ANKARA ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT¨US¨U

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
İKİ DEĞİŞKENLİ q-BLEIMANN, BUTZER VE HAHN
OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
S. SİBEL (ÇEVİK) ERSAN
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2008
Her hakkı saklıdır.
ÖZET
Doktora Tezi
İKİ DEĞİŞKENLİ q-BLEIMANN, BUTZER VE HAHN
OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
S. Sibel (ÇEVİK) ERSAN
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Ogün DOĞRU
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.
İkinci bölümde bazı temel kavramlardan bahsedilmiştir. Sırasıyla lineer pozitif operatör dizileri, süreklilik modülü, Lipschitz sınıfı fonksiyonlar, operatör
dizilerinin düzgün yakınsaklığı, Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleri, q-analiz
kavramları tanıtılıp bunlara ilişkin bilinen bazı sonuçlar hatırlatılmıştır.
Üçüncü bölümde, q-Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin iki değişkenli hali
tanımlanmıştır. Bu operatörlerin, reel uzayın sınırlı ve sürekli bir alt uzayında,
sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsadığı gösterilmiştir. Aynı zamanda operatörlerin yaklaşım hızı, süreklilik modülü ve Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar yardımıyla değerlendirilmiştir.
Son bölümde ise istatistiksel yakınsaklık kavramı hatırlatılmış ve daha sonra
tek ve iki değişkenli q-Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin istatistiksel
yaklaşım özellikleri elde edilmiştir. Ayrıca bu operatörlere ilişkin yaklaşımın
hızı istatistiksel olarak yorumlanmıştır.
Eylül 2008, 47 sayfa
Anahtar Kelimeler: Lineer pozitif operatör, Bleimann, Butzer ve Hahn Operatörleri, Korovkin tipli yaklaşım teoremi, düzgün yakınsaklık, q-analiz, süreklilik
modülü, Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar, yoğunluk, istatistiksel yakınsaklık.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
APPROXIMATION PROPERTIES OF BIVARIATE q-BLEIMANN,
BUTZER AND HAHN OPERATORS
S. Sibel (ÇEVİK) ERSAN
Ankara University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ogün DOĞRU
This thesis consists of four chapters. The first chapter has been devoted to the
introduction.
In the second chapter, some basic concepts have been mentioned. The concepts
of the sequences of linear positive operator, modulus of continuity, Lipschitz
type maximal functions, uniform convergence of the sequences of the operators,
Bleimann, Butzer and Hahn operators, q-analysis have been recalled respectively
and some known results concerning these concepts have also been considered.
In the third chapter, q-Bleimann, Butzer and Hahn operators with two variables
have been introduced. The uniform convergence of these operators to the continuous function defined on a bounded and continuous subset of real numbers
has been proved. Furthermore the order of approximation of these operators
has also been considered with the help of modulus of continuity and Lipschitz
type maximal functions.
In the last chapter, the concept of the statistical convergence has been recalled
and then the statistical convergence properties of the q-Bleimann, Butzer and
Hahn operators with one and two variables have been obtained. Also the order
of approximation concerning the operators has been interpreted statistically.
September 2008, 47 page
Key Words: Linear positive operator, Bleimann, Butzer and Hahn operators,
Korovkin type approximation theorem, uniform convergence, q-analysis, modulus of continuity, Lipschitz type maximal functions, density, statistical convergence.
ii
TEŞEKKÜR
Doktora eğitimim süresince yakın ilgi ve desteğini esirgemeyen, değerli bilgi
ve yardımlarıyla katkıda bulunan danışman hocam Doç Dr. Ogün DOĞRU’ya,
Tez İzleme Komitemde bulunan, yakın ilgileriyle çalışmalarımı destekleyen ve
yönlendiren Prof. Dr. Abdullah ALTIN’a ve Doç. Dr. Oktay DUMAN’a en derin
saygı ve teşekkürlerimi sunarım.
Tezimin gerçekleşmesinde benimle birlikte tüm sıkıntılara katlanarak büyük
özveri ve sabır gösteren sevgili eşim Tolga ERSAN’a, varlığı ile hayatımıza bir
ışık gibi doğan oğlum Mehmet Kaan ERSAN’a, hayatımın her aşamasında bana
manevi destek veren aileme, bilgisini ve yardımını esirgemeyen oda arkadaşım
Özge DALMANOĞLU’na ve diğer tüm çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürler
ederim.
S. Sibel (ÇEVİK) ERSAN
Ankara, Eylül 2008
iii
İÇİNDEKİLER
ÖZET.................................................................................................i
ABSTRACT......................................................................................ii
TEŞEKKÜR.....................................................................................iii
SİMGELER DİZİNİ..........................................................................v
1. GİRİŞ............................................................................................1
2. TEMEL KAVRAMLAR................................................................3
2.1 Lineer Pozitif Operatörler...........................................................3
2.2 Operatör Dizileri için Yaklaşım....................................................3
2.3 Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yaklaşım Hızı.........................4
2.3.1 Süreklilik modülü......................................................................5
2.3.2 Lipschitz sınıfı...........................................................................6
2.4 Lineer Pozitif Operatörlerin Yakınsaklığı....................................6
2.5 Bleimann, Butzer ve Hahn (BBH) Operatörleri..........................8
2.6 Yaklaşımlar Teorisinde q-Analiz.................................................10
2.6.1 q-BBH operatörleri.................................................................11
3. İKİ DEĞİŞKENLİ OPERATÖRLERİN OLUŞTURULMASI.....13
3.1 İki Değişkenli q-BBH Operatörleri............................................13
3.2 İki Değişkenli q-BBH Operatörlerin Yaklaşım Özellikleri...........18
3.3 İki Değişkenli q-BBH Operatörlerinin Yaklaşım Hızı..................23
3.3.1 İki değişkenli q-BBH operatörlerinin süreklilik modülü ile
yaklaşım hızının bulunması.................................................... 23
3.3.2 İki değişkenli q-BBH operatörlerinin yaklaşım hızının
Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile elde edilmesi.............28
4. q-BBH OPERATÖRÜNÜN İSTATİSTİKSEL
YAKINSAKLIĞI....................................................................... 33
4.1 İstatistiksel Yakınsaklığın Tanımı..............................................33
4.2 q-BBH Operatörlerinin İstatistiksel Yakınsaklığı ......................34
4.3 İki Değişkenli q-BBH Operatörlerinin İstatistiksel
Yakınsaklığı ..............................................................................40
5. SONUÇ ......................................................................................44
KAYNAKLAR ...............................................................................45
ÖZGEÇMİŞ ....................................................................................47
iv
SİMGELER DİZİNİ
C[a, b]
[a, b] üzerindeki sürekli fonksiyonların uzayı.
CB [0, ∞)
[0, ∞) aralığında sınırlı, sürekli fonksiyonların uzayı.
k.kC[a,b]
C[a, b] uzayının alışılmış supremum normu
fn (x) ⇒ f (x)
{fn } fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması.
{Bn (f ; x)}
Bernstein polinomlar dizisi
Ln (f ; x)
Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleri
w(f ; δ)
f fonksiyonunun süreklilik modülü
LipM (α)
Lipschitz sınıfı
∼
w(f ; δ1 , δ2 )
feα (x)
İki değişkenli fonksiyonlar için süreklilik modülü
fα ,α ,E 2
W
1 2
Lipschitz tipli maximal fonksiyon uzayı
|K|
K kümesinin eleman sayısı
δ(K)
K kümesinin yoğunluk fonksiyonu
st − limk xk
(xk ) dizisinin istatistiksel limiti
Lipschitz tipli maksimal fonksiyon
v
1 . GİRİŞ
Yaklaşımlar teorisi fonksiyonel analizin en çok uygulaması olan dallarından birisi
olduğu için son yıllarda birçok matematikçi bu dala yönelmiştir. Fonksiyon uzaylarında sürekli fonksiyonların yaklaştırılması probleminin önemini ilk belirten
Alman matematikçi Weierstrass olmuştur. Weierstrass; kapalı, sonlu bir aralıkta
sürekli bir fonksiyona yakınsayan en az bir polinomun varlığını göstermiştir
(Weierstrass 1885). Bu teorem yaklaşımlar teorisinin temelini teşkil etmektedir.
Daha sonra Bernstein, Weierstrass teoreminin ispatı olarak bir f fonksiyonuna
yakınsayan polinomları, toplam biçiminde lineer operatörler dizisi şeklinde göster
miş ve böylece lineer pozitif operatörler teorisinin oluşmasını sağlamıştır (Bernstein 1912).
Bohman (1951) ve Korovkin (1953); lineer pozitif operatörlerin sonlu aralıktaki
sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsaması için sadece üç koşulu sağlamasının
yeterli olduğunu göstermişlerdir. Bohman ve Korovkin teoremleri lineer pozitif
operatörler teorisinin gelişmesine önemli ölçüde katkı sağlamıştır. Bu teoremlerin şartlarını gerçekleyen birçok lineer pozitif operatörler tanımlanmış ve bunların yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bu operatörlerden biri de 1980 yılında
Bleimann, Butzer ve Hahn tarafından tanımlanan
 
n
X
n
k
  xk , x ≥ 0, n ∈ N
(Ln f )(x) = (1 + x)−n
f
n−k+1
k
k=0
formuna sahip olan operatörlerdir (Bleimann et al. 1980). Bu operatörler yarı
reel eksende tanımlı olduğundan klasik Korovkin teoremi geçerli değildir. Bu
yüzden operatörlerin düzgün yakınsaklığı reel sayıların sürekli ve sınırlı bir alt
kümesi üzerinde elde edilmiştir (Gadjiev and Çakar 1999). Daha sonra bu operatörler üzerinde bazı çalışmalar yapılmıştır (Jayasri and Sitaraman 1985, Hermann 1990, Doğru 2002).
Yaklaşımlar teorisinde q-genelleşme kavramı ilk kez Lupaş tarafından 1987 yılında
yapılmıştır (Lupaş 1987). Daha sonra, 1996 yılında, Phillips tarafından klasik
Bernstein polinomlarının farklı bir q tipli genelleşmesi tanımlanmış ve q-Bernstein
polinomlarının yaklaşım özellikleri incelenmiştir (Phillips 1997). Literatürde
bu operatörlerle ilgili yapılmış birçok çalışma vardır (Phillips 2000, Oruç and
Tuncer 2002, Ostrovska 2003).
1
Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin q-tipli genelleşmesi Aral ve Doğru
tarafından tanımlanmış ve bu operatörlerin yaklaşım özellikleri ve yaklaşım
hızı incelenmiştir (Aral and Doğru 2007). Daha sonra bu operatörlerin monotonluk özellikleri de elde edilmiş ayrıca Voronovskaja tipli asimtotik bir tahmin verilmiştir (Doğru and Gupta 2005). Ayrıca Altın, Doğru ve Özarslan
tarafından klasik Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin iki değişkenli formu
tanımlanmış ve Korovkin tipli bazı yaklaşım özellikleri elde edilmiştir (Altın et
al. 2005).
Bu doktora tezinde q-Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin iki değişkenli
hali incelenecektir. Gadjiev ve Çakar (1999) teoreminin iki değişkenli hal için
sağlandığı gösterilecek ve q-Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin bu teoremi sağlayıp sağlamadığı incelenecektir. Böylece operatörün reel uzayın sınırlı
ve sürekli bir alt uzayında sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsaklığı elde edilecektir. Daha sonra operatörün yaklaşım hızı, süreklilik modülü ve Lipschitz tipli
maksimal fonksiyonlar yardımıyla değerlendirilecektir.
İlk olarak Fast (1951) tarafından tanımlanan istatistiksel yakınsaklık kavramı
son 50 yıldır birçok matematikçinin ilgisini çeken önemli bir kavram olmuştur.
İstatistiksel yakınsaklık kavramı yaklaşımlar teorisine ilk olarak Gadjiev ve
Orhan (2002) tarafından uygulanmıştır. Gadjiev ve Orhan, kapalı ve sınırlı
aralıklar üzerinde sürekli olan fonksiyon uzaylarında üzerinde tanımlanan lineer pozitif operatörler için istatistiksel yakınsaklık yardımıyla Korovkin tipli
bir yaklaşım teoremi vermişlerdir.
Bu tezde son olarak da tek ve iki değişkenli q-Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin, Gadjiev ve Orhan (2002) teoremi kullanılarak, istatistiksel yakınsaklığı incelenecektir ve aynı zamanda bulunan yaklaşım hızı istatistiksel olarak
yorumlanacaktır.
2
2 . TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, doktora tezimizde ihtiyaç duyacağımız bilinen bazı tanım, teorem
ve notasyonları vereceğiz.
2.1
Lineer Pozitif Operatörler
X ve Y iki fonksiyon uzayı olmak üzere X den alınan herhangi bir f fonksiyonunu, Y üzerinde bir g fonksiyonuna karşılık getiren L kuralına operatör denir
ve L operatörünün x noktasındaki değeri L(f ; x) = g(x) şeklinde gösterilir.
f ve g, X uzayında herhangi iki fonksiyon, α ve β keyfi iki reel sayı olmak üzere
L operatörü;
L(αf + βg) = αL(f ) + βL(g)
(2.1.1)
koşulunu sağlıyor ise L(f ; x) operatörü lineerdir.
Ayrıca eğer X uzayında tanımlanmış bir L lineer operatörü herhangi pozitif bir
f fonksiyonunu yine pozitif fonksiyona dönüştürüyorsa, yani
f ≥ 0 iken L(f ; x) ≥ 0
(2.1.2)
sağlanıyor ise, L operatörüne lineer pozitif operatör denir. Bu operatörler monotondur, yani f ≤ g için L(f ; x) ≤ L(g; x) özelliği gerçeklenir.
2.2
Operatör Dizileri için Yaklaşım
L lineer operatörü X uzayından Y uzayına bir dönüşüm yapıyor ve
kL(f ; x)kY ≤ M kf kX
(2.2.1)
eşitsizliğini gerçekliyorsa o taktirde L operatörüne sınırlı operatör denir. Bu M
pozitif sabitlerinin en küçüğüne de L operatörünün normu denir ve kLkX→Y ya
da kLk ile gösterilir.
Bu norm
kLk = inf{M : kLf kY ≤ M kf kX }
3
(2.2.2)
ile ifade edilir.
I, R nin keyfi bir aralığı olmak üzere C(I), I üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonlar uzayını göstersin. I = [a, b] alındığında f C[a, b] için norm
kf kC[a,b] = max |f (x)|
(2.2.3)
x[a,b]
şeklinde gösterilir.
Dolayısıyla C[a, b] de (fn ) fonksiyonlar dizisinin bir f fonksiyonuna düzgün
yakınsaklığı
lim kfn − f kC[a,b] = 0
(2.2.4)
n→∞
şeklinde gösterilir. Tezimizde bu kısaca fn ⇒ f ile ifade edilecektir.
2.3
Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yaklaşım Hızı
Polinom dizilerinin düzgün yakınsaklığının bulunmasının yanısıra bu yaklaşımdaki hata oranının veya bir başka deyişle yaklaşımın hızının da hesaplanması
yaklaşımlar teorisinin önemli bir problemidir.
Yaklaşım hızını değerlendirmek için {αn } ve {βn } gibi terimleri pozitif ve sonsuz
küçülen iki fonksiyon dizisi alalım. 0 ≤ {αn } ≤ {βn } ise bu taktirde {αn } in
sıfıra yaklaşma hızı {βn } den daha hızlıdır denir.
O halde Ln lineer pozitif operatörünün herhangi bir f (x) fonksiyonuna yaklaşma
hızını
|Ln (f ; x) − f (x)| ≤ cαn
(2.3.1)
olacak şekilde αn ler ile değerlendirebiliriz. Burada amaç n → ∞ iken αn → 0
olacak şekilde αn ler bulabilmektir. Böylece operatörün yaklaşım hızını αn in
sıfıra yaklaşma hızı ile kıyaslayabiliriz.
Yaklaşımlar teorisinde operatörlerin yaklaşım hızını süreklilik modülü ile değerlen
direbiliriz. Bu nedenle öncelikle süreklilik modülünün tanımı verelim:
4
2.3.1
Süreklilik modülü
f fonksiyonunun süreklilik modülü, w(f ; δ) ile gösterilir ve δ ≥ 0 için
w(f ; δ) =
sup
|f (x) − f (y)|
(2.3.2)
x,y[a,b],|x−y|≤δ
şeklinde tanımlanır.
Şimdi tezimizde kullanacağımız süreklilik modülünün önemli birkaç özelliğine
değinelim;
i)w(f ; δ) ≥ 0,
ii)δ1 ≤ δ2 iken w(f ; δ1 ) ≤ w(f ; δ2 ),
iii)w(f + g; δ) ≤ w(f ; δ) + w(g; δ),
iv)mN için w(f ; mδ) ≤ mw(f ; δ),
v)λR+ için w(f ; λδ) ≤ (λ + 1)w(f ; δ),
vi)f C[a, b] için lim w(f ; δ) = 0,
δ→0
(2.3.3)
vii)|f (t) − f (x)| ≤ w(f ; |t − x|),
|t − x|
viii)|f (t) − f (x)| ≤
+ 1 w(f ; δ).
δ
Bu özellikleri verdikten sonra Ln (f ; x) in f (x) e yaklaşım hızının süreklilik
modülü ile nasıl değerlendirileceğini söyleyebiliriz. Bunun için bir x0 noktasında
|Ln (f ; x0 ) − f (x0 )| ≤ cw(f ; δn )
(2.3.4)
olacak şekilde Ln lineer pozitif operatörü ile f (x0 ) fonksiyonunun farkını w(f )
fonksiyonun bir katından küçük bırakmalıyız. Burada en önemli şart n →
∞ iken δn → 0 olacak şekilde δ = (δn ) bulabilmektir. Çünkü daha sonra
(2.3.3) de verilen özellikler kullanılarak (2.3.4) deki eşitsizliğin sağ tarafının
sıfıra gitmesiyle operatörün yaklaşım hızı hesaplanmış olacaktır. Bu sonuç bize
operatörün bir f (x0 ) fonksiyonuna noktasal yakınsaklık hızını verir.
5
2.3.2
Lipschitz sınıfı
Lineer pozitif operatörlerin bir f fonksiyonuna yaklaşım hızını bulurken fonksiyonun Lipschitz sınıfından olması durumlarını da inceleyeceğiz. O yüzden ilk
olarak bir fonksiyonun Lipschitz sınıfından olmasının ne demek olduğunu verelim; ∀x, t ∈ I için
|f (t) − f (x)| ≤ M |t − x|α ,
0<α≤1
(2.3.5)
koşulunu sağlayan fonksiyonlar sınıfına Lipschitz sınıfı fonksiyonlar, M ye de
Lipschitz sabiti denir ve bu koşulun sağlanması halinde f LipM (α) yazılır.
Bir fonksiyon Lipschitz sınıfından ise süreklidir ancak bunun tersi doğru değildir.
Dolayısıyla LipM (α) ⊂ C(I) yazılabilir. Tezde
α
t
x
|f (t) − f (x)| ≤ M −
1 + t 1 + x
şeklinde tanımlanan Lipschitz sınıfı fonksiyonları kullanılacaktır.
2.4
Lineer Pozitif Operatörlerin Yakınsaklığı
Yaklaşımlar teorisi adı verilen dalda amaç; verilen bir fonksiyonun daha iyi özellikleri olan fonksiyonlar dizisinin limiti şeklinde gösterimini bulmaktır. Weierstrass’ın aşağıdaki teoremi bu büyük dalın temel teoremi sayılmaktadır;
Teorem 1. (Weierstrass 1885) f (x), [a, b] aralığında tanımlanmış sürekli bir
fonksiyon olsun. Bu durumda ∀ε > 0 için
|f (x) − P (x)| < ε
(2.4.1)
eşitsizliğini sağlayan en az bir P (x) polinomu bulabiliriz.
Daha sonra Bernstein (1912), Weierstrass teoreminin ispatı olarak kapalı [0, 1]
aralığında sürekli keyfi bir f fonksiyonu için yine bu aralıkta bir P (x) polinomunu aşağıdaki şekilde vermiştir:
 
n
X
k  n  k
Bn (f ; x) =
f
x (1 − x)n−k ,
0 ≤ x ≤ 1.
(2.4.2)
n
k
k=0
6
Yani bu P (x) polinomunun şeklini göstermiştir. Bernstein bu lineer pozitif operatörlerin düzgün yakınsaklığını f C[0, 1] için elde etmiştir.
1951 yılında Bohman, toplam şeklindeki lineer pozitif operatörler dizisinin [0, 1]
aralığında sürekli bir f (x) fonksiyonuna yaklaşması problemini aşağıdaki şekilde
göstermiştir:
x ∈ [0, 1], 0 ≤ αk,n ≤ 1 olduğunda
Ln (f ; x) =
n
X
f (αk,n )Pk,n (x),
Pk,n (x) ≥ 0
k=0
pozitif operatörler dizisi eğer
i)Ln (1; x) ⇒ 1,
ii)Ln (t; x) ⇒ x,
(2.4.3)
iii)Ln (t2 ; x) ⇒ x2
koşullarını gerçekliyorsa, o halde Ln (f ; x) operatörü [0, 1] aralığında sürekli olan
bir f fonksiyonuna bu aralıkta düzgün yakınsar.
Burada Ln (f ; x) operatörü lineerdir ve aynı zamanda pozitif olabilmesi için
Pk,n (x) ≥ 0 alınmalıdır. Çünkü Pk,n (x) ≥ 0 alındığı taktirde eğer f (αk,n ) ≥ 0
seçilirse Ln (f ; x) ≥ 0 sağlanmış olur.
Daha sonra, Korovkin (1953) genel halde Bohman teoreminin koşullarının sağlandığını
göstermiş ve aşağıdaki gibi genel bir teorem vermiştir:
Teorem 2. (Korovkin 1953)
f (x) fonksiyonu, tüm reel eksende sınırlı ve [a, b] aralığında sürekli olsun. Eğer
(Ln ) lineer pozitif operatörler dizisi x[a, b] için (2.4.3) ile tanımlanmış koşulları
gerçekliyor ise bu durumda [a, b] aralığında
Ln (f ; x) ⇒ f (x)
(2.4.4)
sağlanır.
Korovkin bu teoremle, fonksiyonlara lineer pozitif operatörlerle yaklaşım dalının
temelini oluşturmuştur. Korovkin teoremini gerçekleyen diğer operatör dizileri
7
Bernstein polinomlarının bulunma yöntemleri kullanılarak elde edilmiştir. O
yüzden Bernstein polinomları yaklaşımlar teorisinin büyümesinde çok önemli
yere sahiptir. Hala birçok araştırmacı bu polinom üzerinde çalışmalar yapmakta,
makaleler yazılmaktadır. Dolayısıyla bu polinom birçok yeni lineer pozitif operatörün tanımlanmasını sağlamıştır. Bunlardan biri de Bleimann, Butzer ve
Hahn operatörleridir.
2.5
Bleimann, Butzer ve Hahn (BBH) Operatörleri
1980 yılında Bleimann, Butzer ve Hahn adlı üç Alman matematikçi tarafından
 
n
X
n
1
k
  xk ,
Ln (f ; x) =
x≥0
(2.5.1)
f
n
(1 + x) k=0
n−k+1
k
formuna sahip operatörler tanımlanmıştır. Bu operatörlere Bleimann, Butzer
ve Hahn (BBH) operatörleri denir. Bleimann, Butzer ve Hahn bu operatörlerin
yarı reel eksende noktasal yakınsaklığını ve sonlu aralıkta düzgün yakınsaklığını
göstermişlerdir.
BBH operatörleri yarı reel eksende tanımlı olduğundan, Hacısalihoğlu ve Hacıyev
tarafından ispatlanan teoremler uyarınca (Hacısalihoğlu and Hacıyev 1995, s.
44, Teorem 10,11,12), bu operatörler için klasik Korovkin teoreminin geçerli olmadığı açıktır. Bu yüzden bu operatörlerin düzgün yakınsaklığı R+ nın sürekli
ve sınırlı bir alt uzayında farklı test fonksiyonları için elde edilmiştir (Gadjiev
and Çakar 1999).
Gadjiev ve Çakar ilk önce aşağıdaki koşulları gerçekleyen süreklilik modülü tipinde
bir w fonksiyonu tanımlamışlardır:
i) w, R+ da δ ya göre artan bir fonksiyon,
ii) w(δ1 + δ2 ) ≤ w(δ1 ) + w(δ2 ),
iii) lim w(δ) = 0.
δ→0
Ayrıca R+ da tanımlı reel değerli fonksiyonlar uzayı Hw aşağıdaki özelliği gerçeklesin:
∀x, yR+ olmak üzere
x
y −
.
(2.5.2)
|f (x) − f (y)| ≤ w 1 + x 1 + y
8
Burada f fonksiyonları R+ da sürekli ve sınırlı olmak üzere Hw ⊂ CB (R+ )
olduğu sonucu çıkmaktadır. Ayrıca örnek olarak
w(t) = M tα ,
0<α≤1
(2.5.3)
olacak şekilde seçilirse
|f (x) − f (y)| ≤ M
|x − y|α
(1 + x)α (1 + y)α
(2.5.4)
elde edilir. Bu sonuç Hα ⊂ LipM (α) olduğunu gösterir (Gadjiev and Çakar
1999). Dolayısıyla Hw uzayının sınırlı ve sürekli fonksiyon uzayı ve ayrıca Lipschitz sınıfı fonksiyon uzayının bir alt uzayı olduğu sonucu ortaya çıkmaktadır.
Gadjiev ve Çakar, Hw uzayında tanımlı lineer pozitif operatör dizileri için
t ν
( 1+t
) ; ν = 0, 1, 2 test fonksiyonları kullanarak Korovkin tipli bir teorem
ispatlamış ve bu operatörlerin f (x) fonksiyonuna düzgün yakınsaklığını elde
etmişlerdir. Şimdi bu teoremi hatırlatalım:
Teorem 3. (Gadjiev and Çakar 2000) Hw (R+ ) dan CB (R+ ) ya tanımlı bir An
operatörü eğer
ν ν t
x
= 0, ν = 0, 1, 2
lim An
;x −
(2.5.5)
n→∞
1+t
1 + x C
B
koşullarını sağlıyor ise her f ∈ Hw (R+ ) için
lim kAn (f ) − f kCB = 0
n→∞
(2.5.6)
sağlanır.
Ayrıca aynı makalede bu teoremin (2.5.1) de tanımlanan BBH operatörleri için
doğruluğunu aşağıdaki teorem ile göstermişlerdir:
Teorem 4. (2.5.1) de tanımlanan Ln lineer pozitif operatörü her f Hw için
lim kLn f − f kCB = 0
n→∞
(2.5.7)
özelliğini gerçekler (Gadjiev and Çakar 2000).
Bu iki teorem tezimizde önemli bir yer tutmaktadır. Çünkü operatörümüzün
düzgün yakınsaklığını gösterirken bu teoremlerden çok faydalanılmıştır.
9
2.6
Yaklaşımlar Teorisinde q-Analiz
q-analizin başlangıcı yaklaşık 200 yıl öncesine dayanır fakat ilk olarak yaklaşımlar
teorisine uygulanması 1987 yılında Lupaş tarafından olmuştur. Bernstein polinomlarının q tipli genelleşmesini ilk olarak Lupaş yapmıştır. Daha sonra Ostrovska (2006), Lupaş polinomlarının düzgün yakınsaklık özelliklerini incelemiştir.
1997 yılında ise Phillips, Bernstein polinomlarının farklı bir q tipli genelleşmesini
tanımlamış ve bu genelleşme q-Bernstein polinomları olarak literatüre geçmiştir.
Şimdi Phillips’in bu operatörlerin düzgün yakınsaklığını incelediği aşağıdaki teoremi verelim:
Teorem 5. (Phillips 1997) 0 < qn ≤ 1 ve qn → 1 (n → ∞) koşullarını sağlayan
q = (qn ) dizisi alalım. ∀f C[0, 1] için
! 
n
n−k−1
X
Y
[k]q
n
k


f
Bn (f ; q, x) =
x
(1 − q s x)
(2.6.1)
[n]
k
q
s=0
k=0
q
operatörü [0, 1] de f (x) fonksiyonuna düzgün yakınsar.
Phillips, ayrıca aynı çalışmada yakınsaklık hızını süreklilik modülü ile değerlen
dirmiş ve daha iyi sonuçlar elde etmiştir.
Kısaca q-analizde kullanılan tanımlardan bahsedecek olursak; q lar pozitif reel
sayılar olmak üzere negatif olmayan bir k sayısının q genelleşmesi;

k

 1 − q , q 6= 1,
1−q
[k]q =
(2.6.2)

 k
, q=1
q-binom katsayısı

n

[n]q !
[k]q ! [n − k]q !
(n ≥ k ≥ 0)
(2.6.3)

 [k] [k − 1] ... [1] , k = 1, 2, ..
q
q
q
[k]q ! =

1
, k=0
(2.6.4)

k
 =
q
ve q-faktöriyel
10
şeklinde tanımlanır (Andrews et al. 1999).
Operatörlerin q tipli genelleşmesi yapılırken dikkat edilecek önemli bir nokta q =
1 seçilmesi ile operatörlerin klasik operatörlere dönüşmesinin sağlanmasıdır. Bu
nedenle q tipli operatörler q-genelleşmeler olarak da isimlendirilir. Operatörün
q-genelleşmesini bulmada ikinci amaç; q nun seçimiyle daha iyi bir yaklaşım hızı
elde etmektir.
Şimdi BBH operatörlerinin q-genelleşmesi hakkında kısaca bilgiler verelim.
2.6.1
q-BBH operatörleri
Aral ve Doğru (2007), BBH operatörlerinin q-genelleşmesini aşağıdaki şekilde
tanımlamışlardır: x ≥ 0 için
 
!
n
X
[k]q
n
k(k−1)
1
f
q 2   xk
Ln (f ; q, x) =
(2.6.5)
k
ln,q (x) k=0
[n − k + 1]q q
k
q
formuna sahip operatörlere q-BBH operatörleri denir. Burada 0 < q ≤ 1 ve
ln,q (x) =
n−1
Y
(1 + q s x)
(2.6.6)
s=0
şeklinde tanımlanmıştır. Ayrıca q = 1 seçilmesiyle klasik BBH operatörünün
elde edileceği açıktır. Aynı çalışmada q-BBH operatörleri için aşağıdaki özellikler
de elde edilmiştir:
Ln (1; q, x) = 1,
[n]q
t
x
Ln
; q, x
=
,
(2.6.7)
1+t
[n + 1]q 1 + x
[n]q [n − 1]q 2
[n]q
x2
x
t2
Ln
;
q,
x
=
q
+
.
2
2
2
(1 + t)
(1 + x)(1 + qx) [n + 1]q 1 + x
[n + 1]q
Bulunan bu özellikler, operatörün, reel sayıların kapalı ve sınırlı aralıkları üzerinde
sürekli olan fonksiyon uzayı Hw da düzgün yakınsaklığını gösterirken kullanılmıştır.
Aral ve Doğru (2007) tarafından q-BBH operatörlerinin düzgün yakınsaklığı
aşağıdaki teorem ile verilmiştir:
11
Teorem 6. (Aral and Doğru 2007) q = (qn ) dizisi 0 < qn ≤ 1 ve qn → 1 (n →
∞) koşullarını sağlasın. (2.6.5) de tanımlı Ln operatörü
ν
ν t
x
= 0, ν = 0, 1, 2
lim L
;
q
;
x
−
(2.6.8)
n
n
n→∞ 1+t
1 + x C
B
koşullarını sağlıyorsa o halde her f Hw için
lim kLn (f ; qn ) − f kCB = 0
n→∞
(2.6.9)
gerçeklenir.
Daha sonra Doğru ve Gupta (2005), (2.6.5) de tanımlı Ln lineer pozitif operatörünün monotonluk özelliklerini incelemişler ve bu operatörün Voronovskaja
tipli asimtotik tahminini elde etmişlerdir.
12
3 . İKİ DEĞİŞKENLİ OPERATÖRLERİN
OLUŞTURULMASI
İki değişkenli BBH operatörleri Altın et al. (2005) tarafından tanımlanmış ve
bu operatörlerin yaklaşım özellikleri elde edilmiştir. Bu bölümde amacımız, iki
değişkenli q-BBH operatörleri tanımlamak ve bu operatörlerin düzgün olarak
bir f fonksiyonuna yakınsadığını göstermektir. Daha sonra bu operatörlerin
yaklaşım hızı süreklilik modülü ve Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile
değerlendirilecek ve klasik sonuçlardan daha hızlı bir yaklaşım hızına sahip
olduğu gösterilecektir.
3.1
İki Değişkenli q-BBH Operatörleri
Volkov, 1957 de iki değişkenli lineer pozitif operatörler için Korovkin teoremini
aşağıdaki şekilde vermiştir;
Teorem 7. (Volkov 1957) f (x, y) ∈ C(a, b; c, d) ve tüm R2 de
|f (x, y)| ≤ Mf
(3.1.1)
olsun. Eğer An (f (t, τ ); x, y) lineer pozitif operatör dizisi için
i)
An (1; x, y) ⇒ 1
ii)
An (t; x, y) ⇒ x
iii)
An (τ ; x, y) ⇒ y
2
2
2
iv) An (t + τ ; x, y) ⇒ x + y
(3.1.2)
2
koşulları sağlanıyorsa; bu durumda (a, b; c, d) dikdörtgensel bölgesinde
An (f (t, τ ); x, y) ⇒ f (x, y)
(3.1.3)
sağlanır.
İki değişkenli q-Bernstein polinomları Barbosu (2000) tarafından tanımlanmıştır.
Şimdi bu tanıma benzer bir genelleşmeyi q-BBH operatörlerine uygulayalım:
13
2
2
R+
= [0, ∞)×[0, ∞) , f : R+
→ R ve 0 ≤ qn1 , qn2 < 1 olmak üzere iki değişkenli
q-BBH operatörünü
Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) =
n1 X
n2
X
1
1
ln1 ,qn1 (x) ln2 ,qn2 (y) k
f
1 =0k2 =0
k1 (k1 −1)
2
× qn1
!
[k2 ]qn
[k1 ]qn
2
1
,
[n1− k1 + 1]qn qnk11 [n2− k2 + 1]qn qnk22
2
 1 

k2 (k2 −1)
n1
n
  2  xk1 y k2 (3.1.4)
qn2 2 
k1
k2
qn1
qn2
şeklinde tanımlayalım. Burada
ln1 ,qn1 (x) =
nY
1 −1
1+
qns 1 x
ve ln2 ,qn2 (y) =
s=0
nY
2 −1
1 + qns 2 y
(3.1.5)
s=0
dir. Bu operatörün lineer ve pozitif olduğu açıktır ayrıca qn1 = qn2 = 1 alınması
durumunda Altın et al. (2005) tarafından tanımlanan aşağıdaki iki değişkenli
Bleimann-Butzer ve Hahn operatörüne dönüşecektir:
n1 X
n2
X
1
k2
1
k1
Ln1 ,n2 (f ; x, y) =
,
×
f
(1 + x)n1 (1 + y)n2 k =0k =0
n1− k1 + 1 n2− k2 + 1
1
2
n1
n2 k1 k2
x y . (3.1.6)
k1
k2
Şimdi teoremlerin ispatı sırasında sıklıkla kullanacağımız aşağıdaki iki lemmayı
verelim:
Lemma 8. (3.1.4) de tanımlanan Ln1 ,n2 operatörü aşağıdaki özellikleri gerçekler:
(i)Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) = Axn1 (Bny2 (f ; qn2 , x, y)),
(ii)Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) = Bny2 (Axn1 (f ; qn1 , x, y)).
Burada
Axn1 (f ; qn1 , x, y) =
Bny2 (f ; qn2 , x, y) =
1
n1
X
ln1 ,qn1 (x) k
1
1 =0
n2
X
ln2 ,qn2 (y) k
f
f
2 =0
[k1 ]qn
!
1
[n1− k1 + 1]qn
1
x,
qnk11
!
2
14
2
k1 (k1 −1)
2
, y qn 1
[k2 ]qn
[n2− k2 + 1]qn

qnk22


k2 (k2 −1)
2
qn2

n1
k1
n2
k2


xk 1 ,
qn1
(3.1.7)

y k2

qn2
şeklindedir.
İspat:
(i)Axn1 (Bny2 (f ; qn2 , x, y))

n2
X
1
x 
= An1 
f
ln2 ,qn2 (y) k =0
x,
2
=
1
n2
X
ln2 ,qn2 (y) k
Axn1
f
2 =0
=
1
n2
X
ln2 ,qn2 (y) k
k2 (k2 −1)
2
qn 2
2 =0
×f
=
2
[n2− k2 + 1]qn
2
qnk22
!
[k2 ]qn
2
x,
k2 (k2 −1)
2
qn 2

n2
k2
[n2− k2 + 1]qn
2


n1
X
n2
1
k
2

 y
l
(x)
k2
k1 =0 n1 ,qn1



y k2 
qn2

!
, qn1 , x, y q
q2k2

k2 (k2 −1)
2
n2

n2
k2


qn2
qn2
[k1 ]qn
1
[n1− k1 + 1]qn
1
[k2 ]qn

!
1
1
qnk11
,
2
[n2− k2 + 1]qn
n1 X
n2
X

!
[k2 ]qn
2
[k1 ]qn
f
q
qnk22
k1 (k1 −1)
2
n1
1
ln1 ,qn1 (x) ln2 ,qn2 (y) k =0k =0
[n1− k1 + 1]qn
1
 1 2 

k1 (k1 −1) k2 (k2 −1)
n1
n
  2  xk1 y k2
× qn1 2 qn2 2 
k1
k2
qn1
qnk11
,

n1
k1

xk 1

qn1
!
[k2 ]qn
2
[n2− k2 + 1]qn qnk22
2
qn2
= Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y).
(ii)Benzer yolla ispat edilir.
x i y j
2
) ( 1+y ) i, j =
Lemma 9. e˜ij : R+
→ R+ iki boyutlu test fonksiyonu e˜ij = ( 1+x
0, 1, 2 şeklinde tanımlansın. (3.1.4) de tanımlanan Ln1 ,n2 lineer pozitif operatörü
aşağıdaki özellikleri sağlar:
15
y k2
i)Ln1 ,n2 (e˜00 ; qn1 , qn2 , x, y) = 1,
ii)Ln1 ,n2 (ẽ10 ; qn1 , qn2 , x, y) =
[n1 ]qn
1
[n1 + 1]qn
1
x
,
1+x
[n2 ]qn2
y
iii)Ln1 ,n2 (ẽ01 ; qn1 , qn2 , x, y) =
,
(3.1.8)
[n2 + 1]qn2 1 + y
[n1 ]qn [n1 − 1]qn
x2
1 2
1
iv)Ln1 ,n2 (ẽ20 ; qn1 , qn2 , x, y) =
q
n1
(1 + x) (1 + qn1 x)
[n1 + 1]2qn
1
+
v)Ln1 ,n2 (ẽ02 ; qn1 , qn2 , x, y) =
[n1 ]qn
[n1 +
1
1]2qn
1
x
,
1+x
[n2 ]qn [n2 − 1]qn
2
2
[n2 + 1]2qn
2
+
[n2 ]qn
[n2 +
2
1]2qn
2
qn2 2
y2
(1 + y) (1 + qn2 y)
y
.
1+y
İspat:
1
1
(i)Ln1 ,n2 (ẽ00 ; qn1 , qn2 , x, y) =
n1 X
n2
X
k1 (k1 −1)
2
qn1
ln1 ,qn1 (x) ln2 ,qn2 (y) k =0k =0

 
 1 2
n1
n
  2 
×
k1
k2
qn1
qn2
Burada 0 ≤ q ≤ 1 için
n
X
k=0

q
k(k−1)
2

n
k

k
 x =
n−1
Y
(1 + q k x) = ln,q (x)
k=0
q
olduğundan (i) sağlanır (Andrews et al. 1999).
16
k2 (k2 −1)
2
qn2
1
1
(ii) Ln1 ,n2 (ẽ10 ; qn1 , qn2 , x, y) =
n1 X
n2
X
ln1 ,qn1 (x) ln2 ,qn2 (y) k
1 =1k2 =1

×
=
n1
k1




qn1
n2
k2
n1
X
1
[n1 ]qn
ln1 ,qn1 (x) [n1 + 1]qn
[n1 ]qn
x
q
ln1 ,qn1 (x) [n1 + 1]qn
k1 (k1 −1)
2
n1
k1 (k1 +1)
2
qn 1
n1 − 1

k1 =0

k1 (k1 −1)
2
qn 1

k1 =0
nX
1 −1
[n1 ]qn
x
1
1
1 + x [n1 + 1]qn ln1 −1,qn1 −1 (x) k
[n1 ]qn
k1 − 1

1
q
k1
n1 − 1
k1

xk1

qn1

xk1 +1

qn1

qn1

k1 (k1 −1)
2
n1
(qn1 x)k1

n1 − 1

k1
1 =0
1
=
n1 − 1

k1 =1
nX
1 −1
1
1
=

nX
1 −1
1
1
=
k2 (k2 −1)
2
qn2
qn2
1
=
[n1 + 1]qn
qn1
xk1 y k2

ln1 ,qn1 (x) [n1 + 1]qn
1
k1 (k1 −1)
2
1

[n1 ]qn
1
[k1 ]qn

(qn1 x)k1

qn1
x
.
[n1 + 1] 1 + x
1
(iii) ifadesi (ii) de gösterildiği gibi gösterilir.
(iv)Ln1 ,n2 (ẽ20 ; qn1 , qn2 , x, y)
=
1
ln1 ,qn1 (x)
k1 (k1 −1)
[k1 ]2qn
1
1
2
q
n
ln2 ,qn2 (y) k =1k =1 [n1 + 1]2qn 1
1
2
1
n1 X
n2
X

q
k2 (k2 −1)
2
n2
n1
X
qn1 [k1 − 1]qn + 1

n1
k1


n2
k2
k1 (k1 −1)
[n1 ]!qn1
2
q
xk 1
n
1
2
[n
−
k
]!
ln1 ,qn1 (x) k =1
[k
−
1]!
[n
+
1]
1
q
1
1
q
n1
n1
1
qn1
1


n1
k1 (k1 −1)
[n1 − 1]qn [n1 ]qn X
n1 − 2
1
1
1
2


q
q
xk 1
=
n1
n1
2
ln1 ,qn1 (x)
[n1 + 1]qn
k1 − 2
k1 =2
1
qn1


n1
k1 (k1 −1)
[n1 ]qn X
n −1
1
1
 1
 qn1 2 xk1
+
ln1 ,qn1 (x) [n1 + 1]2qn k =1 k1 − 1
1 1
qn
 1

nX
−2
1
2
k1 (k1 −1)
[n1 − 1]qn [n1 ]qn
n −2
x
1
1
 1
 qn1 2 (qn2 x)k1
=
qn2 1
1
ln1 ,qn1 (x)
[n1 + 1]2qn
k1
k =0
=
1
1
1
1
qn1
17

 xk 1 y k 2
+
=
[n1 ]qn
x
nX
1 −1
1
ln1 ,qn1 (x) [n1 + 1]2qn
[n1 ]qn [n1 − 1]qn
1
[n1 + 1]2qn
1

n1 − 1

1
qn2 1
1
k1
k1 =0

k1 (k1 −1)
2
qn1

(qn1 x)k1
qn1
[n1 ]qn
x2
x
1
+
2
(1 + x) (1 + qn1 x) [n1 + 1]qn 1 + x
1
(v) ifadesi (iv) ile aynı şekilde elde edilir.
3.2
İki Değişkenli q-BBH Operatörlerin Yaklaşım Özellikleri
2
2
R+
üzerinde tanımlı sınırlı ve sürekli fonksiyonlar uzayı CB (R+
) olsun. Bu
uzaydaki norm
kf kCB (R2 ) = sup |f (x, y)|
+
x,y≥0
şeklinde tanımlanır. Eğer
lim kfn,m − f kCB (R2 ) = 0
n,m→∞
+
koşulu sağlanıyorsa {fn,m } fonksiyon dizisi f ’e düzgün yakınsar denir ve
fn,m ⇒ f şeklinde gösterilir.
İki değişkenli q-BBH operatörlerinin düzgün yakınsaklığından bahsedebilmek
2
) de iki değişkenli lineer pozitif operatörler
için öncelikle Teorem 3 ün Hw (R+
içinde sağlandığını göstermemiz gerekmektedir. O halde öncelikle aşağıdaki teoremin doğruluğunu gösterelim:
Teorem 10. Farzedelim ki q = (qn1 ) ve q = (qn2 ); 0 < qn1 ≤ 1, 0 < qn2 ≤ 1 ve
qn1 → 1 (n1 → ∞), qn2 → 1 (n2 → ∞) koşullarını gerçekleyen iki dizi olsun.
2
2
) lineer pozitif operatör dizisi
Eğer An1 ,n2 : Hw (R+
) → CB (R+
v
v i) lim An1 ,n2 ( e 00 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 00 = 0,
n1 ,n2 →∞
ii) lim
n1 ,n2 →∞
2)
CB (R+
v An1 ,n2 (v
e 10 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 10 iii) lim
n1 ,n2 →∞
iv) lim
n1 ,n2 →∞
= 0,
(3.2.1)
2)
CB (R+
v
v An1 ,n2 ( e 01 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 01 = 0,
2)
CB (R+
v
v
v
v
An1 ,n2 ( e 20 + e 02 ; qn1 , qn2 , x, y) − ( e 20 + e 02 )
2)
CB (R+
18
=0
2
koşullarını gerçekliyor ise ∀f ∈ Hw (R+
) için
lim kAn1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)k
n→∞
2 )
CB (R+
=0
v
v
x i y j
2
→ R+ iki boyutlu test fonksiyonu olup e ij = ( 1+x
sağlanır. Burada e ij : R+
) ( 1+y )
şeklinde tanımlanır.
2
İspat: ∀f ∈ Hw (R+
) olmak üzere
∀ε > 0 için ∃δ vardır ki
s
2 2
t
x
s
y
−
+
−
<δ
1+t 1+x
1+s 1+y
için
|f (t, s) − f (x, y)| < ε
sağlanır. Ayrıca
s
x
t
−
1+t 1+x
2
+
y
s
−
1+s 1+y
2
≥δ
için
2M
|f (t, s) − f (x, y)| ≤ 2
δ
"
t
x
−
1+t 1+x
2
+
s
y
−
1+s 1+y
2 #
dir.
2
için
Dolayısıyla her (t, s), (x, y) ∈ R+
2M
|f (t, s) − f (x, y)| ≤ ε+ 2
δ
"
t
x
−
1+t 1+x
2
+
s
y
−
1+s 1+y
2 #
(3.2.2)
olduğu açıktır.
An1 ,n2 lineer pozitif bir operatör olduğu için aşağıdaki eşitsizliği elde edebiliriz:
|An1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f |
= |An1 ,n2 (f (t, s) − f (x, y) + f (x, y); qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)|
= |An1 ,n2 (f (t, s) − f (x, y); qn1 , qn2 , x, y) + f (x, y)(An1 ,n2 (1; qn1 , qn2 , x, y) − 1)|
v
v ≤ An1 ,n2 (|f (t, s) − f (x, y)| ; qn1 , qn2 , x, y) + |f | An1 ,n2 ( e 00 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 00 19
Burada (3.2.2) de bulunan eşitsizliğin yerine yazılmasıyla
|An1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f |
"
2 2 #
2M
t
x
y
s
≤ An1 ,n2 ε + 2
−
−
+
δ
1+t 1+x
1+s 1+y
v
v + |f | An1 ,n2 e 00 ; qn1 , qn2 , x, y − e 00 v
v ≤ (ε + M ) An1 ,n2 ( e 00 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 00 + ε
2M v
v
v
v
+ 2 An1 ,n2 ( e 20 + e 02 ; qn1 , qn2 , x, y) − ( e 20 + e 02 )
δ
v
v v
v +2 An1 ,n2 ( e 10 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 10 + 2 An1 ,n2 ( e 01 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 01 elde edilir. Burada (3.2.1) de verilen koşullar uygulandığında
lim kAn1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)k
=0
2 )
CB (R+
n→∞
elde edilir.
Şimdi iki değişkenli q-BBH operatörleri için bu teoremin doğruluğunu gösterelim:
Teorem 11. q = (qn1 ) ve q = (qn2 ); 0 < qn1 ≤ 1, 0 < qn2 ≤ 1 ve qn1 → 1
(n1 → ∞), qn2 → 1 (n2 → ∞) koşullarını gerçekleyen iki dizi olsun. Eğer
2
2
) lineer pozitif operatörü :
) → CB (R+
Ln1 ,n2 : Hw (R+
v
v i) lim = 0,
(3.2.3)
Ln1 ,n2 ( e 00 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 00 n1 ,n2 →∞
ii) lim
n1 ,n2 →∞
2)
CB (R+
v
v Ln1 ,n2 ( e 10 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 10 iii) lim
n1 ,n2 →∞
iv) lim
n1 ,n2 →∞
= 0,
(3.2.4)
2)
CB (R+
v
v Ln1 ,n2 ( e 01 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 01 = 0,
(3.2.5)
2)
CB (R+
v
v
v
v
Ln1 ,n2 ( e 20 + e 02 ; qn1 , qn2 , x, y) − ( e 20 + e 02 )
=0
2)
CB (R+
2
koşullarını gerçekliyor ise ∀f ∈ Hw (R+
) için
lim kLn1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)k
n→∞
v
2 )
CB (R+
x i y j
) ( 1+y ) i, j = 0, 1, 2 dir.
elde edilir. Burada e ij = ( 1+x
20
=0
(3.2.6)
İspat: Lemma 9 da elde edilen sonuçlar kullanılarak aşağıdaki sonuçlara kolaylıkla ulaşılabilir:
v
Ln1 ,n2 ( e 00 ; qn1 , qn2 , x, y) = 1
olduğundan
lim
n1 ,n2 →∞
v
v Ln1 ,n2 ( e 00 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 00 =0
CB
sağlanır. Böylece (3.2.3) gösterilmiş olur. Ayrıca
[n1 ]
x x
v
v qn1
−
Ln1 ,n2 ( e 10 ; qn1 , qn2 , x, y) − e 10 = sup 1 + x
CB
x,y≥0 [n1 + 1]qn 1 + x
1
[n1 ]
qn1
− 1
≤
[n1 + 1]qn
1
elde edilir. Burada q-analiz tanımı gereği
lim
[n1 ]qn
n→∞ [n1
1
+ 1]qn
=1
1
olduğundan (3.2.4) sağlanır. Simetriden dolayı (3.2.5) de açıktır.
Son olarak
v
v
v
v
Ln1 ,n2 ( e 20 + e 02 ; qn1 , qn2 , x, y) − ( e 20 + e 02 )
CB
[n1 ] [n1 − 1]
2
[n1 ]qn
x
x
qn1
qn1 2
1
q
+
= sup n1
2
2
(1 + x) (1 + qn1 x) [n1 + 1]qn 1 + x
[n1 + 1]qn
x,y≥0 1
1
2
2
[n2 ]qn
y
y
x
y
2
2
2 2
q
+
−
−
+
n2
2
2
2
2
(1
+
y)
(1
+
q
y)
1
+
y
(1
+
x)
(1
+
y)
[n2 + 1]qn
[n2 + 1]qn
n2
2
2
!
2
[n
]
[n1 ]qn
[n
−
1]
1
1
x
1+x
x
qn1
qn1 2
1
= sup
q
−
1
+
n
2
2
2
1
x,y≥0 (1 + x)
1 + qn 1 x
[n1 + 1]qn
[n1 + 1]qn 1 + x
1
1
!
2
[n
]
[n
]
[n
−
1]
2 qn
2
2 qn
y
1
+
y
y
q
n
2
2 2
2
+
qn2
−1 +
(3.2.7)
2
2
2
1 + qn2 y
(1 + y)
[n2 + 1]q
[n2 + 1]q 1 + y [n2 ]qn [n2 − 1]qn
2
n2
n2
elde edilir. Burada
[n] [n − 1]
B
C
+
2 = A+
[n + 1] [n + 1]2
[n + 1]
21
(3.2.8)
alalım. Tanım gereği [n] = q [n − 1] + 1 dir. Dolayısıyla bu özelliğin (3.2.8) de
kullanılmasıyla
[n] [n − 1]
1
2+q
1+q
= 3 1−
+
q
[n + 1] [n + 1]2
[n + 1]2
elde edilir. Bu sonucu (3.2.7) de kullanırsak,
v
v
v
v
Ln1 ,n2 ( e 20 + e 02 ; qn1 , qn2 , x, y) − ( e 20 + e 02 )
2)
CB (R+
"
x2
1
= sup 2
qn1
x,y≥0 (1 + x)
!
#
2 + qn1
1 + qn1
1+x
1−
+
−1
2
[n1 + 1]qn
1
+
q
x
[n
+
1]
n
1
1
qn1
1
"
!
#
2
[n1 ]qn
x
y
1
2 + qn2
1 + qn2
1+y
1
+
1−
+
−1
+
2
2
2
[n2 + 1]qn
1 + qn2 y
[n1 + 1]qn 1 + x (1 + y) qn2
[n2 + 1]qn
2
1
2
[n2 ]qn
y 2
+
2
[n2 + 1]qn 1 + y 2
x2
1 1+x
≤ sup − 1 2
qn1 1 + qn1 x
x≥0 (1 + x)
!
(
)
x2
1
+
q
1
+
x
1
2
+
q
n1
n1
+ sup +
−
2
2
qn1
[n1 + 1] [n1 + 1]qn
1 + qn 1 x x≥0 (1 + x)
1
[n1 ]
y2
x 1
1
+
y
qn1
+
sup
+ sup −
1
2
y≥0 (1 + y)2 qn2 1 + qn2 y
1
+
x
x≥0 [n1 + 1]q
n1
!
(
)
y2
1+y
1
2 + qn2
1 + qn2
+ sup −
+
2
2
qn 2
[n2 + 1]qn
1 + qn2 y [n
+
1]
y≥0 (1 + y)
2
q
n
2
2
y [n2 ]
+ sup 2
1
+
y
y≥0 [n2 + 1]q
n2
x2
1 1+x
= sup
−1
2
qn1 1 + qn1 x
x≥0 (1 + x)
(
!
)
[n1 ]qn
x2
1
2 + qn1
1 + qn1
1+x
x
1
+ sup
−
+
sup
2
2
2
qn1 [n1 + 1]qn
1 + qn1 x
1+x
[n1 + 1]qn
x≥0 (1 + x)
x≥0 [n1 + 1]q
n1
1
1
y2
1 1+y
+ sup
−1
2
qn2 1 + qn2 y
y≥0 (1 + y)
(
!
)
2
[n2 ]qn
y
1
1+y
y
2 + qn2
1 + qn2
2
+ sup
−
+
sup
2
2
2
qn2 [n2 + 1]qn
1 + qn2 y
1+y
[n2 + 1]qn
y≥0 (1 + y)
y≥0 [n2 + 1]q
n
2
2
22
2
1
1
≤
−
1
+
qn2 1
qn2 1
1
1
+
−1 + 2
2
qn2
qn 2
2 + qn 1
1 + qn1
−
[n1 + 1]qn
[n1 + 1]2qn
1
2 + qn2
1 + qn2
−
[n2 + 1]qn
[n2 + 1]2qn
2
!
+
1
1
!
+
2
1
1
−
qn1 [n1 + 1]qn
qn1 [n1 + 1]2qn
1
1
1
−
qn2 [n2 + 1]qn
qn2 [n2 + 1]2qn
2
elde edilir.
Kabulümüz gereği n → ∞ için [n + 1] → ∞ ve qn → 1 olduğundan
v
v
v
v
=0
lim L
(
e
+
e
;
q
,
q
,
x,
y)
−
(
e
+
e
)
n
20
02
n
n
20
02
1
2
n1 ,n2 →∞
CB
bulunur. Böylece (3.2.6) gösterilmiş olur. Dolayısıyla Teorem 10 gereği ∀f ∈
2
) için
Hw (R+
lim
n1 ,n2 →∞
Ln ,n (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f 1 2
C
2
B (R+ )
=0
sonucu elde edilir. Bu sonuç bize iki değişkenli q-BBH operatörlerinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaklığını verir.
3.3
İki Değişkenli q-BBH Operatörlerinin Yaklaşım Hızı
Tezimizin başında operatörün yakınsaklık özelliği incelendikten sonra ikinci
önemli problemin bu yaklaşımın hızını bulmak olduğunu söylemiştik. Dolayısıyla
bu bölümde iki değişkenli q-BBH operatörlerinin yaklaşım hızını bulacağız.
Yaklaşım hızını, iki değişkenli süreklilik modülü ve Lipschitz tipli maksimal
fonksiyonlar yardımıyla elde edeceğiz.
3.3.1
İki değişkenli q-BBH operatörlerinin süreklilik modülü ile yaklaşım hızının bulunması
Lorentz (1966) iki değişkenli süreklilik modülünü aşağıdaki şekilde tanımlamıştır:
w(f ; δn1 , δn2 ) = sup {|f (t, s) − f (x, y)| ; |t − x| ≤ δn1 , |s − y| ≤ δn2 , (t, s),
t,x≥0
2
(x, y) ∈ R+
.
23
2
2
Dolayısıyla biz de ∀f ∈ Hw (R+
) için
t
x
∼
≤ δn1 ,
−
w(f ; δn1 , δn2 ) = sup |f (t, s) − f (x, y)| ; 1 + t 1 + x
t,x≥0
s
y 2
2
1 + s − 1 + y ≤ δn2 , (t, s) ∈ R+ , (x, y) ∈ R+ (3.3.1)
2
)
olacak şekilde iki değişkenli süreklilik modülü tanımlayalım. Burada ∀f ∈ Hw (R+
∼
için w(f ; δn1 , δn2 ) aşağıdaki koşulları sağlar:
∼
i)δn1 → 0 ve δn2 → 0 iken w(f ; δn1 , δn2 ) → 0,
t
x s
y ∼
ii) |f (t, s) − f (x, y)| ≤ w f ; −
−
,
(3.3.2)
;
1 + t 1 + x 1 + s 1 + y 
t
! 
s
y x −
−
1+s
1+y ∼
.
iii) |f (t, s) − f (x, y)| ≤ w(f ; δn1 , δn2 ) 1 + 1+t 1+x 1 +
δn1
δn2
Şimdi (3.3.1) de tanımlanan süreklilik modülü ile iki değişkenli q-BBH operatörlerinin yaklaşım hızını değerlendirelim:
Teorem 12. q = (qn1 ) ve q = (qn2 ) dizilerini n1 → ∞ ve n2 → ∞ için qn1 → 1,
2
) ve x, y ≥ 0 olmak üzere
qn2 → 1 olacak şekilde seçelim. ∀f ∈ Hw (R+
∼
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)| ≤ 4w(f ; δn1 (x), δn2 (y)) dir.
Burada
(
δn1 (x) =
+
[n1 ]qn
[n1 +
(
δn2 (y) =
+
qn2 1 [n1 ]qn [n1 − 1]qn
x2
(1 + x)2
1
1]2qn
1
1
x
1+x
y2
(1 + y)2
[n2 ]qn
2
[n2 +
1
[n1 + 1]2qn
1]2qn
2
2 [n1 ]qn
(1 + x)
1
−
+1
(1 + qn1 x) [n1 + 1]qn
!
1
1
) 12
,
(3.3.3)
qn2 2 [n2 ]qn [n2 − 1]qn
2
[n2 +
) 21
2
1]2qn
2
y
1+y
2 [n2 ]qn
(1 + y)
2
−
+1
(1 + qn2 y) [n2 + 1]qn
!
2
(3.3.4)
ile tanımlanır.
24
İspat: Burada Ln1 ,n2 operatörünün lineerlik özelliği ve iki değişkenli süreklilik
∼
modülü w(f ; δn1 , δn2 ) nin (3.3.2) de tanımlanan özellikleri kullanılarak
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)|
≤ Ln1 ,n2 (|f (t, s) − f (x, y)|; qn1 , qn2 , x, y)
t
s
x
y
∼
,
; qn1 , qn2 , x, y
≤ Ln1 ,n2 w f ; −
−
1 + t 1 + x 1 + s 1 + y t
1
x
∼
≤ w(f ; δn1 , δn2 )(1 +
Ln ,n
−
; qn , qn , x, y
δn1 1 2 1 + t 1 + x 1 2
s
1
y × (1 +
L n ,n
−
; qn , qn , x, y
δn2 1 2 1 + s 1 + y 1 2
eşitsizlikleri elde edilebilir. Burada Cauchy-Schwarz eşitsizliğinin uygulanmasıyla
t
x ; qn , qn , x, y
−
Ln1 ,n2 1 + t 1 + x 1 2
≤
Ln1 ,n2
t
x
−
1+t 1+x
!! 12
2
; qn1 , qn2 , x, y
ve
s
y
; qn , qn , x, y
−
Ln1 ,n2 1 + s 1 + y 1 2
≤
! 12
2
y
s
−
; qn1 , qn2 , x, y)
Ln1 ,n2 (
1+s 1+y
bulunur. Dolayısıyla buradan
25
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)|
(
1
∼
≤ w(f ; δn1 , δn2 ) 1 +
Ln1 ,n2
δn1
t
1+t
!
2
; qn1 , qn2 , x, y
−
2x
1+x
2 ) 21
x
1
t
; qn1 , qn2 , x, y +
+1+
×Ln1 ,n2
1+t
1+x
δn2
!
(
2
2y
s
s
; qn1 , qn2 , x, y −
Ln1 ,n2 (
; qn , qn , x, y)
× Ln1 ,n2
1+s
1+y
1+s 1 2

2 ) 21
y

+
1+y
(
[n1 ]qn [n1 − 1]qn
[n1 ]qn
x
1
x2
∼
1
1 2
1
q
≤ w(f ; δn1 , δn2 ) 1 +
+
n
2
2
1
δn1
(1 + x) (1 + qn1 x) [n1 + 1]qn 1 + x
[n1 + 1]qn
1
1
1
[n1 ]qn
2x2
1
−
+
2
(1 + x) [n1 + 1]qn1
x
1+x
2 ) 2
1
δn2
+1+
[n2 ]qn
2
(
[n2 ] [n2 − 1]qn
[n2 +
2
2
1]2qn
2
[n2 ]qn
2 ) 12

2y
y
y
y
2
2

+
−
+
2
2
(1 + y) (1 + qn2 y) [n2 + 1]qn 1 + y (1 + y) [n2 + 1]qn
1+y
2
2
(
qn2 1 [n1 ]qn [n1 − 1]qn (1 + x)
2 [n1 ]qn
x2
1
∼
1
1
1
≤ w(f ; δn1 , δn2 ) 1 +
−
2
2
δn1 (1 + x)
(1 + qn1 x) [n1 + 1]qn
[n1 + 1]qn
1
1
) 21
(
!
qn2 2 [n2 ]qn [n2 − 1]qn (1 + y)
[n1 ]qn
x
y2
1
2
2
1
+1) +
+1+
δn2 (1 + y)2
(1 + qn2 y)
[n1 + 1]2qn 1 + x
[n2 + 1]2qn
1
2

) 21
2 [n2 ]qn
[n2 ]qn
y

2
2
−
+1+

2
[n2 + 1]qn
[n2 + 1]qn 1 + y
×qn2 2
2
2
elde edilir. Burada
(
x2
δn1 (x) =
(1 + x)2
+
[n1 ]qn
[n1 +
1
1]2qn
1
qn2 1 [n1 ]qn [n1 − 1]qn
1
x
1+x
[n1 +
) 12
1
1]2qn
1
,
26
2 [n1 ]qn
(1 + x)
1
−
+1
(1 + qn1 x) [n1 + 1]qn
1
!
(
δn2 (y) =
+
qn2 2 [n2 ]qn [n2 − 1]qn
y2
(1 + y)2
2
[n2 +
) 21
[n2 ]qn
2
[n2 +
1]2qn
2
2
1]2qn
2
2 [n2 ]qn
(1 + y)
2
−
+1
(1 + qn2 y) [n2 + 1]qn
!
2
y
1+y
olarak alınırsa
∼
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)| ≤ 4w(f ; δn1 (x), δn2 (y))
sonucuna ulaşılır.
Burada
lim qn1 = 1 ve lim qn2 = 1
n1 →∞
n2 →∞
olduğu için
lim [n1 ]qn1 = lim [n2 ]qn2 = ∞
n1 →∞
n2 →∞
bulunur. Dolayısıyla n1 → ∞ ve n2 → ∞ için δn1 → 0 ve δn2 → 0 elde edilir.
∼
Böylece (3.3.2) de tanımlanan özellikler gözönüne alındığında w(f ; δn1 , δn2 ) → 0
olduğu görülür. Böylece iki değişkenli q-BBH operatörlerinin sıfıra yaklaşma
hızı, iki değişkenli süreklilik modülü ile değerlendirilmiş olur.
Aşağıdaki sonuç Teorem 12 nin önemini belirtmektedir:
Sonuç 13. q-analiz tanımı kullanılarak
12
[n]qn
[n]qn
[n]qn [n − 1]qn
−2
+1+
sup δn (x) ≤ qn
[n + 1]2qn
[n + 1]qn
[n + 1]2qn
x≥0
21
[n]2qn
[n]qn
=
−2
+1
[n + 1]2qn
[n + 1]qn
12
qn2n
=
[n + 1]2qn
qnn
=
[n + 1]qn
elde edilir. Burada q = 1 seçildiği takdirde
sup δn (x) ≤
27
1
n+1
olduğu açıktır. Diğer yandan
q n (n + 1) ≤ [n + 1]qn = 1 + qn + . . . + qnn
ve buradan
(n + 1) ≤
1
1
+ n−1 + . . . + 1
n
q n qn
elde edilir. Dolayısıyla 0 < qn ≤ 1 için aşağıdaki eşitsizliğin doğruluğu gösterilmiş olur:
qnn
1
≤
.
(3.3.5)
[n + 1]qn
n+1
1
olduğundan
n+1
(3.3.5) bize q-BBH operatörlerinin yaklaşım hızının 0 < qn ≤ 1 için klasik BBH
operatörlerinin yaklaşım hızından daha hızlı olduğunu gösterir.
Klasik Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin yaklaşım hızı
3.3.2
İki değişkenli q-BBH operatörlerinin yaklaşım hızının Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile elde edilmesi
Lenze (1990) Lipschitz tipli maksimal fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlamıştır:
|f (t) − f (x)|
feα (x) = sup
.
|x − t|α
t>0
(3.3.6)
t6=x
Şimdi biz E × E ⊂ R+ × R+ da tanımlı iki değişkenli fonksiyonlar için Lipschitz
tipli maximal fonksiyon uzayını aşağıdaki şekilde tanımlayalım:
n
fα ,α ,E 2 = f : sup(1 + t)α1 (1 + s)α2 feα1 ,α2 (x, y)
W
1 2
1
1
2
≤M
; x, y ≥ 0, (t, s) ∈ E . (3.3.7)
(1 + x)α1 (1 + y)α2
Burada f ; R+ ’da sınırlı ve sürekli bir fonksiyon, M pozitif bir sabit , 0 ≤
α1 ≤ 1, 0 ≤ α2 ≤ 1 olmak üzere feα1 ,α2 aşağıdaki gibi tanımlı bir fonksiyondur:
|f (t, s) − f (x, y)|
feα1 ,α2 (x, y) = sup
α1
α2 .
t,s>0 |t − x| |s − y|
28
(3.3.8)
fα ,α ,E 2
Şimdi iki değişkenli q-BBH operatörlerinin (3.3.7) da tanımlanmış W
1 2
fonksiyon uzayındaki fonksiyonlar için yakınsaklık hızını bulalım:
∼
Teorem 14. 0 ≤ α1 ≤ 1, 0 ≤ α2 ≤ 1 ve ∀f ∈ Wα1 ,α2 ,E 2 olmak üzere
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)|
≤ M [(δn1 (x))α1 (δn2 (y))α2 + (d(y, E))α2 (δn1 (x))α1 + (d(x, E))α1 (δn2 (y))α2
i
α2
α1
+2 (d(x, E)) (d(y, E))
olarak bulunabilir. Burada δn1 (x) ve δn2 (y); (3.3.3) ve (3.3.4)’de tanımlandığı
şekildedir. Ayrıca bilindiği üzere x noktasının E kümesine uzaklığı d(x, E)’dir
ve d(x, E) = inf {|x − y| ; y ∈ E} şeklinde tanımlanır.
İspat: x, y ≥ 0 ve (x0 , y0 )E olacak şekilde seçelim.
|f (t, s) − f (x, y)| = |f (t, s) − f (x0 , y0 ) + f (x0 , y0 ) − f (x, y)|
≤ |f (t, s) − f (x0 , y0 ) | +| f (x0 , y0 ) − f (x, y)|
olarak yazılabilir. Yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafına Ln1 ,n2 lineer pozitif
fα ,α ,E 2 olarak seçildiği taktirde
operatörü uygulayalım. Ayrıca f W
1 2
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)|
≤ Ln1 ,n2 (|f (t, s) − f (x0 , y0 )| ; qn1 , qn2 , x, y) + |f (x0 , y0 ) − f (x, y)|
α1 α2
s
t
x
y
0
0
; qn1 , qn2 , x, y
−
−
≤ M Ln1 ,n2 1 + t 1 + x0 1 + s 1 + y0 α1 α2
y
x
x
y
0
0
−
−
+ M 1 + x 1 + x0 1 + y 1 + y 0 (3.3.9)
eşitsizliği elde edilir. Biliyoruz ki 0 ≤ α ≤ 1 ve her a, b ≥ 0 için (a+b)α ≤ aα +bα
şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla benzer şekilde
29
α1 α2
t
s
x
y
0
0
−
−
1 + t 1 + x0 1 + s 1 + y 0 α α
t
x
x
x0 1 s
y
y
y0 2
−
+
−
−
+
−
=
1 + t 1 + x 1 + x 1 + x0 1 + s 1 + y 1 + y 1 + y 0 α1 α1 x
t
x
x
0
+
−
−
≤ 1+t 1+x
1 + x 1 + x0 α2 α2 y
s
y
y
0
+
× −
−
1 + y 1 + y0 1 + s 1 + y
α1 α2 α1 α2
t
t
s
y
x
y
x
y
0
+
= −
−
−
−
1 + t 1 + x 1 + y 1 + y0 1 + t 1 + x 1 + s 1 + y α α
α α
x
x0 1 s
y 2 x
x0 1 y
y0 2
−
−
+
−
−
+
1 + x 1 + x0 1 + s 1 + y 1 + x 1 + x0 1 + y 1 + y 0 bulunabilir. Bu eşitsizliğe Ln1 ,n2 lineer pozitif operatörü uygulanırsa
α α
t
x0 1 s
y0 2
Ln1 ,n2 −
−
; qn1 , qn2 , x, y
1 + t 1 + x0 1 + s 1 + y0 α α
t
x 1 s
y 2
−
−
; qn1 , qn2 , x, y
≤ Ln1 ,n2 1 + t 1 + x 1 + s 1 + y α2
α1
t
y
y
x
0
Ln1 ,n2 −
+ 1 + t − 1 + x ; qn 1 , x
1 + y 1 + y0 α1
α2
x
s
x
y
0
Ln1 ,n2 −
+ 1 + s − 1 + y ; qn2 , y
1 + x 1 + x0 α α
x
x0 1 y
y0 2
−
−
Ln1 ,n2 (1; qn1 , qn2 , x, y)
+
1 + x 1 + x0 1 + y 1 + y 0 α
α
t
s
x 1
y 2
= Ln1 ,n2 −
; qn1 , x Ln1 ,n2 −
; qn 2 , y
1 + t 1 + x
1 + s 1 + y
α2
α1
t
y
y
x
0
Ln1 ,n2 −
(3.3.10)
+ 1 + t − 1 + x ; qn 1 , x
1 + y 1 + y0 α1
α2
x
s
x
y
0
Ln1 ,n2 + −
1 + s − 1 + y ; qn2 , y
1 + x 1 + x0 α α
x
x0 1 y
y0 2
+
−
−
Ln1 ,n2 (1; qn1 , qn2 , x, y)
1 + x 1 + x0 1 + y 1 + y 0 şeklinde yazabiliriz. Ln1 ,n2 (1; qn1 , qn2 , x, y) = 1 olduğunu göstermiştik ayrıca
2
2
p1 = α21 , p01 = 2−α
ve p2 = α22 , p02 = 2−α
olarak seçip (3.3.10) a Hölder
1
2
Eşitsizliğini uyguladığımızda
30
α1 α2
t
s
x
y
0
0
; qn1 , qn2 , x, y
−
−
Ln1 ,n2 1 + t 1 + x0 1 + s 1 + y0 !# α21 "
!# α22
"
2
2
x
s
y
t
−
; qn 1 , x
−
; qn 2 , y
≤ Ln1 ,n2
Ln1 ,n2
1+t 1+x
1+s 1+y
!# α21
α2 "
2
y
t
y
x
0 −
Ln1 ,n2
−
; qn 1 , x
+ 1 + y 1 + y0 1+t 1+x
!# α22
α1 "
2
x
s
x
y
0 −
Ln1 ,n2
−
; qn2 , y
+ 1 + x 1 + x0 1+s 1+y
α1 α2
x
y
x
y
0
0
−
−
+ 1 + x 1 + x0 1 + y 1 + y 0 bulunur. Burada bulunan sonuç (3.3.9) de yerine yazılırsa
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)|
!# α21 "
!# α22
"
2
2
x
y
s
t
−
−
; qn1 , x
Ln1 ,n2
; qn2 , y
≤ M Ln1 ,n2
1+t 1+x
1+s 1+y
!# α21
α2 "
2
y
y
t
x
0
+ M −
Ln1 ,n2
−
; qn1 , x
1 + y 1 + y0 1+t 1+x
!# α22
α1 "
2
x
x0 y
s
+ M −
−
; qn2 , y
Ln1 ,n2
1 + x 1 + x0
1+s 1+y
α α
x
x0 1 y
y0 2
−
−
+ 2M 1 + x 1 + x0 1 + y 1 + y0 ≤ M [(δn1 (x))α1 (δn2 (y))α2 + (d(y, E))α2 (δn1 (x))α1 + (d(x, E))α1 (δn2 (y))α2
+2 (d(x, E))α1 (d(y, E))α2 ]
elde edilir bu da ispatı tamamlar.
Teorem 14 ün özel bir hali olarak E = R+ alındığında d(x, E) = 0 ve d(y, E) = 0
olduğundan aşağıdaki sonuç yazılabilir:
Sonuç: f ∈ Wα1 ,α2 ,R+2 olmak üzere
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)| ≤ M [(δn1 (x))α1 (δn2 (y))α2 ]
31
bulunur burada δn1 (x) ve δn2 (y); (3.3.3) ve (3.3.4) de tanımlanmıştır. Aynı
şekilde
lim qn1 = lim qn2 = 1
n1 →∞
n2 →∞
olduğu için n1 → ∞ ve n2 → ∞ için δn1 → 0 ve δn2 → 0 elde edilir. Böylece
operatörün hızı Lipschitz sınıfı fonksiyonlar ile değerlendirilmiş olur.
32
4 . q-BBH OPERATÖRÜNÜN İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI
Bu bölümde ilk olarak istatistiksel yakınsaklığın tanımı verilecek ve yaklaşımlar
teorisine nasıl uygulandığı konusuna değinilecektir. Daha sonra tek ve iki değişkenli
q-BBH operatörlerinin istatistiksel yaklaşım özellikleri incelenecek ve son olarak
bu operatörlerin istatistiksel yaklaşım hızı hakkında kısaca bilgi verilecektir.
4.1
İstatistiksel Yakınsaklığın Tanımı
İlk olarak 1951 yılında Fast tarafından geliştirilen istatistiksel yakınsaklık kavramı
son yıllarda matematiğin birçok dalına uygulanmaya başlamıştır.
İstatistiksel yakınsaklığın tanımına geçmeden önce kısaca yoğunluk kavramından
bahsedelim: K ⊂ N alt kümesi verilsin ve ayrıca {k ≤ n : kK} kümesi Kn ile,
K kümesinin eleman sayısı da |K| ile gösterilsin.
Bir K ⊂ N alt kümesi için
1
lim |Kn |
n n
limiti mevcut ise, bu limit değerine K kümesinin yoğunluğu denir ve δ(K) ile
gösterilir (Niven et al. 1991).
Örneğin δ(N) = 1, δ{n2 : nN } = 0, δ{2n : nN } = δ{2n + 1 : nN } =
olduğu kolayca görülebilir.
1
2
Şimdi istatistiksel yakınsaklık tanımını verebiliriz; x = (xk ) reel terimli bir dizi
olsun. Eğer her ε > 0 için
δ{k : |xk − L| ≥ ε} = 0
olacak şekilde bir L sayısı varsa, bu durumda xk dizisi L sayısına istatistiksel
yakınsaktır denir ve st − lim xk = L ile gösterilir (Fast 1951).
k
Tanımdan da anlaşılacağı üzere istatistiksel yakınsaklık klasik yakınsaklıktan
daha geneldir. Çünkü L sayısının ε > 0 komşuluğunun dışında, indis kümesinin
33
yoğunluğunun sıfır olması koşuluyla, yine sonsuz çoklukta terim bulunabilir.
Dolayısıyla her yakınsak dizi istatistiksel yakınsaktır, fakat bunun tersi doğru
değildir. Buna örnek olarak x = (xk ) dizisi

 1; k = m2
xk =
 0; k 6= m2 .
şeklinde tanımlansın. Burada δ{m2 : mN } = 0 olduğu bilindiğine göre (xk )
dizisi istatistiksel olarak sıfıra yakınsaktır. Yani st − lim xk = 0 şeklinde gösterik
lebilir. Fakat burada x dizisi yakınsak değildir.
İstatistiksel yakınsaklık kavramı yaklaşımlar teorisine ilk olarak Gadjiev ve
Orhan (2002) tarafından uygulanmıştır. Gadjiev ve Orhan, reel sayıların kapalı
ve sınırlı aralıkları üzerinde sürekli olan fonksiyonların uzayı üzerinde tanımlanan
lineer pozitif operatörler için istatistiksel Korovkin tipli teoremi aşağıdaki şekilde
ispatlamışlardır:
Teorem 15. (Gadjiev and Orhan 2002) Eğer An : C[a, b] → C[a, b] lineer pozitif
operatörler dizisi eν (t) = tν , ν = 0, 1, 2 için aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa
st − lim kAn (eν ; .) − eν kC[a,b] = 0,
n
o halde her f C[a, b] için
st − lim kAn (f ; .) − f kC[a,b] = 0, ν = 0, 1, 2
n
sağlanır.
4.2
q-BBH Operatörlerinin İstatistiksel Yakınsaklığı
Bu kısımda amaç; q-BBH operatörlerinin istatistiksel yaklaşım özelliklerini elde
etmektir.
Erkuş ve Duman (2003) tarafından Gadjiev ve Orhan’ın (2002) de verdikleri teorem kullanılarak Hw2 uzayında tanımlı fonksiyonların istatistiksel yakınsaklığı
için Korovkin tipli bir teorem verilmiştir. Dolayısıyla bu bölümde Erkuş ve Duman ın vermiş olduğu teorem kullanılarak tek değişkenli q-BBH operatörlerinin
34
istatistiksel yakınsaklığı elde edilecektir.
Teoremi vermeden önce, bilinmelidir ki K = I 2 = [0, ∞)x[0, ∞) olmak üzere
iki değişkenli fonksiyonlar için süreklilik modülü, w2 (f ; δ1 , δ2 ), aşağıdaki gibi
tanımlanır:
w2 (f ; δ1 , δ2 ) = sup {|f (u, v) − f (x, y)| : (u, v), (x, y)Kve|u − x| ≤ δ1 ,
|v − y| ≤ δ2 } .
Bu fonksiyonun tanımlı olduğu uzay Hw2 aşağıdaki özelliği gerçekler:
u
x v
y |f (u, v) − f (x, y)| ≤ w2 f ; −
−
.
,
1 + u 1 + x 1 + v 1 + y Burada f Hw2 ise f, K’da sürekli ve sınırlıdır.
Teorem 16. (Erkuş and Duman 2003) {Ln }, Hw2 den CB (K) ya lineer pozitif
operatörler dizisi olsun. Her f Hw2 için
st − lim kLn (fi ) − fi k = 0 i = 0, 1, 2, 3
n
sağlanıyor ise
st − lim kLn (f ) − f k = 0
n
dır. Burada
u
,
1+u
2 2
u
v
v
, f3 (u, v) =
f2 (u, v) =
+
1+v
1+u
1+v
f0 (u, v) = 1, f1 (u, v) =
(4.2.1)
dir.
Şimdi bu teorem yardımıyla tek değişkenli q-BBH operatörlerinin istatistiksel
olarak bir f fonksiyonuna düzgün yakınsadığını gösterelim.
Kabul edelim ki q = (qn ) dizisi 0 < qn ≤ 1 için aşağıdaki koşulu gerçeklesin:
st − lim qn = 1.
n
Bu koşulu sağlayan herhangi bir q = (qn ) dizisine örnek olarak

 1
; n = m2
2
qn =
 1 − 1 ; n 6= m2
n
verebiliriz.
35
(4.2.2)
(4.2.3)
Teorem 17. Farzedelim ki q = (qn ) dizisi 0 < qn ≤ 1 için (4.2.2) deki koşulu
gerçeklesin. Eğer (2.6.5) de tanımlanan Ln lineer pozitif operatörü
ν
ν x
t
= 0; ν = 0, 1, 2
;
q
;
x
−
st − lim L
n
n
n 1+t
1 + x CB
koşullarını gerçekliyorsa her f Hw için
st − lim kLn (f ; qn ; .) − f kCB = 0
n
sağlanır.
İspat: ν = 0 için, (2.6.7) de Ln (1; qn ; x) = 1 olduğu gösterilmişti. O halde
st − lim kLn (1; qn ; x) − 1kCB = 0
n
olduğu açıktır. ν = 1 için,
[n]
t
x
x
q
n
=
≤ 1 − [n]qn
Ln
;
q
;
x
−
−
1
n
1+t
1 + x CB
[n + 1]qn
1 + x CB
[n + 1]qn
(4.2.4)
bulunur. Herhangi bir ε > 0 sayısı için
)
( x
t
U = n:
Ln ( 1 + t ; qn ; x) − 1 + x ≥ ε
CB
ve
0
U =
[n]qn
≥ε
n:1−
[n + 1]qn
olacak şekilde iki küme tanımlayalım. Burada U ⊂ U 0 olduğu açıktır. Dolayısıyla
t
[n]
x
q
n
δ k≤n:
Ln 1 + t ; qn ; x − 1 + x ≥ ε ≤ δ k ≤ n : 1 − [n + 1]q ≥ ε
n
yazılır ve (4.2.2) den aşağıdaki sonuç açıktır:
[n]qn
st − lim 1 −
= 0.
n
[n + 1]qn
Böylelikle yoğunluk tanımından
δ k ≤n:1−
[n]qn
≥ε
[n + 1]qn
36
=0
ve daha sonra
x
t
=0
;
q
;
x
−
st − lim L
n
n
n 1+t
1 + x CB
olduğu kolaylıkla gösterilebilir.
Son olarak ν = 2 alındığında
! 2
2 t
x
; qn ; x −
Ln
1+t
1+x CB
(
!
)
2
[n]qn [n − 1]qn 2 1 + x
[n]qn
x
x
= sup
qn
−1 +
1+x
1 + qn x
[n + 1]2qn
[n + 1]2qn 1 + x
x≥0
(4.2.5)
bulunur. q-analiz tanımı ile basit işlemler yapılarak
[n]qn [n − 1]qn
1
1 + qn
2 + qn
= 3 1−
+
[n + 1]2qn
qn
[n + 1]qn [n + 1]2qn
(4.2.6)
eşitliği elde edilebilir. (4.2.6) ün (4.2.5) de yerine konulmasıyla
Ln
! 2
2 t
x
; qn ; x −
1+t
1+x CB
#
!
2 "
[n]q
x
2 + qn
1
1 + qn
1+x
x = sup 1−
−1 +
+
qn
[n + 1]q [n + 1]2q 1 + qn x
[n + 1]2q 1 + x x≥0 1 + x
2 x
1 1+x
≤ sup −1 qn 1 + qn x
x≥0 1 + x
(
!
)
2
[n]
x
1
2 + qn
1 + qn
1 + x x q
+ sup −
+
+ sup qn
[n + 1]q [n + 1]2q 1 + qn x x≥0 [n + 1]2q 1 + x x≥0 1 + x
2 x
1 1+x
= sup
−1
1+x
qn 1 + q n x
x≥0
!
)
2 (
[n]q
x
2 + qn
1 + qn
x
1
1+x
+ sup
−
+
sup
2
2
1+x
qn [n + 1]q [n + 1]q 1 + qn x
x≥0
x≥0 [n + 1]q 1 + x
!
1
1
2 + qn
1 + qn
1
1
≤
−1 + 2
−
+
−
(4.2.7)
2
2
qn
qn [n + 1]q [n + 1]q
qn [n + 1]q qn [n + 1]2q
37
bulunur. Burada eğer
1
1
αn = 2 −1, βn = 2
qn
qn
2 + qn
1 + qn
−
[n + 1]q [n + 1]2q
!
, γn =
1
1
, ξn =
qn [n + 1]q
qn [n + 1]2q
olacak şekilde seçilirse ve burada (4.2.2) deki koşul uygulanırsa
st − lim
n
1
=0
[n + 1]q
elde edilir. Dolayısıyla aşağıdaki sonuçlar kolaylıkla gösterilebilir:
st − lim αn = st − lim βn = st − lim γn = st − lim ξn = 0.
n
n
Yine bir ε > 0 için
(
U=
n : Ln
n
t
1+t
!
2
; qn ; x
(4.2.8)
n
−
2 x
1+x )
≥ε
CB
ve
n
εo
εo
, U 2 = n : βn ≥
,
U1 = n : αn ≥
4o
4o
n
n
ε
ε
, U4 = n : ξn ≥
U3 = n : γn ≥
4
4
S S S
olacak şekilde beş farklı küme tanımlansın. U ⊆ U1 U2 U3 U4 olduğu
gözönüne alınırsa
n
! )
2
2 t
x
δ k ≤ n : Ln
; qn ; x −
≥ε
1+t
1+x CB
n
n
εo
εo
+ δ k ≤ n : βn ≥
≤ δ k ≤ n : αn ≥
4o
4
n
n
ε
εo
+ δ k ≤ n : γn ≥
+ δ k ≤ n : ξn ≥
4
4
(
eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafı (4.2.8) den dolayı sıfırdır. O halde
! 2
2 x
t
st − lim Ln
; qn ; x −
=0
n 1+t
1+x CB
sağlanır. Dolayısıyla
ν
ν x
t
= 0 ν = 0, 1, 2
st − lim Ln
; qn , x −
n
1+t
1 + x CB
38
sonucu gösterilmiş olur. Böylece ispat Teorem 16 gereği tamamlanmış olur.
Şimdi q-BBH operatörlerinin istatistiksel yaklaşım hızını; süreklilik modülü ve
Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar yardımıyla değerlendirelim.
Aral ve Doğru (2007), tek değişkenli q-BBH operatörlerinin yaklaşım hızını
süreklilik modülü yardımıyla aşağıdaki teorem ile göstermişlerdir:
Teorem 18. (Aral and Doğru 2007) Farzedelim ki q = (qn ) dizisi; 0 < qn < 1
ve qn → 1 (n → ∞) koşullarını gerçeklesin. O halde (2.6.5) Ln lineer pozitif
operatörü, her bir x0 ≥ 0 ve her f Hw için
|Ln (f ; qn ; x0 ) − f (x0 )| ≤ 2w(f ; δn (x0 ))
eşitsizliğini sağlar. Burada
(
δn (x0 ) =
x0
1 + x0
2 ) 12
[n][n − 1] 2 1 + x0
[n]
[n]q
x0
+
+
1−2
q
[n + 1]q
[n + 1]2 n 1 + qn x0 [n + 1]2 1 + x0
(4.2.9)
şeklindedir.
Teorem 18’deki qn → 1 (n → ∞) koşulu yerine st − lim qn = 1 koşulunu kabul
n
edersek st − lim δn (x0 ) = 0 olur fakat aynı zamanda lim δn (x0 ) 6= 0 olabilir. Bu
n
n
sonuç Teorem 18 deki sonucun daha zayıf bir koşul altında da gerçeklendiğini
gösterir.
Aral ve Doğru aynı çalışmada q-BBH operatörlerinin yaklaşım hızını Lipschitz
tipli maksimal fonksiyonlar ile de elde etmişlerdir. Bölüm 3.3.2 de; Lipschitz
tipli maksimal fonksiyonun (3.3.6) şeklinde tanımlandığını söylemiştik (Lenze
fα ,α ,E 2
1990). Şimdi, daha önce (3.3.7) da iki değişkenli halini tanımladığımız W
1 2
fonksiyon uzayının tek değişkenli hali E ⊂ [0, ∞) olmak üzere
fα,E =
W
α
f : sup(1 + x) feα (x, y) ≤ M
1
; x ≥ 0, y ∈ E
(1 + y)α
(4.2.10)
şeklindedir. Burada f ; R+ ’da sınırlı ve sürekli bir fonksiyon, M pozitif bir
sabit, 0 < α ≤ 1 olmak üzere feα ise (3.3.6) de tanımlandığı şekildedir.
39
fα,E için q-BBH operatörlerinin yaklaşım hızını
Aral ve Doğru ilk olarak f ∈ W
elde etmişler ve daha sonra bu sonucun özel bir hali olarak E = R+ alıp
aşağıdaki sonucu bulmuşlardır:
Teorem 19. (Aral and Doğru 2007) (2.6.5) de tanımlanan Ln operatörü f ∈
fα,R+ ve her x0 ≥ 0 için
W
α
|Ln (f ; x0 ) − f (x0 )| ≤ M δn2 (x0 )
eşitsizliğini sağlar. Burada δn (x0 ) ise (4.2.9) da tanımlandığı gibidir.
(4.2.2) in kullanılmasıyla
st − lim δn (x0 ) = 0
n
olduğunu göstermiştik. Böylece Ln (f ; x0 ) operatörünün f (x0 ) fonksiyonuna istatistiksel yakınsaklık oranını Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar ile elde etmiş
oluruz.
4.3
İki Değişkenli q-BBH Operatörlerinin İstatistiksel Yakınsaklığı
Bu bölümde ise Erkuş ve Duman’ın (2003)’de vermiş oldukları teorem kullanılarak iki değişkenli q-BBH operatörlerinin istatistiksel yakınsaklığı elde edilecektir.
Kabul edelim ki q = (qn1 ) ve q = (qn2 ), 0 < qn1 , qn2 ≤ 1 olmak üzere istatistiksel
olarak 1 e yakınsayan iki dizi olsun, yani;
st − lim qn1 = st − lim qn2 = 1
n1
n2
(4.3.1)
sağlansın.
Şimdi (4.3.1) koşulları altında iki değişkenli q-BBH operatörlerinin istatistiksel
yakınsaklığını Teorem 16 yardımıyla elde edelim.
Teorem 20. Kabul edelim ki q = (qn1 ) ve q = (qn2 ), (4.3.1) de verilen koşulları
2
gerçeklesinler. Eğer Hw2 (R+
) den CB (R+ ) ya giden Ln1 ,n2 lineer pozitif operatörü her f Hw2 için
st − lim kLn1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f kCB = 0
n1 ,n2
40
koşullarını sağlıyorsa o halde
st − lim kLn1 ,n2 (e˜ij ; qn1 , qn2 , x, y) − e˜ij kCB = 0,
n1 ,n2
i, j = 0, 1, 2
x i y j
dir. Burada e˜ij = ( 1+x
) ( 1+y ) i, j = 0, 1, 2 şeklindedir.
İspat (3.1.8) de Ln1 ,n2 (e˜00 ; qn1 , qn2 , x, y) = 1 olduğunu bulmuştuk. Dolayısıyla
st − lim kLn1 ,n2 (e˜00 ; qn1 , qn2 , x, y) − e˜00 k = 0
n1 ,n2
elde edilir. (4.2.4) ile aynı şekilde aşağıdaki sonuca ulaşılır:
st − lim kLn1 ,n2 (e˜10 ; qn1 , qn2 , x, y) − e˜10 k = 0.
n1 ,n2
Simetriden dolayı
st − lim kLn1 ,n2 (e˜01 ; qn1 , qn2 , x, y) − e˜01 k = 0.
n1 ,n2
sonucu da kolaylıkla bulunabilir.
Son olarak
st − lim kLn1 ,n2 (e˜20 + e˜02 ; qn1 , qn2 , x, y) − (e˜20 + e˜02 )k = 0
n1 ,n2
olduğunun gösterilmesiyle ispat tamamlanacaktır.
kLn1 ,n2 (e˜20 + e˜02 ; qn1 , qn2 , x, y) − (e˜20 + e˜02 )k
1 + qn1
1
2 + qn1
1
1
1
−
−1 + 2
+
−
≤
2
2
q
q
[n1 + 1] [n1 + 1]
qn1 [n1 + 1] qn1 [n1 + 1]2
n1
n1 1 + qn2
1
1
2 + qn2
1
1
−
+
−
1
+
+
−
2
qn2 2
qn2 2 [n2 + 1] [n2 + 1]
qn2 [n2 + 1] qn2 [n2 + 1]2
olduğu (4.2.7) ile benzer şekilde elde edilir. Burada
αn1
1
1
= 2 − 1, βn1 = 2
qn1
qn1
ξn1 =
2 + qn1
1 + qn1
−
[n1 + 1]qn
[n1 + 1]2qn
1
1
1
1
2 , αn2 = 2 − 1, βn2 = 2
qn2
qn 2
qn1 [n1 + 1]qn
1
γn2
1
1
=
, ξn2 =
qn2 [n2 + 1]qn
qn2 [n2 + 1]2qn
2
41
2
!
1
,
qn1 [n1 + 1]qn
!1
1 + qn2
−
,
[n2 + 1]2qn
, γn1 =
1
2 + qn 2
[n2 + 1]qn
2
2
olacak şekilde seçelim. Yukarıdaki eşitliklere (4.3.1) de tanımladığımız özellikler
uygulanırsa
st − lim αn1 = st − lim βn1 = st − lim γn1 = st − lim ξn1 = 0
n1
n1
n1
n1
(4.3.2)
st − lim αn2 = st − lim βn2 = st − lim γn2 = st − lim ξn2 = 0
n2
n2
n2
n2
elde edilir. Her ε > 0 için
U = {n : kLn1 ,n2 (e˜20 + e˜02 ; qn1 , qn2 , x, y) − (e˜20 + e˜02 )kCB ≥ ε}
ve
n
n
n
εo
εo
εo
, U2 = n1 : βn1 ≥
, U3 = n1 : γn1 ≥
,
U1 = n1 : αn1 ≥
8
8
8
n
n
n
εo
εo
εo
U4 = n1 : ξn1 ≥
, U5 = n2 : αn2 ≥
, U6 = n2 : βn2 ≥
,
8o
8o
8
n
n
ε
ε
U7 = n2 : γn2 ≥
, U8 = n2 : ξn2 ≥
8
8
olacak şekilde kümeler tanımlayalım. Burada
[ [ [ [ [ [ [
U ⊆ U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8
olduğu gözönüne alınırsa
δ {k ≤ n : kLn1 ,n2 (f3 ; qn1 , qn2 , x, y) − f3 kCB ≥ ε}
n
n
n
εo
εo
εo
+ δ k ≤ n1 : βn1 ≥
+ δ k ≤ n1 : γn1 ≥
≤ δ k ≤ n1 : αn1 ≥
8
8
8
n
n
n
εo
εo
εo
+ δ k ≤ n1 : ξn1 ≥
+ δ k ≤ n2 : αn2 ≥
+ δ k ≤ n2 : βn2 ≥
8o
8o
8
n
n
ε
ε
+ δ k ≤ n2 : ξn2 ≥
+ δ k ≤ n2 : γn2 ≥
8
8
elde edilir. Daha önce elde ettiğimiz (4.3.2) ün kullanılmasıyla
st − lim kLn1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f k = 0
n1 ,n2
olduğu gösterilmiş olur.
Son olarak Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) operatörünün f (x, y) fonksiyonuna süreklilik
modülü yardımıyla istatistiksel yaklaşım hızını bulalım.
Tezimizin 3.3.1. bölümünde iki değişkenli q-BBH operatörünün yaklaşım hızını
süreklilik modülü yardımıyla
∼
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)| ≤ 4w(f ; δn1 (x), δn2 (y))
42
şeklinde bulmuştuk. Burada δn1 (x) ve δn2 (y), (3.3.3) ve (3.3.4) de gösterilmiştir.
Dolayısıyla bu eşitsizliğe (4.3.1) de verilen koşullar uygulandığında
st − lim δn1 = st − lim δn2 = 0
n1 →∞
n2 →∞
olduğu açıktır. Buradan
st −
lim
n1 ,n2 →∞
∼
w(f ; δn1 (x), δn2 (y)) = 0
sonucu bulunur.
fα ,α ,R2 için operatörün yaklaşım hızını
Aynı şekilde 3.3.2. bölümde ∀f ∈ W
1 2
+
|Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) − f (x, y)| ≤ M [(δn1 (x))α1 (δn2 (y))α2 ]
şeklinde bulmuştuk. Burada st − lim qn1 = 1 ve st − lim qn2 = 1 kabulü gereği
n1
n2
st − lim δn1 (x) = st − lim δn2 (y) = 0
n1 →∞
n2 →∞
olacağından Ln1 ,n2 (f ; qn1 , qn2 , x, y) operatörünün f (x, y) fonksiyonuna istatistiksel yaklaşım hızı elde edilmiş olur.
43
5 . SONUÇ
Bu çalışmada sözü edilen operatörlerin q = 1 alınması durumunda klasik Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerine dönüşmesi, bu operatörün incelemeye
değer olduğunu göstermektedir. Ayrıca bu tip genelleşmelerin yakın bir tarihte
başlamış olması da bu konuda yapılacak bir hayli iş olduğu anlamına gelmektedir. Halen bir çok operatörün bu tip genelleşmelere uygun olup olmadığı
konusunun da incelendiğini düşünürsek, bu çalışmanın bazı uzaylarda bulunan fonksiyonların q-BBH operatörleri yardımıyla yaklaştırılması konusunda
katkılar sağlayacağı kanaatindeyiz.
44
KAYNAKLAR
Altın, A., Doğru, O. and Özarslan, M.A. 2005. On the Approximation
Properties of Bivariate Bleimann, Butzer and Hahn Operators. WSEAS
Trans. Math. 4(4), 327-332.
Andrews, G.E., Askey, R. and Roy, R. 1999. Special Functions. Cambridge
University Press.
Aral, A. and Doğru, O. 2007. Bleimann Butzer and Hahn operators based on
q-integers. Journal of Inequalities and Applications, Art. ID 79410; 1-12.
Barbosu, D. 2000. Some generalized bivariate Bernstein operators. Math. Notes
(Miskolc) 1; 3-10.
Bernstein, S.N. 1912. Demonstration du theoreme de Weierstrass fondee sur la
calcul des probabilities, Comm. Soc. Math. Charkow Ser. 2 (13); 1-2.
Bleimann, G., Butzer, P.L. and Hahn L. 1980. A Bernstein-type operator
approximating continuous functions on the semi-axis. Math. Proc. A, 83,
255-262.
Bohman, H. 1951. On approximation of continuous and analytic functions.
Arkif Für Math., 2(3); 43-56.
Doğru, O. and Gupta, V. 2005. Monotonicity and the asymptotic estimate of
Bleimann, Butzer and Hahn operators based on q-integers. Georgian
Math J., 12; 415-422.
Doğru, O. 2002. On Bleimann, Butzer and Hahn type generalization of Balasz
operators. Studia Univ. Math. 4; 37-45.
Erkuş, E. and Duman, O. 2003. A-Statistical extension of the Korovkin type
approximation theorem. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.), 115 (4),
499-507.
Fast, H. 1951. Sur la convergence statistique. Colloq. Math., 2; 241-244.
Gadjiev, A.D. and Çakar, Ö. 1999. On uniform approximation by Bleimann,
Butzer anh Hahn operators on all positive semi-axis. Trans. Acad. Sci.
Azerb. Ser. Phys. Tech. Math. Sci., 19, 21-26.
Gadjiev, A.D. and Orhan, C. 2002. Some approximation theorems via statistical
convergence. Rocky Mountain J. Math., 32; 129-138.
Hacısalihoğlu, H.H. and Haciyev, A. 1995. Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin
Yakınsaklığı, Ankara.
45
Hermann, T. 1990. On the operator of Bleimann, Butzer and Hahn. Colloq.
Math. Soc. Janos Bolyai, 58. Approx. Th., Hungary; 355-360.
Jayasri, C. and Sitaraman, Y. 1985. Direct and inverse theorems for certain
Bernstein-type operators. Indian J. Pure and Appl. Math. 16; 1495-1511.
Korovkin, P.P. 1953. On convergence of linear positive operators in the space of
continuous functions (Russian). Dokl. Akad. Nauk. SSSR (N.S.), 90; 961964.
Korovkin, P.P. 1960. Linear Operators and Approximation Theory. India,Delhi.
Lenze, B. 1990. Bernstein-Baskakov-Kantorovich operators and Lipschitz-type
maximal functions. Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai, 58. Approx. Th.,
469-496.
Lorentz, G.G. 1953. Bernstein Polynomials, Toronto.
Lorentz, G.G. 1966. Approximation of Functions, Holt, Rinehart and Winston,
New York.
Lupaş, A. 1987. A q-analogue of the Bernstein operator. University of ClujNapoca. Seminar on Numerical and Statistical Calculus, No. 9.
Niven, I., Zuckerman, H.S. and Montgomery, H. 1991. An Introduction to the
Theory of Numbers. Wiley, New York.
Oruç, H. and Tuncer, N. 2002. On the convergence and iterates of q-Bernstein
polynomials. J. Approx. Th., 117; 301-313.
Ostrovska, S. 2006. On the Lupaş q-analogue of the Bernstein operator. Rocky
Mountain Journal of Mathematics, 36 (5); 1615-1629.
Ostrovska, S. 2003. q-Bernstein polynomials and their iterates. J. Approx. Th.
123; 232-255.
Phillips, G.M. 1997. Bernstein polynomials based on the q-integers. The
heritage of P.L.Chebyshev: Ann. Numer. Math., 4; 511-518.
Phillips, G.M. 2000. A generalization of the Bernstein polynomials based on
the q-integers. ANZIAM j. 42; 79-86.
Volkov, V.I. 1957. On the convergence of sequences of linear positive operators
in the space of continuous functions of two variables. Dokl. Akad. Nauk
SSSR (N.S.), 115; 17-19.
Weierstrass, K. 1885. ”Über die analytische Darstellbarkeit sogennanter willkürlicher
Funktionen reeler Argumente”, Sitzungsberichte der Acad. Berlin, 633639, 789-805.
46
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı: S. Sibel ERSAN
Doğum Yeri: Ankara
Doğum Tarihi: 30.04.1977
Medeni Hali: Evli
Yabancı Dili: İngilizce
Eğitim Durumu:
Lise: Büyük Kolej 1995
Lisans: Ankara Üniversitesi 2000
Yüksek Lisans: Çankaya Üniversitesi 2003
Çalıştığı Kurum/ Kurumlar ve Yıl:
Çankaya Üniversitesi 2001-Halen devam ediyor.
Yayınları (SCI ve diğer):
Ersan, S., Approximation properties of bivariate generalization of Bleimann,
Butzer and Hahn Operators, Proceedings of the 12th WSEAS International
Conference on Applied Mathematics, Cairo, Egypt, December 29-31, 2007.
47

Download

ANKARA ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT¨US¨U

Products

Support

ANKARA ¨UN˙IVERS˙ITES˙I FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT¨US¨U

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib