ege üniversitesi fen bilimleri enstitüsü (yüksek lisans tezi) operatörlü

EGE ÜN VERS TES FEN B L MLER ENST TÜSÜ
(YÜKSEK L SANS TEZ )
OPERATÖRLÜ KAFESL MODAL
LOJ K Ç N DUAL TE
Hülya AYKAÇ
Matematik Anabilim Dalı
Bilim Dalı Kodu: 403.05.01
Sunu Tarihi: 21.08.2006
Tez Danı manı: Prof. Dr. Mehmet TERZ LER
Bornova- ZM R
II
III
Hülya AYKAÇ tarafından Yüksek Lisans tezi olarak sunulan
“Operatörlü Kafesli Modal Lojik çin Dualite” ba lıklı bu çalı ma
E.Ü. Lisansüstü E itim ve Ö retim Yönetmeli i ile E.Ü. Fen
Bilimleri Enstitüsü E itim ve Ö retim Yönergesi’nin ilgili hükümleri
uyarınca tarafımızdan de erlendirilerek savunmaya de er bulunmu
ve 21.08.2006 tarihinde yapılan tez savunma sınavında aday
oybirli i/ oyçoklu u ile ba arılı bulunmu tur.
Jüri Üyeleri:
Jüri Ba kanı: Prof. Dr. Mehmet TERZ LER
Raportör Üye: Yrd. Doç. Dr. Tahsin ÖNER
Üye: Yrd. Doç. Dr. Murat ATMACA
mza:
IV
V
ÖZET
OPERATÖRLÜ KAFESL MODAL LOJ K Ç N DUAL TE
AYKAÇ, Hülya
Yüksek Lisans Tezi, Matematik Bölümü
Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Mehmet TERZ LER
TEMMUZ 2006, 55 sayfa
Bu tez temel olarak, kafesler üzerindeki dualite ile ilgilidir. Amaç;
lojikteki bazı problemleri funktorlar ile cebire aktarmak ve çözümleri için
cebirsel i lemler kullanmaktır. Bunun için kafeslerin idealleri ve
süzgeçleri tanımlanmı ve bunlarla ilgili bazı teoremler ispatlanmı tır.
Özellikle Stone Gösterilim Teoremi ve Priestley Dualitesi bu tezi
anlamayı kolayla tıracaktır.
Anahtar Kelimeler: Kafes, ideal, süzgeç, Boole Cebiri, dualite,
kategori, funktor.
VI
VII
ABSTRACT
DUALITY FOR MODAL LOGIC WITH LATTICE OPERATOR
AYKAÇ, Hülya
Master Thesis in Mathematics Department
Supervisor: Prof. Dr. Mehmet TERZ LER
TEMMUZ 2006, 55 pages
This thesis is mainly concerned with dualty on lattices. Aim of this
thesis is to transfer some problems in logic into algebra using fuctors, and
to use algebraic operation for solution of these problems. For this
purpose filters and ideals of lattice are defined., and theorems related
with definitions are proved. Especially with Stone’s Represantation
Theorem and Priestley Dualty it will be easy to understand this thesis.
Keywords: Lattice, ideal, filter, Boolean Algebra, duality, category,
functor.
VIII
IX
TE EKKÜR
Bu
çalı mamın
her
a amasında
yaptı ı
yönlendirme
ve
yardımlarından dolayı danı man hocam Prof. Dr. Mehmet TERZ LER’
e, ho görü ve desteklerinden dolayı aileme te ekkürü bir borç bilirim.
X
XI
Ç NDEK LER
Sayfa
ÖZET .......................................................................................................V
ABSTRACT..........................................................................................VII
TE EKKÜR .......................................................................................... IX
1. KAFESLER..........................................................................................1
1.1 Notasyon ve Uzla malar .............................................................1
1.2 Önbilgiler ....................................................................................1
1.3 Bazı Özel Meet-Koruyan ve Join- Koruyan Fonksiyonlar .........9
2. BOOLE CEB RLER ........................................................................14
3. DA ILMALI KAFESLER...............................................................18
3.1 Bazı Topolojik Alt Yapılar .......................................................25
4. PR ESTLEY DUAL TES ................................................................27
5. KATEGOR LER ...............................................................................32
6. GALO S BENZERL KLER ...........................................................37
7. OPT MAL SÜZGEÇLER VE DEALLER ....................................41
KAYNAKLAR .......................................................................................54
1
1. KAFESLER
1.1 Notasyon ve Uzla malar
f:X
Y bir fonksiyon olsun.
E er S ⊆X ise f[S], Y nin { f(s)
E er S ⊆Y ise f-1[S], X in { x ∈ X
s ∈ S } alt kümesini gösterir.
f(x) ∈ S} alt kümesini gösterir.
X bir küme olsun. X in kuvvet kümesi P(X) ile gösterilir. E er S
P(X) ise o zaman SXCO = { X \ A
A ∈ S } dir X ba lamdan belli ise
SCO yazarız.
L, L′ kafesleri verildi inde elemanları a, b, c, … ile gösterilir. Kafes
alanlarının X, X′ evrenlerinin elemanları için y, x, ….., x′, y′; süzgeçleri
için F, G, H; idealleri için I, J, K; ba ıntıları için χ, ϕ; Galois
benzerliklerine neden olan ba ıntıları için ⊥, ⊥′ kullanaca ız.
1.2 Önbilgiler
Bu bölümde tanımlar ve bu çalı mayı anlamak için gerekli sonuçlar
veriliyor. spatı yapılmamı teoremlerin ispatları [4] de görülebilir.
2
Tanım 1.2.1(a) Bir kafes; L bir küme, 0,1∈L ve ∧,∨ : L x L → L
birle meli ve de i meli i lemler olmak üzere
• Her bir a, b ∈ L için a ∧ (a ∨ b) = a ve a ∨ (a ∧ b) = a
• Her bir a, b ∈ L için a ∨ a = a ve a ∧ a = a
• Her bir a ∈ L için 0 ∨ a = a ve 1 ∧ a = a
sa layan bir <L, ∧, ∨, 0, 1> yapısıdır.
∧, ∨ operatörleri sırasıyla meet ve join olarak adlandırılır.
Kafes bir poset olarak u ekilde tanımlanabilir:
Tanım 1.2.1(b) (L, ) bir poset olsun.Her x ve y elemanı L de olmak
üzere {x, y} kümesi L de bir en küçük üst sınıra (join veya supremum)
ve L de bir en büyük alt sınıra (meet veya infumum) sahipse L ye bir
kafes denir.
“sınırlı kafes”ten bahsediyorsak 0 ve 1 e sahip olmak zorunda
olmadı ımız söylenebilir. Hep sınırlı kafeslerle çalı aca ımızdan onlara
kafes ismi kullanmayı tercih ediyoruz.
Aksi
söylenmedikçe
kullanaca ız.
kafesi
göstermek
için
L
sembolünü
3
Bir kafesin duali 0 ve 1 in ve ∧ ve ∨ nın yer de i tirmesiyle elde
edilir.
Örnek: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 } kümesi 60 ın tüm
pozitif bölenleri olsun. Bölünebilirlikle kısmi sıralı Hasse diagramı bir
kafestir.
Örnek: Herhangi bir A kümesi için A nın kuvvet kümesi olarak
adlandırılan tüm alt kümelerinin sınıfı A nın kendisi ve bo küme ile
sınırlandırılmı küme kapsamaya göre sıralanmı bir kafestir.
Dikkat 1.2.2 Her kafes kendisini olu turan küme içinde bir ≤ kısmi
sıralamasına neden olur.
a ≤ b (eye) a ∧ b = a veya e it olarak a ≤ b (eye) a ∨ b = b
4
Tanım 1.2.3 Bir kafes “tam” olarak adlandırılır. (eye) her bir
{ai i∈I }⊆L ailesi bir ≤ - supremum ( Vi∈Iai ile gösterilir) ve bir
≤ - infimum (∧i∈I ai ile gösterilir) a sahiptir.
Tanım I.2.4 L, ∧, ∨, 0, 1 ve L’, ∧’, ∨’, 0’, 1’ gibi iki kafes verilsin.
Bir f : L → L’ fonksiyonu bir kafes morfizmasıdır (eye).
• f(a∧b) = f(a) ∧’ f(b)
• f(a∨b) = f(a) ∨’ f(b)
• f(0) = 0’
• f(1) = 1’
Tanım 1.2.5 ki L,∧,∨,0,1 ve
L’, ∧’,∨’ ,0’ ,1’ tam(complete) kafesi
verilsin. Bir f: L→ L’ fonksiyonu bir tam kafes morfizmasıdır (eye)
• f bir kafes morfizmasıdır.
• f ( ∧ ai ) = ∧’ f (ai)
i∈I
i∈I
• f ( ∨ ai ) = ∨’ f (ai)
i∈I
i∈I
5
Tanım 1.2.6 Bir L kafesi ve bir F⊆L kümesi verilsin. F, L nin bir
“süzgecidir”(eye)
• a,b∈ F ise a∧b∈F
• a∈F ve b∈L ise öyle ki a≤b, o zaman b∈F
Dual olarak bir I ⊆ L kümesi, L nin bir “ideali” olarak adlandırılır
(eye)
• a,b∈I ise a∨b∈I
• a∈L ve b∈I ise öyle ki a≤b, o zaman a∈I
Bo tan farklı her F süzgeci için 1∈F ve 0∈F ise o zaman F=L
oldu una dikkat edilmelidir. Dual olarak her bo olmayan I ideali için
0∈I ve 1∈I ise o zaman I=L dir. {1} in bir süzgeç ve {0} in bir ideal
oldu u çok açıktır.
Tanım 1.2.7 L nin bo olmayan bir F süzgeci;
• özdür (eye) F≠L (veya e it olarak) (eye) 0∉F,
• maksimaldir (eye) F öz ve F⊆G, G bir öz süzgeç ise o zaman
F=G,
• asal (eye) F öz ve her a,b∈L için a∨b∈F ise a∈F veya b∈F.
6
Örnek: A={2, 3, 4 } ve P(A)={ Ø ,{2}, {3}, {4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4},
{2, 3, 4}} olsun. A a ıdaki diyagram bir kafestir.
F={{3}, {2, 3}, {2, 3, 4}} bu kafesin asal süzgecidir.
Tanım 1.2.8 L bir kafes ve E⊆L olsun. E tarafından olu turulan L nin
süzgeci, L nin E yi bir altküme olarak içeren “minimal süzgecidir”. E
tarafından olu turulan L nin ideali L nin E yi bir altküme olarak içeren
“minimal idealidir”.
Önerme 1.2.9
1. E tarafından olu turulan süzgeç; {x∈L ∃ a1, a2,..,an∈E öyle ki
a1∧a2∧….∧an≤x} kümesidir.
2. E tarafından olu turulan süzgeç özdür [eye] E ≠∅ ve her a1,…an∈E
n
için ∧ ai≠0
i =1
7
3. E ={x} gibi özel bir durum için x↑, E tarafından olu turulan süzgeçtir.
x↑={y∈L x ≤ y}
Tanım 1.2.10 X, ≤ ve X’, ≤’ kısmi sıralı iki küme verilsin. Bir
f : X → X’ fonksiyonu a a ıdaki gibi adlandırılır:
• sıra – koruyandır (eye) her bir a, b∈X için a≤b ise f (a)≤’ f (b) dir.
• sıra- tersleyendir (eye) her bir a, b∈X için a≤b ise f (b) ≤’f (a) dır.
Tanım 1.2.11 <L, ∧, ∨, 0, 1> ve <L’, ∧’, ∨’, 0’, 1’> kafesler olsun. Bir
f : L →L’ fonksiyonu a a ıdakiler gibi adlandırılır:
• meet – koruyandır (eye).. her bir a,b ∈L için f (a ∧b) =f (a)∧’ f (b) dir.
• join- koruyandır (eye) her bir a, b ∈ L için f (a∨b) = f (a) ∨’ f (b) dir.
• completely meet- koruyandır (eye) her bir (ai)i∈I için ((ai)i∈I ⊆ L) L de
∧ ai varsa f( ∧ ai) L’ de vardır ve ∧ ’ f(ai) ile çakı ır.
i∈I
i∈I
i∈I
• completely join- koruyandır (eye) her bir (ai)i∈I ⊆ L için
varsa f( ∨ ai) L’ de vardır ve ∨ ’ f(ai) ile çakı ır.
i∈I
i∈I
∨ ai L de
i∈I
8
Lemma I.2.12
1. f: L → L’ meet – koruyan ise f, sıra – koruyandır.
2. f: L → L’ join – koruyan ise f, sıra – koruyandır.
3. f: L → L’ meet – koruyan ve F, L’ nün bir süzgeci ise f -1 (F), L nin bir
süzgecidir.
4. f: L → L’ join – koruyan ve I, L’ nün bir ideali ise f -1(I) , L nin bir
idealidir.
SPAT:
1. a, b∈L öyle ki a ≤ b olsun. O zaman a ∧ b = a ve f (a∧b) =f (a)
olur. f meet- koruyan oldu undan f (a∧b) = f (a) ∧’f (a) = f (a)
olur. Buradan da f (a) ≤’ f (b) elde edilir.
2. a, b∈L öyle ki a≤b olsun. O zaman avb=b ve f (avb) = f (b) olur. f
join – koruyan oldu undan f (a∨b) = f (a) ∨’ f (b) = f (b) olur.
Buradan da f (a) ≤’ f (b) elde edilir.
3. i) a, b∈ f-1(F) alalım. f meet – koruyan oldu undan
f(a∧b)=f (a) ∧’f (b) dir. f (a), f (b) ∈F ve F nin bir süzgeç
9
olmasından f (a)∧’f (b) = f (a∧b) ∈F elde edilir. Bu nedenle de
a∧b∈ f-1 (F) dir
ii) imdi, a∈f-1(F) ve b∈L öyle ki a≤b olsun. f meet – koruyandı
ve her meet – koruyan fonksiyon sıra – koruyandır. Bu nedenle
f (a) ≤’f (b) olur. f (a) ∈F ve f (b) ∈F ve F. bir süzgeç oldu undan
f (b) ∈F olur. o halde b∈ f-1 (F) dir.
4. i) a, b∈ f-1(I) alalım. f join-koruyan oldu undan
f (a∨b) = f (a) ∨’ f (b) dir. f (a), f (b) ∈I ve I nın ideal olmasından
f (a) ∨’ f (b) = f (a∨b)∈ I elde edilir. Bu nedenle de a∨b∈f-1(I) dır.
ii) a ∈f-1 (I) ve b∈L öyle ki b ≤a olsun. f join – koruyan ise sıra –
koruyandır. Bu nedenle f (b) ≤’ f(a) olur. f (b) ∈I ve f (a) ∈I ve I
bir ideal oldu undan f (b) ∈I olur. O halde b∈f-1 (I) dır.
1.3 Bazı Özel Meet – Koruyan ve Join – Koruyan Fonksiyonlar
Modal lojikte bir modelde ve
yorumlandı ını biliyoruz.
operatörlerinin ikili ℜ ba ıntısıyla
10
Bir ℜ ⊆ XxY ba ıntısı verilsin.
•mℜ: P (Y) → P (X) a a ıdaki gibi tanımlanır:
S⊆Y ise mℜ(S) = { x ∈X |∃ y ∈ S öyle ki ℜxy }
• mℜδ : P(Y)→ P (X) a a ıdaki gibi tanımlanır:
S⊆Y ise mℜδ (S) ={x ∈X  ℜxy ise y∈ S}
Lemma 1.3.1 E er alı ılmı (genel) kafesleri P (X) ve P (Y) ye empoze
edersek unları elde ederiz:
1. mℜ join – koruyandır.
2. mℜδ meet – koruyandır.
SPAT:
1. mℜ join – koruyandır: S,T ⊆ Y olsun.
mℜ (SUT) ={x∈X ∃ y∈ SUT : ℜxy}
={x∈X ∃ y∈ veya ∃ y∈T : ℜxy}
={x∈X ∃y∈S :ℜxy} ∪{x∈ X ∃ y∈T : ℜxy}
11
=mℜ (S) ∪ mℜ (T)
2. mℜδ meet – koruyandır: S, T ⊆ Y olsun.
mℜδ (S∩T) ={x∈X ℜxy ise y∈S∩T}
={x∈X ℜxy ise y∈S ve y∈T}
={x∈X ℜxy ise y∈S} ∩ {x∈X ℜxy ise y∈T}
= mℜδ (S) ∩ mℜδ (T).
Önerme 1.2.9 un SPATI :
1. a) {x ∈L ∃ a1, a2,….,an ∈E öyle ki a1∧a2∧…∧an ≤x } = F olsun.
i) F ⊆ L ve F≠∅
?
ii)∀x, y∈F için x∧y ∈F ⇔ ∃ c1, c2, …..cn ∈E : c1∧c2∧….∧cn ≤ x∧y
x∈F ise ∃ a1,a2,…,an ∈E : a1∧a2∧…∧an ≤ x
y∈F ise ∃ b1, b2,…, bn ∈ E : b1∧b2∧…∧bn ≤ y
(a1 ∧ a2 ∧…∧an) ∧ (b1∧ b2∧…∧bn) ≤ x ∧y
12
O halde ∃ ci = ai ∧bi ∈E vardır. x∧y ∈F dir.
iii) ∀x ∈F, y∈L ve x ≤ y olsun. y ∈F?
x∈ F ise ∃ a1, a2, …. an ∈E : a1∧a2∧a3∧…∧an≤ x
x≤y ve a1∧a2∧...∧an ≤ x oldu undan a1∧a2∧…∧an ≤ y olur.
buradan da y∈F dir.
2. ( ): F öz ise F≠∅ ve ∀x∈F için x≠O dır. E≠∅ olur.
∃b1,b2,…bn∈E için ∧ bi=0 olsun. b1∧b2∧…∧bn≤x∈F oldu undan
x=0 olur
∧
öyleyse ∀ai∈E için ∧ ai≠0 dır.
i =1
(⇐): F≠∅ ve x≠0 dır.
3. x↑={y∈L | x≤y}= F olsun.
i) F ⊆ L ve F ≠ ∅ tur.
ii) ∀ a,b∈ F için a∧b∈F ⇔ x ≤ a∧b oldu unu göstermek istiyoruz.
a,b∈F ise x ≤ a ve x ≤ b olur. o halde x≤ a∧b elde edilir.
13
iii) ∀a∈F ve b∈L olsun. a≤b kabul edelim. b∈F oldu unu görmek
istiyoruz.
a∈F ise x≤a ve a≤b oldu undan x≤b öyleyse b∈F olur.
14
2. BOOLE CEB RLER
Tanım 2.1 Bir Boole cebiri bir <A, ∧, ∨, ¬, 0, 1> yapısıdır öyle ki
1. <A, ∧, ∨, 0, 1> bir da ılmalı kafestir.
2. ∧: A → A öyle ki her a ∈A için
• a ∧ ¬a = 0,
• a ∨ ¬a = 1
Maksimal süzgeçler boole cebirleri teorisinde temel bir rol oynar.
Teorem 2.2 (Ultra Süzgeç Teoremi): <A, ∧, ∨, ¬, 0, 1> bir boole cebiri
ve A nın bir F öz süzgeci ve bir I ideali için F∩I =∅ olsun. O zaman L
nin F⊆U ve U∩ I =∅ olacak ekilde bir U maksimal süzgeci vardır.
SPAT:
Bu ispatı Zorn lemmasından yararlanarak yapalım.
Zorn Lemması: Tüm zincirleri bir üst sınıra sahip olan bo tan farklı her
kısmi sıralı kümenin en az bir maksimal elemanı vardır.
15
F, boole cebrinde bir süzgeç olsun. F, A da F yi kapsayan tüm
süzgeçlerin kümesi olsun. F = {G, süzgeç : F⊆G } kümesel oldu undan
F yi ⊆ ile sıralayabiliriz. Bu posette D={ Di : i∈I} bir zincir olsun.
D= U i ∈I Di alalım ve D nin süzgeç oldu unu gösterelim.
Gerçekten;
x,y ∈D
∃ j, k ∈ vardır ki x ∈Dj ve y ∈ dır. Ya Dj ⊆ Dk ya da
Dk ⊆ Dj dir.
Dj ⊆ Dk olsun. x, y∈Dk : Dk süzgeç oldu undan x ∧y∈Dk
x∈D ve x ≤ y , y∈F
∃ j için x∈Dj x ≤ y
y∈Dj
x∧y∈D
y∈D
O halde D bir süzgeçtir. Her bir i için 0 ∉ Di oldu undan 0 ∉ D
dir. Bu nedenle D bir öz süzgeçtir ve D, D için bir üst sınırdır. O halde
Zorn
Lemması’na göre F’nin bir maksimal elemanı vardır ve bu
maksimal ultra süzgeçtir.
Tanım 2.3 <A, ∧, ∨, ¬, 0, 1> bir boole cebiri olsun. Bir a ∈ A elamanı
A nın bir ″atomu″ olarak adlandırılır (eye) : 0 <a ve 0<x≤a ise x=a
Teorem 2.4 <A, ∧, ∨, ¬, 0,1> bir boole cebiri ve a∈A olsun. O zaman a
bir atomdur (eye) a ↑ süzgeci maksimaldir.
16
Tanım 2.5 Bir boole cebrine atomiktir denir (eye) Her x∈A için (x ≠ 0)
bir a∈A atomu vardır ki a≤x.
Önerme 2.6 Bir A tam cebri atomiktir (eye) her x∈A için a≤x.
x=∨{a∈A a ≤ x ve a, A nın atomu}
Verilen bir X kümesi için P(X), ∩, ∪, _c, ∅, X yapısı bir boole
cebridir. Bu cebir, X in kuvvet kümesi cebri olarak adlandırılır ve tam ve
atomiktir. A a ıdaki teorem her boole cebrinin bir kuvvet kümesi cebri
içine gömülebilece ini garanti eder.
Teorem 2.7 (Stone Gösterilim Teoremi): Bir A, ∧, ∨, 0, 1 boole cebri
verilsin. UfA, Anın maksimal süzgeçlerinin kümesi olsun. O zaman ν(a)
= â = {U∈UfA | a∈U} ile tanımlı bir ν:A → P (UfA) fonksiyonu bir bire
bir kafes morfizmasıdır.
SPAT:
ν : A→P (UfA) injektif homomorfizma bulmak istiyoruz.
a → ν (a) = { U∈UfA : a∈U}
ν injektiftir:
a ≠ b oldu unda ν(a) ≠ ν(b) (a, b,∈A) oldu unu göstermek istiyoruz.
17
a ve b den birini içerip di erini içermeyen bir uf(ultra filter) vardır. UfA
da bunların bir kümesi oldu undan ν(a)≠v (b) dir.
F, A üzerinde her hangi bir süzgeç olsun.
a, b ∈ F ⇔ a∧b ∈ F
ν(a∧b) = {U : a ∧b∈U}
= {U: a∈U ∧b∈U}
= {U : a∈U} ∧ {U : b∈U}
= ν(a) ∧ ν(b)
U her hangi bir uf olsun. a ∈ U ⇔ a∗∉U
ν(a∗) ={U: a∗∈U} = {U: a∉U}
= (ν(a))∗
O halde ν izomorfizmadır.
18
3. DA ILMALI KAFESLER
Tanım 3.1 Bir <L, ∧, ∨, 0, 1> kafesi da ılmalıdır (eye) ∀ a, b, c∈L :
a ∧ (b∨c) = (a∧b) ∨ (a∧c)
Örnek:Her Boolean cebiri bir da ılmalı kafestir
Örnek: Her Heyting cebiri bir da ılmalı kafestir.
(Bir H Heyting cebiri sınırlı bir kafestir öyle ki H deki her a ve b
elemanları için
yi sa layan H nin bir en büyük x elemanı vardır. )
Örnek: Tüm tam sıralı kümeler join olarak max ve meet olarak min ile
bir da ılmalı kafestir.
Önerme 3.2 Bir L kafesi da ılmalıdır (eye) ∀ a,b, c ∈ L :
a∨ (b∧c) = (a∨b) ∧ (a∨c)
19
SPAT:
( ) : L da ılmalı olsun. ∀a, b, c ∈L : a∧ (b∨c)= (a∧b) ∨ (a∧c) dir.
(a∨b)∧(a∨c) = [(a∨b)∧a]∨[(a∨b)∧c]
= a∨[(a∧c)∨(b∧c)]
= [a∨(a∧c)]∨(b∨c)]
= a∨(b∧c)
(⇐) : a∨(b∧c) = (a∨b) ∧(a∨c) olsun. a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) ?
(a∧b)∨ (a∧c) = [(a∧b)∨ a] ∧ [(a∧b)∨ c]
= a∧ [(a∨c) ∧ (b∨c)]
= [a∧ (a∨c)] ∧ (b∨c)]
= a∧ (b∨c)
Sonraki teoremi belirlemek için bir tanıma daha ihtiyacımız var.
Tanım 3.3 Bir L kafesi asal süzgeç özelli ine (PFP) sahiptir (eye) L nin
F∩I=∅ olacak ekilde bir F öz süzgeci ve bir I ideali verildi inde L nin
bir P asal süzgeci vardır. Öyle ki F ⊆ P ve P∩I=∅ dır.
20
A a ıdaki teorem Prime Süzgeç Teoremi olarak bilinir ve
çalı mamızda çok önemlidir.
Teorem 3.4 Bir L kafesi PFP ye sahiptir (eye) L da ılmalıdır.
SPAT:
L kafesinin PFP yi sa ladı ını kabul edelim. L nin da ılmalı
oldu unu gösterece iz.
Bazı a,b,c ∈ L için a∨(b∧)≠(a∨b)∧(a∨c) oldu unu kabul edelim.
Kolayca gösterilir ki her kafeste sol taraf sa taraftan daha küçük ve
e ittir. O halde (a∨b) ∧(a∨c) ≤ a∨ (b∧c) dır.
x= (a∨b) ∧ (a∨c) ve y= a∨ (b∧c) ve F= x↑ ve I = y↓ olsun. x ≤ y
oldu undan x≠0 ve bu yüzden F nin öz oldu unu söyleriz. Bir de x≤y
olmasından F∩I = ∅ dir. Ve burada bir P asal süzgeci vardır öyle ki F⊆P
ve P∩I=∅ dir. Fakat (a∨b) ∧(a∨c) = x, x∈F ⊆ P dir. P nin bir süzgeç
olmasından a∨b∈P ve a∨c∈P oldu u görülür. A a ıdakilerden hiç biri
sa lanmaz.
1) a∉P a∨b∈P ve P nin asal olmasından b∈P elde edilir. Benzer
olarak c∈P oldu undan b∧c∈P fakat b∧c ≤ a∨(b∧c) = y, y∈P yi
gerektirir.
2) a∈P. a ≤ a∨ (b∧c) =y olmasından biz yine y∈P yi elde ederiz.
21
Her iki durumda da bir çeli kiye varırız. (y∈I ve P ∩ I=∅ olmasından) O
halde L da ılmalıdır.
Di er yön Zorn Lemması’nın bir uygulamasıdır. L nin F∩I∅
olacak ekilde bir F süzgecini ve I idealine alalım. F = {G, L nin öz
süzgeci | F⊆G, G∩I = ∅} ailesini göz önüne alalım. F ∈ F ve bu
yüzden F bo
de ildir. Süzgeçler zincirinin birle imi bir süzgeçtir.
Üstelik zincirin her bir süzgeci F yi içerir ve I dan ayrık ise o zaman
birle im F yi içerir ve I dan ayrıktır. O halde F ailesi Zorn Lemması’nı
sa lar. Yani bu küme bo de ildir ve zincirleri ailede bir üst sınıra
sahiptir. O halde F ailesi P gibi bir maksimal elemana sahiptir, P nin
asal oldu unu görelim:
Aksini kabul edelim. Bazı a, b∈L için a∨b ∈P, a∉P ve b∉P olsun.
P∪ {a} tarafından do rulan. Pa süzgecini göz önüne alalım. P ⊂ Pa (a ∉ P
olmasından) ve F⊆Pa oldu undan, F de P nin maksimalli i sayesinde, Pa
∩I ≠∅ oldu unu görürüz. Yani burada xa ∈P vardır öyle ki xa ∧a ∈I dır.
Benzer olarak b∉P olmasından burada xb ∈P vardır ki
xb ∧ b∈I dır.
Bu yüzden (xa∧a) ∨ (xb ∧b) ∈I oldu u söylenebilir. Ve L nin
da ılmalılı ını kullanırsak, x= (xa ∨ xb) ∧ (xa ∨ b) ∧ ( xb ∨ a) ∧ (a∨b) ∈ I
elde ederiz.
Fakat her süzgecin artan olmasından xa≤ xa∨xb, xa≤ xa∨ b ve
22
xb ≤ xb∨a e itsizlikleri ve xa, xb ∈P olmasından xa∨xb, xa∨b ve xa∨a
elemanlarının P de oldu una karar veririz. Di er bir deyi le, kabulden
a∨b ∈P dir. O halde x∈P elde ederiz, P∩I =∅ ile çeli ir. O halde P nin
asal oldu unu ispatladık.
A a ıdaki tanım atom kavramını boole dı ı durumlara genelle tirir.
[4] de verilen join-prime kavramı burada join-indirgenemez olarak
adlandırılacaktır.
Tanım 3.6 Bir L kafesi verilsin. a∈L ye`″join prime″ (tam join prime)
denir (eye) her bir b, c∈L (her bir bi ∈L, i∈I) için a≤b∨c
(a ≤ ∨ bi) ise
i∈I
o zaman a ≤ b veya a ≤ c (a ≤ bi, bazı i∈I için)
Bir tam boole cebrinin ″tamamen join-prime″ elemanlarının onun
atomları oldu una dikkat edilmelidir.
Önerme 3.7 L da ılmalı bir kafes ve a∈L olsun. O zaman a joinprimedır (eye) a↑ süzgeci asaldır.
SPAT:
( ): L nin da ılmalı olmasından L PFP ye sahiptir. O halde a↑ süzgeci
özdür.
imdi ∀x, y∈L için x∨y∈ a↑ ise x∈ a↑ veya y∈a↑ oldu unu
gösterelim.
23
a, join prime ise her bir x, y∈L için a ≤ x∨y : a ≤ x veya a ≤ y dir.
∀ x, y∈L için x∨y ∈ a ↑ olsun.
O halde a ≤ x∨y olur.
a
join− prime
a ≤ x veya a ≤y
x∈ a↑ veya y∈ a↑
O halde a↑asaldır.
(⇐): a↑ asal olsun. O halde ∀ x, y∈L için x∨y ∈ a↑ : x ∈ a↑ veya
y∈ a↑ olur.
a ≤ x∨y olur.
x ∈ a↑
a≤x
o halde a join - primedır.
y ∈ a↑
a≤y
Ku kusuz L nin meet – prime elemanını ve tamamen meet – prime
elemanını dual olarak tanımlayabiliriz ve bir dual ispat yapabiliriz.
24
Lemma 3.8 L bir kafes olsun.
• E er F, L nin bir asal süzgeci ise o zaman Fc, L nin bir asal idealidir.
• E er I , L nin bir asal süzgeci ise o zaman Ic, L nin bir asal idealidir.
SPAT:
Sadece birinciyi ispatlayaca ız, ikincisi onun dualidir. Önce Fc nin
L nin bir ideali oldu unu ispatlayaca ız. a, b∈ Fc olsun. a∨b ∈Fc
oldu unu göstermeliyiz
Aksini kabul edelim: a∨b ∈F olur, F nin asal olmasından ya a∈F ya
da b∈F dir.
imdi a∈Fc ve b≤a olsun. b∈Fc oldu unu göstermeliyiz.
b ∉Fc ise b∈F ve her süzgecin artan olmasından a ∈F dir.
Fc nin bir ideal oldu unu ispatladık.
imdi onun asal oldu unu
ispatlayaca ız. Öncelikle F≠∅ olmasından Fc≠L oldu una dikkat edelim.
imdi a∧b ∈Fc oldu unu kabul edelim. a ∈Fc veya b∈Fc oldu unu
göstermeliyiz. Bir çeli ki yaratmak için a∉Fc ve b∉Fc kabul edelim. O
zaman a∈F ve b∈F ve F nin bir süzgeci olmasından a∧b∈F oldu u elde
ederiz. Bu nedenle Fc asaldır.
25
3.1 Bazı Topolojik Alt Yapılar
Bu kesimde, daha sonra gerekli olan ve [9] da yer alan bazı
kavramları verece iz.
Tanım 3.1.1 Bir <X, τ> topolojik uzayına ″kompakt ″ denir (eye) X i
örten X in açık alt kümelerinin her bir {Ai | i ∈I} ailesinden yine X i
örten sonlu Ai (i1, i2,…in ∈I) alt ailesi bulunabilir.
Tanım 3.1.2 Bir <X, τ> topolojik uzayı verilsin. X’ in alt kümelerinin bir
D ailesine uzayın alt baz denir (eye) X in her açık alt kümesi D deki
elemanların sonlu arakesitlerinin birle imi olarak yazılabilir.
Kompaktlı ın bazı özelliklerini verelim.
Teorem 3.1.3 (Alexandrov Teoremi): <X, τ> bir topolojik uzay ve D
onun bir alt bazı olsun. O zaman <X, τ> kompakttır (eye) D nin X ⊆ ∪ Ai
i∈I
yi sa layan elemanlarının her bir {Ai | i ∈ I} ailesi için X ⊆ ∪ j =1 Aij yi
n
sa layan i1, i2,….in ∈I elemanları vardır.
Teorem 3.1.4 Bir <X, τ> topolojik uzayı kompakttır (eye) X in kapalı
alt kümelerinin her bir C ailesi ve X in açık elemanlarının her bir
26
{Ai | i ∈ I} ailesi için e er C⊆ ∪ Ai ise o zaman C⊆ ∪ j =1 Aij ko ulunu
n
i∈I
sa layan i1, i2,…in ∈I vardır.
A a ıdaki teorem sadece kapalı alt kümelere göre ifade edilen
CO
Alexandrov Teoremidir. D X ={X \ a | a ∈ D} için Dco kullanaca ız.
Teorem 3.1.5 <X, τ> bir topolojik uzay ve D onun bir alt bazı olsun. O
zaman <X, τ> kompakttır (eye) Dco ın ∩ Ci =∅ ko ulunu sa layan
i∈I
n
elemanlarının her bir {Ci | i∈I} ailesi için ∩ Ciy =∅ artını sa layan i1,
j =1
i2,….in∈I vardır.
Tanım 3.1.6 Bir <X, τ> topolojik uzayı verilsin. Bir a ⊂ X kümesine
″clopen″ denir (eye) a, hem açık hem de kapalıdır.
Teorem 3.1.7 <X, τ> bir topolojik uzay ve D, X in clopen alt
kümelerinin bir kümesi olsun. (Burada DUDco X in bir alt bazıdır.) O
zaman <X, τ> kompakttır (eye) her bir S,T ⊆ D için ∩S ⊆ ∪T ise burada
S’⊆ S ve T’ ⊆ T sonlu kümeleri vardır öyle ki ∩ S’ ⊆ ∪T’ dir.
27
4. PR ESTLEY DUAL TES
Burada Stone Dualitesinin boole dı ı fakat da ılmalı olan
durumlara genelle tirmesinin bazı temel sonuçlarını göz önüne
alaca ız.
Tanım 4.1 Bir kısmi sıralama <X, ≤ > ve bir S ⊆ X verilsin. S ″artandır″
(eye) her bir x, y∈ X için e er x∈ S ve x ≤ y ise y∈ S dir.
X in artan alt kümelerinin kümesi için (X) yazaca ız.
Özel olarak x ∈X ise x↑ = {y∈ X | x ≤ y} artandır. Bu tüt kümelere
″esas artan″ kümeler denir.
Tanım 4.2 Bir ″Priestley Uzayı″ bir <X, ≤, D> yapısıdır öyle ki ≤, X
kümesi üzerinde bir kısmı sıralama ve D, X in a a ıdakileri sa layan alt
kümelerinin bir koleksiyonudur:
• D, ikili birle im ve kesi imler altında kapalıdır. (Ve o nedenle sonlu
altında)
• Her bir x, y ∈ X için x ≤ y olmak üzere a ∈ D vardır öyle ki
x ∈ a, y ∉ a.
28
• E er DUDco gibi bir alt baza sahip X in τ topolojisini göz önüne alırsak
o zaman <X, τ> kompakttır.
∅∈D ve X∈D dir.( D nin bo bile imler ve bo kesi imler altında
kapalı olmasından). Aslında D, ∩, ∪, ∅, X ;
(X), ∩, ∪, ∅, X
da ılmalı kafesinden elde edilen bir alt kafestir.
Bir Priestley uzayı, [4] de kompakt totally sıralı ba lantısız uzay
(CTOD) adı altında ortaya çıkar. Özel olarak : e er x≤y ise burada bir a
⊆ X artan clopen artan kümesi vardır öyle ki x ∈ a ve y ∉ a.
Sonraki önerme D nin
X, ≤, τ
yapısının clopen artan
altkümelerinin kümesi oldu unu gösterir.
Önerme 4.3 E er X, ≤, D bir Priestley Uzayı ise D, X in tüm clopen
artan alt kümelerinin kümesidir.
SPAT:
Kabulden D nin her bir elemanı artandır. D∪DC0 ın bir alt baz
olmasından D nin her bir elemanı açıktır ve açık tamamlayıcıya sahiptir.
Yani D nin her elemanı clopendir.
imdi X in her clopen alt kümelerinin D nin bir elemanı oldu unu
gösterece iz. Yani S⊆X clopen ve artan oldu unda S∈D oldu unu
göstermek istiyoruz.
29
Keyfi bir y∉S alalım. Her bir x∈S için artan olmasından x≤y dir.
Burada o zaman axy∈D vardır. Öyleki x∈axy ve y∉axy dir. Bu yüzden,
S≤ ∪axy, her y∉X için
x∈S
S nin kompakt ve axy nin açık olmasından burada x1, x2, ….,xny vardır
öyle ki
S⊆ ax1y ∪ ax2y ∪ …..∪axnyy
ny
Her y∉S için ay=U axiy olsun. O zaman y∉ay ve D nin sonlu birle imler
i =1
altında kapalı olmasından her y∉S için ay∈D dir. Bu yüzden her y∈S için
burada bir ay∈D vardır öyle ki y∉ay ve S⊆ay dir. Buradan
unu
çıkarabiliriz. S⊆ ∩ ay ve bu yüzden
y∈S
∪ ayc ≤ Sc
y∉S
Bundan ba ka her y∈Sc için y∉ay ve bu yüzden y∈ayc oldu unu görürüz.
Bu yüzden
Sc≤ ∪ ayc
y∉S
Fakat S nin açık olmasından ve her ayc nin açık olmasından teorem 1.2.31
vasıtasıyla verilen kompaktlı ın özelli i sayesinde unu çıkarabiliriz.
Burada y1, y2,…yn vardır öyle ki
30
S
c
n
c
≤ U a yi
i =1
Bu yüzden
n
c
U a yi ≤ U
i =1
ve buradan
S
c
y∉S
n
c
c
c
n
c
a y ≤ S ≤ U a yi
i =1
n
= U a yi Yani S= ∩ a yi dir. D nin sonlu kesi imler altında
i =1
i =1
kapalı olmasından S∈D oldu u sonucuna ula ırız.
Stone, boole cebirleri için topolojik dualiteyi a a ıdaki ekilde
tanımlar:
Bir A boole cebrini, evreni A nın maksimal süzgeçleri olan genel
bir çatıyla e le tirebiliriz.
Tanım 4.4 Da ılmalı bir L kafesi verilsin. Fp (L), L nin tüm asal
süzgeçlerinin kümesidir.
Önerme 4.5 L bir da ılmalı kafes ve â= {F ∈ Fp(L) | a ∈F} olmak üzere
D= {â | a ∈ L} olsun. L nin dual uzayı olarak adlandırılan bir
g (L) = <Fp (L), ⊆, D> uzayına Priestley uzayı denir.
31
Sonraki teorem önerme 4.5 deki bazı iddiaları tamamlar, D yi bir
L kafesine izomorfik kılar.O zaman L kafesi önerme 4.3 sayesinde Fp (L)
nin clopen artan alt kümelerine izomorftur.
Teorem 4.6 Priestley Gösterilim Teoremi: L bir da ılmalı kafes olsun.
O zaman ν(a)=â ile tanımlı ν: L →
(Fp (L)) dönü ümü, bir kafes bir
bire- morfizmasıdır ve Fp (L) nin tüm clopen artan alt kümelerinin
kafesini görüntü olarak kabul eder.
Boole cebirleri için atom kavramının boole dı ı durumlarda join –
prime fikrine genelle tirildi ini gördük. Benzer olarak atomicity fikri
a a ıdakine genelle tirilir.
Tanım 4.7 Bir tam da ılmalı kafes atomiktir (eye) her x ∈ L için (x≠0)
bir tamamen join prime eleman a∈L vardır öyle ki a≤x.
Önerme 4.8 Bir tam da ılmalı L kafesi atomiktir (eye) her x∈L için:
X=∨{ a∈L | a≤x ve a, L nin tamamen join pirime elemanıdır.} dır.
Bir kısmi sıralı <X, ≤ > yapısı verilsin. <
bir da ılmalı kafestir, tam ve atomiktir.
(X), ∩, ∪, ∅, X> yapısı
32
5. KATEGOR LER
Tanım 5.1 Bir “kategori”
L(C)
objeler sınıfı ve her X, Y obje ikilisi için
HomC (X,Y) morfizmalar sınıfından olu an bir C koleksiyonudur öyle ki
a a ıdakiler sa lansın:
• C nin X, Y, Z objeleri ve f: X→Y, g: Y →Z morfizmaları için f ve g
nin bile kesi olarak adlandırılan bir gof: X→Z morfizması vardır.
• Bu bile ke birle melidir. Yani C nin verilen X, Y, Z, T objeleri için f:
X→Y, g: Y→Z,
h= Z→T C nin morfizmaları ise (fog)oh = fo(goh) dir.
• C nin her x objesi için bir seçkin morfizması idX : X →X vardır. Bu
morfizmaya X üzerinde birim morfizma denir ve
her f : X → Y
morfizması ve her g : Y → X morfizması için fo idX = f ve idX o g = g
dir.
C nin tüm morfizmalarının sınıfını M (C) ile gösterece iz.
Örnek: Ö eleri kümeler ve morfizmaları bilinen fonksiyonlar olan bir
koleksiyon bile ke altında bir kategoridir. (set)
33
Tanım 5.2 Bir C kategorisinin Cop ile gösterilen “kar ıt kategorisi”
a a ıdakilerle verilen kategoridir:
•Ob (Cop) = Ob (C),
• HomCop (X, Y) HomC(X, Y) ye bire – bir kar ılık gelir.Burada fop, Cop
de morfizmadır. Yani C de f morfizmasının görüntüsüdür.
• E er oop, Cop de bile ke ise fop oop gop = (gof)op dir.
Tanım 5.3 C ve D gibi iki kategori verilsin. C, D nin bir “alt
kategorisidir” (eye) Ob (C) ⊆ Ob (D) ve her X,Y ∈ Ob (C) için
HomC (X,Y) ⊆ HomD (X, Y) dir. Her X, Y ∈ Ob (C) için e itlik varsa alt
kategoriye “full (dolu)” denir.
Tanım 5.4 Set kategorisini alt kategori kabul eden bir kategoriye
“somut” kategori denir.
Tanım 5.5 Bir C kategorisi verilsin. X, Y C nin ö eleri ve f: X →Y
morfizma ise f :
• epimorfizmadır (eye) her Z ö esi ve her g, h: Y→Z morfizmaları için
gof= hof ise g = h dir.
• monomorfizmadır (eye) her Z ö esi ve her g, h: Z→X morfizmaları
için fog=foh ise g=h dir.
34
• izomorfizmadır (eye) f bir epimorfizma ve bir monomorfizmadır.
ki X, Y ö esi arasında bir izomorfizma varsa X≅Y ile gösterilir.
Önerme 5.6 E er C bir somut kategori ise f bir epimorfizmadır
(monomorfizmadır) (eye) f örtendir. (1-1 dir)
Tanım 5.7 C ve D kategori olsunlar. C den D ye bir F “kovaryant
(kontravaryant)” funktoru FO:Ob (C) → Ob (D), FM =M (C) → M (D)
fonksiyonlarının bir ikilisidir öyle ki:
• f : X → Y ise FM (f) : FO (X) → FO (Y) (FM(f) : FO (Y) → FO (X))dir.
• FM (fog) = FM(f) oFM(g)
• FM (idX) = idFo(X)
Tanım 5.8 Bir “kovaryant (kontravaryant) funktor” F:C →D;
• sadıktır (eye) FM 1-1 dir.
• tamdır (doludur) (eye) her bir s: FO (X) → FO (Y) için f:X →Y
(f:Y→X) fonksiyonu vardır ki S = FM (f) dir.
• yo undur (eye) her bir U∈Ob(D) için X∈Ob (C) vardır öyle ki
Fo (X)≅U dur.
35
Bir funktor morfizmalar üzerinde 1-1 ise “sadıktır”, e er
morfizmalar üzerinde bir zayıf örtenlik artını sa larsa yani
FM : HomC(X, Y) → HomD(FO (X), FO(Y)) fonksiyonu C nin her X,Y
ö esi için örtense “fulldur”. Bir funktor izomorf elemanları üzerinde
örten ise “yo undur”.
Tanım 5.9 Bir kovaryant funktor F:C → D bir “e itlik” olarak
adlandırılır (eye) bir G:D → C funktoru vardır ve iki aile (ΦX)X∈Ob(C),
(Ψu,)U∈Ob (D) öyle ki
ΦX : X→ GF (X) her bir X ∈ObC için C de bir izomorfizmadır.
Ψu : U → FG (U) her bir U ∈ ObD için D de bir izomorfizmadır.
Ve a a ıdaki diyagram de i melidir:
X
f
φX
GF(X)
Y
φY
GF(f)
GF(Y)
U
f
V
ΨU
ΨV
FG(U)
FG(V)
FG(f)
Tanım 5.10 Bir kovaryant fukctor F : C → D bir “dualite” olarak
adlandırılır. (eye)
(Fop)o(X) = Fo (X) ve (Fop)M(f) = (FM (f))op ile verilen kovaryant funktor
Fop : C→Dop bir e itliktir.
36
Teorem 5.11 Bir funktor bir e itliktir(dualitedir) (eye) o kovaryanttır
(kontrayanttır )
Teorem 5.12 Her e itlik, monomorfizmaları monomorfizmalara ve
epimorfizmaları epimorfizmalara götürür. Her dualite, monomorfizmaları
epimorfizmalara ve epimorfizmaları monomorfizmalara götürür.
Tanım 5.13 E er (Fo, FM) : C→D bir funktor ise F nin görüntüsü
Im(F) = <O (F), M (F)> yapısıdır. Burada O (F), C nin bazı X ö eleri için
Fo(Φ) formunun D nin ö elerinin sınıfıdır. M(F), C nin bazı morfizmaları
için FM(Φ) formunun D nin morfizmalarının sınıfıdır.
Önerme 5.14 Bir funktorun görüntüsü bir kategoridir.
37
6. GALO S BENZERL KLER
Galois benzerlikleri çalı mamız için çok önemlidir. Bir kafesi
betimlemek için ikili bir yapıdan yaralanaca ız. Bu yapı <X, ≤, D>
eklindedir. Burada ≤, X üzerinde kısmi sıralama ve D ⊆
(X) tir.
htiyaç duyulan (bu bölüm üzerinde gerekli olan) alt yapı burada
sunulmu tur.
Tanım 6.1 Kısmi sıralı (X1, ≤1) ve (X2, ≤2) kümeleri verilsin. Bir “Galois
benzerli i” veya Galois ba lantısı a a ıdakileri sa layan λ: X1→X2 ve
ρ:X2 →X1 fonksiyonlar ikilisidir:
x ≤1 ρ (y) (eye) y ≤2λ(x)
(*)
x ∈ X1 “sa lam” (dengeli, istikrarlı) dır (eye) ρλ(x) = x.
Bir Galois ba lantısının bazı temel özelliklerini buraya listeledik ve
ispatladık.
Önerme 6.2
1. x ∈ X1 ise x ≤1 ρλ(x)
2. ρ λ ρ = ρ
38
3. Bir x∈X1 elemanı sa lamdır (eye) y∈X2 vardır öyle ki x=ρ (y)dir.
SPAT:
1. y = λ (x) alalım ve Galois ba lantısının tanımını uygulayalım.
2. Her hangi bir y∈X2 alalım ve x=ρ (y) olsun.( *) dan
ρ(y)≤1 ρλρ (y) dir.
Di er taraftan 1 ile simetri sayesinde y ≤2λρ(y) dir. Buradan
y ≤2 λρλρy, tanımdan ρλρ (y) ≤1ρ (y) demektir.
3. x = ρ(y) ise ρλ (x) =ρλρ (y) = ρ (y), son e itlik 2 den do rulanır.
3’ün di er yönünü ispatlamak kolay de ildir. Kabul edelim ki y∈X2
var olsun. Öyle ki x = ρ(y) olsun.O zaman x, 2. özellikten sa lamdır.
NOT: Tanımın simetrik olmasından X2 nin sa lam elemanlarını
da
tanımlayabiliriz ve yukarıdaki özellikler yine geçerlidir.
A a ıda bir Galois ba lantısının standart örne i verilmi tir.
Tanım 6.3 A1 ve A2 gibi iki küme verilsin. Ve bir ⊥ ⊆ A1 x A2 ba ıntısı
verilsin. ⊥ nın neden oldu u Galois benzerli i A1 in kuvvet kümesi ve A2
nin kuvvet kümesi arasında a a ıdaki gibi tanımlanır:
39
i = 1,2 için Xi = P(Ai) içindeleme ( ⊆ ) nin alı ılmı sıralama ile
donatılmı tır.
λ⊥: X1 → X2 ve ρ⊥: X2 → X1
λ⊥ (C) = {y∈A2 : ∀x∈C, (x, y) ∈ ⊥};
ρ⊥(D) = {x∈A1 : ∀y∈D, (x, y) ∈⊥}
Aslında bu bir Galois benzerli idir. C ∈ X1, D∈X2 alalım.
C⊆ρ⊥ (D) ve D ⊆ λ⊥(C) özelliklerinin ikisi u özelli e e ittir: Her x ∈ C
ve y∈D için (x, y) ∈ ⊥ dir.
λ⊥ ve ρ⊥ tanımlarını kullanarak a a ıdakileri kontrol etmek
kolaydır.
Önerme 6.4
1. λ⊥ ve ρ⊥ ler sıra – tersleyendir.
2. λ⊥ ( ∪ ci ) = ∩ λ⊥ (ci ) ve ρ ⊥ ( ∪ Di ) = ∩ ρ ⊥ ( Di )
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
3. ρ⊥λ⊥ : X1 → X1 ve λ⊥ ρ⊥ : X2 → X2 her ikisi sıra – koruyandır.
Sadece dengeli (sa lam) kümeler için ba vurulan bir dual sonuç
vardır.
40
Lemma 6.5 Her i∈I için ai∈Xi dengeli ise ρ ⊥ ( ∩ ai ) = ρ⊥λ⊥ ( ∪ ρ ⊥ (ai ))
i∈I
i∈I
dir.
SPAT:
bi = ρ⊥ai olsun
ρ ⊥ ( ∩ ai ) = ρ ⊥ ( ∩ λ ⊥ (b )) = ρ ⊥ λ ⊥ ( ∪ bi ) = ρ ⊥ λ ⊥ (∪ ρ ⊥ (ai ))
i∈I
i∈I
i
i∈I
41
7. OPT MAL SÜZGEÇLER VE DEALLER
Boole cebirlerinin dualite teorisinde maksimal süzgeçler önemli bir
rol oynar. Onlar bir Boole cebirinin dual uzayının noktalarını
olu tururlar. Da ılmalı kafeslerin çerçevesinde bu rol asal süzgeçler
tarafından oynanır. Bir asal süzgeç kavramının bir maksimal süzgeç
fikrine genelle tirildi ine dikkat edin.
Benzer olarak, burada bir asal süzgeç fikri bir optimal süzgeç
fikrine genelle tirilir. Bir da ılmalı kafesin optimal süzgeçlerinin aslında
onun asal süzgeçleri oldu unu ispatlayaca ız.
Daha önce bahsetti imiz gibi bir kafesin dual uzayı bir iki yarı-uzay
olacaktır. Yani dual uzay aslında iki kümeden meydana gelir, bu
kümelerden her biri bir kısmi sırlama ile verilen artan alt kümelerin bir
kümesidir; biri noktaları olarak L nin optimal süzgeçlerine di eri L nin
optimal ideallerine sahiptir.
Burada
bu
iddiaları
ve
onunla
ilgili
yararlı
özellikleri
tanımlayaca ız.
Tanım 7.1 Sırayla F ve I bir L kafesinin bir öz süzgeci ve öz ideali olsun.
F, I – maksimaldir (eye) F, I dan ayrık olarak maksimaldir.
Yani
42
1. F ∩ I = ∅,
2. F’ , F ⊆ F’ olacak ekilde bir süzgeç ise F’∩ I ≠ ∅
Dual olarak I nin F – maksimalli ini tanımlayabiliriz.
< F, I > çifti bir maksimal süzgeç – ideal çiftidir (eye) F, I –
maksimal ve I, F–maksimaldir. Ayrıca bu çerçevede F ve I birbirinin
“e idir” denilir.
Sonuç olarak bir F süzgeci “optimal” (eye) bir I ideali vardır öyle ki
< F, I > çifti bir maksimal süzgeç – ideal çiftidir. Benzer olarak bir
optimal ideali de tanımlayabiliriz.
A a ıdaki teorem asal süzgeç teoreminin genelle tirilmesidir:
Teorem 7.2 F∩I=∅ yi sa layan bir F öz süzgeci ve bir I asal ideali
verilsin. Bir G süzgeci vardır öyle ki F yi içerir ve I – maksimaldir. Dual
olarak bir J ideali vardır ki I yı içerir ve F – maksimaldir.
SPAT:
F ve I ayrık olsunlar, F yi içeren I – maksimal bir G süzgeci bulmak
istiyoruz. spatı Zorn Lemması vasıtasıyla yapabiliriz.
ℑ={G, L nin öz süzgeci | G ∩ I = ∅ ve F ⊆ G } ailesini alalım.
43
ℑ , bo de ildir. Çünkü F∈ℑ dir. I dan ayrık ve F yi içeren
süzgeçlerin bir zincirinin birle imi I dan ayrık ve F yi içeren bir
süzgeçtir. Bu yüzden ℑ nin her zinciri ℑ de sınırlıdır ve bu nedenle de ℑ
bir maksimal Fo elemanına sahiptir. Fo tanımından I – maksimaldir.
Sonuç Teorem 7.3 L bir kafes olsun.
1. F, L nin bir süzgeci ve a ∈ L | F olsun. bir F – maksimal I ideali
vardır ki a ∈ I
2. E er I, L nin bir ideali ve a ∈ L | I ise bir I – maksimal F süzgeci
vardır ki a ∈F.
SPAT:
Sadece 1.yi ispatlayalım. Di eri onun dualidir.
a↓ nın L nin ideali oldu unu dü ünmek yeterlidir. a ∉ F oldu undan b∈L
ise öyle ki b ≤ a, o zaman b ∉ F dir. Bu nedenle F ∩ a↓ = ∅ ve I da
geçerli olsun. Teorem 7.2 ye ba vurabiliriz.
Sonuç Teorem 7.4 L bir kafes olsun. E er F ve I, F ∩ I = ∅ yı
sa layan sırasıyla L nin bir öz süzgeci ve L nin bir öz ideali ise o zaman
L nin bir G süzgeci ve bir J ideali vardır öyle ki F ⊆ G, I ⊆ J ve < G, J >
bir maksimal süzgeç – ideal ikilisidir.
44
SPAT:
I – maksimal ve F yi içeren bir G süzgecinin in ası için teorem 7.2 yi
kullanaca ız: G∩I =∅ olmasından G – maksimal ve I yı içeren bir J
idealinin in ası için teorem 7.2 nin dual versiyonunu kullanaca ız. G nin
J – maksimal oldu u açıktır. G ⊆ H olacak ekildeki bir H süzgeci varsa
o zaman H ∩ I ≠ ∅ ve H ∩ J ≠ ∅ dır. < G, J > çifti bir maksimal süzgeç
– ideal çiftidir.
Tanımdan her optimal süzgeç bazı I idealleri için I – maksimaldir.
Aksi de sa lanır. Yani
Önerme 7.5 L nin herhangi bir I ideali için F, I – maksimal ise o zaman
F, bir optimal süzgeçtir.
SPAT:
Bu teorem 7.2 nin bir do rudan uygulamasıyla görülebilir. Kabul
edelim ki herhangi bir I ideali için I – maksimal bir F süzgecimiz var. O
zaman F ∩ I = ∅ dir. Sonuç teorem 7.4 den F – maksimal, I yı içeren bir
J ideali elde edebiliriz.
imdi < F, J > çiftinin bir maksimal ideal – süzgeç çifti oldu unu
gösterelim. J nin F – maksimal oldu unu biliyoruz. F nin J – maksimal
oldu unu ispatlamak için G nin F yi uygun bir ekilde içeren bir süzgeç
oldu unu varsayalım. O zaman G ∩ I ≠ ∅ ve bu nedenle (I ⊆ J)
45
G ∩ J ≠ ∅ ve ispat biter.
Asal süzgeçlerle ilgili olarak a a ıda iki önerme vardır.
Önerme 7.6
1. Her asal süzgeç optimaldir. Üstelik, F bir asal süzgeç ise o zaman bir I
ideali vardır öyle ki F – maksimaldir.
2. Bir sonuç teorem olarak e er F bir asal süzgeç ise o zaman F nin e i
olan I ideali vardır.
SPAT:
1. Lemma 3.8 den e er F, L nin bir asal süzgeci ise Fc, L nin bir asal
idealidir. O zaman < F, Fc > nin bir maksimal süzgeç – ideal çifti oldu u
açıkça görülebilir. Bu yüzden Fc ideali F- maksimaldir.
Fc nin F – maksimal olan tek ideal oldu unu göstermek zorundayız.
Kabul edelim ki I, F maksimal olsun. O zaman F ∩ I = ∅ ve bu yüzden
I⊆Fc olur. Maksimallik iddiasından I = Fc olur.
2. imdi I nın F – maksimal oldu unu kabul edelim. O zaman I ∩ F = ∅
yani I ⊆ Fc dir. E er I, Fc de tam olarak içeriliyorsa o zaman I, F –
maksimal olamayacaktı. ( Fc nin F den ayrık bir ideal olmasından ) o
zaman I = Fc dir.
46
Önerme 7.7 L bir kafes ve F, L nin bir öz süzgeci olsun.
1. F – maksimal olan tam olarak bir I ideali varsa o zaman F asaldır.
Fakat
2. F nin e i olan tam olarak bir I ideali vardır. Bu F nin asal olmasını ima
etmez.
SPAT:
1. F bir süzgeç olsun öyle ki sadece bir F – maksimal ideal vardır. Kabul
edelim ki F asal olmasın. O zaman burada a, b ∈ F vardır öyle ki aνb ∈F,
a ∉ F ve b ∉ F. Açık olarak a↓ ideali F den ayrıktır ve bu yüzden bir F –
maksimal ideal I ya geni letilebilir. E er b ∈ I ise o zaman a v b ∈ I ve
F ∩ I ≠ ∅ dır ve I nın F – maksimal olmasıyla çeli ir. Bu yüzden b ∉ I
dır.
Benzer olarak b↓ ideali bir J, F– maximal idealine geni letilebilir. b
∈ J oldu undan b ∉ I, I ≠ J, bu da kabulle çeli ir. O halde F asaldır.
2. Burada bir tek maksimal süzgeç – ideal çiftine sahip ve asal olmayan
bir süzgeci örnek verece iz:
47
A a ıdaki L kafesini göz önüne alalım:
F = {1,a} süzgeci unları sa lar:
• F asal de ildir : 1 = d∨c ∈ F fakat d ∉ F ve c ∉ F,
• F optimaldir : I = {0, b, d, e} ise <F, I> çifti maksimaldir. (E er F’ nün
F∪{c} tarafından do rulmu süzgeç oldu unu göz önünde bulundurursak
a ∈ F olmasından 0 = a ∧ c ∈ F’ dür. O zaman F’ ∩ I ≠ ∅, benzer olarak
I’ nü I ∪ {c} tarafından do rulmu ideal olarak alırsak F ∩ I’ ≠ ∅ elde
ederiz.)
• F nin tek e i I dır : Kabul edelim ki J ideali F nin e i ve J ≠ I olsun. O
zaman <F, J> çiftinin maksimalli inden J ⊄ I ve J ∩ F = ∅ elde ederiz.
O zaman c ∈ J dir. F den ayrık ve c yi içeren tek ideal J = {c, e, 0} dır.
Fakat F, J den ayrık G = {1, a, b, d} süzgecine geni letilebilir. Bu yüzden
48
<F, J> çifti maksimal de ildir ve bu yüzden J, F nin e i de ildir. Bu ise
kabulümüzle çeli ir. Bu yüzden F nin tek e i I idealidir.
Önceki ispatta kullanılan F süzgecinin sadece bir e e sahip bir
optimal süzgece bir örnek oldu una dikkat edin. Fakat F nin birden fazla
ideali F maksimaldir. spatta bahsedilen I ideali F – maksimaldir fakat
bir de {0, e, c} ideali F – maksimaldir.
Ku kusuz 7.6 ve 7.7 önermelerinin dual sonuçları vardır. Da ılmalı
kafesleri göz önüne alırsak, önceki sonuçların bir sonucu olarak;
Önerme 7.8
1. Da ılmalı bir kafesin optimal süzgeçleri tam olarak onun asal
süzgeçleridir.
2. Kar ıt olarak e er bir L kafesinin her optimal süzgeci asal ise L
da ılmalıdır.
3. Bir L kafesinin her optimal F süzgeci L nin da ılmalı olmasını ima
etmeyen bir tek e e sahiptir.
SPAT:
1. L bir da ılmalı kafes olsun. Biz zaten her hangi bir asal süzgecin
optimal oldu unu gösterdik. Bunun için da ılmalılı a ihtiyaç duymadık.
49
imdi F nin optimal oldu unu kabul edelim. O zaman bir I ideali
vardır öyle ki <F, I> çifti bir maksimal ideal – süzgeç çiftidir. Da ılmalı
kafeslerin asal süzgeç teoremi vasıtasıyla F yi içeren bir G asal süzgeci
oldu unu biliyoruz ve G, I dan ayrıktır. Fakat F, I – maksimaldir, bu
yüzden F = G ve buradan F nin asal olması sonucuna varırız.
2. Özel olarak her optimal süzgeç asaldır. Teorem 7.2 L nin PFP ye sahip
olmasına tekabül eder. O zaman teorem 3.4 den faydalanarak L nin
da ılmalı oldu una karar veririz.
3. Her optimal süzgeci bir tek e e sahip, da ılmalı olmayan bir kafese bir
örnek verelim.
lk olarak L nin da ılmalı olmadı ını gösterelim:
a ∧ (c∨d) = a ∧ 1 = a; (a∧c) v (a∧d) = 0∨d =d
50
imdi her optimal süzgecin yalnız bir e e sahip oldu unu
gösterelim:
• {1, a} kümesi yalnız bir e e sahip bir optimal süzgeçtir. (7.7 de 2 nin
ispatına benzer)
Yani {0, d, b,e} ideali e idir.
• Benzer olarak {1, c} nin bir tek e li optimal süzgeç oldu unu
ispatlayabiliriz.
• { 1, a, b, d} süzgecinin e i {0, c, e}idealidir.
• Benzer olarak {1, b, c, e} nin tek e i {0,d, a} idealidir.
• F = {1, b} süzgeci optimal de ildir: Kabul edelim ki F den ayrık bir I
ideali olsun. O zaman F nin özel olarak I dan ayrık bir G süzgecine
geni letilebilece ini görece iz. Yani L nin her hangi bir I ideali için F nin
I – maksimal olmadı ını ispatlayaca ız.
• I = {0} ise F nin I dan ayrık G={1, b, c, e} süzgecine
geni letilebilece inden açıktır ki F, I – maksimal de ildir.
51
• d ∈ I ise c ∉ I (c∨d = 1 ∉ I ) ve benzer olarak e ∉ I dır. Bu yüzden
muhakkak I ⊆{ 0, d, a} ve yine aynı G özel olarak F ye geni letilen ve I
dan ayrık bir süzgeçtir.
• I ≠ {0} ve d ∉ I ise e ∈ I dır. Benzer bir iddia – önceki madde –
gösterir ki
H = {1, a, b, d} süzgeci özel olarak F ye geni letir ve I dan ayrıktır.
Bu bölümü bitirmek için join prime iddiasını da ılmalı olmayan
duruma genelleyece iz, önerme 3.7 nin bir genellemesi elde edilir.
Tanım 7.9 a ∈ L join indirgenemez(tamamen join indirgenemez) olarak
adlandırılır (eye): a = bvc
a=b veya a=c (sırasıyla a = Vi∈Ibi
a = bi
bazı i ∈ I için)
Dual olarak meet indirgenemez ve tamamen meet indirgenemez
tanımlanabilir.
Örnek:Bir kafesteki her bir atom join indirgenemezdir.
52
Burada a, b, c, d join indirgenemez iken d, e, f, g meet indirgenemezdir.
Buradan da d , indirgenemezdir.
L nin join –indirgenemez elemanları ve L nin optimal süzgeçleri
arasındaki ba ıntıyı göz önüne alırsak önerme 3.7 nin genellemesi
a a ıdaki gibidir:
Önerme 7.10 a ∈ L join indirgenemezdir (eye) a↑ süzgeci optimaldir.
53
SPAT: Soldan sa a do ru :
I, a dan daha küçük olan noktaların kümesi olsun. Yani
I={x∈L| x<a} olsun. lk önce I nın L nin bir ideali oldu unu görelim.
b, c ∈ I olsun b<a ve c<a dır. O zaman b∨c ≤ a dır. Üstelik b ≠ a ve c ≠ a
dır. Bu yüzden a nın join –indirgenemez olmasını kullanarak, b∨c ≠ a
yani b∨c < a ve bu yüzden b∨c ∈ I.
imdi a↑ nın I – maksimal oldu unu (ve bu yüzden optimal
oldu unu) görece iz. Bir F ⊇ a↑süzgeci alalım ve b ∈ F \ a↑ oldu unu
göz önünde tutalım. O zaman a ≤ b dir.
b ∧ a ≤ a, üstelik b ∧ a < a (b ∧ a = a ise a ≤ b olurdu) dır. O zaman
b ∧ a ∈ I ve bitirebiliriz, b ∧ a ∈ F den F ∩ I ≠ ∅, bu yüzden a↑, I –
maksimaldir ve bu yüzden optimaldir.
O zaman b < a ve c < a ve bu yüzden a↑ ⊂ b↑ ve a↑ ⊂ c↑ dir. a↑
nın optimal olmasından L nin bir I ideali vardır öyle ki < a↑, I > çifti
maksimaldir. Bu yüzden b↑ ∩ I ≠ ∅ ve c↑ ∩ I ≠ ∅, yani b∈I ve c∈I,
a∈I çeli kisine yol açar. O zaman a nın join –indirgenemez oldu unu
ispatladık.
54
KAYNAKLAR
1. Barr, M. Ve Wells, C., 1990 Category Theory for Computing
Science, Prentice Hall Internetional Ltd. (UK).
2.
Blackburn, P., de Rijke, M. Ve Venema, Y., January 8, 2000
A course in modal logic. Unpublished manuscript.
3. Burris, S. ve Sankappanavar, H.P., 1981 A course in Universal
Algebra., Springer-Verlag New York.
4. Davey, B.A ve Priestly, H.A., 1990 Introduction to Lattices
andand Order,Cambridge University Press.
5. Dunn, J.M. ve Hartonas, C., 1997 Stone duality for lattices.
Algebra Universalis, Vol. 37, pages 391-401.
6. Hartung, G., 1992 A topological representation of lattices.
Algebra Universalis, Vol. 29, pages 273-299.
7. Jonsson, B., Tarski, A., 1952 Boolean Algebras with operators
(part 1), American Journal of Mathematics, Vol. 73, pages 891939.
55
KAYNAKLAR (devam)
8. Priestly, H.A., 1970 Representations of distributive lattices by
means of ordered topological spaces. Bull. London Mathematical
Society, Vol. 2, pages 186-190.
9. Kelley, J., 1975 General Topology, Springer.
10. Stone, M., 1937 Topological representations of distributive
lattices and Browerian logics. Casopis pest. Mat., Vol. 67, pages
1-25.
11. Urquhart, A., 1978 A topological representation theory for
lattices. Algebra Universalis, Vol. 8, pages 45-58.