Örnek: 1-Sistemi tanımlayan diferansiyel denklemin elde edilmesi:

EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
Örnek:
Dengede bulunan kütle-yay sistemine uygulanan kuvvetin zamana göre değişimi aşağıda verilmiştir.
1-Sistemi tanımlayan diferansiyel denklemi yazınız.
2-Y(s), (konum ) ifadesini elde ediniz. 0 < < 1,1 < < 3 ve ≥ 3 aralıkları için İfadelerini elde ediniz.
3-Sürekli zaman Durum denklemlerini vektör matris formunda yazınız. (m=1, k=0.5, b=1.5)
4-T=0.1 sn için ayrık-zaman durum denklemlerini elde ediniz.
5-Ayrık-zaman Durum geçiş matrisini elde ediniz.
6- 0 < < 20 sn aralığı için kütle-yay sisteminde konum ve hızın değişimini tam çözüm ve öz çözüm
olmak üzere sürek-zaman ve ayrık-zaman olarak çiziniz.
1-Sistemi tanımlayan diferansiyel denklemin elde edilmesi:
+
Çözüm:
+
+ = +
=
!
−
"!
parametre değerleri, m=1, k=0.5, b=1.5 , yerlerine koyulur ise,
= !! ).-!)..-
elde edilir.
=
Serbest cisim gösterim.
+ = − 1
− − 3
1 + = # &'
%
% &(' $
*
+
!! ) !) $
$
= − 1
− − 3
% &' % &(' 1
1.51+
0111+
1121
110.5
13
4!
!
−
"!
5
= !! ).-!)..-
= !!)
!)..-
= ! + !) + !)..- ise 9 = 2, ; = 2, < = −4
6
7
8
1
EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
5
= ! + !) − !)..
>
ters Laplace dönüşümü alınır ise,
?
= @ A5
BC,
?
= 2 + 2
= 5
!
= 5
!
− 4
−
Hatırlatma:
..-
"!
ise,
− 5
= @ A5
!
olarak elde edilir.
"!
− 5
− 4
..-
? − 1
− 1
= 2 + 2
? − 3
− 3
= 2 + 2
0 < V
? − V
> V
? − V
− V
= @ A
5
B
Y
= @A? − V
− V
B = olur….
"! B
= ? − 1
− 1
− ? − 3
− 3
?
= 2 + 2
U
= ? − V
− V
= W
5
olur……
olduğu göz önüne alınarak ifadesi yazılır.
"
− 4
− 4
..- ..- "
? − 1
− 1
− ? − 3
− 3
= 2 + 2
(t>1)’den sonraki cevap……..
(t>3)’den sonraki cevap……..
− 4
= 2 − 4
sonraki cevaptan (t>3)’ten sonraki cevap çıkarılır.)
2- DE
FG
Z!
Z!
..- ..- − 2 − 2
− 2
"
"
+ 4
+ 4
..- "
..- "
((t>1)’den
ifadelerinin I < < 1,J < < 3 ve E ≥ K aralıkları için yazılması.
HDE
HE
Oldukları göz önünde bulundurularak, Kütle yay ve sönümlendirici sistemine ait çıkış ifadesi
elde edilir.
00 < < 1
= LM = N 2 + 2 − 4 ..- 1 < < 3
2 − 4 ..- − 2 "
+ 4 ..- "
≥ 3
00 < < 1
O
= ℎQR = N −2 + 2 ..- 1 < < 3
O
−2 + 2 ..- + 2 "
− 2 ..- "
≥ 3
3-Sürekli zaman Durum denklemlerini vektör matris formunda elde edilişi:
+
+ = S = S =
T# konum
hız
= S 1. durum denklemi
2
EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
O
1
O =−
− + O
O
T =−
S − S + 2. Durum denklemi
Durum denklemleri vektör-matris formunda
T# [T
\
0
= ]− = c0 1d _
T# [T
\
1 S 0
− ^ _S ` + a1b S `
S olarak elde edilir ve k=0.5,b=1.5,m=1 kg değerleri yerlerine yazılır.
S 0
1
0
=a
b _ ` + aeb 011121113
−0.5 −1.5 S 1
= c023
0 1d _
8
7
6
S `
S 4-T=0.1 sn için ayrık-zaman durum denklemlerinin elde edilmesi.
Sürekli-zaman durum denklemleri elde edilir. T=0.1 sn için Ayrık-zaman durum denklemleri aşağıda
elde edilir.
S + 1
= YS
+ f
= <S
G matrisi, sürekli zaman durum geçiş matrisi, ∅
elde edilir ve Y = ∅
|ij verilerek elde edilir.
∅
= @ A∅
B
∅
= k − 9
−1
=l
m
0.5 + 1.5
+ 1.5
1
q
z
ot + 1
+ 0.5
+ 1
+ 0.5
wo
∅
= @ s
v
−0.5
p
y
o + 1
+ 0.5
+ 1
+ 0.5
o
nr
ux
−1
2
−2
2
+
+
t + 1
+ 0.5
+ 1
+ 0.5
w
=s
v
1
1
2
1
−
−
+ 1
+ 0.5
+ 1
+ 0.5
r
u
..-
− ∅
= {2 − ..-
edilir.
2 ..- − 2 |
2 − ..-
3
+ 1.5 1
= !)
!)..-
l
m
−0.5 sürekli zaman durum geçiş matrisi elde
EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
1
∅0
= l
0
∅0
= k olmalıdır.
0
m dir.
1
..-
− Y = ∅
|ij = {2 − ..-
0.9976 0.0928
Y=l
m
−0.0464 0.8584
6‚
f = 6j a…. {2
j
− j
− ..-j
..-j
j
f = l2
f = l2
6‚
− j
j
− ..-j
..-j
j
− j
− ..-j
− j
j
− ..-j
..-j
2
2
2
2
ise,
− 2 j | oldukları göz önüne alınır ise,
j
− ..-j
..-j
− 2 j | _…j {2 ..-‚ − ‚
.
− ..-j
‚ − ..-‚
..-‚
− ‚
† {2‚
− ..-‚
.
..-j
j
2
2
..-j
j
i..
2 ..-‚ − 2 ‚ |
2 ‚ − ..-‚
Oƒb ; =
2
2
− 2 |}
− ..-
..-
olarak elde edilir.
..-‚
− ‚
= ∅−ƒ
= {2‚
− ..-‚
6j = ∅„
= {2
2
2
2 ..-‚ − 2 ‚ | Oƒ` l0m
1
2 ‚ − ..-‚
2 ..-‚ − 2 ‚ | Oƒ = {4 ..-‚ − ‚
2 ‚ − ..-‚
‚ − 2 ..-‚
hesaplanır.
4 ..-‚ − 2 ‚ |
2 ‚ − 2 ..-‚ .
j
..-j
− j − 3 4 ..-j − 2 j − 2|
= {4j
− 2 ..-j + 1
2 j − 2 ..-j
− 2 j m {40.5„ − „ − 3 40.5„ − 2„ − 2| l0m
1
− ..-j „ − 20.5„ + 1
2„ − 20.5„
..-j
j
− 2 j m l4 ..-j − 2 j − 2m
j
− ..-j
2 j − 2 ..-j
..-j
4 ..-j − 4 ..-j − 4 ..-j + 2 + 2 j + 4 ..-j − 4 − 4 + 4 ..-j |
f = {8 − ..-j
ara
4
− 2 − 2 j − 4 + 2 ..-j + 2 ..-j + 4 − 4 ..-j − 2 ..-j + 2 ji..
işlemlerden sonra,
f=l
_
0.0048
m olarak elde edilir.
0.0928
S + 1
0.9976
`=a
S + 1
−0.0464
denklemleri
= c0
1d _
S `
S Matlab komut: [G,H]=c2d(A,B,0.1)
0.0928 S 0.0048
b_
`+a
b T=0.1 sn için ayrık-zaman durum
0.8584 S 0.0928
5-Ayrık-zaman Durum geçiş matrisi:
Ayrık-zaman durum geçiş matrisi:
4
EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
∅
= ‡
=‡
=‡
=‡
=‡
ARcRk
− Yd
R − 0.9976
WR a
Š
W
R
0.04639
B
=‡
0.9976
R 0
NR ]a
b−a
−0.04639
0 R
−0.09278 b ‰
R − 0.8584
0.09278
b^
0.8584
ˆ
R
R − 0.8584
0.09278
a
b‹
R
− 0.9976
−0.04639
− 1.856R + 0.8606
R
R − 0.8584
a
R − 0.9522
R − 0.9038
−0.04639
 0.8584
 ..Ž-
 ..Ž."
Œ[
−0.0464
 ..Ž-
 ..Ž."
0.0928
b‰
R − 0.9976
0.0928
 ..Ž-
 ..Ž."
\
 0.9976
 ..Ž-
 ..Ž."
Kompleks değişkenler teorisinden rezidü
teoremi yardımı ile ters z dönüşümü bulunur.
S
= ‘
‡
‡
W
‡
W
‡
W
“i
O 1
cR − R“ SR
R − 1
! OR di”
0.9522 − 0.8584
0.9522 0.9038 − 0.8584
0.9038
RR − 0.8584
+
‰=
R − 0.9522
R − 0.9038
0.9522 − 0.9038
0.9038 − 0.9522
= 1.938 ∗ 0.9522 − 0.9380 ∗ 0.9038
0.0928R
0.0928 ∗ 0.9522
0.0928 ∗ 0.9038
+
‰=
0.9522 − 0.9038
0.9038 − 0.9522
R − 0.9522
R − 0.9038
= 1.9174 ∗ 0.9522 − 1.9174 ∗ 0.9038
−0.0464R
−0.0464 ∗ 0.9522
−0.0464 ∗ 0.9038
+
‰=
R − 0.9522
R − 0.9038
0.9522 − 0.9038
0.9038 − 0.9522
= −0.9587 ∗ 0.9522 + 0.9587 ∗ 0.9038
W
0.9522 − 0.9976
∗ 0.9522 0.9038 − 0.9976
∗ 0.9038
RR − 0.9976
+
‰=
0.9522 − 0.9038
0.9038 − 0.9522
R − 0.9522
R − 0.9038
= −0.9380 ∗ 0.9522 + 1.9380 ∗ 0.9038
Ayrık-zaman durum geçiş matrisi.
∅
= _ 1.938 ∗ 0.9522 − 0.9380 ∗ 0.9038 −0.9587 ∗ 0.9522 − 0.9587 ∗ 0.9038
Sağlaması: 1 0
∅0
= a
b
0 1
1.9174 ∗ 0.9522 − 1.9174 ∗ 0.9038 `
−0.9380 ∗ 0.9522 − 1.9380 ∗ 0.9038
olmalıdır.
5
EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
6- I < < 20 sn aralığı için kütle-yay sisteminde konum ve hızın değişiminin sürek-zaman
ve ayrık-zaman olmak üzere çizilmesi.
Kütle-yay sistemi T=0.1 sn için ayrıklaştırılmış ve 20 sn süre ile benzetim çalışması yapılmıştır. 20 sn
aralığı için – =
#
j
=
. .
..
ise – = 200 örnek olmak alınmaktadır. Ayrık-zaman da benzetim
çalışması 0<k<200 aralığında yapılmaktadır.
Durum denklemi —˜
’nın tam çözümü için
S
= ∅
S0
+ ∑›i. ∅ − 1 − š
;š
ifadesi ile ve çıkış ise D˜
= <∅
S0
+ ∑›i. <∅ − 1 − š
;š
+ œ
denklemi kullanılarak hesaplanır.
= 0,1,2,3 … ,200 olmak üzere S :konum ve S : ℎQR için hesap edilen ani değerler grafik olarak
aşağıda verilmiştir . —˜
denklemi kullanılarak elde edilen tam çözüm ile konum ve hız değişimi şekil
a) da verilmiştir.
S
= ∅
S0
, serbest çözüm.
_
S ` = _ 1.938 ∗ 0.9522 − 0.9380 ∗ 0.9038 S −0.9587 ∗ 0.9522 − 0.9587 ∗ 0.9038
1.9174 ∗ 0.9522 − 1.9174 ∗ 0.9038 ` a0.7898b
−0.9380 ∗ 0.9522 − 1.9380 ∗ 0.9038 0.467
t>3 sn ve u(k)=0 için —˜
denklemi kullanılarak elde edilen öz çözüm ile konum ve hız değişimi şekil
b) da verilmiştir.
6
EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
Diferansiyel denklem çözüm sonucu:
00 < < 1
= LM = N 2 + 2 − 4 ..- 1 < < 3
2 − 4 ..- − 2 "
+ 4 ..- "
≥ 3
00 < < 1
O
= ℎQR = N −2 + 2 ..- 1 < < 3
O
−2 + 2 ..- + 2 "
− 2 ..- "
≥ 3
Grafik aşağıda verilmiştir.
7
EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
MATLAB kodu
t=0:0.1:20
N=length(t);
for k=1:N
if t(k)<=3
konum(k)=2+2*exp(-(t(k)-1))-4*exp(-0.5*(t(k)-1));
elseif t(k)>3
konum(k)=2*exp(-(t(k)-1))-4*exp(-0.5*(t(k)-1))-2*exp(-(t(k)-3))+4*exp(0.5*(t(k)-3));
end
if t(k)<1
konum(k)=0;
end
if t(k)<3
hiz(k)=-2*exp(-(t(k)-1))+2*exp(-0.5*(t(k)-1));
elseif t(k)>=3
hiz(k)=-2*exp(-(t(k)-1))+2*exp(-0.5*(t(k)-1))+2*exp(-(t(k)-3))-2*exp(0.5*(t(k)-3));
end
if t(k)<1
hiz(k)=0;
end
if t(k)<3
u(k)=1;
elseif t(k)>=3
u(k)=0;
end
if t(k)<1
u(k)=0;
end
end
8
EEM 439 Dijital Kontrol Sistemleri Prof. Dr. Ayhan Özdemir.
plot(konum)
hold on
plot(hiz)
plot(u)
grid on
9