ANALİTİK DÜZLEM

ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
ANALİTİK DÜZLEM
Örnek...3 :
y
ABCD kare D(6,14)
ise Alan(ABCD)
k a ç b i r im k a r e d i r ?
DİK KOORDİNAT DÜZLEMİ
İ k i s a yı d o ğ r u s u n u n d ik k e s i şm e s i yl e
o l u ş a n d ü zl em e , d i k k o o r d i n a t d ü z l em i
v e ya a n a l i t ik d ü zl em d e n i r.
D
C
A
y
Ya t a y
ek s e n O x
A
ek s e n i
b
v e ya a p s i s
ek s e n i ,
2
d ik e y
1
ek s e n O y
x
ek s e n i
v e ya
a
−2 −1 0
1 2
−1
ordinat
ek s e n i
o l a r ak a d l a n d ı r ı l ı r. Ox ⊥O y v e Ox ∩O y = {O } d ır.
B u r a d ak i k e s im n ok t a s ı o l a n O ' ya k o o r d i n a t b a ş l a n g ı c ı ( O R İ J İ N ) d e n i r.
A p s i s i a v e o r d i n a t ı b o l a n n ok t a a n a l i t ik
k o o r d i n a t d ü zl em i n d e A ( a , b ) i l e b e l i r t i l i r.
Örnek...1 :
K ( x − 3 , y+ 2 ) n ok t a s ı n ı n x e k s e n i n e u za k l ığ ı 4
b i r i m v e y e k s e n i n e u z ak l ı ğ ı 3 b i r i m s e x . y
ç a r p ım ı n ı n e n k ü ç ük d e ğ e r i k aç t ı r ?
B
x
ANALİTİK KOORDİNAT DÜZLEMİNDE
BÖLGELER
www.matbaz.com
HATIRLATMA
O
Ox ekseni ve Oy
ekseninin kesişm es i yl e d ü zl e m
d ö r t b ö l g e ye
a yr ı l ı r.
(Eksenlerin bu
d ö r t b ö l g e yl e
k es i ş i m i b o ş t u r. )
y
I
(+,+)
II
(−,+)
x
0
III
(−,−)
IV
(+,−)
Örnek...4 :
A (m , n ) n ok t a s ı a n a l i t i k d ü zl e m i n I I . b ö l g e s i n d e b i r n o k t a i s e B ( m − n , m .n ) n o k t a s ı
hangi bölgede olabilir?
Örnek...5 :
Örnek...2 :
K (m , n ) n ok t a s ı a n a l i t i k d ü zl e m d e 4 b ö l g e d e
d e d e ğ i l s e m .n n i n k a ç f a rk l ı d e ğ e r i v a r d ır ?
y
OBAC eşkenar
d ö r t g e n d i r.
C(6,8) ise
Çevre(OBAC)
k aç t ı r ?
C
A
Örnek...6 :
O
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
B
x
A ( 3k + 8 , k − 7 ) n o k t a s ı I V. b ö l g e d e o l d u ğ u n a
g ö r e , k n ın a l a b i l e c e ğ i f a rk l ı t am s a yı d e ğ e r l e r i t o p l am ı k aç t ır ?
1/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
ANALİTİK KOORDİNAT DÜZLEMİNDE
UZAKLIK
Örnek...10 :
D ik k o o r d i n a t d ü zl em i n d e b i r A n ok t a s ı n ı n
a p s i s i 6 v e o r d i n a t ı 8 a r t ır ıl ıp , a za l t ıl d ığ ı n d a
b i r B n ok t a s ı e l d e e d i l i yo r. B u n a g ö r e , | A B |
k a ç b i r im d i r ?
A ( x1 , y 1 ) v e B ( x2 , y 2 ) n o k t a l a r ı b i r l e ş t i r i l d i ğ i n d e e l d e e d i l e n d o ğ r u p a r ç a s ı n ı n u zu n l u ğ u n a b u n o k t a l a r a a r a s ı n d ak i u zak l ık
d e n i r. Ş e k l i i n c e l e yi n i z
y
B(x2,y2)
1
,y
)
y2
1
0
A(
x
y1
Örnek...11 :
y2− y1
x
x2−x1
x1
C
A (− 2 , 5 ) v e B ( 6 ,− 3 ) n o k t a l a r ı O y ek s e n i ü ze r i n d ek i b i r K n o k t a s ın a e ş i t u za k l ık t a i s e
K ' n i n k oo r d i n a t l a r ı t o p l am ı k a ç t ır ?
x
x2
|AB|= √ ( Δ X ) 2+( Δ Y) 2 , |AB|= √ ( x1 −x 2)2 +( y 1−y 2)2
Örnek...7 :
A ( 5 , 8 ) , B ( 2 , 9 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r | A B | = ?
www.matbaz.com
A B C d ik ü ç g e n i n i i n c e l e yi n i z.
Örnek...12 :
A ( 3 x− 2 , 7− x ) n o k t a s ı e k s e n l e r e e ş i t u za k l ık t a
i s e A n ok t a s ı n e o l a b i l i r ?
Örnek...8 :
A(k,2), B(−3,6) noktaları için |AB|=5 ise a
nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Örnek...13 :
M ( 0 , 1 ) , N ( − 3 , 5 ) n ok t a l a r ı K L M N k ar e s i n i n
k ö ş e l e r i d i r. B u k ar e n i n K M k ö ş e g e n i n
u zu n l u ğ u k aç b i r i m d i r ?
Örnek...9 :
A(m,m), B(4,2), |AB|=6 br ise a nın alabile c e ğ i d e ğ e r l e r t o p l am ı k aç t ı r ?
Örnek...14 :
A ( 2 ,− 1 ) v e B ( 3 , 1 ) n ok t a l a r ı n a e ş i t u za k l ı k t ak i
n ok t a l a r ı n g e o m e t r ik ye r d e nk l em i n i b u l u n u z.
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
DOĞRU PARÇASININ ORTA NOKTA
KOORDİNATLARI
Örnek...18 :
Ş ek i l d e P n o k t a s ı [ K R ] '
n ın v e L n ok t a s ı [ K M ] '
n ın o r t a n o k t a l a r ıd ır.
M(3,x), L(a,−2),
R (− 2 , 1 ) , P (m ,k ) v e
K ( 1 ,− 3 ) i s e x+ a . k − m
k a ç t ır ?
A ( x1 , y 1 ) v e B ( x2 , y 2 ) n o k t a l a r ı b i r l e ş t i r i l d i ğinde elde edilen [AB] doğru parçasının
o r t a n ok t a s ı C ( x0 , y 0 ) i s e
x 0=
x1 +x2
2
y 0=
y 1 +y 2
2
M
L
K
P
R
o l a r ak e l d e e d i l i r. Ş e k l i i n c e l e yi n i z.
y
UYARI
B(x2,y2)
y2
y0
y1
P a r a l e l k e n a r, e şk e n a r d ö r t g e n , k a r e v e
dikdörtgende köşegenler birbirlerini ortal a d ığ ın d a n b u d ö r t g e n l e r d e k a r ş ıl ık l ı
k öş e l e r i n a p s i s l e r i n t o p l am l a r ı v e k ar ş ı l ık l ı o r d i n a t l a r ın t o p l am ı b i r b i r i n e e ş i t t i r.
A B C D p a r a l e l k e n a r ın ı i n c e l e yi n i z .
C
A(x1,y1)
0
x1
x0
D(x4,y4)
x2
C(x3,y3)
Örnek...15 :
K ( 5 , 6 ) v e L (− 11 , − 8 ) n o k t a l a r ı v e r i l i yo r [ K L ]
n i n o r t a n ok t a s ı D i s e D n ok t a s ı n ı n k o o r d i n a t
b a ş l a n g ı ç n ok t a s ı n a u zak l ı ğ ı k aç b i r i m d i r ?
Örnek...16 :
K ( m + 11 , 1 4 ) , M (− 2 m + 7 , √ 2) n ok t a l a r ı n ı n o r t a
n o k t a s ı y ek s e n i ü ze r i n d e i s e m k aç t ı r ?
Örnek...17 :
A ( 1 , 2 ) , B ( 3 , 6 ) , C (− 3 , 5 ) n o k t a l a r ı A B C
ü ç g e n i n i n k ö ş e l e r i d i r. Ü ç g e n i n A B k e n a r ın a
a i t k e n a r o r t a y u zu n l u ğ u k aç b i r i m d i r ?
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
E
A(x1,y1)
B(x2,y2)
E ( x 0 , y 0 ) k öş e g e n l e r i n k e s im n ok t a s ı i s e
x +x
x +x
y +y
y +y
x 0= 1 3 = 2 4 , y0= 1 2 = 2 4
2
2
2
2
v e b u r a d a n x 1+x 3=x 2+x 4 , y1 +y 3=y 2+ y4 t ü r.
Örnek...19 :
A n a l i t ik d ü z l em d e k öş e k o o r d i n a t l a r ı A ( 0 , 2 ) ,
B (− 5 , 3 ) , C ( 8 , 2 ) D ( x , y) o l a n A B C D p a r a l e l
k e n a r ı n D k öş e s i n i n k o o r d i n a t l a r ı t o p l am ı
k a ç t ır ?
Örnek...20 :
K ö ş e g e n l e r i n i n k e s im n ok t a s ı O ( 3 ,− 7 ) o l a n
A B C D d ik d ö r t g e n i n i n d ö r t k ö ş e s i n i n k o o r d i n a t l a r ı t o p l a m ı k aç t ır ?
3/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
BELLİ ORANDA İÇTEN VE DIŞTAN BÖLME
b) Dıştan Bölen Nokta:
a) İçten Bölen Nokta:
Eğer
A v e B n ok t a l a r ı b i r d o ğ r u p a r ç a s ı n ı n u ç
∣AC∣
n ok t a l a r ı o l m a k ü ze r e
=k o l a c a k
∣BC∣
ş ek i l d e b i r C∈ [ AB ] v a r s a C n o k t a s ı n a
[AB] 'nı k oranında içten bölen nokta
d e n i r. Ş e k l i i n c e l e yi n i z .
A(x1,y1)
C(x3,y3)
∣AC∣
=k o l a c ak ş e k i l d e b i r
∣BC∣
C∉ [ AB ] , C∈AB v a r s a C n ok t a s ın a [ A B ] ' n ı k
o r a n ın d a d ış t a n b ö l e n n o k t a d e n i r. Ş ek l i
i n c e l e yi n i z
A(x1,y1)
B(x2,y2)
B(x2,y2)
C(x3,y3)
Örnek...23 :
A ( 1 ,− 6 ) , B ( 9 , 2 2 ) n o k t a l a r ı v e r i l i yo r
Örnek...21 :
∣AC∣
=5
∣BC∣
o r a n ı n d a d ış t a n b ö l e n C n ok t a s ın ı n k oo r d i natları nedir?
www.matbaz.com
A ( 5 , 1 4 ) , B ( 1 3 , − 1 4 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r
∣AC∣
=3 o r a n ı n d a i ç t e n b ö l e n C n ok t a s ı n ı n
∣BC∣
k oo r d i n a t l a r ı t o p l am ı n e d i r ?
Örnek...24 :
A ( 9 , 1 2 ) , B ( 1 5 , 1 7 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r. C n o k ∣AC∣ 2
t a s ı [ A B ] n ı,
= o r a n ı n d a d ış t a n b ö l ü ∣BC∣ 3
yo r s a B n ok t a s ın ı n k o o r d i n a t l a r ı ç a r p ım ı
nedir?
Örnek...22 :
A ( − 5 , 6 ) , C ( 1 5 , 2 0 ) n ok t a l a r ı v e r i l i yo r. C
∣AC∣
noktası [AB] nı,
=2 o r a n ı n d a i ç t e n
∣BC∣
b ö l ü yo r s a B n ok t a s ı n ı n k oo r d i n a t l a r ı ç a r p ım ı
nedir?
Örnek...25 :
Ş ek i l d e A B C D
paralel
kenardır
∣AE∣ 3
= ve
∣ED∣ 4
E(1,2) ,
F(10,−17) ise
C köşesinin
koordinatlarını
bulunuz?
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
A
D
E
F
B
C
4/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
Örnek...26 :
ve M(1,−4), L(0,−1)
P ( − 4 , 11 ) i s e R
noktasının koordinatları
ç a r p ım ı n e d i r ?
Örnek...28 :
M
∣KL∣
∣KP∣ 2
=2,
=
Şekilde
∣LM∣
∣PR∣ 3
A ( x , y) , B (− 1 , 2 ) , C ( 4 , 6 ) ü ç g e n i n i n a ğ ır l ık
m e rk e zi n i n G ( − 5 , 1 2 ) i s e A n o k t a s ın ın k o o r d i n a t l a r ı n ı b u l u n u z?
L
K
P
R
Örnek...29 :
Köşeleri A(2,1) O
ve B olan AOB dik
ü ç g e n i n i n a ğ ır l ık
m e rk e zi n i b u l u n u z
y
A(2,1)
x
ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİNİN
KOORDİNATLARI
C(x3,y3)
G(x0,y0)
A(x1,y1)
www.matbaz.com
O
B
KÖŞE KOORDİNATLARI BİLİNEN ÜÇGENİN
ALANI
C(x3,y3)
B(x2,y2)
K ö ş e k o o r d i n a t l a r ı A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2) , C ( x 3 , y 3 )
o l a n A B C ü ç g e n i n a ğ ı r l ı k m e rk e zi G ( x 0 , y 0 )
x +x +x
y +y +y
i s e x 0= 1 2 3 , y 0= 1 2 3 o l a r ak e l d e
3
3
e d i l i r.
Örnek...27 :
A ( − 8 , 1 0 ) , B ( − 5 , 6 ) , C (− 2 , 5 ) ü ç g e n i n i n
a ğ ı r l ı k m e rk e zi n i n k o o r d i n a t l a r ı n ı b u l u n u z?
A(x1,y1)
B(x2,y2)
K ö ş e k o o r d i n a t l a r ı A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2) , C ( x 3 , y 3 )
olan ABC üçgenin alanı bulunurken şekildeki
g i b i n o k t a l a r a l t a l t a y a z ı l ı r. S o n r a i l k n o k t a larının ikilisi en alta yazılır ve ok yönündeki
çarpımlar yapıldıktan sonra oluşturulan iki
grubun farklarının yarısının mutlak değeri
a l ı n ı r.
1
A ( ABC) = ∣a−b∣
2
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
5/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
Örnek...30 :
Örnek...33 :
K ö ş e l e r i A ( 0 , 1 ) , B ( 3 , 5 ) , C ( 3 , 6 ) v e D (− 8 , − 3 )
olan ABCD dörtgeninin alanı kaç br 2 dir?
A n a l i t i k d ü zl e m d e A ( 0 , 2 ) , B ( − 5 , 3 ) v e
C(8,2) noktaları ise verilen ABC üçgeninin
a l a n ı k a ç b i r im k a r e d i r ?
Örnek...31 :
A(0, 4) , B(−5, 4) ve C(a,b) noktaları ise
v e r i l e n A B C ü ç g e n i n i n a l a n ı 2 0 b i r i m k a r e d i r.
Buna göre b nin alacağı değerler çarpımı
k aç t ı r ?
www.matbaz.com
Örnek...34 :
A n a l i t ik d ü z l em d e v e r i l e n A B C ü ç g e n i n i n
a ğ ır l ık m e r k e zi G ( 6 , − 2 ) n ok t a s ıd ı r. B ( 2 , − 2 )
v e C ( 0 ,− 4 ) o l d u ğ u n a g ö r e , A B C ü ç g e n i n i n
a l a n ı k aç b i r i m k ar e d i r ?
Örnek...32 :
A n a l i t i k d ü zl e m d e k ö ş e k oo r d i n a t l a r ı A (− 2 , 5 ) ,
B(1,3), C (n,4) olan ABC üçgeninin alanı 8
b i r i m k ar e o l d u ğ u n a g ö r e , n k a ç o l a b i l i r ?
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
6/8
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
DEĞERLENDİRME
2)
3)
4)
Analitik düzlemde A(x − 5,3 − x) noktası III. bölgede
bir nokta ise B(4x, x − 9) noktası hangi bölgede
olabilir?
Şekildeki ABCD paralel
kenarında L ve F orta noktalar.
[DF] ∩ [BL]=K ve A(−2,1)
ve C(22,−17) ise K noktasının koordinatları farkı
kaçtır?
D
C
L
K
F
B
A
K(−3,3y+2) ve L(x−3,−2) noktaları analitik düzlemde aynı bölgelerde ise x+y nin alabileceği en
büyük tam sayı değeri kaçtır?
www.matbaz.com
1)
5)
K(1,2) ve L(−3,1) noktalarına eşit uzaklıkta ve y
ekseni üzerindeki noktanın ordinatı kaçtır?
Şekildeki paralel kenarda
A(−2,1) B(3,2) ve C(1,4) ise
BD köşegen uzunluğu kaç
birimdir?
6)
Koordinat sisteminde a ve b birer tamsayı olmak
üzere K(a,2) ve B(−1,b) noktaları arası 5 birim ise b
nin alabileceği tam sayıların aritmetik ortalaması
kaçtır?
7)
Şekildeki OKA dik üçgen ve
m(KOA) 75 ve A(16,0) ise K
noktasının koordinatları nedir?
y
K
C
D
y
8)
A
B
Şekilde [OK], LOA üçgeninin yüksekliği , L(0,5) ve
∣LK∣= √ 5 ise A noktasının
apsisi kaçtır?
L
O
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
x
A
O
K
A
7/8
x
ANALİTİK GEOMETRİ − 1
( ANALİTİK DÜZLEM − NOKTA − BÖLGELER − İKİ NOKTA ARASI UZAKLIK −ORTA NOKTA − ÜÇGENİN AĞIRLIK MERKEZİ VE
ALANI − DEĞERLENDİRME )
9)
Analitik koordinat düzleminde koordinatları O(0,0)
A(6,0) B(4,3) ve C(0,7) olan dörtgenin alanı kaç
birim karedir?
13) Şekilde
∣KL∣ 3
= ,P [KR]
∣LM∣ 2
M
nin orta noktası ve K(1,2),
M(21,−18) ve R(7,2) ise
|LP| kaç birimdir?
K
L
P
R
11) A(2,−1) noktasına uzaklığı B(1,1) noktasına uzaklığının 2 katına eşit noktaların geometrik yer denklemini bulunuz.
www.matbaz.com
10) Analitik koordinat düzleminde koordinatları M(1,−3)
∣MK∣
N(2,5) ise [MN] nı
=3 oranında dıştan bölen
∣NK∣
K noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
14) ABC üçgeninde [NB] B
C
açısının açıortayı ,
∣BC∣ 3
= , C(0,0) ve
∣BA∣ 2
N
N(9,−6) ise A noktasının koordinatları
A
çarpımı kaçtır?
B
12) Analitik düzlemde verilen ABC üçgeninin ağırlık
merkezi G(2, 4) noktasıdır. A(−1, 3) ise B ve C
noktalarının koordinatları toplamını bulunuz.
15) Şekilde PRST dikdörtgendir.
R(−3,6) ve P(−7,0)
ise T noktasının
koordinatları çarpımı kaçtır?
R
y
S
P
x
T
10. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
8/8