kartezyen çarpım kartezyen çarpım

Kartezyen çarpım :
lk elemanı birinci kümeden, ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin olu turdu u
kümeye denir.
Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise
AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.
BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} eklinde yazılır.
Örnekte görüldü ü gibi
(kartezyen çarpım i leminde de i me özelli i yoktur).
Yine örnekte görüldü ü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin
eleman sayısı ise 6 ‘dır. Böyle olması tesadüf de ildir.
Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı olu turan kümelerin
eleman sayılarının çarpımına e ittir.
Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani kartezyen çarpım i leminde
de i me özelli i olmamasına kar ılık her kümenin eleman sayıları e ittir ( Denk kümeler ).
( kartezyen çarpım i leminde de i me özelli i yoktur )
s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )
Ba ıntı: Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. E er ba ıntı, AxB ‘nin
alt kümesi ise o ba ıntıya A’dan B’ye bir ba ıntı denir. Buradaki birinci küme, ba ıntının
tanım kümesi ; ikinci küme ise ba ıntının de er kümesi olarak adlandırılır.
“n” elemanlı bir kümenin tüm ba ıntılarının sayısı 2n oldu undan dolayı A’dan B’ye
yazılabilecek tüm ba ıntıların sayısı da 2s(A)s(B)’ dir.
Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm ba ıntıların sayısı 220 olur.
Tabii ki aynı ekilde B’den A’ya yazılabilecek tüm ba ıntıların sayısı da 220 ‘dir.
Örnek-3: A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir ba ıntı tanımlayalım:
={(1,1),(2,1),(2,2),(3,a) } ise grafik ile gösterimi öyle olur :
:A
B olmak üzere tanımlanmı ba ıntının tanım kümesi A,
de er kümesi B, görüntü kümesi ise C’dir.
NOT :
:A
B(
A’dan B’ye bir ba ıntıdır diye okunur)
C=
(A) = { (1), (2), (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman
de er kümesi ile aynı anlama gelmeyebilir.
Örnek 4: s(A) = 4 oldu una göre A’ dan A’ya yazılabilecek ba ıntıların kaç tanesi 3
elemanlıdır ?
Çözüm: s(AxA) = 16 oldu undan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin
sayısı
olur.
Örnek 5: A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan
={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)} ba ıntısını grafik ile gösteriniz :
Çözüm :
Ba ıntıların özellikleri :
1. Yansıma özelli i : Bir A kümesi üzerinde tanımlanan ba ıntı , A kümesinin
tüm elemanları için yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.
2. Simetri özelli i : Bir ba ıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de
içeriyorsa simetriktir.
3. Ters simetri özelli i : Bir ba ıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x)
ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir.
4. Geçi me özelli i : Bir ba ıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken aynı
anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa geçi kendir.
Ba ıntı çe itleri :
1. Denklik ba ıntısı : Bir ba ıntı ; yansıma, simetri ve geçi me özelliklerine
sahipse o ba ıntıya denklik ba ıntısı denir.
2. Sıralama ba ıntısı : Bir ba ıntı ; yansıma, ters simetri ve geçi me özelliklerine
sahipse o ba ıntıya sıralama ba ıntısı denir.
Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} ba ıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdi i için yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermedi inden ters simetrik,
(1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de oldu undan geçi kendir.
Bu 3 özelli in sonucu olarak da sıralama ba ıntısıdır.
Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} ba ıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdi i için yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdi inden simetrik,
(2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de oldu undan geçi kendir.
Bu 3 özelli in sonucu olarak da denklik ba ıntısıdır.
Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} ba ıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçi kendir.
Tüm özellikleri sa lamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama ba ıntısıdır.
Bir ba ıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.
Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} ba ıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ikilisini içermedi i için yansıyan de il ;
(1,3) ikilisinin tersi olmadı ı için simetrik de il ;
aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdi i için ters simetrik de il ; (2,1) ve (1,3)
varken (2,3) olmadı ından dolayı da geçi ken de ildir.
Bir ba ıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.
Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} ba ıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ve (4,4) ikililerini içermedi i için yansıyan de il ;fakat simetrik ve geçi kendir.
: A ® A ve s(A) = n olmak üzere
Tanımlanabilen ba ıntı sayısı
Tanımlanabilen yansıyan ba ıntı sayısı
Tanımlanabilen simetrik ba ıntı sayısı
;
;
‘ dir.