14.12 Oyun Teorisi

14.12 Oyun Teorisi
Muhamet Yıldız
Güz 2005
14.12 Game Theory
Muhamet Yildiz
Fall 2005
Ödev 6 Çözümleri
Solution to Homework 6
1. 1. problemin
çözümü
14.12 Game
Theory
Muhamet Yildiz
Fall 2005
Answer
to Problem
1
(a)
Diyelim
ki, j oyuncusu
bj (vj ) = a + cvj teklifini versin. j bu stratejiyi oynarken
i’nin
v+i cv
vej . teklifi
oyuncusunun
kazancı
i iiken,
(a) Suppose
player j ve
bids
bj (vdeğeri
= a
Let 6uib(v
, vj , bi )i be
player i’s
Solution
Homework
j ) to
payoff
j is O
playing
this strategy, and player i has a valuation
ui (vi ,when
vj , biplayer
) olsun.
zaman
vi and bids bi . Then
Answer to Problem 1
b −a
i
(a) Suppose
(vji )−=bia) +ifcv
ui (viplayer
, vj , bij) bids
= bj (v
vjj. <Let ui (vi , vj , bi ) be player i’s
c player i has a valuation
payoff when player j is playing this strategy, and
1
1
bi − a
vi and bids bi . Then
(vi − bi ) +
(a + cvj ) if vj =
2 b −a
c
i
ui (vi , vj , bi ) = (vi − bi ) if vj < bi − a
= (a + cvj ) if vj > c
c
1
1
bi − a
=
=
2
2
(vi − bi ) +
2
(a + cvj ) if vj =
c
Therefore, expected
payoff to player i frombibidding
bi when his valuation R 1
− a kazancı,
! 1 i oyuncusunun
Dolayısıyla,
b
teklifinden
değeri vi iken 0 ui (vi , vj , bi )dF (v)’ye
=
(a
+
cv
)
if
v
>
i
j
j
is vi equals 0 ui (vi , v, bi ) dF (v)
c
eşittir,
öyle
ki,
(v)
j oyuncusunun
vjfunction
değeri
için
olaılık
where
F (v)
is expected
the F
cummulative
distribution
for
player
j’s dağılım
valua- fonksiyTherefore,
payoff to player
i from bidding
bi when
his
valuation
!1
v0j u1]
has
over tabi
[0, 1],olduğundan,
F (v) = v. Then
tion
visj .vi Since
equals
v, uniform
bi ) dF tekdüze
(v) distribution
i (vüzerine
i ,a
onudur.
vj [0,
dağılıma
F (v) = v’dir.
the expected
payoff
can
be
written
as
where F (v) is the cummulative distribution function for player j’s valuaO zaman,
beklenen
vj has akazanç
uniform distribution over [0, 1], F (v) = v.
tion vj . Since
"
bi −a
"
1 as
the expected
c payoff can be written
0
"
=
=
=
" bi1−a
(a + cv) dv
c
dv + %
(a + cv) dv
&
#(vi − bi ) $
bi −a
2 1
c
bi − a
c
(v)
&
(vi − bi ) #
$+ %av +
2 1
bci − a
c (v)2
bi −a
= (vi − bi )
+ av +
c $
2# bi −a c $ '
#
#
$(
bi −c a
bi − a
c
c bi − a
(vi − bi ) # bi − a $+ a + c −# bi − a $ ' ac+# bi − a $(
c a+
2
c
= (vi − bi ) c
+ a + 2−
c $
2
c$
# c
#
$#2
# a +$
#
$
b
b#i b−−aa $
−
a
b
c
a + bi i bi − ia
c
i
(vi −
+
i )bi )
=
(vib−
+ aa +
+ 2 −−
cc
2
22
c c
# # $$
−a
bi a
cc
1 1bi −
=
−3b
3bii −
− a)
(2v
a)++aa++2
(2v
i i−
2 2 c c
2
0
=
(vi − bi ) dv +
bi −a
c
Then
Setting the first-order condition with respect to b equal to zero, we obtain
Setting the first-order condition with respect toi bi equal to zero, we obtain
−3 (bi − a) + (2v1
i − 3bi − a) = 0
−3 (bi − a) + (2vi − 3bi − a) = 0
=⇒ bi =
=⇒ bi =
1
1
1
(vi + a)
31
3
(vi + a)
#
$
$#
$
a + bi
bi − a
bi − a
c
= (vi − bi )
+a+ −
c
2
2
c
$
#
c
1 bi − a
=
(2vi − 3bi − a) + a +
2
c
2
bi ’ye göre birinci dereceden türevini sıfıra eşitlediğimizde,
Setting the first-order condition with respect to bi equal to zero, we obtain
#
−3 (bi − a) + (2vi − 3bi − a) = 0
=⇒ bi =
1
(vi + a)
3
elde ederiz. Dolayısıyla, eğer
1 j oyuncusu bj (vj ) = a + cvj teklifinde bulunursa, o zaman i oyuncusunun en iyi tepkisi bi (vi ) = a3 + 13 vi ’dir. Bir
Therefore,
if player
j bidsNash
bj (vjdengesinde,
) = a + cvjb, j then
i’s best response
simetrik
Bayezyen
(v) =player
bi (v)’dir.
a
1
is to bid bi (vi ) = 3 + 3 vi . In a symmetric Bayesian Nash equilibrium,
bj (v) ≡ bi (v).
Therefore, if player j bids bj (vja) = av + cvj , then player i’s best response
≡ a + cv
. In 3a +symmetric
Bayesian Nash equilibrium,
is to bid bi (vi ) = a3 + 13 vi=⇒
3
bj (v) ≡ bi (v).
1
=⇒ ac+
=v ≡
, a a=+0cv
=⇒
3 33
1
1
Therefore, both players 1 and=⇒
2 playing
c = , ab (v)
= 0= 3 v is a symmetric, linear
Dolayısıyla,
simetrik ve lineer 3bir Bayezyen Nash dengesinde, her iki
Bayesian
Nash equilibrium.
oyuncu da b(v) = 31 v oynar.
1
Therefore,
both jplayers
2 playing
symmetric, differlinear
b (.)b (v)
is a=strictly
(b) Suppose
player
bids b 1(vand
j ), where
3 v is a increasing,
Bayesian
Nash
equilibrium.
(b) Diyelim
ki, j Let
oyuncusu
ki, b(·)
kesin
vj , jb)i )teklifinde
be playerbulunsun,
i’s payofföyle
when
player
j isartan
entiable
function.
ui (vi , b(v
bids bive
. Then
playingvethis
strategy, and player
i has a valuation
vi and
türevlenebilir
j bu stratejiyi
oynarken
i’nin değeri
(b) Suppose
player j bids bir
b (vfonksiyondur.
j ), where b (.) is a strictly increasing, differvi function.
ve
teklifi
biLet
iken,
kazancı
bi ) olsun.
O zaman,
−1i’suipayoff
player
j is
entiable
ui i(voyuncusunun
i , vj , bi ) be player
ui (v
(bi )(vi , vj , when
i , vj , bi ) = (vi − bi ) if vj < b
playing this strategy, and player i has a valuation vi and bids bi . Then
1
1
(vi − bi ) + b (vj ) if vj = b−1 (bi )
=
ui (vi , vj , bi ) = 2(vi − bi ) if vj2 < b−1 (bi )
= b1(vj ) if vj > b1−1 (bi )
(vi − bi ) + b (vj ) if vj = b−1 (bi )
=
2
2
Following the reasoning in part (a), the expected
payoff to player i equals
= b (vj ) if vj > b−1 (bi )
! b−1 (bi )
! 1
Following the reasoning in part
payoff
to player i equals
(vi(a),
− bithe
) dvexpected
+
b (v) dv
0 yürütmeyi takip ederek,
b−1 (bigörüyoruz
)
olur. (a)’daki akıl
ki, i’nin beklenen
! b−1 (bi ) −1
! 11
= (vi − bi ) b (bi ) + [h (vj )]b−1 (bi )
değeri
(vi − bi ) dv +
" b (v) dv
#
b−1
= (v0i − bi ) b−1 (bi ) + h (1) −
h(bib)−1 (bi )
1
= (vi − bi ) b−1 (bi ) + [h (vj )]b−1 (bi )
"
where h (v) is defined
such
= hb (1)
(v).− h "b−1 (b )#
= (v
− bthat
) b−1h (b(v)) +
i
i
i
i
Setting the first-order condition with respect to bi equal to zero, and
∗
best such
reply,that
we obtain
writing
where hb(v)
is the
defined
h" (v) = b (v).
i for
Setting the first-order condition
respect
∗
−1 ∗ to zero, and
" −1 to∗ #bidbequal
(bi )
db−1 (bwith
i )2
"
∗−1 (b∗ ) + (v − b∗ )
b
−
h
(b
)
=0
−b
i reply,
we obtain
writing bi for ithe best
i
i
∗
dbi
dbi
−1 ∗
∗
" −1 ∗" # db−1 (b
#$i ) = 0
−1 ∗
∗ db 1 (bi ) %
"
−1
∗
∗
−1
∗
b
(b
)
+
(v
−
b
)
−
h
(b
)
−b
i
vi − bi − bi b (bdb
(bii) + i " −1db∗ ∗
=⇒ −b
i )i = 0
b (b (bi i ))
%
"
#$
1
−1 ∗
) =⇒
For a symmetric
must
have
vi −bb∗i∗i =
(bi ) + " we
− bb(vbi−1
(b∗i ) b−1
= (b
0 ∗i ) = vi .
=⇒ −bequilibrium,
∗
−1
b
(b
(b
))
i
Hence,
1 j ), where b (.)1is a strictly increasing,
differ(b) Suppose player j bids b (v
(v
b (v=i’s
= u1i (v
−
b)i )be+player
ifisvaj symmetric,
=
b−1player
(bi )linear
i2
j )13 vpayoff
Therefore,
both players
and
playing
b (v)
,
v
,
b
when
j is
entiable
function.
Let
i
j
i
2
2
Bayesianthis
Nash
equilibrium.
playing
strategy,
and player i has a valuation
vi and bids bi . Then
−1
= b (vj ) if vj > b
(bi )
increasing, differ(b) Suppose u
player
j bids b (vj ), where b (.) is a−1strictly
(bi )
i (vi , vj , bi ) = (vi − bi ) if vj < b
(v
,
v
,
b
)
be
player
i’s
payoff
when
player ji is
entiable
function.
Let
u
i
j i the expected payoff
Following the reasoning in part
to player
equals
1i (a),
1
bids
playing this strategy, and
i has
a valuation
(vi −
b (vj ) if vvij and
= player
bi ) +
= b−1
(bi b)i . Then
2
! b−1 (bi ) 2
−1!−1
1)
=
b
(v
)
if
v
>
j
j
i (bi )
ui (vi , vj , bi ) = (vi − bi ) if vj b< b(b
(vi − bi ) dv +
b (v) dv
1
1 b−1 (b )
0
i
Following the reasoning =
in part(v(a),
b (vj ) ifpayoff
vj = to
b−1player
(bi ) i equals
i − bthe
i ) +expected
2−1
2
1
−1
= (vi −
[h (v! 1)]ib)−1 (bi )
−1
! bb
i )(bbib)(vj(b
=
) iif) v+
j > b j(b
"b (v)
#
(v
−
b
)
dv
+
i
−1 dv
=reasoning
(vi −0 bini ) part
b−1 i(a),
(bi )the
+ hexpected
(1)b−1
−(bhipayoff
(biplayer
)
) b
Following the
to
i equals
1
(v
− bi ) b−1 (bi ) + [h (v!j )]b−1 (bi )
! ib−1
(bi )
1 "
"
#
−1 (v) = b (v).
defined=such
that
h
b (v)
(vi −
bi ) b(v
(bib)i )+dvh +
(1) − h b−1
(bidv
)
i−
=
where h (v) is
b−1 (b )
0
i
Setting the first-order condition
with respect1 to
bi equal to zero, and
0
−1
"
’dir,
öyle
ki,
h(v),
h
(v)
=
b(v)
olarak
tanımlıdır.
bi ’ye göre birinci derece= (vsuch
(vj )]b−1 (bi )
i − bthat
i ) b h (b
i) +
defined
(v)
=[h
b (v).
theisbest
reply,
we
obtain
writingwhere
b∗i forh (v)
"
#
den türevini
sıfıra
iyibb−1
b∗i yazdığımızda,
= (veşitlediğimizde,
− bi ) b−1 (b
hve
(1) en
− hto
(bi ) için
equal
to zero,
and
Setting
the first-order
with
icondition
i ) + respect
itepki
∗
−1
∗
−1 ∗
for
the
best
reply,
we
obtain
writing
b
"
#
(bi )
db (bi )
−1 i∗
∗ db
"
b−1 (b∗i )
(b(v)
(vi − bsuch
=0
−b
i)+
i ) that∗h" (v)−=hb (v).
where h
is defined
db−1i (b∗ )
∗ i
"
# db−1 (bdb
)
db
i
i
−1 ∗
∗
b∗i )
− respect
h" b−1 (b
0
and
Setting−b
the (b
first-order
toi )bi equal to=zero,
i ) + (vi −condition
∗ with
db
db
i
i
∗
%
"
#$
the
best
reply,
we
obtain
writing bi for
1
=⇒ −b−1 (b∗i ) + " −1 1 ∗ %vi − b∗i − "b b−1 (b#$∗i ) = 0
∗
−1 −1∗ ∗
(b(b
∗
i ∗))
=⇒ −b−1 (b∗i ) b+ (b db−1
" b−1
) vi −
i − b∗ b# db(bi )(bi )= 0
i))
"
b
−
h
(b
)
=0
−b−1 (b∗i ) + (vi − b∗ib)" (b−1 (b
i
i
db∗i
dbi
(b∗ ) = vi .
For a symmetric equilibrium, we must
have b∗∗i = b (vi ) =⇒−1 b−1
For a symmetric equilibrium, we must have bi = b (vi ) =⇒ b (b∗i ) = ivi .
%
"
#$
1
Hence, Hence, =⇒ −b−1 (b∗ ) +
vi − b∗i − b b−1 (b∗i ) = 0
i
∗
"
−1
1∗1 (bi ))
b (b
−vi−v
+
(vbii)]−1
)]=(b
=0∗i 0= vi ) olmalı. Dolayısıyla,
[v
−
Simetrik bir denge
için,
b(v
⇒(v
i i−
i +" b" i =[v
i )2b
b (v
b (v
i )i )
∗
For a symmetric equilibrium, we must have bi = b (vi ) =⇒ b−1 (b∗i ) = vi .
2b (vi )
Hence,
=⇒ " b"1(vi ) + 2b (vi ) = 1
(1)
=⇒
b
(v
)
+
(1)
vi (v )]==10
i
−vi + "
[vi − 2b
i
v
i
b (vi )
=⇒ b" (vi ) +
2b (vi )
=1
vi
(1)
2
2
(c) Kolaylık olması için, yukarıdaki vi yerine v yazalım. v 2 ile çarparsak,
2
3
(c)
notationalsimplicity,
simplicity,replace
replace
vi with
in (1).
Multiplying
throughout
(c) For
For notational
vi with
v inv(1).
Multiplying
throughout
2
2
weobtain
obtain
with
vv ,,we
(c) (1)
Forwith
notational
simplicity,
replace vi with v in (1). Multiplying throughout
2
(1) with v , we obtain ! ! 2 2
2
v v+ 2b
v =vv=
b b(v)(v)
+ (v)
2b (v)
v2
b! (v) v 2 + 2b (v) v = v 2
d &d & 2 ' ' 2
v v=2 v= v 2
=⇒
b (v)
=⇒ dv b (v)
&
dv
! !2 '
d
2
=⇒
2 b (v) v 2 = v
=⇒ b (v)
v
=
v
dv
=⇒ bdv
(v) v 2 = ! v 2 dv
2 3
2
=⇒ b (v)
2 v v= 3 v dv
=⇒ b (v) v =2 +
vc
3
+c
=⇒ b (v) v =
v 2 cv33
=⇒
= v +v= 2 c+ c
=⇒ b (v)
b (v)
=⇒ b (v) 3= v+3 2
3v vc
=⇒
b
(v)
=
+ artan
elde
ederiz.
b(v)’nin,
v
∈
[0,
1]
için,
kesin
olması
c = 0 olmalı.
For b (v) to be strictly increasing for v ∈ [0, 1],
c = 0. için,
Therefore,
2
3 we vrequire
For b (v)Dolayısıyla,
to be strictly increasing for vv∈ [0, 1], we require c = 0. Therefore,
b (v)
For b (v) to be strictly increasing
for=v3∈ v[0, 1], we require c = 0. Therefore,
b (v) =
v
b(v)3v= .
3
b (v) =
3
Answer
to Problemçözümü
2
2. 2. problemin
Answer
to Problem
2 Bayesian Nash equilibrium, we compute the best
(a)
To compute
a symmetric
(a) Simetrik
bir Bayezyen
Nash dengesi hesaplamak için, i oyuncusunun,
responsetofunction
for player
i when all other individuals j =
# i adopt a
Answer
Problem
2
diğeratüm
j 6= i oyuncuları
bj (v
a + cvj stratejisini
kullanırken,
iyi
(a) To
compute
symmetric
Bayesian
Nash
we
compute
the en
best
j ) = equilibrium,
strategy bj (vj ) = a + cvj .
a
function
for player
i when
all equilibrium,
other individuals
j =
# i adopt
tepki
fonksiyonunu
hesaplıyoruz.
(a) response
Toplayer
compute
Bayesian
Nash
we compute
the best
If
i bidsa bsymmetric
i when her valuation is vi , then her expected payoff equals
= afor
+vcv
strategy
bfunction
j (vi,
j )değeri
j.
responseEğer
player
i teklifinde
when allbulunursa,
other #individuals
j =
# i adopt a
beklenen kazancı
i iken, bi "
(vj )bi=when
a + cv
strategy
If
player ibjbids
her
j . valuation is vi , then her expected payoff equals
[vi −
bi ] Pr max bj (vj ) < bi
j""
=i
If player i bids bi when her valuation
is vi , then her#expected payoff equals
bi ] Prwhere
bj (v
) < b = bi as this occurs
"maxmax
i − case
Note that we can ignore[vthe
j=
" ji bj (vji)#
j"=i
with zero probability. Now,
[vi − bi ] Pr max bj (vj ) < bi
j"=i
"
#
#
Note that we can ignore the case
where"maxj=
" i bj (vj ) = bi as this occurs
olur.
Sıfır
olasılıkla
olan
max
b
(v
)
=
b
durumunu
yok sayabiliriz.
j6Pr
=i j max
j a + icvj < bi
bj (vNow,
Pr
maxignore
with
j) <
Note zero
that probability.
we can
thebi case=where
max
" i bj (vj ) = bi as this occurs
j"=i
j"=i j=
Şimdi,"
" "
#
#
with zero
probability. Now, #
bi − a
vj <a + cvj < bi #
Pr "max bj (vj ) < bi #= =Pr Prmax
"max
j"=i j"=i
c
j"=i
"#
n−1 a + cvj < bi#
Pr max bj (vj ) < bi
=" b Pr
max
i − a j"=i
j"=i
bi − a
= = Pr "max
<
v
#
j
100c j"=i
bi c− a
= "
Pr max#vn−1
j <
j"=
i
c
b
−
a
i
Therefore, we can write player i’s expected
= "payoff from
#n−1bidding bi as
b100c
"
#n−1
i−a
bi =
−a
100c
[vi − bi ]
Therefore, we can write player i’s 100c
expected payoff from bidding bi as
%
$ n−1
a
Therefore,
we can write
i’s "
expected
payoff from bidding bi as
vi .− a #n−1
which
is maximised
at bi =player
+
n
n 4b
i
[vi − bi ] "
#n−1
b100c
i−a
[vi −3bi ]
%
$
100c
which is maximised at bi = na + n−1
n % vi .
$
vi .
which is maximised at bi = na + n−1
n
3
=
Pr max vj <
=
"
j"=i
bi − a
100c
#n−1
bi − a
c
Dolayısıyla, i’nin bi ’den elde edeceği beklenen kazancını
Therefore, we can write player i’s expected payoff from bidding bi as
"
#n−1
bi − a
[vi − bi ]
100c
%
$
vi .
which is maximised at bi = na + n−1
n
a
n−1
olarak yazabiliriz, öyle ki, bu miktar bi =
Dolayısıyla, simetrik bir dengede,
n
+(
n
)vi ’de maksimize edilir.
3
Therefore, in a symmetric equilibrium, we must have
!
#
n−1
a
+ equilibrium,
≡ amust
+ cvhave
vi we
Therefore, in a symmetric
i
n
n
!
#
n−1
a
+
+1cvi
vi ≡na−
n=⇒ a =
n 0, b =
n
" n −% 1
=⇒bia(v=i )0,=b =n−1 vi , i = 1..n is a symmetric,
Therefore, the strategy profile
)vi , in=n 1, ..., n strateji vektörü, simetrik
olmalıdır.
Dolayısıyla,
bi = ( n−1
n
linear Bayesian
Nash
equilibrium.
%
"
n−1
vi , i = 1..n is a symmetric,
Therefore,
the strategy
profile
bi (vdengesidir.
ve lineer
bir Bayezyen
Nash
i) =
n
(b) Thelinear
equlibrium
payoff
a player with valuation vi equals
Bayesian
Nash to
equilibrium.
(b) Dengede, vi değerli bir oyuncunun kazancı
!
#
(b) The equlibrium payoff to a player with valuation vi equals
[vi − bi (vi )] Pr !max bj (vj ) < bi (vi )#
j"=i
[vi − bi (vi )] Pr max bj (vj ) < bi (vi )
j"=i
&
!
!
!
# ' !
#
# #
n−1
n−1
n−1
=
vi&− !
#vi 'Pr !max !
# vj <!
# v#i
j"=i
n−1
n −n1
nn
−1
=
vi !
−
vi #Pr max
vi
vj <
j"=i
n
n
n
vi
! vj < vi #
=
Pr
max
vi
j"=i
n
=
Pr max vj < vi
$
j"=i
n
vi vi (n−1
$
=
vi100vi (n−1
n
=
n
n
(vi )100n
=
(vi )
=n (100)n−1
n−1
n (100)
(c) (c)
If n=80,
then
thetheexpected
with valuation
valuationv vequals
equals
If n=80,
then
expectedpayoff
payoff to
to aa player
player with
(v)80 80 ’e eşittir.
(v)
is is
thethecost
valuationvvwould
wouldbebewilling
willing
79 . This
. This
costthat
thataaplayer
player with
with valuation
80(100)
80(100)79
to incur
to to
play
thethegame.
increasingininv.v.Therefore,
Therefore,
to incur
play
game.This
Thisexpression
expression is
is increasing
the the
higher
is one’s
valuation,
player is.
is. And
Andthe
thedifference
difference
higher
is one’s
valuation,the
the‘luckier’
‘luckier’ the
the player
in expected
payoff
between
‘least lucky’
lucky’player
playerequals
equals
in expected
payoff
betweenthe
the‘luckiest’
‘luckiest’ and
and ‘least
5
80
100
10080
−0
79 −
80××100
10079
80
100
100
== 80
80
=
=
j"=i
n
$
vi vi (n−1
n 100
n
(vi )
n−1
n (100)
v 80
(c) n = 80 ise, v değerine sahip bir oyuncunun beklenen kazancı 80(100)
79 ’a
Bu expected
v değerindeki
oyunu
oynamak
için harca(c) If n=80,eşittir.
then the
payoffbir
to oyuncunun
a player with
valuation
v equals
(v)80
mayı
miktardır.
Bu değerv v’ye
göre
. Thisgözden
is the çıkarabileceği
cost that a player
with valuation
would
be artmaktadır.
willing
80(100)79
to incurDolayısıyla,
to play the bir
game.
This expression
is increasing
v. Therefore,
oyuncunun
değeri arttıkça,
daha in
’şanslı’
demektir. En
the higher
is one’s
the ‘luckier’
the player
is. And
the difference
şanslı
ve envaluation,
şanssız oyuncuların
beklenen
değerleri
arasındaki
fark
in expected payoff between the ‘luckiest’ and ‘least lucky’ player equals
=
10080
−0
80 × 10079
100
80
’e eşittir.
Answer to Problem 3
Throughout this question, we will refer to XC’s strategies as (X,Y) where X
3. 3.taken
problemin
= Action
by XC çözümü
if tXC = good and Y =Action taken by XC if tXC =
bad, with
Y =A (Advertisement
), stratejilerini
NA (No Advertisement).
we öyle
BuX,problem
boyunca, XC’nin
(X,Y) olarak Likewise,
düşüneceğiz,
will refer to the consumer’s strategy as (x, y) where x = consumer’s action if he
ki, X=XC’nin tXC = iyi olduğunda seçtiği eylem, Y=XC’nin tXC = kotu
observes A and y = consumer’s action if he observes NA, with x, y = B (Buy),
olduğunda seçtiği eylem ve X,Y=R (Reklam), HR (Hiç Reklam). Benzer
D (Don’t).
stratejisini (x,y) olarak düşüneceğiz, öyle ki, x=R’yı gözlema) Seeşekilde,
graph tüketicinin
attachment.
lediğindeki eylem, y=HR’yi gözlemlediğindeki eylem ve x,y=S (Satın al), A
(satın Alma).
4
(a) Ekteki grafiğe bakınız.
(b) Ayrık dengeler: Diyelim ki, (R,HR) XC’nin stratejisi olsun. Bu durumda,
HR
(S,A) tüketici için en iyi tepkidir ve inanışları da {µR
iyi = 1, µiyi = 0}
şeklindedir. XC’nin (S,A)’ya karşı en iyi tepkisine bakalım. Açıktır ki,
eğer tXC = iyi ise R’yi tercih eder, çünkü R > c’dir. Eğer tXC = kotu
ise, XC, HR’yi tercih eder, çünkü r − c < 0’dır. Dolayısıyla, denge
HR
{(R, HR), (S, A)}, {µR
iyi = 1, µiyi = 0} şeklindedir.
(c) Bileşik dengeler: Diyelim ki, her iki XC tipi HR oynasınlar. Temsili
tüketici sinyallerden yeni birşey öğrenmeyecektir ve inanışları değişmeyeHR
cektir. {µHR
iyi = 0.6, µkotu = 0.4}. O zaman, reklam gözlemlemediği
durumda, tüketicinin ürünü almaktan elde edeceği beklenen kazancı almamaktan elde edeceğinden daha fazladır: (0.6)(1)+(0.4)(−1) = 0.2 > 0.
Dolayısıyla, tüketici ürünü alır. Yine de tüketicinin R sinyalini görmesi
6
durumunda neye inanacağını belirtmemiz gerekiyor. Iki tip de dengede
bu sinyali göndermediği için, burada Bayez kuralını kullanamıyoruz. Eğer
R
µR
iyi > 0.5 ise, almayı tercih eder ve µiyi < 0.5 ise almak istemez. Bu
durumda, tüketicinin neye inandığından bağımsız olarak, XC çark etmek istemez. Iyi tip, çark etmezse R kazanır, ki bu çark etmesi durumunda kazanacağı R − c ya da −c’den (tüketicinin R gördüğünde ne
yapacağına göre değişir) daha büyüktür. Kötü tip de benzer şekilde çark
etmek istemez, çünkü r, r − c ve −c’den büyüktür. Dolayısıyla, dengeler,
HR
R
{(HR, HR), (S, S)}, {µR
iyi > 0.5, µiyi = 0.6} ve {(HR, HR), (A, S)}, {µiyi
< 0.5, µHR
iyi = 0} şeklindedir.
(d) Bu durumda, (b)’deki ayrık denge artık bir denge değildir, çünkü, kötü tip
çark etmek isteyecektir ve reklam vererek iyi tipmiş gibi davranacaktır ve
0 yerine r − c kazanacaktır. (c)’deki bileşik dengeler burada da denge olmaya devam ederler. Ancak, her iki tipin de reklam vereceği, yani (R,R),
bir bileşik denge daha vardır. Bu durumda, tüketici, reklam gördüğünde
R
yeni birşey öğrenmez ve inanışları değişmez. {µR
iyi = 0.6, µkotu = 0.4}.
Dolayısıyla, S’den edineceği beklenen kazancı, A’dan edineceğinden daha
fazladır, (0.6)(1) + (0.4)(−1) = 0.2 > 0. Dolayısıyla, reklam gördüğünde
almaya karar verir. Tüketici HR sinyalini gördüğünde Bayez kuralını
uygulayamıyoruz, çünkü dengede hiçbir tip bu sinyali göndermez. Eğer
HR
µHR
iyi > 0.5 ise alır, µiyi < 0.5 ise almaz. Iki tipin de R’den çark etmeyeceği inanışlar kümesinin bulabiliriz. XC’nin çark etmemesi için,
tüketicinin HR gördüğünde almaması gerekir. Bunu sağlamak için gerekli
HR
R
olan µHR
iyi < 0.5’tir. Dolayısıyla, denge {(R, R), (S, A)}, {µiyi = 0.6, µiyi <
0.5} şeklindedir.
4. 4. problemin çözümü (Gibbons, 4.10)
2. oyuncunun stratejisi v2 ≥ p iken almak ve v2 < p ikense satmaktır.
1. oyuncu içinse:
M axp psP r(v2 > p) + [v1 − p ∗ (1 − s)]P r(v2 < p)
7
ya da,
M axp ps(1 − p) + [v1 − p ∗ (1 − s)]p
Birinci dereceden türev bize p(v1 ) =
v1 +s
2
verir.
2. oyuncunun stratejisinin optimal olduğu da açıktır.
8