1. Normal Uzaylar

1. Normal Uzaylar
Tümüyle düzenli topolojik uzayın tanımı şöyle idi: X, T1 -uzayı ve K = {x}
ve F kümeleri ayrık kapalı kümeler ise
f (K) ⊂ {0} ve f (F ) ⊂ {1}
özelliğinde f ∈ C(X) var olması idi. Normal topolojik uzay bu kavramı genelleyen bir kavramdır. Bu kavram, X bir topolojik uzay ve Y alt uzay olmak üzere,
f : Y → R sürekli bir fonksiyon ise, f ’nin bir sürekli genişlemesi f : X → R
var mıdır?” sorusunun yanıtı ile de ilişkilidir.
1.1. Uryshon Genişleme Teoremi
1.1
3
Uryshon Genişleme Teoremi
Aşağıdaki tanım ili başlayalım.
Tanım 1.1. X bir topolojik küme olmak üzere A, B ⊂ X kümeleri verilsin.
f (A) ⊂ {0} ve
f (B) ⊂ {1}
özelliğinde sürekli f : X → R fonksiyonu var ise, A ve B kümelerine X
uzayında sürekli fonksiyonlarla ayrılabilir denir.
X bir T1 uzay ise, X’nin tümüyle düzenli olması için gerekli ve yeterli koşul
biri tek elemanlı ve diğeri kapalı olan ayrık kümelerin sürekli fonksiyonlarla
ayrılabilir olması gerektiği açıktır.
X topolojik uzay ve Y alt uzay olsun. R değerli ve Y ’de tanımlı sürekli bir
fonksiyon, X’e sürekli olarak genişleyebilir mi? Bu soru
π : C(X) → C(Y )
π(f ) = f |Y
olarak tanımlanan fonksiyonunun ne zaman örten olduğudur. Bununla ilgili
bir yanıt vermeden önce aşağıdaki tanımı verelim. f ∈ C(X)’nin siırlı olması supx∈X |f (x)| < ∞ olmasıdır. X uzayında tanımlı sürekli fonksiyonların
kümesi Cb (X) ile gösterilir.
Tanım 1.2. X bir topolojik uzay ve Y , X’nin alt uzayı olsun. Sürekli her
f : Y → R fonksiyonun bir sürekli genişlemesi f : X → R var ise Y ’e X’de
C-gömülebilir denir. Benzer biçimde sınırlı ve sürekli her f : Y → R fonksiyonun bir sürekli genişlemesi f : X → R var ise Y ’e X’de Cb -gömülebilir
denir.
Bir yanlış anlaşılması sözkonusu olamdığı zaman ”X’de C-gömülebilir”
ifadesi yerine sadece ”C-gömülebilir” ifadesini kullanabiliriz. Aynı durum Cb gömülebilirlik içinde geçerlidir.
Euclidean R uzayının R \ {0} altuzayı, Cb -gömülebilir değildir. Gerçekten,
x < 0 için f (x) = 1 ve x > 0 için f (x) = 1 olarak tanımlanan sürekli f :
R \ {0} → R fonksiyonunun sürekli genişlamesi yoktur.
C-gömülebilir bir uzayın Cb -gömülebilir olduğu barizdir. Aşağıdaki teorem
bir alt uzayın ne zaman Cb -gömülebilir olduğunun yanıtını verir. Öncelikle bir
X topolojik uzayında ayrık sıfır kümelerin sürekli fonksiyonlar ile ayrılabilir
olduğunu not edelim. Gerçekten f , g ∈ C(X) fonksiyonları Z(f ) ∩ Z(g) = ∅
özelliğinde ise, h = |f |(|f | + |g|)−1 olmak üzere
h(Z(f )) ⊂ {0} ve h(Z(g)) ⊂ {1}
dir.
4
1. Normal Uzaylar
Teorem 1.1. (Uryshon Genişleme Teoremi) X bir topolojik uzay ve Y , X’nin
bir alt uzayı olsun. Aşağıdakiler denktir.
(i) Y , X’nin Cb -gömülebilir alt uzayıdır.
(ii) Y ’de sürekli fonksiyonlarla ayrılabilir kümeler X’de de sürekli fonksiyonlarla ayrılabilir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): olduğu bariz.
(i) =⇒ (ii): Her n ∈ N için
rn = 21 ( 23 )n
olmak üzere olarak R’de (rn ) dizisini f ∈ Cb (Y ) verilsin. f1 = f diyelim.
Genelliği bozmadan
|f1 | ≤ 1 = 3r1
olduğunu varsayabiliriz.
A1 = {y ∈ Y : f1 (y) ≤ −r1 }
ve
A2 = {y ∈ Y : f1 (y) ≥ r1 }
kümeleri Y ’de ayrık sıfır kümeler olduğundan, Y ’de sürekli fonksiyonlarla
ayrılabilirler. Varsayım gereği bu kümeler X’de de tamamıyle ayrılabilir. Dolayısıyla,
g1 (A1 ) ⊂ {−r1 }, g1 (A2 ) ⊂ {r1 } ve |g1 | ≤ r1
olacak biçimde g1 ∈ Cb (X) vardır.
f2 = f1 − g1 |Y
olarak tanımlayalım. |f2 | ≤ 3r2 dir. Bu yöntemi kullanarak tümevarımla Cb (Y )×
Cb (X)’de (fn , gn ) disisini
|fn | ≤ 3rn ,
|gn | ≤ rn
ve
fn+1 = fn − gn |Y
özellikleri sağlayacak biçimde tanımlayabiliriz.
X
g : X → R, g(x) =
gn (x)
n
olarak tanımlayalım. g ∈ Cb (X) dir. Ayrıca verilen her y ∈ Y ve n için
|f1 (y) −
n
X
k=1
olduğundan
n
X
gk (y)| = |f1 (y) −
((fk − fk+1 )(y))| = |fn+1 (y)| ≤ 3rn+1 → 0
k=1
1.1. Uryshon Genişleme Teoremi
5
g(y) = f1 (y) = f (y)
dir. Yani g, f ’nin bir sürekli genişlemesidir.
Bir aly uzayın ne zaman C-gömülebilir olduğunun bir yanıtı ise aşağıdadır.
Teorem 1.2. X bir topolojik uzay ve Y , X’nin Cb -gömülebilir bir alt uzayı
olsun.
(i) Y , C-gömülebilir.
(ii) K, X’nin bir sıfır kümesi ve Y ve K ayrık kümeler ise, bu kümeler
sürekli fonksiyonla ayrılabilir.
Kanıt: (i) =⇒ (ii): f ∈ C(X), K = Z(f ) ve K ∩ Y = ∅ olduğunu varsayalım.
Her s ∈ Y için f (s) 6= 0 dır.
g : Y → R, g(x) =
1
f (x)
fonksiyonu süreklidir. Varsayım gereği g’nin sürekli genişlemesi g : X → R
vardır. h = gf diyelim. h ∈ C(X) ve
h(Y ) ⊂ {1} ve h(K) ⊂ {0}
olduğu barizdir.
(i) =⇒ (ii): g : R → (−1, 1) homeomorfizma olsun. f ∈ C(Y ) verilsin. g ◦ f ∈
Cb (Y ) dir. Varsayım gereği bu fonksiyonun sürekli genişlemesi g ◦ f ∈ C(X)
vardır.
Z = {x ∈ X : |g ◦ f (x)| ≥ 1}
kümesi X’de bir sıfır küme ve Y ’den ayrıktır. Varsayım gereği
h(Y ) ⊂ {1} ve h(Z) ⊂ {0}
özelliğinde h : X → [−1, 1] sürekli fonksiyonu vardır.
g ◦ f h|Y = g ◦ f
olduğu bariz. Her x ∈ X için |g ◦ f h(x)| < 1 (|g ◦ f h(x)| ≥ 1 durumu çelişki
getririr!) olduğundan
g −1 ◦ ((g ◦ f )h) ∈ C(X),
f ’nin sürekli genişlemesidir.
Alıştırmalar
6
1. Normal Uzaylar
1.1. Bir X uzayında A, B ⊂ X kümleri sürekli fonksiyonlar ile ayrılıyor ise, A ve B kümelerinin de sürekli fonksiyonlarla ayrılabilir olduğunu gösteriniz.
1.2. Bir X topolojik uzayında ayrık sıfır kümelerin sürekli fonksiyonlarla ayrılabilir olduğunu
gösteriniz.
1.3. Metrik uzayda kapalı ve ayrık her iki kümenin sürekli fonksiyonlarla ayrılabilir olduğunu
gösteriniz.
1.4. (Tietze Genişleme Teoremi) Bir metrik uzayın kapalı her altuzayının Cb -gömülebilir
olduğunu gösteriniz.
1.5. Bir metrik uzayın kapalı her altuzayının C-gömülebilir olduğunu gösteriniz.
1.6. R Euclidean uzayın kapalı her altuzayının C-gömülebilir olduğunu gösteriniz.
1.7. X bir topolojik uzay ve S ⊂ X, F ⊂ R kapalı kümler olmak üzere, g|S : S → F homeomorfizma olacak biçimde g ∈ C(X) var ise, S’nin C-gömülebilir olduğunu gösteriniz.
1.8. X bir topolojik uzay ve f ∈ C(X) sırsız, yani f 6∈ Cb (X) olsun. Ayrık topolojik N’nin,
X’nin bir alt uzayına homeomorfik olduğunu gösteriniz.
1.9. Bir topolojik uzayda Cb -gömülebilir sıfır kümenin C-gömülebilir olduğunu gösteriniz.
1.10. X topolojik uzay ve Y , X’nin alt uzayı olsun. Y ’deki her sıfır küme X de sıfır küme ise,
Y ’nin Cb -gömülebilir olduğunu gösteriniz.
1.11. Y ⊂ R için aşağıdakilerin denkliğini gösteriniz.
(i) Y , Cb -gömülebilir.
(ii) Y , C-gömülebilir.
(ii) Y kapalıdır.
1.12. X bir topolojik uzay ve Y , X’nin bir sıfır kümesi ve ayrik (discrete) alt uzay olsun.
Aşağıdakilerin denk olduğunu gösteriniz.
(i) Y , Cb -gömülebilir.
(ii) Y ’nin her alt kümesi Y ’de bir sıfır kümedir.