GENEL TOPOLOJ

GENEL TOPOLOJ
Timur Karaçay
2
Ksm I
TOPOLOJ SORULARI
1
0.1.
TOPOLOJIK KAVRAMLAR
0.1
3
Topolojik Kavramlar
1. Her açk aralk salt topolojiye göre
2.
n∈Z
olmak üzere
(n, n + 1)
R
uzaynda açktr. Gösteriniz.
aralklarnn bile³imi açktr. Gösteriniz.
3.
{0} =
∞
\
1 1
(− , )
n n
(1)
n=1
e³itli§ini kullanarak sonsuz sayda açk kümelerin arakesitinin açk olmayabilece§ini gösteriniz.
4.
Q
rasyonel saylar kümesinin, salt topolojiye göre
R
uzaynda ne açk
ne de kapal oldu§unu gösteriniz.
5. Salt topolojiye göre
R
uzaynda bir
(a, b)
açk aral§nn her
x ∈ (a, b)
ö§esi için bir kom³uluk oldu§unu gösteriniz.
6.
(0, 1) =
S∞
1
1
n=2 [ n , 1− n ]
oldu§unu gösterinz. Buradan ³u sonucu çkarnz:
Sonsuz sayda kapal kümelerin bile³imi kapal olmayabilir.
7. Daha ince topolojiye göre yo§un bir alt-küme daha kaba topolojiye göre
de yo§undur. Ba³ka bir deyi³le, topolo ji inceldikçe yo§un alt-kümeler
azalr, topoloji kabala³tkça yo§un alt-kümeler ço§alr.
8. Hiç bir yerde yo§un bir kümenin kaplamnn da hiç bir yerde yo§un
oldu§unu gösteriniz.
9. Her gerçel saynn rasyonel saylar kümesinin bir y§lma noktas oldu§unu;
yani her
10.
R
x∈R
için
x ∈ Q̃
oldu§unu gösteriniz.
üzerindeki salt topolo jiye göre
N
do§al saylar kümesinin hiç bir
y§lma noktas olmad§n gösteriniz.
11.
R
üzerindeki salt topolojiye göre
S = (0, 1) ∪ {3}
kümesinin y§lma
noktalarn bulunuz.
12.
R
üzerindeki salt topolojiye göre, bir
a
saysnn bir
y§lma noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul,
a
S
S
alt kümesinin
kümesi içinde
saysna yaknsayan ve sabit olmayan bir dizinin varl§dr. Bunu
simgesel olarak,
a ∈ S̃ ⇐⇒ ∃(an ) ⊂ S : (n 6= m ⇒ (an 6= am )
biçiminde yazabiliriz.
4
13. Bir kümenin içlemi, kapsad§ açk kümeler arasnda en büyük olandr.
Gösteriniz.
14. Bir kümenin açk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, hiç bir kenar
noktasn içermemesidir. Ba³ka bir deyi³le,
(X; T )
uzaynda
T ∈ T ⇔ ∂T ∩ T = ∅
dir.
15.
(X; T )
uzaynnn
A⊂X
alt kümesi için
Ā = ∂A ∪ A = ∂A ∩ A◦
olur.
16. Topolojik Toplam Uzay:
17. Topolojiler Toplam:
∅
(Xı , Tı )
uzaylar verilsin.
ı 6=  ⇒ Xı ∩ X =
olsun. Bu ko³ulu sa§layan uzaylar ailesine ayr³k (dijoint) uzaylar
denir.
S = ∪Tı = ∪{T : (∃ı ∈ I) T ∈ Tı }
bile³imi üzerinde
T
ailesini ³öyle tanmlayalm:
U ∈ T ⇔ U ∩ Xı ∈ Tı , (ı ∈ I)
(S, T ) bir topolojik uzaydr. Gösteriniz. (Bu uzaya (Xı , Tı ) uzaylarnn
topolojik toplam uzay denilir.)
18. Hiç bir has alt kümesi yo§un olmayan uzay ayrk bir uzay mdr?
19. Saylabilir her alt kümesi kapal olan uzay ayrk bir uzay mdr?
0.2
1.
2.
Basis
(X, T ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X alt kümesi verilmi³ olsun. Bir
x ∈ X noktasnn A nn bir y§lma noktas olmas için gerekli ve yeterli
ko³ul her B ∈ B(x) için (B \ {x}) ∩ A 6= ∅ olmasdr. Gösteriniz.
(X, A) ayrk uzaynda B(x) = {{x}} ailesinin x noktas için bir kom³uluklar taban oldu§unu gösteriniz.
3. Düzlemdeki salt topoloji için ba³ka kom³uluk tabanlar bulunuz.
0.3.
4.
NEIGBORHOODS
R
5.
= {[a, a + 1] : a ∈ R}
üzerinde
jinin
R2
R
5
ailesini alt taban olarak alan topolo-
üzerindeki ayrk topoloji oldu§unu gösteriniz.
düzleminde eksenlere paralel yatay ve dü³ey do§rularla belirlenen
bütün açk yar düzlemler ailesinin salt topolo ji için bir alt taban
oldu§unu gösteriniz.
6.
(X, ≤) tam sralanm³ bir küme olsun. Her a, b ∈ X ö§e çiftine kar³lk
{x ∈ X : x > a}, {x ∈ X : x < b} ve {x ∈ X : a < x < b}
kümeleri tanmlanyor. a, b ö§eleri bütün X kümesini tarad§nda elde
edilecek bütün bu kümelerden olu³an ailenin X kümesi üzerinde bir
topoloji taban oldu§unu gösteriniz. Bu tabann üretti§i topolojiye sra
topolojisi denir. Bu topolojik uzayn kapal kümelerinin nasl oldu§unu
belirleyiniz.
0.3
1.
Neigborhoods
(X, ≤) tam sralanm³ bir küme olsun. Her a, b ∈ X ö§e çiftine kar³lk
{x ∈ X : x > a}, {x ∈ X : x < b} ve {x ∈ X : a < x < b}
kümeleri tanmlanyor. a, b ö§eleri bütün X kümesini tarad§nda elde
edilecek bütün bu kümelerden olu³an ailenin X kümesi üzerinde bir
topoloji taban oldu§unu gösteriniz. Bu tabann üretti§i topolojiye sra
topolojisi denir. Bu topolojik uzayn kapal kümelerinin nasl oldu§unu
belirleyiniz.
2. Salt topolojiye göre
R
uzaynda herhangi farkl iki noktann birbir-
x, y ∈ R x < y noktaU ∩V = ∅ olacak biçimde U ∈ B(x) ve V ∈ B(y) kom³uluklar
leriyle kesi³meyen birer kom³ulu§u vardr; yani
lar için
vardr.
0.4
1.
Seperation Axioms
R2
düzleminde
[a, b) × [c, d) = {(x, y)|
a ≤ x < b, c ≤ y < d}
yar-açk diktörtgenlerinin do§urdu§u topolojiyi
T
ile gösterelim.
Y =
{(x, y)|x + y = 1}
do§rusu üzerindeki rasyonel koordinatl noktalarn
olu³turdu§u küme
A
(i) A
ve
B
olsun ve
kümeleri
B =Y −A
(R2 , T
)
diyelim.
uzaynda kapaldr;
6
(ii) A
(R2 , T
2. Bir
T1
)
ve
B
nin birbirinden ayrk birer kom³ulu§u olamaz; yani
normal bir uzay de§ildir.
uzaynda sonlu bir kümenin hiç bir y§lma noktas yoktur. Gös-
teriniz.
3.
T0
uzaynn her alt uzay da
T0
dr. Gösteriniz.
4.
T1
uzaynn her alt uzay da
T1
dr. Gösteriniz.
5.
T2
uzaynn her alt uzay da
T2
dr. Gösteriniz.
6.
T0
uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi
de
T0
T1
uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi
de
T1
T2
uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi
de
T2
7.
8.
9.
uzaydr. Gösteriniz.
uzaydr. Gösteriniz.
uzaydr. Gösteriniz.
X = {a, b, c} kümesi üzerinde T = {∅, X, {a}, {b, c}} topolojisi veriliyor. (X, T ) nn normal bir uzay oldu§unu ama Hausdor olmad§n
gösteriniz.
10.
X = {x ∈ R|0 < x < 1/2, 1/2 < x < 1} kümesi veriliyor. Sabit bir
α ∈ [0, 1/2] ve sabit bir β ∈ [1/3, 1] gerçel saysna kar³lk Tαβ = {x ∈
X|α < x < β} kümesini olu³turalm. T = {Tαβ |0 ≤ a ≤ 1/2, 1/2 ≤
β ≤ 1} ailesinin X üzerinde bir topoloji olu³turdu§unu gösteriniz. Bu
uzay normaldir, ama Hausdor de§ildir. Neden?
11. Tamamen düzenli
(X, V ) uzay üzerinde tanml bütün sürekli fonksiy-
onlar kümesi
C(X) = {f : X −→ (R, T ) f
olsun.
C(X)
sürekli
uzaynn noktalar ayrd§n gösteriniz.
12.
X = (R × {0}) ∪ (R × {1}) ⊂ R2
kümesi üzerinde
(x, 0) ∼ (x, 1) ⇐⇒ x 6= 0
ba§nts veriliyor. Gösteriniz ki;
(2)
0.5.
FUNCTIONS
7
(a) Bu ba§nt bir denklik ba§ntsdr.
(b)
X/ ∼
bölüm uzay yerel Öklidyendir.
(c)
X/ ∼
bölüm uzay kinci saylabilme Aksiyomu'nu sa§lar.
(d)
X/ ∼
bölüm uzay Hausdor de§ildir.
13. Ayr³k (disjoint) Hausdor uzaylarn topolojik toplam da Hausdor
uzaydr. Gösteriniz.
0.5
Functions
1. Sonlu sayda açk dönü³ümlerin çarpm açk bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
2. Sonlu sayda kapal dönü³ümlerin çarpm kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
3. Topoloji inceldikçe sürekli fonksiyonlar artar, topoloji kabala³tkça sürekli
fonksiyonlar azalr.
4.
f (x) = tan( π2 x)
dönü³ümünün
(−1, 1)
den
R
ye bir e³yap dönü³ümü
oldu§unu gösteriniz.
5.
(X, T ) uzaynn ayrk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, X
her Y uzayna tanml fonksiyonlarn sürekli olmasdr.
uzayndan
X kümesi veriliyor. X üzerinde öyle bir T topolojisi
(Y, S ) uzayndan (X, T ) uzayna tanml her fonsiyon
6. Bo³ olmayan bir
kurunuz ki, her
sürekli olsun. Bu topolojiyi belirleyiniz.
7.
f : (X, T ) → (Y, S ) sürekli ve örten
yo§un alt kümelerini Y uzaynn yo§un
bir fonksiyon ise,
X
uzaynn
alt kümelerine resmeder; yani
Ā = X ⇒ f (A) = Y
(3)
X
Y
olur. Gösteriniz.
8.
f : (X, T ) → (Y, S )
fonksiyonu
uzaynn yo§un alt kümelerini
uzaynn yo§un alt kümelerine resmederse, sürekli midir? Simgelerle
söylersek,
Ā = X ⇒ f (A) = Y
olmas
f
fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir mi? Neden?
(4)
8
9.
10.
f : (X, T ) → (Y, S ) sürekli ve örten bir fonksiyon ise T topolojisinin bir tabann S topolojisinin bir tabanna resmeder mi? Simgelerle söylersek, B ailesi T topolojisinin bir taban oldu§unda f (B)
ailesi S topolojisinin bir taban olur mu? Neden?
I : (X, T ) → (X, T ) özde³lik (birim)
I(x) = x olan fonsiyondur. I özde³lik
fonksiyonu her
x ∈ X
için
dönü³ümünün bir topolojik
e³yap dönü³ümü (homeomorphism) oldu§unu gösteriniz.
11.
f : (X, T ) → (Y, S ) fonksiyonu bire-bir-içine (injective) olsun. E§er
f ve f −1 fonksiyonlarnn her ikisi de sürekli iseler, f fonksiyonuna bir
gömme dönü³ümüdür , denilir. Bu durumda, her x ∈ X için g : X →
f (X) diye tanmlanan g fonksiyonu bir topolojik e³yap dönü³ümüdür
(homeomorphism). Gösteriniz
0.6
Limit
1. A³a§daki dizilerin herbirisinin, varsa, limit ve y§lma noktalarn bulunuz:
(a) Her
n∈N
(b) Belli bir
için
n0
(n = 3)
diye tanmlanan
sabit dizisi.
indisinden sonra terimleri sabit olan dizi; yani
(
n, n ≤ n0
an =
a, n > n0 , a
biçiminde tanmlanan
(an )
(5)
sabit
dizisi.
5 − n5 olan (an ) dizisi.
7 + n7 olan (an ) dizisi.
(−1)n n1 olan (an ) dizisi.
(c) Genel terimi
an =
(d) Genel terimi
an =
(e) Genel terimi
an =
(f ) Genel terimi
an = n
(g) Genel terimi
an ≡ n (mod 3)
(h)
(an )
f : N −→ Q ∩ [0, 1]
olan
(an )
dizisi.
olan
(an )
dizisi.
f (n) = n1 diye tanmlanan bireüzere, an = f (n) dizisi. [Böyle bir
fonksiyonu
bir-içine bir fonksiyon olmak
fonksiyonun varl§n gösteriniz.]
2. Dizileri, genellikle, genel terimini belirten bir ifade ile yazarz. Örne§in,
(1/n), (n2 ), (1/(n2 + 1)), . . ..
Bazen de genel terimi belirli klmaya
yetecek kadar terimi ard arda yazarak diziyi belirleyebiliriz Örne§in,
0.7.
COMPACTNESS
9
(0, 2, 4, 6, 8, . . .) dizisinin genel teriminin (2n) oldu§u hemen görülüyor.
Ama baz dizilerin genel terimini bulmak için snama-deneme yolundan ba³ka bir yöntem olmayabilir. A³a§daki dizilerin genel terimlerini
snama-deneme yoluyla bulunuz:
(1, 4, 9, 16, . . .)
(6)
(2, 5, 10, 17, 26, . . .)
(7)
(1, 3, 6, 10, 15, . . .)
(8)
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .
Fibonacci dizisi
(9)
Çözümler, srasyla, a³a§dadr:
(n2 ),
(n2 + 1),
(n(n + 1)/2),
3. Genel terimi recursive olarak
(an+2 = an+1 + an )
(an+2 = an+1 +an ) biçiminde tanmlanan
Fibonacci dizisinin salt topolojiye göre raksayan bir dizi oldu§unu gösteriniz.
4. Yaknsak bir dizinin her alt dizisinin de yaknsak ve ayn limite sahip
oldu§unu gösteriniz.
5.
R
üzerindeki salt topolojiye göre, bir
a
saysnn bir
y§lma noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul,
a
S
S
alt kümesinin
kümesi içinde
saysna yaknsayan ve sabit olmayan bir dizinin varl§dr. Bunu
simgesel olarak,
a ∈ S̃ ⇐⇒ ∃(an ) ⊂ S : (n 6= m ⇒ (an 6= am )
biçiminde yazabiliriz. Gösteriniz.
0.7
1.
Compactness
10
0.8
1.
Product Spaces
(Xi , Ti )
Ki ⊂ Xi kümesi
X1 × X2 × X3 × · · · × Xn
uzaylarnn herbiri içinde kapal olan bir
veriliyor.
K1 × K2 × K3 × · · · × Kn
kümesinin
çarpm uzaynda kapal oldu§unu gösteriniz.
2.
A
saylamayan bir küme olsun. Her
α∈A
için
Xα = {0, 1}
kümesini
tanmlayalm ve her birisi üzerinde ayrk topoloji var olsun.
X = Πα∈A Xα = {0, 1}A
(10)
Xα uzaylarnn çarpm topolojisi
p = (pα ) ∈ X noktasn her α ∈ A için pα = 1
olacak biçimde seçelim. q = (qα ) ∈ X noktasn ise saylabilir saydaki
α indisi d³nda qα = 0 olacak biçimde seçelim; yani ancak saylabilir
saydaki bile³eni 1 e e³it olsun. Bu durumda, gösteriniz ki,
kartezyen çarpm kümesi üzerinde
konulmu³ olsun. “imdi
(a)
p
noktasnn saylabilir bir kom³uluklar taban yoktur.
(b) Kapsama ba§ntsna göre sralanm³ bir kom³uluklar taban yoktur.
(c)
K̄ = X
ve
H
kümesi
K
nn saylabilir bir alt kümesi ise
H̄ ⊂ K
olur.
(d)
K
içinde
(e) Her
p
λ∈Λ
noktasna yaknsayan bir a§ bulunuz.
için bir
Xλ
uzay ile bunun bir
Aλ ⊂ Xλ
alt-kümesi
verilmi³ olsun.
A = ΠAλ ,
λ∈Λ
kartezyen çarpmn dü³ünelim.
i. E§er
A
Aλ
kümeleri açk ve hemen her
λ∈Λ
için
Aλ = Xλ
ise
kümesinin çarpm uzayda açk oldu§unu biliyoruz. Bunun
kar³tnn da do§rulu§unu gösteriniz.
ii.
A
kartezyen çarpmnn kapal olmas için gerekli ve yeterli
ko³ul
Aλ çarpanlarnn herbirisinin kapal olmasdr. Gösteriniz.
Buradan
Ā = ΠĀλ ,
λ∈Λ
e³itli§ini çkarnz.
iii.
A
kümesi ne zaman çarpm uzay içinde yo§un olur?
0.9.
QUOTIENT SPACES
11
n do§al says için Xn kümesi 0 ile 1 ö§elerinden olu³an kümeye e³it olsun; yani Xn = {0, 1} olsun. Bu kümeler üzerinde ayrk
topolojiyi varsayalm. “imdi X = ΠXn ,
n ∈ N çarpm uzayn
dü³ünelim. Her n do§al says için Vn = {0} kümesi çarpan uzaylarda açktr. Ama V = ΠVn ,
n ∈ N, kartezyen çarpm, çarpm
(f ) Her
uzay içinde açk bir küme de§ildir. Gösteriniz.
(g)
X
ile
Y
iki topolojik uzay ve
A⊂B
ile
B⊂Y
kapal iseler
A×B
nin çarpm uzayda kapal oldu§unu gösteriniz.
(h)
X
ile
i.
Y
iki topolojik uzay ve
π1 (W ) ⊂ X
ile
W ⊂ X ×Y
π2 (W ) ⊂ Y
çarpm uzayda açk ise
izdü³ümlerinin açk kümeler
oldu§unu gösteriniz.
ii. Yukardaki özeli§in kapal kümeler için genel olarak sa§lanmad§n bir örnekle gösteriniz.
(i)
(Xi , Ti ) uzaylarnn herbiri içinde kapal olan bir Ki ⊂ Xi kümesi
veriliyor. K1 ×K2 ×K3 ×· · ·×Kn kümesinin X1 ×X2 ×X3 ×· · ·×Xn
çarpm uzaynda kapal oldu§unu gösteriniz.
(j) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn
örten oldu§unu gösteriniz.
(k) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn
sürekli oldu§unu gösteriniz.
(l) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn
açk oldu§unu gösteriniz.
(m)
f : (X, T ) → (Y, S ) fonksiyonu X uzaynn yo§un alt kümelerini
Y uzaynn yo§un alt kümelerine resmederse, sürekli midir? Simgelerle söylersek,
Ā = X ⇒ f (A) = Y
olmas
0.9
1.
f
(11)
fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir mi? Neden?
Quotient Spaces
ϕ : X −→ Y
bir bölüm dönü³ümü ise,
ϕ
nin bir doymu³ açk ya da
kapal alt kümeye kstlanm³ da bir bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz.
2.
X
bir topolojik uzay ise
∆ = {(x, x) : x ∈ x} ⊂ X × X
(12)
12
kö³egeninin
ko³ul
X
X ×X
çarpm uzaynda kapal olmas için gerekli ve yeterli
uzaynn Hausdor olmasdr.
3. Bir çarpm uzaydan bile³en uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlar
birer bölüm dönü³ümüdür; yani
(Xi , Ti )
uzaylar verilmi³se
pii : X1 × X2 × X3 × · · · × Xn −→ Xi
(i = 1, 2, 3, . . . , n)
dönü³ümleri birer bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz.
4.
X
bir topolojik uzay ise
∆ = {(x, x) : x ∈ x} ⊂ X × X
kö³egeninin
ko³ul
X
X ×X
(13)
çarpm uzaynda kapal olmas için gerekli ve yeterli
uzaynn Hausdor olmasdr.
5. Bir çarpm uzaydan bile³en uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlar
birer bölüm dönü³ümüdür; yani
(Xi , Ti )
uzaylar verilmi³se
πi : X1 × X2 × X3 × · · · × Xn −→ Xi
(i = 1, 2, 3, . . . , n)
dönü³ümleri birer bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz.
6.
X = (R × {0}) ∪ (R × {1}) ⊂ R2
kümesi üzerinde
(x, 0) ∼ (x, 1) ⇐⇒ x 6= 0
ba§nts veriliyor.
(a) Bu ba§nt bir denklik ba§ntsdr.
(b)
X/ ∼
bölüm uzay yerel Öklidyendir.
(c)
X/ ∼
bölüm uzay kinci saylabilme Aksiyomu'nu sa§lar.
(d)
X/ ∼
bölüm uzay Hausdor de§ildir.
oldu§unu gösteriniz.
7. Sonlu sayda açk dönü³ümlerin çarpm açk bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
8. Sonlu sayda kapal dönü³ümlerin çarpm kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz.
0.10.
CONNECTED SPACES
0.10
1.
13
Connected Spaces
X
C ba§lantl bir alt uzay olsun. A ⊂ X kümesi
A0 ∩ C 6= ∅ ise, ∂A ∩ C 6= ∅ oldu§unu gösteriniz.
ba§lantl bir uzay ve
için
A ∩ C 6= ∅
ve
2. A³a§daki kümelerin
R içinde,salt topolo jiye göre, tamamen ba§lantsz
olduklarn gösteriniz:
(a) Cantor kümesi.
(b) Rasyonel saylar kümesi.
(c) rrasyonel saylar kümesi
3.
X
uzaynn ba§lantl bile³enlerinin kümesini
erinde bölüm topolo jisi var olsun.
X
X
ile gösterelim.
X
üz-
bölüm uzaynn tamamen ba§lan-
tsz oldu§unu gösteriniz.
4. Tamamen ba§lantsz uzayn her alt uzay da tamamen ba§lantszdr.
Gösteriniz.
5. Tamamen ba§lantsz uzaylarn çarpm uzay da tamamen ba§lantszdr.
Gösteriniz.
6.
Rn
içinde,salt topolojiye göre, açk ve ba§lantl iki alt kümenin arake-
siti ba§lantl olmayabilir. Bir örnekle gösteriniz.
0.11
1. Bir
Comparisons of Topologies
X
kümesi üzerideki
ts var ise
T10 ≤ T20
T1
ve
T2
topolojileri arasnda
T1 ≤ T2
ba§n-
ba§ntsnn da oldu§unu gösteriniz.
2. kinci Saylabilme Aksiyomunu sa§layan uzay, Birinci Saylabilme Aksiyomunu da sa§lar. Gösteriniz.
3.
0.12
1.
Metric Spaces
14
0.13
Nets
1. Do§al saylar kümesinin
≤ ba§ntsna göre yönlenmi³ bir küme oldu§unu
gösteriniz.
2.
Tanm ??
deki
(iii)
ko³ulu yerine daha güçlü olan a³a§daki ko³ulun
konulabilece§ini gösteriniz:
Sonlu sayda
λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ Λ
ö§elerine kar³lk
λ1 ≤ λ, λ2 ≤ λ, . . . , λn ≤ λ
e³itsizlikleri sa§layan bir
3.
λ∈Λ
ö§esi vardr.
X, T ) uzaynda x noktasnn B(x) kom³uluklar ailesinin yönlenmi³ bir
sistem oldu§unu gösteriniz.
4. Kapal
[a, b] aral§nda bir f
[a, b] aral§nn
fonksiyonunun Riemann integrali tanm-
lanrken
a = a0 < a1 < a2 < a3 < . . . < an = b
bölüntüleri kurulur ve en büyük
giderken, Riemann toplamlarnn
(14)
[ai−1 , ai ] alt aral§nn uzunlu§u sfra
inf ve sup de§erlerinin olup olmad§na
baklr. Alt aralklar iç-içe olan (14) bölüntülerinin yönlenmi³ bir sistem olu³turduklarn gösteriniz.
5.
X
kümesi üzerinde
T1 ≤ T2
ko³ulunu sa§layan
T1
ve
T2
topolojileri
varsa, bir a§n bu topolojilere göre yaknsamalar arasndaki fark nedir?
6. çindeki her a§ her noktasna yaknsyorsa, uzay ayrk de§ildir. Gösteriniz.
7. Ayrk bir uzay a§larn yaknsamas ile belirleyebilir misiniz?
8.
(xλ )
a§
x
limitine yaknsyorsa, her alt a§nn da ayn noktaya yakn-
sad§n gösteriniz.
9.
T2
için gerekli ve yeterli ko³ul, T2
X
kümesi üzerinde
T1
ve
topolojileri veriliyor.
T1 ≤ T2
olmas
topolojisine göre yaknsak olan a§n
T1
topolojisine göre de yaknsak olmasdr. Gösteriniz.
10.
T2
için gerekli ve yeterli ko³ul, T2
X
kümesi üzerinde
T1
ve
topolojileri veriliyor.
T1 ≤ T2
olmas
topolojisine göre yaknsak olan a§n
topolojisine göre de yaknsak olmasdr. Gösteriniz.
T1
0.14.
FILTERS
Önerme ??
11.
12.
15
yi ispatlaynz.
{Xı | ı ∈ I} topolojik uzaylarnn çarpm uzay X = Πı∈I Xı olsun. X
(xλ ), λ ∈ Λ, a§ verilsin. Tabii bu a§n her xλ ö§esi X =
Πı∈I Xı çarpm uzaynn bir ö§esi oldu§undan
içinde bir
xλ = (xλı ), ı ∈ I, xλı ∈ Xı
ı sabit klnd§nda, her Xı bile³eni
(xλı ), λ ∈ Λ a§ olu³ur. Gösteriniz ki (xλ )
biçiminde olacaktr. Bu demektir ki,
(çarpan uzay) üzerinde bir
a§nn bir
ko³ul her
xı ∈ Xı
0.14
x = (xı ) ∈ X
ı ∈ I için Xı
noktasna yaknsamas için gerekli ve yeterli
bile³eni üzerindeki
{(xλı ) : λ ∈ Λ}
a§nn
noktasna yaknsamasdr.
Filters
X = {x, y}
1. Yalnzca iki ö§esi olan
kümesi üzerinde ayrk olmayan
topoloji var olsun.
(a)
S = {{x}, {x, y}}
ailesinin bir süzgeç oldu§unu gösteriniz.
(b)
S
x,
süzgecinin hem
hem
y
noktasna yaknsad§n gösteriniz.
(c) Buradan, bir süzgecin limitinin tek olmayabilece§i sonucunu çkarnz.
2. Sonlu bir
X
kümesi üzerindeki her
U
a³kn süzgeci için
U = {A : A ⊂ X, x ∈ A}
olacak ³ekilde bir
3.
X
kümesi içinde
x∈X
noktas vardr. Gösteriniz.
(xλ ), (λ ∈ Λ) a§
verilsin. Her
ı için F ı = {x :  ≥ ı}
kümesi tanmlanyor.
(a)
F = {Fı : ı ∈ I}
ailesinin
X
kümesi üzerinde bir süzgeç taban
olu³turdu§unu gösteriniz.
(b)
4.
xı → p ⇔ F → p
F ⊂ P(X)
oldu§unu gösteriniz.
süzgeç taban verilsin.
F
üzerinde
ba§nts a³a§daki
gibi tanmlanyor:
U V ⇔U ⊆V
(a)
(F, )
sisteminin tikel sral bir sistem oldu§unu gösteriniz.
16
(b) Her
(xU )U ∈F ∈ ΠU ∈F U
ö§esinin
X
içinde
(xU )U ∈F ⊂ X
(c) Bu ³ekilde seçilen her
a§n belirledi§ini gösteriniz.
(xU )U ∈F ⊂ X
a§ için
F → p ⇔ xU → p
oldu§unu gösteriniz.
(X, T ) topolojik uzaynn bir
x ∈ Ā olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A
kümesi içinde x ö§esine yaknsayan bir (xn , (n ∈ N) dizisinin olmasdr.
5. Birinci saylabilme Aksiyomunu sa§layan
A⊂X
alt kümesi veriliyor.
Gösteriniz.
6.
(X, T )
(a)
topolojik uzaynn bir
A⊂X
alt kümesi veriliyor.
x ∈ Ā olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A kümesi içinde x ö§esine
(xλ ), (λ ∈ Λ) a§nn olmasdr. Gösteriniz.
yaknsayan bir
(b) Yukarda "a§" yerine "dizi" konulursa ne olur?
(c)
x ∈ Ā
olmas için gerekli ve yeterli ko³ul
yaknsayan bir
F
P(A)
içinde
x
ö§esine
süzgecinin olmasdr. Gösteriniz.
7.
X
kümesi üzerindeki en küçük süzgeç hangisidir?
8.
X
kümesinin birden çok ö§esi varsa, bu küme üzerindeki süzgeçler
ailesinin en büyük ö§esi yoktur.
0.15
1.
X
Compact Spaces
tkz ve
Y
Hausdor ise sürekli
f :→ Y
fonksiyonu kapaldr. Gös-
teriniz.
2.
Y
tkz ise
π1 : X × Y → Y
izdü³ümü kapal bir dönü³ümdür. Gös-
teriniz.
3.
Y
tkz ve hausdor ise
f :X →Y
dönü³ümünün sürekli olmas için
gerekli ve yeterli ko³ul
Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X}
gra§inin
X ×Y
içinde kapal olmasdr.
0.15.
4.
COMPACT SPACES
f :X →Y
dönü³ümü kapal, sürekli ve bire-bir-örten olsun.
oldu§unda, her
y∈Y
oldu§unu gösteriniz.
5.
17
için
f −1 ({y})
⊂X
tkz ise,
X
Y
tkz
uzaynn da tkz
18