)
F 5 (A)
Uyarı 1.4 f1 (S), f2 (S), f3 (S) kümelerinin her birinin Sierpinski üçgeninin
büzülmüşünün uygun ötelemeleri ve
f1 (S) ∪ f2 (S) ∪ f3 (S) = S
olduğuna dikkat çekelim.
22
1
oranında
2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
f1 (S)
0.4
0.6
0.8
1
0.8
1
f2 (S)
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
f3 (S)
0.2
0.4
0.6
S = f1 (S) ∪ f2 (S) ∪ f3 (S)
Örnek 1.9 (Cantor) (R, dstd ) tam metrik uzayı verilsin. i = 1, 2 için fi : R → R
f1 (x) =
f2 (x) =
x
3
x+2
3
şeklinde tanımlanan büzülme dönüşümlerini düşünelim. Bu durumda {R; f1 , f2 } YFS’nin
çekicisine Cantor Kümesi denir ve C ile gösterilir. Bu durumda
f1 (C) ∪ f2 (C) = C
şeklinde ifade edilebilir.
Şekil 1.4: Cantor Kümesi
23
Cantor kümesini çekici olarak elde etmek için R’nin bir kompakt alt kümesini seçelim.
Yine ilk olarak tek nokta kümesi alalım. A = {(1)} olsun. Şimdi bu noktayı F dönüşümüne
uygulayarak yeni bir kompakt küme elde edeceğiz.
1
f1 (1) = , f2 (1) = 1 ⇒ F ({1}) =
3
1
,1
3
şeklindedir. Bu elde ettiğimiz kompakt kümeye F dönüşümünü uygulayarak F 2 ({1}) kümesini
elde edelim.
1
1
=
f1
3
9
f1 (1) =
1
7
f2
=
3
9
1
3
f2 (1) = 1
olduğundan
2
F ({1}) =
1 1 7
, , , 1
9 3 9
şeklindedir. Bu şekilde devam edildiğinde her sonlu adımda sonlu noktadan oluşan (n.
adımda 2n nokta) kompakt bir küme elde edilir. Bu şekilde devam ettiğimizde çekicimiz
olan Cantor kümesi belirmeye başlar. Aşağıda ilk 5 adımda oluşan noktalar kümesini
görmektesiniz.
24
Alıştırma 1.3 A = [0, 1] alarak benzer yöntemle Cantor kümesini ilgili yinelemeli fonksiyon
sisteminin çekicisi olarak (yaklaşık) elde ediniz.
Örnek 1.10 (Koch Eğrisi) (R2 , dstd ) tam metrik uzayı verilsin.
i = 1, 2, 3, 4 için
fi : R2 → R2
f1 (x, y) =
f2 (x, y) =
f3 (x, y) =
f4 (x, y) =
1 1
x, y
3 3
√
1
3
x−
y+
6
6
√
1
3
x+
y+
6
6
1
2 1
x+ , y
3
3 3
!
√
1
3
1
,
x+ y
3 6
6
√
√ !
1
3
1
3
,−
x+ y+
2
6
6
6
şeklinde tanımlanan büzülme dönüşümlerini düşünelim. Bu durumda {R2 ; f1 , f2 , f3 , f4 }
YFS’nin çekisine Koch Eğrisi denir.
Şekil 1.5: Koch Eğrisi
Alıştırma 1.4 Sierpinski örneğinde olduğu gibi, tek bir nokta alıp F dönüşümü yardımıyla
adım adım elde edilen nokta kümelerini belirleyip Koch eğrisine nasıl yaklaşıldığını görünüz.
Benzer biçimde, düzlemde birim kareyi alıp ilgili F dönüşümünü üst üste uygulayarak
Koch eğrisine yaklaşabilirsiniz. Aşağıda bu dönüşümün birim kareye 5 kez uygulanması
sonucu elde edilen kümeleri görmektesiniz.
25
A
F (A)
F 2 (A)
F 3 (A)
F 4 (A)
F 5 (A)
Örnek 1.11 i = 1, 2, 3, 4, 5 için fi : R2 → R2
f1 (x, y) =
f2 (x, y) =
f3 (x, y) =
f4 (x, y) =
f5 (x, y) =
x y
,
3 3
2x + 3 2y + 3
,
6
6
x+3 y
,
3
3
x y+3
,
3
3
x+3 y+3
,
3
3
büzülme dönüşümleri verilsin. Bu büzülme dönüşümlerinin belirlediği yinelemeli fonksiyon
26
sisteminin sabit noktasını belirlemek için başlangıç kümesi olarak {(0, 0)} kümesini alıp
yinelemeli resimlerine bakarsak aşağıdaki kümeler elde edilir ve 7. adımda da sabit nokta
belirgin bir hal almış olur.
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8
A
1 1.2 1.4 1.6
F (A)
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8
F 2 (A)
1 1.2 1.4 1.6
F 3 (A)
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8
F 4 (A)
1 1.2 1.4 1.6
F 5 (A)
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8
F 6 (A)
1 1.2 1.4 1.6
F 7 (A)
27
Örnek 1.12 i = 1, 2, 3, 4, 5 için fi : R2 → R2
√
√ !
3− 5 3− 5
x,
y
f1 (x, y) =
2
2
√
√
√ !
3− 5
5−1 3− 5
f2 (x, y) =
x+
,
y
2
2
2
p
√
√ !
√
√
3− 5
5−3 3− 5
10 − 2 5
f3 (x, y) =
x+
,
y+
2
4
2
4
p
p
√
√
√
√
√ !
3− 5
5−1 3− 5
10 − 2 5
5−2 5
x+
,
y+
+
f4 (x, y) =
2
4
2
4
2
p
√ !
√
√
√
5+1 3− 5
10 − 2 5
3− 5
f5 (x, y) =
x+
,
y+
2
4
2
4
şeklinde tanımlanan büzülme dönüşümlerinin belirlediği yinelemeli fonksiyon sistemini düşünelim.
Başlangıç kümesi olarak yine birim kare alınarak elde edilen ilk 4 adım aşağıdaki gibidir.
A
F (A)
F 2 (A)
F 3 (A)
F 4 (A)
28
Örnek 1.13 (Yaprak) (R2 , dstd ) tam metrik uzayında i = 1, 2, 3, 4 için fi : R2 → R2
16
y
f1 (x, y) =
0,
100
85
4
4
85
16
f2 (x, y) =
x+
y, −
x+
y+
100
100
100
100
10
2
26
23
22
16
f3 (x, y) =
x−
y,
x+
y+
10
100 100
100
10
28
26
24
44
15
x+
y,
x+
y+
f4 (x, y) =
−
100
100 100
100
100
olarak verilsin. Bu sistemin çekicisi
şeklindedir.
Yine başlangıç kümesi olarak birim kare alınarak elde edilen ilk 6 adım
aşağıdaki gibidir. 6. adımda çekici ortaya çıkmaktadır.
A
F (A)
F 2 (A)
F 3 (A)
29
F 4 (A)
F 5 (A)
F 6 (A)
Örnek 1.14 Örnek 1.8’de verilen yinelemeli fonksiyon sisemindeki büzülmelerin büzülme
1
alarak oluşturduğumuz sistemin çekicisi nedir? Başlangıç kümesi olarak
katsayılarını
3
yine
seçtiğimizde ilgili dizinin ilk 6 terimi aşağıdaki gibidir (Tersine, büzülme katsayılarını
büyütseydik, mesela
2
3
alsaydı durum ne olurdu?).
30
A
F (A)
F 2 (A)
F 3 (A)
F 4 (A)
F 5 (A)
Tanım 1.10 (X, d) tam metrik uzay ve C ∈ H(X) olsun. ∀A ∈ H(X) için
w:
H(X)
−→
H(X)
A
7→
w(A) = C
şeklinde tanımlanan dönüşüme condensation dönüşümü denir.
Tanım 1.11 (X, d) tam metrik uzayı verilsin.
{X; f1 , f2 , ..., fn } büzülme katsayısı
0 ≤ s < 1 olan bir yinelemeli fonksiyon sistemi olsun. w : H(X) −→ H(X) herhangi bir condensation dönüşümü olmak üzere {X; w, f1 , f2 , ..., fn } sistemine condensation
dönüşümlü yinelemeli fonksiyon sistemi denir.
31
Teorem 1.5 (X, d) tam metrik uzayı ve w bir condensation dönüşümü olmak üzere
{X; w, f1 , f2 , ..., fn } condensation dönüşümlü bir yinelemeli fonksiyon sistemi verilsin. Bu
durumda
F :
H(X)
−→
H(X)
A
7→
F (A) = w(A) ∪ f1 (A) ∪ · · · ∪ fn (A)
dönüşümü (H(X), h) tam metrik uzayında bir büzülme dönüşümüdür. Ayrıca F dönüşümünün
A = F (A) = w(A) ∪ f1 (A) ∪ · · · ∪ fn (A)
olacak şekilde tek bir A ∈ H(X) sabit noktası vardır ve bu sabit nokta, ∀B ∈ H(X) için
B, F (B), F 2 (B), F 3 (B), ...
dizisinin limiti olarak
A = lim F n (B)
n→∞
şeklinde elde edilir.
Örnek 1.15 Örnek 1.8’de, i = 1, 2, 3 için fi : R2 → R2
x y
,
2 2
x+1 y
,
f2 (x, y) =
2
2
f1 (x, y) =
f3 (x, y) =
√ !
x + (1/2) y + 3
,
2
2
şeklinde tanımlanan büzülme dönüşümlerinin belirlediği yinelemeli fonksiyon sistemini düşünelim.
Condensation dönüşümü olarak ∀A ∈ R2 için
w(A) = C = {(x, y) | x = 0.5, −1 ≤ y ≤ 0}
olarak alalım.
Bu durumda {R2 ; w, f1 , f2 , f3 } yinelemeli fonksiyon sisteminin çekicisi
aşağıdaki gibidir.
32
Bir yinelemeli fonksiyon sistemi verildiği zaman, bu sistemin tek bir çekicisi olduğunu
biliyoruz. Ve bu çekiciyi bulmak için herhangi bir kompakt kümenin iterasyonu ile sistemin sabit noktasını yani ilgili çekiciyi bulmak mümkün. Peki verilen herhangi bir kompakt kümeyi çekici kabul eden bir yinelemeli fonksiyon sistemi bulmak mümkün müdür?
Bu soru hala netlik kazanmamıştır. Fakat verilen bir kompakt kümeye istenildiği kadar
yakın bir kümeyi çekici kabul eden yinelemeli fonksiyon sistemini bulmak mümkün. Şimdi
bununla ilgili aşağıdaki teoremi inceleyelim.
Teorem 1.6 (Kolaj Teoremi) (X, d) bir tam metrik uzay, B ∈ H(X) ve ε > 0 verilsin.
Büzülme katsayısı 0 ≤ s < 1 olan {X; f1 , f2 , ..., fn } yinelemeli fonksiyon sistemini
!
n
[
h B, fn (B) ≤ ε
i=1
olacak şekilde seçelim. Bu durumda, A sistemin çekicisi olmak üzere
h(B, A) ≤
ε
1−s
şeklindedir. Buna denk olarak
!
n
[
1
h(B, A) ≤
h B, fn (B)
1−s
i=1
şeklindedir.
33
Kanıt. (H(X), h) tam metrik uzayında (1.1) eşitliğinde tanımladığımız F fonksiyonuna Yardımcı Teorem 1.1 uygulanırsa arzulanan sonuç elde edilir.
İstenilen bir kümeye yeterince yakın bir çekici elde edebilmek için büzülme sistemdeki
büzülme dönüşümlerinin büzülme katsayılarının yeterince küçük seçilmesi gerekmektedir.
Büzülme katsayıları küçülünce çekici ile hedef küme arasındaki Hausdorff uzaklığı da aza1
ifadesi nedeniyle sıkıntı oluşturabilir.
lacaktır. Ama büzülmeleri çok küçük almak da
1−s
Şimdi bununla ilgili birkaç örnek verelim.
Örnek 1.16 Düzlemde
5
5
0
5
şeklinde verilmiş olan A kümesini (D harfi) bir çekici olarak elde edebilir miyiz? Kolaj
teoreminden bildiğimiz üzere, çekici olarak elde edemeyebilsek bile istediğimiz kadar bu
kompakt kümeye yakın bir yinelemeli fonksiyon sisteminin çekicisi olarak elde edebiliriz.
Aradığımız büzülme dönüşümlerinin (n tane olsun)
A=
n
[
fi (A)
i=1
koşulunu sağlamasını beklemekteyiz. O halde hedeflediğimiz kümeyi bu A kümesinin büzülmüşleriyle
ifade edebilmeliyiz. Büzülme dönüşümlerini, A kümesini aşağıdaki şekilde görülen noktalara uygun oranda büzüp öteleyen dönüşümler olarak alalım.
34
Bu durumda, örneğin birinci büzülme dönüşümü olarak A kümesini
1 1
2
2
x, y
f1 : R → R , f1 (x, y) =
5 5
1
5
oranında büzen
dönüşümünü alalım.
5
5
1
5
5
0
1
5
5
A
f1 (A)
İkinci büzülme dönüşümünü de
2
2
f2 : R → R , f2 (x, y) =
şeklinde alalım. Yani A kümesini
1
5
1 1
x, y + (0, 2)
5 5
büzüp y−ekseni boyunca 2 birim öteleyen dönüşüm
olarak alalım.
5
5
1
5
5
0
1
5
5
A
f2 (A)
Benzer mantıkla diğer büzülme dönüşümlerini de A kümesini aynı oranda büzüp ilgili
noktaya öteleyen dönüşümler olarak alalım.
f2 (x, y)
=
1
5
(x, y) + (0, 2)
f3 (x, y)
=
1
5
(x, y) + (0, 4)
f4 (x, y)
=
1
5
f5 (x, y)
=
1
5
(x, y) + (0, −2)
(x, y) + (0, −4)
35
f6 (x, y)
=
1
5
(x, y) + (4, 0)
f7 (x, y)
=
1
5
(x, y) + 4(cos 22.5, sin 22.5)
f8 (x, y)
=
1
5
(x, y) + 4(cos 45, sin 45)
f9 (x, y)
=
1
5
(x, y) + 4(− cos 67.5, sin 67.5)
f10 (x, y)
=
1
5
f11 (x, y)
=
1
5
(x, y) + 4(cos 22.5, − sin 22.5)
f12 (x, y)
=
1
5
(x, y) + 4(cos 45, − sin 45)
(x, y) + 4(− cos 67.5, − sin 67.5)
5
5
3
1
1
5
5
1
5
5
f3 (A)
f4 (A)
Bu 12 büzülme döüşümünün belirlediği yinelemeli fonksiyon sisteminin çekicisi aradığımız
A kümesine yeterince yakın kompakt bir kümedir. Daha da yakın, daha hassas souçlar elde
etmek için büzülme dönüşümlernin büzülme katsayısı (burada biz
1
5
aldık) biraz daha küçük
seçilerek ve büzülme dönüşümlerinin sayısı arttırılarak sonuca gidilebilir.
5
3
1
1
3
5
f1 (A) ∪ · · · ∪ f12 (A)
Başlangıç kümesi olarak birim kare aldığımızda F fonksiyonunu yineleyerek elde edilen
4. adım aşağıdaki gibidir.
36
4
2
–10
1 2
3
4
5
6
–2
–4
F 4 (A)
ALIŞTIRMALAR
1. Çekicisi dik Sierpinski üçgeni olan yinelemeli fonksiyon sistemini yazınız.
2. Çekicisi Sierpinski halısı olan yinelemeli fonksiyon sistemini yazınız.
3. Teorem 1.5’yi kanıtlayınız.
4. i = 1, 2, 3, 4 için fi : R2 → R2
f1 (x, y)
=
f2 (x, y)
=
f3 (x, y)
=
f4 (x, y)
=
55
0, 100
y
√
√
3
3
1
1
1
x
+
y,
y
−
x
+
4
4
4
5
√4
√
3
1
1
3
1
x − 4 y, 4 x + 4 y + 5
√4
√
√
√
2
2
2
2
1
x
+
y,
y
−
x
+
6
6
6
6
10
şeklinde verilmiş olan büzülme dönüşümlerinin belirlediği yinelemeli fonksiyon sisteminin çekicisini yaklaşık olarak belirleyiniz.
37
5. i = 1, 2, ..., 9 için fi : R2 → R2
f1 (x, y)
=
f2 (x, y)
=
f3 (x, y)
=
f4 (x, y)
=
f5 (x, y)
=
f6 (x, y)
=
f7 (x, y)
=
f8 (x, y)
=
f9 (x, y)
=
x√
, 2+y√2
2+
2
√
y√
x√
2,
+
3
2+ 2 2+ 2
y√
x√
− 3, 2+ 2 + 3
2+ 2
√ y√
x√
2
−
3,
+
3
+
3
2+ 2
2+ 2
√
x√
, 2+y√2 + 6 + 3 2
2+
2
√
√ y√
x√
+
3
+
6
+
3
2,
2
2+ 2
2+ 2
√
x√
√ 2 , y√ + 3
+ 12+9
2+
2
2+
2 2+ 2
√
√ y√
12+9
2
x√
√
+
,
+
3
+
3
2
2+ 2 2+ 2
2+ 2
√
x√
+ 2+6√2 , 1+y√2 + 3 2
1+ 2
şeklinde verilmiş olsun. Bu büzülme dönüşümlerinin belirlediği yinelemeli fonksiyon
sisteminin çekicisini yaklaşık olarak bulunuz.
6. Örnek 1.15’de verilen sistemin çekicisini w(A) = {(x, y) | (x−0.5)2 +(y+0.25)2 =
alarak belirleyiniz.
7. Çekicisi
olan yinelemeli fonksiyon sistemini yazınız.
38
1
16 }