Pekin, Ayten

GİRİŞ
Cebir ve sayılar teorisinde, Q rasyonel
sayılar cisminin sonlu
genişlemeleri olan sayı cisimleri ve bu cisimlerin ideal sınıfları grubunun
mertebesi olarak tanımlanan sınıf sayılarının belirlenmesi en önemli konulardan
birisidir.
Dirichlet sınıf sayısı formülü gibi bir takım formüller sınıf sayısının
doğrudan hesabını mümkün kılmaktadır. Ancak ideal sınıfları grubu yardımıyla
sınıf sayısının belirlenmesi kolay olmadığından bu formüller dışında çeşitli
kriterler de elde edilmiştir.
D kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere, Q rasyonel sayılar cisminin
cebirsel genişlemesi olan Q( D ) kuadratik cismi
D>0 ise “reel”, D<0 ise
“imajiner” olarak adlandırılır. İmajiner kuadratik sayı cisimleri için sınıf sayısı 1
problemi 1967 yılında H. M. Stark ve A. Baker tarafından bağımsız olarak
çözülerek, bu cisimlerin sonlu sayıda ve
D = − 1, − 2, − 3, − 7, − 11, − 19,
− 43 , − 67, − 163 değerlerine karşılık gelen cisimler olduğu belirlenmiştir.
Sınıf sayısı 1 olan reel kuadratik sayı cisimlerinin sayısının sonlu olup
olmadığı ise henüz kesinlik kazanmadığından (Gauss Konjektörü), sınıf sayısı 1
problemi reel kuadratik sayı cisimleri için tamamen çözülememiştir. Bu nedenle
reel kuadratik sayı cisimlerinde çalışmak daha bir önem kazanmıştır.
Bu cisimlerin sınıf sayısının 1 olması için gerek ve yeter koşulları veren
bir takım genel kriterler elde edilmesine rağmen bu kriterlerin Richaut-Degert
(R-D) tipinde olmayan cisimlere uygulanması ve bu yolla sınıf sayısı 1 olan
cisimlerin tespiti oldukça zor olmaktadır. Aynı zamanda reel
kuadratik sayı
cisimlerinin sınıf sayısının belirlenmesinde cismin temel birimi de önemli bir rol
oynamakta ancak yine R-D tipinden olmayan sayı cisimleri için, temel birimin
biçimi belli olmadığından, belirli kriterlerin bu cisimlere uygulanabilmesi de zor
olmaktadır. Bu nedenle
yönelik çalışmalar
son
zamanlarda
sınıf sayılarının belirlenmesine
“R-D tipinden olmayan reel
kuadratik sayı cisimleri “
üzerinde yoğunlaşmıştır. Bu çalışmalarda bir çok yöntem kullanılmaktadır. Bu
yöntemlerden en sık kullanılan üçü; kuadratik diophantine denklemler, sürekli
kesre açılım ve dirichlet sınıf sayısı formülüdür.
Bu çalışmada da, genellikle R-D tipinden olmayan bazı sayı cisimleri ele
alınarak, sözü geçen yöntemler yardımıyla sınıf sayısının belirlemeye yönelik
kriterlerin elde edilmesi amaçlanmıştır.
I. Bölümde konuyla ilgili ön bilgilere yer verilmiştir.
II. Bölümde reel kuadratik sayı cisminin temel biriminin normunun -1
olması durumunda, 1992 yılında S.-G. Katayama ve 1993 yılında H. Yokoi’nin
yaptığı çalışmalar göz önüne alınarak sınıf sayısını herhangi bir tek sayıdan
büyük kılan bir “invaryant değer” tanımlanmıştır. Bu invaryant değerden küçük
pozitif tamsayılara bağlı olarak sınıf sayısının tek olması için gerek ve yeterli
koşullar elde
edildikten sonra,
bu
kriterler
ve Y. Kida’nın
UBASIC86
programı kullanılarak D nin uygun bir değeri hariç 1 ≤ u ≤ 100 sağlayan ve
sınıf sayısı 3 olan 31 tane, sınıf sayısı 5 olan 22 tane reel kuadratik sayı
cisminin varlığı gözlenmiştir. Bu çalışma sonunda S. Katayama ve H. Yokoi
tarafından ve çeşitli yöntemler sonucunda bulunan cisimler de elde edilmiştir.
III. Bölümde,
S.D. Lang,
H.Yokoi,
I. Yamaguchi
ve R.A. Mollin’in
diophantine denklemlerin çözülebilirliği ile sınıf sayısı 1 olan çeşitli tipteki reel
kuadratik
sayı cisimlerini belirlemeye yönelik
[12,20,29,36] çalışmaları
yardımıyla, p = [(2n + 1)q] 2 m 1 kare çarpansız tamsayısı için x 2 − py 2 = m q
diophantine denkleminin çözümü irdelenmiş ve bu çözüme bağlı olarak sınıf
sayısı 1 olan yegane cismin
koşul elde edilmiştir.
Q( 3 ) olduğunu belirleyen bir gerek ve yeter
IV. Bölümde ise R-D tipinden olmayan çeşitli tipteki reel kuadratik sayı
cisimlerinin {1, w d } tamlık tabanlarının
1 + d

, d ≡ 1 (mod 4)
wd =  2
 d
, d ≡ 2, 3 (mod 4)

biçiminde tanımlanan,
wd
quadratik irrasyonel sayısının sürekli kesre
açılımında periyodun 6 olması durumunda, R.A. Mollin [18,21,22,23], K. Tomita
[27,28] ve T. Azuhata’nın [2] çalışmaları göz önüne alınarak sürekli kesre
açılımın genel biçimi ile temel birimin genel biçimi belirlenmiştir. Ayrıca, temel
birimi belirlenen bu katsayılarına bağlı olarak [33,34,35] de tanımlanmış olan
invaryant değerleri sıfır ya da sıfırdan farklı kılan gerek ve yeter koşullar elde
edilmektedir. Bu çalışmanın sonunda verilen kriterler örneklerle pekiştirilerek
sürekli kesre açılımın ve temel birimin belirlenmesindeki pratiklik gözlenmiş ve
bu kriterleri sağlayan, sınıf sayısı
1 veya
2 olan cisimler sürekli
açılımlarıyla beraber tablolar halinde verilmiştir.
kesre
I. BÖLÜM
ÖN BİLGİLER
1.1. TEMEL KAVRAMLAR
1.1.1. Tanım
L ve K, K ⊆ L şartını sağlayan iki cisim ise
L cismine K cisminin bir
“genişlemesi” denir ve L/K ile gösterilir. L nin K cismi üzerinde vektör uzayı
olarak boyutuna “L nin K üzerindeki genişlemesinin derecesi “ denir ve [L : K ]
ile gösterilir. Eğer [L : K ] < ∞ ise L/K ya “sonlu genişleme”, L nin her elemanı
K üzerinde cebirsel ise L/K ya “cebirsel genişleme” denir.
1.1.2. Tanım
L/K bir cisim genişlemesi ve α ceb/K olmak üzere L = K (α) biçiminde
yazılabilir ise L cismine K cisminin bir “basit genişlemesidir” denir.
1.1.3. Tanım
Q rasyonel sayılar cisminin sonlu bir genişlemesine “cebirsel sayı cismi”
denir.
1.1.4. Tanım
L/Q cebirsel bir genişleme olsun. Eğer bir α ∈ L elemanının Q üzerinde
sağladığı polinom katsayıları Z de olan monik bir polinom ise α ya “cebirsel
tamsayı” denir. Q nun bir α elemanının cebirsel tamsayı olması için gerek ve
yeter koşul α ∈ Z olmasıdır.
1.1.1. Önerme
L bir cebirsel sayı cismi olsun. Bir α ∈ L nin Q üzerindeki eşlenikleri
α = α1, α 2 ,...., α n ise,
n
n
i =1
i=1
N (α) = ∏ α i ,İz(α ) = ∑ α i
biçiminde tanımlanan ifadeler sırasıyla, “ α nın normu” ve “ α nın izi” olarak
adlandırılır. Ayrıca, α, β∈L için,
N (α.β ) = N (α ). N (β ) , İz(α + β) = İz(α ) + İz(β )
ve α ∈ Q için
N (α) = α 2 , İz(α) = 2α
ifadeleri de sağlanmaktadır.
1.2. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİ
1.2.1. Tanım
L/Q cebirsel bir genişleme ve [L : Q] = 2 ise L cebirsel sayı cismine
“kuadratik sayı cismi” denir.
1.2.1. Önerme
L bir kuadratik sayı cismi ise en az bir d kare çarpansız tamsayısı
için L= Q( d ) dir.
Kanıt:
[L : Q] = 2
ise L = Q(α) biçiminde basit genişlemedir. Yani α katsayıları
Q da olan x 2 + px + q biçimindeki asal bir polinomun kökü olduğundan
katsayıları Z de olan ax 2 + bx + c polinomunun da bir köküdür. Öyleyse;
α=
− b m b 2 − 4ac
2a
ifadesinde b 2 − 4ac = k alınırsa, L = Q(α) = Q( k ) olur. Polinom Q[x] te asal
olduğundan k nın tam-kare olmayan en az bir asal çarpanı vardır. Bu çarpana
d
denilirse, L = Q( d ) olur.
1.2.2. Tanım
K = Q( d ) kuadratik sayı cismi ise,
O K = {α ∈ K α tam / Z} kümesi toplama ve çarpma işlemine göre bir
halkadır. OK ya K cisminin “tamlık halkası” denir.
α ∈ O K ⇔ N (α) ∈ Z ve İz(α ) ∈ Z
dir.
1.2.1. Teorem
K = Q( d ) bir kuadratik sayı cismi olsun.
Z + Z d
, d ≡ 2, 3 (mod 4) ise

OK = 
 1+ d 
 , d ≡ 1 (mod 4) ise
Z + Z

2



biçimindedir.
Kanıt :
x, y ∈Q
olmak üzere;
α=x+y d
olsun. 1.1.1.Önerme ve 1.2.2.
Tanımdan İz(α + α′) = 2x ∈ Z dir. Buna göre; α = 2x + 2y d olarak alındığında,
N(α ) = (2x)2 − (2y)2 d ∈ Z olur. En az bir k tamsayısı için (2x)2 − (2y)2 d = k
yazılabildiğinden
(2x)2 = (2y)2 d + k ∈ Z dir.
d
kare çarpansız olduğundan
2y∈ Z bulunur.
2x = u , 2y = v
u 2 − v 2 d ≡ 0 (mod 4)
olsun.
Bu
durumda,
olmasını gerektirir. Buna göre;
d ≡ 2, 3 (mod 4)
ise ,
x 2 − y 2 d ∈Z
olması
u 2 − v 2 d = u 2 + 2v 2 (mod 4) veya u 2 − v 2 d = u 2 + v 2 ≡ 0 (mod 4) olacaktır.
Her
iki
durumda,
u2 + 2v 2 ≡ 0 (mod 4)
ve
u2 + v 2 ≡ 0 (mod 4)
ifadelerinin u ile v nin ikisinin de çift tamsayılar olması halinde sağlanacağı
kolayca görülür. Bu ise x ile y nin birer tamsayı olması gerektiğini gösterir.
O halde,
O K ⊆ Z + Z( d )
sağlanır.
d ≡ 1(mod 4) ise u 2 − dv 2 ≡ u 2 − v 2 (mod 4) olur. Bu da, u ile v nin ikisinin
birden tek veya çift sayı olduğunu gösterir.
Bu durumda,
u + v d
OK = 
 2

u ≡ v (mod 2)

şeklindedir. Diğer yandan,
 1+ d 
u+ v d u− v 

=
 + v 

2
2
 2 


biçiminde yazılabileceğinden ve
olacaktır. N ( d ) = −d ,
 1+ d 
u−v

∈ Z olduğundan, O K ⊆ Z + Z

2
2


 1+ d  1− d
=
İz( d ) = 0 , N 
,

2
4


birer tamsayı olduğundan,
d,
 1+ d 
 = 1 ifadeleri
İz

2


1+ d
∈ OK olur.
2
Böylece,
 1+ d 
 ⊆ OK
Z + Z( d ) ⊆ O K , Z + Z

2


olduğu görüleceği için,
OK = Z + Z( d ) ve
sağlanmış olur.
 1+ d 

OK = Z + Z

2


1.2.1. Sonuç
K = Q( d ) cisminin OK tamlık halkası sonlu üretilmiş bir Z-modüldür ve
üreteçleri kümesi;
d ≡ 2, 3 (mod 4) ise {1,
d}
 1+ d 
d ≡ 1 (mod 4) ise 1,

2 

biçimindedir.
1.2.3. Tanım
K = Q( d ) kuadratik sayı cismi ise,
 d
, d ≡ 2, 3 (mod 4)

w = 1 + d
, d ≡ 1 (mod 4)

 2
olmak üzere {1, w} ikilisine OK nın “tamlık tabanı “ denir.
1.3. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN İDEALLERİ
1.3.1. Tanımlar
A, K = Q( d ) cisminin bir alt kümesi olsun. Eğer A ≠ Ø kümesi,
i) Her a, b∈ A için a − b∈ A
ii) Her a ∈ A, c ∈ O K için a.c ∈ A
iii) ∃ 0 ≠ α∈O K için αA ⊆ O K
koşullarını sağlıyorsa, A ya K nın bir “kesirsel ideali” denir. Özel olarak, OK
tamlık
halkasının bütün idealleri birer kesirsel idealdir. Bu ideallere “tam
idealler” denir.
(0) dan farklı kesirsel idealler, ideallerin çarpma işlemi altında bir grup
oluştururlar ([25]) .
A ile B iki kesirsel ideal olsunlar. A = (α ) B olacak biçimde ∃ α∈ Q( d )
elemanı varsa, A ile B “denk kesirsel ideallerdir” denir ve A ~ B ile gösterilir.
A
ve
B,
Q( d )
nin tam idealleri olsun. Eğer (α ) A = (β )B olacak
biçimde α, β∈ O K varsa, A ile B “denk tam ideallerdir” denir.
A bir tam ideal ise A ∩ Z ≠ Ø dır.
OK tamlık halkası
{1, w}
ile üretilmiş bir Z-modül olduğundan OK
halkasının her tam ideali de sonlu üretilmiş bir Z-modüldür.
A tam ideali r1, r2 gibi iki cebirsel tam eleman ile üretildiğinden {r1 , r2 }
ye A “idealinin tabanı” denir. A ideali bu tabana bağlı olarak,
A = {ar1 + br2 | a, b∈ Z}
biçiminde ifade edilir.
OK halkası da O K = (1, w ) biçiminde bir idealdir ve OK ya “birim ideal”
denir.
A = (r1, r2 ), K = Q( d ) cisminin bir tam ideali olsun. r1′ , r1 in, r2′ , r2 nin
eşleniğini göstermek üzere, A ′ = (r1′ , r2′ ) idealine A idealinin “eşleniği”
denir.
1.4. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN DİSKRİMİNANTI
1.4.1. Tanım
K = Q( d ) cisminin tamlık halkası OK nın bir tabanı {w 1, w 2 } = {1, w}
biçiminde olsun.
∆ K/Q = det (İz (w i , w j ))i, j=1,2 ifadesine OK tamlık halkasının veya K = Q( d )
cisminin “diskriminantı” denir. Ya da G(K/Q), K/Q genişlemesinin Galois grubu
olmak üzere diskriminant;
2
[
]
∆ K/Q = δ i (w j ) = det(δ i (w j ))
2
biçiminde tanımlanır.
1.4.1. Teorem
d kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere, K = Q( d ) kuadratik sayı
cismi veriliyor.
 4d , d ≡ 2, 3 (mod 4) ise
∆K Q = 
 d , d ≡ 1 (mod 4) ise
biçimindedir.
Kanıt:
d ≡ 2, 3 (mod 4) ise Q( d ) cisminin tamlık halkası OK nın tabanı
{1, d } olduğundan 1.4.1. Tanımdan,
∆ K/Q =
2 0
İz K/Q (1)
İz K/Q ( d )
=
= 4d
2
0 2d
İz K/Q ( d ) İz K/Q (( d ) )
bulunur.
Benzer biçimde, d ≡ 1 (mod 4) ise K = Q( d ) cisminin tamlık halkası
OK nın tabanı (1,
∆ K/Q
olarak bulunur.
1+ d
) olduğundan,
2
1+ d
)
2
1
2
1+ d = d
=
=
1
1+ d
1+ d 2
2
İz K/Q (
) İz K/Q ((
) )
2
2
İz K/Q (1)
İz K/Q (
1.4.2. Tanım
K = Q( d ) cisminin bir tam ideali A = (r1, r2 ) olsun. δ A = (r1.r2′ − r1′. r2 ) 2
değerine “A idealinin diskriminantı” denir.
1.4.3. Tanım
A, K = Q( d ) cisminin bir tam ideali olsun. OK /A bölüm halkasının
eleman sayısına
“A idealinin normu” denir ve N(A) = #(OK /A) biçiminde
gösterilir. N(A) daima sonlu bir sayıdır.
1.5. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNDE İDEALLERİN AYRIŞIMI
1.5.1. Tanım
p ≠ 2 bir asal sayı ve a ≠ 0 bir tamsayı olsun.
 1, x 2 ≡ a (mod p) çözümlü ve (a, p) = 1 ise
a 
  = − 1, x 2 ≡ a (mod p) çözümsüz ise
p 
p | a ise
 0,
*
biçiminde tanımlanan   sembolüne “Legendre Sembolü” denir.
*
1.5.1. Teorem
p ≠ 2 bir asal sayı ve a, b sıfırdan farklı tamsayılar ise,
a
i)   ≡ a
p
p−1
2
(mod p)
 a  b   ab 
ii)    =  
 p  p   p 
a b
iii) a ≡ b (mod p) ⇒   =  
p p
 a2 
 = 1,
iv) (a, p) = 1 ⇒ 
p


 a 2b   b 

 =  
p

 p
 1
v)   = 1,
p
 − 1
  = ( −1)
 p 
2
vi)   = ( −1)
p
p −1
2
p 2 −1
8
koşulları sağlanır ([24]).
1.5.2. Teorem (Gauss Reciprocity Kuralı)
Eğer p ve q farklı tek asal sayılar ise,
 p  q 
   ( −1)
 q  p 
p −1 q−1
.
2 2
sağlanır ([24]).
1.5.2. Tanım
*
  Legendre sembolü olsun. a
*
pozitif bir tamsayı, b pozitif tek bir
tamsayı ve b = p1.p 2 .....p n (pi ler asal) biçiminde olmak üzere;
 a   a  a
  =  
 b   p1  p 2
 a

 p 3
  a
 ... 
  pn



*
ise   sembolüne “Jacobi Sembolü” denir.
*
1.5.3. Tanım
*
  Jacobi sembolü olsun. Eğer
*
 1,

 a  − 1,
 =
 2   0,
 tanimsiz,
a ≡ 1(mod8) ise
a ≡ 5(mod8) ise
a ≡ 0(mod8) ise
diger hallerde ise
*
özelliği ile genişletilmiş ise   sembolüne Kronecker Sembolü denir.
*
1.5.4. Tanım
∆ , K = Q( d ) cisminin diskriminantı ve p bir asal sayı olmak üzere,
 ∆
p ≠ 2 , p | ∆ ise
   ,
 p

χ K (p) = 
∆ 2 −1
( −1) 8 , p = 2, 2 | ∆ ise


p | ∆ ise
 0 ,
biçiminde tanımlanan χ K
fonksiyonuna
K cisminin
“Kronecker Karekteri”
denir.
1.5.1. Sonuç
K = Q( d ) cisminin tamlık halkası OK olmak üzere, OK halkasında p
tek asal değerinin ayrışımı;
∆
i)   = 1 ⇔ p ayrışır
p
(decomposed)
∆
ii)   = −1 ⇔ p asal kalır
p
∆
iii)   = 0 ⇔ p dallanır
p
(inert)
(ramified)
biçiminde ifade edilir ([5]).
1.5.2.Sonuç
K = Q( d ) cisminin tamlık halkası O K olmak üzere p=2 asalının O K
halkasındaki ayrışımı aşağıdaki biçimde ifade edilir.
∆
i)   = 1 ⇔ 2 ayrışır
2
(decomposed)
∆
ii)   = −1 ⇔ 2 asal kalır
2
(inert)
∆
iii)   = 0 ⇔ 2 dallanır (ramified)
2
1.5.3. Teorem
K = Q( d ) kuadratik sayı cismi olsun. Bu durumda,
i) OK nın (0) dan farklı her asal ideal maksimaldir.
ii) (0) dan farklı her tam ideal, asal ideallerin çarpım biçiminde tek türlü
yazılabilir.
iii) (0) dan farklı kesirsel idealler, ideallerin çarpım işlemi altında
çarpımsal bir grup oluşturur.
1.5.4. Teorem
p
asal bir sayı, P ⊂ O K ,
p yi
kapsayan asal bir ideal
ve
P′ = {ρ' | ρ ∈ P} ≠ P olsun. Diskriminantı ∆ olan bir K = Q( d ) kuadratik sayı
cisminde, bir p asalının ayrışımı;
i) p | ∆ ⇔ (p) = ρ 2 ve N (ρ) = p
ii) p>2 olsun

 (p) = ρ.ρ' (ρ ≠ ρ' ) ve N(ρ) = N(ρ') = p ,

p|∆⇒ 
(p) = ρ ve N (ρ) = p 2 ,

∆
  = 1 ise
p
∆
  = −1 ise
p
iii) p=2
(2) = ρ.ρ' (ρ ≠ ρ' ) ve N (ρ) = N (ρ') = 2 ,
p|∆ ⇒ 
(2) = ρ ve N(ρ) = 4 ,
biçimindedir ([3]).
d ≡ 1 (mod 8) ise
d ≡ 5 (mod 8) ise
1.6. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN TEMEL BİRİMLERİ
1.6.1. Tanım
K = Q( d ) cisminin OK halkasında tersi olan elemanların oluşturduğu
gruba cismin “birimler grubu” denir ve Ud ile gösterilir.
1.6.1. Önerme
ε ∈ O K olmak üzere,
ε ∈ Ud ⇔ N (ε ) = m1 olmasıdır.
Kanıt:
⇒
ε birim ise ε |1 ’dir. Bu durumda ε. ε ′ = 1olacak biçimde ε ′ ∈ O K
elemanı vardır. Bu durumda,
N (ε ) = N (ε ′) = N (1) = 1 ⇒ N (ε ). N (ε ′) = 1
olur. Buradan da N (ε ) nun Z de birim olduğu yani, N (ε ) = m1 olduğu görülür. Q
Bu önermeden faydalanarak K = Q( d ) kuadratik sayı cisminin birimleri
aşağıdaki gibi belirlenir.
d < 0 olsun. d ≡ 2, 3 (mod 4) ise {1, d } , K cisminin tamlık tabanı olmak
üzere, α ∈ O K elemanı x, y ∈ Z için α = x + y d biçiminde ifade edileceğinden,
α′ = x − y d için N (α) = (x + y d )(x − y d ) = x 2 − dy 2 olur. 1.6.1. önermeden
α=x+y d
birim olduğundan
x 2 − dy 2 = m1 denkleminin sonlu sayıdaki
çözümleri K imajiner kuadratik sayı cisminin birimlerini verecektir.
d ≡ 1 (mod 4) ise (1,
elemanı x, y ∈ Z için α =
1+ d
)
2
K nın tamlık tabanı olmak üzere, α ∈ O K
x+y d
biçiminde ifade edileceğinden,
2
 x + y d  x − y d 


N (α ) = 


2
2



x 2 − dy 2
bulunur. 1.6.1. Önermeden yararlanarak α birim olduğu için
= m1
4
bulunur. O halde x 2 − dy 2 = m4 denkleminin sonlu sayıdaki çözümü K = Q( d )
cisminin birimlerini verecektir.
Bu ifadelere göre imajiner kuadratik sayı cisimlerinin birimleri için
aşağıdaki önerme verilebilir.
1.6.2. Önerme
K = Q( d ) imajiner kuadratik sayı cismi olsun. i2 = -1 ve j =
− 1 + 3i
2
olmak üzere,
i) U −1 = { m 1 , m i
ii) U −3 =
}}
{ m 1, m j, m j }}
2
iii) d ≠ −1, − 3 ise Ud = {1, − 1 }}
biçimindedir.
1.6.3. Önerme
K = Q( d )
reel kuadratik sayı cismi olsun. K cisminin
Ud
birimler
grubu,
{
Ud = m ε sd | s ∈ Z
}}
olacak biçimde bir ε d > 1 birimi bulunabilir.
1.6.1. Sonuç
s keyfi bir tamsayı olduğu için K cisminin Ud birim grubu sonsuzdur. C
sonsuz devirli çarpımsal bir grup olmak üzere, Ud ≅ {1, − 1} x C dir.
1.6.2. Tanım
K = Q( d ) bir reel kuadratik sayı cismi olsun. K cisminin 1 den büyük
birimlerinin en küçüğü ε d ise, ε d elemanına “temel birim” denir.
1.6.4. Önerme
K = Q( d ) reel kuadratik sayı cismi, x, y ∈ Z için
η=
x+y d
∈ K ise
2
aşağıdaki ifadeler gerçeklenir.
i) η bir birimdir
⇔ x 2 − dy 2 = m4 olmasıdır. Ayrıca η bir birim ise
η > 1 ⇔ x > 0, y > 0 ır.
ii) η i =
xi + yi d
2
(i = 1, 2 ve x i , y i ∈ Z için) birden büyük birimler ise;
η1 < η 2 ⇔ x 1 < x 2 , y 1 ≤ y 2 ’dir. (Weiss, s.239)
Reel kuadratik sayı cisimlerinde temel birim, d ≡ 1 (mod 4) olması
durumunda x 2 − dy 2 = m4 ile ifade edilen diophantine denkleminin 1 den büyük
en küçük (xo,yo) pozitif tamsayı çözümü yardımıyla belirlenebilmektedir.
1.6.3. Tanım
d = n 2 + r kare çarpansız pozitif bir tamsayı
r|4n
ve − n < r ≤ n ise
Q( d ) cismine “Richaut-Degert (R-D) tipinden sayı cismi” denir.
r = m1, m 4 ise Q( d ) cismine “dar (narrow) anlamda”, aksi halde, “geniş
(extended) anlamda Richaut-Degert (R-D) tipinden reel kuadratik sayı cismi”
denir.
Bu cisimlerin temel birimleri, sgnr, r nin işaret fonksiyonu olmak üzere,


n+ d

n+ d

εd = 
2

2
 (2n + r) + 2n d

r

biçiminde belirlenmiştir.
, r = 1 ise ( N (ε d ) = −sgnr)
, r = 4 ise ( N (ε d ) = −sgnr)
, r ≠ 1, 4 ise ( N (ε d ) = 1)
1.7. KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN SINIF SAYILARI
1.7.1. Tanım
K = Q( d ) kuadratik sayı cisminin bütün kesirsel idealleri ideallerin
çarpma işlemine göre çarpımsal bir grup oluştururlar. Bu grubu G ile, G nin
esas ideallerinin oluşturduğu grubu da E ile gösterelim. G/E bölüm grubu
sonlu bir gruptur. G/E
bölüm grubuna K cisminin “sınıf grubu” bu grubun
eleman sayısına da K cisminin “sınıf sayısı” denir ve hK ile gösterilir.
Bu nedenle cismin kesirsel idealleri grubu sınıflara ayrılmış olur. Bir
sınıfın herhangi iki idealine “denk idealler” denir ve A ~ B biçiminde gösterilir.
Ayrıca iki kesirsel idealin denkliği,
A ~ B ⇔ A = (α)B
olacak biçimde ∃ 0 ≠ α ∈ O K vardır, şeklinde ifade edilir.
Kesirsel ideallerin bir sınıfında tam idealler de vardır. Ayrıca
A bir
kesirsel ideal ise ∃ 0 ≠ α ∈ O K için αA ⊂ O K olduğundan ideal sınıflarının
özellikleri ve sınıf sayısı ile ilgili sonuçları elde etmek için yalnızca tam idealleri
göz önüne almak yeterlidir.
1.7.2. Tanım
A ve B, K = Q( d ) kuadratik sayı cisminin denk ve tam idealleri ise
(α)A = (β)B olacak biçimde ∃ α, β ∈ OK vardır.
Eğer N (α.β ) > 0 ise elde edilen sınıflara
“dar anlamda sınıf” denir. Bu
sınıftaki ideallerin denkliği A ≈ B ile gösterilir. Dar anlamda sınıf sayısı da hK+ ile
gösterilir.
Eğer N (α.β ) > 0 koşulu gerekli değil ise elde edilen sınıflara “geniş
anlamda sınıf” denir ve sınıf sayısı hK ile gösterilir.
1.7.1. Teorem
K = Q( d )
kuadratik sayı cisminin diskriminantı ∆ ve temel birimi ε d
olsun. Bu durumda,
i) ∆ < 0 ⇒ hK+ = hK
 h + = hK
ii) ∆ > 0 ⇒  +K
hK = 2h K
, N (ε d ) = −1 için
, N (ε d ) = 1 için
koşulları gerçeklenir.
Kanıt:
i)
∆<0
olduğundan, her
durumunda her
α, β ∈ O K
x=
a+b d
∈ OK
2
N (x) =
için
a2 − b2d
>0
4
için N (α.β ) > 0 ’dır. Bu durumda dar anlamda
sınıflar ile geniş anlamda sınıflar aynıdır. Öyleyse hK+ = hK ’dır
ii) ∆ > 0 olsun.
N (ε d ) = −1 durumunda,
(α) A = (β)B = (ε d .β)B
biçiminde yazıldığında
N (α.β ), N (αβε d ) den biri pozitif olacaktır. Bu durumda dar anlamda sınıflar ile
geniş anlamda sınıflar aynı olacaktır. Bu nedenle hK+ = hK ’dır.
N (ε d ) = 1 durumunda, ∀ α, β∈ O K için N (αβ) > 0
koşulu her zaman
gerçeklenemez. Bu durumda A ≈ B veya A ≈ B d den biri gerçeklenir. Bu
durumda hK+ = 2h K dır. Yani, geniş anlamda her denklik sınıfı dar anlamda iki
denklik sınıfının birleşimidir ([4]).
1.7.2. Teorem
K = Q( d ) bir kuadratik sayı cismi, MK Minkowski Sınırı ve ∆, K cisminin
diskriminantı olmak üzere, K cisminin her ideal sınıfında,
 ∆

N (P) ≤ MK =  2
2 ∆
 π
d > 0 ise
d < 0 ise
olacak biçimde bir P tam ideali vardır.
Bir cebirsel sayı cisminin ideal sınıfları sayısı sonludur ([25]).
1.7.2. teoremden faydalanarak
Minkowski sınırı yardımıyla bazı sayı
cisimlerinin sınıf sayıları belirlenmiştir. Ancak MK sınırı büyüdükçe bu yöntemle
sınıf sayısını hesaplamak da zorlaşmaktadır.
1.7.3. Teorem
Bir sayı cisminin diskriminantı tek bir asal çarpan içeriyorsa, sınıf sayısı
tektir ([4]).
1.7.4. Teorem
K = Q( d ) cisminin sınıf sayısının 1 olması için gerekli ve yeterli koşul
K cisminin OK tamlık halkasının bir esas ideal bölgesi olmasıdır.
Kanıt:
: ⇒ hK = 1
ise ∀A ⊂ O K
ideali
için
A ~ OK
dır.
Bu
durumda
∃ 0 ≠ α, β∈ O K için (α )A = (β )O K = (β ) olur. Bu ise ∃ x ∈ A için α x = β olduğunu
yani; x =
β
β
∈ A olduğunu belirtir ki A =   esas idealdir.
α
α
⇐ : O K bir esas ideal bölgesi ise 0 ≠ α, β∈O K olmak üzere her A = (α ) ,
B = (β ) idealleri için;
(β) A = (α) B
yazılabileceğinden
A~B olduğu elde edilir ve böylece
hK = 1 dir.
1.7.1. Önerme
A
tamlık halkasının bir ideali ve hK , K cisminin sınıf sayısı ise, A hK
bir esas idealdir ( [26] ).
1.8. BASİT SÜREKLİ KESİRLER
1.8.1. Tanım
xo,x1,...,xk reel sayılar 1 ≤ i ≤ k için x i > 0 olsun. Bu sayılar ile belirlenen,
< x o , x 1,..., x k >= x o +
1
x1 +
1
x2 +
1
x 3 + ...
O
1
+
x k −1 +
1
xk
kesrine “pozitif sonlu sürekli kesir” denir.
< x o , x 1,..., x k > pozitif sonlu sürekli bir kesir olmak üzere, x o ∈ Z ve
1 ≤ i ≤ k için x i ∈ Z + ise < x o , x 1,..., x k > kesrine “basit sürekli kesir” denir.
Bu kısımda sürekli kesir denilince sadece pozitif, sonlu ve basit olanlar
kastedilecektir.
Sonlu bir sürekli kesir aşağıdaki biçimlerde gösterilebilir:
< x o , x 1,..., x k > , < x o , < x 1,..., x k >> , < x o , x 1,...,
1
1
> , xo +
.
xk
< x 1,..., x k >
1.8.1.Teorem
(a, b) = 1, a, b∈ Z ve b > 0 olmak üzere
a
b
biçimindeki bir rasyonel
sayı sonlu bir sürekli kesre eşittir. Tersine sonlu sürekli kesrin her değeri bir
rasyonel sayıdır.
Kanıt
(a, b) = 1, a, b∈ Z ve b > 0 olmak üzere, r =
Euclide Algoritmasına göre bölersek,
a
olsun. a
b
yı
b
ile
a = qo b + ro
, 0 < ro < b
b = q1ro + r1
, 0 < r1 < ro
ro = q 2r1 + r2
, 0 < r2 < r1
( ∀ i ≥ 1 için qi , ri ∈ Z + )
...................
rk −2 = qk rk −1
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitlikler kullanılarak,
r=
a
=< qo , q1,....., qn >
b
sonlu sürekli kesri elde edilir. a < 0 olabilir. Bu durumda qo < 0 uygun bir
biçimde seçilerek 1 ≤ i ≤ k için qi ≥ 1 olması sağlanır.
Teoremin tersi, bir merdiven kesrin rasyonel sayı değeri bulunarak elde
edilir.
1.8.1. Sonuç
Bir r =
a
rasyonel sayısı,
b
< r >=< r − 1, 1 >
; r ∈ Z ise

r=
< qo , q1,...qk >=< qo , q1,..., qk −1,1 > ; r ∉ Z ise
biçimindedir.
Rasyonel sayılar ile sonlu sürekli kesirler arasında birebir eşleme vardır.
Her r ∈ Q için r =< qo , q1,..., qk > ve r > 1 ise
1
=< 0, qo , q1,..., qk > dir.
r
Verilen sonlu bir sürekli kesrin rasyonel sayı değerini bulmak, basamak
sayısı arttıkça zorlaşır. Bu nedenle ilk birkaç basamak değeri için doğrudan
hesaplama yapılarak aşağıdaki rekurans değerleri elde edilir.
< qo >=
qo
,
1
< qo , q1 >= qo +
1 qo .q1 + 1
=
,
q1
q1
< qo , q1, q 2 >=
qo q1q 2 + qo + q 2
q1.q 2 + 1
olduğu göz önüne alındığında, P−2 = 0 , P−1 = 1, Q −2 = 1, Q −1 = 0 özel değerleri
seçilirse,
Po = qo = qoP−1 + P−2 , P1 = q1qo + 1 = q1Po + P−1
Q o = 1 = qo Q −1 + Q −2 , Q1 = q1 = q1Q o + Q −1
eşitlikleri elde edilir ve k ≥ 0 için
Pk = qk Pk −1 + Pk −2
Q k = qk Q k −1 + Q k −2
biçiminde {Pk } ve {Q k } tamsayı dizileri elde edilir.
Buradan aşağıdaki sonuçlar söylenebilir.
i) k ≥ 0 için Q k > 0 ’dır.
ii) k > 0 için Q k > 0 ise 0 < Q o < Q1 < ..... ’dır.
iii) Q k ≥ k ’dır.
1.8.2. Teorem
Herhangi bir x pozitif reel sayısı için,
< qo , q1,...., qk −1, x >=
xPk −1 + Pk −2
xQk −1 + Q k −2
gerçeklenir.
1.8.3. Teorem
i) Eğer her k ≥ 0 için tamsayısı için c k =< qo , q1,..., qk > alınırsa,
c k = < qo , q1,..., qk >=
Pk
olacaktır.
Qk
ii) Her k ≥ −1 için,
PkQk−1 −Pk−1Qk = (−1)k−1 ,
ve
c k − c k −1 =
( −1)k −1
Q k Q k −1
denklemleri
c k − c k −2
Pk Q k −2 − Pk −2 Q k = ( −1) qk ,
k
( −1)k qk
=
Q k Q k −2
eşitlikleri
sağlanır.
iii)
Pk
indirgenmiştir ve bu da her k ≥ 0 için (Pk , Q k ) = 1 olmasıdır.
Qk
1.9. SONSUZ SÜREKLİ KESİRLER
1.9.1. Tanım
Pozitif sonlu sürekli kesir tanımındaki k değeri sonsuz ise elde edilen
sürekli kesre “sonsuz sürekli kesir” denir ve < qo , q1,... > ile gösterilir.
Sonsuz sürekli kesrin ilk
c k = < qo , q1,..., qk >
k teriminden oluşan sonlu sürekli kesir
biçiminde olup buna sonsuz sürekli kesrin k. yaklaşımı
denir. Eğer k çift ise c k “çift yaklaşım” k tek ise c k “tek yaklaşım” olarak
adlandırılır.
1.9.1.Teorem
i)
Çift yaklaşımlar dizisi düzgün artar.
ii)
Çift yaklaşımlar dizisi düzgün azalır.
iii)
Tek yaklaşımlar çift yaklaşımlardan büyüktür.
Kanıt
Her k çift sayısı için c k − c k −1 ve
c k − c k −2 için 1.8.3 Teoremindeki
Pk Q k −2 − Pk −2 Q k = ( −1) qk eşitliğinden
Pk
P
qk
qk
= k −2 +
ise
c k = c k −2 +
bulunur. Her
Q k Q k −2 Q k Q k −2
Q k Q k −2
k>0 için Q k ve qk değerleri pozitif olduğundan c k −2 < c k elde edilir.
qk
Her k ≥ 1 tek sayısı için benzer biçimde c k = c k −2 −
bulunur.
Q k Q k −2
Q k ve qk değerleri pozitif olduğundan c k −2 > c k olur.
PkQk−1 −Pk−1Qk = (−1)k−1 eşitliği alınırsa, her j ≥ 0 ve i=2j+1 için
k
P2j+1
Q 2j
P2j
−
Q 2j
=
1
Q 2j Q 2j+1
c 2j+1 = c 2j +
ise
1
Q 2j Q 2j+1
ve c 2j+1 > c 2j
bulunur.
Bu durumda, her r, s ≥ 0 için r=s ise c k −2 < c k eşitsizliğinden
c 2r +1 > c 2r > c 2s , r<s ise c k −2 < c k eşitsizliğinden c 2r +1 > c 2s+1 > c 2s
c 2r +1 > c 2s eşitsizlikleri elde edilir.
ve
1.9.2.Teorem
< qo , q1, q 2 ... > sonsuz sürekli kesri için
i)
lim c k mevcuttur ve r , s herhangi iki pozitif tamsayı olmak üzere
k →∞
c 2r < lim c k < c 2s +1 sağlanır.
k →∞
ii)
iii
lim c k = < qo , q1, q 2 ... > olur.
k →∞
α = < qo , q1, q 2 ... > ise [α] = qo ve α = qo +
1
dir.
< qo , q1,.... >
([x] :x elemanının tam değeridir.)
Kanıt
i) 1.91.Teoremden {c 2k } artan ve herhangi bir tek yaklaşımla üstten
sınırlı olduğundan, lim c 2k mevcuttur. Benzer biçimde {c 2k +1 } azalan ve
k →∞
herhangi bir çift yaklaşımla alttan sınırlı olduğundan lim c 2k +1 de mevcuttur.
k →∞
1
1.9.1. Teoremden lim c 2k +1 = lim c 2k + lim
bulunur. {Qk } artan bir
k →∞ Q Q
k →∞
k →∞
k
2k +1
dizi ve Q k ≥ 0 olduğundan son limit sıfır olacağından lim c 2k +1 = lim c 2k elde
k →∞
k →∞
edilir. Bu da tek ve çift yaklaşımlar dizilerinin limitlerinin aynı olduğunu gösterir.
Buradan lim c k = lim c 2k = lim c 2k +1 sağlanır ve c 2r < lim c k < c 2s +1 olacağı
k →∞
k →∞
k →∞
k →∞
açıktır.
1
k →∞
q1
elde edilir. q1 ≥ 1 olduğundan qo < α < q0 + 1 ve buradan [α] = qo bulunur.
Ayrıca c k = < qo , q1, q 2 ... > olduğundan
1
1
= qo +
α = lim c k = qo +
k →∞
k → ∞ < qo , q1,.... >
< qo , q1,.... >
ii) ,iii) c 2r < lim c k < c 2s +1 eşitsizliğinde r=s=0 alınır ise qo < α < q0 +
olarak elde edilir.
1.9.3. Teorem
Her sonsuz sürekli kesir bir irrasyonel sayı belirler.
Kanıt:
α =< qo , q1, ... > sonsuz sürekli kesri bir rasyonel sayı belirlesin, n sonlu
olmak üzere,
α =< qo , q1, ... >=< p o , p1,...., p n >
olacaktır. Bu ancak ilk n terimin eşit olmasıyla mümkündür.
Bu durumda, < qn , qn+1,.... >=< p n >= p n ∈ N + olur ki, bu bir çelişkidir.
1.9.4. Teorem
Her α irrasyonel sayısı bir tek sürekli kesre eşittir ([24]).
Dolayısıyla α irrasyonel sayısı ile sonsuz sürekli kesirler arasında birebir
bir eşleme vardır.
α =< qo , q1, ... > bir sonsuz sürekli kesir olsun.
α k =< qk , qk +1, ... > biçimindeki sonsuz
sürekli kesre
α
kesrinin “k-ıncı
tamlayanı” denir.
qo ∈ Z , q1, q 2 ,...., qk −1 ∈ Z + ve β =< p o , p1,... > 1 den büyük bir irrasyonel
sayı ise,
< qo , q1,..., qk −1, β >=< qo , q1,..., qk −1, p o , p1,..... >
sağlanır.
1.10. PERİYODİK SÜREKLİ KESİRLER
1.10.1. Tanım
a ile b sıfırdan farklı rasyonel sayılar ve
olmak üzere,
α = a+b d
d kare çarpansız bir tamsayı
sayısına “kuadratik irrasyonel sayı” denir.
1.10.1. Önerme
Her α kuadratik irrasyonel sayısı, d kare çarpansız pozitif tamsayı ve
s | d − r 2 , r ve s sıfırdan farklı tamsayılar olmak üzere,
r+ d
biçiminde yazılır.
s
Kanıt: α = a + b d şeklinde olsun. r ile s sıfırdan farklı tamsayılar olmak
üzere; α =
u+v d
w
şeklinde yazılabilir. Karekökün işareti pozitif olacak
biçimde,
2
u + v 2 d u′ + d1 u′ w + w d1 u1 + d
α=
=
=
=
w
w
w w
w1
yazılışı mümkündür. d1 ve d tamkare değildir.
Ayrıca, d − u12 = w 2 d1 − u′ 2 w 2 = (d1 − u′ 2 )w 2 olduğundan m w 1 = w 2 | d − u12
elde edilir. Bu durumda, r= u1 , s = w 1 alınırsa, α =
r+ d
istenen yazılıştır.
s
1.10.2. Tanım
α =< qo , q1, ..... > bir irrasyonel sayı olsun. Sonlu bir adımdan sonra qk lar
periyodik olarak eşit değerler alıyorsa bu kesre “periyodik sürekli kesir” denir.
α =< qo , q1, q 2 ,..., qk −1, qk , qk −1,..., qk +L −1, >
biçiminde gösterilir ve L sayısına “kesrin periyod uzunluğu” denir.
1.10.1. Teorem
Herhangi bir periyodik sürekli kesir bir quadratik irrasyonel
sayıya
karşılık gelir, tersine bir quadratik irrasyonel sayının sürekli kesre açılımı
periyodiktir ([24]).
1.10.1. Lemma
α =< qo , q1, ... > bir kuadratik irrasyonel sayı ve α = α o =
ro + d
, s |d − r 2 ,
so
r ve s sıfırdan farklı tamsayılar ise,
rk +1 = qk s k − rk
s k +1 =
d − rk2+1
sk
(1.1)
rekürans değerleri ve k ≥ 0 için,
i) rk ve s k ≠ 0 birer tamsayıdır.
ii) s k | d − rk2
iii) α k =
dir.
rk + d
sk
dir.
özellikleri kullanılarak α = α o =
ro + d
so
kuadratik irrasyonel sayısının sonsuz
sürekli kesre açılımı elde edilir.
1.10.2. Lemma
α = αo =
ro + d
so
bir kuadratik irrasyonel sayı ve α elemanının eşleniği
α′ olsun. Eğer n > 1 tamsayısı için α′n−1 < 0 ise,
i) − 1 < α′n < 0
ii) 0 < rn < d
iii) 0 < s n < 2 d
koşulları gerçeklenir ([24]).
1.10.3. Tanım
Bir sürekli kesrin periyod dışında kalan elemanı yoksa bu kesre
“pürperiyodik (tamamen periyodik) kesir” denir.
1.10.4. Tanım
α bir kuadratik irrasyonel sayı ve α′ , α nın eşleniği olsun. Eğer α > 1,
− 1 < α′ < 0
ise α ya “indirgenmiş kuadratik irrasyonel sayı” denir.
1.10.2. Teorem
Bir
α
kuadratik irrasyonel sayısının sonsuz sürekli kesrinin pür-
periyodik olması için gerek ve yeter koşul α nın indirgenmiş olmasıdır ([24]).
1.10.3. Teorem
d kare çarpansız bir tamsayı olsun. α kuadratik irrasyonel sayısının
sonsuz sürekli kesre açılımı;
α = d ise, < qo , q1,..., 2q o >
α=
1+ d
ise, (α ≥ 7 için)
2
< qo , q1,..., 2q o − 1 >
biçimindedir (Hasse [5]).
1.10.5. Tanım
α = a + b d kuadratik irrasyonel sayı olsun. d ≡ 1 (mod 4) ise ∆ = d ,
d ≡ 2, 3 (mod 4) ise ∆ = 4d biçimindeki ∆ > 0 sayısına “ α nın diskriminantı”
denir.
1.10.6. Tanım
ξ, η
reel sayıları için ad − bc = m1 (a,b, c, d∈ Z) olmak üzere ξ =
aη + b
cη + d
sağlanıyor ise ξ ve η ya “denk sayılar denir” ve ξ ~ η ile gösterilir.
i) ξ ve η gibi iki irrasyonel sayının denk olması için gerek ve yeter şart
bunların sürekli kesre açılımlarının sonlu adımlardan sonra tamamen aynı
olmasıdır ([14]).
ii) Bütün irrasyonel sayılar birbirine denktir ([24]).
iii) Denk kuadratik irrasyonel sayıların diskriminantı eşittir.
iv) Her kuadratik irrasyonel sayı ayrı diskriminanta sahip bir indirgenmiş
kuadratik irrasyonel sayıya denktir.
v) ξ ve η
indirgenmiş iki irrasyonel sayı olsun. Aşağıdaki denk
koşullardan biri sağlanır ise ξ ~ η dır.
a) ξ =
aη + b
, ad − bc = m1 (a, b, c, d∈ Z)
cη + d
b) ξ =< qo , q1,..., qm−1, η > , qi ∈ Z +
i=0,.......m-1
c) η =< p o , p1,..., p n−1, ξ > , p i ∈ Z +
i=0,.......n-1
II. BÖLÜM
TEMEL BİRİMİNİN NORMUNUN -1 OLMASI DURUMUNDA SINIF
SAYISI TEK SAYI OLAN REEL KUADRATİK SAYI CİSİMLERİNİN
İNVARYANT DEĞERLER YARDIMIYLA BELİRLENMESİ
Temel birimin normuna bağlı olarak, belirli tipteki reel kuadratik sayı
cisimlerinin sınıf sayılarının belirlenmesi için, R. A. Mollin - H. C. Williams, S.
Katayama, H. Yokoi, H. Taya - N. Terai, H. K. Kim, M, - G. Leu – T. Ono çeşitli
yöntemler geliştirmişlerdir. 1990 yılında Shin-Ichi
Katayama ve Shigeru
Katayama dirichlet sınıf sayısı formülünü kullanarak temel birimin normu -1
olup sınıf sayısı 1, 3 ya da 5 olan reel kuadratik sayı cisimlerini belirlemişlerdir
([8]). 1998 yılında F. Karaali ve H. İşcan temel birimin normunun +1 olması
durumunda 1 ≤ u ≤ 100 için invaryant değerler yardımıyla sınıf sayısı 1 veya 2
olan reel kuadratik sayı cisimlerini belirlemişlerdir ([7]).
Bu bölümde, D kare çarpansız bir tamsayı,
εD =
t +u D
> 1 , Q( D )
2
reel kuadratik sayı cisminin temel birimi olmak üzere, temel birimin normunun
-1 olması durumunda 1 ≤ u ≤ 100 için D nin uygun bir değeri hariç sınıf sayısı
tek sayı olan reel kuadratik sayı cisimlerinin belirlenmesi amaçlanmıştır.
Burada N (ε D ) = −1 olan reel kuadratik sayı cismi k = Q( D ) , k cisminin
sınıf sayısı hk, diskriminantı dk, kronecker karakteri χ k ile gösterilecektir.
Ayrıca, N : Q( D ) → Q norm fonksiyonu, [x] ile de herhangi bir x
elemanının tam değeri gösterilmektedir.
2.1. Önerme
D kare çarpansız pozitif bir tamsayı olsun. Eğer, t 2 − Du 2 = −4 denklemi
çözülebilir ise, p i ve q j ler mod 4 e göre 1 e denk asal sayılar, ej ler pozitif
tamsayılar ve δ1 , δ 2 , 0 yada 1 olmak üzere, D ve u;
D = 2 δ1 ∏ p i , u = 2 δ2 ∏ q j j
e
i
j
biçiminde asal çarpanlara ayrılır. Ayrıca D ≡ 2 (mod 4) ise t ≡ 0 (mod 2) ,
u ≡ 0 (mod 2) dir.
Kanıt:
t 2 − Du 2 = −4
Pell Denklemi çözülebilir ise t 2 ≡ −4 (mod Du 2 ) ’dir. p,
Du2 nin herhangi bir asal çarpanı olmak üzere t 2 ≡ −4 (mod p) elde edilir.
−4
 = ( −1)
Buradan 1 = 
 p 
u ≡ 0 (mod 4)
u = 4u o , t = 2t o
p −1
2
sağlanırsa
olduğu kullanılarak p ≡ 1 (mod 4) bulunur. Eğer
t 2 − Du 2 = −4
olarak alındığında
denkleminden
t ≡ 0 (mod 2)
olur.
t o2 − 4u o2 = 1 elde edilir. Bu durumda
t o2 ≡ −1 (mod 4) olur. Bu bir çelişki olduğundan u ≡ 0 (mod 2) olmalıdır.
2.2. Önerme
k = Q( D ) cismi için N (ε D ) = −1 iken, sınıf sayısı hk tek sayı ise p,
p ≡ 1 (mod 4) sağlayan bir asal olmak üzere, D = p dir.
Kanıt:
N (ε D ) = −1 olduğundan kuadratik sayı cisimlerinin cins teoreminden h k+ ,
k nın dar anlamda sınıf sayısı hk* bir cinsteki sınıfların sayısı ve t, D nin farklı
asal çarpanlarının sayısı olmak üzere, [5] den h k = h k+ = 2 t −1 hk*
sağlanır.
tek sayı olduğundan 2 t−1 =0 olmalıdır. Bu
hk
t=1 olması sonucunu
∃ p asalı için D = p bulunur. 2.1. Önermeden p ≡ 1mod (4)
vereceğinden
olacağı açıktır.
2.1. Lemma
D kare çarpansız bir tamsayı ve N (ε D ) = −1 olmak üzere,
{
VD = v
0 ≤ v < u 2 , v 2 ≡ −4 (mod u 2 )
{
(V, W) D = (v, w)
v ∈ VD , v 2 + 4 = w.u 2
}}
}}
biçiminde iki küme tanımlansın. Herhangi bir D için,
t = u 2n + v
D = u 2n 2 + 2vn + w
olacak biçimde tek şekilde tanımlanan n ∈ No = N ∪ {0} ve (v, w) ∈ (V, W) D
D 
değerleri vardır. Özel olarak u > 2 ise 0 ≤ w < v < u 2 ve   = n dir ([31]).
t
Kanıt:
D − = { D∈ D
N (ε D ) = −1 }
temel biriminin normu -1 olan tüm
Q( D ) cisimlerini belirleyen kare çarpansız tamsayılarının kümesini göstersin.
 t 
Herhangi bir D ∈ D − için  2  = n ve t = u 2n + v alınırsa, bu durumda
u 
n
ve
v
sayıları n ∈ No , 0 ≤ v < u 2 olacak biçimde tek şekilde tanımlanır.
Buradan,
Du 2 = t 2 + 4 = (u 2n + v) 2 + 4 = u 4 n 2 + 2u 2nv + v 2 + 4
ve
v 2 + 4 ≡ 0 (mod u 2 )
bulunur. Bu da
v ∈ VD
olduğunu gösterir. v 2 + 4 = wu 2 alınırsa, w da tek
şekilde tanımlanmış olacağından (v, w) ∈ (V, W) D olacaktır. Ayrıca,
Du 2 = t 2 + 4 = (u 2n + v) 2 + 4 = u 4 n 2 + 2u 2nv + v 2 + 4
ve v 2 + 4 ≡ 0 (mod u 2 )
v2 + 4
ifadelerinden D = u n + 2nv +
= u 2n 2 + 2nv + w elde edilir.
2
u
2
2
u > 2 durumunda,
0 ≤ v < u2
eşitsizliğinden
w.u 2 = v 2 + 4 < u 4 + 4
olacağından w ≤ u 2 olduğu görülür. w = u 2 alınırsa, v 2 + 4 = wu 2 ifadesinden
u 4 − v 2 = 4 , (u 2 − v)(u 2 + v) = 4 olur. Bu ise u > 2 durumuyla çelişir. Öyleyse
0 ≤ w < u 2 olmalıdır. g(x) = − x 2 + u 2 x − 4 polinomu göz önüne alınırsa,
g(1) = −1 + u 2 − 4 = u 2 − 5 > 0
ve
g(w) = − w 2 + u 2 w − 4, g(w) = v 2 − w 2 > 0 , w 2 < v 2 , w < v
bulunur. O halde,
0 ≤ w < v < u2
eşitsizliği gerçeklenir.
Sonuç olarak, t = u 2n + v ve D = u 2n 2 + 2vn + w olduğu kullanılarak
D = u 2n 2 + vn + vn + w = tn + vn + w
olarak yazılabilir. Buradan
vn + w 
 D   tn + vn + w  
= n +
t=

t
t 
  
 
bulunur. w + vn > 0 ve
t − (vn + w) = t − vn − w = u 2n + v − vn − w = n(u 2 − v) + v − w > 0
olduğundan,
D 
t  =n
 
elde edilir.
2.2. Lemma (Tatuzawa)
0<α<
1
2
dk ≥ max{ e1 α , e11.2
sağlayan
}
herhangi
bir
α
gerçel
sayısı
için
dk ,
sağlayan bir pozitif tamsayı ve χ d , modülü dk olan esas
olmayan primitif bir karakter olsun. Bu durumda χ d karakterine karşılık gelen
L(s, χ d )
L-fonksiyonunun s = 1 noktasındaki değeri için, dk nın uygun bir
değeri hariç,
L(1, χ d ) > 0,655 (
α
dk
α
)
eşitsizliği sağlanır ([27]).
2.3. Önerme
D
kare çarpansız bir tamsayı olmak üzere Q( D ) cisminin temel
biriminin normu N (ε D ) = −1 ise t < ε D < u D ve u ≠ 2 ise ε D < D sağlanır.
Kanıt:
εD =
t+u D
> 1 temel biriminin normu N (ε D ) = −1 ise t 2 − Du 2 = −4 dir.
2
t 2 = Du 2 − 4 ⇒ t = Du 2 − 4 < u D
Bu durumda,
εD =
t +u D u D +u D
<
=u D
2
2
olur ve buradan
eşitsizliği gerçeklenir.
u = 1 için ;
t 2 − Du 2 = t 2 − D = −4 ⇒ t 2 = D − 4
⇒ t2 < D
⇒ t< D
olur. Bu durumda,
t
t
= t < D olduğundan 2 ≥ 1 olarak elde edilir.
2
u
u
u > 2 için 2.1.Lemma’dan 0 ≤ w < u 2 ve t = u 2n + v olduğu kullanılarak
t
v
t
v
t
= n + 2 yazılır. n ≠ 0 olduğundan 2 − n = 2 < 1 olur. Buradan da 2 > 1
2
u
u
u
u
u
olduğu görülür.
t 2 − Du 2 = −4 denklemi
t2
4
2
2
= D − 2 = (D − )(D + ) biçiminde yazılırsa,
2
u
u
u
u
D > t.
t
1
>D−
2
2
u
eşitsizliği elde edilir. u=1 için
(2.1)
t
t
≥ 1, u > 2 için 2 > 1 ve (2.1) eşitsizliğinden
2
u
u
t < D bulunur. Ayrıca u ≠ 2 durumunda t 2 + 4 = Du 2 ifadesinde t<D alınırsa
Du 2 < D 2 + 4 , Du 2 < D 2 buradan da u D < D elde edilir. Sonuç olarak,
t < εD < u D
ve
u D < D olduğundan ε D < D
eşitsizliği gerçekleşmiş olur.
2.3. Lemma (Davenport-Ankeny-Hasse-Ichimura)
D > 1 kare çarpansız rasyonel bir tamsayı ve ε D =
t+u D
> 1, Q( D )
2
cisminin temel birimi olsun. m > 1 doğal sayısı için,
x 2 − Dy 2 = m4m
diophantine denkleminin en az bir aşikar olmayan çözümü varsa,
 t
 u 2 , N (ε D ) = −1
m≥
t−2
 2
, N (ε D ) = 1
 u
sağlanır ([20]).
2.4. Önerme
m tek, pozitif bir tamsayı olmak üzere, sabit bir u elemanı için, hk > m
olacak biçimde bir c gerçel sayısı ve temel birimin u değerine bağlı n ≥ ν (u)
olduğunda hk > m sağlayan bir ν (u) gerçel sayısı vardır. (D nin uygun bir
değeri hariç)
Kanıt:
Dirichlet sınıf sayısı formülünden, y ≥ 11,2 gerçel sayısı ve dk ≥ e y
sağlayan dk nın uygun bir değeri hariç, L(1, χ k ) >
0,655 −1/y
dk
olduğundan,
y
dk
0,655 d k .dk
hk =
.L(1, χ k ) >
2logε D
2ylogε D
−1/y
eşitsizliği elde edilir.
N (ε D ) = −1 durumunda, ε D < u D ve D ≡ 1 (mod 4) iken, D = dk olduğu
kullanılarak,
1/2 −1/y
0,655.d k
hk >
y(2logu + logdk )
eşitsizliği elde edilir. Özellikle dk = e y için
f(logu , y ) =
0,655.e y −2/2
olarak ele alındığında y ≥ 11.2 için
2ylogu + y 2
f(logu , y )
fonksiyonunun monoton artan bir fonksiyon olduğu görülür.
c
−1
0,655.e 2
f(logu , c ) =
≥ m eşitsizliğinden c gerçel sayısının alacağı en
2clogu + c 2
küçük ve en büyük değerler ;
1 ≤ u ≤ 100 olmak üzere,
hk > f(logu, c) =
c
−1
2
0,655.e
0,655.e
=
c(2log1 + c)
c2
c
c
−1
2
≥m
c
−1
(2.2)
−1
0,655.e 2
0,655.e 2
h k > f(logu, c) =
=
≥m
c(2log100 + c) 9,21c + c 2
(2.3)
eşitsizliklerinden bulunur. Aynı zamanda,
t 2 − Du 2 = −4
ifadesinde n
t = Du 2 − 4
bulunacağından
t
Du 2 − 4
=
u2
u2
elde edilir. Buradan e c ≤ D = dK = u 2 + 2vn + w olduğu kullanılarak
t
u2ec − 4
≥
u2
u2
eşitsizliğine ulaşılır. (2.3) den
(2.4)
c
2
0,655.e
≥m ⇒
e(9,21c + c 2 )
m(9,21c + c 2 )
e ≥
0,24
c
⇒ ec ≥
m 2 (9,21c + c 2 ) 2
0,0576
eşitsizliği elde edilir.
Bu eşitsizlik kullanılarak,
t
≥
u2
u2ec − 4
≥
u2
=
u 2 (9,21c + c 2 ) 2 m 2
−4
0,0576
u4
(9,21c + c 2 ) 2 m 2 4
− 4
(0,0576)u 2
u
(2.5)
olduğu görülür. (2.4) ve (2.5) eşitsizliklerinden
t
=
u2
elde edilir. ν (u) =
(9,21c + c 2 ) 2 m 2 4
− 4
(0,0576)u 2
u
t
olarak alınırsa, ν (u) invaryant değeri
u2
ν (u) =
(9,21c + c 2 ) 2 m 2 4
− 4
(0,0576)u 2
u
olacaktır.
Buradan, n ≥ ν (u) sağlayan n değerleri için hk > m olduğu sonucuna
ulaşılır.
O halde n ≥ ν (u) olan n değerleri için h k > m (m: tek sayı) olduğundan
0 ≤ n < ν(u) =
(9,21c + c 2 ) 2 m 2 4
− 4
(0,0576)u 2
u
invaryant değeri için D = u 2n 2 + 2vn + w
olmak üzere, K = Q( D ) cisimlerinin sınıf sayısı tek sayı olabilir.
2.4. Lemma
D > 1 kare çarpansız bir tamsayı ve q ≠ 2 bir asal olsun. Bu durumda
aşağıdaki koşullar denktir,
i)
e, x 2 − Dy 2 = m4q e denklemi en az bir tam çözüme sahip olacak
biçimdeki en küçük tamsayıdır.
D
ii)   = 1 dir ve e doğal sayısı Q( D ) nin ideal sınıf grubunda q
q
nun q1 , q 2 (q1 ≠ q 2 ) asal çarpanlarının mertebesidir ([20]).
2.5. Lemma
D > 1 kare çarpansız bir tamsayı, q,
Q( D ) cisminin ideal sınıf grubunda q
D
  = 1 olan bir tek asal ve e,
q
nun q i (i = 1, 2) asal çarpanlarının
mertebesi olsun. Bu durumda x 2 − Dy 2 = m4q e Diophantine denklemi en az bir
tam çözüme sahiptir.
Kanıt:
D
  = 1 olduğundan
q
q1 = q, q e = (w) ve w =
q e =N(q) e =
q = q1 .q 2
biçiminde asal çarpanlarına ayrılır.
x+y D
biçiminde alındığında,
2
x 2 − Dy 2
4
olduğu görülür ve böylece x 2 − Dy 2 = m4q e denklemi bir tam çözüme sahiptir.
2.5. Önerme
k = Q( D ) reel kuadratik sayı cisminin sınıf sayısı h k = m gibi bir tek
D
sayı ise ve q   = 1 sağlayan bir tek asal ise qm ≥ n dir.
q
Kanıt:
D
  = 1 olduğundan x 2 − Dy 2 = m4q e Diophantine denkleminin aşikar
q
D
olmayan en az bir tam çözümü vardır.   = 1 olduğundan q = q1 .q 2 biçiminde
q
asal çarpanlarına ayrılır.
q1 = q, q e = (w) ve w =
q e =N(q) e =
x+y D
biçiminde alındığında,
2
x 2 − Dy 2
4
olduğu görülür. Buradan x 2 − Dy 2 = m4q e denkleminin bir çözüme sahip olduğu
çıkar. N (ε D ) = −1 olduğundan 2.3. Lemmadan q e ≥
t
olur. qhk ≥ q e olduğuna
2
u
göre qhk ≥
t
t
yazılır. u = 1 ise t = n olur ve hk = m den qm ≥ 2 = n sağlanır.
2
u
u
u=2 için
t=4n dir
ve
qm ≥
t
4n
=
= n eşitsizliği de sağlanır. u > 2 için
2
4
u
t = u 2n + v ve 0 ≤ w < v < u 2 olduğu kullanılarak qm ≥
t
u 2n + v
v
=
= n + 2 olur.
2
2
u
u
u
v
≤ 0 olduğundan qm ≥ n eşitsizliği elde edilir.
u2
2.1. Teorem
N (ε D ) = −1 durumunda 1 ≤ u ≤ 100 için hk = 3 olan D nin uygun bir
değeri hariç, 31 tane k = Q( D ) reel kuadratik sayı cismi vardır.
Kanıt:
2.2. Önermede verilen yöntemler m tek sayısı olarak m=3 alındığında,
n ≥ ν (u)
olan
n
değerleri
için
hk > 3
olacağından
eşitsizliğinden c ≥ 16.18007 olduğu kullanılarak,
h k > f(logu, c) ≥ 3
ν(u) ≥
ifadesinden ν (u) =
u2ec − 4
u 2 e16.18007 − 4
≥
=
u2
u2
e16.18.007
4
− 4
2
u
u
(3261) 2 4
− 4 alınabilir. Öyleyse,
u2
u
(3261) 2 4
0 ≤ n < ν (u) =
− 4
u2
u
eşitsizliğini sağlayan n değerleri için
D = u 2n 2 + 2vn + w
olmak üzere,
k = Q( D ) reel kuadratik sayı cisminin sınıf sayısı h k = 3 olabilir.
Buna göre; hk = 3 ise,
i) p ≡ 1 (mod 4) olmak üzere, D = p asaldır.
D
ii)   = 1 olan bir q tek asal değeri için q3 ≥ n ’dir. (2.5.Önermenin
q
kanıtına benzer olarak elde edilir.)
iii) 0 ≤ n < ν (u) =
(3261) 2 4
− 4
u2
u
koşulları sağlandığından bu biçimdeki D değerleri bu kısmın sonunda verilmiş
olan bilgisayar programı ve Y. Kida’nın UBASIC86 [10] programı kullanılarak
tespit edildikten sonra 1 ≤ u ≤ 100 sağlayan u değerleri için D nin uygun bir
değeri hariç h k = 3 sağlayan 31 tane reel kuadratik sayı cismi elde edilmiştir.
Bu teoremi sağlayan u, v, w, n ve D değerleri 2.1.Tablo ile verilmektedir.
N (ε D ) = −1 durumunda sınıf sayısı hk = 3 olan bu cisimler arasında
H.Yokoi’nin [31], S-I, S-G Katayama’nın [8,9] çalışmalarında belirlediği
cisimlerde bulunmaktadır. Bunlar2.1.Tabloda sırasıyla *, ● ve ▲ sembolleriyle
belirtilmiştir.
Tabloda,
hiçbir
sembolle
belirtilmeyen
cisimler
literatürde
rastlamadığımız bu yöntemle elde edilmiş yeni cisimlerdir. Ancak bunlar başka
bir yöntemle önceden belirlenmiş de olabilir.
2.1.Tablo
u
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
5
5
5
5
10
10
10
13
25
29
34
58
50
65
65
65
73
82
82
v
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
4
0
4
0
4
0
4
11
14
14
14
36
36
64
140
261
82
76
1600
2136
1661
3689
3689
3777
5968
5968
w
n
4
15
5
14
4
27
5
26
4
35
5
34
4
37
5
36
4
47
5
46
4
67
5
66
4
73
5
72
4
97
5
96
1
8
5
7
1
27
5
26
1
37
5
36
1
47
5
46
5
26
8
13
8
15
8
23
13
4
13
10
41
9
116
5
109
4
8
3
5
2
761
0
1825
1
653
2
3221
0
3221
2
2677
0
5297
0
5297
1
( h k = 3 , N (ε D ) = −1 )
D
229
*●
733
*●
1229
*●
1373
*●
2213
*●
4493
*●
5333
●
9413
*●
257
*●
2917
*●
5477
●
8837
●
17477
4597
6053
13877
1901
10733
9293
5741
12197
8069
4933
761
8597
24197
3221
34877
2677
5297
23957
*
*▲
▲
▲
▲
*▲
▲
▲
*▲
▲
*▲
▲
▲
2.2. Teorem
N (ε D ) = −1 durumunda 1 ≤ u ≤ 100 için h k = 5 olan, D nin uygun bir
değeri hariç 23 tane k = Q( D ) reel kuadratik sayı cismi vardır.
Kanıt:
2.1 Teoreminin kanıtına benzer olarak 2.3.Önermede m = 5 alındığında,
n ≥ ν (u)
olan n değerleri için
k = Q( D )
olacağından
h k > f(logu, c) ≥ 5
eşitsizliğinden c ≥ 17.5201 olduğu kullanılarak,
ν(u) ≥
u2ec − 4
u 2 e17.5201 − 4
≥
u2
u2
(6374) 2 4
ifadesinden, ν (u) , ν (u) =
− 4
u2
u
olarak alınabilir. O halde 0 ≤ n ≤ ν(u)
eşitsizliğini sağlayan n değerleri için D = u 2n 2 + 2vn + w olmak üzere k = Q( D )
reel kuadratik sayı cisminin sınıf sayısı hk = 5 olabilir.
Buna göre, h k = 5 ise,
i) p ≡ 1 (mod 4) asal olmak üzere, D = p dir.
D
ii)   = 1 olan bir q tek asal değeri için q5 ≥ n dir. (2.5. Önermenin
q
kanıtına benzer olarak elde edilir.)
(6374) 2 4
iii) 0 ≤ n < ν (u) =
− 4
u2
u
koşulları sağlandığından bu biçimdeki D değerleri aynı bilgisayar programında
katsayılar değiştirilmek suretiyle tespit edilmiş ve 1 ≤ u ≤ 100 sağlayan u
değerleri için D nin uygun bir değeri hariç 23 tane reel kuadratik sayı cismi
elde edilmiştir. Bu teoremi gerçekleyen u, v, w, n ve D değerleri 2.2.Tablo ile
verilmektedir.
N (ε D ) = −1 olmak üzere, sınıf sayısı hk = 5 olan cisimleri belirledikten
sonra bunların içinde H.Yokoi’nin [31], S-I, S-G Katayama’nın [8] ve [9]
çalışmalarındaki cisimlerin de aynen elde edildiği gözlenmiştir. Bunlar
2.2.Tabloda *, ● ve ▲ sembolleriyle belirtilmiştir. Aynen h k = 3 probleminde
olduğu gibi, hiçbir sembolle belirtilmemiş olan cisimler bu çalışma sonucunda
belirlenmiş cisimler olup, literatürde gözlemediğimiz ancak önceden belirlenme
ihtimalinin de olabileceği yeni cisimlerdir.
2.2.Tablo
u
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
5
5
5
13
26
58
61
65
85
97
v
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
11
11
29
140
1600
1364
536
2236
1305
w
4
4
4
4
4
4
4
4
1
1
1
1
1
5
5
5
5
29
761
500
68
692
181
( h k = 5 , N (ε D ) =
n
33
57
85
103
115
137
167
193
10
33
55
73
103
18
32
54
12
8
3
1
5
3
2
−1 )
D
1093
3253
7229
10613
13229
18773
27893
37253
401
4357
12101
21317
42437
8501
26309
74093
25037
45533
40637
6949
111053
79133
43037
*●
*●
●
●
●
●
●
●
*●
*●
●
●
●
▲
▲
▲
▲
▲
▲
III. BÖLÜM
p = [(2n + 1)q] 2 m 1 İÇİN x 2 − py 2 = m q DENKLEMİNİN
ÇÖZÜLEBİLİRLİĞİ VE K = Q( p ) CİSMİNİN SINIF SAYISI
K = Q( p ) reel kuadratik sayı cismi hK, K cisminin sınıf sayısı olsun.
Ankeny, Chowla, Hasse p = (2nq) 2 + 1
olduğunu kanıtlamışlardır ( [1] ).
asalı için
S.-D.Lang,
(q: asal, n> 1),
p = [(2n + 1) q] 2 + 4
asalı
hK>1
için
(q: tek asal, n ≥ 1) hK>1 olacağını kanıtlamıştır ( [12] ). 1983 yılında Yokoi
p = [(2n + 1) q] 2 m 2 asalı ve q tek asalı için
x 2 − py 2 = m q diophantine
denkleminin çözümüne bağlı olarak K = Q( p ) cisminin sınıf sayısını veren
bazı kriterler elde etmiştir ([37]) .
Bu bölümde, Yokoi’nin bu çalışmasından ve yukarıdaki çalışmalardan
faydalanılarak, n ≥ 0 ve q tamsayılar olmak üzere p = [(2n + 1) q] 2 m 1 kare
çarpansız tamsayı için x 2 − py 2 = m q denkleminin çözülebilirliği incelenerek
elde edilen kriterler yardımıyla K = Q( p ) cisminin sınıf sayısının 1 olması için
bir teorem verilecektir.
3.1. Tanım
D>1 kare-çarpansız tamsayısı ve m>1 tamsayısı için m = s 2 ve
x o ≡ y o ≡ 0 (mod s) ise ( x o , y o ) a
x 2 − Dy 2 ≡ m4m diophantine denkleminin
“aşikar tam çözümü” denir. Denklemin bu çözümünden farklı çözümleri “aşikar
olmayan tam çözümler” olarak adlandırılır.
3.1. Teorem
p ve q farklı tek asallar olsun. Bu durumda x 2 − py 2 = m q diophantine
denkleminin tamsayılarda en az bir çözümünün olması için gerek ve yeter koşul
q
nun
Q( p )
cisminde q = q. q ′ ( q ≠ q ′ , Nq = Nq ′ = q , q = (w) , q ′ = (w ′) )
biçiminde esas asal ideallere ayrışmasıdır. Burada w, w ′∈ Q( p ) dir
Kanıt:
Yokoi’nin [37 ] çalışmasından yararlanılarak yapılacaktır. x 2 − py 2 = m q
denkleminin tamsayılarda bir (u, v) çözümü varsa, u 2 − pv 2 = m q ifadesinden
u 2 ≡ pv 2 ( mod q ) sağlanır. Buradan
 pv 2   p 

 =   = 1 elde edilir. Kuadratik
 q   q 


cisimlerdeki parçalanma kurallarından q, Q( p ) de tamamen parçalanır. Bu
parçalanış;
m q = (u + v p )(u − v p )
biçimindedir. Burada
q = (u + v p )
ve
q ′ = (u − v p )
Q( p ) cisminde birinci dereceden esas asal ideallerdir. Ayrıca Nq = q . q ′ = q
eşitliği sağlanır.
Tersine, q, Q( p ) cisminde q
w = u + v p , w′ = u − v p
ve q ′ gibi esas ideallere ayrışıyorsa,
olacak biçimde u, v rasyonel tamsayıları vardır.
w, w ′ ∈ Q( p ) olmak üzere, q = (w) ve q ′ = (w ′) olacaktır. Böylece,
q = q. q ′ = Nq = N (w) = u 2 − pv 2
eşitliğinden x 2 − py 2 = m q denkleminin tamsayılarda en az bir çözüme sahip
olduğu görülür.
3.1. Lemma
l, m
pozitif
tamsayılar
ve m tamkare olmasın. Bu durumda
m ≥ 2l olmadıkça u 2 − (l 2 + 1)v 2 = mm
denkleminin tamsayılarda çözümü
yoktur ([12]).
3.1. Önerme
p kare çarpansız bir tamsayı ve q, p = [(2n + 1)q]2 − 1 (n ≥ 0) sağlayan
bir çift tamsayı olsun. Bu durumda, x 2 − py 2 = m q denkleminin en az bir
çözüme sahip olması için gerek ve yeter koşul p = 3 olmasıdır.
Kanıt:
p = [(2n + 1)q]2 − 1 kare çarpansız tamsayısı için, q, bir tek tamsayı ise
p ≡ 0 (mod 4) olacağından bu p nin seçimiyle çelişir. q bir çift tamsayı ise
p ≡ 3 (mod 4) olur. Özel olarak, p asal bir sayı ise, l = (2n + 1)q
alındığında,
p = l 2 − 1 = (l − 1)(l + 1) olur. p asal olduğundan, l − 1 = 1, l + 1 = p ifadelerinden
p = 3 ve l = 2 bulunur. Bu da q = 2 olmasıdır.
p = [(2n + 1)q]2 − 1 kare çarpansız tamsayısı ve q çift tamsayısı için
x 2 − py 2 = q
denklemini
gözönüne
alarak,
tamsayılarda
bir
en
küçük
(x, y) = (u, v) çözümünün varolduğunu varsayalım. Bu durumda, u 2 − pv 2 = q
olacaktır.
q > v 2 ise;
q = u 2 − l 2 v 2 + v 2 ifadesinden q − v 2 = (u − lv)(u + lv) > 0 olur. a = u − lv ,
b = u + lv pozitif tamsayılardır. Bu tamsayılar kullanılarak elde edilen
l=
b−a
, q = ab + v 2 ifadeleri ve (a − 1)(b + 1) = ab + a − b − 1 ≥ 0 , ab − 1 ≥ b − a
2v
eşitsizliğinden,
≤
1
(ab − 1 − 2vab − 2v 3 )
2v
≤−
1
((2v 3 + 1) + (2v − 1)ab) < 0
2v
bulunur. Bu da çelişkidir.
q ≤ v 2 durumunda, Q( p ) nin temel birimi ε = l + l 2 − 1 in normu
1= N (ε ) = N (l + l 2 − 1) = 1, q = N (u − v l 2 − 1) = u 2 − pv 2 ile çarpıldığında,
q = N ((lu − v l 2 − 1) + u l 2 − 1 − v( l 2 − 1))
q = (lu − v l 2 − 1) 2 − (u − lv) 2 (l 2 − 1)
elde edilir.
v
nin minimal seçiminden
u − lv ≥ v olacağından u − lv ≥ v yada
lv − u ≥ v olur.
u − lv ≥ v ise u ≥ (l + 1)v olduğu kullanılarak,
q = u 2 − (l 2 − 1)v 2 ≥ (l + 1) 2 v 2 − (l 2 − 1)v 2 = (2l + 2)v 2
q ≥ (2l + 2)v 2 eşitsizliği elde edilir ki bu q ≤ v 2 seçimiyle çelişir.
lv − u ≥ v iken (l − 1)v ≥ u olacağından,
q = u 2 − (l 2 − 1)v 2 ≤ (l − 1) 2 v 2 − (l 2 − 1)v 2 = (2 − 2l )v 2 = −2v 2 (l − 1) <0
bulunur. l ≥ 1
için q ≤ −2v 2 (2l − 1) eşitsizliği de
q ≤ v 2 ile çelişir. O halde
x 2 − py 2 = q denkleminin tamsayılarda çözümü yoktur.
x 2 − py 2 = −q denklemi alınarak tamsayılardaki en küçük çözümünün
(x, y) = (u, v)
olduğu varsayılırsa,
u 2 − pv 2 = −q
olur. Burada
v = 1 ise
u 2 − (l 2 − 1)v 2 = u 2 − l 2 + 1 = −q iken u 2 − l 2 = −q − 1 bulunur. q en küçük çift
tamsayı olarak yani; q = 2 alındığında, u 2 − l 2 = −3 ⇒ (u − l )(u + l ) = −3 olur.
u+ l = 3,
u − l = −1 eşitliklerinden u = 1, l = 2 ve p = 3 bulunur. Bu da
önermenin ifadesindeki uygun durumdur.
q = 2, v > 1 ve q > 2, v ≥ q
durumlarında Q( p ) nin temel biriminin
normu, − q = N (u − v l 2 − 1) = u 2 − pv 2 ile çarpıldığında v nin minimal seçimi
ile,
lv − u ≥ v elde edilir. lv − u ≥ v iken (l − 1)v ≥ u
olduğu kullanılarak,
− q = u 2 − (l 2 − 1)v 2 ≤ (l − 1) 2 v 2 − (l 2 − 1)v 2
= 2v 2 (1 − l )
= −2v 2 (l − 1)
bulunur. Buradan, q ≥ 2v 2 (l − 1) olur. Bu ise her iki durumla da çelişir.
u − lv ≥ v iken u ≥ v( l + 1) olduğu kullanılarak,
− q = u 2 − (l 2 − 1)v 2 ≥ (l + 1) 2 v 2 − (l 2 − 1)v 2 = v 2 (2l + 2)
eşitsizliği elde edilir. Bu da bir çelişkidir.
q>2 , v<q olsun.
- q = u 2 − (l 2 − 1)v 2 = u 2 − l 2 v 2 + v 2 ⇒ q + v 2 = (lv − u)( lv + u) > 0
lv − u = a ,
lv + u = b
pozitif tamsayılardır. Bu ifadelerden
l=
a+b
,
2v
q = ab − v 2 sağlanır. a ≥ 1 , b ≥ 1 iken ab + 1 ≤ a + b olduğunu kullanılarak;
0 ≤ 2nq = l − q =
a+b
1
− ab + v 2 =
(a + b − 2vab + 2v 3 )
2v
2v
1
(ab + 1 − 2vab + 2v 3 )
2v
1
=
((2v 3 + 1) − (2v − 1)ab)
2v
≤
elde edilir.
2v 3 + 1
Buradan da ab ≤
eşitsizliği gerçeklenir ve
2v − 1
ve
q = ab − v 2 ≤
2v 3 + 1
v2 +1 v
v+2
− v2 =
= +
2v − 1
2v − 1 2 2(2v − 1)
bulunur.
Eğer v=1 yada v=2 ise q ≤
durumunda
q≤
0≤
v+2
≤1
2v − 1
5
olur. Bu ise bir çelişkidir. v>2 olması
3
eşitsizliğinden
2q = v +
v+2
≤ v +1
2v − 1
yani,
v +1
olur ki bu da q>v olması ile çelişir.
2
O halde x 2 − py 2 = m q denkleminin q = 2 ve p = 3 durumunun dışında
tamsayılarda bir çözümü yoktur.
3.2. Önerme
p kare çarpansız bir tamsayı, n ≥ 0 olmak üzere, q, p = [(2n + 1) q]2 + 1
sağlayan pozitif bir tamsayı olsun. Bu durumda
x 2 − py 2 = m q denkleminin
tamsayılarda bir (x,y)=(u,v) çözümü varsa, q ≤ v 2 sağlanır.
Kanıt:
p = [(2n + 1) q]2 + 1 kare-çarpansız tamsayısı için eğer, q bir tek tamsayı
ise p ≡ 2 (mod 4) , q çift tamsayı ise p ≡ 1(mod 4) olacaktır.
x 2 − py 2 = m q denkleminin çözümü için, q ≠ a 2 (∀a ∈ Z + ) alınırsa, 3.1.
Lemmadan q ≥ 2(2n + 1)q çelişkisi ortaya çıkar. Bu durumda denklemin aşikar
olmayan tam çözümünün olmadığı açıktır. Öyleyse, q = a 2 olması durumunda
çözüm aranabilir.
p = [(2n + 1) q]2 + 1 kare-çarpansız tamsayısında l = (2n + 1)q alınırsa,
p = l 2 + 1 olur.
Öncelikle, x 2 − py 2 = q denkleminin tamsayılarda en az bir (x, y) = (u, v)
çözümünün olduğu varsayılırsa, u 2 − pv 2 = q elde edilir.
q > v 2 ise;
q = u 2 − (l 2 + 1)v 2 = u 2 − l 2 v 2 − v 2 ⇒ q + v 2 = (u − lv)(u + lv) > 0 ve u − lv = a ,
u + lv = b pozitif tamsayılardır. Bu ifadelerden l =
b−a
, q = ab − v 2 sağlanır.
2v
b − a ≤ ab − 1 olduğunu kullanarak;
0 ≤ 2nq = l − q =
b−a
1
− ab + v 2 =
(b − a − 2vab + 2v 3 )
2v
2v
1
(ab − 1 − 2vab + 2v 3 )
2v
1
=
((2v 3 − 1) − (2v − 1)ab)
2v
≤
bulunur.
Buradan da ab ≤
2v 3 − 1
eşitsizliği gerçeklenir.
2v − 1
2v 3 − 1 2 v
v−2
v +1
q = ab − v ≤
−v = +
≤
2v − 1
2 2(v − 1)
2
2
q≤
eşitsizliğinden
v +1
çıkar, bu da q > v 2 seçimiyle çelişir.
2
q ≤ v2
durumunda
Q( p )
nin
temel
birimi
ε
nun
normu,
N (ε ) = N (l + l 2 + 1) = −1 ifadesinin karesi, q = N (u − v l 2 + 1) ile çarpılırsa,
q = N (u − v l 2 + 1).N (2l 2 + 1 + 2l l 2 + 1)
= (u 2 + 2ul 2 − 2lv( l 2 + 1)) 2 − (2l 2 v − 2ul − v) 2 (l 2 + 1)
eşitliği elde edilir. v nin minimal seçiminden,
2l 2 v − 2ul − v ≥ v
dir. Buradan,
2l 2 v − 2ul − v ≥ 0
ise
2l 2 v − 2ul − v ≥ v
2l 2 v − 2ul − v < 0
ise
2ul + v − 2l 2 v ≥ v
ya da
yazılabilir.
2l 2 v − 2ul − v ≥ v
ul ≤ v( l 2 − 1)
ise
olur. Buradan
q = u 2 − (l 2 + 1)v 2 ⇒ l 2 q = l 2u 2 − (l 2 + 1)v 2 ≤ v 2 (l 2 − 1) 2 − (l 2 + 1)v 2 l 2
= v 2 (1 − 3l 2 )
bulunur.
l ≥ 1 iken 1 − 3l 2 < 0 olur ki bu bir çelişkidir.
2ul + v − 2l 2 v ≥ v
u ≥ lv
ise
olur. Buradan,
q = u 2 − (l 2 + 1)v 2 ≥ l 2 v 2 − (l 2 + 1)v 2 = − v 2
yani, q ≥ −v 2 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik ise tüm q ve v değerleri için
doğrudur.
Şimdi de x 2 − py 2 = −q denklemi alınarak tamsayılarda en az bir
(x, y) = (u, v) çözümüne sahip olduğu varsayıldığında;
q > v 2 durumunda,
− q = u 2 − (l 2 + 1)v 2 ⇒ q − v 2 = l 2 v 2 − u 2 = (lv − u)( lv + u) > 0
sağlanır. Burada a = lv − u > 0, b = lv + u > 0 rasyonel tamsayılardır. a ile b
ifadelerinden l =
b+a
, q = ab + v 2
2v
0 ≤ 2nq = l − q = −
1
2v
2
ve a + b ≤ ab + 1 olduğu kullanılarak,
((2v 3 − 1) + (2v − 1)ab) < 0
bulunur ki bu da çelişkidir.
q = v 2 alınırsa, 3.1.Tanımdan u ≡ v ≡ 0 (mod v) olacağından x 2 − py 2 = m q
denkleminin aşikar bir tam çözümü vardır.
q < v 2 durumunda,
N (l + l 2 + 1) = N (ε ) = −1
normunun karesi ile
N (u + v l 2 + 1) = −q
normu çarpıldığında,
− q = (u + 2ul 2 − 2lv( l 2 + 1)) 2 − (2l 2 v − 2ul − v) 2 (l 2 + 1)
bulunur.
v nin minimal seçiminden, 2l 2 v − 2ul − v ≥ v dir.
2l 2 v − 2ul − v ≥ v ise ul ≤ v( l 2 − 1) ve
buradan
l 2 q ≥ v 2 (3l 2 − 1) sağlanır. l ≥ 1 durumunda
ya da
− l 2 q ≤ v 2 (1 − 3l 2 )
q ≥ 2v 2
eşitsizliği elde
edilir. Bu da q < v 2 seçimiyle çelişir. Eğer − 2l 2 v + 2ul + v ≥ v ise u ≥ lv olur
ve − q = u 2 − (l 2 + 1)v 2 ≥ − v 2 eşitsizliğinden q ≤ v 2
olur ki bu da varsayılan
durumdur. Öyleyse, p = [(2n + 1)q]2 + 1 kare çarpansız tamsayısı için
q ≤ v2
durumunda x 2 − py 2 = m q deklemi tamsayılarda bir çözüme sahip olabilir.
3.1.Sonuç
p = [(2n + 1)q]2 + 1
kare çarpansız tamsayısı için
x 2 − py 2 = m q
denkleminin q ≤ v 2 olmadıkça tamsayılarda çözümü yoktur.
3.2. Teorem
i) p = [(2n + 1)q]2 − 1 (n ≥ 0) kare çarpansız bir tamsayı ve q=2 ise p=3
dışında Q( p ) reel kuadratik sayı cisminin sınıf sayısı hK > 1 dir.
ii) p = [(2n + 1)q]2 + 1 , (n ≥ 0) kare çarpansız tamsayı ve q, q ≡ 1(mod4)
sağlayan bir tek asal olsun. Bu durumda, Q( p ) cisminin sınıf sayısı hK > 1 dir.
Kanıt
i) p = [(2n + 1)q]2 − 1 kare çarpansız tamsayısı ve q=2 için p ≡ 3 (mod 4)
olacağı açıktır. Böylece q=2 tamsayısı Q( p ) cisminde dallanır. Bu durumda
hK = 1
olduğu varsayıldığında,
± 2 = u 2 − pv 2
rasyonel tamsayıları vardır. p nin seçiminden,
olacak biçimde
u
ile
v
d
ç
e
n
ö
k
z
d
•
o
l
•
m
ü
•
l
e
m
m
i
ü
n
d
a
a
d
•
e
n
ü
l
n
d
v
e
a
e
r
o
d
l
d
i
u
l
i
r
•
.
B
u
s
x 2 − py 2 = m q
•
•
n
d
a
n
hK = 1
o
d
o
u
e
l
r
n
n
a
a
d
u
c
k
m
l
a
e
z
a
n
u
ç
m
i
,
d
•
n
k
i
a
n
e
r
n
.
t
a
hK > 1
k
l
A
e
m
n
m
c
s
o
a
a
l
i
n
t
k
y
m
3
•
a
l
a
l
.
r
•
d
m
2
d
•
a
.
a
r
s
Ö
a
n
e
n
y
e
•
r
a
l
a
r
m
z
e
b
i
d
a
d
e
r
e
n
,
n
p
a
=
z
3
b
(
q
i
=
( x, y) = (u, v)
(u, v)
r
2
ç
,
ö
n
z
=
ü
0
m
)
ü
.
p = [(2n + 1)q]2 + 1
p ≡ 1 (mod q)
q ≡ 1(mod4)
den
olur. Buradan
asalı
ii)
p   1
  =   = 1
Q( p )
ω ve ω′
sağlanır. Bu ise q nun
için  q   q 
cisminde
gibi esas
divizörlere ayrışmasıdır. Böylece onun normu,
ℜ(ω ) = q
dur.
hK = 1
olduğu varsayılsın. Böylece
ω ≅ w = u + v p (u, v ∈ Z)
ω
esas divizörü,
olarak yazıldığında,
ℜ(ω) = N(w) = N (u + v p )
eşitliğinden
u 2 − pv 2 = m q
tamsayılarda bir
q t 2 (2n 1)q
qdv
(x, y)
=
(u, v)
elde edilir. Bu da
x 2 py 2
#q
denkleminin
çözümünün olmasıdır. Bu ise hem 3.1. Lemmadan
çelişkisini ortaya çıkardığından
hem de
3.1. Önermedeki
2
olması halinde bir tamsayı çözümünün varolabilceği durumu ile
hK ! 1
çelişeceğinden
dir.