Sistem Dinamiği ve Modellemesi

10.12.2012
Elektriksel Büyüklükler
Elektrik Akımı: Bir iletkenin belirli bir kesitinden birim zamanda
geçen elektrik yükü (elektron)miktarına elektrik akımı denir. Birimi
Amper’dir.
dQ 
C
I
Sistem Dinamiği ve
Modellemesi
A 
dt 
s
Gerilim(elektriksel potansiyel farkı): Serbest elektronları hareket ettirerek
devreden elektrik akımının akmasına sebep olan elektriksel
potansiyeller arasındaki farktır. Bu fark gerilim/voltaj olarak
adlandırılır ve birimi Volt’tur.
Elektriksel İş, bir devrede elektriksel potansiyeli farklı ”V” iki nokta
arasında belirli bir miktar “Q” yükünün taşınması için gerekli enerji
miktarıdır. Güç ise birim zamanda işyapabilme yeteneğidir.
Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Analizi
Elektriksel Sistemler
W  QV   Joule  C  V
P
dQ
J C


V  IV  Watt    V 
dt
s s


2
Temel Elektriksel Elemanlar
Elektriksel Direnç : Direnç bir maddenin üzerinden geçen elektrik
akımına karşı gösterdiği karşı koyma etkisidir. Birimi Ohm’dur
R 
Ohm Kanunu
R
Temel Elektriksel Elemanlar
Potansiyometre :
L 
m
 Ωm 2 
A 
m 
V 
V
 Ω 
I 
A
Bir dirençte birim zmanda ortaya çıkan ısı enerjisi W  I2RW 
3
Temel Elektriksel Elemanlar
Bobin : Helis yay şeklinde sarılmış bir iletken bobin, kendi üzerinden
geçen akımın değişimine bağlı olarak üzerinde gerilim düşen bir
devre elemanıdır. Birimi Henry’dir.
di( t )
Lenz Kanunu
V( t )  L
dt
L
Bir bobinin enerjisi E  1 .L.i 2  Joule
2
L e  L1  L 2  ...  L n
4
Temel Elektriksel Elemanlar
Kondansatör : Elektrik enerjisini depolayabilme özelliğine sahip devre
elemanıdır. Elektrik enerjisini depolayabilmenin en yaygın yöntemi
birbirine paralel iki metal plaka kullanmaktır. Kapasitans birimi
Farad (F)dır.
1
V( t )   i( t )dt
C
Bir kondansatörde deponan enerji E  1 .C.v 2  Joule
2
1
1
1
1


 ... 
Ce C1 C2
Cn
1
1
1
1


 ... 
L e L1 L 2
Ln
Ce  C1  C2  ...  Cn
5
6
1
10.12.2012
Elektrik Devrelerinin Analizi
Kirchhoff Voltaj Kanunu (KVK):
Kapalı bir göz (çevre, loop) içerisindeki toplam gerilim düşümü
sıfırdır.
V
k
Elektriksel Sistemler
Uygulama: Direnç Kondansatör (RC) Devresi:
 Vh  0
Kirchhoff Akım Kanunu (KAK)
Bir düğüme giren akımların toplamı, çıkan akımların toplamına eşittir.
Ya da bir düğüme giren ve çıkan akımların toplamı sıfırdır şeklinde
ifade edilir
i  i
g
Diferansiyel Denklem
Transfer fonksiyonu
ç
1
i( t )dt
C
Vo ( s )
1
G( s ) 

Vi ( s ) RCs  1
Vi ( t )  Ri( t ) 
Vo ( t )  Vi (1  e
7
Elektriksel Sistemler
Uygulama Direnç Bobin (RL) Devresi:
Transfer fonksiyonu
)
Elektriksel Sistemler
Uygulama Direnç Bobin Kondansatör (RLC) Devresi:
V0 ( t ) 
Diferansiyel Denklem
RC
8
Vi ( t )  Ri( t )  L
di( t )
Vi ( t )  Ri( t )  L
dt
i( s )
1
G( s ) 

V( s ) Ls  R
t
Diferansiyel Denklem
i( t ) 
Transfer fonksiyonu
 tR
Vi
(1  e L )
R
Vi ( t )  LC
G( s ) 
di( t ) 1
  i( t )dt
dt
C
1
i( t )dt
C
d 2 Vo ( t )
dV ( t )
 RC o  Vo ( t )
dt 2
dt
Vo ( s )
1

Vi ( s ) LCs 2  RCs  1
9
10
Elektromekanik Sistemler
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları
Elektrik Motorları
Elektrik enerjisini manyetik indüksiyon prensibini kullanarak mekanik enerjiye
çeviren elektromekanik sistemlere motor denir. Alternatif veya Doğru Akım ile
çalışan ve doğrusal veya dönme hareketi yapan sistemlerdir. Bu kısım
kapsamında doğru akım motorları modellenecektir.
Doğru akım motorları kontrol amaçlı birçok uygulamalarda halen çok kullanılan
motorlardır. Bunun sebebi gerilimle devir sayılarının düzgün olarak değişmesi ,
basit yön değiştirme kabiliyetleri ve nispeten ucuz olmalarıdır.
Doğru akım motorları yapısal olarak, genelde sabit duran ve manyetik bir alan
oluşturmaya yarayan uyarı stator (ikaz,alan) sargıları ile, bu sargılar tarafından
kuşatılmış ve serbest dönebilecek şekilde yataklanmış bir sargı sistemi olan
armatür (rotor) devresinden oluşur. Motorun ikaz gerilimi veya armatür gerilimi
değiştirilerek rotorun devri (açısal hızı) değiştirilebilir.
11
12
2
10.12.2012
Elektromekanik Sistemler
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Temel Kavramlar)
Doğru akım motorlarının çalışma prensipleri, elektriksel alan,
manyetik alan ve manyetik kuvvet arasındaki ilişkilere dayanır.
Elektrik Motorları (Temel Kavramlar)
Doğru akım motorlarının çalışma prensipleri, elektriksel alan, manyetik alan
ve manyetik kuvvet arasındaki ilişkilere dayanır.
1.
2.
Manyetik alan içerisindeki üzerinden elektrik akımı geçen bir iletkene bir kuvvet
etkir. (Manyetik kuvvet)
 
F  Li  B
Eğer bir iletken manyetik alan içerisinde hareket ederse üzerinde bir potansiyel
fark oluşur. Bu potansiyel fark, iletken üzerinden bir akım akmasına sebep olur.
Bu akım kendisini doğuran etki kuvvetine ters yönde bir kuvvet doğurur.
(Faraday kanunu ve Lenz kanunu)
e
d
d( BLr )
,   B  A, e  
dt
dt
e   BL
dr
  BLv
dt
13
14
Elektromekanik Sistemler
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Çalışma Prensibi)
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
DC motorun manyetik histerizis etkileri, fırçalardaki voltaj düşmeleri vs. gibi
nonlineer etkilerin ihmal edilmesi durumunda doğrusal bir modeli
oluşturulabilir.
Video
15
16
Elektromekanik Sistemler
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Şematik)
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
İkaz kontrollü doğru akım motoru
Doğru akım motorunun ikaz (:alan, stator=field) sargılarından geçen akım, rotor
sargılarının üzerinde bir manyetik alan oluşmasına yol açar.Bu alanı ifade eden
manyetik akı, ikaz bobinin yapısal özelliklerine bağlı bir katsayı ile ikaz akımının
çarpımına eşittir.
 B
  K f if   
 A
Bu manyetik alanın içerisnde hareket eden rotor (:armatür) bobininden geçen akım
rotor sargısına manyetik kuvvet çifti oluşmasına ve dolayısı ile dönme
hareketine sebep olacak bir tork etkisinin oluşmasına sebep olur. Bu tork,
yine rotor sargısının yapısal özelliklerine bağlı bir katsayı, ikaz akımının
doğurduğu manyetik akı ve armatür akımının çarpımı ile hesaplanır.
Tm  K a i a  K a K f if i a
İkaz kontrollü doğru akım motorunda armatür akımı sabit tutulur ve ikaz devresine
uygulanan gerilim değiştirilerek ikaz akımını değiştirir.
i a  sbt
Vf  Vf ( t )
Bu durumda motor torku, “motor tork sabiti Km” ifadesi ile ikaz akımının
çarpımıyla bulunur.
K m  K aKf i a
Tm ( t )  K m if ( t )
İkaz devresine uygulanan gerilimle ikaz akımı arasındaki ilişki devre analizi yapılarak
bulunur.
Vf ( t )  R f if ( t )  L f
17
dif ( t )
 R f if ( t )  Lf i f ( t )
dt
18
3
10.12.2012
Elektromekanik Sistemler
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
İkaz kontrollü doğru akım motoru
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
İkaz kontrollü doğru akım motoru
Motor torku (Tm) motor milini döndürmeye çalışır. Sistemde frenleme yada başka
amaç ile yük olarak bağlanmış sistemler varsa motor milinde tüm bu etkiler net
moment (TL) etkisi yaratırlar. Mildeki dönme hareketinin karaktersitiğini net
moment ve şaftın döndürdüğü kütlelerin ataletleri ile yataklardan kaynaklanan
viskoz sönüm etkileri belirler.
Elektriksel sistemi ifade eden denklemler ve son bulunan mekanik denklem bir
arada değerlendirilip düzenlemeler yapılırsa sistemin blok diyagramı şekildeki
gibi elde edilir.
 ( t )  C( t )
Tm ( t )  TL ( t )  J
if ( s)
1

Vf ( s ) R f  L f s
( s )
1
GM ( s) 

Tm ( s )  TL ( s ) Js  C
GE ( s) 
Tm ( t )  K m if ( t )
Vf ( t )  Rf if ( t )  Lf if ( t )
19
20
Elektromekanik Sistemler
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
İkaz kontrollü doğru akım motoru
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
Armatür kontrollü doğru akım motoru
İkaz kontrollü doğru akım motorunda ikaz akımı sabit tutulur ve armatür devresine
uygulanan gerilim değiştirilerek armatür akımı değiştirilir.
i f  sbt
Va  Va ( t )
Bu blok diyagramına göre motorun açısal hızı:
Bu durumda motor torku, “motor tork sabiti Km” ifadesi ile ikaz akımının
çarpımıyla bulunur.
( s )  G E ( s )G M ( s )K M Vf ( s )  G M ( s )TL ( s )
KM
1
( s ) 
V ( s) 
TL ( s )
R  Ls Js  C f
Js  C
K m  K a Kf if
Tm ( t )  K m i a ( t )
Eğer dış tork etkisi (TL= )0 kabul edilirse giriş gerilimine bağlı hız değişimini veren
transfer fonksiyonu bulunur.
G( s ) 
( s )
KM

Vf ( s ) R  Ls Js  C
Armatür kontrollü motorda rotor bobininin manyetik alan içerisinde hareket ediyor
olmasından kaynaklanan zıt elektromotor (zıt e.m.k.) kuvveti oluşur.
Vb ( t )  K b( t )
Kb: motor zıt e.m.k sabiti
21
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
Armatür kontrollü doğru akım motoru
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
Armatür kontrollü doğru akım motoru
Armatür devresine uygulanan gerilim ve zıt e.m.k nın armatür akımına yaptığı etki
devre analizi yapılarak bulunur.
Va ( t )  Vb ( t )  R a i a ( t )  L a
22
di a ( t )
 R a i a ( t )  L ai a ( t )
dt
Mekanik kısımın diamik davranışı yine motor torku ve dış torka bağlı olarak benzer
şekilde bulunur.
Elektriksel sistemi ifade eden denklemler ve son bulunan mekanik denklem bir
arada değerlendirilip düzenlemeler yapılırsa sistemin blok diyagramı şekildeki
gibi elde edilir.
TL
GE
Va
+
--
1
Ra+Las
if
Km
Tm
+
GM
--
1
C+Js

1
s
q
 ( t )  C( t )
Tm ( t )  TL ( t )  J
Tm ( t )  K m i a ( t )
Kb
23
24
4
10.12.2012
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
Armatür kontrollü doğru akım motoru
TL
GE
Va
+
--
1
Ra+Las
if
Km
Tm
+
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
Armatür kontrollü doğru akım motoru
GM
1
C+Js
--
1
s
q
Va
+
--
Kb
 (s) 
KM
if
Km
Tm
+
GM
--
1
C+Js

1
s
Sistemi ifade eden transfer fonksiyonları
GE ( s )GM ( s) K M
GM ( s)
Va ( s) 
TL ( s)
1  GE ( s )GM ( s) K M K B
1  GE ( s)GM ( s) K M K B
R  Ls Js  C   K M K B
1
Ra+Las
q
Kb
Bu blok diyagrama göre açısal hız ifadesi:
 (s) 
TL
GE

Va ( s ) 
1
R  Ls Js  C   K M K B
( s )
KM

Va ( s ) R  Ls Js  C  K M K B
( s )
1
GD ( s) 

TL ( s ) R  Ls Js  C  K M K B
TL
GD
GR ( s) 
TL ( s)
25
--

+
Va
GR
26
Elektromekanik Sistemler
Elektrik Motorları (Matematiksel Modelleme)
İkaz kontrollü doğru akım motoru
Elektriksel sistemi ifade eden denklemler ve son bulunan mekanik denklem bir
arada değerlendirilip düzenlemeler yapılır.
Va (t )  Ria (t )  Lia (t )  Va ( s)  Ria ( s)  Lsia ( s)
ia ( s)
1

Va ( s) Ra  La s
T ( s)
Tm (t )  K mia (t )  Tm ( s)  K mia ( s)  GT ( s)  m
 Km
ia ( s)
 ( t )  C( t )  Tm ( s )  TL ( s )  Js( s )  C( s )
Tm ( t )  TL ( t )  J
( s )
1
 GM (s) 

Tm ( s )  TL ( s ) Js  C
( s )
q( s) 1
q( t )   w( t )dt  q( s ) 
 Gq ( s) 

s
( s ) s
 GE ( s ) 
27
Dinlediğiniz için teşekkür ederim.
28
5