Derivative

Bölüm
22
Türev
Tanım 22.1. y = f (x) fonksiyonu (a, b) aralığında tanımlı ve x 0 ∈ (a, b) olsun.
y ′ = f ′ (x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
(22.1)
limiti varsa, bu limit değeri f fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki türevidir.
y = f (x) fonksiyonunun türevi,
y ′ , f ′ (x 0 ),
d f (x 0 )
d
dx , dx
f (x), D x f (x), D x y,
df
dy
dx , dx
simgelerinden biriyle gösterilir.
Tanım 22.1’de h bir gerçel sayıdır. h → 0 olabilmesi için, h sayısı 0 sayısına soldan ya da sağdan istenildiği kadar yakın olabilir. Uygulamada h sayısının çok
küçük bir sayı olduğunu kabul etmek bir kısıtlama getirmez. x değişkeninin
sola ya da sağa doğru istenildiği kadar küçük bir hareketi, h = ∆x olmak üzere
x + ∆x ile gösterilir.
h = ∆x alınırsa Tanım 22.1 şöyle de yazılabilir:
y ′ |x=x0 = f ′ (x 0 ) = lim
∆x→0
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
∆x
(22.2)
22.1 Bir Aralıkta Türetilebilme
x 0 noktası için yapılan türev tanımını her x ∈ (a, b) noktasına yaymak isteyelim.
∆x = h konumuyla, türevi
561
BÖLÜM 22. TÜREV
562
f (x + ∆x) − f (x)
∆x→0
∆x
biçiminde yazabiliriz. Bazen ∆x = x − x 0 konularak, türev
y ′ = f ′ (x) = lim
f ′ (x) = lim
x 0 →x
f (x) − f (x 0 )
(x − x 0 )
(22.3)
(22.4)
biçiminde de yazılabilir.
Tanım 22.2. (a, b) aralığındaki her x noktsı için 22.3 ya da ona denk olan 22.4
sağlanıyorsa, f fonksiyonu (a, b) aralığında türetilebilir (differentiable) bir fonksiyondur.
22.2 Soldan ve sağdan türev
Soldan ve sağdan limitler gibi soldan ve sağdan türevler de tanımlanabilir:
Tanım 22.3.
f ′ (x − ) = f ′ (x − 0) = lim−
h→0
f (x + h) − f (x)
h
değerine f fonksiyonunun soldan türevi,
Tanım 22.4.
f ′ (x + ) = f ′ (x + 0) = lim+
h→0
f (x + h) − f (x)
h
eğerine f fonksiyonunun sağdan türevi denilir.
x noktasında f fonksiyonunun türevinin olması için, o noktada soldan ve sağdan türevlerinin var ve birbirlerine eşit olması gerekir.
22.3 Parçalı Türevlenebilme
Parçalı Süreklilik
Bir (a, b) aralığında incelenen fonkiyon, aralığın bazı noktalarında süreksiz olabilir. Süreksizlik noktaları c,d,e, . . . ise, fonksiyonu (a, c), (c, d ), (d , e), . . . alt aralıklarında inceleriz.
Tanım 22.5. f fonksiyonu söz konusu alt aralıklarının her birinde sürekli ise, f
fonksiyonuna parçalı süreklidir, denilir.
22.4. DİFERENSİYEL
563
Parçalı Türetilebilme
Tanım 22.6. Parçalı sürekli olduğu her aralıkta türevlenen fonksiyona parçalı
türetilebilir (sectional differentiable) fonksiyon denilir.
22.4 Diferensiyel
y = f (x) fonksiyonu (a, b) aralığında tanımlı ve x ∈ (a, b) noktasına verilen bir
∆x artmasıyla elde edilen
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
(22.5)
değerine x’in ∆x artmasına karşılık gelen fonksiyon artması denilir. (Tabii, her
iki artım negatif yönde de olabilir.)
f fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli, türetilebilir ve birinci türevi sürekli ise,
y′ =
dy
= f ′ (x)
dx
(22.6)
eşitliğini
d y = f ′ (x)d x
(22.7)
biçiminde yazabiliriz. (22.7) ifadesine f fonksiyonunun diferensiyeli denilir. Bu
ifadede ∆x = d x değerlerinin istenildiği kadar küçük ama 0’dan farklı olduğunu
unutmayacağız.
Diferensiyeli bazı sayıların yaklaşık değerlerini bulmak için kullanabiliriz. Bunun için, önce yaklaşık değeri verecek bir formül oluşturalım.
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
(22.8)
olduğunu düşünerek (22.7) ifadesini
f (x + ∆x) ≈ f ′ (x)∆x + f (x)
biçiminde yazalım. Bu istenen yaklaşık değerleri verecektir.
(22.9)
BÖLÜM 22. TÜREV
564
p
Örnek 1: 28 sayısının yaklaşık değerini bulalım. 28 sayısına en yakın olarak
karekökünü tam bildiğimiz sayı 25 dir. O halde x = 25 ve ∆x = 28 − 25 = 3 alarak
(22.9) ifadesini
p
p
1
28 ≈ p .(3) + 25
2 25
biçiminde yazabiliriz. Buradan
p
28 ≈
1
3
.(3) + 5 =
+ 5 = 0.3 + 5 = 5.3
2.5
10
bulunur.
p
p
3
Örnek 2:
21 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = 3 x fonksiyonunu
kullanabiliriz. 21 sayısına en yakın olarak küp kökünü tam bildiğimiz sayı 27
dir. O halde x = 27 ve ∆x = 21 − 27 = −6 alarak, (22.9) ifadesini
p
p
(
)′
3
3
21 ≈ x 1/3 .(−6) + 27
)
1(
= 27(1/3)−1 .(−6) + 3
3
1 −2/3
= 27
.(−6) + 3
3
1
= p
.(−6) + 3
3
3 272
1
=
.(−6) + 3
3.3.3
= 2, 778
bulunur.
p
p
Örnek 3: 98 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = x fonksiyonunu kullanabiliriz. 98 sayısına en yakın olarak kare kökünü tam bildiğimiz sayı 100 dür.
O halde x = 100 ve ∆x = 98 − 100 = −2 alarak, (22.9) ifadesini
p
p
(
)′
98 ≈ x 1/2 .(−2) + 100
)
1(
= x (1/2)−1 .(−2) + 10
2
1
= 100−1/2 .(−2) + 10
2
1
= p
.(−2) + 10
2 100
1
=
.(−2) + 10
2.10
≈ 9.7
22.5. TÜREV KURALLARI
565
bulunur.
Genel olarak, ∆y ̸= d y dir. Ancak, verilen koşullar altında ∆x = d x çok küçük
kılındığında ∆y → d y olduğu varsayılabilir.
Diferensiyel kavramı x değişkeni için de ifade edebilir. Özel olarak, y = f (x) = x
alınırsa ∆x = d x ifadesine x değişkeninin diferensiyeli diyebiliriz. Tabii, d x’in
küçük olaması d y’nin de küçük olmasını gerektirmez. (22.3) ile (22.5) eşitliklerinden hareketle
dy
f (x + ∆x) − f (x)
= f ′ (x) = lim
∆x→0
dx
∆x
∆y
= lim
∆x→0 ∆x
(22.10)
(22.11)
yazabiliriz. Burada şuna dikkat etmeliyiz. d x ile d y ifadeleri ∆x → 0 iken elde
edilen değerler değildir. Çünkü d x ile d y ifadeleri 0 değilken yukarıdaki limitler
0 olabilir.
22.5 Türev Kuralları
Teorem 22.1.
1. Sabit fonksiyonun türevi 0’dır: her x için y = f (x) = c ise
y′ =
df
(c) = 0
dx
olur.
2. Her n ∈ N için y = x n fonksiyonunun türevi y ′ = nx n−1 dir.
3. Her c sabiti için y = c f (x) fonksiyonunun türevi y ′ = c f ′ (x) dir.
4. y = f (x) ± g (x) için y ′ = f ′ (x) ± g ′ (x)’dir.
5. y = f (x).g (x) için y ′ = f ′ (x).g (x) + f (x).g ′ (x)’dir.
6. y = g o f (x) = g ( f (x)) için y ′ = g ′ ( f (x)). f ′ (x)’dir.
7.
y=
dir.
f (x)
f ′ (x).g (x) − g ′ (x)i f (x)
=⇒ y ′ =
(
)2
g (x)
g (x)
BÖLÜM 22. TÜREV
566
22.6 Özel Fonksiyonların Türevleri
22.6.1 Ters Fonksiyonun Türevi
y = f (x) ise x = f −1 f (y) bağıntısından
1
dy
= dx
dx
(22.12)
dy
bağıntısı elde edilir.
22.7 Zincir Kuralı
(
)
f (x) ile g (x) türetilebilie iki fonksiyon ve y = F (x) = f og (x) = f g (x) ise
y′ =
(
)
d
(F (x)) = f ′ g (x) g ′ (x)
dx
olduğunu gösteriniz.
F (x + ∆x) − F (x)
∆x→0
(
) ∆x
∆y
= lim
∆x→0 ∆x
(
)
∆y ∆u
= lim
.
∆x→0 ∆u ∆x
(
) (
)
∆y
∆u
= lim
. lim
∆x→0 ∆u
∆x→0 ∆x
d y du
=
du dx
= f ′ (u).g ′ (x)
y ′ = lim
= f ′ (g (x)).g ′ (x)
(22.13)
22.8. Y = E X
567
22.7.1 Parametrik Fonksiyonun Türevi
x = g (u) ve y = f (t ) fonksiyonları türetilebilir ve f (x) fonksiyonunun t = f −1
ters fonksiyonu sürekli türetilebilir ise,
dy d f
y =
=
=
dx dg
′
=
f ′ (t )
g ′ (t )
df
dt
dg
dt
(22.14)
(22.15)
olur.
Türev kurallarının benzerleri diferensiyeller için de uygulanabilir:
(
)
d f (x) + g (x) = d f (x) + d g (x)
= f ′ (x)d x + g ′ (x)d x
(
)
= f ′ (x) + g ′ (x) d x
(22.16)
(22.17)
(
)
d f (x).g (x) = f (x).d g (x) + d f ′ (x).g (x)
= f (x).d g (x) + g (x)d f (x)
(
)
= f (x).g ′ (x) + g (x) f ′ (x) d x
(22.18)
(22.19)
22.8
y = ex
y′ =
d ( x)
e = ex
dx
olduğunu gösteriniz.
(22.20)
BÖLÜM 22. TÜREV
568
e x+h − e x
h→0
h
(
)
x h
e (e − 1)
= lim
h→0
h
(
)
(e h − 1)
x
= e lim
h→0
h
y ′ = lim
l’Hopital
= e x .1
= ex
22.8.1 Logaritma Fonksiyonunun Türevi
22.9
y = ln x
d
1
(ln x) =
dx
x
(22.21)
olduğunu gösteriniz.
y = ln x fonksiyonunun türevini bulmak için
(
h
lim 1 +
h→0
x
)x
h
=e
eşitliğini kullanacağız. Türev tanımında logaritma farkları için bilinen eşitliği
kullanırsak,
(
)
x +h
ln(x + h) − ln x 1
= . ln
h
h
x
(
)
1 x
h
= . . ln 1 +
x h
x
(
)x
1
h h
= . ln 1 +
x
x
Buradan limite geçersek,
logaritmaların farklı
x ile çarp ve böl
kuvvetin logaritması
22.10. Y = A X
569
ln(x + h) − ln x
h
(
)x
1
h h
= lim . ln 1 +
h→0 x
x
[
(
)x ]
1
h h
= . ln lim 1 +
h→0
x
x
y ′ = lim
h→0
1
1
. ln e = .1
x
x
1
=
x
=
olur.
y = ax
22.10
y′ =
d ( x)
a = a x . ln a
dx
(22.22)
olduğunu gösteriniz
a x+h − a x
h→0
h
(
)
a x (a h − 1)
= lim
h→0
h
(
)
h
(a
−
1)
= a x lim
h→0
h
)
(
h ln a
(e
− 1)
x
= a lim
h→0
h
)
(
h ln a
ln
a.e
= a x lim
h→0
1
y ′ = lim
= a x . ln a
l’Hopital
BÖLÜM 22. TÜREV
570
y = loga x
22.11
y = loga x fonksiyonunun türevi, y =
saplanabilir:
y = l og a x ⇐⇒ y =
l nx
ln a
ile (22.21) eşitliklerinden, kolayca he-
l nx
ln a
bağıntısı kullanılırsa
(
)
d l nx
y =
d x ln a
1
=
x.l nx
′
çıkar.
22.11.1 Köklü İfadelerin Türevi
y=
p
x fonksiyonunun türevini değişik yöntemlerle bulabiliriz:
Türev tanımından:
y′ =
d p
x
dx (
p
p )
x +h − x
= lim
h→0
h
( p
p
p
p )
( x + h − x).( x + h + x)
= lim
p
p
h→0
h( x + h + x)
(
)
x +h −x
= lim
p
p
h→0 h( x + h + x)
)
(
h
= lim
p
p
h→0 h( x + h + x)
(
)
1
= lim p
p
h→0
x +h + x
1
= p
2 x
çıkar.
22.12. ALIŞTIRMALAR
571
Üstel Fonksiyonun Türevinden :
1
d ( 1)
1 1
1
1
x 2 = ( )x 2 −1 = ( )x − 2 =
1
dx
2
2
2x 2
1
= p
2 x
y′ =
Ters Fonksiyonunun Türevinden :
y=
p
x =⇒ x = y 2
bağıntısından
dx
dy
1
dy
1
= 2y =⇒
=
=⇒
= p
dy
dx
2y
dx
2 x
çıkar.
22.11.2 Üstel Fonksiyonun Türevi
u = u(x) olmak üzere y = f (x) = e u(x) fonksiyonunun türevi:
dy
du
= e u(x)
dx
dx
(22.23)
u = u(x), a > 0 olmak üzere y = f (x) = a u(x) fonksiyonunun türevi:
dy
du
= a u(x) . ln a.
dx
dx
(22.24)
u = u(x) olmak üzere y = f (x) = l og e (u(x)) fonksiyonunun türevi:
dy
d
1 du
=
l og e (u(x)) =
dx dx
u dx
(22.25)
u = u(x), a > 0 olmak üzere y = f (x) = l og a (u(x)) fonksiyonunun türevi:
dy
d
l og a e d u
=
l og a (u(x)) =
dx dx
u dx
22.12 Alıştırmalar
1. f (x) = x 3 fonksiyonu için
d
dx
f (x) türevini bulunuz.
(22.26)
BÖLÜM 22. TÜREV
572
Çözüm: Türev tanımı uygulanırsa uygulanırsa
d 3
f (x + ∆x) − f (x)
x = lim
∆x→0
dx
∆x
3
x + 3x 2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x 3
= lim
∆x→0
∆x
2
3x ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3
= lim
∆x→0
∆x
3x 2
= lim
∆x→0 1
= 3x 2
2.
y = 2x 3 − 4x 2 + 3x − 5
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: Yukarıdaki 1,2 ve 4.kural uygulanırsa
y ′ = (2x 4 )′ − (4x 2 )′ + (3x)′ − (5)′
= 2(x 3 )′ − 4(x 2 )′ + 3(x)′ − 0
= 2.3x 3−1 − 4.2x 2−1 + 3.1
= 6x 2 − 8x + 3
bulunur.
3.
p
y = f (x) = ( x + 2x)(4x 2 − 1)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa,
p
1
f ′ (x) = ( p + 2)(4x 2 − 1) + x + 2x)(8x)
2 x
p
p
p
(1 + 2.2 x)(4x 2 − 1) + 2 x 8x( x + 2x)
=
p
2 x
p
(4x 2 − 1 + 16x 5/2 − 4 x + −4x + 16x 2 + 32x 5/2
=
p
2 x
=
48x 5/2 + 20x 2 − 4x 1/2 − 1
p
2 x
22.12. ALIŞTIRMALAR
573
4.
y = f (x) = (x 2 + l n(x + 1)(4x 2 − 1)
fonksiyonunun birinci ve ikinci basamaktan türevlerini bulunuz.
Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa,
f ′ (x) = (x 2 )′ .l n(x + 1) + x 2 (l n(x + 1))′
1
= 2x.l n(x + 1) + x 2
.(x + 1)′
x +1
1
.1
= 2x.l n(x + 1) + x 2
x +1
x2
= 2x.l n(x + 1) +
x +1
(
)′
x2
f (x) = (2x.l n(x + 1)) +
x +1
2x.(x + 1) − x 2 .1
1
.1 +
= 2l n(x + 1) + 2x
x +1
(x + 1)2
2
2x
x + 2x
= 2.l n(x + 1) +
+
x + 1 (x + 1)2
′′
′
Şekil 22.1: Fonksiyon Artması
BÖLÜM 22. TÜREV
574
Şekil 22.2: Türev
Şekil 22.3: Eğim
22.12. ALIŞTIRMALAR
575
Şekil 22.4: Eğim
Şekil 22.5: Eğim
BÖLÜM 22. TÜREV
576
Şekil 22.6: Eğim
Alıştırmalar 22.1.
1.
f (x) = (x − 1)4
(22.27)
3
x
x −1
f (x) = (3x + 1)101
(
)
1 − x 11
f (x) =
1+x
x
f (x) =
2
(1 + x) (1 − x)2
√
f (x) = x 1 − x 2
√
x +1
f (x) =
x −1
f (x) =
(22.28)
(22.29)
(22.30)
(22.31)
(22.32)
(22.33)
(22.34)
22.13 l’Hôpital Kuralı
Teorem 22.2. f ile g türetilebilir ve
lim
x→c
f (c) 0
=
g (c) 0
ya da lim
belirsizlikleri oluşuyorsa
lim
x→c
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
g (x) x→c g (x)
eşitliği vardır.
x→c
f (c) ∞
=
g (c) ∞
22.13. L’HÔPİTAL KURALI
L’Hôpital Kuralı uygulamada limit bulmayı çok kolaylaştırır.
Örnek 1:
lim
x→0
sin x
cos x
= lim
=1
x→0
x
1
Örnek 2:
2 cos(2x)
sin(2x)
= lim
x→0 3 cos(3x)
x→0 sin(3x)
2.1
=
3.1
2
=
3
lim
Örnek 3: Bu problemde L’Hôpital Kuralını art arda iki kez uyguluyoruz.
(
(
)
)
x 2 + 2x − 8
2x + 2
lim
= lim
x→2 2x 2 + 2x − 12
x→2 4x + 2
( )
2
= lim
x→2 4
2
=
4
1
=
2
Örnek 4: a ∈ R ise;
( ax
)
( ax )
e −1
ae
lim
= lim
x→0
x→0
x
1
(a)
= lim
x→0 1
=a
olur.
Örnek 5: a ∈ R ise;
( ax )
( ax
)
e −1
ae
= lim
lim
x→0
x→0
x
1
(a)
= lim
x→0 1
=a
olur.
577
BÖLÜM 22. TÜREV
578
Örnek 6:
(
)
(
)
si nx
cos x − 1
lim
= lim
x→0
x→0
x
1
( )
0
= lim
x→0 1
=0
olur.
Örnek 7:
( )
)
x −1
1
lim
= lim 1
x→1 ln x
x→1
x
(
= lim (x)
x→1
=1
Örnek 8: Bazı problemlerde 0.∞ belirsizliği 0/0 ya da ∞/i n f t y belirsizliklerine
dönüştürülerek L’Hôpital Kuralı uygulanabilir.
(
lim (x ln x) = lim+
x→0+
x→0
(
= lim+
x→0
ln x
1
x
1
x
−1
x2
)
)
= lim+ (−x)
x→0
=0
Örnek 9: Bazı problemlerde ∞ − ∞ belirsizliği 0/0 ya da ∞/i n f t y belirsizliklerine dönüştürülerek L’Hôpital Kuralı uygulanabilir.
(
lim (x ln x) = lim+
x→0+
x→0
= lim+
x→0
(
ln x
1
x
1
x
−1
x2
)
= lim+ (−x)
x→0
=0
)
22.13. L’HÔPİTAL KURALI
(
)
x − sin x
1 − cos x
lim
= lim
x→0
x→0
x3
3x 2
(
)
− sin x
= lim
x→0
6x
( − cos x )
= lim
x→0
6
1
=
6
Örnek 10:
lim x 3 ln x = lim
x→0
ln x
1
x3
1
= lim x3
x→0 − 4
x
3
x→0
= lim −
x→0
x
3
=0
Örnek 11:
(
)
x − sin x
1 − cos x
lim
= lim
x→0
x→0
x3
3x 2
(
)
− sin x
= lim
x→0
6x
( − cos x )
= lim
x→0
6
1
=
6
Örnek 12:
579
BÖLÜM 22. TÜREV
580
lim x 3 ln x = lim
x→0
ln x
1
x3
1
= lim x3
x→0 − 4
x
3
x→0
= lim −
x→0
x
3
=0
Örnek 13:
3x − 2x
3x ln 3 − 2x ln 2
= lim
x→0
x→0
x
1
= lim ln 3 − ln 2
lim
x→0
= ln
3
2
Örnek 13:
x3
x→∞ e 2x
3x 2
= lim
x→∞ 2e 2x
6x
= lim
x→∞ 4e 2x
6
= lim
x→∞ 8e 2x
=0
lim x 3 e −2x = lim
x→∞
Örnek 13:
lim (sin x)1/ ln x = e
x→0+
22.14. PROBLEMLER
581
olduğunu gösteriniz.
lim+ (sin x)1/ ln x = lim+ e
x→0
ln(sin x)
ln x
x→0
[
limx→0+
=e
=e
=e
=e
[
limx→0+
[
[
ln(sin x)
ln x
cos x
sin x)
1
x
]
]
]
limx→0+
x cos x
sin x
limx→0+
cos x−x sin x
cos x
]
= e1
=e
22.14 Problemler
1.
y = t anx
2.
y = cot 5x
3.
y = sec2x
4.
y = c sc6x
5.
y = c sc(x 3 − 1)
6.
y = t an(x 2 − 3x
7.
y = cot (x 2 − x)
8.
9.
12.
13.
y = sec 3 (x 2 − 3)
√
y = t an 2 x 2 − 2x
√
y = cot 2 x 4 − x + 2x
y = c sc6x
√
y = csc 2 x 2 + 4x
√
3
y = cot 3 x 3 − 3x
14.
y = sec 3 (x 3 + 3) + x
15.
y = c sc 2 (3x) + 5x
16.
y = 2x + t an 3 (x + 1)
17.
y = xt an 2 (x 2 − x)
√
y = x 2 sec 2 x 2 + 6x
18.
y = x 2 cot 3 (2x − 5)
√
y = xsec 4 x 2 + 6x
11.
19.
10.
20.
22.15 Çözümlü Problemler
1.
(
)
d
1
16t an 3 (x)
=
d x 1 − sin4 (x)
(cos(2x) − 3)2
olduğunu gösteriniz
BÖLÜM 22. TÜREV
582
2.
) 1
d ( x/2
e sin(ax) = e x/2 (sin(ax) + 2a cos(ax)) + C
dx
2
olduğunu gösteriniz
3.
d ( x)
x = x x (ln x + 1) + C
dx
olduğunu gösteriniz
4.
lim x 2 ln x = lim+
x→0+
x→0
ln x
= lim (ln x + 1) + C
1/x 2 x→0+
olduğunu gösteriniz
22.16 Zor Limit Problemleri
∞
∞,
∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 0.∞ gibi belirsiz ifadelerin limitlerini bulmak için
genel geçerli bir yöntem yoktur. Çoğunlukla şu eylemlerden birisini yaparız:
0
0,
1. Değişken değiştirimi
2. Trigonometrik fonksiyonları yarım açı vb. formülleri kullanarak denk ifadelerle değiştirme,
3. Mümkünse cendere teoremini uygulama
4. Limiti alınacak fonksiyonu ilgili noktada taylor serisine açma
Bu yöntenler bazı fonksiyonlar için zor işlemleri gerektirebilir. Ama l’Hôpital
Kuralı işlemleri çok basitleştirir. Aşağıdaki örneklerin bazılarında önce ilk üç
yöntemden birisi uygulanmış, sonra l’Hôpital Kuralı ile aynı işlem tekrarlanmıştır. Örneklerden de görüldüğü gibi, l’Hôpital Kuralı limit bulmak için çok
elverişli bir yöntemdir.
1.
lim
x→0
sin x
=1
x
22.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
583
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm :
ÙA ise 0 < x < π iken sin x < x < tan x olduğunu
x açısı radyan cinsinden M
2
şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz:
sin x
x
tan x
<
<
sin x sin x sin x
x
sin x
1
⇒1<
<
=
sin x sin x. cos x cos x
sin x < x < tan x ⇒
Son eşits,zliklerde limx→0 iken cendere kuralını uygularsak,
lim
1
x→0 cos x
= 1 ⇒ lim
x
x→0 sin x
=1
sin x
=1
x→0 x
⇒ lim
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
sin x
cos x 1
= lim
= =1
x→0 x
x→0 1
1
lim
2.
lim
x→0
sin 3x
=3
x
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm:
sin 3x
sin 3x
= lim 3
x→0
x→0
x
3x
sin 3x
= lim 3
x→0
3x
=3
lim
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim
x→0
sin 3x
3 cos 3x 3
= lim
= =3
x→0
x
1
1
BÖLÜM 22. TÜREV
584
3.
1 − cos x 1
=
x→0
x2
2
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm:
[
(
)]
1 − cos2 (x/2) − sin2 (x/2)
1 − cos x
= lim
lim
x→0
x→0
x2
x2
]
[ 2
1 sin (x/2)
1
= lim
= .1
2
x→0 2
(x/2)
2
1
=
2
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
1 − cos x
sin x
= lim
2
x→0
x→0 2x
x
cos x
= lim
x→0 2
1
=
2
lim
4.
1 − cos x
=0
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm:
[
]
1 − cos2 (x/2) − sin2 (x/2)
1 − cos x
lim
= lim
x→0
x→0
x
x
[
]
2
2 sin (x/2)
= lim
x→0
x
]
[
] [
sin(x/2)
= lim sin(x/2) . lim
x→0
x→0 (x/2)
= 0.1
=0
22.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
585
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
1 − cos x
sin x
= lim
x→0
x→0 1
x
0
= =0
1
lim
5.
lim (x − 3) csc(πx) = −
x→3
1
π
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 3 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
x −3
sin(πx)
(
)
7
31
1 1
(π)3 (x − 3)4 −
(π)5 (x − 3)6 + O (x − 3)7
= − − π(x − 3)2 −
π 6
360
15120
(x − 3) csc(πx) =
olur. Buradan limit alınırsa,
[
]
(
)
7
31
1 1
2
4
5
6
7
π(x − 3) −
(π) (x − 3) + O (x − 3)
lim (x − 3) csc(πx) = lim − − π(x − 3) −
x→3
x→0
π 6
360
15120
1
=−
π
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
x −3
x→0 sin(πx)
1
= lim
x→0 π cos(πx)
1
=− =0
π
lim (x − 3) csc(πx) = lim
x→3
6.
lim
x→0
1
sin x − x
=−
3
x
6
BÖLÜM 22. TÜREV
586
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
( 6)
sin x − x
1
x2
x4
=
−
+
−
+
O
x
x3
6 120 5040
olur. Buradan limit alınırsa,
[
]
( 6)
sin x − x
1
x2
x4
lim
=
lim
−
+
−
+
O
x
x→0
x→0
x3
6 120 5040
1
=−
6
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
sin x − x
cos x − 1
= lim
3
x→0
x→0
x
3x 2
− sin x
= lim
x→0 6x
− cos x
= lim
x→0
6
1
=−
6
lim
7.
cos ax − cos bx) b 2 − a 2
=
x→0
x2
2
olduğunu gösteriniz.
lim
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
( )
cos ax − cos bx) 1 2
1
1 4 6
= (b − a 2 ) + x 2 (a 4 − b 4 ) +
x (b − a 6 ) + O x 6
2
x
2
24
720
olur. Buradan limit alınırsa,
cos ax − cos bx)
x→0
x2
lim
[
( )
1
1
1 4 6
= lim (b 2 − a 2 ) + x 2 (a 4 − b 4 ) +
x (b − a 6 ) + O x 6
x→0 2
24
720
2
2
b −a
=
2
]
22.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
587
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
cos ax − cos bx)
−a sin(ax) + b sin(bx)
= lim
2
x→0
x→0
x
2x
−a 2 cos(ax) + b 2 cos(bx)
= lim
x→0
2
−a 2 + b 2
= lim
x→0
2
2
2
b −a
=
2
lim
8.
e x − 1)
=1
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
( )
x x2 x3
x4
x5
e x − 1)
= 1+ +
+
+
+
+ +O x 6
x
2
6 24 120 720
olur. Buradan limit alınırsa,
e x − 1)
x→0
x
lim
[
]
( 6)
x x2 x3
x4
x5
= lim 1 + +
+
+
+
+ +O x
x→0
2
6 24 120 720
=1
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
ex
e x − 1)
= lim
x→0 1
x→0
x
e0
=
1
=1
lim
BÖLÜM 22. TÜREV
588
9.
e −ax − e −bx
= a +b
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede 00 belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
e −ax − e −bx
1
1
1
= (b − a) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3 + x 3 (a 4 − b 4 )
x
2
6
24
( )
1 4 5
1 5 6
5
+
x (a + b ) +
x (a − b 6 ) + O x 6
120
720
olur. Buradan limit alınırsa,
e −ax − e −bx
=
x→0
x
[
]
1
1
lim (b − a) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3
x→0
2
6
[
]
( )
1 3 4
1 4 5
1 5 6
+ lim
x (a − b 4 ) +
x (a + b 5 ) +
x (a − b 6 ) + O x 6
x→0 24
120
720
lim
=b−a
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
−ae ax + be −bx
e −ax − e −bx
= lim
x→0
x→0
x
1
b−a
=
1
=b−a
lim
10.
f (x) =
3+x
3−x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
22.16. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ
Çözüm:
(3 − x) − (−1)(3 + x)
3 − x2
6
=
3 − x2
f ′ (x) =
11.
f (x) =
√
(2x − 1)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
1
2
f ′ (x) = (2x − 1) 2 −1
2
1
=
1
(2x − 1) 2
1
=p
(2x − 1)
1
f ′ (9) =
3
12.
{
f (x) =
x sin( x1 ), x ̸= 0
0,
x =0
fonksiyonu
(a) x = 0 noktasında sürekli midir?
(b) x = 0 noktasında türetilebilir mi?
Çözüm:
(a)
1
lim |x sin( )| ≤ lim |x|
x→0
x
=0
x→0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında limiti vardır.
589
BÖLÜM 22. TÜREV
590
(b)
f (0 + h) − f (0)
h→0
h
1
h sin( h ) − 0
= lim
h→0
h
1
= lim sin( )
h→0
h
l i mi t yok
f ′ (0) = lim
O halde f fonksiyonunun x = 0 noktasınada türevi yoktur.
13.
f (x) = |x|
fonksiyonu için
(a) x = 0 noktasında limit var mıdır?
(b) x = 0 noktasında sürekli midir?
(c) x = 0 noktasında türetilebilir mi?
(d) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
(a) Sağ ve sol limitlere bakalım:
lim |x| = lim− (−x) = 0
x→0−
x→0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında soldan limiti vardır.
lim |x| = lim+ (+x) = 0
x→0+
x→0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında sağdan limiti vardır.
Soldan ve sağdan limitler eşit olduğundan, f fonksiyonunun x = 0
noktasında limiti vardır ve bu limit L = 0 dır.
(b) f (0) tanımlı ve limite eşit olduğundan; yani f (0) = 0 = L olduğundan, fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir.
22.17. ALIŞTIRMALAR
591
(c) Sol ve sağ türevlere bakalım:
f (0 + h) − f (0)
h
−h
= lim−
h→0 h
h
= − lim−
h→0 h
= −1
f −′ (0) = lim−
h→0
ve
f (0 + h) − f (0)
h→0
h
h
= lim+
h→0 h
= − lim+ 1
f +′ (0) = lim+
h→0
= +1
olur. Sol ve sağ türevler var ama birbirlerine eşit olmadığından , f
fonksiyonunun x = 0 noktasında türevi yoktur.
(d) f (x) = |x| fonksiyonunungrafiği Şekil deki gibidir.
22.17 Alıştırmalar
Örnek 22.1.
f (x) = 3x −2 − 5x −3 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üstel fonksiyon türevi olarak,
f ′ (x) = (−2)3x −2−1 − (−3)5x −3−1
= −6x −3 + 15x −4
−6 15
= 3+ 4
x
x
bulunur.
Örnek 22.2.
BÖLÜM 22. TÜREV
592
f (x) =
1
x
+ x22 + x33 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üstel fonksiyon türevi olarak,
)
d ( −1
x + 2x −2 + 3x −3
dx
= (−1)x −1−1 + (−2)2x −2−1 + (−3)3x −3−1
−1 −4 −9
= 2+ 3+ 4
x
x
x
f ′ (x) =
bulunur.
Örnek 22.3.
f (x) = (1 − x 2 )(2 − x 2 ) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Parantezleri açıp problemi bir polinomun türevinin alınması haline getitebiliriz.
)
d ( 4
−x + x 2 + 2
dx
= (−4)x 4−1 + (2)x 2−1 + 0
f ′ (x) =
= −4x 3 + 2x
olur.
Örnek 22.4.
f (x) = (1 − x −5 )2 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üsttleri düzenleyip üstel fonksiyonun türev formülünü uygulayabiliriz.
)
d (
(1 − x −5 )2
dx
)
d (
=
(1 − 2x −5 + x −10
dx
= 0 − (−2)(−5)x −5−1 + (−10)x −10−1
f ′ (x) =
= 5x −6 − 10x −11
10
5
= 6 − 11
x
x
olur.
Örnek 22.5.
22.17. ALIŞTIRMALAR
f (x) =
1
(1+x)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
(
)
d
1
d x (1 + x)
0.(1 + x) − 1.1
=
(1 + x)2
−1
=
(1 + x)2
f ′ (x) =
olur.
Örnek 22.6.
f (x) =
x 3 −1
(x 3 +1)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
( 3
)
d
x −1
f (x) =
d x (x 3 + 1)
3x 2 (x 3 + 1) − 3x 2 (x 3 − 1)
=
(x 3 + 1)2
2
−6x
= 3
(x + 1)2
′
olur.
Örnek 22.7.
f (x) = tan x fonksiyonunun türevini bulunuz.
593
BÖLÜM 22. TÜREV
594
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
d
(tan x)
dx (
)
d sin x
=
d x cos x
)
(
(sin x)′ (cos x) − (cos x)′ (sin x)
=
(cos x)2
(
)
(cos x)(cos x) − (− sin x)(sin x)
=
(cos x)2
)
(
cos2 x + sin2 x
=
cos2 x
f ′ (x) =
= 1 + tan2 x
1
=
cos2 x
= sec2 x
olur. Son üç eşitlik tan x fonksiyonunu içeren ifadelerde türev alırken kullanılabilir.
Örnek 22.8.
f (x) =
sin x
x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
(
)
d sin x
f (x) =
dx
x
)
(
(sin x)′ (x) − (x)′ (sin x)
=
x2
x cos x − sin x
=
x2
′
olur.
22.18 Teğet
y = f (x) eğrisi üzerinde sabit bir P (a, f (a) noktası ile eğri üzerinde gezen bir
Q(x, f (x)) noktası alalım. PQ kirişine, kısaca t doğrusu diyelim. PQ doğrusu yatay eksene dik olmasın. O zaman t doğrusunun eğimini bulabiliriz. Sözkonusu
eğimi m t ile gösterelim. m t eğimi t doğrusu ile yatay eksen arasında oluşan α
22.18. TEĞET
595
açısının tanjantıdır. O halde,
m t = tan α =
y −b
f (x) − f (a)
=
x −a
x −a
(22.35)
olur. Şimdi Q noktasını P noktasına yaklaştıralım. Tabii, Q noktası hep P noktasının aynı tarafında kalmayabilir. Dolayısıyla t doğrusunun eğimi bazen pozitif, bazen negatif olabilir. Q → P iken x → a olacağı düşünülürse, limit konumunda, yani Q noktası P noktası üzerine geldiğinde, (limit varsa) t doğrusu
eğriye P noktasında teğet olacaktır. Teğetin eğimine m dersek,
lim m t = m
(22.36)
x→a
olacağı görülür. Öte yandan, 22.35 ifadesinin sağ yanının x → a iken limiti f ′ (a)
dır; yani
y −b
f (x) − f (a)
= lim
x→a
x −a
x −a
= f (a)
m = lim
x→a
′
(22.37)
olur. Buradan şu kuralı çıkarabiliriz:
Teorem 22.3. y= f(x) fonksiyonu x = a noktasında türetilebiliyorsa, eğrinin P (a, f (a)
noktasındaki teğeti yatay eksene dik değilse, eğimi
m = f ′ (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x −a
(22.38)
bağıntısı ile belirlenir.
Teğet Ox eksenine dik ise eğriyi ancak bir nokada keseceğinden, yukarıda söylendiği gibi t doğrusu üzerinde bir PQ kirişi oluşamaz. Bu durumda,
Teorem 22.4. y= f(x) fonksiyonu sürekli ve x = a noktasında türetilebiliyorsa,
eğrinin P (a, f (a) noktasındaki teğetinin eğimi
lim
x→a
f (x) − f (a)
f (x) − f (a)
= +∞ ya da lim
= −∞
x→a
x −a
x −a
(22.39)
bağıntılarından birisini sağlar.
Ancak, 22.39 koşulu sol ve sağ dn yaklaşoldığına teğetin dilkiği için yeterlidir,
ama yeterli değildir. Gerçekten,
y = f (x) = x 2/3
BÖLÜM 22. TÜREV
596
eğrisi için x = 0 noktasında soldan ve sağdan limit alındığında 22.39 limitleri
vardır. Ama eğri x = 0 noktasında türetilemez. Dolayısıyla söz konusu noktada
teğeti yoktur. Gerçekten
x 2/3 − 0
x 2/3
= lim−
= −1
x→0
x→0
x −0
x
x 2/3 − 0
x 2/3
= lim+
= +1
f +′ (0) = lim+
x→0
x→0
x −0
x
f −′ (0) = lim−
(22.40)
(22.41)
olur.
Öte yandan y = f (x) = |x| fonksiyonu için, x = 0 noktasında soldan türev −1,
sağdan türev +1 dir; yani türev yoktur. Dolayısıyla x = 0 noktasında teğeti yoktur. Gerçekten,
|x| − |0|
|x|
= lim−
= −1
x→0
x→0 x
x −0
|x| − |0|
|x|
f +′ (0) = lim+
= lim+
= +1
x→0
x→0 x
x −0
f −′ (0) = lim−
(22.42)
(22.43)
olduğundan sol ve sağ türevler var ama birbirlerine eşit değildir.
Teğetin Denklemi
Bir P (a, b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denkleminin y = m(x−
a) + b olduğunu biliyoruz. O halde P (a, f (a) noktasındaki teğetin denklemi,
y = f ′ (a)(x − a) + f (a)
(22.44)
olur.
Örnek 22.1.
Bir doğrunun her noktasındaki teğetinin kendisi ile çakıştığını gösteriniz.
Çözüm: a eğim, ve b bir sayı olmak üzere Ox ksenine dik olmayan hr doğru
y = ax +b biçiminde bir denkleme sahiptir. 22.44 bağıntısına göre teğetin denklemini yazarsak, y = ax + b olduğunu görürüz.
Örnek 22.2.
y = f (x) = x 2 parabolünün x = 0 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.
Çözüm: f ′ (0) = 2.0 = 0 olduğundan, x = 0 noktasındaki teğeti y = 0(x −0)+0 = 0
olacaktır. O halde teğet Ox eksenidir.
22.18. TEĞET
597
Örnek 22.3.
y = f (x) = x 2 parabolünün x = 1 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.
Çözüm: f ′ (−1) = 2.(−1) = −2 olduğundan, x = 0 noktasındaki teğeti y = −2(x −
1) + 0 = −2x − 1 olacaktır.
Dizin
derivative, 561, 563
diferensiyel, 563
differentiable, 561
parçalı türetilebilme, 562
parçalı türev, 562
sağ türev, 562
sec:differential, 563
sectional derivative, 562
sol türev, 562
türetilebilme, 561
türev, 561
türev kuralları, 565
629