03 Basit Harmonik Hareket

BAS‹T HARMON‹K HAREKET
BAS‹T HARMON‹K HAREKET
ALIfiTIRMALARIN ÇÖZÜMÜ
1. Sal›n›m hareketi yapan bir yay›n periyodu,
b) Cismin periyodu,
m
eflitli¤iyle bulunur. Periyot yaln›zca cisk
min kütlesi ile yay sabitine ba¤l›d›r. Yay; yatay düzT = 2π
T = 2π
lemde, düfley düzlemde veya e¤ik düzlemde
c) Cismin maksimum h›z›,
I. y o l
nerede olursa olsun periyot aç›ya ba¤l› de¤ildir.
T1 = 2 π
m
k
T2 = 2 π
2m
k
Vmax = ω.r
2π
⋅r
T
2.3
=
⋅ 0, 2
0, 6
= 2 m / s olur.
=
m
k
Bu durumda, T2 > T1 = T3 olur.
ESEN YAYINLARI
T3 = 2 π
2.
k
k
m
2
6
= 2.3.
=
= 0, 6 s olur.
k
200 10
k
k
k
m
k
m
fiekil-I
II. y o l
Vmax = ω. r 2 − x 2
2π
⋅ (20)2 − 02
T
2.3
=
⋅ 0, 2
0, 6
= 200 cm / s
= 2 m / s olur.
=
k
fiekil-II
fiekil-I ve fiekil-II de yaylar paralel olduklar›ndan,
d) Cismin maksimum ivmesi,
I. y o l
k eş = k + k + k = 3k
1
k eş = k + k + k + k = 4k olur.
2
Cisimlerin periyotlar›,
T1 = 2 π
m
3k
T2 = 2 π
m
4k
T1
T2
=
4
3
=
a = ω2 .x = (
2π 2
2.3 2
) .x = (
) .0, 2 = 20 m/s2
0, 6
T
II. y o l
a=
eşitlikleri oranlanırsa,
2
3
olur.
4. Cismin konum denklemi,
x( t) = r.sin ωt
π
π
x( t) = 10.sin t olduğundan, r= 10m, ω=
olur.
3
3
3. a) Cisim as›ld›¤›nda yay›n
boyundaki uzama,
k=200N/m
Fyay = G
k.xmak = mg
200.xmak = 2.10
Fyay
20cm
xmak = 0,1m
xmak = 10 cm bulunur.
4
V 2 (2)2
=
=
= 20 m / s2 olur.
0, 2 0, 2
r
G
a) Cismin periyodu,
π
3
2π π
= ⇒ T = 6 s olur.
T 3
ω=
KUVVET VE HAREKET
25
5.
b) Konumun türevi hareketlinin h›z›n› verdi¤inden,
π
x( t) = 10 sin t
3
dx
π
π
3
V=
= 10 ⋅ ⋅ cos t olur. t= ⋅ s de hızı
dt
3
3
2
π
π 3
V=10· ⋅ cos ⋅
3
3 2
π
π
= 10· ⋅ cos
3
2
π
= 10 ⋅ ⋅ 0
3
= 0 olur.
k2=80N/m
II. y o l : amak = –ω2.r = –
fiekil - II
a) fiekil-I’de yaylar seri ba¤l› oldu¤undan, eflde¤er
yay sabiti,
1
1 1
= +
k eş k1 k 2
1
1
1
=
+
k eş 20 80
( 4)
(1)
1 4 +1
=
⇒ k eş = 16 N/m olur.
80
k eş
b) fiekil-II de yaylar paralel ba¤land›¤›ndan,
eflde¤er yay sabiti,
kefl = k1 + k2
= 20 + 80
ESEN YAYINLARI
Burada (–) ifadesi yön belirtmektedir.
1kg
fiekil - I
V = 10 ⋅
= −10 m / s2 olur.
k2
1kg
c) H›z›n türevi hareketlinin ivmesini verdi¤inden,
π
π
⋅ cos ⋅ t
3
3
dV
π π
π
a=
= 10 ⋅ ⋅ (− sin t) olurr.
dt
3 3
3
3
t= ⋅ s de ivmesi
2
3 3
π 3
a=10· ⋅ (− sin ⋅ )
3 3
3 2
π
= 10·( – sin )
2
= 10.(−1)
k1
k1 =20N/m
= 100 N/m olur.
c) fiekil-Ι deki cismin sal›n›m›n periyodu,
T = 2π
m
1 3
= 2.3.
= s bulunur.
k eş
16 2
9
.10 = –10 m/s2
9
6. a) Yaylar seri ba¤l› olduklar›nd) Cismin h›z denkleminde,
I. y o l
π
π
V = 10 ⋅ ⋅ cos t denkleminde,
3
3
π
cos t = 1 olduğ
ğunda, hız maksimum olur.
3
Vmax
π
3
= 10 ⋅ ⋅ 1 = 10 ⋅ = 10 m / s
3
3
dan,
k1 =200N/m
1
1 1 1
= + +
k eş k1 k 2 k 3
k2=300N/m
1
1
1
1
=
+
+
k eş 200 300 600
(3)
(2)
(1)
k3=600N/m
Fyay
1 3 + 2 +1
=
⇒ k eş = 100 N / m
k eş
600
4kg
mg
olur.
II . y o l
V = ω. r 2 − x 2 ifadesinde x=0 olduğunda,
h›z maksimumdur.
Vmax
26
π
3
= ω. r 2 − 0 = ωr = ⋅ 10 = ⋅ 10 = 10 m/s
3
3
KUVVET VE HAREKET
m = 4 kg l›k kütle as›ld›¤›nda yaylar›n boylar›ndaki
toplam uzama,
Fyay = mg
kefl.xmak = mg
100.xmak = 4.10 ⇒ x = 0,4 m olur.
b) Sistemin frekans›,
T = 2π
b) Cismin frekans›,
m
1 k eş
⇒f=
k eş
2π m
m
1 k
⇒f=
k
2π m
T = 2π
1 200
2.3 8
5
= s olur.
6
=
1 100
2.3 4
5
= Hz ollur.
6
=
9. a) Aç›lar eflit oldu-
7. a) P ile L cisim aras›ndaki
¤undan cismin, K
den L ye gelme
süresi T/6, L den
l
O ye gelme süresi T/12, O dan
P’ye gelme süre- N T/6
T/6
K
T/12
T/12
si T/12 P den
P
L
O
N’ye gelme süresi T/6 olur. Cisim K den L ye 4 saniyede geldi¤ine göre,
3kg
sürtünme kuvveti,
P
fsür = k.mP.g
900N/m
L
= 0,4.3.10
=12 N olur.
6kg
yatay
P cisminin maksimum ivmesi,
Fnet = mP.a
fsür = mP.a
12 = 3.a ⇒ a = 4 m/s2 olur.
b) Yaydaki uzaman›n maksimum de¤eri,
k.xmak = (mP + mL).a
900.xmak = (3 + 6).4 ⇒ xmak = 0,04 m olur.
c) Sistemin periyodu,
T = 2π
mP + mL
k
3+6
1
= 2.3
= 6⋅
= 0, 6 s
10
900
V’nin maksimum h›z›,
Vmak = ωr = (
ESEN YAYINLARI
Fmak = mt.a
T
= 4 ⇒ T = 24 s olur.
6
b) Cismin as›ld›¤› ipin boyu,
T = 2 π.
l
g
24 = 2.3
l
10
2π
2.3
)⋅r = (
).0, 04 = 0, 4 m/s bulunu
ur.
T
0, 6
l
⇒ l = 160 m olur.
10
4=
c) Sarkac›n periyodu 24 saniye oldu¤una göre, 24
saniye sonra tekrar K noktas›nda olur. 8 saniye
sonra ise P noktas›na gelir.
8. a) Kuvvet s›f›r iken yay›n serbest boyu
0,2m’dir.
kuvvet(N)
80 •
Kuvvet-
boy grafi¤inde do¤-
10. Sarkac›n K’den O’ya gelme
40 •
süresi 4l
runun e¤imi yay sabitini verir.
tan θ = k =
•
0,2
•
0,4
•
0,6
boy(m)
F
80 − 0
80
=
=
= 200 N/m olur.
l 0, 6 − 0, 2 0, 4
uzunlu¤undaki
sarkac›n periyodunun dörtte
biridir.
t1 =
l
4l
çivi
3l
K
T1
4
=
1
4l
⋅ 2π
g
4
m
t1
•
O
L
t2
Yaydaki uzaman›n 60 cm olmas› için, yaya
‹p çiviye tak›ld›¤›nda sarkac›n boyu 3l olur. Cismin
uygulanan kuvvet,
O’dan L’ye gelme süresi, boyu 3l olan sarkac›n pe-
F = k.x = 200.0,6 = 120 N olmas› gerekir.
riyodunun dörtte biridir.
KUVVET VE HAREKET
27
b) P noktas›ndaki h›z›,
T2
3l
1
t2 =
= ⋅ 2π
olur.
g
4 4
V = ω r2 − x2
2π 2
=
r − x2
T
2.3 2
5 − 42
=
1
2
= 12 25 − 16
= 36 cm / s dir.
t1 ve t2 oranlan›rsa,
t1
t2
=
1
4l
⋅ 2π
g
4
1
3l
⋅ 2π
g
4
=
2
3
olur.
c)
4 = 5.sin
11. a) Asansör sabit h›zla giderken cismin ivmesi yerçekim ivmesidir.
= 2.3
6
=
10
l
g
l=1m
1
10
53 = 4π.t ⇒ t =
s olur.
a› = g + aa = 10 + 6 = 16 m/s2 olur.
Bu durumda cismin periyodu,
l
1 3
= 2.3
= s olur.
a
16 2
c) Asansör yukar› yönde yavafllarken cismin ivmesi,
T1 = 2 π
a› = g – aa = 10 – 6 = 4 m/s2 olur.
Bu durumda cismin periyodu,
12. a)
l
1
= 2.3
= 3 s olur.
a'
4
K
•
O
•
P
•
L
•
4cm
5cm
5cm
Cismin O noktas›ndaki h›z› maksimumdur.
Vmax = ωr
2π
⋅r
T
2.3
1
60 =
.5 ⇒ T = s olur.
2
T
Vmax =
28
53
s olur.
720
m
b) Asansör yukar› yönde yavafllarken cismin ivmesi,
T2 = 2 π
2π
.t
1
2
4
= sin4π.t
5
KUVVET VE HAREKET
ESEN YAYINLARI
T = 2π
x = r.sinωt
13. a) Cismin genli¤i,
x(t) = 10.sinωt
x(t) = r.sinωt oldu¤undan r = 10 m olur.
b) Konum denkleminde t = 4s yazarsak uzan›m,
2π
⋅t
T
2π
= 10.sin
⋅4
12
2π
= 10.sin
3
3
= 10 ⋅
2
= 5 3 m olur.
c) Yolun türevi h›z› verdi¤inden,
x( t) = 10.sin
x( t) = 10.sin ωt
dx
= V( t) = 10.ω cos ωt
dt
2π
2π
= 10 ⋅
⋅ cos
⋅t
T
T
2.3
2π
= 10 ⋅
⋅ cos
⋅4
12
12
2π
= 5.cos
3
⎛ 1⎞
= 5. ⎜ – ⎟
⎝ 2⎠
5
= – m / s olur.
2
15.
d) H›z›n türevi ivmeyi verdi¤inden,
V( t) = 10.ω.cos ωt
dV
= a = 10.ω2 .(− sin ωt)
dt
2π
2π
= −10 ⋅ ( )2 ⋅ sin
⋅t
T
T
2π
2.3 2
) ⋅ sin
= −10 ⋅ (
⋅6
12
12
1
= 10 ⋅ ⋅ sin π
4
5
= − ⋅0
2
= 0 olur.
y=1m
fiekil - I
Cismin denge konumundan y kadar ayr›lm›flsa yaya etkiyen kuvvet, F = m.a = m.(ω2.y) olur.
4 metrenin kütlesi
m ise
1 metrenin kütlesi
m› olur.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
m'4 = m
m
m' = olur.
4
m› kütleli zincire etkiyen kuvvet,
II . y o l
Cisim denge noktas›ndad›r. Denge konumunda
a = 0 d›r.
F = m'.g=m.ω2 .y
m
.g = m.ω2 .1
4
10
10
= ω2 ⇒ ω =
rad/ s olur.
4
2
b) V = 30 m/s olduğundan,
max
2π
⋅r
Vmax =
T
2.3
30 =
⋅ r ⇒ r = 10 m olur.
2
ESEN YAYINLARI
14. a) V(t) = 30 cosπt denklemini daha genel olarak,
V(t) = Vmax.cosωt fleklinde yazabiliriz. ‹ki
denklem karfl›laflt›r›ld›¤›nda, ω = π olur.
ω=π
2π
= π ⇒ T = 2s olur. Frekans ise,
T
1 1
f = = s−1 bulunur.
T 2
fiekil - II
ω=
2π
T
2.3
T
=
=
T=
10
2
10
2
10
2
12
10
s olur.
c) Cismin maksimum h›z›, V(t) = 30.cosπt eflitli¤inde cosπt = 1 oldu¤u durumdaki h›zd›r. Bu h›z
30 m/s dir.
V = 30.cosπt
V = Vmak.cosπt eflitliklerinden,
Vmak = 30 m/s olur.
d) Cismin ivmesi,
amax = ω2 .r
2π 2
) ⋅r
T
2.3 2
=(
) ⋅ 10
2
= 90 m / s2 bulunur.
=(
II . y o l
amak = ω2.r = (3)2.10 = 90 m/s2
KUVVET VE HAREKET
29
BAS‹T HARMON‹K HAREKET
TEST - 1’‹N ÇÖZÜMÜ
1. Sarkac›n periyodu,
4. P noktas›nda cismin h›z› s›f›r, iv-
T = 2π
mesi ise maksi-
l
0, 9 9
= 2.3
= s olur.
g
10 5
–6
•
N
V=0
amax
do¤ru yani –x yönünde olur. Büyüklü¤ü ise,
2π 2
) .r
T
2.3 2 6
= –(
) .
4
100
9 6
=– ⋅
4 100
27
=–
m / s2 olur.
200
a max = –(
CEVAP B
1
f
5. Sarkac›n periyodu, T = =
T/6
–x
0
x
2x
P
O
R
L
T/12
T/12
Boyu ise,
T/6
K-L aras›nda basit harmonik hareket yapan cismin
aral›klar› geçme süresi gösterilmifltir.
T
Bu durumda, L den R ye gelme süresi t1 =
6
T
O’dan P’ye gelme süresi t2 =
oldu¤una göre,
12
ESEN YAYINLARI
K
x(cm)
P den O ya do¤ru h›zland›¤›ndan ivme P den O ya
1 1 5
f = = = s−1 olur.
T 9 9
5
–2x
6
•
P
mum olur. Cisim
Sarkac›n frekans›,
2.
0
•
O
T = 2π
l
g
3 = 2.3
l
10
CEVAP A
1
= 3 s olur.
1
3
1 l
5
=
⇒ l = m olur.
4 10
2
CEVAP C
t1
T 12
= ⋅
= 2 olur.
t2 6 T
CEVAP D
6.
N
•
–8
O
•
0
P
•
8
x(m)
N – P aras›ndaki basit harmonik hareket yapan cismin O noktas›ndaki h›z› maksimumdur. Bu h›z,
Vmak =
2π
2.3
⋅r =
⋅ 8 = 12 m/s olur.
T
4
CEVAP E
3. Cisim O noktas›ndan +x yönünde V
h›z› ile harekete
V
–x
–xo
N
•
O
+xo
•
P
x
Cismin periyodu T = 8s oldu¤una göre 2 saniye
T
sonra
periyotluk hareket yaparak P noktas›na
4
gelir. P noktas›nda cismin h›z› s›f›r olur.
CEVAP C
KUVVET VE HAREKET
2π
t
T
fleklinde tan›mlanm›fl ise,
x( t) = 60.sin
geçiyor.
30
7. CGS birim sisteminde cismin konum denklemi,
x( t) = r.sin ωt olduğundan,
3
r = 60cm = 0,6m = m olur.
5
CEVAP C
8. Sarkac›n K den O ya gelme süresi,
t1 =
=
10. Kütle yay sisteminin periyodu,
T1
T = 2π
4
l
1
⋅ 2π 1
g
4
l1 =1,6m
1
1, 6
⋅ 2.3
4
10
3
= s olur.
5
l2 =1,2m
θ
Cismin maksimum h›z›,
l
=
V=
K
t1
O
m
3
3
= 2.3
= s olur.
k
300 5
L
t2
2π
2.3
⋅r =
⋅ 0, 4 = 4 m / s olur.
T
3
5
CEVAP D
‹p çengele tak›ld›¤›nda sarkac›n boyu,
l›=1,6 – 1,2 = 0,4 m uzunlu¤undaki ip etraf›nda hareket yapar. Cismin O’dan L ye gelme süresi,
t2 =
11. Cismin periyodu,
T2
m
2
3
= 2.3
= s
k
800 10
Cismin maksimum ivmesi,
4
l'
1
= ⋅ 2π
4
g
T = 2π
1
0, 4
⋅ 2.3
4
10
3
= s olur.
10
=
a=(
2π 2
2.3 2
) .r = (
) .0, 6 = 240 m / s2 olur.
T
3
10
CEVAP E
de geçece¤inden sarkac›n periyodu,
3 3
9
T = 2.( t1 + t2 ) = 2.( + ) = s olur.
5 10 5
CEVAP A
ESEN YAYINLARI
Ayn› süre sarkaç L’den O’ya, O’dan K’ye gelirken
12.
9. fiekil-I deki yaylar seri
ba¤land›¤›ndan,
1 1 1
k
= + ⇒ k eş =
2
k eş k k
2m
m
= 2π
T1 = 2 π
k
k
2
fiekil-II deki yaylar
k
k1
k2
k
k
k
k
K
m
K
m
k
k
m
m
fiekil - I
k
fiekil - II
m
paralel ba¤land›¤›ndan,
Yaylar ayn› yaydan kesildi¤inden özdefltir. Boyu
l1= l olan yay›n eflde¤er sabiti k1= k ise, boyu 4l
k eş = k + k = 2k
T2 = 2 π
m
2k
olur. T1 ve T2 taraf tarafa oranlanırsa,
2m
k = 2 olur.
=
T2
m
2π
2k
T1
olan yay› boylar› l olan seri ba¤l› 4 yay›n seri ba¤lanmas› gibi düflünebiliriz. Bu durumda eflde¤er
yay sabiti,
2π
1 1 1 1 1
= + + +
k2 k k k k
CEVAP E
1 4
k
= ⇒ k 2 = olur.
4
k2 k
KUVVET VE HAREKET
31
16.
Yaylar›n periyotlar›,
X
•
K
m
T1 = 2 π
k
m
4m
= 2π
k
k
4
T2 = 2 π
T1
T2
=
–r
•
L
0
•
O
r
•
N
2r
•
P
T
4
T
2 = ⇒ T = 8 s olur.
4
Cismin frekans›,
CEVAP A
14. Bilye basit harmonik hareket yapt›¤›ndan periyodu,
l
40
= 2.3
= 12 s olur.
g
10
CEVAP E
15. Sarkaçlar ayn› noktada bulunduklar›ndan çekim ivmeleri ayn›d›r. Bu durumda sarkaçlar›n periyotlar›,
l1
g
l2
g
taraf tarafa oranlan›rsa,
T1
T2
=
2=
32
l1
l2
l1
l2
⇒
l1
l2
= 4 olur.
KUVVET VE HAREKET
CEVAP D
ESEN YAYINLARI
1 1
= Hz olur.
T 8
T 24
=
= 2 s olur.
12 12
CEVAP B
+x
t=
T2 = 2 π
T/6
gelme süresi,
Cismin O’dan P’ye gelme süresi,
T1 = 2 π
T/12
•
R
Cismin periyodu 24 s oldu¤una göre, L’den O’ya
CEVAP B
–2r
•
K
T = 2π
T/12
T/6
•
P
mifltir.
T
4
f=
T/12
•
O
X cisminin noktalar aras›n› geçme süreleri gösteril-
1
olur.
2
–x
T/12
•
L
T/6
t=
13.
T/6
BAS‹T HARMON‹K HAREKET
TEST - 2’N‹N ÇÖZÜMÜ
1.
4. Yay›n ucuna 5 kg’l›k cisim ba¤land›¤›nda 2 m uzad›¤›na göre, yay sabiti,
l
l
k
Fyay = G
Fyay
k.x = m1.g
K
L
k.2 = 5.10
k = 25 N/m olur.
K sarkac›n›n periyodu,
L sarkac›n›n periyodu,
TL = 2π
TL
=
l
gL
gL
gK
=
m2
T = 2π
k
=
m2 =4kg
k
4
25
= 2.3
TK ve TL taraf tarafa oranlan›rsa,
TK
G
Yay›n ucuna 4 kg l›k cisim ba¤lan›p yatay düzlemde harmonik hareket yaparsa periyodu,
l
gK
TK = 2π
m1 =5kg
12
s olur.
5
CEVAP D
T
1 1
= ⇒ L = 2 olur.
TK
4 2
ESEN YAYINLARI
CEVAP E
2. Sal›n›mlar aras›ndaki faz fark›,
p=
1
6
=
t
T
2
T
⇒ T = 12 s olur.
L cisminin periyodu,
T = 2π
m
k
12 = 2.3
2
k
2=
k
5.
F(N)
6•
A
B
C
4•
k
4kg
2•
2kg
L
2kg
P
• • •
1 2 3
fiekil - I
A
B
C
yatay
x(m)
fiekil - II
Kuvvet-uzan›m grafi¤inin e¤imi yay sabitini verir.
6
= 6 N/m
1
6
kB = = 3 N/m
2
6
k C = = 2 N/m
3
kA =
2
1
N/m olur.
⇒k=
k
2
CEVAP C
A, B ve C yaylar› seri ba¤land›¤›ndan eflde¤er yay
sabiti,
3. V(t) = 3.cos2π.t
1
1
1
1
=
+
+
keş k A kB kC
V(t) = Vmax.cosωt oldu¤undan,
Vmax = 3 m/s, ω = 2π olur.
1
1 1 1
= + +
keş 6 3 2
V = ω.r
3 = 2 π.r
1
1
3 = 2.3.r ⇒ r = m = 100 cm = 50 cm olu
ur.
2
2
1 1+ 2 + 3
=
⇒ keş = 1 N/m olur.
6
keş
CEVAP C
KUVVET VE HAREKET
33
8. Yay›n cisme uygulad›¤› kuvvet,
Kütlenin periyodu,
Fyay = k.x
m
4
= 2.3
= 12 s
k eş
1
T = 2 π.
= 125.0, 5
125
N olur.
=
2
Kütlenin frekans›,
f=
1 1
= Hz (s−1) olur.
T 12
CEVAP D
CEVAP A
9. Dünya yüzeyinde çekim ivmesi,
6. Sarkaç 1 sal›n›m yapt›¤›nda O noktas›ndan 2 defa
g=
geçer. 1 saniyede O noktas›ndan 20 defa geçti¤ine
göre 1 saniyede 10 sal›n›m yapm›flt›r. Cismin fre-
r2
Dünya yüzeyinde r kadar uzakta çekim ivmesi,
kans› f = 10s–1 olur. Periyodu,
g' =
1 1
T= =
s bulunur.
f 10
G.M
G.M
(r + r)2
a
•
L
a
•
O
a
•
N
a
x
•
P
Cismin O noktas›ndaki h›z› maksimumdur.
VO = ω.r
8 3 = ω.2a ⇒ ω =
T' = 2 π
VN = ω. r − x
=
g
olur.
4
l
= 4s
g
l
g'
l
g
4
= 2π
4 3
rad/s olur.
a
= 2.(2 π
Cismin N noktas›ndaki h›z›,
2
4r 2
Yüzeyden r kadar uzakta periyod
ESEN YAYINLARI
•
K
G.M
Dünya’da basit sarkac›n periyodu,
CEVAP B
T = 2π
7.
=
l
)
g
= 2.4
= 8 s olur.
2
CEVAP E
4 3
⋅ (2a)2 − a 2
a
4 3
=
⋅ 3a
a
= 12 m/s olurr.
=
10.
II . y o l
V = Vmak.cosωt
= 8v3.cos
2π T
.
T 12
T/12
•
L
T/12
•
O
T/12
T/6
•
P
T/12
•
R
x
T/6
Noktalar aras› uzakl›klar eflit oldu¤undan cismin
her aral›kta geçen süreler flekilde gösterilmifltir. Bu
durumda cismin
T
olur.
t=
12
3
= 8v3.
2
O’dan
P’ye
gelme
süresi
CEVAP A
= 12 m/s
CEVAP E
KUVVET VE HAREKET
T/6
T/6
π
= 8v3.cos
6
34
X
•
K
11. fiekil-Ι’in periyodu,
m1
T1 = 2 π
k
Cismin periyodu,
2π
⋅l
T
2.3
6=
⋅ 4 ⇒ T = 4 s olur.
T
V=
= 6 s
2
4 π m1
k
= 36 s .......... ∂
Cismin O’dan L’ye gelme süresi,
4 π2m2
= 64 s .......... ∑
k
fiekil-ΙΙ’nin periyodu,
T2 = 2 π
t=
T 4
= = 1 s olur.
4 4
CEVAP B
m2
= 8 s
k
fiekil-ΙΙΙ’ün periyodu
T3 = 2 π
m1 + m2
2k
⎛
⎞
2
2
1 ⎜ 4 π m1 4 π m2 ⎟
T3 =
+
⎜
k
k ⎟⎟
2 ⎜⎝
⎠
13. Cismin ivmesi,
Denklem ∂ ve ∑ deki de¤erler burada yerine yazarsak,
1
2
( 62 + 82 )
ESEN YAYINLARI
T3 =
T3 = 5 2 s olur.
II. y o l
6 2π
=
8
2π
m1
k
m2
k
m
9
= 1 ⇒ m 1 + m 2 = 25 br
16 m 2
6
T
ı
6
T
ı
=
2π
2π
=
a = ω2 .r
2π
= ( )2 .r
T
2.3 2
=(
) .4
6
= 4 m/s2 olur.
N
•
–4
O
•
0
P
•
4
x(m)
CEVAP C
14. Sarkac›n periyodu,
9
k
25
2k
T = 2π
l
g
sarkac›n boyu l›= 2l, çekim ivmesi, g'=
3 2
5
oldu¤unda periyod,
g
2
ı
T = 5 2 s olur.
CEVAP B
12. Cisim O’dan geçerken ipte-
= 2π
ki gerilme kuvveti,
2
m.V
+ mg
r
V2
38 = 2 ⋅
+ 2.10
4
K
V2
18 =
⇒ V = 6 m/s olurr.
2
Tip =
T' = 2 π
α
α
l
l'
g'
2l
g
2
= 2.2 π
= 2T olur.
T
O
V
mg
l
g
CEVAP D
L
Fmk
KUVVET VE HAREKET
35
15.
m
m
Basit sarkac›n periyodu,
Tb = 2π
l
g
Yay sarkac›n›n periyodu,
Ty = 2π
m
k
olur. Yay sarkac›n periyodu ivmeye ba¤l› de¤ildir.
Dolay›s›yla, asansörün hareketine ba¤l› de¤ildir.
Asansör yukar› yönde yavafllarken basit sarkac›n
ivmesi azal›r. Dolay›s›yla periyodu artar.
16. Asansör sabit h›zla hareket
ederken asansörün ivmesi
V=sabit
s›f›rd›r. Sarkac›n periyodu,
T = 2π
l
olur.
g
l
g
ivmesi ile
4
h›zlan›rken cismin ivmesi,
Asansör
a = aa + g =
g
5
+ g = g olur.
4
4
Bu durumda sarkac›n periyodu,
T = 2π
= 2π
= 2π
=
=
1
5
1
5
l'
a
l
4
5
g
4
l
5g
(2 π
l
)
g
⋅ T olur.
CEVAP A
36
KUVVET VE HAREKET
ESEN YAYINLARI
CEVAP B
BAS‹T HARMON‹K HAREKET
TEST - 3’ÜN ÇÖZÜMÜ
1.
4.
T/6
K
•
–2r
2t
T/12
L
•
–r
T/6
T/12
O
•
0
t
T/12
T/6
N
•
r
t
2t
T/12
P
•
2r
k
x
k
P
T/6
L
Cismin periyodu 8 saniye oldu¤undan, 16. saniyefiekil- I
Cisim O dan P ye 2 saniyede, P den O ya 2 sani22. saniyede K noktas›nda bulunur.
T1 = 2 π
T2 = 2 π
2. Cismin havadaki periyodu,
T3 = 2 π
mg
su
m
=
mg − Fk
m
= g−
Vb .ds .g
Vb .dc
= g−
1.g 3
= g
4
4
olur.
ESEN YAYINLARI
Fnet
CEVAP D
9k
T3 = 2 π 4 π
3
= s olur.
5
+
2
k
16k
4 π2
25
4 π2
5
= 2π ⋅
2π
= 5 s olur.
II. y o l
mP
k
mL
k
m
9
= P
16 m L
Fyay = G
k.x = mg
k.0,1 = 1.10
k = 100 N/m
hareketin periyodu,
1
100
mP + mL
3 2π
=
4
2π
3. Yay›n, yay sabiti,
= 2.3
= 4 s....∑
k
= 2π
2
2
l
l
T2 = 2 π
= 2π
=
⋅T =
⋅ 3 = 2 s
a
3
3
3
g
4
olur.
m
k
mL
= ....∏ olur.
k
Denklem ∂ ve ∑ den mP ve mL çekilip denklem
∏ te yerine yazarsak,
Cismin periyodu,
T = 2π
mP
fiekil-ΙΙΙ teki cisimlerin periyodu,
Fk l
ivmesi,
a=
fiekil- III
= 3 s....∂
k
fiekil-ΙΙ’de cismin periyodu,
CEVAP A
olur. Cisim su içinde iken
fiekil- II
fiekil-Ι de cismin periyodu,
yede geri döner. O dan K ye 2 saniyede gelir.
l
= 3s
g
P
L
de O noktas›ndad›r.
T = 2π
k
m P + m L = 25 br
k
0,1m
Fyay
m=1kg
G=m.g
3
T
ı
3
T
ı
=
2π
2π
=
9
k
25
k
3
5
ı
T = 5 s olur.
CEVAP B
CEVAP C
KUVVET VE HAREKET
37
5.
8. Basit harmonik hareket yapan
X
•
K
•
L
•
M
•
N
A
tahta parças› denge konumundan h kadar ayr›l›rsa, tahtaya
etkiyen kuvvet,
•
P
Cismin periyodu 8s oldu¤u için, 0, 8, 16 saniyeler-
l
h
Fmak = m.ω2.h olur.
de cisim hep K noktas›nda bulunur. Noktalar aras›
uzakl›klar eflit oldu¤undan cismin K’den M’ye gelme süresi 2 saniye olur. Cisim 18 saniyede M nok-
su
l parças›n›n kütlesi
m ise,
h parças›n›n kütlesi m› olur.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
m'.l = m.h
m.h
m' =
olur.
l
tas›nda bulunur. 19. saniyede ise N-P aras›nda bulunur. Bu soruyu uzan›m›n zamana ba¤l› fonksiyonu yazarak 19. saniyede yeri tam olarak bulunabilir.
CEVAP E
Cismin m› kütlesinin a¤›rl›¤› maksimum kuvvet eflitlenirse titreflimin frekans›,
m'g = m.ω2 .h
m.h
⋅ g = m.ω2 .h
l
g
= (2 π.f)2
l
g
g
= 4 π2 .f2 ⇒ f2 =
l
4 π2 .l
6. Konumun türevi h›z› verir.
ESEN YAYINLARI
x( t) = 16.sin ωt
dx
= V = 16.ω.cos ωt
dt
2π
2π
= 16 ⋅
⋅ cos
⋅t
T
T
2π
2π π
= 16 ⋅
⋅ cos
⋅
2π
2π 6
π
= 16.cos
6
3
= 16 ⋅
2
= 8 3 m/ s olur.
f=
1 g
olur.
2π l
CEVAP B
9.
k1
k2
k1
CEVAP E
k2
m
2m
fiekil - I
7. Sarkac›n boyu 6m periyodu 6π ise gezegenin
çekim ivmesi,
T = 2π
6π = 2π
3=
=
1
1
+
50 150
k eş =
75
N / m
2
k eş
1
6
a
1
6
a
2m cisminin periyodu,
CEVAP B
KUVVET VE HAREKET
1
1 1
= +
k eş
k1 k 2
1
6
2
9 = ⇒ a = m / s2 olur.
3
a
38
fiekil-Ι deki yaylar›n eflde¤er yay sabiti,
1
l
a
fiekil - II
T1 = 2 π
4m
2m
= 2π
s olur.
75
75
2
12.
fiekil-ΙΙ deki eflde¤er yay sabiti,
kefl2 = k1 + k2
3N/m
6N/m
= 50 + 100
3N/m
= 150 N/m
k1 =6N/m
M cisminin periyodu,
T2 = 2 π
m
olur. T1 ve T2 oranlanırsa,
200
m P
4N/m
4m
2π
T1
75 = 4 6 olur.
=
3
T2
m
2π
200
2m N
fiekil - I
1
k eşP
¤undan cisim K
l
gelse, L den O ya t
O
2t
K
R ye ise 2t sürede
•
L
2t
t
•
O
t
•
P
gelir. Bu durumda periyot, T = 12t olur.
t=
T1 = 2 π
m
k eşP
T1 = 2 π
m
= 10 s olur.
2
R
T 16 4
=
= s olur.
12 12 3
Cisim K’den harekete bafllad›¤›nda, periyodu 16s
oldu¤undan, 16s sonra K de, 24s sonra R de, 28s
4
sonra ise O da olur. O dan L ye t =
saniyede
3
geldi¤inden 30. saniyede K-L aras›nda olur.
CEVAP A
ESEN YAYINLARI
gelir.
1 1
+
6 3
P cisminin periyodu,
den L ye 2t sürede
dan P ye t, P den
=
1
1+ 2
=
⇒ keşP = 2 N / m olur.
k eşP
6
aras›
uzakl›k eflit oldu-
sürede
fiekil - II
P’nin as›l› oldu¤u yaylar seri oldu¤undan,
CEVAP E
10. Noktalar
12N/m
3N/m
fiekil-II de, N cisminin ba¤l› oldu¤u yaylar›n yay
sabiti,
1
k eşN
1
k eşN
1
k eşN
=
1 1 1
+
+
k1 12 4
1
=
6
+
(2)
=
1
12
+
(1)
1
4
(3)
2 + 1+ 3
12
keşN = 2 N/m olur.
N cisminin periyodu,
11. Sarkaçlar›n periyotlar›,
T1 = 2 π
T2 = 2 π
T2 = 2 π
l1
g
= 2π
l2
g
2m
k eşN
2m
2
= 2 .2 π
taraf tarafa oranlan›rsa,
m
2
= 2 .10
T1
T2
f1
=
l1
l2
=
9 3
= olur.
16 4
= 10 2 s olur.
CEVAP D
T2
4
=
= olur.
f2 T1 3
CEVAP C
KUVVET VE HAREKET
39
13.
2M
M
r
X gezegeni
2r
Y gezegeni
Gezegenlerin çekim ivmeleri,
gX =
G.M
=g
r2
G.2M g
gY =
= olur.
(2r)2 2
Sarkaçlar›n periyotlar› ise,
TX = 2 π
l
g
l
olur.
g
2
TX ve TY oranlanırsa,
TY = 2 π
TY
=
1
2
bulunur.
CEVAP A
14. Cisim üzerine uygulanan kuvvet,
F = m.ω2 .r
2π
= m.( )2 .r
T
2.3 2
= 5.(
) .0, 6
3
= 12 N olur..
40
KUVVET VE HAREKET
CEVAP C
ESEN YAYINLARI
TX
1. a) Yaylar paralel ba¤l› oldu¤undan
eflde¤er
yay sabiti,
kefl = k1 + k2 + k3
= 100 + 300 + 500
= 900 N/m olur.
b) Kütle-yay sisteminin
periyodu,
T = 2π
= 2.3
=
k1
3. a) Araban›n periyodu,
k2
T = 2π
4kg
k3
m
5
1
= 2.3
= s olur.
k
720 2
b) Araba t = 0 an›nda denge konumundan geçerse,
t an›nda parçac›¤›n konum denklemi,
yatay
x( t) = r.sin ωt
40
2π
=
⋅ sin( ).t
100
T
2
= sin 4 πt olur..
5
m
k eş
4
900
c) H›z ifadesi,
2
5
= 0, 4 s olur.
2. a)
ESEN YAYINLARI
c) Cisim 40 cm çekildi¤inde yaylarda 40 cm aç›l›r.
k1 yay› üzerindeki maksimum kuvvet,
F1 = k1.x
= 100.0,4
= 40 N olur.
V( t) = ωr.cos 4 πt
9
2π 2
=
⋅ cos 4 π. t
16
1 5
2
24
π
=
⋅ cos
5
4
12 2
=
m / s olur.
5
4.
kuvvet(N)
60
t
X
•
K
t
•
L
•
O
•
P
t
•
R
t
a) Noktalar aras› uzakl›klar eflit oldu¤undan cismin
boy(cm)
30
60
Grafi¤e bak›ld›¤›nda yaya 60 N kuvvet uyguland›¤›nda, yay›n boyu ∆l = 60 – 30 = 30 cm uzuyor.
Bu durumda yay sabiti,
F
60
k=
=
= 200 N / m olur.
∆l 0, 3
b) Yaya 20N kuvvet uygulan›rsa yaydaki uzama,
F = k.x
20 = 200.x ⇒ x = 0,1 m olur.
c) Bu sistemin periyodu,
T = 2π
m
2
3
= 2.3
= s = 0,6 s olur.
k
200 5
K den O ya gelme süresi; O dan R ye gelme süresine eflittir. Bu durumda periyot,
T = 4.tKO = 4.2 = 8s olur.
b) Cismin maksimum h›z›,
V = ω.r =
2π
T
⋅r =
2.3
8
.0, 04 = 3.10−2 m/s olur.
c) Cisme etkiyen maksimum kuvvet,
F = m.a
=m
V2
r
= 800.10−3.
(3.10−2 )2
4.10−2
= 1, 8.10 N olur.
−2
KUVVET VE HAREKET
41
6. a) Sarkac›n havadaki periyodu,
d) Cismin P noktas›ndaki h›z›,
VP = ω. r 2 − x 2
Th = 2 π
2π 2
r − x2
T
2.3
=
(4.10−2 )2 − (2.10−2 )2
8
3 3
=
.10−2 m/s olur.
2
=
= 2.3.
12
s olur.
5
b) Cismin yo¤unlu¤u,
5. Basit harmonik hareket yapan
aras›n› 1 defa geçece¤inden, 1
Fnet = m.a
P•
g−
L•
g−
T saniyede
1 sal›n›m yapar.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Cismin aç›sal h›z›,
2 π 2.π
=
= 6 π olur.
T
1
3
Vb .dsu.g
m
Vb .dsu.g
Tsu = 2 π
= 2.3.
a) Cisim t = 0 an›nda denge konumundan geçiyor-
dr
= V( t) = r.ω.cos ωt
dt
= 4.6 π.cos 6 π.t
= 4.6.3.cos πt
= 72.cos 6 πt olur.
c) ‹vme denklemi,
dV
= a( t) = −r.ω2 .sin ωt
dt
= −4.(6.3)2 .sin 6 πt
= −1296 sin 6 πt olur.
42
KUVVET VE HAREKET
V.dc
=a
1.10
=a
4
5
15
10 − = a ⇒ a = m/s2 olur.
2
2
cismin periyodu,
=
sa, uzan›m denklemi,
b) H›z denklemi,
mg
=a
10 −
ESEN YAYINLARI
T.180 = 60.1
1
T = s
3
= 4.sin6πt olur.
s
mg − Vb .dsu.g = m.a
8m
60 saniyede 180 sal›n›m yaparsa,
x(t) = r.sinωt
Fk
mg − Fk = m.a
riyodu,
ω=
m 200
=
= 4 g/cm3
V 50
içerisinde cismin ivmesi,
dakikada 180 sal›n›m yapm›flt›r. Basit bir orant› ile cismin pe-
1, 6
10
=
d=
8
cismin genli¤i, r = = 4m
2
olur. Bir periyotluk sürede L-P
l
g
l
a
1, 6
15
2
8 3
s olur.
5
c) Maksimum h›zlar,
Vh = ωh.r =
2π
⋅r
Th
Vsu = ωsu.r =
2π
⋅r
Ts
Taraf tarafa bölünürse,
Vh
Vsu
=
=
2 πr Ts
⋅
Th 2 πr
Ts
Th
8 3 5
⋅
5 12
2 3
=
3
2
=
olurr.
3
=
u
7. a)
O
K
20cm
L
9. a) Cismin periyodu,
P
15cm
T = 2π
Cismin maksimum h›z›,
= 2.3
Vm = ω.r
= ω. | KO |
2 π 20
=
⋅
T 100
2.3 1
=
⋅
6 5
1
= m/ s olur.
5
l
g
1, 6
10
m
4
10
= 2, 4 s olur.
= 6⋅
K
L
b) Cismin frekans›,
f=
1
1
5
=
=
= 0, 417 Hz olur.
T 2, 4 12
b) Cismin L noktas›ndaki h›z›,
c) Cismin K den L ye gelifl süresi,
VL = ω. | KO |2 − | OL |2
2π
20 2
15 2
(
) −(
)
100
T 100
=
2.3 1
9
−
6 25 400
=
7
m/s olur.
20
c) L noktas›nda cisme etkiyen kuvvet,
F = m.a
= m.ω2 .x
2π
15
= 4.( )2 ⋅
T
100
3
= N olur.
5
t=
ESEN YAYINLARI
=
T 2, 4
=
= 0, 6 s olur.
4
4
10. a) Tablan›n maksimum h›z›,
K
V
Vm = ω.r
2π
=
⋅r
T
2.3
=
⋅2
3
= 4 m / s olur.
2m
m
D.K
tabla
2m
mV2
r
mg
L
Tablaya uygulanan maksimum tepki kuvveti,
8. a) Cismin periyodu,
T = 2π
m
5
6
= 2.3
=
s
k
100 2 5
frekans›,
f=
2 5
5 –1
= s olur.
6
3
b) ‹vmesi,
a = ω2 .x
= (2 π.f)2 .x
5 2
) .0, 2
3
= 20.0, 2
= (2.3.
mV 2
r
42
= 2.10 + 2 ⋅
2
= 36 N olur.
Tmax = mg +
b) Tablaya uygulanan minimum tepki kuvveti,
mV 2
r
2.(4)2
= 2.10 −
2
= 4 N olur.
Tmin = mg −
= 4 m / s2 olur.
KUVVET VE HAREKET
43
ESEN YAYINLARI
44
KUVVET VE HAREKET