ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Ümit CİĞER
TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2011
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER
Ümit CİĞER
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez …/…/…. Tarihinde aşağıdaki jüri üyeleri tarafından oybirliği /oyçokluğu ile
kabul edilmiştir.
………………………….
Doç. Dr. Fikret KUYUCU
Doç. Dr. Ali ÖZKURT
DANIŞMAN
ÜYE
……………………..……
…………………..…….....................
Yrd. Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL
Enstitü Müdürü
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların
kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere
tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
TOPOLOJİK GENİŞLEMELER VE İDEALLER
Ümit CİĞER
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman : Doç. Dr. Fikret KUYUCU
Yıl : 2011, Sayfa: 49
Jüri
: Doç. Dr. Fikret KUYUCU
Doç. Dr. Ali ÖZKURT
Yrd. Doç. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
Bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve bir topolojik
uzayın iki genişlemesi ne zaman denk olur konuları daima araştırmaya değerdir.
Bir topolojik uzayda bir Ι ideali, Ι nın elemanlarının tümleyenlerinden oluşan
bir filtre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal
topolojik uzay denir. Birçok topoloji problemi araştırmalarda kullanılmıştır ve
hala kullanılmaktadır.
Bu çalışmanın amacı, idealler kullanılarak bir topolojik uzayın
genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve iki genişlemenin denk olması durumu
incelenecektir.
Anahtar Kelimeler: Topoloji, genişleme ve idealler.
I
ABSTRACT
MSc THESIS
TOPOLOGICAL EXTENSİONS AND İDEALS
Ümit CİĞER
ÇUKUROVA UNIVERSITY
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Supervisor :Assoc. Prof. Dr. Fikret KUYUCU
Year: 2011, Pages: 49
Jury
:Assoc. Prof. Dr. Fikret KUYUCU
:Assoc. Prof. Dr. Ali ÖZKURT
:Asst. Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
It is always worth researching the topics which are the relationships
between the extensions of a topological space and the time when two extensions
of a topological space are equal. An Ι ideal in a topological space is a filter that is
made up of the complementary components of Ι . A topological space with its
ideal on it is called an topological space. A great deal of topology problems have
been and are stil used for research.
The aim of this research is to investigate the relationships between the
extensions of a topological space and the state of two extensions being equal by
using ideals.
Key Words: Topology, extensions and ideals.
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın her aşamasında hiçbir zaman yardımlarını ve anlayışını
eksik etmeyen, akademik başarısı ve kişiliğiyle örnek alınacak çok değerli
danışmanım Doç. Dr. Fikret KUYUCU’ ya en derin saygılarımla teşekkürlerimi
sunarım.
Ayrıca bu çalışmanın oluşmasında katkısı bulunan değerli arkadaşım
Caner COŞKUNTUNCEL’ e ve Araştırma Görevlisi Ayşe ÇAYLAK’ a teşekkür
ederim.
İhtiyaç duyduğum her an yardımlarını ve anlayışını hiçbir şekilde eksik
etmeyen değerli hocam Doç. Dr. Ali ÖZKURT’ a teşekkür ederim. Maddi ve
manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan haklarını hiçbir zaman
ödeyemeyeceğim çok değerli babam Hüseyin CİĞER, annem Menekşe CİĞER ve
kız arkadaşım Asuman ALYAPRAK’ a çok teşekkür ederim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
İÇİNDEKİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
1. GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1 Temel Bilgiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Kompakt Genişlemeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Tek Nokta Kompaktlamaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Kuvvet Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2 İdeal Genişlemeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
ÖZGEÇMİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
IV
V
1.GİRİŞ
Ümit CİĞER
1. GİRİŞ
Bir X uzayının bir genişlemesi X i yoğun bir alt uzay olarak içeren bir
uzaydır. Kompaktlamalar, reelkompaktlamalar, H-kapalı genişlemeler gibi çeşitleri
bulunan genişlemeler genel topolojinin temel çalışma alanlarından biridir.
Bir topolojik uzayın genişlemeleri arasındaki ilişkiler ve bir topolojik uzayın
iki genişlemesi ne zaman denk olur konuları daima araştırmaya değerdir.
Bir topolojik uzayda bir I ideali, I nın elemanlarının tümleyenlerinden oluşan
ailenin filtre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal
topolojik uzay denir. Birçok topoloji problemi araştırmalarda kullanılmıştır ve
kullanılmaktadır.
Bu çalışmanın amacı, idealler kullanarak bir topolojik uzayın genişlemeleri
arasındaki ilişkiler ve iki genişlemenin denk olması durumu incelenecektir. Ayrıca
ideal genişlemeleri üzerinde durulacaktır. Bunun için 2. Bölümde bir topolojik
uzayın genişlemeleri, genişlemelerinin kümesi, bu küme üzerindeki sıralama ve bu
sıralamanın özelliklerinden bahsedilmiştir. 3. Bölümde ise bir genişlemenin kuvveti,
ideal genişlemeler ve özellikleri, idealleri kullanarak bazı koşullarda iki
genişlemenin eşdeğer olmasını veren teoremlerle ele alınmıştır.
1
1.GİRİŞ
Ümit CİĞER
2
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Bu bölümde amacımız bir X uzayının genişlemelerini, özel genişlemelerini ve
özelliklerini tanıtmaktır.
Bir X uzayını yoğun bir alt uzay olarak içeren bir Y uzayına X in bir
genişlemesi denir.
Genişlemelerin çalışılmasının sebebi, X ile ilgili olan bir problemi, X in
genişlemesi olan bir Y uzayına aktararak problemi çözülebilir veya çözümü daha
kolay hale getirebilmektir. Böyle Y uzayına X den daha güzel uzay denir. Bu yüzden
genişleme teorisinin önemli amaçlarından biri sabit bir X uzayının güzel
genişlemelerini inşa etmektir. Bunlardan bazıları bir Tychonoff uzayının bütün
kompakt genişlemeleri, bir sıfır boyutlu uzayın sıfır boyutlu genişlemeleridir.
Örneğin; Y = [0,1] ve X = ( 0,1) i R den gelen alt uzay topolojileriyle düşünürsek
Y, X in bir genişlemesi olur.
Diğer bir örnek; Y sonsuz bir küme ve (Y ,τ ts ) uzayını düşünelim. X, Y nin herhangi
bir sonsuz alt kümesi ve X, Y den gelen alt uzay topolojisine sahip ise Y, X in bir
genişlemesidir.
Bu bölümde bütün uzaylar aksi belirtilmedikçe Τ2 - uzay ( Hausdorff
)
kabul
edilecektir.
2.1 Temel Bilgiler
Bu bölümde bir X uzayının iki genişlemesinin denk olması tanımlanacak ve
bu denkliğe bağlı olarak X uzayının genişlemelerinin ailesinin bir küme olduğu
gösterilecektir.
Tanım 2.1.1. X 1 ve X 2 bir küme ise F ( X 1 , X 2 ) = { f : X 1 → X 2 : f bir fonksiyon}
dır. X 1 ve X 2 uzaylarının genişlemeleri sırasıyla Y1 , Y2 ve f ∈ F ( X 1 , X 2 ) olsun.
Eğer,
3
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
F ∈ F (Y1 , Y2 ) ve F X1 = f
olacak şekildeki F ye f fonksiyonunun bir genişlemesi denir.
X 1 ve X 2 bir küme ise C ( X 1 , X 2 ) = { f : X 1 → X 2 : f sürekli bir fonksiyon}
dir.
Tanım 2.1.2. Eğer Y, X in bir genişlemesi ise Y − X uzayına (Y nin alt uzayı olarak)
X in bir kalanı denir.
Lemma 2.1.3. X 1 ve X 2 uzaylarının genişlemeleri sırasıyla Y1 ve Y2 uzayları ve
f ∈ C ( X 1 , X 2 ) olsun. . O zaman
f fonksiyonunun en fazla bir tek F ∈ C (Y1 , Y2 )
genişlemesi vardır.
İspat:
f
fonksiyonun F , G ∈ C (Y1 , Y2 ) gibi iki genişlemesi olsun. O zaman
F X1 = G X1 = f
( X λ )λ∈Λ ⊆ X 1
f ( Xλ ) → f ( y)
dir.
ağı
y ∈ Y1 − X1 olsun. clY1 X 1 = Y1 olduğundan en az bir
vardır
öyle
ki
Xλ → y
olur.
f sürekli
olduğundan
olur. F ve G sürekli olduğundan Y2 : F ( X λ ) → F ( y ) ve
Y2 : G ( X λ ) → G ( y ) olur. O halde,
( X λ ) ⊆ X1
ve F X1 = G X 1
olduğundan her λ ∈ Λ için F ( X λ ) = G ( X λ ) olur. Buradan,
F ( X λ ) = G ( X λ ) → F ( y ) ve F ( X λ ) = G ( X λ ) → G ( y )
ve Y2 , Τ2 -uzay olduğundan limit tek olup F ( y ) = G ( y ) dir. Dolayısıyla her y ∈ Y1
için F ( y ) = G ( y ) olup F = G dir. Sonuç olarak f nin sürekli genişlemesi varsa
tektir.
Lemma 2.1.4. Y, X uzayının bir genişlemesi olsun. O zaman Y ≤ 22
X
dir.
İspat: Her p ∈ Y için O p = {U I X : U , Y de açık ve p ∈ U} olsun. O zaman O p , X
üzerinde bir açık filtredir. Eğer p, q ∈ V ve p ≠ q ise Y de en az bir U, V açık
4
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
kümeleri
vardır
öyle
ki
(U I X ) I (V I X ) = ∅
p ∈U ,
q ∈V
Ümit CİĞER
U IV = ∅
ve
olur.
Buradan,
ise U I X ∈ O p ve V I X ∈ O q olduğundan O p ≠ O q olur.
O zaman p → O p dönüşümü birebir olur. Yani, O p ∈ P ( P ( X ) ) olduğundan,
Φ :Y → P ( P ( X ) ) , Φ ( p ) = O p
fonksiyonu birebir olur. O halde Y ≤ P ( P ( X ) ) = 2 2 dir.
X
Tanım 2.1.5. Y1 ve Y2 uzayları bir X uzayının iki genişlemesi olsun. Eğer,
her x ∈ X için h : Y1 → Y2 h ( x ) = x
olacak şekilde bir h homeomorfizması varsa Y1 ve Y2 denktir denir ve Y1 = X Y2
yazılır.
Tanım 2.1.6. X bir uzay ise X in denk genişlemeleri arasında fark gözetilmez. Bunu,
E ( X ) = {Y : Y , X ' in bir genişlemesi}
olarak gösterirsek Z, X in bir genişlemesi ise Y ≡ X Z olacak şekilde bir Y ∈ E ( X )
vardır. Yani, E ( X ) denklik sınıflarının temsilcilerinden oluşan bir ailedir.
Sonuç 2.1.7. Bir X uzayı için E ( X ) bir kümedir.
Eğer
( X α )α∈Λ
boş olmayan kümelerin herhangi bir ailesi ise bu ailenin
kartezyen çarpımı
∏X
α ∈Λ
şeklinde tanımlanır.
α


=  x : Λ 
→ U X α : x (α ) ∈ X α , α ∈ Λ 

α ∈Λ

∏X
α ∈Λ
yerine çoğu kez
α
Tanım 2.1.8. X bir uzay,
{ X i : i ∈ Ι}
∏X
α
yazılır.
uzaylarının bir kümesi ve her i ∈ Ι için
Fi ⊆ C ( X , X i ) olsun. F = U Fi olsun. Her i ∈ Ι ve her f ∈ Fi için X f = X i ( veya
i∈Ι
X f , X ile homeomorfik ) olsun. Y = ∏ X f çarpım uzayı olsun. O zaman,
f ∈F
5
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
eF : X → Y = ∏ X f , x ∈ X için e F ( x ) = ( f ( x ) ) f ∈F
f ∈F
şeklinde tanımlanan, yani her f ∈ F için π f o eF = f şeklinde olan, fonksiyona
değerlendirme fonksiyonu (F ye göre) denir.
eF : X 
→Y = ∏ X f
f ∈Fi
f
]
↓π
f
Xf
Tanım 2.1.9. F, Tanım 2.1.8 deki gibi olsun. Eğer her A, X de kapalı küme ve p ∉ A
için,
f ( p ) ∉ cl X i f ( A) = cl X f f ( A)
olacak şekilde bir i ∈ Ι ve f ∈ Fi (yani bir f ∈ F ) mevcut ise F ye X in kapalı
kümelerini noktalardan ayırır denir.
Teorem 2.1.11. (Gömme Teoremi) X, { X i : i ∈ Ι} , Fi , F, Y ve eF Tanım 2.1.8 deki
gibi olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır:
i. eF ∈ C ( X , Y ) dir,
ii. Eğer F, X in kapalı kümelerini noktalardan ayırıyorsa eF bir gömmedir.
İspat: i. f ∈ F için π f : ∏ X f → X f , S ,
∏X
f ∈F
f ∈F
f
çarpım topolojisinin bilinen alt
bazı olmak üzere ve U α , X f de açık ise π −f 1 (U α ) ∈ S ⊆ τ çarp olduğundan π f
süreklidir. O zaman her
f ∈F
için π f o eF
sürekli olur. U α ⊆ X f
π −f 1 (U α ) ∈ S olsun.
−1
F
e
(π (U )) =
−1
f
α
(
)(
−1
π
6
f
o e
F
Uα )
için
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
olup π f o eF = f sürekli olduğundan,
(π α o
eF )
Ümit CİĞER
−1
(Uα ) ,
X de açık olacağından
eF−1 (π −f 1 (U α ) ) kümesi X de açık olur. O zaman eF ∈ C ( X , Y ) olur.
ii. eF : X → eF ( X ) fonksiyonun birebir ve açık olduğunu göstermek
yeterlidir. Çünkü (i) den eF süreklidir.
x0 , x1 ∈ X ve x0 ≠ x1 olsun. O zaman A = { x1} , X de kapalı ve x0 ∉ A = { x1} ise F
kapalı kümelerden noktaları ayırdığından f ( x0 ) ∉ cl X f { f ( x1 )} olacak şekilde bir
f ∈F
vardır.
O
f ( x0 ) ≠ f ( x1 )
zaman
dir.
Buradan
eF ( x0 ) = ( f ( x0 ) ) f ∈F ≠ ( f ( x1 ) ) f ∈F eF ( x1 ) olduğundan eF birebirdir.
V kümesi X de açık ve x0 ∈ V olsun. O zaman X − V , X de kapalı ve x0 ∉ ( X − V )
olur. Hipotezden f ( x0 ) ∉ cl X f f ( X − V ) olacak şekilde bir f ∈ F vardır. Biz,
(
)
eF ( x0 ) ∈ eF ( X ) I π −f 1 X f − cl X f f ( X − V ) ⊆ eF (V ) .....(**)
olduğunu gösterebilirsek eF (V ) , eF ( X ) de açık olur. Açık olarak,
π f ( eF ( x0 ) ) = f ( x0 ) ∈ X f − cl X f f ( X − V )
(
eF ( x0 ) ∈ π −f 1 X f − cl X f f ( X − V )
olduğundan
(
eF ( x1 ) ∈ π −f 1 X f − cl X f f ( X − V )
)
)
dir.
Eğer
x1 ∈ X
ve
f ( x1 ) = π f o eF ( x1 ) ∈ X f − cl X f f ( X − V )
ise,
olur. Dolayısıyla f ( x1 ) ∉ cl X f f ( X − V ) olsun. O zaman f ( x1 ) ∉ f ( X − V ) olur.
(
)
Buradan x1 ∉ X − V olup x1 ∈ V olur. O zaman π −f 1 X f − cl X f f ( X − V ) ⊆ eF (V )
olur. Sonuç olarak (**) denklemi sağlanır.
Şimdi E ( X ) üzerinde bir sıralama bağıntısı tanımlayalım.
Tanım 2.1.12. X bir uzay ve Y , Z ∈ E ( X ) olsun. Eğer,
f : Y → Z , f ( x ) = x, ( x ∈ X için )
olacak şekilde sürekli bir f fonksiyonu varsa Y ≥ Z ( veya Z ≤ Y ) yazılır ve Y ye
7
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
Z den projektif olarak daha büyüktür denir.
E ( X ) üzerindeki “ ≤ ” bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır.
Lemma 2.1.13. Bir X uzayı için ( E ( X ) , ≤ ) bir tam üst yarı latistir.
İspat: İlk önce
( E (X), ≤)
in kısmi sıralanmış olduğunu gösterelim. “ ≤ ”
bağıntısının yansıma ve geçişme özelliklerini sağladığı kolayca görülür. Biz ters
simetri özelliğini gösterelim. Bunun için Y , Z ∈ E ( X ) , Y ≤ Z ve Z ≤ Y olsun. O
zaman
sürekli
f : Z → Y , g : Y → Z ve her x ∈ X için f ( x ) = g ( x ) = x olacak şekilde
f
ve g fonksiyonları vardır. Buradan
f o g :Y → Y
sürekli ve
f o g X = Ι X = ΙY X olur. Lemma 2.1.3 den dolayı f o g = ΙY olur. Benzer şekilde
g o f = Ι Z olur. Dolayısıyla g = f −1 ve f bir homeomorfizm olur. O zaman Y ≡ X Z
dir.
Son olarak ∅ ≠ S ⊆ E ( X ) ise SupS= VS nin mevcut olduğunu gösterelim.
∅ ≠ S ⊆ E ( X ) için π S = ∏ Y çarpım uzayı olmak üzere e : X → π S yi her
Y ∈S
Y ∈ S için (π Y o e )( x ) = x olacak şekilde tanımlayalım. Gömme Teoreminden dolayı
e bir gömmedir. Çünkü Y ∈ S için f = ΙY : X → Y , ΙY ( x ) = x için F = {ΙY : Y ∈ S}
ailesi kapalı kümelerden noktaları ayırır. Dolayısıyla x ile e ( x ) i özdeşleştirebiliriz
ve X = e ( X ) olur. O zaman Z = clπ S e ( X ) alırsak Z ∈ E ( X ) olur. Y ∈ S için
πY : π S → Y
izdüşüm fonksiyonu olmak üzere
fY = π Y Z
olsun. O zaman
fY : Z → Y sürekli ve her x ∈ X için fY ( x ) = π Y ( e ( x ) ) = x olur. Böylece her Y ∈ S
için Y ≤ Z olur. W ∈ E ( X ) ve her Y ∈ S için Y ≤ W olsun. Z ≤ W olduğunu
gösterirsek Z=SupS olur. Y ∈ S için Y ≤ W olduğundan her x ∈ X için gY ( x ) = x
olacak şekilde sürekli bir gY : W → Y
fonksiyonu vardır. Şimdi h : W → π S
fonksiyonunu w ∈W ve Y ∈ S için gY ( w ) = π Y ( h ( w ) ) ile tanımlayalım.
8
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
h
W 
→π S
gY
]↓
πY
Y
Her Y ∈ S için π Y o h = gY sürekli olduğundan h süreklidir. Ayrıca her Y ∈ S için
(π Y o h )( x ) = gY ( x ) = π Y o e ( x )
olur. Bu nedenle h X = e X ve h ( x ) = e ( x ) olur. O zaman,
h (W ) = h ( clW X ) ⊆ clπ S e ( x ) = Z
olduğundan Z ≤ W olur. O zaman Z=SupS= VS dir. Dolayısıyla ( E ( X ) , ≤ ) bir tam
üst yarı latistir.
Tanım 2.1.14. Bir X uzayı için ∅ ≠ Q ⊆ E ( X ) olsun. Eğer bir Y ∈ E ( X ) ,Y ∈ Q ve
her Z ∈ Q için Z ≤ Y oluyorsa Y ye Q da bir projektif maksimum denir.
Bu tanımdan hemen belirtelim ki
VQ ≥ Y olup Y ≡ X VQ
Y ≥ VQ
ve
Y ∈Q
olduğundan
olur. Böylece eğer Q bir projektif maksimuma sahip ise
tektir ve V Q ya eşittir.
Aşağıdaki sonuç E ( X ) in projektif maksimumunu belirler.
Lemma 2.1.16. Her X uzayı için V E ( X ) =X dir.
İspat: X ∈ E ( X ) ve Y ∈ E ( X ) ise Ι : X → Y , Ι ( x ) = x sürekli olduğundan Y ≤ X
olur. O zaman X, E ( X ) in projektif maksimumudur.
Tanım 2.1.17. P, homeomorfizmler altında kapalı olan uzayların bir ailesi olsun.
Yani X ∈ P ve X, Y ye homeomorfik ise Y ∈ P dir. Böyle ailelere replete denir.
Biz genelde böyle aileleri topolojik özellikler için göstereceğiz. “ X ∈ P ” ve
“X, P özelliğine sahiptir.” ifadeleri birbirinin yerine kullanılabilecektir. Konunun
başında aksi belirtilmedikçe bütün uzaylar Hausdorff olacak demiştik. O zaman,
9
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
örneğin “P bağlantılılık” olsun dediğimizde bunun anlamı “P bağlantılı Hausdorff
uzayların ailesi “ olur.
Bundan böyle, eğer P bir topolojik özellik hipotezi ise P yi sağlayan ve birden
fazla nokta içeren bir uzayın mevcut olduğunu kabul edeceğiz.
Tanım 2.1.18. Bir X uzayı için P ( X ) = {Y ∈ E ( X ) : Y ∈ P} olsun. P ( X ) , X in Pgenişlemelerinin kümesi denir. Eğer,
her A ⊆ P için π A = ∏ X ∈ P
X ∈A
oluyorsa P ye çarpımsaldır denir. Eğer, X ∈ P ve A, X de kapalı küme ve A ∈ P
oluyorsa P ailesine kalıtsal kapalı denir.
Lemma 2.1.19. X bir uzay ve P de kalıtsal kapalı ve çarpımsal olan topolojik özellik
olsun. Eğer P ( X ) ≠ ∅ ise P ( X ) , E ( X ) in bir tam üst yarı latisidir. Böyle P ( X ) ,
bir projektif maksimuma sahiptir.
İspat: ∅ ≠ S ⊆ P ( X ) olsun. Lemma 2.1.13 den Z = VS , E ( X ) de mevcuttur. O
zaman her Y ∈ S için Y ≤ Z olduğundan Z ∈ P ( X ) olduğunu göstermek yeterlidir.
Lemma 2.1.13 nin ispatından e : X → π S olmak üzere Z = clπ S e ( X ) idi. P
çarpımsal olduğundan π S ∈ P dir. P kalıtsal kapalı olduğundan clπ S [ X ] ∈ P ( X )
olur. ( X ≈ e ( X ) ) . Böylece Z ∈ P ( X ) dir.
Şimdi X üzerindeki sürekli bir fonksiyonun ne zaman E ( X ) in bir elemanı
üzerinde sürekli genişlemeye sahip olacağını araştırmaya başlayalım. Bu araştırma
bu konunun temellerinden birini teşkil eder.
Tanım 2.1.20.
( X ,τ )
bir topolojik uzay olsun. X in kapalı her A alt kümesi ve
x ∉ A için x ∈U , A ⊆ V ve U I V = ∅ olacak şekilde X de U ve V açık kümeleri
varsa ( X ,τ ) ya regüler uzay denir.
10
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
Lemma 2.1.21. Bir X uzayı için Y ∈ E ( X ) , Z bir regüler uzay ve f ∈ C ( X , Z )
olsun. Aşağıdakiler denktir:
i. F X = f olacak şekilde bir F ∈ C (Y , Z ) vardır,
ii. Her y ∈ Y için O y = {W I X : W kümesi Y de açık ve y ∈W } olsun. Her
y ∈ Y için Fy = { A ⊆ Z : Bir U ∈ O y için f (U ) ⊆ A} filtresi yakınsaktır.
İspat: i) ⇒ ii) F mevcut ve y ∈ Y olsun. Fy → F ( y ) olduğunu göstereceğiz. W
kümesi Z de açık ve F ( y ) ∈ W olsun. O zaman F sürekli olduğundan Y de en az bir
U açık kümesi vardır ve y ∈ U ve f (U ) ⊆ W olur. Dolayısıyla,
f U I X   F U I X   W ve U I X  O y
olur. Dolayısıyla U ( F ( y ) ) ⊆ Fy olur.
ii) ⇒ i) Her y ∈ Y için Fy , Z de bir noktaya yakınsasın. Z Hausdorff uzay
olduğundan Fy bir tek noktaya yakınsadığından buna F ( y ) diyelim. O zaman
F : Y → Z bir fonksiyon olur. Eğer x ∈ X ,W kümesi Z de açık ve f ( x ) ∈W ise f
sürekli olduğundan f (U ) ⊆ W olacak şekilde X de bir U açık kümesi ve x ∈U
vardır. V, Y de açık bir küme ve x ∈ V olsun. U = V I X olduğundan U ∈O y ve
W ∈ Fx olur. Böylece Fx → f ( x ) olur. Buradan x ∈ X için f ( x ) = F ( x ) , yani
F X = f olur. F nin sürekli olduğunu göstermek için y ∈ Y , W kümesi Z de açık ve
F ( y ) ∈ W olsun. Z regüler olduğundan F ( y ) ∈V ⊆ clZV ⊆ W olacak şekilde Z de
bir V açık kümesi vardır. Fy → F ( y ) olduğundan y ∈U ve f (U I X ) ⊆ V olacak
şekilde
(F
y
Y
de
bir
U
açık
→ F ( y ) ise U ( F ( y ) ) ⊆ Fy olduğundan V ∈ Fy
).
kümesi
vardır.
p ∈U , T kümesi Z de açık
ve F ( p ) ∈ Τ olsun. O zaman R ⊆ U ve f ( R I X ) ⊆ T olacak şekilde Y de bir
p ∈ R açık kümesi vardır. R I X ≠ ∅ olduğundan ∅ ≠ f ( R I X ) ⊆ T olur. O
zaman,
11
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
f (R I X ) ⊆V
Ümit CİĞER
( f ( R I X ) ⊆ f (U I X ) ⊆ V )
olur. Böylece T I U ≠ ∅ olur. Bu bize F ( p ) ∈ clZV ⊆ W ve F (U ) ⊆ W olduğunu
gösterir. Bu nedenle F süreklidir.
Lemma 2.1.21 de Z nin regüler olması hipotezi kaldırılırsa doğru değildir.
Teorem 2.1.22.( Taimanov Teoremi ) X bir uzay, Y ∈ E ( X ) , Z kompakt bir uzay ve
f ∈ C ( X , Z ) olsun. O zaman F X = f olacak şekilde sürekli bir F : Y → Z
fonksiyonunun, yani f nin Y ye sürekli bir F genişlemesinin olması için gerek ve
yeter koşul Z deki ayrık kapalı her B ve C kümeleri için clY f −1 ( B ) I clY f −1 ( C ) = ∅
olmasıdır.
İspat: " ⇒ " F X = f olacak şekilde sürekli bir F : Y → Z fonksiyonu bulunsun. O
F −1 ( B )
zaman
kümesi
Y
de
kapalı
ve
f −1 ( B ) ⊆ F −1 ( B )
olduğundan
clY f −1 ( B ) ⊆ F −1 ( B ) ve benzer şekilde clY f −1 ( C ) ⊆ F −1 ( C ) olur. B I C = ∅
olduğundan,
clY f −1 ( B ) I clY f −1 ( C ) ⊆ F −1 ( B ) I F −1 ( C ) = F −1 ( B I C ) = ∅
olur. Sonuç olarak clY f −1 ( B ) I clY f −1 ( C ) = ∅ olur.
" ⇐"
Z
deki
kapalı
ayrık
her
B
ve
C
kümeleri
için
clY f −1 ( B ) I clY f −1 ( C ) = ∅ olsun. Lemma 2.1.21 den,
Fy = { A ⊆ Z : Bir U ∈ O y için f (U ) ⊆ A}
kümesinin yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir. Z kompakt olduğundan
∅≠
I cl f (U ) = K
Z
U ∈O y
olur.
K = { p}
şeklindedir. Aksi halde
p, q ∈ K
ve
p ≠ q olsaydı Z kompakt ve Τ2 olduğundan p ∈ W , q ∈V ve clZW I clZ V = ∅
olacak şekilde Z de W, V açık kümeleri vardır. Dolayısıyla hipotezden,
clY f −1 ( clZW ) I clY ( clZV ) = ∅
12
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
olur.
U ∈O y
Her
için
W I f (U ) ≠ ∅
Ümit CİĞER
olduğundan
her
U ∈O y
için
U I f −1 (W ) ≠ ∅ olur. Böylece y ∈ clY f −1 (W ) olur. Benzer şekilde y ∈ clY f −1 (V )
dir. Buradan,
y ∈ clY f −1 (W ) I clY f −1 (V ) ⊆ clY f −1 ( clZW ) I clY ( clZV ) = ∅
çelişkisi elde edilir. Böylece bir p ∈ Z için K = { p} şeklindedir. W kümesi Z de
açık ve p ∈ W olsun. O zaman K ⊆ W , Z − W kompakt ve Z − W ⊆
U ( Z − cl F )
Z
F ∈Fy
olduğundan Fy de öyle bir sonlu S ailesi vardır öyle ki,
Z −W ⊆
U ( Z − cl F ) ⊆ Z − IS
Z
F ∈S
olur. O zaman IS ∈ Fy ve I S ⊆ W olur. Buradan,
W ∈ Fy ise Fy → P
olur. Dolayısıyla Lemma 2.1.21 den istenilen elde edilir.
Lemma 2.1.23. Bir X uzayı için Y ∈ E ( X ) ve Z regüler uzay olsun. g ∈ F (Y , Z ) ve
her y ∈ Y için g
( X U { y}) sürekli ise g süreklidir.
İspat: O y = {W I X : W kümesi Y de açık ve y ∈ W} olsun. Hemen belirtelim ki
O y = {W I X : W kümesi X U { y} de açık ve y ∈ W}
dir.
g
( X U { y})
sürekli
olduğundan Lemma 2.1.21 den
Fy = { A ⊆ Z : Bir U ∈ O y için ( g X )( U ) ⊆ A } → g ( y )
olur. Yine Lemma 2.1.21 in diğer yönünden dolayı g süreklidir.
2.2. Kompakt Genişlemeler
Bu bölümde kompakt genişlemeleri tartışacağız. Burada, eğer verilen bir
uzayın kompaktlamalarının ailesi boş kümeden farklı ise bu ailenin bir projektif
maksimuma sahip olduğunu göstereceğiz ve bu projektif maksimumu inşa edeceğiz.
13
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
Bir X uzayı için K ( X ) = {Y ∈ E ( X ) : Y ∈ K} olsun. Yani K ( X ) , X in
kompakt genişlemelerinin kümesidir.
Tanım 2.2.1. Bir X uzayının kompakt bir genişlemesine X in bir kompaktlaması
denir. K , kompakt uzayların bir sınıfı olsun. O zaman K çarpımsaldır ve kalıtsal
kapalı olduğundan replete dir.
Lemma 2.1.19 dan aşağıdaki sonucu yazabiliriz.
Lemma 2.2.2. Bir X uzayı için K ( X ) ≠ ∅ ise K ( X ) bir tam üst yarı latistir ve bir
projektif maksimuma sahiptir.
Tanım 2.2.3. Bir X uzayı için K ( X ) ≠ ∅ ise K ( X ) in projektif maksimumu β X
ile gösterilir, yani β X = VK ( X ) ve β X e X in Stone-Cech kompaktlaması denir.
Tanım 2.2.4. X bir topolojik uzay olsun. X den R ye bütün sürekli fonksiyonları
C(X) ile X den R ye bütün sürekli, sınırlı fonksiyonların kümesini de C * ( X ) ile
göstereceğiz. A, X in alt kümesi olsun. Eğer f ∈ C ( A ) nın X e sürekli bir
genişlemesi var ise A ya X de C-gömülmüştür denir. Benzer şekilde her f ∈ C * ( A)
nın X e sürekli bir genişlemesi var ise A ya X de C * -gömülmüştür denir.
Tanım 2.2.5. X bir topolojik uzay olsun. X in kapalı her K alt kümesi ve x ∈ X K
için g ( x ) = 0 ve g ( K ) = 1 olacak şekilde g : X → [0,1] sürekli fonksiyonu
bulunabiliyorsa X e tam regüler uzay denir.
X bir topolojik uzay olsun. Kolayca görüleceği gibi, X in kapalı her K alt
kümesi ve x ∈ X K için f ( x ) ∉ clf ( K ) olacak şekilde bir f : X → R sürekli
fonksiyonu var ise X tam regülerdir.
X bir topolojik uzay olsun. Eğer X Hausdorff ve tam regüler ise X e
Tychonoff uzay denir.
14
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
Tanım 2.2.6. ( X ,τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer X de her A, B kapalı kümeleri ve
A I B = ∅ için X de A ⊆ U , B ⊆ V ve U I V = ∅ olacak şekilde U, V açık kümeleri
varsa ( X ,τ ) ya normal uzay denir.
X bir uzay ve K ( X ) ≠ ∅ olsun. Y ∈ K ( X ) ise Y kompakt ve Τ2 -uzay
olduğundan X, Normal ve Τ2 -uzay olur. Dolayısıyla X de Tychonoff uzay olur.
Tersine X Tychonoff uzay ise C * ( X , ¡ ) = F , X in kapalı kümelerinden noktaları
ayırır. O zaman f ∈ F için Ι f =  a f , b f  ve Z = ∏ Ι f olmak üzere Teorem 2.1.11
f ∈F
den dolayı Y = clZ eF ( X ) ∈ K ( X ) olur. Böylece, K ( X ) ≠ ∅ olması için gerek ve
yeter koşul X in Tychonoff olmasıdır.
Şimdi X ve Y Tychonoff uzaylar ve f ∈ C ( X , Y ) ise F X = f olacak
şekilde bir F ∈ C ( β X , β Y ) nin bulunduğunu gösterelim.
Lemma 2.2.7. X ve Y Tychonoff uzaylar ve f ∈ C ( X , Y ) ise F X = f olacak
şekilde bir tek F ∈ C ( β X , β Y ) sürekli genişlemesi vardır.
İspat: [ 0,1] kapalı ve sınırlı aralığını ¡ den gelen alt uzay topolojisiyle düşünelim
ve
C = C ( X , [ 0,1])
olsun.
[ 0,1]C = ∏ [ 0,1]
olmak
f ∈C
üzere
e : X → [0,1]
C
fonksiyonunu x ∈ X için e ( x ) = ( f ( x ) ) f ∈F , yani f ∈ C için e ( x )( f ) = f ( x )
olsun. X, Tychonoff uzay olduğundan Teorem 2.1.11 den dolayı e bir gömmedir.
Kompakt uzayların çarpımı kompakt olduğundan [ 0,1]
C
kompakttır. x ile e ( x ) i
özdeşleştirerek X ile e ( X ) i özdeşleştirebiliriz ve cX = cle ( X ) olsun. O zaman cX,
X in bir kompaktlamasıdır. Benzer bir şekilde D = C (Y , [0,1]) i kullanarak cY yi
inşa edebiliriz. İlk olarak G X = f olacak şekilde bir G ∈ C ( cX , cY ) nin mevcut
olduğunu göstereceğiz. O zaman cX ≡ X β X olduğunu gösterebiliriz. Daha önce
olduğu gibi Y ile e (Y ) yi özdeşleştirebiliriz.
15
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
x X 
→ e ( X ) ⊆ [ 0,1]
C
↓↓
→ e ( Y ) ⊆ [0,1]
Y 
D
f ( x)
O
f : X →Y
zaman

→ e ( f ( x ))
f : e ( X ) → e (Y ) ,
fonksiyonunu
f ( e ( x )) = e ( f ( x ))
fonksiyonu ile özdeşleştirebiliriz.
X
f
↓ ] go f
Y  g
→ [ 0,1]
f * : D → C ’yi g ∈ D için f * ( g ) = g o f olarak tanımlayalım. f ** : [ 0,1] → [0,1]
C
D
yi h ∈ [0,1] için f ** ( h ) = h o f * olarak tanımlayalım.
C


C
 [0,1] = ∏ [0,1] = h : C →

f ∈C

 
U [0,1] : f ∈ C için h ( f ) ∈ [0,1] 

f ∈C
f ** ın sürekli olduğunu göstermek için g ∈ D, π g o f ** ın sürekli olduğunu
göstereceğiz. Burada π g : [ 0,1] → [0,1] g. izdüşüm fonksiyonudur. h ∈ [0,1] olsun.
C
D
O zaman,
(π
g
o f ** ) ( h ) = π g ( f ** ( h ) ) = f ** ( h )( g ) = ( h o f * ) ( g )
= h ( f * ( g )) = h ( g o f ) = π go f ( h)
olur.
[ 0,1]
C
f
→
[0,1]
D
**
↓π
g
Y  g
→ [ 0,1 ]
Böylece π g o f ** = π g o f sürekli ve bu nedenle f ** süreklidir.
16
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
Şimdi de f ** ( e ( X ) ) ⊆ e (Y ) olduğunu gösterelim. x ∈ X ve g ∈ D olsun. O zaman,
f ** ( e ( x ) ) ( g ) = ( e ( x ) o f * ) ( g ) = e ( x ) ( f * ( g ) ) = e ( x )( g o f ) = ( g o f
)( x )
= g ( f ( x ) ) = e ( f ( x ) ) ( g ) ise f ** ( e ( x ) ) = e ( f ( x ) ) ∈ e (Y )
olur. Böylece f ** sürekli olduğundan dolayı
f ** ( cX ) = f ** ( cle ( x ) ) ⊆ clf ** ( e ( x ) ) ⊆ cle (Y ) = cY
olur. G = f ** cX olsun. O zaman G : cX → cY sürekli ve G X = f olur. Şimdi
Y = β X alalım. O zaman Y kompakt olduğundan Y = cY olur. i : X → β X içerme
fonksiyonu; Yani i ( x ) = x olsun. O zaman elde ettiğimiz sonuçtan G X = i olacak
şekilde sürekli bir G : cX → c ( β X ) = β X fonksiyonu vardır. Böylece x ∈ X için
G ( x) = i ( x) = x
olur. O zaman
β X ≤ cX
dir.
β X = V K ( X ) olduğundan
cX ≤ β X dir. Bu nedenle β X ≡ X cX olur. Böylece bu Teoremin içinde elde
ettiğimiz sonuçtan f : X → Y sürekli ise F X = f olacak şekilde sürekli bir
F : β X → β Y fonksiyonu vardır. Lemma 2.1.3 den dolayı F tektir.
Tanım 2.2.8. Eğer X ve Y Tychonoff uzaylar ve f ∈ C ( X , Y ) ise F X = f olacak
şekilde f nin bir tek F : β X → β Y sürekli genişlemesi vardır. Bu genişlemeye f
nin Stone genişlemesi denir ve β f ile gösterilir.
Sonuç 2.2.9. X bir Tychonoff uzay olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır:
i. Eğer K kompakt bir uzay ve
f ∈ C ( X , K ) ise
f
sürekli bir tek
F : β X → K genişlemesine sahiptir,
ii. X, β X e C * - gömülmüştür. Yani her f ∈ C * ( X ) ’ in bir F ∈ C * ( β X )
genişlemesi vardır.
İspat: i. K kompakt ve f ∈ C ( X , K ) ise Lemma 2.2.7 den f nin β f X = f
olacak şekilde bir β f ∈ C ( β X , β K ) genişlemesi vardır. K kompakt olduğundan
β K = K olup β f = F alınırsa ispat biter.
17
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
ii. f ∈ C * ( K ) ve K = cl¡ f ( x ) olsun. O zaman K ⊆ ¡ kapalı ve sınırlı
olduğundan kompakt ve f ∈ C ( x, K ) olur. (i) den dolayı f nin bir F ∈ C * ( β X )
genişlemesi vardır.
Tanım 2.2.10. X ve Y herhangi iki uzay ve f : X → Y ye bir fonksiyon olsun. Eğer
her y ∈ Y için f −1 ({ y}) , X de kompakt ise f ye kompakt fonksiyon denir. Eğer f
kapalı ve kompakt fonksiyon ise f ye perfect fonksiyon denir.
Şimdi iki Tychonoff uzay arasındaki örten, sürekli perfect fonksiyonların
kullanışlı bir karakterizasyonunu vereceğiz.
Lemma 2.2.11. f : X → Y bir perfect fonksiyon olsun. O zaman aşağıdakiler
doğrudur:
i. Eğer A kümesi X de kapalı ise f A perfecttir,
ii. Eğer B ⊆ Y ise f f −1 ( B ) : f −1 ( B ) → B fonksiyonu perfecttir.
İspat: i. A kümesi X de kapalı olsun. C kümesi A da kapalı ise C kümesi X de de
kapalıdır. Buradan
Dolayısıyla
(f
f A
A)( C ) = f ( C ) kümesi Y
( veya f ( A) )
y ∈ Y ise ( f A)
kapalıdır.
−1
da kapalı olur.
({ y}) = A I f ({ y})
−1
ve
A I f −1 ({ y}) f −1 ({ y}) de kapalı ve kompakt olduğundan A I f −1 ({ y}) kompakt
olur. O zaman f A bir kompakt fonksiyon olur. Dolayısıyla f A perfect fonksiyon
olur.
ii. C kümesi X de kapalı, f f −1 ( B ) ( C I f −1 ( B ) ) = f ( C ) I B ve f kapalı
olduğundan f ( C ) I B kümesi B de kapalı olur. Böylece, f f −1 ( B ) : f −1 ( B ) → B
bir kapalı fonksiyondur. Eğer b ∈ B ise,
(f
f −1 ( B ) )
−1
({b}) = f ({b})
−1
kompakttır. O zaman f f −1 ( B ) bir kompakt fonksiyon ve böylece f f −1 ( B )
perfect fonksiyon olur.
18
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
Teorem 2.2.12. X ve Y iki uzay olsun. Eğer f ∈ C ( X , Y ) , S X in yoğun bir alt
kümesi ve f S : S → f ( S ) fonksiyonu perfect ise f ( X − S ) ⊆ Y − f ( S ) dir.
İspat: Kabul edelim ki hipotezler altında f ( X − S ) ⊄ Y − f ( S ) olsun. O zaman
f ( x ) ∈ f ( S ) olacak şekilde bir x ∈ X − S vardır. T = S U { x} olsun. f S bir
kompakt fonksiyon olduğundan f −1
({ f ( x )}) I S = K
kompakt ve böylece T de
kapalıdır. X, Hausdorff olduğundan K ⊆ U ve x ∉ clT U olacak şekilde T de bir U
açık kümesi vardır. S, X in yoğun bir alt kümesi olduğundan clTU U clT ( S − U ) = T
olur. Böylece,
f ( x ) ∈ f ( clT ( S − U ) ) ⊆ cl f ( S ) f ( S − U ) = f ( S − U )
olur. O zaman K − U ≠ ∅ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla f ( X − S ) ⊆ Y − f ( S )
olmalıdır.
Teorem 2.2.13. X ve Y Tychonoff uzaylar olsun ve f : X → Y bir sürekli, örten
fonksiyon olsun. O zaman aşağıdakiler denktir:
i. f perfect fonksiyondur,
ii. α X ∈ K ( X ) , δ Y ∈ K (Y )
ve eğer F X = f
olacak şekilde bir
F ∈ C (α X , δ Y ) mevcut ise F −1 (Y ) = X dir. Yani F (α X − X ) = δ Y − Y dir,
iii. β f −1 (Y ) = X dir. Yani β f ( β X − X ) = β Y − Y dir.
İspat: i) ⇒ ii)
f : X → Y perfect fonksiyon olsun. X kümesi α X de yoğun,
F X = f perfect ve f örten olduğundan Teorem 2.2.12 den dolayı
F (α X − X ) ⊆ δ Y − f ( X ) = δ Y − Y ......... ⊗
olur.
Buradan
F −1 ( Y ) ⊆ X
elde
edilir.
Daima
X ⊆ F −1 ( Y )
olduğundan
F −1 (Y ) = X olur. O zaman F ( X ) = Y olup clδ Y F ( X ) = clδ Y Y = δ Y dir. ⊗ dan
dolayı F (α X − X ) = δ Y − Y dir.
ii) ⇒ iii) F = β f alınırsa ispat biter.
19
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
iii) ⇒ i)
olduğundan ( β f
( β f ) 1 (Y ) = X
−
) 1 ({ y} ) =
−
ve y ∈ Y
olsun.
Ümit CİĞER
O
zaman
( β f ) 1 ({ y} ) ⊆ X
−
f −1 ({ y} ) olur. Böylece f −1 ({ y}) kompakttır. A, X in
kapalı bir alt kümesi olsun. O zaman A = H I X olacak şekilde β X de bir H
kompakt kümesi vardır. Dolayısıyla, f ( A) = f ( A I X ) olur. Fakat
( β f )( H ) = f ( H I X ) I ( β f )( H I X )
dir. Hipotezden dolayı ( β f
)( H − X ) ⊆ β Y − Y
olur. Bu nedenle,
f ( H I X ) = Y I ( β f )( H )
olur. O zaman f ( A) kümesi Y de kapalı ve f perfect fonksiyon olur.
Bu Teoremi
f
nin örten olmadığı durumlar için aşağıdaki şekilde
genelleştirebiliriz.
Sonuç 2.2.14. X ve Y iki Tychonoff uzay olsun. f ∈ C ( X , Y ) ve f ( X ) kümesi Y
de kapalı olsun. Aşağıdakiler denktir:
i. f perfect fonksiyondur,
ii.
α X ∈ K ( X ) , δ Y ∈ K (Y ) ve F X = f
olacak
şekilde
bir
F ∈ C (α X , δ Y ) mevcut ise F −1 (Y ) = X ve F (α X − X ) ⊆ δ Y − Y dir,
iii. β f −1 (Y ) = X ve β f (α X − X ) ⊆ δ Y − Y dir.
İspat: i) ⇒ ii) Lemma 2.2.11 (ii) de β = f ( X ) ⊆ Y alınırsa f : X → f ( X ) bir
perfect sürekli ve örten fonksiyon olur. Ayrıca açık olarak clδ Y f ( X ) , f ( X ) in bir
kompaktlaması ve F ∈ C (α X , clδ Y f ( X ) ) dir. Böylece Teorem 2.2.13 den dolayı,
F −1 ( clδ Y f ( X ) − f ( X ) ) ⊆ α X − X
dir.
f ( X ) , Y de kapalı olduğundan Y I clδ Y f ( X ) = f ( X ) ve bu nedenle
F −1 (Y ) = X olur. O zaman Teorem 2.2.13 den dolayı,
F (α X − X ) = clδ Y f ( X ) − f ( X ) ⊆ δ Y − Y
olur.
20
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
ii) ⇒ iii) F = β f alınırsa açıktır.
iii) ⇒ i) Teorem 2.2.11 in iii ) ⇒ i) nin ispatındaki yöntemi f ( X ) ile Y ve
clβ f f ( X ) ile β Y nin yerlerini değiştirerek kullanırsak ispat biter. ( Burada hemen
belirtelim ki f : X → Y fonksiyonunun kapalı olduğunu gösterebilmek için f ( X )
in Y de kapalı olması hipotezine ihtiyaç vardır. )
Tanım 2.2.15. ( X ,τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer X de kapalı ve ayrık her A, B
alt kümeleri için G ve H açık alt kümeleri
A ⊆ G , B ⊆ H ve G I H = ∅
koşulu sağlanacak şekilde bulunabiliyorsa bu topolojik uzaya bir Τ 4 -uzayı denir.
Lemma 2.2.16. (Urysohn Lemması)
( X ,τ )
nun bir Τ 4 -uzayı olması için gerek ve
yeter koşul ( X ,τ ) da kapalı ve ayrık herhangi iki A ve B alt kümeleri için f ( A) = 0
ve f ( B ) = 1 koşullarını sağlayan bir f : X → [0,1] sürekli fonksiyonu vardır.
Bu kısmı Teorem 2.1.22 de verilen Taimanov Teoreminin önemli ve özel bir
durumunu vererek bitirelim.
Teorem 2.2.17. α X , δ X ∈ K ( X ) olsun. Aşağıdakiler denktir:
i. δ X ≤ α X dir,
ii. Z ( X ) = { f −1 ( 0 ) : f ∈ C ( X , ¡ )} X in sıfır kümelerinin ailesi olmak üzere
Z1 , Z 2 ∈ Z ( X ) ve clδ X Z1 I clδ X Z 2 = ∅ ise clα X Z1 I clα X Z 2 = ∅ olur,
iii.
A
ve
B,
δX
in
ayrık
kapalı
alt
kümeleri
ise
clα X ( A I X ) I clα X ( B I X ) = ∅ olur.
İspat: i) ⇒ ii) δ X ≤ α X ise i : X → δ X inclusion fonksiyonu gömme olup α X e
sürekli bir genişlemesi vardır. O zaman Teorem 2.1.22 den dolayı,
clα X i −1 ( clδ X Z1 ) I clα X i −1 ( clδ X Z 2 ) = ∅
21
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
olur. Açık olarak daima i −1 ( clδ X Z j ) = Z j ( i = 1, 2 ) olduğundan ispat biter.
(A kümesi X de kapalı ise clδ X A − A ⊆ δ X − X dir. O zaman i −1 ( clα X A) = A olur. )
ii) ⇒ iii) Hipotez sağlansın. A ve B, δ X in ayrık kapalı iki alt kümesi olsun.
δX
Normal olduğundan Urysohn Lemmasından dolayı
H IK =∅
olacak
AI X ⊆ H I X, B I X ⊆ K I X
Buradan
H , K ∈ Z (δ X )
şekilde
ve
A ⊆ H,B ⊆ K
vardır.
O
clδ X ( H I X ) I clδ X ( K I X ) = ∅
clα X ( H I X ) I clα X ( K I X ) = ∅
elde
edilir.
ve
zaman
olur.
Dolayısıyla
clα X ( A I X ) I clα X ( B I X ) = ∅ olur.
iii) ⇒ i) Hipotez sağlansın. i : X → δ X içerme gömme fonksiyonu olsun.
Hipotezden dolayı A ve B, δ X in ayrık kapalı alt kümeleri ise,
clα X i −1 ( A) I clα X i −1 ( B ) = clα X ( A I X ) I clα X ( B I X ) = ∅
olur. Teorem 2.1.22 den dolayı δ X ≤ α X olur.
2.3. Tek Nokta Kompaktlamaları
Bu bölümde eğer X, bir yerel kompakt uzay ise K ( X ) ≠ ∅ , K ( X ) in bir
minimuma sahip olduğunu ve K ( X ) in bir tam latis olduğunu göstereceğiz. Ayrıca
X in varsa tek nokta kompaktlamasını inşa edeceğiz.
Tanım 2.3.1. Bir X uzayı için Y − X tek elemandan meydana gelecek şekilde bir
Y ∈ K ( X ) varsa, Y ye X in tek nokta kompaktlaması denir.
Önce tek nokta kompaktlamasının nasıl inşa edildiğini gösterelim.
( X ,τ )
bir topolojik uzay ve bu uzaya ait olmayan bir w noktası, yani w ∉ X
alalım. X * = X U {w} olsun ve τ * ⊆ P ( X * ) ailesi aşağıdaki kümelerden oluşsun.
i. τ ya ait her küme,
ii. X * kümesinin w noktasını içeren alt kümelerinden X * a göre tümleyeni
kompakt olanlar. Yani,
22
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
τ * = {W ⊆ X * : W I X kümesi X de açık ve w ∈ W ise X * − W = X − W kompakt}
olsun.
Teorem 2.3.2. τ * ⊆ P ( X * ) ailesi yukarıdaki gibi tanımlansın. O zaman aşağıdakiler
doğrudur:
i. τ * ailesi X * üzerinde bir topolojidir.
ii. ( X ,τ ) uzayı, ( X * ,τ * ) uzayının alt uzayıdır.
iii. ( X * ,τ * ) uzayı kompakttır.
iv. X kompakt değilse X * içinde yoğundur.
İspat: i. τ * ın X * üzerinde bir topoloji olduğunu gösterelim.
T1 ) ∅ ∈τ ⊆ τ * olduğundan ∅ ∈τ * dır. w ∈ X * ve X * − X * = ∅ kompakt
olduğundan X * ∈τ * dır.
T2 ) U ,V ∈τ * ise U I V ∈τ * olduğunu gösterelim.
U ,V ∈τ ise τ ⊆ τ * ve τ bir topoloji olduğundan U , V ∈τ olur. V ∈τ ve U ∈τ * − τ
ise V ∈τ ve w ∈U olur ki w ∉U I V olur.
X − (U I V ) = ( X − U ) U ( X − V ) = ( X * − U ) U ( X − V ) ⊆ X
X −U = X * −U
ve
kompakt ve X − V , X de kapalı olduğundan X − (U I V ) , X de kapalı olur. O
zaman U I V ∈τ , Dolayısıyla U I V ∈τ * olur. Benzer şekilde U ∈τ ve V ∈τ * − τ
ise U I V ∈τ * olur. U ,V ∈τ * − τ , yani w ∈U ve w ∈ V olsun. O zaman w ∈U I V
ve X * − U , X * − V kompakttır. Dolayısıyla,
(X
*
− U ) U ( X * − V ) = X * − (U I V ) = X − (U I V )
kompakttır. Sonuç olarak U I V ∈τ * dır.
T3 )
Her
{U i : i ∈ Ι} ⊆ τ * için UU i ∈τ *
olduğunu
gösterelim.
Her
i∈Ι
i ∈ Ι için w ∉ U i , yani U i ∈ Ι ise UU i ∈τ ⊆ τ * dır. En az bir i0 ∈ Ι için w ∈U i0 ise
i∈Ι
23
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
w ∈ U U i dir. Bu durumda
i∈Ι
UU
i∈Ι
i
Ümit CİĞER
∈τ * olduğunu göstermek için X * − U U i nin
i∈Ι
kompakt olduğunu göstermeliyiz.
J = {i ∈ Ι : w ∈U i } olsun. O zaman
j ∈ J ise w ∈ U j olup X * − U j = X − U j
kompakttır. K = Ι − J olsun. O zaman k ∈ K ise w ∉ U k olur.


X * − U U i = X − U U i = X − U U k U U U j  = I ( X − U k ) I I ( X − U j )
i∈Ι
i∈Ι
j∈J
j∈J
 i∈Ι
 k∈K
dir. Burada
I ( X −U ) ⊆ X
k
kapalı ve
k ∈K
X * − UU i ⊆ I ( X − U j )
i∈Ι
UU
i
I ( X −U )
j
kompakttır. O zaman
j∈J
olduğundan
X * − UU i
kompakttır.
Sonuç olarak
i∈Ι
j∈J
∈τ * olur.
i∈Ι
ii. ( X ,τ ) uzayının ( X * ,τ * ) uzayının alt uzayı olduğunu gösterelim. Bunun
için, τ = τ X = {U I X : U ∈τ * } olduğunu gösterelim.
U ∈τ * ve w ∈U ise X ∈τ
U I X = U I ( X * − {w} ) = U − {w}
olduğundan
ve
X − (U − {w}) = X − (U I X ) = X − U = X * − U olur. X * − U , kompakt olduğundan
U − {w} = U I X ∈τ ve τ X ⊆ τ dur. τ * ın özelliğinden τ ⊆ τ * dır. Sonuç olarak
τ = τ X olur.
iii. ( X * ,τ * ) ın kompakt olduğunu gösterelim. X * ın herhangi bir açık örtüsü
g = {Gi : i ∈ Ι} olsun. O zaman X * = U Gi ise w ∈ X * olduğundan en az bir i0 ∈ Ι
i∈Ι
vardır öyle ki w ∈ Gi0 ∈τ * olur. O zaman X * − Gi0 = X − Gi0 = K kümesi X de kapalı
ve kompakttır. O halde I da en az sonlu bir J kümesi vardır öyle ki K ⊆ U G j olur.
j∈J
X * = K U ( X * − K ) = K U Gi0 =
U
i∈J U{i0 }
elde edilir ki bu X * uzayının kompakt olduğunu gösterir.
iv. cl X * X = X * olduğunu gösterelim.
24
Gi
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
Eğer X, X * da kapalı olsaydı X * kompakt olduğundan X de kompakt olurdu.
Dolayısıyla X, X * da kapalı değil ve X U {w} = X * olduğundan cl X * X = X * olur.
Her ne kadar X * uzayı bütün koşulları sağlar gibi gözüküyor olsa da X * her
zaman Hausdorff uzayı değildir. Yani X * , bu haliyle X in bir kompaktlaması
olmayabilir. Bunun için bir ek koşula ihtiyaç vardır.
Tanım 2.3.3. X bir topolojik uzay ve her x ∈ X noktası kompakt bir komşuluğa
sahip ise X uzayına yerel kompakt uzay denir.
Örnek 2.3.4. ( ¡,τ s tan d ) yerel kompakttır. Çünkü x ∈ ¡ ise K = [ x − ε , x + ε ] , X in
bir kompakt komşuluğudur.
Teorem
2.3.5.
( Τ3 = Τ 2 +
Regüler ) dir.
İspat:
( X ,τ )
Her
yerel
kompakt
Hausdorff
uzayı
Τ3 − uzayıdır.
yerel kompakt Hausdorff uzayı olsun. X in regüler olduğunu
göstermek yeterlidir. Bunun için X in kapalı komşuluklarından oluşan bir komşuluk
bazına sahip olduğunu göstermek yeterlidir. X yerel kompakt olduğundan x ∈ K
olacak şekilde x in kompakt komşuluğu vardır. X, Τ2 ve K kompakt ise K kümesi X
de kapalıdır. Ayrıca ( K ,τ K ) kompakt ve Τ2 olup aynı zamanda Τ3 uzaydır. x ∈U ,
x in X deki bir komşuluğu olsun. O zaman U I K , x in K deki bir komşuluğu olur.
Dolayısıyla ( K ,τ K ) , Τ3 - uzay olduğundan x ∈ F ⊆ U I K olacak şekilde x in K da
τ K kapalı bir F komşuluğu vardır. O zaman F, X de de x in bir kapalı komşuluğu ve
F ⊆ U olur. Gerçekten F, x in K deki bir komşuluğu ise F = V I K olacak şekilde x
in X de bir V komşuluğu vardır.
X de F kapalı kümesi K kapalı kümesinin alt kümesi olduğundan F, X de kapalı olur.
F = V I K ve V, K x in X de komşulukları olduğundan F, x in X de bir komşuluğu
ve x ∈ F ⊆ U I K ⊆ U ve F, x in X de bir kapalı komşuluğu olur.
25
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
Teorem 2.3.6. Bir yerel kompakt Hausdoff uzayının her noktasında kompakt
komşuluklarından oluşan bir komşuluk bazı vardır.
İspat: ( X ,τ ) yerel kompakt Hausdorff uzayı, x ∈ X , U, x in bir komşuluğu ve
K da x in bir kompakt komşuluğu olsun. Teorem 2.3.5 den x ∈V ⊆ U olacak şekilde
x in kapalı bir V komşuluğu vardır. X, Τ2 - uzay ve K kompakt olduğundan K
kümesi X de kapalı olur. O zaman V I K , x in bir kapalı komşuluğu , V I K , K da
kapalı ve K kompakt olduğundan V I K kompakt olur. Sonuç olarak V I K , x in
kompakt bir komşuluğu ve x ∈V I K ⊆ U olur.
Teorem 2.3.7. Yerel kompakt bir Hausdorff uzayında her açık küme, her kapalı
küme, herhangi açık bir küme ile herhangi bir kapalı kümenin kesişimi de yerel
kompakttır.
Karşıt olarak bir Hausdorff uzayının her yerel kompakt alt kümesi, bir açık
küme ile kapalı kümenin kesişimidir.
İspat: ( X ,τ ) yerel kompakt bir Hausdorff uzayı olsun. Sadece A kümesi X de açık
ise
( A,τ A )
nın yerel kompakt olduğunu gösterelim. x ∈ A ise Teorem 2.3.6 dan
x ∈ K ⊆ A olacak şekilde x in kompakt bir K komşuluğu vardır. O zaman K, A
içinde kompakt olup, A açık olduğundan x in A içinde kompakt bir komşuluğu olur.
Sonuç olarak A yerel kompakttır.
Diğer durumlar benzer şekilde yapılır.
Teorem 2.3.8.
( X ,τ )
bir yerel kompakt Hausdorff uzay ve A, X in bir alt uzayı
olsun. A nın yerel kompakt olması için gerek ve yeter koşul A kümesinin A da açık
olmasıdır.
İspat: " ⇒ " A yerel kompakt ve a ∈ A olsun. a ∈ G ⊆ A olacak şekilde A da bir G
açık kümesi bulmalıyız. A yerel kompakt olduğundan K kümesi A da kompakt ve
a ∈ K olacak şekilde a nın bir K komşuluğu vardır. O zaman a ∈U ⊆ cl AU ⊆ K ⊆ A
olacak şekilde A da bir U açık kümesi vardır. Böylece U = V I A olacak şekilde X
26
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
de bir V açık kümesi vardır. A da A I V kümesi açıktır ve a ∈ A I V dir.
Dolayısıyla A I V ⊆ A olduğunu göstermek yeterli olacaktır. A I V ⊆ A I V dır.
( Çünkü x ∈ A I V ise x ∈ A ve x ∈V dir. X de U kümesi açık ve x ∈U ise x ∈ A
olduğundan A I U ≠ ∅ olur. V, X de açık küme ve x ∈V ise U I V , X de açık ve
x ∈ (U I V ) , x ∈ A olduğundan,
A I (U I V ) = ( A I V ) I U ≠ ∅ ise x ∈ A I V
dir. ) Böylece A I V ⊆ A olduğunu göstermek yeterlidir. A I V I A = U I A = cl AU
dur. cl AU , kompakt olduğundan kapalıdır. O zaman
(
A I V I A kapalıdır.
)
A I V ⊆ A I V I A olduğundan A I V ⊆ A I V I A ⊆ A dır. Dolayısıyla A I V , A
da açık ve a ∈ ( A I V ) ise A, A da açık bir küme olur.
" ⇐ " A, A da açık bir küme olsun. O zaman A = A I U olacak şekilde X de
açık bir U kümesi vardır. X yerel kompakt ve A , X de kapalı ve U kümesi X de açık
olduğundan Teorem 2.3.7 den A ve U yerel kompakt ve yine aynı Teorem 2.3.7 den
dolayı A I U = A yerel kompakttır.
Şimdi bir X uzayının tek nokta kompaktlaması olan X * ın Hausdorff uzay
olması için gerek ve yeter koşulu verebiliriz.
Teorem 2.3.9. Bir ( X ,τ ) uzayının ( X * ,τ * ) tek nokta kompaktlamasının Hausdorff
uzayı olması için gerek ve yeter koşul X in yerel kompakt Hausdorff uzayı olmasıdır.
İspat: " ⇐ " X yerel kompakt Hausdorff uzayı ise X * kompakt uzayınında
Hausdorff uzay olduğunu göstereceğiz. Bunun için X e ait x noktaları ile w ∈ X *
noktasının ayrık komşuluklarının varlığını göstermek yeterlidir. X yerel kompakt
Hausdorff uzay olduğundan her x ∈ X in X de K gibi kompakt bir komşuluğu
vardır. O zaman K kümesi X de kapalıdır. w ∈ X * − K = U ve X * − U = K kompakt
olduğundan τ *
ın tanımından K, x in
X * da da bir komşuluğu olup
K I U = K I ( X * − K ) = ∅ olduğundan X * bir Hausdorff uzayıdır.
27
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
" ⇒ " X * Hausdorff uzayı ise X in yerel kompakt Hausdorff uzay olduğunu
göstereceğiz. X, X * ın alt uzayı olduğundan X Hausdorff uzayıdır. X * kompakt
olduğundan aynı zamanda yerel kompakttır. X ∈τ ⊆ τ * olduğundan X, X * da açık
olup Teorem 2.3.7 den veya Teorem 2.3.8 den X yerel kompakttır.
Teorem 2.3.10. i. Bir X uzayının tek nokta kompaktlaması varsa o zaman X yerel
kompakt, fakat kompakt değildir.
ii. Eğer X uzayı yerel kompakt, fakat kompakt değilse her Z ∈ K ( X ) için
Y ≤ Z olacak şekilde X in bir Y tek nokta kompaktlaması vardır.
İspat: i. Y ∈ K ( X ) , X in tek nokta kompaktlaması ise Teorem 2.3.9 dan X in yerel
kompakt olduğunu biliyoruz. X kompakt olsaydı kapalı olurdu. O zaman
clY X = X = Y ise Y − X = ∅ olurdu. Dolayısıyla X kompakt değildir.
ii. w ∉ X için Y = X U {w} olsun. Y üzerindeki τ * topolojisi
Teorem 2.3.2 deki gibi tanımlanırsa Teorem 2.3.9 dan Y, X in tek nokta
kompaktlaması olur. Z ∈ K ( X ) olsun. f : Z → Y fonksiyonu,
 x, x ∈ X ise

f =

 w, x ∈ Z − X ise 
olarak tanımlayalım. X yerel kompakt olduğundan X, Z de açık bir kümedir. O
zaman X, Y de açık bir küme ve f X = Ι X olduğundan f , her x ∈ X de süreklidir.
z ∈ Z − X için W, Y de açık küme ve f ( z ) ∈ W olsun. O zaman f ( z ) = w ∈W
olduğundan X-W kompakttır. O zaman Z − ( X − W ) = T , Z de açık küme ve
z ∈ Z − X ⊆ T olur. Sonuç olarak f (T ) ⊆ W dir. Böylece f sürekli ve Y ≤ Z olur.
Sonuç 2.3.11. Her yerel kompakt uzay Tychonoff uzaydır.
İspat: X yerel kompakt ise X in tek nokta kompaktlaması X * mevcuttur. Yani,
X * ∈ K ( X ) dir. O zaman X Tychonoff uzaydır.
28
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
( A, ≤ )
bir
üst
yarı
tam
latis
Ümit CİĞER
ΛA = ∅
ve
C = {c ∈ A : Her b ∈ B için c ≤ b}
olsun. 0 ∈ C olup C ≠ ∅
ΛB = d
b ∈ B için C ≤ b
olduğunu gösterelim.
∅≠B⊆A
olsun.
ve VC = d
olduğundan
ve
vardır.
d = VC ≤ b
dir.
Dolayısıyla d ≤ B dir. e ≤ B olsun. O zaman e ∈ C ise e ≤ VC = d dir. Dolayısıyla
d = ΛB ve A nın tam latis olduğunu gösterir.
Teorem 2.3.12. Kompakt olamayan bir X uzayı için aşağıdakiler denktir:
i. K ( X ) bir tam latisdir,
ii. X yerel kompakttır,
iii. X in tek nokta kompaktlaması vardır,
iv. X, bazı kompaktlamalarında açıktır.
İspat: ii) ⇒ iii) Teorem 2.3.9 dan açıktır.
ii) ⇔ iii) ⇔ iv) Teorem 2.3.9 dan ve Teorem 2.3.10 dan açıktır.
ii) ⇒ i) X yerel kompakt olsun. Teorem 2.3.10 i) şıkkından X in bir Y tek
nokta
kompaktlaması
vardır
ve
her
Z ∈K( X )
için
Y ≤Z
dir.
Yani
Y = ∧ K ( X ) = min K ( X ) dir. Bir minimum elemanlı bir üst yarı latis olduğundan
K ( X ) tam latistir.
i) ⇒ iii) K ( X ) tam latis olsun. O zaman Z = ∧K ( X ) vardır. X kompakt
olmadığından X ≠ Z ve Z − X ≠ ∅ dir. Yani, Z − X ≥ 1 dir. Z − X ≤ 1 olduğunu
gösterelim.
p, q ∈ Z − X ve r ∉ Z
fonksiyonu z ≠ p, q ise
için Y = {Z − { p, q}} U {r} olsun.
f :Z →Y
f ( z ) = z ve f ( p ) = f ( q ) = r olarak tanımlansın. Y
üzerinde f tarafından doğrulan τ f bölüm topolojisini,
τ f = {S ⊆ Y : f −1 ( S ) , Z de açık}
alalım. Yani τ f , f yi sürekli yapan en küçük topolojisidir. O zaman
{ p, q}
kompakt olduğundan Y nin Hausdorff uzay ve f Z − { p, q} nin bir homeomorfizm
olduğu kolayca gösterilebilir. Ayrıca
{ p, q} I X = ∅
29
olduğundan X, Y nin alt
2. TOPOLOJİK UZAYLARIN GENİŞLEMELERİ
Ümit CİĞER
uzayıdır. X, Z de yoğun, f sürekli ve f ( X ) = X olduğundan X, Y de yoğun olur. Z
kompakt olduğundan Y = f ( Z ) kompakttır. O zaman Y, X in bir kompaktlaması ve
Y ≤Z
olur. Fakat
Z = ΛK ( X ) olduğundan daima
g :Y → Z, g X = ΙX
Z ≤Y
dir. O zaman
olacak şekilde bir g fonksiyonu vardır. Dolayısıyla
g o f : Z → Z fonksiyonu sürekli ve g o f X = Ι X olduğundan g o f = Ι Z olur. O
zaman,
p = ( g o f )( p ) = ( g o f
)( q ) = q
dolayısıyla p = q olduğundan Z − X ≤ 1
olur. Dolayısıyla Z − X = 1 dir. Sonuç olarak X in tek nokta kompaktlaması vardır.
Teorem 2.3.13. Kompakt olmayan, yerel kompakt X uzayının tek nokta
kompaktlaması denktir.
İspat: Z, X in tek nokta kompaktlaması ve Y = ∧ K ( X ) olsun. Teorem 2.3.12. den
mevcut olup f : Z 
→ Y , f X = Ι X olacak şekilde sürekli bir f fonksiyonu vardır.
Y ve Z kompakt ve sürekli olduğundan f ve f X perfect olur. Teorem 2.3.8. den
f ( Z − X ) ⊆ Y − f ( X ) dir. X, Z de ve Y de yoğun ve f ( X ) = X olduğundan
f ( Z − X ) = Y − X olur. Dolayısıyla Y − X = 1 olur. Buradan f fonksiyonu birebir,
örten, sürekli ve kapalı olur. Böylece f bir homeomorfizmadır. Sonuç olarak
Z ≡ X Y olur. Yani Y = Z dir.
30
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Bu bölümde idealler yoluyla bazı genişleme problemleri için çalışacağız.
Topolojik uzayların genişlemelerinin kuvvet sistemlerini tanıtacağız. Bir Tychonoff
uzayın denk iki kompaktlamasının kuvvet sistemlerinin de eşit olduğunu
göstereceğiz.
Amacımız bir Τ0 -uzayının bir genişlemesini ideal genişlemesi yoluyla
tanımlayacağız. Her bir genişlemenin uygun bir ideal genişlemesine denk olduğunu
göstereceğiz.
3.1. Kuvvet Sistemleri
Tanım 3.1.1. P ( X ) , X in kuvvet kümesi olmak üzere,
(.)c : P ( X ) → P ( X ) ,
A → Ac
fonksiyonu,
i. ∅ = ∅ c dir,
ii. Her A ∈ P ( X ) için A ⊆ Ac dir,
iii. Her A, B ∈ P ( X ) için ( A U B ) = Ac U B c dir,
c
iv. A ∈ P ( X ) ise ( Ac ) = Ac dir.
c
özelliklerini sağlıyorsa bu fonksiyona Kuratowski kapanış operatörü denir.
{
τ c = U ∈ A∈ P ( X ) : X −U = ( X −U )
c
}⊆ P(X )
ailesi, ( .) Kuratowski kapanış operatörü ile üretilen topolojidir.
c
Tanım 3.1.2. I, bir X kümesinin alt kümelerinin boştan farklı bir ailesi olsun. I ailesi,
i. A ∈ Ι ve B ⊆ A ise B ∈ Ι ,
ii. A ∈ Ι ve B ∈ Ι ise A U B ∈ Ι dir.
koşullarını sağlıyorsa, bu aileye X üzerinde bir ideal denir.
Tanıma göre I bir ideal ise ∅ ∈ Ι olduğu açıktır.
31
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
Tanım 3.1.3. ( X ,τ ) bir topolojik uzay ve x ∈ X ise,
Ι X ( x ) = { A ⊆ X : x ∉ cl X A = A}
kümesi X üzerinde bir idealdir. Bu ideale X üzerindeki bir serbest ideal denir. Şimdi
Ι X ( x ) in bir ideal olduğunu gösterelim.
i. B ∈ Ι X ( x ) ve A ⊆ B olsun. O zaman, x ∉ cl X B ise x ∉ cl X A dir. Böylece
A ∈ Ι X ( x ) dir.
ii.
A, B ∈ Ι X ( x )
olsun.
O
x ∉ cl X A
zaman,
ve
x ∉ cl X B
ise
x ∉ cl X A U cl X B = cl X ( A U B ) dır. Dolayısıyla A U B ∈ Ι X ( x ) olur.
Tanım 3.1.4. ( X ,τ ) bir topolojik uzay olsun. Eğer her x, y ∈ X
( x ≠ y)
için
(x ∈G ∧ y ∉G)∨ (x ∉G ∧ y ∈G)
olacak şekilde bir G ∈τ bulunabiliyorsa bu uzaya bir Τ0 - uzayı veya Kolmogrof
uzayı denir.
Lemma 3.1.5. Bir
( X ,τ )
uzayının Τ0 - uzayı olması için gerek ve yeter koşul her
x, y ∈ X ve x ≠ y için Ι X ( x ) ≠ Ι X ( y ) olmasıdır.
İspat: " ⇒ " X, Τ0 - uzayı x, y ∈ X ve x ≠ y olsun. O zaman X, Τ0 - uzayı
olduğundan
( x ∈ G ∧ y ∉ G ) ya da ( x ∉ G ∧ y ∈ G )
olacak şekilde X de bir G açık
kümesi vardır. Dolayısıyla x ∉ cl X { y} ya da y ∉ cl X { x} dir. y ∉ cl X { y} olduğunu
kabul edelim. O zaman
{ y} ∉ Ι X ( y )
{ y} ∈ Ι X ( x )
olur. Aynı zamanda y ∈ cl X { y} olduğundan
olur. Sonuç olarak Ι X ( x ) ≠ Ι X ( y ) olur.
" ⇐ " Her x, y ∈ X ve x ≠ y için Ι X ( x ) ≠ Ι X ( y ) dir. O zaman A ∈ Ι X ( x ) ve
A ∉ Ι X ( y ) olacak şekilde bir A ⊆ X olduğunu kabul edelim. Dolayısıyla x ∉ cl X A
32
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
ve y ∈ cl X A dır. Böylece x ∈ X − cl X A ve y ∉ X − cl X A olur. X − cl X A açık
olduğundan X, Τ0 - uzayı olur.
Tanım 3.1.6. Bir
( X ,τ )
uzayındaki bir I ideali, eğer A∈ Ι olduğunda cl X A∈ Ι
koşulunu sağlıyorsa I ya bir c- ideali denir.
Sonuç 3.1.7. Her serbest ideal bir c - idealdir.
İspat: I, ( X ,τ ) da bir serbest ideal olsun. O zaman bir x ∈ X için Ι=Ι X ( x ) dir. A∈ Ι
ise x ∉ cl X A olup x ∉ cl X ( cl X A) = cl X A olur. Böylece cl X A∈ Ι dır.
( A∈ Ι ise x ∉ cl X A = A ise x ∉ A = A olduğundan A ∈ Ι dır. )
Tanım 3.1.8. Y, X in bir genişlemesi olsun. y ∈ Y için,
S ( y , Y ) = { A ⊆ X : y ∉ clY A} = { A ⊆ X : A ∈ ΙY ( y )}
şeklinde tanımlanan kümeye y ∈ Y nin kuvveti denir.
O zaman S ( y , Y ) , X üzerinde bir c - idealdir. Çünkü A ⊆ X
ise
clY A I X = cl X A olduğundan cl X A ⊆ clY A olup clY ( cl X A) ⊆ clY A olur. Dolayısıyla
clY ( cl X A) = clY A olur. O zaman y ∉ clY A ise y ∉ clY ( cl X A) olur. Yani, A ∈ S ( y , Y )
ise cl X A ∈ S ( y, Y ) olur.
Y nin kuvvet sistemlerinin kümesini Xˆ = {S ( y , Y ) : y ∈ Y } ile göstereceğiz.
α X = Y ∈ K ( X ) ve y ∈ α X ise S ( y, α X ) = { A ⊆ X : y ∉ clα X A} = { A ⊆ X : A ∈ Ια X ( y )}
Lemma 3.1.9. Y, X in bir genişlemesi olsun. O zaman her x ∈ X
S ( x, Y ) = Ι X ( x ) dir.
İspat: S ( x, Y ) = { A ⊆ X : x ∉ clY A} = { A ⊆ X : x ∉ clY A I X }
= { A ⊆ X : x ∉ cl X A} = Ι X ( x )
olur. Dolayısıyla S ( x, Y ) = Ι X ( x ) dir.
33
için
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
Teorem 3.1.10. Bir topolojik uzayın iki denk genişlemesinin kuvvet sistemleri
özdeştir.
İspat: Y1 , Y2
bir X uzayının iki denk genişlemesi ise
¶
X1 = ¶
X2
olduğunu
göstermeliyiz. Burada,
¶
X1 = {S ( y1 , Y1 ) : y1 ∈ Y1} ve ¶
X 2 = {S ( y2 , Y2 ) : y2 ∈ Y2 }
dir. Y1 ve Y2 , X in iki denk genişlemesi ise f : Y1 → Y2 , f ( x ) = x olacak şekilde bir
homeomorfizma vardır. O zaman ¶
X1 = ¶
X 2 olduğunu göstermek için y1 ∈ Y1 için
S ( y1 , Y1 ) = S ( f ( y1 ) , Y2 ) olduğunu göstermek yeterlidir.
f
homeomorfizma ve
A ⊆ X olduğundan
A ∈ S ( y1 , Y1 ) ⇔ y1 ∉ clY1 A ⇔ f ( y1 ) ∉ clY2 f ( A) = clY2 A
⇔ A ∈ S ( f ( y1 ) , Y2 )
X1 = ¶
X 2 olur.
olur. Sonuç olarak ¶
Teorem 3.1.11. Bir X Tychonoff uzayının herhangi bir α X kompaktlamasının farklı
noktalarının kuvvetleri de farklıdır.
İspat: y1 , y2 ∈ α X
ve y1 ≠ y 2 olsun. α X , Τ2 - uzay olduğundan α X
de
y1 ∈ G, y2 ∈ H ve G I H = ∅ olacak şekilde G ve H açık kümeleri vardır. O zaman
y2 ∉ clα X G ve y1 ∉ clα X H ise y2 ∉ clα X ( G I X ) dir. A = G I X alırsak X, α X de
yoğun olduğundan A ≠ ∅ ve y2 ∉ clα X A olur. Dolayısıyla A ∈ S ( y1 , α X ) dir.
Ayrıca X, α X de yoğun olduğundan y1 ∈ clα X A = clα X G olup A ∉ S ( y1 ,α X ) olur.
Sonuç olarak S ( y1 , α X ) ≠ S ( y2 , α X ) olur.
Not 3.1.12. Teorem 3.1.11 den bir Hausdorff uzayının bir Hausdorff genişlemesinin
farklı noktalarının kuvvet sistemlerinin de farklı olacağı sonucu elde edilir.
34
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Lemma 3.1.13.
α X ∈K(X )
Ümit CİĞER
olsun. Eğer
x ∈ X ve B ( X ) , X de x in
komşuluklarının bir bazı ise o zaman,
Bα ( X ) = {clα X N : N ∈ B ( X )}
kümesi α X de x in komşuluklarının bazıdır.
İspat: N ∈ B ( X ) olsun. clα X N , α X de x in bir komşuluğu olduğunu göstermeliyiz.
U , x ∈ U ⊆ N ile X in açık bir kümesi ve V , α X de V I X = U ile açık bir küme
olsun. X, α X de yoğun olduğundan,
x ∈V ⊆ clα X V = clα X (V I X ) = clα X U ⊆ clα X N
dir. Böylece clα X N , α X de x in bir komşuluğudur. α X de x in her komşuluğu
yukarıdaki şekilde bir komşuluğu içerir ve böylece ispat tamamlanmış olur.
Teorem 3.1.14. Bir ( X ,τ ) topolojik uzayının tam regüler olması için gerek ve yeter
{
}
koşul B = X − f −1 ({0}) / f : X → ¡ sürekli ailesinin τ için bir baz olmasıdır.
İspat: " ⇒ "
( X ,τ )
tam regüler olsun. x ∈ G ∈τ olsun. O zaman X − G , X de
kapalı ve x ∉ ( X − G ) dir. Dolayısıyla öyle bir f : X → [0,1] sürekli ve f ( x ) = 0 ,
f ( X − G ) = 1 fonksiyonu vardır. g ( x ) = 1 − f ( x ) alalım. O zaman g fonksiyonu
sürekli bir fonksiyondur. Ayrıca g ( x ) = 1 , g ( X − G ) = 0 sağlanır. Eğer g kümesi
S g = { x ∈ X : g ( x ) = 0} ile gösterilirse x ∈ X − S g ⊆ G olduğu kolayca görülür.
Çünkü g ( x ) =1 ≠ 0 ve g ( X − G ) = 0 dır. Ayrıca reel değerli ve sürekli her g için
X − Sg
açıktır.
O
halde
x ∈ X − Sg
yani
x ∈ X − g −1 ({0} ) ⊆ G
olup
X − g −1 ({0} ) ∈B dır.
" ⇐ " B, τ için bir baz, A, X de kapalı ve x0 ∉ A olsun. O zaman X − A , X de açık
ve x0 ∈ X − A olur. B , baz olduğundan en az bir f : X → ¡ sürekli fonksiyonu
vardır öyle ki x0 ∈ X − f −1 ({0} ) ⊆ X − A olur.
{0} ,
¡ de kapalı
olduğundan X − f −1 ({0}) açıktır. Şu halde f ( x0 ) ≠ 0 dır. Her x ∈ X için
35
f
sürekli
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER


f ( x ) 

g ( x ) = maks 0, min 1 −

 f ( x0 ) 

olarak tanımlanırsa g her x ∈ X için 0 ≤ g ( x ) ≤ 1 koşulunu sağlayan sürekli bir
fonksiyondur ve ayrıca g ( x0 ) = 0 ve g ( A ) = 1 sağlanır. Sonuç olarak
( X ,τ )
tam
regülerdir.
Teorem 3.1.10 un tersini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
Teorem 3.1.15. Bir X Tychonoff uzayı özdeş kuvvet sistemlerine sahip iki
kompaktlaması α X ve γ X ise bu iki kompaktlama denktir.
İspat: Hipotezden
{S ( y, α X ) : y ∈ α X } = {S ( z, γ X ) : z ∈ γ X }
dir. Teorem 3.1.11
den y ∈ α X için öyle bir tek z ∈ γ X vardır öyle ki S ( y ,α X ) = S ( z , γ X ) dir.
O zaman f : α X → γ X , f ( y ) = z olsun. f
fonksiyonu birebir ve örten olur.
Dolayısıyla,
S ( y , α X ) = S ( f ( y ) , γ X ) ........... ( i )
dir. x ∈ X için S ( x, α X ) = S ( f ( x ) = x, γ X ) dir. Yani Ια X ( x ) = Ιγ X ( x ) dir.
(Lemma 3.1.9 dan S ( x, α X ) = Ι X ( x ) = Ια X ( x ) , S ( x, γ X ) = Ι X ( x ) = Ιγ X ( x ) dir.)
Böylece S ( x, α X ) = S ( f ( x ) = x, γ X ) ve olup ispat için
f
fonksiyonunun
homeomorfizma olduğunu göstermek yeterlidir. ( i ) den dolayı A ⊆ X için,
y ∉ cl X A ⇔ f ( y ) ∉ clγ X A olur. Yani A ⊆ X için,
f ( clα X A) = clγ X f ( A) = clγ X A........... ( ii )
olur. {clα X A : A ⊆ X } ve {clγ X A : A ⊆ X } kompakt kümeler ailesi kapalı bazdır.
( α X ve γ X için ) ( ii ) den ve f den dolayı bu iki aile birebir eşlenebileceğinden f
fonksiyonu bir homeomorfizmadır.
36
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
3.2. İdeal Genişlemeler
Tanım 3.2.1. Y, bir X uzayının genişlemesi olsun. Eğer,
Y nin farklı noktaları farklı kuvvetlere sahip ve {clY A : A ⊆ X } ailesi Y nin
kapalı kümeleri için bir baz oluyorsa Y ye, X in bir ideal genişlemesi denir.
Not 3.2.2. i. Eğer bir X uzayı bir Y ideal genişlemesine sahip ise X, Τ0 - uzayı olmak
zorundadır. Çünkü, x1 , x2 ∈ X için Ι X ( x1 ) = Ι X ( x2 ) ise Lemma 3.1.9 dan dolayı
S ( x1 , Y ) = S ( x2 , Y ) olurdu. Dolayısıyla i) den dolayı x1 = x2 ve Lemma 3.1.5 den
dolayı X, Τ0 - uzaydır.
ii. Bir X Τ0 - uzayının herhangi bir Y ideal genişlemesi de Τ0 - uzayıdır.
Gerçekten, y1 , y2 ∈ Y için ΙY ( y1 ) = ΙY ( y2 ) ise,
S ( y1 , Y ) = { A ⊆ X : y1 ∉ clY A} = { A ⊆ X : A ∈ ΙY ( y1 )}
= { A ⊆ X : A ∈ ΙY ( y2 )} = { A ⊆ X : y2 ∉ clY A} = S ( y2 , Y )
olup Tanım 3.2.1 i) koşulundan dolayı y1 = y2 olup Lemma 3.1.5 den Y, Τ0 uzayıdır.
Teorem 3.2.3. Y, bir X Τ0 - uzayının bir ideal genişlemesi olsun. O zaman Y, X in
bütün serbest idealleri tarafından içerilen X üzerindeki c - ideallerinin uygun bir alt
ailesinden elde edilen bir X * genişlemesine denktir.
İspat: X * = µ
X = {S ( y, Y ) : y ∈ Y } olsun. O zaman X * ın X üzerindeki c- ideallerinin
bir kümesi olduğu açıktır. İlk önce X * üzerinde bir Kuratowski kapanış operatörü
tanımlamaya çalışalım. Φ : X → X * , x ∈ X için Φ ( x ) = Ι X ( x ) olarak tanımlayalım.
X, Τ0 - uzay olduğundan Lemma 3.1.5 den Φ fonksiyonu birebirdir. A ⊆ X için
37
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
Ac = {Ι ∈ X * : A ∉ Ι} ve B = { Ac : A ⊆ X } olsun. İlk önce B nin X * üzerindeki bir
topolojinin kapalı kümeleri için bir baz olduğunu gösterelim. Ac , Bc ∈ B olsun.
( AU B)
c
= {Ι ∈ X * : A U B ∉ Ι} = {Ι ∈ X * : A ∉ Ι veya B ∉ Ι}
= {Ι ∈ X * : A ∉ Ι} U {Ι ∈ X * : B ∉ Ι} = Ac U B c ise Ac U B c ∈ B
dir. B nın X * üzerinde doğurduğu bu topoloji ile ilişkilendirilen veya bu topolojiyi
veren Kuratowski kapanış operatörü d olsun. O zaman her α ⊆ X * için,
d (α ) = I { Ac : α ⊆ Ac ve A ⊆ X }
olur. Yani d (α ) , B nın doğurduğu topolojiye göre α nın kapanışı olur. Önce d ve
Φ : X → X * arasındaki bazı ilişkileri açıklayalım.
i.
Her
A⊆ X
için
Φ ( cl X A) = A I Φ ( X )
dir.
Gerçekten,
x ∈ cl X A ⇔ A ∉ Ι X ( x ) = Φ ( x ) ∈ Ac I Φ ( X ) olur.
ii. Her A ⊆ X için Φ ( A) ⊆ Ac olup i) den dolayı Φ ( A) ⊆ Φ ( cl X A) ⊆ Ac dir.
iii. Her A ⊆ X için d ( Φ ( A) ) = Ac dir. ii) den dolayı bir B ⊆ X için
Φ ( A) ⊆ Bc olsun. O zaman,
x ∈ A ise Φ ( x ) ∈ B c ise Ι X ( x ) ∈ B c ise B ∉ Ι X ( x ) ise x ∈ cl X B
dir. Böylece A ⊆ cl X B dir. Buradan hemen aşağıdakileri not edebiliriz.
a) A ⊆ B ise Ac ⊆ B c dir. Gerçekten, Ι ∈ Ac ise A ∉ Ι ise B ∉ Ι ise Ι ∈ B c dir.
b) Her B ⊆ X için ( cl X B ) = B c dir. Gerçekten,
c
Ι ∈ ( cl X B ) ⇔ cl X B ∉ Ι ⇔ B ∉ Ι ⇔ Ι ∈ B c olur ve Ι bir c- ideal olduğundan dolayı
c
( cl X B )c = B c
Şimdi
dir.
A ⊆ cl X B
ise
Ac ⊆ ( cl X B ) = Bc ise Ac ⊆ d ( Φ ( A ) )
c
ve d nin
tanımından dolayı da d ( Φ ( A) ) ⊆ Ac dir. Dolayısıyla Ac = d ( Φ ( A) ) dır. i) ve iii)
den Φ ( cl X A ) = d ( Φ ( A ) ) I Φ ( X ) ve Φ ( x ) = Ac dir. Ayrıca X c = X * dır. Çünkü,
daima
Xc ⊆ X*
ve X c = {Ι ∈ X * : X ∉ Ι} dır. Şimdi y ∈ Y için S ( y, Y ) ∈ X * ,
38
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
burada S ( y , Y ) = { A ⊆ X : y ∉ clY A,} , X ∉ S ( y , Y ) dir. O zaman S ( y , Y ) ∈ X c dir.
Böylece X c = X * dır. Dolayısıyla d Kuratowski kapanış operatörü tarafından
doğurulan topolojisi ile X * , X in bir genişlemesidir. f : X → X * fonksiyonunu
f ( y ) = S ( y, Y )
olarak
tanımlayalım.
f ( x ) = S ( x, Y ) = Ι X ( x ) = Φ ( x )
O
A⊆ X
dir.
olsun.
x∈ X
zaman
O
y ∈ clY A ⇔ A ∈ S ( y, Y ) = f ( y ) ⇔ f ( y ) ∈ Ac olur. Böylece
zaman
y ∈Y
için
için
f ( clY A) = Ac olur.
Dolayısıyla Y ve X * temel kapalı kümeleri arasında birebir eşleme vardır. Ayrıca f ,
birebir ve örten olduğundan f homeomorfizm olur. Böylece Y, X * a denktir.
Yukarıdaki teorem, bir Τ0 - uzayının bir ideal genişlemesinin inşası için bir
yöntem verir. Şimdi aynı koşullar altında kompakt olan ideal genişlemeyi, yani
kompaktlamasını arayalım. Önce bir X uzayının kompakt olması ile idealler
arasındaki ilişkiyi veren teoremi ispatlayalım.
Teorem 3.2.4. Bir X uzayının kompakt olması için gerek ve yeter koşul aşağıdaki
koşulu sağlayan her Ι ideali için Ι X ( x ) ⊆ Ι olacak şekilde x ∈ X vardır.
(c) Eğer kapalı kümelerin sonlu bir kesişimi boş ise o zaman kapalı kümelerden biri
Ι idealinin elemanıdır. Yani
I F = ∅ ise F
n
i=1,2,…,n için Fi , X de kapalı ve
i
i0
i =1
∈ Ι olacak şekilde bir i0 elemanı
vardır.
İspat: " ⇒ " X kompakt ve Ι da X in (c) koşulunu sağlayan bir ideal olsun. O
zaman,
{cl
X
A : A ∈ P ( X ) − Ι}
ailesi, X in sonlu kesişim özelliğine sahip X in kapalı alt kümelerinin bir ailesidir.
I cl
n
Çünkü
i =1
X
Ai = ∅ olsaydı (c) den bir i0 için cl X Ai0 ∈ Ι , dolayısıyla Ai ∈ Ι olurdu.
0
Bu ise Ai0 ∉ Ι olması ile çelişirdi. O zaman X kompakt olduğundan,
x ∈ I {cl X A : A ∈ P ( X ) − Ι}
39
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
olacak şekilde bir x ∈ X vardır. Her A ∈ P ( X ) − Ι için x ∈ cl X A dır. Her A∉ Ι için
A ∉ Ι X ( x ) olup Ι X ( x ) ⊆ Ι dır.
" ⇐"
Hipotez
F,
sağlansın.
X
üzerinde
bir
ultrafiltre
ve
Ι = { A ⊆ X : X − A ∈ F } olsun. O zaman Ι , X üzerinde bir idealdir. Şimdi Ι nın (c)
koşulunu sağladığını gösterelim. Bunun için her Ai kümesi X de kapalı olmak üzere
A1, A2 ,..., An ∉ Ι olsun
I A ∉Ι
n
i
IA ≠∅
n
ve böylece
i =1
i
olduğunu göstermeliyiz.
i =1
Gerçekten,
I Ai ∈ Ι ise X − I Ai = U ( X − Ai ) ∈ F
n
n
n
i =1
i =1
i =1
ise bir i0 için X − Ai0 ∈ F ise Ai ∈ Ι çelişkisi elde edilirdi.
I A ∉Ι
n
O zaman
i
i =1
dır. Dolayısıyla Ι , (c) koşulunu sağlar. Ι X ( x ) ⊆ Ι olacak şekilde
bir x ∈ X vardır. Yani , A ∈ Ι X ( x ) ise A∈ Ι dir. Yani,
x ∈ cl X A ise A ∈ Ι olup X − A ∈ F.......... ⊗
.olur. U, x in açık bir komşuluğu olsun. O zaman,
x ∉ cl X ( X − U ) = X − U
olur. ⊗ dan dolayı X − ( X − U ) = U ∈ F dir. Böylece F , x in komşuluklarını içerir.
O zaman F → x olup X kompakttır.
Şimdi ideallerin (c) koşulunu sağlayan ideallerin sınıfından daha büyük bir
sınıfını tanımlayalım.
Tanım 3.2.5. Ι , bir X uzayında bir ideal olsun. Eğer her A, B ∈ P ( X ) − Ι (yani
A, B ∉ Ι ) için cl X A I cl X B ≠ ∅ oluyorsa Ι ya c - joined ideal denir. Eğer X
üzerindeki her c - joined Ι ideali için, Ι X ( x ) ⊆ Ι olacak şekilde bir x ∈ X varsa X e
c - joined kompakt denir.
40
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
Not 3.2.6. c - joined ideallerin sınıfı, (c) koşulunu sağlayan ideallerin sınıfından
kesin olarak daha büyüktür. Örneğin;
A = {2, 4, 6,..., 28} , B = {3, 6,9,..., 27} , C = {5,10,1520, 25} olsun. X = A U B U C ve
kapalı kümeler,
τ c = { X , ∅, A, B, C , A I B, A I C , B I C , A U B, A U C , B U C}
olsun. X üzerindeki bir ideal,
∅, {15} , {10, 20} , {10} , {20} , {10,15, 20} , {15, 20} , {10,15} , {6,12,18, 24}


Ι = , {6} , {12} , {18} , {24} , {6,12} , {6,18} , {6, 24} , {12,18} , {12, 24} , {18, 24} 


, {6,12,18} , {6,12, 24} , {6,18, 24} , {12,18, 24}

olsun. O zaman A I B I C = ∅ ve A, B, C ∉ Ι , Ι ideali (c) koşulunu sağlamaz. Bu
nedenle ∅ ≠ H , K ⊆ X ve cl X H I cl X K = ∅ ise o zaman,
cl X H , cl X K ∈ { X , A, B, C , A I B, A I C , B I C}
olur. Dolayısıyla her bir durumda cl X H ∈ Ι veya cl X K ∈ Ι ve böylece H ∈ I veya
K ∈ Ι olur. Örneğin; eğer cl X H = A ise cl X K = B I C = {15} ∈ Ι dır. Bu yüzden
A I B, A I C , B I C ∈ Ι olur. Böylece Ι ideali, bir c - joined idealdir.
Sonuç 3.2.7. Her c - joined kompakt uzay kompakttır.
Bu Sonuç 3.2.7. nin tersinin doğru olup olmadığı hala açık bir problemdir.
Fakat tersinin regüler uzayları için doğru olduğu aşağıda gösterilmiştir.
Teorem 3.2.8. Bir regüler uzayın kompakt olması ile c - joined kompakt olması
eşdeğerdir.
İspat: Teorem 3.2.4. den ve Sonuç 3.2.7. den dolayı herhangi bir regüler kompakt X
uzayının c - joined kompakt olduğunu göstermek yeterlidir. Ι , X de bir c - joined
ideal olsun. Eğer X ∈ Ι ise Ι = P ( X ) olacağından her x ∈ X için Ι X ( x ) ⊆ Ι olur.
Böylece X ∉ Ι olduğunu kabul edelim. Kabul edelim ki her x ∈ X için Ι X ( x ) ⊆ Ι
olsun. O zaman her x ∈ X için en az bir Ax ⊆ A vardır öyle ki Ax ∈ Ι X ( x ) dir. Yani,
x ∉ cl X Ax ve Ax ∉ Ι olur. X regüler ve x ∈ X − cl X Ax açık olduğundan X de en az bir
41
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Vx
açık
kümesi
vardır
öyle
Ümit CİĞER
x ∈ cl X Vx ⊆ X − cl X Ax
ki
olur.
Böylece
cl X Vx I cl X Ax = ∅ olur. Ayrıca {Vx : x ∈ X } , X in bir açık örtüsü olur. X kompakt
{V
olduğundan bu örtünün bir
xi
}
: i = 1, 2,..., n
sonlu alt örtüsü vardır. O zaman
i = 1, 2,..., n için Axi ∉ Ι, cl X Axi I cl X Vxi = ∅ ve Ι , c - joined olduğundan her i için
Vxi ∈ Ι olur. Dolayısıyla
UV
n
i =1
xi
= X ∈ Ι dır. Bu ise kabulümüz X ∉ Ι ile çelişir. O
zaman bir x ∈ X için Ι X ( x ) ⊆ Ι olmak zorundadır. Sonuç olarak X, c - joined
kompakt olur.
Tanım 3.2.9. X uzayı üzerindeki ideallerin bir ailesi F = {Ια : α ∈ Λ} , eğer
e Eğer Ι , X üzerinde bir ideal ve her A, B ⊆ P ( X ) − Ι ve A, B ∉ Ια olacak şekilde
bir α ∈ Λ mevcut ise o zaman Ι β ⊆ Ι olacak şekilde bir β ∈ Λ vardır.
koşulunu sağlıyorsa F ye e koşulunu sağlıyor denir.
Teorem 3.2.10. Bir X uzayının Teorem 3.2.2 deki ideal genişlemesi X * ın c-joined
kompakt olması için gerek ve yeter koşul X * ın X üzerindeki e koşulunu sağlayan
ideallerin bir ailesi olmasıdır.
İspat: Hatırlatma: Φ : X → X * , Φ ( x ) = Ι X ( x ) , A ⊆ X için Ac = {Ι ∈ X * : A ∉ Ι}
ve α ⊆ X * için d (α ) = I { Ac : α ⊆ Ac ve A ⊆ X } dir.
"⇒"
X * , c - joined kompakt ve Ι , eğer A, B ⊆ P ( X ) − Ι olduğunda
A, B, X * ın bir elemanı tarafından içerilmeyecek şekilde X üzerinde bir ideal olsun.
Bir Ι0 ∈ X * için Ι 0 ⊆ Ι olduğunu göstermeliyiz. İlk önce açık olarak A, B ∉ Ι için
Ac I B c ≠ ∅.......(1) dir. Gerçekten A, B ∉ Ι ise en az bir Ι* ∈ X * vardır öyle ki
A, B ∉ Ι* ise Ι* ∈ Ac I B c olup Ac I B c ≠ ∅ dır.
{
A = α ⊆ X * : Φ ( A) I ( X * − α ) ≠ ∅, her A ∉ Ι için
}
olsun. İlk olarak A nın X * üzerinde bir c - joined ideal olduğunu gösterelim. Bunun
42
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
için
α, β ⊆ X *, α ⊆ β
ve
β ∈A
Φ ( A) I ( X * − β ) ≠ ∅ ise her A ∉ Ι
α ∈ A olur.
α, β ∈ A
olsun.
Ümit CİĞER
olsun.
O
zaman
her
A∉ Ι
için
için Φ ( A) I ( X * − α ) ≠ ∅ olur. O zaman
A∉ Ι
Her
için
Φ ( A) I ( X * − α ) ≠ ∅
ve
Φ ( A) I ( X * − β ) ≠ ∅ olur. α U β ∈ A olduğunu göstermeliyiz. Kabul edelim ki
α Uβ ∉A
olsun.
O
zaman
en
az
bir
C ∉Ι
vardır
öyle
ki
Φ ( C ) I ( X * − (α U β ) ) = ∅ dir. Φ ( C ) ⊆ α U β dir.
C1 = { x ∈ C : Φ ( x ) ∈ α } ve C 2 = { x ∈ C : Φ ( x ) ∈ β }
olsun. O zaman C = C1 U C2 dir. C ∉ Ι olduğundan C1 ∉ Ι veya C2 ∉ Ι dir. C1 ∉ Ι ise
α ∈ A olduğundan Φ ( C1 ) I ( X * − α ) ≠ ∅ olur. Bu ise C1 in tanımı ile çelişir.
Benzer çelişki C2 ∉ Ι olduğu zamanda elde edilir. O zaman α U β ∉ A olmak
zorundadır. Böylece A , X * üzerinde bir idealdir. α , β ∉ A olsun. O zaman en az
A, B ∉ Ι vardır öyle ki Φ (α ) ⊆ α ve Φ ( B ) ⊆ β olur. Dolayısıyla,
Ac = d ( Φ ( A ) ) ⊆ d (α ) , B c = d ( Φ ( B ) ) ⊆ d ( β )
olduğundan ∅ ≠ Ac I B c ⊆ d (α ) I d ( β ) olur. X * , c - joined kompakt olduğundan
en az bir Ι0 ∈ X * vardır öyle ki Ι X * ( Ι 0 ) ⊆ A olur. O zaman Ι 0 ⊆ Ι dır. Gerçekten,
A ∉ Ι ise Φ ( A ) ∉ A olup Φ ( A) ∉ Ι X * ( Ι 0 ) olur. Buradan Ι 0 ∈ d (Φ ( A ) ) = Ac ise
A ∉ Ι 0 olduğundan Ι ⊆ Ι 0 olur. Dolayısıyla X * , e koşulunu sağlar.
" ⇐ " X * , e koşulunu sağlasın. X * ın c - joined kompakt olduğunu
göstermeliyiz. A , X * üzerinde bir c - joined ideal olsun. Ι X * ( Ι 0 ) ⊆ A olacak
şekilde bir Ι0 ∈ X * bulmalıyız.
AY = { A ⊆ X : Ac − Φ ( X ) ∈ A } ve AX = { A ⊆ X : Φ ( A ) ∈ A } olsun. İlk önce
AX ve AY nin ideal olduğunu gösterelim. A, B ⊆ X ve A ⊆ B ∈ AX olsun. O zaman
Φ ( A) ⊆ Φ ( B ) ∈ A olur. A bir ideal olduğundan Φ ( A) ∈ A ise A ∈ AX dir.
A, B ∈ Ax olsun. Φ ( A) , Φ ( B ) ∈ A olup daima Φ ( A U B ) = Φ ( A ) U Φ ( B ) dir.
43
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
Φ ( A) , Φ ( B ) ∈ A ve A ideal olduğundan Φ ( A U B ) = Φ ( A ) U Φ ( B ) ∈ A ise
A U B ∈ AX olup AX bir idealdir. A, B ⊆ X ve A ⊆ B ∈ AY olsun. Böylece Ac ⊆ B c
ise Ac − Φ ( X ) ⊆ B c − Φ ( X ) ve A bir ideal olduğundan Ac − Φ ( X ) ∈ A olur.
Böylece A ∈ AY dir. A, B ∈ AY olsun. Ac − Φ ( X ) , B c − Φ ( X ) ∈ A dır. Dolayısıyla
A bir ideal olduğundan,
(A
c
− Φ ( X ) ) U ( Bc − Φ ( X ) ) = ( Ac U B c ) − Φ ( X ) = ( A U B ) − Φ ( X ) ∈ A
c
olur. O zaman A U B ∈ AY dir. O halde AY bir idealdir. Böylece AX I AY de bir
idealdir.
Şimdi A, B ∉ AX I AY olacak şekilde her A, B ⊆ X için ne A nın ne de B nin
X * ın bir ideali tarafından içerilmediğini gösterelim.
1. durum: A ∉ AX ve B ∉ AY olsun. O zaman Φ ( A) ∉ A ve B c − Φ ( X ) ∉ A
dır.
A,
X*
üzerinde
bir
c
-
joined
ideal
olduğundan,
d ( Φ ( A) ) I d ( B c − Φ ( X ) ) ≠ ∅ dir. O zaman d ( Φ ( A) ) I d ( B c ) ≠ ∅ dir. Böylece
A c I B c ≠ ∅ olur.
2. durum: B ∉ AX ve A ∉ AY ise 1. durumun aynısıdır.
3. durum: A, B ∉ AX veya A, B ∉ AY olsun. Buradan hemen Ac I B c ≠ ∅
elde ederiz. Ac I B c ≠ ∅ ise en az bir Ι ∈ X * vardır öyle ki Ι ∈ Ac I B c olup A, B ∉ Ι
dır. X * , e koşulunu sağladığından en az bir Ι0 ∈ X * vardır öyle ki Ι 0 ⊆ AX I AY
dir. Ι X * ( Ι 0 ) ⊆ A olduğunu gösterelim. α ⊆ X * ve α ∉ A olsun.
α = (α I Φ ( X ) ) U (α − Φ ( X ) )
dir.
α ∉A
olduğundan
α I Φ ( X ) ∉ A veya α − Φ ( X ) ∉ A
dır. İlk olarak
α I Φ ( X ) ∉ A olduğunu kabul edelim. O zaman Φ −1 (α ) I X ∉ A ise Φ −1 (α 0 ) ∉ Ι0
dır. Böylece Φ −1 (α ) ∈ Ι 0 olur. Bu durumda Ι 0 ∈ ( Φ −1 (α ) ) = d ( ΦΦ −1 (α ) ) ⊆ d (α )
c
olduğundan α ∉ Ι X * ( Ι0 ) olur. Şimdi de α − Φ ( X ) ∉ A olduğunu kabul edelim. Ac ,
X * uzayında α yı içeren herhangi bir temel kapalı küme olsun. O zaman
44
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
Ümit CİĞER
Ac − Φ ( X ) ⊇ α − Φ ( X )
olur. α − Φ ( X ) ∉ A olduğundan Ac − Φ ( X ) ∉ A dır. Buradan A ∉ AY ve A ∉ Ι 0
olur. Böylece Ι 0 ∈ Ac elde edilir. Bu durumda Ι 0 ∈ I {α ⊆ Ac } = d (α ) olur ve
α ∉ Ι ( Ι 0 ) elde edilir. Böylece her bir durumda Ι X * ( Ι 0 ) ⊆ A olur. Sonuç olarak X * ,
c - joined kompakttır.
45
3. BİR GENİŞLEMENİN KUVVET SİSTEMİ
46
Ümit CİĞER
KAYNAKLAR
BÜLBÜL, A., 1994. Genel Topoloji, Karadeniz Teknik Ünv., 172(48), (Trabzon,).
CHANDLER, R.E., 1976. Hausdorff compactifications, Marcel Dekker, New York.
GİLLMAN, L. AND JERİSON, M., 1976. Rings of Continuous Functions,
Springer- Verlag, Berlin.
HAYASHİ, E., 1964. Topologies defined by local properties, Math. Ann., 156,
205-215.
JANKOVİC, D., HAMLET, T.R., 1990. New topologies from old via ideals, Amer.
Math. Monthly, 97, 295-310.
MUKHERJEE, M.N., ROY, B., SEN, R., 2007. On extension of topological spaces
in terms of ideals, Topology and its App., 154, 3167-3172.
PORTER, J.R., WOODS, R.G., 1988. Extension and Absolutes of Hausdorff
Space, Springer-Verlag, New York Inc. 856s.
SAMUELS, P., 1975. A topology formed from a given a topology and ideal,
J. London Math. Soc., 10, 409-416.
WALKER, R.C., 1974. The Stone-Cech Compactification, Springer-Verlag,
WİLLARD, S., 1970. General Topology, Addison-Wesley, London,
47
48
ÖZ GEÇMİŞ
1986 yılında Adana’ nın Yüreğir ilçesinde doğdu. İlkokulu, İstiklal İlkokulu’nda; ortaokulu, Efes Pilsen İlköğretim Okulu’ nda; liseyi, Tepebağ Lisesi’ nde
tamamladı. 2003 yılında Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik
Bölümü’ nü kazandı. İkinci sınıfın birinci döneminde eğitimine yatay geçiş yaptığı,
Çukurova Üniversitesi’ nde devam etti ve 2007 yılında mezun oldu. Çukurova
Üniversitesi’ nde bir yıllık İngilizce eğitiminden sonra tezli yüksek lisans eğitimine
başladı ve halen tezli yüksek lisans öğrencisi olarak öğrenimine devam etmektedir.
49